Umjetna inteligencija - Neizrazita logika Relacije...Valjkasto produljenje neizrazite binarne relacije Y X v(A) A Projekcija i valjkasto produljenje neizrazite relacije su suprotne

1

Neizrazita logika - Relacije 2-1

Umjetna inteligencija

- Neizrazita logika –

Relacije

47895/47816 UMINTELI

HG/2008-2009

Sveučilište u Zagrebu

Fakultet prometnih znanostiDiplomski studij


Neizrazite relacije - Uvod (1)

Izrazitost granica

Izrazita (čvrsta) granica Neizrazita (labava) granica

X X

YY

2


Neizrazita relacija je neizraziti skup u višedimenzionalnom prostoru

Neizrazite relacije - Uvod (2)

X X

Y

Neizraziti skup Neizrazita relacija

Neizrazita relacija je neizraziti skup uprostoru Kartezijevog produkta


protivnomu

RxxxXXX

nnR

0

),,,(1:

2121

R je karakteristična funkcija izrazitog skupa

Podskup Kartezijevog produkta X1 ... Xn

izrazitih skupova X1,..., Xn

Izrazita n-arna relacija

3


Neizrazita n-arna relacija

1,0: 21 nR XXX

je funkcija članstva neizrazite relacije

Podskup Kartezijevog produkta X1 ... Xn

neizrazitih skupova X1,..., Xn

nXXnnR xxxxxxR

1

),/(),( 2121


Izrazite i neizrazite relacije (1)

Izrazite binarne relacije:

“y je jednako x”

“y je manje od x”

Jasno izražene granice

X

y < x

X

Y Y

y = x

4


Neizrazite granice

X X

Y Y

“y je približno jednako x”

“y je malo manje od x”

Neizrazite binarne relacije:

“y je približno jednako x”

“y je malo manje od x”

Izrazite i neizrazite relacije (2)


Neizrazita binarna relacija R X Y- neprekidni oblik

1,0: YXR

YXR yxyxR ),/(),(

Neizrazita binarna relacija R između skupova X i Y

Kada je X = Y, onda je R neizrazita relacija na X

5


Neizrazita binarna relacija R X Y- diskretni oblik

),(),(),(),(

),(),(),(),(

),(),(),(),(

121

2122212

1112111

2

1

121

mnRmnRnRnR

mRmRRR

mRmRRR

n

mm

yxyxyxyx

yxyxyxyx

yxyxyxyx

x

x

x

R

yyyy

Prikaz u matričnom obliku - neizrazita matrica


1. Primjer neizrazitih relacija (1)

321

321

,,

,,

yyyY

xxxX

7.02.05.0

1.09.04.0

3.06.01

""

3

2

1

321

x

x

x

blizu

yyy

“Blizina” između x1 i y2 iznosi 0.6“Blizina” između x1 i y1 iznosi 1.0

y1 je bliže x1 od y2

n-matrica

6


100

010

011

""

3

2

1

321

x

x

x

blizu

yyy

“blizu” znači udaljenost manju od 100 km

Boole-ova matrica



Tri para: Ivan i Maja, Matija i Ana, Luka i Jana

100

010

001

""

Luka

Matija

Ivan

ozenjeni

JanaAnaMaja

ž


7


5.09.03.0

0.13.01.0

2.00.00.1

""

Luka

Matija

Ivan

prisni

JanaAnaMaja

Stupanj prisnosti 0, 1



Projekcija neizrazite n-arne relacije

Neka je R neizrazita relacija na Kartezijevomproduktu X1 ... Xn, te neka je polje (i1, ..., ik)

podpolje od (1, ..., n). Projekcija relacije R nad Xi1,..., Xik je definirana kao

iki jmjXX

ikinRXX

iki

xxxx

XXRproj

1 1

),,/(),,(max

,,;

11

1

pri čemu je polje (j1, ..., jm) dopuna od (i1, ..., ik), tj.podpolje od (1, ..., n) dobiveno oduzimanjem (i1, ..., ik).

8


Projekcija neprekidne binarne relacije

R je neizrazita relacija na Kartezijevom produktuX Y.

xyxXRprojX

RY ),(max;

Projekcija R nad Y je neizraziti skup

yyxYRprojY

RX ),(max;

Projekcija R nad X je neizraziti skup


Projekcija diskretne binarne relacije

i

n

i

jiRYy

xyxXRprojj

1

),(max;

nn yyyYxxxX ,,,,,,, 2121

R je neizrazite relacija na Kartezijevom produktu X Y.

Projekcija R nad X je neizraziti skup

Projekcija R nad Y je neizraziti skup

i

n

j

jiRXx

yyxYRproji

1

),(max;

9


Projekcija neizrazite binarne relacije

Y

X

R

projR; XA


Primjer projekcije neizrazitebinarne relacije (1)

n

n

yyyY

xxxX

,,,

,,,

21

21

YXR

7.04.01.0

8.02.05.0

3.00.16.0

3

2

1

321

x

x

x

R

yyy

10


Axxx

x

x

xXRproj

321

3

2

1

/7.0/8.0/0.1

/)7.0,4.0,1.0max(

/)8.0,2.0,5.0max(

/)3.0,0.1,6.0max(;

Byyy

y

y

yYRproj

321

3

2

1

/8.0/0.1/6.0

/)7.0,8.0,3.0max(

/)4.0,2.0,0.1max(

/)1.0,5.0,6.0max(;



7.04.01.0

8.02.05.0

3.00.16.0

3

2

1

321

x

x

x

R

yyy

visinasjene

0.6 1.0 0.8

izvorsvjetla

Y os


11


Valjkasto produljenje neizrazite n-arne relacije

Neka je R neizrazita relacija na Kartezijevom produktu X1 ... Xn.

Valjkasto produljenje v(R) od R nad X1 ... Xn

je definirana kao

nXXnnR xxxxxxRv

1

),,,/(),,,()( 2121


Valjkasto produljenje neprekidne neizrazite binarne relacije

A je neizraziti skup na univerzalnom skupu X.Valjkasto produljenje v(A) od A na X Y je neizrazitarelacija

YXA yxxAv ),/()()(

B je neizraziti skup na univerzalnom skupu Y.Valjkasto produljenje v(B) od B na X Y je neizrazitarelacija

YXB yxyBv ),/()()(

12



Valjkasto produljenje prekidne neizrazite binarne relacije (1)

A je neizraziti skup na univerzalnom skupu X.Valjkasto produljenje v(A) od A na X Y je neizrazitamatrica

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)(2222

1111

2

1

121

nAnAnAnA

AAAA

AAAA

n

mm

xxxx

xxxx

xxxx

x

x

x

Av

yyyy



Valjkasto produljenje prekidne neizrazite binarne relacije (2)

B je neizraziti skup na univerzalnom skupu Y.Valjkasto produljenje v(B) od B na X Y je neizrazitamatrica

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)(2222

1111

2

1

121

nBnBnBnB

BBBB

BBBB

n

mm

yyyy

yyyy

yyyy

x

x

x

Bv

yyyy

13


Valjkasto produljenje neizrazite binarne relacije

Y

X

v(A)

A

Projekcija i valjkasto produljenje neizrazite relacije su suprotne operacije.


Primjer valjkastog produljenja neizrazitebinarne relacije (1)

YXR

7.04.01.0

8.02.05.0

3.00.16.0

3

2

1

321

x

x

x

R

yyy

n

n

yyyY

xxxX

,,,

,,,

21

21

14


7.07.07.0

8.08.08.0

0.10.10.1

)(

3

2

1

321

x

x

x

Av

yyyValjkasto produljenjeneizrazitog skupa A na Kartezijevomproduktu X Y

8.00.16.0

8.00.16.0

8.00.16.0

)(

3

2

1

321

x

x

x

Bv

yyyValjkasto produljenjeneizrazitog skupa B na Kartezijevomproduktu X Y

Primjer valjkastog produljenja neizrazite binarne relacije (2)


Posebne neizrazite relacije

Simetričnosti R-1:

Identičnosti I:

Nule Z:

Jedinice U:

),(),(1 yxxy RR

yx

yxyxI

0

1),(

YyXxxyZ ,0),(

YyXxxyU ,1),(

15


Posebne neizrazite relacije - Primjeri

9.05.01.0

6.03.07.0

4.08.00.1

R

9.06.04.0

5.03.08.0

1.07.00.11R

100

010

001

I

000

000

000

Z

111

111

111

U


Operacije s neizrazitim relacijama

YXS

YXR

Unija neizrazitih relacija R i S:

Presjek neizrazitih relacija R i S:

Komplement neizrazitih relacije R:

),(1),( yxyx RR

),(),(),( yxyxyx SRSR

n

n

yyyY

xxxX

,,,

,,,

21

21

),(),(),( yxyxyx SRSR

16


Neizrazita relacija sadržavanja

YXS

YXR

YyXxyxyxSR SR ,),(),(

11

11

111

111

)(

)(

SRSR

RR

SRSR

SRSR

Svojstva neizrazite relacije zamjene

n

n

yyyY

xxxX

,,,

,,,

21

21


Slaganje neizrazitih relacija- poseban slučaj

x0

y0

X

Y

y = f(x) x0 y0

y = neizrazita f(x) x0 neizrazito y0

y = f(x)

17


A

B

X

Y

R X Y, A X : B Y B = A R

Neizrazita relacija R

Slaganje neizrazitih relacija- opći slučaj


Ulazno-izlazna relacija

f

R

y = B = A R

y = y0 = f(x0)x = x0

x = A

A - ulazni skup, B - izlazni skup

18


Max-min slaganje neizrazitih relacija (1)

1.Slaganje neizrazitog skupa A i neizrazite relacije R

A X, R X Y : y = A R

R

y = A Rx = A

),()(max)( yxxy RAXx

RA

Rezultat slaganja je neizraziti skup na Y s funkcijom članstva


2.Slaganje neizrazite relacije R i neizrazite relacije S

R X Y, S Y Z : z R S

R

z = A (R S)x = A

S

R S

x y z

Max-min slaganje neizrazitih relacija (2)

),(),(max),( zyyxzx SRYy

SR

19


Slaganje kao množenje matrica

dc

baR

hg

feS

dhcfdgce

bhafbgae

hg

fe

dc

baSR

)()()()(

)()()()(

hdfcgdec

hbfagbea

hg

fe

dc

baSR

min -> množenje, max -> zbrajanje


Svojstva slaganja neizrazitih relacija

WZU

ZYTS

YXRR

XAA

,

,

,

TRSRTS

TRSRUSR

USRUSR

RSSR

RSSR

RARARRA

RARARRA

RARARAA

RARARAA

)()()(

)()(

)(

)(

)(

)(

111

20


Primjer slaganja skupa i relacije (1)

321321 ,,,,, yyyYxxxX

5.00.12.0

321

A

xxx

9.03.02.0

5.00.16.0

1.09.08.0

3

2

1

321

x

x

x

R

yyy


5.00.16.0

5.05.01.03.00.12.02.06.02.0

)]9.05.0()5.00.1()1.02.0(

),3.05.0()0.10.1()9.02.0(

),2.05.0()6.00.1()8.02.0[(

9.03.02.0

5.00.16.0

1.09.08.0

5.00.12.0

321

yyy

RAB

Primjer slaganja skupa i relacije (2)

21


Primjer slaganja neizrazitih relacija (1)

321321321 ,,,,,,,, zzzZyyyYxxxX

7.02.05.0

1.09.04.0

3.06.00.1

3

2

1

321

x

x

x

R

yyy

8.08.01.0

2.09.07.0

5.01.00.1

3

2

1

321

y

y

y

S

zzz

Tri grada iz tri županije

R je blizina gradova između županije X i Y

S je blizina gradova između županije Y i Z


7.07.05.0

4.09.07.0

5.06.00.1

3

2

1

321

x

x

x

SR

zzz

RS je blizina gradova između županije X i Z uz put kroz županiju Y

0.1max

1.01.03.0 :3Put

6.07.06.0 :2Put

0.10.10.1 :1Put

1

1.0

3

3.0

1

1

7.0

2

6.0

1

1

0.1

1

0.1

1

zyx

zyx

zyx

Postoje tri puta između x1 i z1

Primjer slaganja neizrazitih relacija (2)

Documents

Umjetna inteligencija - Neizrazita logika Relacije...Valjkasto produljenje neizrazite binarne relacije Y X v(A) A Projekcija i valjkasto produljenje neizrazite relacije su suprotne