TEORI PELUANGUKURAN DAN FUNGSI TERUKUR

Miftahul Ulum151820101016

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamUniversitas Jember2015

BAB 2. UKURAN

2.1 Himpunan - himpunan KosongCara yang tepat untuk mendefinisikan panjang dari sebuah himpunan adalah memulainya dengan interval (selang). Anggap bahwa I adalah selang berbatas untuk setiap I = [a,b], I = [a,b), I = (a,b], I = (a,b) . dapat kita definisikan bahwa panjang dari I sebagai pada kasusu tertentu.Pada kasus lainnya, kita memiliki maka dapat dikatakan bahwa satu elemen dari suatu himpunan adalah kosong. Himpunan terbatas adalah bukan interval tetapi hanya sebuah point yang hanya mempunyai point tunggal 0, jika ditambahkan dengan beberapa himpunan terbatas lainnya secara bersanma-sama maka hasilnya akan tetap nol (0). Berdasarkan konsep ini kita dapat menguraikan sebuah himpunan kedalam bilangan terbatas dari selang saling lepas, kita dapat menghitung panjang dari himpunan ini melalui penambahan panjang dari masing-masing bagian.

Definisi 2.1Sebuah himpunan kosong adalah sebuah himpunan yang mungkin dicakupi oleh sebuah barisan dari sebarang interval yang pendek, jika diambil kita bisa menemukan sebuah barisan dari interval sehingga dan (sederhananya, adalah kosong).

Teorema 2.1Jika adalah sebuah barisan dari himpunan kosong, maka gabungannya

Adalah himpunan kosong juga.

2.2 Outer Measure (Ukuran Luar)Definisi 2.2 Outer measure (Lebesgue) dari beberapa himpunan adalah bilangan real non-negatif

dimana

Kita mengatakan cover (penutup) himpunan , sehingga Outer measure (ukuran luar) adalah infimum dari panjang dari semua kemungkinan cover dari .

Teorema 2.2 adalah himpunan kosong jika hanya jika .

Proposition 2.1Jika maka

Teorema 2.3Outer measure dari sebuah interval yang sama adalah panjang interval tersebut.

Teorema 2.4Outer measure adalah tambahan yang dapat dihitung (countably subadditive), yaitu untuk setiap barisan dari himpunan-himpunan

(catatan : kedua sisi memiliki kemungkinan infinite)

Proposition 2.2Outer measure adalah translation invariant, yaitu

Untuk setiap dan .Petunjuk kombinasikan dua fakta : panjang dari selang tidak dapat diganti ketika interval telah diganti dan outer measure adalah determinan dari panjang yang dapat tercakup.

2.3 Himpunan-himpunan Terukur Lebesgue dan Ukuran LebesgueDefinisi 2.3Sebuah himpunan adalah terukur (Lebesgue) jika untuk setiap kita mempunyai

dimana, dan kita tulis .

Teorema 2.5i. Beberapa himpunan kosong adalah terukur.ii. Beberapa interval adalah terukur.

Teorema 2.6i. .ii. Jika maka iii. Jika untuk semua maka Selain itu, jika , dan untuk , maka

Proposition 2.3Jika, , maka

M adalah tertutup gabungan yang dapat dihitung, interseksi yang dapat dihitung dan komplemen. Itu berisi interval-interval dan semua himpunan kosong.

Definisi 2.4Kita tulis bukan untuk beberapa di dan disebut ukuran Lebesgue dari himpunan .

Ukuran Lebesgue adalah fungsi himpunan countably additive didefinisikan pada dari himpunan terukur. Ukuran Lebesgue dari sebuah interval adalah sama dengan panjang interval tersebut. Ukuran Lebesgue dari himpunan kosong adalah nol.

2.4 Sifat Dasar dari Ukuran Lebesgue (Lebesgue Measure)Lebesgue measure tidak lain adalah outer measure yang dibatasi untuk kelas khusus dari himpunan, beberapa sifat dari outer measure secara otomatis diwarisi oleh Lebesgue measure:

Proposition 2.4Misalkan , makai. Jikamaka .ii. Jika dan berhingga, maka .iii. adalah translation invarian.

Proposition 2.5Jika, , maka dan .

Teorema 2.7i. Untuk setiap , kita bisa menemukan sebuah himpunan terbuka sedemikian hingga, .Konsekuensinya : Untuk setiap kita bisa menemukan sebuah himpunan terbuka yang mengandung sedemikian sehingga

ii. Untuk setiap kita bias menemukan sebuah barisan dari himpunan terbuka sedemikian sehingga

Teorema 2.8 Misalkan untuk semua , Maka :i. Jikauntuk semua, maka

ii. Jikauntuk semua dan maka

Teorema 2.9Fungsi himpunan merupakan:i. adalah penambahan berhingga, yaitu untuk barisan himpunan berpasangan kita mempunyai

Untuk setiap ,ii. kontinue di , jika menurun ke, maka menurun ke 0.

2.5 Himpunan BorelTeorema 2.10Perpotongan dari keluarga adalah .

Definisi 2.5Tempatkan

adalah yang dihasilkan oleh semua interval dan kita menyebutnya sebagai elemen dari himpunan Borel. Hal ini jelas bahwaterkecil mengandung semua interval.

Teorema 2.11Jika bukan dari keluarga semua interval, kita mengambil semua interval terbuka, semua interval tertutup, semua interval dalam bentuk ditutup (atau dari bentuk atau), atau semua himpunan terbuka, atau semua himpunan tertutup, maka yang dihasilkan oleh mereka adalah sama dengan .

Teorema 2.12adalah penyelesaian dari .

Teorema 2.13Jika maka untuk terdapat sebuah himpunan tertutup. sedemikian hingga . Karenanya terdapat dalam bentuk, dimana semuaadalah himpunan tertutup, dan .

2.6 PeluangProposition 2.6 adalah ruang terukur yang lengkap.

2.6.1 Ruang PeluangDefinisi 2.6Sebuah ruang peluang adalah tiga dimanaadalah sebarang himpunan, adalah dari himpunan bagian dari , dan adalah ukuran dari sehingga

Disebut ukuran peluang atau peluang.2.6.2 Events: conditioning and independence2.6.3 Definisi 2.7Diberikan sebuah ruang peluang bahwa element dari merupakan event (kejadian).

Definisi 2.8Misalkan. Kemudian

Disebut peluangbersyarat .

Proposition 2.8Pemetaan adalah penjumlahan yang dapat dihitung pada

Definisi 2.9Kejadian dan adalah independent jika

Definisi 2.10Kejadian adalah independen jika untuk setiap pilihan kejadian, peluang dari irisannya adalah produk probabilitas.

Definisi 2.11 didefinisikan pada ruang peluangadalah independen jika, untuk semua pilihan yang indeknya berbeda dari dan semua pilihan dari himpunan kita punya

BAB 3. FUNGSI TERUKUR

3.1. Perluasan garis bilangan RealPanjang bilangan Real tak terbatas keatas disebut infinite. Untuk menangani fungsi antara beberapa himpunan secara komprehensif, maka diperbolehkan pada sebuah fungsi untuk mengambil nilai tak terbatas, misal , , .Aritmatika pada himpunan ini seperti pada pengamatan di bagian 2.2 (Bab 2 tentang Ukuran), kami mengasumsikan bahwa untuk semua bilangan real , untuk , untuk , dan , dengan definisi yang mirip untuk . Semua ini jelas intuitif (kecuali ) dan (seperti untuk ukuran) kami pernah menghindari pembentukan jumlah pada bentuk . Dengan asumsi-asumsi ini, aritmatika bekerja seperti sebelumnya.

3.2. DefinisiDefinisi 3.1.Misalkan bahwa adalah himpunan terukur. Kami mengatakan bahwa sebuah fungsi (lebesgue) measurable jika untuk beberapa interval

Bentuk diatas mengikuti bentuk measurable (tanpa kualifikasi) akan mirip dengan fungsi Lebesgue-measurable.Catatan : Jika semua himpunan dapat dikatakan sebagai Himpunan Borel, kami sebut sebagai f Borel-measurable, atau hanya sebuah fungsi Borel.

Teorema 3.1Kondisi-kondisi berikut adalah ekuivalen :a. terukurb. Untuk semua , terukurc. Untuk semua , terukurd. Untuk semua , terukure. Untuk semua , terukurBukti :Tentunya (a) menyiratkan beberapa kondisi0kons=disi yang lainnya. Kami tunjukkan bahwa (b) menyiratkan (a). Bukti-bukti untuk implikasi yang lain mrip, dan kami tinggalkan sebagai latihan.Kami tunjukkan bahwa beberapa interval . Melalui (b), kita mempunyai kasus tertentu . Misalkan . Kemudian (1)Selama antara dan berada di (kami menggunakan sifat tertutup seperti yang sudah dibentuk sebelumnya). Kemudian

Melalui (1), dan sama juga untuk gabungan yang dapat dihitung. Dari perhitungan ini, kami dapat dengan mudah menyimpulkan bahwa

Sekarang diberikan , dan

Adalah seperti irisan dua elemen . Dengan alasan yang sama berisi

Dan interval setengah terbuka ditangani dengan cara yang mirip. (Terbukti)

3.3. SifatTeorema 3.2Himpunan bilangan real yang bernilai sebagai fungsi terukur didefinisikan oleh adalah ruang vektor dan tertutup dibawah operasi perkalian atau jika dan fungsi terukur maka , dan juga terukur (secara khusus, jika fungsi konstan, terukur untuk semua bilangan real c).

Lemma 3.1Misalkan adalah fungsi kontinu. Jika dan terukur, maka juga terukur.

Proposisi 3.1Diberikan adalah himpunan bagian terukur dari .(i) terukur jika dan hanya jika antara dan terukur.(ii) Jika f terukur, maka juga terukut, tapi kebalikannya salah.

Teorema 3.3Jika adalah barisan fungsi terukur yang didefinisikan pada himpunan di , maka berikut ini juga merupakan fungsi terukur : , , , , , Akibat 3.1. Jika barisan fungsi terukur konvergen, maka lilmitnya merupakan fungsi terukur.Bukti :

Teorema 3.4.Jika terukur, , adalah sebarang himpunan, dan himpunan adalah himpunan kosong, maka terukur.

Akibat 3.2Jika adalah barisan dari fungsi terukur dan hamper diamanapun untuk di , maka terukur.

Definisi 3.2Misalkan terukur, essential supremum ess dari sup didefinisikan sebagai dan essential supremum ess inf adalah .3.5. Peluang3.5.1 Variabel AcakPada kasus tertentu dari ruang peluang, kami menggunakan variable acak untuk mendefinisikan fungsi terukur. Jika adalah sebuah ruang peluang, maka adalah variable acak jika untuk semua himpunan di :

Pada kasus dimana adalah himpunan terukur dan dimana himpunan bagian dari , variabel acak fungsi Borel.3.5.2 Sigma Field dihasilkan oleh variabel acakKeluarga himpunan-himpunan

adalah. Jika X adalah variable acak, tetapi mungkin ada beberapa himpunan bagian yang lebih kecil bergantung terhadap derajat kecanggihan X . kami menunjukkan dengan dan itu disebut dihasilkan oleh X.

3.5.2 sigma fields dihasilkan oleh variabel acak

3.5.3 Distribusi PeluangUntuk beberapa variabel acak X kami perkenalkan sebuah ukuran pada dari himpunan-himpunan Borel B dengan menetapkan

Kami sebut adalah Distribusi Peluang dari variabel acak X.

Teorema 3.5Himpunan fungsi adalah penambahan yang terhitung.

3.5.4 Variabel Acak BebasDefinisi 3.3X,Y adalah bebas jika dihasilkan secara bebas.Dengan kata lain, untuk beberapa himpunan Borel B,C di ,