Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛИНГВИСТИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.А. ДОБРОЛЮБОВА

О.Я.Родькина, В.А.Никольская

Высшая математика и информатика для студентов

экономических специальностей

Учебное пособие

Нижний Новгород 2007

Часть I. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

§1. Множества

1.1. Понятие множества, способы его задания

Одним из ключевых понятий математики является понятие

множества, которое можно определить как совокупность конечного или

бесконечного числа объектов, объединенных по какому-либо признаку,

рассматриваемая как целое. Например, множество действительных чисел,

множество натуральных чисел, множество коммерческих банков,

множество домов в данном городе и т. д.

Объекты, составляющие множество, называются его элементами.

Если множество содержит конечное число элементов, то для его

определения достаточно просто перечислить все его элементы. Если же

множество содержит бесконечное число элементов, которые нельзя

перечислить, то для определения множества достаточно указать то общее

свойство, которому удовлетворяют все его элементы.

Множества в математике обозначаются заглавными латинскими

буквами, а его элементы - прописными латинскими буквами. Например,

множество Y содержит в себе элементы a, b, c или . Если

указанные элементы не содержатся во множестве Y, то это записывается

так: .

Если множество не содержит ни одного элемента, оно называется

пустым и обозначается символом 0 (играет роль нуля). Множество,

которое включает в себя все рассматриваемые множества, называется

универсальным и обозначается буквой E. В теории множеств оно играет

роль единицы. Для любого множества Х E.

2

Таким образом, задать множество можно одним из перечисленных

ниже способов:

1. перечислением элементов, например: Y={a,b,c}

2. указанием общего свойства элементов множества, например:

Y={y, y>0}.

Основной характеристикой конечного множества Х является число

его элементов − мощность множества, которая обозначается следующим

образом: |X|.

Рассмотрим два любых множества X и Y. Между ними можно

определить следующие отношения:

Если эти множества состоят из одних и тех же элементов, то

есть совпадают, то говорят, что эти множества равны или

эквиваленты. Записывается это так: X=Y. В противном случае

множества неравны друг другу: Х Y.

Если все элементы множества X содержатся во множестве Y,

то говорят, что множество X является подмножеством Y и записывают

Х Y. Каждое непустое множество X имеет, по меньшей мере, два

подмножества: само Х и Ø.

Если ни один из элементов множества X не содержится во

множестве Y, то и множество X не содержится во множестве Y, то есть

.

1.2. Операции над множествами

Над множествами можно выполнять следующие операции:

1. Сумма или объединение множеств A и B - это множество

C=A U B, в которое включаются все элементы из A и все элементы из B. То

есть во множестве С содержатся элементы, обладающие либо свойством

множества А, либо свойством множества В.

3

Например, пусть X − множество всех государственных банков с

годовым оборотом более 1 миллиарда долларов, а Y − множество

коммерческих банков с таким же оборотом. Тогда объединением этих

множеств X U Y является множество всех банков с указанным оборотом.

Наглядно все операции над множествами можно определить при

помощи так называемых диаграмм Венна, когда любое множество

изображается геометрическими фигурами. Например, объединением

множеств А и В является заштрихованная область на рис. 1.1(а).

2. Умножение или пересечение множеств A и B − это множество

C=A∩B, к которому относятся все элементы, принадлежащие

одновременно множеству A и множеству B (то есть их общая часть), см.

рис 1.1(б).

3. Дополнение множества A − это множество , в которое

включаются все элементы, не принадлежащие множеству A.

4. Разность множеств А и В − это множество С, включающее в

себя все элементы множества А, не содержащиеся в В. Разность множеств

обозначается так: С=А/В.

Рассмотренные выше операции над множествами обладают

следующими свойствами:

1) коммутативность: АUВ=ВUА; А∩В=В∩А;

2) ассоциативность: АU(ВUС)=(АUВ)U; А∩(В∩С)=(А∩В)∩С;

4

Рис.1.1. (а, б)

3) дистрибутивность: А∩(ВUС)=(А∩В)U(А∩С) или

АU(В∩С)=(АUВ)∩(АUС)

4) двойного отрицания:

5) свойство идемпотентности АUA=A, A∩А=А

Кроме того, выполняются следующие законы:

1. Закон де-Моргана:

2. Закон противоречия:

АUØ=А; А∩Ø=Ø;А∩ =Ø

3. Закон исключения третьего:

5

§2. Числовые последовательности. Предел последовательности

2.1. Числовые последовательности и их свойства

Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1, 2, 3, 4, 5…, n, …

поставлено в соответствие вещественное число an, то множество

вещественных чисел a1, a2, a3,...an,... называется числовой

последовательностью. Другими словами, бесконечной числовой

последовательностью (или просто числовой последовательностью)

называется функция аn=f(n), определённая на множестве всех

натуральных чисел 1, 2, 3, 4….., n, … . Значения последовательности а1 , а2

, а3 ,….., аn ,…называют её членами.

Последовательность обозначают так: { аn }. Это означает, что задана

последовательность с общим членом аn. По данному общему члену

всегда можно найти любой член последовательности, подставив в формулу

общего члена нужный номер.

an =(-1)n n a1= -1, a2=2, a3=-3,……

an =(3n+2) a1=5, a2=8, a3=11,……

an=2-n a1=1, a2=0, a3=-1,…..

Любую числовую последовательность можно изобразить на

числовой оси в виде точек, координаты которых равны соответствующим

членам числовой последовательности.

Рассмотрим арифметические действия над членами

последовательностей. Допустим, у нас есть две последовательности {an},

{bn}. Над ними можно определить следующие операции:

1. Сложение последовательностей

Суммой двух последовательностей {an}, {bn} называется

последовательность {an+bn}, каждый член которой равен сумме

6

соответствующих членов указанных последовательностей: a1+b1, a2+b2,

a3+b3....

2. Разность последовательностей

Разностью двух последовательностей {an}, {bn} называется

последовательность {an−bn}, каждый член которой равен разности

соответствующих членов последовательностей: a1−b1, a2−b2, a3−b3,....

3. Произведение последовательности на некоторое число m

Произведением последовательности {an} на некоторое число m

называется последовательность {man}, каждый член которой умножается

на число m: ma1, ma2 , ma3,....

4. Произведение двух последовательностей

Произведением двух последовательностей {an}, {bn} называется

последовательность вида {anbn}, каждый член которой равен произведению

соответствующих членов указанных последовательностей: a1b1, a2b2, a3b3,....

5. Частное двух последовательностей

Частным двух последовательностей {an}, {bn} называется

последовательность вида , каждый член которой равен частному

соответствующих членов последовательностей {an}, {bn} : ,

если все b n отличны от нуля.

2.2. Ограниченные и неограниченные последовательности. Предел последовательности

Числовая последовательность называется невозрастающей

(неубывающей), если для любого номера n справедливо неравенство:

аn аn+1 ( аn аn+1 ).

7

Если аn аn+1 ( аn аn+1 ), то последовательность { аn } убывающая

(возрастающая). Невозрастающие и неубывающие последовательности

называются монотонными.

Последовательность { аn }называется ограниченной сверху (снизу),

если существует такое число М, что для любого номера n выполняется

неравенство: аn М (аn М).

Последовательности, одновременно ограниченные сверху и снизу,

называются ограниченными.

Например, последовательность −1, −2, −3, −4, … , − n,… не

ограничена снизу, но ограничена сверху (нулем), а последовательность

ограничена, поскольку любой ее член удовлетворяет

следующему неравенству:

Число А называют пределом последовательности {аn }, если для

любого числа существует такой номер =, зависящий от , что

для всех n выполняется неравенство аn – А . Это обозначают так:

lim аn = А, или аn А при n

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся

последовательностью. Последовательность, не имеющая предела,

называется расходящейся.

Существует еще одно определение сходящейся последовательности:

последовательность {аn } называется сходящейся, если существует такое

число а, что в любой его −окрестности находятся все элементы этой

последовательности, начиная с некоторого номера, зависящего от . То

есть, если последовательность сходится, то в любой −окрестности точки а

на числовой прямой находится бесконечное число точек − элементов этой

последовательности, тогда как вне −окрестности остается конечное

число элементов. Поэтому предел последовательности часто называют

точкой сгущения.

8

Сформулируем без доказательства важные свойства пределов

последовательностей:

1. Последовательность может иметь только один предел.

2. Любая неубывающая (невозрастающая) и ограниченная сверху (снизу)

числовая последовательность имеет предел.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Сумма (разность) сходящихся последовательностей есть сходящаяся

последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов этих

последовательностей.

5. Произведение сходящихся последовательностей есть также сходящаяся

последовательность, предел которой равен произведению пределов

указанных последовательностей.

6. Частное двух сходящихся последовательностей есть также сходящаяся

последовательность, предел которой равен частному пределов указанных

последовательностей при условии, что предел последовательности-

делителя отличен от нуля.

Рассмотрим применение вышеуказанных свойств пределов на

примере. Необходимо найти предел следующей дроби:

Пример 2.1:

Поясним это решение: при стремлении n к бесконечности пределы

числителя и знаменателя не существуют, поэтому нельзя сразу переходить

9

к частному пределов. Для того, чтобы это сделать, нужно разделить и

числитель, и знаменатель на старшую степень n. Применяя затем

последовательно теоремы о пределах частного и суммы, найдем значение

предела.

2.3. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Последовательность {аn} называется бесконечно большой, если для

любого положительного числа А существует номер N такой, что при n>N

выполняется неравенство .

Последовательность {αn} называется бесконечно малой, если для

любого положительного числа ε существует номер N такой, что при n>N

выполняется неравенство .

Теорема. Если {xn} – бесконечно большая последовательность, xn0,

то последовательность {αn}= бесконечно малая, и, обратно, если {αn} –

бесконечно малая последовательность, αn0, то последовательность {xn}=

бесконечно большая.

Основные свойства бесконечно малых последовательностей

1. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей

являются бесконечно малыми последовательностями.

2. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть

бесконечно малая последовательность.

Следствие: произведение конечного числа бесконечно малых

последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

10

3. Произведение бесконечно малой последовательности на

ограниченную последовательность является бесконечно малой

последовательностью.

Следствие: произведение бесконечно малой последовательности на

постоянное число является бесконечно малой последовательностью.

11

§3. Функции

3.1. Способы задания функции

При изучении природных и технических процессов исследователи

сталкиваются с величинами, одни из которых сохраняют одно и то же

численное значение – они называются постоянными, а другие могут

принимать различные численные значения и называются переменными.

Если каждому значению, которое может принять переменная x, по

некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно

определённое значение переменной y, то говорят, что y есть однозначная

функция от x, и обозначают y = f (x).

Переменная x называется независимой переменной или аргументом.

Совокупность всех значений аргумента x, для которых функция y=f(x)

определена, называется областью определения этой функции.

Совокупность всех значений, принимаемых переменной y, называется

областью значений функции y=f(x).

Функции задают несколькими способами:

Аналитический способ – это задание функции при помощи формул.

Например: y=2x , y= x+1. Если уравнение, с помощью которого задаётся

функция не разрешено относительно y, то функция называется неявной.

Когда такое решение возможно, неявная функция может быть приведена к

явной форме, то есть к виду y=f (x). Например, уравнение 2x + 3 y-5=0

можно рассматривать как неявно задающее функцию. Решив его

относительно y, мы получим ту же функцию, но уже в явном виде:

.

Отметим, что при аналитическом способе задания встречаются

случаи, когда функция задана не одной, а несколькими формулами,

например:

12

Табличный способ − это способ задания функции при помощи

таблицы. Примерами такого задания являются таблицы

тригонометрических функций, логарифмов и так далее. Табличный способ

задания широко используется в различного рода экспериментах и

наблюдениях. Таблицы просты в обращении, для нахождения значения

функции не надо производить вычисления. Недостатком табличного

способа является то, что функция задаётся не для всех значений аргумента.

Графический способ. Графиком функции y=f(x) называется

множество точек (x; y) плоскости xОy, координаты которых связаны

соотношением y=f(x). Само равенство y=f(x) называется уравнением этого

графика. Говорят, что функция задана графически, если на плоскости

имеется её график. Преимуществом графического способа задания

функции по сравнению с аналитическим и табличным способами является

его наглядность.

3.2. Виды функций

Функция f(x), заданная на симметричном относительно начала

координат множестве, называется четной, если для любого значения х из

этого множества имеет место равенство:

f(−x)=f(x)

График четной функции симметричен относительно оси OY.

Функция f(x), заданная на симметричном относительно начала

координат множестве, называется нечетной, если для любого значения х

из этого множества имеет место равенство:

f(−x)=−f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала

координат.

13

Если сложить две четные (нечетные) функции, то в результате

получится четная (нечетная) функция. Разность двух четных (нечетных)

функций также является четной (нечетной) функцией. Результатом

произведения двух четных (нечетных) функций является четная (нечетная)

функция, а если умножить четную функцию на нечетную, то получится

нечетная.

Функция f(x) называется периодической, если существует число Т≠0

такое, что для любого значения x из области определения выполняется

равенство f(x+T)=f(x). Число Т называется периодом функции.

Пусть y=f(x) – есть функция независимой переменной x. Это

означает, что задавая значения x, мы вполне определяем значения

зависимой переменной y. Поступим наоборот, а именно: будем считать

независимой переменной y, а зависимой - переменную x. Тогда x будет

являться функцией переменной y, которая называется функцией обратной

к данной. Разрешив данное уравнение относительно x, получаем явное

выражение обратной функции:

Х = (y)

Обратная функция однозначной функции может быть многозначной,

то есть данному значению у может соответствовать несколько значений

переменной x.

Пусть переменная y зависит от переменной u, которая в свою

очередь зависит от переменной x, то есть y = f(u), u = (x). Тогда при

изменении x будет меняться u, а потому будет меняться и y. Значит y

является функцией x:

Y = f ( (x) ).

Эта функция называется сложной функцией (или функцией от

функции), переменная u – промежуточной. Указанную сложную функцию

называют также суперпозицией функций f и .

14

3.3. Предел функции

Рассмотренное выше понятие предела числовой последовательности

позволяет сделать обобщение этого определения на произвольные функции.

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x=а,

кроме, быть может, самой точки а.

Число А называется пределом функции f (x) при стремлении x к а

(или в точке а), если для любого числа существует такое число ,

что для всех x а, удовлетворяющих условию: x – а , имеет место

неравенство: x А.

Обозначают это так:

lim xa (x)= A, или x)А при xа.

Отсюда, если число А есть предел функции (x) в точке x =а, то для

всех x, достаточно близких к числу а и отличных от него,

соответствующие им значения функции (x) оказываются сколь угодно

близкими к числу А (естественно в тех точках, в которых функция (x)

определена).

При изучении свойств функции приходится рассматривать и предел

функции при стремлении аргумента x к бесконечности.

Число А называется пределом функции (x) при стремлении x к

бесконечности (или в бесконечности), если для любого существует

такое положительное число , что для всех x , удовлетворяющих условию:

x, имеет место неравенство x -А. При этом пишут:

limxx=A.

3.4. Бесконечно большие и бесконечно малые величины

3.4.1.Бесконечно малые величины и их свойстваПри изучении свойств пределов функций особую роль играют

функции, предел которых при стремлении аргумента к какой-либо точке

равен нулю.

15

Функция (x) называется бесконечно малой при xа, если

lim x a (x)=0, то есть если для любого числа существует такое число

, что для всех x, удовлетворяющих неравенству x–а,

выполняется неравенство (x).

Бесконечно малую функцию (x) называют также бесконечно малой

величиной или просто бесконечно малой.

Остановимся на основных свойствах бесконечно малых функций.

Эти свойства будут верны также и для бесконечно малых

последовательностей.

1. Если функции 1(x) и 2(x) являются бесконечно малыми, то

функция 1(x) + 2(x) также есть бесконечно малая.

2. Функция (x) называется ограниченной при xа, если

существуют положительные числа и , такие, что при условии х–

а выполняется неравенство: x .

Любая бесконечно малая функция (x) является ограниченной при

xа.

3. Произведение ограниченной при xа функции на бесконечно

малую есть функция бесконечно малая.

4. Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно

малая.

5. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая.

3.4.2. Бесконечно большие величины и их свойстваФункция (x) называется бесконечно большой при xа, если для

любого числа М существует такое число , что (x) для всех x,

удовлетворяющих неравенству x - а. Обозначается это так:

limxa (x)=.

16

Примечание: Бесконечность () не число, а символ, который

употребляется, например, для того, чтобы указать, что соответствующая

функция есть бесконечно большая.

Бесконечно большая функция не имеет предела, так как предел

переменной (если он существует) - некоторое число. То же в случае

бесконечно большой последовательности.

Как видно их следующих свойств, которые верны и для

последовательностей, бесконечно большие и бесконечно малые функции

тесно связаны между собой:

1.Если функция (x) бесконечно большая, то бесконечно малая.

2.Если функция (x) бесконечно малая и не обращается в нуль, то

- бесконечно большая.

3.5. Основные теоремы о пределах и их применение

Теорема 1. Для того, чтобы число А было пределом функции х

при х а, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представима

в виде: (х)=А +(х), где (х) – бесконечно малая.

Теорема 2. Предел постоянной величины равен самой постоянной.

Теорема 3. Если функция (х) ((х) для всех х в некоторой

окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а, и в точке а имеет

предел, то:

limха (х) (limха (х)

Теорема 4. Если функции 1 (х) и 2 (х) имеют переделы при ха, то

при ха имеют пределы также их сумма 1 (х) + 2 (х), произведение 1

17

(х)* 2 (х), и при условии, что lim ха 2 (х) − частное 1 (х) /2 (х),

причём:

lim хa(1 (х) + 2 (х))= lim хa 1 (х)+ lim хa 2 (х)

lim хa [1 (х) * 2 (х)]= lim хa 1 (х)* lim хa 2 (х)

lim хa [ ]=

Теорема 5. Если для функций (х), 1 (х), 2 (х) в некоторой

окрестности точки а выполняется неравенство: (х) 1 (х) 2 (х) и

lim хa 1 (х)= lim хa 2 (х)=A, то lim хa (х)=А.

Для нахождения пределов на практике пользуются следующими

теоремами.

Теорема: nlim

nn = 1, nlim

an = 1, a = const, a >0,

x 0lim

sin xx

= 1 , (3.1)

0lim (1 + )1. = e , (3.2)

где e 2,7 - основание натурального логарифма.

Формулы (3.1) и (3.2) носят название первого и второго

замечательного пределов.

Используются на практике и следствия формулы (3.2):

0lim log (1+ )c

= logc e,

(3.3)

18

0lim (a - 1)/ = ln a, (3.4)

0lim ((1 + ) - 1)/ = ,

(3.5)

в частности,

0lim ln(1+ )

= 1.

(3.6)

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи,

связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К ним, например,

относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения

страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Пример 3.1. xn = 4 53 1

6nn

. Найти

nlim

xn.

Решение: 4 53 1

6nn

=

4 5

3 143

6

6

n

n

.

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени

равен степени от предела основания.

Пример 3.2. Найти ( ).

Решение. Применять теорему о пределе разности нельзя, поскольку

имеем неопределенность вида - . Преобразуем формулу общего члена,

домножим и разделим выражение на сопряженное, а затем применим

формулы сокращенного умножения (разность квадратов):

= .

19

Пример 3.3. Найти .

Решение. Имеем: sin5xx = 5 sin5

5x

x . Обозначим t = 5x. При x0 имеем:

t0. Применяя формулу (3.10), получим 5 sin tt

5.

Пример 3.4. Найти:

1) ;

2) x 2lim

;

3) xlim

.

Решение.

1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим

предел знаменателя: x 1lim

.

Предел знаменателя не равен нулю, поэтому по теореме о пределе

частного получаем: = .

2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место

неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно

неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную

функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x 2

равенство:

= .

Так как (x+1) 0, то по теореме о пределе частного найдем

20

x 2lim

= x 2lim

= .

3. Числитель и знаменатель при x являются бесконечно большими

функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не

применима. Разделим числитель и знаменатель на x2 и к полученной

функции применим теорему о пределе частного:

= .

Пример 3.5. Найти .

Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю: ,

x-90, т.е. имеем неопределенность вида 00 .

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на

неполный квадрат суммы выражения (до разности кубов), получим:

.

Пример 3.6. Найти .

Решение: = .

3. 6. Понятие непрерывной функции. Основные теоремы о непрерывных функциях

Пусть функция (х) определена в некотором интервале, х0 и х – два

произвольных значения из этого интервала. Обозначим х0 − х =∆ х, откуда

х = х0 + х. В этом случае говорят, что для перехода от значения аргумента

х0 к значению х первоначальному значению придано приращение ∆х.

21

Приращением ∆у функции у=(х), соответствующим приращению

∆х аргумента х в точке х0 называется разность:

∆у=(х0 + ∆х) - (х0 ).

Функция у=(х) называется непрерывной в точке х0, если

бесконечно малому приращению ∆х аргумента х в точке х0, соответствует

бесконечно малое приращение функции ∆у, то есть:

lim ∆х0 ∆у= lim ∆х0 ( (х0 + ∆х)- ( (х0 ))=0

Другими словами, функция у=(х) непрерывна в точке х0, если она

определена в этой точке и , то есть предел функции в точке

равен значению функции в этой точке.

Функция, непрерывная в каждой точке интервала, называется

непрерывной на этом интервале.

Теорема 1. Если функции 1 (х) и 2 (х) непрерывны в точке х0 , то

непрерывны в этой точке также их алгебраическая сумма 1 (х) + 2 (х),

произведение 1 (х) * 2 (х), и при условии, что lim ха 2 (х), частное

.

Эта теорема вытекает из аналогичной теоремы о пределах.

Теорема 2. Если функция u =х) непрерывна в точке х0 , а функция

у=(u) непрерывна в точке u0 =(х0), то сложная функция у=((х))

непрерывна в точке х0.

Теорема 3. Если (х) – непрерывная функция, имеющая

однозначную обратную функцию, то обратная функция тоже непрерывна.

Теорема 4. Все основные элементарные функции непрерывны там,

где они определены.

Теорема 5. Функция (х), непрерывная в точке х0 , не равная нулю в

этой точке, сохраняет знак (х0 ) в некоторой окрестности этой точки.

Свойства функций, непрерывных на сегменте

22

Функция (х) называется непрерывной на сегменте [a,b], если она

непрерывна в интервале (a,b), и, кроме того, в точке а непрерывна справа,

а в точке b – слева.

Приведём без доказательства следующие свойства функций,

непрерывных на отрезке:

1. Если функция (х) непрерывна на сегменте [a, b] и на концах его

принимает значения разных знаков, то между точками a и b найдётся

точка с, такая, что (с)=0.

Это свойство имеет простой геометрический смысл: если

непрерывная кривая переходит с одной стороны оси Ох на другую, то она

пересекает ось Ох.

2. Если функция (х) непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена

на нём, то есть существует такое положительное число М, что х

при а х b.

3. Если функция х непрерывна на сегменте a,b], то на этом

сегменте найдутся точки x1 и х2 , такие, что значения функции х1 и х2

будут соответственно наибольшим и наименьшим из всех значений

функции (х) на сегменте a, b].

§ 4. Производная функции и ее дифференциал

4.1.Определение производной

Пусть функция y=(х) определена в промежутке (a,b). Возьмём

какое-нибудь значение х из (a,b). Затем возьмём новое значение аргумента

х+∆x из этого промежутка, придав первоначальному значению х

приращение ∆ (положительное или отрицательное). Этому новому

значению аргумента соответствует и новое значение функции:

y + ∆у= (х + ∆х), где ∆у= (х+∆х) - (х)

Теперь составим отношение:

23

=

Оно является функцией от ∆х. Если существует предел отношения

приращения функции ∆у к вызвавшему его приращению аргумента ∆х

когда ∆х стремится к нулю, то этот предел называется производной от

функции у=(х) в данной точке х и обозначается через у′ или ′ (х).

у′=′ (х)= lim∆x→0 = lim∆x→0 .

Если существует предел справа lim∆х→0+0 (или предел слева

lim∆х→0-0 ) , то он называется правой (или левой) производной

функции (х) в точке х.

Действие нахождения производной функции называется её

дифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х,

называют дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая

в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой в этом

промежутке. При этом если промежуток от a до b есть отрезок [a,b], то в

точке а речь идёт о правой производной, а в точке b – о левой.

4.2. Правила дифференцирования

Производная суммы. Пусть u и v – две функции аргумента х,

имеющие производные u´ и v´ соответственно, тогда производная суммы

этих функций равна сумме их производных:

(u + v)´= u´ + v´. (4.1)

Производная произведения. Пусть u и v –две функции

аргумента х, имеющие производные u´ и v´ соответственно, тогда

производная произведения этих функций равна:

(uv)´ = u´v + uv´. (4.2)

Вынесение постоянного множителя за знак производной:

24

(сu)´=cu´ (4.3)

Производная частного: (4.4)

Таблица производных основных элементарных функций

8.

2. 9.

3. 10.

4. 11.

5. 12.

6. 13.

7.

Производная сложной функции. Пусть у=(u), где u=φ(х),

причём (u) имеет производную по u, а φ (х) - по х. Областью определения

функции y = f(φ(x)) является либо вся область определения функции

u=φ(x), либо та ее часть, в которой определяются значения u, не

выходящие из области определения функции y= f(u).

Тогда у будет сложной функцией от х и её производная вычисляется

следующим образом:

(u(х))´=´(u)* φ ´(х). (4.5)

Для иллюстрации приведем несколько примеров вычисления

производных сложных функций:

Пример 4.1. Найти производную функции

Пример 4.2.

25

Пример 4.3.

Производная обратной функции

Пусть функции у=(х) и х=φ(у) - взаимно обратные функции. Тогда

если функция у=(х) имеет не равную нулю производную ´(х), то

обратная функция имеет производную φ´(у) и:

4.3. Дифференциал функции

Из определения производной и с учётом теоремы о

свойствах пределов, получаем:

, где α= α(х) – бесконечно малая при Δх .

Умножим обе части равенства на ∆х: ∆у = у’∆х + α(х).

Пусть у, тогда первое слагаемое ух линейно по х, поскольку

у не зависит от х. При х это слагаемое бесконечно мало, но порядок

его малости ниже порядка малости второго слагаемого, так как для всех

значений у :

.

26

Поэтому слагаемое ух является главной частью приращения

функции. Это слагаемое называют дифференциалом функции у = (х) и

обозначают символом dy или d (х). Итак, dy=y´Δx.

Таким образом, замечая, что dх=х´х=х, то есть, что дифференциал

независимой переменной равен её приращению, получаем:

dy=y´dx.

Таким образом, дифференциал функции равен произведению её

производной на дифференциал (или приращение) независимой

переменной.

Геометрический смысл дифференциала состоит в том, что

дифференциал – это приращение ординаты касательной, соответствующее

приращению аргумента Δx.

Дифференциал сложной функции

Найдём выражение для дифференциала сложной функции. Пусть

y= =(u), где u=φ(x), причём (u) имеет производную по u, φ(x) – по х.

Тогда по правилу дифференцирования сложной функции имеем:

Следовательно,

Таким образом, дифференциал сложной функции имеет тот же вид,

какой он имел бы в том случае, если бы промежуточный аргумент её был

бы независимой переменной. Иначе говоря, форма записи дифференциала

27

не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной

или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называется

инвариантностью формы дифференциала.

Предположим, что мы нашли для функции y=f(x) ее производную

y =f(x). Тогда, производная от этой производной называется производной

второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается

.

Аналогично определяются и обозначаются:

производная третьего порядка - ,

производная четвертого порядка -

и вообще производная n-го порядка - .

Рассмотрим вычисление производных на примерах.

Пример 4.4. Вычислить производную функции y=(3x3-2x+1)sin x.

Решение. По правилу о вычислении производной от произведения (4.2),

y'=(3x3-2x+1)'sin x+(3x3-2x+1)(sin x)'= (9x2-2)sin x + (3x3-2x+1)cos x.

Пример 4.5. Найти y', y = tg x + .

Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного

(4.1) и (4.4), получим: y'=(tgx + )' = (tgx)' + ( )' = +

= .

Пример 4.6. Найти производную сложной функции y= ,

u=x4 +1.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим:

y'x =y 'u u'x =( )'u(x4 +1)'x =(2u + . Так как u=x4 +1, то

(2 x4 +2+ .

28

Пример 4.7. Найти производную функции y= .

Решение. Представим функцию y= в виде суперпозиции двух

функций: y = eu и u = x2. Имеем: y'x =y 'u u'x = (eu)'u(x2)'x = eu 2x. Подставляя

x2 вместо u, получим y=2x .

Пример 4.8. Найти производную функции y=ln sin x.

Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln

u вычисляется по формуле y' = (ln u)'u(sin x)'x= .

Пример 4.9. Найти производную функции y= .

Решение. Случай сложной функции, полученной в результате нескольких

суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила 5:

.

Пример 4.10. Вычислить производную y=ln .

Решение. Логарифмируя и используя свойства логарифмов, получим:

Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:

.

4.4. Свойства дифференцируемых функций

Теорема Ферма. Если функция (х), определённая в интервале (a,b),

достигает в некоторой точке с этого интервала наибольшего (или

наименьшего значения) и существует производная '(c), то '(c)=0.

Теорема Роля. Если функция у=(х), непрерывная на сегменте [a,b]

и дифференцируемая в интервале (a,b), принимает на концах этого

29

сегмента равные значения (а)=(b), то в интервале (a,b) существует точка

с, такая, что ´(c)=0.

Теорема Лагранжа. Если функция y=(х) непрерывна на сегменте

[a,b] и дифференцируема в интервале (a,b), то в интервале (a,b) найдётся

точка с такая, что:

Из теоремы Лагранжа вытекает следствие: Если ’(х) =0 в интервале

(a,b), то в этом интервале функция постоянна.

30

§5. Интегральное исчисление

5.1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла

Функция F(Х) называется первообразной функцией для данной

функции (х) (или, короче, первообразной данной функции) на данном

промежутке, если на этом промежутке F’(x)=(х).

Теорема 1.

Если F1 (x) и F2 (x) - две первообразные для функции (х) в

некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна

постоянному числу.

Выражение F(x) +С, где F(x) – первообразная функции (х) и С –

произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от

функции (х) и обозначается символом (х)dx, причём (х) называется

подинтегральной функцией, (х)dx – подинтегральное выражение, х –

переменная интегрирования, знак - знак интеграла. Таким образом, по

определению:

(х) dx = F(x)+C, если F´(x)=(х).

Теорема 2.

Если функция (х) непрерывна на сегменте [a,b], то на этом сегменте

у функции (х) существует первообразная.

5.2. Свойства неопределённого интеграла, таблицаосновных интегралов

Из определения неопределённого интеграла непосредственно

вытекают следующие свойства:

1. и, значит,

31

2. , что может быть переписано в виде:

3.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

4.Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих

функций.

Таблица основных интегралов

1. 8.

2. 9.

3. 10.

4. 11.

5. 12.

6. 7. +С

5. 3. Основные методы интегрирования

1. Замена переменной интегрирования

Этот способ часто бывает полезным в тех случаях, когда интеграл

((х) – непрерывна) не может быть непосредственно

преобразован к виду табличного. Сделаем подстановку х=φ(t) , где φ(t) –

функция, имеющая непрерывную производную. Тогда,

(х) = [φ(t)], dx = φ΄(t)dt и .

32

Эта формула называется формулой замены переменной в

неопределённом интеграле.

Пример 5.1.

Интеграл найдём заменой х= t2 , тогда:

2. Интегрирование по частям

Пусть u=u(x) и v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции.

Как известно, d(uv)=vdu+udv, откуда udv=d(uv)-vdu. Интегрируя последнее

соотношение, получаем:

Произвольная постоянная интегрирования С здесь включена в

слагаемое ∫vdu. Это и есть формула интегрирования по частям.

Применение этого метода целесообразно в том случае, когда интеграл в

правой части окажется более простым для вычисления, чем исходный

интеграл.

Пример 5.2.

3. Интегрирование дробно-рациональных функций

А. Выделение правильной рациональной дроби

Как известно, дробно-рациональной функцией (или рациональной

дробью) называется отношение двух многочленов.

Рациональная дробь называется правильной (неправильной), если

степень многочлена, стоящего в числителе, меньше (больше или равна)

степени многочлена, стоящего в знаменателе.

33

Например, дроби

- правильные,

а дроби

− неправильные.

Неправильную рациональную дробь всегда можно свести к

правильной, разделив числитель на знаменатель «столбиком» и выделив из

дроби целую часть, то есть многочлен. Поэтому будем рассматривать

задачу интегрирования правильной рациональной дроби, так как

интегрирование многочлена не представляет труда.

Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде

суммы конечного числа так называемых простейших дробей следующих

четырёх видов:

Б. Интегрирование простейших рациональных дробей

Интегрирование простейших дробей типов (1) и (2) не представляет

труда. В самом деле,

,

34

Перейдём к интегрированию простейшей дроби типа (3).

Подстановка , то есть и обозначение дают:

Поэтому:

Интегрирование рациональных дробей типа (4) производится с

помощью этой же подстановки, хотя осуществляется немного сложнее.

В. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие

Пусть дана правильная рациональная дробь

(5.1)

Без ограничения общности можно считать, что коэффициент у

старшего члена многочлена Q(x) равен единице, так как в случае, когда он

равен какому-то другому числу (отличному от нуля), можно разделить

числитель и знаменатель дроби на это число, после чего у получившегося в

знаменателе многочлена коэффициент у старшего члена окажется равным

единице. Будем предполагать, что коэффициенты входящих в дробь

многочленов – действительные числа, так как для многочлена с

действительными коэффициентами имеет место соответствующее

разложение на множители. Пусть для определённости знаменатель Q(x)

разлагается на множители следующим образом:

, где . (5.2)

35

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Для дроби (5.1), знаменатель которой имеет вид (5.2),

справедливо следующее разложение на сумму простейших дробей:

, (5.3)

где A1, A2 ,…,Ak , M1, N1 ,…,Ml ,Nl - постоянные действительные числа.

Из формулы (5.3) видно, что линейному множителю х-а знаменателя

Q(x) соответствуют в разложении (5.3) простейшие дроби типов 1, 2, а

квадратичному множителю x2 + px +q - простейшие дроби типов 3, 4. При

этом число простейших дробей, соответствующих данному множителю

(линейному или квадратичному), равно показателю степени, с которым

этот множитель входит в разложение знаменателя дроби на множители.

Правило разложения правильной рациональной дроби остаётся

справедливым и при любом конечном числе линейных и квадратичных

множителей, входящих в разложение знаменателя Q(x).

5. Метод неопределённых коэффициентов

Одним из наиболее простых методов определения коэффициентов в

разложении правильной дроби на простейшие является метод

неопределённых коэффициентов. Поясним применение этого метода на

примере.

Пример 5.3: разложить на простейшие дроби правильную дробь

.

Убедившись, что квадратный трёхчлен (х2 +х+1) имеет комплексные корни, ищем, согласно теореме из пункта 3. разложение в виде:

= ,

где коэффициенты A, M, N необходимо определить.

36

Для этого приводим к общему знаменателю дроби, стоящие в правой

части соотношения. Приравниваем числители исходной дроби и той,

которая будет получена:

.

Коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях

данного тождества должны быть равны. Записывая это условие

последовательно для коэффициентов при х2 , х, х0, получаем:

Решая эту систему, находим A=1, M=-1, N=2. Наконец, подставляя в

равенство найденные значения A, M, N, окончательно получаем

6. Интегрирование правильных рациональных дробей

Для вычисления интеграла от правильной рациональной дроби надо

эту дробь разложить на простейшие дроби (согласно теореме из п.3) и

найти интеграл от полученной суммы простейших дробей. Следовательно,

интеграл от любой правильной рациональной дроби есть функция

элементарная, потому что представляет сумму элементарных функций,

которые получаются в результате интегрирования простейших дробей.

Пример 5.4. Найти интеграл:

Так как , то разложив дроби на

простейшие и проинтегрировав их, получим:

37

7. Интегрирование тригонометрических выражений

Интегралы вида

Эти интегралы с помощью известных тригонометрических формул

приводятся к интегралам:

Интегралы вида , где n, m - натуральные

числа.

Если n, m - чётные, то интегралы находятся с

помощью тригонометрических формул:

Если хотя бы одно из чисел n, m - нечётное, то от нечётной степени

отделяется множитель первой степени и вводится новая переменная.

Пример 5.5. Найдите . Имеем

Пример 5.6. Вычислить .

Решение. Обозначим t=x+2, тогда dt=dx, = = lnt+С =

= lnx+2+С.

Пример 5.7. Найти tg x dx.

38

Решение: tg x dx = = - . Пусть t=cos x, тогда tg

x dx= - = - lnt+С = - lncos x+С

Пример 5.8. Найти dx/sin x.

Решение.

Пример 5.9. Найти .

Решение. =

Пример 5.10. Вычислить ln x dx.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

u=ln x, dv=dx, du= 1/x dx, v=x. Тогда ln x dx = x lnx - x 1/x dx =

= x lnx - dx = x lnx - x + C.

Пример 5.11. Вычислить ex sin x dx.

Решение. Обозначим u = ex, dv = sin x dx, тогда du = ex dx, v= sin x

dx= - cos x ex sin x dx = - ex cos x + ex cos x dx. Интеграл ex cos x dx

также интегрируем по частям: u = ex, dv = cos x dx du=exdx, v=sin x.

Имеем:

ex cos x dx = ex sin x - ex sin x dx. Получили соотношение ex sin x dx = -

ex cos x + ex sin x - ex sin x dx, откуда 2 ex sin x dx = - ex cos x + ex sin x + С.

Пример 5.13. Вычислить J = cos(ln x)dx/x.

Решение. Так как dx/x = d(ln x), то J= cos(ln x)d(ln x). Заменяя ln x

через t, приходим к табличному интегралу:

J = cos t dt = sin t + C = sin(ln x) + C.

Пример 5.14. Вычислить J = .

39

Решение. Учитывая, что = d(ln x), производим подстановку ln x = t.

Тогда J = .

5.4. Определенный интеграл

Перейдем теперь к понятию определенного интеграла.

Пусть на замкнутом промежутке Х = [а, b] (см. рис.1.2.) задана

функция f(x). Разобьем этот промежуток произвольно точками а = x0 < x1

< х2 < ... < хn = b на n частичных промежутков [x0, х1], [x1, х2], ... , [xn-1, хn]

длины соответственно Δx1, Δx2, … , Δxn, где Δxk = xk — xk-1. В каждом из

полученных частичных промежутков [xk-1, хk], где k = 1, 2, ... , n, выберем

произвольным образом точку ξk (xk-1 ≤ ξk ≤ хk), вычислим f(ξk), найдем

произведение f(ξk)Δхk и составим сумму

k

n

kk xf

)(1

,

которая называется интегральной суммой функции f в промежутке [а, b]

или суммой Римана. Обозначим через λ наибольшую из длин частичных

промежутков [xk-1, хk], где k = 1, 2. … , n (λ= kkxmax ). Число λ называют

рангом дробления промежутка [а, b]. Будем неограниченно увеличивать

число n частичных промежутков так, чтобы λ → 0.

40

Рис.1.2.

Если при λ → 0 существует конечный предел I интегральной суммы

k

n

kk xfI

)(lim10

, не зависящий ни от способа разбиения промежутка

[а, b] на части, ни от выбора точек ξk в каждом из частичных

промежутков, то функция f(x) называется интегрируемой на промежутке

[а, b], а сам предел I называется определенным интегралом функции

f(x) на промежутке [а, b] . Он обозначается символом b

a

dxxfI )( .

То есть по определению имеем: b

a

dxxf )( k

n

kk xf

)(lim1

0

.

Если функция f (x) непрерывна на [a, b], то справедлива следующая

формула:

b

a

bFaFdxxf )()()( .

Эта формула называется основной формулой интегрального

исчисления, или формулой Ньютона-Лейбница. Разность, стоящую в

правой части последней формулы, обычно обозначают символом F(x)b

aи

формулу Ньютона-Лейбница записывают в виде:

b

a

b

axFdxxf )()( .

Рассмотрим вычисление определенного интеграла на примерах:

Пример 5.14. Вычислить интеграл J = .

Решение. Имеем: . Поэтому =

=

= .

41

Пример 5.15. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция определена и непрерывна при всех

значениях х и, следовательно, имеет первообразную F(x)= .

По определению имеем: = .

По формуле Ньютона-Лейбница,

= F(b) - F(0) = + = ;

= = .

42

§6. Основы линейной алгебры

6.1. Матрицы: определение и действия с ними

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m

x n чисел a ij , i=1,..., m, j=1,..., n, расположенных в m строках и n столбцах.

(6.1.)

Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок матрицы).

Операции с матрицами

По определению, чтобы умножить матрицу на число, нужно

умножить на это число все элементы матрицы.

Суммой двух матриц одинаковой размерности, называется матрица

той же размерности, каждый элемент которой равен сумме

соответствующих элементов слагаемых.

Произведение матриц определяется следующим образом: пусть

заданы две матрицы A и B, причем число столбцов первой из них равно

числу строк второй.

Если даны две матрицы А и В,

А= В=

то произведением матриц A и B, называется матрица С,

43

элементы которой вычисляются по формуле:

c ij =a i1 b 1j + a i2 b 2j + ... +a in b nj , i=1, ..., m, j=1, ..., k.

Произведение матриц A и B обозначается AB, т.е. C=AB и, вообще

говоря, зависит от порядка сомножителей. Если AB=BA, то матрицы A и B

называются перестановочными.

Для квадратных матриц определена единичная матрица -

квадратная матрица, все диагональные элементы которой единицы, а

остальные - нули:

Единичная матрица чаще всего обозначается буквой E или E n, где n -

порядок матрицы. Произведение единичной матрицы на любую другую

аналогично произведению единицы на число: AE=EA=A.

Скалярной матрицей называется диагональная матрица с

одинаковыми числами на главной диагонали; единичная матрица -

частный случай скалярной матрицы.

Для прямоугольных матриц определена операция

транспонирования.

Рассмотрим произвольную матрицу A. Матрица, получающаяся из

матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по

отношению к матрице и обозначается A T:

44

Для транспонированных матриц справедливы следующие

соотношения:

(AT )T =A;

(A+B)T=AT +BT ;

(AB)T =BT AT.

Квадратная матрица A, для которой A T =A, называется

симметричной. Элементы такой матрицы, расположенные симметрично

относительно главной диагонали, равны.

Квадратная матрица A называется обратимой, если существует

такая матрица X, что

AX=XA=E.

Матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A -1, т.е.

A A -1 =A -1A=E.

Верно соотношение: (A-1)T =(AT ) -1.

6.2. Определители

Введем несколько вспомогательных определений. Перестановкой

чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном

порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех

перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12...n = n!.

Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123,

132, 312, 321, 231, 213.

Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию,

если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее

число стоит левее меньшего.

45

Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней

соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция,

посредством которой от одной перестановки переходят к другой,

составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.

Подстановка, переводящая одну перестановку в другую,

записывается двумя строками в общих скобках, причем числа,

занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках,

называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например,

символ обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1

2, 2 1, 4 3. Подстановка называется четной (или нечетной), если

общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно).

Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде

,т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.

Пусть нам дана квадратная матрица порядка n:

А= .

(6.2)

Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой

матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и

каждого столбца, т.е. произведений вида:

, (6.3)

где индексы q1, q2,..., qn составляют некоторую перестановку из чисел

1, 2,..., n. Число таких произведений равно числу различных перестановок

из n символов, т.е. равно n!.

Знак произведения (6.3) равен (- 1)q, где q - число инверсий в

перестановке вторых индексов элементов.

Определителем n -го порядка, соответствующим матрице (6.2),

называется алгебраическая сумма n! членов вида (6.3). Для записи

46

определителя употребляется символ A =

или

det A=

(детерминант, или определитель, матрицы А).

Свойства определителей:

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель

равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет

знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на

некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен

нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде

суммы двух слагаемых ai j = bj + cj (j=1,n ), то определитель равен сумме

определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в

заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из

элементов bj, в другом - из элементов cj.

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк

прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на

одно и то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк

взять столбцы.

Минором Mij элемента aij определителя d n-го порядка называется

определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки

и столбца, содержащих данный элемент.

47

Алгебраическим дополнением элемента aij определителя d

называется его минор Mij, взятый со знаком (-1)i+j. Алгебраическое

дополнение элемента aij будем обозначать Ai j. Таким образом,

Ai j = (-1) i + j Mi j.

Способы практического вычисления определителей, основанные на

том, что определитель порядка n может быть выражен через определители

более низких порядков, дает следующая теорема.

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной

его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря,

имеет место разложение d по элементам i-й строки

d = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 +... + ai n Ai n (i = 1,n )

или j- го столбца

d = a1 j A1 j + a2 j A2 j +... + an j An j (j = 1,n ).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного,

равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его

алгебраическое дополнение.

Пример 6.1. Вычислить определитель D = ,

разложив его по элементам второго столбца.

Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:

D = a12A12 + a22A22+a32A32=

= .

Пример 6.2. Вычислить определитель

48

A =

,

в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны

нулю.

Решение. Разложим определитель А по первой строке:

A = a11 A11 = .

Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой

строке, тогда получим:

A = .

И так далее. После n шагов придем к равенству A = а11 а22… ann.

6.3. Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу (6.1). Если в этой матрице

выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на

пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу

k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором

k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами

любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных

от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор,

порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров

данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если

ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется

отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего

чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что

выполняется соотношение

0 r(A) min (m, n).

49

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо

методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы

первым способом следует переходить от миноров низших порядков к

минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка

матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-

го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора.

Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или

столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них

получается из другой с помощью конечного множества элементарных

преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их

ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так:

A B.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале

главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых

может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю,

например, .

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую

матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы

равен числу единиц на ее главной диагонали.

Пример 6.3. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы

.

50

Решение. Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов

матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) М1 = 1, расположенный в

первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и

третьего столбца, получаем минор M2 = , отличный от нуля.

Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим М2. Их всего два

(можно

добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их:

0. Таким образом, все окаймляющие миноры

третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум.

Пример 6.4. Найти ранг матрицы А=

и привести ее к каноническому

виду.

Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:

.Теперь из второй и третьей строк

вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

; из третьей строки вычтем

первую; получим матрицу В = ,

которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью

конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг

матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Матрицу В легко привести к

канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие

числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки,

кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем,

вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех

последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго,

и получим каноническую матрицу:

51

.

6.4. Обратная матрица

Рассмотрим квадратную матрицу

A = .

Обозначим =det A.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной,

если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной,

если = 0.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы

А того же порядка, если их произведение АВ = ВА = Е, где Е - единичная

матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и

достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А1, так что В = А1.

Обратная матрица вычисляется по формуле

А1 = 1/ ,

(6.5)

где А i j - алгебраические дополнения элементов a i j.

Вычисление обратной матрицы по формуле (6.5) для матриц

высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно

находить обратную матрицу с помощью метода элементарных

преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только

столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если

совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной

матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать

52

ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом

через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида

матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться

преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу,

в процессе преобразований следует использовать только строки или только

столбцы.

Пример 6.5. Для матрицы А = найти

обратную.

Решение. Находим сначала детерминант матрицы А

= det А = = 27 0, значит, обратная матрица

существует и мы ее можем найти по формуле: А1 = 1/

, где Аi j (i,j=1,2,3) - алгебраические

дополнения элементов аij исходной матрицы. Имеем:

откуда А1 = .

Пример 6.6. Методом элементарных преобразований найти обратную

матрицу для матрицы: А= .

Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную

матрицу того же порядка: . С помощью элементарных

преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной,

53

совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей.

Для этого поменяем местами первый и второй столбцы:

. К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму -

первый, умноженный на -2: . Из первого столбца вычтем

удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй;

. Прибавим третий столбец к первому и второму:

. Умножим последний столбец на -1:

. Полученная справа от вертикальной черты

квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак,

А1 = .

54

§7. Системы линейных уравнений

7.1. Критерий совместности

Система линейных уравнений имеет вид:

(7.1)

Здесь аij и bi (i = 1,m; j = 1,n ) - заданные, а xj - неизвестные

действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно

переписать систему (7.1) в виде:

AX = B, (7.2)

где A=(аij) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных

системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x1, x2,..., xn)T,

B = (b1, b2,..., bm)T - векторы-столбцы, составленные соответственно из

неизвестных xj и из свободных членов bi.

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1, c2,..., cn)

называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих

чисел вместо соответствующих переменных x1, x2,..., xn каждое уравнение

системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если

существует вектор C= (c1, c2,..., cn)T такой, что AC B.

Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет

по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или

неразрешимой, если она не имеет решений.

Матрица

55

A =

,

образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных

членов, называется расширенной матрицей системы.

Вопрос о совместности системы (7.1) решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера−Капелли. Система линейных уравнений совместна

тогда и только тогда, когда ранги матриц A иA совпадают, т.е.

r(A) = r(A) = r.

Для множества М решений системы (7.1) имеются три возможности:

1) M = 0 (в этом случае система несовместна);

2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное

решение (в этом случае система называется определенной);

3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется

неопределенной). В третьем случае система (7.1) имеет бесчисленное

множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда

r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (mn);

если m>n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если

0<r<n, то система является неопределенной.

Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь

решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, -

так называемые системы крамеровского типа:

(7.3)

Системы (7.3) решаются одним из следующих способов: 1) методом

Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера;

3) матричным методом.

56

Пример 7.1. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она

совместна:

5x1 - x2 + 2x3 + x4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x1 - 3x2 - 6x3 + 5x4 = 0.

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы:

A = .

Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например,

минор второго порядка в левом верхнем углу = 7 0;

содержащие его миноры третьего порядка равны нулю:

M3 = = 0, M3 = = 0.

Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A)=2.

Для вычисления ранга расширенной матрицы A рассмотрим

окаймляющий минор

= = -35 0,

значит, ранг расширенной матрицы r(A) = 3. Поскольку r(A) r(A), то

система несовместна.

7.2. Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения

систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод

последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода

состоит в том, что посредством последовательных исключений

неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности,

треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении

системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к

57

ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу

этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками.

Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно

соединяют знаком эквивалентности.

Пример 7.2. Решить систему уравнений методом Гаусса:

x + y - 3z = 2,

3x - 2y + z = - 1,

2x + y - 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную

соответственно на 3 и 2:

~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к

треугольному виду:

x + y - 3z = 2,

-5y + 10z = -7,

- 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение

во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим

x = - 0,7.

58

7.3. Формулы Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим

главный определитель системы (7.3), т.е. определитель матрицы А

= det (ai j)

и n вспомогательных определителей i (i=1,n ), которые получаются из

определителя заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

x i = i (i = 1,n ). (7.4)

Из (7.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ

на вопрос о совместности системы (7.3): если главный определитель

системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение,

определяемое по формулам:

x i = i / .

Если главный определитель системы и все вспомогательные

определители i = 0 (i= 1,n ), то система имеет бесчисленное множество

решений. Если главный определитель системы = 0, а хотя бы один

вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Пример 7.3. Решить методом Крамера систему уравнений:

x1 + x2 + x3 + x4 = 5,

x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = -2,

2x1 - 3x2 - x3 - 5x4 = -2,

3x1 + x2 +2x3 +11 x4 = 0.

Решение. Главный определитель этой системы

= = -142 0,

59

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные

определители i (i=1 4, ), получающиеся из определителя путем замены в

нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi, столбцом из свободных

членов:

1 = = - 142, 2

= = - 284,

3 = = - 426, 4 =

= 142.

Отсюда x1 = 1/ = 1, x2 = 2/ = 2, x3 = 3/ = 3, x4 = 4/ = -1,

решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)T.

7.4. Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.

det A 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (7.3)

совпадает с вектором C = A1B. Иначе говоря, данная система имеет

единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C,

C=A1B называют матричным способом решения системы, или решением

по методу обратной матрицы.

Пример 7.4. Решить матричным способом систему уравнений

x1 - x2 + x3 = 6,

2x1 + x2 + x3 = 3,

x1 + x2 +2x3 = 5.

Решение. Обозначим

A = , X = (x1, x2, x3)T, B = (6, 3, 5) T.

60

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B.

Поскольку = det 1 - 1 12 1 11 1 2

=5 0, то матрица A

невырождена и поэтому имеет обратную:

А1 = .

Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B

слева на матрицу A: X = A1B. В данном случае

A1 = 15 1 3 - 2-3 1 1 1 - 2 3

и, следовательно,

= .

Выполняя действия над матрицами, получим:

x1 = 1/5(16+33-25) = 1/5 (6+9-10) = 1,

x2 = 1/5 (-36 +13 - 15) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,

x3 = 1/5 (16 - 23 + 35) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.

Итак, С = (1, -2, 3)T.

7.5. Системы линейных уравнений общего вида

Если система (7.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и A имеют

один и тот же ранг, то могут представиться две возможности:

а) r=n;

б) r<n:

Если r=n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными,

причем определитель этой системы отличен от нуля. Такая система

имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера.

Если r<n, то число независимых уравнений меньше числа

неизвестных.

61

Перенесем лишние неизвестные xr+1, xr+2,..., xn, которые принято

называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений

примет вид:

a11 x1 + a12 x2 +... + a1r xr = b1 - a1,r+1 xr+1 -... - a1nxn,

a21 x1 + a22 x2 +... + a2r xr = b2 - a2,r+1 xr+1 -... - a2nxn,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

ar1 x1 + ar2 x2 +... + arr xr = br - ar,r+1 xr+1 -... - arnxn.

Ее можно решить относительно x1, x2,..., xr, так как определитель этой

системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным

произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера

соответствующие числовые значения для x1, x2,..., xr. Таким образом, при

r<n имеем бесчисленное множество решений.

Система (7.1) называется однородной, если все bi=0, т. е. она имеет вид:

a 11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = 0,

a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = 0, (7.5)

... ... ... ... ... ...

am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = 0.

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна,

так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы.

Это, впрочем, видно и непосредственно - система (7.5) заведомо обладает

нулевым, или тривиальным, решением x1 = x2 =... = xn = 0. Пусть матрица

А системы (7.5) имеет ранг r.

Если r=n, то нулевое решение будет единственным решением

системы (7.5); при r<n система обладает решениями, отличными от

нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае

произвольной системы уравнений.

62

Всякий ненулевой вектор-столбец X=(x1, x2,..., xn)T называется

собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы

A), если найдется такое число , что будет выполняться равенство

AX = X.

Число называется собственным значением линейного преобразования

(матрицы A), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n.

В математической экономике большую роль играют так называемые

продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной

тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по

модулю меньше единицы.

Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем

равенство AX = X в виде (A - E)X = 0, где E- единичная матрица n-го

порядка или в координатной форме:

(a11 -)x1 + a12x2 +... + a1nxn =0,

a21x1 + (a22 -)x2 +... + a2nxn = 0,

... ... ... ... ... ... ... ... (7.6)

an1x1 + an2x2 +... + (ann-)xn = 0.

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет

ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой

системы равен нулю, т.е.

=

.

Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной ,

которое называется характеристическим уравнением матрицы A,

63

многочлен A - E называется характеристическим многочленом

матрицы A, а его корни - характеристическими числами, или

собственными значениями, матрицы A.

Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное

уравнение (A - E)X = 0 или в соответствующую систему однородных

уравнений (7.6) нужно подставить найденные значения и решать

обычным образом.

Пример 7.5. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она

совместна.

x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 =1,

3x1 - x2 + x3 + 4x4 + 3x5 =4,

x1 + 5x2 - 9x3 - 8x4 + x5 =0.

Решение. Будем находить ранги матриц A и A методом элементарных

преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:

1 1 - 2 - 1 1 13 - 1 1 4 3 41 5 - 9 - 8 1 0

1 1 - 2 - 1 1 10 - 4 7 7 0 10 4 - 7 - 7 0 - 1

1 1 - 2 - 1 1 10 - 4 7 7 0 10 0 0 0 0 0

.

Очевидно, что r(A)=r(A)=2. Исходная система равносильна

следующей, приведенной к ступенчатому виду:

x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 = 1,

- 4x2 + 7x3 + 7x4 = 1.

Поскольку определитель при неизвестных x1 и x2 отличен от нуля, то их

можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:

x1 + x2 = 2x3 + x4 - x5 + 1,

- 4x2 = - 7x3 - 7x4 + 1,

64

откуда x2 = 7/4 x3 + 7/4 x4 -1/4, x1 = 1/4 x3 -3/4 x4 - x5 + 5/4 - общее решение

системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая

свободным неизвестным x3, x4, x5 конкретные числовые значения, будем

получать частные решения. Например, при x3 = x4 = x5 = 0 x1= 5/4, x2 = - 1/4.

Вектор C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы.

Пример 7.6. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в

зависимости от значения параметра а.

2x1 - x2 + x3 + x4 = 1,

x1 +2x2 - x3 + 4x4 = 2,

x1 + 7x2 - 4x3 +11x4 = a.

Решение. Данной системе соответствует матрицаА=2 - 1 1 1 11 2 - 1 4 21 7 - 4 11 a

. Имеем А ~

1 2 - 1 4 20 5 - 3 7 a - 20 - 5 3 - 7 - 3

~

1 2 - 1 4 20 5 - 3 7 a - 20 0 0 0 a - 5

, следовательно, исходная система

равносильна такой:

x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2,

5x2 - 3x3 + 7x4 = a-2,

0 = a-5.

Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение

в этом случае имеет вид:

x2 = 3/5 + 3/5x3 - 7/5x4, x1 = 4/5 - 1/5x3 - 6/5x4.

Пример 7.7. Найти собственные значения и собственные векторы

матрицы

A = 3 - 1 0 0 1 1 0 03 0 - 5 - 34 - 1 3 1

.

65

Решение. Вычислим определитель матрицы A - E:

A - E = det3

- 1 0 0 1 1- 0 0 3 0 - 5 - - 3 4 - 1 3 1-

= det 0 -1 0 0

- 4 + 4 1- 0 0 3 0 - 5- - 3 1+ -1 3 1-

=2

= 0 0

3 - 5- - 3 1+ 3 1-

2

4 4

( )

3

3 1-2 4 4

5 .

Итак, = ( - 2)2 (+2)2. Корни характеристического уравнения

=0 - это числа 1 = 2 и 2 = -2. Другими словами, мы нашли

собственные значения матрицы A. Для нахождения собственных векторов

матрицы A подставим найденные значения в систему (7.6): при = 2

имеем систему линейных однородных уравнений

x1 - x2 = 0, x1 - x2 = 0,

x1 - x2 = 0, 3x2 -7x3 - 3x4 = 0,

3x1 - 7x3 - 3x4 = 0, 5x3 + x4 = 0.

4x1 - x2 + 3x3 - x4 = 0,

Следовательно, собственному значению = 2 отвечают собственные

векторы вида (8, 8, -3, 15), где - любое отличное от нуля

действительное число. При = -2 имеем:

A - E = A +2E = 5 - 1 0 01 3 0 0 3 0 - 3 - 34 - 1 3 3

1 3 0 00 1 0 00 0 1 1

,

и поэтому координаты собственных векторов должны удовлетворять

системе уравнений:

66

x1+3x2 = 0,

x2 = 0,

x3+x4= 0.

Поэтому собственному значению = -2 отвечают собственные векторы

вида (0, 0,-1, 1), где - любое отличное от нуля действительное число.

67

§8 Аналитическая геометрия

8.1.Векторы

Упорядоченную совокупность (x1, x2, ... , x n) n вещественных чисел

называют n-мерным вектором, а числа xi ( i = ) – компонентами или

координатами вектора.

Векторы обозначают жирными строчными буквами или буквами с

чертой или стрелкой наверху, например, a или a. Два вектора называются

равными, если они имеют одинаковое число компонент и их

соответствующие компоненты равны.

Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1)

(2, 3, 5, 0, 1).

Произведением вектора x = (x1, x2 , ... ,xn) на действительное число

называется вектор x = ( x1, x2, ... , xn).

Суммой векторов x = (x1, x2, ... ,xn) и y = (y1, y2 , ... ,yn) называется вектор

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ... , x n + yn).

N-мерное векторное пространство Rn определяется как множество

всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на

действительные числа и сложение.

Экономическая иллюстрация n-мерного векторного пространства:

пространство благ (товаров). Под товаром мы будем понимать

некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время

в определенном месте. Предположим, что существует конечное число

наличных товаров n; количества каждого из них, приобретенные

потребителем, характеризуются набором товаров

x = (x1, x2, ..., xn),

где через xi обозначается количество i-го блага, приобретенного

потребителем. Будем считать, что все товары обладают свойством

68

произвольной делимости, так что может быть куплено любое

неотрицательное количество каждого из них. Тогда все возможные наборы

товаров являются векторами пространства товаров

C = { x = (x1, x2, ... , xn) xi 0, i = }.

Система e1, e2, ... , em n-мерных векторов называется линейно

зависимой, если найдутся такие числа 1, 2, ... , m, из которых хотя бы

одно отлично от нуля, что выполняется равенство:

1 e1 + 2 e2 +... + m em = 0.

В противном случае данная система векторов называется линейно

независимой, то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда

все 1=2=...=m=0. Геометрический смысл линейной зависимости

векторов в R3, интерпретируемых как направленные отрезки, поясняют

следующие теоремы.

Теорема 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима

тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы,

необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Теорема 3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы,

необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой, если

наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, c в

указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. B

противном случае a, b, c - левая тройка. Все правые (или левые) тройки

векторов называются одинаково ориентированными.

Тройка e1, e2, e3 некомпланарных векторов в R3 называется базисом, а

сами векторы e1, e2, e3 - базисными. Любой вектор a может быть

единственным образом разложен по базисным векторам, то есть

представлен в виде

а = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3, (8.1)

69

Числа x1, x2, x3 в разложении (8.1) называются координатами вектора

a в базисе e1, e2, e3 и обозначаются a(x1, x2, x3). Если векторы e1, e2, e3 попарно

перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис

называется ортонормированным, а координаты x1, x2, x3 - прямоугольными.

Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать i, j, k.

Будем предполагать, что в пространстве R3 выбрана правая система

декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k}.

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор c,

который определяется следующими тремя условиями:

1. Длина вектора c численно равна площади параллелограмма,

построенного на векторах a и b, т. е. c = a b sin (a^b).

2. Вектор c перпендикулярен к каждому из векторов a и b.

3. Векторы a, b и c, взятые в указанном порядке, образуют правую

тройку.

Для векторного произведения c вводится обозначение c = [ab] или

c = a b.

Если векторы a и b коллинеарны, то sin(a^b) = 0 и [ab] = 0, в

частности, [aa] = 0. Векторные произведения ортов: [ij] = k, [jk] = i, [ki] =

j.

Если векторы a и b заданы в базисе i, j, k координатами a(a1, a2, a3),

b(b1, b2, b3), то

[ab] = =i (a2b3 - a3b2) - j (a1b3 - a3b1) + k

(a1b2 - a2b1).

Если векторное произведение двух векторов а и b скалярно умножается

на третий вектор c, то такое произведение трех векторов называется

смешанным произведением и обозначается символом a b c.

Если векторы a, b и c в базисе i, j, k заданы своими координатами

a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), c(c1, c2, c3), то

70

abc = .

Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование

- это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда,

построенного на трех данных векторах.

Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное

произведение есть число положительное, равное указанному объему; если

же тройка a, b, c - левая, то a b c<0 и V = - a b c, следовательно:

V = a b c .

Пример 8.1. Найдите угол между векторами a = 2m+4n и b = m-n,

где m и n - единичные векторы и угол между m и n равен 120о.

Решение. Имеем: cos = ab/ab, ab = (2m+4n) (m-n) = 2 m2 - 4n2 +2mn =

2 - 4+2cos120o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; a2 = (2m+4n) (2m+4n) =

= 4 m2 +16mn+16 n2 = 4+16(-0.5)+16=12, значит a = . b = ; b2 =

= (m-n)(m-n) = m2 -2mn+ n2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, значит b = . Окончательно

имеем: cos = = -1/2, = 120o.

Пример 8.2. Выяснить, будет ли линейно зависимой система

векторов:

a1 = (1, 1, 4, 2),

a2 = (1, -1, -2, 4),

a3 = (0, 2, 6, -2),

a4 = (-3, -1, 3, 4),

a5 = (-1, 0, - 4, -7).

Система векторов является линейно зависимой, если найдутся такие

числа x1, x2, x3, x4, x5, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что

выполняется векторное равенство:

x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4 a4 + x5 a5 = 0.

В координатной записи оно равносильно системе уравнений:

71

x1 + x2 - 3x4 - x5 = 0,

x1 - x2 + 2x3 - x4 = 0,

4x1 - 2x2 + 6x3 +3x4 - 4x5 = 0,

2x1 + 4x2 - 2x3 + 4x4 - 7x5 = 0.

Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем

ее методом исключения неизвестных:

.

Система приведена к ступенчатому виду, ранг матрицы равен 3,

значит, однородная система уравнений имеет решения, отличные от

нулевого (r<n). Определитель при неизвестных x1, x2, x4 отличен от нуля,

поэтому их можно выбрать в качестве главных и переписать систему в

виде:

x1 + x2 - 3x4 = x5,

-2x2 + 2x4 = -2x3 - x5,

- 3x4 = - x5.

Имеем: x4 = 1/3 x5, x2 = 5/6x5+x3, x1 = 7/6 x5 -x3.

Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные

неизвестные x3 и x5 не равны нулю одновременно, то и главные

неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение

72

x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4 a4 + x5 a5 = 0

имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть

например, x5 = 6, x3 = 1. Тогда x4=2, x2 = 6, x1=6 и мы получим соотношение

6a1 + 6a2 + a3 + 2a4 + 6a5 = 0,

т.е. данная система векторов линейно независима.

8.2. Линии на плоскости

При чтении экономической литературы приходится иметь дело с

большим количеством графиков. Укажем некоторые из них.

Кривая безразличия - кривая, показывающая различные комбинации

двух продуктов, имеющих одинаковое потребительское значение, или

полезность, для потребителя.

Кривая потребительского бюджета - кривая, показывающая

различные комбинации количеств двух товаров, которые потребитель

может купить при данном уровне его денежного дохода.

Кривая производственных возможностей - кривая, показывающая

различные комбинации двух товаров или услуг, которые могут быть

произведены в условиях полной занятости и полного объема производства

в экономике с постоянными запасами ресурсов и неизменной технологией.

Кривая инвестиционного спроса - кривая, показывающая динамику

процентной ставки и объем инвестиций при разных процентных ставках.

Кривая Филлипса - кривая, показывающая существование устойчивой

связи между уровнем безработицы и уровнем инфляции.

Кривая Лаффера - кривая, показывающая связь между ставками

налогов и налоговыми поступлениями, выявляющая такую налоговую

ставку, при которой налоговые поступления достигают максимума.

73

Уже простое перечисление терминов показывает, как важно для

экономистов умение строить графики и разбираться в свойствах

простейших кривых, каковыми являются прямые линии и кривые второго

порядка - окружность, эллипс, гипербола, парабола. Кроме того, при

решении большого класса задач требуется выделить на плоскости область,

ограниченную какими-либо кривыми. Чаще всего эти задачи

формулируются так: найти наилучший план производства при заданных

ресурсах. Задание ресурсов имеет обычно вид неравенств. Поэтому

приходится искать наибольшее или наименьшее значения, принимаемые

некоторой функцией в области, заданной системой неравенств.

В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как

множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

F(x,y)=0. При этом на функцию F должны быть наложены ограничения

так, чтобы, с одной стороны, это уравнение имело бесконечное множество

решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло

“куска плоскости”. Важный класс линий составляют те, для которых

функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия,

определяемая уравнением F(x,y)=0, называется алгебраической.

Алгебраические линии, задаваемые уравнением первой степени, cуть

прямые. Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество

решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или линию,

распадающуюся на две прямые.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система

координат. Прямая на плоскости может быть задана одним из уравнений:

1. Общее уравнение прямой:

Ax + By + C = 0. (8.2)

Вектор n(А,В) ортогонален прямой, числа A и B одновременно не равны

нулю.

74

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y - yo = k (x - xo), (8.3)

где k - угловой коэффициент прямой, то есть k = tg , где - величина

угла, образованного прямой с осью Оx, M (xo, yo ) - некоторая точка,

принадлежащая прямой.

Уравнение (8.3) принимает вид y = kx + b, если M (0, b) есть точка

пересечения прямой с осью Оy.

3. Уравнение прямой в отрезках:

x/a + y/b = 1, (8.4)

где a и b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки - A(x1, y1) и

B(x2, y2 ):

. (8.5)

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x1, y1)

параллельно данному вектору a(m, n):

. (8.6)

6. Нормальное уравнение прямой:

rnо - р = 0, (8.7)

где r - радиус-вектор произвольной точки M(x, y) этой прямой,

nо - единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от

начала координат к прямой; р - расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное уравнение прямой в координатной форме имеет вид:

x cos + y sin - р = 0,

где - величина угла, образованного прямой с осью Оx.

75

Уравнение пучка прямых с центром в точке А(x1, y1) имеет вид:

y-y1 = (x-x1 ),

где - параметр пучка. Если пучок задается двумя пересекающимися

прямыми A1 x + B1 y + C1= 0, A2 x + B2 y + C2 = 0, то его уравнение имеет

вид:

(A1 x + B1 y + C1) + (A2 x + B2 y + C2 )=0,

где и - параметры пучка, не обращающиеся в 0 одновременно.

Величина угла между прямыми y = kx + b и y = k1 x + b1 задается

формулой:

tg = .

Равенство 1 + k1 k = 0 есть необходимое и достаточное условие

перпендикулярности прямых.

Для того, чтобы два уравнения

A1 x + B1 y + C1= 0, (8.8)

A2 x + B2 y + C2 = 0, (8.9)

задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их

коэффициенты были пропорциональны:

A1/A2 = B1/B2 = C1/C2.

Уравнения (8.8), (8.9) задают две различные параллельные прямые,

если A1/A2 = B1/B2 и B1/B2 C1/C2; прямые пересекаются, если A1/A2 B1/B2.

Расстояние d от точки Mо(xо, yо) до прямой есть длина

перпендикуляра, проведенного из точки Mо к прямой. Если прямая задана

нормальным уравнением, то d = rо nо - р , где rо - радиус-вектор точки Mо

или, в координатной форме, d = xо cos + yо sin - р .

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

76

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x +2a2y +a = 0.

Предполагается, что среди коэффициентов a11, a12, a22 есть отличные

от нуля.

Уравнение окружности с центром в точке С(a, b) и радиусом,

равным R имеет вид:

(x - a)2 + (y - b)2 = R2. (8.10)

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний

которых от двух данных точек F1 и F2 (фокусов) есть величина постоянная,

равная 2a.

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса:

(8.11)

Эллипс, заданный уравнением (8.11), симметричен относительно

осей координат. Параметры a и b называются полуосями эллипса.

Пусть a>b, тогда фокусы F1 и F2 находятся на оси Оx на расстоянии

c= от начала координат. Отношение c/a = < 1 называется

эксцентриситетом эллипса. Расстояния от точки M(x, y) эллипса до его

фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

r1 = a - x, r2 = a +x.

Если же a < b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , = c/b,

r1 = b + x, r2 = b - x.

Если a = b, то эллипс является окружностью с центром в начале

координат радиуса a.

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность

расстояний которых от двух данных точек F1 и F2 (фокусов) равна по

абсолютной величине данному числу 2a.

Каноническое уравнение гиперболы:

77

(8.12)

Гипербола, заданная уравнением (8.12), симметрична относительно

осей координат. Она пересекает ось Оx в точках A (a,0) и A (-a,0) -

вершинах гиперболы и не пересекает ось Оy. Параметр a называется

вещественной полуосью, b - мнимой полуосью. Параметр c= a + b2 2 есть

расстояние от фокуса до начала координат. Отношение c/a = >1

называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые y = b/a x

называются асимптотами гиперболы. Расстояния от точки M(x,y)

гиперболы до ее фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются

формулами:

r1 = x - a , r2 = x + a .

Гипербола, у которой a = b, называется равносторонней, ее уравнение

x2 - y2 = a 2, а уравнение асимптот y = x. Гиперболы и

называются сопряженными.

Параболой называется геометрическое место точек, одинаково

удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1) y2 = 2рx - парабола симметрична относительно оси Оx.

2) x2 = 2рy - парабола симметрична относительно оси Оy.

В обоих случаях р>0 и вершина параболы, то есть точка, лежащая на

оси симметрии, находится в начале координат.

Парабола y 2 = 2рx имеет фокус F( р/2,0) и директрису x = - р/2,

фокальный радиус-вектор точки M(x,y) на ней r = x+ р/2.

Парабола x2 =2рy имеет фокус F(0, р/2) и директрису y = - р/2;

фокальный радиус-вектор точки M(x,y) параболы равен r = y + р/2.

78

Уравнение F(x, y) = 0 задает линию, разбивающую плоскость на две

или несколько частей. В одних из этих частей выполняется неравенство

F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Иными словами, линия

F(x, y)=0 отделяет часть плоскости, где F(x, y)>0, от части плоскости, где

F(x, y)<0.

Прямая Ax+By+C = 0 разбивает плоскость на две полуплоскости. На

практике для выяснения того, в какой полуплоскости мы имеем

Ax+By+C<0, а в какой Ax+By+C>0, применяют метод контрольных точек.

Для этого берут контрольную точку (разумеется, не лежащую на прямой

Ax+By+C = 0) и проверяют, какой знак имеет в этой точке выражение

Ax+By+C. Тот же знак имеет указанное выражение и во всей

полуплоскости, где лежит контрольная точка. Во второй полуплоскости

Ax+By+C имеет противоположный знак.

Точно так же решаются и нелинейные неравенства с двумя

неизвестными.

Например, решим неравенство x2-4x+y2+6y-12 > 0. Его можно

переписать в виде (x-2)2 + (y+3)2 - 25 > 0.

Уравнение (x-2)2 + (y+3)2 - 25 = 0 задает окружность с центром в точке

C(2,-3) и радиусом 5. Окружность разбивает плоскость на две части -

внутреннюю и внешнюю. Чтобы узнать, в какой из них имеет место данное

неравенство, возьмем контрольную точку во внутренней области,

например, центр C(2,-3) нашей окружности. Подставляя координаты точки

C в левую часть неравенства, получаем отрицательное число -25. Значит, и

во всех точках, лежащих внутри окружности, выполняется неравенство

x2-4x+y2+6y-12 < 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место

во внешней для окружности области.

Пример 8.3. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку

A(3,1) и наклоненных к прямой 2x+3y-1 = 0 под углом 45o.

79

Решение. Будем искать уравнение прямой в виде y=kx+b. Поскольку

прямая проходит через точку A, то ее координаты удовлетворяют

уравнению прямой, т.е. 1=3k+b, b=1-3k. Величина угла между прямыми

y= k1 x+b1 и y= kx+b определяется формулой tg = . Так как

угловой коэффициент k1 исходной прямой 2x+3y-1=0 равен - 2/3, а угол

= 45o, то имеем уравнение для определения k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 или (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Имеем два значения k: k1 = 1/5, k2 = -5. Находя соответствующие

значения b по формуле b=1-3k, получим две искомые прямые: x - 5y +2 = 0

и 5x + y - 16 = 0.

Пример 8.4. При каком значении параметра t прямые, заданные

уравнениями 3tx-8y+1 = 0 и (1+t)x-2ty = 0, параллельны ?

Решение. Прямые, заданные общими уравнениями, параллельны, если

коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Решая

полученное уравнение, находим t: t1 = 2, t2 = -2/3.

Пример 8.5. Найти уравнение общей хорды двух окружностей:

x2 +y2 =10 и x2+y2-10x-10y+30=0.

Решение. Найдем точки пересечения окружностей, для этого решим

систему уравнений:

.

Решая первое уравнение, находим значения x1 = 3, x2 = 1. Из второго

уравнения - соответствующие значения y: y1 = 1, y2 = 3. Теперь получим

уравнение общей хорды, зная две точки А(3,1) и B(1,3), принадлежащие

этой прямой: (y-1)/(3-1) = (x-3)/(1-3), или y+ x - 4 = 0.

Пример 8.6. Зная уравнение асимптот гиперболы y = 0,5 x и одну из

ее точек М(12, 3 3 ), составить уравнение гиперболы.

80

Решение. Запишем каноническое уравнение гиперболы: .

Асимптоты гиперболы задаются уравнениями y = 0,5 x, значит, b/a =

1/2, откуда a=2b. Поскольку М - точка гиперболы, то ее координаты

удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. 144/a2 - 27/b2 = 1. Учитывая, что

a = 2b, найдем b: b2=9 b=3 и a=6. Тогда уравнение гиперболы - x2/36 -

y2/9 = 1.

8.3. Плоскость и прямая в пространстве

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (8.13)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть

представлена уравнением (8.13), которое называется уравнением

плоскости.

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным

вектором плоскости. В уравнении (8.13) коэффициенты A, B, C

одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (8.13):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0; (8.14)

2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через

них проходящая, задается уравнениями:

81

= ; (8.15)

3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей

коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

. (8.16)

Уравнения (8.16) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из

отношений (8.16) параметру t:

x = x1 +mt, y = y1 + nt, z = z1 + рt. (8.17)

Решая систему (8.14) как систему линейных уравнений относительно

неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к

приведенным уравнениям прямой:

x = mz + a, y = nz + b. (8.18)

От уравнений (8.18) можно перейти к каноническим уравнениям,

находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

.

От общих уравнений (8.14) можно переходить к каноническим и

другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее

направляющий вектор n = [n1, n2], где n1(A1, B1, C1) и n2(A2, B2, C2) -

нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m,

n или р в уравнениях (8.15) окажется равным нулю, то числитель

соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

82

равносильна системе x = x1, ; такая прямая перпендикулярна к

оси Ох.

Система равносильна системе x = x1, y = y1; прямая

параллельна оси Oz.

Пример 8.7. Составьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3)

служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к

этой плоскости.

Решение. По условию задачи вектор ОА (1,-1,3) является нормальным

вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде

x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей

плоскости, найдем D: 1-(-1)+33+D = 0 D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.

Пример 8.8. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz

и образующей с плоскостью 2x+y- 5 z-7=0 угол 60о.

Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением

Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не

равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями

2 1

1 102

m

m

= cos 60о, где m = A/B.

Решая квадратное уравнение 3m2 + 8m - 3 = 0, находим его корни

m1 = 1/3, m2 = -3, откуда получаем две плоскости 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.

Пример 8.9. Составьте канонические уравнения прямой:

5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид:

где m, n, р - координаты направляющего вектора прямой, x1, y1, z1 -

координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой.

83

Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти

точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще

всего положить, например, x=0) и полученную систему решают как

систему линейных уравнений с двумя неизвестными.

Итак, пусть x=0, тогда y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, откуда y=-1, z=1.

Координаты точки М (x1, y1, z1 ), принадлежащей данной прямой, мы

нашли: M (0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная

нормальные векторы исходных плоскостей n1(5,1,1) и n2(2,3,-2). Тогда

n = [n1, n2] = = (-2-3)i - (-10-2)j + (15-2)k = -

5i+12j+13k.

Канонические уравнения прямой имеют вид:

x/(-5) = (y + 1)/12 = (z - 1)/13.

84

Часть II. Основы информатики

§ 1. Информатика как наука

1.1. Понятие информатики как науки и учебной дисциплины

Для нашего времени характерна небывалая скорость развития науки,

техники и новых технологий. Объем информации, вырабатываемый

обществом еще в XX веке, нарастал лавинообразно, удваиваясь по оценкам

исследователей примерно каждые 10 лет. И сегодня проблемы, связанные с

обработкой информации, без преувеличения можно назвать одними из

важнейших задач в любой области деятельности современного человека.

Итак, бурное развитие науки и промышленности в XX веке,

неудержимый рост объёмов поступающей информации привели к тому,

что человек оказался не в состоянии воспринимать и перерабатывать всё,

ему предназначенное. Возникла необходимость классифицировать

поступления по темам, организовывать их хранение, доступ к ним, понять

закономерности движения информации в различных сферах деятельности

и т.д. Увеличение информации и растущий спрос на нее обусловили

появление отрасли, связанной с автоматизацией обработки информации.

Исследования, позволяющие разрешить возникшие проблемы, стали

называть информатикой.

Термин информатика происходит от французского слова

Informatique, образованного в результате объединения слов Information

(информация) и Automatique (автоматика). Это выражает ее суть как

науки об автоматической обработке информации.

Информатика - наука о законах, методах измерения, хранения,

переработки и передачи информации с использованием вычислительной

техники.

85

Источниками информатики, то есть основой для ее возникновения,

являются две науки: документалистика и кибернетика.

Документалистика сформировалась в конце XIX века в связи с

бурным развитием производственных отношений. Основным ее предметом

стало изучение рациональных средств и методов повышения

эффективности документооборота.

Основы кибернетики были заложены в середине XX века трудами по

математической логике американского математика Норберта Винера,

которого часто называют отцом кибернетики. Само это название

происходит от греческого слова kyberneticos – искусный в управлении.

Кибернетика представляет собой науку об управлении в живых,

неживых и искусственных системах. Основным ее предметом являются

принципы построения и функционирования систем автоматического

управления, а основными задачами – методы моделирования процессов

принятия решений.

Информатика тесно связана с кибернетикой и когда-то считалась

одним из ее разделов. Однако ряд проблем, решаемых информатикой

(оптимизация системы научной коммуникации, структура научного

документа, повышение эффективности научного исследования путем

применения научно-информационных средств), выходит за пределы

кибернетики.

Итак, информатика – это наука о законах, методах и способах

создания, измерения, хранения, воспроизведения, обработки и передачи

информации средствами вычислительной техники, а также принципах

функционирования этих средств и методов управления ими.

Информатика охватывает все аспекты, связанные с теориуй

информации, изучающей структуру и общие свойства информации,

закономерности информационных процессов и систем, а также включает в

себя ряд вопросов прикладного характера (разработку новых

86

информационных технологий – технических устройств и методов

эффективной обработки информации, организацию сетевых коммуникаций

и средств распространения информации).

1.2. Предмет и основные задачи информатики

Основу современной информатики составляют следующие понятия:

аппаратное обеспечение средств вычислительной техники

(hardware);

программное обеспечение средств вычислительной техники

(software);

средства взаимодействия аппаратного и программного

обеспечения (аппаратно- программный интерфейс);

средства взаимодействия человека с аппаратными

программным обеспечением (пользовательский интерфейс).

Основная задача информатики заключается в определении общих

закономерностей, в соответствии с которыми происходит создание

научной информации, ее преобразование, передача и использование в

различных сферах деятельности человека. Прикладные задачи

заключаются в разработке более эффективных методов и средств

осуществления информационных процессов, систематизации приемов и

методов работы с аппаратными и программными средствами

вычислительной техники.

Предметом изучения информатики являются информационные

технологии и их применение для решения прикладных задач.

Технология - это совокупность способов обработки, изготовления,

изменения свойств сырья в процессе производства продукции. Когда речь

идёт об информационной технологии, в качестве сырья выступает

информация, в качестве конечного продукта - тоже информация. В качестве

инструмента рассматривается вычислительная техника (табл. 1.1.).

87

Таблица 1.1

Сопоставление основных компонентов технологий

Компоненты технологий для производства продукта

материального информационного

Подготовка сырья и материалов Сбор первичных данных

Производство материального продукта Обработка данных

Сбыт продукта потребителям Передача данных

Таким образом, под информационной технологией понимается

совокупность способов представления, сбора, накопления, хранения, поиска,

передачи и обработки информации на основе применения средств

вычислительной техники.

Цель любой информационной технологии - получить нужную

информацию требуемого качества на заданном носителе.

Конечная задача использования информационных технологий - это

подготовка и принятие управленческих решений.

1.3. Основные направления информатики

Как вы уже поняли, информатика - это достаточно широкое понятие.

Для определённости рассмотрим основные направления, в которых идёт

развитие этой науки:

1. Теоретическая информатика - это математическая дисциплина,

использующая методы математики для построения и изучения моделей

обработки, передачи и использования информации. Она распадается на ряд

самостоятельных дисциплин:

Дисциплины, опирающиеся на математическую логику. В

них используются достижения логики для анализа процессов

переработки информации с помощью компьютеров.

88

Дисциплины, ориентированные на использование

информации для принятия решений в самых различных

ситуациях (теория принятия решений, теория игр).

Теория информации и теория кодирования занимаются

изучением форм представления информации и способов ее

передачи по каналам связи.

Системный анализ – изучает структуру реальных объектов и

дает способы их формализованного описания.

2. Кибернетика – наука об общих законах получения, хранения,

передачи и переработки информации с целью управления. Основной

объект исследования – так называемые кибернетические системы,

рассматриваемые абстрактно, вне зависимости от их материальной

природы (например, автоматические регуляторы в технике, компьютеры,

человеческий мозг, биологические популяции, человеческое общество).

Каждая такая система представляет собой множество взаимосвязанных

объектов (элементов системы), способных воспринимать, запоминать и

перерабатывать информацию, а также обмениваться ею.

3.Вычислительная техника – изучает устройство и функционирование

персональных ЭВМ, организацию информационно-вычислительных сетей

и автоматизированных рабочих мест (АРМ).

4. Программирование – создание программ и пакетов прикладных

программ, разработка языков программирования, создание операционных

систем.

5. Искусственный интеллект (ИИ) – занимается проблемами

передачи части интеллектуальных и творческих функций человека

вычислительной технике. Основными направлениями искусственного

интеллекта являются:

робототехника;

экспертные системы;

89

распознавание образов;

инженерия знаний;

обработка данных на естественном языке и другие.

6. Информационные системы – это системы, предназначенные для

хранения, поиска и выдачи информации по запросам пользователей.

Основное различие между информационными и интеллектуальными

системами заключается в том, что основой построения информационных

систем являются базы данных, позволяющие решать достаточно простые

задачи: хранить, находить и выдавать необходимую информацию.

Основой интеллектуальных систем являются базы знаний и правила

логического вывода, позволяющие решать более сложную задачу – из

имеющихся знаний выводить новые, то есть моделировать процесс

человеческих рассуждений. Благодаря этому интеллектуальные системы

могут не только выдавать пользователю содержащуюся в них

информацию, но также еще и рекомендовать ему конкретные пути

решения нестандартных ситуаций, и даже иногда самостоятельно

принимать эти решения вместо человека.

Роль информатики в экономике и управлении современного общества

чрезвычайно велика. И прежде всего это связано со все возрастающей

ролью информации, которая является, с одной стороны, важнейшим

ресурсом современного общества, а с другой – ключевым понятием

предмета информатики.

90

§2. Информация и информационные процессы

2.1. Понятие информации

Информация, как материя или энергия, является первичным

понятием. Поэтому однозначного его определения не существует, а

толкование во многом зависит от конкретной области знания, в которой

оно используется. Например, с точки зрения философии, информация - это

отражение такого всеобщего свойства материи, как разнообразие, которое

можно измерить и оценить. Общественное понятие информации - это

различного рода сведения об окружающем нас мире, о протекающих в нем

процессах, которые воспринимают живые организмы, управляющие

машины и другие информационные системы.

Рассмотрим понятие информации с двух сторон. Во-первых, из чего

состоит информация и, во-вторых, как её измерять.

Конкретная информация всегда может быть рассмотрена как

совокупность трёх составляющих:

данные (синтаксический аспект);

смысл (семантический аспект);

польза (прагматический аспект).

Данные - это материальная составляющая информации. В

информатике данные это то, что передаётся или хранится как

электрический сигнал, звук, свет. Но чтобы переносить смысл, данные

должны иметь определённое строение, подчиняться определённым

правилам - синтаксису. Таким образом, данные - это информация в

определённой форме.

Смысл данных - это содержательная составляющая информации.

Причем смысл данных - это относительное качество информации, так как

смысл всегда адресован тому, кто способен этот смысл воспринять.

91

Польза данных - это прикладная составляющая информации. Данные

могут быть полезными, опасными, необходимыми и т.д. Очевидно, что это

также относительное качество информации.

При внимательном рассмотрении составляющих информации

становится очевидно, что информация существует всегда для кого-то. То

есть всегда подразумевается передача информации. Пока нет передачи

информации, как факта, нет и самой информации.

Измерение количества информации в общем случае является трудно

формализуемой проблемой, что связано с предельной общностью самого

понятия. Поэтому можно говорить лишь о количестве информации с точки

зрения определённого аспекта, например, данных (см. п.2.3.).

2.2. Основные свойства информации и способы ее классификации

Основные свойства информации

1. Объективность. Понятие объективности информации является

относительным. Более объективной принято считать ту информацию, в

которую методы ее обработки вносят меньший субъективный элемент.

Например, более объективная информация образуется при наблюдении

фотоснимка некоторого объекта по сравнению с рисунком того же

объекта, выполненным человеком.

В ходе информационного процесса степень объективности всегда

понижается.

2. Полнота информации характеризует качество информации и

определяет достаточность данных для принятия решений.

Например, свидетель сообщил, что видел гражданина N вблизи места

преступления. Однако этой информации недостаточно, чтобы произвести

арест (информация неполная). Экспертиза обнаружила отпечатки пальцев

92

гражданина N на орудии, которым было совершено убийство. Под

давлением улик N сознался (информация полная).

3. Достоверность – свойство информации быть правильно

воспринятой, вероятность отсутствия ошибок.

Например, в записной книжке обнаружен адрес, в котором номер

дома записан неразборчиво (1 или 4). Интерпретация неразборчивой

цифры как 1 представляется недостоверной.

4. Адекватность информации – это степень соответствия реальному

объективному состоянию дела. Неадекватная информация может

образовываться на основе неполных и недостоверных данных.

Например, человек был осужден по ложному обвинению на основе

ложных (недостоверных) свидетельских показаний.

5. Доступность – мера возможности получить ту или иную

информацию.

6. Актуальность – это степень соответствия информации текущему

моменту времени.

Например, старые редакции законов не являются актуальными и не

могут применяться. Законы со всеми изменениями и дополнениями на

текущий момент времени считаются актуальными и могут использоваться.

Способы классификации информации

Информацию можно классифицировать по следующим основным

направлениям:

1. По способу передачи и восприятия: зрительная, слуховая,

тактильная, вкусовая, машинно- ориентированная.

2. По формам отображения: символьная, текстовая, графическая.

3. По областям знаний (в зависимости от вида обслуживаемой

человеческой деятельности): биологическая, техническая,

производственная, управленческая, правовая.

93

Для машинно-ориентированной информации характерны следующие

формы представления: двоичная, текстовая, графическая, электронные

таблицы, базы данных.

2.3. Способы измерения информации

Существует два способа измерения объема или количества

информации: энтропийный и технический.

Технический (объемный) способ используют, как правило, в технике.

Он основан на подсчете числа символов в сообщении, то есть связан с его

объемом и не учитывает содержания. В вычислительной технике

применяют две стандартные единицы измерения: бит и байт.

Бит – это один символ двоичного алфавита. С его помощью можно

полностью передать информацию о реализации события, которое может

иметь два исхода. Например, бросание монеты.

Байт – это количество информации, которое можно передать с

помощью 8 двоичных символов, т.е. восьмиразрядного двоичного кода. С

его помощью можно полностью передать информацию о реализации

события, которое может иметь 28 = 256 исходов. Например, нажатие одной

из клавиш компьютера (в действительности клавиш гораздо меньше,

остается резерв для кодирования дополнительных символов, которых нет

на клавиатуре).

Производные единицы измерения информации:

1 Кбайт = 1024 байт

1 Мбайт = 1024 Кбайт

1 Гбайт = 1024 Мбайт

Энтропийный способ измерения информации устанавливает

ценность информации, содержащейся в сообщении и исходит из

следующей модели.

94

Получатель сообщения имеет представление о возможности

наступления некоторых событий. Эти представления в общем случае

недостоверны и выражаются вероятностями, с которыми он ожидает то

или иное событие. Обозначим эти вероятности через pi для , где

N – число всевозможных комбинаций наступления некоторых событий

Общая мера неопределенности называется энтропией (H) и

характеризуется некоторой математической зависимостью от

совокупности этих вероятностей:

, (2.1)

где H – мера неопределенности, N – число всевозможных комбинаций

наступления некоторых событий, pi – вероятность наступления i–го

события для любого .

В случае, когда наступление любого события равновероятно, формула

(2.1) примет более простой вид:

H = log2 N (2.2)

Количество информации в сообщении определяется тем, насколько

уменьшается мера неопределенности после получения сообщения.

Например, при подбрасывании монеты возможно наступление двух

событий: выпадение герба или цифры. События эти равновероятны,

значит, мера неопределенности может быть вычислена по формуле (2.2):

H = log2 2 = 1 бит.

То есть количество информации в сообщении о том, что при

подбрасывании монеты выпал герб, составляет один бит.

Из нашего обыденного опыта под информацией мы понимаем лишь

такое сообщение, которое содержит неизвестные его получателю факты.

Поэтому сообщение либо несет, либо не несет информацию, а объем

информации зависит от субъекта, воспринимающего данное сообщение.

95

Если сообщение не несет никакой информации, оно называется

тривиальным. Например: 2 2 = 4.

ПримерОдним из жителей города, населенного примерно 1000 000 жителей,

совершено преступление. Неопределенность относительно лица,

совершившего это преступление, при отсутствии каких либо

дополнительных сообщений определяется энтропией:

Н0 = log2 1000 000 = 20 бит.

Получено сообщение, что преступник – мужчина. Информация,

содержащаяся в этом сообщении: I1 = log2 2 = 1 бит. В результате

исходная энтропия (неопределенность) уменьшится: Н1 = S0 – I1 = 19

бит.

Получено сообщение, что возраст преступника от 14 до 78 лет, то

есть возрастной интервал составляет 78 – 14 = 64 года. Информация,

содержащаяся в этом сообщении: I2 = log2 64 = 6 бит. В результате

энтропия составит: Н2 = Н1 – I2 = 19 – 6 = 13 бит.

Могут прийти также сообщения о районе проживания, образовании и

т.п., что позволит дальше уменьшать энтропию (неопределенность).

2.4. Информационные процессы

Информационные процессы – это процессы восприятия, накопления,

обработки и передачи информации.

Как правило, информация проявляется в виде сигналов. В

информационном процессе сигнал выполняет функцию переносчика

информации от источника к приемнику и далее – к адресату (рис.2.1).

Процесс передачи информации – многоступенчатый. Сигнал может

на каждом из промежуточных этапов менять свою физическую природу.

96

Рис. 2.1. Сигнал в информационном процессе.

Общая структура информационного процесса представлена на

следующей схеме (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Структура информационного процесса

Информационный процесс начинается с восприятия и фиксации

информации, содержащейся в том или ином источнике. Информация

отделяется от шумов. Завершается процесс формирования сигнала, с

помощью которого информация передается.

97

Прием информации – вторичное ее восприятие другим субъектом

или принимающим устройством.

Обработка информации осуществляется человеком или техническим

устройством (например, ЭВМ). Сущность обработки информации

компьютером состоит в аналоговом или цифровом преобразовании

поступающих данных по жесткой программе или алгоритму обработки.

Информационный процесс завершается представлением

информации потребителю, то есть демонстрацией на индикаторах

различного вида изображений, и принятием решения.

Особая стадия – хранение информации. Она занимает

промежуточное положение между другими стадиями и может

реализовываться практически на любом этапе информационного процесса.

Таким образом, ЭВМ может быть использована на любой стадии

информационного процесса, начиная от восприятия и заканчивая

представлением информации.

98

§3. Данные и способы их представления

3.1. Данные

Используя понятие «информация» чаще всего подразумевают

содержательную сторону информации, отличая её от понятия «данные»,

которое, следовательно, отражает собой формальную сторону.

Под данными будем понимать объекты любой формы, выступающие

в качестве средства представления информации. Или, как уже говорилось

выше (см. п.2.1.), данные — это информация, зафиксированная в

определённой форме.

Пример

Различие между информацией и данными можно показать на

следующих двух примерах. Выражения «Это книга» или «This is a book»

содержат одну и ту же информацию, но как данные эти выражения

различны. Выражение «Поезд прибыл в Москву» содержит информацию

как географического, так и экономического характера, но эта информация

представлена одними и теми же данными.

Фиксация информации в виде данных осуществляется с помощью

конкретных средств (например, языковых, изобразительных, числовых и

т.д.) и на конкретном физическом носителе.

Практическое использование данных означает их обработку - то есть

приведение исходных данных к некоторому заданному виду. В ходе

информационного процесса данные преобразуются из одного вида в

другой с помощью различных методов.

Обработка данных включает в себя множество операций:

1) сбор данных – накопление данных с целью обеспечения

достаточной полноты информации для принятия решений;

99

2) формализация данных – приведение данных к одинаковой

форме;

3) фильтрация данных – отсеивание избыточных данных, в

которых нет необходимости;

4) сортировка данных – упорядочивание данных по заданному

признаку с целью удобства их использования;

5) группировка данных – объединение данных по заданному

признаку;

6) архивация данных – организация хранения данных в удобной и

легкодоступной форме;

7) защита данных – комплекс мер, направленных на

предотвращение утраты или модификации данных;

8) транспортировка данных – прием и передача данных между

удаленными участниками информационного процесса;

9) преобразование данных – перевод данных из одной формы в

другую.

Анализ перечисленных выше операций показывает, что работа с

данными имеет огромную трудоемкость. Поэтому ее необходимо

автоматизировать.

3.2. Способы представления данных

Чтобы использовать ЭВМ для обработки данных, необходимо

располагать некоторым способом представления данных. Таким образом,

представление и обработка данных - это взаимосвязанные вещи, которые

образуют в своей совокупности конкретную информационную

технологию.

Способ представления данных прежде всего будет зависеть от того,

для кого эти данные предназначены: для человека (внешнее

представление) или для ЭВМ (внутреннее представление).

100

Во внутреннем представлении данные должны быть описаны в

аналоговой (непрерывной) или цифровой (дискретной) формах. В

соответствии с этим различают аналоговые и цифровые ЭВМ. Практически

все используемые ЭВМ в настоящее время являются цифровыми. Таким

образом, любые данные в современных ЭВМ представляются в виде

наборов целых чисел.

Любые виды данных могут быть сведены к совокупности простейших

форм: набор символов (текст), звук (мелодия), изображение (фотографии,

рисунки, схемы), вещественные и целые числа (числовые данные).

Каждый такой вид данных должен быть некоторым универсальным

образом представлен в цифровом виде, т.е. в виде набора целых чисел.

Правила такого представления разрабатываются научными институтами и

оформляются в виде стандартов.

Итак, любые данные во внутреннем представлении имеют вид

специально организованных целых чисел, которые обрабатываются ЭВМ

согласно определённым правилам.

Данные во внешнем представлении должны быть организованы так,

чтобы с ними мог работать человек. Для этого все данные разбиваются на

независимые именованные совокупности - файлы. Во многих случаях

может потребоваться ещё более высокий уровень организации данных на

внешнем уровне, тогда файлы группируются согласно некоторым

правилам в специально организованные наборы взаимосвязанных файлов -

базы данных.

Рассмотрим более подробно, как именно реализуются оба этих

способа представления данных на ЭВМ.

3.3. Кодирование данных

Итак, чтобы автоматизировать процесс обработки информации, нужно

найти способ представить любую ее форму (символьную, графическую,

101

числовую, звуковую) в едином виде - посредством целых чисел.

Следующая задача – это представление целых чисел в виде электрических

сигналов в схеме ЭВМ.

3.3.1 Двоичная форма целых чисел

Целые числа можно изображать и именовать разными способами.

Совокупность правил записи чисел с помощью символов некоторого

алфавита (цифр) называется системой счисления. Существует много

различных систем счисления, некоторые из них распространены, другие не

прижились. Так, еще недавно наши предки использовали

двенадцатеричную систему - считали дюжинами; для измерения времени

используется шестидесятеричная система. Однако наиболее проста и

понятна для современного человека десятичная форма (используется 10

цифр). Понятна она потому, что мы используем ее в повседневной жизни.

Но для ЭВМ десятичная система счисления крайне неудобна - необходимо

иметь в цепях 10 различных уровней сигналов.

При построении ЭВМ в качестве запоминающих устройств

используются электронные элементы с двумя устойчивыми состояниями -

триггеры. Поэтому технически наиболее просто реализуется перевод в

форму электрических сигналов таких целых чисел, которые представлены

в двоичной форме (с помощью всего двух цифр). Этим и объясняется столь

большое значение двоичной формы счисления для задач технической

информатики.

Пример

Для перевода из десятичной системы в другую систему обычно

применяется метод последовательного деления исходного числа на

основание системы счисления, в которую переводится число. Полученный

остаток после первого деления является младшим разрядом нового

числа. Образовавшееся частное снова делится на основание. Из остатка

102

получаем следующий разряд и т.д. Например, переведем число 21510 в

двоичную форму:

215 2214 107 2 1 106 53 2 1 52 26 2 1 26 13 2 0 12 6 2 1 6 3 2 0 2 1 (старший разряд) 1

21510 = 110101112

Для записи числа в двоичной форме используются только два символа

0 и 1. Это не очень удобно для непосредственной работы с такими

числами, поэтому, наряду с двоичным, используются также восьмеричное

и шестнадцатеричное представления. Являясь, по сути, степенями двойки

(8=23, 16=24), они легко отображаются в двоичное представление, имея при

этом компактную запись.

ПримерДля представления числа в некоторой системе счисления

используется следующий принцип:

21510 = 2*102+1*101+5*100;

21510 = 1*27+1*26+0*25+1*24+0*23+1*22+1*21+1*20=1101 01112;

21510= 1101 01112= D 7 16= D*161+7*160;

21510= 011 010 1112= 3278 =3*82+2*81+7*80 .

103

Из приведенного примера видно, что для преобразования двоичного

числа в шестнадцатеричное необходимо двоичную последовательность

разбить на тетрады (группы из четырех цифр) справа налево и каждую

группу заменить соответствующей шестнадцатеричной цифрой. При

обратном преобразовании каждую цифру шестнадцатеричного

представления числа также справа налево записывают в двоичном виде,

отводя на нее четыре знака.

Таблица 2.1.

Представление чисел в различных системах счисления

Десятичное Двоичное Восьмеричное Шестнадцатеричное0 0000 0 01 0001 1 12 0010 2 23 0011 3 34 0100 4 45 0101 5 56 0110 6 67 0111 7 78 1000 10 89 1001 11 910 1010 12 A11 1011 13 B12 1100 14 C13 1101 15 D14 1110 16 E15 1111 17 F

Аналогичным образом проводится прямой и обратный перевод из

двоичной системы в восьмеричную, только при этом двоичное число

разбивается на триады (каждой цифре восьмеричного числа ставится в

104

соответствие группа из трех символов двоичного представления). Для

быстрого перевода можно воспользоваться таблицей 2.1.

Арифметические действия, выполняемые в двоичной системе,

подчиняются тем же основным правилам, что и в десятичной системе.

Только в двоичной системе перенос единиц в старший разряд происходит

несравнимо чаще. Вот как выглядит таблица сложения в двоичной

системе:

0 + 0 = 0 ;0 + 1 = 1 + 0 = 1 ;1 + 1 = 10 ( перенос 1 в старший разряд).

ПримерРассмотрим сложение чисел 5+4. В двоичной форме эти числа

будут иметь вид соответственно 0101 и 0100. Выполняя операцию

сложения с каждым разрядом обоих чисел, получим число 1001, что

является двоичным представлением числа 9.

Количество информации, соответствующее одноразрядному

двоичному числу, называют битом (bit). Число, которое представлено N

битами, называется N-битным или N-разрядным.

В дальнейшем оказалось удобным оперировать последовательностями

нулей и единиц, объединённых в группы фиксированного размера.

Наибольшее значение имеет последовательность из восьми двоичных

чисел - 8-разрядное число. Количество информации, соответствующее

такому числу, называется байтом (byte). Кроме того, используются

группы, называемые словом (word). Размер слова зависит от характеристик

конкретной ЭВМ, но, как правило, в большинстве современных ЭВМ

размер слова равен 2 байтам.

1 байт = 8 бит

105

1 Кб (один килобайт) = 210 байт = 1024 байт

1 Мб (один мегабайт) = 210 Кб = 1024 Кб

1 Гб (один гигабайт) = 210 Мб = 1024 Мб

1 Тб (один терабайт) = 210 Гб = 1024 Гб

3.3.2. Двоичное представление вещественных чисел

При рассмотрении систем счисления мы оперировали целыми

числами. Но в инженерных и научных расчетах не обойтись без учета

дробных чисел. Для того чтобы представить вещественное число (а) в виде

набора целых чисел, его необходимо привести к нормализованной форме

а = М*2p;

где М - называется мантиссой (дробной частью), а Р - экспонентой

(порядком).

После этого мантисса и экспонента переводятся в двоичное

представление. В памяти ЭВМ вещественное число хранится в виде:

S P M

где S - признак знака числа (знак «плюс» кодируется нулем, знак

«минус» - единицей). Подобная форма представления вещественного

числа называется числом с плавающей точкой.

ПримерРассмотрим принцип цифрового представления вещественного

числа. Запишем 13,625 в двоичном виде.

Из табл. 2.1 имеем 13 = 11012.

Для дробной части имеем 0,625 = 1*2 -1+0*2-2+1*2-3 = 0,1012.

Тогда в нормализованной двоичной форме

13,625= 1101,1012 = 1,101101*2112.

106

Отведём под мантиссу 7 двоичных разрядов, а под экспоненту - 3

разряда. Тогда число 13,625 будет храниться в памяти ЭВМ в виде

00111101101.

Поскольку размер памяти, отводимый под мантиссу и экспоненту,

ограничен, то вещественные числа представляются с некоторой

погрешностью (точность десятичных цифр) и имеют ограниченный

диапазон изменения. Чем больше размер памяти для плавающего числа,

тем точнее можно представить вещественное число. Так, с помощью 32

бит, отводимых под плавающие числа одинарной точности (single), можно

представить числа в диапазоне от 3,4*10-38 до 3,4*1038 с точностью 6

десятичных знаков; двойная точность (double) представления числа с

плавающей точкой потребует 64 бита памяти и позволит представить

числа в диапазоне от 1,7*10-308 до 1,7*10308 с точностью 15 десятичных

знаков.

3.3.3. Двоичное кодирование символов

При кодировании текстовой информации каждому символу ставится в

соответствие определенное число, то есть каждый символ нумеруется.

Таким образом, человек различает символы по их очертаниям, а

компьютер - по их номерам (кодам).

Существует много различных кодировок, большинство из которых

используют для представления символов восьмибитовые (однобайтные)

числа и отличаются друг от друга лишь порядком нумерации. В одном

байте можно записать 256 различных целых чисел. Этого достаточно для

кодирования всех букв русского и латинского алфавитов, знаков

препинания, арабских цифр и других необходимых символов.

Наиболее распространенным до недавнего времени был американский

стандартный код для обмена информацией - ASCII (American Standard Code

for Information Interchange). Согласно этому стандарту каждому символу

107

поставлено в соответствие число от 0 до 255. Символы от 0 до 127 -

латинские буквы, цифры и знаки препинания - составляют постоянную

часть таблицы. Остальные символы используются для представления

национальных алфавитов. Конкретный состав этих символов

определяется кодовой страницей.

Недостатки такого способа кодировки национального алфавита

очевидны. Во-первых, невозможно одновременное представление русских

и, например, французских букв. Во-вторых, такая кодировка совершенно

непригодна для представления китайских или японских иероглифов. В

настоящее время все большее распространение приобретает двухбайтовая

кодировка Unicode. Поскольку в 16 двоичных разрядах (2 байта) можно

записать 65 536 различных целых чисел, эта таблица кодов включает в себя

все существующие алфавиты мира, а также множество математических,

химических, музыкальных и декоративных символов.

3.3.4. Цифровое кодирование изображений

Любое изображение можно представить как прямоугольную область,

закрашенную непрерывно изменяющимся цветом. Поэтому для

кодирования графической информации (изображений) необходимо решить

две задачи: найти способ для дискретного описания отдельно

прямоугольной области и цвета.

Для описания области она разбивается на множество точечных

элементов - пикселей (pixel). Само множество называется растром

(рис.2.3.), а изображения, которые формируются на основе растра,

называются растровыми.

108

Горизонтальное разрешение

Вер

тика

льно

е ра

зреш

ение

Рис.2.3. Дискретизация области изображения

Число пикселей называется разрешением. Часто встречаются значения

800x600 (480000 пикселей), 1024x768 (786432 пикселя), 1280x1024

(1310720 пикселей), 1600x1200 (1920000 пикселей).

Для представления цвета используются цветовые модели. Цветовая

модель — это правило, по которому может быть вычислен цвет. Самая

простая цветовая модель - битовая. В ней для описания цвета каждого

пикселя (чёрного или белого) используется всего один бит. Для

представления полноцветных изображений необходимы более сложные

модели.

Наиболее известная цветовая модель RGB, стандартизированная в

1931г. и использующаяся еще в цветном телевидении, основана на том, что

любой цвет может быть представлен суммой трех основных цветов:

красного, зелёного и синего. Если интенсивность каждого цвета

представить числом, то любой цвет будет выражаться через набор из трёх

чисел. Объем памяти в битах, который выделяется для кодирования цвета

точки, определяет глубину цвета и, соответственно, количество

отображаемых цветов. Например, если на каждое число в RGB-модели

отводится один байт (8 бит), то глубина цвета 24 (True Color). Так можно

109

представить 224 (то есть примерно 16,7 млн.) различных цветов. Белый цвет

в этой модели представляется как (255, 255, 255), чёрный - (0,0,0), красный

(255,0,0), синий (0,0, 255). Жёлтый цвет является комбинацией красного и

зелёного и потому представляется как (255,255,0).

Существуют и другие цветовые модели, которые для ряда задач

оказываются более предпочтительными, чем RGB-модель. Например, при

представлении цвета в полиграфии (для печатных устройств принтеров,

плоттеров и т.п.) используется СМYК-модель, основные цвета которой

получаются в результате вычитания базовых цветов из белого цвета:

C – Cyan – голубой,

M – Magenta – пурпурный,

Y – Yellow – желтый,

K – Black – черный (обозначается буквой K от слова key, т.к. буква B

уже занята синим цветом).

Таблица 2.2.

Глубина цвета и количество отображаемых цветов

Глубина цвета Количество отображаемых цветов

8 28=256

16 (High Color) 216=65 536

24 (True Color) 224=16 777 216

32(True Color) 232=4 294 967 296

Качество растрового изображения во многом зависит от объема

памяти, отводимого под данное изображение. Если обозначить

вертикальное разрешение через N , горизонтальное разрешение через M, а

глубину цвета - I , то объем памяти (V), необходимый для хранения

растрового изображения, можно вычислить по формуле:

V=(N x M) x I.

Пример

110

Для хранения цветного изображения с разрешением 800х600

пикселей и глубиной цвета 16 бит необходимо: 800·600·16 бит =

= 7680000 бит = 960000 байт = 937,5 Кб = 0,92 Мб памяти.

При увеличении количества цветов с 65 536 до 1 677 7216 объем

необходимой памяти увеличится в 24 бит/ 16 бит =1,5 раза.

3.3.5. Цифровое кодирование звука

Звук можно описать в виде совокупности синусоидальных волн

определённых частоты и амплитуды. Частота волны определяет высоту

звукового тона, амплитуда - громкость звука. Частота измеряется в

герцах (Гц). Диапазон слышимости для человека составляет от 20 Гц до

17000 Гц (или 17 кГц).

Задача цифрового представления звука, таким образом, сводится к

задаче описания синусоидальной кривой. При этом звуковая волна

представляется в виде ступенчатой кривой, дискретной по времени

(частоте) и амплитуде. Каждой дискретной выборке присваивается целое

число - значение амплитуды. Количество выборок в секунду называется

частотой выборки. Количество возможных значений амплитуды

называется точностью выборки. Ширина ступеньки тем меньше, чем

больше частота выборки, а высота ступеньки тем меньше, чем больше

точность выборки.

111

§4. Организация хранения данных

Вопрос организации хранения данных можно рассматривать с точки

зрения логической структуры хранения и с физической, то есть с

аппаратной точки зрения.

4.1. Формы логической организации хранения данных

4.1.1. Логическая структура хранения данных на ЭВМ

Любые данные, представленные в памяти ЭВМ в виде совокупности

целых чисел, хранятся в виде файлов. Файл – это именованная целостная

совокупность данных, причем каких именно данных - значения не имеет.

Поскольку данные в компьютерном представлении – это лишь набор

целых чисел в двоичной форме, то файл – это просто набор байтов. Для

пользователя файл характеризуется двумя основными признаками: именем

и размером. Размер файла измеряется в байтах. Имя присваивается при

создании файла и состоит из двух частей: произвольной части и

расширения, отделяемых друг от друга точкой (например, myfile.doc).

Расширение (или тип файла) показывает принадлежность к той или иной

функциональной группе – текстовые (.txt, .doc, .pdf), графические

(.jpeg, .bmp, .psd), исполнимые (.exe, .com).

При большом количестве файлов возникает необходимость как-то

упорядочить их, структурировать. Для этого файлы сортируются

пользователем согласно определенным признакам по группам, называемым

каталогами. Каталоги могут включать в себя подкаталоги. Таким образом

формируется особая иерархическая структура – дерево каталогов. Вершина

такого дерева называется корневым каталогом. Имя корневого каталога

всегда строго определено (например, С:\) и зависит от способ организации

файлов, называемого файловой системой (например, FAT32). В подобной

системе для идентификации файла необходимо кроме имени указать его

112

местоположение – полный «путь» от корневого каталога к файлу,

например, С:\users\Gr001\Ivanov\ myfile.doc.

4.1.2.Модели и базы данных

Многие объекты в конкретных прикладных задачах могут быть

представлены не в двоичной форме, а в виде сложной информационной

структуры. Например, чертеж здания можно представить в виде

совокупности отрезков прямых. Тогда в памяти компьютера можно будет

хранить не растровое изображение, а совокупность вещественных чисел,

описывающих координаты концов отрезков.

Формализованное описание информационных структур и операций

над ними называют моделью данных. Существует несколько моделей

данных: сетевая, иерархическая, реляционная, объектно-ориентированная.

В последнее время наиболее широко используется реляционная модель

данных. Согласно этой модели все данные организуются в совокупность

связанных таблиц.

В реальных задачах для описания данных требуется довольно много

файлов, причем содержащиеся в них данные могут быть связаны между

собой. Управление файлами в таких случаях оказывается далеко не простой

задачей. Чтобы преодолеть эти сложности, исходные данные должны быть

организованы в базу данных (БД). БД – совокупность взаимосвязанных

данных, сохраняемых и управляемых в соответствии с определенными

правилами. Эти правила также называются моделью данных. Конкретное

построение базы данных и используемая модель данных определяются

решаемой задачей.

4.2. Технические средства хранения информации

Хранение данных на физическом уровне реализуется с помощью

носителей информации, таких как:

113

магнитные ленточного типа (стримеры);

магнитные дискового типа (накопитель на жестком диске —

HDD, винчестер; накопитель на гибком диске - FDD, дискета);

оптические и магнитооптические дискового типа (компакт-

диски, лазерные диски - CD-ROM, CD-RW, DVD-ROM, DVD-

RW);

компактные запоминающие устройства flash-типа.

Жесткий магнитный диск (HDD, винчестер) предназначен для

долговременного хранения информации, необходимой не только для

успешной работы пользователя (документы, видео, музыка и т.д.), но и для

успешной работы компьютера (операционная система, постоянно

используемые программы загружаются с жесткого диска). Емкость

жестких дисков растет быстрыми темпами. Так, современные винчестеры

имеют объем памяти от нескольких десятков до сотен Гбайт.

Проблема емких и надежных накопителей, являющихся внешними

для компьютерной системы, стоит сегодня достаточно остро.

Классическим способом резервного копирования является

применение стримеров — устройств записи на магнитную ленту (данные

записываются на магнитную ленту, протягиваемую мимо головок).

Недостатком стримера является слишком большое время

последовательного доступа к данным при чтении. Емкость стримера

достигает нескольких Гбайт, что меньше емкости современных

винчестеров, а время доступа к данным во много раз больше.

До недавнего времени очень популярно было использование гибких

дисков. По размерам дискеты могут быть 5.25-дюймовые, 3.5-дюймовые.

Дискеты первого типа в настоящее время практически не встречаются

(максимальная емкость 1,2 Мб). Для дискет формата 3,5' максимальная

емкость составляет 2,88 Мб, самый распространенный формат емкости

для них — 1,44 Мб. Предназначены дискеты для переноса и

114

недолгосрочного хранения информации. Их необходимо предохранять от

воздействия сильных магнитных полей и нагревания.

Оптические диски – носители, которые так же предназначены для

резервного копирования и переноса данных. Стандарты компьютерных

оптических технологий можно разделить на две основные группы: CD

(CD-ROM, CD-R, CD-RW) и DVD (DVD-ROM, DVD-R, DVD-RW).

Емкость CD-дисков составляет сотни Мб (650-750 Мб), а DVD-дисков

десятки Гб информации. Основной принцип записи (и считывания)

данных для оптических дисков одинаков, DVD-диски отличаются лишь

более высокой плотностью записи, что значительно увеличивает их

емкость. С появлением и широким распространением в последнее время

дисков с возможностью многократной перезаписи (RW – ReWritable)

дискеты практически полностью вытеснены оптическими дисками. Они

обладают высокой надежностью хранения, не подвержены воздействиям

магнитного излучения, однако чувствительны к механическим

повреждениям и загрязнению.

Flash-память - устройства, выполненные на одной микросхеме

(кристалле) и не имеющие подвижных частей. Высокая

производительность, низкие требования при перепрограммировании и

небольшой размер новейших устройств флэш-памяти обуславливают

широкий спектр их применения: от портативных компьютеров и

цифровых фото- и видеокамер до мобильных телефонов и банковских

карт. Относится к устройствам длительного хранения, емкость

варьируется (в зависимости от типа устройства) от сотен Мб до десятков

Гб информации с возможностью многократной перезаписи. Ниже

приводятся некоторые основные типы современных устройств флэш-

памяти.

SmartMedia – основной формат для карт широкого применения (от

банковских и проездных в метро до цифровых фотокамер и МР3-

115

плейеров). Карты SmartMedia содержат в себе только флэш-память без

каких-либо цепей управления. Другими словами, для совместимости с

остальными поколениями карт SmartMedia необходимы дополнительные

устройства.

MultiMediaCard (MMC) - современное миниатюрное запоминающее

устройство флэш-памяти используется в цифровых фотокамерах и

множестве других устройств, включая MP3-плейеры, а также цифровые

портативные видеокамеры.

Memory Stick – «эксклюзивный» формат фирмы Sony, которая ведет

разработки в области как портативных компьютеров, так и цифровых

камер и сопутствующих товаров. В этом устройстве используется

уникальный переключатель защиты от стирания.

xD-Picture Card – новый тип флэш-памяти, самый миниатюрный на

сегодняшний день, разработан компанией Toshiba специально для

цифровых фотоаппаратов. Емкость носителей этого типа достигает

нескольких Гб.

PC Card – основной тип флэш-памяти для компактных компьютеров.

Характеризуется высокой скоростью доступа к данным и большой

емкостью – до 4 Гб.

USB Flash Drive - очень популярная в настоящее время флэш-память,

которая является альтернативой накопителям на гибких и оптических

дисках. В отличие от других типов флэш-памяти, USB Flash не требуется

специальное устройство считывания данных, поскольку она может

подключаться к любому порту USB. Емкость подобной памяти колеблется

от 128 Мб до десятков Гб.

116

§5. Основные структуры данных

Работа с большими наборами данных автоматизируется проще, когда

данные упорядочены, то есть образуют заданную структуру. Существует

три основных типа структур данных: линейная, иерархическая и

табличная.

Например, в любой книге страницы упорядочены в соответствии с

простой линейной структурой, разделы, главы и параграфы книги имеют

иерархическую структуру, а содержание книги строится на основе

табличной структуры.

5.1. Линейные структуры данных

Линейные структуры данных (или списки) - это упорядоченные

структуры, в которых адрес элемента однозначно определяется его

номером.

Примером линейной структуры данных является список студентов,

обучающихся в группе (журнал):

№ п/п Ф.И.О.

1 Беляков И.П.

2 Иванов А.В.

3 Смирнова Г.В.

... ...

21 Яковлев С.П.

Элементы данных любого списка можно разбить по строкам (как это

сделано выше) или разместить линейно в одной сроке с использованием

специальных разделителей. Например:

Беляков И.П. * Иванов А.В. * Смирнова Г.В. * ... * Яковлев С.П.

117

Если все элементы списка имеют равную длину, то такие

упрощенные списки называют векторами данных. Работать с ними более

удобно, т.к. упрощаются процедуры доступа к данным.

5.2. Табличные структуры данных

Табличные структуры отличаются от списочных тем, что элементы

данных определяются не номером, а адресом ячейки, который состоит не

из одного параметра, как в списках, а из нескольких (например, номер

строки и столбца).

Пример

товар цена количество сумма

телевизор 8000 2 16000

холодильник 14000 1 14000

электропечь 6000 4 24000

Элементы данных, принадлежащих табличной структуре, также

можно разместить линейно с использованием специальных разделителей

различных типов.

Например, приведенная выше таблица может быть записана в

следующем виде:

товар * цена * количество * сумма # телевизор * 8000 * 2 * 16000 #

холодильник * 14000 * 1* 14000 # электропечь * 6000 * 4* 24000

Если все элементы таблицы имеют равную длину, то такие таблицы

называются матрицами.

Итак, табличные структуры данных - это упорядоченные

структуры, в которых адрес элемента определяется номером строки и

номером столбца, на пересечении которых находится ячейка, содержащая

искомый элемент.

118

Таблицы, в которых адрес элемента определяется не двумя, а

большим количеством параметров, называются многомерными.

В качестве примера 4-мерной таблицы можно привести структуру

данных, определяемую следующими четырьмя параметрами:

Номер курса: 2

Номер специальности: 080504

Номер группы: МО-201

Номер студента в группе: 10

5.3. Иерархические структуры данных

Нерегулярные данные, которые трудно представить в виде списка

или таблицы, часто представляют в виде иерархических структур.

Например, иерархическую структуру имеет система почтовых адресов.

В иерархической структуре адрес каждого элемента определяется

путем доступа (маршрутом), ведущим от вершины структуры к данному

элементу.

Например, маршрут для установки ориентации печатного листа в

текстовом редакторе WORD выглядит следующим образом: Файл

Параметры страницы Размер бумаги Ориентация.

5.4. Достоинства и недостатки различных структур данных

Списочные и табличные структуры являются простыми, поэтому они

легко упорядочиваются. Основным методом упорядочивания является

сортировка по какому-либо признаку.

Несмотря на многочисленные удобства, основной недостаток

простых структур данных состоит в том, что их трудно обновлять. При

добавлении произвольного элемента в упорядоченную структуру списка

может происходить изменение адресных данных у других элементов.

119

Иерархические структуры данных по форме сложнее, чем линейные

и табличные, но они не создают проблем с обновлением данных.

Недостатком иерархических структур является относительная

трудоемкость записи адреса элемента данных и сложность

упорядочивания.

Методы упорядочивания в таких структурах основываются на

предварительной индексации, которая заключается в том, что каждому

элементу данных присваивается свой уникальный индекс (номер), который

можно использовать при поиске, сортировке и т.п. После такой индексации

данные легко разыскиваются по двоичному коду связанного с ними

индекса. Одним из примеров индексации является алфавитный указатель в

конце книги.

Если данные хранятся в организованной структуре, то каждый

элемент данных приобретает свой параметр, который называется его

адресом. Работать с упорядоченными данными удобнее, но за это надо

платить их размножением, поскольку адреса элементов - это тоже данные,

которые также надо хранить и обрабатывать. Главное, чтобы размер

адресных данных не становился больше, чем размер самих данных, на

которые указывает адрес. Чтобы избежать такой ситуации, используются

специальные методы организации хранения данных.

120

§6. Вычислительная техника. Аппаратныеи программные средства

6.1. Понятие и история развития вычислительной техники

Вычислительной техникой называют совокупность устройств,

предназначенных для автоматизированной обработки данных. Набор

взаимодействующих между собой устройств и программ,

предназначенный для обслуживания одного рабочего места, называют

вычислительной системой. Ее центральным устройством является

компьютер – электронный прибор, предназначенный для автоматизации

создания, хранения, обработки и транспортировки данных.

Первая страница в истории создания вычислительных машин связана

с именем французского философа, писателя, математика и физика Блеза

Паскаля. В 1641 г. он сконструировал механический вычислитель, который

позволял складывать и вычитать числа. В 1673 г. выдающийся немецкий

ученый Готфрид Лейбниц построил первую счетную машину, способную

механически выполнять все четыре действия арифметики. Ряд важнейших

ее механизмов применяли вплоть до середины XX в. в некоторых типах

машин. К типу машины Лейбница могут быть отнесены все машины, в

частности и первые ЭВМ, производившие умножение как многократное

сложение, а деление - как многократное вычитание. Главным

достоинством всех этих машин являлись более высокие, чем у человека,

скорость и точность вычислений. Их создание продемонстрировало

принципиальную возможность механизации интеллектуальной

деятельности человека.

Создание и совершенствование вычислительных машин диктовались

проблемами науки и техники. Появление первых механических счетных

машин и возрастающий спрос на них резко ускорили работы по

совершенствованию технологии их изготовления. В 1821 г. конструктор

121

Томас наладил серийное производство счетных устройств, названных им

арифмометрами. На протяжении XIX в. было создано много конструкций

счетных машин, повысились их надежность, точность вычислений,

удобство работы с ними. Существенный вклад в совершенствование

счетных машин внесли ученые и конструкторы России. В конце XVIII в.

была изготовлена машина Е.Якобсона, в 1828 г. - Ф. М. Слободского, в

1848 г. - И. Штоффеля, Куммера, Чебышева.

Подобные счетные машины значительно облегчали труд человека,

однако без его участия машина считать не могла. При этом человеку

отводилась лишь роль оператора.

Все этапы развития ЭВМ принято условно делить на поколения,

сменяющие друг друга. Каждое поколение определяется совокупностью

элементов, из которых строились вычислительные машины, - элементной

базой. Изменение элементной базы влекло за собой изменение параметров

оборудования, логической организации и программного обеспечения

ЭВМ.

С каждым новым поколением увеличивалось быстродействие,

уменьшались потребляемая мощность и масса ЭВМ, повышалась их

надежность. При этом возрастали их "интеллектуальные" возможности -

способность "понимать" человека и обеспечивать ему эффективные

средства для обращения к ЭВМ, возможность проверки состояния системы

автоматизации ввода программы. В настоящее время принято говорить о

пяти поколениях ЭВМ.

ЭВМ первого поколения - это машины, основными деталями которых

были электронные лампы (1946-1956г.). Они разрабатывались и

выпускались до начала 60-х годов. За точку отсчёта эры ЭВМ обычно

принимают 15 февраля 1946 года, когда учёные Пенсильванского

университета США ввели в строй первый в мире электронный компьютер

ЭНИАК. В нём использовалось 18 тысяч электронных ламп. У первых

122

компьютеров было сравнительно невысокое быстродействие (несколько

тысяч операций в секунду), очень большие габариты (машина занимала

площадь 135 м2 и весила около 30 тонн). При этом они потребляли много

электроэнергии и имели довольно ограниченные функциональные

возможности. Основным недостатком машин первого поколения является

их низкая надежность, обусловленная невысокой надежностью

электронных ламп. Это обстоятельство серьезно препятствовало

расширению возможностей машин, потому что чем выше возможности

ЭВМ, тем сложнее ее конструкция и, следовательно, большее число ламп

она содержит.

ЭВМ второго поколения – это компьютеры на транзисторах (1956-

1964г.). Полупроводниковый прибор – транзистор - был изобретён в США

в 1948г. Шокли и Бардиным. Применение полупроводниковых приборов

позволило резко повысить надежность ЭВМ, сократить ее массу, габариты

и потребляемую мощность. Эти ЭВМ по сравнению с ЭВМ первого

поколения обладали большими возможностями и быстродействием.

Лучшая отечественная ЭВМ второго поколения (БЭСМ-6) имела

быстродействие один млн. операций в секунду.

Требование надежности, компактности, технологичности привели к

созданию новой элементной базы ЭВМ - интегральных микросхем. Они

выполняются на кристаллах кремния и объединяют в себе всю

совокупность полупроводниковых приборов, конденсаторов, резисторов и

связей между ними. С появления интегральных схем начались разработки

ЭВМ третьего поколения.

ЭВМ третьего поколения - компьютеры на микросхемах с малой

степенью интеграции (1964-1971г.). Микросхема была изобретена в 1958

году Дж. Килби в США. Микросхемы позволили повысить

быстродействие и надёжность ЭВМ, снизить габариты, массу и

потребляемую мощность. Первая ЭВМ на микросхемах IBM-360 была

123

выпущена в США в 1965 г., как и первая мини-ЭВМ PDP-8 размером с

холодильник. В СССР большие ЭВМ третьего поколения серии ЕС (ЕС-

1022 ЕС-1060) выпускались с 1972 года. Машины этого поколения

характеризуются расширенным набором всевозможного оборудования для

ввода - вывода и хранения информации.

ЭВМ четвертого поколения - компьютеры на микропроцессорах

(1971г. по настоящее время). Микропроцессор - это арифметическое и

логическое устройство, выполненное чаще всего в виде одной микросхемы

с большой степенью интеграции, где на одной пластинке полупроводника

насчитывается несколько сотен тысяч элементов. Размеры такой

микросхемы не превышают нескольких сантиметров. Применение таких

схем повысило надежность ЭВМ и позволило увеличить их

быстродействие до нескольких десятков миллионов операций в секунду.

Первый микропроцессор Intel-4004 был выпущен в США фирмой Intel в

1971 году, а в 1975 появился первый в мире персональный компьютер

(Альтаир-8800, построенный на базе Intel-8080). Началась эра

персональных ЭВМ.

Сегодня ЭВМ четвертого поколения - это мощные вычислительные

комплексы, объединенные в единые центры и соединенные с

многочисленными абонентами современными линиями связи.

ЭВМ пятого поколения - это машины будущего (перспективные),

использующие новые технологии и новую элементную базу, например

сверхбольшие интегральные схемы, оптические и магнито-оптические

элементы, работающие посредством обычного разговорного языка,

оснащённые огромными базами данных. Предполагается также

использовать элементы искусственного интеллекта и распознавание

зрительных и звуковых образов. Такие проекты разрабатываются в

ведущих промышленно развитых странах.

124

6.2. Классификация компьютеров

Существует достаточно много систем классификации компьютеров,

что связано с их чрезвычайным разнообразием.

Классификация по назначению связана с тем, как компьютер

применяется. По этому принципу различают:

• Большие ЭВМ – это самые мощные компьютеры, которые

применяют для обслуживания очень крупных организаций и даже целых

отраслей народного хозяйства. На базе таких суперкомпьютеров создают

вычислительные центры, включающие в себя несколько отделов или

групп.

• Мини-ЭВМ отличаются от больших ЭВМ уменьшенными

размерами, меньшей производительностью и стоимостью. Такие

компьютеры используются крупными предприятиями, научными

учреждениями, банками. Для организации работы мини-ЭВМ тоже

требуется вычислительный центр, хотя и не такой многочисленный, как

для больших ЭВМ.

• Микро-ЭВМ доступны многим предприятиям. Для обслуживания

таких компьютеров достаточно небольшой вычислительной лаборатории

из нескольких человек.

• Персональный компьютер (ПК) предназначен для обслуживания

одного рабочего места. Современные персональные компьютеры обладают

немалой производительностью и превосходят большие ЭВМ 70-х годов,

мини-ЭВМ 80-х годов и микро-ЭВМ первой половины 90-х годов.

Особенно широкую популярность персональные компьютеры получили

после 1995г. в связи с бурным развитием Интернета.

Персональные компьютеры, в свою очередь, принято подразделять на:

деловые ПК – для которых минимизированы требования к

средствами воспроизведения графики и звука;

125

портативные ПК – для которых обязательным является наличие

средств компьютерной связи и небольшие размеры;

рабочие станции – для которых предъявляются повышенные

требования к устройствам хранения данных;

развлекательные ПК – для которых предъявляются повышенные

требования к средствам воспроизведения графики и звука;

массовые ПК – удовлетворяющие всем перечисленным

требованиям в достаточной мере.

Классификация по уровню специализации:

• универсальные – компьютеры, на базе которых можно собирать

вычислительные системы произвольного состава. Например, один и тот же

персональный компьютер можно использовать для работы с текстами,

музыкой, графикой, фото- и видеоматериалами.

• специализированные – компьютеры, которые предназначены для

решения конкретного круга задач. Например, бортовые компьютеры

самолетов, космических аппаратов, компьютеры, встроенные в стиральные

машины, видеомагнитофоны и т.д.

Классификация по размерам

Назначение компьютера и возможности его использования так же

тесно связаны с таким параметром как размер компьютера. В зависимости

от занимаемых размеров персональные компьютеры классифицируются

следующим образом:

• настольные модели (desktop) – которые обычно стоят на столе

(системный блок дополняется отдельным устройством вывода –

монитором) и отличаются простотой изменения конфигурации за счет

подключения дополнительных внешних приборов или установки

дополнительных внутренних компонентов;

126

• портативные модели (notebook) – которые являются удобными

для транспортировки и поэтому используются бизнесменами и другими

людьми, проводящими много времени в командировках и переездах;

• карманные модели (palmtop) – которые выполняют функции

«интеллектуальных записных книжек», то есть позволяют хранить данные

и получать к ним быстрый доступ;

• мобильные вычислительные устройства (PDA – Personal Digital

Assistant), или коммуникаторы – которые сочетают в себе функции

карманных моделей компьютеров и сотовых телефонов. Основное их

достоинство – возможность мобильной работы с Интернетом.

Классификация по совместимости. По аппаратной совместимости

выделяют две наиболее широко распространенные платформы: IBM PC и

Apple Macintosh. Принадлежность компьютеров к одной аппаратной

платформе повышает совместимость между ними.

Кроме аппаратной совместимости, существуют и другие виды:

совместимость на уровне операционной системы, программная

совместимость, совместимость на уровне данных.

6.3. Конфигурация персонального компьютера

6.3.1. Базовые устройства персонального компьютера

Устройство или состав оборудования персонального компьютера

называют его конфигурацией. В настоящее время в состав базовой

конфигурации входят четыре устройства: системный блок, монитор,

клавиатура и мышь. Три последних (монитор, клавиатура, мышь)

представляют собой устройства ввода-вывода данных, вся же основная

работа происходит в системном блоке – по сути, это и есть электронно-

вычислительная машина (ЭВМ).

127

В системном блоке располагаются внутренние устройства

персонального компьютера: материнская плата, жесткий диск, дисковод

гибких дисков, привод компакт-дисков, видеокарта, звуковая карта.

6.3.2. Устройства, располагающиеся на материнской плате

На материнской плате размещаются:

· центральный процессор (CPU) – основная микросхема,

выполняющая большинство математических и логических операций;

· микропроцессорный комплект (чипсет) – набор микросхем,

управляющих работой внутренних устройств компьютера;

· оперативная память (оперативное запоминающее устройство –

ОЗУ) – набор микросхем, предназначенных для временного хранения

данных, когда компьютер работает;

· постоянное запоминающее устройство (ПЗУ) – микросхема,

предназначенная для длительного хранения данных, в том числе и когда

компьютер выключен (BIOS – Basic Input Output System);

· энергозависимая память (CMOS) – хранит данные о внутренних

устройствах компьютера (даже когда он выключен). Она работает от

небольшой аккумуляторной батарейки.

· шины (адресная, шины данных и команд) – наборы проводников, по

которым происходит обмен сигналами между внутренними устройствами

компьютера;

· слоты – разъемы для подключения дополнительных устройств.

Системная (или материнская) плата схематически изображена на

рис.2.3.

128

Рис.2.3. Схематическое изображение системной платы

6.3.3. Жесткий диск (винчестер)

Жесткий диск или винчестер – основное устройство для

долговременного хранения больших объемов данных и программ. На

самом деле это не один диск, а группа дисков, имеющих магнитное

покрытие и вращающихся с высокой скоростью. Основным параметром

жесткого диска является его емкость. В настоящее время она составляет от

40 до 200 Гбайт.

6.3.4. Дисковод гибких дисков

Гибкие магнитные диски (дискеты) используют для оперативного

переноса небольших объемов данных. Дискеты вставляют в специальный

накопитель (дисковод), приемное отверстие которого находится на

лицевой панели системного блока.

Основными параметрами гибких дисков являются: технологический

размер (в дюймах), плотность записи и полная емкость. В настоящее время

в основном используются дискеты размером 3,5 дюйма высокой плотности

(high density – HD). Они имеют емкость 1,44 Мбайт.

Гибкие диски – ненадежные носители данных. Пыль, грязь, влага,

температурные перепады и внешние электромагнитные поля очень часто

становятся причиной частичной или полной утраты записей, хранившихся

на гибком диске. Поэтому использовать дискеты в качестве основного

средства хранения данных недопустимо.

129

6.3.5. Привод компакт-дисков (CD-ROM)

Аббревиатура CD-ROM (Compact Disc Read-Only Memory) означает

«постоянное запоминающее устройство на основе компакт-диска».

Принцип действия этого устройства состоит в считывании числовых

данных с помощью лазерного луча, отражающегося от поверхности диска.

Цифровая запись на компакт-диске отличается от записи на магнитных

дисках очень высокой плотностью. Существуют две основные группы

лазерных дисков: CD (CD-ROM, CD-R, CD-RW) и DVD (DVD-ROM,

DVD-R, DVD-RW). Принцип записи (и считывания) данных для

оптических дисков одинаков, DVD-диски отличаются лишь более высокой

плотностью записи, что значительно увеличивает их емкость. Так, если

стандартный CD -диск может хранить примерно 650-750 Мбайт данных, то

емкость DVD-дисков может составлять десятки Гб информации (более

подробно эти и другие способы хранения данных рассмотрены в п.4.2).

6.3.6. Видеокарта

Видеокарта (видеоадаптер) образует совместно с монитором

видеоподсистему персонального компьютера. Физически видеоадаптер

встроен в материнскую плату либо выполнен в виде отдельной дочерней

платы, которая вставляется в один из слотов материнской платы. В

настоящее время применяются видеоадаптеры SVGA, обеспечивающие

воспроизведение до 16,7 миллионов цветов.

Одним из важнейших параметров видеоподсистемы является

разрешение экрана. Чем оно выше, тем больше информации можно

отобразить на экране, но тем меньше размер каждой отдельной точки, и,

следовательно, меньше видимый размер элементов изображения. Для каждого размера монитора существует свое оптимальное разрешение экрана:

размер монитора оптимальное разрешение экрана

15 дюймов 800600

130

17 дюймов 1024768

19 дюймов 12801024

6.3.7. Звуковая карта

Звуковая карта подключается к одному из слотов материнской платы

либо встраивается в нее и выполняет вычислительные операции, связанные

с обработкой звука, речи или музыки.

Звук воспроизводится через наушники или звуковые колонки,

подключаемые к выходу звуковой карты.

Основным параметром звуковой карты является разрядность,

определяющая количество битов, используемых при преобразовании

сигналов из аналоговой в цифровую форму и наоборот. Чем выше

разрядность, тем выше качество звучания. В настоящее время наибольшее

распространение имеют 64-разрядные звуковые карты.

6.4. Периферийные устройства персонального компьютера

Периферийные устройства предназначены для выполнения

вспомогательных операций. По назначению их можно подразделить на

устройства ввода данных, вывода данных, хранения данных и обмена

данными.

6.4.1. Устройства ввода данных

Устройства ввода данных подразделяются на устройства

командного управления и устройства ввода графических данных.

К устройствам командного управления, кроме обычной мыши,

относятся:

131

¨ трекбол – стационарное устройство с шариком, который

приводится в движение ладонью руки. Как правило, трекболы

используются в портативных персональных компьютерах;

¨ пенмаус – представляет собой аналог шариковой авторучки, на

конце которой вместо пишущего узла установлен узел, регистрирующий

перемещение по экрану монитора;

¨ инфракрасная мышь – это мышь с беспроводной связью, для

которой передача информации осуществляется инфракрасным лучом;

¨ джойстик – манипулятор рычажно-нажимного типа, обычно

используемый для компьютерных игр.

К устройствам ввода графических данных относятся:

¨ цифровые фотокамеры – позволяющие сразу получать фотоснимок

в оцифрованном формате;

¨ графические планшеты (дигитайзеры) – предназначенные для ввода

графической художественной информации при помощи планшета и

специального пера;

¨ сканеры – позволяющие автоматизировать ввод графической

информации в персональный компьютер.

Принято выделять следующие типы сканеров:

а) планшетные – в которых сканируемый лист бумаги располагается

на планшете, а его изображение считывается при помощи линейки

специальных элементов, называемых приборами с зарядовой связью.

Перемещение линейки относительно листа бумаги выполняется

механическим протягиванием линейки при неподвижной установке листа

или протягиванием листа при неподвижной установке линейки;

б) ручные – которые имеют тот же принцип действия, что и

планшетные, однако протягивание линейки в данном случае выполняется

вручную;

132

в) барабанные – в которых исходный материал закрепляется на

цилиндрической поверхности барабана, вращающегося с высокой

скоростью, и считывается с помощью фотоэлектронных умножителей;

г) сканеры форм – предназначены для ввода данных со стандартных

форм, заполненных механически или вручную (налоговые декларации,

результаты голосования и т.д.);

д) штрих-сканеры – это ручные сканеры, предназначенные для ввода

штрих-кодов на товарах. Такие устройства применяют в торговле.

6.4.2. Устройства вывода данных

Устройствами вывода данных являются:

• принтеры, позволяющие получать копии текстовых

документов на бумаге;

• графопостроители (плоттеры), дающие возможность

выводить на печать графические документы большого формата и высокого

качества.

Плоттеры используются в основном для профессиональной

деятельности: в полиграфии, конструкторских бюро и т.п. Принтеры же

являются одними из типичных технических средств современных офисов.

Различают следующих типы принтеров:

а) матричные – в которых данные выводятся на бумагу в виде

оттиска, образующегося при ударе цилиндрических стержней («иголок»)

через красящую ленту;

б) лазерные – в которых специальный красящий состав (тонер) под

воздействием лазерного луча сначала наносится на бумагу, а затем

закрепляется на ней с помощью прогревания;

в) светодиодные – которые очень похожи на лазерные принтеры.

Разница заключается в том, что вместо лазерного луча в них используется

линейка светодиодов;

133

г) струйные – в которых изображение формируется из микрокапель

красителя, выбрасываемых под давлением на бумагу.

6.4.3. Устройства хранения данных

Дополнительными устройствами хранения данных являются:

А. Стримеры - устройства для записи информации на кассету с

магнитной лентой. Они используются в ПК для резервного архивирования

информации и создаются как во внешнем, так и во внутреннем

исполнении. Их основными достоинствами являются большие объемы

хранимой информации (несколько десятков Гбайт) и низкая стоимость.

Б. Накопители на съемных магнитных дисках:

- ZIP-накопители – работают с магнитными дисками, которые

незначительно превышают стандартные гибкие диски по размеру, однако

при этом имеют емкость 100/250/750 Мбайт.

- накопители JAZ являются более емкими, по своим характеристикам

похожи на сменные жесткие диски. На них можно разместить несколько

Гбайт данных.

В. Накопители на магнитооптических дисках основаны на

оригинальной схеме чтения-записи информации, обеспечивающей

высокую информационную емкость носителей и надежность хранения

информации. Запись производится относительно медленно, а считывание -

быстро.

Г. Флэш-диски – это устройства хранения данных на основе

энергозависимой флэш-памяти. Они имеют минимальные размеры,

подключаются к компьютеру через порт USB и не требуют установки

драйвера. Их емкость составляет несколько Гбайт.

6.4.4. Устройства обмена данными

Устройствами обмена данными являются модемы, т.е. устройства,

предназначенные для обмена информацией между удаленными

134

компьютерами по каналам связи. При этом под каналом связи понимают

физические линии (проводные, оптоволоконные, кабельные,

радиочастотные), способ их использования (коммутируемые и

выделенные) и способ передачи данных (цифровые или аналоговые

сигналы). В зависимости от типа канала связи модемы подразделяют на

радиомодемы, кабельные модемы, а также модемы, ориентированные на

подключение к коммутируемым телефонным каналам связи.

Цифровые данные, поступающие в модем из компьютера,

преобразуются в нем путем модуляции (по амплитуде, частоте, фазе) в

соответствии с избранным стандартом (протоколом) и направляются в

телефонную линию. Модем-приемник, понимающий данный протокол,

осуществляет обратное преобразование (демодуляцию) и пересылает

восстановленные цифровые данные в свой компьютер. Отсюда и

происходит название модема (МОдулятор + ДЕМодулятор).

6.5. Программное обеспечение

6.5.1. Понятие программного обеспечения

Решение любой задачи на ЭВМ – это процесс получения

результатных данных на основе обработки исходных данных с помощью

программы.

Программа – это упорядоченная последовательность команд,

понятных ЭВМ, то есть машинных команд. Конечная цель любой

компьютерной программы – управление аппаратными средствами.

Программное обеспечение – это совокупность программ,

используемых для решения задач на ЭВМ. Программное обеспечение

подразделяется на несколько взаимодействующих между собой уровней,

каждый из которых опирается на программное обеспечение

предшествующих уровней:

135

1. Базовое программное обеспечение – отвечает за взаимодействие с

базовыми аппаратными средствами и хранится в микросхемах,

называемых постоянными запоминающими устройствами (ПЗУ). Набор

подобных программ является неотъемлемой частью конкретной ЭВМ и

называется внутренним программным обеспечением. Они начинают

работать при включении компьютера: сначала тестируют память, затем

проверяют наличие внешних устройств и их работоспособность, и после

этого передают управление операционной системе. Для ПЭВМ

совокупность этих программ носит название BIOS (Base Input Output

System).

2. Системные программные средства – обеспечивают

взаимодействие других программ с программами базового уровня и

непосредственно с аппаратным обеспечением, то есть выполняют

«посреднические» функции. Среди системных программ принято выделять

драйверы устройств, которые обеспечивают взаимодействие других

программ с конкретным устройством, и средства обеспечения

пользовательского интерфейса, которые отвечают за взаимодействие с

пользователем. Главное место в наборе системных программ занимают

операционные системы, которые снабжают другие программы и

пользователя необходимыми средствами для управления ЭВМ

3. Служебное программное обеспечение – взаимодействует с

программами базового и системного уровней. Основное назначение

служебных программ состоит в автоматизации работ по проверке, наладке

и настройке компьютерной системы.

4. Прикладное программное обеспечение – это комплекс прикладных

программ, предназначенных для автоматизации конкретного вида

человеческой деятельности. Прикладное программное обеспечение

используют для решения определенной задачи или класса задач, спектр

которых очень широк.

136

Мы не будем подробнее останавливаться на изучении базового и

системного программного обеспечения – это задача системных

программистов. Офисным же служащим (менеджерам, маркетологам,

экономистам) для эффективной работы необходимо иметь четкое

представление о возможностях и предназначении современного

служебного и программного обеспечения. Рассмотрим их более подробно.

6.5.2. Классификация служебных программных средств

1. Диспетчеры файлов (файловые менеджеры) – предназначены для

работы с файлами и позволяют выполнять следующие операции:

копирование, перемещение и переименование файлов, создание каталогов,

удаление файлов и каталогов, поиск файлов и т.п. Например, Norton

Commander, Windows Commander, Far Manager и другие.

2. Архиваторы – средства сжатия данных предназначенные для

создания архивов. К ним относятся: arj, zip, rar и другие.

3. Средства диагностики – предназначены для автоматизации

процессов диагностики программного и аппаратного обеспечения. Их

используют не только для устранения неполадок, но и для оптимизации

работы компьютерной системы. Например, ScanDisk (проверка диска),

очистка диска, дефрагментация диска.

4. Мониторы установки – предназначены для контроля установки и

удаления программного обеспечения. Они отслеживают и протоколируют

образование новых связей при установке программ и позволяют

восстанавливать связи, утраченные в результате удаления ранее

установленных программ. Например, установка и удаление программ и

компонентов Windows, доступная через Панель управления.

5. Средства коммуникации – позволяют устанавливать соединения с

удаленными компьютерами, обслуживают передачу сообщений

137

электронной почты, обеспечивают пересылку факсимильных сообщений и

выполняют множество других операций в компьютерных сетях.

6. Средства обеспечения компьютерной безопасности – делятся на

средства активной и пассивной защиты данных от повреждения.

В качестве средств пассивной защиты используют служебные

программы, предназначенные для резервного копирования.

В качестве средств активной защиты применяют антивирусное

программное обеспечение. Например, AVP, DrWeb и другие (подробнее о

средствах и методах защиты информации см. § 10).

6.5.2. Классификация прикладных программных средств

1. Текстовые процессоры – их основные функции заключаются во

вводе, редактировании и форматировании (т.е. оформлении) текстов.

Например, Microsoft Word, Лексикон, Chiwriter, TEX и другие.

2. Настольные издательские системы – программы

профессиональной издательской деятельности, позволяющие

осуществлять электронную верстку основных типов документов.

Например, PageMaker, Corel Ventura, QuarkXPress.

3. Графические редакторы – программы, предназначенные для

обработки графической информации. Они, в свою очередь, делятся на:

a) растровые редакторы, которые применяют, когда графический

объект представлен в виде комбинации точек, образующих растр. Они

наилучшим образом подходят для работы с фотографиями, поскольку

позволяют их ретушировать, создавать фотоэффекты и художественные

композиции (коллажи). Например, Adobe Photoshop, Aldus Photostyler,

Picture Publisher;

б) векторные редакторы отличаются от растровых тем, что в них

элементарным изображением является не точка, а линия. При этом каждая

линия рассматривается как математическая кривая и представляется не

138

комбинацией точек, а математической формулой. Векторные редакторы

применяются в основном для чертежно-графических работ, в дизайне и

рекламном бизнесе. Примерами векторных редакторов являются Corel

Draw и Adobe Illustrator;

в) редакторы трехмерной графики используются для создания

трехмерных композиций и трехмерной анимации. Например, 3D Studio.

4. Электронные таблицы – программы, предназначенные для

обработки числовых данных, организованных табличным образом.

Например, Excel, Quattro Pro, Supercalc. Они широко применяются в сфере

бухгалтерского учета, финансового и статистического анализа.

5. Системы управления базами данных (СУБД) предназначены для

создания, хранения, обновления и использования баз данных. Базами

данных называют огромные массивы данных различных типов,

организованные в табличные структуры. Примерами СУБД являются

Microsoft Access, dBase, FoxPro, Oracle.

6. Системы автоматизированного проектирования (САПР)

предназначены для автоматизации проектно-конструкторских работ в

машиностроении, архитектуре, микроэлектронике и других областях.

Например, AutoCAD, DesignCAD, TurboCAD.

7. Пакеты программ мультимедиа – средства обработки и

воспроизведения аудио- и видеоинформации. Они делятся на:

a) средства подготовки видеоматериалов, демонстрационных

дисков, анимации и т.п. Например, Director for Windows, Multimedia

ViewKit;

б) средства воспроизведения аудио- и видеоинформации.

Например, Winamp, Apollo, MS Windows Media, LightAlloy и другие.

8. Средства для работы в Интернете делятся на две категории:

139

a) браузеры – средства для просмотра Web-страниц, то есть

электронных документов, выполненных в формате HTML. Например,

Internet Explorer, Netscape Navigator, Opera, Mozilla и другие;

б) программы, работающие с электронной почтой. Например,

Outlook Express, The bat, Netscape Messinger и другие.

9. Web-редакторы – это редакторы, объединяющие в себе свойства

текстовых и графических редакторов, которые предназначены для

создания и редактирования Web-страниц. Например, Front Page,

Dreamweaver.

10. Бухгалтерские системы – это специализированные системы,

сочетающие в себе функции текстовых и табличных редакторов,

электронных таблиц и СУБД. Они предназначены для автоматизации

бухгалтерского учета и процесса подготовки различных финансовых

отчетов. Наиболее широкое распространение в России получили

1С: Бухгалтерия и Бест.

11. Финансовые аналитические системы позволяют контролировать

и прогнозировать ситуацию на финансовых, товарных и сырьевых рынках,

производить анализ текущих событий, готовить сводки и отчеты. К ним

можно отнести: StatGraphics, SPSS, Statistika.

140

§7. Алгоритмизация

7.1. Алгоритм и его свойства

Основным в процессе программирования является разработка

алгоритма. Фактически любая программа составлена в соответствии с

некоторым заранее продуманным планом решения задачи - алгоритмом.

Алгоритм – это система правил, задающих строго определенную

последовательность действий, выполнение которых приводит к решению

поставленной задачи за конечное число шагов.

Алгоритмизация – это процесс разработки алгоритма для решения

задачи.

Итак, алгоритм – это набор инструкций, который описывает, как

некоторое задание может быть выполнено. Примеры алгоритмов

встречаются в повседневной жизни. Например, рецепт какого-нибудь

блюда можно считать алгоритмом, описывающим процесс приготовления

пищи, инструкция по эвакуации – алгоритмом спасения при

возникновении чрезвычайной ситуации.

Основные свойства алгоритма:

• дискретность (от лат. discretus - разделенный,

прерывистый) — это свойство указывает на то, что любой алгоритм

должен состоять из конкретных действий в определенном порядке;

• детерминированность (от лат. determinate - определенность,

точность)- это свойство указывает, что любое действие алгоритма

должно быть строго и недвусмысленно определено в каждом случае;

• конечность - это свойство определяет, что каждое

действие в отдельности и алгоритм в целом должны выполняться за

конечное время;

• массовость - это свойство показывает, что один и тот же

алгоритм можно использовать для решения не конкретной задачи, а

целого класса подобных задач с разными исходными данными;

141

• результативность — это свойство требует, чтобы в

алгоритме не было ошибок и его выполнение приводило бы к

решению поставленной задачи.

Описания действий в алгоритме следуют последовательно друг за

другом. Однако очередность этих действий может быть изменена, в

зависимости от выполнения (или невыполнения) некоторого условия. В

результате алгоритмы могут иметь различную структуру, в которой,

тем не менее, всегда можно выделить несколько типовых конструкций:

линейную, разветвляющуюся, циклическую.

Линейный (последовательный) алгоритм - описание действий, которые

выполняются однократно в заданном порядке.

Разветвляющийся алгоритм - алгоритм, в котором в зависимости от

условия выполняется либо одна, либо другая последовательность действий.

Циклический алгоритм - описание действий, которые должны

повторяться указанное число раз или пока не выполнится заданное

условие. Перечень повторяющихся действий называется телом цикла.

7.2. Способы описания алгоритмов

Алгоритм может быть описан различными способами: на

естественном языке, в виде формул (на математическом языке),

графически (на языке блок-схем), посредством некоторого языка

программирования. В этом смысле язык программирования – это система

обозначений, предназначенных для точного описания алгоритмов для

ЭВМ. На стадии обучения программированию, а также при разработке

сложных проектов, наиболее простым наглядным и универсальным

способом описания алгоритмов является язык блок-схем.

Блок-схема – это графическое изображение алгоритма. При ее

построении содержимое каждого шага записывается в произвольной

форме внутрь блока, представленного геометрической фигурой.

142

Наиболее часто употребляемые символы схем алгоритмов:

143

- запуск (начало) или остановка (конец) вычислительного алгоритма;

Начало

y=(y0+x/y0)2- вычислительный блок (процесс), содержит

формулы производимых вычислений;

ВводА, В, С

- ввод или вывод данных, имена которых перечислены в блоке;

А > В - блок проверки условия; имеет два выхода: «да» - при выполнении условия,«нет» - в противном случае;

да нет

- подпрограмма; на блок-схеме в ней записываются только название подпрог-раммы, а ее команды описываются в отдельной блок-схеме;

Решение кв.уравненияAx2+Bx+C=0

i = 1 , n- подготовительные операции (задание

массива, начало цикла), модификация;

Х1, Х2- печать на бумаге переменных, перечис-

ленных в блоке;

Действительных решений нет

- вывод на монитор текстового сообщения или значений указанных переменных;

- обозначение безусловного перехода к блоку с определенным номером (распола-гающемуся обычно на другой странице);

- блок комментариев, позволяющий вписывать пояснения к особо сложным местам блок-схемы.

Порядок выполнения шагов указывается с помощью стрелок,

соединяющих блоки. Использование различных геометрических фигур

отражает различный характер выполняемых действий. Так, например, овал

означает начало или окончание вычислительного процесса, прямоугольник

– проведение вычислений, в результате которых данные изменяют свои

значения, ромб – проверку условия, от которого зависит дальнейший ход

выполнения действий. Из этих базовых элементов может быть построена

логическая структура алгоритма любой сложности. В свою очередь, как

отмечалось выше, структура любого алгоритма может быть представлена

комбинацией трех базовых структур:

• следование (линейная структура);

• ветвление;

• цикл.

Базовая структура «следование» - образуется последовательностью

вычислительных блоков или блоков ввода-вывода,

следующих друг за другом.

Общий вид линейного участка представим на

простейшем примере начисления зарплаты:

Зрп. = Кол.дн.*Сут.ст. ,

где Кол.дн. – количество отработанных дней,

Сут.ст. – суточная ставка.

Базовая структура «ветвление» - состоит из блока проверки

некоторого условия, обеспечивающего возможность выполнения

различной последовательности действий. Каждый из путей ведет к общему

выходу, так что работа алгоритма будет продолжаться независимо от

выбранного в данной структуре пути (см. рис.2.4). Существует несколько

144

ВводКол.дн., Сут.ст

Зрп. = Кол.дн.*Сут.ст

ВыводЗрп.

вариантов ветвления. Представим два основных варианта на уже знакомом

примере с начислением зарплаты.

В первом случае (рис. 2.4(а) добавим премию, если Кол.дн.>24, во

втором (рис. 2.4(б) кроме поощрения в виде премии, введем еще и

штрафные санкции - будем штрафовать работника, если Кол.дн. 24.

(а) (б)

Рис. 2.4

Базовая структура «цикл» - состоит из совокупности блоков-

действий (тело цикла), выполнение которой повторяется многократно,

пока остается истинным некоторое поверяемое условие. Условие может

быть связано со значением некоторой переменной, которое меняется в

ходе выполнения действий (в теле цикла). Главная особенность таких

циклов в том, что количество повторений заранее не известно (см.

рис.2.5(а). Если же количество повторений тела цикла определено заранее,

то используют цикл со счетчиком (см. рис.2.6(б). Обе структурные схемы

приведены на ри.2.5. для примера вычисления общего фонда заработной

платы для 100 сотрудников.

145

Кол.дн.>24

Зрп.=Зрп.+Прем.

Кол.дн.>24

Зрп.=Зрп.+Прем. Зрп.=Зрп-Штр.

да да нет

(а) (б)

Рис.2.5

146

i <= 100

ОФЗ=ОФЗ+Зрп.

i = 1

даВвод

Зрп. i-го работн.

ВыводОФЗ

i = i + 1

нет i = 1 до 100

ОФЗ=ОФЗ+Зрп.

ВводЗрп. i-го работн.

ВыводОФЗ

§ 8. Программирование и языки программирования

Программирование в самом простом понимании представляет собой

создание программ. Программирование есть реализация алгоритмов. Более

точно программирование заключается в отображении в памяти ЭВМ

цифровых данных о реальных объектах и в описании инструкций по

управлению этими данным на некотором языке программирования.

Язык программирования является как бы промежуточным звеном

между формулировкой алгоритма с помощью нечетких выражений

естественного языка и жесткой структурой машинного языка. В любом

языке программирования можно выделить две части: синтаксис и

семантику. Синтаксис описывает совокупность используемых в языке

символов. Семантика определяет значение отдельных конструкций языка.

Изучение конкретного языка программирования – это главным образом

освоение его семантики.

На сегодняшний день имеется более тысячи языков

программирования. Их можно классифицировать по различным

признакам, и все же главными критериями различия являются уровень и

стиль программирования (см. рис. 2.6).

8.1. Классификация языков программирования

8.1.1. Машинно-ориентированные и машинно-независимые языки

Прежде всего, все языки программирования принято разделять на

две большие группы: машинно-ориентированные и машинно-независимые

языки (см. рис.2.6).

Машинно-ориентированные языки – это языки, средства которых

существенно зависят от особенностей конкретной ЭВМ. Одним из

примеров таких языков является Ассемблер. Для них характерны:

147

1) высокое качество создаваемых программ с точки зрения их

компактности и скорости выполнения;

2) возможность прямого использования конкретных аппаратных

ресурсов;

3) учет особенностей функционирования данной ЭВМ;

4) трудоемкость процесса составления программ;

5) низкая скорость программирования;

6) невозможность непосредственного использования программ,

составленных на этих языках, на ЭВМ других типов.

Рис.2.6.

Машинно-ориентированные языки называют еще языками низкого

уровня или системными. С помощью языков низкого уровня создаются

очень эффективные и компактные программы, так как разработчик

получает доступ ко всем возможностям процессора. С другой стороны, при

148

Машинно-независимые языки

Машинно-ориентированные языки

Процедурные

Объектно-ориентированные

(Си++, Java, Visual

Basic)Декларативные

Функцио-нальные

(Лисп)

Логи-ческие

(Пролог)

Структур-ные

(Паскаль, Си)

Неструктур-ные

(Фортран, Бейсик)

Язы

ки в

ысо

кого

уро

вня

Язы

ки

низк

ого

уров

ня

этом требуется очень хорошо понимать устройство компьютера,

затрудняется отладка больших приложений, а результирующая программа

не может быть перенесена на компьютер с другим типом процессора.

Подобные языки обычно применяют для написания небольших системных

приложений, драйверов устройств, когда важнейшими требованиями

становятся компактность, быстродействие и возможность прямого доступа

к аппаратным ресурсам. В некоторых областях, например в машинной

графике, на языке ассемблера пишутся библиотеки, эффективно

реализующие алгоритмы обработки изображений, требующие

интенсивных вычислений.

Машинно-независимые языки – это средства описания алгоритмов

решения задач и информации, подлежащей обработке, которые не требуют

от программиста знания особенностей функционирования конкретной

ЭВМ.

Эти языки называются также еще языками высокого уровня. К ним

относятся почти все используемые сегодня языки программирования.

Программы, составленные на таких языках, представляют собой

последовательности операторов, структурированные в соответствии с

определенными правилами. Операторы языка описывают действия,

которые должна выполнять система после трансляции программы на

машинный язык.

Машинно-независимые языки можно условно разделить на три

группы: процедурные, декларативные и объектно-ориентированные.

8.1.2. Процедурные языки

Процедурные языки (называемые также директивными или

императивными) – это языки, определяющие, как вычислять результат для

какой-нибудь проблемы в соответствии с заданным алгоритмом. К ним

относятся: Алгол, Фортран, Бейсик, Паскаль, Си.

149

Процедурные языки, в свою очередь, можно разделить на

структурные и неструктурные языки программирования.

Неструктурное программирование допускает использование в явном

виде команды безусловного перехода (в большинстве языков GOTO). Это

влечет за собой массу серьезных недостатков: программу, которая

содержит бесконечные переходы вверх-вниз, очень трудно изменять и

дополнять. Типичными представителями неструктурных языков являются

ранние версии Бейсика и Фортрана.

В структурном программировании задача разбивается на большое

число мелких подзадач, каждая из которых решается своей процедурой

или функцией. Такой подход позволяет разрабатывать большие проекты

силами нескольких программистов. Например, на Паскале и Си.

8.1.3. Декларативные языкиДекларативные языки – это языки, оперирующие с помощью

задания данных и отношений между ними. Вместо алгоритмов в таких

языках используются правила логического вывода, которые позволяют

системе находить нестандартные, заранее не определенные решения.

Поэтому декларативные языки называют также еще языками

искусственного интеллекта.

Главное различие между декларативными и процедурными языками

заключается в том, что декларативная программа заявляет (декларирует),

что должно быть достигнуто в качестве цели, а процедурная

предписывает, как ее достичь.

ПримерПусть перед вами стоит задача пройти в некотором городе из пункта

А в пункт Б.

Декларативная программа – это план города, в котором отмечены оба

пункта (А и Б), и заданные правила уличного движения. Руководствуясь

150

этими правилами и планом города, курьер сам найдет путь от пункта А к

пункту Б.

Процедурная программа – это список команд примерно такого рода:

от пункта А по ул.Минина двигаться на север до пл. Свободы, оттуда по

ул.Ванеева пройти два квартала, потом повернуть направо и идти до

дома №20, который и есть пункт Б. Таким образом в процедурной

программе действия задаются явными командами, подготовленными ее

составителем. Исполнитель же просто им следует.

Хотя команды в различных языках процедурного программирования

и выглядят по-разному, все они сводятся либо к присваиванию какой-

нибудь переменной некоторого значения, либо к выбору следующей

команды, которая должна будет выполняться. Присваиванию может

предшествовать выполнение ряда арифметических и иных операций,

вычисляющих требуемое значение, а команды выбора реализуются в виде

условных операторов и операторов повторения (циклов).

Для классических процедурных языков характерно, что

последовательность выполняемых команд совершенно однозначно

определяется ее входными данными. Как говорят, поведение исполнителя

императивной программы полностью детерминировано.

Декларативные программы не предписывают выполнять

определенную последовательность действий, в них лишь дается

разрешение совершать их. Исполнитель должен сам найти способ

достижения поставленной перед ним составителем программы

(программистом) цели, причем зачастую это можно сделать различными

способами – детерминированность в данном случае отсутствует.

Декларативные языки, в свою очередь, делятся на функциональные

(аппликативные) и логические языки.

151

Функциональное программирование. В основе функциональных

языков лежит понятие функции как "черного ящика", имеющего несколько

параметров (аргументов) на входе и один результат на выходе:

f(x1, x2, …, xn) = y.

Функциональное программирование – это способ составления

программ, в которых единственным действием является вызов функции.

В такой программе нет ни ячеек памяти, ни операторов присваивания, ни

циклов, ни передачи управления. Другими словами программист

формулирует не «что надо сделать», как в процедурном языке, а «что надо

получить». Любой функциональный язык имеет следующие элементы:

классы констант, используемые в функциях;

набор базовых функций, которые можно использовать без

предварительного определения;

правила построения новых функций из базовых;

правила формирования выражений на основе вызова функций.

Одним из первых функциональных языков стал Лисп (LISP – List

Processing), созданный группой авторов под руководством американского

ученого Джона Маккарти в 1959 году. Цель его создания состояла в

удобстве обработки символьных данных. В настоящее время он

рассматривается как основной язык программирования систем

искусственного интеллекта.

В системах управления базами данных широко используется язык

запросов SQL. По существу SQL является также функциональным языком

программирования.

Логическое программирование. Основная идея, реализованная в

логических языках программирования, - это попытка возложить на

программиста только постановку задачи, а поиски путей ее решения

предоставить транслятору. Центральным понятием в логическом

152

программировании является отношение. Программа представляет собой

совокупность определений отношений между объектами.

В логическом программировании нужно определить факты, на

которых основывается алгоритм, а не определять последовательности

шагов, которые необходимо выполнить (как в процедурном

программировании). Для описания объектов и связей (отношений) между

ними логические языки имеют специальные конструкции. Например,

если дано:

Федор – отец Павла,

Павел – отец Кирилла,

Дедушка – это отец отца или отец матери,

то система логического вывода должна сама сделать заключение:

Федор – дедушка Кирилла.

Наиболее известным языком логического программирования

является Пролог (Prolog – Programming in Logic), созданный в 1973г.

французским ученым А.Кольмероэ. Программа на языке Пролог состоит из

фактов, правил и вопроса. На вопрос программа пытается ответить, либо

«да» («yes»), либо «нет» («no»).

8.1.4. Объектно-ориентированные языкиОбъектно-ориентированные языки, разработанные в середине 70-х

годов, представляют собой отображение объектов реального мира, их

свойств (атрибутов) и связей между ними при помощи специальных

структур данных. При объектно-ориентированном подходе для каждого

объекта создается своя структура данных, называемая классом и

содержащая свойства объекта (поля) и процедуры для управления

объектом (методы).

При этом каждый класс может содержать несколько подклассов,

описывающих частные случаи общего объекта. Все подклассы содержат в

153

себе, наряду с общими свойствами, также еще ряд специфических свойств,

отличающих их от первоначального класса. Такой принцип называется

принципом наследования свойств (от общего к частному).

Пример Для описания объекта «геометрическая фигура» можно

использовать класс, содержащий три свойства (цвет, координаты x и y,

определяющие начальную точку рисования данной фигуры на экране) и

два метода (поменять цвет и переместить фигуру в точку с координатами

(x,y). Затем для данного класса можно определить подклассы,

описывающие частные случаи геометрических фигур за счет добавления

новых специфических свойств: прямоугольник (свойства ширина и

высота), круг (свойство радиус) и т.п. При этом и для прямоугольника, и

для круга будут применимы общие свойства и методы, заданные для

класса «геометрическая фигура».

Типичными представителями объектно-ориентированных языков

программирования являются C++, Java, Visual Basic.

8.2. Технология программирования

Под технологией программирования можно понимать

последовательность действий от написания текста программы на

выбранном языке программирования до ее реализации в виде готового

(правильно функционирующего) исполнимого модуля. Этот процесс в

самом общем случае можно представить как последовательное

прохождение нескольких этапов, результатом каждого из которых является

создание некоторого файла - программного модуля (промежуточного или

конечного).

154

8.2.1. Основные этапы программированияПервый этап – это написание текста программы, реализующей

заданный алгоритм. В итоге получается текстовый файл с исходным

текстом программы. Формировать этот текст можно в любом редакторе,

однако лучше использовать специализированные редакторы, которые

ориентированы на конкретный язык программирования. Они позволяют в

процессе ввода текста выделять ключевые слова и идентификаторы

разными цветами и шрифтами. Подобные редакторы созданы для всех

популярных языков и дополнительно могут автоматически проверять

правильность синтаксиса программы непосредственно во время ее ввода.

Второй этап – перевод (преобразование) исходного текста в

программу, состоящую из машинных команд. Этим занимаются

специальные программы-переводчики, которые реализуются в виде

компиляторов или интерпретаторов. С точки зрения выполняемой

работы компилятор и интерпретатор существенно отличаются между

собой.

Компилятор (от англ. compiler –составитель, собиратель) – читает

всю программу целиком, делает ее перевод и создает законченный вариант

программы на машинном языке. После того, как программа

откомпилирована, ни сама исходная программа, ни компилятор более не

нужны.

Интерпретатор (от англ. interpreter – истолкователь, устный

переводчик) переводит и выполняет программу построчно (строка за

строкой). В этом случае при каждом очередном запуске программа должна

заново переводиться на машинный язык.

Откомпилированные программы работают быстрее, но

интерпретируемые проще исправлять и изменять. Каждый конкретный

язык ориентирован либо на компиляцию, либо на интерпретацию - в

зависимости от того, для каких целей он создавался. Например, Паскаль

155

обычно используется для решения довольно сложных задач, в которых

важна скорость работы программ. Поэтому данный язык реализуется с

помощью компилятора. С другой стороны, Бейсик создавался как язык для

начинающих программистов, для которых построчное исполнение

программы имеет неоспоримые преимущества.

Иногда для одного языка имеется и компилятор, и интерпретатор. В

этом случае при разработке и тестировании программы можно

воспользоваться интерпретатором, а затем откомпилировать отлаженную

программу, чтобы повысить скорость ее выполнения.

На этом этапе уже возможно получение готовой программы, но чаще

всего в ней не хватает некоторых компонентов, поэтому компилятор

обычно выдает промежуточный объектный код – это двоичный файл со

стандартным расширением .OBJ (здесь и ниже расширения взяты из

Windows).

Третий этап – сборка готового модуля из отдельных объектных

файлов. Дело в том, что исходный текст большой программы состоит, как

правило, из нескольких модулей (файлов с исходными текстами), потому

что хранить все тексты в одном файле неудобно — в них сложно

ориентироваться. Каждый модуль компилируется в отдельный файл с

объектным кодом, которые затем надо объединить в одно целое. Кроме

того, к ним надо добавить машинный код подпрограмм, реализующих

различные стандартные функции (например, вычисляющих

математические функции sin или ln). Такие функции содержатся в

библиотеках стандартных программ (файлах со стандартным

расширением .LIВ).

Сгенерированный код модулей и подключенные к нему стандартные

функции надо не просто объединить в одно целое, а выполнить такое

объединение с учетом требований операционной системы, то есть

получить на выходе программу, отвечающую определенному формату. Это

156

делает специальная программа — редактор связей (линкировщик) или

сборщик, который выполняет связывание объектных модулей и машинного

кода стандартных функций, находя их в библиотеках, и формирует на

выходе работоспособное приложение — исполнимый код.

Исполнимый код — это законченная программа, которую можно

запустить на любом компьютере, где установлена операционная система,

для которой эта программа создавалась. Как правило, итоговый файл

имеет расширение .ЕХЕ или .СОМ.

8.2.2. Системы программирования

Система программирования – это система для разработки новых

программ на конкретном языке программирования.

В стандартную систему должны входить как минимум средства

реализации указанных этапов создания программы (текстовый редактор,

компилятор или интерпретатор, редактор связей, библиотека стандартных

функций). В хорошей интегрированной системе почти все этапы

автоматизированы: после того как исходный текст введен, его компиляция

и сборка выполняются одним нажатием клавиши. Это очень удобно, так

как не требует ручной настройки множества параметров запуска

компилятора и редактора связей, указывания им нужных файлов вручную

и т. д. Процесс компиляции обычно демонстрируется на экране:

показывается, сколько строк исходного текста откомпилировано, или

выдаются сообщения о найденных ошибках.

В современных интегрированных системах имеется еще один

компонент — отладчик, который позволяет анализировать работу

программы во время ее выполнения. С его помощью можно

последовательно выполнять отдельные операторы исходного текста по

шагам, наблюдая при этом, как меняются значения различных

157

переменных. Без отладчика разработать крупное приложение очень

сложно.

Итак, современные системы программирования предоставляют

пользователю мощные и удобные средства разработки программ. В них

входят:

интегрированная среда разработки;

средства создания и редактирования текстов программ;

компилятор или интерпретатор;

редактор связей;

библиотека стандартных подпрограмм и функций;

отладчик - программа, позволяющая находить и устранять

ошибки в программе;

многооконный режим работы;

мощные графические библиотеки;

встроенная справочная система.

В качестве примера можно привести такие популярные системы

программирования, как Turbo Basic, Turbo Pascal, Turbo C.

8.2.3. Среды быстрого проектирования

В последние годы в программировании развивается так называемый

визуальный подход. До этого серьезным препятствием для разработки

графических приложений была сложность создания различных элементов

управления и контроль за их работой. Достаточно взглянуть на окно любой

Windows-программы. В нем имеется множество стандартных элементов

управления (кнопки, пункты меню, списки, переключатели и т. д.). Очень

трудоемко вручную описывать процесс создания этих элементов в

соответствии с требованиями Windows, определять координаты,

отслеживать их состояние с помощью специальных команд. Например, для

158

простой программы, складывающей два числа, потребуется один оператор

для выполнения нужного вычисления и сотни строк кода для подготовки

приложения к работе в Windows, создания кнопки и пары полей ввода.

Этот процесс автоматизирован в средах быстрого проектирования

(RAD-среды - Rapid Application Development). Все необходимые элементы

оформления и управления создаются и обслуживаются не путем ручного

программирования, а с помощью готовых визуальных компонентов,

которые с помощью мыши «перетаскиваются» в проектируемое окно. Их

свойства и поведение затем настраиваются с помощью простых

редакторов, визуально показывающих характеристики соответствующих

элементов. При этом вспомогательный исходный текст программы,

ответственный за создание и работу этих элементов, генерируется RAD-

средой автоматически, что позволяет сосредоточиться только на логике

решаемой задачи. В результате программирование во многом заменяется

на проектирование — подобный подход называется визуальным

программированием. Наиболее популярные среды быстрого

проектирования, ориентированные на создание Windows-приложений –

Borland Delphi, Microsoft Visual Basic, Borland C++.

159

§9. Компьютерные сети

9.1. Основные понятия и принципы построения компьютерных сетей

Компьютерная сеть (network) — это группа из двух или более

компьютеров, объединенных посредством каналов передачи данных. Ее

назначение – обеспечение совместного доступа к общим ресурсам.

Ресурсы бывают трех типов: аппаратные, программные и информационные.

Сеть может быть небольшой и состоять из нескольких компьютеров,

которые совместно используют принтер, или же огромной как Internet —

самая большая сеть в мире. Совместный доступ означает, что каждый

компьютер предоставляет свои ресурсы другому компьютеру (одному или

нескольким), однако при этом сам управляет этими ресурсами.

По сети можно предоставить доступ к любому устройству хранения

или ввода-вывода. Чаще всего доступ предоставляется к таким устройствам,

как принтеры; дисковые накопители; оптические накопители (CD/DVD-

ROM, CD-R, CD-RW и др.); модемы; факсы; сканеры. Накопители,

отдельные папки или даже файлы можно открыть для других пользователей

сети.

По характеру использования в сети компьютеры разделяются на

серверы и рабочие станции.

Сервер — специально выделенный компьютер, который предназначен

для разделения файлов, удаленного запуска приложений, обработки запросов

на получение информации из баз данных и обеспечения связи с общими

внешними устройствами.

Рабочая станция (или клиент) — персональный компьютер,

пользующийся услугами, предоставляемыми серверами.

По способу организации взаимодействия компьютеров в сети

выделяют два основных подхода:

160

1) перенос основной части вычислений и обработки информации на

сервер; при этом клиент отвечает только за небольшую часть

работы, не требующую больших ресурсов. Этот подход является

основой централизованной обработки информации;

2) основная часть обработки информации производится на рабочих

станциях, а сервер выступает как хранилище информации. Этот

подход является основой децентрализованной (распределенной)

обработки информации.

Сети могут объединять информационные ресурсы как небольших

предприятий, так и крупных организаций, занимающих удаленные друг от

друга помещения, иногда даже расположенные в разных странах. Степень

удаленности обычно и определяет способ соединения компьютеров между

собой – установление «физического» соединения. Кроме этого для создания

работоспособной сети необходимо обеспечить «логическое» соединение,

позволяющее компьютерам с различным программным и аппаратным

обеспечением «понимать» друг друга. Действительно, представим, что мы

организовали встречу (установили «физическое» соединение) людей из

разных стран. Если при этом не обеспечить их переводчиком, то обмен

информацией вряд ли может состояться. Таким «переводчиком» в

компьютерных сетях служит протокол связи.

Протоколами называются специальные стандарты, обеспечивающие

совместимость при взаимодействии аппаратного и программного

обеспечения разных типов.

9.2. Виды компьютерных сетейСуществуют два основных вида компьютерных сетей: локальные и

глобальные. Компьютеры локальной сети используют единый комплект

протоколов для всех участников и по территориальному признаку они

отличаются компактностью. Глобальные сети имеют увеличенные

161

географические размеры и могут объединять несколько локальных сетей,

использующих разные протоколы.

Рассмотрим более подробно особенности построения и использования

сетей каждого вида и тенденции их развития.

9.2.1. Локальные сети

Локальная сеть (Local Area Network – LAN) — соединенные между

собой компьютеры, расположенные на небольших расстояниях друг от друга.

Как правило, это небольшая офисная сеть. В нее соединены

компьютеры, расположенные в пределах одного здания, на расстояниях

порядка 50-100 метров; 90% информации, циркулирующей в такой сети, —

это информация местной организации. Например, специальные сетевые

программы позволяют автоматически планировать собрания, подбирая для

них наиболее подходящее для всех время; начальник может проверить,

выполнены ли его поручения, которые были разосланы по сети и т. д. В

состав локальной сети могут входить не только компьютеры, но и

принтеры, и другие внешние устройства общего пользования.

При создании сети в первую очередь необходимо выбрать протокол

связи между компьютерами. Протокол связи определяет скорость работы

сети, метод подключения к физическому носителю, типы кабелей, которые

можно использовать, сетевые адаптеры, которые необходимо приобрести,

драйверы, устанавливаемые на рабочие станции.

Организация IEEE (Institute of Electrical and Electronic Engineers)

разработала набор стандартов и физических характеристик сетей. Эти

стандарты называются IEEE 802.3 (Ethernet) и IEEE 802.5 (Token Ring).

Несколько лет назад было нелегко выбрать между Ethernet и Token Ring.

Сейчас Ethernet стал самым распространенным протоколом уровня

передачи данных в мире: популярность и низкая цена, возможность

использования простых в установке кабелей на базе витой пары, скорость

162

100 или даже 1 000 Мбит/с делает Ethernet лучшим выбором для рабочих

групп и серьезным соперником Token Ring в области больших сетей.

Сети на базе Ethernet объединяют десятки миллионов компьютеров

по всему миру, что делает Ethernet наиболее распространенным

протоколом уровня передачи данных. Сети Ethernet позволяют объединять

многочисленное и разнообразное оборудование, включая рабочие станции

Unix и Linux, компьютеры Apple, принтеры. Адаптеры Ethernet

выпускаются десятками производителей для любых типов кабелей:

“толстый Ethernet”, “тонкий Ethernet” и Ethernet для витой пары

(Unshielded Twisted Pair — UTP). Традиционная Ethernet работает на

скорости 10 Мбит/с, однако более новые стандарты Fast Ethernet

позволяют передавать данные на скорости 100 Мбит/с. Самая последняя

версия Ethernet — Gigabit Ethernet — достигает скорости 1 000 Мбит/с, что

в 100 раз превышает скорость первых сетей этого типа.

9.2.2. Глобальные сети

Если компьютеры расположены на удаленном расстоянии друг от

друга, то для передачи данных используются другие каналы связи: телефонные

линии, спутниковая связь, оптоволоконные линии. Такие каналы связи могут

соединить компьютеры, расположенные как в соседних домах, так и на

разных материках. Расстояние здесь — не помеха. Сети, обеспечивающие

удаленное соединение компьютеров и локальных сетей, называются

глобальными.

Прообразом глобальных сетей исторически стали региональные сети,

которые обеспечивали связь компьютеров в пределах одного региона. Идея

основана на том, что локальные сети, находящиеся в разных местах, могут

быть соединены с помощью высокоскоростных оптоволоконных,

спутниковых или выделенных телефонных линий. Несколько соединенных

163

таким образом локальных сетей формируют глобальную сеть (Wide Area

Network — WAN).

Широко известным примером глобальной сети является Internet —

всемирная компьютерная сеть: совокупность технических средств,

программного обеспечения, стандартов и договоренностей, позволяющих

поддерживать связь между различными компьютерными сетями в мире.

Разрыв между локальными и глобальными сетями постоянно

сокращается во многом из-за появления высокоскоростных

территориальных каналов связи, не уступающих по качеству кабельным

системам локальных сетей. В глобальных сетях появляются службы доступа к

ресурсам, такие же удобные и прозрачные, как и службы локальных сетей.

Изменяются и локальные сети. Наряду с пассивным кабелем,

соединяющим компьютеры, появилось коммуникационное оборудование

(коммутаторы) и программное обеспечение (маршрутизаторы, шлюзы).

Благодаря этому появилась возможность создания больших корпоративных

сетей, которые насчитывают тысячи компьютеров и имеют сложную

структуру.

9.2.3. Корпоративные сети

Вспомним, как заказывают железнодорожные билеты. По запросу

любого кассира-оператора на его монитор выводится информация о наличии

свободных мест, стоимости проездных билетов и т. п. По указанию

пассажира кассир через сеть вводит в центральный компьютер запрос на

приобретение билета и оформляет продажу билета. Оплаченное место

после покупки изымается из дальнейшей продажи. Это — пример

централизованной обработки информации в сети, характерной для локальных

сетей. Продажа билетов на одни и те же маршруты может вестись из

множества городов. Такую сеть уже нельзя назвать локальной. Она служит

164

для обработки информации одной фирмы или объединения фирм и потому

называется корпоративной (от слова корпорация — объединение).

Корпоративная сеть — объединение локальных сетей в пределах одной

корпорации для решения общих задач.

Корпоративные сети могут связывать в пределах одной корпорации

филиалы, территориально удаленные друг от друга. Для корпоративных

сетей характерно сочетание централизованной обработки информации с

использованием удаленного соединения компьютеров. Информация может

изменяться работниками, имеющими доступ к ней. Описанные выше сети

могут иметь выход в другие внешние сети, например, для того, чтобы

получить информацию из удаленных баз данных глобального значения или

переслать сообщения по электронной почте в другую сеть, отправить факс.

В настоящее время для связи компьютеров в корпоративных сетях

разработана новая технология — Intranet, которая использует опыт работы в

распределенной среде и построена на технологии «клиент-сервер» с

централизованной обработкой информации. Таким образом, технология

Intranet гибко сочетает возможности централизованной и распределенной

обработки информации и позволяет достичь наибольшей эффективности

работы.

9.3. Интернет. Основные понятия

В дословном переводе «Интернет» – это межсеть, то есть

объединение сетей. Однако в последние годы у этого слова появился и

более широкий смысл: Всемирная компьютерная сеть. Интернет можно

рассматривать в физическом смысле как несколько миллионов

компьютеров, связанных друг с другом всевозможными линиями связи,

однако такой «физический» взгляд на Интернет слишком узок. Лучше

рассматривать Интернет как некое информационное пространство.

165

9.3.1. История создания

Интернет появился чуть более 20 лет назад в результате попыток

объединить сеть министерства обороны США с различными радио- и

спутниковыми сетями. В конце 60-х годов на средства Агентства

перспективных разработок министерства обороны США была создана

первая сеть национального масштаба, основное назначение которой было

обеспечить обмен электронной почтой и файлами с научной и проектно-

конструкторской документацией отдельные (удаленные) группы

коллективов, работающих над едиными научно-техническими проектами.

Эта экспериментальная сеть, в частности, создавалась для обеспечения

военных исследований по созданию сетей, устойчивых к частичным

отказам. Основополагающим моментом было, что каждый компьютер мог

общаться в качестве узла с любым другим компьютером. Сеть была

построена таким образом, чтобы потребность в информации от

компьютеров-клиентов была бы минимальна и выход из строя отдельных

машин не влиял на общую работоспособность сети.

Пока глобальное расширение сети происходило за счет

механического подключения все новых и новых компьютеров (узлов и

сетей), до Интернета в современном понимании этого слова было еще

далеко. По-настоящему рождением Интернета принято считать 1983г.

Именно в этом году произошли революционные изменения в программном

обеспечении компьютерной связи, а именно стандартизация протокола

связи TCP/IP, лежащего в основе Всемирной сети и по сей день.

9.3.2. Принципы работы в сети Интернет

Для того чтобы информация, переданная одним компьютером, после ее

получения была понята другим компьютером, было необходимо разработать

единые правила передачи данных в сети, называемые протоколами. При их

разработке учитывались все проблемы связи и вырабатывались стандартные

алгоритмы доставки информации.

166

Протокол передачи устанавливает соглашение между

взаимодействующими компьютерами. Для того, чтобы связь между

компьютерами была установлена, необходимо задать их адреса. Правила

образования адресов компьютеров в глобальной сети должны быть абсолютно

одинаковыми, несмотря на то, что компьютеры в сети могут быть

разнородными и использовать различные операционные системы; передача

больших объемов данных. Понятие Internet обычно связывают с двумя

важнейшими особенностями этой гиперсети:

пакетным способом передачи информации;

использованием международного протокола TCP/IP, который

обеспечивает передачу информации между сетями различных типов.

Здесь требуется уточнить, что в современном понимании протокол

TCP/IP – это не один, а два протокола, лежащих на разных уровнях. Протокол

TCP – протокол транспортного уровня, он управляет тем, как происходит

передача информации. Протокол IP – адресный, принадлежит сетевому

уровню и определяет куда происходит передача.

Протокол TCP. Согласно протоколу TCP, отправляемые данные

делятся на пакеты, каждый пакет маркируется таким образом, чтобы в нем

была информация, необходимая для правильной сборки документа на

компьютере получателя.

Предполагается, что данные могут быть больших объемов и, учитывая

относительно невысокую скорость передачи, это необходимая мера. После

разбивки на «пакеты» передаваться они могут практически одновременно и

по разным маршрутам, а значит, приходят на место назначения не по порядку.

Протокол TCP также отвечает за надежность передачи больших

объемов информации, обрабатывает и устраняет сбои в работе сети.

167

Протокол IP обеспечивает маршрутизацию (доставку по адресу)

сетевых пакетов. Суть этого протокола состоит в том, что у каждого

участника сети должен быть свой уникальный адрес, называемый IP-адресом.

Структура IP-адреса такова, что каждый компьютер, через который проходит

TCP-пакет, может определить, кому этот пакет необходимо переслать.

При пересылке пакета учитывается не географическая близость, а

условия связи и пропускная способность линии. Так, два компьютера,

находящиеся на разных континентах, но соединенные

высокопроизводительной линией космической связи, считаются более

«близкими» друг к другу, чем два компьютера из соседних поселков,

соединенные телефонной линией.

Интернет адреса

Существуют две параллельные системы или формы записи адреса

сетевого компьютера – (IP - цифровая и Доменная - текстовая). Это связано с

особенностями обработки информации человеком и машиной.

IP-адрес состоит из 4 чисел (каждое занимает 1байт, то есть не

превышает 256), которые отделяются точкой: 192.112.67.14, 234.78.134.6.

Фактически адрес состоит из нескольких частей. Интернет – это сеть

сетей, поэтому начало адреса содержит информацию для маршрутизаторов, к

какой именно сети относится компьютер, а правая часть сообщает сети, какой

именно компьютер должен получить данные (т.е. адрес читается слева

направо). Поскольку 1 байт содержит 256 различных значений, то

теоретически с помощью 4 байт можно выразить более 4 миллиардов

уникальных адресов.

Человеку не легко работать с числовым представлением адреса, тогда

как доменное имя запомнить очень легко, особенно, если учесть, что это имя

как правило имеет содержание. Например, web-сервер компании Microsoft

www . microsoft . com , web-сервер компании «Космос-ТВ» имеет имя

www.kosmostv.ru.

168

Итак, для работы в Интернете необходимо:

1) физически подключить компьютер к одному из узлов сети

Интернет,

2) получить IP-адрес,

3) установить и настроить программное обеспечение.

Физическое подключение может быть выделенным и коммутируемым.

Для выделенного соединения необходимо проложить новую или

арендовать готовую физическую линию связи (кабельную,

оптоволоконную, радиоканал, спутниковый канал и т.п.).

Коммутируемое соединение является временным. Оно не требует

специальной линии связи и может быть осуществлено по телефонной

линии. Для выделенного подключения характерна более высокая скорость

передачи данных, чем для коммутируемого соединения.

9.4. Службы ИнтернетаКогда говорят о работе в Интернете или об использовании Интернета,

то на самом деле речь идет не об Интернете в целом, а только об одной или

нескольких из его многочисленных служб. В зависимости от конкретных

целей и задач клиенты Сети используют те службы, которые им необходимы.

Разные службы имеют разные протоколы. Они называются

прикладными протоколами. Их соблюдение обеспечивается и

поддерживается работой специальных программ. Таким образом, чтобы

воспользоваться какой-то из служб Интернета, необходимо установить на

компьютере программу, способную работать по протоколу данной службы.

Такие программы называют клиентскими или просто клиентами.

Так, например, для передачи файлов в Интернете используется

специальный прикладной протокол FTP (File Transfer Protocol).

Соответственно, чтобы получить из Интернета файл, необходимо:

169

• иметь на компьютере программу, являющуюся клиентом

FTP (FTP-клиент),

• установить связь с сервером, предоставляющим услуги

FTP (FTP-серверам).

Другой пример: чтобы воспользоваться электронной почтой,

необходимо соблюсти протоколы отправки и получения сообщений. Для

этого надо иметь программу (почтовый клиент, например Microsoft Outlook

Express) и установить связь с почтовым сервером. Так же обстоит дело и с

другими службами.

Электронная почта (E-Mail). Эта служба также является одной из

наиболее ранних. Ее обеспечением в Интернете занимаются специальные

почтовые серверы. Обратите внимание на то, что, когда мы говорим о

каком-либо сервере, не имеется в виду, что это специальный выделенный

компьютер. Здесь и далее под сервером может пониматься программное

обеспечение. Таким образом, один узловой компьютер Интернета может

выполнять функции нескольких серверов и обеспечивать работу

различных служб, оставаясь при этом универсальным компьютером, на

котором можно выполнять и другие задачи, характерные для средств

вычислительной техники.

Почтовые серверы получают сообщения от клиентов и пересылают

их по цепочке к почтовым серверам адресатов, где эти сообщения

накапливаются. При установлении соединения между адресатом и его

почтовым сервером происходит автоматическая передача поступивших

сообщений на компьютер адресата. Почтовая служба основана на двух

прикладных протоколах: SMTP и РОРЗ. По первому происходит отправка

корреспонденции с компьютера на сервер, а по второму — прием

поступивших сообщений. Существует большое разнообразие клиентских

почтовых программ. К ним относится, например, программа Microsoft

170

Outlook Express, входящая в состав операционной системы Windows как

стандартная. Более мощная программа, интегрирующая в себе кроме

поддержки электронной почты и другие средства делопроизводства,

Microsoft Outlook, входит в состав известного пакета Microsoft Office. Из

специализированных почтовых программ большую популярность имеют

программы The Bat!, Eudora, Pegasus mail.

Списки рассылки (Mailing List). Обычная электронная почта

предполагает наличие двух партнеров по переписке. Если же партнеров

нет, то достаточно большой поток почтовой информации в свой адрес

можно обеспечить, подписавшись на списки рассылки. Это специальные

тематические серверы, собирающие информацию по определенным темам

и переправляющие ее подписчикам в виде сообщений электронной почты.

Темой списков рассылки может быть что угодно, например:

вопросы, связанные с изучением иностранных языков, коммерческие и

финансовые обзоры, презентация новых программных и аппаратных

средств вычислительной техники. Большинство телекомпаний создают

списки рассылки на своих узлах, через которые рассылают клиентам

аннотированные обзоры телепрограмм. Списки рассылки позволяют

эффективно решать вопросы регулярной доставки данных.

Служба телеконференций (Usenet). Служба телеконференций

похожа на циркулярную рассылку электронной почты, в ходе которой

одно сообщение отправляется не одному корреспонденту, а большой

группе (такие группы называются телеконференциями или группами

новостей).

Обычное сообщение электронной почты пересылается по узкой

цепочке серверов от отправителя к получателю. При этом не

предполагается его хранение на промежуточных серверах. Сообщения,

171

направленные на сервер группы новостей, отправляются с него на все

серверы, с которыми он связан, если на них данного сообщения еще нет.

Далее процесс повторяется. Характер распространения каждого

отдельного сообщения напоминает лесной пожар.

На каждом из серверов поступившее сообщение хранится

ограниченное время (обычно неделю), и все желающие могут в течение

этого времени с ним ознакомиться. Распространяясь во все стороны, менее

чем за сутки сообщения охватывают весь земной шар. Далее

распространение затухает, поскольку на сервер, который уже имеет данное

сообщение, повторная передача производиться не может.

Ежедневно в мире создается порядка миллиона сообщений для групп

новостей. Выбрать в этом массиве действительно полезную информацию

практически невозможно. Поэтому вся система телеконференций разбита

на тематические группы. Сегодня в мире насчитывают порядка 50 000

тематических групп новостей. Они охватывают большинство тем,

интересующих массы. Особой популярностью пользуются группы,

посвященные вычислительной технике.

Основной прием использования групп новостей состоит в том, чтобы

задать вопрос, обращаясь ко всему миру, и получить ответ или совет от

тех, кто с этим вопросом уже разобрался. При этом важно следить за тем,

чтобы содержание вопроса соответствовало теме данной телеконференции.

Многие квалифицированные специалисты мира (ученые, врачи, педагоги,

юристы, писатели, экономисты, программисты и другие) регулярно

просматривают сообщения телеконференций, проходящие в группах,

касающихся их сферы деятельности. Такой просмотр называется

мониторингом информации. Регулярный мониторинг позволяет

специалистам точно знать, что нового происходит в мире по их

специальности, какие проблемы беспокоят большие массы людей и на что

следует обратить особое внимание в своей работе.

172

В современных промышленных и проектно-конструкторских

организациях считается хорошим тоном, если специалисты высшего

эшелона периодически (один-два раза в месяц) отвечают через систему

телеконференций на типовые вопросы пользователей своей продукции.

Так, например, в телеконференциях, посвященных легковым автомобилям,

нередко можно найти сообщения от главных конструкторов крупнейших

промышленных концернов.

При отправке сообщений в телеконференции принято указывать свой

адрес электронной почты для обратной связи. В тех случаях, когда есть

угроза переполнения электронного «почтового ящика» корреспонденцией,

не относящейся непосредственно к производственной деятельности,

вместо основного адреса, используемого для деловой переписки,

указывают дополнительный адрес

Как правило, такой адрес арендуют на сервере одной из бесплатных

анонимных почтовых служб, например www.hotmall.com.

Огромный объем сообщений в группах новостей значительно

затрудняет их целенаправленный мониторинг, поэтому в некоторых

группах производится предварительный «отсев» бесполезной информации

(в частности, рекламной), не относящейся к теме конференции. Такие

конференции называют модерируемыми. В качестве модератора может

выступать не только человек, но и программа, фильтрующая сообщения по

определенным ключевым словам. В последнем случае говорят об

автоматической модерации.

Для работы со службой телеконференций существуют специальные

клиентские программы. Так, например, приложение Microsoft Outlook

Express, указанное выше как почтовый клиент, позволяет работать также и

со службой телеконференций. Для начала работы надо настроить

программу на взаимодействие с сервером групп новостей, оформить

-«подписку» на определенные группы и периодически, как и электронную

173

почту, получать все сообщения, проходящие по теме этой группы. В

данном случае слово «подписка» не предполагает со стороны клиента

никаких обязательств или платежей — это просто указание серверу о том,

что сообщения по указанным темам надо доставлять, а по прочим — нет.

Отменить подписку или изменить ее состав можно в любой удобный

момент.

Служба World Wide Web (WWW). Безусловно, это самая

популярная служба современного Интернета. Ее нередко отождествляют с

Интернетом, хотя на самом деле это лишь одна из его многочисленных служб.

World Wide Web — это единое информационное пространство, состоящее

из сотен миллионов взаимосвязанных электронных документов, хранящихся

на Web-cepвеpax. Отдельные документы, составляющие пространство Web,

называют Web-страницами. Группы тематически объединенных Web-страниц

называют Web-узлами (жаргонный термин — Web-сайт или просто сайт).

Один физический Web-сервер может содержать достаточно много Web-узлов,

каждому из которых, как правило, отводится отдельный каталог на жестком

диске сервера.

От обычных текстовых документов Web-страницы отличаются тем, что

они оформлены без привязки к конкретному носителю. Например,

оформление документа, напечатанного на бумаге, привязано к параметрам

печатного листа, который имеет определенную ширину, высоту и размеры

полей. Электронные Web-документы предназначены для просмотра на

экране компьютера, причем заранее не известно на каком. Неизвестны ни

размеры экрана, ни параметры цветового и графического разрешения,

неизвестна даже операционная система, с которой работает компьютер

клиента. Поэтому Web-документы не могут иметь «жесткого»

форматирования. Оформление выполняется непосредственно во время их

174

воспроизведения на компьютере клиента и происходит оно в соответствии с

настройками программы, выполняющей просмотр.

Программы для просмотра Web-страниц называют браузерами. В

литературе также можно встретить термины броузер или обозреватель. Во

всех случаях речь идет о некотором средстве просмотра Web-документов.

Браузер выполняет отображение документа на экране, руководствуясь

командами, которые автор документа внедрил в его текст (если автор применяет

автоматические средства подготовки Web-документов, необходимые команды

внедряются автоматически). Такие команды называются тегами. От обычного

текста они отличаются тем, что заключены в угловые скобки. Большинство

тегов используются парами: открывающий тег и закрывающий.

Закрывающий тег начинается с символа / («слэшь»).

Пример<CENTER> Этот текст должен выравниваться по центру экрана

</CENTER> <LEFT> Этот текст выравнивается по левой границе экрана

</LEFT> <RIGHT> Этот текст выравнивается по правой границе экрана

</RIGHT>

Сложные теги имеют кроме ключевого слова дополнительные

атрибуты и параметры, детализирующие способ их применения. Правила

записи тегов содержатся в спецификации особого языка разметки,

близкого к языкам программирования. Он называется языком разметки

гипертекста — HTML (HypezText Markup Language). Таким образом, Web-

документ представляет собой обычный текстовый документ, размеченный

тегами HTML. Такие документы также называют HTML-документами или

документами в формате HTML.

При отображении HTML -документа на экране с помощью браузера

теги не показываются, и мы видим только текст, составляющий документ.

Однако оформление этого текста (выравнивание, цвет, размер и

175

начертание шрифта и прочее) выполняется в соответствии с тем, какие

теги имплантированы в текст документа.

Существуют специальные теги для внедрения графических и

мультимедийных объектов (звук, музыка, видеоклипы). Встретив такой

тег, обозреватель делает запрос к серверу на доставку файла, связанного с

тегом, и воспроизводит его в соответствии с заданными атрибутами и

параметрами тега — мы видим иллюстрацию или слышим звук. Более

подробно вопросы создания Web-страниц и использования тегов HTML

рассмотрены в главе «Подготовка и публикация Web-документов».

В последние годы в Web-документах наводят широкое применение

так называемые активные компоненты. Это тоже объекты, но они

содержат не только текстовые, графические и мультимедийные данные, но

и программный код, то есть могут не просто отображаться на компьютере

клиента, но и выполнять на нем работу по заложенной в них программе.

Для того чтобы активные компоненты не могли выполнить на чужом

компьютере разрушительные операции (что характерно для

«компьютерных вирусов»), они исполняются только под контролем со

стороны браузера. Браузер не должен допустить исполнения команд,

несущих потенциальную угрозу, например, он пресекает попытки

осуществить операции с жестким диском.

Возможность внедрения в текст графических и других объектов,

реализуемая с помощью тегов HTML, является одной из самых эффектных

с точки зрения оформления Web-страниц, но не самой важной с точки

зрения самой идеи World Wide Web. Наиболее важной чертой Web-

страниц, реализуемой с помощью тегов HTML, являются гипертекстовые

ссылки (или просто гиперссылки). Так, некоторый объект документа с

помощью тегов можно связать с другим Web-документом, то есть

установить гиперссылку. В этом случае при щелчке левой кнопкой мыши

на тексте или рисунке, являющемся гиперссылкой, отправляется запрос на

176

доставку нового документа. Этот документ, в свою очередь, тоже может

иметь гиперссылки на другие документы.

Таким образом, совокупность огромного числа гипертекстовых

электронных документов, хранящихся на серверах WWW, образует

своеобразное гиперпространство документов, между которыми возможно

перемещение. Произвольное перемещение между документами в Web-

пространстве называют Web-серфингом (выполняется с целью

ознакомительного просмотра). Целенаправленное перемещение между

Web-документами называют Web-навигацией (выполняется с целью поиска

нужной информации).

Гипертекстовая связь между сотнями миллионов документов,

хранящихся на физических серверах Интернета, является основой

существования логического пространства World Wide Web. Однако такая

связь не могла бы существовать, если бы каждый документ в этом

пространстве не обладал своим уникальным адресом. Выше мы говорили,

что каждый файл одного локального компьютера обладает уникальным

полным именем, в которое входит собственное имя файла (включая

расширение имени) и путь доступа к файлу, начиная от имени устройства,

на котором он хранится. Теперь мы можем расширить представление об

уникальном имени файла и развить его до Всемирной сети.

Адрес любого файла во всемирном масштабе определяется

унифицированным указателем ресурса — URL. Адрес URL состоит из

трех частей:

1. Указание службы, которая осуществляет доступ к данному

ресурсу (обычно обозначается именем прикладного протокола,

соответствующего данной службе). Так, например, для службы WWW

прикладным является протокол HTTP (Hypertext Transfer Protocol —

протокол передачи гипертекста). После имени протокола ставится

двоеточие (:) и два знака «/»(косая черта): http://...

177

2. Указание доменного имени компьютера (сервера), на котором

хранится данный ресурс:

http://www.abode.com...

3. Указания полного пути доступа к файлу на данном

компьютере. В качестве разделителя используется символ </» (косая

черта):

http://www.abcde.com/Flles/New/abcdefg.zfp

При записи URL-адреса важно точно соблюдать регистр символов. В

отличие от правил работы в MS-DOS и Windows, в Интернете строчные и

прописные символы считаются разными.

Именно в форме URL и связывают адрес ресурса с гипертекстовыми

ссылками на Web-страницах. При щелчке на гиперссылке браузер

посылает запрос для поиска доставки ресурса, указанного в ссылке. Если

по каким-то причинам он не найден, выдается сообщение о том, что ресурс

недоступен (возможно, что сервер временно отключен или изменился

адрес ресурса).

Служба имен доменов (DNS). Когда мы говорили о протоколах

Интернета, то сказали, что адрес любого компьютера или любой локальной

сети в Интернете может быть выражен четырьмя байтами, например так:

195.28.132.97

Однако только что мы говорили, что каждый компьютер имеет

уникальное доменное имя (URL-адрес), например такое: www.abcdef.com.

Противоречия здесь нет, поскольку это просто две разных формы

записи адреса одного и того же сетевого компьютера. Человеку неудобно

работать с числовым представлением IР-адреса, зато доменное имя

запоминается легко, особенно если учесть, что, как правило, это имя имеет

содержание. Например, Web-сервер компании Microsoft имеет имя

www . mlcrosott . com . С другой стороны, автоматическая работа серверов

178

сети организована с использованием четырехзначного числового адреса.

Благодаря ему промежуточные серверы могут осуществлять передачу

запросов и ответив в нужном направлении, не зная, где конкретно

находятся отправитель и получатель. Поэтому необходим перевод

доменных имен в связанные с ними IР-адреса. Этим и занимаются серверы

службы имен доменов DNS. Наш запрос на получение одной из страниц

сервера www.abcde.com сначала обрабатывается сервером DNS и далее он

направляется по IР -адресу, а не по доменному имени.

Служба передачи файлов (FTP). Прием и передача файлов

составляют значительный процент от прочих Интернет-услуг,

Необходимость в передаче файлов возникает, например, при приеме

файлов программ, при пересылке крупных документов (например, книг), а

также при передаче архивных файлов, в которых запакованы большие

объемы информации.

Служба FTP имеет свои серверы в мировой сети, на которых

хранятся архивы данных. Со стороны клиента для работы с серверами FTP

может быть установлено специальное программное обеспечение, хотя в

большинстве случаев броузеры WWW обладают встроенными

возможностями для работы и по протоколу FTP.

Протокол FTP работает одновременно с двумя ТСР-соединениями

между сервером и клиентом. По одному соединению идет передача

данных, а второе соединение используется как управляющее. Протокол

FTP также предоставляет серверу средства для идентификации

обратившегося клиента. Этим часто пользуются коммерческие серверы и

серверы ограниченного доступа, поставляющие информацию только

зарегистрированным клиентам, — они выдают запрос на ввод имени

пользователя и связанного с ним пароля. Однако существуют и десятки

тысяч FТР-серверов с анонимным доступом для всех желающих. В этом

179

случае в качестве имени пользователя надо ввести слово: anonymous, а в

качестве пароля - дать адрес электронной почты. В большинстве случаев

программы-клиенты FTP делают это автоматически.

IRC. Служба IRC (Intend Relay Сhat) предназначена для прямого

общения нескольких человек в режиме реального времени. Иногда службу

IRC называют чат-конференциями или просто чатом. В отличие от

системы телеконференций, в которой общение между участниками

обсуждения темы открыто всему миру, в системе IRC общение происходит

только в пределах одного канала, в работе которого принимают участие

обычно лишь несколько человек. Каждый пользователь может создать

собственный канал и пригласить в него участников «беседы» или

присоединиться к одному из открытых в данный момент каналов.

ICQ. Эта служба предназначена для поиска сетевого IР-адреса

человека, подключенного в данный момент к Интернету. Необходимость в

подобной услуге связана с тем, что большинство пользователей не имеют

постоянного IР-адреса Для пользования этой службой надо

зарегистрироваться на ее центральном сервере (http://www.fcq.com) и

получить персональный идентификационный номер UIN (Universal Internet

Number), Данный номер можно сообщить партнерам по контактам, и тогда

служба ICQ приобретает характер Интернет-пейджера. Зная номер UIN

партнера, но не зная его текущий IP-адрес, можно через центральный

сервер службы отправить ему сообщение с предложением установить

соединение.

Как было указано выше, каждый компьютер, подключенный к

Интернету, должен иметь четырехзначный IР-адрес. Этот адрес может

быть постоянным или динамически временным. Те компьютеры, которые

включены в Интернет на постоянной основе, имеют постоянные IР-адреса.

Большинство же пользователей подключаются к Интернету лишь на время

180

сеанса. Им выдается динамический IР-адрес, действующий только в

течение данного сеанса. Этот адрес выдает тот сервер, через который

происходит подключение. В разных сеансах динамический IP-адрес может

быть различным, причем заранее неизвестно каким.

При каждом подключении к Интернету программа ICQ,

установленная на нашем компьютере, определяет текущий IР-адрес и

сообщает его центральной службе, которая, в свою очередь, оповещает

наших партнеров по контактам. Далее наши партнеры (если они тоже

являются клиентами данной службы) могут установить с нами прямую

связь. Программа предоставляет возможность выбора режима связи

(«готов к контакту»; «прошу не беспокоить, но готов принять срочное

сообщение»; «закрыт для контакта» и т. п.). После установления контакта

связь происходит в режиме, аналогичном сервису IRC.

181

§10. Основы компьютерной безопасности и защиты информации

10.1. Понятие информационной безопасностиВ информационной индустрии понятие компьютерной безопасности

является весьма широким. Оно подразумевает и надежность работы

компьютера, и сохранность ценных данных, и защиту информации от

внесения в нее изменений неуполномоченными лицами, и сохранение

тайны переписки в электронной связи.

По мере развития и усложнения способов и средств автоматизации

процессов обработки информации повышается ее уязвимость. Основными

факторами, способствующими повышению этой уязвимости, являются:

расширение круга пользователей, имеющих

непосредственный доступ к ресурсам вычислительной системы;

сосредоточение в единых базах данных информации

различного назначения;

резкое расширение использования компьютерных сетей, в

частности глобальной сети Интернет, по которым передаются

большие объемы информации частного, коммерческого, а также

государственного и военного характера.

В тех случаях, когда речь идет о безопасности, в отношении

информации и информационно-вычислительных систем применяются

общепринятые термины о свойствах этих объектов – категории.

Информация с точки зрения информационной безопасности обладает

следующими категориями:

конфиденциальность - гарантия того, что конкретная

информация доступна только тому кругу лиц, для кого она

предназначена; нарушение этой категории называется

хищением либо раскрытием информации;

182

целостность — гарантия того, что информация сейчас

существует в ее исходном виде, то есть при ее хранении или

передаче не было произведено несанкционированных

изменений; нарушение этой категории называется

фальсификацией сообщения;

аутентичность - гарантия того, что источником информации

является именно то лицо, которое заявлено как ее автор;

нарушение этой категории также называется фальсификацией,

но уже автора сообщения;

апеллируемостъ - категория, часто применяемая в электронной

коммерции - гарантия того, что при необходимости можно

будет доказать, что автором сообщения является именно

заявленный человек и не может являться никто другой.

В отношении информационных систем применяются иные категории:

надежность - гарантия того, что система ведет себя в

нормальном и внештатном режимах так, как запланировано;

контролируемость - гарантия того, что в любой момент может

быть произведена полноценная проверка любого компонента

программного комплекса;

устойчивость к умышленным сбоям - гарантия того, что при

умышленном внесении ошибок в пределах заранее

оговоренных норм система будет вести себя так, как оговорено

заранее.

Под обеспечением информационной безопасности понимается

организация совокупности средств, методов и мероприятий,

предназначенных для предупреждения искажения, уничтожения или

несанкционированного использования информации.

183

10.2. Методы обеспечения информационной безопасности

Общие методы обеспечения информационной безопасности

разделяются на:

организационно-технические;

правовые;

экономические.

Организационные методы состоят в регламентации порядка

обращения с информацией, подлежащей защите, и с компьютерными

системами, в том числе в разработке должностных инструкций и плана

защиты информации.

Технические методы состоят в применении программных и

аппаратных средств для предотвращения угроз раскрытия, повреждения

информации и отказа в обслуживании.

К техническим методам также относятся использование аппаратных и

программных средств, позволяющих проводить идентификацию

пользователя (аутентификация), а также обеспечивать контроль доступа

(авторизация — гарантия того, что для выполнения данной операции он

имеет соответствующие полномочия). Обычно с целью повышения

стойкости защиты эти методы комбинируются.

Предотвращение неавторизированного доступа проводится с

помощью обратимой модификации - шифрования либо защиты

паролями. Обычный подход заключается в том, что для прямой и

обратной модификации шифрования нужно знать алгоритм

преобразования и ключ. Ключ пересылается пользователю, при этом

встает проблема безопасной передачи самого ключа. Для ее решения

применяются несимметричные методы кодирования с открытым

ключом и личным ключом.

184

Правовые методы основываются на законодательной базе.

Уголовный кодекс РФ содержит следующие статьи, относящиеся к

преступлениям в сфере компьютерной информации.

Статья 272. Неправомерный доступ к компьютерной информации.

1. Неправомерный доступ к охраняемой законом компьютерной

информации, то есть информации на машинном носителе, в электронно-

вычислительной машине (ЭВМ), системе ЭВМ или их сети, если это

деяние повлекло уничтожение, блокирование, модификацию либо

копирование информации, нарушение работы ЭВМ, системы ЭВМ или их

сети, наказывается штрафом в размере от двухсот до пятисот

минимальных размеров оплаты труда или в размере заработной платы или

иного дохода осужденного за период от двух до пяти месяцев, либо

исправительными работами на срок от шести месяцев до одного года, либо

лишением свободы на срок до двух лет.

2. То же деяние, совершенное группой лиц по предварительному

сговору или организованной группой либо лицом с использованием своего

служебного положения, а равно имеющим доступ к ЭВМ, системе ЭВМ

или их сети, наказывается штрафом в размере от пятисот до восьмисот

минимальных размеров оплаты труда или в размере заработной платы

или иного дохода осужденного за период от пяти до восьми месяцев,

либо исправительными работами на срок от одного года до двух лет,

либо арестом на срок от трех до шести месяцев, либо лишением свободы

на срок до пяти лет.

Статья 273. Создание, использование и распространение

вредоносных программ для ЭВМ.

1. Создание программ для ЭВМ или внесение изменений в

существующие программы, заведомо приводящих к

несанкционированному уничтожению, блокированию, модификации

либо копированию информации, нарушению работы ЭВМ, системы ЭВМ

185

или их сети, а равно использование либо распространение таких

программ или машинных носителей с такими программами

наказываются лишением свободы на срок до трех лет со штрафом в

размере от двухсот до пятисот минимальных размеров оплаты труда или в

размере заработной платы или иного дохода осужденного за период от

двух до пяти месяцев.

2. Те же деяния, повлекшие по неосторожности тяжкие

последствия, наказываются лишением свободы на срок от трех до семи

лет.

Статья 274. Нарушение правил эксплуатации ЭВМ, системы ЭВМ

или их сети.

1.Нарушение правил эксплуатации ЭВМ, системы ЭВМ или их

сети лицом, имеющим доступ к ЭВМ, системе ЭВМ или их сети,

повлекшее уничтожение, блокирование или модификацию охраняемой

законом информации ЭВМ, если это деяние причинило существенный

вред, наказывается лишением права занимать определенные должности

или заниматься определенной деятельностью на срок до пяти лет, либо

обязательными работами на срок от ста восьмидесяти до двухсот сорока

часов, либо ограничением свободы на срок до двух лет.

2.То же деяние, повлекшее по неосторожности тяжкие

последствия, наказывается лишением свободы на срок до четырех лет.

10.3. Компьютерные вирусы

10.3.1. Типы компьютерных вирусов и их функции

По данным статистики, наиболее успешными методами

реализации угроз безопасности информации в автоматизированных

системах являются вирусные атаки. Что же такое компьютерный

вирус? Прежде всего это некоторый класс программ, строгого

определения которому до сих пор не придумано, несмотря на

186

многочисленные попытки – все они либо не полны, либо устаревают

со временем. Тем не менее, для большей определенности приведем

здесь одну из трактовок.

Компьютерный вирус — это программный код, встроенный в

другую программу или в документ, или в определенные области

носителя данных, способный самостоятельно распространяться и

предназначенный для выполнения несанкционированных действий

на несущем компьютере.

Основными типами компьютерных вирусов являются:

• программные вирусы - это блоки программного кода,

целенаправленно внедренные внутрь других прикладных

программ;

• загрузочные вирусы отличаются от предыдущих методом

распространения - они поражают не программные файлы, а

определенные системные области (загрузочные) магнитных

носителей (гибких и жестких дисках);

• макровирусы – это особая разновидность вирусов,

которые поражают документы, выполненные в некоторых

прикладных программах, имеющих средства для исполнения

так называемых макрокоманд (например, документы,

созданные в Microsoft Word).

К компьютерным вирусам примыкают и так называемые

троянские кони (троянские программы, троянцы).

Перенос вирусов осуществляется через внешние носители

(гибкий диск, компакт-диск и т.п.), по электронной почте, по

локальной сети, при скачивании файлов из Интернета.

Запуск вируса происходит вместе с запуском полезной

программы (если он внедряемый) либо по ошибке, так как вирус

выдает себя за полезную программу, либо за счет автоматического

187

запуска. Особое внимание следует обратить на слова при запуске:

при обычном копировании зараженных файлов заражение

компьютера произойти не может. В связи с этим все новые данные

перед использованием должны проходить обязательную проверку.

После того как вирус запущен, он заражает все или некоторые

файлы на компьютере и может выполнить некоторые действия либо

остаться в памяти (резидентные вирусы) и скрыто выполняться.

Резидентные вирусы могут выполнять разные действия, в том числе

подменять собой некоторые функции системы.

Вирусы могут выполнять следующие функции:

- шифрование файлов и расшифровка на лету (one half);

- уничтожение данных;

- предотвращение запуска некоторых программ;

- анимационные действия развлекательного характера;

- передачу данных по электронной почте, в том числе файла с

паролями;

- предоставление доступа к компьютеру по сети;

- подавление действия антивирусных программ.

10.3.2. Методы защиты от компьютерных вирусов

Существуют три рубежа защиты от компьютерных вирусов:

- предотвращение поступления вирусов;

- предотвращение вирусной атаки, если вирус все-таки поступил на

компьютер;

- предотвращение разрушительных последствий, если атака все-таки

произошла.

Существуют три метода реализации защиты:

- программные методы защиты;

- аппаратные методы защиты;

188

- организационные методы защиты.

К программным средствам защиты относятся антивирусные

программы. Существует несколько видов антивирусов:

сканеры - просматривают все файлы на диске и проверяют, нет ли в

них вирусов, путем сравнения со своей вирусной базой;

мониторы - проверяют все поступающие на компьютер файлы;

ревизоры диска – запоминают сведения о состоянии программ и

системных областей дисков (предполагается, что в этот момент системные

области не заражены) и в дальнейшем сравнивают текущее состояние с

исходным.

Для надежной работы антивирусных программ следует

регулярно их обновлять. Желательная периодичность обновления -

один раз в две недели, допустимая - один раз в три месяца

В качестве вспомогательного средства могут использоваться

средства аппаратной защиты. Так например, простое отключение

перемычки на материнской плате не позволит осуществить стирание

перепрограммируемой микросхемы ПЗУ (флэш-BIOS), независимо от

того, кто будет пытаться это сделать: компьютерный вирус,

злоумышленник или неаккуратный пользователь.

И все же, основные средства защиты информации относятся к

организационным. Прежде всего - это резервное копирование

наиболее ценных данных. В случае утраты информации по любой из

вышеперечисленных причин жесткие диски переформатируют и

подготавливают к новой эксплуатации. Восстановление компьютера

завершается восстановлением данных, которые берут с резервных

носителей. При разработке организационного плана резервного

копирования учитывают необходимость создания не менее двух

резервных копий, сохраняемых в разных местах. Между копиями

осуществляют ротацию. Например в течение недели ежедневно

189

копируют данные на носители резервного комплекта А, а через

неделю их заменяют комплектом Б, и т. д.

Относительно новым и достаточно надежным приемом хранения

ценных, но неконфиденциальных данных является их хранение в

Web-папках на удаленных серверах в Интернете. Есть службы,

бесплатно или на коммерческой основе предоставляющие

пространство для хранения данных пользователя.

190

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.- М.:

Наука, 1972. Ч.1.

2. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. – М.: Высшая школа,

1981. Т.1, 2.

3. Никольский С.М. Курс математичского анализа. – М.: Наука, 1983

Т1.

4. Смирнов В.И. Курс высшей математики. – М.: Наука, 1974. Т.1, 2.

5. Баврин И. И., Матросов В. Л. Общий курс высшей математики.-

М.: Просвещение, 1995.

6. Высшая математика: Общий курс/Под ред. А. И. Яблонского. -

Минск: Вышейш. шк., 1993.

7. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике.- М.:

Наука, 1987.

8. Рублев А. Н. Линейная алгебра.- М.: Высшая школа, 1968.

9. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс:

Учеб. пособие/А. В. Кузнецов, Д. С. Кузнецова, Е. И. Шилкина и др.-

Минск: Вышейш. шк., 1994.

10. Сборник задач по математическому анализу. Предел,

непрерывность, дифференцируемость/ Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов, В.

И. Чехлов, М. И. Шабунин, Под ред. Л. Д. Кудрявцева. - М.: Наука, 1984.

11. Тышкевич Р. И., Феденко А. С. Линейная алгебра и аналитическая

геометрия.- Минск: Высшая школа, 1968.

12. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа.- М.: Наука,

1968. Т.1,2.

13. Шипачев В. С. Основы высшей/ Под ред. А. Н. Тихонова.- М.:

Высшая школа, 1994.

191

14. Информаика: Учеб./ Под ред. Н.В.Макаровой.- М.: Финансы и

статистика, 2001

15. Косарев В.П. Компьютерные системы и сети./ В.П.Косарев,

Л.В.Еремин.- М.: Финансы и статистика, 1999.

16. Экономическая информатика и вычисоителная техника: Учеб./ Под

ред. В.П.Косарева.- М.: Финансы и статистика, 1999.

17. Информатика: Базовый курс: Учеб. пособие для студентов вузов/

Под ред. С.В.Симоновича.- 2-е изд.- СПб.: Питер, 2005.

18. Информатика для юристов и экономсистов: учеб. для вузов/ Под.

ред. С.В.Симоновича.- СПб.: Питер, 2006.

19. Могилев А.В. Информатика: учеб. для студентов высш. пед. учеб.

заведений по спец. «Информатика»/ А.В.Могилев, Н.И.Пак, Е.К.Хеннер/

Под. ред. Е.К.Хеннера.- М.: Изд.центр «Академия», 2000.

192

СОДЕРЖАНИЕ

Часть I. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ..................................................3§1. Множества....................................................................................................3

1.1. Понятие множества, способы его задания.............................................31.2. Операции над множествами....................................................................4

§2. Числовые последовательности. Предел последовательности...........72.1. Числовые последовательности и их свойства........................................72.2. Ограниченные и неограниченные последовательности. Предел

последовательности..................................................................................82.3. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности........11

§3. Функции......................................................................................................133.1. Способы задания функции.....................................................................133.2. Виды функций.........................................................................................143.3. Предел функции......................................................................................163.4. Бесконечно большие и бесконечно малые величины..........................17

3.4.1.Бесконечно малые величины и их свойства...................................173.4.2. Бесконечно большие величины и их свойства..............................18

3.5. Основные теоремы о пределах и их применение................................183. 6. Понятие непрерывной функции. Основные теоремы

о непрерывных функциях......................................................................23

§ 4. Производная функции и ее дифференциал.........................................254.1.Определение производной......................................................................254.2. Правила дифференцирования................................................................264.3. Дифференциал функции.........................................................................284.4. Свойства дифференцируемых функций..............................................31

§5. Интегральное исчисление.......................................................................325.1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла......325.2. Свойства неопределённого интеграла, таблица

основных интегралов..............................................................................325. 3. Основные методы интегрирования....................................................335.4. Определенный интеграл.........................................................................41

§6. Основы линейной алгебры......................................................................446.1. Матрицы: определение и действия с ними...........................................446.2. Определители..........................................................................................466.3. Ранг матрицы...........................................................................................506.4. Обратная матрица...................................................................................53

193

§7. Системы линейных уравнений...............................................................577.1. Критерий совместности..........................................................................577.2. Метод Гаусса...........................................................................................607.3. Формулы Крамера...................................................................................617.4. Матричный метод...................................................................................637.5. Системы линейных уравнений общего вида........................................64

§8 Аналитическая геометрия........................................................................718.1.Векторы.....................................................................................................718.2. Линии на плоскости................................................................................768.3. Плоскость и прямая в пространстве......................................................84

Часть II. Основы информатики..................................................................89§ 1. Информатика как наука.........................................................................89

1.1. Понятие информатики как науки и учебной дисциплины........................891.2. Предмет и основные задачи информатики...........................................911.3. Основные направления информатики..................................................92

§2. Информация и информационные процессы........................................952.1. Понятие информации.............................................................................952.2. Основные свойства информации и способы ее классификации........962.3. Способы измерения информации..........................................................982.4. Информационные процессы................................................................100

§3. Данные и способы их представления..................................................1033.1. Данные..................................................................................................1033.2. Способы представления данных.........................................................1043.3. Кодирование данных............................................................................105

3.3.1 Двоичная форма целых чисел........................................................1063.3.2. Двоичное представление вещественных чисел...........................1103.3.3. Двоичное кодирование символов.................................................1113.3.4. Цифровое кодирование изображений..........................................1123.3.5. Цифровое кодирование звука........................................................114

§4. Организация хранения данных............................................................1164.1. Формы логической организации хранения данных...........................116

4.1.1. Логическая структура хранения данных на ЭВМ........................1164.1.2.Модели и базы данных....................................................................117

4.2. Технические средства хранения информации....................................117

§5. Основные структуры данных...............................................................1215.1. Линейные структуры данных..............................................................1215.2. Табличные структуры данных.............................................................122

194

5.3. Иерархические структуры данных......................................................1235.4. Достоинства и недостатки различных структур данных..................123

§6. Вычислительная техника. Аппаратные и программныесредства......................................................................................................125

6.1. Понятие и история развития вычислительной техники....................1256.2. Классификация компьютеров..............................................................1296.3. Конфигурация персонального компьютера.......................................131

6.3.1. Базовые устройства персонального компьютера........................1316.3.2. Устройства, располагающиеся на материнской плате...............1326.3.3. Жесткий диск (винчестер).............................................................1336.3.4. Дисковод гибких дисков................................................................1336.3.5. Привод компакт-дисков (CD-ROM).............................................1346.3.6. Видеокарта......................................................................................1346.3.7. Звуковая карта................................................................................135

6.4. Периферийные устройства персонального компьютера..................1356.4.1. Устройства ввода данных..............................................................1356.4.2. Устройства вывода данных...........................................................1376.4.3. Устройства хранения данных........................................................1386.4.4. Устройства обмена данными.........................................................139

6.5. Программное обеспечение...................................................................1396.5.1. Понятие программного обеспечения............................................1396.5.2. Классификация служебных программных средств.....................1416.5.3. Классификация прикладных программных средств...................142

§7. Алгоритмизация......................................................................................1457.1. Алгоритм и его свойства......................................................................1457.2. Способы описания алгоритмов............................................................146

§ 8. Программирование и языки программирования............................1518.1. Классификация языков программирования.......................................151

8.1.1. Машинно-ориентированные и машинно-независимые языки...1518.1.2. Процедурные языки.......................................................................1538.1.3. Декларативные языки.....................................................................1548.1.4. Объектно-ориентированные языки...............................................157

8.2. Технология программирования...........................................................1588.2.1. Основные этапы программирования............................................1588.2.2. Системы программирования.........................................................1618.2.3. Среды быстрого проектирования.................................................162

§9. Компьютерные сети................................................................................1649.1. Основные понятия и принципы построения компьютерных

сетей.......................................................................................................164

195

9.2. Виды компьютерных сетей..................................................................1659.2.1. Локальные сети.................................................................................1669.2.2. Глобальные сети...............................................................................1679.2.3. Корпоративные сети.........................................................................168

9.3. Интернет. Основные понятия..............................................................1699.3.1. История создания..............................................................................1709.3.2. Принципы работы в сети Интернет..................................................170

9.4. Службы Интернета...............................................................................173

§10. Основы компьютерной безопасности и защиты информации.....18610.1. Понятие информационной безопасности.........................................18610.2. Методы обеспечения информационной безопасности....................18810.3. Компьютерные вирусы.......................................................................190

10.3.1. Типы компьютерных вирусов и их функции......................19010.3.2. Методы защиты от компьютерных вирусов...............................192

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА........................................................195

196