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berhtram-druschel
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Fourier-Summen
Überlagerung von harmonischen Schwingungen
Inhalt
Summen aus harmonischen Schwingungen • Zwei „Harmonische“ mit ähnlicher Frequenz
– „Schwebung“• Harmonische mit Vielfachen einer Grundfrequenz
– Summe von zwei bis zu fünf dieser Schwingungen
Summe aus zwei harmonischen Schwingungen mit ähnlichen Frequenzen
Frequenz der blauen Funktion: 0,95 Hz
Frequenz der schwarzen Funktion: 1,00 Hz
Resultierendes Signal: Schwebung
Die Frequenz der Schwebung ist viel kleiner als die der einzelnen Schwingungen
Summe aus Harmonischen Funktionen mit Vielfachen einer Grundfrequenz
Harmonische Funktion der Grundfrequenz
Amplitude: f(t) = cos 2πf·t
Zwei harmonische Funktionen
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2
t [s]
Am
plitu
de f=1 [Hz]
f=2 [Hz]
Amplitude der zweiten Funktion: f(t) = cos 2π·2f·t
Drei harmonische Funktionen
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2
t [s]
Am
pli
tud
e
f=1 [Hz]
f=2 [Hz]
f=3 [Hz]
Amplitude der dritten Funktion: f(t) = cos 2π·3f·t
Vier harmonische Funktionen
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2
t [s]
Am
pli
tud
e f=1 [Hz]
f=2 [Hz]
f=3 [Hz]
f=4 [Hz]
Amplitude der vierten Funktion: f(t) = cos 2π·4f·t
Fünf harmonische Funktionen
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2
t [s]
Am
pli
tud
e
f=1 [Hz]
f=2 [Hz]
f=3 [Hz]
f=4 [Hz]
f=5 [Hz]
Amplitude der fünften Funktion: f(t) = cos 2π·5f·t
Erster Summand: „Harmonische“ der Grundfrequenz
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2
Summe 1
f(t) = cos 2π·1·t
Summe aus zwei harmonischen Funktionen
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2
Summe 1
Summe 2
f(t) = cos 2π·1·t + cos 2π·2·t
Summe aus drei harmonischen Funktionen
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2
Summe 1
Summe 2
Summe 3
f(t) = cos 2π·1·t + cos 2π·2·t + cos 2π·3·t
Summe aus vier harmonischen Funktionen
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2
Summe 1
Summe 2
Summe 3
Summe 4
f(t) = cos 2π·1·t + cos 2π·2·t + cos 2π·3·t + cos 2π·4·t
Summe aus fünf harmonischen Funktionen
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2
Summe 1
Summe 2
Summe 3
Summe 4
Summe 5
f(t) = cos 2π·1·t + cos 2π·2·t + cos 2π·3·t + cos 2π·4·t + cos 2π·5·t
Summe aus Harmonischen mit Vielfachen einer Grundfrequenz
An Stellen der Maxima der Grundschwingung erscheinen:
• Ausgeprägte Maxima – Verstärkt um die Anzahl der Summanden– Breite proportional zum Kehrwert der Anzahl
der Summanden• Zwischen diesen schmalen, hohen Maxima ist die
Amplitude praktisch verschwindend klein• Einem Paukenschlag kann deshalb keine
einzelne Frequenz („Ton“) zugeordnet werden: Er ist die Summe aus harmonischen Schwingungen zu einem „breiten Frequenzband“
Zusammenfassung
• Die Überlagerung von harmonischen Schwingungen ähnlicher Frequenz führt zu Schwebungen
• Die Überlagerung von harmonischen mit Vielfachen einer Grundfrequenz zeigt an Stellen der Maxima der Grundfrequenz– Schmale, aber um die Anzahl der Summanden
verstärkte Maxima– Ein in der Zeit kurzes, „schlagartiges“ Ereignis besteht
demnach aus vielen Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen zu einem „breiten Frequenzband“
• Je kürzer das Signal, desto breiter ist das Band
Quelle für die Rechnungen: Harmonische_Mappe1.xls
finis