Turunan dari fungsi-fungsi implisit

Tim Dosen Kalkulus II

Satu variabel bebas

• Jika persamaan dimana adalah fungsi dari variabel x dan yang dapat diturunkan, y adalah fungsi x, maka

dimana

( , ) 0f x y ( , )f x y

'

'

( , )

( , )x

y

f x ydy

dx f x y

' ( , ) 0yf x y

Contoh

• Carilah dan jika

dy

dx

2

2

d y

dx

2 2 3 2 2( ) 3( ) 1 0x y x y

Dua variabel bebas

• Jika , dimana fungsi dari variabel-variabel x, y, dan z; z sebagai fungsi dari variabel x dan y, maka

dan

dimana

( , , ) 0F x y z ( , , )F x y z

'

'

( , , )

( , , )x

z

F x y zz

x F x y z

'

'

( , , )

( , , )y

z

F x y zz

y F x y z

'( , , ) 0zF x y z

Increment dan Total Diferensial

Increment fungsi dua variabel

• Jika maka increment dinyatakan:

( , ),w f x y w

( , ) ( , )w f x x y y f x y

Total diferensial fungsi dua variabel

• Jika maka total diferensial dinyatakan:

( , )w f x y dw

( , ) ( , )x ydw f x y dx f x y dy

• Jika dan anggap bahwa dapat diturunkan di titik maka

dimana sehingga Maka, ketika dan kecil,

,dx x dy y ( , )w f x y

( , )x y

1 2w dw x y

1 20, 0 ( , ) (0,0)x y

x y w dw

Increment fungsi tiga variabel

• Jika maka increment dinyatakan:

( , , ),w f x y z w

( , , ) ( , , )w f x x y y z z f x y z

Total diferensial fungsi tiga variabel

• Jika maka total diferensial dinyatakan:

( , , )w f x y z dw

( , , ) ( , , ) ( , , )x y zdw f x y z dx f x y z dy f x y z dz

• Jika dan anggap bahwa dapat diturunkan di titik maka dimana sehingga Maka, ketika dan kecil,

, ,dx x dy y dz z

( , , )w f x y z ( , , )x y z

1 2 3w dw x y z

1 2 30, 0, 0

( , , ) (0,0,0)x y z

,x y z w dw

Increment fungsi beberapa variabel

• Jika maka increment dinyatakan:

1 2( , ,..., ),nw f v v v w

1 1 2 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )n n nw f v v v v v v f v v v

Total diferensial fungsi beberapa variabel

• Jika maka total diferensial dinyatakan:

1 2( , ,..., )nw f v v v dw

1 21 2

... nn

w w wdw dv dv dv

v v v

• Jika dan anggap bahwa dapat diturunkan di titik maka dimana sehingga Maka, ketika kecil,

1 1 2 2, ,..., n ndv v dv v dv v

1 2( , ,..., )nw f v v v

1 2( , ,..., )nv v v1 1 2 2 3... nw dw v v v

1 20, 0,..., 0n

1 2( , ,..., ) (0,0,...,0)nv v v

1 2, ,..., nv v v w dw

Contoh:

• Carilah dan dari:1.

2. 3.

w dw8 3 4w x y z

2 3 74 3 5w x y z xy z

w x y z