TRISECCIÓN DE UN ÁNGULO

Enunciado:

La trisección de un ángulo agudo se obtiene a partir de la trisección de un ángulo recto en él inscripto.

Procedimiento

1) Inscripción de un ángulo recto en un ángulo agudo.

1.1) Sea un ángulo agudo con vértice O y medida indeterminada. Con centro en O y cualquier radio, se traza un arco

a que determina los puntos A y B tales que OA = OB.

1.2) Se traza la cuerda AB y se determina su punto medio, C.

1.3) Se traza el segmento OC, semibisectriz interior del ángulo AÔB y, por definición, perpendicular a AB.

1.4) Con centro en C y radio CA = CB, se determina sobre OC el punto U, tal que CU = CA = CB.

1.5) Se trazan los segmentos UA y UB, iguales por definición. Puesto que los triángulos ACU y BCU son

rectángulos, isósceles e iguales, el ángulo AÛB, inscripto en AÔB, es recto.

2) Trisección del ángulo recto 2.1) Con centro en U y radio UA = UB se traza el arco b.

2.2) Con centro en A y radio AU se traza un arco que corta a b en E, tal que AE = AU = UE. El triángulo implícito

AUE es, por lo tanto, equilátero. Puesto que AÛB = 90º y AÛE = 60º, EÛA = 30º.

2.3) Con centro en B y radio BU se traza un arco que corta a b en F, tal que BF = BU = UF. El triángulo implícito

BFU es, por lo tanto, equilátero. Puesto que AÛB = 90º y BÛF = 60º, FÛB = 30º.

2.4) En consecuencia, EÛF = 30º, con lo que se ha obtenido la trisección de AÛB.

3) Trisección del ángulo AÔB 3.1) Se trazan los segmentos EO y FO que determinan la trisección de AÔB.

4) Demostración 4.1) Los segmentos EO y FO determinan sobre el arco a, respectivamente, los puntos H y G.

4.2) Por definición, OA = OG = OH = OB.

4.3) Con centro en G y radio GA, se traza una circunferencia y se comprueba que pasa por H, de modo que GA =

GH.

4.4) Con centro en H y radio HB, se traza una circunferencia y se comprueba que pasa por G, de modo que HB =

HG = GA. 3.5) Puesto que sus lados correspondientes son iguales, los triángulos implícitos AOG, GOH y HOB son iguales. En

consecuencia, los ángulos AÔG, GÔH y HÔB son iguales, con lo que se ha obtenido la trisección de AÔB.

5) Corolario 5.1) La trisección de un ángulo obtuso se obtiene a partir de la trisección de los ángulos agudos determinados por su

bisectriz.