TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

TURUNAN

Chandra Novtiar087827953335

[email protected]

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN SAINS

INSTITUT KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (IKIP) SILIWANGI

13 APRIL 2020

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Garis Besar Pembahasan

Sub Pokok Pembahasan

DUA MASALAH SATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARI TURUNAN

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKAT TINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

76

KALKULUS


3 Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


1. DUA MASALAH SATU TEMA2. TURUNAN3. ATURAN MENCARI TURUNAN4. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI5. ATURAN RANTAI6. TURUNAN TINGKAT TINGGI7. TURUNAN IMPLISIT8. LAJU BERKAITAN9. DIFERENSIASI DAN APROKSIMASI

76

KALKULUS


3 Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


1. DUA MASALAH SATU TEMA2. TURUNAN3. ATURAN MENCARI TURUNAN4. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI5. ATURAN RANTAI6. TURUNAN TINGKAT TINGGI7. TURUNAN IMPLISIT8. LAJU BERKAITAN9. DIFERENSIASI DAN APROKSIMASI

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan

4 DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

DUA MASALAH SATU TEMA

Sub Pokok Bahasan1. Garis Singgung2. Laju/Kecepatan

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


5 TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN

Sub Pokok Bahasan1. Definisi2. Contoh Mencari Turunan dengan menggunakan Definisi3. Diferensiabel4. Grafik fungsi Turunan

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN

6 ATURAN MENCARITURUNAN


ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN MENCARI TURUNAN

Sub Pokok Bahasan1. Aturan Turunan Fungsi Konstan2. Aturan Turunan Fungsi Identitas3. Aturan Turunan Fungsi Pangkat4. Aturan Turunan Perkalian Konstanta dengan Fungsi5. Aturan Turunan Fungsi Penjumlahan6. Aturan Turunan Fungsi Pengurangan7. Aturan Turunan Fungsi Perkalian8. Aturan Turunan Fungsi Pembagian

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Konstan

Teorema AJika f (x) = k dimana k merupakan konstanta, maka untuk setiapx ,f ′(x) = 0 atau Dx (k) = 0

Pembuktianf ′(x) = limh→0

f (x+h)−f (x)h = limh→0

k−kh = limh→00 = 0

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Konstan

Teorema AJika f (x) = k dimana k merupakan konstanta, maka untuk setiapx ,f ′(x) = 0 atau Dx (k) = 0



k−kh = limh→00 = 0

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Identitas

Teorema BJika f (x) = x maka f ′(x) = 1 atau Dx (x) = 1



(x+h)−xh = limh→0

hh = 1

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Identitas

Teorema BJika f (x) = x maka f ′(x) = 1 atau Dx (x) = 1



(x+h)−xh = limh→0

hh = 1

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Pangkat

Teorema CJika f (x) = xn dimana n merupakan bilangan bulat positif, makaf ′(x) = nxn−1 atau Dx (xn) = nxn−1

Pembuktian

f ′(x) = limh→0f (x + h)− f (x)

h

= limh→0(x + h)n − xn

h

= limh→0xn + nxn−1h + n(n−1)

2 xn−2h2 + · · ·+ nxhn−1 + hn − xn

h

=h[nxn−1 + n(n−1)

2 xn−2h + · · ·+ nxhn−2 + hn−1]

h= nxn−1

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


Teorema CJika f (x) = xn dimana n merupakan bilangan bulat positif, makaf ′(x) = nxn−1 atau Dx (xn) = nxn−1

Pembuktian

f ′(x) = limh→0f (x + h)− f (x)

h

= limh→0(x + h)n − xn

h

= limh→0xn + nxn−1h + n(n−1)

2 xn−2h2 + · · ·+ nxhn−1 + hn − xn

h

=h[nxn−1 + n(n−1)

2 xn−2h + · · ·+ nxhn−2 + hn−1]

h= nxn−1

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


Aplikasi Teorema CDx (x3) = 3x2

Dx (x9) = 9x8

Dx (x100) = 100x99

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Perkalian Konstanta denganFungsi

Teorema DJika k adalah konstanta dan f fungsi yang diferensiabel ataumemiliki turunan, maka (kf )′(x) = k · f ′(x) atauDx (k · f (x)) = k · f ′(x)

PembuktianMisalkan F (x) = k · f (x), maka

F ′(x) = limh→0F (x + h)− F (x)

h

= limh→0k · f (x + h)− k · f (x)

h

= limh→0k f (x + h)− f (x)h

= k · limh→0f (x + h)− f (x)

h= k · f ′(x)

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


Teorema DJika k adalah konstanta dan f fungsi yang diferensiabel ataumemiliki turunan, maka (kf )′(x) = k · f ′(x) atauDx (k · f (x)) = k · f ′(x)

PembuktianMisalkan F (x) = k · f (x), maka

F ′(x) = limh→0F (x + h)− F (x)

h

= limh→0k · f (x + h)− k · f (x)

h

= limh→0k f (x + h)− f (x)h

= k · limh→0f (x + h)− f (x)

h= k · f ′(x)

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


Aplikasi Teorema DDx (−7x3) = −7 · Dx x3 = −7 · 3x2 = −21x2

Dx (43 x9) = 4

3 Dx (x9) = 43 · 9x8 = 12x8

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Penjumlahan

Teorema EJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memilikiturunan, maka (f + g)′(x) = f ′(x) + g ′(x) atauDx (f (x) + g(x)) = Dx f (x) + Dx g(x)

PembuktianMisalkan F (x) = f (x) + g(x), maka

F ′(x) = limh→0F (x + h)− F (x)

h

= limh→0[f (x + h) + g(x + h)]− [f (x) + g(x)]

h

= limh→0

[f (x + h)− f (x)

h +g(x + h)− g(x)

h

]= limh→0

f (x + h)− f (x)h + limh→0

g(x + h)− g(x)h

= f ′(x) + g ′(x)

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Penjumlahan

Teorema EJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memilikiturunan, maka (f + g)′(x) = f ′(x) + g ′(x) atauDx (f (x) + g(x)) = Dx f (x) + Dx g(x)

PembuktianMisalkan F (x) = f (x) + g(x), maka

F ′(x) = limh→0F (x + h)− F (x)

h

= limh→0[f (x + h) + g(x + h)]− [f (x) + g(x)]

h

= limh→0

[f (x + h)− f (x)

h +g(x + h)− g(x)

h

]= limh→0

f (x + h)− f (x)h + limh→0

g(x + h)− g(x)h

= f ′(x) + g ′(x)

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Pengurangan

Teorema FJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memilikiturunan, maka (f − g)′(x) = f ′(x)− g ′(x) atauDx (f (x)− g(x)) = Dx f (x)− Dx g(x)

PembuktianBuktikan sebagai latihan !

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Pengurangan

Teorema FJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memilikiturunan, maka (f − g)′(x) = f ′(x)− g ′(x) atauDx (f (x)− g(x)) = Dx f (x)− Dx g(x)

PembuktianBuktikan sebagai latihan !

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Contoh Penggunaan Teorema A,B,C,D,E,F

Tentukan turunan dari fungsi 5x2 + 7x − 6 dan4x6 − 3x5 − 10x2 + 5x + 16

Dx (5x2 + 7x − 6) = Dx (5x2 + 7x)− Dx (6) · · ·TeoremaF= Dx (5x2) + Dx (7x)− Dx (6) · · ·TeoremaE= 5Dx (x2) + 7Dx (x)− Dx (6) · · ·TeoremaD= 5 · 2x + 7 · 1− 0 · · ·TeoremaC ,B,A= 10x + 7

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Dx (4x6 − 3x5 − 10x2 + 5x + 16) = Dx (4x6)− Dx (3x5)

−Dx10x2 + Dx5x + Dx16= 4Dx (x6)− 3Dx (x5)

−10Dx x2 + 5Dx x + Dx16= 4(6x5)− 3(5x4)

−10(2x) + 5(1) + 0= 24x5 − 15x4 − 20x + 5

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Perkalian

Misalkan g(x) = x dan h(x) = 1+ 2x danf (x) = g(x) · h(x) = x(1+ 2x). Tentukanlah Dx f (x),Dx g(x) danDx h(x) = kemudian tunjukkan bahwa Dx f (x) 6= [Dx g(x)][Dx h(x)]

Dx f (x) = Dx (x(1+ 2x))= Dx (x + 2x2)

= 1+ 4xDx g(x) = Dx (x)

= 1Dx h(x) = Dx (1+ 2x)

= 2

Terlihat bahwa Dx (g(x))Dx (h(x)) = 1 · 2 sedangkanDx (f (x)) = 1+ 4x . Maka Dx f (x) 6= [Dx g(x)][Dx h(x)]

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


Teorema GJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memilikiturunan, maka (f · g)′(x) = f (x)g ′(x) + f ′(x)g(x) atauDx [f (x)g(x)] = f (x)Dx g(x) + Dx f (x)g(x)

PembuktianBuktikan sebagai latihan!!

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


Teorema GJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memilikiturunan, maka (f · g)′(x) = f (x)g ′(x) + f ′(x)g(x) atauDx [f (x)g(x)] = f (x)Dx g(x) + Dx f (x)g(x)


76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


Aplikasi Teorema GCarilah turunan fungsi (3x2 − 5)(2x4 − x) dengan menggunakanaturan perkalian. Periksalah jawaban tersebut dengan cara lain

Dx [(3x2 − 5)(2x4 − x)] = (3x2 − 5)Dx (2x4 − x) +Dx ((3x2 − 5))(2x4 − x)

= (3x2 − 5)(8x3 − 1) + (6x)(2x4 − x)= 24x5 − 3x2 − 40x3 + 5+ 12x5 − 6x2

= 36x5 − 40x3 − 9x2 + 5

(3x2 − 5)(2x4 − x) = 6x6 − 10x4 − 3x3 + 5x sehingga

Dx [(3x2 − 5)(2x4 − x)] = Dx (6x6)− Dx (10x4)− Dx (3x3)

+Dx (5x)= 36x5 − 40x3 − 9x2 + 5

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Pembagian

Teorema HJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memiliki

turunan, maka(

fg

)′(x) = g(x)f ′(x)−f (x)g ′(x)

g2(x) atau

Dx

(fg

)= g(x)Dx f (x)−f (x)Dx g(x)

g2(x)


76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


Teorema HJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memiliki

turunan, maka(

fg

)′(x) = g(x)f ′(x)−f (x)g ′(x)

g2(x) atau

Dx

(fg

)= g(x)Dx f (x)−f (x)Dx g(x)

g2(x)


76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


Aplikasi Teorema HCarilah d

dx3x−5x2+7

ddx

3x − 5x2 + 7 =

(x2 + 7) ddx (3x − 5)− (3x − 5) d

dx (x2 + 7)

(x2 + 7)2

=(x2 + 7)(3)− (3x − 5)(2x)

(x2 + 7)2

=(3x2 + 21)− (6x2 − 10x)

(x2 + 7)2

=−3x2 + 10x + 21

(x2 + 7)2

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


Aplikasi Teorema HCarilah Dx y jika y = 2

x4+1 + 3x

Dx y = Dx2

x4 + 1 + Dx3x

=(x4 + 1)Dx (2)− 2Dx (x4 + 1)

(x4 + 1)2 +(x)Dx (3)− 3Dx (x)

x2

=(x4 + 1)(0)− 2(4x3)

(x4 + 1)2 +(x)(0)− 3(1)

x2

=−8x3

(x4 + 1)2 −3x2

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


Aplikasi Teorema HTunjukkan bahwa Dx (x−n) = −nx−n−1 dimana n bilangan bulatpositif

Dx (x−n) = Dx1xn

=(xn)Dx (1)− 1Dx (xn)

(xn)2

=(xn)(0)− (nxn−1)

(x2n)

=−nxn−1

x2n

= −nx−n−1

sehingga Dx

(3x

)= −3

x2

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


Aplikasi Teorema HTunjukkan bahwa Dx (x−n) = −nx−n−1 dimana n bilangan bulatpositif

Dx (x−n) = Dx1xn

=(xn)Dx (1)− 1Dx (xn)

(xn)2

=(xn)(0)− (nxn−1)

(x2n)

=−nxn−1

x2n

= −nx−n−1

sehingga Dx

(3x

)= −3

x2

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN


24 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


Turunan Fungsi sin(x)

Dx (sin x) = limh→0sin(x + h)− sin x

h

= limh→0sin x cos h + cos x sin h − sin x

h

= limh→0

(− sin x 1+ cos h

h + cos x sin hh

)= − sin x

[limh→0

1+ cos hh

]+ cos x

[limh→0

sin hh

]Karena limh→0

sin hh = 1 dan limh→0

1−cos hh = 0 maka

Dx (sin x) = (− sin x) · 0+ (cos x) · 1= cos x

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


Turunan Fungsi cos(x)

Dx (cos x) = limh→0cos(x + h)− cos x

h

= limh→0cos x cos h − sin x sin h − cos x

h

= limh→0

(− cos x 1− cos h

h − sin x sin hh

)= (− cos x) · 0− (sin x) · 1= − sin x

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


TEOREMA AFungsi f (x) = sin x dan g(x) = cos x yang keduanya merupakanfungsi yang diferensiabel dan

Dx (sin x) = cos xDx (cos x) = − sin x

Contoh Soal 1Tentukan Dx (3 sin x − 2 cos x)

Dx (3 sin x − 2 cos x) = 3Dx (sin x)− 2Dx (cos x)= 3 cos x + 2 sin x

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


TEOREMA AFungsi f (x) = sin x dan g(x) = cos x yang keduanya merupakanfungsi yang diferensiabel dan

Dx (sin x) = cos xDx (cos x) = − sin x

Contoh Soal 1Tentukan Dx (3 sin x − 2 cos x)

Dx (3 sin x − 2 cos x) = 3Dx (sin x)− 2Dx (cos x)= 3 cos x + 2 sin x

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


Contoh Soal 2Carilah persamaan garis singgung grafik fungsi y = 3 sin x di titik(π, 0)Turunan fungsi y adalah dy

dx = 3 cos x , sehingga di titik x = πkemiringan/gradien garis singgung adalah 3 cosπ = 3(−1) = −3.Jadi, persamaan garis singgung grafik fungsi y = 3 sin x di titik(π, 0) adalah

y − 0 = −3(x − π)y = −3x + 3π

Contoh Soal 3Tentukanlah Dx (x2 sin x)

Dx (x2 sin x) = x2Dx (sin x) + sin xDx (x2)

= x2 cos x + 2x sin x

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


Contoh Soal 2Carilah persamaan garis singgung grafik fungsi y = 3 sin x di titik(π, 0)Turunan fungsi y adalah dy

dx = 3 cos x , sehingga di titik x = πkemiringan/gradien garis singgung adalah 3 cosπ = 3(−1) = −3.Jadi, persamaan garis singgung grafik fungsi y = 3 sin x di titik(π, 0) adalah

y − 0 = −3(x − π)y = −3x + 3π

Contoh Soal 3Tentukanlah Dx (x2 sin x)

Dx (x2 sin x) = x2Dx (sin x) + sin xDx (x2)

= x2 cos x + 2x sin x

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


Contoh Soal 4

Tentukanlah nilai dari ddx

(1+sin x

cos x

)Untuk menyelesaikan masalah ini gunakan aturan turunan fungsipembagian

ddx

(1+ sin xcos x

)=

cos x ddx (1+ sin x)− (1+ sin x) d

dx cos xcos2 x

=cos x(cos x)− (1+ sin x)(− sin x)

cos2 x

=cos2 x + sin x + sin2 x

cos2 x=

1+ sin xcos2 x

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


TEOREMA B

Dx (tan x) = sec2 xDx (sec x) = sec x tan xDx (cot x) = − csc2 xDx (csc x) = − csc x cot x

Contoh Soal 5Carilah nilai dari Dx (xn tan x)

Dx (xn tan x) = xnDx (tan x) + tan xDx (xn)

= xn sec2 x + nxn−1 tan x

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


TEOREMA B

Dx (tan x) = sec2 xDx (sec x) = sec x tan xDx (cot x) = − csc2 xDx (csc x) = − csc x cot x

Contoh Soal 5Carilah nilai dari Dx (xn tan x)

Dx (xn tan x) = xnDx (tan x) + tan xDx (xn)

= xn sec2 x + nxn−1 tan x

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


Contoh Soal 6Carilah persamaan garis singgung grafik fungsi y = tan x di titik(π

4 , 1).Turunan fungsi y adalah dy

dx = sec2 x , sehingga di titik x = π4

kemiringan/gradien garis singgung adalahsec2 (π

4)= 1

cos2 π4= 1(√

22

)2 = 112= 2. Jadi, persamaan garis

singgung grafik fungsi y = tan x di titik (π4 , 1) adalah

y − 1 = 2(x − π

4 )

y = 2x − π

2 + 1

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


Contoh Soal 7Tentukanlah semua titik pada y = sin2 x dimana garis singungnyahorizontal. Garis singgung suatu grafik horizontal ketikagradiennya nol.

ddx sin2 x =

ddx sin x sin x

= sin x ddx sin x + sin x d

dx sin x

= sin x cos x + sin x cos x= 2 sin x cos x

2 sin x cos x = 0 ketika sin x = 0 atau cos x = 0. Kondisi ini terjadisaat x = 0,±π

2 ,±π,±3π2 , · · ·

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



32 ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI

TEOREMA A ATURAN RANTAIMisalkan y = f (u) dan u = g(x). Jika g terdiferensialkan di xdan f terdiferensialkan di u = g(x), maka fungsi komposisi f ◦ gyang didefinisikan sebagai (f ◦ g)(x) = f (g(x)) terdiferensialkandi x dan

(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g ′(x)Dx (f (g(x)) = f ′(g(x))g ′(x)

dydx =

dydu

dudx

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



33 ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI

CONTOH 1Diketahui y = (2x2 − 4x + 1)60. Tentukan Dx yMisalkan y = u60 dan u = 2x2 − 4x + 1. Sehingga f (u) = u60 danu = g(x) = 2x2 − 4x + 1 maka

Dx y = Dx f (g(x))= f ′(u)g ′(x)= (60u59)(4x − 4)= 60(2x2 − 4x + 1)59(4x − 4)

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



34 ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI

CONTOH 2Diketahui y = 1

(2x5−7)3 . Tentukan dydx

Misalkan y = 1u3 = u−3 dan u = 2x5 − 7. Sehingga

dydx =

dydu

dudx

= (−3u−4)(10x4)

=−3u4 (10x4)

=−30x4

(2x5 − 7)4

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



35 ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI

CONTOH 3

Hitunglah Dt

(t3−2t+1

t4+3

)13.

Misalkan y = u13 dimana u = (t3−2t+1)t4+3 . Dengan menggunakan

aturan rantai ditambah aturan pembagian memberikan

Dt

(t3 − 2t + 1

t4 + 3

)13= 13

(t3 − 2t + 1

t4 + 3

)12Dt

(t3 − 2t + 1

t4 + 3

)= 13

(t3 − 2t + 1

t4 + 3

)12

(t4 + 3)(3t2 − 2)− (t3 − 2t + 1)(4t3)

(t4 + 3)2

= 13(

t3 − 2t + 1t4 + 3

)12−t6 + 6t4 − 4t3 + 9t2 − 6(t4 + 3)2

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



36 ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI

CONTOH 4Jika y = sin 2x , tentukanlah dy

dx . Misalkan y = sin u dimanau = 2x . Dengan menggunakan aturan rantai

dydx =

dydu

dudx

= cos u(2)= 2 cos 2x

CONTOH 5Tentukanlah F ′(y) dimana F (y) = y sin y2. Dengan menggunakanaturan perkalian untuk perkalian antara y dengan sin y2 danaturan rantai untuk turunan sin y2 menjadi

F ′(x) = yDy [sin y2] + sin y2Dy [y ]= y(cos y2)Dy (y2) + sin y2(1)= 2y3 cos y2 + sin y2

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



36 ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI

CONTOH 4Jika y = sin 2x , tentukanlah dy

dx . Misalkan y = sin u dimanau = 2x . Dengan menggunakan aturan rantai

dydx =

dydu

dudx

= cos u(2)= 2 cos 2x

CONTOH 5Tentukanlah F ′(y) dimana F (y) = y sin y2. Dengan menggunakanaturan perkalian untuk perkalian antara y dengan sin y2 danaturan rantai untuk turunan sin y2 menjadi

F ′(x) = yDy [sin y2] + sin y2Dy [y ]= y(cos y2)Dy (y2) + sin y2(1)= 2y3 cos y2 + sin y2

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



37 ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI

CONTOH 6

Tentukanlah Dx

(x2(1−x)3

1+x

). Dengan menggunakan aturan

pembagian dan aturan rantai sehingga (Kerjakan sebagai latihan)

CONTOH 7Tentukanlah d

dx1

(2x−1)3

ddx

1(2x − 1)3 =

ddx (2x − 1)−3

= −3(2x − 1)−3−1 ddx (2x − 1)

= −3(2x − 1)−4(2)

=−6

(2x − 1)4

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



37 ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI

CONTOH 6

Tentukanlah Dx

(x2(1−x)3

1+x

). Dengan menggunakan aturan

pembagian dan aturan rantai sehingga (Kerjakan sebagai latihan)

CONTOH 7Tentukanlah d

dx1

(2x−1)3

ddx

1(2x − 1)3 =

ddx (2x − 1)−3

= −3(2x − 1)−3−1 ddx (2x − 1)

= −3(2x − 1)−4(2)

=−6

(2x − 1)4

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



38 ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI

CONTOH 8Tentukanlah ekspresi turunan untuk fungsi-fungsi berikut dengansyarat F diferensiabel.(a) Dx (F (x3))

(b) Dx [(F (x))3]

Jawaban :(a) Misalkan u = x3 sehingga F (x3) = F (u). Maka

Dx F (x3) = F ′(x3)Dx (x3) = 3x2F ′(x3)

(b) Misalkan u = F (x) sehingga F (x)3 = u3. Dengan aturanpangkat dan aturan rantai,Dx [(F (x))3] = 3[F (x)]2Dx (F (x)) = 3[F (x)]2F ′(x)

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



39 ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI BERULANG

CONTOH 9Tentukanlah Dx sin3 (4x). Ingat bahwa sin3 (4x) = [sin (4x)]3

Dx sin3 (4x) = Dx [sin (4x)]3

= 3[sin (4x)]3−1Dx sin (4x)= 3[sin (4x)]2 cos (4x)Dx (4x)= 3[sin (4x)]2 cos (4x)(4)= 12 cos (4x) sin (4x)]2

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



40 ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI BERULANG

CONTOH 10Tentukanlah Dx sin[cos [x2]]

Dx sin[cos [x2]] = cos[cos [x2]]Dx [cos [x2]]

= cos[cos [x2]] · [− sin (x2)] · Dx [x2]

= cos[cos [x2]] · [− sin (x2)] · (2x)= −2x sin (x2) cos[cos [x2]]

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI

41 TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


TURUNAN TINGKAT TINGGIMisalkan terdapat fungsi f . Operasi turunan pada f menjadikan fmenjadi f ′. Selanjutnya, fungsi f ′ diturunkan kembali menjadisuatu fungsi f ” (dibaca f double aksen) dan disebut turunankedua dari f . Kemudian, f ” diturunkan kembali sekali menjadif ′′′ sebagai turunan ketiga dari f . Turunan keempatdinotasikan dengan f 4 dan turunan kelima dinotasikan dengan f 5

dan lain-lain. Sebagai contoh jika kita memiliki suatu fungsif (x) = 2x3 − 4x2 + 7x − 8. Maka

f ′(x) = 6x2 − 8x + 7f ”(x) = 12x − 8f ′′′(x) = 12f 4(x) = 0

Karena f 4(x) = 0 maka turunan keempat dan turunan tingkattinggi selanjutnya dari x akan bernilai 0.

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


NOTASI TURUNAN TINGKAT TINGGITurunan Notasi f ′ Notasi y ′ Notasi D Notasi LeibnizPertama f ′(x) y ′ Dx y dy

dxKedua f ”(x) y” D2

x y d2ydx2

Ketiga f ′′′(x) y ′′′ D3x y d3y

dx3

Keempat f 4(x) y4 D4x y d4y

dx4

......

......

...Ke-n f n(x) yn Dn

x y dnydxn

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


CONTOH 1Misalkan y = sin 2x . Carilah d3y

dx3 ,d4ydx4 dan d12y

dx12 .

dydx = 2 cos 2x

d2ydx2 = −22 sin 2x

d3ydx3 = −23 cos 2x

d4ydx4 = 24 sin 2x

d5ydx5 = 25 cos 2x

... =...

d12ydx12 = 212 sin 2x

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


LAJU DAN PERCEPATAN : LAJUSuatu obek bergerak di sepanjang garis sehingga posisinya saat tdinyatakan dengan s = 2t2 − 12t + 8, dimana s dalam satuancentimeter dan t dalam satuan detik dengan t ≥ 0. Tentukanlahlaju saat t = 1 detik dan saat t = 6 detik. Kapankah benda ketikalajunya 0? Kapankah lajunya bernilai positif?

v(t) =dsdt

= 4t − 12

sehingga laju saat t = 1 detik adalah v(1) = 4(1)− 12 = −8centimeter per detik dan laju saat t = 6 detik adalahv(6) = 4(6)− 12 = 24 centimeter per detik. Laju bernilai nolketika v(t) = 4t − 12 = 0 atau saat t = 3 detik. Laju bernilaipositif ketika v(t) = 4t − 12 > 0 atau t > 3 detik.

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


LAJU DAN PERCEPATAN : PERCEPATANPercepatan merupakan kecepatan perubahan laju terhadap waktu,yang dinotasikan dengan a

a(t) =dvdt =

d2sdt2

Contohnya adalah pada soal sebelumnya, dengans = 2t2 − 12t + 8 maka

v(t) =dsdt = 4t − 12

a(t) =d2sdt2 = 4

Hal ini memperlihatkan bahwa laju naik dengan kecepatan yangkonstan yaitu 4 centimeter per detik dalam 1 detik, ditulis 4centimeter per detik per detik atau 4 cm

detik2

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


CONTOH 2Suatu benda bergerak di sepanjang garis horizontal denganposisinya setiap saat dituliskan sebagai

s(t) = t3 − 12t2 + 36t − 30

dimana s jarak dalam satuan kaki dan t dalam detik.(a) Kapankah ketika lajunya 0?(b) Kapankah lajunya positif?(c) Kapankah benda bergerak ke arah kiri (arah negatif)?(d) Kapankah percepatannya positif?

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


JAWABAN CONTOH 2(a) v = ds

dt = 3t2 − 24t + 36 = 3(t − 2)(t − 6). Sehinggakecepatan v = 0 saat t = 2 dan t = 6

(b) v > 0 ketika (t − 2)(t − 6) > 0, yaitu saat t pada intervalwaktu (−∞, 2) ∪ (6,∞)

(c) Benda bergerak ke arah kiri, saat v < 0 atau(t − 2)(t − 6) < 0 yaitu saat t pada interval waktu (2, 6)

(d) a = dvdt = 6t − 24 = 6(t − 4) sehingga a > 0 saat t > 4

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


GERAK JATUH BEBASJika suatu benda dilempar ke atas dengan ketinggian awal s0 kakidengan laju awal adalah v0 kaki per detik. Jika s merupakanketinggian di atas permukaan tanah, dalam kaki per detik, makas = −16t2 + v0t + s0. Dalam hal ini, kecepatan positifmenandakan benda bergerak ke atas.

CONTOH 3Dari atas suatu gedung dengan ketinggian 160 kaki, sebuah boladilemparkan ke atas dengan laju awal sebesar 64 kaki per detik(a) Kapankah bola mencapai ketinggian maksimum?(b) Berapakah ketinggian maksimumnya?(c) Kapankah bola mencapai dasar gedung?(d) Dengan laju berapakah bola mencapai dasar gedung?(e) Berapakah percepatan saat t = 2?

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


GERAK JATUH BEBASJika suatu benda dilempar ke atas dengan ketinggian awal s0 kakidengan laju awal adalah v0 kaki per detik. Jika s merupakanketinggian di atas permukaan tanah, dalam kaki per detik, makas = −16t2 + v0t + s0. Dalam hal ini, kecepatan positifmenandakan benda bergerak ke atas.

CONTOH 3Dari atas suatu gedung dengan ketinggian 160 kaki, sebuah boladilemparkan ke atas dengan laju awal sebesar 64 kaki per detik(a) Kapankah bola mencapai ketinggian maksimum?(b) Berapakah ketinggian maksimumnya?(c) Kapankah bola mencapai dasar gedung?(d) Dengan laju berapakah bola mencapai dasar gedung?(e) Berapakah percepatan saat t = 2?

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


JAWABAN CONTOH 3Dari atas suatu gedung dengan ketinggian 160 kaki, sebuah boladilemparkan ke atas dengan laju awal sebesar 64 kaki per detik.Misalkan t = 0 berkorespondensi dengan waktu bola dilemparkanke atas. Maka s0 = 160 dan v0 = 64 (v0 bernilai positif karenabola dilempar ke atas), maka

s(t) = −16t2 + 64t + 160

v(t) =dsdt = −32t + 64

a(t) =dvdt = −32

(a) Bola mencapai ketinggian maksimum saat lajunya 0 atau−32t + 64 = 0 atau t = 2 detik

(b) Saat t = 2, s = −16(2)2 + 64(2) + 160 = 224 kaki

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020


JAWABAN CONTOH 3(Lanjutan)(c) Bola mencapai dasar gedung saat s = 0 atau

−16t2 + 64t + 160 = 0−16(t2 − 4t − 10) = 0

(t2 − 4t − 10) = 0

yang menghasilkan t = 4±√

16+402 = 4±2

√14

2 = 2±√14.

Namun hanya waktu t positif yang masuk akal makat = 2+

√14 detik

(d) Saat t = 2+√14, v = −32(2+

√14) + 64 = −32

√14. Jadi,

bola menyentuh tanah dengan laju 32√14 kaki per detik.

(tanda negatif menandakan saat benda bererak ke bawah).(e) Percepatan selalu konstan yaitu a = −32kakiperdetik2.

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


51 TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN IMPLISIT

TURUNAN IMPLISITPada persamaan y3 + 7y = x3, kita tak dapat menyelesaikan ydalam fungsi x . Persamaan ini dinamakan persamaan implisit.Dengan menuliskan y sebagai y(x) kita dapat menuliskan ulangpersamaan menjadi y(x)3 + 7y(x) = x3. Kita dapat menentukanhubungan antara x , y(x) dan y ′(x) dengan menurunkan keduaruas terhadap x . Dengan aturan rantai diperoleh

ddx y3 +

ddx (7y) =

ddx x3

3y2 dydx + 7dy

dx = 3x2

dydx (3y2 + 7) = 3x2

dydx =

3x2

3y2 + 7

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


52 TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN IMPLISIT

TURUNAN IMPLISIT(LANJUTAN)Saat x = 2 persamaan menjadi y3 + 7y = x3 = 23 = 8 atauy3 + 7y = 8 sehingga diperoleh y = 1. Gradien garis singgungkurva/grafik y3 + 7y = x3 di (x , y) = (2, 1) adalah

dydx =

3(2)2

3(1)2 + 7

=1210

=65

Metode ini merupakan ilustrasi dalam menentukan dydx tanpa

mencari/menentukan persamaan y terhadap variabel x . Metodeini diberi nama metode turunan impilsit

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


53 TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN IMPLISIT

CONTOH 1Tentukanlah dy

dx jika diketahui persamaan 4x2y − 3y = x3 − 1Metode 1Dengan mencari y terlebih dahulu

4x2y − 3y = x3 − 1y(4x2 − 3) = x3 − 1

y =x3 − 14x2 − 3

Maka

dydx =

(4x2 − 3)(3x2)− (x3 − 1)(8x)(4x2 − 3)2

=4x4 − 9x2 + 8x

(4x2 − 3)2

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


54 TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN IMPLISIT

CONTOH 1(LANJUTAN)Metode 2 TURUNAN IMPLISITDengan menurunkan kedua ruas 4x2y − 3y = x3 − 1 terlebihdahulu diperoleh d

dx (4x2y − 3y) = ddx x3 − 1

4x2 dydx + 8xy − 3dy

dx = 3x2

dydx (4x2 − 3) = 3x2 − 8xy

dydx =

3x2 − 8xy4x2 − 3 (1)

Jawaban yan diperoleh berbeda dengan metode 1. Denganmensubstitusikan y = x3−1

4x2−3 ke persamaan (1) menjadidydx = x3−1

4x2−3 =3x2−8x x3−1

4x2−34x2−3 = 12x4−9x2−8x4+8x

(4x2−3)2 = 4x4−9x2+8x(4x2−3)2

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


55 TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN IMPLISIT

CONTOH 2Tentukanlah dy

dx jika diketahui persamaan x2 + 5y3 = x + 9

ddx (x

2 + 5y3) =ddx (x + 9)

2x + 15y2 dydx = 1

dydx =

1− 2x15y2

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


56 TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN IMPLISIT

CONTOH 3Carilah persamaan garis singgung kurva y3 − xy2 + cos xy = 2 dititik (0, 1). Gunakan notasi y ′ untuk dy

dx

3y2y ′ − x(2yy ′)− y2 − sin xy(xy ′ + y) = 0y ′(3y2 − 2xy − x sin xy) = y2 + y sin xy

y ′ =y2 + y sin xy

3y2 − 2xy − x sin xy

Di (0, 1) diperoleh y ′ = 13 sehingga persamaan garis singgung

kurva tersebut di (0, 1) adalah

y − 1 =13 (x − 0)

y =13x + 1

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


57 TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN IMPLISIT

CONTOH 4Jika y = 2x 5

3 +√

x2 + 1, tentukanlah Dx y

Dx y = Dx(2x 5

3 +√

x2 + 1)

= 2Dx (x53 ) + Dx (

√x2 + 1)

= 2(53x 5

3−1)+

12 (x

2 + 1) 12−1 · (2x)

=103 x 2

3 +x√

x2 + 1

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

58 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

DUA CONTOH SEDERHANA :CONTOH 1Sebuah balon kecil yang berjarak 150 kaki dari seorang pengamatakan dilepaskan ke atas. Jika balon tersebut bergerak ke atasdengan laju 8kaki/detik, seberapa cepatkah jarak dari pengamatdan balon bertambah ketika balon berada pada ketinggian 50 kaki.

Misalkan t merupakan waktu (dalam detik) setelah balondilepaskan. Misalkan pula h merupakan ketinggian balon daridasar tanah dan x merupakan jarak dari pengamat terhadap posisiawal balon dilepaskan. Baik h maupun x merupakan variabel yangbergantung pada t. Diagram sederhana untuk mengambarkankondisi ini adalah sebagai berikut

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

58 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

DUA CONTOH SEDERHANA :CONTOH 1Sebuah balon kecil yang berjarak 150 kaki dari seorang pengamatakan dilepaskan ke atas. Jika balon tersebut bergerak ke atasdengan laju 8kaki/detik, seberapa cepatkah jarak dari pengamatdan balon bertambah ketika balon berada pada ketinggian 50 kaki.

Misalkan t merupakan waktu (dalam detik) setelah balondilepaskan. Misalkan pula h merupakan ketinggian balon daridasar tanah dan x merupakan jarak dari pengamat terhadap posisiawal balon dilepaskan. Baik h maupun x merupakan variabel yangbergantung pada t. Diagram sederhana untuk mengambarkankondisi ini adalah sebagai berikut

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

59 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

Jarak dari pengamat ke titik awal pelepasan balon sejauh 150 kakitidak berubah ketika waktu t bertambah. Sedangkan jarak antarapengamat dengan balon s dan jarak antara titik pertama balondilepaskan dan posisi balon h berubah ketika t waktu bertambah.Hubungan antara variabel-variabel tersebut sesuai dengan teoremaphytagoras

s2 = h2 + (150)2

Dengan menurunan secara implisit kedua ruas terhadap t diperoleh

2s dsdt = 2hdh

dt

s dsdt = hdh

dt

Ketika h = 50 kaki, s memenuhi s2 = h2 + (150)2 sehinggadiperoleh s2 = (50)2 + (150)2 = 2500+ 22500 = 25000 ataus = 50

√10 kaki

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

60 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

Substitusi s = 50√10 kaki,h = 50 kaki dan dh

dt = 8 kakidetik ke

s dsdt = h dh

dt menjadi

50√10ds

dt = 50(8)

dsdt =

8√10

Jadi, ketika ketinggian balon h = 50 kaki, jarak pengamat danbalon bertambah dengan laju 8√

10kakidetik

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

61 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

DUA CONTOH SEDERHANA :CONTOH 2Air dialirkan ke dalam sebuah tangki berbentuk kerucut terbalikdengan debit/laju 8 kaki3

menit . Jika tinggi tangki adalah 12 kaki danradius atau jari-jari tangki adalah 6 kaki, seberapa cepat ketinggianair bertambah ketika ketinggian air tersebut adalah 4 kaki

Misalkan h dinotasikan sebagai ketinggian air dan r merupakanradius atau jari-jari permukaan air.

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

61 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

DUA CONTOH SEDERHANA :CONTOH 2Air dialirkan ke dalam sebuah tangki berbentuk kerucut terbalikdengan debit/laju 8 kaki3

menit . Jika tinggi tangki adalah 12 kaki danradius atau jari-jari tangki adalah 6 kaki, seberapa cepat ketinggianair bertambah ketika ketinggian air tersebut adalah 4 kaki

Misalkan h dinotasikan sebagai ketinggian air dan r merupakanradius atau jari-jari permukaan air.

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

62 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

Volume air V di dalam tangki bertambah dengan laju 8 kaki3

menit ataudVdt = 8. Akan dicari seberapa cepat ketinggian air bertambahatau dh

dt ketika h = 4.Hubungan antara V dengan h dapat dituliskan sebagaiV = 1

3πr2h. Karena radius r dan laju pertambahan radius r tidakkita perlukan, maka kita dapat menentukan nilai r yangbergantung pada h yang memenuhi

rh =

612

r =h2

sehingga V = 13πr2h menjadi V = 1

3π( h

2)2h = πh3

12

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

63 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

Dengan menurunkan kedua ruas secara impilist pada V = πh3

12diperoleh

dVdt =

dVdh

dhdt

=3πh2

12dhdt =

πh2

4dhdt

sehingga ketika h = 4 kaki dan dVdt = 8 kaki3

menit

8 =π(4)2

4dhdt

dhdt =

2π

Jadi, ketinggian air bertambah dengan laju 2π

kakimenit

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

64 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

PROSEDUR SISTEMATISBerdasarkan contoh 1 dan 2 dapat kita simpulkan langkah-langkahatau prosedur sistematis untuk menyelesaikan masalah lajuberkaitan ini adalah

1 MENDEFINISIKAN VARIABEL-VARIABEL YANGTERLIBAT

2 TULISKAN SEMUA YANG DIKETAHUI DALAM SOALTENTANG VARIABEL-VARIABEL DAN INFORMASI YANGTERKANDUNG DI DALAMNYA

3 MENENTUKAN HUBUNGAN ANTAR VARIABEL4 HUBUNGAN ANTAR VARIABEL DITURUNKAN SECARA

IMPLISIT5 MEMPEROLEH NILAI VARIABEL LAIN KEMUDIAN

SUBSTITUSI DATA-DATA YANG DIKETAHUI DAN NILAIVARIABEL LAIN KE PERSAMAAN STEP 4

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

65 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

CONTOH 3Pesawat terbang ke arah utara pada tengah hari dengan laju640 mil

jam . Lima belas menit kemudian, pesawat kedua terbang kearah timur dengan laju 600 mil

jam . Jika kedua pesawat terbang darititik yang sama, seberapa cepat kedua pesawat terpisah pada jam13.15.

STEP 1Misalkan t merupakan waktu (dalam jam) setelah pukul 12.15, ymerupakan jarak tempuh (dalam mil) pesawat pertama yangterbang ke arah utara setelah pukul 12.15 dan x merupakan jaraktempuh (dalam mil) pesawat kedua yang terbang ke arah timur.Misalkan pula s merupakan jarak antara dua pesawat. Dalamwaktu setelah tengah hari hingga pukul 12.15, pesawat pertamatelah menempuh jarak 640

4 = 160 mil, sehingga jarak jarak tempuhpesawat pertama pada waktu t adalah y + 160.

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

65 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

CONTOH 3Pesawat terbang ke arah utara pada tengah hari dengan laju640 mil

jam . Lima belas menit kemudian, pesawat kedua terbang kearah timur dengan laju 600 mil

jam . Jika kedua pesawat terbang darititik yang sama, seberapa cepat kedua pesawat terpisah pada jam13.15.

STEP 1Misalkan t merupakan waktu (dalam jam) setelah pukul 12.15, ymerupakan jarak tempuh (dalam mil) pesawat pertama yangterbang ke arah utara setelah pukul 12.15 dan x merupakan jaraktempuh (dalam mil) pesawat kedua yang terbang ke arah timur.Misalkan pula s merupakan jarak antara dua pesawat. Dalamwaktu setelah tengah hari hingga pukul 12.15, pesawat pertamatelah menempuh jarak 640

4 = 160 mil, sehingga jarak jarak tempuhpesawat pertama pada waktu t adalah y + 160.

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

66 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

STEP 1 (LANJUTAN)

STEP 2Untuk t > 0, dy

dt = 640 dan dxdt = 600. Kita ingin mencari ds

dt saatt = 1 (yaitu pukul 13.15).

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

66 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

STEP 1 (LANJUTAN)

STEP 2Untuk t > 0, dy

dt = 640 dan dxdt = 600. Kita ingin mencari ds

dt saatt = 1 (yaitu pukul 13.15).

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

67 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

STEP 3Teorema phytagoras, hubungan antar variabel pada langkah 1 dan2 adalah

s2 = x2 + (y + 160)2

STEP 4Turunkan secara implisit tehadap t dan gunakan aturan rantaisehingga diperoleh

2s dsdt = 2x dx

dt + 2(y + 160)dydt

s dsdt = x dx

dt + (y + 160)dydt

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

67 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

STEP 3Teorema phytagoras, hubungan antar variabel pada langkah 1 dan2 adalah

s2 = x2 + (y + 160)2

STEP 4Turunkan secara implisit tehadap t dan gunakan aturan rantaisehingga diperoleh

2s dsdt = 2x dx

dt + 2(y + 160)dydt

s dsdt = x dx

dt + (y + 160)dydt

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

68 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

STEP 5Untuk setiap t > 0, dy

dt = 640 dan dxdt = 600. Saat t = 1, x = 600

dan y = 640, maka s =√(600)2 + (640+ 160)2 = 1000.

Substitusikan semua data-data yang diketahui dan diperoleh kepersamaan pada step 4, menjadi

1000dsdt = (600)(600) + (640+ 160)(640)

1000dsdt = 872000

dsdt = 872

Jadi, pada pukul 13.15, dua pesawat terpisah 872 miljam

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

69 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

CONTOH 4Seorang wanita berdiri di atas jurang di pantai melihatmenggunakan teleskop sebuah motorboat yang lewat mendekatigaris pantai di bawah wanita tersebut. Jika teleskop tersebutberjarak 250 kaki di atas permukaan laut dan motorboat bergerakmendekati garis pantai dengan laju 20 kaki

detik , seberapa cepat sudutteleskop berubah ketika boat berjarak 250mil dari garis pantai.

STEP 1Hubungan antara variabel x dan θ digambarkan sebagai berikut

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

69 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

CONTOH 4Seorang wanita berdiri di atas jurang di pantai melihatmenggunakan teleskop sebuah motorboat yang lewat mendekatigaris pantai di bawah wanita tersebut. Jika teleskop tersebutberjarak 250 kaki di atas permukaan laut dan motorboat bergerakmendekati garis pantai dengan laju 20 kaki

detik , seberapa cepat sudutteleskop berubah ketika boat berjarak 250mil dari garis pantai.

STEP 1Hubungan antara variabel x dan θ digambarkan sebagai berikut

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

70 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

STEP 2Diberikan dx

dt = −20 (tanda negatif menandakan karena xberkurang seiring pertambahan waktu t. Kita menginginkanmengetahui dθ

dt saat x = 250

STEP 3Dengan menggunakan kesamaan trigonometri

cos θ =x250

STEP 4Dengan menurunkan kedua ruas persamaan pada step 3 danmenggunakan aturan rantai diperoleh

sec2 θdθdt =

1250

dxdt

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

70 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

STEP 2Diberikan dx


dt saat x = 250


cos θ =x250


sec2 θdθdt =

1250

dxdt

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

70 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

STEP 2Diberikan dx


dt saat x = 250


cos θ =x250


sec2 θdθdt =

1250

dxdt

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

71 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

STEP 5Saat x = 250, θ = π

4 dan sec2 (π4)= 1

cos2(

π4

) = 1(√2

2

)2 = 124= 2

maka

2dθdt =

1250 (−20)

dθdt = − 1

25 = −0.04

Jadi, θ berubah −0.04 mildetik . Tanda negatif menandakan θ

berkurang seiring bertambahnya waktu.

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

72 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

CONTOH 5Matahari yang terbit di atas sebuah gedung dengan tinggi 120kaki membentuk bayangan. Seberapa cepat bayangan bertambah(dalam kaki per detik) ketika cahaya matahari membentuk sudut450

STEP 1Misalkan t menyatakan waktu (dalam detik) sejak tengah malam.Misalkan x menyatakan panjang bayangan (dalam kaki) dan θmenyatakan sudut antara sinar matahari dengan dasar gedung.Lihat gambar di bawah

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

72 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

CONTOH 5Matahari yang terbit di atas sebuah gedung dengan tinggi 120kaki membentuk bayangan. Seberapa cepat bayangan bertambah(dalam kaki per detik) ketika cahaya matahari membentuk sudut450

STEP 1Misalkan t menyatakan waktu (dalam detik) sejak tengah malam.Misalkan x menyatakan panjang bayangan (dalam kaki) dan θmenyatakan sudut antara sinar matahari dengan dasar gedung.Lihat gambar di bawah

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

73 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

STEP 2Pelajari sendiri




76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

74 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

CONTOH 6Lihat soal latihan 6 pada buku kalkulus tentang laju berkaitan






76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

75 Daftar Pustaka

13 April 2020

Daftar Pustaka

I D.Varberg, E.Purcell, and S.Rigdon, Calculus 9rd Edition,Jakarta, Erlangga, 20xx.

76

KALKULUS


Sub PokokPembahasan


TURUNAN



ATURAN RANTAI


TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

76 Daftar Pustaka

13 April 2020

Terima Kasih

Chandra Novtiar087827953335

[email protected]

TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

Text of TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU...

Ekonomi Produksi Pertanian: Pendekatan Neoklasik · PDF fileProfit umumnya maksimum pada saat nilai implisit dari nilai rupiah ... Turunan orde ke dua (Second ... Fungsi profit memiliki

IMPLEMENTASI METODE ENUMERASI IMPLISIT UNTUK …

Pt 3&4 turunan fungsi implisit dan cyclometri

MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKarena f mempunyai turunan di p, maka dengan Bagi kedua ruas dgn h, Hitung limitnya untuk h 0, kita peroleh ... Turunan Fungsi Implisit (Baru) Misalkan

Peran Implisit Kualitas Audit…

ATURAN RANTAI CHAIN RULE - edscyclopedia.comedscyclopedia.com/wp-content/uploads/2016/12/aturan...•y = (3x + 5)2. Tentukan turunan y terhadap x. •y dapat dipandang sebagai komposisi

ii - · PDF fileBerbagai konsep, aturan dan sifat- ... Bab 1 Program Linear ... Bab 11 Turunan

Turunan - 2 - eko.staff.uns.ac.ideko.staff.uns.ac.id/files/2012/08/Materi-ke-8-2015.pdf · Turunan Fungsi Implisit Contoh 1 : Tentukan turunan pertama fungsi implisit berikut 11/25/2015

Koko Martono – FMIPA - ITB 077personal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/KALKBAG12.pdf · Ilustrasi Permukaan ruang dalam bentuk fungsi eksplisit dan implisit. ... Turunan

TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat

FUNGSI NAIK DAN TURUN - Arisgunaryati's Blog | Be the best ...€¦ · Web viewTURUNAN FUNGSI (LANJUTAN) 1. Turunan Fungsi Implisit. Fungsi implisit adalah fungsi yang berbentuk

Pertemuan 9 Aturan Rantai Leibniz Turunan Tk Tinggi

FUNGSI NAIK DAN TURUN - Arisgunaryati's Blog | … · Web viewPERTEMUAN 13 TURUNAN FUNGSI (LANJUTAN) 1. Turunan Fungsi Implisit Fungsi implisit adalah fungsi yang berbentuk f (x,y)=

TURUNANyogo.dosen.ittelkom-pwt.ac.id/.../sites/96/2018/10/BAB-3-TURUNAN.pdf · Bentuk yang Setara untuk Turunan Keterdiferensialan Menunjukkan Kekontinuan . 3.3 Aturan Pencarian Turunan

Turunan berarah dan aturan rantai

Fungsi Implisit

ii GeometriAnalitis - elib.unikom.ac.idelib.unikom.ac.id/files/disk1/383/jbptunikompp-gdl-mairodi-19147-1... · 3.1 Dua Masalah dengan Satu Tema 3d Turunan F.3 Aturan Pencarian Turunan

file · Web viewa.Peserta didik dapat Merancang aturan integral tak tentu dari aturan turunan. ... yaitu Matematika 3, karangan Sukardi Dkk, mengenai integral tak tentu,

ANALISIS METODE BEDA HINGGA IMPLISIT DAN EKSPLISIT …etheses.uin-malang.ac.id/6407/1/11610059.pdf · ANALISIS METODE BEDA HINGGA IMPLISIT DAN EKSPLISIT ... Turunan pertama, kedua

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan · PDF fileGelas kedua dan seterusnya hanya ... implisit, misalnya 2x – y + 3 = 0 8) ... maka f‘ disebut fungsi turunan 2

Cara Melakukan Turunan Fungsi Implisit

Rencana Pembelajarandanangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/08/integral.pdf · Rantai, Turunan Tingkat Tinggi, Fungsi Implisit, Kemonotonan dan Kecekungan Fungsi,

TURUNAN IMPLISIT

LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL (TURUNAN) · PDF fileMatematika15.wordpress.com 2 King’s Learning Be Smart Without Limits B. ATURAN-ATURAN DARI TURUNAN (RUMUS-RUMUS) Jika U dan

Kuliah ke-7 2014 - eko.staff.uns.ac.id · Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan 11/6/2014 2 Notasi Leibniz JurusanTeknikIndustri -UniversitasSebelasMaret

Danang Mursita - · PDF file2.2 Turunan Fungsi Trigonometri 2.3 Teorema Rantai 2.4 Turunan Tingkat Tinggi 2.5 Fungsi Implisit 2.6 Kemonotonan dan Kecekungan Fungsi

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI - · PDF fileMenentukan turunan fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat turunan 5. Menentukan turunan fungsi komposisi dengan aturan

3-2 Turunan Implisit

PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTERebook.repo.mercubuana-yogya.ac.id/Kuliah/materi_20142_doc/HANDO… · kita dapat mendiferensialkan secara implisit untuk ... bebas y beserta turunan-turunannya

UJIAN NASIONAL - · PDF fileMemahami konsep yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar, ... mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah. ... - Turunan fungsi - Nilai ekstrim

Documents

TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

Text of TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU...