TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO 6

GRUPO Nº 448

FREDDY GIOVANNI CORTEZ CODIGO: 80062539

DANY VALENCIA BEDOYA CODIGO: 1113520845

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

301301- ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA

13-11-2015

INTRODUCCIÓN

Por medio del presente trabajo colaborativo pretendemos desarrollar habilidades matemáticas en la resolución de ejercicios de geometría analítica, trabajando con la recta y las figuras cónicas, analizando sus ecuaciones canónica y general, además de comprender el uso de estos conocimientos en el mundo real.

Con la resolución de algunos ejercicios propuestos trataremos de comprender los fundamentos y propiedades de sumatorias y productorias.

Buscamos también utilizar ayudas tecnológicas en la comprobación de los ejercicios, en nuestro caso el software geogebra, el cual resulta una herramienta valiosa para verificar nuestros conocimientos.

OBJETIVOS

Realizar el estudio analítico y compresivo de la unidad tres sumatorias, productorias y geometría analítica.

Aplicar los conocimientos adquiridos solucionando el taller correspondiente.

Resolver cada uno de los siguientes problemas propuestos:

Ejercicio 1

Desarrollado por: DANY VALENCIA

Enunciado:

De la siguiente elipse: x2+4 y2−4 x−8 y−92=0 determine:

a. Centrob. Fococ. Vértices

Elipse x2+4 y2−4 x−8 y−92=0

x2−4 x+4 y2−8 y=92

(x2−4 x )+(4 y2−8 y )=92

(x2−4 x )+4 ( y2−2 y )=92

(x2−4 x+4 )+4 ( y2−2 y+1 )=92+4+4

¿

¿¿

¿¿

Centro (2, 1)

c2=a2+b2

a2=4−a=2b2=1−b=1

c2=a2+b2

c2=4+1c2=5c=√5

c=2.2

Ejercicio 2

Desarrollado por: FREDY GEOVANNI CORTES

Enunciado:

De la siguiente ecuación canónica de la elipse, transformar la ecuación:

√(x−c)2+ y2+√(x+c )2+ y2=2a

En la ecuación

x 2

a2+ y

2

b2=1

Desarrollo

Despejamos uno de los 2 términos

√(x−c)2+¿¿

√(x−c)2+¿¿

Elevamos al cuadrado para eliminar raíces

¿¿

(x−c)2+¿

Desarrollando cuadrados

x2−2 xc+c2+ y2=4 a2−4 a√ ( x+c )2+( y )2+x2+2xc+ y2

Simplificando términos semejantes

−4 xc=4 a2−4a√ ( x+c )2+ ( y )2

Reorganizando términos

4 a√ ( x+c )2+( y )2=4a2+4 xc

Dividimos por 4 toda la expresión para eliminarlo

4 a√( x+c )2+( y )2

4=4a

2+4 xc4

a√ ( x+c )2+ ( y )2=a2+xc

Elevamos al cuadrado para eliminar raíces

a2 (√( x+c )2+( y )2 )2= (a2+xc )2

Desarrollando cuadrados

a2 (x2+2xc+c2+ y2 )=a4+2a2 xc+x2 c2

Multiplicando el primer término y simplificando

a2 x2+a2 c2+a2 y2=a4+x2c2

Reorganizamos para obtener trinomios cuadrados perfectos

a2 x2−x2 c2+a2 y2=a4−a2 c2 . entonces , x2(a2−c2)+a2 y2=a4(a2−c2)

−x24 y2−2 ( x+8 y )=−11

Completo cuadrados

Formulas

x2−ax=(x−a2 )2−a2

4

x2+ax=(x+ a2 ) 2−a2

4

Entonces:

−x2+2 y2=(x+ 22 ) 2−42

4

( x+1 )2−4

x+8 y=( y−82 ) 2−82

4

( y−4 )2−16

Entonces tenemos:

(x+1 )2−4−2 [ ( y−4 ) 2−16 ]=−11

( x+1 )2−4−2 ( y−4 ) 2−32=−11

( x+1 )2−2 ( y−4 )2=−11+32

( x+1 )2−2 ( y−4 )2=21

Divido todo entre 21

( x+1 )2

21−2 ( y−4 )2

21=2121

( x+1 )2

21−2 ( y−4 )2

0.09=1

Entonces deducimos que:

centro=(h ,k )

centro=1,4

Por lo tanto

a2=21

a=√21 a=4.58

b2=0.09

b=√0.09b=0.3

a2+b2=c2

21+0.09=c2

21.09=c2

√21.09=c4.59=c

Entonces tenemos que:

centro=(1,4 )

vertices=(±4.58 ,1 )

(4.58 ,1 ) (−4.58 ,1 )

(±0.3 ,4 )

(0.3 ,4 ) (−0.3,4 )

focos=(±4.59,1 )

(4.59,1 ) (−4.59,1 )

(±4.59,4 )

(4.59,4 ) (−4.59,4 )

Ejercicio 3

Desarrollado por: DANY VALENCIA

Enunciado: De la siguiente hipérbola:

−x2+4 y2−2x−16 y+11=0

Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vértices

Solución

Se necesita completar los trinomios cuadrados perfectos.

( x−h ) 2

a2−

( y−k ) 2

b2=1

( x−k ) 2

a2−

( y−h ) 2

b2=1

Factorizando:

−x24 y2−2 ( x+8 y )=−11

Completo cuadrados

Formulas

x2−ax=(x−a2 )2−a2

4

x2+ax=(x+ a2 ) 2−a2

4

Entonces:

−x2+2 y2=(x+ 22 ) 2−42

4

( x+1 )2−4

x+8 y=( y−82 ) 2−82

4

( y−4 )2−16

Entonces tenemos:

(x+1 )2−4−2 [ ( y−4 ) 2−16 ]=−11

( x+1 )2−4−2 ( y−4 ) 2−32=−11

( x+1 )2−2 ( y−4 )2=−11+32

( x+1 )2−2 ( y−4 )2=21

Divido todo entre 21

( x+1 )2

21−2 ( y−4 )2

21=2121

( x+1 )2

21−2 ( y−4 )2

0.09=1

Entonces deducimos que:

centro=(h ,k )

centro=1,4

Por lo tanto

a2=21

a=√21 a=4.58

b2=0.09

b=√0.09b=0.3

a2+b2=c2

21+0.09=c2

21.09=c2

√21.09=c4.59=c

Entonces tenemos que:

centro=(1,4 )

vertices=(±4.58 ,1 )

(4.58 ,1 ) (−4.58 ,1 )

(±0.3 ,4 )

(0.3 ,4 ) (−0.3,4 )

focos=(±4.59,1 )

(4.59,1 ) (−4.59,1 )

(±4.59,4 )

(4.59,4 ) (−4.59,4 )

Ejercicio 4

Desarrollado por: FREDY GEOVANNI CORTES

Enunciado:

Deducir la ecuación de la hipérbola

x2

a2− y2

b2=1

A partir de la ecuación √(x−c)2+ y2−√ ( x+c )2+ y2=±2a

Despejamos uno de los términos

√(x−c)2+ y2=±2a+√ ( x+c )2+ y2

Elevamos al cuadrado para eliminar radicales

(√(x−c )2+ y2 )2=(±2a+√( x+c )2+ y2 )2

Operando

(x−c)2+ y2=4 a2+4 a√ ( x+c )2+ y2+(x+c)2+ y2

El símbolo menos o más ± desaparece porque todo número multiplicado al cuadrado queda positivo

Se simplifica el primer término y se desarrolla producto notable en el segundo.

x2−2 xc2+c2+ y2=4a2+4a √( x+c )2+ y2+ x2+2 xc2+c2+ y2

Se simplifican términos semejantes

−2 xc2=4 a2+4 a√( x+c )2+ y2+2xc2

Se organiza la ecuación

−4 xc2−4 a2=4a√ ( x+c )2+ y2

Como todos los términos tienen coeficiente 4 simplificamos y elevamos al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada

(−xc2−a2 )2=(4 a√( x+c )2+ y2 )2

Desarrollamos la operación

x2 c2−2a2 xc+a4=a2 x2−2a2 xc+a2 c2+a2 y2

Simplificando

x2 c2+a4=a2 x2+a2c2+a2 y2

Reorganizando

x2 c2−a2 x2−a2 y2=a2 c2−a4

Factorizando

x2(c¿¿2−a2)−a2 y2=a2(c2−a2)¿

Dividimos toda la expresión por a2(c2−a2)

x2(c¿¿2−a2)a2 (c2−a2 )

− a2 y2

a2 (c2−a2)=a2 (c2−a2 )a2 (c2−a2 )

¿

Simplificando obtenemos

x2

a2− y2

(c2−a2 )=1

Como ya sabemos c2−a2=b2

Reemplazamos en nuestra formula

x2

a2− y2

b2=1

Ejercicio 5

Desarrollado por: DANY VALENCIA

Enunciado:

Demostrar que la ecuación

x2+ y2+6 x−2 y+6=0 Es una circunferencia.

Determinar:

a. Centro

b. Radio Solución

Lo haremos utilizando las formulas

x2+ y2+6 x−2 y+6=0

x2+ y2+Dx+Ey+F=0

Formulas centro:

h=−D2

h=−62

=−3

k=−E2

K=−(−2 )2

=22=1

centro=(−3,1 )

Formulas Radio:

√ D2+E2−4 F2

√ 62+ (−22 )−4 (0 )2

√ 12+4−02

√ 162√8=2.82radio=2.82

Ejercicio 6

Desarrollado por: DANY VALENCIA

Enunciado:

De la siguiente parábola y=2x2+4 x−6. Determine:

a. Vértice = (h , k )=(−1 ,−72)

b. Foco = (h , p )=(−1 , 18) abre hacia el eje (y)

c. Directriz =(k , p )=(−72,18)

y=2x2+4 x –6

y+6=2 x2+4 x

2 (x2+4 x+1 )= y+6+1

(x+1)2= y+72

(x+1)2=12y+ 72

h=−1

k=−72

4 p=12

p=18

Ejercicio 7

Desarrollado por: FREDY GEOVANNI CORTES

Enunciado:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3), y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (-2, 2). Escribir la ecuación de la recta de forma general.

Primero hallamos la pendiente,

m=y2− y1x2−x1

= 2−1−2−4

m=−16

Ecuación Canónica

y=mx+b , reemplazando−3=−162+b

Despejamos para hallar b

−3+ 13=b

Operando,b=−83

Ecuación canónica,

y=−16x−83

Ecuación general

y−16x−83=0

Lo que es igual,

y−0,17 x−2,67=0

Ejercicio 8

Desarrollado por: DANY VALENCIA

Enunciado:

Calcular las siguientes sumatorias.

∑K=1

5

(−1 ) K−1 (2K−1 ) 2

∑K=1

5

(−1 ) 6 (7 )2

∑K=1

5

(1 ) (49 )

49

∑K=1

4 (−2 ) K+1

K

A.

∑K=1

4 (−2 )5

4

−83

Ejercicio 9

Desarrollado por: FREDY GEOVANNI CORTES

B.

Enunciado:

Calcular las siguientes productorias.

A.

∏i=−2

4

2 i+5

Desarrollo

∏i=−2

4

¿ (2.−2+5 )(2.−1+5) (2.0+5 ) (2.1+5 ) (2.2+5 ) (2.3+5 ) (2.4+5 )

Operando

∏i=−2

4

¿ (−4+5 )(−2+5)(0+5 ) (2+5 ) (4+5 ) (6+5 ) (8+5 )

Realizamos las sumas de los paréntesis

∏i=−2

4

¿ (1 )(3) (5 ) (7 ) (9 ) (11 ) (13 )

Multiplicamos para obtener el resultado

∏i=−2

4

¿135135

Comprobación en Geogebra

CONCLUSIÓN

Se aplicaron de forma satisfactoria los conocimientos adquiridos en temas como sumatorias, productorias y geometría analítica en la solución del taller propuesto.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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SWOKOSKI, Earl, Álgebra y Trigonometría, con Geometría Analítica. Grupo Editorial

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