“Una aplicación del Análisis Funcional en Ecuaciones de la Física Matemática”

Webinar para la Semana de las Matemáticas e Ingeniería. 2013. Ponente: Ever Rojas Huamán Universidad Privada del Norte

ÍNDICE

Introducción…………………………………………………………….

Preliminares…………………………………………………………….

2.1 Problema de Cauchy – Dirichlet….……………..………..…

2.2 Problema con frontera libre………………………………….

2.3 Ejemplos de problemas con frontera libre………………...

Motivación………………………………………………………………

Conceptos matemáticos básicos…………………………………….

4.1 Espacios 𝐿𝑃…………………………………………………..

4.2 Espacio de Sóbolev 𝑊1 Ω …………………………………

4.3 Espacio de Sóbolev 𝑊0 Ω …………………………………

1.

2.

3.

4.

3.

6.

6.

9.

11.

13.

15.

15.

16.

17.

ÍNDICE

Teoremas fundamentales …………......……………….…………….

5.1 Teorema de Riesz…………………………………………….

5.2 Teorema de Lax Miligram…...…….……………..………..…

Planteamiento del problema………….………………………………

Teorema de existencia y unicidad……………………………………

7.1 Existencia………………….………………………………….

7.2 Unicidad……………………….……………………………...

Aplicación del teorema demostrado…………………………………

Discusión……………………………………………………………….

Conclusiones…………………………………………………………...

Bibliografía……………………………………………………………...

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

19.

19.

20.

22.

28.

33.

40.

66.

68.

71.

74.

1. INTRODUCCIÓN

Los inicios de la aplicación del Análisis

Funcional en la Física Matemática, expresada en

diferentes trabajos, data desde hace más de 70

años en la literatura científica. Conceptos como los

de derivada generalizada, solución generalizada de

una ecuación diferencial, teoremas de

encajamiento, teoría de las distribuciones, etc.,

sirvieron como punto de partida para una variedad

de investigaciones en la teoría de ecuaciones

diferenciales, teoría de espacios funcionales y en

muchos otros campos del análisis.

L. Shwarz (1915 – 2002)

La teoría de modelos matemáticos de

fenómenos físicos representa el objeto de estudio

de la Física Matemática.

La Física Matemática se desarrolló

desde los tiempos de Newton en forma paralela al

desarrollo de la Física y de la Matemática.

Sir Isaac Newton

(1643 - 1727)

1. INTRODUCCIÓN

Entre los problemas de la Física

Matemática se resalta una clase importante de:

problemas definidos correctamente, es decir,

problemas para los cuales la solución existe, es

única y depende continuamente de los datos del

problema.

1. INTRODUCCIÓN

Problemas bien definidos.

2. PRELIMINARES

Animación N° 1: Conducción del calor.

2.1 Problema de Cauchy - Dirichlet.

Figura Nº 1

2.1 Problema de Cauchy - Dirichlet.

𝜌𝜕𝑢

𝜕𝑡= 𝑑𝑖𝑣 𝑝𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 − 𝑞𝑢 + 𝐹 𝑥, 𝑡

Sea Ω ⊂ ℝ𝑛 un dominio en donde

sucede un proceso de difusión y 𝜕Ω su contorno.

Como dominio de definición de la ecuación de

difusión siguiente:

Vamos a considerar el cilindro 𝑄𝑇 = Ω × 0,𝑇 , de

altura 𝑇 y base Ω.

(1)

2. PRELIMINARES

2.1 Problema de Cauchy - Dirichlet.

Para la ecuación de difusión (1), el

problema de Cauchy – Dirichlet, se plantea del

siguiente modo:

Encontrar la función 𝑢 𝑥, 𝑡 de clase

𝐶2 𝑄𝑇 ∩ 𝐶 𝑄 𝑇 , 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑥𝑢 ∈ 𝐶 𝑄 𝑇 , que satisface a

la ecuación 1 en 𝑄𝑇, a la condición inicial:

y a la condición de contorno:

𝑢 𝑡=0

= 𝑢0 𝑥

𝑢 𝜕Ω× 0,𝑇

= 𝑣

(2)

(3)

J. Dirichlet (1805 – 1859)

2. PRELIMINARES

2.2 Problemas con frontera libre.

2. PRELIMINARES

Animación N° 2: Derretimiento de hielo marino del Ártico. Verano de 2012.

En la teoría de Conducción del Calor

frecuentemente se encuentran problemas cuyos

dominios contienen contornos laterales móviles,

es decir, cambiantes en el tiempo. Tales

problemas se encuentran por ejemplo en fusiones

y congelaciones.

Animación Nº 3: Dominio con contornos móviles.

2.2 Problemas con frontera libre.

2. PRELIMINARES

Un ejemplo típico es el problema de Stefan o problema de cambio de fase, que

estudia la temperatura en el espacio ocupado por dos fases de un cuerpo,

generalmente una fase sólida y otra líquida.

Figura Nº 2

2.3 Ejemplos de problemas con frontera libre.

2. PRELIMINARES

Problemas de Hidráulica: Por ejemplo el del Dique Poroso, donde una superficie

desconocida separa la zona seca de la húmeda.

Figura Nº 3

2.3 Ejemplos de problemas con frontera libre.

2. PRELIMINARES

Animación Nº 4

3. MOTIVACIÓN

Veamos en el plano 𝑥, 𝑡 la curva Γ con

ecuación 𝑥2 = −2𝑡 ln 𝑡.

La solución 𝑢 de la ecuación de conducción del

calor:

con condiciones de contorno Dirichlet homogéneas:

es idénticamente nula.

𝑢𝑡 − 𝑢𝑥𝑥 = 0 (4)

𝑢 Γ

= 0 (5)

Sin embargo en el espacio 𝐿2 𝑄 , existe una solución no trivial de

este problema. En efecto, la función 𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑡−1

2𝑒−𝑥2

4𝑡 − 1 es en 𝑄 solución del

problema 4 − 5 y pertenece a 𝐿2 𝑄 , ya que:

(6)

1

𝑡𝑒−

𝑥2

2𝑡𝑑𝑥𝑑𝑡 = 2 𝑑𝑡

𝑡 𝑒−

𝑥2

2𝑡𝑑𝑥 =−2𝑡 ln 𝑡

0

1

0

𝑄

= 4 𝑑𝑡

𝑡 𝑒−2𝑥2

𝑑𝑥 < ∞−

ln𝑡2

0

1

0

3. MOTIVACIÓN

4.1 Espacios 𝑳𝒑.

Definición 1.

Sea 𝑝 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑝 < ∞. Se denomina espacio 𝐿𝑝 𝐺 , al espacio de

funciones 𝑓 𝑥 medibles sobre 𝐺, para las cuales la función 𝑓 𝑥 𝑝 es integrable

según Lebesgue sobre 𝐺. El número

se denomina norma del elemento 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 𝐺 .

𝑓 𝐿𝑝 𝐺 = 𝑓 𝑥 𝑝 𝑑𝑥

𝐺

1𝑝

(7)

4. CONCEPTOS MATEMÁTICOS

BÁSICOS

4.2 Espacio de Sóbolev 𝑾𝟐𝟏 𝛀 .

Definición 2.

Se denomina espacio de Sóbolev 𝑊21 Ω , con norma dada por la

expresión:

al conjunto de funciones 𝑢 𝑥 , para las cuales se cumplen las condiciones:

1) 𝑢 𝑥 ∈ 𝐿2 Ω ;

2) ∀𝑖 = 1,2,… , 𝑛. ∃𝜕𝑢

𝜕𝑥𝑖 en el sentido de Sóbolev, además

𝜕𝑢

𝜕𝑥𝑖∈ 𝐿2 Ω ,𝑖 = 1,2,… , 𝑛.

𝑢 𝑊21 Ω =

𝜕𝑢

𝜕𝑥𝑖

2

+ 𝑢2 𝑥

𝑛

𝑖=1

𝑑𝑥

Ω

12

(8)

4. CONCEPTOS MATEMÁTICOS

BÁSICOS

4.3 Espacio de Sóbolev 𝑾 𝟐𝟏 𝛀 .

Definición 3.

Se denomina espacio de Sóbolev

𝑊 21 Ω , a la clausura del conjunto 𝐶 ∞ Ω , en la

norma de 𝑊21 Ω .

S. L. Sóbolev (1908 – 1989)

4. CONCEPTOS MATEMÁTICOS

BÁSICOS

5.1 Teorema de Riesz.

Cualquier funcional lineal y acotado 𝐹

en un espacio de Hilbert 𝐻 , puede ser

representado en la siguiente forma:

en donde 𝑣 es cierto elemento de 𝐻 ,

determinado de manera única por el funcional

𝐹. Además, 𝑣 = 𝐹 .

F. Riesz (1880 – 1956)

𝐹𝑢 = 𝑢,𝑣 (9)

5. TEOREMAS FUNDAMENTALES

5.2 Teorema de Lax - Milgram.

Sea 𝐻 un espacio de Hilbert con

producto interno 𝑣, 𝑢 . Además, sea 𝐵 𝑣,𝑢

una forma bilineal, definida para 𝑣 ∈ 𝐻, u ∈ 𝐻, y

tal que existen las constantes 𝐾 > 0 y 𝛼 > 0,

independientes de 𝑣 y de 𝑢 , tales que para

todos los 𝑣, 𝑢 ∈ 𝐻, se cumplen las relaciones :

y

Peter Lax (1926 - Hoy)

𝐵 𝑣,𝑢 ≤ 𝐾 𝑣 𝑢 (10)

𝐵 𝑣, 𝑣 ≥ 𝛼 𝑣 2 (11)

5. TEOREMAS FUNDAMENTALES

5.2 Teorema de Lax - Milgram.

Entonces cada funcional lineal 𝐹, acotado en 𝐻 se puede expresar en la forma:

en donde 𝑧 es un elemento del espacio 𝐻, determinado de manera única por el

funcional 𝐹, cumpliéndose además la desigualdad:

en donde 𝐹 - norma del funcional 𝐹.

Fv = B 𝑣, 𝑧 , 𝑣 ∈ 𝐻 (12)

𝑧 ≤ 𝛼−1 𝐹 (13)

5. TEOREMAS FUNDAMENTALES

La pregunta sobre la solución única del problema que se plantea, está

relacionado directamente con la estructura del contorno Γ en las cercanías de

aquellos puntos con tangentes horizontales.

Animación Nº 5

6. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Desde el punto de vista matemático, el problema que generan los puntos de

contorno con tangente horizontal, para problemas parabólicos, está estrechamente

relacionado con el concepto de variedad característica (𝑡 = 𝜅).

Desde el punto de vista físico, el problema que generan los puntos de

contorno con tangente horizontal, para problemas parabólicos, está relacionado con

la imposición de una condición complementaria sobre la frontera libre 𝑥 = 𝑠 𝑡 ; es

decir, la imposición del cumplimiento de la ley de conservación de la energía, dada

por la fórmula:

𝑑𝑠 𝑡

𝑑𝑡= −k𝑢𝑥 𝑠 𝑡 , 𝑡 (14)

6. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Sea 𝑄 un dominio en el plano 𝑥, 𝑡 ,

acotado superior e inferiormente por las rectas

𝑡 = 0 y 𝑡 = 𝑇 para cierto 𝑇 > 0 ; y por los

costados, con las curvas Γ1: 𝑥 = 𝜑1 𝑡 y

Γ2: 𝑥 = 𝜑2 𝑡 , en donde las funciones 𝜑1 y 𝜑2

son continuas en el segmento 0, 𝑇 , y

𝜑1 𝑡 ≤ 𝜑2 𝑡 para todos los 𝑡𝜖 0, 𝑇 .

Denotemos con Γ0 el segmento 𝜑1 0 ,𝜑2 0

del eje 𝑂𝑥 intersecado por las curvas Γ1 y Γ2

sobre la recta 𝑡 = 0.

Figura Nº 4

6. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Examinemos en 𝑄 la ecuación lineal parabólica de orden 2𝑚:

en donde:

L 𝑢 ≡𝜕𝑢

𝜕𝑡+ −1 𝑚

𝜕𝑚

𝜕𝑥𝑚 𝑎 𝑥, 𝑡𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚 = 𝑓 𝑥, 𝑡 (15)

𝑎 𝑥, 𝑡 ≥ 𝑎0 > 0 𝑐𝑜𝑛 𝑥, 𝑡 ∈ 𝑄

6. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Nos interesa la obtención de la solución única del problema de Cauchy

– Dirichlet sobre 𝑄 , para la ecuación 15 ; es decir, la pregunta sobre la

existencia y unicidad de la solución 𝑢 𝑥, 𝑡 de la ecuación 15 , que satisface

para 𝑡 = 0 y sobre las curvas Γ𝑖 , 𝑖 = 1,2 , las siguientes condiciones

homogéneas:

𝑢 Γ0

= 0 (16)

𝜕𝑖𝑢

𝜕𝑥𝑖 Γ1

=𝜕𝑖𝑢

𝜕𝑥𝑖 Γ2

= 0 𝑖 = 0,… ,𝑚 − 1. (17)

6. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Es conocido que la existencia y unicidad de la solución del problema

15 − 17 , exige que se impongan sobre las curvas de contorno Γ1 y Γ2, otras

condiciones, además de la continuidad. Por ese motivo, se ha supuesto que las

funciones 𝜑𝑖 , 𝑖 = 1,2 , son funciones suficientemente suaves en 0, 𝑇 , con

excepción, posiblemente de ciertos puntos 𝑡 1𝑖 , … , 𝑡 𝑁𝑖

𝑖 𝜖 0, 𝑇 , 𝑖 = 1,2. Las curvas

𝜑𝑖 en alguna vecindad de los puntos 𝑡 𝑠𝑖 , 𝑠 = 1, … , 𝑁𝑖 , 𝑖 = 1,2 deben ser tales

que:

𝑑𝑡

𝜑𝑖 𝑡 − 𝜑𝑖 𝑡 𝑠𝑖 2𝑚 = ∞

𝑡 𝑠𝑖 +

𝑡 𝑠𝑖

(18)

𝑑𝑡

𝜑𝑖 𝑡 − 𝜑𝑖 𝑡 𝑠𝑖 2𝑚 = ∞

𝑡 𝑠𝑖

𝑡 𝑠𝑖 −

(19)

6. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El objetivo principal de la presente ponencia, es mostrar la

demostración de la existencia y unicidad, con cualquier miembro derecho

𝑓 𝑥, 𝑡 ∈ 𝐿2 𝑄 , de cierta solución débil del problema de contorno 15 − 17 , si

el contorno Γ satisface la condición formulada 18 y/o 19 .

Para definir la solución débil del problema 15 − 17 , precisamos los

siguientes espacios de Sóbolev 𝑊 𝑡,𝑥

0,𝑚 𝑄 y 𝑊 𝑡,𝑥

1,𝑚 𝑄 que serán utilizados.

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

Por 𝑊 𝑡,𝑥

0,𝑚𝑄 , denotamos al espacio de funciones, obtenido por

medio de la clausura del conjunto 𝐶 0∞ 𝑄 de funciones infinitamente

diferenciables en 𝑄 , nulas en cierta vecindad del contorno del dominio 𝑄; con

norma inducida por el producto interno:

𝑢, 𝑣 = 𝜕𝑖𝑢

𝜕𝑥𝑖

𝑚

𝑖=0

𝑄

𝜕𝑖𝑣

𝜕𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑑𝑡 (20)

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

Por 𝑊 𝑡,𝑥

1,𝑚 𝑄 , denotamos al espacio de funciones, obtenido por

medio de la clausura del conjunto de funciones infinitamente diferenciables en 𝑄 ,

nulas en todo lugar del contorno de 𝑄 excepto en el segmento Γ0, con norma

inducida por el producto interno:

𝑢, 𝑣 = 𝑢, 𝑣 + 𝜕𝑢

𝜕𝑡

𝜕𝑣

𝜕𝑡

𝑄

𝑑𝑥𝑑𝑡 (21)

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

Definición 4

La función 𝑢 𝑥, 𝑡 𝜖 𝑊 𝑡,𝑥0,𝑚 𝑄 se denomina solución débil del problema

15 − 17 , si para cualquier función v 𝑥, 𝑡 𝜖 𝑊 𝑡,𝑥

1,𝑚𝑄 ∩ 𝐶∞ 𝑄 , tiene lugar la

siguiente igualdad:

−𝑢𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑎 𝑥, 𝑡

𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚

𝜕𝑚𝑣

𝜕𝑥𝑚

𝑄𝑑𝑥𝑑𝑡 = 𝑓𝑣 𝑑𝑥𝑑𝑡

𝑄 (22)

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

Denotemos con 𝐵 𝑢, 𝑣 , a la forma bilineal que se encuentra en el

miembro izquierdo de la ecuación 22 con 𝑢 𝑥, 𝑡 𝜖 𝑊 𝑡,𝑥

0,𝑚𝑄 y

v 𝑥, 𝑡 𝜖 𝑊 𝑡,𝑥

1,𝑚 𝑄 , es decir:

𝐵 𝑢, 𝑣 = −𝑢𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑎 𝑥, 𝑡

𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚

𝜕𝑚𝑣

𝜕𝑥𝑚

𝑄𝑑𝑥𝑑𝑡 (23)

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

Ahora es posible formular el resultado principal de la presente

exposición:

7.1 Teorema de existencia.

Si el contorno Γ del dominio cumple con las condiciones expresadas

en 18 y/o 19 , entonces para cualquier función 𝑓 𝑥, 𝑡 ∈ 𝐿2 𝑄 existe en

𝑊 𝑡,𝑥

0,𝑚 𝑄 solución única del problema 15 − 17 .

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

Prueba.

Ya que la forma bilineal 𝐵 𝑢, 𝑣 23 , es acotada para cualesquier

v 𝑥, 𝑡 𝜖 𝑊 𝑡,𝑥

1,𝑚 𝑄 y u 𝑥, 𝑡 𝜖 𝑊 𝑡,𝑥

0,𝑚 𝑄 , entonces de acuerdo con el teorema de

Lax Miligram existe en 𝑊 𝑡,𝑥

1,𝑚𝑄 un operador 𝐴 lineal y acotado tal que:

en donde, los corchetes denotan el producto interno en 𝑊 𝑡,𝑥

0,𝑚 𝑄 .

𝐵 𝑢,𝑣 = 𝑢, 𝐴𝑣 (24)

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

El operador 𝐴 en el espacio 𝑊 𝑡,𝑥

0,𝑚 𝑄 es no acotado, pero su dominio

de definición 𝑊 𝑡,𝑥

1,𝑚𝑄 es denso en 𝑊

𝑡,𝑥0,𝑚

𝑄 . Ya que 𝑓 𝑥, 𝑡 ∈ 𝐿2 𝑄 ,

entonces el funcional 𝑓𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡 también es acotado en 𝑊 𝑡,𝑥

0,𝑚 𝑄 ; por ello, de

acuerdo con el mismo teorema de Lax Miligram existe un elemento único

𝐹 ∈ 𝑊 𝑡,𝑥

0,𝑚 𝑄 , tal que:

Para cualesquier 𝑣 ∈ 𝑊 𝑡,𝑥

1,𝑚 𝑄 .

𝑓𝑣 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 𝐹, 𝑣

𝑄

(25)

Prueba.

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

De las expresiones 23 , 24 y 25 , sigue que la solución débil 𝑢 𝑥, 𝑡

de nuestro problema, debe satisfacer la identidad:

Para cualesquier 𝑣 ∈ 𝑊 𝑡,𝑥

1,𝑚 𝑄 .

𝑢,𝐴𝑣 = 𝐹,𝑣 (26)

Prueba.

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

Establezcamos ante todo que el operador 𝐴, definido de 𝑊 𝑡,𝑥

1,𝑚 𝑄 en

𝑊 𝑡,𝑥

0,𝑚 𝑄 tiene inverso acotado 𝐴−1, definido de 𝑊 𝑡,𝑥

0,𝑚 𝑄 en 𝑊 𝑡,𝑥

1,𝑚 𝑄 .

Para esto, veamos, con cualquier 𝑣 ∈ 𝑊 𝑡,𝑥

1,𝑚𝑄 , la forma cuadrática:

donde 𝑎0 = inf 𝑎 𝑥, 𝑡 .

(27)

𝑣,𝐴𝑣 = −𝑣𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑎 𝑥, 𝑡

𝜕𝑚𝑣

𝜕𝑥𝑚

2

𝑑𝑥𝑑𝑡 =

𝑄

=1

2 𝑣2𝑑𝑥 + 𝑎 𝑥, 𝑡

𝜕𝑚𝑣

𝜕𝑥𝑚

2

𝑑𝑥𝑑𝑡 ≥ 𝑎0 𝑣, 𝑣

𝑄

Γ0

Prueba.

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

De 27 sigue que 𝐴−1 ≤ 𝑎 0−1.

Así, el operador 𝐴 tiene dominio de definición denso en todo lugar en

𝑊 𝑡,𝑥

0,𝑚𝑄 , y tiene inverso acotado. Entonces, tiene además operador

conjugado 𝐴∗, cuyo campo de valores coincide con todo el espacio 𝑊 𝑡,𝑥

0,𝑚 𝑄 .

Esto significa que en el dominio de definición 𝑊 𝑡,𝑥

0,𝑚 𝑄 del operador

𝐴∗, se encuentra por lo menos un elemento 𝑢, para el cual 𝐴∗𝑢 = 𝐹. Es claro

que este elemento constituye la solución de la ecuación 26 , y además, la

solución débil del problema planteado.

Prueba.

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

Lema.

Sea 𝐴 un operador lineal que actúa sobre el espacio de Hilbert 𝐻. Si el

campo de su definición Ω𝐴 es denso en 𝐻 y el operador 𝐴 tiene operador inverso

𝐴−1 acotado, entonces el campo de valores 𝑅𝐴∗ de su operador conjugado 𝐴∗

coincide con todo 𝐻.

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

7.2 Unicidad.

A continuación probaremos la unicidad de la solución del problema

planteado.

Sea la función 𝑢 𝑥, 𝑡 𝜖 𝑊 𝑡,𝑥

0,𝑚𝑄 solución débil de la ecuación:

es necesario demostrar que 𝑢 𝑥, 𝑡 ≡ 0 en 𝑄.

(28) 𝜕𝑢

𝜕𝑡+ −1 𝑚

𝜕𝑚

𝜕𝑥𝑚 𝑎 𝑥, 𝑡𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚 = 0

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

7.2 Unicidad.

Sean 𝑡1 ,… , 𝑡𝑁 - ordenadas de los puntos singulares del contorno,

dispuestos en orden no decreciente: 0 ≤ 𝑡1 ≤ 𝑡2 ≤…≤ 𝑡𝑁 ≤ 𝑇 , y sea, para

empezar, 𝑡1 = 0, 𝑡2 > 0,𝜑1 0 ≠ 𝜑2 0 y el punto singular correspondiente a la

ordenada 𝑡 = 𝑡1 = 0, se encuentra en el origen de coordenadas, en la parte

derecha del contorno: Γ2: 𝑥 = 𝜑2 𝑡 , 𝜑2 0 = 0. Además, supongamos que para

pequeños 𝑡 > 0, la curva Γ2 va del origen de coordenadas hacia la derecha, al

primer cuadrante. Sea 휀 > 0 – tal número 휀 < 𝑡2, que para 𝑡 ∈ 0, 휀 la derivada

𝜑 2 , 𝑡 ≥ 0 y 𝜑 1

, 𝑡 no cambia de signo.

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

Figura Nº 5

7.2 Unicidad.

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

Figura Nº 6

7.2 Unicidad.

Veamos el trapecio curvilíneo 𝑅 = 𝑄 ∩ 0 < 𝑡 < 휀 .

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

Figura Nº 7

7.2 Unicidad.

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

7.2 Unicidad.

Si el punto 𝑥, 𝑡 ∈ 𝑅𝜇, entonces:

si 𝑥 ≥ 𝜑1 0 , y

(29)

𝑢2 𝑥, 𝑡 = 𝜕

𝜕𝑡𝑢2𝑑𝑡 = 2 𝑢𝑢𝑡𝑑𝑡 =

𝑡

0

𝑡

0

= 2 −1 𝑚+1 𝑢𝜕𝑚

𝜕𝑥𝑚 𝑎 𝑥, 𝑡𝜕𝑚

𝜕𝑥𝑚 𝑑𝑡𝑡

0

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

7.2 Unicidad.

si 𝑥 ≤ 𝜑1 0 .

(30) 𝑢2 𝑥, 𝑡 = 𝜕

𝜕𝑡𝑢2𝑑𝑡 = 2 −1 𝑚+1 𝑢

𝜕𝑚

𝜕𝑥𝑚 𝑎 𝑥, 𝑡𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚 𝑑𝑡𝑡

𝜓1 𝑥

𝑡

𝜓1 𝑥

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

7.2 Unicidad.

Integrando respecto a 𝑥 ∈ 𝜑1 𝑡 ,−𝜇 , cada una de las fórmulas

obtenidas, con 𝑡 = 휀, obtenemos luego de la integración por partes:

(31)

𝑢2 𝑥, 휀 𝑑𝑥−𝜇

𝜑1

= 2 −1 𝑚+1 𝑢𝜕𝑚

𝜕𝑥𝑚 𝑎 𝑥, 𝑡𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚

𝑅𝜇

𝑑𝑥𝑑𝑡 =

= 2 −1 2𝑚+1 𝑎 𝑥, 𝑡𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚

2

𝑑𝑥𝑑𝑡 +

𝑅𝜇

+2 −1 𝑚+𝑖+1𝜕𝑖𝑢

𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑚−𝑖−1

𝜕𝑥𝑚−𝑖−1 𝑎 𝑥, 𝑡𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚 𝑥=−𝜇

𝑑𝑡

𝑚−1

𝑖=00

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

7.2 Unicidad.

Denotemos con 𝐹 𝑡 , la función:

para 𝑥 = 0 . Antes de continuar con nuestro razonamiento, presentemos el

siguiente lema:

(32) −1 𝑚+𝑖+1𝜕𝑖𝑢

𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑚−𝑖−1

𝜕𝑥𝑚−𝑖−1 𝑎 𝑥, 𝑡𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚

𝑚−1

𝑖=0

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

Lema.

La función 𝐹 𝑡 es continua para 𝑡𝜖 0, 휀 , y 𝐹 𝑡 ∈ 𝐿1 0,휀 .

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

7.2 Unicidad.

Con ayuda de este lema se puede tender al límite en la igualdad 29 con 𝜇 → 0: en la igualdad 33 con 𝑅0 se ha denotado al conjunto 𝑅 ∩ 𝑥 < 0 .

(33) 𝑢2 𝑥, 휀 𝑑𝑥 = −2 𝑎 𝑥, 𝑡𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚

2

𝑑𝑥𝑑𝑡 + 2 𝐹 𝑡 𝑑𝑡0

𝑅0

0

𝜑1

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

Figura Nº 8

7.2 Unicidad.

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

Figura Nº 9

7.2 Unicidad.

Sea ahora 𝑥, 𝑡 ∈ 𝑅 ∩ 𝑥 > 0 ≡ 𝑅1,

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

7.2 Unicidad.

Denotemos con 휁 𝑡 a la función definida del siguiente modo:

La función 휁 𝑡 así definida, es continua, su derivada es absolutamente

integrable, ya que para 𝑡 < 0 y 𝑡 > 2 , 휁 ´ ≡ 0,

(34) 휁 𝑡 =

0, 𝑡 ≤ 0

exp − 𝑑𝜏

𝜑2 𝜏 2

2

𝑡

, 0 ≤ 𝑡 ≤휀

2

1, 𝑡 ≥휀

2

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

7.2 Unicidad.

y para 𝑡 ∈ 0, 2 :

(35)

휁´ 𝑡 =1

𝜑2 𝑡 2𝑚exp − 𝑑𝜏

𝜑2 𝜏 2𝑚

2

𝑡

≥ 0

휁´ 𝑡 𝑑𝑡 = 휁´ 𝑡 𝑑𝑡 = 휁휀

2− 휁 0 = 1

2

0

2

0

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

7.2 Unicidad.

Junto con la función 휁 𝑡 para cualquier

𝛿 ∈ 0, 2 , veamos también la función 휁𝛿 𝑡 =

휁 𝑡 − 𝛿 . Es claro que 휁𝛿 𝑡 ≡ 0 para 𝑡 ≤ 𝛿 ,

휁𝛿 𝑡 ≡ 1 para 𝑡 ≥ 2 + 𝛿.

Multipliquemos ahora la identidad 28 ,

para 𝑥, 𝑡 ∈ 𝑅1 , por 𝑢 𝑥, 𝑡 휁𝛿 𝑡 𝑠 con cierto

𝑠𝜖 0, 1 e integremos la igualdad obtenida según el

dominio 𝑅1:

Figura Nº 10

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

7.2 Unicidad.

0 = 𝑢 휁𝛿𝑠 𝑢𝑡 + −1 𝑚

𝜕𝑚

𝜕𝑥𝑚 𝑎 𝑥, 𝑡𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚 𝑑𝑥𝑑𝑡 =

𝑅1∩ 𝑡>𝛿

= −𝑠

2 𝑢2휁 𝛿

´

𝑅1∩ 𝑡>𝛿

휁𝛿𝑠−1𝑑𝑥𝑑𝑡 + 𝐹 𝑡 휁𝛿

𝑠𝑑𝑡 +0

+1

2 𝑢2 𝑥, 휀 휁𝛿

𝑠𝑑𝑥 + 휁𝛿𝑠𝑎 𝑥, 𝑡

𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚

2

𝑑𝑥𝑑𝑡

𝑅1∩ 𝑡>𝛿

𝜑2

0

(36)

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

7.2 Unicidad.

Tomando límite en la última igualdad con 𝛿 → 0, obtenemos:

(37)

0 = −𝑠

2 𝑢2휁´ 휁 𝑠−1𝑑𝑥𝑑𝑡 + 𝐹 𝑡 휁 𝑠𝑑𝑡 +

0

𝑅1

+ 휁 𝑠𝑎 𝑥, 𝑡𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚

2

𝑑𝑥𝑑𝑡 +1

2 휁 𝑠𝑢2 𝑥, 휀 𝑑𝑥

𝜑2

0

𝑅1

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

7.2 Unicidad.

Acotemos ahora: 𝑢2휁´휁𝑠−1𝑑𝑥𝑑𝑡

𝑅1.

Para 𝑥, 𝑡 𝜖𝑅1, de acuerdo con las condiciones de contorno 17 , tenemos:

de donde, por la desigualdad de Cauchy-Shwarz:

(38) 𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝜕𝑢 𝜉, 𝑡

𝜕𝜉𝑑𝜉

𝑥

𝜑2 𝑡

𝑢2 𝑥, 𝑡 ≤ 𝜑2 𝑡 𝜕𝑢

𝜕𝜉

2

𝑑𝜉𝜑2 𝑡

0

(39)

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

7.2 Unicidad.

Integrando esta última desigualdad respecto a 𝑥 ∈ 0,𝜑2 𝑡 ,

obtenemos la desigualdad:

de manera similar obtenemos la acotación:

(40) 𝑢2 𝑥, 𝑡 𝑑𝑥 ≤ 𝜑2 𝑡 2 𝜕𝑢

𝜕𝑥

2

𝑑𝑥𝜑2 𝑡

0

𝜑2 𝑡

0

(41) 𝜕𝑢

𝜕𝑥

2

𝑑𝑥 ≤ 𝜑2 𝑡 2 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2

2

𝑑𝑥𝜑2 𝑡

0

𝜑2 𝑡

0

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

7.2 Unicidad.

y así sucesivamente, la acotación:

(42) 𝜕𝑚−1𝑢

𝜕𝑥𝑚−1

2

𝑑𝑥 ≤ 𝜑2 𝑡 2 𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚

2

𝑑𝑥𝜑2 𝑡

0

𝜑2 𝑡

0

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

7.2 Unicidad.

reemplazando la desigualdad 42 en la que la derivada del miembro

izquierdo es de orden 𝑚 − 1, en una desigualdad previa con derivada de orden

𝑚 − 2, y así sucesivamente hasta llegar a 40 , obtenemos finalmente:

para todo 𝑡 ∈ 0, 휀 .

(43) 𝑢2 𝑥, 𝑡 𝑑𝑥 ≤ 𝜑2 𝑡 2𝑚 𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚

2

𝑑𝑥𝜑2 𝑡

0

𝜑2 𝑡

0

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

7.2 Unicidad.

Multiplicamos ahora la expresión 43 por la función no negativa

휁𝑠−1휁´, e integramos la desigualdad obtenida respecto a 𝑡 ∈ 0, 휀 :

(44)

𝑢2휁𝑠−1휁´𝑑𝑥𝑑𝑡 ≤ 𝜑2 𝑡 2𝑚휁𝑠−1휁´𝑑𝑡 𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚

2

𝑑𝑥 =𝜑2 𝑡

00

𝑅1

= 휁𝑠𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚

2

𝑑𝑥𝑑𝑡 = 휁𝑠𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚

2

𝑑𝑥𝑑𝑡

𝑅1

𝜑2 𝑡

00

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

7.2 Unicidad.

por ello, uniformemente para 𝑠 ∈ 0, 1 , tenermos:

(45) 0 ≤ 𝑢2휁𝑠−1휁´𝑑𝑥𝑑𝑡 ≤ 𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚

2

𝑑𝑥𝑑𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝑅1

𝑅1

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

7.2 Unicidad.

De la desigualdad 45 , sigue que lim𝑠→+0

𝑠

2 휁𝑠−1휁´𝑢2𝑑𝑥𝑑𝑡 = 0

𝑅1, por

ello en la igualdad 40 se puede tender al límite con 𝑠 → +0. Con lo cual

obtenemos:

(46) 2 𝑎 𝑥, 𝑡𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚

2

𝑑𝑥𝑑𝑡 + 𝑢2 𝑥, 휀 𝑑𝑥 = −2 𝐹 𝑡 𝑑𝑡0

𝜑2

0

𝑅1

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

7.2 Unicidad.

sumando esta última igualdad con la igualdad 31 , obtenemos

finalmente:

de donde sigue que 𝑢 ≡ 0 en 𝑅.

(47) 2 𝑎 𝑥, 𝑡𝜕𝑚𝑢

𝜕𝑥𝑚

2

𝑑𝑥𝑑𝑡 + 𝑢2 𝑥, 휀 𝑑𝑥 = 0

𝑅∩ 𝑡=

𝑅

7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y

UNICIDAD.

Para el caso del problema presentado en el Capítulo 3 Motivación, el

contorno del dominio es homeomorfo a la circunferencia, y pasa por los puntos

𝐻 = 0,0 y 𝐵 = 0,1 simétricamente al eje O𝑡. Esta curva presenta dos puntos,

𝐻 y 𝐵, con tangentes horizontales.

El orden de contacto de la tangente con la curva Γ en los puntos 𝐻 y 𝐵 es tal

que:

y

∀휀 > 0.

𝑑𝑡

−2𝑡 ln 𝑡= ∞

0

𝑑𝑡

−2𝑡 ln 𝑡= ∞

1𝜐

1−

8. APLICACIÓN DEL TEOREMA

DEMOSTRADO.

De este modo, el dominio 𝑄 limitado por la curva Γ, satisface todas

las condiciones del teorema demostrado; por ello, la solución en el espacio

𝑊 𝑡,𝑥

1,2𝑄 de la ecuación de difusión:

con condiciones de contorno Dirichlet homogéneas:

es idénticamente nula.

(48) 𝑢𝑡 − 𝑢𝑥𝑥 = 0

(49) 𝑢 Γ

= 0

8. APLICACIÓN DEL TEOREMA

DEMOSTRADO.

9. DISCUSIÓN.

En lo referente a la prueba de la existencia de la solución de

𝑊 𝑡,𝑥

0,𝑚 𝑄 , en ninguna parte se utilizaron las condiciones 18 , 19 impuestas

complementariamente a la continuidad de las funciones 𝜑𝑖 , 𝑖 = 1,2, que definen

los contornos Γ1,Γ2 del dominio 𝑄. De este modo, el teorema de existencia de la

solución débil de 𝑊 𝑡,𝑥

0,𝑚𝑄 del problema de contorno tratado, tiene lugar sólo

con la proposición de continuidad de las funciones 𝜑1 y 𝜑2 en el segmento

0,𝑇 .

Para el caso de la prueba de la unicidad, ésta ha sido tratada para el

trapecio 𝑅, cuya definición ha sido dada en el inicio de la prueba. Ahora, si el

punto singular nuevamente se encuentra sobre la curva Γ2 y la curva Γ2 ingresa

al segundo cuadrante; es decir, para números 𝑡 suficientemente pequeños (con

𝜑 2´ 𝑡 ≤ 0); entonces, la prueba respectiva de que 𝑢 ≡ 0 en 𝑅, sigue utilizando

el mismo método desarrollado en la demostración.

9. DISCUSIÓN.

El caso cuando el punto singular se encuentra en el lado izquierdo del

contorno Γ1 (con 𝑡 = 0 ), así como el caso de presencia de dos puntos

singulares sobre Γ1 y Γ2 (con 𝑡 = 0), se examina también de manera similar.

9. DISCUSIÓN.

10. CONCLUSIONES.

Podemos mencionar las siguientes conclusiones:

• Para la existencia de la solución del problema de Cauchy-Dirichlet de tipo

parabólico, en un dominio con frontera libre y puntos singulares, de un

espacio de Sóbolev predefinido, es suficiente la continuidad de las funciones

que representan al contorno móvil del dominio.

• Las condiciones de Lipschitz constituyen condiciones suficientes, que

deberán cumplir las curvas del contorno móvil del dominio en las vecindades

de los puntos singulares, para garantizar la unicidad de la solución débil del

problema de Cauchy-Dirichlet para problema parabólicos definidos en un

dominio con frontera libre y puntos singulares, en un espacio de Sóbolev

predefinido.

10. CONCLUSIONES.

• Para garantizar la unicidad de la solución del problema de Cauchy-Dirichlet

de tipo parabólico en un dominio con frontera libre y puntos singulares, en el

espacio de Hilbert 𝐿2 𝑄 , las condiciones de Lipschitz impuestas en las

vecindades de los puntos singulares, no son suficientes.

Fin

10. CONCLUSIONES.

Besov O., Ilyin B. P., Nikolsky C. M. (1996). Representación Integral de Funciones y Teoremas de Inmersión. Edit. Nauka. Moscú. Bladimirov B. C. (1988). Ecuaciones de la Física Matemática. Edit. Nauka. Moscú. Egorov Yu. (1984). Ecuaciones Diferenciales Lineales de Tipo Principal, Edit. Nauka. Moscú. Embergenovich O. (1978). Sobre problemas de contorno de conducción del calor en dominios degenerados y la subsiguiente generación de clases de ecuaciones integrales singulares tipo Volterra. Edit. AH Kaz CCP, Alma Ata. Friedman A. (1964). Partial diferential equations of parabolic type. Prentice-Hall, INC. Englewood Cliffs, N. J. Kamuinin L. (1961). Sobre la dependencia de la solución del problema mixto para la ecuación parabólica, del contorno. Edit. Manuscrito de la Academia de Ciencias URSS. Tomo 140. No 6.

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11. BIBLIOGRAFÍA.

[13] [14]

Ever Rojas Huamán

Docente UPN - C

Laureate International Universities

Av. Via de evitamiento norte Cdra. 15 s/n

Cajamarca - Perú

T. +51 (076) 602525 anexo:

www.upnorte.edu.pe

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12. CONTACTO.