De nuevo - fisme.science.uu.nl

De nuevo númerosNúmeros

De nuevo los números.qxd 2/17/06 2:41 PM Page i

Las matemáticas en contexto es un currículo exhaustivo para los grados intermedios. Se desarrolló entre 1991 y 1997 en colaboración con el Wisconsin Center forEducation Research (Centro de Investigación Educativa de Wisconsin), Facultad deEducación, de la Universidad de Wisconsin-Madison y el Freudenthal Institute(Instituto Freudenthal), de la Universidad de Utrecht, Países Bajos, con el apoyo delsubsidio n.º 9054928 de la National Science Foundation (Fundación Nacional paralas Ciencias).

Esta unidad es nueva y ha sido preparada como parte de la revisión curricular serealizó entre los años 2003 y 2005, con el apoyo del subsidio n.º ESI 0137414 de laNational Science Foundation.

National Science FoundationLas opiniones expresadas pertenecen a los autores y no reflejan necesariamente las de la Fundación.

Abels, M., Wijers, M. y Pligge, M. (2006). De nuevo números. Wisconsin Center forEducation Research & Freudenthal Institute (Eds.), Las matemáticas en contexto.Chicago: Encyclopædia Britannica, Inc.

Copyright © 2006 Encyclopædia Britannica, Inc.

Reservados todos los derechos.Impreso en los Estados Unidos de América.

Este trabajo está protegido por las actuales leyes estadounidenses de propiedadintelectual, que rigen también su uso público, su presentación y otros usosaplicables. Queda prohibido cualquier uso no autorizado por la ley de propiedadintelectual de los Estados Unidos sin nuestro expreso consentimiento escrito, queincluye, aunque no exclusivamente, su copia, adaptación y transmisión televisiva o por otros medios o procesos. Para obtener mayor información con respecto a una licencia, escriba a Encyclopædia Britannica, Inc., 331 N. LaSalle St., Chicago, IL 60610.

ISBN 0-03-093062-6

1 2 3 4 5 6 073 09 08 07 06

De nuevo los números.qxd 2/17/06 2:41 PM Page ii

Equipo de desarrollo de Las matemáticas en contextoDesarrollo 2003–2005

Mieke Abels y Monica Wijers desarrollaron De nuevo números. La adaptación para su uso en lasescuelas estadounidenses es de Margaret A. Pligge.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg David C. Webb Jan de Lange Truus DekkerDirector Coordinador Director Coordinadora

Gail Burrill Margaret A. Pligge Mieke Abels Monica WijersCoordinadora editorial Coordinadora editorial Coordinadora Coordinadora

del contenido del contenido

Personal del proyecto

Sarah Ailts Margaret R. Meyer Arthur Bakker Nathalie KuijpersBeth R. Cole Anne Park Peter Boon Huub Nilwik Erin Hazlett Bryna Rappaport Els Feijs Sonia PalhaTeri Hedges Kathleen A. Steele Dédé de Haan Nanda QuerelleKaren Hoiberg Ana C. Stephens Martin Kindt Martin van ReeuwijkCarrie Johnson Candace UlmerJean Krusi Jill VettrusElaine McGrath

De nuevo los números.qxd 2/17/06 2:41 PM Page iii

© 2006 Encyclopædia Britannica, Inc. Las matemáticas en contextoy el logotipo de Las matemáticas en contexto son marcas registradas de Encyclopædia Britannica, Inc.

Créditos de las fotografías de la portada: (de izquierda a derecha) © William Whitehurst/Corbis; © Getty Images; © Comstock Images

Ilustraciones1, 2, 4, 6 Christine McCabe/© Encyclopædia Britannica, Inc.; 11 (arriba, abajo) Jerry Kraus/© Encyclopædia Britannica, Inc.; (medio)Michael Nutter/© Encyclopædia Britannica, Inc.; 37, 54 Rich Stergulz

Fotografías1 © Tony Arruza/Corbis; 4 Victoria Smith/HRW; 5 (arriba) © Corbis;(medio) © Tim Davis/ Corbis; (abajo) R. Clarke/Diomedea Images; 6 SamDudgeon/HRW; 8 (arriba) © Robert Galbraith/Reuters/Corbis; (abajo) © David Madison/NewSport/Corbis; 10, 14 PhotoDisc/Getty Images; 18 © Image 100; 20 Janice Carr/CDC; 23 Visuals Unlimited; 25, 36Victoria Smith/HRW; 40 John Langfore/HRW

De nuevo los números.qxd 2/17/06 2:41 PM Page iv

Contenido

Contenido V

Carta al alumno VI

Sección A VelocidadLa ola 1Haz olas 2Tasas y unidades 2Récords de velocidad 5Tiempo de reacción 6En un santiamén 8La velocidad de la luz 8Distancia en el espacio 10Resumen 12Verifica tu trabajo 13

Sección B NotaciónBase diez 16Dilución 17Números pequeños 20Resumen 22Verifica tu trabajo 23

Sección C Investigar algoritmosMultiplicación 25División 27Operaciones con fracciones 29Resumen 32Verifica tu trabajo 33

Sección D OperacionesEl curioso cero 36Números negativos 37Propiedades de los números 40Resumen 42Verifica tu trabajo 43

Sección E Reflexiones sobre los númerosSuma y resta 45Multiplicación y división 46Actividad con números aleatorios 47Potencias y raíces 50Resumen 52Verifica tu trabajo 53

Práctica adicional 54

Respuestas para verificar tu trabajo 60

Mezclar

1 onza

9 onzas

10 onzas

De nuevo los números.qxd 2/17/06 2:41 PM Page v

VI De nuevo números

Querido alumno:

¿Has estado alguna vez en un evento deportivo, enel que el resultado de la carrera fue estrecho? Hoyen día los relojes electrónicos son muy precisos ypueden dividir un segundo en un millón de partes.La precisión es extremadamente importante paralos científicos cuando trazan mapas de territoriosdesconocidos en el espacio exterior y cuandomapean el interior del cuerpo humano.

En la unidad De nuevo números, aprenderás a usar números conmayor precisión. Investigarás aún más formas de representarnúmeros muy grandes y números muy pequeños. Reflexionarás sobretodas las operaciones numéricas. Mejorarás tu precisión al trabajarcon operaciones numéricas, observando operaciones relacionadas.

Esperamos que disfrutes de esta unidad.

Atentamente.

El equipo de desarrollo de Las matemáticas en contexto

Neptuno Venus

De nuevo los números.qxd 2/17/06 2:41 PM Page vi

A

En el Estadio de los Browns de Clevelandse pueden sentar más de 73,200personas. Los hinchas de Clevelandcrean a menudo una ola: la gente sepone de pie levantando los brazos y sevuelve a sentar rápidamente. Cuando ungrupo se sienta, un grupo adyacente selevanta. La ola recorre todo el estadio.

Sección A:Velocidad 1

Velocidad

La ola

RAMPA SUROESTE

RA

MPA

NOROESTE

RAMPA SURESTE

NO

SO SE

NE

BR

OW

NS

BR

OW

NS

MA

RC

AD

OR

OE

ST

E MA

RC

AD

OR

ES

TE

933 ft

69

5 f

t

RAMPA NO

RES

TE

1. a. Las dimensiones del estadio son de 933 pies por 695 pies. Calculacuántos pies recorre la ola una sola vez alrededor del estadio.Describe cómo hallaste tu estimación.

b. ¿Cuánto tiempo demorará la ola en viajar una vez alrededor delestadio? Describe cómo hallaste tu estimación.

c. Usa tus estimaciones para hallar la distancia promedio que la olarecorre en un segundo. Si lo deseas, puedes usar una tabla derazones para hacer tus cálculos.

Si una ola de estadio recorre 60 pies (ft) en 2 segundos (s), viaja a unavelocidad media de 30 pies por segundo o 30 ft/s.

Distancia (en ft)

Tiempo (en s)

De nuevo los números.qxd 2/17/06 2:41 PM Page 1

Para esta actividad, necesitarás:

• cronómetro y

• cinta métrica.

Comenta con un compañero cómo hallar la velocidad media de una ola.

Compartan su idea con la clase.

Decidan un plan para hallar la velocidad media de una ola en su salón de clase.

Anoten el tiempo (en segundos) y la distancia (en pies) para que una olarecorra todo el salón de clase.

2. a. Usa los datos de la actividad para calcular la velocidad media de la ola en tu clase.

b. Compara la ola de tu clase con la ola del estadio de Cleveland.Describe tus conclusiones.

Una tasa es la razón de dos unidades de medida diferentes. Por ejemplo,puedes expresar la tasa de velocidad en millas por hora (mi/h) o en pies porsegundo (ft/s). Con las unidades métricas, generalmente, la velocidad seexpresa en kilómetros por hora (km/h) o en metros por segundo (m/s).

2 De nuevo números

Actividad

Haz olas

Tasas y unidades


A


AVelocidad

3. ¿Qué otras tasas conoces? Copia esta tabla y complétala.

Tal vez recuerdes de la unidad Razones y tasas que usaste tablas de razonespara expresar tasas en forma de un solo número.

Stuart y Lexa son investigadores que analizan las velocidades medias degrandes multitudes. En un estadio de fútbol, cronometraron una ola quetardó 22 s en recorrer 440 asientos. Cada asiento tiene un ancho total de 2 ft.

4. a. Calcula en asientos por segundo la velocidad media de la ola.

b. Compara la velocidad media de esta investigación con lasvelocidades que hallaste en el problema 2b. ¿En qué se parecen?

Rita averiguó que 30 ft/s es la velocidad media de la ola en su clase. Quieresaber a cuánto equivale esta velocidad en millas por hora. Así es cómoempezó a resolver el problema.

Distancia (en ft) 30

1Tiempo (en s)

� 60 � 60

� 60 � 60

Rita: “Primero multipliqué por 60 paraobtener el número de pies por 60 segundos,es decir, por un minuto”.

5. a. Explica el segundo paso de Rita.

b. Copia la tabla de razones de Rita ycalcula los números que faltan.

c. Usa esta información para hallar lavelocidad media de la ola en millaspor hora (mi/h).

¿Sabías que en 1 mi hay 5,280 ft?

Unidades Ejemplo

Frecuencia cardíaca

Latidos/minuto (lpm)

Transferencia de datos

Kilobytes/segundos (kB/s)

Mi corazón late con una frecuencia de 65 latidos por minuto.

La velocidad del flujo de descarga es de 1,024 kilobytes por segundo.

Densidad de población


A

Puedes usar una técnica similar para convertir metros por segundo (m/s)en kilómetros por hora (km/h).

4 De nuevo números

VelocidadA

Kenny corre 60 m en 15 s.

6. a. Copia esta tabla de razones y usa las flechaspara mostrar los pasos que tienes que seguirpara hallar la distancia que Kenny corre enuna hora.

b. ¿Cuál es la velocidad media de Kenny enmetros por hora? ¿Cuál es la velocidad media de Kenny en km/h?

c. ¿Será Kenny realmente capaz de correr esadistancia en una hora? Explica.

d. Enrique corre 50 m en 12 s. ¿La velocidadmedia de Enrique, es mayor o menor que la de Kenny? Muestra tu trabajo.

Distancia (en m) 60

15 Tiempo (en s)

Maddie: “Hice la carrera de los 5 km en 25 minutos.Me pregunto a qué velocidad corrí en kilómetrospor hora”.

7. Calcula en km/h la velocidad media de Maddiepara la carrera de los 5 km.

Para comparar velocidades, tal vez tengas que cambiarlas unidades. Es fácil transformar kilómetros por horaen millas por hora si tienes un velocímetro como este.

8. Explica por qué este velocímetro es en realidaduna recta numérica doble.


A


AVelocidad

Récords de velocidad

En la mayoría de los países europeos, el límite de velocidad en lascarreteras es de 120 km/h, en los caminos de los condados es de 80 km/h y en los pueblos es de 50 km/h.

9. ¿Comó se pueden comparar estos límites de velocidad con los de los Estados Unidos?

Estos son algunos de los récords de velocidad para una variedad de criaturas.

Un guepardo, o gatopardo, corre a 70 mi/h.

El avestruz es una clase especial de “velocista”. Es un ave, pero novuela. Corre 20 mi en 40 min.

Los caballos cuarto de milla son losmás rápidos del mundo. Puedencubrir un cuarto de milla en menosde 21 s.

En el agua, el récord de velocidad es del pez vela que, con marcalmo, puede alcanzar una velocidad de 100 m en 3.3 s.

El rabitojo mongol ha sidocronometrado repetida ycuidadosamente en vuelo horizontalsobre una pista de dos millas en 32.8 s.

El 14 de septiembre de 2002, Tim Montgomery, de los EstadosUnidos, estableció un récord mundial en los 100 m, con unamarca de 9.78 s en la Final del Gran Premio IAAF.

10. Ordena estos récords de velocidad en el odómetro de la Hoja de

actividad del estudiante 1. Muestra tu trabajo. Nota que una de estasvelocidades no se ajustará al odómetro.

11. Reflexiona ¿Cuál es la diferencia entre velocidad media y velocidad máxima?

¿Pueden ser las dos iguales? Explica tus respuestas. Trata de incluirejemplos en tu explicación.

a

b

c

d

f

e


A

Los cronómetros digitales aumentan la exactitud.

12. a. ¿Qué tiempo muestra este cronómetro?

b. ¿Qué significa el 04?

c. ¿Cuánto tiempo más necesita pasar para que elcronómetro marque 1 hora?

Estos cronómetros de mano son exactos; sin embargo,dependen del tiempo de reacción de los humanos que losusan. A partir del momento en que ves u oyes una señal, senecesita tiempo para que la señal vaya hasta tu cerebro,tiempo para que tu cerebro reaccione y, finalmente, tiempopara que los nervios y los músculos de tus dedos reaccionen.Determinarás tu tiempo de reacción personal usando losdatos reunidos en la siguiente actividad.

6 De nuevo números

VelocidadA

Tiempo de reacción

Actividad

Para esta actividad, necesitas una regla de centímetros.Trabajarás con un compañero.

Un estudiante sostiene la regla verticalmente, el otro (elreceptor) mantiene separados el pulgar y el índice a unos 3 cm, a la altura del 0 de la regla.

Sin dar ninguna señal, el que sostiene la regla la suelta. Elreceptor trata de reaccionar lo más rápido posible y agarrala regla. Anoten el número de centímetros que se hadeslizado la regla antes de agarrarla.

La cantidad de centímetros que se deslizan antes deagagar la regla es la distancia que se usará para calcular el tiempo de reacción del receptor.

Hagan este experimento cinco veces por persona y anotenlas distancias en centímetros.


A

Cuando sabes la distancia en centímetros, puedes usar una fórmula paracalcular el tiempo de reacción en segundos.

13. a. ¿Cuál de estas tres fórmulas da el mismo resultado que la primera fórmula?

b. Usa una de las fórmulas correctas para calcular los cinco tiempos de reacción que anotaste en la actividad anterior. Calcula tu tiempode reacción promedio.

Cathy Freeman, de Australia, una atleta de talla mundial, tuvo un tiempo dereacción de 0.223 s en la final de 400 m en el Campeonato Mundial de 1995.Su tiempo de reacción se midió con un instrumento electrónico que estabadentro del bloque de partida. Este instrumento registró el intervalo entre eltiro de partida y la atleta que primero partió de los bloques.

14. a. En la Hoja de actividad del estudiante 1, completa los tiempos que falten indicados por los espacios en blanco debajo de la recta numérica.

b. ¿Cuánto más larga tiene que ser esta recta numérica para ubicar 1 s?

c. Coloca en la recta numérica el tiempo de reacción de CathyFreeman. Usa una flecha para señalar la ubicación.

d. Distintas pruebas han confirmado que nadie puede reaccionar enmenos de 0.110 de segundo. Coloca en la recta numérica este tiempomínimo de reacción y tu tiempo de reacción del problema 13b. Si esnecesario, amplía la recta.

e. Explica por qué se declara una largada en falso si el intervalo entreel tiro de largada y el momento en que el atleta parte del bloque esmenor que 0.110 de segundo.


AVelocidad

ts 2 � d 980

�

ts 0.002 � d� ts 0.045 � d�ts d490

�

d es la distancia, en centímetros, que se desliza la regla antes de atraparla.

Otras fórmulas para hallar el tiempo de reacción son:

o

0 0.100_____ _____ _____ _____ segundos


8 De nuevo números

A VelocidadA

En un santiaménEn 2002, Tim Montgomery, de los Estados Unidos, estableció unrécord mundial en los 100 m, marcando un tiempo de 9.78 s. Sutiempo fue una centésima de segundo más rápido que el récordanterior de 9.79 s, establecido por Maurice Green en 1999.

Imagina que ambos atletas corran en la misma carrera de 100 m, a su propio ritmo del récord mundial. ¿Sería unresultado estrecho? Para investigar, necesitarías filmar de cercala llegada, en el momento que Tim alcance la línea de meta.

15 a. ¿Cuánto tiempo (en s) transcurre entre el triunfo de Timy la llegada de Maurice?

b. Haz una suposición. ¿Cuál es la distancia de Mauricedesde la línea de llegada cuando Tim gana la carrera?

En lugar de suponer, puedes calcular esta distancia encentímetros. Esta tabla de razones te ayudará con tus cálculos.

c. Explica los números 10,000 y 9.79 que están en la tabla de razones.

d. Calcula la distancia de la última columna. ¿Qué sabes ahora?

e. Si estuvieras en la carrera, ¿podrías decir quién llegó primero? Explica tu respuesta.

La velocidad de la luz es de 299,792,458 m/s.

16. a. ¿Cuántos kilómetros viaja la luz por segundo?

b. ¿Cuál es la velocidad de la luz en kilómetros por hora?

Distancia (en cm) 10,000

9.79 1 0.1 0.01Tiempo (en s)

La velocidad de la luz

Tim Montgomery

Maurice Green


A

Frecuentemente, la velocidad de la luz se redondea a 300,000,000 m/s.

Esta tabla muestra muchas formas diferentes de escribir este número.

17. Copia en tu cuaderno la última hilera de la tabla y completa losnúmeros que faltan.

Tal vez recuerdes que en la unidad Datos y factores escribiste números muygrandes en notación científica.

Un número escrito en notación científica es el producto de un número entre 1 y 10, y de una potencia de 10. El primer número se llama mantisa.

Escrito en notación científica 1,680,900 es 1.68 � 106.

Observa que la mantisa está redondeada a dos valores decimales.

Una calculadora puede mostrar este número como:

18. a. Escribe 43,986,000,000,000 en notación científica. Redondea lamantisa a un valor decimal.

b. Escribe en notación científica la velocidad de la luz en km/h delejercicio 16b. Redondea la mantisa a dos valores decimales.


AVelocidad

Velocidad de la luz

300,000,00030,000,0003,000,000

300,000............3

300,000,00030,000,0003,000,000

300,000...............

110

1001,000

...

...

...

...

...

101

102

...

...

...

...

...

...

��

��

��

1.68 o como06 1.68 � E06


10 De nuevo números

A

La distancia promedio desde la Tierra hasta elSol es de unos 1.5 � 108 kilómetros. Neptunoestá 30 veces más lejos del Sol.

19. Escribe en notación científica la distanciadesde Neptuno hasta el Sol.

La distancia desde el Sol hasta Venus es 0.72veces la distancia desde el Sol hasta la Tierra.

20. Escribe en notación científica la distanciadesde Venus hasta el Sol.

VelocidadA

Distancia en el espacio

Samanta y Jennifer están verificando las respuestas de su tarea. No estánde acuerdo en este problema: 102 � 103 � ________

Samanta dice que la respuesta es 105, mientras que Jennifer cree que tieneque ser 106.

21. a. ¿Quién tiene razón, Samanta o Jennifer? ¿Cómo se lo explicarías a la persona que hizo mal el problema?

b. Explica por qué 104 � 104 � 104 � 104 � 104 � 104 � 104 � 104 �104 � 104 � 105.

Samanta y Jennifer no están de acuerdo en este problema: 106 � 103 � ________Samanta dice que la respuesta es 102, mientras que Jennifer creeque tiene que ser 103.

c. ¿Quién tiene razón, Samanta o Jennifer? ¿Cómo se lo explicarías a la persona que hizo mal el problema?

Resuelve los siguientes problemas sin usar una calculadora. Escribe tusrespuestas en notación científica.

22. a. Multiplica 8 � 103 por 4 � 102.

b. Divide 8 � 103 por 4 � 102.

c. Suma 8 � 103 y 4 � 102.

d. Resta 4 � 102 de 8 � 103.

23. Si m y n son números naturales, escribe el producto de 10m � 10n enforma de potencia de base 10.

Neptuno Venus


A

Sistemas numéricos diferentes

Nuestro sistema numérico usa diezdígitos, que equivalen al número dededos que tenemos.

Por lo tanto, usamos un sistemanumérico de base 10.

¿Por qué tenemos 24 horas en un día? ¿Por qué hay 60 minutos en una horay 60 segundos en un minuto?

Para explicarlo tenemos que retroceder 4,000 añosa la tierra que se encuentra entre los ríos Tigris yÉufrates, donde vivían los sumerios. Ellos tambiénusaban los dedos para contar cosas, pero lo hacíande manera diferente.

Los sumerios contaban las articulaciones de losdedos en lugar de los dedos y para hacer el conteo

usaban el pulgar. Su sistema numérico era de base 12, por eso dividían undía en doce partes.

Mil años después, los babilonios, que vivieron en la misma zona que lossumerios, usaron un sistema numérico debase 60. No se sabe muy bien por quéeligieron 60. Una razón podría ser porquela base 60 facilita las operaciones dedivisión, ya que 60 es divisible por 2, 3, 4,5, 6, 10 y 12.

Dividieron el día en dos partes de 12 horas porque doce se ajustaperfectamente a su sistema. (12 � 3 � 4 y 60 � 3 � 4 � 5). Las horas sedividieron en 60 minutos y los minutos se dividieron en 60 segundos. Estesistema para el tiempo se usa aun hoy en día.

Para las otras divisiones usaron su sistema de base 60. En nuestro sistemadecimal, el primer decimal es el décimo. En el sistema de base 60, el primervalor fraccionario es el sexagésimo. El primer valor fraccionario se llamaminuto, el segundo valor se llama segundo. Por eso, una hora tiene 60minutos y un minuto tiene 60 segundos.

Los babilonios no sólo midieron el tiempo, sino que también estudiaronastronomía y midieron ángulos. Dividieron el cielo en doce sectores, eltiempo que tarda la Tierra en completar una vuelta alrededor del Sol. Cadasector medía 30º, así que un año completo ocupaba 360° (12 � 30). Cadagrado se dividía en 60 minutos y cada minuto se dividía en 60 segundos.


AVelocidad

Historia de las matemáticas

0

0 50 100 km

25 50 75 mi

Babilonia

LarsaUr

Eridú

Esnunna

Sippar

Kis

Borsippa Nippur

IsinAdab

Lagash

Uruk

Susa

Diy

ala

TigrisÉufrates

Karkheh

Dez

Karu

n

Golfo Pérsico

N

S

O E

DESIERTO

ARÁBIGO

M A R I S M A S

S U M E R

A C A D

MO

NTES ZAGRO

SB A B I L O N I A

123

456

78

9 1011

12Día Noche

1

2 34

5 67

8 9

10



TasasUna tasa es la razón de dos unidades de medida diferentes escritas comoun solo número. Estos son ejemplos de tasas:

• la frecuencia cardíaca en reposo, por ejemplo, 85 lpm;

• la velocidad de un automóvil en una carretera, por ejemplo, 55 mi/h u 88 km/h;

• la tasa de transferencia de datos, por ejemplo, 1,024 kB/s.

Una tabla de razones es una herramienta útil para hallar una tasa.

Imagina que recorriste 150 km en 2.5 horas. Una tabla de razones puedeayudarte a determinar tu velocidad media en km/h.

UnidadesAlgunas veces, tienes que convertir las unidades de medida de una tasa.

• ¿A cuánto equivalen 5 m/s en kilómetros por hora?

Ahora convierte:

1,800 m � 1.8 km y 3,600 s � 1 h.

Distancia (en km) 150

2.5 5 1

300 60

Tiempo (en h)

� 2 � 5

� 2 � 5

� 60 � 60

� 60 � 60

Distancia (en m) 5 300 1,800

3,600601Tiempo (en s)

A Velocidad

¿Cuál es la tasapromedio de velocidadsi se recorren 150 km en2.5 horas?

Respuesta: 60 km/h

¿A cuánto equivalen5 m/s en kilómetrospor hora?

Respuesta: 1.8 km/h



• ¿A cuánto equivalen 60 km/h en metros por minuto?

Primero convierte:

60 km � 60,000 m y 1 h � 60 m.

Notación científicaCualquier número positivo escrito en notación científica es unproducto de dos factores: un número entre 1 y 10 (la mantisa),y una potencia de 10.

Escrito en notación científica 28,600,000 es 2.86 � 107.

Una calculadora puede mostrar este número como:

Puedes redondear la mantisa a un valor decimal: 2.9 � 107.

� 60

� 60

Distancia (en m)

Tiempo (en s)

60,000

60 1

1,000

2.86 o como07 2.86 � E07

1. Helena caminó 18 km en 4 1��2 horas. ¿Cuál fue su tasa promedio de velocidad en km/h?

El 31 de enero de 2005, el Centro Internacional de Programas delDepartamento del Censo de los Estados Unidos calculó la poblaciónmundial en 6,415,905,543 personas.

2. a. ¿Cuál es el significado del seis en este número?

b. Escribe este número en notación científica, redondeando la mantisa a un valor decimal.

¿A cuánto equivalen 60 km/h en metros por minuto?

Respuesta: 1,000 m/min



Velocidad

3. Calcula en millas por hora la velocidad de rotación de la Tierra en elecuador. La circunferencia de la Tierra en el ecuador mide alrededorde 2.5 � 104 millas.

A

En un año, la Tierra recorre aproximadamente 5.8 � 108 millas mientras giraalrededor del Sol.

4. Calcula en millas por hora la velocidad media orbital de la Tierraalrededor del Sol.

5. La velocidad media orbital de Mercurio alrededor del Sol es de unos48 km/s. ¿Es la velocidad orbital de Mercurio más rápida o más lentaque la velocidad orbital de la Tierra? Explica tu respuesta.

6. Resuelve los siguientes problemas sin usar calculadora. Escribe turespuesta final en notación científica.

a. Multiplica 3 � 104 por 2 � 102.

b. Divide 2 � 1010 por 106.

c. Suma 2 � 103 y 4.5 � 102.

d. Resta 6 � 102 de 2 � 103.

La Tierra da una vuelta completa sobre sueje en 24 horas. La velocidad de rotaciónempieza en cero en cualquier pologeográfico y aumenta a medida que vashacia el ecuador.



Cuando los cronometradores usaban cronómetros de mano, era muydifícil clasificar exactamente a los competidores del mismo nivel. Enlos Juegos Olímpicos de Roma, en 1960, el australiano John Devitt y elestadounidense Lance Larson terminaron casi a la par en la final de lascompetencias de natación de 100 m libres. Los tres cronometradoresdel carril de Devitt le marcaron un tiempo de 55.2 s. A Larson lemarcaron tiempos de 55.0, 55.1 y 55.1 s. Los jueces declararon ganadora Devitt. El tiempo oficial para ambos nadadores se registró en 55.2 s.

7. a. ¿Es justo? Explica tu razonamiento usando lo que sabes sobre eltiempo de reacción.

b. Imagina que Larson nadó 100 m en 55.2 s y que Devitt terminó 0.1 santes que Larson. ¿Cuál es la distancia de Larson (en cm) desde lapared en el momento en que Devitt terminó la carrera? ¿Se habríapodido observar?

Escribe 236.7 � 104 en forma de un número.

¿Por qué 236.7 � 104 no está escrito en notación científica?



En la sección anterior, trabajaste con números pequeños con uno omás decimales. Ahora investigarás más sobre números decimales, por ejemplo, 9.78.

1. a. ¿Cuál es el valor de cada dígito en el número 9.78?

b. ¿Cuál es el valor de cada dígito en el número 97.8?

c. ¿Cómo se comparan el número 9.78 y el número 97.8? Describe enqué se parecen y en qué se diferencian.

En la unidad Datos y factores aprendiste que cuando multiplicas por 10 unnúmero, multiplicas por 10 el valor de cada dígito.

Considera 72.35 y 72.35 � 10.

BNotación

Base diez

� 7 � 10 2 � 1 3 � 1 10

3 � 1

2 � 1

2 � ___ 3 � ___ 5 � ___

2 � 10 7 � 100

7 � 10

7 � ___

�

�

�

�

�

� �

�

�

�

�

�

�

�

�

5 � 1 100

5 � 1 1003 � 1 10

5 � 1 10�

723.5�

�

�

�

Caundo divides un número por 10, divides el valor de cada dígito por 10.

72.35

72.35 � 10

72.35 � 10

72.35

____

� ____

____ ____ ____

2. Completa cada espacio en blanco en la Hoja de actividad del

estudiante 2.


Estos son dos esquemas paramultiplicar por diez y paradividir por diez.

3. En la Hoja de actividad del

estudiante 2, completa elesquema que muestra ladivisión por diez.

Sección B: Notación 17

BNotación

DiluciónTienes que diluir muchos productos domésticos comunes antes de usarlos.Diluyes el jabón para lavar platos en agua antes de lavarlos. En el agua de lapiscina se diluyen productos químicos, como el cloro, para que el agua estélimpia. Diluyes sopa concentrada en leche o agua antes de cocinarla.

4. Resuelve sin usar una calculadora.

a. 4.8 � 10 d. 9.8 � 10 � 10 � 10

b. 4.8 � 10 � 10 e. 5 � 1,000

c. 6.37 � 10 � 10 f. 1.25 � 1,000

Para investigar el proceso de dilución,Celia diluye en agua el colorante paraalimentos.

Vierte una onza de colorante en unrecipiente y le agrega nueve onzas de agua. Celia tiene una solución de10 onzas.

5. ¿Qué parte de la solución de Celia es colorante paraalimentos? ¿Qué parte es agua?

Mezclar

1 onza

9 onzas

10 onzas

Luego, Celia vierte una onza de la solución en un recipiente graduado vacío.Agrega suficiente agua para tener 10 onzas y revuelve la solución.

6. ¿Qué parte de la segunda solución de Celia es colorante para alimentos?

7 2 3 5

7 2 3 5

ce

nte

na

s

de

ce

na

s

un

ida

de

s

dé

cim

as

ce

nté

sim

as

� 10 � 10

ce

nte

na

s

de

ce

na

s

un

ida

de

s

dé

cim

as

ce

nté

sim

as

mil

ésim

as

7 2 3 5


9. Copia la tabla para seisdiluciones y complétala.

Imagina que la tabla se amplíahasta 20 diluciones.

10. ¿Qué parte de la solución de10 onzas es colorante paraalimentos después de 12diluciones? y ¿después de 20 diluciones?


A Celia le encanta el color nuevo. Decide volverlo a hacer y vierteuna onza de esta segunda solución en otro recipiente graduadovacío. Agrega suficiente agua para tener una solución de 10 onzas.

7. ¿Qué parte de la tercera solución de Celia es colorante para alimentos?

8. Imagina que Celia repite este proceso otra vez. ¿Qué parte de la cuarta solución de 10 onzas de Celia sería colorante para alimentos?

NotaciónB

Número de

diluciones

Parte de la solución

de 10 oz que es

colorante para

alimentos

1

2

3

4

5

6

0.1 o 110

0.01 o 1100

Probablemente, has descubierto que es tan tedioso escribir números muypequeños como escribir números muy grandes. También se puededesarrollar un sistema de abreviación como el que usas para númerosgrandes para usarlo con números muy pequeños.

Cuando estabas diluyendo colorante para alimentos dividiste por 10 la partede colorante de cada solución.

Esta es una forma de describir este proceso de dilución con notación de flechas.

11. Copia la cadena de flechas y complétala hasta llegar a la sexta dilución.

Esta es una cadena de flechas que empieza en 10,000 y dividerepetidamente por 10 el resultado.

12. Copia el patrón y continúalo hasta que tengas ocho flechas.

0.1 � 10 0.01 � 10 0.001 _____� 10

10,000 � 10 1,000 � 10 100 _____� 10


Puedes mostrar verticalmente este patrón de división por 10.

13. a. Copia en tu cuaderno la muestra vertical de laizquierda. También escribe cada resultado comouna potencia de 10. Hazlo sólo con los númerosde los que sepas la potencia de 10.

b. Describe cualquier patrón que veas en las potenciasde 10. ¿Cómo continuarías este patrón?

c. ¿Cómo le explicarías a alguien que 100 � 1?

14. a. Repasa la tabla de las diluciones de colorante paraalimentos de Celia. Imagina que tienes una soluciónque se compone de 10�4 partes de colorante paraalimentos. ¿Cuántas diluciones han ocurrido? ¿Cómo lo sabes?

b. ¿Cuántas diluciones han ocurrido si la solución tiene10�6 de colorante para alimentos?

c. ¿Qué parte de la solución es colorante para alimentossi has hecho cinco diluciones? Escribe este númerocomo una potencia de 10.

d. Describe la relación entre el número de diluciones y la parte de solución que es colorante para alimentos.


BNotación

10,000 �

� 10

1,000 �

� 10

100 �

� 10

10 �

� 10

1 �

� 10

0.1 �

� 10

0.01 �

� 10

0.001 �

� 10

0.0001 �

104

Piensa en diluir la séptima solución para hacer la octava. Recuerda quecada dilución implica dividir por 10.

15. a. ¿Cómo se escribe 10�7 � 10 como potencia de 10?

b. ¿Cómo es 10�6 � 100? (Pista: dividir por 100 equivale a dos diluciones.)

16. Muestra que puedes escribir el resultado de 100 � 1,000 como 10�1.

17. a. Calcula 106 � 103.

b. Calcula 104 � 107.


Números pequeños

Casi al final de la Sección A, creaste una regla general para multiplicarpotencias de base diez.

Si m y n son números naturales, entonces 10m � 10n � 10m+n.

18. a. Da ejemplos que muestren que esta regla es válida también paravalores negativos de m y de n.

b. Crea una regla general para dividir potencias de base diez.

19. Halla cada producto o cociente. Escribe tus respuestas como unapotencia de base diez y como un numeral.

a. 105 � 102 e. 105 � 102

b. 105 � 10�2 f. 10�5 � 102

c. 10�5 � 102 g. 105 � 10�2

d. 10�5 � 10�2 h. 10�5 � 10�2


NotaciónB

Esta es una fotografía de unas bacterias ampliada 10,000 veces.

20. a. Mide en milímetros (mm) el diámetro de laimagen de una de las bacterias de la fotografía.

b. Halla el tamaño real de esta bacteria.

La Micoplasma pneumoniae es un tipo de bacteria que provoca anginas, bronquitis y neumonía. Labacteria micoplasma tiene un tamaño que va de 0.0015 mm a 0.0025 mm.

21. ¿Puede ser un ejemplo de Micoplasma pneumoniaela bacteria del problema 20? Justifica tu razonamiento.

10,000x


22. Copia estas hileras en tu cuaderno y completa los números que faltan.

La última hilera muestra cómo escribir 0.0025 en notación científica.

Escrito en notación científica 0.0025 es 2.5 � 10 �3.

Para escribir 0.00000075 en notación científica, puedes iniciar un patrón.

0.00000075 � 1 � 0.00000075 � 100

0.0000075 � 0.1 � 0.0000075 � 10�1

23. a. Continúa el patrón hasta que el número esté en notación científica.

b. Escribe 0.00261 en notación científica.

c. Escribe lo que muestra tu calculadora después de que ingresas: 20 � 30,000,000,000,000 �

¿Cómo escribes esta respuesta en notación científica?

d. Escribe 1.8 � 10�5 como numeral.

24. Reflexiona ¿Por qué 0.87 � 10�4 no está escrito en notación científica? ¿Cómo escribirías este número en notación científica?


BNotación

Tamaño de la bacteria Micoplasma

0.0025 1� �

�

�

�

0.025

2.5

0.1�

�

�

0.0025 100

10–1

�

0.025 �

�

�



Sistemas de notaciónEl sistema numérico que usamos hoy en día es un sistema de notaciónposicional basado en potencias de base diez. Cada dígito ocupa unaposición relacionada con una potencia de base diez.

• La posición de cada dígito en un número determina su valor.

• Puedes leer el número 14.75 como:

“catorce, y setenta y cinco centésimas”.

• Puedes escribir el número 14.75 como:

1 � 10 � 4 � 1 � 7 � 1��10 � 5 � 1��100.

• También puedes escribir el número 14.75 usando potencias de 10.

1 � 101 � 4 � 100 � 7 � 10�1 � 5 � 10�2

Dividir por diezCuando divides un número por 10,divides por 10 el valor de cada dígito.

4 � 1 1 � 10

1 � 1

�

�

�

�

�

�

5 � 1 100

7 � 1 100 5 � 1 1000

7 � 1 10

4 � 1 10

�

�

1.475�

14.75

14.75 � 10

Notación científicaLa notación científica es una forma de escribir números muy grandes omuy pequeños. Un número escrito en notación científica es un productode un número entre 1 y 10, y de una potencia de base diez.

45,000,000 � 4.5 � 10,000,000, así que 45,000,000 escrito en notacióncientífica es 4.5 � 107.

NotaciónB

� 10

ce

nte

na

s

de

ce

na

s

un

ida

de

s

dé

cim

as

ce

nté

sim

as

mil

ésim

as

1 4 7 5



0.000025 � 2.5 � 0.00001, así que 0.000025 escrito en notación científicaes 2.5 � 10�5.

Las calculadoras muestran números muy pequeños o muy grandes usando la notación científica.

Una calculadora puede mostrar 2.5 � 10�5 como:

Operaciones con potencias de 10Si p y q son números enteros positivos, entonces 10p � 10q � 10p + q

y 10p � 10q � 10p – q.

2.5 o–05 2.5 � E–05

Esta es una fotografía ampliada de un cabello humano.

1. a. ¿Qué significa el 1,000x de la ilustración?

b. Mide en centímetros el ancho del cabello de la fotografía.

c. ¿Cuál es el grosor real de este cabello? Escribe tu respuesta en forma de numeral y en notación científica.

2. Escribe cada resultado como potencia de base diez.

a. 1010 � 105 e. 10�4 � 10

b. 103 � 105 f. 10�6 � 100

c. 100 � 100,000 g. 10�7 � 103

d. 10 � 1,000,000,000

3. Escribe en forma de numeral.

a. 34.2 � 103

b. 34.2 � 10�3

1,000x



4. a. Usa una calculadora para hallar la respuesta de 4 � 250,000,000.Escribe tu respuesta en notación científica.

b. Calcula el producto de 3.5 � 103 y de 1.2 � 10�2.

5. Escribe en notación científica.

a. 0.00267

b. 0.00000678

c. 15 � 20,000,000,000

¿Cómo le explicarías a alguien que 10�3 � 1��1000�� o igual a 0.001?

NotaciónB


Tu vecino ofrece pagarte para que seasel tutor de matemáticas de su hijo.Aceptas y arreglas tu primera claseparticular con Harvey.

Harvey llega a tu casa, se deja caer enuna silla y abre su libro de matemáticasde 4.o grado para leer este problema.

• Una caja de limonada Limonchelocontiene 24 botellas.

• Si la gerente de un supermercadocompra 49 cajas llenas, ¿cuántasbotellas compró?

Sección C: Investigar algoritmos 25

CInvestigar algoritmos

Multiplicación

Le pides a Harvey que trate de resolver el problema y él, de mala manera,toma su lápiz y empieza a resolverlo. Mientras él trabaja, tu resuelvesmentalmente el problema.

1. a. Describe una forma de calcular la respuesta.

b. Ajusta tu cálculo para hallar una respuesta exacta.

Para resolver el problema, Harvey usa una tabla de razones.

Cuando termina, no está muy seguro y pregunta: “¿Lo hice bien?”.

2. Revisa la solución de la tabla de razones de Harvey y explica cada entrada.

Cajas

Botellas

1

24

10

240

5

120

4

96

9

216

40

960

49

1,176



Investigar algoritmosC

La siguiente oportunidad en que ves a Harvey para la clase particular, sacaalgunas notas de su mochila y dice: “¿Recuerdas ese problema de lasbotellas de limonada que hicimos la última vez? Bueno, algunos de misamigos lo resolvieron de maneras diferentes. Intentaron explicarme lo quehicieron, pero me confundí. Sé que obtuvieron la misma respuesta que yo,pero creo que resolvieron mal el problema”.

Harvey te muestra la solución de Sean en la que usa una tabla de razones ydice: “Sean usó una tabla de razones como yo, pero esto es lo que escribió.¿Tiene razón?”.

3. ¿Cómo le explicarías a Harvey el razonamiento de Sean?

Harvey te muestra las soluciones de Sandra y de Hattie para el problema de la limonada: 24 � 49.

Sandra resolvió el problema de este modo:

Hattie resolvió el problema de este modo:

Harvey dice: “Sandra y Hattie dicen que hicieron lo mismo. Pero Sandra usóuna tabla de razones y Hattie usó algo que es totalmente diferente. ¿Cómopueden ser iguales las dos?”.

4. ¿En qué se parecen las formas en que Sandra y Hattie multiplican 24 � 49? ¿En qué se diferencian?

Cajones

Botellas

1

24

50

1,200

49

1,176

Cajones

Botellas

1

24

9

216

40

960

49

1,176

24� 49216

9601,176


Hattie usó un algoritmo estándar para calcular 24 � 49. Un algoritmo esun conjunto predeterminado de reglas que se usa para realizar cálculos.La palabra proviene del nombre de un científico árabe, al-Khwarizmi, quevivió en el siglo IX.

Harvey te muestra también la solución deClarence. Clarence enumera cuatro problemasde multiplicación diferentes. Harvey parecerealmente confundido y dice: “¡Mira lo que hizoClarence! ¡Sé que esto no puede ser correcto!”.

5. ¿Cómo le explicarías a Harvey que el método de Clarence es unaforma legítima de multiplicar 24 � 49?



800

? ?

?

?

Modelo basado en el área6. Si no lo has usado en tu respuesta al problema 5,

muestra cómo usar el modelo basado en el áreapara multiplicar 24 � 49.

7. a. ¿Cuál de los métodos de multiplicaciónpresentados en las páginas 25 a 27 prefieres?Explica.

b. Muestra cómo hallar el producto de 28 � 36con dos métodos diferentes. Puedes usar losdos que prefieras.

Una vez, a principios de marzo, Harvey llega a la clase particular muydisgustado. Dice: “Justo cuando entendí la multiplicación, cambian losproblemas. ¡Ahora nos hacen resolver divisiones!”.

Le aseguras que podrá resolver problemas de división tan fácilmentecomo ahora puede resolver problemas de multiplicación. Le sugieresque, ya que le gusta usar tablas de razones para multiplicar, puedeusarlas para dividir. Harvey decide intentarlo. Él lee este problema de su libro.

Una fábrica de grapadoras puede empacar 32 grapadoras enuna caja estándar. Una compañía grande pide 2,000 grapadoras.¿Cuántas cajas necesitas para cumplir el pedido?

Harvey hace esta tabla de razones.

División

Cajas

Grapadoras

1

32

2

64

20

640

60

1,920

62

1,984

9 � 4 �9 � 20 �40 � 4 �

40 � 20 �

36180 160800

1,176


Harvey termina su trabajo y dice: “La fábrica tiene que empacar y enviar 62 cajas, y después tiene que calcular cómo enviar 16 grapadoras más. O tendrían que llamar a la compañía y preguntar si quieren 62 o 63 cajas”.

Estudia la tabla de razones de Harvey.

8. ¿Cómo averiguó Harvey que 60 cajas contendrían 1,920 grapadoras?

Harvey te pregunta cómo resolverías el problema. Le dices que loresolverías mentalmente. Supón que compartiste esta estrategia mentalcon Harvey.



Una caja contiene 32 grapadoras. Cien cajas contienen 3,200 grapadoras.

Cincuenta cajas contienen 1,600 grapadoras.Diez cajas contienen 320 grapadoras.Entonces, sesenta cajas contienen 1,920 grapadoras.

Todavía necesito empacar 80 grapadoras.Dos cajas m·s contendrán 64 grapadoras, pero todavía faltará empacar 16 de las 2,000 grapadoras.

Justo en ese momento, el padre de Harvey llega para llevarlo a su casa.Harvey está tan emocionado con respecto a poder resolver problemas dedivisión que le da a su papá el problema de la fábrica de grapadoras, paraver cómo lo resolvería. Su padre toma un lápiz y escribe lo siguiente.

9. a. Compara la estrategia mental con la estrategia de la tabla derazones de Harvey y con la estrategia de su papá. Describecualquier semejanza y cualquier diferencia entre estas estrategias.

b. ¿Qué método usas normalmente para resolver este tipo de problema?

32 2000 � 192 80 � 64 16

62




La multiplicación y la división están estrechamente relacionadas. En efecto,por cada problema de multiplicación hay por lo menos dos problemas dedivisión relacionados. Explorarás esta relación usando el problema demultiplicación que Harvey leyó en su libro.

Una caja de limonada Limonchelo contiene 24 botellas. Si lagerente de un supermercado compra 49 cajas llenas, ¿cuántasbotellas compró?

La oración numérica que se relaciona con esta situación es 24 � 49 � 1,176.

10. ¿Puede la oración numérica ser también 49 � 24 � 1,176? Sí o no, ¿por qué?

También puedes pensar en las cajas y en las botellas de la siguientemanera:

“Hay 1,176 botellas de limonada en las cajas. Cada caja se llena con 24 botellas”.

Esto significa que hay 49 cajas llenos.

La oración numérica que se relaciona con esta situación es 1,176 ÷ 24 � 49.

11. Otra oración numérica relacionada es 1,176 ÷ 49 � 24. Escribe unrelato sobre las cajas y las botellas para que concuerde con estaoración numérica.

En el pueblo donde vive Harvey, cada manzana mide alrededor 1��8 de milla.Esta es una recta numérica doble que muestra la relación entre lasmanzanas y las millas.

12. a. Harvey vive a cuarenta manzanas del centro comercial. ¿Acuántas millas del centro comercial está la casa de Harvey?¿Cómo lo calculaste?

b. Explica cómo se relaciona 40 � 1��8 con la ubicación de la casarespecto al centro comercial.

c. Muestra cómo usar la tabla de razones para calcular 40 � 1��8 .

Operaciones con fracciones

0

0

1 2 4 6 8 manzanas

millas 1 2

Manzanas

Millas

1

1 8




Manzanas

Millas

1

1 8

13. a. Harvey vive a 31��2 millas de la escuela. ¿A cuántas manzanas de la escuela vive Harvey? ¿Cómo lo calculaste?

b. Explica cómo se relaciona 31��2 � 1��8 con la localización de la escuela respecto a la casa.

Para calcular 31��4 � 1��8 , puedes crear un problema de contexto como el siguiente.

¿Cuántas manzanas de 1��8 de milla hay en 31��4 millas? O,

¿cuántas veces cabe 1��8 de milla en 31��4 millas?

14. a. Calcula 31��4 � 1��8 con esta tabla de razones.

b. Calcula 21��2 � 1��8 .

c. ¿Cómo calcularías 21��2 � 1��6 ?

15. a. La madre de Harvey hizo 6 litros de limonada y quiere almacenarlaen botellas de 3��4 de litro. ¿Cuántas botellas puede llenar conlimonada? Muestra tu trabajo.

b. Crea un problema de contexto que se adecue a 6 � 2��3 y halla la respuesta.

Para calcular 6 � 2��3 puedes usar una tabla de razones, pero a Chi le gustausar una estrategia diferente.

“6 � 2��3 significa que tengo que calcularcuántas veces 2��3 cabe en 6. Así quevolveré a escribir 6 en tercios.“

16. a. Explica por qué 6 � 18��3 .

b. ¿Por qué puedes hallar la

respuesta de 18��3 � 2��3 calculando

18 � 2?

17. Usa el algoritmo de Chi para calcular:

a. 6 � 3��7 �

b. 5 � 2��3 �

c. 2 � 4��5 �

6 � � � 23

23

18 3

�18 � 2

� 9

Chi


La madre de Harvey hizo 71–2 litros de helado. Quiere almacenarlo en

cajas de 3–4 de litro. ¿Cuántas cajas puede llenar?

18. a. Escribe un problema de división para este contexto.

b. ¿A cuántos cuartos equivalen 71–2 litros de helado?

Copia y completa: 71–2 �

…—2

�…—4

c. ¿Cuántas cajas puede llenar la madre de Harvey?

Las fracciones del problema anterior tenían denominadores diferentes. Para hallar el número de veces que 3��4 de litro caben en 71–

2 litros es útiligualar los denominadores de las fracciones.

19. a. Crea un problema de contexto que se adecue a 31–3 � 5–

6.

b. 31–3 �

…—3

�…—6

c. Resuelve tu problema de contexto.

Tu última respuesta fue un número entero positivo. Tu respuesta tambiénpuede ser una fracción. Mira los problemas 17b y 17c.

20. a. 21–6 � 1–

3 � b. 11–8 � 1–

4 � c. 31–2 � 1–

3 �

Los números como 21–6 y 11–

8 se llaman números mixtos porque son la suma de un número entero positivo y de una fracción.

Cuando divides dos números mixtos a menudo la respuesta será unnúmero mixto.

21. a. 41–2 � 11–

3 �

b. Crea un problema de división que incluya números mixtos y resuélvelo.

22. a. 1—14 � 1–

7 � b. 1—10 � 1–

5 �

23. a. ¿Qué observas en el problema 22? ¿Cómo puedes explicar este fenómeno?

b. Crea tres problemas más con el mismo fenómeno. Resuelve cada uno.






Algoritmo

Un algoritmo es un conjunto predeterminado de reglas que se usa para realizar cálculos. Antes de que se inventaran las calculadoras, la gente desarrollóalgoritmos muy eficientes para la suma, la resta, lamultiplicación y la división.

Modelo basado en el áreaPara algunos problemas de multiplicaciónpuedes establecer este modelo basado en el área.

Por ejemplo:42 � 7542 � 75 � 2,800 � 140 � 200 � 10

� 3,150

La relación entre la multiplicación y la divisiónLa multiplicación y la división están estrechamente relacionadas. Para cadaproblema de multiplicación existen dos problemas de división relacionadoscon él.

Si 24 � 49 � 1,176, entonces 1,176 � 24 � 49 y 1,176 � 49 � 24.

División con fraccionesSi tienes que resolver un problema sin contexto, es útil crear un contexto propio que se adecue al problema. Para 9 � 3��4 , puedes crear el siguiente contexto.

Tengo 9 pies de cinta que quiero cortar en pedazos de 3��4 de ft. ¿Cuántos pedazos debo cortar?

70

40

2

2,800

140

5

200

10

32 2000 � 192 80 � 64 16

62



Puedes usar una de las siguientes estrategias:

• una tabla de razones:

• denominadores comunes de Chi: 9 � 3–4 � 36—

4 � 3–4 �

� 36 � 3 o 12

Explicación de la estrategia de Chi:

Con 9 pies, puedes hacer 36 pedazos de 1–4 de pie de largo.

Para obtener pedazos de 3–4 de pie, puedes reunir los 36 pedazos de uncuarto de pie en grupos de 3 para formar 12 grupos.

Respuesta: de 9 pies de cinta, puedes cortar 12 pedazos, cada uno de 3–4 de pie de largo.

Número de pedazos 1 4 12

3 9Longitud (en pulgadas)

� 4 � 3

� 4 � 3

34

1. Multiplica 24 � 61 usando dos de los métodos tratados en esta sección.

2. a. Crea un problema de contexto para ilustrar 3,000 � 28.

b. Halla la respuesta a 3,000 � 28 con dos métodos diferentes que te gusten. Explica tus métodos.

c. Explica qué hacer con el residuo de la división de tu problema de contexto.



Investigar algoritmos

3. a. Copia en tu cuaderno el modelobasado en el área y completa losnúmeros que faltan.

b. ¿Qué multiplicación se adecua al problema a?

Usa el modelo basado en el áreapara hallar la respuesta.

4. Calcula.

a. 6 � 1��5 b. 2 3��4 � 1��8 c. 5 � 1 2��3

5 a. Crea un problema de contexto que se adecue a 10 1��2 � 3��4 .

b. Vuelve a escribir 10 1��2 como ...��4 .

c. Resuelve el problema de contexto que creaste para 10 1��2 � 3��4 .

Alisa creó el siguiente problema de contexto que se adecua a 2 1��2 � 2��3 .

Troy recorrió 2 1��2 km en 2��3 de hora. ¿Cuál es su velocidad media por hora?

6. Copia en tu cuaderno esta tabla de razones y úsala para resolver el problema.

C

Distancia (en km) 2

Tiempo (en h) 23

12

50

1500 60

..... 14

.....

.....

7



Remítete a las tablas de razones de las páginas 25 y 27 que Harvey usó pararesolver un problema de multiplicación y un problema de división.

El problema de la limonada (multiplicación)

Hay 24 botellas por caja. ¿Cuántas botellas hay en 49 cajas?

1. Escribe el enunciado de multiplicación que resuelve el problema.

El problema de las grapadoras (división)

Hay 32 grapadoras por caja. ¿Cuántas cajas necesitas para tener 2,000 grapadoras?

2. Escribe el enunciado de división que resuelve el problema.

3. Explica las diferencias entre la manera en que puedes usar tablas derazones para problemas de multiplicación y la manera en que las usaspara problemas de división. (Pista: observa dónde está la respuesta en cada tabla de razones.)

Cajas

Botellas

1

24

10

240

5

120

4

96

9

216

40

960

49

1,176

Cajas

Grapadoras

1

32

2

64

20

640

60

1,920

62

1,984



D

En la Sección C, trabajaste con Harvey en problemas de multiplicacióny de división. Ahora trabajarás con él en la relación que existe entreestas operaciones.

Le dices a Harvey: “Para cada problema de multiplicación, existen dos problemas de división relacionados. Por ejemplo, puedes tomar 3 � 7 � 21 y escribirlo como 21 � 3 � 7”.

1. a. Escribe el otro enunciado de división para 3 � 7 � 21.

b. Escribe los dos enunciados de división para 8 � 7 � 56.

c. Escribe los dos enunciados de división para 1 � 6 � 6.

d. ¿Qué enunciados de multiplicación se adecuan a 18 � 6 � 3?

Luego, le pides a Harvey que escriba un enunciado de división para lasiguiente situación:

Tienes seis pegatinas y no las compartes con nadie. Harvey sonríe y dice:“¡Lo sé! Tengo seis pegatinas y no las comparto con nadie.

El enunciado de división es 6 � 0 � 6. No las comparto con nadie, entoncestengo las seis pegatinas”.

2. a. ¿Qué piensas del enunciado de división de Harvey?

b. Escribe un enunciado de multiplicación relacionado con elenunciado de división de Harvey. ¿Qué tiene de raro?

Operaciones

El curioso cero

Después de pensarlo, te das cuenta de quela respuesta de Harvey no puede estarcorrecta. Para ayudar a Harvey a ver quehay algo incorrecto en su respuesta, le pidesque divida 6 por 0 con su calculadora.

3. Divide 6 por 0 con tu calculadora. ¿Qué obtienes?


Harvey está sorprendido y te pregunta: “¿Por qué la calculadora no diocomo mi problema?”.

Tú le respondes: “Buena pregunta. ¿Por qué no lo verificamos?”.

Ahora le pides a Harvey que escriba enunciados de división para 7 � 0 � 0y para 8 � 0 � 0. Él escribe 0 � 0 � 7 y 0 � 0 � 8.

4. ¿Qué tienen de raro los enunciados de división de Harvey?

Harvey sonríe y dice: “Ahora sé por qué mi calculadora se confundió cuandopuse 6 ÷ 0. ¿Pero qué pasa con mi problema de las pegatinas? ¿Qué sucedesi tengo seis pegatinas y no las comparto con nadie?”. Le dices a Harveyque escribió el enunciado equivocado.

5. ¿Qué enunciado de división debería haber escrito Harvey para elproblema de las pegatinas?

6. Crea un problema de contexto para ilustrar por qué 0 � 8 � 0.

Sección D: Operaciones 37

DOperaciones

Números negativos

Un avión parte de Ámsterdam en un vuelo trasatlántico hasta Filadelfia.

Durante el vuelo, las pantallas de televisión muestran el recorrido del avión, los datos sobre la altitud y la temperatura en el exterior.



Betania está interesada en las temperaturas y toma estas notas:

7. a. ¿A qué altitud caerá la temperatura por debajo de cero?

b. Escribe una regla que describa lo que sucede con la temperaturacuando asciendes.

c. Usa tu regla para predecir la temperatura a una altitud de 30,000 pies.

Betania escribió 16 � 30 � –2.

8. Explica cómo se adecua este cálculo al problema 7c.

El cálculo de Betania usa la multiplicación 30 � –2.

9. a. Halla el producto de 30 � –2.

b. Teniendo en cuenta la clase particular del problema 1, escribedos enunciados de división relacionados con este enunciadode multiplicación.

El avión cambió de altitud y la temperatura bajó 10 grados. Betania quierecalcular qué tanto cambió la altitud del avión.

10. a. ¿Cómo le explicarías a Betania que puede hallar el cambio de altitud calculando (10 � 2) � 1,000 pies?

b. Explícale que también puede hallar el cambio de altitud calculando(–10 � –2) � 1,000 pies.

11. Copia los siguientes cálculos y complétalos.

a. b.

OperacionesD

10 � 2 � 5 � 2 � 0 � 2 �

–5 � 2 �–10 � 2 �

–10 � –2 � –5 � –2 �0 � –2 �5 � –2 �

10 � –2 �

Altitud (en ft) Temperatura del

aire en el exterior

(en oC)

Ámsterdam, 0

1,000

5,000

16

14

6


Tal vez recuerdes las cuatro reglas para la multiplicación de númerospositivos y negativos. Dos de las reglas son:

positivo � positivo � positivo

positivo � negativo � negativo

12. ¿Cuáles son las otras dos reglas de la multiplicación?

13. Copia este árbol y complétalo.

También hay cuatro reglas de la división. Una regla es:

positivo ÷ positivo � positivo

14. ¿Cuáles son las otras tres reglas de la división? Ilustra cada regla con un ejemplo.

15. Copia este árbol. Realiza las operaciones de división de izquierda a derecha.

16. Remítete a los árboles de los problemas 13 y 15. ¿Por qué tienes quetrabajar de izquierda a derecha en el árbol del problema 15 y por quéeso no es necesario en el árbol del problema 13?


DOperaciones

� �

�

–2

–15

– 3

� �

�

–100 5

–1



Si terminas un trabajo en cinco horas recibirás tres dólares por hora. Si terminas un trabajo en tres horas recibirás cinco dólares por hora.

17. ¿Qué piensas de esta oferta?

En un problema de contexto, 5 � 3 puede significar algo diferente de 3 � 5,pero el producto es el mismo.

El enunciado 3 � 5 � 5 � 3 ilustra la propiedad conmutativa de

la multiplicación.

18. ¿Para qué operaciones no es válida la propiedad conmutativa? Justificatus conclusiones.

OperacionesD

Propiedades de los números

Dirk trabaja en un restaurante los fines desemana. Gana 41��2 dólares por hora. Este fin de semana, trabajó 5 horas el sábado y 3 horas el domingo.

19. a. ¿Cuánto dinero ganó el sábado?¿Cuánto ganó el domingo?

b. ¿Cuánto ganó Dirk en total en ambos días?

Para responder a 19b, Dirk escribió:

5 � 41��2 � 3 � 41��2 � 8 � 41��2 .

c. Explica cada número de esta igualdady fíjate si 8 � 41��2 se corresponde contu respuesta para 19b.

Dirk decidió sumar 5 y 3 primero, y luego multiplicar el resultado por 41��2 , en lugar de multiplicar 5 � 41��2 y 3 � 41��2 primero, y luego sumar los resultados.

La estrategia de Dirk ilustra la propiedad distributiva de la multiplicación

(con respecto a la suma).

Muchas personas usan la propiedad distributiva sin darse cuenta de quelo están haciendo.


Gloria ilustra cómo usar la propiedad distributiva de la multiplicación (conrespecto a la suma) para calcular 6 � 151��2 . Este es su trabajo.

20. a. Describe cómo usó Gloria la propiedad distributiva para su cálculo.

b. Compara la forma en que Dirk y Gloria aplicaron la propiedaddistributiva. ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian?

c. Muestra cómo puedes usar esta propiedad para calcularmentalmente 5 � 24.

21. Investiga si funciona la propiedad distributiva de la multiplicación (con respecto a la resta). Ilustra tu respuesta con un ejemplo.

En la unidad Datos y factores, trabajaste con árboles aritméticos.

Este árbol aritmético muestra el cálculo (5 � 3) � 2.

22. a. ¿Por qué 5 � 3 está escrito entre paréntesis?

b. Muestra el árbol aritmético para 5 � (3 � 2).

c. Compara las dos expresiones. ¿En qué separecen y en qué se diferencian?

La propiedad que investigaste en el problema 22 es la propiedad asociativa

de la multiplicación. Puedes agrupar los factores de la manera que quieras yaun así obtener la misma respuesta.

Juan ilustra la propiedad asociativapara la multiplicación.

23. a. ¿Es la propiedad asociativa válida también para la suma? Justifica tus conclusiones.

b. ¿Es la propiedad asociativa válida también para la resta? ¿Y para la división? Justifica tus conclusiones.


DOperaciones

6 � 56 � 10�

5

6

1012

6 12

5 3

?

?

2

�

�

(10 � 5) � 3 10 � (5 � 3)

50 � 3 10 � 15

150 150



En esta sección, descubriste algunos hechos interesantes sobre los números.

CeroDividir por cero no tiene sentido.

Multiplicar por cero da siempre cero como resultado.

Números negativosExisten cuatro reglas para la división.

positivo � positivo � positivo

positivo � negativo � negativo

negativo � positivo � negativo

negativo � negativo � positivo

Propiedad conmutativa• De la suma: a � b � b � a

Puedes cambiar el orden de los términos, por ejemplo, 2 � 5,467 � 5,467 � 2.

• De la multiplicación: a � b � b � a

Puedes cambiar el orden de los factores, por ejemplo,10 � 3 � 3 � 10.

Propiedad distributiva• De la multiplicación con respecto a la suma: a � (b + c) � a � b + a � c

Por ejemplo: considera el producto de 5 � 24 como 5 � (20 � 4).

5 � 24 �

5 � (20 � 4) �

5 � 20 � 5 � 4 �

100 � 20 � 120

D Operaciones



• De la multiplicación con respecto a la resta: a � (b – c) � a � b – a � c

Por ejemplo: considera el producto de 6 � 49 como 6 � (50 � 1).

6 � 49 �

6 � (50 � 1) �

6 � 50 � 6 � 1 �

300 � 6 � 294

Propiedad asociativa• De la suma: a + (b + c) � (a + b) + c

Puedes agrupar los términos de la manera que quieras y aun asíobtener la misma respuesta.

Por ejemplo, compara 15 � (5 � 10) y (15 � 5) � 10.

15 � (5 � 10) � 15 � 15 � 30

(15 � 5) � 10 � 20 � 10 � 30

• De la multiplicación: (a � b) � c � a � (b � c)

Puedes agrupar los factores de la manera que quieras y aun así obtener la misma respuesta.

Por ejemplo, compara (10 � 5) � 3 y 10 � (5 � 3).

(10 � 5) � 3 � 10 � (5 � 3) �

50 � 3 � 150 10 � 15 � 150

1. Explica por qué 0 � 0 no tiene respuesta.

2. ¿Por qué no tienes que usar una calculadora para hallar la respuesta de:

(9 � 1) � (9 � 2) � (9 � 3) � (9 � 4) � (9 � 5) � (9 � 6) � (9 � 7) � (9 � 8) � (9 � 9)?



D Operaciones

3. Copia el árbol y complétalo.

4. Este es un árbol con distintas clases de operaciones (�, �, y �). Copia este árbol con cuidado y complétalo. ¡El orden de lasoperaciones puede ser importante!

5. Usa la propiedad distributiva para calcular las siguientesmultiplicaciones. Asegúrate de mostrar cada paso que hiciste.

a. 6 � 18 b. 3 � 21–2 c. 7 � 121–

2

� �

�

–12 –4

–2

� �

�

–2

–10

1 2–

Sasha observa:

En la Sección B, aprendí que cuando divido un número por diez,divido por diez el valor de cada dígito. Creo que este es un ejemplodel uso de la propiedad distributiva.

Usa un ejemplo para explicar lo que Sasha quiere decir.


Los números naturales son los números 1, 2, 3, 4, etcétera. También se losllama números de contar.

Los números enteros positivos son los números 0, 1, 2, 3, etcétera.

1. a. Elige dos números enteros positivos cualesquiera y súmalos.

b. ¿Es la suma de tus números un número entero positivo?

c. ¿Sucede siempre esto cuando sumas dos números enterospositivos? Explica.

2. a. Elige dos números enteros positivos y réstalos en el orden con que los elegiste.

b. ¿Es la diferencia un número entero positivo?

c. ¿Sucede siempre esto cuando restas dos números enteros positivos? Explica.

En el sistema de coordenadas rectangular, puedes caracterizar cada puntode la cuadrícula mediante sus coordenadas. Las coordenadas de puntos delprimer cuadrante son pares de números enteros positivos.

Los puntos A (2, 1) y B (3, 5) indican dos puntos del cuadrante I concoordenadas de números enteros positivos.

Sección E: Reflexiones sobre los números 45

EReflexiones sobre losnúmeros

Suma y resta

y

A

B

x0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8

3. a. En la Hoja de actividad del estudiante 3, asignaun valor a cada una de las intersecciones de laslíneas de la cuadrícula restando la segundacoordenada de la primera. Por ejemplo, elpunto A, cuyas coordenadas son (2, 1) tiene un valor de 1 (2 � 1 = 1); el punto B, cuyascoordenadas son (3, 5) tiene un valor de –2 (3 – 5 = –2). Rotula esta cuadrícula comoCuadrícula de la resta.

b. ¿Es el punto A el único de la Cuadrícula de laresta que tiene un valor de 1? Sí o no, ¿por qué?

c. ¿Para qué puntos obtienes un número enteropositivo como resultado?


6. a. Usa la notación de flechas para mostrar la relación entre lamultiplicación y la división.

2 ⎯� 5⎯→ ____

2 ←⎯�

⎯_____

⎯⎯ ____

b. Describe con palabras cómo se relacionan las operaciones demultiplicación y de división.

7. a. Si eliges dos números enteros positivos cualesquiera y losmultiplicas, ¿será siempre el producto un número entero positivo?

b. Si eliges dos números enteros positivos cualesquiera y los divides,¿será siempre tu cociente un número entero positivo?

8. ¿Cuál es la probabilidad de obtener como cociente un número enteropositivo cuando divides dos números naturales elegidos al azar?

d. Usa la Cuadrícula de la resta para describir cualquier patrón queobserves. Asegúrate de mirar las hileras, las columnas y todas lasdiagonales. Considera la ubicación de todos los valores negativos.Considera lo que sucedería si unieras todos los puntos quetuvieran el mismo valor.

4. Si eligieras al azar dos números enteros positivos, ¿cuál sería laprobabilidad de obtener un resultado negativo al restar el segundonúmero del primero?

Averiguaste que la diferencia entre dos números enteros positivos no essiempre un número entero positivo. A veces, la diferencia es un númeronegativo. Cuando combinas los números naturales, el cero y el opuesto de los números naturales, el resultado son los números enteros, máscomúnmente llamados enteros.

5. Reflexiona Compara los tres conjuntos de números: el conjunto delos números naturales, el conjunto de los números enteros positivos y el conjunto de los números enteros. Describe las semejanzas y las diferencias.


Reflexiones sobre los númerosE

Multiplicación y división



Actividad

9. Tres estudiantes usaron su calculadora para generar números naturalesaleatorios. Tim obtuvo 36 como su primer número, Pam obtuvo 41 yJoyce obtuvo 50. ¿Quién es más probable que termine con un númeroentero positivo después de generar un segundo número natural y dedividirlo? Justifica tu razonamiento.

10. Describe las clases de números que podrías obtener al dividir dosnúmeros enteros positivos.

II Repite este proceso presionando continuamente hasta que tengas 10 resultados.

Presiona

I Usando una calculadora, crea dos números naturales aleatorios que se encuentren entre el 1 y el 100.

Lleva el cursor a PRB y selecciona randInt(

TEST

MATH

1 , 100 , 2 )Presiona

ENTERPresiona

III Divide el primer número aleatorio por el segundo. Determina si el resultado es, o no, un número natural. Anota tus resultados.

y anota los dos números aleatorios.

ENTER

IV Reúne tus resultados con los del resto de la clase.

Luego usa estos números para explorar la probabilidad de obtener como cociente un número entero positivo cuando divides dos números naturales elegidos al azar.

¿Cu·l es l a probabilidad de obtener como cociente un número natural cuando divides dos números naturales elegidos al azar según tus resultados?

:rand2:nPr3:nCr4:!5:randInt(6:randNorm(7:randBin(

randInt(1,100,2)

randInt(1,100,2){86 73}

Actividad con números aleatorios




Vuelve a considerar el primer cuadrante del sistema de coordenadas.

11. a. En la Hoja de actividad del estudiante 4, asigna un nuevo valor acada uno de los puntos de la cuadrícula, dividiendo la primeracoordenada por la segunda.

Por ejemplo, el punto A, cuyas coordenadas son (3, 2) ahora tiene un valor de 3��2 (3 � 2 � 3��2). Deja tus respuestas en forma de fracciones reducidas a sus términos mínimos. Rotula estacuadrícula como Cuadrícula de la división.

b. Usa la Cuadrícula de la división para hallar la probabilidad deobtener como cociente un número entero positivo cuando dividesdos números naturales elegidos al azar. Compara esto con turespuesta al problema 7.

12. a. Encierra en un círculo los puntos de la cuadrícula que tienen como valor un número entero positivo.

b. En algunas columnas hay más números enteros positivosencerrados en círculos que en otras. Explica por qué sucede esto.

13. Con lápices de color, encierra en un círculo del mismo color todos lospuntos que tienen igual valor. Describe los patrones que observas.

14. a. Describe cómo recorrer la cuadrícula entre dos puntos que tienencada uno un valor de 1��2 .

b. Traza una recta que pase por todos los puntos rotulados 1��2.

y

A

x0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8

32



AReflexiones sobre los números

15. a. Compara las ubicaciones de los puntos rotulados 2 con las de lospuntos rotulados 1��2. Describe lo que halles.

b. Los puntos rotulados 2��3 y 3��2 son las reflexiones de uno y otro sobre la recta que se forma al relacionar todos los puntos que tienen unvalor de 1. Nombra algunos otros valores que sean reflexionessobre esta recta.

16. Considera la Cuadrícula de la resta y la Cuadrícula de la división.

a. Para cada cuadrícula:

• describe la ubicación en donde los puntos tienen el mismo valor;

• describe la ubicación de cualquier número entero positivo.

b. Considera la recta y � x. En cada cuadrícula, decide qué valoresestán en esta recta. Explica por qué sucede esto.

c. ¿Qué sucede en cada cuadrícula cuando usas cero como el primero o el segundo número?

d. ¿Hay puntos que tengan el mismo valor en ambas cuadrículas? Explica.

Estos son los cuatro cuadrantes del sistema de coordenadas rectangular,rotulados en sentido contrario a las agujas del reloj desde Cuadrante Ihasta Cuadrante IV.

17. a. En la Hoja de actividad del estudiante 5, vuelve a crear la Cuadrículade la división al asignar un valor a cada uno de los puntos de lacuadrícula, dividiendo la primera coordenada por la segunda.

b. ¿Siguen siendo verdaderas las observaciones que hiciste en losproblemas 12 y 13? Describe otros patrones que observes.

y

1

1 0 2 3 4 5 6 7 �1

�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7

�2

�3

�4

�5

�6

�7

2

3

4

5

6

7

x

Cuadrante ICuadrante II

Cuadrante III Cuadrante IV


19. a. ¿Obtendrás siempre como resultado un número entero positivo sielevas al cuadrado un número entero positivo?

b. ¿Obtendrás siempre como resultado un número entero positivo si elevas un número entero positivo a cualquier potencia que no sea dos?

c. ¿Obtendrás siempre como resultado un número entero positivo sisacas la raíz cuadrada de un número entero positivo?

d. ¿Cómo puedes saber si puedes, o no, dar un número exacto parauna raíz cuadrada?

La operación inversa de elevar al cuadrado es extraer la raíz cuadrada.Cuando extraes la raíz cuadrada de algunos números enteros positivos, no puedes escribirla en forma de enteros ni de fracciones. En estos casos,puedes usar el signo de la raíz cuadrada (��).

Por ejemplo, no puedes escribir la raíz cuadrada de dos en forma de unnúmero entero positivo ni de fracción; tienes que dejarla como ��2 . Losnúmeros que no puedes expresar como números racionales se llamannúmeros irracionales.

20. a. ¿Cuál es la raíz cuadrada de cinco? ¿Es irracional? Sí o no, ¿por qué?

b. ¿Cuáles de los siguientes números son irracionales?

��1.69�� , ��36�, ��1��4 , ��10� , π

Cuando dividiste dos enteros, descubriste que el cociente no siempre eraun número entero positivo pero que a menudo era una fracción o unnúmero decimal. Todos los números que puedes escribir como el cocientede dos enteros se llaman números racionales. La palabra racionalproviene de la palabra razón.

18. a. ¿Son también números racionales todos los números naturales?Muestra dos ejemplos.

b. ¿Es el cero un número racional? Explica.



Potencias y raíces



EReflexiones sobre los números

21. a. Usa la Hoja de actividad del estudiante 6 para ubicar ��9 y –��9en la recta numérica. Usa flechas para señalar de la manera másexacta posible la correcta ubicación de los números.

b. ¿Cómo puedes ubicar ��99� en la recta numérica sin usar unacalculadora?

c. Coloca cada uno de los siguientes números en la recta numérica.Usa una flecha para señalar de la manera más exacta posible laubicación de los números.

–41��4, 0.01, ��27�, –0.99, π, ��225�� , 10.5, 10.05, 3.52

22. a. Usa la segunda recta numérica de la Hoja de actividad del

estudiante 6 para ubicar ��2 y ��3 .

b. Tanto ��2 como ��3 son números irracionales. Halla un tercer número irracional que esté ubicado en alguna parte entre ��2 y ��3 .Da este número.

c. Halla un cuarto número irracional que esté ubicado en alguna parteentre ��2 y el tercer número. Da este número.

23. a. Dibuja una recta numérica que muestre el 5.1 a la izquierda y el 5.2 a la derecha.

b. Tanto 5.1 como 5.2 son números racionales. Halla un tercernúmero racional que esté ubicado en alguna parte entre 5.1 y 5.2.Da este número.

c. Halla un cuarto número racional que esté ubicado en alguna parteentre 5.1 y el tercer número. Da este número.

Los números racionales y los irracionales combinados constituyen losnúmeros reales.

En los dos últimos problemas, has investigado una propiedad de losnúmeros reales: ¡entre dos números reales de la recta numérica, siemprepuedes encontrar otro número real!

–10 0 10



Reflexiones sobre los números

En esta sección, investigaste las propiedades de los números reales. Estos son los nombres de los diferentes números reales.

Números naturalesLos números naturales son los números 1, 2, 3, 4, etcétera. Números decontar es otra manera de nombrar a los números naturales.

Ejemplos: 1, ��36� , 65, 234, 2.57 � 106

Números enteros positivosTodos los números naturales y el cero constituyen los números enteros positivos.

Ejemplos: 0, 1, ��49�, 54, 2.54 � 104

EnterosTodos los números naturales, el cero y el opuesto de los números naturalesconstituyen los enteros.

Ejemplos: –34, –5, ��16� , 0, ��100�� , 32, 99, 2.67 � 105

Números racionalesTodos los números que puedes escribir como la razón de dos enteros sonnúmeros racionales.

Ejemplos: –22.7, –91��4 , –6, – ��4, – 1��3 , –3.7 � 10-4, 0, 3.7 � 10-4,1��2 , ��1��4 , –��225�� , 22.7, 3.7 � 104

Números irracionalesLos números que no se pueden expresar como números racionales sellaman números irracionales.

Ejemplos: La raíz cuadrada de 10 (��10� ) no se puede escribir en forma deentero ni en forma de fracción; equivale aproximadamente a 3.16.Pi (π) equivale aproximadamente a 3.14 o 31��7 .

Números reales Los números racionales y los irracionales combinados constituyen los números reales.

Ejemplos: –22.7, –91��4 , –6, – ��10� , – ��4, – 1��3 , –3.7 � 10-4, 0,

3.7 � 10-4, 1��2 , ��1��4 , π, ��10� , ��225�� , 22.7, 3.7 � 104

E



1. ¿Es posible obtener un número menor cuando multiplicas? Explica y da un ejemplo.

2. a. ¿Es 2��3 un número racional o irracional?

b. ¿Es 11��2 un número racional o irracional?

c. ¿Es 2 un número racional o irracional?

d. ¿Serían racionales los números de 2a y 2b si fueran negativos?

3. Considera un círculo con un radio de 5 centímetros. En su calculadora,Pablo calcula el área de este círculo de la siguiente manera.

π � 25 �

Josie usa su calculadora para calcular:

3.14 � 25

a. ¿Obtendrán Pablo y Josie la misma respuesta? Sí o no, ¿por qué?

b. ¿Obtendrá cualquiera de los dos una respuesta exacta? Sí o no, ¿por qué?

4. a. ¿Es ��23� un número racional o irracional?

b. ¿Es ��49� un número racional o irracional?

5. ¿Existen los números irracionales negativos? Explica tu respuesta y da un ejemplo si es apropiado.

¿En qué se parecen las razones y los números racionales? ¿En qué se diferencian?


Velocidad del sonido

Lena vio el estallido de un relámpago y oyó el trueno tres segundos mástarde. Ella conoce una regla para calcular la distancia de la tormenta: unamilla por cada cinco segundos.

1. ¿Qué estimación obtendrá Lena para la distancia de la tormenta?

Para comprender por qué funciona esto, tienes que saber que existe unagran diferencia entre la velocidad de la luz y la velocidad del sonido. Elsonido viaja a través del aire a una velocidad de unas 760 mi/h. La luzviaja unas 106 veces más rápido que el sonido.

2. a. ¿Cuál es la velocidad de la luz en mi/h? Escribe tu respuesta enforma de numeral.

b. Usa la velocidad del sonido para calcular la distancia en millas queel sonido puede recorrer en tres segundos.

c. ¿Es razonable la regla de Lena? Explica.

Pedro está más familiarizado con las unidades métricas. Él usa esta regla: un kilómetro por cada tres segundos.

3. ¿Cuál es más exacta, la regla de Lena o la regla de Pedro? Explica.

4. Calcula la velocidad del sonido en pies por segundo.


Práctica adicional

Sección VelocidadA

Cuando te paras frente a una pared derocas y aplaudes, puedes oír un eco.Las ondas sonoras se mueven desde tumano hasta la pared, luego se reflectanen la pared y recorren la mismadistancia hasta ti.

Kim oyó un eco medio segundodespués de aplaudir.

5. ¿A qué distancia de la paredestaba Kim? Tal vez quieras usarla velocidad del sonido quecalculaste en el problema 4.


Puedes oír un eco cuando el tiempo en que el sonido viaja desde ti hasta la pared y regresa es más de 0.05 segundos.

6. ¿A qué distancia mínima de la pared necesitas estar parado para oír un eco?


Sección NotaciónB

El sonido, en realidad, es una forma de energía. La intensidad del sonido se mide en vatios por metro cuadrado.

El sonido más bajo que un oído humano puede detectar tiene unaintensidad de 1 � 10-12 vatios por metro cuadrado (W/m2).

Estos son algunos sonidos y una estimación de su nivel de intensidad.

1. a. Considera la relación entre el umbral de audición (UA) y el sonidode hojas que susurran. Explica que la intensidad del sonido de lashojas que susurran es diez veces mayor que el UA.

b. ¿Cuántas veces mayor que el UA es la intensidad de unaconversación en la biblioteca?

c. ¿Cuántas veces mayor que la intensidad de una conversación en la biblioteca es la intensidad de una conversación normal?

Fuente de sonido Intensidad (en W/m2)Veces mayor que el umbral

de audición (UA)

UA 1 � 10–12 1

Hojas que susurran 1 � 10–11 10

Murmullo 1 � 10–10

Conversación de biblioteca

Conversación normal

1 � 10–9

1 � 10–6



Práctica adicional

Una escala nueva, la escala de decibelios, facilita el trabajo con estosnúmeros pequeños. Una intensidad de sonido de 0 decibelio (dB)representa el umbral de audición.

Puedes usar la tabla de la Hoja de actividad del estudiante 7 para resolverlos siguientes problemas.

2. a. ¿De cuántos decibelios es la intensidad del sonido de unaconversación normal?

La música con un reproductor de MP3 tiene una intensidad de 1 � 10–2 W/m2.

b. ¿Cuántos decibelios produce un reproductor de MP3?

El umbral de dolor es de 1014 � UA. Este nivel causa dolor y un daño auditivo permanente.

c. ¿Cuál es el nivel de decibelios para el umbral de dolor?

Fuente de sonidoIntensidad

(en W/m2)

Veces mayor que el UA

Umbral de audición (UA) 1 � 10–12 1

Hojas que susurran 1 � 10–11 10

Murmullo 1 � 10–10

Conversación de biblioteca

Conversación normal

1 � 10–9

1 � 10–6

Nivel de decibelios

0 dB

10 dB

20 dB

30 dB



Práctica adicional

Sección Investigar algoritmosC

A lo largo de la historia, se han usado algoritmos diferentes para hacer los mismos cálculos. El método de la celosía o de la rejilla es un algoritmopara la multiplicación que se usó en Italia alrededor del 1500 d. de C. Hoy,algunas personas usan una versión reducida de este algoritmo. Este es unejemplo del problema en que trabajó Harvey (24 � 49) con el método de larejilla. Recuerda que el producto es 1,176.

1. a. Explica cómo funciona el algoritmo de la rejilla.

b. Verifica tu explicación usando el método de la rejilla paramultiplicar 52 � 63 y 254 � 647. Usa una calculadora paraverificar tus resultados.

2. a. Compara el algoritmo de la rejilla con el algoritmo que usó Hattie en la página 26. ¿Cuáles son las ventajas de usar el método de larejilla? ¿Cuáles son las desventajas?

b. Compara el método de la rejilla con el método que usó Clarence en la página 27.

Miguel creó el siguiente relato para resolver el problema de división:

21��2 � 1��8 .

“Caminé 21��2 millas. Sé que una manzana mide 1��8 de milla. Cada milla tiene

ocho manzanas, así que en lugar de 21��2 � 1��8 , puedo calcular 21��2 � ____.”

3. a. Completa el relato de Miguel para volver a escribir el problema

de división 21��2 � 1��8 en forma de problema de multiplicación.

b. Resuelve el problema de división: 21��2 � 1��8 .

12

1

4 9

7 6

4

8 1 8

1 6 3 6


Harvey tiene un pedazo de cinta adhesiva de 21��2 pies de largo. Quiere cortarla cinta adhesiva en pedazos que midan1��4 de pie.

4. a. Escribe un problema de división que concuerde con este relato.

b. Resuelve el problema usando la multiplicación de Miguel.

c. ¿Cómo calculas 2 1��2 � 1��5 ?


Práctica adicional

Sección OperacionesD

1. a. Usa el modelo basado en el área para ilustrar la propiedaddistributiva para hallar el producto de 5 � 24.

b. Usa el modelo basado en el área para calcular 6 � 12.5.

2. Muestra cómo puedes usar la propiedad distributiva para hacer másfáciles algunos cálculos. No te olvides de hallar cada producto.

a. 2 � 27 c. 3 � 99

b. 5 � 49 d. 6 � 28

Estos son dos problemas de multiplicación que ilustran el modelo basadoen el área.

3. Copia cada modelo y complétalo. Incluye el problema de multiplicaciónasociado a cada modelo junto con la respuesta correcta.

1 2

1 2

4

6

20

3 15

600

4. Crea oraciones numéricas especiales para todos los números enterospositivos del 1 al 10.

Estas son las reglas para crear la oración numérica especial.

• Debes usar el número 2 exactamente cinco veces.

• Puedes elegir cualquier operación y usar paréntesis.

Este es un ejemplo para el número entero positivo 0.

0 = 2 � 2��2 � 2��2


1. Usa la Hoja de actividad del estudiante 8 para asignar un valor a cadauna de las intersecciones de las líneas de la cuadrícula, multiplicando laprimera coordenada por la segunda. Por ejemplo, si el punto A tiene lascoordenadas (3, 2), el valor del punto A sería 6 porque 3 � 2 � 6.


Práctica adicional

Sección Reflexiones sobre los númerosE

x

y

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7

Cuadrante II Cuadrante I

Cuadrante III Cuadrante IV

6A

a. Colorea los puntos de lacuadrícula que tienen unnúmero cuadrado perfecto.Describe la ubicación de todoslos números cuadradosperfectos.

b. Describe la ubicación de todos losnúmeros negativos.

c. Colorea los puntos de la cuadrículaque tienen un número primo.Describe la ubicación de todos losnúmeros primos.

¿Cómo clasificarías los números que tienen un decimal periódico? ¿Sonnúmeros racionales o irracionales? ¿Se pueden escribir en forma de fraccióntodos los decimales periódicos?

Esta es una forma sofisticada de hallar la fracción que está asociada con 0.7��.La notación 0.7�� significa que 7 se repite indefinidamente.

2. a. Usa 9 � 0.77777… � 7 y lo que sepas sobre la relación entre lamultiplicación y la división para completar____ � ____ � 0.7777…

b. ¿Qué fracción equivale a 0.7777…?

c. Aplica esta técnica para hallar la fracción para 1.5��. Usa unacalculadora para verificar tu resultado.

10� 1

9

� 0.77777… � 7.77777…� 0.77777… � 0.77777…� 0.77777… � 7

(Restar)



Respuestas para verificar tu trabajo

Sección VelocidadA

1. La velocidad media de Helena fue de 4 km/h.

Quizá hayas usado unatabla de razones parahallar tu respuesta.

2. a. El 6 significa 6,000,000,000, que equivale a seis mil millones.

b. 6.4 � 109

3. La velocidad de la Tierra en el ecuador es de unas 1,042 mi/h. Nota queno tiene sentido escribir esta respuesta con decimales. Quizá hayasusado la siguiente estrategia.

La Tierra completa una vuelta en un día, o 24 horas. En el ecuador, la distancia alrededor de la Tierra es de unas 2.5 � 104 millas, que equivale a 25,000 millas.

Para hallar la velocidaden mi/h, puedes usaruna tabla de razones.

4. La velocidad media de la Tierra alrededor del Sol es de 6.6 � 104 mi/h, o 66,000 mi/h.

Quizá hayas usado la siguiente estrategia.

La Tierra recorre 5.8 � 108 millas en 365 días.

Un día � 24 horas, así que 365 días � 8,760 horas.

Distancia (en mi) 5.8 � 108 5.8 � 105 0.66 � 105 o 66,000

8,760 8.76 1 Tiempo (en h)

� 1,000 � 8.76

� 1,000 � 8.76

Distancia (en km) 18 36 4

4 9 1Tiempo (en h) 1 2

� 2 � 9

� 2 � 9

Distancia (en mi) 25,000

24 1Tiempo (en h)

� 24

� 24

1,042


5. La velocidad media orbital de Mercurio es más rápida que lavelocidad media orbital de la Tierra. Tu estrategia puede serdiferente de esta estrategia:

Mercurio viaja a 48 km/s.

Una hora � 3,600 segundos, así que ese es mi objetivo.

La velocidad media orbital de Mercurio es de alrededor de 17 � 104 km/h. La velocidad media orbital de la Tierra es de alrededor de 6.6 � 104 mi/h. Al comparar 6.6 millas y 17 km, 17 km es más de 6.6 millas. Mercurio viaja más rápido alrededor del Sol.

6. Estas son las respuestas escritas en notación científica, junto con un ejemplo de estrategia de solución.

a.

b.

c.

d.



Distancia (en km) 48

1 60Tiempo (en s)

� 60 � 60

� 60 � 60

2,880

3,600

172,800

6 � 106

(3 � 104) � (2 � 102) (3 � 2) � (104 � 102) 3 � 104 � 2 � 102

6 � 106��

�

2 � 104

(2 � 1010) � 106 2 � (1010 � 106)2 � 104

��

2.45 � 103

(2 � 103) � (4.5 � 102) 2,000 � 4502,450

��

1.4 � 103

(2 � 103) � (6 � 102) 2,000 � 6001,400

��

Escribir 2,450 en notación científica es 2.45 � 103.

Escribir 1,400 en notación científica es 1.4 � 103.


7. a. Tu opinión podría ser distinta de estas.

• No creo que sea justo porque es improbable que todos loscronometradores de Larson tuvieran un tiempo de reacción más rápido que el de todos los cronometradores de Devitt.

• Pudo ser justo, ya que la carrera se cronometró manualmentey los cronometradores habrían tenido tiempos de reaccióndiferentes.

• Creo que es justo porque los nadadores estaban demasiadocerca para distinguir su tiempo real de llegada. Con seguridad,los jueces decidieron que John Devitt terminó primero, por eso tuvieron que adjudicarle la carrera a pesar de lostiempos registrados.

b. Larson estaba unos 18 cm atrás, que es más que la longitud de una mano. La distancia es visible, pero sucede en 0.1 segundo. Esta es una estrategia.

Cuando Devitt terminó, Larson tuvo que nadar 0.1 segundo. Larson nadó 100 metros en 55.2 segundos. Usando 100 m � 10,000 cm para crear esta tabla de razones:

Larson estaba unos 18 cm atrás, que es más que la longitud de una mano. Entiendo por qué los relojes manuales tuvieron dificultad para reaccionar ante esta distancia visible en menos de 0.1 segundo.



Sección NotaciónB

Distancia (en cm) 10,000

55.2 1 0.1Tiempo (en s)

� 55.2 � 10

� 55.2 � 10

181.2 18

1. a. 1,000x significa que el cabello es 1,000 veces más grande que su tamaño real.

b. El grosor del cabello de la ilustración es de unos 3.8 cm.

c. El grosor real es de unos 0.0038 cm y se escribe 3.8 � 10-3 cm.


2. a. 1010 � 105 � 105

b. 103 � 105 � 10-2

c. 100 � 100,000 � 102 � 105 or 10-3

d. 10 � 1,000,000,000 � 101 � 109 or 10-8

e. 10-4 � 10 � 10-4 � 101 or 10-5

f. 10-6 � 100 � 10-6 � 102 or 10-4

g. 10-7 � 103 � 10-10

3. a. 34,200

b. 0.0342

4. a. 1.6 � 10-8

b. (3.5 � 103) � (1.2 � 10-2) � 3.5 � 1.2 � 103 � 10-2

� (3.5 � 1.2) � (103 � 10-2)

� 4.2 � 101

� 42

5. a. 0.00267 � 2.67 � 10-3

b. 0.00000678 � 6.78 � 10-6

c. 15 � 20,000,000,000 � 7.5 � 10-10



Sección Investigar algoritmosC

1. La respuesta es 1,464, pero debes mostrar dos estrategias diferentes.Estos son tres ejemplos de estrategia para calcular 24 � 61.

• Usando el algoritmo de Clarence: • Usando una tabla de razones:

20 � 60 1,200�

24 � 61 1,464�

20 � 1 20� 4 � 60 240� 4 � 1 4�

1

61

2

122

4

244

20

1,220

24

1,464


• Usando el modelo basado en el área:

Sumando todas las partes: 1,200 � 20 � 240 � 4 � 1,464,entonces 24 � 61 � 1,464.

2. a. Probablemente, en tu clase, todos crearon un contexto diferente.Compara tu respuesta con otro estudiante y coméntala.

Estos son algunos contextos que se ajustan a 3,000 � 28.

• Tres mil canicas repartidas equitativamente entre 28 estudiantes. ¿Cuántas canicas obtendrá cada estudiante?

• Hay tres mil cubos para empacar en cajas. Cada caja contiene 28cubos. ¿Cuántas cajas necesitas para empacar todos los cubos?

b. Tu estrategia podría corresponderse con una de estas.

• Usando una tabla de razones:

3,000 � 28 � 107 y sobran 4.

• Usando un cálculo mental:

100 � 28 � 2,800

7 � 30 � 210, entonces

7 � 28 � 210 � 14 � 196.

Por lo tanto, 3,000 dividido por 28 es 107.

c. Las respuestas variarán según tu contexto de la parte a.

Ejemplos de respuesta que se basan en los ejemplos de contexto de la parte a:

• En el primer relato, sobran cuatro canicas. (En realidad, esprobable que cuatro personas reciban una canica adicional cadauno, pero esto no funciona para este problema, ¡porque entonceslas canicas no se repartirían equitativamente!)

• En el segundo relato, necesitas 108 cajas ya que tienes queempacar todos los cubos. La última caja contiene sólo cuatrocubos, entonces el residuo es importante.



20 201,200

60 1

4 4240

1

28

100

2,800

7

196

107

2,996


3. a.

b. Estos son dos posibles problemas de multiplicación.

(50 � 2) � (30 � 7) � 1,924 or 52 � 37 � 1,924

4. Estas son las respuestas, junto con algunas explicaciones.

a. 6 � 1��5 � 30

Transformando en quintos:

6 � 1��5 � 30��5 � 1��51��5 cabe en seis 30 veces como también en 30��5 , por lo tanto la

respuesta es 30.

b. 2 3��4 � 1��8 � 22

Transformando en octavos:

2 3��4 � 1��8 � 22��8 � 1��8

� 22 � 1

� 22

c. 5 � 12��3 � 3

Transformando en tercios:

5 � 12��3 � 15��3 � 5��3

Si quieres saber cuántas veces 5��3 cabe en 15��3 , puedes calcular 15 � 5 � 3.

5. a. Son posibles relatos diferentes, por ejemplo.

• Tengo 101��2 kilogramos de maníes y quiero dividirlos en

porciones de 3��4 de kilogramo.

b. 101��2 equivale a 102��4 que es 42��4 .

c. 101��2 � 3��4 = 42��4 � 3��4

� 42 � 3

� 14



30 601,500

50 2

7 350 14


6. La velocidad media es de 3 3��4 km/h.



Distancia (en km)

2 1Tiempo (en h) 23

2 1 2 7 1

2 3 34

� 3 � 2

� 3 � 2

Sección OperacionesD

1. Son posibles muchas explicaciones. Estas son dos. Si ningunaexplicación es como la tuya, coméntala con otro estudiante.

• Porque la calculadora me da un mensaje de error cuando ingreso 0 � 0.

• Porque no hay una respuesta que funcione todo el tiempo. Unapersona podría pensar que 0 � 0 = 1 porque generalmente cuando sedivide un número por sí mismo la respuesta es 1. Otra persona podríapensar que 0 � 0 � 0 porque no tienes nada para compartir y nadiecon quien compartir. Una tercera persona podría pensar que 0 � 0 � 7porque volver a escribir 0 � 0 � 7 funciona en forma de problema demultiplicación (7 � 0 � 0). No puedes tener muchas respuestas para elmismo problema de división.

2. Tal vez empezaste a usar tu calculadora para hallar la respuesta. Pero si observas de cerca el último paréntesis, ves 9 � 9, que es igual a 0. Y multiplicar por 0 siempre da 0 como respuesta.

3.–12

3 –2

–4

32

2

–

� �

�


4.

5. a. 6 � 18 � 108

6 � 18 � 6 � (10 � 8)

� 6 � 10 � 6 � 8

� 108

b. 3 � 21��2 � 71��2

3 � 21��2 � 3 � (2 � 1��2 )

� 3 � 2 � 3 � 1��2

� 6 � 11��2 o 71��2

c. 7 � 121��2 � 871��2

7 � 121��2 � 7 � (10 � 2 � 1��2)

� 7 � 10 � 7 � 2 � 7 � 1��2

� 70 � 14 � 3 1��2

� 87 1��2



–2

–10

5 1 2–

–10

0

�

�

�


1. Sí, es posible hacer números más pequeños multiplicando. Estos son dos ejemplos:

• Multiplicar un número positivo por un número entre 0 y 1 da porresultado un número más pequeño.

Considera que 16 � 0.25 � 4, y 4 es menor que 16.

• Multiplicar un número positivo por un número negativo da porresultado un número más pequeño.

Considera que 14 � –5 � –70 y –70 es menor que 14.

2. a. racional

b. racional

c. racional

d. sí

3. a. No. Según los ajustes de la calculadora de Pablo, podría obtener78.53981634 cm2 y la respuesta de Josie será 78.5 cm2.

b. Ninguno de ellos obtendrá una respuesta exacta ya que π es unnúmero irracional y sólo tiene una aproximación decimal. La únicaárea exacta es 25π cm2. Sin embargo, la respuesta de Pablo usamayor precisión porque el valor de su calculadora para π usa másdígitos significativos.

4. a. irracional

b. racional

5. Sí. Un ejemplo sería – ��2 o – ��52� . (En el sistema de los números reales,el número que está debajo del símbolo de la raíz cuadrada no puedeser negativo. Para todos los números radicales negativos, el signonegativo debe estar colocado delante del símbolo de raíz cuadrada;esto es verdadero también tanto para los números racionales comopara los irracionales como – ��8 y – ��9 .)



Sección Reflexiones sobre los númerosE


Documents

De nuevo - fisme.science.uu.nl