Überlagerung von Wellen: InterferenzÜberlagerung von Wellen: Interferenz

Grundprinzip: Alle Auslenkungen s(x,t) phasenrichtig addieren.

Überlagerung von Wellen: InterferenzÜberlagerung von Wellen: Interferenz

Grundprinzip: Alle Auslenkungen s(x,t) phasenrichtig addieren.

Überlagerung von Wellen: InterferenzÜberlagerung von Wellen: Interferenz

s(x,t) = s1(x,t) + s2(x,t)

Grundprinzip: Alle Auslenkungen s(x,t) phasenrichtig addieren.

Überlagerung von Wellen: InterferenzÜberlagerung von Wellen: Interferenz

Interferenz harmonischer Wellen mit gleicher Frequenz und Amplitude

s(x,t) = s1(x,t) + s2(x,t)

Grundprinzip: Alle Auslenkungen s(x,t) phasenrichtig addieren.

Überlagerung von Wellen: InterferenzÜberlagerung von Wellen: Interferenz

Interferenz harmonischer Wellen mit gleicher Frequenz und Amplitude

s(x,t) = s1(x,t) + s2(x,t)

s1 = s sin(t - kx)s2 = s sin(t - kx - 0)

Grundprinzip: Alle Auslenkungen s(x,t) phasenrichtig addieren.

Überlagerung von Wellen: InterferenzÜberlagerung von Wellen: Interferenz

Interferenz harmonischer Wellen mit gleicher Frequenz und Amplitude

s(x,t) = s1(x,t) + s2(x,t)

s1 = s sin(t - kx)s2 = s sin(t - kx - 0)

0 = 0, 2, 4, ...

Amplitudenverdopplung

Grundprinzip: Alle Auslenkungen s(x,t) phasenrichtig addieren.

Überlagerung von Wellen: InterferenzÜberlagerung von Wellen: Interferenz

Interferenz harmonischer Wellen mit gleicher Frequenz und Amplitude

s(x,t) = s1(x,t) + s2(x,t)

s1 = s sin(t - kx)s2 = s sin(t - kx - 0)

0 = 0, 2, 4, ...

Amplitudenverdopplung

0 = , 3, 5, ...Auslöschung

Unterschiedliche Frequenzen, gleiche Phasengeschwindigkeit

c = kph SW10.1 untfgleichesc.nb

Unterschiedliche Frequenzen, gleiche Phasengeschwindigkeit

Unterschiedliche Frequenzen, unterschiedliche Phasengeschwindigkeit

c = kph

Unterschiedliche Frequenzen, gleiche Phasengeschwindigkeit

Unterschiedliche Frequenzen, unterschiedliche Phasengeschwindigkeit

SW10.1 untfuntc.nb

c = kph

c1 = 1 m/s, c2 = 1,1 m/s

Unterschiedliche Frequenzen, gleiche Phasengeschwindigkeit

Unterschiedliche Frequenzen, unterschiedliche Phasengeschwindigkeit

c = k

c = ddk

ph

gr

c1 = 1 m/s, c2 = 1,1 m/s

Unterschiedliche Frequenzen, gleiche Phasengeschwindigkeit

Unterschiedliche Frequenzen, unterschiedliche Phasengeschwindigkeit

c = k

c = = = 2 m/s

ddk

ph

gr

0,2 m

0,1 s

c1 = 1 m/s, c2 = 1,1 m/s

Unterschiedliche Frequenzen, gleiche Phasengeschwindigkeit

Unterschiedliche Frequenzen, unterschiedliche Phasengeschwindigkeit

c = k

c = = = 2 m/s

ddk

ph

gr

0,2 m

0,1 s

c1 = 1 m/s, c2 = 1,1 m/s

Wenn die Phasengeschwindigkeit konstant ist, so ist auch die Gruppen-geschwindigkeit konstant und gleich der Phasengeschwindigkeit. - Das Medium ist dispersionsfrei.

Unterschiedliche Frequenzen, gleiche Phasengeschwindigkeit

Unterschiedliche Frequenzen, unterschiedliche Phasengeschwindigkeit

c = k

c = = = 2 m/s

ddk

ph

gr

0,2 m

0,1 s

c1 = 1 m/s, c2 = 1,1 m/s

Wenn die Phasengeschwindigkeit konstant ist, so ist auch die Gruppen-geschwindigkeit konstant und gleich der Phasengeschwindigkeit. - Das Medium ist dispersionsfrei.

Schallwellen

Licht in Glas, Wasser

Stehende Wellen

s1 = s sin (t - kx)Stehende Wellen

s1 = s sin (t - kx) s2 = s sin (t + kx)Stehende Wellen

s1 = s sin (t - kx) s2 = s sin (t + kx) = s sin (t -(- k)x)

Stehende Wellen

s1 = s sin (t - kx) s2 = s sin (t + kx) = s sin (t -(- k)x)

s = konstant, wenn die Phase konstant ist.

Stehende Wellen

s1 = s sin (t - kx) s2 = s sin (t + kx) = s sin (t -(- k)x)

s = konstant, wenn die Phase konstant ist.

0 = d(t-kx)

dt

Stehende Wellen

s1 = s sin (t - kx) s2 = s sin (t + kx) = s sin (t -(- k)x)

s = konstant, wenn die Phase konstant ist.

0 = d(t-kx)

dt = - k dxdt

Stehende Wellen

s1 = s sin (t - kx) s2 = s sin (t + kx) = s sin (t -(- k)x)

s = konstant, wenn die Phase konstant ist.

0 = d(t-kx)

dt = - k dxdt

dxdt

= + k > 0

Stehende Wellen

s1 = s sin (t - kx) s2 = s sin (t + kx) = s sin (t -(- k)x)

s = konstant, wenn die Phase konstant ist.

0 = d(t-kx)

dt = - k dxdt

dxdt

= + k > 0

0 = d(t+kx)

dt = +k dxdt

Stehende Wellen

s1 = s sin (t - kx) s2 = s sin (t + kx) = s sin (t -(- k)x)

s = konstant, wenn die Phase konstant ist.

0 = d(t-kx)

dt = - k dxdt

dxdt

= + k > 0

0 = d(t+kx)

dt = +k dxdt

dxdt

= - k < 0

Stehende Wellen

s1 = s sin (t - kx) s2 = s sin (t + kx) = s sin (t -(- k)x)

s = konstant, wenn die Phase konstant ist.

0 = d(t-kx)

dt = - k dxdt

dxdt

= + k > 0

0 = d(t+kx)

dt = +k dxdt

dxdt

= - k < 0

k ist eine in Ausbreitungsrichtung weisende vektorielle Größe,der Kreiswellenzahlvektor.

Stehende Wellen

s1 = s sin (t - kx) s2 = s sin (t + kx) = s sin (t -(- k)x)

s = konstant, wenn die Phase konstant ist.

0 = d(t-kx)

dt = - k dxdt

dxdt

= + k > 0

0 = d(t+kx)

dt = +k dxdt

dxdt

= - k < 0

k ist eine in Ausbreitungsrichtung weisende vektorielle Größe,der Kreiswellenzahlvektor.

Stehende Wellen

s1 = s sin (t - kx) s2 = s sin (t + kx) = s sin (t -(- k)x)

s = konstant, wenn die Phase konstant ist.

0 = d(t-kx)

dt = - k dxdt

dxdt

= + k > 0

0 = d(t+kx)

dt = +k dxdt

dxdt

= - k < 0

k ist eine in Ausbreitungsrichtung weisende vektorielle Größe,der Kreiswellenzahlvektor.

s = s1 + s2 = {2 s cos (kx)} sin (t)

Stehende Wellen

SW10.2 stehWelletrans.nb

s1 = s sin (t - kx) s2 = s sin (t + kx) = s sin (t -(- k)x)

s = konstant, wenn die Phase konstant ist.

0 = d(t-kx)

dt = - k dxdt

dxdt

= + k > 0

0 = d(t+kx)

dt = +k dxdt

dxdt

= - k < 0

k ist eine in Ausbreitungsrichtung weisende vektorielle Größe,der Kreiswellenzahlvektor.

s = s1 + s2 = {2 s cos (kx)} sin (t)

Schwingungsknoten und -bäuche sind ortsfest, da der Kosinus keineFunktion der Zeit ist. Die Wellenlänge beträgt = 2/k, und die Schwingungerfolgt mit der Kreisfrequenz .

Stehende Wellen

s1 = s sin (t - kx) s2 = s sin (t + kx) = s sin (t -(- k)x)

s = konstant, wenn die Phase konstant ist.

0 = d(t-kx)

dt = - k dxdt

dxdt

= + k > 0

0 = d(t+kx)

dt = +k dxdt

dxdt

= - k < 0

k ist eine in Ausbreitungsrichtung weisende vektorielle Größe,der Kreiswellenzahlvektor.

s = s1 + s2 = {2 s cos (kx)} sin (t)

Schwingungsknoten und -bäuche sind ortsfest, da der Kosinus keineFunktion der Zeit ist. Die Wellenlänge beträgt = 2/k, und die Schwingungerfolgt mit der Kreisfrequenz .

Stehende Wellen

Stehende Wellen können als Überlagerung zweier gegenläufiger Wellen aufgefaßt werden.

SW10.3 stehWellelong.nb

SW10.4 stehWellelongDichte.nb

Warum "harmonische" Schwingungen ?

Warum "harmonische" Schwingungen ?

Für eine Geigensaite der Länge l gilt

n = 2l/n

Warum "harmonische" Schwingungen ?

Für eine Geigensaite der Länge l gilt

n = 2l/n

Die von der Wellenlänge unabhängige Phasengeschwindigkeit ist

cPh = Fa/A = f = nfn

Warum "harmonische" Schwingungen ?

Für eine Geigensaite der Länge l gilt

n = 2l/n

Die von der Wellenlänge unabhängige Phasengeschwindigkeit ist

cPh = Fa/A = f = nfn

fn = cPhn

= n2l

FaA

Warum "harmonische" Schwingungen ?

Für eine Geigensaite der Länge l gilt

n = 2l/n

Die von der Wellenlänge unabhängige Phasengeschwindigkeit ist

cPh = Fa/A = f = nfn

fn = cPhn

= n2l

FaA

Die Frequenzen der Eigenschwingungen verhalten sich also wie die ganzen Zahlen.

[2.08] Ein starr an beiden Enden befestigter Stahlstab der Länge l = 1mschwingt longitudinal mit der dritten Eigenschwingung. c = 5100 m/s.Wie groß ist die Frequenz?

ReflexionReflexion

sein = s sin (t - kx)

ReflexionReflexion

sein = s sin (t - kx)

saus = s sin [t - k(x0 + x0 - x)]

ReflexionReflexion

sein = s sin (t - kx)

saus = s sin [t - k(x0 + x0 - x) - ]

ReflexionReflexion

sein = s sin (t - kx)

saus = s sin [t - k(x0 + x0 - x) - ]

saus = s sin [t - k(2x0 - x) - ]

ReflexionReflexion

sein = s sin (t - kx)

saus = s sin [t - k(x0 + x0 - x) - ]

saus = s sin [t - k(2x0 - x) - ]

s = sein + saus = 2 s sin (t - kx0 - /2) cos (kx0 - kx + /2)

ReflexionReflexion

sein = s sin (t - kx)

saus = s sin [t - k(x0 + x0 - x) - ]

saus = s sin [t - k(2x0 - x) - ]

s = sein + saus = 2 s sin (t - kx0 - /2) cos (kx0 - kx + /2)

= 2 s sin (t - ´) cos (kx0 - kx + /2)

ReflexionReflexion

sein = s sin (t - kx)

saus = s sin [t - k(x0 + x0 - x) - ]

saus = s sin [t - k(2x0 - x) - ]

s = sein + saus = 2 s sin (t - kx0 - /2) cos (kx0 - kx + /2)

= 2 s sin (t - ´) cos (kx0 - kx + /2)

ortsfeste Oszillation zeitlich konst. Modulation (stehende Welle)

ReflexionReflexion

sein = s sin (t - kx)

saus = s sin [t - k(x0 + x0 - x) - ]

saus = s sin [t - k(2x0 - x) - ]

s = sein + saus = 2 s sin (t - kx0 - /2) cos (kx0 - kx + /2)

= 2 s sin (t - ´) cos (kx0 - kx + /2)

ortsfeste Oszillation zeitlich konst. Modulation (stehende Welle)

s = {2s cos (kx0 - kx + /2)} sin (t - ´)

Amplitude

ReflexionReflexion

s = {2s cos (kx0 - kx + /2)} sin (t - ´)

Amplitude

ReflexionReflexion

Reflexion am festen Ende: s(x0,t) = 0(die feste Wand bewegt sich nicht)

ReflexionReflexion

s = {2s cos (kx0 - kx + /2)} sin (t - ´)

Amplitude

SW10.6 Reflexiondicht.nb

ReflexionReflexion

Reflexion am festen Ende: s(x0,t) = 0(die feste Wand bewegt sich nicht)

s(x0,t) = {2s cos (/2)} sin (t - ´)

ReflexionReflexion

s = {2s cos (kx0 - kx + /2)} sin (t - ´)

Amplitude

ReflexionReflexion

Reflexion am festen Ende: s(x0,t) = 0(die feste Wand bewegt sich nicht)

s(x0,t) = {2s cos (/2)} sin (t - ´)

ReflexionReflexion

s = {2s cos (kx0 - kx + /2)} sin (t - ´)

= 0

ReflexionReflexion

Reflexion am festen Ende: s(x0,t) = 0(die feste Wand bewegt sich nicht)

s(x0,t) = {2s cos (/2)} sin (t - ´)

ReflexionReflexion

= 0

cos(/2) = 0

ReflexionReflexion

Reflexion am festen Ende: s(x0,t) = 0(die feste Wand bewegt sich nicht)

s(x0,t) = {2s cos (/2)} sin (t - ´)

ReflexionReflexion

= 0

cos(/2) = 0 =

ReflexionReflexion

Reflexion am festen Ende: s(x0,t) = 0(die feste Wand bewegt sich nicht)

s(x0,t) = {2s cos (/2)} sin (t - ´)

ReflexionReflexion

cos(/2) = 0 =

Bei Reflexion am festen Ende erleidet die Welle einen "Phasensprung" der Größe

ReflexionReflexion

Reflexion am festen Ende: s(x0,t) = 0(die feste Wand bewegt sich nicht)

s(x0,t) = {2s cos (/2)} sin (t - ´)

ReflexionReflexion

cos(/2) = 0 =

Bei Reflexion am festen Ende erleidet die Welle einen "Phasensprung" der Größe

SW10.6 Reflexiondicht.nb

ReflexionReflexion

Reflexion am festen Ende: s(x0,t) = 0(die feste Wand bewegt sich nicht)

s(x0,t) = {2s cos (/2)} sin (t - ´)

ReflexionReflexion

cos(/2) = 0 =

Bei Reflexion am festen Ende erleidet die Welle einen "Phasensprung" der Größe

Reflexion am offenen Ende: s(x0,t) wird maximal

SW10.7 Reflexiondünn.nb

ReflexionReflexion

Reflexion am festen Ende: s(x0,t) = 0(die feste Wand bewegt sich nicht)

s(x0,t) = {2s cos (/2)} sin (t - ´)

ReflexionReflexion

cos(/2) = 0 =

Bei Reflexion am festen Ende erleidet die Welle einen "Phasensprung" der Größe

Reflexion am offenen Ende: s(x0,t) wird maximal, d.h. s(x0,t) = 2 s sin (t - ´)

ReflexionReflexion

Reflexion am festen Ende: s(x0,t) = 0(die feste Wand bewegt sich nicht)

s(x0,t) = {2s cos (/2)} sin (t - ´)

ReflexionReflexion

cos(/2) = 0 =

Bei Reflexion am festen Ende erleidet die Welle einen "Phasensprung" der Größe

Reflexion am offenen Ende: s(x0,t) wird maximal, d.h. s(x0,t) = 2 s sin (t - ´)Dies ist nur möglich für |cos(/2)| = 1

ReflexionReflexion

Reflexion am festen Ende: s(x0,t) = 0(die feste Wand bewegt sich nicht)

s(x0,t) = {2s cos (/2)} sin (t - ´)

ReflexionReflexion

cos(/2) = 0 =

Bei Reflexion am festen Ende erleidet die Welle einen "Phasensprung" der Größe

Reflexion am offenen Ende: s(x0,t) wird maximal, d.h. s(x0,t) = 2 s sin (t - ´)Dies ist nur möglich für |cos(/2)| = 1 oder = 0

ReflexionReflexion

Reflexion am festen Ende: s(x0,t) = 0(die feste Wand bewegt sich nicht)

s(x0,t) = {2s cos (/2)} sin (t - ´)

ReflexionReflexion

cos(/2) = 0 =

Bei Reflexion am festen Ende erleidet die Welle einen "Phasensprung" der Größe

Reflexion am offenen Ende: s(x0,t) wird maximal, d.h. s(x0,t) = 2 s sin (t - ´)Dies ist nur möglich für |cos(/2)| = 1 oder = 0

Bei Reflexion am offenen Ende erfolgt kein Phasensprung oder ein davon nichtunterscheidbarer Phasensprung um ganzzahlige Vielfache von 2.

ReflexionReflexion

Reflexion am festen Ende: s(x0,t) = 0(die feste Wand bewegt sich nicht)

s(x0,t) = {2s cos (/2)} sin (t - ´)

ReflexionReflexion

cos(/2) = 0 =

Bei Reflexion am festen Ende erleidet die Welle einen "Phasensprung" der Größe

Reflexion am offenen Ende: s(x0,t) wird maximal, d.h. s(x0,t) = 2 s sin (t - ´)Dies ist nur möglich für |cos(/2)| = 1 oder = 0

Bei Reflexion am offenen Ende erfolgt kein Phasensprung oder ein davon nichtunterscheidbarer Phasensprung um ganzzahlige Vielfache von 2.

SW10.7 Reflexiondünn.nb