Transformari Liniare

Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii finit dimensionale

Valori si vectori proprii

Transformari

1 Notiunea de transformare liniaraProprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei transformari

2 Transformari liniare ntre spatii finit dimensionaleMatricea unei transformariRelatia dintre rang si defectSchimbarea matricei unei transformari liniare

3 Valori si vectori propriiDiagonalizarea matricei unei transformariPolinom caracteristic

Transformari liniare



Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei transformari

Notiunea de transformare liniara

Fie V si W spatii liniare peste , unde = R sau complexe = C.

Definitie

Se numeste transformare (operator) liniara functia f : V Wdaca satisface

1 f (u + v) = f (u) + f (v), u, v V2 f ( u) = f (u), u V , .





Proprietati

Propozitie

Daca f este o transformare liniara, atunci au loc1. f (0V ) = 0W2. f (u) = f (u), u V.

Demonstratie. 1. f (0V ) = f (0 0V ) = 0 f (0V ) = 0W .2. Din u + (u) = 0V deducem f (u) + f (u) = 0W , adicaf (u) = f (u).





Spatiul transformarilor liniare

Fie V si W spatii liniare peste , unde = R sau complexe = C. Notam

L(V ,W ) = {f : V W , f transformare liniara}.

TeoremaL(V ,W ) este spatiu liniar peste .

Demonstratie.Definim operatiile

f ,g L(V ,W ) (f + g)(u) = f (u) + g(u), u V .

f L(V ,W ), , ( f )(u) = f (u).





Alte operatii cu transformari

TeoremaFie U,V ,W spatii liniare peste si f L(U,V ), g L(V ,W ).Atunci g f L(U,W )

TeoremaFie f L(U,V ) o transformare liniara bijectiva. Atunci existaf1 si f1 L(V ,U).





Nucleul si imagine

Definitie

Numim nucleu al transformarii liniare f : V W multimea

Ker f = {u V | f (u) = 0W .}

Definitie

Numim imagine a transformarii liniare f : V W multimea

Im f = {v W | u V , f (u) = v}.





Proprietati

Propozitie

Fie f : V W o transformare liniara atunci1. Ker f este subspatiu liniar n V .2. Im f este subspatiu liniar n W.

Propozitie

Fie f : V W o transformare liniara atunci1. f este injectiva daca si numai daca Ker f = {0V}2. f este surjectiva daca si numai daca Im f = W.





Teorema1. Daca f L(V ,W ) atunci f transforma un sistem de vectoriliniar dependenti ntr-un sistem de vectori liniar dependenti.

2. Daca f L(V ,W ) este injectiva atunci f transforma unsistem de vectori liniar independenti ntr-un sistem de vectoriliniar independenti.





Demonstratie. 1. Presupunem ca u1,u2, ,un sunt liniardependenti; exista i nu toti nuli astfel ca

ni=1

iui = 0V .

Aplicam f si avem

f (n

i=1

iui) =n

i=1

i f (ui) = 0W .

2. Presupunem ca u1,u2, ,un sunt liniar independenti. Fien

i=1

i f (ui) = 0W ,

care implica

f (n

i=1

iui) = 0W ,

decin

i=1

iui Ker f . Deoarece f este injectiva ker f = 0V , deunde i = 0,i = 1, ,n.





Morfisme

Definitie

Fie f : V W o transformare liniara atunci f se numesteizomorfism daca f este bijectiva.

Daca V = W, atunci f se numeste endomorfism. Notam L(V )multimea tuturor endomorfismelor.

Endomorfismul liniar f : V V se numeste automorfism, dacaf este bijectiva.





Rangul si defectul unei transformari

Definitie

Numim rangul transformarii f : V W liniare dimensiuneasubspatiului Im f .

Definitie

Numim defectul transformarii f : V W liniare dimensiuneasubspatiului Ker f .




Matricea unei transformariRelatia dintre rang si defectSchimbarea matricei unei transformari liniare

Transformari liniare ntre spatii finit dimensionale

Fie V ,W doua spatii liniare finit dimensionale, astfel ca

dim V = n, dim W = m, m,n N.Fie B1 = {e1,e2, ,en} o baza n V si B2 = {g1,g2, ,gm} obaza n W . Au loc

f (e1) = a11f1 + a21f2 + + am1fmf (e2) = a12f1 + a22f2 + + am2fm

f (en) = a1nf1 + a2nf2 + + amnfm

.

Relatiile sunt echivalente cu:

f (ei) =m

j=1

ajigj , i = 1, ,n. (1)





DefinitieMatricea

A = AB1,B2f = (aji), j = 1, m, i = 1, ,n

se numeste matricea transformarii n perechea de baze B1,B2.Observatie. Matricea are pe coloane coordonatele vectorilorf (ei) n baza din W .





Teorema

ntre multimea transformarilor liniare L(V ,W ) si multimeamatricelorMm,n() exista o corespondenta bijectiva.

Demonstratie. Fie f L(V ,W ), undedim(V ) = n, dim(W ) = m. Daca folosim notatiile predente,avem pentru orice u V ,w W

u =n

i=1

xiei w =m

j=1

yj fj . (2)





Demonstratie.

Au loc

w = f (u) = f (n

i=1

xiei) =n

i=1

xi f (ei) =

=n

i=1

xim

j=1

aji fj =m

j=1

(n

i=1

ajixi)fj

Deducem

yj =n

i=1

ajixi , j = 1, ,m (3)





Daca notam Y =

y1y2 ym

X =

x1x2 xn

, relatia (3) devineY = A X . (4)

Oricare ar fi matriceleA Mm,n(), X Mn,1(), Y Mm,1(), relatia (4)defineste o transformare liniara.





Consecinte

1. Tranformarea identic nula, f : V W , f (u) = 0W , arematricea Om,n2. Transformarea identica f : V V , f (u) = u are matriceaA = In.3. Daca f ,g L(V ,W ) au matricele A,B Mm,n() atuncif + g are matricea A + B Mm,n().4. Daca , f L(V ,W ), iar f are matricea A Mm,n(),atunci transformarea f are matricea A Mm,n().





Compunerea transformarilor

5. Fie U,V ,W spatii liniare peste cudim(U) = n, dim(V ) = m, dim(W ) = p, m,n,p N.Fie f L(U,V ), g L(V ,W ). Are sens compunereag f L(U,W ).

f g

U V W

A Mm,n() B Mp,m()

.

Atunci transformarii g f i corespunde matriceaB A Mp,n().





Inversarea unei transfromari

6. Daca V = W si f L(V ) cu matricea A Mn() este otransformare inversabila, atunci transformarii f1 i corespundematricea A1.





Relatia dintre rang si defect

Fie V ,W spatii liniare peste cu dim(U) = n si dim(W ) = m.

TeoremaFie f L(U,W ) atunci are loc

dim(Im(f )) + dim(ker f ) = n.

Demonstratie. Fie A Mm,n() matricea lui f ntr-o perechede baze. Atunci f (u) = w nseamna

A X = Y .Daca w Im(f ) atunci sistemul de mai jos este compatibil

a11x1 + + a1n = y1a21x1 + + a2n = y2

am1x1 + + amn = ym

.





Sistemul este echivalent cu

C1x1 + + Cnxn = Y , (5)

unde C1, ,Cn sunt coloanele matricei A.Relatia (5) exprima faptul ca Y Sp{C1, ,Cn}.Stim ca rang(A) = dim(Sp{C1, ,Cn}), decirang(A) = dim(Im(f )).

Pe de alta parte ker f reprezinta multimea solutiilor unui sistemliniar omogen, cu dimensiunea n rang(A), de unde concluzia.





TeoremaFie f L(V ) cu dim(V ) = n si B = {ei , ,en} o baza n V , ncare f are matricea A Mn().Fie B = {ei , ,en} o alta baza n V , n care f are matriceaA Mn().Fie C matricea de schimbare de la baza B la B.Are loc

A = C1 A C. (6)





Demonstratie.

Calculam n doua moduri f (ej ).

f (ej ) = f (n

i=1

cijei) =n

i=1

cij f (ei) =

=n

i=1

cijn

k=1

akiek =n

k=1

(n

i=1

akicij)ek .

f (ej ) =n

i=1

aijei =

ni=1

aijn

k=1

ckiek =n

k=1

(n

i=1

ckiaij)ek .

RezultaA C = C A.




Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom caracteristic


Definitie

Fie V un spatiu liniar peste , unde = R sau C si f L(V ). se numeste valoare proprie daca exista u V , u 6= 0Vastfel ca

f (u) = u. (7)

Vectorul u se numeste vector propriu.

Multimea tuturor vectorilor proprii se numeste spectruloperatorului si se noteaza cu (f ).





TeoremaFie o valoare proprie.1. Multimea V = {u V |f (u) = u} este subspatiu liniar n V .2. Oricare ar fi u V are loc f (u) V.

Demonstratie. 1. Daca u,u V rezulta ca u + u V. Daca V, u V atunci u V.2. Fie u V astfel ca f (u) = u. Rezulta f (f (u)) = f (u).

V se numeste subspatiu propriu.





TeoremaDaca , sunt valori proprii distincte, iar u,u sunt vectoriiproprii corespunzatori, atunci u si u sunt liniar independenti.

Demonstratie. Daca u,u ar fi liniar dependenti, ar exista , 6= 0 astfel ca u = u, Aplicnd f deducem :

u = u = f (u) = f (u) = f (u) = u

De unde( )u = 0V

ceea ce antreneaza , prin absurd, = .





TeoremaDaca V este spatiu liniar n-dimensional peste , atunci oricef L(V ) are cel putin o valoare proprie n .

Demonstratie. Fie A Mn() matricea transformarii ntr-obaza fixata B = {e1, ,en}. Daca u = x1e1 + + xnen dinconditia f (u) = u gasim

A

x1x2 xn

=

x1x2 xn

.





Ecuatia caracteristica

Se obtinea11 a12 a1n

a21 a22 a2n an1 an2 ann

x1x2 xn

=

00 0

.Sistemul are solutie nebanala daca

a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann

= 0 (8)Ecuatia (8) se numeste ecuatie caracteristica.





Forma diagonala

Definitie

Spunem ca o transformare liniara admite forma diagonala,daca exista o baza n care matricea este diagonala.

TeoremaDaca spatiul liniar V admite o baza de vectori proprii, atunci naceasta baza transformarea liniara admite forma diagonala.

Demonstratie. Fie i valori proprii si {u1, ,un} o bazade vectori proprii. Atunci f (ui) = iui , adica matricea are pediagonala valorile proprii i , iar n rest 0.





Lema lui Gersgorin

LemaFie A Mn(C). Pentru orice i = 1, ,n fie

ri =n

j=1,j 6=i|aij | Di = {z C | |z aii | ri}.

Are loc

(A) n

i=1

Di ,

unde (A) este spectrul transformarii liniare de matrice A.





Demonstratie. Fie o valoare proprie, astfel ca existaxi , i = 1, ,n nu toti nuli astfel ca

A

x1 xn

= x1

xn

.





Fie i astfel ca |xi | = max(|x1|, , |xn|) de unde xi 6= 0. Ecuatiai este

ai1x1 + + (aii )xi + + ain = 0.Deducem

(aii )xi = n

j=1,j 6=iaijxj ,

de unde

|aii ||xi | n

j=1,j 6=i|aij ||xj |.

Urmeaza

|aii | n

j=1,j 6=i|aij ||xj ||xi | ri .





Polinom caracteristic

Definitie

Fie A Mn(). Polinomul

P() = det(A In) (9)

se numeste polinom caracteristic.

TeoremaFie A Mn() si P() polinomul caracteristic. Atunci au loc:1. A si At au acelasi polinom carateristic.2.P() = (1)nn + (1)n1n1(a11 + a22 + + ann) + + anunde an = det(A).3. Date A,B Mn() si C Mn() nesingulara astfel caB = C1AC atunci A si B au acelasi polinom caracteristic.





Demonstratie

P() = (a11)(a22) (ann)+polinom de grad n2 =(1)nn + (1)n1(a11 + a22 + + ann)n1 + + an.Daca = 0 deducem an = det(A).Consecinte.1 1 + 2 + + n = Tr(A)2. 1 2 n = det(A).





Teorema Cayley-Hamilton

TeoremaFie A Mn() si P polinomul caracteristic. Atunci

P(A) = 0.


Notiunea de transformare liniaraProprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei transformari

Transformari liniare ntre spatii finit dimensionaleMatricea unei transformariRelatia dintre rang si defectSchimbarea matricei unei transformari liniare

Valori si vectori propriiDiagonalizarea matricei unei transformariPolinom caracteristic

Documents

Transformari Liniare