Trung tâm GD&ĐT Youth ĐT: 01683347333 · 2014. 12. 30. · Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 01683347333] Tổng hợp kỹ thuật giải hệ phƣơng trình | Tài liệu demo được

Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 01683347333]

Tổng hợp kỹ thuật giải hệ phƣơng trình | Tài liệu demo được sưu tập từ các sách báo và internet 1

TỔNG HỢP CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH

I. PHƢƠNG PHÁP THẾ

1. Phƣơng pháp thế chầy cối:

1.1. Nguyên tắc: thực hiện việc rút x hoặc y hoặc 1 biểu thức chung từ 1 trong 2 phương trình sau đó mang

thế vào phương trình còn lại. Với phương pháp này sau khi thế thường sẽ thu được phương trình bậc cao

theo 1 ẩn x hoặc y.

Với phương pháp này các bạn sẽ nghĩ đến nó cuối cùng trong trình tự tư duy. Ngoài ra, phương pháp rất

chầy cối, nên các bạn cần phải có 1 tinh thần thép, 1 cái đầu lạnh mới có thể làm được.

Trong các bài toán dạng này thường sử dụng them lược đồ hoocne để giải các phương trình bậc cao.

1.2. Bài tập: Giải các hệ phƣơng trình sau

1.

2 2x y 2(x y) 8

xy x y 5

2.

2 2

2

x 2xy 2y 3x 0

xy y 3y 1 0

3.

2

4 2 2 2

x 2xy y x 0

x 4x y 3x y 0

4.

2 2

2

x y xy x 5y 0

2xy y 5y 1 0

5. 2

x(2x 3y)(x 1) 14

x x 3y 9

6.

2 2x y x y 8

xy x y 5

7.

2 2x y x y 2

xy x y 1

8.

2 2x 3x(y 1) y y(x 3) 4

x xy 2y 1

9. 2 2

xy x 1 3y

x y x 2y

10.

2 2x xy y 13

x y 2

11. 2 2

x y xy 11

x y 3(x y) 28

12. 2 2

xy x y 3

x y x y xy 6

13. 2

xy 3y 1 0

4x 10y xy 0

14. 2 2

2x 3y 5

3x y 2y 4

15.

2 2x xy y 4

x xy y 2

16. 2 2

2x y 1 0

x 2y 3x 2y 2 0

17.

3 2

2

x (6 y)x 2xy 0

x x y 3

18.

2 2

2

2 3 4 9

7 6 2 9

x y xy x y

y x x

19.

2 2

22

( 1) 6( 1) 4 20

2 1 2

x x y y

x y

20.2 2

2 3 2

2 3 12 18 16

xy x y

x y xy x y

21.2 2

3 1

3 3 9 4

xy x y

x y xy x y

22.2 2

2 4 3 2

4 3 12 9 8

xy x y

x y xy x y



23.2 2

2 3 2 0

2 3 12 18 16

xy x y

x y xy x y

24.2 2

2 3 4 6

4 4 12 3

xy x y

x y x y

25.

2

2 2

6x 3xy x y 1

x y 1

26.

2 2

2

x y 2x 2y 3

y 2xy 2x 4

27.

3 2

2

3x (5 y)x 2xy 2x 0

x x y 4

28.

4 3 2 2

2

x 2x y x y 2x 9

x 2xy 6x 6

29. 2 2 2

xy x 1 7y

x y xy 1 13y

30.

2 2

2

x 2xy 2y 3x 0

xy y 3y 1 0

31.

2

4 2 2 2

x xy 3x y 0

x 3x y 5x y 0

32.

2

4 2 2 2

x 2xy x y 0

x 4x y 3x y 0

33.

3 2 2 2

2 2

3x (6 y )x 2xy 0

x x y 3

34.

2

2

x 2xy 2y 15 0

2x 2xy y 5 0

35. 2 2

xy 3x 2y 16

x y 2x 4y 33

36.

2 2

2 2

x y xy 1 4y

y(x y) 2x 7y 2

37.2

2

x(x y 1) 3 0

5(x y) 1 0

x

38.

2 2x y 2(x y) 7

y(x 2y) 2x 10

39. 2 2

x y xy 3

x y xy 2

40.

2

2 2

x 4 (xy 2y 4)(4x 2)

x x 2 y(2x 1)

41.

2 2

2

2x y 3xy 4x 9y

7y 6 2x 9x

42.

2

4 2 2 2 2

x x y 5xy

x 4xy 4y 12x y

43. 3 2 3 2

xy x y 2

x 4x x 18 2y 5y y

44. 2 2 2

xy 2x 3y 2

x y 2xy 4 3y

45.

3

2

x 2xy 5y 7

3x 2x y 3

46.

3 2

4 6 2

2x y(x 1) 4x

5x 4x y

47.

2

2

(x 2x)(3x y) 18

x 5x y 9 0

48.

2 2

2

x 3xy y 11

y 2xy 5

49.

2(2x y)(x y) x(2x 1) 7 2y

x(4x 1) 7 3y

50.

3 2 2

2 2

x 7y (x y) x y 7x 4

3x y 8y 4 8x



51.

2

4 2 2 2 2 2

x (y 1) 6y 2

x y 2x y y(x 1) 12y 1

52.

2

2 2

y xy 1 0

x y 2x 2y 1 0

53. 2 2 2

xy x 7y 1

x y 10y 1

54.

2x xy 2x 2y 16

(x y)(4 xy) 32

55.

2 2

2 2

(x 1) 6(x 1)y 4y 20

x (2y 1) 2

56.

2 2

2

x (y 1)(x y 1) 3x 4x 1

xy x 1 x

57.

2 2 216x y 17y 1

4xy 2x 7y 1

58.

2

4 2 2

x 3xy 3(x y) 0

x 9y(x y) 5x 0

59.

2 2x y 1 2x 2y

(2x y)y 1 2y

60. 2 2

10x xy y 2

30x xy 2xy x y 1

61.

2

4 2 2 2

x 4xy x 2y 0

x 8x y 3x 4y 0

62.

2 2 2

3 2 2

(xy 1)x (x 1) x y 5x

4x y 7x 2x y 1 2x 1

63.

2

2

x y(x y) 1 0

(x 1)(x y 2) y 0

64. 2 2

2x 5y xy 2

x 4y 21 y 10x

65.

2

4 2 2 2 2 2

x (y 1) 6y 2

x y 2x y y(x 1) 12y 1

66.

3x y 16

3x y 8

67.

2

4 2 2 2

x 2xy x y 0

x 4x y 3x y 0

68.

2

4 2 2 2

y 4xy y 2x 0

y 8xy 4x 3y 0

69.

2

2 2

12x x 2

yy y x 2y 2

70.

3 2

2

3x (9 y)x 3xy 1

x 9x 2y 3

71. 2 2

10x xy y 2

30x xy 2xy x y 1

72.

3 3 3

2 2

27x y 7y 8

9x y y 6x

73.

2 2 2

2 2

4x y 6xy 3y 9

6x y y 9x 0

74.

3 3(xy 1) 2y (9 5xy)

xy(5y 1) 1 3y

75.

2 2 2 2

2

(x 5) x 2y x 3 2y( x 2y)

x 3y 6

76.

5x y 1

23

y 2(x 3) x 14

77.2 2

x x y 1 1

y x 2y x y x 0



78.2x y 1 x y 1

3x 2y 4

79.

2

2 2

x xy x 3 0

(x 1) 3(y 1) 2(xy x y 2y) 0

80.

2 2

2 2

x 3y x 3y 0

2y 1 2x y 3x 1 0

81.2 2

x( y 1 1) 7 y 1 1

x y x y 1 13y x 12

82.

2 2

2 2

x y xy 3

x 1 y 1 4

83.

2

2 2

xy 3 y

xy xy y 5 2y 3 y

84.

4 3 2x x y(2x x y) 2

x 1 y

85.

3 x y x y

x y x y 2

86.

3

3

x y x y

x y x y 2

87.

2

2

6x 3xy x y 1

3x y 3x y 2

88.

2 2x 2y xy x 2y

(y 1) 3(x y) (x 3) x y 2

89.

2

3 3 2

x 2y 3 2y 3 0

2(2y x ) 3y(x 1) 6x(x 1) 2 0

90.

22x 1 y 4y x

y x 1 y x

91.

2

23

(x y)(x y y ) x(y 1)

(y 2)x 4x 1

3

92.

2

3

x 12 y y(12 x ) 12

x 8x 1 2 y 2

2. Phƣơng pháp thế tạo phƣơng trình đẳng cấp

2.1. Nguyên tắc: Thế tạo phương trình đẳng cấp là phương pháp thế 1 số hoặc 1 biểu thức nào đó để tạo

nên 1 phương trình đẳng cấp ( cùng bậc) từ đó qui về việc giải phương trình 1 ẩn.

Với phương pháp này, các bạn cần linh hoạt trong việc nhìn bậc của phương trình. Từ đó có thể đưa ra

phương án thế hợp lý nhất.

2.2. Bài tập:

1.

3 3

2 2

x 8x y 2y

x 3 3(y 1)

2.

3 2

2 2

x 3xy 49

x 8xy y 8y 17

3.

2 2

3 2

x 8y 12

x 2xy 12y 0

4.

3 3

2 2

x 4y y 16x

1 y 5(1 x )

5.

3 2

2 2

20y 3y 3xy x y 0

x y 3y 1

6.

3 3

2 2

x y 4x 2y

x 3y 4



7.

3 3 3 2

2 2 2 2

16x y 9y (2xy y)(4xy 3)

4x y 2xy y 3

8.

3 3

2 2

2x 9y (x y)(2xy 3)

x xy y 3

9.

3 3x y 7

xy(x y) 2

10.

2 2

3 3

x y xy 1

x y x 3y

11.

3 3 2

4 4

x y xy 1

4x y 4x y

12.

3 3

2 2

x 8x y 2y

x 3 3y 3

13.

2 2

2 2

(x y)(x y ) 13

(x y)(x y ) 25

14.

2 2

2 2

2y(x y ) 3x

x(x y ) 10y

15.

2 2

2 2

2y(x y ) 3x

x(x y ) 10y

16.

2 2

3 3

2 1

2 2

y x

x y y x

17.3 3

2 1 0

8( ) 9( ) 0

xy

x y x y

18.

3 2

2 2

3 (3 )

3( 1)

x x y x xy

y xy x

19.

3 3

2 2

8 2

3 3( 1)

x x y y

x y

20.

3 3

5 5 2 2

1x y

x y x y

21.

3 3

2 2

2 9 ( )(2 3)

3

x y x y xy

x xy y

22.

3 3 7

( ) 2

x y

xy x y

23.

3 3

2 2 3

1

2 2

x y

x y xy y

24.

3 3 2

4 4

8 4 1

2 8 2 0

x y xy

x y x y

25.8 2

3 6

x x y y x y

x y

26.

3 3 2

4 4

1

4 4

x y xy

x y x y

27.

2 2

3 3

2 15

4 35

x y xy

x y

II. Phƣơng pháp cộng

Nguyên tắc: Thực hiên việc nhân chia các phương trình với các hệ số thích hợp, sau đó mang các

phương trình đó cộng trừ lại với nhau. Ta sẽ thu được một hệ mới đơn giản hơn. Với các hệ phƣơng

trình dạng này cần chú ý tỉ lệ hệ số của các biến trong các phƣơng trình.

1.

2 2

2 2

x y 3x 4y 1

3x 2y 9x 8y 3

2.

2

2 2

y (4x 4)(4 x)

y 5x 4xy 16x 8y 16 0

3. 2 2

xy 3x 2y 16

x y 2x 4y 33

4.

2 2

2

x xy y 3

x 2xy 7x 5y 9 0

5.

2 2(2x 1) y y 2x 3

xy x 1

6.

2 2

2 2

x 2y 2y 2xy 1

3x 2xy y 2x y 5



7.

2 2

2 2

(x 1) 6(x 1)y 4y 20

x (2y 1) 2

8.

2 2

2 2

2x 4xy 2y 3x 3y 2 0

x y 4xy 2y 0

9.

2

2

2x 3xy 3y 13

3y 2xy 2x 11

10.

2

2

4x 3y(x 1) 7

3y 4x(y 1) 3

11.

2

2

x 2 x(y 1)

y 7 y(x 1)

12.

2 2

2

x 2xy 2y 3x 0

xy y 3y 1 0

13.

2 2

2

1x y

557

4x 3x y(3x 1)25

14.

2 2

2 2

2x 3xy y 9x 6y 6

x xy 2y 3x 12y 10 0

15.

2

2

xy y x 7y

xx 12

y

16.

2 2

2 2

x 2xy 3y 2x 10y 0

2x 2xy y 2y 0

17.

2 2

2 2

x y xy 2y x 2

2x y 2y 2 0

18.

2 2x y x y 4

x(x y 1) y(y 1) 2

19.

2 2

2 2

2x 3y y x 3

2y 8 x x 7y

20.

2 2

2 2

x 2y 2y 2xy 1

3x 2xy y 2x y 5

21.2 2

2 2

x x y 1 x y x y 1 y 18

x x y 1 x y x y 1 y 2

22.

2 2

2

x y xy 3

x 2xy 7x 5y 9

23.

2 2

2 2

2x x(y 1) y 3y

x xy 3y x 2y

24.

2 2

2 2 2

x xy y 3(x y)

x xy y 7(x y)

25.

4 2

2 2

x 2x y 3

x y y 3

26.

4 2 2

2 2

x 4x y 6y 9 0

x y x 2y 22 0

27.

2 2 2

2 2

x xy y 19(x y)

x xy y 7(x y)

28.

2

2

2x 2xy y 5

y xy 5x 7

29.

4 2 2

2 2

x 4x y 4y 2

x y 2x 6y 23

30.

2 2

2 2

3x 2xy 2y 3x 2y 0

5x 2xy 5y 3x 3y 2

31.

4 2 2

2 2

x y 8x 6y 1

x y 2x y 38

32.

4 2

2 2

x 2x y 3

x y y 3

33.

3

3

x 2x y

y 2y x



34.

2

2

2

2

x 23x

yy 2

3yx

35.

2

2

x 3y 2 0

y 3x 2 0

36.

2

2

x xy x 2y

y xy y 2x

37.2

2

32x y

x3

2y xy

38.

2 2

2 2

x y 4 y

xy 4 x

39.

2

2

12x y

y1

2y xx

40.

3 2

3 2

x x x 1 2y

y y y 1 2x

41.

3

3

x 2x y

y 2y x

42.2x 3 4 y 4

2y 3 4 x 4

43.x 1 y 7 4

y 1 x 7 4

44.x 1 y 2 3

y 1 x 2 3

45.x 3 2 y 3

y 3 2 x 3

46.

3 2

3 2

2x 3x y 5

y 6xy 7

47.

3 3

2 2

x y 9

x 2y x 4y 0

48.

3 3

2 2

x y 35

2x 3y 4x 9y

49.

3 3

2 2

x y 91

4x 3y 16x 9y

50.

3 3

2 2

x y 9

x 2y x 4y 0

51.

3 3 3

2 2

8x y 27 18y

4x y 6x y

52.

2(x 1) (x 1) y 1 y 6

x (2 x) y 1 4

53.x 1(1 2y) y 2 0

y(y x 1) x 4 0

54.4x y 3 1 y 0

4 (1 x)(1 y) 6 1 x 1 0

55.

2 2

2 2

x 2 y 3 x y 5

x 2 y 3 x y 2

III. Phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Nguyên tắc: Thường sử dụng một số chú ý sau:

Dựa vào tỷ lệ hệ số trong 1 phương trình

Xem bậc của biến trong 1 phương trình



Có thể dùng phương pháp delta để giải các bài toán nếu bậc cao nhất của x,y là bậc 2.

Trong các bài dạng này, cần linh hoạt trong việc biến đổi.

1.

2

3 2 2

x 5x y 9

3x x y 2xy 6x 18

2.

2 2

2 2

2x xy y 5x y 2 0

x y x y 4 0

3.

2 2

2 2

x xy y 7

x xy 2y x 2y

4. 3 2 2 2

xy x 2 0

2x x y x y 2xy y 0

5. 2 2

2xy 3x 4y 6

x 4y 4x 12y 3

6. 2 2

xy 6 3x 2y

x 2x 4y 4y 3

7.

2 2

2 2

2x 4xy 2y 3x 3y 2 0

x y 4xy 2y 0

8.

2

2

4x 3y(x 1) 7

3y 4x(y 1) 3

9.

2 2

2 2

x 4y 8x 4y 15 0

x 2y 2xy 5

10.

2 2

2 2

2x xy y 5x y 2 0

x y x y 4 0

11.

2 2

2 2

2y xy x 0

x xy y 3x 7y 3 0

12.

2 2

2 2

2x xy y 0

3x 2xy y 3x y 1 0

13.

2

2 2

2x 2xy x y 0

x 5xy 3y x 1 0

14.

2 2

2 2

2x 7xy 3y 11x 18y 15 0

x 5xy 2y 3x 2 0

15.

2 2

3 3 2 2

x 2y xy x y 0

x y 2x y y 1

16.

2 2

2 2

2x xy y 5x y 2

x y x y 4

17.

2

2

y xy 6x 3

y 2xy 2x 1

18.

3 2 2

3 2

2x 2x y xy y x y

2x xy x 4

19.

2 2 3

2 2 2

5x y 4xy 3y 2(x y) 0

xy(x y ) 2 (x y)

20.

2

2 2

y (5x 4)(4 x)

y 5x 4xy 16x 8y 16 0

21.

2

2

xy y x 3y 0

x xy 2y 0

22.

2 2 3

3 2

2x 8xy xy 4y 0

16x 2x 8y 5 0

23.

2

2 2

x 5x xy 3y 6

4x y 3xy 2y 9

24.

3 2

2 2

x 3x x 3y xy 3

2y 3xy 9x 3x y

25.

2

2 2

xy y 2x 4 0

x 5y 3x 2y 22 0

26.3

1 1x yx y

2y x 1



27. 3 2 2

8y x 3 4xy

x x (y 2) xy y 2y

28.

2 2 2 2(3x y) 3(9x y ) 10(3x y) 0

13x y 6

3x y

29.

3 3

2 2 3

x y 1

x y 2xy y 2

30.

2 2

2 2

y(1 x ) x(1 y )

x 3y 1

31.

2

2 2

x xy 2 3x y

x x 2

32.

4 3 2 2

3 2

x x y x y 1

x y x xy 1

33.2 2

2(x y) xy

x y 3

34.2 2

2 2x y 3 2x y

x 2xy y 2

35.

2 2xy x y x 2y

x 2y y x 1 2x 2y

36.2 2x 5y 3 6 y 7x 4 0

y(y x 2) 3x 3

37.

2 2

2 2

2x y 3xy 3x 2y 1 0

4x y x 4 2x y x 4y

38.

4 2 2 2

2

y 2xy 7y x 7x 8

3y 13 15 2x x 1

39.

2

3

y (y 3)x 4y 3

x 2 2 y 3

40.x 2y xy 0

x 1 2y 1 1

41.

3 2 2 3x 6x y 9xy 4y 0

x y x y 2

42.

x 3 2 (3y x)(y 1)

x 53y 2 xy 2y 2

2

43.

x2 6y x 2y

y

x x 2y x 3y 2

44.

2 2x y x y 1 x y

x y 1

45.

2 2x y 5

y 1(x y 1) (y 2) x y

46.

2 2 2y (x 2)y 2x 0

x 4 x 4 2 y 16 2x 12

47.

3 2 2

2 33

x 2y x y 2xy

2 x 2y 1 y 14 x 2

48.

2 2

2

2xyx y 1

x y

x y x y

49.2

(1 y) x y x 2 (x y 1) y

2y 3x 6y 1 2 x 2y 4x 5y 3

50.

3 2 2 3 2x 3x y 4x 4y 16xy 16y 0

x 2y x y 2 3

51.

2 2 2 2

2

(x y)(x xy y 3) 3(x y ) 2

4 x 2 16 3y x 8



52.2

1 y 2 x2

x yx2y 2y 1 3xy

53.2

x2 6y x 2y

yx(1 8y) x 2y

54.2

12y3 x 2 4y x

xy 3 y x x 3

55. 2

2

2x(y 1) 2y(y 1) 3

4 yx y x

2 x y

56.

2 2

4 2 2

(4y 1) x 1 2y 2x 1

x x y y 1

57.2 2

x 2y 1 2x 4(y 1)

x 4y 2xy 7

58.2 2x 5y 3 6 y 7x 4 0

y(y x 2) 3x 3

59.

2 2

2 2

2 2

(x 2) 4(y 1) 4xy 13

x xy 2y 1x y

x y x y

60.

2 2

y 2x y x1 0

xy

1 xy x y 0

61.

2x 2xy x 0

x 2 y y y 2x x

62.

2 2

4 2 2

(x 2) y 1 (y 2) x 1 0

x y 3x y 5y 8 0

63.

3 2 2

2

x 2x x y x y 2 0

x 2x y 5 7

64.2 2

x 2y 1 2x 4(y 1)

x 4y 2xy 7

65.

2

3 2 2

x 2y 2 y 2x

x 2x (x 3x y)y

66.

2 2

2

4x 4xy y 2x y 2 0

8 1 2x y 9 0

67.2 2

x 1 y 1 1

2x 3xy y y 2x

68.

2 4

2 2

(x y)(x 4y y) 3y 0

x 2y 1 y y 1 0

69.

3 2

2

y 5y 2xy(y 1) 4x 10x

x 6 2x 5 18 y

70.x(3x 7y 1) 2y(y 1)

x 2y 4x y 5

71.

2 2x 5y 3 6 y 7x 4 0

y(y x 2) 3x 3

72.

2 2 2 2

2

2x 6y 12y 4 (5x 2) x (y 1)

(y 2y) x 1 xy x 0

73.

2 2 2 2(2x y) 5(4x y ) 6(2x y) 0

12x y 3

2x y

74.

2 2xy 4y 8 x(x 2)

x y 3 3 2y 1

75.2 2

x y 2

4x y 5(2x y) xy

76.

2 2

2 2

8x 18y 36xy 5(2x 3y) 6xy 0

2x 3y 30



77.

3 3x 12y xy(16y 7x) 0

x 2y x 2y 2

78.2 2 2 2

1 xy 1 x y 2

x y xy x y x y

79.

4y 19 20(x y)

x x 2y 2

80.

2 2 2 3

22 2

4x ( x 1 1)(x y 3y 2)

1 xx (y 1) 2(1 )

y

81.

4 2 2

2

x y x y x

x 2y 4 2x 4 2x 4

82.

2

23

(x y)(x y y ) x(y 1)

(y 2)x 4x 1

3

83.

3 2

2

2x x 2x y y

x 12x 12 y 3 3y 2 x 1

84.

2

2

y xy 2y 3x 3 0

2x 3 (y 2015)(5 y) y

85.

2 3

23

x 8y 2xy(1 2y)

(2y 1)x 4x 1

3

86.

2 2xy 4y 8 x(x 2)

x y 3 3 2y 1

87.

2 3 4 6

2

2x y y 2x x

(x 2) y 1 (x 1)

88.2 2

5y 6 x y 4 3x 3y 7 2x 2

8x 2xy y 6x 1 0

89.

3 2

4 2

x 4 x y

3x y x y(x 3)

90.

2x 2y3

y xx y xy 3

IV. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ

Nguyên tắc: Quan sát điều đặc biệt được lặp đi lặp lại giữa các phương trình. Từ đó đưa ra phương án đặt

hợp lý. Một số biểu thức thường đặt tác giả sẽ cập nhật trong thời gian gấn nhất

1. 2 2

xy x y 3

x y x y xy 6

2.

xx y 5

yx

(x y) 6y

3.

2 2x y 2

(x y)(1 xy) 32

4.

2 3

2

x x( ) ( ) 12y y(xy) xy 6

5.3

3

82 3x

y6

x 2y

6.2

2

x(x y 1) 3 0

5(x y) 1 0

x

7.

4 3 2 2

3 2

x x y x y 1

x y x xy 1

8.

2 3 2

4 2

5x y x y xy xy

45

x y xy(1 2x)4



9.2 2

2 2

1 1x y 5

x y1 1

x y 9x y

10.

2

2 2 2

2(x y) x y 13 0

x 2xy y 2(x y) x y 46 0

11. 2 2

(x 1)(y 1)(x y 2) 6

x y 2x 2y 3 0

12.

3 3 2 2x y 3x 3y 3(x y) 5

(x 1)(y 1)(x y 2) 2

13.2 2

2 2

3 2y1

xx y 12x

x y 4y

14.

2 2

4 2 2

x y 2x 3y 15 0

x y 2x 4y 5 0

15.2 2

2 2

3 2y1

xx y 14x

x y 22y

16.

x y xy 3

4 4 1 x 1

5y 9 x 6 1 (x 1)(y 2) 2

17.

4 3 2 2

3 2

x x y x y 1

x y x xy 1

18.

1x x y 3 3y1

2x y 8y

19.

12(x 1) y 1

y 11

2(y 1) x 1x 1

20.

2 2

2 2

(x y)(x y ) 3

(x y)(x y ) 15

21.

2 2x y 41

x y 2 x y 1

22.

x 1 4 4x 2 x 1 0

y 1 y 1 y 1y 1

(y 1)(x 1) x 1 2 y 1 22

23.

2 23 3

3 3

2(x y) 3( x y xy )

x y 6

24.

2 2 2

2 2

x xy y 19(x y)

x xy y 7(x y)

25.2x y 1 x y 1

3x 2y 4

26.3

(3 x) 2 x 2y 2y 1 0

2 2 x (2y 1) 1

27.

2 2

3 3

x y 2x

(x 1) y 1

28.2

2x 1 y(1 2 2x 1) 8

y y 2x 1 2x 13

29.

3x y 2

27

y 2(x 2) x 24

30.

2 3 2

4 2

x x y xy xy y 1

x y xy(2x 1) 1

31.

2 4 2 4 2

2

2 x y 2xy y 1 2(3 2 x)y

x y x 3

32. 3 2 3

xy x y 1

4x 12x 9x y 6y 7



33.

2 2 2 2(2x y) 5(4x y ) 6(2x y) 0

12x y 3

2x y

34.

2 2

2 2

x x 1 y y 1

x y xy 1

35.

2 2

4 2 2

x y x 2y 22 0

x 4x y 6y 9 0

36.

2 2(2x 1) 4(y 1) 22

xy(x 1)(y 2) 1

37.

2 2

2 2

x y y x 2

x y x y 2

38.2

x y 1 6

x 2x y 2(x 1) y 1 29

39.2 22 x 3y y 8x 1 0

x(x 8) y(y 3) 13 0

40.

2 2

2

3 854(x xy y )

3(x y)1 13

2xx y 3

41.

2 2

2

58(x y ) 4xy 13

(x y)1

2x 1x y

42.

2 2

2

912xy 12(x y ) 85

(x y)6x(x y) 3 13(x y)

43.

2 2 4 4 2 2

2 2 2 2 2

2 2

x y 3(x y ) 2x y

y x (x y )xy 3y 4x 8

44.

2 2

2

1 9x y 6xy 0

8(x y)1 5

2y 0x y 4

45.

2 2

2

13(x y ) 2xy 20

(x y)1

2x 5x y

46.

2 2 2(4x 4xy 4y 51)(x y) 3 0

(2x 7)(x y) 1 0

47.

2 2

2

34xy 4(x y ) 7

(x y)1

2x 3x y

48.2 2

2 2

3 2x1

yx y 14x

x y 22y

49.

3 2 2 3

2 2

x y(1 y) x y (2 y) xy 30 0

x y x(1 y y ) y 11 0

50.

2

23

2 3

1 1x x (1 ) 4

y yx x 1

4 xyy y

51.

2 2

2 2

x y x y 12

y x y 12

52.

4 2 2

2 2 3 2 2

x 2x y 2y 1 0

x y y x y y 1 0

53.

x yx y x y 3

x y

x yx y x y 4

x y

54.

2 2 2

3 3 3

1(x y )(1 ) 8

xy1

(x y )(1 ) 16xy

55.

2 2 2 2 2 2

2 2

x y 4x y 3xy x y 12xy 3x 4y 1

3x 2y 9x 8y 3



56.2

3x 2y 2x2

2x 3x 2y4y 1 3y(x 1)

57.3 3y 1 x

2 1x y 1

x y 1 x y 10 5

58.x 3y 5x y 2

15 5x y 22x 4y 15

59.

2 2

2 2

y(x 2x 2) x(y 6)

(y 1)(x 2x 7) (x 1)(y 1)

60.

2

2

2 2 2 2

x y(y 1) 2

x 1 y 1

(x 4y) x 1 6 5 x 1(1 (x 1)(y 1) )

61.

3 3 2 22(x y ) 3(x y )5(x y) 8 xy

xy xy5x y

5x 1 2 y2

62.

2 2 2 23 3

2 2 2 2 2 233

y 8x 3 (1 3. y 1). y 1

4 3. (y 1) 2. y 1 12x y 1 4x

63.

x 1 4 4x 2. x 1 0

y 1 y 1 y 1y 1

(y 1)(x 1). x 1 2. y 1 22

64.2 2

2 2

x 5y4

x y x yx 5y

5x y 5xy

65.

2

2

3(y y)(1 x 2) x 2 x 2 1

2y 2y x 2 2

66.(x 3y 1). x y 2x. 2y 1 8

x 5 2 x y 9y

67.

4 3 2 2

22

2

x 2x 5x y 6x 16 0

3 y 7 9x x

y 7

68.2

(2 x y) xy 4y y x x

8y(x 1 x (1 y) ) 1 12x 7( x 1 y 2)

69.

4 3 2 2

2 2

(x 2x x )(1 y 2y) 16y

2x y 2xy y 10y 1 0

70.

2

2 2

x 2x 6 y 1

x xy y 7

71.

2 2

2 2 2

y xy 6x

1 x y 5x

72.

2

2

x 1 y(y x) 4y

(x 1)(y x 2) y

73.

3 3 3

2 2

1 x y 19x

y xy 6x

74.

3

2 3

4x x 2 0

y1 y y (4x 2) 0

75. 2 2

xy x 1 3y

x y x 2y

76.

3 3 3

2 2

8x y 27 18y

4x y 6x y

77.

3 3 3

2

x y 8 16y

x(xy 2) 8y

78. 2 2 2

xy x 1 7y

x y xy 1 13y

79.

2 2

2

x y xy 4y 1

yx y 2

x 1



80.

3 3 3

2 2

y x (9 x )

x y y 6x

81.

2 2

2 2

x y xy 1 4y

y(x y) 2x 7y 2

82.

2 2 4 2

2

x y y 1 3y

xy x 2y

83.

2 2

2 2

x y 1 xy

x y( ) ( ) 1y 1 x 1

84.

2

4 2 2 2

x xy 3x y 0

x 3x y 5x y 0

85.

4 4 2 2

2 2 2

x y 1 25y 2x

x y 1 y(18 x )

86.

3 3 3

2 2

27x y 9y 125

45x y 6y 75x 0

87.

2 2 2(x y) 1 x y

x(xy y 1) y(xy 1) 1

88.

2 2

2 2 2

x (1 y ) 2

1 x y xy 3x

89.

2 2

2 2

(x 1)(y 1) 8xy 0

x y 1

4x 1 y 1

90.

2 2

2 2

(x 1) (y 1) 27xy

(x 1)(y 1) 10xy

91.

2 2

2 2 2 2

x y 6 y x 3 7xy

x x 3 y y 6 x y 2

92.

2 3 2

3

x y 2y

x y 2y

93.

1 xy xy x

1 1y y 3 y

x x x

94.12x 3y 4 xy 16

4x 5 y 5 6

95.11x y y x 1

7 y x 6y 26x 3

96.2 2x 3y 5 x y 7

3 5 x y 2x y 3 1

97.7x y 2x y 5

2x y x y 2

98.2x 2y 4

2x 5 2y 2 6

99.2 2 2 2

x y x y 2

x y x y 4

100.

2x 6y y 3

x y x y 4

101.8y x x 2

3y x x y 2

102.

22y x 2(x 1) 2

12(y x) 1

x 1

103.

2 2

2 2

x y xy 3

x 1 y 1 4

104.

2 2 2 2

2 2 2 2

(x y )(x y ) 144

x y x y y

105.x 2y 2 4x y 1

2(x 3) 46 2y(3 8x 8y)

106.7x y 2x y 4

2 2x y 5x 8 2



107.

2

2 2

(4x 1)x (y 3) 5 2y 0

4x y 2 3 4x 7 108.

2 2 2

3 3 2 3 2 3 2

x y xy 3y 1

x y x y 2xy 2xy 5y 1

V. Phƣơng pháp hàm số.

Nguyên tắc: sử dụng tính đơn điệu của hàm số để khảo sát các phương trình. Trong loại này cần chú ý việc

tạo được 1 hàm đặc trưng.

1.

3 3

2 2

x x y y

x y 2

2.

5 5

2 2

x x y y

x y 2

3.

3 3 2

5 3

x x 2 y 3y 4y

x y 1 0

4.3

(3 x) 2 x 2y 2y 1 0

x 2 2 y 2 5

5.

3

2 3 2

(8x 3) 2x 1 y 4y 0

4x 8x 2y y 2y 3 0

6.

3 3

6 6

x 3x y 3y

x y 1

7.

5 5

2 2

x 5x y 5y

x y 1

8.

3 3

2 2

x 3x y 3y

x y 1

9.

3 2

2 2

x 3x y(y 3)

y(y 1) x y x 2 5 0

10.

3 3x 3x (y 1) 9(y 1)

1 x 1 y 1

11.

3 3 2

2 2 2

x y 2 3x 3y

x 1 x 3 2y y 2 0

12. 3 3

1 1x yx y

(x 4y)(2x y 4) 36

13.3

1 1x yx y

2y x 1

14.

3

2

2y y 2x 1 x 3 1 x

2y 1 y 4 x 4

15.

3x 2y 1 0

(3 x) 2 x 2y 2y 1 0

16.

3

2

2y y 2x 1 x 3 1 x

2y 1 y 2 x

17.

3 2 3 2

2 2

x 3x 9x 22 y 3y 9y

1x y x y

2

18.

4 4

2 2

x 1 x 1 y 2 y

x 2x(y 1) y 6y 1 0

19.

2 2 2

2 2 2 2

x y 2x 2y 5y 2 0

y 1 x y 2xy x x 2xy y 1 y

20.

3 3 2

2 2 2

x y 3(x y ) 2

x 1 x 3 2y y 2 0

21.

2 3

2 3 2

4x 8x 4 12y 5 4y 13y 18x 9

4x 8x 4 2x 1 2y 7y 2y 0

22.

3 3 2 2

2

8(x 1) 8y 12y 2y 3 12x 10x 3

y2y 4(x 2) 6x 3 0

2



23.

3 3 2

2 2 2

x 12x y 6y 16 0

4x 2 4 x 5 4y y 6 0

24.

1 yxx y 1

1 1 x 1 y

1 x 4 y 2 2

25.2 2

22

2

1 1x yx 1 y 1

4 3x 2x 29x

yy

26.2

(53 5x) 10 x (5y 48) 9 y 0

2x y 6 x 2x y 11 2x 66

27.2

(23 3x) 7 x (3y 20) 6 y 0

2x y 2 3x 2y 8 3x 14x 8 0

28.

2 2

2

(x 2) x 4x 7 y y 3 x y 2 0

x y 1 x y 1

29.

2 3 4 6

2

2x y y 2x x

(x 2) y 1 (x 1)

30.

2 2

2

( x 1 x)( y 4 y) 2

3x y x 1

4

31.

2 2

2

(x x 1)(y y 4) 1

y 35y 0

12x 1

32.

2 2

6 3

(x x 4)(y y 1) 2

7x x 8y 2

33.

2 2(x 1 x )(y 1 y ) 1

x 6x 2xy 1 4xy 6x 1

34.

2 2

3

(3x 9x 1)(y y 1) 1

8x 2y 5x y 2

35.

2

2 2

(4x 1)x (y 3) 5 2y 0

4x y 2 3 4x 7

36. 2

(x 3)(x 4) y(y 7)

y x 1

x 1 2 y

37.

6 3 2 2x y x 9y 30 28y

2x 3 x y

38.

3 2 3 2x 3x 9x 22 y 3y 9y

y x 3 2

39.

2 2

3 3 3

(x 1)(y 1) 1 (x x 1)(y y 1)

x 3x (x y 4) x y 1 0



BÀI TẬP TỔNG HỢP HỆ PHƢƠNG TRÌNH

Phần bài tập tổng hợp này đƣợc trộn đều theo nhiều phƣơng pháp. Các bạn nên quan sát kỹ các

phƣơng trình, chọn phƣơng pháp hợp lý để xử lý các bài toàn. Chúc các bạn thành công.

1.2 2 3 5 7

3 5 2 3 1

x y x y

x y x y

2.2 7 4

7 2 2 5 3

x y x y

x y x y

3.6 2 2 4 3

4 3 2 4 1

x y x y

x y x y

4.2 6 3 5 2 2 7

3 5 2 2 2 3 3

x y x y

x y x y

5.6 3 2 3 15

2 3 3 2 3

x y x y

x y x y

6.4 1 4 7

2 4 6 1 3

x y x y

x y x y

7.7 2 5

2 2

x y x y

x y x y

8.4 2 4

2 2

x y x y

x y x y

9.6 2 2

2 2 6 0

x y x y

x y x y

10.3 5 4 5

12 5 4 2 35

x y x y

x y x y

11.7 2 4

2 2 5 8 2

x y x y

x y x

12.2 2

5 2 1

2 2 3 2 3 1

x y y x

y x xy x y x

13.2 5 2 5 6

2 2 4

x y

x y

14.1 3 4

4 2

x y

x y

15.3 16 3 16 10

3 3 6

x y

x y

16.

2 2

2 2

2 3 3 2 1 0

4 4 2 4

x y xy x y

x y x x y x y

17.

2 2

2

816

xyx y

x y

x y x y

18.3 3

1 1

( 4 )(2 4) 36

x yx y

x y x y

19.2

( )( 2)

( 1)( ) 4

xy x y xy x y y

x y xy x x

20.

2 2

3

816

3

xyx y

x y

x x y x

21.

2 2 2

2 2 3

( ) 2 ( )

5 4 3 2( ) 0

xy x y x y

x y xy y x y

22.

2 2

2 2 2

2 1

12 1

x y

xy x y xy

x y x xx y

23.

2

2 2

2 3 2 3 4 2

3 32 5 0

x x y xy y

x y

24.

2 22 2 2

1 2

x xy y y x

y x y x

25.

2 2

2

5 3 2 22 0

2 4 0

x y x y

xy y x



26.

2 22

2 1 2 2

xy x y x y

x y y x x y

27.

4 3 2 2

3 2

1

1

x x y x y

x y x xy

28.2

2 4 1 2

12 19

x y

x x y

29.

3 3

2

( ) 7

( ) 9

x y x

x x y

30.

2 2

2 2

( 1) 2 2 ( 1) 2 2

( 3) 7 2 3 4 5

x x x y y y

x y x y

31.

5 4 3 5 3

2 3

10 42 12 56 2

23 29 26

x x x x y y

x x y

32.

3 2 2

2 2 2

(4 1) 2( 1) 6

(2 2 4 1) 1

x y x x

x y y x x

33.

1

3 2 2 3

( 1)

6 6 6

x ye e e y x

x y xy x y xy

34.3 1 4(2 1) 1 3

( )(2 ) 4 6 3

x x y y

x y x y x y

35.

3 3 2

2

3 3 6 4

2 2 6 3 2 3 12 6 13

x x y y y

y x x y x x

36.

4 2 2 2

2

y 2xy 7y x 7x 8 1

3y 13 15 2x x 1 2

37.

x 3 2 3y x y 1 1

x 53y 2 xy 2y 2 2

2

38.

2 2x y x y 1 x y

x y 1

39.

2 2 3

3 2

2x 8xy xy 4y 0

16x 2x 8y 5 0

40.

2 2

2 2

2x xy y 5x y 2

x y x y 4

41.

3 2

2 2

x 3x x 3y xy 3

2y 3xy 9x 3x y

42.

2

2 2

x 5x xy 3y 6

4x y 3xy 2y 9

43.

2

3

y y 3 x 4y 3

x 2 2 y 3

44.2

y12 3 x 2 4y xxy 3 y x x 3

45.

2 23y 1 2y x 1 4y x 2y 1

y y x 3 3y

46.

2 2x y 5

y 1 x y 1 y 2 x y

47.

3 2 2

2 33

x 2y x y 2xy

2 x 2y 1 y 14 x 2

48. 2

2

2x y 1 2y y 1 3

4 yx y x

2 x y

49.

4 2 2 2

2

y 2xy 7y x 7x 8

3y 13 15 2x x 1

50.x 2y xy 0

x 1 2y 1 1

51.

3 2 2 3 2x 3x y 4x 4y 16xy 16y 0

x 2y x y 2 3

52.

2 2 2 2

2

x y x xy y 3 3 x y 2

4 x 2 16 3y x 8



53.2 2

x y 2

4x y 5 2x y xy

54.

3

2 3

4x x 2 0

y1 y y 4x 2 0

55.3

3 x 2 x 2y 2y 1 0

2 2 x 2y 1 1

56.

2 2x y 41

x y 2 x y 1

57.

2 2

2

x y xy 4y 1

yx y 2

x 1

58.

4 3 2 2

2 2

x 2x x 1 y 2y 16y

2x y 2xy y 10y 1 0

59.

3 3 2 2x y 3x 3y 3 x y 5

x 1 y 1 x y 2 2

60.

2 2

2

3 854 x xy y

3x y

1 132x

x y 3

61.2

2x 1 y 1 2 2x 1 8

y y 2x 1 2x 13

62.

3x y 2

27

y 2 x 2 x 24

63. 3 2 3

xy x y 1

4x 12x 9x y 6y 7

64.

2 2 2x y 1 x y

x xy y 1 y xy 1 1

65.

3 3 3 3

3

3x y 2x y

x y 2xy

66.

2 22x 1 4 y 1 22

xy x 1 y 2 1

67.

3

4 2 2

2 x y 4xy 3 0

x y 2y x 1 2x 4xy 3y

68.

2

4 2 2 2

y 4xy y 2x 0

y 8xy 4x 3y 0

69.x 1 y y 1 x 2xy

x y 1 y x 1 xy

70.

2 2 2

2 2

x y 2x y 0

7x 14x 3y 10 0

71.

3 2 2

2

y 3y y 4x 22x 21 2x 1 2x 1

2x 11x 9 2y

72.

3

2

2y y 2x 1 x 3 1 x, x;y

2y 1 y 4 x 4

73.

2 2 2

3 2 4 2 3 2

4 1 2x y 1 3x 2 1 2x y 1 x, x;y

2x y x x x 2x y 4y 1

74.

2 y 1

2 x 1

x x 2x 2 3 1

y y 2y 2 3 1

75.

2 2x 1 x y 1 y 1

x 6x 2xy 1 4xy 6x 1

76.

11 10 22 12

4 4 2 23

x xy y y

7y 13x 8 2y x 3x 3y 1

77.

2 2 2 2 3

2

x 1 4x y x 4y 1 1 8x y

x y x 2 0



78.

3 2 3 2

2

x 3x 2 y 3y

3 x 2 y 8y

79.

3

2 3 2

8x 3 2x 1 y 4y 0

4x 8x 2y y 2y 3 0

80.

3 2 3

3

2x 4x 4x 1 2x 2 y 3 2y

x 2 14 x 3 2y 1

81.

3

2

x 3y 55 64

xy y 3y 3 12 51x

82.

3 3 2

2 2 2

x y 2 3x 3y

x 1 x 3 2y y 2 0

83.

33

3

yx y x

x

x y x x

84.

4 4 2 2

2 2

6 41

10

x y x y

xy x y

85.

2

4 2 2 2 2 2

1 6 2

2 1 12 1

x y y

x y x y y x y

86.

2 2

2 2

2 5 2 1 0

4 12 12 10 0

x xy y x y

x y xy x y

87.

2 2

2 2

48

24

y x y

x y x y

88.2

22

2 2 0

yx y

x

xy y x

89.

22 3

2

4 1 4 8 1

40 14 1

y x x x

x x y x

90.

2 3 4 6

22 1 1

x y y x x

x y x

91.

2 2

5 5

3 3

3

31

7

x y xy

x y

x y

92.

32 2 1 2 1 2 3 2

4 2 2 4 6

x x y y

x y

93.

3 2

3 2

2 2 1 1

4 1 ln 2 0

x x y x y

y x y x

94. 3

2 3 2

8 3 2 1 4 0

4 8 2 2 3 0

x x y y

x x y y y

95.

3

2

8 2 8

1 1

x y xy x y xy

x yx y

96.

2 2 2

2 2 2 2

2 2 5 2 0

1 2 2 1

x y x y y

y x y xy x x xy y y

97.

2

2 2 6 6

2 2 1. 4 5

x x y

x y y x x

98.

3 3 2

2 2 2

12 6 16 0

4 2 4 5 4 6 0

x x y y

x x y y

99.

3 33 ( 1) 9( 1)

1 1 1

x x y y

x y

100. 3 2 2

2

3 4 22 21 2 1 2 1

2 11 9 2

y y y x x x x

x x y

101.2 22x 3x 4 2y 3y 4 18

2 2x y xy 7x 6y 14 0

( )( )



To be continued…..

Lời tạm kết: Cuốn tài liệu được viết lại, sưu tập lại từ các tài liệu trước đây có sẵn trên internet, các sách

của các tác giả trước. Mục đích trong lần biên soạn lại này, tác giả muốn tổng hợp lại các kỹ thuật, các bài

tập phần hệ phương trình được viết theo đúng tư duy của học sinh. Hi vọng nó là 1 cuốn tài liệu hữu ích với

tất cả các bạn đang ôn thi cho kỳ thi THPT quốc gia, các giáo viên để soạn bài.

Tác giả sẽ nhanh chóng cập nhật phần đáp án, các phân tích, tƣ duy tới bạn đọc để cuốn tài liệu đƣợc

hoàn chỉnh trong thời gian sớm nhất.

Cuốn sách được viết lại trong thời gian ngắn, chưa được kiểm tra chính xác về chất lượng, nên hi vọng các

bạn thong cảm và góp ý tới tác giả.

Hà Nội 20-11-2014

Biên soạn và sưu tập

Trang Euro

Documents

Trung tâm GD&ĐT Youth ĐT: 01683347333 · 2014. 12. 30. · Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 01683347333] Tổng hợp kỹ thuật giải hệ phƣơng trình | Tài liệu demo được