BontasII Cap1 Transformari Coordonate (1)

8/16/2019 BontasII Cap1 Transformari Coordonate (1)

1/11

rcu

ssvJV

TDN

IS

ES

1

B

S


2/11

A

'

O

Jn

'u

I

un

T

oEo

aan

aa

ao

cc

B

S

u

r4a

eu

a

Peq

ad

S

as

a

?eC

Y

J

z

ua

eua

u

€d

a€

B

aa

1

ap

a

Sau

-

s

a

B

s

Da

'C

8?

lo

,

a

Ea

O

M

,

O

a

'g

d

}

B

ao

o

au

us

UY

o

lun

F

Rs

u

u

P

np

in

a

e

u

n

pu

ig

z

3

S

Jg

O

-

3

lB

ae

e

uau

aue

s

B

tS

u

I

Ja

pn

a

up

a

e

pD

o

'gu

a

p

Ja

a

S

p

nno

nq

p

F

np

u

?

3oz

a

e3

a

3

PS

-

c

€

eu

a

uuu

ae

e1o

a

1

eo

?

-

o

au

u

1

aJp

r

u

sa

J

se

eua

o

ta

J

no

au

?

cd

u

es

n

E

S

auo

'aa

S

aJ

aa

p

a

u

p

a

s

JL

.u

I

e

gq

a

sB

au

€

u

o

P€

o

.a

p

aoc

us

u

udS

ra

ud

aa

S

d

a

eu

3

S

,u

u

se

r

cs

uun

u

,

e

a

eaa

9

U

-

g

p

€o

n

RuS

p


3/11

Darboux

a

sintetizat,

intr-o

lucrare

de

la

sfArqitul

secoluiui

al

XIX-lea,

rezuitatele

generale

ale

geometriei

diferenliale

clasice.

Tot

in

acea perioaclS,

s-a

trecut, prin

iucr5rile

lui

A.

Cayiey

qi

H.

Grassmann)

la

spagiul

euclidian

n-dimensional.

ir,

lara

uoastr6,

contribulii

in

domeniul

geometriei

diferenliale

au

avut

Gh.

Jigeica,

A.

Myller,

O.

Mayer,

Gh. VrAnceanu.

Calculul

i'ntegral

este

un

capitol

al

analizei

matematice

in

care

se

studia,zx

inte-

graiele

functiilor

qi

aplicaliile

1or.

Denumirea

a fost propusS

de

J.

Bernoulli

(1690),

r

iar

simbolul

/,

Provenit

din

alungirea

literei

S

(iniliala

cuvAntului

summa),

a

fost

J

propus

de

G.

Leibniz (1686).

No{iunea

de integral5

s-a

cristalizat

treptat,

in

leg5tur5

cu

probieme

privind

calculul

ariilor

unor

domenii plane

sau

al

volumelor

uoor

clorpuri

de

rotatie.

Bazele

calculului

integral

au fost

puse

de

I. Neu,ton

(166b),

plecdnd

de

la

o

problem5

de

cinematic5

(determinarea

legii

cie

miqcare

rectilinie

a'unui punct

a

cxrui

vitezi

se

cunoagte

in

fiecare

moment)

qi G.

Leibniz

(16T5),

studiind

,,problema

inuersd

a

tangentelol'

(determinarea

unei

curbe

plane

cdnd

se cunoaqte,

in

fiecare

punct

al

ei,

tangenta

curbei).

Definilia

actual6

a integralei

a fost

datx

de

B.

Rie-

mann (1854),

iar

generaliz5ri

ale

acesteia

au fost propuse

de

T.

J.

Stieltjes

(1gg4)

gi

H.

Lebesgue (1902).

Pentru

funcliile

de

mai

multe

variabile,

L.

Euler (fiOO)

a

definit

integrala

dublX,

iar

.I.

Lagrange

(1773)

pe

cea

tripl5.

Dintre

matematicienii

romAni

care

au

avut

contribulii

in

dornenin,

aurintim

pe:

Dimitrie

pompeiu,

Traial

Lalescu,

David

Emmanuel,

Simion

Stoilow,

I\{iron

Nicolescu.

Volumul

de fa 5

se

adreseazd

in

ega15,

mdsurl profesorilor,

cercetdtorilor

qi

studentilor

de

la

facultXlile

tehnice

gi

economice, precum

gi

matematicienilor.

Con-

tinntnl

sdu

este

in

concordanli

cu

programa

analitic5

a

cursului

de

Matemati,ci

(semestrul

al

Il-lea),

dep5qind

intr-o

oarecare

mdsurd

atdt volumul,

cdt

qi

nivelul

cunogtintelor

predate

la

curs,

adres6,ndu-se

celor

care

doresc

s5

aprofundeze

unele

aspecte.

Lucrarea

imbin5

rigoarea gtiin ifici

cu

accesibilitatea,

prezentarea

teoretic5

fiind

insolit5

de numeroase

exemple,

dintre

care

multe

cu

conlinut

aplicativ,

qi

de

proble-

me

propuse.

Bibliografia

conline

trimiteri

la

cXrli

de

referinlX

in

domeniu,

pr"".,-

gi

la

cursuri

universitare

qi

culegeri de

probleme. Volumul

este

rodul

experientrei

dobandite

in

urma unei

activitigi

indelungate

in

inv6 [mantul

superior.

Bucureqti

noiembrie

2009

Autoarea

v1


4/11

I

sg

1

'

n

M

rne

s

a

.e

p

u

'e

le

n

Fe

aL

z

Z

a

nnJ

6z

c

aB

'n

a

{1

DS

O

d

2

-o

S

"

d1

6

nq

'X

+

-

XO

a

Ru

n

O

n

eo

ns

'e6

1

lp

I

O

T

nc

1

ln

N

N

lc

{

g

'

ea

d

€a

I

a

u

e

e

t

u

3a

g

e

u

n

'co

in

1

E

c

ine

aua

a

1

ln

A

d

u

I

a

I

o

'nque

i

t

q

u

6

n

z

d

's

J

a

g

X

d

?

e

a

oz

auu

s

U

?

R

pS

u

nq

a

g

u

u

I

z3

eu

Jg

O

-

Jsu

a

lne

oe

ue

u

au

a

so

ie

aea

ln

a

ea

S

a

n

RsB

YT

UAOY


5/11

Co.'pitoLul

1

In acest

caz)

x):T.f

:

przf

se numeqte abscisa

1ui,1f,

l/:

j

'

r-:

prJ-f

se

numegte ortlanata

lui,41,

iar

::

i

t=:

pr;r

se

numcqte

cotalui,4./.

Bijec{ia dintre

-83

gi

R3 se

numegte

s'istern

de

coordonate

cartezian

gi

se

noteazd

prin

M(r,y,z)

Versorilor

7,

7

Ei

A, ce definesc baza reperului cartezian, li se

asociazd arele

de

coordonate

Or,

Oy

qi

Oz,

care

au

sensul

pozitiv

definii

de

sensul

acestol

versori

Ecuadiiie axelor

sunt:

Or:

Cele

trei axe

determind

trei

plane

rOy,

yO

z

qi

rO z,

r,rr,rnite

plane

de coordonate.

trcuatiile

lor sunt:

rOy:

z:0;

yOz;

r:0; rOz'.

y

:Q.

Cele

trei

piane

de coordonate

impart

spaliul

in

opt

regiuni, nurnite

octante.

Un

reper cartezian in spaliu se mai

noteaz[

Oryz,

r.'ersorii

T,

j

qiE

fiind subinleleqi.

Fiind

date douai

puncte

din spaliu /,2[(r1)

qi

1VI2(r2), clin

relalia ft

+

MrMz

12,

rezultl

WM

:

fz

-

ft.

Dac|,

f1

:

rtl*

ytj

+

z1l-:

qi

;

7t

:

rtl

+ bi +

zrk. aturci

L'I1l\,12

:

(r2

-

r)r

+

(az

-

y)j

+

(22

*

z)8,

deci

coordonatele

vectorului

determinat de dou5

puncte

sunt

egaie cu diferenlele

dintre

coordonateie

vArfului

qi

ale originii

vectorului

(figura

2).

Distanta dintre NIy

qi

lv[2

este

Figura

2

d(l/1. Ivtz)

:

ll,ll

rvrll

:

^

(r:a

U;' I

Ig:

u.

or,

{ :o^

Ie:u:

r:a

Ie:o;

DacX

punctul

,\,16

este situat

corespnnde

vectorul de

pozitie

-6

Ia

mijioctti

segmentului

L,11fu[2,

atunci

lui

ii

I

:

-(r,

+

r,>\.

iar

coordonatele

sale

sunt

2'-

'/r

21

+

22\

,)

EliminS,nd

in

reperr.rl

Oryz cea

de-a treia cornponentS, z,

se obqine

reperul

cartezian

in

plan,

notat

rOy,

in

raport

clr

care coorcionatele

unui

punct

,4,1

sunt

@,il.

R5.mAn

valabile forniulele

stabilite

anter-ior.

De'plasd,rile snni transformiri

de

axe care

pXstreazi

orientarea

pozitivd

a

noii

baze a

repemlui.

trIe

pot

fr. translali,t, sa:u

rotal'ii.

(rz

-

rt)'t

+

(yz

-

yt)2

+

( 2

-

t)2

M1


6/11

'ud

BS

hcoo

z

u

ag

Ra

us

'0

c1

o

t

7

ID

nxnu

6

'v

1a+

+

?

+

l

I1

u

a

1

u

000C

'

IV

0O

7O

,

oO

us?

F

n

/V

c

na

oo

z

a

1

]1

aeaqs

'_

ac€o

"

o

su

'

IBu

nn

a

Sa

3

.E

O

o

o3

?g

s

d

DDD

'z

a

u?JEs

(

A

g

aD

pu

(

,


7/11

Capi,tolul T

3 R,ota{ia

unui reper

cartezian

Fie

reperul

cartezian

Oryz.

Rotali,a

leperului

este depiasarea care pisireazS,

originea, rotind

a-xele

in

ace1a".i sens

cll un annmit

unghi,

numit

unghi, de

rota{,ie,

noiat

0

(figLrra

4).

Prin urmare.

o

translatie

este

perfect

determi-

natX dac5

se cunoaqte

ringhiul

cle

rotaiie.

SX

stabilim

rela{ia

dintre

coorclonatele (r,y,

z)

a,le

unui

punct,4{

in rapcrt

cu

reperul

Ozyz

qi

coor--

Conatele

(r',A',e')

ale aceluiarsi

punct

M in

raport

ctr

reperui

rolit

Ortytzt

.

1[(r,y,z)

(r'

,y'

,r')

Schimbarea

de

reper

din

t3

este

echir,alentti

cu trecerea

de

ia baza

ortonormati

{r,j,E}

Tabaza

ortonormatil

{i'

,.J',4'}

iir

{,23. Avem:

unde

C11:L"l

,r":

I 'l

czl

:

E' 'j

/_

-

\

Prin

urmar",

*

:

[

:]l

Z:;

Ill

)

."rr"zinrr

matricea

de rrecere

cie ta

birz.

\

".rr

c3z c:tl

/

{r,j,E}

Iabaza

{1,

j',k'}.

\fatricea

E este

o rnairice

ortogonald,,

aclicX

,It

:

,I?-1"

Transformarea

este

poziiiv5

ciac[

det l?

:

1.

Observ5m

c[,

in raporL

cu cele

dou5

repere

carteziene

Oryz

qi

Or'y'z',

avem

OII

:

aW,adicd"rr*yj*:,k:

t 7'+ )'1+r'k'.

in]ocuind

pel,,7,

[,

qi

identificdncl

'

-_

_;

clup5, 7,

J,

k, oblinern

relalia

dintre

coordonatele

punctului

/1,1

in raport

cu

cele

clou[

repere:

/"\

_ /,,1\

l'l:Rla'l'

\./ \,' )

Deoarece

-R

este

o malrice

ortogonaiS,

relalia inversX

este

v'

(

i'

:

cn

r

-l-

e:r7-l-

caiA'

{

i'

:

cnr

-

c221

*

ca2l'

l;t

t

l''

:

r'6i -r

cyj

-F ca3l,.,

czt: z'

'E

^at^

L-3',:

* J

n

c:r:

E'k.

-t

C1't

:

X'

l,

I,

Cl. : J

'?,

;,

ct3: k'

't

(;",):'.(i)

Figura

4


8/11

-as

/

I

d

I

d

1

'J

aaL

g

p

ooau

-o

S

B

'

R

d

o

IN

3

r_u

0

n

ca

'eo

So

as

qoBae

u

p

e

I

I

I

I

I

r

1

o

p

u

7

'6

a

a

lnn

r

ece

d

c

'

a€oo

W

s

d

up

,

n

3

le

u

Ta

s

ao

'o

+

s

g

\

o

-

s

)

:

R

6

q

a

u

€un

a

o

S

s

oDo

e

'g

g

-

T

J

,

ro

s6

1

o

z

s

u

u

-

z

ua

g

a


9/11

Cayti,tolul

T

Reciproc,

fiincl

dat

punctul

M, coordonatele

sale

polare

nu sunt unice.

intr-adev6r, adS.ugAncl

la

d

orice multiplu de

2r,

coorclonatele

polare

(p,0

+2kr).

k

e

Z, reprezinti

toate

acelagi

punct

,1.{.

De

asemenea)

fixAnd

pozilia

ini ia15 a axei

polare

printr-o

rota ie

cu

unghiul

n',

punctul

l\,f

la

avea

abscisa

-p,

deci

coordonateie

(-

p,0

+

n'

+

2kr),

k

e

Z, reprezintX tot

punctul

,A,f .

Pentru a asigura

unicitatea

reprezentXrii unui

punct

in

reperul

polar,

se con-

sider6p>0qi0el0,2r).

Lcgd,tura di,ntre

coordonatele cartez'iene

Si

cele

polare

Se

considerS,

un

reper cartezian

Oty

in

plan

qi

un

reper

polar

particular,

av6,nd

polul

in originea reper,.rlui

cartezian

gi

axa

polard

confundat[

cu

sens-.ri

poziti.r

ai

axei Or

(figura

8).

Un

punct

,i,f din

plan

va avea

coordonatele

cartezi-

ene

(r,y)

qi

coordonatele

polare

(p,0).

Din

tliunghiui

dreptunghic

OIUIM'

rezultX

relatiile

care exprimX

legXtura

f

r:

pcos?

de coordonate:

(

I

Y

:

Psin6'

Curbe

de

coordonate:

Figura

8

dintre ceie

dou5,

tipuri

p0

:

ct.

-

cerc

centrat

in

pol,

de raz{"

ps;

0o:

ct. - semidreaptd care

face i.tnghiul

d

cu axa

polerril.

o Coordonate

cilindrice

in

raport

cu

un

reper

cartezian

Ot:yz,

trn

punct

IUI

este

unic

determinat

de coorclonatele sale

carteziene

(,

, ?) ,

,)

,

proiec{iile

ortogonalc

pe axe

ale

punctului

(figura

9).

Dacd.

M

e

Es

-

Oz.

atunci

pozilia

sa mai

poate

Ii caracterizati

qi prin

tripletul

ordonat

(p,0,r),

unde

p

este distanta

de

la

origine

la,

proieclia ,4// a

punctului

,M in

planul

rOy,

iar

0

este

m5sura ungitiului

dintre semidreptele Oz

qi

OM'.

Cu

alte cuvinte,

coordonatele

ci,lirtdrice

(p,0,

r)

ale

lui

,4,f se

obtin

trecinci in

planul

rOg

ia coordonate

polare.

Pentru a asigttra uniciiatea reprezentdrii

cilindrice,

se considerX,.

ca

qi

in cazui coordonatelor

polale,

p

)

o

p:

o0:

Figura

9

lui &1

irr coordonate

01sid€[a,zr).


10/11

:

s

B

poB

aFu

1

-

o

'D

'C

gus

]

g

:s

a

B

au

upe

'o

t

0

=

g

0

S

a

e

-

_4

gu

Ju

n

1

7

ncn

s

e

-

u

nd

'

N

O

aesp

o

S

7

1

n

r

nd

T

s

n

in

u

z

c

n

C

a

A

:

F

as

{?

0d

7

l

{d1g

u

ln

'O

Pae

cu

0o

lo

d

z

1a

:

i6

aed

a

'

's

us

gg

in

s

p

g

nd

d

u

J

:

<

zd

ln

d

u

?

0

'

S

F

J

u

-

iaD

g

€

aua

s

Jc

a

S

a

uP

e

'

fg

{s

g

}

9

aD


11/11

Capi,tolul

l

o

p

:90

:

ct.

- semicon de

axX

Oz,

fdrr{.

vdtf;

o

0:00:

ct. -

semiplan

care

face

unghiul

66 cu

semiplanul

rOz

(

>

0).

Curbe

de coorrionate:

o

A:00, g:

go

-

semidreapt5 (o generatoare a semiconului);

a

p: go, r:

T0

-

cerc

centrat

pe

Oz,

de raz[

rn,

situat

intr-un

plan paralel

cu

rOz'.

o

r

:

ro)

0

:0o

-

semicerc

de razd.

z'g,

din

semiplanui

A

:

Aa

Trecerea

de

la reperul cartezian

{O;2,1,[]

]a repe.rrl

sferic

{M;er,ee,ea}

este

descris6

de

relatiile:

{

e,.:

sin;co'6i

r-

sin

;sin07

-P

cosg:i:

I

{

,

:

('.)s

i

cos d7

+

t,os

g

sin

0y

-

sirr.

;l,

[,ro:

-sindi

+

xos01.

Documents

BontasII Cap1 Transformari Coordonate (1)