Página 1 de 23

UNIDAD II: VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada

álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden

realizarse dos operaciones: escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse. Estas dos operaciones se tienen

que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas (En matemáticas es

una secuencia ordenada de objetos, esto es, una lista con un número limitado de objetos ) de números reales así

como de los vectores en el espacio euclídeo

El plano R2, consistente en los pares (x, y) de números reales, es el típico ejemplo de espacio vectorial:

cualquiera dos pares de números reales pueden sumarse,

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),

y cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy).

Existe además un vector, el (0,0), llamado vector nulo que cumple que al sumarse con cualquier otro vector no

lo altera. Todo vector, por ejemplo el (1, 0), tiene su opuesto, el (-1, 0), que sumados dan como resultante el

vector nulo (0, 0).

La noción de espacio vectorial es una generalización de esta idea. Es más general de varias maneras: en primer

lugar, en lugar de los números reales otros cuerpos, como los números complejos o los cuerpos finitos, se

permiten. En segundo lugar, la dimensión del espacio, que es de dos en el ejemplo anterior, puede ser arbitraria,

incluso infinita. Otro punto de vista conceptual importante es que los elementos de los espacios vectoriales no

suelen estar expresados como combinaciones lineales de un conjunto de vectores, es decir, no hay preferencia

de representar el vector (x, y ) como

(x, y) = x · (1, 0) + y · (0, 1)

o como

(x, y) = (−1/3·x + 2/3·y) · (−1, 1) + (1/3·x + 1/3·y) · (2, 1)

Recordemos que 2se representa

Página 2 de 23

Para 3 se construye un sistema de coordenadas rectangulares utilizando 3 ejes mutuamente ortogonales

( perpendiculares )

Ubique los siguientes puntos Z

( 4 , 5 , 2)

( 3 , –3, – 1)

( 0 , 3 , 1 ) Y

x

Representación de vectores

En muchas aplicaciones trabajamos con cantidades medibles como la presión , la masa , y la rapidez que se

pueden describir en forma completa mediante una magnitud .

También hay otras cantidades como la velocidad , la fuerza y la aceleración cuya descripción necesita

magnitud y dirección , estas cantidades se llamen vectores .

Un vector se representa gráficamente mediante

Un vector cuyo punto inicial es A y punto final es B se denota por AB .

En 2 represente el vector con punto inicial el origen y punto final ( 3 , 5)

En 3 represente el vector con punto inicial el origen y punto final ( 1 , 3 , 5)

OPERACIONES CON VECTORES

SUMA y RESTA A = ( 1 2 3, ,a a a ) y B = ( 1 2 3, ,b b b ) A B = ( 1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b )

Representación grafica

Sea u = ( 3 , 4 ) y v = ( 2 , – 3)

Calcule y representa gráficamente u + v =

Página 3 de 23

Multiplicación por un escalar k (1 2 3, ,a a a ) = (

1 2 3, ,ka ka k a )

Ejemplos

Sea v = ( 2 , –5, 7 ) y u = ( 1 , –2, 0 )

Calcule

1) v – 3u 2) 4v + 5u 3) – v + 2

SEGMENTOS DIRIGIDOS Y VECTORES

Sean A y B dos puntos con un mismo número de coordenadas . Un segmento de recta dirigido es un segmento

al cual se le asigna una dirección ( es un par ordenado de puntos A y B donde A es el punto inicial y B es el

punto final ) y se denota por ( A , B ) = AB

Representación normal de AB = v = B – A

El punto inicial siempre es el origen

Ejemplos Sea A = (–2 , 4 ) y B = ( 3 , 1 ) . Calcular los componentes del vector v = AB

Sea C = ( 1 , 3 , 5 ) y D = ( –2 , 4 , –8 ) Calcular los componentes del vector CD

Página 4 de 23

Definición El segmento dirigido AB es equivalente al segmento dirigido CD si B – A = D – C y se

escribe AB CD .

Ejemplo 1) A = ( –1 , 1 ) y B = ( 3 , –1 ) y C = ( 1 , 2 ) y D = ( 5 , 0 ) . ¿ Es AB CD ?

2) Sea A = ( 1 , 1 , 5 ) y B = ( –1 , 2 , 3 ) .Determine un punto D de modo que AB CD , siendo C

= ( –7 , 5 , –2 )

MAGNITUD ,LONGITUD Y NORMA DE UN VECTOR

Sea a = ( 1 2 3, ,a a a ) entonces 2 2 2

1 2 3a a a a

Calcule la magnitud de

a) a = = ( –3 , 5 , –1 ) b) a = = ( – 1 , 6 , 2 )

Vectores unitarios Sea a un vector a o . Se define el vector unitario ( norma igual a 1)

1

u aa

Ejemplos Calcule un vector unitario para

a) a = ( –3 , 4 , –1 ) b) a = ( – 3 , 0 , 2 )

Vectores unitarios , ,i j k

( 1 2 3, ,a a a ) =

Ejemplos

a) ( –3 , 4 , –6 ) =

b) ( –5i +4j + 8k ) +( –4i + j – k ) =

Página 5 de 23

PRODUCTO ESCALAR o PUNTO

Sea 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , )u u u u v v v v u v u v u v u v

Ejemplos

a) Sea (3, 2, 5) ( 4, 1 ,2)u v u v =

b) Sea 2 2(3 , 5 , ) (8 , ,3)u x x x v x x u v =

c) Determine el valor de x de modo que u v = 0 . ( , 2, 1, ) ( , 1 , 2, 3)u x x v x

Teorema Sea ,u v y w vectores y k entonces se cumple

1) u v = v u

2) ( )u v w u v v w

3) ( )u v w u v u w

4) 0 0u

5) ( ) ( ) ( )k v u k u v u kv

6) 0 , 0 0u u u u u

Vectores paralelos Decimos que un vector u es paralelo a v ; si existe un k tal que u = kv

Ejemplos

u = ( 2 , 1 , 5 ) y v = ( 6 , 3 , 15 ) son paralelos porque v = 3 u

Vectores ortogonales Decimos que un vector u es ortogonal a v ; si u v = 0

Ejemplos

a) u = (–2 , 1 , 3 ) y v = ( 5 , 1 , 3 )

b) Determine el valor de x para que u y v sean ortogonales ( , 4, 1) ( , 3 ,11)u x v x

Página 6 de 23

c) Determine el valor de x para que u y v sean ortogonales ( , 5, 3) ( , 2 , )u x v x x

d) Verifique que el triángulo de vértices A( 1 , –1) , B ( 5, 1) y C (– 2 , 5 ) es rectángulo .

EJEMPLOS

1) Pruebe que el cuadrilátero de vértices A( 0 , 4 ) , B ( 3, 3 ) , C ( 2 , 0) y D ( –1 , 1 ) es un cuadrado

2) Pruebe que el triangulo de vértices A( 4 , 1 ) , B ( 5, 3 ) , C ( 7 , 2) es un isósceles.

Página 7 de 23

3) Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cuáles son las

coordenadas de los vértices del triángulo?

ÁNGULO ENTRE VECTORES

Definición Sea ,u v vectores no nulos se llama ángulo entre u y v al único numero real

0 , tal que :

cosu v

u v u

v

Observe que

1) Si u v 0 0 ,2

( el ángulo es agudo )

2) Si u v 0 ,2

( el ángulo es obtuso )

3) Si cos = 1 = 0 y =

4) Si u v = 0 2

( el ángulo es recto )

Ejemplos

a) Calcule el ángulo entre los vectores u = ( –6 , 5 ) y v = ( 3 , 1 )

b) Calcule el ángulo entre los vectores u = ( 0 , 4 , – 1 ) y v = ( 1 , – 2 , 3 )

Página 8 de 23

c) Calcule la medida de los ángulos internos del triángulo de vértices A =( – 3 , 5) B = ( 0 , 2 ) y

C = ( 4 ,3 ) .

Proyección de un vector sobre otro

Puesto que A cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es

A cos θ = proy AB, será

1) Calcula la proyección del vector sobre el vector .

2 Calcula la proyección del vector sobre el , siendo A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

Página 9 de 23

Calcular el valor de a para que los vectores 3 4 2u i j y v ai j formen un ángulo de 45°.

Practica

1) Represente geométricamente los siguientes puntos en el espacio:

a) (1, 2, 4) c) (0, 1, 3) e) (1, 0, 4)

b) (-2, 2, 0) d) (-1, -3, -2) f) (-1, 4, -3)

2) Sea A = (-1, 2, 3) B = (3, -1, 2) C = (1, 0, 2), calcule:

a) A + B c) B – 2C e) 2

1A + 3C

b) 2A + 3B d) A – B + 2C f) 3A – 5B + C

3) Represente en cada caso, el segmento dirigido , para A y B dados:

a) A = (-1, 1) y B = (2, 0) c) A = (-3, 0, 1) y B = (2, 1, 4)

b) A = (1, 0) y B = (-3, 1) d) A = (2, 4, -1) y B = (-3, 2, 1)

4) En cada caso determine si es o no equivalente a :

a) A = (3, -1), B = (2, 5), C = (4, 3), D = (1, 6)

b) A = (4, 3, 1), B = (2, 3, 6), C = (1, 5, 3), D = (-1, 5, 8)

c) A = (2, 4), B = (3, 6), C = (4, 1), D = (2, 3)

d) A = (1, 3), B = (-5, 7), C = (3, -2), D = (-3, -2)

5) Determine el valor de k de modo , siendo

A = (1, 2), B = (3, 2k), C = (k+1, 3) y D = (k+3, k+1)

6) Determine en cada caso los componentes del vector v(Normal) representado por :

a) A = (-1, 4) y B = (3, -2) b) A = (2, 6, 7) y B = (-3, 2, 5)

c) A = (-1, 1, 0 ) y B = (3, -2, 1) d) A = (1, 1, 2) y B = (4, -1, 0)

7) Si A= (-1, 2, 4), B = (3, 1, 6) y C = (-3, 2, 5), determine un punto D de manera que .

8) Sean A1, A2, A3, ..., Am puntos, pruebe que

9) Sean u y v vectores en 2 no paralelas, pruebe que si

au + bv = 0 entonces a = b = 0

10) Determine condiciones sobre a, b, c de manera que

Página 10 de 23

a(1, 1, 1) + b(1, 2, 0) + c(3, 4, -2) = (0, 0, 0)

11) Sean u y v vectores no paralelas ¿Para que valor de a el vector x = (a – 1)u + v es paralela al vector y = (2

+ 3a)u – 2v

12) Determine el producto de u y v:

a) u = (1, -1), v = (2, 5) c) u = (-5, 1, 1), v = (2, -3, 1)

13) Determine que pares de vectores u y v dados son ortogonales:

a) u = (-3, 2), v = (1, 6) c) u = (3k, 9), v = (-3, k)

b) u = (2, 5), v = (-5, 2) d) u = (1, 0, 8), v = (-1, 1, 4)

14) ¿Para qué valores de k el vector (2k, 1, -k) es ortogonal al vector (k, -2, 1)?

15) Determine condiciones sobre los componentes de v = (x, y, z) de modo que v sea ortogonal tanto a (1, 1, 0)

como (0, 1, 1).

16) Determine la longitud de cada vector:

a) (1, 2) b) (1, 3, -2 ) c) (k, 2, k+1) d) (-8, 1, 2)

17) Verifique que el triangulo con vértices A = (2, 3, -4), B = (3, 1, 2) y C = (7, 0, 1) es rectángulo.

18) Verifique que el triangulo con vértices A = (2, 3, -4), B = (3, 1, 2) y C = (-3, 0, 4) es isósceles.

19) Pruebe que el triángulo con vértices A = (-2, 1), B =

3,

2

7 y C =

2

11,4 es rectángulo. Determine el

área.

20) Probar que el triangulo de vértices que el triangulo de vértices A = (-1, 1), B = (7, 7) y C =

344,333 es equilátero.

21) Pruebe que vu 2 = u

2 + v

2 – 2uv, para u y v vectores.

22) Pruebe que vu 2– vu

2 = 4uv, para u y v vectores.

23) Demuestre que los vectores u y v son ortogonales si y solo si vu 2 = vu

2.

24) Determine un vector unitario para el vector a:

a) a = (2, -1, 3) c) a = (-1, -3)

b) a = (0, 1, -1) d) a = (-4, 1, 3)

25) Determine el coseno del ángulo entre cada par de vectores:

a) u = (1, 2) v = (2, -3) d) u = (0, -1) v = (1, 0)

b) u = (1, -3) v = (-2, 5) e) u = (2, 3, 1) v = (3, -2, 0)

c) u = (1, 4, 2) v = (-1, 5, 2) f) u = (2, 0, 1) v = (2, 2, -1)

26) Pruebe que el triángulo de vértices A = (-1, 3), B = (1, 0) y C = (5, 2) es obtusángulos.

27) Pruebe que el triángulo de vértices A = (2, 1), B = (1, 3) y C = (4, 5) es acutángulos.

Página 11 de 23

PRODUCTO VECTORIAL Sea 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , )u u u u v v v v

( 1 , 0 ,0)i a b

a d b cc d

( 0 , 1 ,0)j

( 0, 0 , 1)k

Se define el producto vectorial

2 3 1 3 1 2

1 2 3

2 3 1 3 1 2

1 2 3

i j ku u u u u u

u v u u u i j kv u v u v v

v v u

Ejemplo Sea (1, 2, 6) ( 4, 3 ,1)u v

u v =

Sea ( 5, 2, 3) ( 4, 0 ,5)u v

u v =

Pruebe

i j k j i k 0i i

j k i k j i 0j j

k i j i k j 0k k

Teorema Sea ,u v y w 3 vectores y k entonces se cumple

1) u v = v u

2) ( )k u v ku v u k v

3) 0u v u y v son paralelos

4) 0 0u

5) ( )u v w u v u w

6) 0u u

7) ( ) 0 ( ) 0u u v y v u v (u v ) es perpendicular a u como a v .

Ejemplos

1) Sea u = (–5 , 1 , 2) y v = ( 4 , –1 , 3 ) verifique (u v ) es perpendicular a u como a v .

Página 12 de 23

2) Determine condiciones sobre ( , , )v x y z de modo que (2 , 1 , 1) ( 0 , 0, 0)v

ÁREA DE UN PARALELOGRAMO. Considere en 3

al paralelogramo generado por u y v

Área = u v v

u

Ejemplos

1) Halle el área del paralelogramo generado por u = ( 3 , 0 , – 1 ) y v = ( 2 , –1 , 5 ) .

2) Halle el área del triangulo determinado por los puntos A ( 1 , 2 , – 1 ) , B ( 2 , –4 , 1 ) y C ( 3 , 0 , 4)

3) Halle el área del triangulo determinado por los puntos A( 6 , 0 , – 3 ) , B ( 0 , – 4 , 5 ) y C ( , 1 , 2)

Página 13 de 23

Rectas en el espacio

Sea 1 2 3( , , )v v v v un vector director de la recta L y A = (1 2 3, ,a a a ) un punto de la recta L.

La ecuación vectorial de L viene dada por la ecuación

x = t v + A o ( x , y , z ) = 1 2 3( , , )t v v v (1 2 3, ,a a a )

Ejemplos

1) Sea v = ( 2 , –1 , 5 ) un vector director de L y A = ( 3 , – 1 , 8 )

La ecuación vectorial de L viene dada por la ecuación

2) Halle la ecuación vectorial de la recta que contiene los puntos indicados.

a) ( 4 , – 1 ,5) ; ( 8 , – 4 , – 9)

b) ( 0 , – 5 ,6 ) ; ( 7 , – 2 , – 1)

Las ecuaciones se pueden escribir de varias formas

( x , y , z ) = 1 2 3( , , )t v v v ( 1 2 3, ,a a a ) ( Ecuación vectorial )

1 1

2 2

3 3

x t v a

y t v a

z t v a

( Ecuaciones paramétricas )

31 2

1 2 3

z ax a y a

v v v

( Ecuación simétrica )

Ejemplos

1) Obtenga la ecuación vectorial , paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos

a) ( 1 , – 1 ,8 ) ; ( 4 , – 5 , – 7 )

b) ( 4 , – 8 , 3 ) ; ( 0 , – 3 , – 1 )

3) Si L es una recta que tiene por ecuaciones simétricas 3 3

6 5 2

x y z Obtenga la ecuación vectorial y

paramétricas de L.

Página 14 de 23

4) Sea 1 2 3( , , )v v v v un vector director de la recta L y A = (1 2 3, ,a a a ) un punto de la recta L .Determine la

ecuación simétricas de L si

v = ( 0 , –1 , 4 ) v = ( 7 , 0 , 3 ) v = ( 8 , 4 , 0 )

A = ( 9 , – 5 , 1 ) A = ( 7 , – 9 , 4 ) A = ( 1 , – 3 , 6 )

INTERSECION DE RECTAS Si dos rectas se intersecan lo hacen en un único punto.

1) Dadas las rectas , determine su punto de intersección

L1 ( x , y , z ) = (1, 0 ,2) (5, 3 ,1)t

L2 ( x , y , z ) = (2, 1 ,3) (9, 4 ,8)k

2) Dadas las rectas , determine su punto de intersección

L1 ( x , y , z ) = ( 1, 3 ,2) ( 6, 20 ,1)t

L2 ( x , y , z ) = (2, 4 ,7) (5, 9 ,1)k

RECTAS PARALELAS Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos.

Ejemplos

L1 :

3 8

6 3

2 1

x t

y t

z t

L2 :

9 5

18 3

6 2

x t

y t

z t

RECTAS ORTOGONALES Dos rectas son ortogonales si el producto de sus vectores directores

es igual a 0.

Ejemplos 1) determine si L1 y L2 son ortogonales.

L1 :

2

5 9

3

x t

y t

z t

L2 :

9 1

3 3

2 1

x k

y k

z k

2) Pruebe que las rectas son ortogonales y halle su punto de intersección

L1 :

1 2

4 5

7

x t

y t

z t

L2 :

5 4

22

15 3

x k

y k

z k

3)Pruebe que las rectas tienen vectores directores ortogonales, pero no se intersecan.

L1

1 2 1

2 3 2

x y z L2

11

2 2

y zx

Página 15 de 23

4) Pruebe que las son perpendiculares y halle su punto de intersección

L1 (3 ,1 ,0) (1 , 4 ,1 )x t

L2 (1 , 3 ,2) ( 8 ,11 , 5 )x k

ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS El ángulo entre dos rectas La y Lb es el ángulo entre sus vectores directos a y b. Determine el ángulo entre las rectas

dadas

L1 :

4 2

5 9

4

x t

y t

z t

L2 :

2 1

3 7

5 8

x k

y k

z k

Ejercicios Producto Vectoriales y Rectas

1) Determine a x b a) a = 2i – 3j + k , b = 4j – 5k

b) a = i – 4j + 7k , b = 7i + j – 5k

c) a = 0 , 5 , – 5 b = 1 , 3 , 4

d) a = –1 , 8 , –2 b = 2 , –3 , 1

e) a = –2 , 5 , 0 b = 1 , –3 , 9

2) Sea i = ( 1 , 0 ,0) ; j = ( 0 , 1 , 0 ) ; k = (0 , 0 , 1) .Pruebe que

a) i x j = k d) j x i = –k

b) j x k = i e) k x j = – i

c) k x i = j f) i x k = – j

3) Encuentre el número o el vector indicado sin hacer el desarrollo completo.

a) ( 3j) x k f) i x (4k)

b) k x ( 2j –5k) g) j x k – 3(i x j)

c) ( 3k)x(5j) x (4i) h) i x ( 2j x 4k)

d) (i x j) x k i) (ii) ( i x k)

Página 16 de 23

e) 2ji x(j – 3k) j) ( 4i x k) x (j x i)

4) Calcule el área del triángulo determinado por los puntos indicados

a) ( 2, 3 ,5) , ( 1 , 4 ,5) y ( – 2 , 4 , –1)

b) ( 4, –5 ,0) , ( 4 , 4 ,1) y ( – 1 , 3 , –5)

c) ( 0 , 0 ,0) , ( 2 , 4 ,1) y ( – 1 , 0 , –2)

d) ( 1, –2 ,3) , ( 1 , – 2, 7) y ( – 4 , 7 , –1)

5) Halle la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos indicados.

a) ( 2 , – 4 , 7) ; ( 3 , – 1 , – 2)

b)

2

1,

2

5,

7

3;2,

5

3,

4

1

6) Encuentre ecuaciones paramétrica de la recta que pasa por los puntos indicados.

a) ( 2 , – 4 , 1) ; ( 4 , – 7 , – 3) b)

2

1,

3

4,

2

1;1,

4

1,

5

4

7) Halle la ecuaciones en forma simétrica de la recta que pasa por los puntos indicados.

a) ( 5 , – 1 , 3) ; ( 10 , – 12 , – 2)

b) (–4 , – 7 , 1) ; ( 1 , – 2 , – 6)

8) Encuentre ecuaciones paramétricas y una forma simétrica de la recta que pasa por el punto dado y es paralela al

vector dado.

a) ( 3 , – 5 , 8) ; a = 6 , – 8 , – 1

b)

2

1,5,

2

5;1,

4

7,3 a

c ) ( 0 , – 4 , 9) ; a = 1 , – 3 , – 4

d) ( 7 , – 2 , 0) ; a = 2 , – 7 , – 3

9) Determine si se cortan las rectas dadas . Si es así , halle el punto de intersección . Si es así halle el punto de intersección

a) x = 4 + t, y = 5+ t, z = –1 + 2t c) x = 2 – t, y = 3 + t, z = 1 + t

x = 6 + 2k, y = 11 + 4k, z = –3 + k x = 4 + k, y = 1 + k, z = 1 – k

b) x = 1 + t, y = 2 – t, z = 3t d) x = 3 – t, y = 2 + t, z = 8 + 2t

x = 3 – k, y = 1 + k, z = 6k x = 2 – 2k, y = –2 + 3k, z = –2 + 8

10) Definición:

El ángulo entre dos rectas La y Lb es el ángulo entre sus vectores directos a y b.

Determine el ángulo entre las rectas dadas

a) x = 4 – t, y = 3 + 2t, z = –2t

x = 5 + 2k, y = 1 + 3k, z = 5 – 6k

b) 1

1

7

5

2

1

zyx ;

49

2

3 zx

x

c) ( x , y , z ) = t (– 2 , 4 .7) + (–3 , 1 , 3 ) ; x = 3t –2 , y = t +1 , z =5t+ 4

11) ) Encuentre ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto dado y es perpendicular a este plano.

a) x = 3 + t , y = –2 + t , z = 9 + t

x = 1 –2k , y = 5 + k , z = – 2 – 5k

Punto = ( 4 ,1 , 6 )

b) 42

1

3

1 zyx

;

8

10

4

6

6

4

zyx

Página 17 de 23

Punto = ( 1 , 3 , 10 )

PLANOS EN R3

Un plano en 3IR esta determinado por 2 vectores directores u y w y un punto A contenido en el

plano

Z La ecuación vectorial del plano viene dada por la ecuación

x = tu + k w + A

La ecuación paramétrica del plano viene dada por la ecuación

Y 1 1 1x t v k w a

2 2 2y t v k w a

3 3 3z t v k w a

Ejemplos Determine la ecuación vectorial y paramétrica del plano si

1) v = ( 4 , 1 , – 9 ) y w = ( 8 , –1 , 3 ) vectores directores y A = ( 6 , 2 , – 1 ) es un punto del plano.

2) Si contiene a los puntos A = (–7 , 2 , – 4 ) , B = ( 5 , –4 , 3 ) y C = (– 2 , 10 , 7 )

3) Si contiene a las rectas L1 :

4 7

5 3

7

x t

y t

z t

L2 :

4 5

5 3

2 1

x t

y t

z t

Página 18 de 23

VECTOR NORMAL

Se llama vector normal a un plano a cualquier vector N que sea ortogonal a cualesquiera vectores directores

del plano .

N v

U

A la formula ( ) 0 N X A se llama la ecuación normal del plano , donde

1 2 3

( , , )

( , , )

X x y z

N n n n

1 2 3( , , )A a a a

Entonces la ecuación ( ) 0 N X A se puede escribir

1 2 3( , , )n n n ( , , )x y z – 1 2 3( , , )a a a = 0

Se puede convertir en una ecuación de la forma a x b y c z d se llama la ecuación

cartesiana del plano Dónde

1n = a

2n = b

3n c

Página 19 de 23

Ejemplos Determine la ecuación cartesiana del plano que satisfaga las condiciones indicadas.

1) Si N = ( 7 , – 1 ,6 ) vector normal y A = ( 3 , – 4 , – 9 ) punto del plano.

2) u = ( 3 , 0 , – 1 ) y v = ( 2 , –1 , 5 ) son vectores directores y A = ( 8 , – 5 , –2 ) punto del plano

3) u = ( 1 , 4 , – 5 ) y v = ( 3 , –1 , 0 ) son vectores directores y A = ( 0 , – 5 , –2 ) punto del plano

4) Si contiene a los puntos (– 2 , 4, – 1 ) , (– 1 , 8 , 4 ) y ( – 6 , –1 , 0 )

5) Si contiene a las rectas l1 : x = 8 + 3t , y = –5t – 1 , z = – t + 7

l2 : x = s (–2, –1, – 4 ) + ( 2, – 7, –1).

6) Contiene al punto (– 1, 9, –5) y a la recta l : X = 73

5

2

1 zxx

.

7) Si contiene al punto (–2 , 7 . 3) y es L1

3 9

1

7 1

x t

y t

z t

Página 20 de 23

PLANOS PARALELAS Dos planos Pa y Pb son paralelas si sus vectores normales son paralelos.

Es decir Na = k Nb

Ejemplos

3 5 18x y z

9 15 5 8x y z

PLANOS ORTOGONALES Dos planos Pa y Pb son ortogonales si sus vectores normales son

ortogonales . Es decir Na Nb = 0

Ejemplos 1)

4 7 3 20x y z

9 3 5 23x y z

2) Determine la ecuación cartesiana del plano contiene al punto (–1 , 4 . 3) y es paralelo a plano –8x

+ y – 5z = 14

3) Determine la ecuación de la recta L que es perpendicular al plano –3x + 7y – 2z = 5 y pasa por el punto (–2 , 7 ,

10)

4) Sea –3x + 2y – z = 8 la ecuación de un plano P. Determine a) un vector normal de P,

b) dos directores vectores de P c) un punto del plano P.

\5 ) Sea x – 3y + 5z = 6 la ecuación de un plano P. Determine a) un vector normal de P,

b) dos directores vectores de P

c) un punto del plano P.

Página 21 de 23

ÁNGULOS ENTRE DOS PLANOS El ángulo entre dos planos Na y Nb es el ángulo entre sus vectores normales .

1) Determine el ángulo entre las rectas dadas

a) 6x – y + 5z = 7 – 4x + 8y = 9

2) Calcule el ángulo entre los siguientes planos

X = t (– 2 , 5 1) + k ( 0 , –3 , 4) + ( 5 , – 2, 8) y x – 4y – 8z = –27

INTERSECCIÓN DE UNA RECTA Y UN PLANO

La intersección de una recta y un plano es un único punto.

Ejemplos

Halle el punto de intersección del plano y la recta dada:

a) 4x – y + 5z = –1

x = 1 +5t

y = 2 – 2t

z = – 3t + 7

b) 5x + y – 2z = 10 x = 3 – 4t

y = 7 + 5t

z = 3 – 2

1t

Página 22 de 23

INTERSECCIÓN DE PLANOS

Si dos planos se intersecan su intersección es una recta

Encuentre la ecuación paramétrica de la intersección de los planos de ecuaciones

3x – y – 6z = 8

5x + 3y + 7z = 4.

Ejercicios Planos 1) Halle la ecuación del plano que contiene al punto dado y es perpendicular al vector dado:

a) (5, 1, 3), 2i – 3j + 4k c) (6, 10, -7), -5i + 3k

b) (1, 2, 3), 4i – 2j d)

2

1,

4

3,

2

1, 6i – 8j – 4k

2) En cada caso determine la ecuación cartesiana del plano indicado:

a) Contiene al punto (3, 2, -1) y tiene vector normal N = (-1, 2, 5)

b) Contiene vectores directores v = (-5, 6, 0) y w = (-1, -2 ,3) y pasa por el punto

A = (-2, 3, 4)

c) Contiene a los puntos (1, 2, 3), (-1, 0, -1) y (3, 4, -5)

d) Contiene a los puntos (-1, 4, 0), (0, 0, 2) y (-1, 2, 4)

e) Contiene a los puntos (-2, 1, 3), (4, 1, 0) y (-1, 3, -2)

3) Determine una ecuación cartesiana del plano que satisfaga las condiciones indicadas:

a) Contiene a (2, 5, -1) y es paralela a x + y –5z = 1

b) Contiene al origen y es paralela a 5x – y + z = 6

c ) Contiene a las rectas l1: x = 1 – 2t l2: x = 5 – 3s

y = 3 + t y = 1 + 4s

z = – 4t z = – s

4) Contiene a las rectas 6

5

1

1

2

1

zyx y )3,1,1()5,1,1( tx .

5) Contiene a la recta x = –5t + 1 y al punto (4, -1, 3).

y = 3t

z = 1 + t

6) Contiene a (2, 4, 8) y es perpendicular a la recta x = 10 –3t y = 5 + t z = 6 – 2

1t

7) Contiene al punto A = (3, 7, 2) y es paralelo a las rectas

Página 23 de 23

l1: 4

22

4

1

zy

x l2: 6

3

2

5

3

z

yx

8) Contiene al punto A = (1, 0, -1) y contiene a la rectas

l1: 23

1

2

z

yx

9) Contiene al punto (1, 1, 1) y es perpendicular a la recta que pasa por (2, 6, -3) y (1, 0, 2)

10) Determine cuales de los planos son ortogonales y cuales son paralelas

a) 2x – y + 3z = 1 d) –5x + 2y + 4z = 0

b) x + 2y + 2z = 9 e) –8x – 8y + 12z = 0

c) x + y –2

3z = 2 f) –2x + y – 3z = 5

11) Dada la ecuación del plano, determine un vector norma, dos directores vectores y un punto del plano.

a) 4x + 3y – z = – 3 c) 2x + y – z = 10

b) 3x – y + 5z = 2 d) x – 3y + 5z = –2

12) Calcule el ángulo entre los siguientes planos.

a) x – 3y + 2z = 14 c) x – 2y – 5z = 10

– x + y + z = 10 3x + 4y – z = 8

b) 2x – y – 5z = 0 d) 2x – y – z = –3

x – 3z = – 8 3x + 5y + z = –12

13) Halle el punto de intersección del plano y la recta dada:

a) 2x – 3y + 2z = –7 b) x + y + 4z = 12

x = 1 +2t x = 3 – 2t

y = 2 – t y = 1 + 6t

z = –3t z = 2 – 2

1t

14) Determine la ecuación de la recta perpendicular a las dos rectas dadas:

l1: (x, y, z) = t(1, 2, -3) + (2, 2, -1)

l2: (x, y, z) = s(-2, 1, 1) + (0, 2, 1)