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8/16/2019 tratamiento de señales digitales.pdf

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TRATAMIENTO DE

SEÑALES DIGITALES


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Señales digitales

Vamos a estudiar sistemas lineales que trabajan con

señales temporales. Hasta ahora hemos trabajado con datosmultidimensionales pero estáticos, que nunca dependían del

tiempo, como la clasificación de patrones.

El tiempo establece un orden en la entrada de datos, i.e.los datos están indexados por una variable continua t. Los

llamaremos señales temporales o series temporales. Esto da

lugar a una estructura en el espacio de entrada que debe ser organizada mediante topologías adecuadas.


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Señales digitales

La mayor parte de lo que percibimos del mundo son

fenómenos que existen en el tiempo. Los mensajes están

asociados a variables físicas (la presión en el oído, ondas

luminosas en la vista, etc.) que pueden ser interpretadas

como funciones reales de variable real D = x(t). El tiempo es

continuo y las funciones son continuas. A estas señales se las

llama señales analógicas.

Normalmente imponemos restricciones para simplificar el

desarrollo, que no afecten a las conclusiones. Supondremos

que las funciones son suaves (derivables) y tienen unacantidad finita de energía:

∞

∞−

∞


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Señales digitales

Los ordenadores no pueden trabajar directamente con

señales analógicas (continuas). Es necesario transformarlas

en discretas mediante un proceso que consiste en tomar los

valores de la función en diferentes valores del tiempo:

físicamente esto se implementa en un convertidor

analógico a digital (A/D)

0|)()( 0 nt t xn x ==

A/D


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Señales digitales

El teorema de Nyquist dice que x(t ) puede ser recuperada

con precisión y los datos x(nT ) contienen toda la informaciónnecesaria para reconstruir la señal analógica si el inverso del

intervalo, es decir la frecuencia elegida cumple

donde f max es la frecuencia máxima de la señal.

max

s

s f T

f 21>=


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Procesamiento digital

Se puede considerar una señal digital

{ x(nT )} = x(T ) , x(2T ) , ... x( NT )o simplificando la notación

x = [ x(n) , x(n-1) , ... x(n-N+1) ]t

como un vector de longitud N


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Suponiendo una base ortonormal φ0, .. φ N-1se puedeescribir en términos de las proyecciones:

Lo que quiere decir que para representar una señal

discreta de longitud N necesitamos el valor actual y los N-1anteriores. Un delay (operador que retrasa la señal en un

tiempo sin modificarla) es la topología natural para

implementar esta descomposición.

≠

==

−==−

=

−

=

0 si 0

0 si 1)(!

)(!)(")(1

0

1

0

n

nn

ini xi x x N

i

i

N

i


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z es el operador delay en el campo complejo, dado por

z = esT donde s=σ + i w y T es el periodo.

x(n) x(n-1) z-1


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En cada momento el vector señal cambia su posición en el

espacio creando una trayectoria que se denomina trayectoria

de la señal


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La diferencia con los problemas estáticos es que al añadir

un nuevo dato x(n+1) el vector x que se genera tiene todas

las componentes del anterior salvo la x(n-N+1) que

desaparece para dejar sitio al nuevo dato. Todos los valores

intermedios siguen almacenados pero en diferente posición.El vector así generado no es demasiado diferente del anterior

y produce una trayectoria en espiral, mientras que en los

problemas estáticos no hay ninguna relación entre un patróny otro.


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Si queremos analizar una señal discreta y periódica con

1.000.000 de datos, necesitaríamos un espacio de dimensión1.000.000, completamente intratable. Si lo consideramos

como una señal temporal, podemos limitar la posición de la

trayectoria de la señal a un espacio de dimensión muchomenor (bastaría la longitud del periodo) y analizar la señal

original como una trayectoria en dicho espacio.


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Una de los objetivos del procesamiento digital es

encontrar la dimensión del espacio de reconstrucción que

cuantifica apropiadamente las características de la señal. El

tamaño del este espacio determina la longitud N de unaventana de tiempo que se desliza sobre toda la serie. Tamaño

que corresponde a la dimensión del espacio de

reconstrucción.


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La elección de la dimensión no es trivial, ya que depende

entre otras cosas de los objetivos del proceso. Si

reconstruimos la trayectoria del ejemplo anterior en un

espacio bidimensional, aparecerá una trayectoria diferente, loque puede complicar el procesamiento de la señal


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Filtros

Un sistema lineal FIR (finite impulse response) es unsistema cuya respuesta es finita y se calcula como

combinación lineal de los valores anteriores de la entrada.

Donde los wi son los pesos o coeficientes del filtro, o, en

notación vectorial:

)()(0

in xwn y N

i

i −==

wn xn xwn y T T )()()( ==


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Filtros

Así un sistema lineal crea una proyección de la entradasobre un vector w definido por los parámetros del sistema y

está contenido en el hiperplano generado por los últimos

datos de la señal.


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Filtros

Dependiendo de la posición relativa del vector de pesos y

de la trayectoria de la señal, esta proyección puede que

preserve la mayor parte de la información de la señal o, por

el contrario, que la distorsione seriamente.

El trabajo del diseñador consiste en elegir la dirección de

la proyección de modo que se conserve la información

esencial de la señal.


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Análisis en el tiempo de sistemas lineales

Una manera de describir un sistema lineal es por medio de

la respuesta a un impulso h(n), la respuesta en tiempo 0

cuando la entrada es δ(n).

La respuesta transitoria (transient response) es el tiempo

que tarda el sistema en estabilizarse ante una entrada

constante.

La respuesta a un impulso describe completamente unsistema lineal, para el filtro estudiado sería:

es decir, una función de tiempo con valores iguales a los

pesos h(i)=wi por lo que será finita (máximo N +1 valores)

)(!)( 0 inwn y

N

ii −= =


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La respuesta a un sistema lineal frente a una entrada

arbitraria se puede calcular por la convolución de la entrada

con la respuesta a un impulso del sistema h(n):

Si el filtro se inicializa a 0,

para n=0, y(0)=w0 x(0),

para n=1, y(1)=w0 x(1)+w1 x(0),

para n=2, y(1)=w0 x(2)+w1 x(1)+w2 x(0)

para n=N,

y para un segmento de señal de longitud M tiene M+N-1sumandos

)()(0

i N xw N y N

i

i −==

∞

−∞=

−==i

ihin xnhn xn y )()()(*)()(


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Una aplicación importante de esta técnica es la llamada

detección, búsqueda de una señal oculta por un ruido.

Se crea un filtro cuyos pesos son los datos, conocidas a

priori, de la señal. Este filtro maximiza la salida de la señal

sobre el ruido circundante.

De esta manera, observando los picos de la salida se

puede detectar dónde se encuentra la respuesta transitoria de

la señal a pesar del ruido.

Este tipo de filtros se usan frecuentemente en comunica-ciones como receptores óptimos.


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Hasta ahora hemos estudiado filtros de respuesta finita al

impulso (FIR), otro tipo, los de respuesta infinita (IIR),

contiene a los sistemas recurrentes, como por ejemplo el

sistema:

)()1()µ1()( n xn yn y +−−=


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La respuesta de este sistema al impulso δ(n) es:

que es infinita.

0)µ1()(

0)µ1()2(

0)µ1()1(

10)0(

2

+−=

+−=

+−=

+=

nnh

h

h

h


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Si 0 < µ < 1 h(n) tiende a 0 con una velocidad quedependerá del coeficiente de retroalimentación µ. Se puedeconsiderar 0 después de un tiempo finito n0. El sistema será

afectado por cualquier entrada que le sea aplicada.

Para µ < 0 o µ > 2 la respuesta diverge para condicionesiniciales 0. La respuesta al impulso nunca desaparece y

prácticamente no es afectado por las entradas.


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El sistema se considerará estable si a una entrada finita,

corresponde una respuesta finita, eso significa que la suma

de los valores de respuesta al impulso debe ser finita.

En sistemas recurrentes, en los que la relación viene dada

por los parámetros de retroalimentación, la estabilidad se

garantiza por la condición |1 - µ| < 1


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Este sistema es un buen método para describir sistemas

lineales, pero no es muy práctico porque:

•La salida del sistema no puede ser calculada por

evaluaciones sucesivas (ya que requiere la convolución

entre la entrada y la respuesta al impulso)

•El cálculo de la respuesta requiere un número de

multiplicaciones del orden de O(N 2)

•No es muy adecuada para calcular el efecto de los

sistemas lineales como filtros, que es el objetivo del

tratamiento de señales lineales.

Debemos buscar métodos que puedan ser usados para

describir sistemas y calcular su respuesta en evaluaciones

sucesivas con un menor coste.


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Análisis en la frecuencia de sistemas lineales

Esta técnica está basada en el análisis de Fourier. Consiste

en descomponer la señal en energía por frecuencia y se

denomina análisis espectral.

Se descompone la señal en forma compleja:

donde s es una variable compleja, n es un entero, a y ∆ω

son reales y T es el periodo. ω es la resolución de la

frecuencia, es inversa del tiempo y se considera como el

incremento de frecuencia más pequeño que puede ser

representado en NT segundos (∆ω = 2π/ NT ) También se puede considerar como la frecuencia menor que puede ser

medida en una ventana de NT segundos.

nT ianT snT ee #∆+=


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La señal {x(n)}se proyecta en la base ortonormal formada

por los vectores . Cada uno deellos describe una elipse en el espacio de señales. A esto se

le llama análisis armónico o de Fourier.

X(k ) es el k-esimo coeficiente de Fourier y el conjunto se

denomina Serie de Fourier Discreta (DFS) de x(n) o espectrode x(n).

N

k i

kT i eek X $2

#)( == ∆


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Los X(k ) son periódicos respecto a N y se pueden

descomponer en magnitud, simétrica respecto a N/ 2 y fase,

antisimétrica respecto a N/ 2.

Es fácil calcularlos mediante un algoritmo del orden

O(NlogN) llamado fast Fourier transform (FFT)


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Además como la longitud de un vector es independiente

de las bases si éstas son ortonormales, no se pierde

información.


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La transformada Z

y la función de transferenciaHemos usado el análisis espectral aplicado a señales, ¿se

puede aplicar el mismo principio a sistemas?.

Un sistema se describe por su respuesta al impulso, que puede ser considerado como una señal, pero este camino no

es eficiente ya que requiere un conocimiento a priori de la

respuesta al impulso.

La salida de un sistema se puede calcular:

•Mediante la convolución de la respuesta al impulso con

la entrada•Generando las salidas mediante la ecuación de

diferencias


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La transformada Z

y la función de transferenciaLa ecuación de diferencias da un algoritmo para calcular

la salida del sistema, pero no predice lo que va a suceder a

las características de la señal que entra, ya que el sistema y laentrada están mezcladas en la misma ecuación. Sería

conveniente separar la función del sistema de la entrada.

La transformada Z convierte ecua-ciones en diferencias en ecuaciones algebraicas, por ejemploen el operador delay:

∞

−∞=

−

=n

n

zn x z X )()(

∞

−∞=

−− =−=n

n z zn z D 1)1(!)(

L f d Z


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La transformada Z

y la función de transferenciaSi aplicamos la transformada Z al combinador lineal:

Donde Y(z) y X(z) son las transformadas Z de la salida y

la entrada respectivamente. H(z) es la denominada función

de transferencia que describe el comportamiento del sistema

lineal. La salida se obtiene así multiplicando la transformada

de la entrada y la función de transferencia.

=

∞

−∞=

−∞

−∞=

−

=

−=−=

N

i n

n

in

nn

ii zin xw zin xw zY 00 )()()(

=

−

=

∞

−∞=

−− ==

N

i

i

N

i n

in

i z H z X zw z X zn xw0

1

0

)()()()(


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La respuesta de frecuencia

Podemos también construir la respuesta de cualquier

sistema lineal S mediante el cálculo de la respuesta del

sistema a cada uno de los vectores de la base ortonormal:

Lo que significa que cualquier sistema lineal afecta a la

fase y a la amplitud de cada frecuancia de la señal de entrada

y que el efecto puede ser calculado independientemente en

cada frecuencia.

Las cantidades representan el efecto del

sistema lineal en cada frecuencia y se denominan respuesta

de frecuencia.

===

==== N

k

ni

k k

N

k

ni

k

N

k

ni

k k k k ee H eS n xS n y

0

#

0

#

0

#% &)(&&))(()(

)(% # ni

k k e H =


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La respuesta de frecuencia

Esta relación es muy importante ya que nos permite

predecir lo que va a suceder con la señal de entrada al

atravesar el sistema lineal y por tanto especificar a través del

diseño la respuesta del sistema para conseguir los objetivos

de proceso que busquemos.

La gran ventaja de la respuesta de frecuencia es que la

inversa puede ser calculada mediante el algoritmo FFT

mientras que con la función de transferencia se requiere elcálculo de la transformada Z, mucho más difícil.

)()()( ### ninini k k k e X e H eY =


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Respuesta de frecuencia, polos y ceros

Un aspecto que los ingenieros suelen usar es la predicción

de la respuesta de frecuencia mediante los polos y los ceros

de la función de transferencia. Estos se pueden calcular

fácilmente a partir de la ecuación en diferencias:

.

Que indica que la función de transferencia tiene un cero

en z = 0 y un polo en z = 1 - µ

)µ1()µ1(1

1)(

)(])µ1(1[)(

)()1()µ1()(

1

1

−−=

−−=

=−−=

=−−−

−

−

z

z

z z H

n X z zY

n xn yn y


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La forma de la respuesta de frecuencia de-

pende exclusivamente de la situación de los polos y los ceros

de la función de transferencia

La respuesta de frecuencia puede ser obtenidagráficamente considerando la respuesta del sistema como

una tienda de campaña colocada alrededor del círculo

unidad. Un polo es uno de los soportes de la tienda y un cerouna de las clavijas. La altura del soporte es la inversa de la

distancia del polo al círculo unidad y la longitud de la clavija

proporcional a la distancia del cero.

Un valor alto en una frecuencia dada significará que esa

frecuencia quedará amplificada, mientras que uno bajo que

será atenuada.

)(% # nik k e H =

f


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Cuanto mas cerca estén las singularidades (polos o ceros)del círculo unidad, mayores serán sus efectos (picos

escarpados y valles estrechos respectivamente).

La relación entre las singularidades y sus efectos en la

frecuencia de respuesta es muy importante, porque conocida

la situación de ceros y unos se pueden predecir los efectos

que producirán sobre la señal de entrada

Ti d filt l i l


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Tipos de filtros lineales

Podemos diseñar la función de transferencia para que

efectúe la operación deseada. Por ejemplo si la señal está

contaminada por ruido de alta frecuencia se puede diseñar un

sistema que multiplique las frecuencias bajas por númeroscercanos a1 y las altas por cercanos a 0 (lowpass filter)

>

<=

0

0

0

1)(

k k

k k k H

Ti d filt l i l


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Otros tipos de filtros son: highpass, para atenuar ruidos de

baja frecuencia, bandpass, que sólo permite el paso de una

banda de frecuencias o stopband, que corta una banda.

Ti d filt l i l


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Se pueden diseñar filtros mediante optimización, i.e.

dando la respuesta deseada y dejando que sea el combinador

lineal el que elija el mejor conjunto de pesos para cumplir las

condiciones pedidas.En cualquier caso, los filtros lineales sólo trabajan bien si

el ruido no se superpone a la señal, en otro caso, al atenuar el

ruido, atenuaremos también la señal.Aquí es donde son necesarios otros filtros no lineales y

más sofisticados.

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