UD@BENICI SVEU^ILI[TA U ZAGREBUMANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS

NakladnikGolden marketing-Tehnička knjiga

Jurišićeva 10, Zagreb

Za nakladnika Ana Rešetar

Biblioteka TEHNIČKA MEHANIKA

Knjiga 9

Urednik prof. dr. sc. Ivo Alfirević

Recenzenti prof. dr. sc. Damir Semenski

prof. dr. sc. Goran Turkalj prof. dr. sc. Hinko Wolf

Copyright © 2009., Golden marketing-Tehnička knjiga, ZagrebSva prava pridržana

ISBN 978-953-212-385-2

Objavljivanje ovog sveučilišnog udžbenika odobrio je Senat Sveučilišta u Zagrebu odlukom: klasa 032-01/07-01/62, ur. br. 380-04/38-08-4

od 15. listopada 2008. godine.

Ivo Alfirević, Juraj Saucha, Zdenko Tonković, Janoš Kodvanj

Golden marketing-Tehnička knjiga Zagreb, 2009.

UVOD U MEHANIKUII.

Primijenjena statika

Svojim učiteljimaProf. dr. sc. Davorinu Bazjancu (1902. – 1988.)Prof. dr. sc. Antunu Vučetiću (1924. – 1988.)

5

Sadržaj

6. RAVNOTEŽA PRI DJELOVANJU SILA TRENJA . . . . . . . . . . 96.1. Uvodna razmatranja i osnovni pojmovi o trenju . . . . . . . . . . . 10

6.1.1. Podjela trenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.1.2. Coulombov zakon suhog trenja . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.1.3. Faktor trenja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.1.4. Kut trenja i stožac trenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.1.5.** Dopunska objašnjenja Coulombova zakona suhog trenja . . 15

6.2. Analiza trenja klizanja na jednostavnim tehničkim napravama . . . . 496.2.1. Analiza trenja na klinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.2.2. Analiza sila trenja na vijku s pravokutnim navojem . . . . . . 626.2.3. Analiza trenja u radijalnomu kliznom ležaju . . . . . . . . . . 706.2.4. Analiza trenja u aksijalnom ležaju . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.3. Trenje remena, užeta i drugih savitljivih elemenata . . . . . . . . . . 836.3.1. Trenje plosnatog remena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.3.2. Utjecaj oblika bubnja na trenje . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.3.3. Trenje na klinastom remenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.3.4. Trenje na pojasnoj kočnici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.4. Trenje kotrljanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7. GEOMETRIJSKE ZNAČAJKE MATERIJALNIH TIJELA, PLOHA I CRTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.1. Osnovni pojmovi i definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.1.1. Gravitacijsko polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.1.2. Homogena i nehomogena tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.1.3. Težište, središte mase i geometrijsko središte . . . . . . . . . 1197.1.4. Težište tankih homogenih ljuski . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.1.5. Težište tankih homogenih ploča i ravnih likova . . . . . . . . 1297.1.6. Težište tankih zakrivljenih štapova . . . . . . . . . . . . . . . 1307.1.7. Težište složenih tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.1.8. Pappus-Guldinova pravila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.2. Momenti tromosti ravnog presjeka . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6

UVOD U MEHANIKU II.

7.2.1. Osni, polarni i devijacijski momenti tromosti . . . . . . . . . 1397.2.2. Osnovni poučci o momentima tromosti. . . . . . . . . . . . . 1427.2.3. Promjena momenata tromosti pri translaciji koordinatnog

sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.2.4. Transformacija tenzora tromosti pri rotaciji koordinatnog

sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.2.5. Glavni momenti tromosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.2.6. Mohrova kružnica momenata tromosti . . . . . . . . . . . . . 1647.2.7. Polumjer i elipsa tromosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657.2.8. Određivanje glavnih težišnih momenata tromosti složenih

presjeka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.3. Momenti tromosti tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7.3.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1747.3.2. Definicija momenata tromosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.3.3. Matrica tromosti, tenzor tromosti . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.3.4. Promjena momenta tromosti pri translaciji koordinatnog su-

stava. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.3.5. Transformacija koordinata pri zakretu koordinatnog sustava

oko ishodišta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967.3.6. Transformacija momenata tromosti pri zakretu koordinatnog

sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987.3.7. Glavne osi i glavni momenti tromosti . . . . . . . . . . . . . 2027.3.8. Glavni težišni momenti tromosti složenog tijela . . . . . . . . 205

8. NOSAČI, JEDNOSTAVNE KONSTRUKCIJE I STROJEVI . . . . . 2218.1. Uvodna razmatranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

8.1.1. Podjela konstrukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2218.1.2. Oslonci ravninskih konstrukcija . . . . . . . . . . . . . . . . 2238.1.3. Oslonci prostornih konstrukcija. . . . . . . . . . . . . . . . . 225

8.2. Rešetkaste konstrukcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2288.2.1. Statička određenost i neodređenost, ravninske i prostorne

rešetke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2288.2.2. Određivanje sila u štapovima metodom čvorova . . . . . . . . 2358.2.3. Cremonin plan sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2388.2.4 Metoda presjeka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

8.3. Ravni puni nosači . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2468.3.1. Vrste nosača, njihovo opterećenje i učvršćenje . . . . . . . . . 2468.3.2. Uzdužne i poprečne sile, momenti savijanja i uvijanja . . . . . 2488.3.3. Diferencijalna jednadžba ravnoteže štapa . . . . . . . . . . . 2648.3.4. Crtanje dijagrama Q i M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2678.3.5. Singularne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2848.3.6. Sastavljene grede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

8.4. Okvirni nosači . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

7

Sadržaj

8.4.1. Ravninski okviri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3028.4.2. Prostorni okvirni nosači. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3158.4.3. Dijagrami unutarnjih sila u zakrivljenim nosačima. . . . . . . 3188.4.4. Prostorno-ravninske konstrukcije . . . . . . . . . . . . . . . . 328

8.5. Ravnoteža savitljivih nosača. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3328.5.1. Uvodna razmatranja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3328.5.2. Parabolična lančanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3358.5.3. Obična ili hiperbolna lančanica . . . . . . . . . . . . . . . . . 3428.5.4. Prijelaz lančanice preko koloture . . . . . . . . . . . . . . . . 3478.5.5. Određivanje parametra lančanice . . . . . . . . . . . . . . . . 348

8.6. Uređaji, mehanizmi i strojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

9. ANALITIČKA STATIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3939.1. Uvod i definicija osnovnih pojmova. . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

9.1.1. Usporedba analitičke i vektorske mehanike . . . . . . . . . . 3939.1.2. Rad sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3959.1.3. Rad sprega sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

9.2. Princip virtualnih radova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4029.2.1. Virtualni pomak i virtualni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . 4029.2.2. Jednostrane, dvostrane i idealne veze. . . . . . . . . . . . . . 4049.2.3. Princip virtualnog rada za slobodnu česticu . . . . . . . . . . 4079.2.4. Princip virtualnih radova za česticu s idealnim vezama . . . . 4089.2.5. Princip virtualnih radova za sustav čestica . . . . . . . . . . . 4109.2.6. Rješavanje zadataka geometrijskim pristupom . . . . . . . . . 4119.2.7. Rješavanje zadataka analitičko-varijacijskim postupkom . . . 4229.2.8. Rješavanje zadataka ravnoteže postupkom projekcije virtual-

nih pomaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4309.3. Stabilnost ravnoteže . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

9.3.1. Potencijalna energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4349.3.2. Stabilna, labilna i indeferentna ravnoteža. . . . . . . . . . . . 4359.3.3. Princip virtualnog rada izražen preko potencijalne energije . . 4389.3.4. Matematički kriterij stabilnosti ravnoteže . . . . . . . . . . . 440

Literatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447Kazalo imena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449Kazalo pojmova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451Bilješka o autorima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

9

1

6. RAVNOTEŽA PRI DJELOVANJU SILA TRENJA Do sada smo često razmatrali međusobno djelovanje dvaju “idealno glatkih” tijela pri čemu smo pretpostavljali da je sila međusobnog djelovanja tih dvaju tijela uvijek okomita na zajedničku tangentnu ravninu u točki njihova dodira. No idealno glatkih tijela nema i zato smo u prethodnoj rečenici taj pojam stavi-li u navodnike. Uvijek dva tijela koja kližu jedno po drugom djeluju ne samo normalnim silama FN nego i tangentnim silama FT koje nastoje spriječiti kliza-nje, tj. relativno gibanje tijela. Te su tangentne sile zapravo sile trenja. One mogu biti vrlo male, ali uvijek djeluju. Svojim djelovanjem te sile dovode do gubitka ili rasipanja (disipacije) mehaničke energije koja se najčešće pretvara u toplinu. Postavimo sada pitanje: Jesu li nam sile trenja korisne ili štetne? Od-govor je: I jedno i drugo! Svijet u kojemu živimo na način na koji živimo ne-zamisliv je bez djelovanja sila trenja. Zamislimo hodanje ljudi u vrlo glatkim cipelama po ledu ili vožnju automobila bez djelovanja kočnica. Zamislimo još bizarniji slučaj. Kad bi nam ruke bile idealno glatke i svi predmeti oko nas idealno glatki, ne bismo mogli prihvatiti i premjestiti nijedan predmet, olovku, čekić ili violinu. Zaista nezamislivo.

S druge strane trenje u ležajevima i na svim pokretnim površinama strojeva do-vodi do znatnoga gubitka energije. Kad se automobil giba po ravnoj cesti, goto-vo se sva snaga motora troši na svladavanje raznih vrsta trenja: otpora zraka, trenja kotrljanja, trenja pokretnih dijelova motora i drugih uređaja na automobi-lu. Poradi svega toga presudno je važno proučiti sile trenja da znamo kako bismo ih povećali kad su nam korisne, a kad su nam štetne kako da ih što je moguće više smanjimo.

1

6. RAVNOTEŽA PRI DJELOVANJU SILA TRENJA Do sada smo često razmatrali međusobno djelovanje dvaju “idealno glatkih” tijela pri čemu smo pretpostavljali da je sila međusobnog djelovanja tih dvaju tijela uvijek okomita na zajedničku tangentnu ravninu u točki njihova dodira. No idealno glatkih tijela nema i zato smo u prethodnoj rečenici taj pojam stavi-li u navodnike. Uvijek dva tijela koja kližu jedno po drugom djeluju ne samo normalnim silama FN nego i tangentnim silama FT koje nastoje spriječiti kliza-nje, tj. relativno gibanje tijela. Te su tangentne sile zapravo sile trenja. One mogu biti vrlo male, ali uvijek djeluju. Svojim djelovanjem te sile dovode do gubitka ili rasipanja (disipacije) mehaničke energije koja se najčešće pretvara u toplinu. Postavimo sada pitanje: Jesu li nam sile trenja korisne ili štetne? Od-govor je: I jedno i drugo! Svijet u kojemu živimo na način na koji živimo ne-zamisliv je bez djelovanja sila trenja. Zamislimo hodanje ljudi u vrlo glatkim cipelama po ledu ili vožnju automobila bez djelovanja kočnica. Zamislimo još bizarniji slučaj. Kad bi nam ruke bile idealno glatke i svi predmeti oko nas idealno glatki, ne bismo mogli prihvatiti i premjestiti nijedan predmet, olovku, čekić ili violinu. Zaista nezamislivo.

S druge strane trenje u ležajevima i na svim pokretnim površinama strojeva do-vodi do znatnoga gubitka energije. Kad se automobil giba po ravnoj cesti, goto-vo se sva snaga motora troši na svladavanje raznih vrsta trenja: otpora zraka, trenja kotrljanja, trenja pokretnih dijelova motora i drugih uređaja na automobi-lu. Poradi svega toga presudno je važno proučiti sile trenja da znamo kako bismo ih povećali kad su nam korisne, a kad su nam štetne kako da ih što je moguće više smanjimo.

10

UVOD U MEHANIKU II.

2

6.1. Uvodna razmatranja i osnovni pojmovi o trenju

6.1.1. Podjela trenja Pri svakomu relativnom gibanju tijela u dodiru nastaje veći ili manji gubitak mehaničke energije koji proizvode sile trenja. Pod relativnim gibanjem koje uzrokuje pojavu trenja najčešće mislimo na međusobno gibanje dvaju tijela u dodiru. No, to može biti i relativno gibanje čestica jednoga te istog tijela: čvrsto-ga, kapljevitog ili plinovitog. U vezi s time trenje dijelimo na unutarnje trenje (internal friction) i vanjsko trenje (external friction). Unutarnje trenje ne može nastati u idealno krutom tijelu jer se u krutom tijelu čestice ne mogu relativno gibati. U skladu s tim u ovom ćemo se udžbeniku baviti razmatranjem samo vanjskog trenja. No, to ne znači da unutarnje trenje nije važno u tehnici – bilo da je korisno bilo da je štetno. Unutarnje trenje se itekako proučava i ispituje ali u drugim područjima. Vanjsko trenje dijelimo na:

1. trenje klizanja (sliding friction), 2. trenje kotrljanja (rolling friction), 3. tekućinsko trenje (fluid friction).

c)a)

FT

b)

Slika 6.1. Vrste vanjskog trenja: a) trenje klizanja, b) trenje kotrljanja, c) trenje otpora zraka

Pretežni dio ovog poglavlja posvetit ćemo trenju klizanja pa ćemo stoga dalje razmatrati podjelu trenja klizanja. Dvije površine koje se taru jedna o drugu mo-gu biti suhe; pri tome su ispupčeni dijelovi jedne površine u neposrednom dodiru s ispupčenim dijelovima druge tarne površine kako je prikazano na slici 6.2a. U tom slučaju govorimo o suhom trenju (dry friction). Ako su površine dobro po-dmazane tako da nema neposrednog dodira tarnih površina jer se između njih nalazi sloj maziva, imamo tekućinsko ili viskozno trenje kako je prikazano na slici 6.2b. Napokon imamo tzv. polusuho trenje kad su tarne površine djelomič-no u neposrednom dodiru, a djelomično razdvojene slojem maziva kao na slici 6.2c.

11

Ravnoteža pri djelovanju sila trenja

3

a) b) c)

Slika 6.2. Vrste trenja klizanja:

a) suho trenje, b) tekućinsko trenje, c) polusuho trenje

Na kraju spomenimo da razlikujemo statičko trenje (static friction) ili trenje mirovanja i kinematičko trenje (kinetic friction) ili trenje gibanja.

Trenje

unutarnje vanjsko

klizanja kotrljanja tekuæinsko

statièko kinematièko

suho polusuho tekuæinsko suho polusuho tekuæinsko

Slika 6.3. Podjela trenja

6.1.2. Coulombov zakon suhog trenja Izgleda da je Leonardo da Vinci prvi proučavao trenje. Rezultati istraživanja nisu objavljeni pa su njegova proučavanja ostala nezapažena. Francuski inženjer Amonton objavio je 1699. rezultate svojih pokusa o trenju. Charles Augustin Coulomb objavio je rezultate svojih pokusa o suhom trenju klizanja 1779. u djelu Theorie des machines simples (Teorija jednostavnih strojeva). Djelo je bilo zapaženo pa se danas pod Coulombovim trenjem podrazumijeva suho trenje klizanja. A. J. Morin potvrdio je Coulombova otkrića na temelju pokusa koje je provodio od 1831. do 1834.

Coulombov zakon suhog trenja glasi:

trenje

12

UVOD U MEHANIKU II.

4

1. Maksimalna sila trenja proporcionalna je normalnoj sili između tar-nih površina i uvijek se suprotstavlja relativnom gibanju tarnih povr-šina.

2. Maksimalna sila trenja ne ovisi o ploštini tarnih površina. 3. Granična statička sila trenja veće je od kinematičke sile trenja. 4. Kinematička sila trenja ne ovisi o relativnoj brzini klizanja tarnih

površina. Najnovija istraživanja dopunjuju i donekle ispravljaju Coulombov zakon trenja. On se dopunjuje ovim tvrdnjama:

1. Kad su relativne brzine klizanja vrlo male, sile trenja postupno rastu sa smanjenjem brzine i kontinuirano prelaze u statičku silu trenja bez naglog skoka.

2. Uobičajene promjene temperature ne utječu bitno na sile trenja. 3. Sila trenja, odnosno faktor trenja pri vrlo malim normalnim silama

nešto je veći od očekivanog. 4. Ako su normalne sile ekstremno velike tako da uzrokuju znatno de-

formiranje tarnih površina, sile trenja rastu. 5. Pri velikim relativnim brzinama sile kinematičkog trenja opadaju s

porastom brzine.

Te su činjenice prikazane na slici 6.3.

G

F

a)

FtFN

F

FTk

vrel

45o

Ft

O O

b)

FT

Slika 6.3. Promjena sile trenja u ovisnosti o aktivnoj sili F i relativnoj brzini vrel pri konstantnoj normalnoj sili FN: a) ovisnost statičke sile trenja FT o aktivnoj sili F, b)

ovisnost kinematičke sile trenja TkF o relativnoj brzini vrel tarnih površina

6.1.3. Faktor trenja Omjer najveće statičke sile trenja FT i normalne sile FN naziva se faktor statič-kog trenja (coefficient of static friction) i označuje se s μ, tj.

N

T

FF

=μ . (6.1)

13

Ravnoteža pri djelovanju sila trenja

5

Faktor statičkog trenja određuje se eksperimentalno. Ovisi o materijalu tarnih površina kao i o stanju hrapavosti tih površina. Na sličan način definira se i fak-tor kinematičkog trenja μk (coefficient of kinetic friction), tj.

N

Tk

FF

k =μ , (6.2)

gdje je TkF sila potrebna da se tijelo održi u gibanju. U tablici 6.1. prikazane su vrijednosti statičkog i kinematičkoga faktora trenja za razne materijale. Tablica 6.1. Faktori trenja

Statičko trenje Kinematičko trenje Materijal tarnih površina suho podmazano suho podmazano

čelik na čelik 0,15 do 0,30 0,10 0,10 0,01 do 0,07

čelik na SL 0,20 0,10 0,15 do 0,20 0,01 do 0,06

čelik na broncu 0,20 0,10 0,15 do 0,20 0,01 do 0,06

čelik na ledu 0,03 – 0,01 –

drvo na drvu 0,4 do 0,6 0,15 do 0,20 0,20 do 0,40 0,05 do 0,15

drvo na metalu 0,4 do 0,7 0,10 do 0,20 0,40 do 0,50 0,10

koža na metalu 0,60 0,20 0,2 do 0,3 0,10

kočničke obloge na čeliku – – 0,5 do 0,6 0,20 do 0,50

guma na asfaltu 0,7 do 0,9 – 0,5 do 0,8 –

skije na snijegu 0,1 do 0,3 – 0,04 do 0,2 –

čelik na teflonu 0,04 – 0,04 –

6.1.4. Kut trenja i stožac trenja Kvadar težine G leži na hrapavoj horizontalnoj podlozi kako je prikazano na slici 6.4a. Na taj kvadar djeluju samo dvije sile: težina G i reakcija podloge Fr. Budući da je tijelo u ravnoteži, te su dvije sile jednake, suprotno usmjerene i leže na jednom pravcu. U nekom trenutku na kvadar počne djelovati horizontalna sila F koja postupno raste od nule do svoje maksimalne vrijednosti Fmax. U trenutku kad sila dostigne svoju maksimalnu vrijednost, narušava se ravnoteža i tijelo počinje klizati udesno kako je prikazano na slici 6.4c.

14

UVOD U MEHANIKU II.

6

Fr

G

���

G

F

G

Fmax

� �

FT

FN G�

a) b) c) d)

Fr Frmax

Fmax

Frmax

Slika 6.4. Definicija kuta trenja ϕ

U trenutku kad počinje klizanje, reakcija podloge Fr otklanja se maksimalno od normale za kut ϕ koji se naziva kut trenja (angle of friction). Kut trenja može biti vrlo malen kad je trenje malo. S druge strane ϕ se može približiti vrijednosti π/2 ali ju ne može dostići, tj. vrijedi

2/0 πϕ << . (6.3)

Na slici 6.4b prikazano je tijelo na koje djeluje sila F koja postupno raste od nule ali je još uvijek manja od vrijednosti Fmax koja narušava ravnotežu. U tom sluča-ju na kvadar djeluju tri sile G, F i Fr koje se sijeku u jednoj točki. To znači da se sila Fr otklanja od normale na dodirnu površinu za neki kut ψ koji je manji od kuta trenja ϕ , tj. vrijedi 0 < ψ < ϕ . Kad aktivna sila F dostigne maksimalnu vrijednost, tj. kad je

NTmax FFF μ== ,

reakcija Fr otklanja se od normale upravo za kut trenja ϕ . Odgovarajući poligon sila prikazan je na slici 6.4d. Iz njega slijedi

N

N

N

TtanFF

FF μ

ϕ == .

Prema tome možemo pisati

μϕ =tan , (6.4)

odnosno

μϕ arctan= . (6.5)

15

Ravnoteža pri djelovanju sila trenja

7

Na kraju možemo zaključiti da će se reakcija podloge uvijek nalaziti unutar kuta 2ϕ pri čemu se dopušta da aktivna sila F promijeni smjer. U prostornom ili tro-dimenzijskom slučaju koji je prikazan na slici 6.5. reakcija podloge će se uvijek nalaziti unutar stošca sa središnjim kutom 2ϕ kako je prikazano na slici 6.5. Taj se stožac naziva stožac trenja ili konus trenja (cone of friction).

G

Fr

� �

Slika 6.5. Konus ili stožac trenja

a)

�

b)

�

sipki materijal

Slika 6.6. Ilustracija kuta trenja: a) klizanje kvadra niz kosinu započet će kad se kut kosine α poveća i postane jednak kutu trenja, b) sipki materijal pri nasipanju popri-

ma oblik stošca kojemu su bočne strane nagnute za kut trenja ϕ

6.1.5.** Dopunska objašnjenja Coulombova zakona suhog trenja

Činjenica da sila trenja FT ne ovisi o ploštini dodirnih površina pomalo začuđuje. To su pokušali dodatno objasniti F. P. Bowden i D. Tabor 1954. Dodirne površi-ne nisu idealno glatke pa se dodiruju samo u ispupčenjima i vrhovima. Kako ti vrhovi imaju vrlo male poprečne presjeke, naprezanja su na tim mjestima vrlo velika i po pravilu dostižu granicu tečenja σT kad se radi o duktilnim materijali-ma. Dodirni tlak p je reda veličine σT. Prema tome uvjet ravnoteže u smjeru normale glasi:

Nnnii2211 ...... FApApApAp =Δ+Δ+Δ+Δ , (6.7)

16

UVOD U MEHANIKU II.

8

odnosno

N

n

1iiT FA =Δ∑

=σ , (6.7)

gdje smo pretpostavili da je konstp =≈ Ti σ . iAΔ su ploštine poprečnih presjeka pojedinih ispupčenja. Ako uvedemo oznaku

∑=Δ=Δ

n

1iiAA , (6.9)

možemo pisati

AF Δ= TN σ . (6.10)

Zbog vrlo velikog tlaka među površinama, dolazi do adhezije ili lokalnoga hlad-nog zavarivanja (cold welding). Da bi izazvala klizanje, sila FT mora prekinuti te veze. Ako njihovu posmičnu čvrstoću označimo s Tτ , očito možemo pisati

( ) AAAAF Δ=+Δ+Δ+Δ= Ti21TT ...... ττ . (6.11)

Ako se poveća normalna sila FN , povećat će se i stvarna dodirna ploština AΔ u skladu sa (6.10). U tom slučaju prema (6.11) povećava se i FT. No, njihov omjer ostaje nepromijenjen, tj.

μστ

στ

==ΔΔ

=T

T

T

T

N

T

AA

FF . (6.12)

Vidimo da omjer NT / FF=μ ovisi samo o svojstvima materijala ( Tσ i Tτ ) i ne ovisi o stvarnoj ili prividnoj dodirnoj ploštini.

Napomenimo da je ovo vrlo gruba analiza i da bi za točnu analizu trebalo primi-jeniti zakone deformabilnih tijela, ponajprije teorije plastičnosti što je izvan ok-vira ovog udžbenika. Svejedno opisna gruba analiza upućuje na osnovne razloge zašto dodirna ploština ne ulazi u Coulombov zakon.

Ivo Alfirević, Juraj Saucha, Zdenko Tonković, Janoš KodvanjUVOD U MEHANIKU

II. Primijenjena statika

Nakladnik Golden marketing-Tehnička knjiga

Zagreb, Jurišićeva 10 tel.: 01/4810-819, 4810-820

faks: 01/4810-821 e-mail: gmtk@gmtk.net

www.gmtk.net

Izvršni urednik Ilija Ranić

Grafički urednik Nenad B. Kunštek

Lektorica Alka Zdjelar-Paunović

Likovno rješenje korica Studio Golden

Tisak i uvez , Zagreb

studeni 2009.

CIP zapis je dostupan u računalnom katalogu Nacionalne i sveučilišne

knjižnice u Zagrebu pod brojem .