CAP.III TRANSFORMĂRI GEOMETRICE

MOTTO: Se poate măsura doar ce este stabil

CUPRINS CAP. III

§0. Preambul 112§1. Translaţii 114§2. Rotaţii 115§3. Simetrii faţă de drepte 116§4. Izometrii 120§5. Omotetii 126§6. Similitudini 129§7. Inversiunile planului 133§8. Omografii 152§9. Răspunsuri la PC-uri 153

§0. Preambul

Transformările alcătuiesc un capitol important al geome-triei. Argument decisiv pentru această propoziţie îl constituie definiţia kleiniană a geometriei (vezi cap.II. §4).

Unghiul de vedere al măsurilor reliefează suplimentar relevanţa transformărilor. Să gândim o mulţime M cu o structură σ ce conţine şi o familie M de măsuri m; putem interpreta o asemenea măsură ca o funcţie m: Mn A, unde n este un număr natural iar A o mulţime numerică, de preferinţă sau . O funcţie f: M M este compatibilă cu familia M de măsuri dacă păstrează măsurile m din M . Când măsurile m sunt geometrice, funcţia f considerată binemerită denumirea de transformare geometrică.

Aici, prezentarea transformărilor geometrice se va baza pe interpretarea geometrică a numerelor complexe. Faptul nu constituie doar o invitaţie spre a da atenţia cuvenită capitolului V. Apreciem că cea mai importantă măsură geometrică este biraportul. Privind această măsură în mulţimea numerică , suntem îndreptăţiţi să considerăm numere complexe a, b, c, z, z’; primele trei constante, ultimele două legate prin relaţia(1) z’ = (a,b; c,z), subordonată unei formule ce o prezentăm în baza interpretării

geometrice a numerelor complexe sub forma (2) ' ,dZ e

ZZ A

cu posibilitatea de a

interpreta geometric constantele nou introduse prin Dar (2) constituie una dintre cele mai generale transformări geometrice, omografia. Adăugăm în generalitate dacă ne referim şi la importanta operaţie de conjugare complexă, asimilabilă

cu simetria faţă de axa numerelor reale; transformarea

(3) este numită antiomografie.

Chiar dacă nu suntem îndreptăţiţi de context să studiem în maxima lor generalitate transformările proiective date de (2) şi (3), avem posibilitatea de a include transformările geometrice ce le vom studia în această clasă generală.

Vom presupune fixată o diagramă Argand în planul dar, ca şi în paragrafele precedente, vom identifica punctul generic Z prin contraimaginea sa în numărul complex Această convenţie nu exclude însă folosirea unor numere complexe (notate prin litere mici) a căror imagine prin nu prezintă interes geometric. În absenţa altui mijloc, în acest paragraf se vor ilustra grafic unele transformări marcând câteva săgeţi ce pornesc din puncte A şi se opresc în puncte

Pauza de cafea 23Probleme date la Memorialul ,,Alexandru Cojocaru”, Roman, clasa a IX-a, 23

noiembrie 2002.1. Fie sferele S 1(O1, R1), S 2(O2, R2) tangente în T. Prin T se duce o secantă variabilă

M1M2, M1 S 1, M2 S 2. Fie M3 simetricul lui M1 faţă de M2. Să se determine locul geometric al punctului M3. Prof. dr. Gh. Murărescu, Craiova.

2. Fie ABCDA’B’C’D’ un cub cu muchia 2m. Fie punctele K, L, M respectiv pe dreptele suport ale muchiilor AA’, BC, C’D’. a) Calculaţi aria triunghiului KLM în cazul în care K, L, M sunt mijloacele muchiilor corespunzătoare. b) Arătaţi că aria ΔKLM atinge minimul său pentru un singur triunghi KLM. Prof. dr. Dan Brânzei, Iaşi.

§1. TranslaţiiNumim translaţie o transformare cu proprietatea că, pentru orice puncte

are loc:(1.1)

Considerând şi punctul din egalitatea de mai sus se deduce:(1.2)

În cazul particular translaţia T considerată se reduce la transformarea identică (unde

Fig. 1

Demonstrarea următoa-relor afirmaţii este lipsită de dificultate.1.1. Pentru orice punct M există o translaţie astfel încât

1.2. Translaţia T conservă distanţa: 1.3. O translaţie T diferită de transformarea identică nu admite puncte fixe (adică puncte Z,

astfel încât 1.4. Imaginea prin translaţia T a unui segment este un segment (unde

şi 1.5. Imaginea prin translaţia T a unei drepte este o dreaptă paralelă în sens

larg cu 1.6. Imaginea prin translaţia T a unei drepte este o dreaptă paralelă în sens

larg cu 1.7. Imaginea prin translaţia T a unei semidrepte

este o semidreaptă paralelă cu şi având acelaşi sens.

1.8. Imaginea prin translaţia T a unui unghi este un unghi egal

1.9. Imaginea prin translaţia T a unui cerc (de centru O şi rază r) este un cerc (de centru şi rază r).

1.10. Compunerea translaţiilor şi este o translaţie

1.11. Inversa unei translaţii este translaţie:

Pauza de cafea 24Fie A un punct comun cercurilor C (C,c), D (D,d) şi un număr real k. O dreaptă

variabilă prin A retaie cercurile date în M, N. Se cere locul geometric al punctului P ce satisface condiţia

§2. RotaţiiSe numeşte rotaţie de centru C şi

argument t o transformare cu proprietatea:(2.1) ( ) ( ) .R Z C Z C

Vom folosi scrierea pentru a preciza centrul C şi

argumentul t. Dacă cu rotaţia R coin-cide cu transformarea identică, E. Dacă formula (3) devine transformarea R are în

acest caz proprietatea că mijlocul segmentului

unde este C, fapt ce justifică denumirea de simetrie faţă de punctul C şi

notaţia Două rotaţii de acelaşi centru C şi de argumente t, coincid dacă şi

numai dacă există un număr întreg k, astfel încât argumentul t al unei rotaţii se poate alege în mod unic prin condiţia Următoarele afirmaţii referitoare la

rotaţia beneficiază de demonstraţii imediate.

Fig. 3

Fig. 2

2.1. R conservă distanţe: 2.2. Dacă R este diferită de transformarea identică, ea admite un singur punct fix,

centrul C.2.3. Imaginea prin R a unui segment este un segment (unde şi

2.4. Imaginea prin R a unei drepte este o dreaptă dacă atunci

unul dintre unghiurile formate de şi are măsura de forma unde

şi pentru este paralelă cu (AB) şi ori-entată în sens contrar.

2.5. Imaginea prin R a unei semidrepte este o semidreaptă.2.6. Imaginea prin R a unui unghi este un unghi egal.2.7. Imaginea pein R a cercului (de centru S şi rază r) este un cerc (de centru

şi aceeaşi rază r).

2.8. Compunerea rotaţiei R cu rotaţia de acelaşi centru C şi argument este

o rotaţie unde şi

2.9. Inversa rotaţiei R este o rotaţie Pauza de cafea 25

Memorialul ,,Alexandru Cojocaru”, Roman, clasa a X-a, 23 noiembrie 2002. Fie ABC un triunghi ascuţitunghic cu centrul cercului celor nouă puncte, R raza cercului circumscris triunghiului ABC. Dacă să se arate că triunghiul ABC este echilateral. Paul Georgescu şi Gabriel Popa, Iaşi.

§3. Simetrii faţă de drepteFie o dreaptă d; numim simetrie

faţă de d o transformare definită prin proprietatea că asociază punctului Z un punct

astfel încât: dacă atunci dacă atunci d este me- diatoare pentru

Vom folosi notaţia pentru simetria faţă de dreapta d.În cazul particular, când d coincide cu Ox are loc,

evident, (reamintim că prin supraliniere notăm operaţia de conjugare a numerelor complexe şi o concepem acum extinsă asupra punctelor ce se identifică prin cu aceste numere). Vom explicita acum în cazul când S este simetria faţă de o dreaptă generică d. Fie puncte pe d. putem presupune deci este un număr complex m de modul unitar. Dreapta trebuie să fie perpendiculară pe d, deci va exista un număr real t, astfel încât:(3.1)

Mijlocul al segmentului este dat de dar pentru

a fi punct al dreptei d trebuie să existe un număr real u, astfel încât

Rezultă deci adică Scăzând ultima

Fig. 4

egalitate din conjugata sa se deduce: Revenind în (3.1) se

obţine Se ob-servă însă că are loc şi egalitatea

devine:(3.2)

Se mai consideră imaginea P prin S a originii O, unde şi (3.2) devine:(3.3)

(Dacă punctul P este suficient pentru determinarea dreptei d şi a simetriei S;

Se demonstrează uşor următoarele afirmaţii asupra simetriilor S faţă

de drepte.3.1. S conservă distanţa: 3.2. S păstrează punctele dreptei d şi numai pe acestea.3.3. S este transformare involutivă, adică este trans-formarea identică.3.4. Imaginea prin S a unui segment dreaptă semidreaptă este:

segment dreaptă respectiv, semidreaptă

3.5. O dreaptă este conservată de dacă şi numai dacă sau

3.6. Simetria transformă cercul (de centru C şi rază r) într-un cerc (de centru

şi aceeaşi rază r); dacă şi numai dacă Teorema 3.1. (de compunere a simetriilor). Fie a şi e două drepte; transformarea

este:

translaţie, dacă rotaţie, dacă d şi e au în comun exact un punct.

Demonstraţie. Fie Obţinem:

deci:

(3.4)

În alternativa are loc deci şi formula (3.4) arată că T coincide

cu translaţia unde:

(3.5)

În alternativa că există C comun dreptelor d şi e va avea loc deci:

(*)

Scăzând membru cu membru (3.4) şi (*) se obţine:

Fig. 5 Fig. 6

deci T este rotaţie de centru C şi de argument Trebuie

observat că alternativele din enunţ nu sunt disjuncte; când ne încadrăm în ambele alternative, T fiind transformarea identică, E.

Teorema 3.2 (de descompunere a translaţiilor în simetrii). Pentru orice translaţie şi

orice dreaptă d ce satisface există o dreaptă unică e, astfel încât

Demonstraţie. Fie dacă luăm e paralela prin M la d; dacă

luăm e mediatoarea segmentului şi ne convingem uşor că are loc Conform

teoremei prece-dente este o translaţie unde

deci etc.Observaţia 1. Enunţul nu exclude posibilitatea furnizată de situa-ţia în acest caz nu

putem vorbi de dreapta dar concepem că fragmentul de ipoteză este îndeplinit (în mod trivial).

Teorema 3.3 (de descompunere a rotaţiilor în simetrii). Pentru orice rotaţie şi

orice dreaptă d ce conţine C, există o dreaptă unică e, astfel încât

Demonstraţie. Punem în evidenţă pe d un punct unde luăm apoi n,

astfel încât şi fie Vom lua Prin teorema 1, formula (7),

constatăm că este rotaţie de centru C şi argument t; am demonstrat astfel existenţa lui e. Pentru demonstrarea unicităţii lui e ne con-vingem că procedeul ales mai sus pentru determinarea lui e este obligatoriu. Urmărim, apoi, procedeul pentru a verifica unicitatea determinării. Condiţia furnizează pentru n

două soluţii şi Luând în loc de obţinem un alt punct în loc de B, anume dar

deci cele două alegeri posibile conduc la aceeaşi dreaptă e.

Observaţia 2. În teoremele 2 şi 3, dacă în loc de d este precizată dreapta e, putem determina, în mod unic, pe d.

§4. IzometriiNumim izometrie a planului o transformare surjectivă ce conservă

distanţa, deci care satisface condiţia că pentru orice punct are loc:

(4.1)Conform proprietăţilor 1.2, 2.1 şi 3.1, translaţiile, rotaţiile şi simetriile faţă de drepte

sunt exemple de izometrii.Observaţia 1. O analiză mai atentă ne convinge că se poate înlătura din definiţie condiţia de

surjectivitate; acceptarea ei este destinată uşurării raţio-namentelor.Teorema 4.1. Orice izometrie T este transformarea bijectivă, inversa sa este tot o

izometrie. Compunerea a două izometrii este tot izometrie.Demonstraţie. Din urmează deci adică

S-a dovedit astfel că T este injec-tivă; deoarece se acceptase, prin definiţie, că T

Fig. 7

este şi surjectivă, am constatat că este bijectivă, deci admite inversă, Fie

Conform (9) are loc: şi am

probat astfel că conservă distanţa, deci este izometrie, încheind demonstraţia primei părţi a teoremei.

Pentru ultima afirmaţie din teoremă se consideră încă o izo-metrie U. Evident, este surjectivă. Se constată: deci conservă dis-tanţa q.e.d.

Teorema 4.2. Imaginea printr-o izometrie T a unui segment este segmentul

unde şi

Demonstraţie. Fie deci Fie deoarece T

este izometrie, are loc: şi

de unde

Demonstrarea incluziunii inverse se realizează analog: pentru se consideră

şi ne convingem că are loc analogia bazându-se pe faptul că şi este izometrie.

Această teoremă constituie o variantă de demonstraţie a pro-prietăţilor 1.4, 2.3 şi parţial pentru 3.4.

Teorema 4.3. Imaginea printr-o izometrie T a unei semidrepte este o semidreaptăiar a unei drepte o dreaptă

Demonstraţie. Fie un punct V situat pe dreapta dar nu pe semidreapta

condiţia revine la Ca în demonstraţia teoremei

precedente se constată echivalenţa apartenenţelor şi

unde şi Pentru cea de-a doua parte a

teoremei vom descompune: unde C este, de exemplu, simetricul

lui B faţă de A şi am folosit notaţia pentru semidreapta închisă de origine X ce trece prin Y. Prin demonstrarea acestei teoreme ne sunt furni-zate variante de dovedire a proprietăţilor 1.5, 1.6 (parţial), 2.4 (parţial), 2.5 şi 3.4.î

Teorema 4.4. Orice izometrie T conservă mărimile unghiu-rilor, adică din

Demonstraţia este imediată: triunghiurile şi ABC sunt egale, deoarece au laturile corespunzătoare egale etc.

Teorema 4.5. O izometrie T ce admite drept puncte fixe trei puncte necoliniare este transfor-

marea identică.Demonstraţie. Fie Z un punct arbitrar din plan; măcar una din

intersecţiile AZ cu BC, BZ cu AC sau CZ cu AB este nevidă (pe figura 8, prima este vidă, iar ultima oferă un punct „incomod”). Fie, de exemplu, Imaginea

va fi pe dreapta dar vor avea loc conform (4.1) egalităţile: şi

ce asigură Considerăm şi se deduce: şi

Fig. 8

ce asigură adică punctul generic Z este fix pentru T, q.e.d.Consecinţă. Dacă pentru două izometrii T şi U există puncte necoliniare A, B, C,

astfel încât atunci Demonstraţia constă în aplicarea teoremei precedente pentru transformarea ce

admite drept puncte fixe, deci de unde q.e.d.Teorema 4.6 (a descompunerii izometriilor). Orice izometrie T a planului se

obţine compunând cel mult trei simetrii faţă de drepte.Demonstraţia se bazează pe considerarea succesivă a unor izo-metrii ce au din ce în ce mai multe puncte fixe. Teorema este adevărată, în cazul particular, când izometria T coincide cu trans-formarea identică E; luând o simetrie S faţă de o dreaptă arbitrară are loc

Să presupunem că există măcar un punct A, astfel încât este distinct

de A. Fie a mediatoarea seg-mentului simetria faţă de a şi fie Este

uşor de constatat că este izometrie (teorema 4.1) şi că A este punct fix pentru Dacă

atunci deci şi con-cluzia teoremei este îndeplinită. Să

presupunem că există un punct ce nu este fix pentru deci Fie b

mediatoarea lui se constată: deci Fie

simetria faţă de b şi se observă: şi

Constatăm că A şi B sunt puncte fixe pentru izome-

tria Dacă urmează deci este compunere a două

simetrii. (Conform teoremei 3.1, T este deci translaţie sau rotaţie). Dacă nu este

transformarea identică, va exista C, astfel încât conform demonstraţiilor

din teorema 4.2, C nu poate fi pe Observăm:

şi deci dreapta este mediatoarea segmentului

Fie simetria faţă de c şi izometria Se constată uşor că admite

drept puncte fixe şi, conform teoremei 4.5, are loc Urmează

deci şi Teorema 4.6 (de clasificare a izometriilor). Pentru orice izometrie T există un punct P

şi un număr complex de modul 1, astfel încât, pentru orice punct Z, să fie valabilă una dintre formulele:(Id) (T este izometrie directă) sau

(Ii) (T este izometrie indirectă).Demonstraţie. Conform teoremei precedente avem de

analizat succesiv cazurile când T este compunere de 1,2, respectiv, 3 simetrii faţă de drepte. Dacă T este simetrie faţă de o dreaptă, prin formula (5) ne încadrăm în formula (Ii). Dacă T este com-punere a simetriilor

vom presupune, conform formulei (3.3):

Deducem:

unde:

Fig. 9

şi Evident, ne încadrăm astfel în formula (Id). În fine, dacă

pentru trans-formarea vom putea admite, ca în concluzia etapei precedente,

că există şi astfel încât şi Vom accepta pentru

formula de mai sus: Obţinem:

luând acum Teorema este astfel complet demonstrată. Din acest moment studiul izo-metriilor se poate face strict formal, adică apelând, în mod exclu-siv, la formulele izometriei şi la calcule algebrice. Vom ilustra, însă, prin următoarele două teoreme cazuri când raţionamentul geometric este preferabil.

Teorema 4.7 (de compunere a rotaţiilor). Fie rotaţii şi

compunerea este rotaţie sau translaţie după cum diferă sau nu de un multiplu de 2.

Demonstraţia se bazează pe descompuneri şi astfel încât să

aibă loc Pentru egalitatea este necesar

iar pentru este necesar luăm, deci Conform observaţiei 2

şi teoremei 3, determinăm astfel încât respectiv, Dacă

au în comun un

punct E, prin teorema 1 rezultă Figura 10 ilustrează regula lui Euler de compunere a rotaţiilor, unghiurile triunghiului CDE

exprimând jumătăţi ale argumentelor rotaţiilor şi Con-diţia revine la Dacă sunt drepte para-lele, urmează deci

în acest caz este o translaţie T ce poate fi caracterizată prin

Teorema 4.8 (de compunere a rotaţiilor cu translaţii). Oricare ar fi punctele şi pentru orice număr real t există puncte D, E, astfel încât

are loc

Vom pune în evidenţă drepte şi simetrii faţă de aceste drepte astfel

încât Dreapta b va fi perpendiculara din C pe a se

obţine din b printr-o rotaţie de argument în jurul lui C, iar c este paralelă cu b

„distanţa orientată” de la b la c fiind Intersecţia dintre a şi c este punctul D, pentru care are loc:

Mai

descompu-nem

Fig. 10 Fig. 11

Fig. 12

dreptele fiind astfel încât b bisectează şi este

para-lelă medie pentru urmea-ză

Se observă, apoi, că triunghiul CED este isoscel şi pentru a constata ultima egalitate din enunţ.

Pauza de cafea 26Privind geometria euclidiană plană din perspectiva programei de la Erlangen, care este

grupul său structural?

§5. Omotetii

Fie k un număr real diferit de 0. Se numeşte omotetie de centru C şi raport k transformarea unde

este acel punct ce satisface condiţiile:

punctele şi sunt coliniare; are loc Din aceste condiţii rezultă şi deci:

(5.1)

Se observă că omotetiile de raport sunt simetrii faţă de un punct, iar este transformarea identică. Aceste cazuri particulare sunt, de altfel, singurele cazuri de omotetii ce sunt izometrii (vezi mai jos proprietatea 5.1). Se demonstrează uşor următoarele proprietăţi ale omotetiei

5.1. Distanţa între imagini de puncte este proporţională cu distanţa între puncte:

5.2. Imaginea prin H a unui segment, dreaptă, semidreaptă, cerc este segment, dreaptă (paralelă), semidreaptă, respectiv cerc; sensurile de drepte şi semidrepte sunt păstrate când

inver-sate când 5.3. Omotetia cu invariază un singur punct (centrul) şi dreptele prin centru; nu

există cercuri invariante la omotetii, „netriviale” (pentru care

5.4. Pentru orice puncte are loc dacă XYZ

este triunghi şi atunci este triunghi asemenea cu XYZ.

Teorema 5.1 (de compunere a omotetiilor). Compunerea este: o omotetie

Fig. 13

când (unde ) respectiv, o translaţie

când Demonstraţia formală este cea mai simplă: conform formulei (10) are loc:

Pentru cazul particular

formula de mai sus devine În cazul

generic introdu-cem notaţia şi formula de mai sus de-

vine: Observăm şi egalitatea

definitorie pentru E devine deci formula preconizată de

enunţ. Considerăm că prezintă oarecare interes şi demonstraţia sintetică. Fie în acest scop un punct generic Z,

În cazul particular deducem

1 – h =

= Prin teorema lui Thales urmează şi cu

TFA deducem: deci: Membrul secund este un număr complex

constant, deci reprezintă un punct fix P; egalitatea

exprimă că transformarea considerată T coincide cu translaţia

etc. Pentru fie E comun lui şi Prin teorema lui Menelaos, în triunghiul UCD constatăm:

Din egalitatea obţinută ştim deja că E

este fix pe dar prin proporţii deri-vate se aduce sub forma din enunţ:

Aplicând teorema lui

Menelaos şi pentru triunghiul UVZ obţinem: deci

adică q.e.d.Teorema 5.2 (de compunere a omotetiilor cu translaţii). Fie

o omotetie cu şi o translaţie. Dacă D, E sunt puncte, astfel încât

atunci: şi

Demonstraţia formală – prin (1.2) şi (5.1) – este imediată:

Fig. 14

Fig. 15

Fig. 16

etc. Nici demonstraţia sintetică nu este grea. Pe figura 16 am considerat

Am efectuat, apoi, următoarele construcţii: para-lela prin C la taie

dreptele în Formulele din enunţ se obţin prin teorema fundamentală a asemănării.

§6. SimilitudiniAparent, similitudinile sunt transformări mai complicate decât celelalte; poate că acesta este

motivul pentru care sunt neglijate sau expediate rapid în majoritatea lucrărilor de geometrie elementară. Aparenta lor dificultate dispare însă dacă le abordăm cu ajutorul numerelor complexe. Interesul lor geometric este remarcabil.

Se numeşte similitudine de centru C şi raport

com-punerea

între omotetia şi

rotaţia Folosind for-mulele (3.1) şi (5.1) obţinem:

Reţinem deci formula similitudinii:(6.1)

Din punct de vedere formal, această egalitate coincide cu (3.1) sau (5.1), dar le înglobează pe amândouă: (3.1) se obţine din (6.1) pentru (absenţa omotetiei), iar (5.1) se obţine din (6.1) pentru (absenţa rotaţiei). Este interesant de remarcat că ordinea în care se compun omotetia şi rotaţia este arbitrară (vezi figura 157):

Consemnăm câteva pro-prietăţi imediate ale

similitudinilor:6.1. O similitudine coincide cu transformarea identică dacă şi numai dacă 6.2. O similitudine diferită de transformarea identică admite un singur punct fix:

centrul.6.3. Similitudinea amplifică distanţele prin

Fig. 17 Fig. 18

6.4. Pentru are loc formula: deci

6.5. Imaginea prin similitudinea S a unui segment, semidreaptă, dreaptă, cerc este: segment, semidreaptă, dreaptă, cerc.

6.6. Prin compunerea similitudinilor de acelaşi centru se obţine o similitudine de acelaşi centru: (Corespondenţa de la numere complexe la similitudini de un anumit centru

C face să corespundă înmulţirii numerelor compunerea transformărilor şi oferă astfel interpretare geometrică operaţiei de înmulţire prin C; interpretarea este independentă de diagrama Argand.)

6.7. adică similitu-dinea păstrează raportul simplu a trei puncte.

Teorema 6.1. Fie dreptele d şi pe care se aleg sensuri ce se corespund

prin Unghiul orientat, format de direcţiile pozitive ale lui d şi are măsura

Demonstraţia formală se realizează cu ajutorul proprietăţii 6.4; considerând punctele pe d şi imaginile lor pe vom constata:

etc.

Teorema 6.2 (de determinare a similitudinii). Pentru orice puncte ce satisfac şi şi nu sunt colini-are există o singură similitudine S, astfel încât

şi sau o translaţie T, aşa încât Demonstraţia formală. Enunţul cere existenţa şi unicitatea unui cuplu astfel

încât: Scăzând aceste egalităţi (sau folosind

proprietatea 6.4) obţinem Eventualitatea echivalează cu

şi conduce la translaţia unde Pentru există şi C dat de:

Demonstraţia sintetică. Fie similitudinea cu proprie-tăţile enunţate şi să presupunem În baza proprietăţii 6.3 este necesar să aibă loc

Centrul C

al similitudi-nii căutate va satisface deci egalitate ce îl plasează pe un cerc Apolonios în raport cu

Să admitem că există U comun dreptelor şi alegând pe aceste drepte sen-suri de la A spre B, respectiv, de la la identificăm un unghi al direcţiilor pozitive ale dreptelor şi Conform teoremei precedente trebuie să aibă loc

Fig. 19 Fig. 20

Deducem că C este şi pe arcul de cerc Constatăm acum uşor că

există un punct unic C situat pe şi luând apoi obţinem o

similitudine ce satisface, evident, Vom demonstra că S este

similitudinea căutată, arătând că are loc Într-adevăr, are loc

deoa-rece: şi Din această

asemănare deducem şi

etc. Dacă nu am fi putut considera U în determinarea lui C şi în demonstraţia teoremei. Pentru acest caz, dacă intersecţia este nevidă, notăm prin C acest punct; cu teorema fundamentală

a asemănării rezultă imediat că omotetia con-stituie similitudinea căutată. Dacă are

loc în mod suplimentar şi atunci este paralelogram şi translaţia T ce satisface satisface şi

Teorema 6.3. Compunerea similitudinilor este:

o translaţie cu dacă

o similitudine cu dacă are loc Demonstraţia se realizează imediat prin formula 6.1. Calea sintetică cere interpretări

geometrice incomode.

Pauza de cafea 27Fie un cerc C interior cercului D şi T familia cercurilor tangente cercurilor C şi D .

a) Să se determine locul geometric L al punctelor de contact a câte două cercuri din T. b) Numim lanţ Steiner al perechii (C , D )o aplicaţie λ:N T astfel încât, pentru orice n, cercurile λ(n), λ(n+1) sunt tangente şi λ(n+2) λ(n). Să se arate că, dacă există un lanţ Steiner λ periodic de perioadă principală p, pentru care linia frântă determinată de cercurile unei perioade să înconjoare de m ori cercul C , orice alt lanţ Steiner al perechii (C , D )este caracterizat de aceleaşi numere naturale p, m.

§ 7. Inversiunile planului Fie un punct P şi un număr real nenul p; se numeşte inver-siune de pol P şi putere p, o

transformare a mulţimii în ea însăşi, cu proprietatea că asociază unui punct punctul definit prin condiţiile:

1) punctele şi sunt coliniare;

2) are loc Atragem atenţia că, la definirea inversiunii, este necesară pre-cizarea unităţii de

măsură a lungimilor; în actualul cadru de ex-punere, această precizare este realizată prin diagrama Argand ce permite identificarea punctelor prin numere complexe. Mai trebuie observat că semidreptele şi coincid dacă şi sunt în prelungire dacă

Teorema 7.1. Pentru inversiunea I de pol P şi putere p, condiţia este echivalentă cu

(3)Demonstraţie. Interpretăm condiţia (1) prin existenţa (pentru un fixat) a unui

număr real t, astfel încât:(4)

Această condiţie exprimă şi îndeplinirea condi-ţiei (2) revine astfel la

adică: Înlocuind în (4) această

valoare se obţine (3). Prin definiţia dată, este evident că inversiunea este transformare involutivă deci este transformarea identică a mulţimii

Mai deducem de aici că I se admite pe sine ca transformare inversă, deci este o

bijecţie. Examinăm problema existenţei punctelor fixe Z pentru o inversiune Este

uşor de văzut că are loc dacă şi numai dacă Deci:

dacă inversiunea nu admite puncte fixe;

dacă mulţimea punctelor fixe este un cerc de centru P şi de rază Se

foloseşte pentru denumirea de cerc al inversiunii I.Observaţia 1. Cercul permite determinarea inversiunii I de putere p pozitivă. Pe figura 160, unde

şi sunt tangente în A, respectiv, la cercul şi se constată uşor

Cercul permite deci construcţia geometrică a punctului ce corespunde în

inversiunea I lui Z: dacă Z este exterior lui (de exemplu se duc tangente

şi

dacă Z este interior lui (de exemplu se trasează

perpendiculara în N pe până taie în A sau Tangenta în A sau

la taie în Modalitatea de definire a inversiunilor (de putere pozitivă) prin intermediul unui cerc are avantajul de a fi mai geometrică; alegerea unităţii de măsură nu mai afectează poziţia punctului

De altfel, în literatura matematică din numeroase limbi de circula-ţie se utilizează şi denumiri ce

s-ar traduce prin simetrii faţă de un cerc. O in-versiune de putere negativă poate fi privită drept

compunere (în ordine arbitrară) a inversiunii de putere pozitivă cu simetria faţă de punctul P. Iată de

ce putem caracteriza şi inversiunile I de putere negativă printr-un cerc ce îl vom

numi, ca şi în cazul cerc al inver-siunii I.

Teorema 7.2. Pentru o dreaptă d ce trece prin P, mulţimea se autocorespunde printr-o inversiune I de pol P.

Demonstraţia se realizează imediat prin considerente geome-trice, dar se poate baza şi pe formula (3): M arbitrar pe este de forma unde t este număr real

nenul şi pu-tem presupune este punct generic pe

q.e.d.

Teorema 7.3. Dacă în inversiunea punctelor le corespund puncte şi

nu sunt coliniare, atunci:a) triunghiurile PAB şi sunt asemenea;

Fig. 21

b) punctele sunt conciclice;

c) are loc egalitatea

d) orientările triunghiurilor PAB şi sunt opuse.

Demonstraţie. Din urmează: având în vedere şi

urmează imediat concluzia a). Folosind puterea punctului P faţă de cercul prin A, sau o caracterizare prin unghiuri a inscriptibilităţii deducem b). Din a) urmează:

deci:

Dacă

triunghiurile PAB cu şi cu sunt la fel orientate, dar şi sunt invers orientate. Dacă vom compune inversiunea I cu o simetrie S faţă de polul P, transformare ce nu schimbă orientările triunghiurilor. Pentru acest punct d) al teoremei se putea utiliza (3) şi condiţiile OP sau ON din paragraful 4.Observaţia 2. Formula (5) este corectă şi când sunt coliniare; de-monstraţia de mai sus nu este valabilă, dar se poate înlocui cu demonstraţii directe:

sau

Teorema 7.4. Imaginea prin inversiunea a punctelor unei drepte d ce nu conţine polul P este un cerc ce trece prin P, dar din care se exclude P. O dreaptă orientată prin P formează cu d şi unghiuri egale sau suplimentare după cum respectiv,

Perpendiculara din P pe d conţine centrul D al cercului Demonstraţia calculatorie este artificioasă şi greoaie; o pre-ferăm pe cea geometrică.

Fie astfel încât şi Pentru M arbitrar pe d şi din

urmează

deci este pe cercul având

ca diametru.

Deci

Reciproc, dacă este pe şi rezultă deci adică Punctul

considerat N este imaginea prin I a punctului deci Pe figura 162

am indi-cat prin săgeţi sensuri pe şi pe sensurile pe d şi se

corespund prin I. Unghiul format de cu este unde este tangentă la

Fig. 22

Fig. 23

şi ultimul unghi fiind cel format de d cu Toate afirmaţiile din enunţ sunt demon-strate pentru cazul

Pentru cazul putem privi inver-siunea I drept o compunere unde J este inversiune de putere negativă, iar R este simetria faţă de polul P al inversiuni-lor I şi J. Toate afirmaţiile, cu excepţia celor referitoare la un-ghiuri orientate, îşi păstrează valabilitatea. Pe figura 162 apare punctată şi dreapta ce ar fi dusă acum de I în

Sen-sul pe este invers celui ales pe d, secanta rămânând aceeaşi. Deci, în cazul o dreaptă prin P taie d şi sub unghiuri orientate suplimentare.

Consecinţă. Pentru un cerc arbitrar prin P, este o dreaptă d

perpendiculară pe raza şi conţinând ima-ginea A (prin I) a punctului diametral opus lui P în

Observaţia 3. Fie K simetricul polului P faţă de dreapta d, deci urmează imediat: deci Acest rezultat caracterizează

geometric centrul cercului Teorema 7.5. Dacă este un cerc de centru C şi rază r ce nu trece prin P, atunci

este un cerc de centru D şi rază R, astfel încât:

(6) şi

O dreaptă prin P taie sub unghiuri egale, dacă şi suplimentare, dacă

Demonstraţia va fi geometrică; calea calculatorie nu prezintă dificultăţi de concepţie, dar este greoaie. Fie punctele în care taie şi imaginile acestor puncte prin I. Pen-tru şi vom observa, conform teoremei 3:

(*)

De aici, urmează imediat: deci se găseşte pe cercul de diametru A fost dovedită astfel incluziunea echivalentă cu Pentru demonstrarea incluziunii inverse este suficient să schim-băm mai sus rolul cercurilor şi Conchidem Lu-crând cu segmente orientate,

constatăm: şi

Fig. 24

Fie şi tangente

la respectiv, Folosind egalităţi de unghiuri provenite din triunghiurile isoscele şi şi din asemănările (*) obţinem:

şi a fost dovedită egalita-tea unghiurilor sub care

taie cercurile şi Comenta-riul din finalul teoremei 4 justifică schimbarea de formulare ce apare în cazul

Observaţia 4. Inversând rolurile cercurilor obţinem şi deci

Reţinem, de aici, că puterile lui P faţă de şi au acelaşi semn, deci P este interior sau exterior ambelor cercuri.

Observaţia 5. Centrul D al cercului nu este imagine prin I al centrului C al lui Într-adevăr,

egalitatea revine la egalitate imposibilă, deoarece şi, evident,

Fie, însă, inversiunea J în raport cu cercul deci de pol C şi putere Considerăm punctul

caracterizat, evident prin Urmează

Având în vedere şi caracterizarea (6) a punctului D, se obţine imediat deci

rezul-tat asemănător celui din observaţia 3.

Teorema 7.6. Un cerc este conservat de inversiunea în următoarele cazuri (şi

numai în acestea); a) b) şi este ortogonal lui c) şi taie în puncte diametral opuse.( Pentru o curbă cu proprietatea este încă răspândit, pe plan mon-dial, adjectivul destul de ciudat: „analagmatic” ce pare a fi fost introdus în 1864 de către Moutard.)

Demonstraţie. Fie centrul şi raza cercului Are loc dacă şi numai dacă şi Prin identita-tea (6), poate avea loc în următoarele situaţii: A) şi B) În cazul A), egalitatea revine la

deci adică cercurile şi coincid; suntem în cazul a) din enunţ (dacă fiecare punct al cercului este fix pentru I; dacă fiecare punct al lui este dus prin în diametral opusul său, dar este conservat ca mulţime de puncte). Pentru a explicita cazul B) fie raza cercului Aici, dacă şi egalitatea

devine Urmează deci există M comun lui şi iar triunghiul CPM este dreptun-ghic în M, deci este ortogonal lui acesta este cazul b) din enunţ. În fine, dacă atunci şi obţinem

Urmează şi din nou Cercurile şi sunt din nou

secante, acum triunghiul CPM fiind dreptunghic în P. Situaţia coincide cu cea prevăzută în enunţ la cazul c). Teorema este complet demonstrată.

Teorema 7.7. Inversiunea conservă unghiurile între drepte şi cercuri.

Demonstraţia va fi precedată de un comentariu referitor la afirmaţii din teoremele 4 şi 5 ce vor fi folosite aici. Acolo se afir-mau

Fig. 25

Fig. 26

egalităţi sau suplementarităţi de unghiuri sub care o dreaptă prin P tăia o curbă (dreaptă sau cerc) şi imaginea ei prin inversi-unea I. Atunci priveam însă dreapta orientată ca o entitate fixă, neperturbată de acţiunea lui I. Este adevărat că teo-rema 2 a arătat că I duce punctele dreptei tot în punctele ei, dar acolo nu se discuta şi despre alegerea unui sens pe Pentru a vedea ce se întâmplă cu sensul, ne vom închipui un mobil M ce parcurge d într-un anume sens, de exemplu, de la stânga spre dreapta (de fapt M parcurge independent semidrep-tele limitate de P fiindcă nu poate „trece” prin P). Imaginea a lui M prin I parcurge aceeaşi dreaptă (din care se exclude P) dar, pentru a putea urmări concomitent mişcarea lui şi să ne închipuim că rotim d în jurul lui P, în sens trigonometric, cu un unghi drept. Un punct din plan ce se proiectează în M pe d şi în pe se situ-ează pe un grafic din figura 26 (curbele res-pective sunt hiperbole echilatere „de ecuaţie” Apare clar că, pentru se deplasează „în jos”, iar pentru se deplasează „în sus”. Rotind înapoi peste d constatăm că, în primul

caz, sensul pe s-a schimbat, în cel de-al doilea rămânând acelaşi. Con-form comentariului de mai sus, în teoremele 4 şi 5 vom putea păstra afirmaţiile referitoare la egalităţi de unghiuri format de secanta şi când privim sensul pe ca dependent de acţiunea inversiunii I numai în cazul Pentru cazul trebuie să considerăm pe un sens când tăiem curba iniţială şi sensul opus când tăiem imaginea acestei curbe prin I.

Astfel, în cadrul teoremelor citate unghiurile corespunzătoare vor fi egale (nu suplimentare) şi în cazul Astfel, am demonstrat concluzia teoremei 7 în cazul particular când unghiul este format cu o dreaptă prin P. Figura 28 ilustrează şi cazul general: unghiul format de d cu e este egal (ca sumă de unghiuri egale) cu unghiul

format în de cu Demonstraţia teoremei pe cazul general s-a realizat astfel: reducând-o la cazul particular comentat iniţial

când una din curbe este o dreaptă prin pol. În enunţul şi demonstraţia teoremei 7.7 au apărut consideraţii intuitive referitoare la sensuri pe diverse curbe (drepte şi cercuri) şi, desigur, rigoarea demonstraţiei este discutabilă. Vom reformula teorema 7.7 oferindu-i şi un cadru mai general; demonstraţia va viza însă domenii mai puţin elementare ale matematicii şi va evita, în consecinţă, unele detalii „tehnice”.

Teorema 7.7. Inversiunea este o transformare conformă (adică păstrează unghiul a două curbe).

Schiţa demonstraţiei. Fie arce de curbă ce conţin un punct M. Imaginile în

inversiunea ale lui se no-tează prin Pentru a fixa ideile

presupunem O semidreaptă prin P, formând cu un unghi suficient de mic, taie arcele în şi arcele în evident, (Dacă

taie d sau e în mai multe puncte se alege unul etc). Conform formulei (5) deducem:

Fig. 27 Fig. 28

Deducem uşor:

(7)

Trecând la argumente, obţinem:

Se constată însă uşor că în ipo-tezele adoptate,

este un număr real pozitiv, deci de argu-ment zero şi urmează conform condiţiilor sau ON.4 din §4:

(8)(această egalitate se putea deduce şi sintetic, bazându-se pe teorema 3).

Făcând acum să tindă la zero, devine tangenta la d, devine tangenta la e ş.a.m.d. (Tangenta într-un punct la un arc de curbă este poziţia limită a unei secante când tinde la pe arcul de curbă

Prin urmare, la limită, egalitatea (8) ne furnizează concluzia dorită:

Teorema 7.8.(Bretschneider). Într- un patrulater ABCD:(9)

Demonstraţie. Fie I inversiunea de pol A şi putere Notăm prin imaginile prin I ale lui B, D. Evident, Se constată prin teorema 3 egalitatea unghiurilor la fel

marcate pe figura 168 şi se deduce:

(Dacă este de cealaltă parte a lui şi

egalitatea de mai sus devine deoarece va interesa doar

alternativa nu schimbă concluziile). Teorema cosinusului în triunghiul ECF conduce la:

Folosind din nou teo-rema 7.3 vom înlocui:

(10)

După aducere la numitor comun şi înlăturarea factorului nenul se obţine relaţia (9). Atragem atenţia că, deşi am ilustrat demonstraţia cu o figură de patrulater convex, ipoteza convexităţii nu a fost folosită. Acest fapt poate rezulta şi prin deformarea figurii 29, aducând C spre A (dincolo de diagonala BD). Consi-derăm că egalitatea (9) este foarte importantă, deoarece furnizează numeroase consecinţe remarcabile ce le vom evidenţia succesiv.

Consecinţa 1. În patrulaterul ABCD au loc inegalităţile:

Demonstraţie. În raport cu mărimea valoarea mi-nimă, respectiv maximă a

membrului I, din egalitatea (9), se ob-ţine atunci când respectiv, Se

Fig. 29

obţine deci: De aici rezultă imediat inegalităţile din enunţ. Prima inegalitate este strictă, deoarece egalitatea nu poate avea loc; a doua inegalitate se poate transforma în egalitate atunci şi numai atunci

când deci ABCD este patrulater inscriptibil. Această concluzie

intermediară este deosebit de importantă şi va fi reformulată astfel:Consecinţa 2 sau prima teoremă a lui Ptolemeu. Patrulaterul ABCD este inscriptibil

dacă şi numai dacă suma produselor latu-rilor opuse este egală cu produsul diagonalelor.(11)

Consecinţa 3 (Relaţia lui Stewart). Dacă pentru orice punct A are loc egalitatea:(12)

Demonstraţia ce o vom da aici este destinată, în primul rând, să evidenţieze provenienţa relaţiei lui Stewart din (9). Particularizăm fi-gura 29 luând C în M pe segmentul BD. Fi-gura de referinţă fiind acum 30, în (9) se impun schimbările: BC şi CD trec în BM şi MD;

Înlocuind, apoi, for-mula

(9) devine: sau

Simplificând prin se obţine:

Forma din enunţ se obţine din aceasta, înlocuind D prin C pentru a ajunge la notaţii uzuale. Cazul poate fi obţinut din cel generic printr-o „trecere la limită” dar, deoarece nu putem justifica aici suficient de riguros acest procedeu, pentru vom considera pe per-pendiculara în A pe Relaţia (12) a

fost dovedită adevărată când înlocuim A prin E; substituim aici:

şi, după reducerea termenilor în se obţine (12) pentru A.Observaţia 6. Pentru a nu mai fi obligaţi să facem ipoteze asupra ordinei punctelor se

obişnuieşte să se exprime (12) şi sub forma:(12)

Desigur, nu este nici o dificultate de a dovedi formula lui Stewart ca o iden-titate cu numere complexe, mai ales dacă alegem diagrama Argand, astfel încât identitatea fiind:

Vom ilustra importanţa relaţiei lui Stewart stabilind consecutiv şase consecinţe ale ei; deoarece şi (12) este consecinţă pentru (9) se vor numerota, în continuare, aceste propoziţii drept consecinţe ale teoremei 7.8.

Consecinţa 4. (Relaţia medianei). Dacă D este mijlocul seg-mentului BC, pentru orice punct A are loc:(13)

Demonstraţia se obţine printr-o simplă particularizare în relaţia (12). Pentru a interpreta relaţia

obţinută, vom prelungi AD până în E, astfel încât Se observă ime-diat că ABCD este paralelogram,

şi Deci (13) devine:

Fig. 30

Fig. 31

Schimbând notarea vârfurilor se obţine că: într-un paralelogram ABCD are loc relaţia lui Euler:(14) adică suma pă-tratelor laturilor este egală cu suma pătratelor diagonalelor.

Faptul că această relaţie a lui Euler se poate dovedi uşor prin teorema cosinusului şi

dau prin adunare (14), iar din (14) se obţine uşor (13) nu diminuează rolul consecinţei 4 în ilustrarea importanţei relaţiei lui Stewart.

Consecinţa 5. (Teorema lui Euler în patrulatere). Dacă A, B, C, D sunt puncte arbitrare în plan şi E, F sunt mijloacele seg-mentelor atunci are loc:(15)

Demonstraţie. Aplicând de trei ori teorema medianei obţinem:

deci tocmai relaţia (15).

Notă istorică. Leonhard Euler (1707 – 1783), matematician de origine elveţiană a fost profesor la Berlin (15 ani) şi Petrograd (37 ani). Este cel mai fecund matematician, opera sa însumând 16.000 pagini. Teoria numerelor îi datorează funcţia „a lui Euler”, unde este numărul numerelor mai mici ca m, prime cu m;

Euler a iniţiat teoria resturilor de puteri şi distribuţia numerelor prime. În analiză a contribuit la abstragerea noţiunii de funcţie (analitică) şi a introdus simbolul a introdus constanta „lui Euler”

şi a dedus „formula lui

Euler” Deci, simbolul , utilizat aici pentru scrierea exponen-ţială a numerelor complexe, este în fond A precizat modul de calcul al integralelor din funcţii

R raţionale în x şi în şi a altor numeroase integrale; a introdus integrala dublă. Este creatorul calculului variaţional; a pus baze teoretice ecuaţiilor diferenţiale şi cu derivate parţiale; a impulsionat evoluţia geometriei diferenţiale studiind geodezice de suprafeţe; este un precursor al topologiei generale şi combinatorii; a aplicat cu măiestrie matematica în astronomie, hidrodinamică, mecanică. L. Euler a contribuit la evoluţia geometriei analitice studiind conicele şi clasificând cubicele şi cuarticele. În geometria elementară a surprins numeroase proprietăţi remarcabile; de exemplu, „formulele lui Euler”

şi notaţiile fiind cele uzuale în triunghiuri. Menţionăm însă că „cercul celor nouă puncte” este în mod eronat numit „cerc al lui Euler”, întrucât nici în opera nici în bogata corespondenţă a lui Leonhard Euler nu apare această configuraţie.

Consecinţa 6. Condiţia necesară şi suficientă ca punctele necoliniare luate în această ordine, să fie vârfurile unui paralelogram, este să aibă loc (14).

Vom prezenta două demonstraţii: una în contextul acestor consecinţe, cealaltă prin consideraţii asupra numerelor complexe. I. Relaţia (15) fiind totdeauna valabilă, (14) este echivalentă cu deci cu coincidenţa mijloacelor diagonalelor este condiţie necesară şi suficientă ca ABCD să fie paralelogram (nedegenerat datorită condiţiei de necoliniaritate din ipoteză).II. Într-o diagramă Argand arbitrară are loc, evident, relaţia:

Fig. 32

Vom constata uşor:

Se constată acum uşor că (14) este echivalentă

cu conform problemei 6, §3, această condiţie exprimă că ABCD este paralelogram.

Observaţia 7. Şirul egalităţilor din demonstraţia a 2-a se poate continua pentru a ajunge la (15)

deci etc.

Consecinţa 7. (Teorema lungimii bisectoarelor). Dacă D, E sunt picioarele bisectoarelor interioare şi exterioare pentru vârful A în triunghiul ABC, atunci:(16) şi

Demonstraţie. Vom particulariza în (12) şi, apoi, Pornind de la teorema bisectoarei interioare, vom forma şirul de rapoarte egale:

(17) deci:

(18) Presupunând deducem analog:

(17) deci:

(18)Înlocuim în (12) egalităţile (18) şi (18); după îndepărtarea factorului BC se obţin

egalităţile (16) din enunţ.Observaţia 8. Cu notaţiile uzuale din triunghi au loc:

(19) şi:

(20)

Deducerea acestor formule din egalităţile de mai sus nu prezintă dificultăţi; pentru o eventuală memorare, considerăm (16) mai simple decât (20).

Consecinţa 8. (O „antireciprocă” a relaţiei lui Stewart). Fie un triunghi ABC în care lungimile laturilor se notează prin a, b, c, cercul exînscris are centrul în J şi raza iar cercul circum-scris triunghiului are raza R. Locul geometric al punctelor M din planul triunghiului ce satisface relaţia:(21)

este un cerc de centru J şi rază

Demonstraţia va ilustra o manieră generală de utilizare a relaţiei lui Stewart pentru a simplifica relaţii geometrice ce conţin pătrate ale distanţelor unui punct M la diverse alte puncte. Mani-era a fost folosită încă de Apolonius, dar, pe atunci, fără folosirea explicită a relaţiei lui Stewart. Pentru a da o formă mai simplă expresiei vom căuta

astfel încât Se constată uşor că D este piciorul bisectoa-rei

din A şi: Relaţia lui Stewart pentru conduce la:

Înlocuind aici şi după

amplificare prin obţinem: Având în

vedere această identitate, condiţia (21) devine:

sau:(22)

Căutăm un punct J pe astfel încât

Această condiţie exprimă:

deci trebuie să luăm J piciorul bisectoarei exterioare din B pentru triunghiul ABD:

Relaţia lui Stewart

pentru ne furnizează o nouă identitate geometrică pentru M, anume: Înlocuind, aici, şi amplifi-

când prin obţinem:

Condiţia (22) revine astfel la:

În ultima egalitate înlocuim din

formula (20), înlocuire ce reprezintă în fond cea de-a treia aplicare a relaţiei lui Stewart din

demonstraţie. Obţinem:

deci:

(23)

Concluzia din enunţ este acum evidentă: condiţia (21) se reali-zează dacă M este pe

cercul de centru J şi rază

Consecinţa 9 (Teorema a doua a lui Ptolemeu). Dacă ABCD este patrulater inscriptibil, atunci:

(24)

adică raportul diagonalelor este egal cu raportul sumelor de laturi opuse ce „pleacă sau ajung” în extremităţile diagonalelor respective.

Fig. 33

Demonstraţia porneşte ca cea a teo-remei 7.8: inversiunea de pol A şi putere transformă în Ipoteza inscriptibilităţii patrulate-rului ABCD induce (prin consecinţa teoremei 7.4) coliniaritatea punctelor Relaţia lui Stewart pentru conduce la:

Folosind

definiţia punctelor şi relaţia (5), această egalitate devine:

După

amplificare prin relaţia devine:

printr-o operaţie algebrică simplă ajungem la forma (24). Amin-tim că am pus aici în evidenţă şase consecinţe ale relaţiei lui Stewart (numerotate de la 4 la 9); vom continua cu prezentarea unei consecinţe a teoremei 7.8.

Consecinţa 10. Dacă într-un patrulater ABCD notăm atunci are lor relaţia:

(25)

Demonstraţie. Cu notaţiile preconizate, relaţia (9) devine: Înlocu-im, aici, conform

teoremei cosinusului, şi după ampli-ficare prin 2, egalitatea devine:

sau:

(26)

Vom observa însă:

şi, analog,

Prin ridicarea la pătrat a egalităţii (26) se

obţine, deci:

După efectuarea calculelor, termenii în şi se reduc şi se poate simplifica factorul

aducerea egalităţii sub forma (25) necesită doar calcule algebrice de rutină.Observaţia 9. În ciuda aspectului ei suficient de greoi, egalitatea (25) este cea mai simplă relaţie strict

metrică din plan, exprimând interdependenţa celor şase distanţe între patru puncte arbitrare din plane. Dificultatea acestei egalităţi scoate în evidenţă simplitatea relaţiei (12) a lui Stewart. Formula (25) rezultă din exprimarea volumului unui tetraedru ABCD în funcţie de lungimile muchiilor sale.

Fig. 34

Fig. 35

§8. OmografiiPreambulul acestui capitol a evidenţiat relevanţa unor transformări T date prin

formule renumerotate aici prin

(1) ' ,dZ e

ZZ A

unde A, d, e sunt puncte ale planului (ca şi Z, Z ) sau numere complexe cu care se identifică în cadrul unei diagrame Argand. Formula nu este aplicabilă pentru şi

nu este imagine. Suntem deci forţaţi să gândim calitatea de a fi bijectivă fiind imediată. Devine convenabil să extindem planul euclidian la un plan Möbius (unde θ este pentru început doar un simbol, identificat şi ca ele-ment ce se adaugă mulţimii numerice pentru a obţine ). Extindem astfel şi T la o bijecţie definind Pentru această transformare

vom folosi termenul de omografie. Un calcul elementar ne asigură că:Teorema 8.1. Omografiile conservă biraportul numere-lor complexe.Pentru a interpreta geometric omografiile este convenabil să punem în evidenţă

punctele fixe U, V, soluţiile (distincte sau nu ale) ecuaţiei (2) Cu ajutorul acestora exprimăm coeficienţii: d = U + V – A, e = UV, pentru a transcrie (1) sub forma:

(3) sau

În cazul generic U V, deducem din acestea:(4)

§9. Răspunsuri la PC-uri.

PC.23. Probleme date la Memorialul ,,Alexandru Cojocaru”, Roman, clasa a IX-a, 23 noiembrie 2002. 1. Fie sferele S 1(O1, R1), S 2(O2, R2) tangente în T. Prin T se duce o secantă variabilă M1M2, M1

S 1, M2 S2. Fie M3 simetricul lui M1 faţă de M2. Să se determine locul geometric al punctului M3. Prof. dr. Gh. Murărescu, Craiova.

O omotetie H de centru T şi raport λ transformă sfera S 1 în sfera S 2 , deci punctul generic M1 al sferei S 1 în M2. Avem:

În cazul generic M3 este imaginea lui M1 într-o omotetie H’ de

centru T şi raport deci parcurge o sferă S 3 tangentă în T sferelor date. Cazul special survine când S 2 este tangentă interior la S 1 şi are raza jumătate din a primei. În acest caz, locul cerut se reduce la punctul T. Putem privi problema drept caz particular pentru PC.24, plasarea în plan sau spaţiu fiind nerelevantă. 2. Fie ABCDA’B’C’D’ un cub cu muchia 2m. Fie punctele K, L, M respectiv pe dreptele suport ale muchiilor AA’, BC, C’D’. a) Calculaţi aria triunghiului KLM în cazul în care K, L, M sunt mijloacele

muchiilor corespunzătoare. b) Arătaţi că aria ΔKLM atinge minimul său pentru un singur triunghi KLM. Prof. dr. Dan Brânzei, Iaşi.

a) Se observă KL = LM = MK = m şi urmează 2 Rostul acestui punct în economia problemei pare a fi de a sugera că acesta este minimul cerut. Planul de abordare a punctului b) include o reperare avantajoasă a punctelor K, L, M în funcţie de trei necunoscute, estimarea laturilor a, b, c ale triunghiului KLM, calculul ariei S a acestui triunghi cu o formulă unde

avantajoasă deoarece intervin doar pătratele laturilor. Se impun atenţiei mijloacele E, F, G ale muchiilor considerate şi reperarea punctelor variabile prin:

Se va putea folosi astfel simetria problemei şi este de sperat că

situaţia de minim se va reduce la relativ comoda situaţie algebrică Calculul efectivtrece prin formulele

PC.24. Fie A un punct comun cercurilor C (C,c), D (D,d) şi un număr real k. O dreaptă variabilă prin A retaie cercurile date în M, N. Se cere locul geometric al punctului P ce satisface condiţia

Motto: simetria vine din gândire nu din figuri În cazul generic cercurile mai au în comun un punct B

diferit de A. Oferim enunţului un plus de simetrie ducând şi prin B o secantă comună ce retaie C, D în E, F şi luând G încât

Conciclicităţile cuaternelor EBAM, FBAN asigură EMFN. Eliminăm din atenţie constanta k (negeometrică) punând în evi-denţă, conform Thales, GP EM. Asigurăm un plus de simetrie acestei propoziţii reformulând-o: A, B, G. P sunt conciclice. Nu mai este aproape nimic de făcut în problemă, locul geometric fiind cercul H circumscris triunghiului ABG!

Rămâne doar de spus că putem alege secanta martor EF încât G să nu coincidă cu A sau B. Pentru primul inconvenient vom evita să luăm E pe secanta comună AB. Pentru inconvenientul G = B, vom muta E în E’ (deci şi F în F’). Dacă are loc (şi acum) G’ = B deducem că triunghiurile BEE’, BGG’ sunt omotetice, deci cercurile lor circumscrise, C şi D tangente în B. Deci necazul poate surveni doar în cazul particular (admis de enunţ dar eliminat din atenţie ca negeneric) al cercurilor tangente. Zicem că acest caz particular este generator de necazuri suplimentare! Abordarea din PC.23.1) este cea convenabilă acestui caz.

Ca problemă de loc geometric, PC24 ne obligă să vedem dacă P parcurge întreg cercul E . Aici este comod de observat că două dintre cercurile C, D, E îl determină pe cel de al treilea!

PC.25. Memorialul ,,Alexandru Cojocaru”, Roman, clasa a X-a, 23 noiembrie 2002. Fie ABC un

triunghi ascuţitunghic cu centrul cercului celor nouă puncte, R raza cercului circumscris

triunghiului ABC. Dacă să se arate că triunghiul ABC este echilateral. Paul

Fig. 36

Georgescu şi Gabriel Popa, Iaşi.Enunţul postulează o singură egalitate din care ni se cere să deducem o egalitate dublă

care să certifice că triunghiul este echilateral. Gândim că este dată o egalitate limită, deci a cărei realizare solicită condiţii suplimentare.

Vom explicita egalitatea din ipoteza problemei cu ajutorul numerelor complexe. Este convenabilă o diagramă Argand cu originea O în centrul cercului ABC. În acest caz, pentru centrul de greutate G, ortocentrul H şi centrul Ω al cercului Euler au loc identităţile

Deducem:

Acum egalitatea dată implică (1). Ştim că, în triunghiuri ascuţitunghice, au loc identităţile:

deci

(2).

Funcţia cosinus fiind concavă pe are loc inegalitatea Jensen:

adică

Astfel, (2) devine (3) iar realizarea egalităţii necesită şi egalitatea A = C; în condiţiile problemei aceasta impune A = B = C (4), deci că triunghiul ABC este echilateral. Dar, conform (2), în (3) trebuie să avem egalitate, deci (4)!

PC.26. Privind geometria euclidiană plană din perspectiva progra-mei de la Erlangen, care este grupul său structural?

Motto: frecventa utilizare a unor noţiuni le adaugă note ce nu sunt unanim acceptate.

Răspunsul la această întrebare nu este univoc. Gândind geometria euclidiană bazată pe sistemul axiomatic al lui Hilbert, transformările trebuie să conserve coliniaritatea, relaţia de a fi între şi congruenţele (de segmente şi de unghiuri). Acest deziderat îl îndeplineşte grupul similitudinilor planului.

Apreciem că s-a bătut mai multă monedă decât trebuia pe un sistem axiomatic Birkhoff în care apare noţiunea primară de distanţă; conservarea acesteia ne obligă să ne restrângem la grupul izometriilor.

Relativ frecventa apelare la orientări (de triunghiuri, a sensurilor pe cercuri etc) îndeamnă la restricţia suplimentară la grupul izometriilor directe.

Figurile uzuale ale geometriei sunt dreptele şi cercurile. Prin trecerea de la planul euclidian la cel al lui Möbius, , bineme-rită atenţia noastră şi inversiunile; acestea estompează diferenţierile între drepte şi cercuri dar conservă reuniunea acestor figuri. Inversiu-

nile şi similitudinile generează grupul numit analagmatic, ce poate fi considerat drept grup structural al geometriei euclidiene.

PC.27. Fie un cerc C interior cercului D şi T familia cercurilor tan-gente cercurilor C şi D . a) Să se determine locul geometric L al punctelor de contact a câte două cercuri din T. b) Numim lanţ Steiner al perechii (C , D ) o aplicaţie λ:N T astfel încât, pentru orice n, cercurile λ(n), λ(n+1) sunt tangente şi λ(n+2) λ(n). Să se arate că, dacă există un lanţ Steiner λ periodic de perioadă principală p, pentru care linia frântă determinată de cercurile unei perioade să înconjoare de m ori cercul C , orice alt lanţ Steiner al perechii (C , D )este caracterizat de aceleaşi numere naturale p, m.

Există un caz particular în care ambele puncte ale problemei se rezolvă imediat: când cercurile date au acelaşi centru, C. Fie c, d razele acestor cercuri. Merită atenţie raza medie m = (c +d)/2 şi semidiferenţa s = (d –c)/2. Un cerc T din T se va caracteriza prin plasarea centrului său T pe un cerc mediu M (C, m) şi prin raza sa, egală cu s. Acest cerc va fi tangent altuia T ‘(T’, s) din familie dacă TT’ = 2s; punctul lor de contact va fi mijlocul M al lui (TT’) şi va avea loc CM2 = m2 – s2 = cd , deci M va parcurge un cerc K (C, Pentru un lanţ Steiner λ,

notând prin Tn centrul cercului λ(n), unghiul orientat va avea o măsură constantă 2u,

unde ssinu = m. Acest lanţ λ va fi caracterizat de perechea (p, m) dacă are loc pu = mπ, egalitate independentă de alegerea efectivă a cercurilor din lanţ. (Un lanţ arbitrar λ’ se obţine din λ printr-o rotaţie de centru C sau o simetrie faţă de o dreaptă prin C).

Cazul particular analizat este relevant. În cazul generic vom putea determina o inversiune I care să transforme cercurile date C, D în cercuri concentrice C *, D* . Polul P

al inversiunii va trebui luat pe dreapta CD; notând , conciclicitatea cercu-rilor

transformate va fi asigurată de egalitatea adică

Discri-minantul acestui trinom este:

, deci există două poziţii convenabile

pentru polul P.