Année 2012/2013

TS Dérivées & primitives Formulaire

Dérivées

1) Dérivées des fonctions usuelles

Ensemble de définition Fonction f : fx = Dérivée f′: f

′x = Ensemble de dérivabilité

ℝ k k réel 0 ℝ

ℝ ax + b a ℝ

ℝ xn (avec n ∈ ℕ\ 0 ; 1 ) nxn−1 ℝ

ℝ∗ 1x − 1

x2ℝ∗

ℝ∗ 1xn

(avec n ∈ ℕ∗) − nxn+1

ℝ∗

0 ; + ∞ x 12 x

0 ; + ∞

ℝ ex ex ℝ

0 ; + ∞ lnx 1x 0 ; + ∞

ℝ sinx cosx ℝ

ℝ cosx − sinx ℝ

2) Dérivées et opérations

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

Fonction f Dérivée f′

Conditions

ku (k réel) ku ′

u + v u ′ + v ′

uv u ′v + uv ′

1v − v

′

v2v ne s’annule pas sur I

uv

u ′v − uv ′

v2v ne s’annule pas sur I

3) Dérivées et composées

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I

Fonction f Dérivée f′

Conditions

un n ∈ ℕ\ 0 ; 1 nu ′un−1

1un

n ∈ ℕ∗ − nu′

un+1u ne s’annule pas sur I

u u ′

2 uu strictement positive sur I

eu u ′eu

lnu u ′u u strictement positive sur I

sinu u ′ cosu

cosu −u ′ sinu

1

Primitives

1) Primitives des fonctions usuelles

Fonction f : fx = Primitive F : Fx sur l’intervalle I =

k (constante) kx ℝ

xn n ∈ ℕ∗ xn+1

n + 1ℝ

1xn

n ∈ ℕ\ 0 ; 1 − 1n − 1xn−1

−∞; 0 ou 0;+∞

1x

2 x 0;+∞

ex ex −∞; 0 ou 0;+∞1x ln|x| ℝ

cosx sinx ℝ

sinx −cosx ℝ

2) Primitives et opérations

Si F et G sont des primitives de f et g sur un intervalle I alors F + G est une primitive de f + g sur I.

Si F est une primitive de f sur un intervalle I et λ est un réel alors λF est une primitive de λf sur I.

ATTENTION !

Il n’existe pas de formule générale pour le produit et le quotient

3) Primitives et composées

Soit u est une fonction dérivable sur un intervalle I.

Fonction f Primitive F Conditions

u ′un n ∈ ℕ∗ un+1

n + 1

u ′

unn ∈ ℕ\ 0 ; 1 − 1

n − 1un−1u ne s’annule pas sur I

u ′

u2 u u strictement positive sur I

u ′eu eu

u ′u ln|u| u ne s’annule pas sur I

u ′ cosu sinu

u ′ sinu −cosu

2