vectores introduccion

17/04/2006 Jorge Lay Gajardo. [email protected] 64

CAPITULO 2

MATEMÁTICAS PARA LA FÍSICA

2.1 Vectores.

2.1.1 Introducción.

Cuando queremos referirnos al tiempo que

demanda un suceso determinado, nos

basta con una magnitud (se demoró 3

segundos, saltó durante 1 minuto, volverá

el próximo año, etc.). Existen muchas

magnitudes físicas que pueden describirse

perfectamente de esta manera simple, y

que reciben el nombre de escalares.

Son escalares el tiempo, la masa, la

densidad, el volumen, la temperatura y

otras magnitudes que luego definiremos

apropiadamente.

También existen magnitudes como el

desplazamiento, la fuerza, la aceleración y

otras, que para quedar perfectamente

descritas necesitan dirección, además de la

magnitud (¡camine 5 metros!, es una

solicitud muy ambigua que puede conducir

a una posición final distinta para cada

persona que la reciba; en cambio, ¡camine

5 metros por Alameda hacia el Este!

producirá exactamente el efecto requerido).

Estas magnitudes se denominan

vectoriales, y operan según el Álgebra

Vectorial que recordaremos brevemente a

continuación.

2.1.2 Vector.

Lo definiremos como elementos que

poseen tres atributos: magnitud, dirección y sentido

Los vectores son elementos abstractos,

pero pueden representarse en el espacio a

través de segmentos dirigidos (flechas)

cuya longitud es proporcional a la del

vector representado.

origen extremo

A

Fig 2. 1 Representación gráfica de un vector

2.1.3 Vectores equipolentes.

Dos vectores son equipolentes si son

iguales sus respectivas magnitudes

direcciones y sentidos. Esta definición, que

implica que un vector puede estar en

cualquier punto del espacio sin alterar sus

características, define a los vectores libres.

A

D

CB

Fig 2. 2 Vectores equipolentes: A=B=C=D

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl


2.1.4 Vectores opuestos.

Dos vectores son opuestos cuando sus

magnitudes y sus direcciones son iguales y

sus sentidos son opuestos.

A

B

Fig 2. 3 Vectores opuestos: A=- B

2.1.5 Ponderación de Vectores.

El producto entre un escalar m y un vector

A se conoce como ponderación del vector.

A

B

A

Fig 2. 4 Ponderación de vectores: B=2A

2.1.6 Suma gráfica de vectores.

Gráficamente la suma o RESULTANTE de

vectores se obtiene uniendo sucesivamente

los extremos y orígenes de ellos, como se

muestra en la figura. El vector suma o

resultante se obtiene uniendo el primer

origen con el último extremo.

C

B

AR

Fig 2. 5 Resultante: A + B + C = R

En el caso de dos vectores este

procedimiento produce un triángulo

formado por los vectores y la resultante.

Otra forma gráfica de sumar dos vectores

consiste en unir los orígenes y trazar líneas

auxiliares paralelas a los vectores, que

pasen por el extremo del otro.

La resultante es el vector que une los

orígenes comunes con la intersección de

las paralelas auxiliares (método del

paralelogramo).

A

B

R

Fig 2. 6 Resultante: Método del Paralelogramo

Note que el orden de la suma no afecta el

resultado, mostrando que es conmutativa:

+ = +A B B A

Si sumamos los vectores A, B y C de la

figura anterior a través del método del

paralelogramo, veremos claramente que:

( ) ( )+ + = + +A B C A B C

Mostrando que la suma es asociativa (se

recomienda comprobarlo gráficamente).

Por otra parte, es innecesaria la definición

de resta, pues claramente A-B es la suma

de A y el opuesto de B .



( )= +A- B A -B

-B

AR`

Fig 2. 7 Resta de vectores = suma del opuesto

Si consideramos el paralelogramo que

resulta de los vectores A y B y las

paralelas auxiliares, observamos que la

suma y la resta de ambos vectores

constituyen gráficamente las diagonales

mayor y menor respectivamente.

A

B

A + B

A - B

Fig 2. 8 Suma y resta gráfica de vectores.

2.1.7 Vector unitario.

Se define como un vector cuya magnitud es

la unidad y cuya dirección y sentido son las

del vector sobre el que está definido.

Si consideramos un vector A cuya

magnitud es A, existe un vector unitario A

en la dirección de A , tal que:

= Â AA

Observe que entonces:

= =1 AA AA A

A

AAA =

Fig 2. 9 Vector Unitario en la dirección de A

2.1.8 Vector nulo.

Vector cuya magnitud es cero.

Gráficamente es representado por un

punto.

2.1.9 Componente de un vector.

La proyección ortogonal de un vector sobre

una recta es una cantidad que se denomina

componente (es un escalar).

Esta se determina como la magnitud del

segmento de la recta comprendido entre

dos rectas perpendiculares a ella, y que

pasan por el origen y el extremo del vector

respectivamente.

A

AL

L

Fig 2. 10 Componente de A sobre la recta L



2.1.10 Vectores en el plano coordenado cartesiano.

Un vector puede definirse en el plano

cartesiano, conformado por dos líneas

perpendiculares denominadas ejes.

Al eje horizontal se le denomina ABSCISA

y se identificará con una letra mayúscula

(usualmente X, aunque en física será una

letra que represente una magnitud física),

mientras que al eje vertical se le

denominará ORDENADA (identificado por

la letra Y, o una magnitud física).

X

Y

X0 X1

Y1

Y0

Fig 2. 11 Vector en el plano coordenado cartesiano

El dibujo anterior muestra el primer

cuadrante de este plano (que contiene los

semiejes positivos de X e Y), dividido en

cuatro partes.

Note que (X1–X0) es la componente del

vector sobre el eje X; y que (Y1–y0) es la

componente del vector sobre el eje Y.

El origen del vector puede indicarse con

propiedad a través de su ubicación en el

plano, pues se encuentra en el punto

(X0,Y0), mientras el extremo se encuentra

en el punto (X1, Y1).

2.1.11 Vectores unitarios en el plano

Resulta útil definir vectores unitarios cuyas

direcciones y sentidos sean las de los

semiejes positivos del plano cartesiano

(versores), direcciones que ocuparemos

como referencia en el futuro.

Al vector unitario en dirección de +X se le

define como i , mientras que al vector

unitario en dirección de +Y se le define

como j .

2.1.12 Vectores en el espacio coordenado cartesiano.

En el espacio un vector tiene tres

componentes, pues a las anteriores debe

agregarse aquella que proyectará en el

tercer eje, denominado eje Z.

El espacio coordenado cartesiano está

conformado por tres rectas

perpendiculares entre sí (trirectangulares),

como se muestra en la figura siguiente. Allí

se muestra el primer octante (las tres

rectas dividen el espacio en 8 partes

iguales), octante denominado positivo,

pues contiene los tres semiejes positivos.

AZ

AX AY

X

Z

A

Fig 2. 12 Proyecciones de un vector en el espacio



Como se ve en esta figura, un vector que

no se encuentra ubicado en alguno de los

planos cartesianos (XY, XZ o YZ), proyecta

tres componentes, cuyas magnitudes son:

AX=(X1 – X0),

AY = (Y1 – Y0)

AZ = (Z1 – Z0)

Note que aquí el plano XY se encuentra en

el piso.

Finalmente, se puede definir un vector

unitario en dirección y sentido del semieje

positivo de Z, que se define usualmente

como k .

Este versor, junto a los versores ˆ î, j del

plano XY forma un trío de versores

trirectangulares.

X

Z

Yi

k

j

Fig 2. 13 Versores trirectangulares

2.1.13 Componentes cartesianas de un vector.

Ahora estamos en condiciones de

encontrar relaciones analíticas para

trabajar con los vectores, prescindiendo de

las representaciones gráficas, que si bien

es cierto prestan mucha ayuda didáctica,

nos confundirán cuando trabajemos con

magnitudes físicas, pues se tiende a

relacionar la longitud del dibujo de un

vector con su magnitud.

Consideremos un vector libre en el plano

XY, representado con su origen en el

origen del sistema cartesiano de

coordenadas para simplificar el análisis;

representemos gráficamente además, sus

componentes cartesianas y sus versores:

A

X

Y

AY

AX

j

i

Fig 2. 14 Vector en el plano; componentes y versores

En virtud de lo previamente definido, se

puede suponer la existencia de dos

vectores ficticios (que llamaremos vectores

componentes), tales que sumados tengan

al vector A como resultante.



El vector componente situado en la abscisa

tiene magnitud equivalente a AX y dirección

i , mientras el vector componente situado

en la ordenada tiene magnitud equivalente

a Ay y dirección j .

A

X

Y

AX

AY

Fig 2. 15 Vectores componentes

Aquí resulta claro que: = +X YA A A

Y si recordamos nuestra definición de

versor tenemos que:

X

X

Ai=

A por lo que X x

Â =A i

Y

Y

Aj=

A por lo que Y Y

Â =A j

Entonces el vector A puede escribirse

como:

+X Yˆ Â = A i A j

( = + +X Y Zˆ ˆ Â A i A j A k ; En el espacio)

Esta nos será muy útil para encontrar una

forma más analítica de sumar vectores,

como se verá a continuación.

2.1.14 Suma de Vectores en función de sus componentes.

Supongamos la los vectores A y B en el

plano XY como en la figura siguiente.

Como son vectores libres, los hemos

dibujado de manera tal que el extremo de

A coincida con el origen de B , con lo que

la suma de ambos se puede obtener

gráficamente uniendo el origen de A con

el extremo de B , como ya sabemos. A esta

resultante le denominaremos R .

A

X

Y

AX

AY

BBY

BX

RRY

RX

Fig 2. 16 Suma de vectores y sus componentes

Entonces las componentes de R son la

suma aritmética de las componentes de los

vectores A y B .

= +X X XR A B

= +Y Y YR A B

Por lo que:

= + + +X X Y Yˆ ˆR (A B )i (A B )j



Si el vector estuviese en el espacio, por

extensión, se encuentra que:

= + + + + +X X Y Y Z Zˆ ˆ ˆR (A B )i (A B )j (A B )k

Esta expresión es válida para la suma de

varios vectores, pues en ese caso a cada

dimensión se le agregarán los términos

correspondientes a las componentes de los

nuevos vectores.

Del mismo modo, la expresión permite

restar vectores, pues como hemos visto, la

resta corresponde a la suma del opuesto.

Ejemplo 2.1

Sean los siguientes vectores:

= + +ˆ ˆ Â 3i 4 j 2k ; = +ˆ ˆ ˆB i 3 j - 5k

Encontrar:

a) +A B

b) −A B

c) 2A

Solución:

a) ( ) ( ) ( )+ = + + + +ˆ ˆ Â B 3 1 i 4 3 j 2 - 5 k

+ = +ˆ ˆ Â B 4i 7 j - 3k

Pues la resultante se obtiene sumando las

componentes respectivas.

b) ( ) ( ) ( )+ = − + − + +ˆ ˆ Â (- B) 3 1 i 4 3 j 2 5 k

+ = + +ˆ ˆ Â (-B) 2i j 7k

Pues la resta no es más que la suma del

opuesto.

c) = + +ˆ ˆ ˆ2A 6i 8 j 4k

2.1.15 Notación polar.

En muchas ocasiones nos veremos

enfrentados a la necesidad de calcular o

referirnos a los vectores en función de su

magnitud y dirección directamente. Para

ello recurriremos a la notación polar, que

da cuenta de su magnitud a través de su

módulo y a su dirección a través de un

ángulo respecto de una recta de referencia.

Consideremos un vector en el plano

coordenado cartesiano, como se ve en la

figura siguiente:

A

X

Y

AX

AY

θ

Fig 2. 17 Componentes cartesianas y polares

La dirección y sentido del vector pueden

indicarse a través de un ángulo, que

usualmente es el ángulo entre el vector y el

semieje positivo de la abscisa y su

magnitud, a través del módulo del vector;

analíticamente:

A =(A,θ)



Las componentes cartesianas se pueden

encontrar fácilmente a través de las polares

mediante las expresiones:

AX = A cos θ

AY = A sen θ

Del mismo modo, conocidas las

componentes cartesianas, se pueden

calcular las polares a través de las

expresiones:

A2 = AX2 + AY

2

θ= arctg Y

X

AA

Ejemplo 2.2

Sea A un vector de módulo 5 y dirección

37º respecto de +X situado en el plano XY.

Encontrar sus componentes cartesianas.

Solución: Se tiene que A=5 y θx=37º.

Por tanto:

AX=5cos37º=5(0,8)=4

AY=5sen37º=5(0,6)=3

Si suponemos que el origen está en el

punto (0,0) del sistema de coordenadas,

entonces el extremo del vector estará en el

punto (4,3)

X

Y

4

3

37º

A = 5

Fig 2. 18 Representación gráfica del vector del ej. 2.2

Note que si el origen del vector estuviera

por ejemplo, en el punto (2,1), entonces el

extremo estaría en el punto (6,4) pues sus

componentes cartesianas son AX=4 y

AY=3.

Fig 2. 19 Componentes del vector del ej. 2

Ejemplo 2.3

Sea B un vector cuyas componentes

cartesianas son BX=10 y BY=5 situado en el

plano XY. Encontrar su magnitud y

dirección.

Solución: Se tiene que Bx=10 y BY=5.

Por tanto: B2=102+52; B = 11,2

⎛ ⎞θ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

5rctg 26,6º10

1

4

62

3

4

X

Y



2.1.16 En el espacio

En el espacio la dirección queda

determinada cuando se conocen los

ángulos respecto de los tres ejes. La figura

siguiente muestra los ángulos directores:

Fig 2. 20 Un vector en el espacio.

Aquí se ve que los ángulos directores θX,

θY, θZ determinan la dirección. La magnitud

corresponde el módulo del vector (A).

El vector se puede representar

analíticamente a través de su módulo A y

de sus ángulos directores θX; θY; θZ

Muy importantes son las siguientes

relaciones extraídas de la figura anterior:

cos θX = XAA

cos θY = YAA

cos θZ = ZAA

Denominados cosenos directores, permiten

calcular las componentes cartesianas a

partir de la magnitud y los ángulos

directores, pues de ellos se tiene:

AX = A cos θX

AY = A cos θY

AZ = A cos θZ

Dadas las componentes cartesianas se

pueden conocer la magnitud y los ángulos

directores a través de las siguientes

relaciones, provenientes también de los

cosenos directores:

θX = arccos XAA

θY = arccos YAA

θZ = arccos ZAA

El módulo se puede calcular a través de la

expresión:

A2=AX2+AY

2+AZ2

Ejemplo 2.4

Consideremos el vector = +ˆ ˆ ˆC 3i - 6 j 2k

ubicado en el espacio coordenado

cartesiano. Encontrar su magnitud y

dirección.

Solución: Se tiene que CX=3, CY=-6 y

CZ=2 . Podemos calcular su magnitud:

C2=32+(-6)2+ 22= 49

Por lo tanto su magnitud es: C=7

Y sus direcciones:



θx=arcos 37

=64,6º

θy=arcos −6 7

=149 º

θz=arcos 27

=73,4º

2.1.17 Productos entre Vectores.

Existen dos formas de multiplicar vectores,

siendo una denominada producto escalar

(interno o de punto) y la otro producto

vectorial (exterior o de cruz), puesto que

ofrecen como resultado un escalar y un

vector respectivamente.

Producto Escalar.

Dados dos vectores A y B , su producto

escalar se define como el producto de sus

módulos por el coseno del ángulo que

forman.

A •B =ABcosθ (π≥θ≥0)

La definición de producto escalar tiene

aplicaciones muy relevantes, pues permite

expresar magnitudes muy importantes para

la física en forma muy sencilla.

Las propiedades del producto escalar son:

1.- =A • B B • A (Conmutatividad)

2.- ( )+ = +A • B C A • B A • C

(Distributividad respecto de la suma).

3.- ( ) ( ) ( )= =m A • B mA • B A • mB siendo m

un escalar.

Aplicaciones:

1.- = 2A • A A

El producto escalar entre un vector y si

mismo, constituye el cuadrado del vector, y

corresponde al cuadrado de su módulo.

Esto se debe a que si aplicamos la

definición, tenemos:

A • A =AAcos0º=AA(1)=A2

2.- •ˆ î i =1 •ˆ ˆj j =1 •ˆ ˆk k =1

Por las razones expuestas en el punto 1.

3.- Si dos vectores son perpendiculares,

entonces según la definición se tiene:

A •B =ABcos90º=AB(0)= 0

Esta es condición de perpendicularidad.

4.- De acuerdo a lo anterior, entonces:

•ˆ î j =0 j • k =0 i • k =0

pues los vectores unitarios i , j , k forman

un sistema trirectangular.

5.- Ahora estamos en condiciones de

encontrar una expresión que permita

multiplicar escalarmente dos vectores

expresados en coordenadas cartesianas.

Sean los vectores:



= + +x y zˆ ˆ Â A i A j A k ; = + +x y z

ˆ ˆ ˆB B i B j B k

Si queremos multiplicarlos escalarmente,

tenemos, recordando la propiedad de

distributividad del producto escalar

respecto de la suma de vectores:

( ) ( )= + + + +x y z x y zˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Â • B A i A j A k • B i B j B k

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

= + + +

+ + + +

+ + +

x x x y x z

y x y y y z

z x z y z z

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Â • B A B i • i A B i • j A B i • k

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Â B j • i A B j • j A B j • k

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Â B k • i A B k • j A B k • k

Por tanto:

= + +x x y y z zA • B A B A B A B

Ejemplo 2.5

Sean los vectores: = + +ˆ ˆ Â 3i 4 j 2k ;

= +ˆ ˆ ˆB i 3 j - 5k . Encontrar su producto

escalar.

Solución: De acuerdo a la definición, se

tiene:

A • B =(3)(1)+(4)(3)+(2)(-5)=5

Ejemplo 2.6

Dados los vectores del ejercicio anterior,

calcular el ángulo entre ellos.

Solución: De acuerdo a la definición de

producto escalar, se tiene que:

A • B =ABcos θ

Donde θ es el ángulo entre los vectores

que nos solicitan. Por lo tanto:

θ=arcos •A BAB

note que aquí AB es el producto entre las

magnitudes de los vectores A y B

respectivamente. Entonces:

A2=32+42+22 A=5,4

B2=12+32+(-5)2 B=5,9

A • B =5 según el ejercicio 2.5.

Así que:

θ=arcos( )( )

55,4 5,9

=arcos0,16=81º

Producto Vectorial

Sean los vectores A y B ; entonces su

producto vectorial se define como:

A XB = (ABsenθ) u (π≥θ≥0)

Donde A y B son las magnitudes de los

vectores A y B respectivamente; θ es el

ángulo que forman ambos vectores y u es

un vector unitario cuya dirección es

perpendicular al plano que forman A y B .



θ

B

u

A

A X B

Fig 2. 21 Producto vectorial

Entonces el vector ×A B es un vector libre,

perpendicular al plano AB, cuya magnitud

es (A B sen θ) .

Los vectores A , B y ×A B forman un

trío a derechas (un sistema dextrosum), lo

que quiere decir que la dirección ×A B es

la que indica el dedo pulgar de la mano

derecha cuando esta se cierra desde el

vector A hacia el vector B , en el plano AB.

B

A

A X B

Fig 2. 22 Regla de la mano derecha.

Las propiedades del producto vectorial son:

1.- ×A B = − ×B A Anticonmutatividad

2.- × + = × + ×A (B C) A B A C

Distributividad respecto de la suma).

3.- m( ×A B )=(m A )xB = A x(mB ) siendo m

un escalar

Aplicaciones:

1.- Si los vectores A y B son paralelos,

entonces, por definición:

×A B =(ABsenθ) u = 0

Esta es condición de paralelismo.

2.- i X i = 0 ; j X j = 0 ; k X k = 0

Según la aplicación anterior.

3.- También se tiene aplicando la definición

que:

i X j ={(1)(1)(sen90º)} k = k

j X k ={(1)(1)(sen90º)} i = i

k X i ={(1)(1)(sen90º)} j = j

Y según la propiedad de

anticonmutatividad:

j X i =- k

k X j =- i

i X k =- j

El gráfico siguiente resume lo encontrado,

proporcionando además una buena forma

de recordarlo en el futuro.



Fig 2. 23 Producto vectorial entre versores.

Note que el producto vectorial entre 2

versores es el tercer versor, y es positivo

cuando el producto sigue la dirección de las

flechas en el gráfico, es decir, cuando el

sentido es contrario al movimiento de las

manecillas de un reloj (sentido antihorario).

4.- Ahora estamos en condiciones de

encontrar una expresión que permita

encontrar el producto vectorial para

vectores que están expresados en función

de sus componentes rectangulares

(cartesianas) y sus respectivos versores.

Sean los vectores:

A =AX i +AY j +AZ k y B =BX i +BY j +BZ k .

Si queremos multiplicarlos vectorialmente,

tenemos, recordando la propiedad de

distributividad del producto vectorial

respecto de la suma de vectores:

×A B =(AX i +AY j +AZ k )X(BX i +BY j +BZ k )

=AXBX( i X i )+AXBY( i X j )+AXBZ( i X k )+

+AYBX( j X i )+AYBY( j X j )+AYBZ( j X k )+

+AZBX( k X i )+AZBY( k X j )+AZBZ( k X k )

reemplazando los productos vectoriales

entre paréntesis, se tiene:

×A B =AXBY k +AXBZ(- j )+AYBX(- k )+

+AYBZ i +AZBX j +AZBY(- i )

×A B =(AYBZ–AZBY) i +(AZBX–AXBZ) j +

+(AXBY-AYBX) k

Que equivale al desarrollo del determinante

siguiente:

= x y z

x y z

ˆ ˆ î j kAxB A A A

B B B

5.- La magnitud del producto vectorial es

numéricamente igual que el área del

paralelógramo formado por los vectores

multiplicados y las paralelas que pasan por

sus extremos.

Para mostrar esto, consideraremos la figura

siguiente, que muestra dos vectores unidos

por el origen y las paralelas a ellos.

θB

AAB sen θ

A sen θ

B

Fig 2. 24 Área del paralelogramo formado por 2 vectores.

i

k

j



El área de este paralelógramo se calcula

multiplicando la base (B) por la altura

(Asenθ):

Area=BAsenθ

Que es igual a la magnitud del producto

vectorial entre los vectores A y B .

Note que el área del triángulo formado por

los vectores y alguna de sus diagonales es

justamente la mitad del área calculada.

Ejemplo 2.7

Encontrar el producto vectorial entre los

vectores:

= + +ˆ ˆ Â 3i 4 j 2k ; = +ˆ ˆ ˆB i 3 j - 5k .

Solución: de acuerdo a la definición se

tiene:

× =−

ˆ ˆ î j kA B 3 4 2

1 3 5

( ) ( ) ( )= − − − + −ˆ ˆ ÂXB -20 - 6 i 15 2 j 9 4 k

= + +ˆ ÂXB -26i 17j 5k

Ejemplo 2.8

Encontrar un vector unitario perpendicular

al plano formado por los vectores del

ejemplo 7.

Solución: Según la definición de producto

vectorial se tiene que:

= ÂXB AXB u

De donde:

×=

×

A BuA B

= + +

+ +

ˆ ˆ ˆ-26i 17 j 5k 676 289 25

+ += = − + +

ˆ ˆ ˆ-26i 17 j 5 k ˆ ˆ û 0,83i 0,54 j 0,16k31,5

Que es el vector solicitado, cuya magnitud

es 1 y dirección es la del vector ×A B .



2.1.18 Ejercicios resueltos.

Ejercicio 2.1.- Dos vectores A y B

de 3 y 5 unidades de magnitud

respectivamente, forman un ángulo de 37º.

Determine analíticamente la magnitud de la

resultante y de la diferencia entre ambos

vectores.

Solución:

La resultante ( = +R A B ) así como la

diferencia o la suma del opuesto

( =D A - B ) se puede ver en forma gráfica

en la figura siguiente:

A

37º

A

B

B

R= A + B

37º

A

B

D= A - B

37º

180º - 37º

Entonces aplicando el teorema del coseno

R2=A2+B2–2ABcos(180º-37º)

R2=9+25–2(3)(5)(- 0,8)

R=7,6

y la diferencia es:

D2=A2+B2–2ABcos(37º)

D2=9+25–2(3)(5)(0,8)

D=3,2

Ejercicio 2.2.- Hallar el vector

resultante entre los vectores A y B de 4 y

3 unidades de magnitud respectivamente,

que forman un ángulo de 60º entre ellos.

Solución:

En la siguiente figura se observan los

vectores y sus ángulos:

θ

B

A120º

R = A + B

La magnitud de la resultante se puede

calcular con el teorema del coseno:

R2=A2+B2–2ABcos120º

R2=14+9–2(4)(3)cos 120º

R=6,1

El ángulo entre la resultante y el vector A

se puede calcular con el teorema del seno:

θ=

sen sen120ºB R

θ=

sen 0,873 6,1

θ=arcsen0,43=25,5º



Ejercicio 2.3.- Un avión se mueve hacia el

norte con una rapidez de 30 Kmh

, cuando

es sometido a la acción del viento que

sopla con rapidez de 40 Kmh

en dirección

este. Encontrar el movimiento resultante

del avión.

Solución:

En este problema se trabaja con la

magnitud vectorial denominada velocidad.

Para nosotros sin embargo, solo será un

vector en este momento, y por tanto, la

velocidad resultante no será más que la

suma de los vectores velocidad

correspondiente al movimiento del avión

propiamente tal, y la velocidad del viento.

En la siguiente figura se ilustra el ejemplo:

V

VV

VA

θE

N

VA = velocidad del avión

VV = velocidad del viento

Entonces el vector velocidad del viento

será el vector: =vKm ˆV 40 ih

mientras que

la velocidad del avión será: =AKm ˆV 30 jh

si consideramos que el plano geográfico es

el plano cartesiano XY.

De esta manera, la resultante debe ser:

( )= +Kmˆ ˆV 40i 30 jh

Cuya magnitud es

V2=(40 Kmh

)2+ (30 Kmh

) 2

V=50 Kmh

.

Que es la rapidez resultante con que se

moverá realmente el avión.

La dirección de la velocidad resultante

será:

θ=arctg A

V

VV

=arctg 30 kph40 kph

=36,9º

Es decir, la velocidad resultante tiene una

dirección de 36,9º medidos desde el este

hacia el norte (E36,9ºN).

Ejercicio 2.4.- Otra magnitud física

vectorial interesante es el denominado

desplazamiento.

Por desplazamiento se entiende el vector

de posición que une los puntos inicial y final

de un movimiento, sin importar la forma del

camino recorrido entre ambos.

Supongamos que dos personas caminan

perdidas por un desierto plano y hostil de

manera tal que finalizado cada día anotan

en su diario de viaje lo siguiente:



• Día 1: caminamos 30 kilómetros en

línea recta hacia el norte; no

encontramos agua.

• Día 2: hoy solo hemos logrado caminar

20 kilómetros en línea recta, en

dirección norte 37º hacia el este

(N37ºE); nos encontramos extenuados.

No encontramos agua.

• Día 3: Por fin hemos encontrado agua.

El feliz hecho ocurrió hoy a las 16:00

horas, luego de caminar en línea recta

durante 20 kilómetros hacia el sur. Nos

encontramos a salvo.

El relato anterior puede traducirse en

términos de los desplazamientos diarios y

del desplazamiento final en forma analítica:

53º

D1

D2

D3

R

N (Y)

E (X)

Entonces los desplazamientos diarios son:

1D =30Km j

2D =20Km cos53º i +20Km sen53º j

2D =12Km i +16Km j

3D =20Km(- j )

Por tanto, el desplazamiento resultante es

= + +1 2 3R D D D

= +ˆ ˆR 12Kmi 26Kmj ´

Cuya magnitud es:

R2=(12Km)2+(26Km)2

R=28,6Km

y cuya dirección es:

θ=arctg 26 Km12 Km

=arctg2,17=65,3º

En otras palabras, si nuestros viajeros

hubiesen sabido la ubicación del pozo de

agua, habrían caminado solo 28,6Km en

línea recta, en dirección E65,3ºN.

Ejercicio 2.5.- Encontrar el valor de

a, de forma que A y B sean

perpendiculares.

= + +ˆ ˆ Â 2i aj k ; = ˆ ˆ ˆB 4i - 2 j - 2k

Solución:

La condición de perpendicularidad es que

el producto escalar entre ambos debe ser

cero:

A •B =8–2a–2=0

De donde se obtiene a = 3



Ejercicio 2.6.- Hallar la proyección

del vector = +ˆ ˆ Â i - 2 j k sobre el vector

= +ˆ ˆ ˆB 4i - 4 j 7k

Solución:

En la figura se observa la proyección

pedida

θ B

A

AB = A cos θ

De la definición de producto escalar se

tiene que:

= θA • B ABcos

Que se puede escribir como:

= BA • B A B

Ya que AB=Acosθcomo se observa en la

figura anterior.

En consecuencia:

+ += =B

A • B 4 8 7AB 9

=2,1

Ejercicio 2.7.- Dados los vectores

= ˆ Â 2i - j ; = +ˆ ˆB i k y = +ˆ ˆC j k ,

determinar:

a) Un vector unitario en la dirección del

vector +A B - 3C .

b) Un vector perpendicular al plano

formado por los vectores B y C .

c) Área del paralelogramo formado por A

y B .

Solución:

a)

+= = =

+ ++

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Â B - 3 C 3i - 4 j - 2k 3i - 4 j - 2ku5,399 16 4A B - 3C

u =0,56 i –0,74 j –0,37 k

b) = = = +

ˆ ˆ î j kˆ ˆ ˆP BxC 1 0 1 -i - j k

0 1 1

c) El Área es el módulo del producto

vectorial entre A y B , por tanto:

× = = +

ˆ ˆ î j kˆ ˆ Â B 2 -1 0 -i - 2 j k

1 0 1

=AXB 2,4

Ejercicio 2.8.- Dados los siguientes

vectores: = + +ˆ ˆ Â 3i 2 j 2k ; = +ˆ ˆ ˆB i - 3 j 4k y

= +ˆ ˆ ˆC 2i 3 j - k .

a) Determine analíticamente si A y B son

o no perpendiculares.



b) Calcular ( )A • BXC

Solución:

a) Para ser perpendiculares deben cumplir

con la condición A • B =0

A • B =3–6+8=5

Luego no son perpendiculares.

b) La única interpretación posible de este

producto, denominado producto triple (y

que geométricamente representa el

volumen del paralelogramo cuyas aristas

son los vectores A , B y C ) es la

operación ( )A • BXC ) pues se tiene el

producto escalar entre los vectores A y

( )BXC .

En cambio la operación ( )A • BXC no

está definida pues es la multiplicación

vectorial entre un escalar ( A • B ) y un

vector ( C ). Recordemos que el producto

vectorial está definido entre vectores.

Por tanto:

− = − + +−

ˆ ˆ î j kˆ ˆ ˆBxC= 1 3 4 9i 9 j 9k

2 3 1

( ) ( )= + + − + +ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Â • BXC 3i 2j 2k • 9i 9 j 9k

= + + =A • BXC -27 18 18 9

Ejercicio 2.9.- Hallar los productos

siguientes:

a) ˆ ˆ2 jX3k

b) ( )ˆ ˆ3iX -2k

c) ( )ˆ ˆ ˆ2 jXi - 3k

Solución:

a) =ˆ ˆ ˆ2 jX3k 6i

b) ( ) ( )( )= =ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3iX -2k 3 -2 iXk 6k

c) ( ) ( )= − = −ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 jXi - 3k 2 -k 3k 5k

Ejercicio 2.10.- Demostrar que los

vectores: = +ˆ ˆ Â 2i j - 4k ; = +ˆ ˆ ˆB i - 3 j 5k y

= +ˆ ˆ ˆC 3i - 2 j k forman un triángulo

rectángulo.

Solución:

En primer lugar hay que demostrar que

forman un triángulo, para lo que se

necesita que la resultante de dos de ellos

sea el tercero o que la resultante de los tres

sea el vector nulo, como se ve en la figura

siguiente.

C

A

BC

A

B

A + B = C A + B + C = 0



En segundo lugar, para que sea rectángulo,

el producto escalar entre dos de ellos debe

ser nulo.

En nuestro ejemplo, + =A B C por lo que

son un triángulo y A • C =6–2–4= 0 por lo

que A ⊥ C .

Ejercicio 2.11.- Deducir el teorema

del seno.

Solución:

Suponer un triángulo formado por los

vectores de la figura.

C

A

B

θAB

θCA

θBC

α

β γ

Entonces + + =A B C 0

Multiplicando vectorialmente por A :

+ + =AxA AXB AXC AX0

+ =AXB AXC 0 ( i )

Si la multiplicamos vectorialmente por B :

+ + =BXA BXB BXC BX0

+ =BXA BXC 0 ( ii )

si la multiplicamos vectorialmente por C :

+ + =CXA CXB CXC 0

+ =CXA CXB 0 ( iii )

De (i): =AXB CXA

De (ii): BXA=CXB

De (iii): =CXA BXC

Pues el producto vectorial es

anticonmutativo.

De donde se tiene:

= =AXB CXA BXC

Es decir:

AB senθAB u =CA senθCA u =BC senθBC u

por igualdad de vectores, se tiene:

AB sen θAB = CA sen θCA = BC sen θBC

y debido a que sen (180-θ)=senθ:

AB senγ=CA senβ=BC senα

Dividiendo por ABC:

γ β α= =

sen sen senC B A

Conocido con el nombre de teorema del

seno.



Ejercicio 2.12.- Deducir el teorema

del coseno.

Solución:

Suponer que se tiene un triángulo formado

por los vectores de la figura.

C

A

B

β

Entonces: =C A - B

Elevando al cuadrado la expresión:

( ) ( )=C • C A - B • A - B

( ) ( ) ( ) ( )= +C • C A • A - A • B - B • A B • B

( ) ( ) ( )= +C • C A • A - 2 A • B B • B

C2=A2+B2–Bcosβ

Conocido como teorema del coseno.

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