Upload
adhe-wulant
View
227
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/18/2019 transformasi z.docx
1/21
1. Definisi transformasi z
Transformasi-Z, seperti halnya transformasi laplace merupakan suatu metode atau alat
matematis yang sangat bermanfaat untuk mendesain, menganalisa dan memonitor suatu
sistem. Transformasi-z mirip dengan transformasi laplace namun bekerja pada domain diskrit
dan merupakan generalisasi dari transformasi fourier dari fungsi khusus. Transformasi-z
sangat diperlukan untuk mempelajari filter digital dan sistem. Transformasi-z dapat digunakan
untuk mendapatkan solusi dari persamaan diferent.
Pada domain diskrit, yang dalam aplikasi pada sinyal merupakan diskrit dari aktu, dinyatakan
sebagai suatu barisan bentuk !"n#, dengan n merupakan bilangan bulat. $otasi,
%&!"n#&'(,!"-)#, !"-1#, !"*#, !"1#, !")#,(+(((((((.. .1
ontoh soal .1
isal diberikan sebuah barisan atau sinyal diskrit yang diperlihatkan pada gambar .1 berikut.
Tentukan transformasi-z dari barisan tersebut,
/aab 0
arisan mempunyai sejumlah hingga elemen 0
8/18/2019 transformasi z.docx
2/21
%"-2#&2 !"-)#&-) !"-1#&1 !"*#&-2 !"1#&1 !")#&-)
Transformasi-z dari barisan diatas dapat dirumuskan dengan,
X ( z )=∑n=−3
2
x (n ) x−n=3 z3−2 z2+ z−3+ z−1−2 z−2
Dari persamaan diatas kita dapatkan polynomial %"z# dalam bentuk yang pendek, sesuai
dengan jumlah elemen barisan. 3al tersebut disebabkan 4ariable z dapat diinterpresentasikan
sebagai 5penentu posisi6. /adi jumlah pengali z -n identik dengan n buah elemen dari barisan.
Definisi 0 Transformasi-z ilateral dan uniteral
isal diberikan barisan seperti pada ".1#, maka didefinisikan sebagai suatu fungsi
polynomial %"z#,
X ( z )=∑n=−∞
∞
x (n) x−n
ontoh .)
Tentukan transformasi-z dari barisan konstan
{ A ,n=0,1,2,3,…0,n
8/18/2019 transformasi z.docx
3/21
entuk paling kanan merupakan hasil penderetan dari fungsi1
1−(1/ z ) , sehingga
transformasi-z dapat dituliskan !"z#&1
1−(1/ z ) & Az
z−1
aka telah diketahui baha deret geometri yang dituliskan dengan rumus
∑n=0
k
rn=
1−rk + 1
1−r
7kan mempunyai jumlah yang kon4ergen "untuk n & 8# bila 9 r 9 : 1. ;leh karna itu dapat
dituliskan
∑n=0
∞
rn=
1
1−r ,|r| 1. /adi daerah kekon4ergenan merupakan
daerah diluar lingkaran satuan. ?ambar .) menunjukan barisan konstan dan transformasi-z
dengan
a. arisan konstan membentuk .@,b. Z&1 merupakan kutub dari transformasi-z dan daerah kekon4ergenan 9 z 9 >1
8/18/2019 transformasi z.docx
4/21
Antuk nilai 7&1 maka didapatkan barisan tangga satuan "unit step# atau implus satuan,
u(n)={1,n=0,1,2,3,…0,n
8/18/2019 transformasi z.docx
5/21
%"z# dinamakan transformasi-z dua sisi atau bilateral dari barisan !"n#. edangkan
transformasi-z satu sisi atau uniteral dari barisan !"n# dirumuskan dalam bentuk 0
X ( z )=∑n=0∞
x (n) x−n
Eungsi atau barisa !"n# dikatakan sebagai in4ers dari transformasi-z, %"z#. Antuk memudahkan
dalam penulisan antara transformasi-z dan in4ersnya, maka akan digunakan notasi pasangan
transformasi,
ZF!"n#G & %"z# atau !"n# %"z#
ontoh tentukan transformasi-z dari barisan eksponensial !"n# & a n u"n#
/aab 0
ila digunakan definisi ".)# dan bentuk perderetan acHaurin maka didapatkan,
Iadius atau daerah kekon4ergenan adalah adalah 9 z 9 > a.
Dengan menggunakan cara serupa seperti contoh .2 "bentuk .12# maka dapat ditentukan
transformasi-z dari fungsi e!ponsial,
x (n )=e− Anu(n)
yaitu dengan memandang a & e-7,
X ( z )= z
z−e− A
8/18/2019 transformasi z.docx
6/21
?rafik barisan e!ponensial dan transformasi-z ditunjukkan pada gambar .2 dengan "a#
merupakan barisan e!ponensial !"n#&an u"n# dan "b# kutub terletak di z & a dan daerah
kekon4egenan 9 z 9 > a.
elanjutnya dengan menggunakan defenisi fungsi sinus dan cosinus pada bilangan kompleks,
sin An=e− An−e− Ani
2i
dancos An=e
Ani+e− Ani
2
Didapatkan hasil transformasi dari barisan sinusoidal dengan radius kekon4ergenan 9 z 9 > 1
yaitu,
8/18/2019 transformasi z.docx
7/21
a#
An u(n)sin ¿¿
A
sin ¿ z¿
A
2cos¿ z+1¿
z2−¿¿
Z ¿
atau
An u(n)sin¿¿
Z ¿
?rafik barisan sinus dan transformasinya ditunjukkan pada gambar .J dengan "a#
barisan sinus dan "b# hasil transformasi-z dengan daerah kekon4ergenan di luar
lingkaran satuan. 9z9>1.
b#
Anu (n)cos¿¿
A
cos¿+ z−2
¿ z2−2¿Z ¿
atau
An u(n)cos¿¿
Z ¿
?rafik barisan cosinus dan transformasinya ditunjukan pada ,gambar . dengan "a# barisan
cosinus dan "b# hasil transformasi-z dengan daerah kekon4ergenan di luar lingkaran satuan, 9
z9>1.
8/18/2019 transformasi z.docx
8/21
Table .1. Transformasi-Z
$o. !"n# %"z#
1.u (n )={1,∧ x ≥00 ,∧ x
8/18/2019 transformasi z.docx
9/21
8/18/2019 transformasi z.docx
10/21
Y ( z )=∑n=−∞
∞
y (n ) z−n=∑n=−∞
∞
[ a x ( n )+b h (n ) ] z−n
¿a
∑n=−∞
∞
x (n ) z−n+b
∑n=−∞
∞
h (n ) z−n=aX ( z )+b H ( z )
ontoh .JTentukan transformasi-z dari !"n# & )u"n#-2 )n u"n#/aab 0enggunakan sifat linear " * ditentukan berikut,
Z [ x (n−k ) ]=∑n=0
∞
x (n−k ) z−n=∑n=0
∞
x (n−k ) z−( n−k ) z−k
¿ z−k ∑i=−k
∞
x (i ) z−i ; i=n−k
karena !"n# & * untuk n : *, maka sigma dapat dimulai pada i&*,
sehingga diperoleh
Z [ x (n−k ) ]= z−k ∑i=0
∞
x (i ) z−i= z−k X ( z)
jadi didapatkan pasangan transformasi,
x (n−k ) ↔ z−k X ( z)
entuk ".1=# merupakan pergeseran aktu delay "backard time shift#,
sedangkan untuk pergeseran aktu maju "forard tim shift# diperoleh
berikut.
Z [ x (n+k ) ]=∑n=0
∞
x (n+k ) z−n=∑n=0
∞
x (n+k ) z−(n+k ) zk
8/18/2019 transformasi z.docx
11/21
zk ∑
i=k
∞
x (i ) z−i ; i=n+k
Tidak seperti pada pergeseran aktu delay, maka sigma tidak dapat
dimulai dengan i&*, sebab sub suku k-1 dari !"n# belum tentu bernilai nol.
Antuk itu dilakukan langkah pemisahan suku berikut.
x (i ) z−i
∑i=0
∞
x (i ) z−i−∑i=0
k −1
¿
Z [ x ( n+k ) ]= zk ¿
x (i ) z−i
X ( z )−∑i=0
k −1
¿
¿ zk ¿
¿ zk X ( z )− zk x (0 )− zk −1 x (1 )−…− z x (k −1)
entuk pergeseran aktu maju ".)*# identic dengan metode penurunan
fungsi dari transformasi laplace. Antuk k&1 maka didapatkan,
Z [ x (n+1 ) ]= z X ( z )− zx (0 )
edangkan untuk transformasi Haplace, L [ x ' (t ) ]= L [ x (t ) ]− x (0)
ontoh .
Diketahui transformasi-Z dari !"n# adalah X ( z )=
2 z
z−2 . Tentukan
transformasi-Z dari
a. x (n−2)
b. x (n+2)bila x (0 )=2dan x (1 )=−2
/aab 0
8/18/2019 transformasi z.docx
12/21
a. Digunakan rumus pergeseran aktu delay, maka didapatkan
x (n−2 )= z−2 X ( z )= 2
z ( z−2)Z ¿
b. Digunakan pergeseran aktu maju,
Z [ x (n+2 ) ]=2 z
X ( z )− z2 x (0 )− zx (1) maka didapatkan
Z [ x (n+2 ) ]= 2 z
3
z−2−2 z2
+2 z
Perkalian
Missal x(n) x(z) dan y(n)= an x (n) .
Menggunakan defnisi 5.2 di dapatkan
Y ( z )=∑n=−∞
∞
y (n) z−n=∑n=−∞
∞
[an x (n ) ] z−n
¿ ∑n=−∞
∞
x (n )( za )= X ( za )
Transormasi –Z dari n x(n) akan mengasilkan penurunan teradap
domain z! yaitu
z
x (n ) d
dz(¿¿−n)
Y ( z )=∑n=0
∞
[ n x (n ) ] z−n=− z∑n=0
∞
¿
8/18/2019 transformasi z.docx
13/21
¿− z d
dz (∑n=0∞
x (n) z−n)=− z ddz ( X ( z ))
"onto 5.#
Misal transormasi$Z dari x(n) adala %(z)= z+1 z−1 . Tentukan
transormasi$Z dari &
'. 3n x(n)
2. n x(n)
aa*&
'.Z (3n x (n ) )= X ( z3 )= z+3 z−3
2.
z−1¿2
¿
Z (n x (n ) )=− z ddz=
(
z+1 z−1
)
2 z¿
Pembalikan Waktu (Time Reversal)
Misal %(z) merupakan transormasi$Z dari *arisan x(n)! maka transormasi
dari x(n) didapatkan *erikut.
Z ( x (−n ) )=∑n=−∞
∞
x (−n ) z−n=∑n=−∞
∞
x (n ) zn=∑n=−∞
∞
x (n )
(1
z
)
−n
= X
(1
z
)"onto 5.+
8/18/2019 transformasi z.docx
14/21
Tentukan transormasi$Z dari x(n) *ila asil transormasi$Z dari x(n) adala
%(z) =
z
z−2
aa*&
Z(x($n)) = % ( 1Z )= 1
1−2Z
Konvulasi
,on-ulasi dari dua *arisan x(n) dan (n) di*erikan dengan!
x (n )∗h (n )=∑k =0
∞
x ( k )h (n−k )
ila di*erikan pasangan transormasi$Z! x /(n) dan y(n) = x(n) 0 (n)
maka
Y(z) = X(z) H(z)
"onto 5.1
iketaui *arisan x(n) = 3'!2!4!!56 dan (n) = 3'!'!'!'!'6. Tentukan
'. y(n)=x(n)0(n)2. /(n)=%(z) 7(z)
aa*&
'. ari *entuk (+.2) didapatkan! y (n )=∑k =0
∞
x (k ) h(n−k )
8edangkan *entuk *arisan x(n)=3'!2!4!!56 dan (n) =3'!'!'!'!'6
erturut$turut dapat diuraikan men9adi!
x(:)='
8/18/2019 transformasi z.docx
15/21
x(')=2
x(2)=4 dan (:)=;.=()='
x(4)=
x()=5
8eingga diperole
n=: y (0 )=∑k =0
∞
x (k ) h (−k )= x (0 ) h (0 )=1
n=' y (1 )∑k =0
∞
x (k ) h (1−k )
= x (0 )h (1 )+ x (1 ) h (0 )=1+2=3
n=2 y (2 )=∑k =0
∞
x ( k ) h(2−k )
= x (0 )h (2 )+ x (1 ) h (1 )+ x (2 ) h (0 )=1+2+3=6
n=4 y(4)= ∑k =0
∞
x (k ) h(3−k )
= x (0 )h (3 )+ x (1 )h (2 )+ x (2 ) h (1 )+ x (3 ) h(0)
= '
8/18/2019 transformasi z.docx
16/21
n= y (4 )∑k =0
∞
x (k ) h (4−k )=15
n=5 y (5)∑k =0
∞
x (k ) h (5−k )=14
n=# y (6)∑k =0
∞
x (k )h (6−k )=12
n=+ y (7)∑k =0
∞
x (k )h (7−k )=9
n=1 y (8)∑k =0
∞
x (k )h (8−k )=5
adi y(n )= x(n) 0 (n) = 3'!4!#!':!'5!'!'2!!56
2. 7asil Transormasi$Z dari x(n) dan (n) *erturut$turut adala
%(z)= 1+2 z−1+3 z−2+4 z−3+5 z−4 dan
7(z) ¿1+ z−1+ z−2+ z−3+ z−4
7asil kali keduanya mengasilkan!
/(z) ¿1+3 z−1+6 z−2+10 z−3+15 z−4+14 z−5+12 z−6+9 z−7+5 z−8
ila di*andingkan antara asil kon-olusi dengan asil transormasi! maka
terliat *aa koefsien dari polynomial transromasi merupakan suku$
suku dari *arisan asil kom-olusi.
8/18/2019 transformasi z.docx
17/21
Masalah nilai awal dan nilai akhir
Missal %(z) merupakan transormasi$Z dari x(n) danlim
z ! ∞
X ( z) ada maka
nilai aal dari *arisan di*erikan dengan!
X (0 )=lim z ! ∞
X ( z)
ila x(:) *ukanla nilai dari X (∞) maka kesalan tela ter9adi pada
saat melakukan transormasi. Masala nilai aal ini dapat digunakan
untuk menge>ek peritungan dari in-ers transormasi$z. 8edangkan nilai
akir ditentukan se*agai *erikut. ari siat pergeseran yang di*erikan!
Z [ x (n−1 ) ]= z−1 X ( z )=∑n=1
∞
x (n−1) z−n
?otasi sigma dimulai dengan n=' se*a* nilai x($') dipandang sama
dengan nol. 8elan9ut akan digunakan argumentasi ini untuk mem*uat
notasi sigma di mulai n=:! yaitu
(1− z−1 ) X ( z)=∑n=0
∞
x (n ) z−n−∑n=1
∞
x (n−1) z−n
@andang 9umla sampai suku ke$? *erikut!
x (n ) z−n−¿∑n=1
"
x (n−1) z−n
# ( " )=∑n=0
"
¿
¿ x (0 ) (1− z−n )+ x (1 ) ( z−1− z−2 )+ x (2 ) ( z−2− z−3 )+…+ x ( " ) z− "
ila diam*il limit pada zA'! maka z−1
!1 dan ( zk −1− z−k )!0. adi
8/18/2019 transformasi z.docx
18/21
lim z ! 1
# ( " )= x ( " )
Bkirnya dengan menagam*il limit pada ?AC maka didapatkan nilai
akir!
(1− z−1 ) X (Z )=¿ lim " ! ∞
lim z !1
# ( " )=lim x (n) z ! ∞
lim z !1
¿
"onto &
Tentukan nilai aal dan akir dari X (n )=
2( z−1
2)
z ( z−1)( z− 9
10)
aa* &
Menggunakan *entuk persamaan 5.24 didapatkan nilai aal!
x (0 )=lim z ! ∞
X ( z )2( z−
1
2)
( z−1)( z− 9
10
)=0
8edangkan dengan 5.2 didapatkan nilai akir!
(1− z−1 ) X (Z )=¿lim z !1
2( z−1
2)
z2( z− 9
10)=10
x ( ∞)=limn !∞
x (n)=lim z !1
¿
Ta*le 5.2 8iat$siat transormasi$z
?o
.
x(n)%(z) 8iat
8/18/2019 transformasi z.docx
19/21
'. ax (n )+b h (n ) a X ( z )+bH ( z) Dinear
2.n x (n) X (
z
a)
@erkalian dengan an
4.n x (n )− z d
dz X ( z) @erkalian dengan n
. x (−n ) z−k X ( z ) @em*aliakan aktu
5. x (n−k ) z−k X ( z ) @ergeseran aktu
delay#. x (n+k )= zk X ( z )− zk x (0 )− zk −1 x (1 )−…− z @ergeseran aktu
ma9u+.
x1 (n )∗ x2 (n ) X 1 ( z ) X 2 ( z ),on-ulasi
1. x (0 )= lim z ! ∞
X ( z) Teorema nilai aal
. lim z ! ∞
x (n)=lim z !1
[ (1− z−1 ) X ( z )] Teorema nilai akir
nvers trans!ormasi"z
Entuk mendapatkan in-ers transormasi$z dapat dilakukan dengan
menggunakan *e*erapa metode! antara lain &
• Metode perluasan pe>aan par>ial
• Metode in-ersi intergral atau metode residu
• Metode deret pangkat atau deret kuasa
i dalam Bplikasi! *anyak di9umpai transormasi$z yang *er*entuk unsi
rasional yaitu!
X ( z )=b0 z$
+b1 z$−1
+…+b$ z
n+a1 z
n−1+…+anuntuk $% n
ika diperatikan *aa koeesien a: = '. 7al ini dapat kita perole dari
semua *entuk ungsi rasional dengan mem*agi a: teradap semua
8/18/2019 transformasi z.docx
20/21
koeesien. 8e>ara umum kita dapat memaktorkan ungsi rasional %(z)
*entuk (5.21) men9adi!
X ( z )=b0 ( z− z1 )( z− z2 ) …( z− z$)
( z− &1 ) ( z− &2 ) …( z− &n)
?ilai zi! F = '!2!4...m dikatakan pem*uat nol (Zeros) dari %(z)! se*a*
%(zi)=:! sedangkan niali pi! i='!2!4...!n dikatakan kutu* (poles) dari %(z)
se*a* nilai %(pi) akan menu9u GC.
Hungsi rasional (5.21) 9uga sering dinyatakan se*agai ungsi rasioanal
dalam z$'
. Fni dapat dilakukan dengan mem*agi pem*ilang dan penye*ut
dengan zn yaitu!
X ( z )=b0 z
−(n−$)+b1 z−(n−$−1)+…+b$ z
−n
1+a1 z−1+…+an z
−n
Metode #erluasan #e$ahan #arsial
Entuk mendapatkan in-ers dari transormasi$z! dapat dilakukan dengan
metode perluasan pe>aan parsial. ila kutu* dari %(n) mempunyai order
pertama atau merupakan kutu* sederana dan n=m! maka dapat kita
tuliskan kem*ali *entuk transormasi (5.2) men9adi!
X ( z )= b0 z
$+b1 z$−1+…+b$
( z− &1 )( z− &2 ) …( z− &n)
ari persamaan 5.4' dapat diurakan men9adi!
X ( z )=k 0+k 1 z
z− &1+k 2
z
z− &2+…+k n
z
z− &n
8elan9utnyan! dari persamaan 5.42 didapatkan!
8/18/2019 transformasi z.docx
21/21
X ( z) z =
k 0
z +
k 1
z− &1+
k 2
z− &2+…+
k n
z− &n
,oeesien ki dengan i=:!'!2!4!...!n merupakan residu dari ungsi
' ( z)= X ( z )
z dititik singular (kutu*) z = :!p'!p2!...!pn.
?ilai residu dari X ( z)
z di kutu* sederana pi diperole dengan
menggunakan rumus!
Entuk kutu* order m maka aka nada suku dari X ( z)
z dengan *entuk
∑i=1
$ k i
( z− &i) ! seingga residu dikutu* order m! didapatkan dengan rumus