Triángulos y mucho mas - fisme.science.uu.nl and... · Erin Hazlett Bryna Rappaport Els Feijs Sonia Palha Teri Hedges Kathleen A. Steele Dédé de Haan Nya Querelle Karen Hoiberg

Triángulosy mucho másGeometríay medidas

Lasmatemáticas

encontexto

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Las matemáticas en contexto es un currículo exhaustivo para los grados intermedios.Se desarrolló entre 1991 y 1997 en colaboración con el Wisconsin Center forEducation Research (Centro de Investigación Educativa de Wisconsin), Facultad deEducación, de la Universidad de Wisconsin-Madison, y el Freudenthal Institute(Instituto Freudenthal), de la Universidad de Utrecht, Países Bajos, con el apoyo delsubsidio n.º 9054928 de la National Science Foundation (Fundación Nacional paralas Ciencias).

La revisión curricular se realizó entre los años 2003 y 2005, con el apoyo del subsidion.º ESI 0137414 de la National Science Foundation.

National Science FoundationLas opiniones expresadas pertenecen a los autoresy no reflejan necesariamente las de la Fundación.

Roodhart, A., de Jong, J. A., Abels, M., de Lange, J., Brinker, L. J., Middleton, J. A.,Simon, A. N. y Pligge, M. A. Triángulos y mucho más. Wisconsin Center forEducation Research & Freudenthal Institute (Eds.), Las matemáticas en contexto.Chicago: Encyclopædia Britannica, Inc.

Copyright © 2006 Encyclopædia Britannica, Inc.

Reservados todos los derechos.Impreso en los Estados Unidos de América.

Este trabajo está protegido por las actuales leyes estadounidenses de propiedadintelectual, que rigen también su uso público, su presentación y otros usosaplicables. Queda prohibido cualquier uso no autorizado por la ley de propiedadintelectual de los Estados Unidos sin nuestro expreso consentimiento escrito, queincluye, aunque no exclusivamente, su copia, adaptación y transmisión televisiva o por otros medios o procesos. Para obtener mayor información con respecto a unalicencia, escriba a Encyclopædia Britannica, Inc., 331 N. LaSalle St., Chicago, IL60610.

ISBN 0-03-093052-9

1 2 3 4 5 6 073 09 08 07 06

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Equipo de desarrollo de Las matemáticas en contextoDesarrollo 1991–1997

Anton Roodhart y Jan Auke de Jong desarrollaron la primera versión de Triángulos y mucho más.La adaptación para su uso en las escuelas estadounidenses es de Laura J. Brinker, James A. Middletony Aaron N. Simon.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg Joan Daniels Pedro Jan de LangeDirector Asistente del Director Director

Gail Burrill Margaret R. Meyer Els Feijs Martin van ReeuwijkCoordinadora Coordinadora Coordinadora Coordinador

Personal del proyecto

Jonathan Brendefur Sherian Foster Mieke Abels Jansie NiehausLaura Brinker James A, Middleton Nina Boswinkel Nya QuerelleJames Browne Jasmina Milinkovic Frans van Galen Anton RoodhardtJack Burrill Margaret A. Pligge Koeno Gravemeijer Leen StreeflyRose Byrd Mary C. Shafer Marja van den Heuvel-PanhuizenPeter Christiansen Julia A. Shew Jan Auke de Jong Adri TreffersBarbara Clarke Aaron N. Simon Vincent Jonker Monica WijersDoug Clarke Marvin Smith Ronald Keijzer Astrid de WildBeth R. Cole Stephanie Z. Smith Martin KindtFae Dremock Mary S. SpenceMary Ann Fix

Revisión 2003–2005

Mieke Abels y Jan de Lange desarollaron la versión revisada de Triángulos y mucho más. La adaptaciónpara su uso en las escuelas estadounidenses es de Margaret A. Pligge.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg David C. Webb Jan de Lange Truus DekkerDirector Coordinador Director Coordinadora

Gail Burrill Margaret A. Pligge Mieke Abels Monica WijersCoordinadora editorial Coordinadora editorial Coordinadora Coordinadora

del contenido del contenido

Personal del proyecto

Sarah Ailts Margaret R. Meyer Arthur Bakker Nathalie KuijpersBeth R. Cole Anne Park Peter Boon Huub Nilwik Erin Hazlett Bryna Rappaport Els Feijs Sonia PalhaTeri Hedges Kathleen A. Steele Dédé de Haan Nya QuerelleKaren Hoiberg Ana C. Stephens Martin Kindt Martin van ReeuwijkCarrie Johnson Cyace UlmerJean Krusi Jill VettrusElaine McGrath

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(c) 2006 Encyclopædia Britannica, Inc. Las matemáticas en contexto y ellogotipo de Las matemáticas en contexto son marcas registradas deEncyclopædia Britannica, Inc.

Créditos de las fotografías de la portada: (todos) © Getty Images; (medio)© Kaz Chiba/PhotoDisc

Ilustraciones5 Christine McCabe/© Encyclopædia Britannica, Inc.; 8 © EncyclopædiaBritannica, Inc.; 10 Christine McCabe/© Encyclopædia Britannica, Inc.; 29Holly Cooper-Olds; 45, 48 (arriba), 49 Christine McCabe/© EncyclopædiaBritannica, Inc.; 55 Holly Cooper-Olds

Fotografías1 (arriba a la izquierda y abajo) © Corbis; (arriba a la derecha) © Arthur S.Aubry/PhotoDisc/ Getty Images; 2 Iain Davidson Photographic/Alamy; 3, 4© Corbis; 5 propiedad intelectual de Amish Country Quilts “Amish CountryQuilts, Lancaster, PA—www.amish-country-quilts.com;” 11 VictoriaSmith/HRW; 47 Courtesy of Michigan State University Museum; 49 VictoriaSmith/HRW; 51 © PhotoDisc/ Getty Images

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Contenido

Contenido V

1

cm1

23

45

67

cm1

2

3

4

5

6

7

8

9

2 12 01 91 81 71 61 51 41 31 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0

Carta al alumno VI

Sección A Triángulos y rectas paralelasTriángulos por todas partes 1Hallar triángulos 2Lado a lado 3Resumen 6Verifica tu trabajo 6

Sección B Los ladosHacer triángulos 8Clasificar triángulos 9Miremos los lados 10El parque 11Resumen 14Verifica tu trabajo 15

Sección C Ángulos y triángulosRectas paralelas y ángulos 16Comenzar con un semicírculo 16Triángulos y ángulos 19Resumen 22Verifica tu trabajo 23

Sección D Lados y ángulosCuadrados y triángulos 24Hacer triángulos de cuadrados 25Hacer un póster 27El teorema de Pitágoras 29Resumen 32Verifica tu trabajo 33

Sección E Triángulos congruentesSellos y plantillas 35Diseño de plantillas 36Transformaciones 37Plantillas con transformaciones 38Simetría axial 39Resumen 40Verifica tu trabajo 41

Sección F Triángulos y mucho másTrazar líneas paralelas 42Paralelogramos 45Combinaciones de

transformaciones 48Construcción de polígonos 49Resumen 52Verifica tu trabajo 53

Práctica adicional 54

Respuestas para verificar tu trabajo 60

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VI Triángulos y mucho más

Querido alumno:

Bienvenido a Triángulos y mucho más.

Pitágoras, un famoso matemático,científico y filósofo, vivió en Greciahace unos 2,500 años. Pitágorasdescribió una manera de trazarángulos rectos. En esta unidad,aprenderás acerca del teorema dePitágoras y cómo lo puedes usarpara hallar la longitud de los ladosde los triángulos rectángulos.

En esta unidad, hay muchasinvestigaciones de triángulos ycuadriláteros y de sus propiedadesgeométricas especiales.

Estudiarás las propiedades de las rectas paralelas y aprenderás lasdiferencias entre paralelogramos, rectángulos, rombos y cuadrados.

A medida que estudies esta unidad, busca a tu alrededor paradescubrir cómo las figuras geométricas y las propiedades que estásestudiando, aparecen en los objetos cotidianos. ¿Cambia la formade una imagen cuando cambias su posición de vertical a horizontalen la pared? ¿Cómo se trazan las rectas paralelas? Esta unidad teayudará a entender las propiedades de las formas de los objetos.

Atentamente.

El equipo de desarrollo de Las matemáticas en contexto

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Mira alrededor de tu clase y halla varios triángulos.

1. Confecciona una lista de todos los triángulos que puedas hallar en estas imágenes.

Sección A: Triángulos y rectas paralelas 1

ATriángulos y rectas paralelas

Triángulos por todas partes

a c

b d

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Halla algunos otros ejemplos de objetos triangulares en las imágenes derevistas y periódicos. Pega las imágenes en tu cuaderno o haz un póstero un collage. Guarda tus ejemplos. Necesitarás usar estos ejemplos deobjetos triangulares a lo largo de esta unidad.

2 Triángulos y mucho más

Actividad

Hallar triángulos

Esta es una fotografía del puentesobre el Río Grande cerca de SantaFé, Nuevo México. La construccióncon vigas de hierro forma muchostriángulos. Según las diferentesperspectivas con que se miren, lostriángulos cambian su apariencia.

Este es un dibujo de una sección del puente.

2. a. Dibuja una vista lateral de esta sección.

b. ¿Cuántos triángulos puedes hallar en tuvista lateral?

3. ¿Cuántos triángulos forman las vigas dehierro en esta sección del puente? Si lodeseas, haz un modelo tridimensional paraayudarte a contestar la pregunta.


Algunas casas como esta tienen techos inclinados. Los techos inclinadosforman triángulos interesantes.

4. a. Cuenta el número de triángulos que puedes hallar en el dibujo de la casa.

b. ¿Crees que hay algún triángulo en la casa que no puedes ver en el dibujo? Explícalo.

A veces, debido a la perspectiva de un dibujo, no puedes ver las formasreales de los triángulos y de otros objetos.

5. a. Haz un esquema de la vista frontal de la casa. Presta atención a la forma triangular del tejado, el techo inclinado sobre la puerta principal.

b. ¿Por qué la forma del triángulo del frente del tejado es distinta de la forma del triángulo de tu dibujo?

6. ¿Qué hay de especial en las rectas de esta fotografía?



Lado a lado


Esta es una vista aérea de otro campo. Las rectas en el campo son paralelas. La palabra paralela deriva de una palabra griega que significa uno al lado del otro, y por más que se prolonguen no se juntan.

7. a. En la Hoja de actividad del

estudiante 1, elige dos rectas paralelas del diagrama y trázalas con un lápiz o marcador de color.

b. Mide cuánto se separan las dos rectas en varios puntos.¿Qué observas?

c. Mide los ángulos entre las dos rectas y la carretera.¿Qué puedes conjeturar?

8. Dibuja dos rectas que no sean paralelas. Describe dos maneras dereconocer rectas que no son paralelas.


Triángulos y rectas paralelasA

Este es el Acuario Nacionalde Baltimore en Maryland.El edificio tiene un techo conuna estructura poco común.Hay varias familias de rectasparalelas dentro de cadacara triangular. Una familia

de rectas paralelas es unconjunto de rectas que sonparalelas entre sí.

9. a. En la Hoja de actividad del estudiante 1, elije una cara triangular.¿Cuántas familias de rectas paralelas puedes hallar en esa cara?

b. Resalta cada familia de rectas paralelas con un color diferente.

Las rectas paralelas no se intersecan (cruzan): siempre están separadas por lamisma distancia. Las rectas paralelas forman ángulos iguales con rectas quelas intersecan.

Estas son tres rectas paralelas y una recta que las interseca. Algunos ángulos que son iguales están marcados con el mismo símbolo.

10. a. Copia este dibujo en tu cuaderno y marcatodos los ángulos iguales con el mismo símbolo.

b. Reflexiona Mide los ángulos para verificar tu trabajo. Describe lasrelaciones entre los ángulos.

x x


Esta es una parte de una colcha de retazos.

11. a. ¿Cuántas familias de rectas paralelas puedes reconocer?

b. Copia el patrón en un papel cuadriculado y usa marcadores de color para indicar las familias de rectas paralelas. Usa un color diferente para cada familia.

Esta es una parte de la cara del techo del Acuario Nacional. Lasintersecciones de las dos familias de rectas paralelas se pueden usar para crear una tercera familia. El lado inclinado del techo es un integrante de esta familia.

12. a. Usa la Hoja de actividad del estudiante 1 para dibujar todas lasrectas de la tercera familia.

b. ¿Esta tercera familia es realmente una familia de rectas paralelas? Sí o no, ¿por qué?

c. El resultado de tu dibujo es una cuadrícula triangular. Colorea lostriángulos de la cuadrícula para formar un patrón. Elige cualquierpatrón que desees.

13. Este es un arreglo hecho con 12 palillos. Vuelve a acomodar cuatro palillos para crear exactamente seis triángulos.

14. Reflexiona Compara las cuadrículas triangulares de los problemas 11, 12 y 13.

a. ¿Qué arreglos te gustan más? ¿Por qué?

b. ¿Cuáles son las semejanzas y las diferencias entre los triángulos de estos arreglos?





Triángulos y rectas paralelas

Los triángulos aparecen en muchos lugares. Algunos triángulos son parte dela estructura de un edificio; otros son parte de un patrón en una obra de arte.

Las rectas paralelas no se intersecan.

Las rectas paralelas siempre están a la misma distancia.

Las rectas paralelas forman varios ángulos iguales con rectas que las intersecan.

Las familias de rectas paralelas crean patrones interesantes.

Aquí aparece el logotipo de una empresa.

1. ¿Cuántas familias de rectas paralelas puedes hallar en este logotipo?

A

x x

Este es un logotipo de otra empresa.

2. ¿Cuántos triángulospuedes hallar en este logotipo?

COMCO



Esta imagen muestra dos rectas paralelas cruzadas por una tercera. Hay un punto en uno de los ángulos formados por las rectas paralelas.

3. a. Copia la imagen en tu cuaderno. Usa un punto para designar todos los ángulos que miden igual que el ángulo señalado.

b. Describe las relaciones entre los ángulos que no tienen puntos.

¿Puedes hacer un triángulo que tenga dos lados que sean paralelos? Usa un dibujo para explicar tu respuesta.



Para esta actividad, necesitarás cuatro espaguetis secos y crudos.

• Rompe con cuidado uno de los espaguetis con las longitudes que se muestran para el conjunto A.

• Rompe los otros de manera que las longitudes coincidan con las de los conjuntos B, C y D.

Nota: los espaguetis no están a escala.

1. a. Trata de hacer un triángulo con las tres longitudes de cada conjunto. Copia y completa la tabla para resumir tu trabajo.

BLos lados

Actividad

Hacer triángulos

Conjunto A

3 cm

4 cm

5 cm

Conjunto B

3 cm

3 cm

7 cm

Conjunto C

3 cm

5 cm

7 cm

Conjunto D

3 cm

4 cm

7 cm

Lados Esquema de lo ¿Puedes hacer un

(en cm) que sucedió triángulo? Explícalo.

Conjunto A 3, 4, 5

Conjunto B 3, 3, 7

Conjunto C 3, 5, 7

Conjunto D 3, 4, 7


Sección B: Los lados 9

b. Reflexiona Para crear un triángulo, hay un requisito para longitudes de los tres lados. Describe este requisito con tus propias palabras.

c. Describe los ángulos de cada triángulo que pudiste hacer.

Los triángulos se clasifican en tres categorías de acuerdo con las longitudesde sus lados. Observa que los lados con la misma longitud están marcadoscon el mismo número de barras.

• Los triángulos con tres lados iguales se llamantriángulos equiláteros.

• Los triángulos con por lo menos dos lados igualesse llaman triángulos isósceles.

• Los triángulos con tres lados de longitudesdiferentes se llaman triángulos escalenos.

Actividad

Clasificar triángulos

Usa todos los pedazos de espaguetis de la actividad anterior para hacervarios triángulos equiláteros, isósceles y escalenos. Haz un esquema decada triángulo en tu cuaderno. Mide y registra las longitudes de los lados de cada triángulo. Clasifica los triángulos de acuerdo con las longitudes de los lados.


2. Clasifica los seis triángulos que hiciste con los palillos para el problema 13 de la página 5.

3. Sin usar una regla, crea un triángulo isósceles doblando una franja depapel o una pajilla para sorber líquidos. ¿Cómo puedes asegurarte deque tu triángulo es un triángulo isósceles? Haz un esquema de él.

4. En la Sección A, reuniste imágenes de triángulos. ¿Cuáles de tusejemplos son triángulos isósceles? ¿Cuáles son equiláteros?¿Cuáles son escalenos?

5. Crea todos los triángulos posibles con exactamente 12 palillos. Registra los resultados de la actividad en una tabla como esta.


Miremos los lados

Los ladosB

Número de Número de Número depalillos para palillos para palillos para Tipo de triángulo el lado 1 el lado 2 el lado 3

Actividad



El parqueAnita (A), Beth (B) y Chen (C) juegan con un disco volador en el parque. Para compensar sus edades diferentes, acuerdan ubicarse en las siguientes posiciones. Las flechas muestran la dirección de los lanzamientos del disco volador.

6. a. ¿Quién lanza el disco volador a quién?

b. ¿Qué jugador lo lanza más lejos?

c. Traza un dibujo a escala que muestre la posición relativa de A, B y C.No olvides incluir la escala en tu dibujo.

Probablemente observaste que es difícil dibujar las distancias entre la gentede manera precisa.

La recta en la Hoja de actividad del estudiante 2 es un dibujo a escala de lasposiciones de Beth y de Anita en el parque.

7. a. ¿Cuál es la escala en la Hoja de actividad del estudiante 2 para ladistancia de 12 m que hay entre Beth y Anita.

b. En la Hoja de actividad del estudiante 2, halla una ubicación paraChen que esté a exactamente 8 metros (m) de Beth. Explica cómodeterminaste la ubicación de Chen.

BLos lados

CA

B

6 m

8 m12 m


c. Halla la distancia desde Chen hasta Anita usando la ubicación que determinaste para Chen.

d. Determina y rotula otra ubicación para Chen que esté a 8 m de Beth.Halla la distancia desde Chen hasta Anita usando esta nuevaubicación para Chen.

e. Intenta con varias ubicaciones más para Chen, que estén a 8 m deBeth. Describe y explica cualquier patrón que surja de hallar másubicaciones para Chen.

Un compás es una herramienta útil para la actividad anterior. Un compásfacilita el dibujo de todas las ubicaciones posibles que están a 8 m dedistancia de Beth.

8. a. Usa un compás y la Hoja de actividad del estudiante 2 para hallartodas las ubicaciones posibles que estén a 8 m de Beth.

b. Ahora, usa un compás para dibujar todas las ubicaciones posiblesque estén a 6 m de Anita en la Hoja de actividad del estudiante 2.

c. Halla un punto que esté a 8 m de Beth y a 6 m de Anita.

d. Si Anita, Beth y Chen juegan en una zona que no está obstruida porárboles en uno de sus lados, ¿cuántas son las ubicaciones posiblespara Chen?

Beth debe irse a su casa. Anita y Chen buscan un nuevo jugador. Ellos sedan cuenta de que un nuevo jugador probablemente solicite un nuevoarreglo para los lanzamientos. Chen se sentía satisfecho con su juego y le pidió a Anita que mantuviera la misma distancia entre ellos.

9. a. Faji generalmente lanza el disco volador a una distancia de 20 m.¿Deberían Anita y Chen invitar a Faji a jugar con ellos? Explícalo.

b. ¿A qué rango de distancias tendría que lanzar el tercer jugador parapoder jugar con Anita y Chen?


Los ladosB



BLos lados

Largo (en cm)

Lado AB Lado BC Lado AC

Conjunto 1 16 14 8

Conjunto 2 24 10 12

Conjunto 3 20 15 16

Conjunto 4 13 7 21

Supón que los lados de un triángulo tienen las longitudes AB = 7 centímetros (cm), AC = 5 cm y BC = 6 cm.

10. a. Dibuja el lado AB en un trozo de papel blanco.

b. Desde B, usa un compás para hallar todas las ubicaciones posibles de C.

c. Desde A, usa un compás para hallar todas las ubicaciones posibles de C.

d. Reflexiona Después de la actividad con los espaguetis, establecisteun requisito para hacer triángulos. Describe cómo se podría usar uncompás para mostrar este requisito.

Esta tabla ofrece una lista de conjuntos de longitudes que pueden formartriángulos o pueden no formarlos.

11. Sin dibujarlos, di qué conjuntos forman triángulos. Traza uno de estostriángulos en un papel.



Los ladosB

Un triángulo equilátero Un triángulo isósceles Un triángulo escaleno

tiene tres lados de tiene por lo menos dos tiene tres lados deigual longitud. lados de igual longitud. longitudes diferentes.

A B

CPara cualquier triángulo, la suma de las longitudes de dos de sus lados es mayor que la longitud del lado restante.

AB + BC > AC

AB + AC > BC

AC + BC > AB

Si tienes longitudes de tres lados y estas cumplen las condicionesmencionadas, puedes usar un compás y una regla no graduada para trazar el triángulo.

Hay tres maneras de clasificar un triángulo de acuerdo con la longitud de sus lados.



1. Traza un triángulo isósceles y un triángulo equilátero usandosolamente un compás y una regla no graduada.

2. Charlene tiene dos pedazos de espaguetis crudos. Uno mide 5 cm delongitud; el otro mide 3 cm de longitud. Ella corta un tercer pedazode espagueti para hacer un triángulo isósceles. Haz un dibujo exactodel triángulo de Charlene.

3. Aarón quiere hacer un triángulo con tres pajillas de sorber líquidos.La pajilla de sorber líquidos más larga mide 10 cm. Las otras dospajillas de sorber líquidos miden 4 cm cada una. Explica por quéAarón no puede hacer un triángulo con sus tres pajillas de sorberlíquidos. Explica de qué manera puede cambiar la longitud de unapajilla de sorber líquidos para hacer un triángulo.

¿Es posible que un triángulo se pueda definir de la misma manera queotros dos triángulos? De ser así, escribe un enunciado que demuestreesta identidad doble.



En la Sección A, estudiaste las familias de rectas paralelas. Estas son tresfamilias de rectas paralelas.

1. a. En la Hoja de actividad del

estudiante 3, usa los símbolos ● y � y X para marcar todos los ángulos quetengan la misma medida.

b. Usa tu dibujo para explicar por qué ● � � � X � 180°.

CÁngulos y triángulos

Rectas paralelas y ángulos

I. Corta un semicírculo de un trozo de papel. Nonecesitas ser muy preciso, pero te ayudaráusar el borde del papel para el lado recto del semicírculo.

II. Elige un punto a lo largo del lado recto delsemicírculo. Dibuja dos rectas que pasen por este punto. Antes de recortar, rotula cadasección cerca del punto con las letras A, B y C.Recorta el semicírculo en tres partes.

III. Vuelve a acomodar las tres partes para crearel triángulo ABC. Será útil tener los bordesredondeados hacia adentro. Haz un esquemadel triángulo.

Actividad

Comenzar con un semicírculo

x

AB

C


1

cm1

23

45

67

cm1

2

3

4

5

6

7

8

9

2 12 01 91 81 71 61 51 41 31 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0

IV. Ahora, para formar un triángulo más grande, separa las partes.Para formar uno más pequeño, júntalas. Haz un esquema decada uno de estos triángulos.

V. Repite los pasos con un semicírculo diferente. Describe tusresultados. Ten estas partes a mano para trabajar más adelante.

2. ¿Puedes cortar un semicírculo en tres partes que no formen un triángulo? Explícalo. Supón que las partes se cortaron de acuerdo con las indicaciones de esta actividad.

3. Gracias a esta actividad, deberías haber descubierto algunas propiedades geométricas acerca de los ángulos y de los triángulos. Resume tus descubrimientos en tu cuaderno.

Sección C: Ángulos y triángulos 17

Este dibujo representa una propiedadgeométrica acerca de tres ángulos que se cortaron de un semicírculo. La sumade los tres ángulos es igual a 180°.

4. Usa esta información para volver a escribir la propiedad geométricaque describiste en el problema 3.

Halla las partes del semicírculo de la actividad anterior.

5. Elige tres partes de ángulo cuyas medidas sumen más de 180°. Trata de hacer un triángulo con ellas. ¿Es esto posible? ¿Cómo puedes estar seguro?

6. Elige tres ángulos cuyas medidas sumen menos de 180°. Trata de hacerun triángulo con ellas. ¿Es esto posible? ¿Cómo puedes estar seguro?


Este es un dibujo que se parece mucho al dibujo anterior.

7. a. ¿Qué propiedad geométrica de los triángulos se representó?

b. Reflexiona Describe cómo se relacionan estas dos propiedades y los dos dibujos.

Este es el triángulo PQR.

P, Q y R son los nombres de los vértices del triángulo.

�P es una notación más corta para el ángulo en el vértice P.

Puedes sustituir la palabra triángulo con el símbolo �. En lugar de escribir triángulo PQR, puedes escribir � PQR.


Ángulos y triángulosC

ACB AC

B

cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9

P

R

Q


Estos son tres ángulos: �A, �B y �C.

Están dibujados en un semicírculo que ha sido subdividido en partesiguales. Se pueden recortar y juntar para formar �ABC.

8. a. ¿Cuáles son las medidas de �A, �B y �C?

b. Comienza con un segmento de recta que mida 10 cm y rotula susextremos A y C.

c. El �A aparece en el punto A. Dibuja el �A en tu papel.

d. Completa el dibujo del �ABC.

e. ¿Es necesario usar las medidas de los tres ángulos para completartu triángulo? Explica, sí o no, ¿por qué?

f. Hay muchos triángulos diferentes con las medidas de los tresángulos iguales a los que dibujaste en la parte d. Dibuja otro� ABC, esta vez con una longitud diferente para el lado AC.Compara tu triángulo con el dibujo de un compañero. Describecualquier semejanza y diferencia entre los tres triángulos.

Este es un triángulo isósceles. Las barras de los lados muestran los doslados que tienen la misma longitud.



AB

C

Triángulos y ángulos

9. a. En el �ABC, nombra el lado más corto. Nombra elángulo opuesto a este lado más corto.

b. Nombra los ángulos opuestos a los lados AC y BC.

c. Describe cualquier relación entre estos dos ángulos.

d. ¿Qué ángulo es menor: el �A o el �C ? ¿Cómo puedesestar seguro sin medirlo directamente?A B

C


10. a. En el �DEF, nombra el lado más largo y el ánguloopuesto al lado más largo.

b. ¿Qué sabes sobre los lados que están opuestos a losotros dos ángulos? Describe cualquier relación entrelos ángulos.



E

D

F

Actividad

Investiga las propiedades de los triángulos isósceles que tienen un ángulo recto.

11. a. Dobla el triángulo isósceles por la mitad. ¿Qué propiedadgeométrica de los triángulos isósceles representaste?

b. Investiga las propiedades de un triángulo isósceles que tiene unángulo recto. ¿En qué se diferencia este triángulo isósceles decualquier triángulo isósceles? ¿En qué se parece?

12. ¿Qué puedes deducir acerca de losángulos de un triángulo equilátero?Prepárate para usar tu triángulo equiláteropara demostrar tus conclusiones.

13. Copia y completa las oraciones quedescriben los ángulos de los triángulosisósceles y equilátero.

En un triángulo isósceles…

En un triángulo equilátero…


55° 36°

104°

62°

63° 90° 40°

30°

50°?

?

? ?

?

?

?

?

? ?

?

?



70°

23°

V E R

O

14. En la Hoja de actividad del estudiante 4, completa los valores de losángulos faltantes sin medirlos. (Nota: los dibujos no son a escala.)

a. b. c.

d. e. f. g.

15. a. ¿Cuántos triángulos puedeshallar en esta imagen? Clasificalos triángulos.

b. Haz un esquema de cada triángulo.

c. Halla el tamaño de los tresángulos de cada triángulo.




X X

Si las medidas de tres ángulossuman 180°, entonces se puede hacerun triángulo con estos ángulos.

Si las medidas de tres ángulos nosuman 180°, entonces no se puedehacer un triángulo con estos ángulos.

Este es el triángulo PQR. P, Q y R son losnombres de los vértices del triángulo.

�P es una notación más corta para elángulo en el vértice P. En lugar de lapalabra triángulo, puedes usar elsímbolo �; en lugar de escribirtriángulo PQR, podemos escribir �PQR.

La suma de las medidas de los tres ángulos de cualquier triángulo es 180°,entonces, para el �PQR, puedes escribir �P � �Q � �R � 180°.

Los triángulos equiláteros Los triángulos isósceles tienentienen tres lados iguales y por lo menos dos lados igualestres ángulos iguales. y dos ángulos iguales.

Los ángulos iguales y los lados iguales se pueden indicar con los mismos símbolos.

P Q

R



1. En la Hoja de actividad del estudiante 5, completa el valor de losángulos faltantes. Los dibujos no son a escala, por lo tanto no intentesmedirlos para hallar las respuestas.

2. El �KLM es un triángulo isósceles y el �K � 30°. ¿Cuánto miden los otros ángulos?

El �XYZ es un triángulo. En el �XYZ, la medida del �Y es dos veces lamedida del �X y la medida del �Z es tres veces el �X.

3. a. ¿Cuánto mide cada ángulo?

b. Dibuja un triángulo con estas tres medidas de ángulos.

Traza un triángulo con ángulos de 30, 60 y 90 grados. Sin mirar el dibujo deotro compañero, describe cómo los triángulos podrían ser iguales y cómopodrían ser diferentes.

65°118°

38°

40°

45°30° 50°

25°

60° 50°

C

J

H

DE

C

BF

A

G

I

AR

P Q

B40°?

?

? ??

?

??

?

?



En la sección B, creaste triángulos conlongitudes de espaguetis crudos. En esta sección, usarás cuadrados paracrear triángulos.

Esta imagen muestra cómo trescuadrados forman un triángulo.

1. a. ¿Cuánto mide cada lado deltriángulo? ¿Cómo lo sabes?

b. Halla el ángulo más grande deeste triángulo.

Los triángulos se pueden clasificar de esta manera: si el ángulo más grandede un triángulo es agudo, el triángulo se llama triángulo agudo.

c. Define el triángulo rectángulo y el triángulo obtuso.

Silvia observa una propiedad geométrica: en un triángulo, el ángulo másgrande se halla opuesto al lado más largo.

d. ¿Se puede aplicar esta propiedad al triángulo de la imagen queestá arriba?

2. a. Dibuja un triángulo rectángulo escaleno. Con el mismo color,muestra el ángulo más grande y el lado más largo del triángulo.¿Se puede aplicar la propiedad de Silvia a este triángulo?

b. Con un color diferente, muestra el ángulo más pequeño y el ladomás corto del triángulo.

c. Reflexiona Describe otra propiedad geométrica relacionada con eltriángulo rectángulo. Escribe acerca de las propiedades geométricasde un triángulo rectángulo isósceles.

3. a. Dibuja un triángulo agudo e investiga si las propiedades de Silviatambién se pueden aplicar a este triángulo.

b. ¿Se puede aplicar la propiedad geométrica al triángulo agudo?Describe dónde hallarías el ángulo más pequeño del triángulo.

DLados y ángulos

Cuadrados y triángulos

94

16


Sección D: Lados y ángulos 25

Actividad

Hacer triángulos de cuadrados

Para esta actividad necesitas:

• dos copias de la Hoja de actividad

del estudiante 6 y de la Hoja de

actividad del estudiante 7;

• tijeras; y

• papel.

• Usa dos copias de la Hoja de actividad del estudiante 6 para recortaruna progresión de diez cuadrados blancos que representen los diezprimeros números cuadrados perfectos. En cada cuadrado, escribe el número de baldosas usadas para formar cada cuadrado. Haz lomismo con dos copias de la Hoja de actividad del estudiante 7.

• Para esta actividad usarás un cuadrado blanco y dos grises paraformar triángulos diferentes. El cuadrado blanco formará siempre ellado más largo del triángulo. Los dos cuadrados grises formaránsiempre los lados más cortos del triángulo.

1 4

9

16

1 4

9 16


• Elige un cuadrado blanco y dos cuadrados grises para formar untriángulo. Observa que cada cuadrado gris tiene que ser máspequeño que el cuadrado blanco. Anota tus resultados en unatabla como esta. El problema 1 está anotado.

• Repite este proceso con por lo menos cinco triángulos más.Asegúrate de representar todos los tipos de triángulos: agudo,obtuso y recto.

4. a. Compara los resultados de tu actividad con los de un compañero.Describe cualquier patrón que veas en tus resultados.

b. Describe cualquier relación especial entre las baldosas blancas ygrises de un triángulo rectángulo.

Elige dos cuadrados grises, uno con 25 baldosas y uno con 64 baldosas.

5. a. Halla el tamaño de un cuadrado blanco que se necesite para crearun triángulo agudo.

b. Halla el tamaño de un cuadrado blanco que se necesite para crearun triángulo obtuso.


Número total de Número total de Clasificación del triángulo de

baldosas grises baldosas blancas acuerdo con su ángulo más grande

4 � 9 � 13 16 obtuso

Lados y ángulosD



Elige cuadrados de varios tamaños para crear tres triángulos diferentes. Haz un póster pegando los triángulos en un trozo de papel grande. Paracada triángulo, incluye la siguiente información:

• número total de baldosas grises;• número total de baldosas blancas;• clasificación del triángulo.

6. Clasifica el triángulo formado con un cuadrado de 100 baldosas, uno de225 baldosas y uno de 400 baldosas.

7. Los lados de un triángulo miden 6 cm, 8 cm y 10 cm. Clasifica estetriángulo de acuerdo con sus ángulos. Explica cómo llegaste a esta conclusión.

Este es un triángulo rectángulo dibujado en un papel cuadriculado.

8. Usa el papel cuadriculado para explicar porqué es un triángulo rectángulo isósceles.

Este es el mismo triángulo rectángulo isósceles, pero ahora hay un cuadrado en cada lado.

Actividad

Hacer un póster



Actividad

9. a. Copia el dibujo de la página 27.

b. Halla el área del cuadrado blanco más grande.

c. Halla el área de cada uno de los cuadrados grises más pequeños.

10. Halla el área de este cuadrado blanco.

Este es el mismo cuadrado blanco. Se agregaron dos cuadrados grises para formar un triángulo.

11. a. En un papel cuadriculado de 1 cm usa el cuadrado blanco y dosgrises para crear este triángulo. Rotula el área de cada cuadrado.

b. Describe cualquier relación que observes entre el área delcuadrado blanco y el área de los cuadrados grises.

c. Mide la longitud del lado más largo del triángulo. ¿Hay otramanera de hallar esta longitud? ¿Cómo?


12 cm

5 c

m


DLados y ángulos

El teorema de Pitágoras

Hace unos 2,500 años, vivió en Grecia unfamoso matemático, científico y filósofollamado Pitágoras.

Pitágoras describió una manera de trazarángulos rectos y la relación entre lasáreas de los tres cuadrados. Esta relaciónla describe el teorema de Pitágoras.

Si un triángulo tiene un ángulo recto, entonces el cuadrado del lado más largo

tiene la misma área que la de otros dos combinados.

6 cm

4 c

m

Esta imagen muestra un triángulo rectángulo y tres cuadrados.

12. Halla el área del cuadrado blanco. Muestra tu trabajo.

13. a. Halla el área del cuadrado más grande.

b. Halla la longitud del lado más largo del triángulo.


Puedes hallar la longitud de los lados de un cuadrado “sacando la raízcuadrada” del área, por ejemplo:

La longitud de los lados de este cuadrado es la raíz cuadrada de 5.

La raíz cuadrada de 5 se escribe √5.

Puedes usar una calculadora para estimar la longitud para la raíz cuadrada de 5.

√5 ≈ 2.24

Por lo tanto, cada lado del cuadrado mide cerca de 2.24 cm.

14. a. Vuelve a mirar el cuadrado blanco del problema 12. Usa la notaciónde raíz cuadrada para mostrar la longitud del lado del cuadrado.

b. Usa tu calculadora para aproximar la longitud de los lados delcuadrado blanco. Redondea tu respuesta a un valor decimal.

Esta imagen muestra un ángulo rectángulo con lados cortos de 3 cm y 5 cm.Hay muchas maneras diferentes de hallar la longitud del lado AB.


Lados y ángulosD

A

C B


Esta es una manera de hallar la longitud del lado AB.

15. Halla la longitud del lado AB. Redondea tu respuesta hasta el décimo más cercano.

Estos son dos triángulos rectángulos.

16. a. Halla la longitud de los lados del �PQR. Muestra tu trabajo.

b. Halla la longitud de los lados del �KLM. Muestra tu trabajo.


DLados y ángulos

área del cuadrado del lado AC � ....

área del cuadrado del lado BC � ....�

....................

área del cuadrado del lado AB � ....

P

R

Q K

M

L


75°45°

60°

90°

45°

45° 120° 30°

30°


Lados y ángulos

Los triángulos se clasifican en tres tipos de acuerdo con el tamaño delángulo más grande.

D

75°45°

60°

90°

45°

45° 120° 30°

30°

Triángulo agudo Triángulo rectángulo Triángulo obtuso

Si el ángulo más grande Si el ángulo más grande Si el ángulo más grandees menor que 90°, es un es de 90°, es un es mayor que 90°, es un ángulo agudo. ángulo rectángulo. ángulo obtuso.

Un triángulo equilátero Un triángulo isósceles Un triángulo escaleno

tiene tres lados de tiene por lo menos dos tiene tres lados deigual longitud. lados de igual longitud. longitudes diferentes.

El cuadrado más grande El cuadrado más grande El cuadrado más grande es menor que una es igual a una es mayor que una combinación de los combinación de los combinación de los cuadrados más pequeños. cuadrados más pequeños. cuadrados más pequeños.



16

94

4

53

El teorema de PitágorasSi un triángulo tiene un ángulo recto, entonces elcuadrado del lado más largo tiene la misma área que elárea de la combinación de los otros dos cuadrados.

52 � 42 � 32

25 � 16 � 9

La expresión recíproca también escierta: en cualquier triángulo, si elárea del cuadrado del lado más largotiene la misma área que lacombinación de los cuadrados de los otros lados, el triángulo es untriángulo rectángulo.

1. a. Elige cualquier triángulo de las imágenes que reuniste al comienzode esta unidad. Rotula el ángulo más grande y el ángulo máspequeño. Justifica tu respuesta usando sólo una regla.

b. Elige otro triángulo y rotula el lado más largo y el más corto.Justifica tu respuesta usando sólo una rosa de la brújula o un transportador.

2. Clasifica el triángulo formado por los tres cuadrados. Explica tu razonamiento.



Lados y ángulos

3. Usa dos estrategias diferentespara mostrar que el área del cuadrado blanco es de 32 cm2.

4. a. Halla las longitudes de los lados del �PQR. Muestra tu trabajo.

b. Halla las longitudes de los lados del �KLM. Muestra tu trabajo.

Puedes clasificar un triángulo, como un triángulorectángulo escaleno. Indica qué pares sonposibles y qué pares son imposibles usando lasclasificaciones de longitud isósceles, escaleno yequilátero junto con clasificaciones de ángulorecto, agudo y obtuso. Explica las razones paratus respuestas.

D

P Q K L

M

R


Marcos compra un conjunto de sellos de monos en una juguetería para Míasu hermana menor. Ella usa su conjunto de sellos para hacer este diseño.

1. a. ¿Cuál es el número mínimo de sellosque necesita Mía para hacer estediseño? Explica tu respuesta.

b. La juguetería también vende plantillasde animales. Si Mía compra plantillasen lugar de sellos, ¿cuántos sellosnecesita para hacer su diseño?

c. Explica cómo usar la plantilla paradibujar cada mono en el diseño de Mía.

Sección E: Triángulos congruentes 35

ETriángulos congruentes

Sellos y plantillas

a

e

c

b

d


• Dobla el papel por la mitad, primero en forma vertical y luego enforma horizontal. Desdobla el papel. Corta una figura irregular enla esquina superior izquierda de una hoja de papel. Escribe elnúmero 1 en la esquina cerca del recorte.

• Dobla el papel por la mitad en forma vertical. Luego usa el orificiocomo una plantilla y traza la figura en el lado derecho del papel.

• Desdobla el papel y recorta tu nueva figura. Escribe el número 2cerca del nuevo recorte.

En tu cuaderno, describe la relación entre los dos recortes.

• Dobla el papel por la mitad en forma horizontal y traza lasfiguras 1 y 2 en la parte inferior de la página. Escribe el número 3 en la esquina inferior izquierda y el número 4 en la esquina inferior derecha.

En tu cuaderno, describe la relación entre las figuras 2 y 3.

Describe la relación entre las figuras 1 y 4. ¿Por qué crees que sucedió esto?


Actividad

Diseño de plantillas

Las figuras que son copias la una de la otra se llamanfiguras congruentes. Las figuras congruentes tienenel mismo tamaño y forma. Si usas los conceptos detraslación, rotación y reflexión, la copia de una figurapuede encajar exactamente encima de la otra figura.

2. ¿Son el �ABC y el �WFK congruentes? Explica por qué estás tan seguro.

1 2

3 4

horizontal

vertical

A

B

C

K

F

W


3. a. Construye dos figuras congruentes nuevas. Describe cómo creaste las figuras.

b. Describe las relaciones entre los ángulos de cada figura.

c. Describe las relaciones entre las longitudes de los lados de cada figura.

Puedes desplazar las figuras para determinar si son congruentes. Estosdesplazamientos se llaman transformaciones. Existen tres tipos especiales de transformaciones.

Traslación: deslizar una figurapara que cada punto se mueva la misma distancia en la misma dirección.

Rotación: girar una figuraalrededor de un punto a lo largo de un camino circular.

Reflexión: crear una imagenreflejada de una figurainvirtiéndola sobre un eje. Este ejese llama eje de reflexión.

4. a. Mira el diseño de Mía en la página 35. Elige dos monos del diseñode Mía y describe la transformación (o las transformaciones)(traslación, rotación y/o reflexión) que se necesita para colocar unmono encima del otro. Repite este problema con otro par de monos.

b. Remítete a la Actividad Diseño de plantillas de la página 36. Describela transformación (o las transformaciones) que usaste para crear lascopias. Describe otras transformaciones que se puedan usar parahacer las copias.



Transformaciones

Y Y

C

C

D E

El triángulo Y ha sido trasladado a la derecha.

El triángulo Cha sidorotado 90°.

El triángulo E es unareflexión deltriángulo Dsobre el eje �.


Estos diseños se crearon moviendo un triángulo a una nueva ubicación yluego cambiando los colores.

5. Para cada nuevo diseño, toma un triángulo inicial y usa los términostraslación, rotación y reflexión para describir los movimientos usadospara hacer el diseño. Incluye colores en tu descripción.

En la Actividad Diseño de plantillas de la página 36,hiciste dos reflexiones de una figura irregular sobredos rectas perpendiculares. Doblaste el papel a lolargo de los ejes de reflexión. Observaste que estasdos reflexiones dan el mismo resultado que si girasla figura original medio giro (180°).

Para esta actividad, necesitarás papel y tijeras.

• Investiga lo que sucede cuando reflejasuna forma irregular sobre dos ejes queno son perpendiculares. Corta y doblapara descubrir qué sucede. ¿La imagenresultante sigue siendo una rotación dela forma original?

• Investiga qué sucede si los dos ejes de reflexión son paralelos.

• Resume tus investigaciones. Sé muy preciso al describir cualquier rotación.


Triángulos congruentesE

?

?

Plantillas con transformaciones

1

1

3

2

4

2

3

Actividad

Diseño A Diseño B


6. Copia los dos triángulos que están a continuación. Usa las líneaspunteadas para crear una reflexión de cada figura. ¿Cuál es ladiferencia en la imagen resultante?

Si una figura contiene un eje dereflexión, tiene simetría axial. Algunasfiguras simétricas tienen más de un eje

de simetría como se muestra en lafigura de la derecha.

7. a. ¿Qué letras mayúsculas tienen simetría axial?

b. ¿Qué letras mayúsculas tienen más de una simetría axial?

8. Si es posible, diseña tres triángulos, cada uno con las siguientes características:

a. un eje de simetría;

b. dos ejes de simetría;

c. tres ejes de simetría.

9. Crea un diseño que tenga uno o más ejes de simetría.



Simetría axial

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z



Triángulos congruentesE

Dos figuras son congruentes cuandotienen exactamente el mismo tamaño y la misma forma. Los ánguloscorrespondientes tienen el mismotamaño. Los ángulos correspondientestienen las mismas longitudes.

Las transformaciones se usan para crear figuras congruentes.

Cuando deslizas una figura para que cada punto se mueva la misma distancia en la misma dirección, el deslizamiento se llama traslación.

Una rotación significa que se gira una figura alrededor de un punto a lo largo de un camino circular.

Una reflexión es el procesode crear una imagenreflejada de una figurainvirtiéndola sobre un eje.

Una figura que contiene un eje dereflexión tiene simetría axial.

Si una figura se traslada, se rota o se refleja, la figura resultante es congruente con la figura original.



1. Dibuja una figura y muestra tres transformaciones: traslación, reflexión y rotación.

2. Escribe algunas oraciones que describan qué significa que algo seasimétrico. Incluye ejemplos de objetos simétricos.

3. ¿Cuál de las siguientes letras se puede rotar 180° y aún asi se ve igual?

4. En tu cuaderno, traza un rectángulo y un cuadrado y dibuja sus ejes de simetría. ¿En qué se diferencian los ejes de simetría?¿En qué se parecen?

Considera los cuadrados que usaste en la Actividad Hacer triángulos de cuadrados de la página 25. ¿Cuántos ejes de simetría hay en cadacuadrado? Describe las áreas de cada parte del cuadrado una vez que hayas dibujado los ejes de simetría.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z



Para esta actividad, necesitarás papel, una regla graduada o sin graduary una plantilla de triángulo o uno recortado de cartón duro.

En la Sección A, estudiaste las familias de rectas paralelas. Ahoraaprenderás cómo trazar “familias” de rectas paralelas como undibujante o diseñador.

I. Usa una regla no graduadapara trazar una línea recta.

II. Coloca un triángulo de plásticoo de cartón a lo largo de la línea que dibujaste. (Puede ser un triángulo de cualquier forma.)

III. Ubica la regla contra otro ladodel triángulo.

IV. Mientras sostienes la reglafirmemente, desliza el triánguloa lo largo de ella.

V. Traza una segunda línea a lo largo de la arista deltriángulo que es paralela a la primera línea.

VI. Repite el paso IV y traza unatercera línea, paralela a las dos primeras.

• ¿Cómo sabes que estas treslíneas son paralelas?

FTriángulos y mucho más

Trazar líneas paralelas

Actividad


Esta es una imagen de unas rieles de tren.

1. a. Haz un dibujo de la vista superior de los seis rieles.

b. En tu dibujo, marca las secciones de los seis rieles que tienen las mismaslongitudes. También marca los ángulosque tienen las mismas medidas. Nodeberías usar una regla o transportadorpara determinar las medidas.

Sección F: Triángulos y mucho más 43


2. a. En una hoja de papel en blanco, traza una línea yrotúlala l. Dibuja dos puntos, A y B, que no esténen la línea I.

b. Usa una regla no graduada y tu triángulo de laactividad de la página 42. Dibuja una línea que pase por A paralela a la línea I. Rotúlala m.

c. Usa tu regla y un triángulo para trazar una líneaque pase por B que sea paralela a la línea I.Rotúlala n.

d. ¿Son paralelas las línea m y n? Si fuera así, escribe m // n. El símbolo // significa es paralela a.

Ahora que sabes cómo trazar una familia de rectas paralelas, vas a trazar tres familias de rectas paralelas.

3. a. Traza tres rectas paralelas como lasque se muestran a la derecha.Asegúrate de que estén a la mismadistancia. Esta es la primera familia de rectas paralelas.

B

A


20°

b. Ahora traza una recta que forme un ángulo de 20° con las rectas horizontales.

c. La nueva línea es integrante de la segunda familia de rectasparalelas. Dibuja esta familia de rectas paralelas.

d. Las intersecciones de las dos familias determinan la tercera familia.Dibuja una pareja de integrantes de esta tercera familia para quepuedas hallar un patrón triangular.


Triángulos y mucho másF




e. Describe cualquier relación entre ángulos y triángulos en el patrón triangular.

f. Predice cómo cambiará el diseño si cambia el ángulo usado en la parte b.

4. a. Supón que haces tres familias de rectas paralelas de tal manera que los triángulos sean equiláteros. Describe cómo hacer esto.

b. Verifica tu respuesta dibujando una parte del patrón triangular.

Paralelogramos

Actividad

Para esta actividad, necesitarás:

• papel;• una lámina de transparencia;• una regla no graduada; y• tijeras.

I. Usando una transparencia corta tres tiras rectangulares largas. Una de las tiras deberá tener 2 cm de ancho y las otras dos deberán tener 3 cm de ancho.

II. Cruza dos tiras una sobre otra como se muestra más adelante. Donde se superponen las dos tiras, se forma un cuadrilátero

especial. Este cuadrilátero se llama paralelogramo.



5. Usando el nombre paralelogramo, describe las propiedades delcuadrilátero que formaste.

6. Haz una lista de las semejanzas y diferencias entre cada conjunto de paralelogramos.

Resume tus resultados. Incluye lo siguiente en tu resumen:

• características generales de los paralelogramos;

• en qué se diferencian los paralelogramos equiláteros de los no equiláteros;

• algún otro nombre especial para los paralelogramos;

• en qué se diferencian los paralelogramos de otros cuadriláteros.

7. Decide si cada una de estas figuras es un paralelogramo. Justifica tu respuesta.

III. Desplaza las transparencias para crearpalalelogramos diferentes.

IV. Usa una tira de 2 cm y una de 3 cm paratrazar un conjunto de paralelogramos.La figura muestra cómo marcar losvértices del paralelogramo. Estosvértices se pueden usar para dibujarlos lados de cada paralelogramo. Usa tu regla como si fuera una reglano graduada.

V. Traza otro conjunto de paralelogramoscon dos tiras de 3 cm.

3 cm

2 cm

c

f

da b

e




Lula Red Cloud es una indiasioux lakota tejedora de colchas,de la Reserva Pine Ridge enDakota del Sur. Ella usa muchospatrones para confeccionarcolchas. Esta es una colcha quehizo para una ceremonia. Usó el patrón de una estrella paraeste diseño.

Los colores brillantes que usason significativos para su arte.En esta colcha, los coloresremiten al sol de la mañana, a la Tierra y al cielo.

Los retazos que forman la estrella son paralelogramos congruentes.

8. a. Describe las longitudes de los lados de un paralelogramo en este patrón.

b. Sin medir, determina el tamaño de cada ángulo de un paralelogramo.

Algunos paralelogramos tienen formas y nombres especiales.

Rectángulo Rombo Cuadrado

9. Describe las características de cada paralelogramo.

10. Clasifica los paralelogramos que trazaste en la Actividad Paralelogramosde la página 45.

Colcha homenaje al pueblo invisible, 1996, Lula Red Cloud (Sioux)Hermosa, Dakota. MSUM


Para esta actividad, combinarás una rotación y una traslación.

Necesitarás:

• tijeras;

• papel grueso;

• papel para dibujar;

• dos lápices de color; y

• un lápiz.


Actividad

Combinaciones de transformaciones

I. Haz un recorte de cualquier triángulo y trázalo enun pedazo de papel.

II. Rota el triángulo 180° alrededor de un vérticehasta que esté invertido.

III. Traslada el triángulo para que se alinee al lado o debajo del triángulo inicial y traza su posición final.

• Describe el cuadrilátero.

• Colorea los ángulos de tu cuadrilátero para que los ángulos que midan igual tengan el mismo color.

• Repite los pasos desde el I hasta el III con untriángulo diferente.

• Resume la actividad.


Construye polígonos



Actividad

I. Dibuja un triángulo isósceles y coloreael ángulo del vértice (el ángulo queestá formado por dos lados iguales).

II. Corta el triángulo y trázalo en una hojade papel.

III. Rota el triángulo alrededor del vértice como se muestra aquí.

IV. Traza el triángulo y rótalo nuevamente.

V. Continúaeste proceso hasta que tengas ocho copias.

• ¿Se ajustaron las ocho copias lasunas a las otras sin espaciosintermedios ni superposiciones?,¿y las de tus compañeros?

11. ¿Qué puedes rotar y trasladar para hacer un rombo?

12. ¿Qué tipo de triángulo puedes rotar y trasladar para hacer un rectángulo?

Para esta actividad, necesitarás:

• papel grueso;

• tijeras; y

• papel para dibujar.


Jorge quería hacer un octágono (un polígono con ocho ángulos y ocholados), pero el triángulo isósceles que usó no funcionó. Su dibujo saliócomo el que se ve abajo.



Sasha dice: “Para obtener un polígono regular completo, el tamaño del ángulo del vértice será exactamente 360°dividido por el número de lados”.

14. a. Explica por qué funciona el método de Sasha.

b. ¿En qué momento es un factor de 360° el tamañodel ángulo de un vértice?

15. a. Describe dos transformaciones que usen el triángulo isósceles A para crear el triángulo B.

b. Si continúas con este patrón hasta que tengas undecágono (10-ágono), ¿tiene importancia cuál delas dos transformaciones usas?

c. Observa que el triángulo A es un triánguloisósceles. Investiga si las dos transformaciones que elegiste producen el mismo resultado si el triángulo no es isósceles. Podrías usar estetriángulo. Resume tus resultados.

A B

13. a. Crea un triángulo que forme un octágono cuandolo rotas y trazas ocho veces.

b. ¿Cómo puedes determinar si al rotar y trazar untriángulo va a formar un octágono?

c. Crea un triángulo que forme un hexágono cuandolo rotas y trazas seis veces.

d. ¿Es regular cada uno de los polígonos? Explica, sí o no, ¿por qué? Incluye en tu explicación ladefinición de un polígono regular.

e. ¿Se pueden crear todos los polígonos regularesrotando y trazando un triángulo isósceles? Si es así, explica el proceso. De lo contrario, explica por qué no se puede hacer.




Historia de las matemáticasFractalesUn fractal es un objeto geométrico que tiene autosimilitud. Esto significaque la estructura del objeto parece la misma desde muy cerca o desde muylejos. Los fractales se pueden crear repitiendo un procedimiento simple unay otra vez.

Muchos objetos de la naturaleza tienenalgunas de las características de los fractales. Este brócoli muestra la autosimilitud de un fractal.

Un fractal famoso se llama el triángulo de Sierpinski. Este fractal, descritopor Waclaw Sierpinski en 1915, aparece en el arte italiano a partir del siglo XIII. El fractal está formado completamente por triángulos.

1. Para hacer un triángulo deSierpinski, comienza con un triángulo sólido.

2. Halla el punto medio de cadalado. Conecta los puntosmedios para formar cuatrotriángulos congruentes dentrodel triángulo original. Corta eltriángulo del centro. Estoequivale a una iteración.

3. Repite el paso 2 con cada unode los triángulos coloreados.

4. El paso 2 se puede repetir una y otra vez. El triángulo deSierpinski se puede usar parahacer hermosos diseños.




ángulo del vértice � 20°

rotación reflexión

360° � 9 � 40°

Un paralelogramo es una figura de cuatro lados formada por la intersecciónde dos pares de rectas paralelas. Rectángulos, rombos y cuadrados sonclases especiales de paralelogramos.

Combinando una rotación y una traslación, puedes usar un triángulo paratrazar un paralelogramo.

I. II. III.

Una rotación y una reflexión a vecesproduce el mismo resultado.

Por ejemplo, comienza con untriángulo isósceles con un ángulo del vértice de 20°.

Una rotación de 20° alrededor delángulo del vértice da el mismoresultado que una reflexión sobre uno de los lados iguales.

Los polígonos regulares se puedenhacer rotando triángulos isósceles.La medida del ángulo del vértice deun triángulo isósceles determina siel triángulo formará un polígonoregular. La medida del ángulo es de 360° dividido por el número de triángulos.



1. Describe cómo puedes determinar si una figura es un paralelogramo.

2. Si una figura es un paralelogramo, ¿cómo puedes saber si es una de las siguientes figuras?

a. ¿rectángulo? b. ¿rombo? c. ¿cuadrado?

3. Estudia las dos formas. Describe varias maneras de determinar si sepueden aplicar cada uno de los siguientes enunciados:

a. Cada figura es un paralelogramo.

b. Las dos figuras son congruentes.

4. a. En la Hoja de actividad del estudiante 8, dibuja un triángulo en cada polígono regular que se pueda rotar para crear el polígono.

b. Halla la medida del ángulo del vértice para cada triángulo.

Mientras regresas a casa desde la escuela, haz una lista de todas las figuras geométricas que veas que tienen por lo menos un eje de simetría. Haz un esquema de por lo menos tres de ellos y tráelos a clase para comentarlos.

Figura A Figura B


1. Rodney acomodó nueve palillos para hacer tres triángulos. Sin agregarmás palillos, muestra cómo puede volver a acomodar esta estructurapara hacer cinco triángulos moviendo sólo tres palillos.

2. a. Dibuja un triángulo pequeño en el medio de un papel.

Supón que este triángulo es parte de un patrón triangular hecho con tresfamilias de rectas paralelas.

b. Usa el triángulo para trazar tres familias de rectas paralelas y mostrar el patrón triangular.

3. a. En la Hoja de actividad del estudiante 9, usa colores diferentes pararesaltar cada uno de los tres triángulos de la imagen.

b. ¿De cuántas maneras se pueden apilar los tres triángulos? Colorealas figuras en la Hoja de actividad del estudiante 9 para mostrartodas las posibilidades. Posiblemente no necesites todas las figuras.

Para su tarea de matemáticas, Julia y Edgardo tienen que determinar cuálárbol está más cerca del árbol C: el árbol A o el árbol B. Lamentablemente,el árbol C se encuentra al otro lado del arroyo.

1. a. Según el dibujo de la página 55, ¿puedes saber que árbol está más cerca del árbol C?

b. ¿Cómo puedes determinar qué árbol está más cerca?


Práctica adicional

Sección Triángulos y rectas paralelasA

Sección Los ladosB



Julia y Edgardo no quieren cruzar el arroyo paraaveriguar qué árbol está más cerca del árbol C.

En su lugar, Julia usa dos reglas de un metro y unahoja de cartón para el árbol A. Hace un ángulo conlas reglas, alineando cuidadosamente una regla conel árbol B y la otra con el árbol C. Ella usa su cartón yrotula A al vértice del ángulo.

Edgardo usa dos reglas de un metro y una hoja decartón para el árbol B. Hace un ángulo con sus dosreglas de un metro, alineándolas con los árboles A y C. Usa su cartón para registrar el ángulo y lorotula ángulo B.

B

A

C


Cuando Julia y Edgardo comparan sus ángulos, observan que el ángulo Aes más grande que el ángulo B. Ahora ya saben qué árbol está más cercadel árbol C.

2. ¿Qué árbol crees que Julia y Edgardo determinaron que está más cerca del árbol C? ¿Por qué?

3. ¿Cómo hicieron Julia y Edgardo para decidir qué árbol está más cerca del árbol C?

1. En tu cuaderno, copia esta imagen y completa los valores de losángulos que faltan. (Nota: el dibujo no está a escala.)

2. Con una regla no graduada, dibuja un triángulo en tu cuaderno. Mide los tres ángulos de tu triángulo con una rosa de la brújula o transportador y rotula los ángulos. ¿Cómo puedes saber que mediste los ángulos con precisión?

3. Este camión está bajando por una rampa hacia un túnel. Usa la Hoja de

actividad del estudiante 10 para ubicar el punto donde el camión estarácompletamente oculto por la pared. Muestra cómo ubicaste este punto.


Práctica adicional

Sección Ángulos y triángulosC

90°?

90°

35°

??

90°


C

B

A

C

B

A


Práctica adicional

Sección Lados y ángulosD

1. En tu cuaderno, dibuja un ángulo de 100°. Usa este dibujo para hacer untriángulo cuyo ángulo más grande sea de 100° y el lado más largo sea de5 cm. Rotula todos los lados y ángulos en tu dibujo.

2. ¿Es posible dibujar un triángulo cuyo ángulo más grande sea de 80°y el lado más largo de 5 cm? Si es así, dibuja este triángulo en tucuaderno y rotula los tres lados y los tres ángulos. De lo contrario,explica por qué.

3. Sin hacer un dibujo, determina si es posible dibujar un triángulo cuyoángulo más grande sea de 50° y el lado más largo de 5 cm. Explica tu respuesta.

Acertijo para la prueba del teorema de PitágorasEstas figuras muestran dos cuadrados idénticos divididos de dos maneras.

Figura 1 Figura 2

4. Usando estas figuras, explica por qué el cuadrado blanco de la figura 1tiene la misma área que la suma de los cuadrados azules de la figura 2.


Supón que quieres hacer un triángulo que al rotarlo y trazarlo forme un 20-ágono regular.

1. a. ¿Cuánto mide el ángulo del vértice de este triángulo? Explica cómo hallaste la respuesta.

b. Usa tu respuesta de la parte a para hallar la medida de un ángulointerno de un 20-ágono. Explica tu respuesta.

Para este problema, necesitas cuatrobaldosas como la de la derecha.

2. Haz un cuadrado con cuatro de estasbaldosas para que el patrón delcuadrado cumpla con lo siguiente:

a. un solo eje de simetría;

b. dos ejes de simetría;

c. ningún eje de simetría.

1. Joyce traza este paralelogramo y lo recorta.

a. Joyce dice que puede doblar su paralelogramo por la mitad paraque las dos partes encajen con exactitud. ¿Estás de acuerdo?Explícalo.

b. ¿Hay algún tipo de paralelogramo que se pueda doblar por la mitadpara que las dos partes encajen con exactitud? Explícalo.


Práctica adicional

Sección Triángulos congruentesE

Sección Triángulos y mucho másF


A

B

2. Los paralelogramos A y B son congruentes.

a. Traza en tu cuaderno los paralelogramos A y B. Muestra cómo encajar el paralelogramo A directamente encima del paralelogramo B con una o más de las siguientestransformaciones: traslación, rotación y reflexión.

b. ¿Hay más de una solución posible? Explícalo.

c. ¿Qué transformación (traslación, rotación o reflexión) se necesitapara todas las soluciones posibles?


Práctica adicional


1. Hay dos familias visibles: una alrededor de COMCO y la segunda en lasaristas externas de los triángulos.

2. Hay seis triángulos en total: dostriángulos grandes entrelazados,dos triángulos pequeños en las esquinas opuestas y dosmedianos en las otras esquinas.

3. a.

b. Todos los ángulos del dibujo que no tienen un punto son iguales entre sí.


Respuestas para verificar tu trabajo

Sección Triángulos y rectas paralelasA

Sección Los ladosB

1. Los triángulos variarán en tamaño.

Para trazar un triángulo isósceles,dibujas la longitud de un lado. Luegousas un compás para trazar la mismadistancia desde cada extremo de este lado. Finalmente, conectas losextremos donde se juntan los arcos.

Para trazar un triángulo equilátero,comienzas con la longitud de un lado.Luego abres el compás hasta lalongitud de ese lado. Para asegurartede que se adjusta perfectamente,usa tu compás para marcar cadaextremo del lado. Finalmente, desdecada extremo, traza esta mismadistancia.Conecta los extremos dondese juntan los arcos.

triángulo isósceles

triángulo equilátero


2. Hay dos triángulos posibles:

3. Aarón no puede formar un triángulo con las tres pajillas de sorberlíquidos porque la suma de las longitudes de las dos pajillas más cortases menor que la longitud de la tercera pajilla, por lo tanto no se puedenjuntar para formar un triángulo.

Aarón tendrá que cortar la pajilla de sorber líquidos de 10 cm para quetenga menos de 8 cm de largo. Una posibilidad es cortar 3 cm y hacerun triángulo con las dos pajillas de 4 cm y con la pajilla de 7 cm.

1.

3 cm

3 cm 3 cm

5 cm

5 cm5 cm



Sección Ángulos y triángulosC

75° 40°

65°

A B

C

118°

38°

24°

H

J

I

40° 35°

105°

145°

75°75°

105°

45°30°

40°

25°

105°50°100°

D

A

EC

BF

G

70°

60° 50°QP

R




30°

?°

30°K

L

M

30°

?° ?°K

L

M

2. El triángulo tiene dos ángulos iguales.

Una posibilidad es que los dosángulos iguales tengan ambos30° y el triángulo se vea así.

Sabes que la suma de los tres ángulos es de 180°, por lo tanto 30° + 30° + ?° � 180°, y puedes hallar que el tercer triángulo tiene 120°.

Otra posibilidad es que un ángulo tenga 30°y el triángulo se vea así.

Sabes que los otros dos ángulos son iguales, entonces puedes escribir:

30° + ?° + ?° � 180°30° + 150° � 180°

Por lo tanto los otros dos ángulos juntos tienen 150° o 75° cada uno.

3. a. El �X es de 30°.

El �Y es de 60°.

El �Z es de 90°.

Se pueden usar varias estrategias para hallar las medidas de cadaángulo. Estas son dos estrategias:

Estrategia 1:

El �Y y, el �Z se relacionan con el �X . El �Y tiene el doble deltamaño del �X y el �Z tiene el triple del tamaño del �X . Por lotanto, es como si tuvieras seis �X dentro del triángulo. El tamañodel �X es igual a 180 � 6, que es 30°; dos veces eso es 60° y tresveces eso es 90°.

X � Y � Z � 180°Y � 2XZ � 3XX � Y � Z � X � 2X � 3X6X � 180°Por lo tanto X � 30°, Y � 60° y Z � 90°.

b.

Z

Y

60°

90° 30°X


1. a. y b. Comparte tus conclusiones con un compañero y comenta tu trabajo.

2. Este es un triángulo obtuso porque el área del cuadrado blanco (16 cm2)es mayor que el área de los dos cuadrados grises (la combinación de 9 cm2 y 4 cm2 es igual a 13 cm2).

3. Una estrategia aplica el teorema de Pitágoras: la suma del área de loscuadrados grises es (16 cm2 + 16 cm2) = 32 cm2, por lo tanto el área delcuadrado blanco es de 32 cm2.

Otra estrategia usa redistribución:

Dos piezas triangulares del cuadrado están redistribuidas en unrectángulo que mide 4 x 8. El área de este rectángulo es de 32 cm2.

4. a. PQ � 3 cm y PR � 4 cm.área del cuadrado en PQ � 9 cm2

área del cuadrado en PR � 25 cm2

�34 cm2

área del cuadrado en RQ � 34 cm2,por lo tanto RQ � �4 cm.

b. KL � 6 cm y LM = ≈ 5.8 cm.área del cuadrado en KL � 36 cm2

área del cuadrado en LM � 36 cm2

�72 cm2

área del cuadrado en KM � 72 cm2

por lo tanto KM � �72 ≈ 8.5 cm.



Sección Lados y ángulosD




Sección Triángulos congruentesE

1. Esta es una posible transformación que muestra una traslación, luego una rotación y una reflexión de un pentágono.

2. Esta es una descripción posible.

Para que algo sea simétrico, tiene que haber por lo menos un eje de simetría. Un eje de simetría divide un objeto por la mitad de manera que si pudieras doblar el objeto sobre este eje, cada ladocoincidiría perfectamente.

Pon un espejo a lo largo de un eje de simetría y observa si la parteoriginal y la parte reflejada son iguales.

Muchos objetos cotidianos sonsimétricos. Por ejemplo, eltenedor y la cuchara de la imagen tienen un eje de simetría cada uno.

Una taza con un asa tiene unsolo eje de simetría, mientrasque una taza sin asas tienemuchos ejes de simetría, talcomo se muestra aquí.




Sección Triángulos y mucho másF

3. Las letras H, I, N, O, S, X y Z parecen iguales cuando se rotan 180°.(Nota: invierte la hoja para ver qué letras parecen iguales.)

4. Un rectángulo tiene dos ejes de simetría y un cuadrado tiene cuatroejes de simetría.

1. Esta es una descripción posible.

Una figura es un paralelogramo si es un cuadrilátero y sus ladosopuestos son paralelos. De modo que para asegurarnos de que ambospares de lados opuestos son paralelos, puedo medir la distancia entrecada par en muchos lugares diferentes.

2. a. Un rectángulo tiene cuatro ángulos rectos.

b. Un rombo tiene cuatro lados iguales.

c. Un cuadrado tiene cuatro ángulos rectos y cuatro lados iguales.

3. a. Estas son algunas maneras posibles de mostrar que las figuras son paralelogramos:

Observaría si ambos pares de lados opuestos son paralelos.

Dividiría el cuadrilátero en dos triángulos. Luego observaría si unarotación y una traslación pueden desplazar uno de los triángulospara que encaje en el otro triángulo.

Mediría los ángulos y los compararía. Si los ángulos opuestos soniguales, entonces es un paralelogramo.

Mediría los lados. Si ambos pares de lados opuestos son iguales,entonces es un paralelogramo.


b. Estas son algunas maneras posibles de mostrar que las figuras son congruentes:

Mediría los lados y los ángulos. Si coinciden, entonces las figuras son congruentes.

Cortaría una figura y observaría si encaja en la otra. Describiría unatransformación que lograra este mismo resultado.

4. a.

b. Figura 1: 360° � 8 � 45°Figura 2: 360° � 6 � 60°Figura 3: 360° � 6 � 60° para los triángulos en el hexágono.

360° � 5 � 72° para los triángulos en el pentágono.




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