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INGENIERA ELECTRNICA
PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES
ALUMNO:
BRIAN CUCHIPARTE
DOCENTE:
ING. ARMANDO LVAREZ
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1.47. Dadas las secuencias siguientes:
, - , - ; , - , - ; , - , -
Calcule y represente las siguientes secuencias:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
b) ( ) ( ) ( )
( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )-, ( ) ( ) ( ) ( )-
( ) ( ) ( ) ( )
-
c) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-
, ( ) ( ) ( ) ( )- , ( )
( ) ( ) ( )-
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d) ( ) ( )
( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )-
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+ * ( ) ( )
( ) ( )+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+
* ( ) ( ) ( ) ( )+
-
( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1.49 Determine para que los valores de , la seal x(n)= ejn es
peridica. Cul es el
periodo para = /6?
= /6
1.50 Calcule la correlacin de las secuencias ( ) ( ) ( ) ( )
y.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
-
( ) ( ) ( ( ))
( ) ( )
( ) ( )
1.54 Evaluando directamente la suma de convolucin, determine la
respuesta al
escaln de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es:
, - , - | |
a=1; r=a; n=-
( ) ( ) ( ) ( )
a= ; r=a; n=-
1.59. Comente cada una de los siguientes prrafos indicando si
son ciertos o falsos.
"Una de las principales aplicaciones de los filtros digitales es
su utilizacin en las
etapas de conversin A/D y D/A. Estos se utilizan para evitar que
se produzca
solapamiento frecuencial cuando no se verifica el teorema de
muestreo, y tambin
para eliminar las imgenes del espectro en la conversin D/A como
secuencia de no
utilizar un reconstructor ideal."
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Si la mayora de seales en forma prctica son seales de voz,
biolgicas, ssmicas,
de radar, sonar y de distintos tipos de comunicaciones como
seales de audio y video
y al realizar la conversin de estas seales nos permite evitar
que se produzca
solapamiento frecuencial cuando no se verifica el teorema de
muestreo, y tambin
para eliminar las imgenes del espectro en la conversin D/A como
secuencia de no
utilizar un reconstructor ideal.
"Para un sistema lineal invariante temporal causal, podemos
calcular su salida en
rgimen permanente ante una entrada tipo ( ) ( ) ( ), a
partir de su respuesta en frecuencia, y esta coincidir como la
salida del sistema solo
si el sistema es estable."
Si ya que para cambiar a su repuesta de frecuencia debemos saber
si tiene o no la
transformada de Fourier por lo tanto debemos ver si se encuentra
dentro del radio uno
por lo cual sabemos su estabilidad.
"Para un sistema lineal invariante temporal, podemos calcular su
salida en rgimen
permanente ante una entrada tipo ( ) ( ) ( ), a partir de su
respuesta en
frecuencia, y sta coincidir con la salida del sistema,
independiente de que el sistema
sea estable o no. La nica condicin necesaria es que el sistema
sea L.I.T."
No para cambiar a su repuesta de frecuencia debemos ver si se
encuentra dentro del
radio uno por lo cual sabemos su estabilidad la cual es
importante y no solo depende
de si es un sistema LTI sino tambin de su estabilidad.
1.62.- se desea generar 2 periodos de una sinusoide analgica de
amplitud 1 y frecuencia 200
Hz, muestreada a 1Khz.
Sabemos que una sinusoide continua de frecuencia queda definida
por la siguiente expresin:
( ) ( )
Donde y son, respectivamente, la amplitud y la fase del sistema.
Si muestreamos a una
frecuencia obtenemos:
, - ( ) ( ) ( )
-
Sustituyendo, en nuestro caso tendramos:
, - (
) ( )
De forma inmediata se comprueba que si el periodo de la seal
discreta es de 5 muestras, como nos
piden dos perodos el nmero de muestras a generar es de 10.
Las instrucciones de MATLAB para generar y dibujar la seal
son:
Con estas instrucciones se obtiene la figura 1.34:
( ) ( ) ( ( ) )
1.64. Superponga sobre la grfica obtenida en el Apartado 1.63
los puntos
obtenidos en el 1.62. Qu ocurre?, qu consecuencias se pueden
sacer de la
grficas?
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Con el siguiente cdigo podemos superponer ambas grficas, donde,
en lugar de emplear
la instruccinholdon hemos utilizado la opcin de plotpara
superponer mltiples grficas
(Figura 1.36):
plot(n,x,'o',n,xx,'+') legend('Fa=200Hz','Fa=1200Hz')
xlabel('n') ylabel('x(n)')
Se observa que los puntos de las dos seales coinciden. La razn
que la segunda seal
(la componente de 1.2kHz) no cumple el teorema de muestreo.
Mediante la relacin
siguiente podemos determinar la frecuencia obtenida tras en
muestreo.
Siendo una frecuencia en el intervalo , -, y la frecuencia
original. Si
consideramos nuestros valores ( ) con frecuencia de
muestren igual a 1 kHz, la primera seal no produce solapamiento
y la segunda se
apreciar como una frecuencia de 200 Hz (considerando k = 1).
Podemos ver el efecto del solapamiento en el dominio temporal si
superponemos las dos
seales continuas. Lo manera de simular estas seales es
considerar un perodo de
muestren "muy pequeo"3. Es una aproximacin pero, a nivel grfico,
es bastante
ilustrativa.
El siguiente programa muestra este proceso:
n=0:9;
t=0:0.01:9;
Fa1=200;
Fa2=1200;
Fs=1000;
xt1=cos(2*pi*Fa1*t/Fs); %Seal continua Fa1=200Hz
xt2=cos(2*pi*Fa2*t/Fs); %Seal continua Fa2=1200Hz
x1=cos(2*pi*Fa1*n/Fs); %Seal discreta Fa1=200Hz
x2=cos(2*pi*Fa2*n/Fs); %Seal discreta Fa2=1200Hz
plot(t,xt1,k-,t,xt2,k:,n,x1,ko,n,x2,k+)
xlabel(n)
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1.65 En este apartado vamos a estudiar el efecto del muestreo
sobre el espectro
de la seal. Genere la serie obtenida al muestrear una sinusoide
de 100Hz y
amplitud unidad con un periodo de muestreo de 1ms durante 1
segundo.
Represente el espectro de la seal usando la instruccin abs
(fft(y)). Comente el
resultado.
Sabemos que una seal continua peridica puede escribirse como una
suma ponderada de
exponenciales complejas, esto es fcil de ver si consideramos
seales sinusoidales, ya que la
frmula de Euler ( ) ( ) nos permite escribir seno y coseno como
una
suma de exponenciales complejas, cada una de ellas con una
amplitud mitad de la que tiene
la seal original. La representacin de la contribucin de cada
sinusoide constituye el
espectro de la seal. Se puede hacer un razonamiento similar para
seales discretas. Si bien,
en temas posteriores se analizar con todo detalle el espectro de
una seal discreta y como
calcularlo, vamos a considerar que la instruccin ffft de MATLAB
nos permite representar el
espectro de una seal discreta.
La instruccin fft es una de las utilizadas al estudiar procesado
digital de seales con Matlab.
Esta operacin descompone la seal como una serie ponderada de
exponenciales complejas.
Esta ponderacin se realiza con una serie de constantes complejas
que, en definitiva, son las
que aportan la informacin sobre la seal. Hay que tener en cuenta
que la salida de la
instruccin fft son muestras y cada una de ellas corresponde a un
armnico de frecuencia:
Donde N es el nmero de muestras consideradas.
Tenemos que muestrear durante 1 segundo con un periodo de
muestreo de 1ms lo que
supone que tenemos que tomar 1000 muestras. El programa en
MATLAB que implementa lo
que nos pide es:
N=100;
n=0:N-1;
Fa=100;
Fm=1000;
x=cos(2*pi*Fa*n/Fm);
plot(-N/2:N/2-1,abs(fftshift(fft(x))));
xlabel('Frecuencia (Hz)')
Dado que el numero de puntos utilizado para la fft es de 1000 y
la frecuencia de muestreo
tambin es de 1000, cada punto de fft obtenido se corresponder
con un armonico de 1 Hz
Sabemos que cuando muestreamos con una frecuencia de 1000Hz, las
frecuencias analgicas
que verifican el teorema del muestreose encuentran en el
intervalo [
]. Para desplazar
el resultado de fft, de manera que la frecuencia de continua se
encuentre en el centro, hemos
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empleado la funcin fftshift. El resultado son dos picos, a las
frecuencias de -100Hz y +100Hz,
como corresponde a una sinusoide de frecuencia 100Hz (suma de 2
exponenciales
complejas). La grafica obtenida se muestra acontinuacion:
Espectro de la seal obtenida
1.66. Repita el apartado anterior pero ahora la seal a muestrear
es la suma de
cuatro sinusoides de amplitudes uno y frecuencias 100,200 y 600
y 2100 Hz. Utilice
seales de tipo coseno. Comente los resultados.
El siguiente cdigo me permite calcular las secuencias y
representar el espectro de la suma. En
lugar de utilizar un bucle para calcular cada una de las
secuencias hemos utilizado las propiedades
de MATLAB para trabajar con matrices de datos y la funcin sum
que al ser aplicada sobre una
matriz suma sus elementos por columnas.
>>N=100;
>> n=0:N-1;
>> Fa=[100,200,600,2100]';
>> Fm=1000;
>> x=cos(2*pi*Fa*n/Fm);
>> x=sum(x);
>> plot(-N/2:N/2-1,abs(fftshift(fft(x))));
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>> xlabel('Frecuencia')
La grfica obtenida se muestra en la figura. Interpretemos esta
grfica. Las frecuencias analgicas
de 600 Hz y 2100 Hz no verifican el teorema de muestreo por lo
que aplicando la Ecuacin 1.7
obtenemos que las frecuencias aparentes correspondientes
son:
Independientemente de que se trate de frecuencias positivas o
negativas, cada una de estas
seales est representada en el espectro por dos picos. Por lo que
observamos picos en
frecuencias 100, 200 y 400, sin embargo la amplitud para
frecuencia 100 es el doble. Esto es
debido a que para esta frecuencia contribuyen las frecuencias
analgicas de 100 Hz y 2100 Hz, que
por efecto del aliasing se corresponden con la misma frecuencia
aparente.
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1.68 Genere una seal cuadrada de 1000puntos con una frecuencia
de 150Hz y
muestreada a 1000Hz. Represente el espectro de la seal y
explique el resultado.
Sabemos que una seal cuadrada analgica est formada por una suma
infinita de
armnicos decrece a medida que aumenta la frecuencia del mismo.
Nuestra seal
contendr armnicos a las frecuencias:
150hz,450hz,750hz,1050hz,1350hz,1650hz,1950hz.. Como la
frecuencia de muestreo es
de 1khz para que no se produzca aliasing, las frecuencias
analgicas debern estar
comprendidas en el intervalo [-500hz,.,500hz+. En nuestra seal
cuadrada esto no se
verifica a partir de la frecuencia de 750hz. Veamos cules sern
las frecuencias aparentes
obtenidas para cada uno de los armnicos para ello utilizamos la
expresin (1,7). En la
prctica podemos obtener las frecuencias aparentes sin ms que
restar a la seal
mltiplos de la frecuencia de muestreo hasta que nos encontremos
en el intervalo de
frecuencias determinado por la frecuencia de muestreo.
FRECUENCIA ORIGINAL FRECUENCIA APARENTE
150 Hz 150 Hz. no produce aliasing.
450 Hz 450 Hz. no produce aliasing.
750 Hz -250 Hz
1050 Hz 50 Hz
1350 Hz 350 Hz
1650 Hz -450 Hz
1950 Hz -50 Hz
clc
clear N=1000; n=0:N-1; F=150; Fm=1000; x=square(2*pi*F*n/Fm);
subplot(211) stem(n(1:50),x(1:50)) xlabel('n') ylabel('x(n)')
title('(a)') subplot(212) plot(-N/2:N/2-1, abs(fftshift(fft(x))));
xlabel('Frecuencia') title('(b)')
-
(a) Primeras muestras de la seal cuadrada.
(b) Espectro de la seal cuadrada de este apartado.
