topologia rubiano

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NOTopologa general

[un primer curso]

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NOTopologa general

[un primer curso]

Gustavo N. Rubiano O.Profesor titular

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Sede Bogota

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vi, 284 p. : 3 il. 00ISBN 978-958-719-442-5

1. Topologa generalGustavo N. Rubiano O.

Topologa general, 3a. edicionUniversidad Nacional de Colombia, Sede BogotaFacultad de Ciencias, 2010

Mathematics Subject Classification 2000: 0000.

c Edicion en castellano: Gustavo Nevardo Rubiano OrtegonUniversidad Nacional de Colombia.

Diagramacion y diseno interior en LATEX: Gustavo Rubiano

Tercera edicion, 2010

Impresion:Editorial UNBogota, D. C.Colombia

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Contenido

Prologo IX

1. Conjuntos con topologa 1

1.1. Los reales una inspiracion . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Abiertos basicos (generacion de topologas) . . . . . . . . 8

1.3. Vecindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4. Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio . . . . . . . . 22

2. Espacios metricos 28

2.1. Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2. Espacios unitarios o euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.1. Caracterizacion de los espacios euclidianos . . . . . 42

2.3. Topologa para una metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.1. Metricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3. Bases y numerabilidad 57

3.1. 2-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2. 1-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4. Funciones comunicaciones entre espacios 64

4.1. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2. La categora Top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3. Propiedades heredables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

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vi CONTENIDO

5. Filtros, convergencia y continuidad 74

5.1. Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.1.1. Base de filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2. Ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6. Homeomorfismos o geometra del caucho 89

6.1. Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2. Invariantes topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7. Espacios de identificacion cociente 102

7.1. Topologa cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.1.1. Descomposicion canonica por una funcion . . . . . 105

8. La topologa producto 112

8.1. Definicion sintetica de producto entre conjuntos . . . . . . 112

8.2. La topologa producto caso finito . . . . . . . . . . . . . 113

8.3. La topologa producto caso infinito . . . . . . . . . . 115

8.4. Propiedades productivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.5. La topologa producto en los metricos . . . . . . . . . 123

8.6. Continuidad para el producto . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8.7. Topologas al inicio y al final . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8.7.1. La topologa inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8.7.2. La topologa final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9. Posicion de un punto respecto a un conjunto 133

9.1. Conjuntos cerrados y adherencia . . . . . . . . . . . . . . 133

9.1.1. Operadores de clausura . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.1.2. La adherencia es productiva . . . . . . . . . . . . . 140

9.2. Puntos de acumulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

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CONTENIDO vii

9.2.1. Puntos aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

9.3. Interior exterior frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

9.4. Subconjuntos densos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

10.Compacidad 156

10.1. Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

10.2. Dos caracterizaciones de la compacidad . . . . . . . . . . 163

10.2.1. Compacidad va cerrados . . . . . . . . . . . . . . 163

10.2.2. Compacidad va filtros . . . . . . . . . . . . . . . . 165

10.2.3. Compacidad va ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . 166

10.3. Producto de dos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

10.4. Teorema de Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.5. Compacidad y sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

10.6. Compacidad para metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

10.7. Ordinales como ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

10.8. Compacidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.8.1. Compactacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

11.Espacios metricos y sucesiones completez 196

11.1. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

11.1.1. Filtros de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

11.2. Espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

11.3. Completez de un espacio metrico . . . . . . . . . . . . . . 204

11.4. Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

12.Los axiomas de separacion 210

12.1. T0, T1 y T2 o de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

12.2. Regulares, T3, Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

12.2.1. Inmersion en cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

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viii CONTENIDO

12.3. Normales, T4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

12.4. Lema de Urysohn o existencia de funciones . . . . . . . . 227

12.5. Tietze o extension de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 232

13.Conexidad 238

13.1. La conexidad como invariante topologico . . . . . . . . . . 238

13.2. Subespacios conexos maximales . . . . . . . . . . . . . . . 246

13.3. El conjunto C de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24713.4. Conexidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

13.5. Conexidad por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Bibliografa 264

Indice alfabetico 266

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Prologo

El tema central de esta tercera edicion es presentar un texto quesirva como gua para un primer curso formal en topologa general o deconjuntos. Se han hecho cambios importantes que justifican que se tratede una nueva edicion y no de una simple reimpresion de la anterior.

La mayora de las herramientas y conceptos utilizados en el estudiode la topologa se agrupan en dos categoras: invariantes topologicos yconstrucciones de nuevos espacios a partir de los ya conocidos.

En la parte de invariantes, el enfasis en los espacios 1-contable o es-pacios que satisfacen el primer axioma de enumerabilidad, como espaciospara los cuales las sucesiones son suficientes para describir la topologa,justifica la introduccion del concepto de filtro como una adecuada no-cion de convergencia, que resulte conveniente para describir la topologaen espacios mas generales; de paso, este concepto nos proporciona unamanera comoda para llegar al teorema de Tychonoff, imprescindible encualquier curso no trivial, teorema que corresponde a la parte de con-strucciones.

Nuevos captulos, secciones, demostraciones, graficos y referenciashistoricas han sido introducidos a fin de motivar al lector y presentarde manera activa una de las areas mas prolficas de la matematica y laciencia.

Como en casi todo libro de texto, poco o nada es original por parte delautor, excepto posiblemente la manera de manejar la influencia de variosclasicos sobre el tema o la introduccion de algunos ejemplos nuevos.

Agradezco a la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional deColombia, Sede Bogota, el darme ese tiempo extra que siempre necesi-tamos los docentes para plasmar de forma escrita la experiencia diaria.

Gustavo N. Rubiano O.

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x CONTENIDO

[email protected]

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NO1 Conjuntos con topologa

1.1. Los reales una inspiracion

No hay nada mas familiar a un estudiante de matematicas que elconjunto R de los numeros reales y las funciones f : R R. Si unica-mente tuvieramos en cuenta la definicion usual de funcion de R en R,es decir, una coleccion de pares ordenados (x, y) R R donde cadaelemento de R es la primera componente de una y de solo una parejaordenada, estaramos desperdiciando el concepto de intervalo que cono-cemos para los numeros reales y, aun mas, el hecho de que en R podemosdecir quienes son los vecinos de un punto x R.

En efecto, los vecinos al punto x en una distancia menor que un > 0 son todos los y R tales que |x y| < ; es decir, el intervalo(x, x+) es la vecindad basica de x con radio . Cuando a una funcionde R en R la obligamos a tener en cuenta el concepto anterior de vecindadbasica, lo que estamos exigiendo es que se satisfaga la definicion , decontinuidad empleada en el calculo.

Revisemos esta definicion de continuidad. La funcion f : R R sedice continua en el punto c R si:

Para cada numero positivo , existe un numero positivo tal que|f(x) f(c)| < siempre que |x c| < .

Pero |f(x)f(c)| < significa f(x) (f(c), f(c)+); as mismo,|x c| < significa x (c , c + ); luego la definicion entre comillasla podemos reescribir como

Dado > 0 (ver fig. 1.1) se puede encontrar > 0 tal quesi x (c , c+ ) entonces f(x) (f(c) , f(c) + ).

Hablando en terminos de los intervalos abiertos como las vecindades

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2 Conjuntos con topologa

f(c)

c2

2 g(c)

c

Figura 1.1: La continuidad en R.

basicas, esta definicion es:

Dada una vecindad basica de radio alrededor de f(c), podemosencontrar una vecindad basica de c y con radio tal que

si x (c , c+ ) entonces f(x) (f(c) , f(c) + ).Lo que de nuevo reescribimos como: Dada una vecindad de f(c)

podemos encontrar una vecindad de c con la propiedad que, la imagenpor f de esta ultima se encuentra dentro de la vecindad de f(c).

Informalmente decimos que:

Un cambio pequeno en c produce un cambio pequeno en f(c).KHemos visto entonces que el concepto de continuidad en R esta liga-

do esencialmente a la definicion que podamos hacer de vecindad paraun punto y la relacion entre las imagenes de las vecindades. Luego, siquisieramos abstraer el concepto de continuidad para otros conjuntos queno sean nuestros numeros reales usuales, debemos remitirnos a obtenerde alguna manera pero con sentido el concepto de vecindad paraestos conjuntos.

Al definir un conjunto abierto en R como un conjunto que es unionde intervalos abiertos nuestras vecindades basicas es facil verificarque:

1. es abierto la union de una familia vaca.

2. R es abierto.

3. La union de una coleccion de abiertos es un abierto.

4. La interseccion de un numero finito de abiertos es un abierto.

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1.1 Los reales una inspiracion 3

Motivados por las anteriores propiedades damos la siguiente definicion.

Definicion 1.1. Una topologa1 para un conjunto X es una familia

T = {Ui : i I}, Ui X

tal que:

1. T, X T.

2.iF Ui T para cada F subconjunto finito de I F b I.

3.iJ Ui T para cada J I.

Esto es, T es una familia de subconjuntos de X cerrada tanto parala union arbitraria como para la interseccion finita. La condicion 1 esconsecuencia de 2 y 3 cuando tomamos como conjunto de ndices I = .

Los elementos de T se llaman abiertos y el par (X,T) es por defini-cion un espacio topologico. Brevemente lo notamos X cuando no esnecesario decir quien es T. Los elementos de X son los puntos del espa-cio. Las condiciones en la definicion anterior se llaman los axiomas deuna estructura topologica.

A menos que se especifique lo contrario, en este texto la palabra espacio significara espacio topologico. Los complementos de los conjuntosabiertos se llaman conjuntos cerrados.

EJEMPLO 1.1

Ru. En R definimos una topologa T conocida como la usual (el espacioes notado Ru) definiendo U T si U es union de intervalos abiertos.O de manera equivalente, U R es abierto si para cada punto x Uexiste un intervalo (a, b) que contiene a x y esta contenido en U .

1Se le acuna la invencion de la palabra topologa al matematico aleman de ascen-dencia checa Johann B. Listing (1808-1882) en una carta dirigida a su viejo maestrode escuela Muller.

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EJEMPLO 1.2

Orden. El ejemplo 1.1 lo podemos generalizar a todo conjunto X quesea linealmente totalmente ordenado por una relacion . DefinimosT la topologa del orden o la topologa intervalo sobre (X,)tomando como abiertos todos los U X que se pueden expresar comounion de intervalos de la forma

1. (x, y) := {t : x < t < y} intervalos abiertos acotados.2. (x,) := {t : x < t} colas a derecha abiertas.3. (, y) := {t : t < y} colas a izquierda abiertas.

En el caso en que X no posea elementos maximo y mnimo, basta con-siderar tan solo los intervalos acotados (x, y) por que?.

EJEMPLO 1.3

Discreta: Dado un conjunto X definimos T = 2X partes de X o(X). Esta es la topologa discreta de X permite que todo seaabierto. Es la topologa sobre X con la mayor cantidad posible deabiertos.

Grosera: Contrario a lo anterior, dado un conjunto X definimos T ={, X}, conocida como la topologa grosera de X practicamente nopermite la presencia de abiertos. Es la topologa con la menor cantidadposible de abiertos.

Notese que toda topologa T para X se encuentra entre la topologagrosera y la topologa discreta, i. e., {, X} T 2X .

EJEMPLO 1.4

Punto incluido. Sea X un conjunto y p un punto elegido en X. Definimosla topologa punto incluido Ip como U Ip si p U , o, U = .

La definicion de esta topologa se puede extender a cualquier A X yla notamos como IA.

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EJEMPLO 1.5

Extension cerrada de (X,T). La anterior topologa permite la siguientegeneralizacion. Dado un espacio (X,T) y p / X, definimos la extensionX = X {p} y T = {V {p} : V T} {}. (X,T) es un espacio ylos cerrados de X coinciden con los de X.

El ejemplo 1.4 es la extension Y para el caso (Y = X {p}, 2Y ).

EJEMPLO 1.6

Punto excluido. Sea X un conjunto y p un punto elegido en X. Definimosla topologa punto excluido Ep como U Ep si U = X, o, p / U .

EJEMPLO 1.7

Sierpinski. En X = {0, 1} construimos todas las posibles topologas:

1. J1 = {, X},2. J2 = {, X, {0}},3. J3 = {, X, {1}},4. J4 = {, X, {0}, {1}, {0, 1}}.

J2

J1

J3

J4

El diagrama muestra como es la contenencia entre estas cuatro topologas,as que J2 y J3 no son comparables. J2 = {, X, {0}} se conoce como latopologa de Sierpinski2. Es el espacio mas pequeno que no es trivialni discreto.

2En honor al matematico polaco Waclaw Sierpinski (Varsovia,1882-1969). En 1920,Sierpinski, junto con Zygmunt Janiszewski y su ex alumno Stefan Mazurkiewicz,fundaron una influyente revista matematica, Fundamenta Mathematica, especializadaen trabajos sobre teora de conjuntos. Durante este periodo, Sierpinski trabajo sobretodo en teora de conjuntos, pero tambien en topologa de conjuntos y funciones deuna variable real. Tambien trabajo en lo que se conoce actualmente como la curva deSierpinski.

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EJEMPLO 1.8

Complementos finitosa. Dado un conjunto X, definimos la topologa(T, cofinitos) como U X es abierto si su complemento U c es fini-to, o U = . En este ejemplo como en cada ejemplo donde los abiertosse definan en terminos de cardinalidad es interesante tener en cuen-ta los tres casos, dependientes de que X sea finito, infinito contable, oinfinito no contable.

aTambien conocida como la topologa de Zariski en honor al matematico bielorrusoOscar Zariski (1899-1986).

EJEMPLO 1.9

Complementos enumerables. Dado un conjunto X, definimos la topolo-ga (T, coenumerables) como U X es abierto si su complemento U c esenumerable o contable finito o infinito, ademas del , por supuesto.

EJEMPLO 1.10

Espacio de Fort. Sea X un conjunto y p un punto en X. DefinimosU Ep si U c es finito, o p / U .

La coleccion Top(X) de todas las topologas sobre un conjunto X es unconjunto parcialmente ordenado por la relacion de inclusion: T1 T2si T1 T2, caso en el cual decimos que T2 es mas fina que T1. Portanto, sobre Top(X) tiene sentido hacer referencia a todos los conceptosrelativos a conjuntos ordenados.

Dado un conjunto finito X con n elementos, notemos por T(n) elconjunto de topologas definibles sobre X. Una pregunta natural y for-mulada desde el inicio de la topologa es: cuantas topologas existensobre X? o quien es el cardinal |T(n)|? La pregunta es difcil de con-testar y por ello se trata de un problema abierto; mas aun, para esteproblema de conteo no existe a la fecha ninguna formula cerrada nirecursiva que de una solucion. Tampoco existe un algoritmo eficiente decomputacion que calcule el total de T(n) para cada n N.

Para valores pequenos de n el calculo de |T(n)| puede hacerse a mano;por ejemplo, |T(1)| = 1, |T(2)| = 4, |T(3)| = 29. Pero el crecimientode T(n) es exponencial, como lo muestra la tabla 1.1. De hecho, ex-isten 261492535743634374805066126901117203 posibles topologas para

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n Numero de topologas en T(n)1 12 43 294 3555 6.9426 209.5277 9.535.2418 642.779.3549 63.260.289.42310 8.977.053.873.04311 181684603873619212 51935557106577402113 20788139365666895304114 11561705197705426780746015 8873626911858624449248512116 9341111341171003956521049409517 13413795009333788067232186872584618 261492535743634374805066126901117203

Cuadro 1.1: Numero de topologas para un conjunto de n elementos.

un conjunto con n = 18 elementos, y a la fecha este valor de n es elmayor para el cual el numero de topologas es conocido.

Ejercicios 1.1

1. Como son los cerrados para los espacios de los ejemplos anteri-ores?

2. Construya todas las topologas para X = {a, b, c}.3. Muestre que, para un conjunto X, la interseccion de topologas

sobre X es de nuevo una topologa.

4. Muestre que la union de dos topologas sobre un conjunto X nonecesariamente es una topologa.

5. En cada uno de los ejemplos dados en esta seccion, revise la per-tinencia de la cardinalidad del conjunto X.

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6. Muestre que (Top(X),) es un retculo completo. En particular,para el caso de dos topologas T, I el sup {T, I} esta formado portodas las posibles uniones de conjuntos de la forma

{U V : U T, V I}.

7. Revise el ejemplo 1.10 en terminos del ejercicio anterior.

1.2. Abiertos basicos (generacion de topologas)

Entre los abiertos de un espacio, algunas veces casi siempre es im-portante resaltar algunos de ellos que en cierta manera generan o de-scriben a los demas, i. e., toda la estructura topologica puede ser recu-perada a partir de una parte de ella.

Definicion 1.2. Si (X,T) es un espacio, una base para T es una sub-familia B T con la propiedad que: dados un abierto U y un puntox U , existe un B B tal que x B U .

Cada abierto en T es union de elementos en B.

EJEMPLO 1.11

Los intervalos abiertos de R constituyen una base para la topologa enRu. Revise la definicion de la topologa del orden.

Por supuesto, para un espacio (X,T), T en s misma es una base demanera trivial; la palabra trivial se justifica porque una de las cualidades

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1.2 Abiertos basicos (generacion de topologas) 9

mas importantes para una base es exigir que su cardinalidad no sea muygrande espacio 2contable.

Como reconocer que una coleccion B de subconjuntos de X puedaser base para alguna topologa? K

Teorema 1.3. Sea X un conjunto. B (X) es base de una topologapara X si y solo si se cumple que

1. X ={B : B B}, i. e., B es un cubrimiento de X.

2. Dados cualesquiera U, V B y x U V , existe B en B conx B U V . Esto es, U V es union de elementos de B paratodo par U, V de B.

Notese que, en particular, un cubrimiento B (X) cerrado paraintersecciones finitas es una base.

Demostracion. ) 1) Supongamos que B es base para una topologa Tde X. Veamos que X =

{B : B B}; en efecto, dado x X existeU T tal que x U , y como B es base, existe B con x B U laotra inclusion es obvia. 2) Si U, V B entonces, dado x U V , porser B una base, existe B tal que x B U V U, V estan en T, ypor tanto U V T.) Construyamos una topologa T para la cual B es una base. Defin-

imos U T si U es union de elementos de B. Por supuesto tanto X como estan en T por ser la union de la familia vaca. Si tomamos launion de una familia en T, ella finalmente es union de elementos de B.Ahora veamos que B es base de T. Si U, V T y x U V , por ladefinicion de T, existen BU , BV en B conteniendo a x y contenidos enU y V respectivamente; por la condicion 2 sobre B, existe B tal quex B (BU BV ) U V .

La topologa dada por el teorema anterior se conoce como la topologagenerada por la base B y la notamos T = B3.

EJEMPLO 1.12

Si X es un conjunto y p X, una base de la topologa Ip del puntoincluido es B = {{x, p} : x X}.

3Una misma topologa puede ser generada por bases diferentes.

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EJEMPLO 1.13

Particion. Dada una particion R sobre un conjunto X o lo que es igualuna relacion de equivalencia R, la coleccion R junto con el conjunto esuna base para una topologa sobre X. Un subconjunto de X es entoncesabierto si es union de subconjuntos pertenecientes a la particion.

EJEMPLO 1.14

Lnea de Khalinsky. En Z definimos la base

B = {{2n 1, 2n, 2n+ 1} : n Z}{{2n+ 1} : n Z}.

En la topologa generada, cada entero impar es abierto y cada enteropar es cerrado.

EJEMPLO 1.15

Topologa a derecha. Para un conjunto (X,) parcialmente ordenado, elconjunto de las colas a derecha y cerradas

x := [x,) := {t : x t},

es una base para una topologa ya que

[x,) [y,) =z

[z,) para z [x,) [y,).

La topologa generada se nota Td y se conoce como la topologa aderecha dualmente existe la topologa a izquierda.

La anterior topologa es saturada o de Alexandroff4 en el sentidoque la interseccion arbitraria de abiertos es de nuevo un abierto. Noteseque las colas abiertas son tambien abiertos para esta topologa.

(a,) =b>a

[b,).

4En general una topologa se dice de Alexandroff o Atopologa si las intersec-ciones arbitrarias de conjuntos abiertos son de nuevo un abierto. Fueron estudiadasinicialmente por P. S. Alexandroff en 1937. Notese que toda topologa finita es deAlexandroff.

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EJEMPLO 1.16

Una topologa puede tener diferentes bases. En R2 definamos dos basesB1,B2 que nos conducen a una misma topologa: la usual.

B1: U B1 si U = {(x, y) :((x u)2 + (y v)2)1/2 < } para algun

> 0 y algun (u, v) en R2. U se acostumbra denotar como B((u, v))U es el interior de un disco en R2 de centro en (u, v) y radio .

B2: V B2 si V = {(x, y) : |x u| + |y v| < } para algun > 0 yalgun (u, v) en R2 V es el interior de un rombo en R2 con centro en(u, v).

Es un ejercicio verificar que lo que se puede expresar como union deelementos de B1, lo puedo expresar tambiencomo union de elementos de B2, con lo cual las dos topologas generadas coinciden.

EJEMPLO 1.17

De manera mas general, en Rn definimos una base B de la manera si-guiente:

B = {B(x) : > 0, x = (x1, . . . , xn) Rn}donde,

B(x) =

(y1, . . . , yn) Rn(

ni=1

(xi yi)2)1/2

<

.B(x) es la bola abierta de centro en x con radio . La topologa gen-erada por esta base se conoce como topologa usual de Rn y notamosRnu.

No olvide en los dos ejemplos anteriores demostrar que efectivamenteestas bases satisfacen la condicion para serlo, y hacer los graficos respec-tivos para las bolas abiertas en Ru y R2u.

G. R

UBIA

NO


Dado un conjunto X es posible obtener una cantidad de subfamilias departes de X, de tal manera que ellas cumplan los requisitos de ser basepara alguna topologa. Cuando dos bases generen una misma topologalas vamos a identificar, es decir, establecemos un criterio de igualdadacomodado por nosotros para nuestros intereses. En otras palabras,definimos una relacion de equivalencia y lo que llamamos equivalentees esa igualdad acomodada.

Definicion 1.4. Sean X un conjunto y B1, B2 dos bases como en ladefinicion 1.2. Decimos que B1 B2 son dos bases equivalentessi las topologas generadas son iguales, i. e., B1 = B2.Proposicion 1.5. B1 B2 si y solo si dados B1 B1 y x B1 existeB2 B2 tal que x B2 B1, con lo cual B1 B2 y viceversa.

Demostracion. Ejercicio.

El lector debe verificar que esta relacion es de equivalencia sobre elconjunto de todas las posibles bases para un conjunto X fijo. As que,dada una topologa sobre X podemos escoger, de la clase de equivalenciaque representa esta topologa, el elemento base que mejor se acomode anuestro interes canonico.

Dado un cubrimientoD de X, es posible crear la menor topologa sobreX que tenga entre sus abiertos la coleccion D. Para ello, creamos apartir de esta coleccion una base y luego generamos la topologa.K

Teorema 1.6. Dado un cubrimiento D de X, existe una unica topologaT para la cual los elementos de D son abiertos y cualquier otra topologaH que contenga a D es mas fina que T, esto es, T H.

Demostracion. Definimos la coleccion B como el conjunto de todas lasintersecciones finitas de elementos de D, es decir B B si B = ni=1Dipara Di D; B es una base de topologa y D B.

Sea T = B. En otras palabras, un elemento U de T es aquel quepodemos expresar como una reunion de intersecciones finitas de ele-mentos de D. Si H es una topologa para X tal que D H , es claroque todo elemento de T tambien es elemento de H por la definicion detopologa.

En general definimos una subbase de la manera siguiente.

G. R

UBIA

NO


Definicion 1.7. Sea (X,T) un espacio. Una subbase para la topologaT es una subcoleccion D T con la propiedad que la familia formadapor las intersecciones finitas de elementos de D es una base para T.

EJEMPLO 1.18

Los intervalos de la forma (a,), (, b) con a, b R forman una subbasepara la topologa usual. Generalice a la topologa del orden.

EJEMPLO 1.19

Para un conjunto X la coleccion D = {X{x} : x X} es una subbasepara la topologa de los cofinitos.

Ejercicios 1.2

1. (R2, verticales). Por cada x R sea Bx = {(x, y) : y R}.Muestre que B = {Bx : x R} es base de una topologa paraR2 Como son los abiertos?

2. (R2, triangulares). Dados a, b, c R, con a > 0, definimos laregion comprendida entre dos rectas

Da,b,c = {(x, y) : y ax+ b y y ax+ c} R2.Sea D = {Da,b,c : a > 0, b, c R}. D es una coleccion de regionestriangulares infinitas. Muestre que D es base para una topologa.

3. Cuando tenemos un conjunto (X,) totalmente ordenado y sinelementos maximo ni mnimo, es posible definir otras topologasdiferentes de la usual para el orden. Consideremos las siguientesfamilias de subconjuntos y verifiquemos que efectivamente se tratade bases para nuevas topologas:

a) Bd = {x = [x,) : x X} genera la topologa Td de lascolas a derecha y cerradas, o topologa a derecha (ver ejemplo1.15).

b) Bi = {x = (, x] : x X} genera la topologa Ti de lascolas a izquierda y cerradas. Al igual que la anterior, estatopologa es de Alexandroff. Tambien se dice que la topologa

G. R

UBIA

NO


b

c

Figura 1.2: Las regiones del ejercicio 2.

es generada por los inferiores x de cada elemento. En estosdos casos no es necesario que el orden sea total, basta teneruna relacion de orden parcial en X.

Bi tambien genera los intervalos de la forma(, a) =

b

G. R

UBIA

NO


llamada topologa de Sorgenfrey o del lmite inferior5.

B+ genera: (a, b) =t>a

[t, b),

[a,) =a

G. R

UBIA

NO


f ) B = {(x, y] : x, y X} genera la topologa T de los inter-valos semiabiertos a izquierda.

B genera: (a, b) =x

G. R

UBIA

NO

1.3 Vecindades 17

1.3. Vecindades

En la motivacion de este captulo utilizamos el termino vecindad enel contexto de los numeros reales; hagamos la generalizacion a espaciostopologicos de acuerdo con la siguiente definicion.

Definicion 1.8. Sea (X,T) un espacio. Decimos que V X es vecin-dad6 de x X la notamos Vx si existe U T tal que x U Vx.Al conjunto de todas las vecindades del punto x lo notamos V(x).

................................

...............................................................................................................................................................................................................................................

.....................................

............................................................................................. ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................

..................................

.............................

.........................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

Vx

xy

U

Figura 1.4: Propiedad 4 de la axiomatizacion de vecindad.

Proposicion 1.9. Sean (X, T) un espacio y x X. El sistema V(x)de vecindades de x X posee las siguientes propiedades:

1. Si V V(x) entonces x V .

2. Si V V(x) y V W entonces W V(x).

3. Si V,W V(x) entonces V W V(x).

4. Para cada V V(x) existe U V(x) con U V tal que V V(y)para todo y U .

Demostracion. La demostracion se deja como ejercicio.

6Fue el matematico aleman Felix Hausdorff quien en 1.914 introdujo la nocionde espacio topologico en Grunzuge der Mengenlehre, Leipzig, Veit and Co., 1914,partiendo de una axiomatizacion del concepto de vecindad. Tambien trabajo en teorade conjuntos e introdujo el concepto de conjunto parcialmente ordenado.

G. R

UBIA

NO


En particular de 1, 2 y 3 podemos deducir que el sistema V(x) es unfiltro para cada x X el concepto de filtro se define en el captulo 5,pag. 81. Una manera informal de describir la propiedad 4 es decir que

Una vecindad de un punto x es tambien vecindad de los puntos sufi-cientemente cercanos a x.

El siguiente teorema es interesante porque compara la axiomati-zacion de Hausdorff con la dada por N. Bourbaki7 un cuarto de siglomas tarde, la cual es nuestra definicion inicial de topologa.

Felix Hausdorff

Teorema 1.10. Sea X un conjunto. Supongamos que a cada x X sele asigna un conjunto V(x) no vaco de subconjuntos de X que cumple1, 2, 3 y 4 de la proposicion 1.9; entonces existe una unica topologa Tpara X tal que para cada x X la coleccion V(x) es precisamente elsistema de vecindades de x en el espacio (X,T).

Demostracion. Definimos U T si para cada x U se tiene que U V(x) U es vecindad de cada uno de sus puntos. Veamos que en efectoT es una topologa. Por vacuidad, vaco esta en T. Por hipotesis, V(x) es

7Un grupo de matematicos, en su mayora franceses, quienes bajo este seudonimocomenzaron a reunirse en 1930 con la intencion de escribir de una manera unificadala matematica existente.

G. R

UBIA

NO

1.3 Vecindades 19

diferente de vaco para x X, y por tanto X V(x). Dado x U Vdonde U, V T, tenemos U V V(x) ya que U, V V(x). Dada {Ui},(i I) una familia en T y x U = {Ui : i I}, existe i I tal quex Ui, y como Ui V(x), por la propiedad 2 tenemos U V(x).

Veamos ahora que V(x) =W(x) donde W(x) es el sistema de vecin-dades de x en (X,T). Si Vx es una vecindad de x, existe U T tal quex U Vx. Como U T, significa que U V(x) y as Vx V(x).

Mostremos finalmente que V(x) W(x). Dada V V(x), definimosU = {y V : V V(y)}; claramente x U V , as que solo restamirar que U T. Por definicion, si y U entonces V V(y) y por4 existe W en V(y) tal que V V(z) para cada z W , con lo cualW U , y por 2, U esta en V(y), pero como esto se tiene para caday U , entonces U T por la definicion de T.

Es un ejercicio verificar que la topologa T es unica.

Definicion 1.11. En un espacio (X,T) un SFV sistema fundamentalde vecindades para un punto x X, es una familia W = {Wi}ide vecindades de x, tal que para cada vecindad Vx existe una Wi conWi Vx.

Los elementos de un SFV son suficientemente finos para estar dentrode cada vecindad.

Definicion 1.12. Un espacio (X,T) se dice T1 si dado cualquier par depuntos x, y X existen Vx, Vy tales que y / Vx y x / Vy.Definicion 1.13. Un espacio (X,T) se llama espacio de Hausdorff,T2, o separado, si dado cualquier par de puntos x, y X existen vecin-dades Vx, Vy con Vx Vy = . Es decir, podemos separar los puntos pormedio de vecindades disyuntas.

El nombre de Hausdorff para esta propiedad se debe al hecho dehaber sido F. Hausdorff8 quien la introdujo como un axioma adicionala los de la proposicion 1.9.

8F. Hausdorff (1868-1962) crecio en la ciudad de Leipzig, Alemania, se graduo dela Universidad de Leipzig y fue docente all hasta 1910. Comenzo su carrera de genialmatematico como un astronomo. Por su inmenso aporte es considerado como uno delos padres de la topologa. Tambien escribio poesa y filosofa. En 1942 prefirio cometersuicidio (junto con su esposa) antes que ser deportado a un campo de concentracionnazi.

G. R

UBIA

NO


EJEMPLO 1.20

En (X, discreta) el conjunto W(x) = {{x}} es un SFV de x. En Ru elconjunto W(x) = {(x 1n , x+ 1n)}nN es un SFV de x R.

Ejercicios 1.3

1. Muestre que en un espacio X, U X es abierto si y solo si esvecindad de cada uno de sus puntos.

2. Muestre que en un espacio T1 los conjuntos unitarios {x} son cer-rados.

3. Cuales espacios de los que hemos definido son T1?

4. Cuales de los espacios topologicos que hemos definido son Haus-dorff?

5. B = {(a, b) : b a 1} es base para la topologa usual de R.6. En (R2, verticales) quienes forman a V((0, 0))?7. Muestre la unicidad en el teorema 1.10.

8. Sea (X,T) un espacio. Muestre que la topologa T es de Alexandroffo Atopologa si y solo si cada punto x X posee una vecindadAx mnima, i. e., Ax esta contenida en cualquier otra Vx.

9. Muestre que toda topologa finita es de Alexandroff.

10. Lexicografico. En R2 definamos el orden lexicografico de la man-era siguiente: (a, b) < (c, d) si a < c, o para el caso en que a = ctenemos b < d. Los intervalos abiertos y acotados ((a, b), (c, d)) eneste espacio, resultan ser rectangulos infinitos hacia arriba y haciaabajo, con parte de los lados verticales incluidos, segun sea el caso(ver figura).

Luego un abierto para la topologa generada sera todo lo que logre-mos expresar como union de estos elementos basicos. Notese queesta definicion puede extenderse a Rn y coincide con la maneracomo ordenamos un diccionario.

G. R

UBIA

NO

1.3 Vecindades 21

a c

b

d

a) Dibuje al menos tres vecindades delpunto (0, 0) para la topologa in-ducida por este orden.

b) Como es geometricamente el in-tervalo ((0, 0), (2, 3))?

c) Que relacion existe entre la topo-loga usual y la topologa de ordenasociada al lexicografico?

d) Como puede usted generalizar es-ta topologa a cualquier conjuntoordenado?

e) Trate de observar como es esta topo-loga si el conjunto X es el cuadra-do unidad I I.

11. Muestre que B = {((a, b), (a, c)) : b < c} es tambien una base parala topologa del orden lexicografico.

12. La topologa del orden para N es la topologa discreta.

13. La topologa del orden para NN con el orden lexicografico no esla topologa discreta.

14. La topologa del orden para Z Z con el orden lexicografico es latopologa discreta.

15. Sea X un conjunto. En los siguientes numerales definimos paracada x X un conjunto V(x). En que casos la coleccion de lasV(x) constituye un sistema de vecindades? Cual es la topologagenerada por este sistema?

a) V(x) = {A X : x A}.b) V(x) = {{x}}.c) V(x) = {X}.d) Sea X = N {} donde / N. Por cada n N definamos

1) V(n) = {A X : n A},2) V() = {A X : A y Ac es finito}.

e) Sea X = (NN) {} donde / NN. Por cada (m,n) N N definamos:

G. R

UBIA

NO


1) V((m,n)) = {A X : (m,n) A},2) V() = {A X : A, donde A contiene casi todos los

puntos de casi todas las filas}.En otras palabras, a cualquier fila le pueden faltar finitosnumeros, y solo a un numero finito de filas le pueden faltarinfinitos numeros. La fila k-esima es por definicion el subcon-junto N{k} la cual notamos Nk. A V() si A y existem N tal que Nk A es finito para todo m < k.La topologa generada es la de Arens-Fort9: un abierto con-tiene a si unicamente un numero finito de filas contienenhuecos significativos. Revise el ejemplo 1.10.

1.4. Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio

Esta seccion presenta una maquina de construccion para nuevosespacios a partir de espacios ya conocidos.

Dados un espacio (X,T) y A X, A hereda una estructura topologi-ca TA de manera natural con respecto a T.

Proposicion 1.14. Sean (X,T) un espacio y A X. La coleccion

TA := {U A | U T}

es una topologa sobre A.

TA se llama la topologa de subespacio inducida sobre A o latopologa asociada al subespacio A.

Demostracion. Claramente = A y A = XA son elementos de TA.Si M,N TA entonces M = U A, N = V A para U, V T, con locual (U A) (V A) = (U V )A, y como U V T, tenemos queM N TA. Por induccion esto es valido para cualquier interseccionfinita de elementos de TA.

Si {Mi}, (i I) es una familia de elementos de TA, cada Mi = ViApara un Vi T. As que M = iIMi = iI(Vi A) = A (iIVi), ycomo iIVi T, tenemos M TA.

9Marion K. Fort, Jr. (1921-1964) matematico estadounidense. Los espacios Fort yArens-Fort son llamados en su honor.

G. R

UBIA

NO

1.4 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio 23

Los abiertos en A se obtienen de interceptar los de X con A.

EJEMPLO 1.21

1. Sea X = R2u. Entonces cualquier subconjunto del plano puede servisto como un espacio topologico. En particular las figuras de lageometra, como circunferencias, discos, polgonos, etc., pueden serahora vistas como espacios.

Examinemos el caso de la recta real R = {(x, 0) : x R} R2.La topologa de subespacio es la topologa usual de R. En efecto,dado M abierto de R, M = R V para V abierto de R2. LuegoV = iIBi, donde cada Bi es una bola abierta; entonces

M = R (iIBi) = iI(R Bi)

y cada R Bi es un intervalo abierto o el , luego M es reunionde intervalos abiertos, i. e., M es abierto de la topologa usual.

2. Lo mismo sucede en R3 y Rn con la topologa usual, cuando consid-eramos alguno de sus subconjuntos. Por ejemplo, al dar topologaa las esferas Sn.

La siguiente proposicion dice como obtener una base para la topologainducida sobre A X a partir de una base para la topologa en X.Proposicion 1.15. Si B = {Bi}iI es una base para (X,T) entoncesD = {Bi A : Bi B} es una base de TA.

Demostracion. Veamos que tenemos un cubrimiento. Si x A entoncesx Bi para algun i y por tanto x Bi A. De otra parte, si x (Bi A) (Bj A), existe Bk Bi Bj lo que implica x (Bk A) (Bi A) (Bj A).

G. R

UBIA

NO


Un subconjunto abierto en (A,TA) no tiene por que serlo en (X,T).

Un subespacio A X cuya topologa de subespacio es la discreta sellama subespacio discreto de X. Esto es equivalente a decir que paracada punto a A existe un subconjunto abierto en X cuya interseccioncon A es solo el punto a.

EJEMPLO 1.22

En Ru, la topologa inducida sobre los enteros es la discreta; {n} esahora abierto en Z, pero no lo era en R. Por tanto, debemos tener ciertadiscrecion cuando hablamos de abiertos en el contexto de espacios osubespacios.As, Z es un subespacio discreto de R, mientras que Q pareciera quetambien lo es ya que entre cada par de racionales existe un numeroirracional; sin embargo, no lo es; de hecho, este subespacio es un ejemplode un espacio con propiedades interesantes.

EJEMPLO 1.23

Sea A = [0, 2] [3, 7) subconjunto de R y consideremos la topologainducida de Ru. El subconjunto [3, 7) es abierto en TA pero no lo es enRu.

EJEMPLO 1.24

Si B = { 1n : n 1}, la topologa inducida de Ru es la discreta. Siagregamos a B el punto 0 ya no obtenemos la discreta.

EJEMPLO 1.25

En R3u consideremos el siguiente subconjunto T llamado el toro (ver fig.1.6). Dados a > b, dos reales positivos, T esta formado por todas lastriplas de la forma

((a+ b cos)cos, (a+ b cos)sen, b sen)

cuando , varan en el intervalo [0, 2pi].

Notese que la parte

(a+ b cos, b sen) = (x(), y())

G. R

UBIA

NO


parametriza la circunferencia centrada en (a, 0) y radio b y enseguida loque hacemos es rotar esta circunferencia en torno al eje z, por medio de laecuacion (x()cos, x()sen, y()), la cual da una vuelta de radio x()para cada . Los elementos de la base para la topologa de T inducidapor la usual de R3, seran las intersecciones de las esferas sin borde deR3 con T (ver fig. 1.6).

Figura 1.5: Parametrizaciones interrumpidas para y para respectivamente.

Figura 1.6: Un abierto basico del toro.

EJEMPLO 1.26

Sea M33 o M3(R) el conjunto de todas las matrices reales de tamano33. Usando las 9 entradas (ai,j) en cada matriz como coordenadas paraun vector, podemos identificarM33 con R9. El subconjunto GL(3,R) R9 de las matrices invertibles es un espacio con la topologa de subespacio(ver ejemplo 2.7).

G. R

UBIA

NO


EJEMPLO 1.27

Aunque en R la topologa inducida por el orden usual coincide con latopologa usual, esto no sucede para los subespacios.

El conjunto A = (5, 7) [8, 10) tiene el orden usual de los numerosy la topologa T inducida por este orden es diferente a la topologausual TA inducida del orden usual de R. Por ejemplo, [8, 9) = (7, 9)Aes un abierto en la usual, pero no lo es en la inducida por el ordende A porque no corresponde a ningun intervalo de A, pues no existe8 (a, b) [8, 9).

EJEMPLO 1.28

Sobre el cuadrado A = I I = [0, 1] [0, 1] podemos considerar ycomparar tres topologas:

La topologa TII inducida por la usual de R2.

La topologa T inducida por su orden lexicografico.La topologa TII inducida del espacio (R

2,T) donde T es lainducida por el orden lexicografico de R2.

(a) (b)

p

p

Figura 1.7: (a) un abierto en TII , (b) un abierto en T.

Estudie la contenencia entre estas tres topologas (ver fig. 1.7).

G. R

UBIA

NO


Los anteriores ejemplos motivan la siguiente pregunta: cuando losabiertos de un subespacio son tambien abiertos para el espacio?

Proposicion 1.16. Sean (X,T) un espacio y A X. Entonces TA Tsi y solo si A es abierto.

Demostracion. Sea M TA es decir M = V A donde V T. ComoA T tenemos V A T.

Ejercicios 1.4

1. Como es la topologa de subespacio para S1 R2?2. En (R2, verticales), pag. 13 ej. 1, como son las topologas induci-

das sobre R {0} y {0} R?3. En Ru como son las topologas heredadas para Q y para A ={1/n | n N} {0}?

4. En (R2, lexicografico) como es la topologa inducida sobre la rectareal y sobre I I?

5. Sean (X,T) un espacio y A X. Muestre que F A es cerradoen (A,TA) si y solo si F es la interseccion de A con un subconjuntocerrado de X.

6. En X = {1, 2} N con el lexicografico, todo unitario es abiertoexcepto uno; de que punto se trata?

7. Y (X,) se dice convexo si para todo a, b Y con a < b elintervalo (a, b) Y . Muestre que en este caso las topologas TY yTY coinciden (ver ejemplo 1.28).

G. R

UBIA

NO2 Espacios metricos

En este captulo vemos los espacios metricos como una clase par-ticular de espacios topologicos. Por supuesto que los espacios metri-cos, en s mismos, son extremadamente importantes y dentro de lamatematica merecen su propio espacio y por supuesto su propio tex-to. La presentacion que aqu hacemos es con la finalidad de prepararnosmotivarnos, dar ejemplos para las futuras definiciones en topologaconcernientes a las nociones de cercana y lmite, pero no pretendemoshacer una exposicion tan siquiera incompleta.

Estos espacios el concepto fueron introducidos por el matematicofrances Maurice Rene Frechet (18781973) en 1906 y constituyeron unode los pasos decisivos en la creacion de la Topologa general. Se tratabade definir el concepto de distancia de la manera mas general posiblepara objetos matematicos de naturaleza no especfica no necesaria-mente puntos de Rn, curvas o funciones. Con tan pocas condiciones(ver siguiente definicion) Frechet pudo introducir de nuevo todas lasnociones topologicas introducidas hasta ese entonces para Rn, esto es,lmites, continuidad, vecindades para un punto, conjuntos abiertos, con-juntos cerrados, puntos de acumulacion, compacidad, conexidad, etc.

2.1. Metrica

Definicion 2.1. Una metrica d para un conjunto X es una funciond : X X R0 = [0,) toma valores en los numeros realespositivos que satisface las siguientes condiciones para todo x, y, z X:

1. d(x, y) = 0 si y solo si x = y,

2. d(x, y) = d(y, x),

28

G. R

UBIA

NO

2.1 Metrica 29

3. d(x, y) d(x, z) + d(z, y).

El numero d(x, y) se llama la distancia entre x y y. El par (X, d) se llamaun espacio metrico.

La desigualdad en 3, llamada la desigualdad triangular, nos re-cuerda el hecho de que la distancia mas corta entre dos puntos es laque se toma directamente entre ellos claro que el sentido del terminodistancia es algo que nosotros hemos definido por medio de d, a nuestroantojo.

Una consecuencia inmediata de 3 es

|d(x, y) d(z, y)| d(x, z) (2.1)

puesto que d(x, y) d(x, z) + d(z, y) implica d(x, y) d(z, y) d(x, z)e, intercambiando el papel de x por el de z, tenemos d(z, y) d(x, y) d(z, x), con lo cual

d(x, z) d(x, y) d(z, y) d(x, z). (2.2)

Dados (X, d), x X y > 0, el conjunto de puntos y tales que d(x, y) < lo llamamos la bola abierta B(x). (Ver definicion 2.8).

EJEMPLO 2.1

El conjunto R de los numeros reales, con la funcion d(x, y) = |x y| esun espacio metrico. Este ejemplo incluye su curso de calculo I en estetexto.La desigualdad triangular es en este caso |x y| |x z| + |z y|.Al reemplazar a = x z, b = z y tenemos la clasica desigualdad|a+ b| |a|+ |b|.

EJEMPLO 2.2

Sea X el conjunto de pueblos en un mapa vial escogido; si definimosd(x, y) como la longitud del camino mas corto entre todas las rutas quecomunican a x con y, tenemos que d es una metrica.

G. R

UBIA

NO

30 Espacios metricos

EJEMPLO 2.3

Metrica discreta. Si X es un conjunto cualquiera, la metrica discretase define como: para x, y X

d(x, y) :=

{1 si x 6= y,0 si x = y.

EJEMPLO 2.4

Dados x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) dos puntos en Rn defin-imos

d2(x,y) = |xy| = ((x1y1)2 +(x2y2)2 + +(xnyn)2)1/2. (2.3)

Esta metrica se llama distancia euclidiana la manera de medir usu-al. Para verificar la desigualdad triangular basta recordar las desigual-dades de:

Minkowski,(ni=1

(xi + yi)2) 1

2

(

ni=1

xi2

) 12

+

(ni=1

yi2

) 12

(2.4)

Bunjakovski-Cauchy-Schwartz,

ni=1

|xiyi| (

ni=1

xi2

) 12(

ni=1

yi2

) 12

(2.5)

Para obtener la desigualdad triangular, aplicamos la desigualdad deMinkowski:

d(x,y) + d(y, z) = |x y|+ |y z| |(x y) + (y z)| = |x z|= d(x, z).

Podemos generalizar del ejemplo anterior y definir una metrica dp en Rnpara cada numero real p 1 no necesariamente p = 2, i. e., tenemosuna coleccion infinita de metricas (ver fig. 2.4).

G. R

UBIA

NO

2.1 Metrica 31

dp(x,y) :=

(ni=1

|xi yi|p) 1

p

, p 1, (x,y Rn).

El espacio metrico resultante es notado por algunos autores como lnp ,de suerte que para el caso p = 2, que es la manera usual de medir enRn, notamos ln2 .

EJEMPLO 2.5

El espacio l de todas las sucesiones acotadas. Sea l el conjuntode todas las sucesiones acotadas de numeros reales, i. e., las sucesionesx = (x1, x2, ...) = (xn) tales que supn |xn|

G. R

UBIA

NO


EJEMPLO 2.7

Grupo lineal general GLn o GL(n,R). Denotemos por Mn(R) el con-junto de las matrices de tamano n n con entradas en R (ver ejemplo1.26).Si cada matriz A = (aij) se identifica con el punto

(a11, . . . , a1n, a21, . . . , a2n, . . . , an1, . . . , ann) Rn2

entonces GL(n,R) queda identificado con Rn2 y por tanto lo podemosver como un espacio metrico.

Una matriz A es invertible (multiplicacion) si existe una matriz Btal que AB = I = BA (donde I es la matriz identidad) o de maneraequivalente Det(A) 6= 0 (determinante distinto de cero).

En Mn(R) se distingue el subconjunto GL(n,R) o GLn(R) de lasmatrices invertibles. Por su sigla lo llamamos grupo lineal general.

Recordemos que At denota la transpuesta de A, donde las filas deAt son las columnas de A, esto es, (At)ij = Aji. Cada matriz define unafuncion A : Rn Rn como A(x) = Ax.

Una matriz A se llama ortogonal si es invertible con A1 = At, i.e., AAt = I.

EJEMPLO 2.8

On o O(n,R). El subconjunto On GLn de las matrices ortogonales,se llama grupo ortogonal y corresponde a las transformaciones linealesde Rn que preservan la longitud de los vectores, o de manera equivalentea las isometras de Rn que fijan el origen.Si A On, entonces det(A) {1,1} puesto que

det(A)2 = det(A)det(At) = det(AAt) = det(I) = 1.

EJEMPLO 2.9

El subconjunto SOn On de las matrices A On con det(A) = 1se llama grupo ortogonal especial y corresponde a las matrices quetienen determinante 1 y cuya inversa corresponde a su transpuesta. Estesubconjunto coincide con las rotaciones de Rn alrededor del origen.

G. R

UBIA

NO

2.1 Metrica 33

Para el caso 2dimensional n = 2 tenemos SO2. Dado un angulo definimos las matrices

R =(

cos sen sen cos

)S =

(cos sen sen cos

).

Estas matrices son ortogonales y det(R) = 1, det(S) = 1. Portanto R SO2 y S O2 SO2. Pero mucho mas, cualquier matrizA SO2 es de la forma R para algun y cualquier matriz A O2SO2es de la forma S para algun .

R representa una rotacion de medida en sentido contrario a lasmanecillas del reloj.

S representa una reflexion por la lnea que pasa por el origen enangulo /2 con respecto al eje x.

Una isometra de Rn es una funcion f : Rn Rn de la formaf(x) = Ax+ a para alguna matriz ortogonal A On y algun vector a Rn. Denotamos por Isomn el conjunto de tales funciones. Como lo indicasu nombre, una isometra f preserva distancias, esto es, d(f(x), f(y)) =d(x, y) para todo x, y Rn. De manera recproca, para cualquier funcionf : Rn Rn que preserva distancias existen A On y a Rn tal quef(x) = Ax+ a para todo x Rn.

Ejercicios 2.1

1. Dados (X, d),(Y,m) dos espacios metricos muestre que parax = (x1, y1), y = (x2, y2) con x, y X Y las siguientes fun-ciones definen metricas sobre X Y :

a)d2(x, y) := (d(x1, x2)2 +m(y1, y2)2)

12 . (2.6)

Sugerencia: para la desigualdad triangular apoyese en la sigu-iente desigualdad: Si a, b, c, x,y, z son numeros reales no neg-ativos con a b + c, x y + z, entonces (a2 + x2)1/2 (b2 + y2)1/2 + (c2 + z2)1/2.

b)d(x, y) := max {d(x1, x2),m(y1, y2)}. (2.7)

G. R

UBIA

NO


c)d(x, y) := d(x1, x2) +m(y1, y2). (2.8)

2. Generalice las metricas del ejemplo anterior para un producto fini-to de espacios metricos.

3. La metrica del mensajero. En el espacio euclidiano R2, defini-mos la metrica m del mensajero como m(p, q) := d2(0, p)+d2(0, q)donde 0 = (0, 0), p, q R2. Si p = q definimos m(p, q) = 0.El mensajero reparte en p, vuelve a la oficina en 0 y sale nueva-mente a repartir en q (figura 2.1). Como es B1(p), i.e., que puntospertenecen a esta bola?

p

q

Figura 2.1: La metrica del mensajero.

4. Sea X un conjunto no vaco. En XN definimos d, la metricaprimeriza o de Baire como: dadas dos sucesiones x = (x1, x2, . . .),y = (y1, y2, . . .) en X,

d(x,y) := 1/k, si xn = yn para todo n < k y xk 6= yk.

Es decir, k es la coordenada donde por primera vez las dos suce-siones difieren. Si xn = yn para todo n N, definimos d(x,y) = 0.Muestre que (XN, d) es un espacio metrico.

En el caso en que X = N obtenemos la coleccion de todas las sucesionesde numeros naturales (el cual tiene la misma cardinalidad que R) y,como curiosidad, este espacio no es mas que otra manera de describiral conjunto de los numeros irracionales va fracciones continuas.

5. De acuerdo con el ejercicio anterior, el conjunto {0, 1}N de todas lascuerdas o palabras infinitas formadas con el alfabeto {0, 1} es un

G. R

UBIA

NO

2.1 Metrica 35

espacio metrico. La distancia esta dada en terminos de la longitudk del primer prefijo que comparten.

Algunos autores prefieren tomar para este caso concreto {0, 1}N ladistancia d(x,y) :=

12k.

Veamos la desigualdad triangular para esta nueva metrica. Seana, b, c sucesiones y mostremos que

d(a, b) max{d(a, c), d(c, b)}.Sea k la longitud del mayor prefijo comun entre a y c, y sea m lalongitud del mayor prefijo comun entre c y b. Si n = mn{k,m},sabemos que las primeras n letras de a coinciden con las primerasn letras de c; y que las primeras n letras de c coinciden con lasprimeras n letras de b. As, las primeras n letras de a coincidencon las primeras n letras de b. Luego, el prefijo comun entre a yb tiene longitud al menos n.

Por tanto,

d(a, b) (1/2)n = (1/2)mn{k,m} (2.9)= max{(1/2)k, (1/2)m} (2.10)= max{d(a, c), d(c, b)}. (2.11)

Esta ultima ultradesigualdad implica la desigualdad triangular yaque

max{d(a, c), d(c, b)} d(a, c) + d(c, b).

6. Un espacio ultrametrico X es un espacio metrico (X, d) en elcual la metrica d satisface la ultra-desigualdad triangular:

d(x, z) max{d(x, y), d(y, z)}.a) Muestre que los dos ejercicios anteriores son ejemplos de es-

pacios ultrametricos.

b) En un espacio ultrametrico cualquier punto de una bola (verdefinicion 2.8) puede ser su centro, i. e., si y B(x) entoncesB(x) = B(y). Deduzca que dos bolas abiertas no disyuntasson comparables por la inclusion.

c) Una bola cerrada es un conjunto abierto. Kd) Una bola abierta es un conjunto cerrado.

G. R

UBIA

NO


7. Sean (X, d) un espacio metrico y A X. Muestre que la funciond restringida a A A define una metrica dA para A. Al espacio(A, dA) lo llamamos subespacio metrico.

8. En X = (N) defina d(A,B) = 0 si A = B, de lo contrario defina

d(A,B) =1k

donde k = mn{n : n (A B) (A B)}.

Sugerencia: d(A,B) 0 un numero real. Los conjuntos

B(x) = {y : d(x, y) < }, (2.26)B(x) = {y : d(x, y) }, (2.27)S(x) = {y : d(x, y) = } (2.28)

son respectivamente, la bola abierta, la bola cerrada y la esfera decentro en x y de radio en el espacio (X, d).

Figura 2.3: Bola abierta, bola cerrada y esfera en R2.

Figura 2.4: B1((0, 0)) para p = 1, 2, 7 en R3p.

EJEMPLO 2.16

En R32 una bola tiene efectivamente la forma de una bola usual; peroesto esta bien lejos de suceder cuando utilizamos en R2 otras metricasdiferentes a la usual, como en R31 y R37 (fig. 2.4) donde una bola puedetener otras formas, pero al fin bolas.

G. R

UBIA

NO

2.3 Topologa para una metrica 47

EJEMPLO 2.17

En el espacio (C([0, 1]), d) (ejemplo 2.13) las bolas abiertas tomanuna forma muy especial (fig. 2.5), son franjas abiertas llenas de todoslos segmentos continuos imaginables no se alza la mano del papel altrazarlos i. e., dados > 0 y f C(I,R), la bola B(f) consistede todas las funciones que permanecen estrictamente dentro del areaacotada por las funciones f , f + .

f +

f

f

Figura 2.5: Bola abierta en la metrica d para C([0, 1],R).

Contrario al caso anterior, para la metrica

d1(f, g) = 1

0|f(x) g(x)|dx (2.29)

sobre [0, 1], las bolas son muy difciles de imaginar.

Teorema 2.9. Si (X, d) es un espacio metrico, entonces el conjunto

B = {B(x) : x X, > 0} (2.30)de todas las bolas abiertas es base para una topologa en X.

Demostracion. Sean B(x), B(y) dos bolas y p B(x) B(y). Sir > 0 es tal que r < m, donde m = mn{ d(p, x), d(p, y)}, la bolaBr(p) esta contenida en la interseccion de las dos bolas dadas (fig. 2.6).En efecto, veamos primero que Br(p) B(x); a partir de la desigualdadtriangular tenemos que si d(t, p) < r entonces

d(t, x) d(t, p) + d(p, x)< r + d(p, x) d(p, x) + d(p, x) .

G. R

UBIA

NO


xp

y

Figura 2.6: Las bolas en un espacio metrico forman una base.

De manera similar se muestra la otra contenencia.

Definicion 2.10. La topologa T asociada a la base formada por la to-talidad de las bolas abiertas se llama topologa inducida o generadapor la metrica d, y la notamos T = d.

La definicion anterior nos permite crear una clase muy especial deespacios topologicos. Cuando un espacio topologico (X,T) tiene unatopologa tal que T = d para alguna metrica d, decimos que el espacio(X,T) es metrizable, o que su topologa proviene de una metrica.

Las preguntas obligadas son:

1. Todo espacio topologico es metrizable?

2. Pueden metricas diferentes inducir la misma topologa?

3. Como saber cuando un espacio es metrizable?

2.3.1. Metricas equivalentes

Una metrica induce una base, as que la pregunta 2 puesta en termi-nos de bases nos conduce a la siguiente definicion.

Definicion 2.11. Dos metricas d,m en un conjunto X se dicen topolo-

G. R

UBIA

NO


gicamente equivalentes notamos d m si generan la mismatopologa; esto es, d = m.

La primera contenencia d m de la igualdad d = m implicaque cada bola en d se puede expresar como una union de bolas en m, ylo recproco para la otra contenencia.

y

x

En terminos mas explcitos, dada Bd (x)una bola cuadrada en d y un punto ycon y Bd (x), es posible encontrar una bolaBm (y) redonda en m y de centro en yde tal manera que

y Bm (y) Bd (x).

Tambien debemos tener lo recproco para la otra contenencia. Porque podemos escoger la bola Bm (y) de suerte que resulte centrada en y?Mas aun, para la equivalencia topologica entre dos metricas nos pode-mos reducir a la respectiva contenencia de bolas centradas en el mismopunto; esto es, para cada x X dada Bd (x) existe Bm (x) Bd (x) yviceversa.

Definicion 2.12. Un espacio metrico (X, d) es acotado si la funciond es acotada. De manera mas general, dado A (X, d) definimos eldiametro de A como

diam(A) := sup{d(x, y) : x, y A}.

En caso que diam(A)

G. R

UBIA

NO


EJEMPLO 2.18

Dado el espacio metrico (X, d), definimos dos nuevas metricas:

1. e(x, y) := mn{1, d(x, y)}.

2. f(x, y) :=d(x, y)

1 + d(x, y).

Tanto e como f son metricas acotadas por 1, y lo que es aun mas intere-sante, d e y d f . En efecto, dada la metrica d y la metrica asociadae = mn{1, d} tenemos que para la bola Bdr (x) radio r en la metricad al tomar s = mn{1, r} se satisface Bes(x) Bdr (x). La otra inclusiones obvia. Para el caso f =

d

1 + des facil verificar que

Bf r1+r

(x) Bdr (x) y Bdr1r

(x) Bfr (x), r < 1.

Por tanto, toda metrica es topologicamente equivalente a unametrica acotada.

El ejemplo anterior muestra que el espacio topologico asociado a Xpor medio de las metricas d y e es el mismo. Luego la propiedad de aco-tamiento es exclusivamente metrica, que la perdemos cuando pasamos aestructuras mas generales, como es el caso de la topologica.

Definicion 2.13. Decimos que dos metricas d,m para un mismo conjun-to X, son metricamente equivalentes o fuertemente equivalentes(ver teorema 2.14) si existen dos numeros reales positivos s, t tales quepara todo par de puntos x, y X se satisface

d(x, y) sm(x, y) , m(x, y) t d(x, y). (2.31)

Teorema 2.14. Ser metricamente equivalentes implica ser topologica-mente equivalentes.

Demostracion. Sean d,m dos metricas que son metricamente equiva-lentes; por lo tanto, existen dos numeros s, t que satisfacen la definici-on 2.13. Dada la bola abierta Bd (x) tenemos que B

m/s(x) Bd (x) lo

cual muestra d m. Similarmente Bd/t(x) Bm (x) y por tantom d.

G. R

UBIA

NO


EJEMPLO 2.19

El recproco del teorema anterior no es cierto. Sabemos que toda metri-ca d es topologicamente equivalente a la metrica e = mn{1, d}; peroclaramente d, e no tienen por que serlo metricamente. Por ejemplo, en elcaso de Rnu no es posible encontrar s > 0 que satisfaga d(x, y) se(x, y)para todo par de puntos x, y Rnu. Sin embargo, la metrica e es metrica-mente equivalente a la metrica f =

d

1 + dpues tenemos la desigualdad

f e 2f .

Normas equivalentes. Para el caso de un espacio vectorial normado,decimos que dos normas 1, 2 son topologicamente o metricamente Kequivalentes si las respectivas metricas asociadas lo son. De otra parte,decimos que ellas son equivalentes si existen s, t R>0 tales que,

1 s 2 y 2 t 1 las notamos 1 2.

En este caso de los espacios normados no tenemos necesidad de distin-guir, como pasaba en los espacios metricos, entre distintas formas deequivalencia ya que estas tres definiciones de equivalencia son iguales,con lo cual podemos utilizar simplemente el adjetivo normas equiv-alentes. Mas aun, es posible demostrar que en un espacio vectorialnormado de dimension finita, todas las normas son equivalentes.

EJEMPLO 2.20

Las metricas ln1 , ln2 y l

n son topologicamente equivalentes. Para esto,basta mostrar la desigualdad

Br/

2(x) B1r (x) B2r (x) Br (x).

Para el caso del plano, al graficar las bolas B1((0, 0)) para cada una delas metricas dp, obtenemos la figura 2.7 donde, en la medida en que pcrece, obtenemos una deformacion continua del rombo de d1 al cuadradode d, en que la circunferencia en d2 no es mas que un paso en elcamino.

La justificacion de la notacion d para la metrica del sup la obtenemosdel siguiente lema.

G. R

UBIA

NO


-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Figura 2.7: B1((0, 0)) para p=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en R2p.

Lema 2.15. Para cada x = (x1, . . . , xn) Rn se tiene que

lmp xp = max{|x1|, . . . , |xn|} = x.

Demostracion. Es claro que

xp |x1|p + + |xn|p nxp. (2.32)Si a cada lado de la desigualdad elevamos a la potencia 1/p, obtenemos

x xp n1/px. (2.33)Como n1/p 1 cuando p, tenemos nuestro lmite. Notemos que ladesigualdad en 2.33 muestra que para cada p la norma p es equivalentea , con lo cual todas las p son equivalentes en Rn, esto es, inducenla misma topologa.

En la definicion de la metrica dp para los espacios Rn (ver recuadropag. 30) la condicion p 1 no debe pasar desapercibida, puesto que enel caso p < 1 no obtenemos una norma y por lo tanto no inducimos unametrica. Por ejemplo, para p = 1/2 y n = 2 la desigualdad triangularno se verifica en el caso de los puntos x = (1, 1), y = (0, 0), z = (1, 0)pues d(x, y) = 4 mientras que d(x, z) = d(z, y) = 1.

G. R

UBIA

NO


EJEMPLO 2.21

Una maquina para construir metricas equivalentes. Dados un espaciometrico (X, d) y una funcion f : R+ R+ estrictamente creciente, conf(0) = 0 y f(u+ v) f(u) + f(v), la compuesta f d es una metrica. Siademas f es continua en 0, las dos metricas f y f d son topologicamenteequivalentes.Verifiquemos, antes de todo, que m = f d definida como m(x, y) =f(d(x, y)) es una metrica.

1. m(x, y) es positiva por la definicion de f . Por ser f creciente ten-emos que f(d(x, y)) = 0 implica d(x, y) = 0 con lo cual x = y.Para la recproca de esta afirmacion recordemos que f(0) = 0.

2. La simetra en m es consecuencia de la simetra en d.

3. La desigualdad triangular,

m(x, z) = f(d(x, z)) f(d(x, y) + d(y, z)) f(d(x, y)) + f(d(y, z))= m(x, y) +m(y, z)).

Para verificar que las dos metricas nos llevan a la misma topologa,debemos tener las contenencias entre las respectivas bolas.Como f es continua en 0, dado > 0, existe > 0 tal que x < implicaf(x) < . Por tanto d(x, y) < implica m(x, y) = f(d(x, y)) < , lo cualno es mas que contenencia entre bolas.Por ser f creciente se verifica que si m(x, y) = f(d(x, y)) < f() entoncesd(x, y) < , con lo cual tenemos la otra contenencia entre las bolas.

A manera de ejemplo, notemos que las funciones

u (para > 0),u

1 + u, log(1 + u), mn{1, u}, arctanu

satisfacen las condiciones para f . Que metricas son inducidas por estasfunciones?

G. R

UBIA

NO


1

x y

Para el caso X = R con la metri-ca usual del valor absoluto, y la fun-cion f(u) = arctanu tenemos que sucompuesta produce la metrica

f(d(x, y)) = | arctanx arctan y|.

Esta nueva metrica mide el angulo(medido en radianes) entre las rec-tas descritas por la figura en estecaso se restan, pero si x y y tienen

diferente signo entonces se suman. Es una metrica acotada por pi, yademas resulta ser topologicamente equivalente con la usual ya que lafuncion f es continua en 0.

En el sentido contrario a como hemos desarrollado esta ultima sec-cion, obtenemos una pregunta que ha influenciado el desarrollo de laTopologa: dado un espacio topologico (X, T) existe una metrica d paraX tal que la topologa T sea inducida por d? El estudio de la metriz-abilidad, es decir, la busqueda de condiciones necesarias y/o suficientespara que una topologa provenga de una metrica, es un captulo abiertoa la investigacion con sus propios teoremas, algunos de ellos clasicos enla literatura matematica.

Ningun espacio topologico (X,T) donde X es un conjunto finito y T noes la discreta, es metrizable. En otras palabras, si (X, d) es metricocon X finito, siempre tenemos que d = discreta.

Ejercicios 2.3

1. Muestre que la relacion de equivalencia topologica para las metri-cas es en efecto una relacion de equivalencia.

2. Como son las bolas en la metrica del mensajero? ver pag. 34.

3. A partir de la definicion de elipse en la metrica usual, como es unaelipse, una circunferencia, una recta para la metrica del taxista?

4. Dados dos espacios metricos (X,m), (Y, n) muestre que las metri-cas d1, d2, d (ejercicio 1 de 2.1) son equivalentes.

G. R

UBIA

NO


Sugerencia: para todo par de puntos x, y X Y se verificad(x, y) d2(x, y) d1(x, y) 2d(x, y).

5. Generalice el problema anterior para un producto finito cualquierade espacios metricos.

6. Muestre que toda metrica sobre un conjunto finito genera la topologadiscreta.

7. De un ejemplo de una metrica sobre un conjunto enumerable queno genera la topologa discreta.

8. Ya hemos definido la metrica d del sup para el conjunto de lasfunciones continuas C([0, 1],R). Pero la notacion nos lleva a con-jeturar la existencia de toda la gama de metricas dp para p 1notamos Cp[0, 1] = ((C[0, 1],R), dp) que mide la distancia en-tre dos funciones f, g asignandoles el numero

dp(f, g) :=( 1

0|f(x) g(x)|p

) 1p

.

El estudio de estas metricas se sale de las pretensiones de estetexto. Pero para el caso concreto de p = 1, 2 muestre que efectiva-mente se trata de metricas y que

a) d * d2.b) d2 d.c) d1 * d.d) d * d1.

Sugerencia caso a: Para la desigualdad triangular en d2 apoyeseen la desigualdad de Schwartz( b

af(t)g(t)dt

)2 baf2(t)dt

bag2(t)dt.

Para negar la contenencia considere la sucesion de funciones con-tinuas {gn} figura 1.5 definidas como

gn(x) =

{1 nx si 0 x 1n0 si 1n x 1

G. R

UBIA

NO


1n

14

13

12

1

1 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

x

y

Figura 2.8: Las funciones gn.

Note que cada gn tiene un segmento de recta en el eje X cada vezmas largo. Es facil ver que

d2(0, gn) =

1

3n

mientras que d(0, gn) = 1. Luego la bola B1/2(0) en d de centrola funcion nula y con radio 1/2, no contiene a ninguna gn, con locual, no existe en d2 alguna bola centrada en la funcion nula, quepueda estar contenida en B1/2(0) ya que 1/3n 0 cuando n.Sugerencia caso c: tome = .

Sugerencia caso d : considere la sucesion de funciones continuas{gn} definidas como

gn(x) =

{4nx+ 4 si 0 x 12n2 si 12n x 1.

Para la funcion constante f(x) = 2 verifique que cada gn B11n

(f)

y gn / B1 (f).Esta contenencia no se tiene, pues siempre podemos encontrar fun-ciones g tales que su integral (area bajo la curva) sea tan pequenacomo queramos y sin embargo tengan una punta tan larga comoqueramos.

G. R

UBIA

NO3 Bases y numerabilidad

Un espacio (X,T) puede poseer muchas bases, siendo la mayor detodas la misma T. Cuando en un espacio tenemos en cuenta la cardinal-idad de las bases, motivamos las siguientes definiciones, cuyos nombresresponden mas a un caracter historico que descriptivo.

3.1. 2-contable

Definicion 3.1. Un espacio (X,T) se dice 2-contable si entre sus basesexiste alguna con un numero enumerable finito o infinito de elemen-tos.

Esta condicion impone una cota al numero de abiertos en la topologa(ver ejercicio 12 de la pag. 63). Tambien nos dice que la topologapuede ser descrita en terminos de un numero contable de piezas deinformacion.

EJEMPLO 3.1

Ru es 2-contable. Por supuesto la base formada por todos los intervalosabiertos no es enumerable, pero de ella podemos extraer la subfamiliaenumerable

B = {(p, q) : p < q, p, q Q}.Esta subfamilia es de nuevo una base verifquelo! y es enumerableya que su cardinal es el mismo de QQ.

EJEMPLO 3.2

(R, cofinitos) no es 2-contable.

57

G. R

UBIA

NO

58 Bases y numerabilidad

Supongamos que existiera una base enumerable B = {B1, B2, . . .}. Ca-da Bn es un abierto y por tanto Bcn es finito, con lo cual

i=1B

cn =

(i=1Bn)

c es un conjunto enumerable, luego existe un elemento y n=1Bn y como R {y} es un abierto, debe existir un j N para el

cual Bj esta contenido en el, pero esto es imposible ya que para todon N se tiene y Bn.

EJEMPLO 3.3

X = (RN, primeriza) no es 2-contable (ver ej. 4 de la pag. 34).

Recordemos que en este espacio lo que importa es el comportamientoinicial de las sucesiones, a diferencia de lo usual en sucesiones, dondeimporta el comportamiento final. Si existiera una base B = {B1, B2, . . .},por cada n N tomamos un elemento (i. e., una sucesion) tn = (tnk)k=1 Bn. As, la sucesion {tn1}n=1 esta formada por la primera coordenada decada sucesion tn.Construimos ahora una sucesion q = (qn) en la cual q1 6= tn1 para cada n,con lo que la primera componente de q es diferente de la primera com-ponente de cada una de las sucesiones tn, lo que implica tn / B1/2(q)para todo n, puesto que al diferir q y tn en su primera componente, yaestan lo mas lejanas posible, esto es d(q, tn) = 1. As que ninguna Bnde la base puede estar contenida en B1/2(q).

EJEMPLO 3.4

El espacio H de Hilbert es 2-contable.

Definimos una base B enumerable de la manera siguiente.

Sea D = Dn, (n N) dondeDn := {(xn) H, xn Q : si k > n entonces xk = 0}.

D esta constituido de todas las sucesiones en H formadas por numerosracionales y a la larga constantes a cero. D es enumerable. Definimos

B := {Br(d) : d D, r Q}.

B es enumerable. Para verificar que B es una base, probaremos quecualquier abierto U H es reunion de bolas en B. En efecto, dado

G. R

UBIA

NO

3.2 1-contable 59

t = (tk) U existe una bola B(t) U . Ahora veamos que podemosencontrar una bola Br(q) (q D, r Q) con la propiedad que t Br(q) B(t). Como t H, sabemos que

k=1 t

2k es convergente y por

tanto existe un termino xN en la sucesion, a partir del cual la suma dela serie es menor que 2/9, esto es

k=N+1

t2k < 2/9.

De otra parte, para cada k = 1, 2, . . . , N existe qk Q tal que

|qk tk| < 2

9N,

y por tanto q = {q1, q2, . . . , qN , 0, 0, 0, . . .} verifica que d(q, t) < /3.Notese que t B2/3(q) B(t). Sea r Q con /3 < r < 2/3,

entonces t Br(q) B(t), pues si d(z, q) < r entonces

d(z, t) d(z, q) + d(q, t) 2/3 + /3 = .

3.2. 1-contable

El concepto de base para un espacio lo podemos localizar en un puntotener una definicion local de la manera siguiente.

Definicion 3.2. Sean (X,T) un espacio y x X. Decimos que Bx Tes una base local para x si dado U T con x U , existe B Bx tal quex B U .

Los conceptos de base y base local estan relacionados por la siguienteproposicion.

Proposicion 3.3. Sea (X,T) un espacio. B T es una base si y solosi para cada x X el conjunto Bx = {B B : x B} es base local enx.

Demostracion. ) Sea U X un conjunto abierto con x U . Por ladefinicion de base, existe B B con x B U , pero por la definicionde Bx tenemos B Bx.) B = xX Bx es una base.

G. R

UBIA

NO


La clase de espacios topologicos que a continuacion definimos es masamplia que la de los espacios metricos, y tendra un comportamientoideal cuando hagamos referencia a conceptos topologicos en los cualesintervenga la nocion de convergencia de sucesiones.

Y lo que es mas, en esta clase de espacios 1-contables las sucesionesresultan ser adecuadas para describir la topologa.

Definicion 3.4. Un espacio (X,T) se dice 1-contable o que satisfaceel primer axioma de enumerabilidad1 si cada punto del espacio poseeuna base local enumerable.

EJEMPLO 3.5

Todo espacio metrico es 1-contable. Dado x X, la familia de las bolasabiertas

Bx = {B 1n

(x) : n N},es una base local en el punto x.

EJEMPLO 3.6

Todo espacio 2-contable es 1-contable. Si B T es una base enumerablepara un espacio (X,T) y p X, el conjunto Bx = {B B : p B} esuna base local y enumerable en p.

EJEMPLO 3.7

El espacio de Sorgenfrey (R, [a, b)) es 1-contable. Dado x R el conjuntoBx = {[x, q) : q Q, q > x} es una base local enumerable. Muestre queno es 2-contable.

EJEMPLO 3.8

El espacio Tp del ejemplo 1.11 puede ser generado por una base consti-tuida por dos clases de elementos: cualquier conjunto unitario diferentede {p}, o el complemento de cualquier conjunto finito de puntos. Esteespacio falla en ser 1-contable tan solo por uno de sus puntos. Sea X unconjunto no contable y p un elemento elegido en X. Esta topologa paraX no admite una base local enumerable en el punto p pruebelo.

1Esta clasificacion se debe al matematico estadounidense Robert L. Moore (Dallas,Texas 1882 -1974 Austin, Texas) en 1916 en su intento por dar fundamento a latopologa en una serie de axiomas. Moore es reconocido por su manera inusual deensenar con un metodo llamado hoy por su nombre.

G. R

UBIA

NO

3.2 1-contable 61

Definicion 3.5. Dados un espacio (X,T) y un cubrimiento abierto U T, decimos que D U es un subcubrimiento para U si D es de nuevo uncubrimiento abierto de X. Podemos descartar elementos en U.Teorema 3.6 (Lindelof2). Sea (X,T) un espacio 2-contable. De cadacubrimiento abierto U de X podemos extraer un subcubrimiento contable.

Demostracion. Sea B = {B1, B2, . . .} una base para X. En B consider-amos el siguiente subconjunto de ndices:

S = {n : Bn U, algun U U}.

Sabemos que la coleccion enumerable C = {Bn : n S} cubre a X, puesdado x X, existe U U con x U . Como B es base, existe Bk Bcon x Bk U , luego k S y por tanto Bk C y as x

C.Por cada n S elegimos Un U tal que Bn Un. Definimos D

el subcubrimiento contable como D := {Un : n S}. Claramente C D y por tanto D es un cubrimiento de X y D U .Demos nombre a la propiedad anterior.

Definicion 3.7. Un espacio (X,T) se dice de Lindelof o w-compactosi cada cubrimiento abierto de X se puede reducir a uno enumerable.

EJEMPLO 3.9

(R, coenumerables) es de Lindelof y no es 2-contable.

EJEMPLO 3.10

(R, [a, b)) es de Lindelof y no es 2-contable. Dado un intervalo [q, s) conq irracional, solo otro intervalo de la forma q [q, a) con a < s puedecontener al punto q y estar contenido en [q, s). por tanto, toda base debetener un cardinal mayor o igual al cardinal de los numeros irracionales.

2 4

2Ernst Leonard Lindelof (1870-1946), matematico finlandes, nacido en Helsinki.

G. R

UBIA

NO


Corolario 3.8. Si el espacio (X,T) es 2-contable, entonces es de Lin-deloff.

Corolario 3.9. Sea (X,T) un espacio 2-contable. Entonces cualquierbase Q = {Qi : i I} se puede reducir a una base enumerable. Esto es,no tan solo existe una base enumerable en el espacio, sino que cualquierase puede reducir a una enumerable.

Demostracion. Sea B = {B1, B2, . . .} una base para X. Por ser Q unabase, cada elemento Bn B se puede escribir como Bn =

iI Qi, (Qi

Q) y esta coleccion se puede reducir a una contable para cada Bn, puesdado x Bn existe Qx Q tal que x Bx Qx Bn. Bx B y lacoleccion {Bx : x Bn} es claramente contable y por tanto tambien loes la coleccion Qn = {Qx : Bx Qx}. Al variar n en Bn, obtenemos unacoleccion enumerable de enumerables Qn, la cual es una base.

Ejercicios 3.2

1. Muestre que Rnu es 2-contable.

2. Dada Bx = {B1, B2, . . .} una base local en x. Muestre que podemosconstruir {B1 , B2 , . . .} base local en x, tal que B1 B2 , estoes, existe una base local encajada.

3. Muestre que (R, [a, b)) no es 2-contable.

4. Sean T1,T2 dos topologas para X tales que T1 T2. Si T2 es2-contable (Lindeloff) puede inferirse que T1 lo sea?

5. Muestre que la topologa (X, cofinitos) en cualquier espacio metri-co (X, d) es menos fina que la topologa inducida por la metrica.

6. Muestre que la topologa (X, cofinitos) es la topologa menos finaque es T1.

7. (R2, lexicografico) es 2-contable?

8. (I I, lexicografico) es 1-contable y no es 2-contable.9. (R, cofinitos) es 1-contable?

10. (N, cofinitos) es 2-contable?

G. R

UBIA

NO

3.2 1-contable 63

11. Cuales de los espacios considerados en los ejercicios 8, 9, 10 sonde Lindelof?

12. Si (X,T) es 2-contable entonces |T| |R| = 20 .13. Si (X,T) es 2-contable y T0 entonces |X| |R| = 20 .14. Muestre que si el espacio (X,T) es 1-contable y |X| = 0 entonces

el espacio es 2-contable.

15. El espacio de Arens-Fort (pag. 22, ejercicio 15 de 1.3) no es 1-contable ya que no es 2-contable. Pruebelo!

16. Muestre que las propiedades 2-contable y 1-contable son heredi-tarias.

17. Muestre que en espacio metrico (X, d) las propiedades de 2-contabley Lindelof son equivalentes.

Sugerencia: para cada n N, considere el cubrimiento abierto con-sistente en todas las bolas de radio 1/n. La propiedad de Lindelofdice que lo podemos reducir a uno enumerable Bn. Muestre queB = nBn es una base enumerable.

18. Muestre que si un espacio tiene un subespacio discreto no contableentonces no es 2-contable. Utilice este resultado para mostrar que(I I, lexicografico) no es 2-contable.Sugerencia: considere A = {(x, y) : y = 1/2}.

G. R

UBIA

NO4 Funciones comunicaciones entre

espacios

Hasta aqu hemos definido y tenemos lo que podramos llamar losobjetos de nuestra teora, es decir, as como en la teora de conjuntoslos objetos principales son los conjuntos, no basta el que ellos existanpara que la teora sea valorada: necesitamos contar con un medio o unamanera de relacionar los conjuntos entre s, esto es, requerimos las flechasde las funciones, para que as podamos llegar a conceptos como los decardinalidad, infinito, isomorfismo, producto cartesiano, etc.

Por tanto necesitamos de flechas o medios de comunicacion entrenuestros espacios topologicos. Como ellos primariamente son conjuntos,nuestras flechas, en su base, seran funciones entre estos conjuntos. Perodebemos enriquecerlas en el sentido que tengan en cuenta la estructuratopologica adicional que hay en cada espacio; por eso, requerimos fun-ciones con un adjetivo como lo da la siguiente definicion.

4.1. Funciones continuas

Definicion 4.1. Sea f : (X,T) (Y,H) una funcion entre espacios.Dado a X decimos que f es continua en a si dada una vecindad Vf(a)en Y existe una vecindad Ua en X tal que f(Ua) Vf(a).

Si f es continua en cada punto de X, decimos que f es continua.

EJEMPLO 4.1

La definicion de continuidad del calculo coincide con esta definicioncuando a los numeros reales les damos la topologa usual.

64

G. R

UBIA

NO

4.1 Funciones continuas 65

La anterior definicion puntual de continuidad es equivalente a lasiguiente definicion dada exclusivamente en terminos de abiertos.

Teorema 4.2. f : (X,T) (Y,H) es continua si y solo si para cadaV H se tiene que f1(V ) T, i. e., f1(H) T.

Demostracion. ) Sea f continua y V un elemento de H; para verque f1(V ) es abierto, lo expresaremos como una union de abiertos.Sea x f1(V ), por ser f continua existe Ux abierto tal que f(Ux)esta contenido en V , luego Ux f1(V ) y as

f1(V ) ={Ux | x f1(V )}.

) Sean x X y V H tales que f(x) V . Como x f1(V ) T y f(f1(V )) V , tenemos que f es continua en x, y como x fuecualquiera, f es continua.

Para verificar la anterior caracterizacion de continuidad es suficienteque verifiquemos la condicion f1(B) T para una base B cualquierapor que?; mas aun, f1(S) T de una subbase S cualquiera.

K

Por supuesto la continuidad no es algo que dependa exclusivamentede la funcion en s; las topologas son determinantes como lo muestranlos siguientes ejemplos.

EJEMPLO 4.2

1. Cualquier funcion f : (X, 2X) (Y,H) es continua.2. Cualquier funcion f : (X,T) (Y, {, X}) es continua.3. La funcion identica id : R R, donde las topologas respecti-

vas son la usual y la de complementarios finitos es una funcioncontinua, pero no lo es si invertimos las topologas.

4. La funcion identica idX : (X,T) (X,H) es continua si y solosi T es mas fina que H.

5. Toda funcion constante es continua.

6. La funcion f(x) = x es continua para Ru pero no para (R, [a, b)).

G. R

UBIA

NO

66 Funciones comunicaciones entre espacios

Para el caso de los espacios metricos la definicion de continuidad adoptala siguiente forma, mas familiar en terminos de distancias.

Sean (X, d), (Y,m) dos espacios metricos. f : X Y es continuaen el punto a de X si y solo si para todo > 0 existe > 0 tal que,si x X satisface d(a, x) < entonces m(f(a), f(x)) < . En otraspalabras,

x Bd (a) implica f(x) Bm (f(a)).

Un tipo de continuidad mas fuerte que la usual se define para losespacios metricos de la manera siguiente.

Definicion 4.3. Sean (X, d), (Y,m) dos espacios metricos. Una funcionf : X Y se llama uniformemente continua si para cada > 0,existe > 0 tal que si d(x, y) < entonces m(f(x), f(y)) < .

En otras palabras, dado cualquier > 0, existe > 0 dependi-endo unicamente de , con lo que es uniforme para todos los puntosx X a diferencia de la continuidad usual tal que para cualquierx X, f(B(x)) B(f(x)).

EJEMPLO 4.3

Sean (X, d), (Y,m) dos espacios metricos. f : (X, d) (Y,m) se lla-ma Lipschitziana con factor de contraccion k si para todo par depuntos x, y X se tiene

m(f(x), f(y)) k d(x, y) con k > 0.

f es uniformemente continua. Dado > 0 tomemos = /k. Parad(x, y) < se tiene que m(f(x), f(y)) kd(x, y) < k < . Si k = 1,esto es, m(f(x), f(y)) = d(x, y) decimos que f es una isometra escontinua e inyectiva. Si f es sobreyectiva entonces f1 es una isometracon lo que los espacios resultan homeomorfos.

EJEMPLO 4.4

Por supuesto toda funcion uniformemente continua es continua. Pero locontrario no se tiene:

Una funcion tan simple como f : Ru Ru definida por f(x) = x2 escontinua pero no lo es uniformemente. En ef

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topologia rubiano