Topologia General Dario Sanchez

TOPOLOGIA GENERAL

José Darío Sánchez Hernández Bogotá-Colombia, Junio del 2005

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El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuación encontrarámás de cien resultados básicos, entre los cuales se hallan definiciones, teoremas, corolarios yalgunos ejemplos, es posible que encuentre la manera de volver a redactar algunos, entonceshágalo de forma que los pueda recordar después. Para las demostraciones es indispensable el usode una biblioteca con un buen número de textos de topología general, en esta forma el estudianteutiliza tácticas de investigación y empleará la biblioteca. Luego encontrará resultados en donde seha dado una posible demostración, la cual se supone es correcta, sin descartar la posibilidad deque haya algunos errores; el lector deberá revisarlas analizando cual de los resultados básicos sehan utilizado en la prueba.

§1. RESULTADOS BASICOS

1ÞUna métrica en un conjunto es una función que asocia a cadaQ . À Q ‚Q d

par de puntos un número real llamado la distancia del punto alBß C − Q . Bß C Bpunto de tal modo que:C ESM . si " . Bß B œ !ß . Bß C !ß B Á C

ESM .# . Bß C œ . Cß B ESM . cualquiera que sean $ . Bß D Ÿ . Bß C . Cß D à Bß Cß D − QÞ

ì Qß . Q .Un espacio es un par formado por un conjunto y una métrica METRICOen .Qì \ QTodo subconjunto de un espacio métrico posee una estructura natural deespacio métrico. Basta definir la distancia entre dos puntos como la mismaBß C − \distancia entre ellos considerados como puntos de . La métrica así definida en Q \se llama la en por .METRICA INDUCIDA \ Qì Qß . E § Q B − Q BSea un espacio métrico y no vacío, se define la distancia de a porE . BßE œ 380Ö. Bß + à + − E×

si entonces B − E . BßE œ !Þ

2. Sea un subconjunto no vacío de un espacio métrico . Cualesquiera que seanE Q

Bß C − Q se tiene l. BßE . CßE l Ÿ . Bß C

ì Bß Cß D − QCualesquiera sean , se tiene l. Bß D . Cß D l Ÿ . Bß C

ì E F QSi , son dos subconjuntos no vacíos de , se define la distancia entre ellospor

Darío Sánchez H. 2TOPOLOGIA GENERAL

. EßF œ 380Ö. +ß , à + − Eß , − F×

ì 0 À Q R Q RUna aplicación de un espacio métrico en un espacio métrico , sellama una i nmersión isométrica cuando . 0 B ß 0 C œ . Bß Ccualesquiera sean . Si además, es una aplicación de sobre , entoncesBß C − Q 0 Q R

se dice que es una o una isometría entre y .0 Q Risometría de sobre , Q R

ì Qß .En un espacio métrico se denomina bola abierta con centro yα − Q

radio al siguiente subconjunto de < !ß Q

U αß < œ ÖB − QÎ. +ß B <×

ì +ß , QDados dos puntos distintos en un espacio métrico , entonces existen enQ + , dos bolas disyuntas con centros en y , respectivamente. (Más adelante sedirá que todo espacio métrico es un espacio de Hausdorff).ì \Un conjunto de un espacio métrico se dice limitado o acotada cuandoexiste un número real tal que cualquiera que sean . El< ! . Bß C Ÿ < Bß C − \

menor de esos números se conoce con el nombre de del conjunto < \diámetro y se representa por $ $ 9\ œ ÞÖ. Bß C à Bß C − \×à œ !Þsupì 0 À \ Q \ QUna función de un conjunto en un espacio métrico se llamalimitada o acotada cuando es un conjunto limitado o acotado de . En0 \ Qparticular si posee una métrica limitada esto es, entonces todaß Q Q ∞$aplicación es limitada o acotada.0 À \ Qì \ßQ œ Ö0 À \ QÎ0 ×Sea es limitada e introduzcamos una métricaU

definiendo la distacia entre dos aplicaciones limitadas como:0ß 1 À \ Q . 0ß 1 œ ÞÖ. 0 B ß 1 B à B − \ ×supì Una seudométrica en un conjunto es una función real tal queQ . À Q ‚Q d

y . Bß C œ . Cß B !ß . Bß B œ ! . Bß D Ÿ . Bß C . Cß D

para cualesquiera sean .Bß Cß D − Qì Una seudométrica es una métrica si y sólo si siempre que .. Bß C ! B Á C

ì Qß . Q .Un espacio seudométrico es un par , donde es un conjunto y es unaseudométrica en .Q

3 . Sean una aplicación de un espacio métrico en un espacio métrico0 À Q R Q

R + Q 0 y un punto de . Se dice que es continua en el punto , cuando dado+

arbitrariamente un número , es posible determinar otro número tal que% $ ! !

. Bß + . 0 B ß 0 + Þ$ % implica que ì 0 À Q RDiremos, simplemente, que es continua si es continua en todos0los puntos de QÞ

ì 0 À Q R Q RSea una de un espacio métrico en un espacio métrico ,aplicación una es una función tal que paracontracción débil . 0 B ß 0 C Ÿ . Bß C

cualesquiera Bß C − Qì La compuesta de dos aplicaciones continuas es continua.ì 0 À Q R \ § QSea una aplicación continua. Para cada subconjunto , larestricción es continua.0l À \ Q\


ì 0 À Q ‚R T + − Q , − RSea una función continua. Para cada y cada lasaplicaciones parciales y definidas por y0 À R T 0 À Q T ß 0 C œ 0 +ß C+ , +

0 B œ 0 Bß ,, son continuas.ì I À I ‚ I ISea un espacio vectorial real normado. Las aplicaciones yα7 À d ‚ I I Bß C œ B C 7 ß B œ † B, dadas por y son continuas. También esα - -continua la función real definida por .0 À d Ö!× d 0 > œ "

>

ì 0 ß 1 À Q d QÞSean funciones reales continuas en un espacio métrico La suma0 1 0 1 0 † 1 Q, la diferencia , y el producto son funciones reales continuas en .Además de eso si es el conjunto de los puntos tales que , el\ § Q B − Q 1 B Á !

cociente es una función continua.01

ì 0 À \ Q ‚â‚Q \Una aplicación de un conjunto en el producto cartesiano" 8

de los conjuntos equivale a dar aplicacionesQ ßáßQ 8" 8

tales que , 0 À \ Q ßá ß 0 À \ Q 0 B œ 0 B ßá ß 0 B B − \Þ" " 8 8 " 8

Las aplicaciones se llaman las aplicaciones coordenadas de .0 À \ Q 03 3

4 . Sean espacios métricos. Una aplicaciónQßQ ßQ ßá ßQ" # 8

0 À Q Q ‚Q ‚â‚Q + − Q" # 8 es continua en el punto si y solamente si, cadauna de las coordenadas es continua en el punto .0 À Q Q +3 3 ì 0 À Q T ß 1 À R USean aplicaciones continuas. Entonces, la aplicación: :À Q ‚R T ‚U Bß C œ 0 B ß 1 C definida por es continua.ì Un HOMEOMORFISMO es una aplicación continua y biunívoca de un espacio0 À Q R

métrico sobre un espacio métrico , tal que su aplicación inversa Q R 0 À R Q"

también es continua. En este caso, es un homeomorfismo.0"

ì La compuesta de homeomorfismos también es un homeomorfismo.ì Q R Q RSi existe un homeomorfismo de sobre , los espacios y se dicenhomeomorfos.ì F +ß < d dLa bola de es homeomorfa a todo . Como la translación y las8 8

homotecias son homeomorfismos, basta observar que la bola esF !ß "homeomorfa a , tomando como ; la cual tiene ad 0 À F !ß " d 0 B œ8 8 B

"lBl

1 À d F !ß " 1 C œ 0ß 18 C"lCl, donde , como inversa y son continuas. Lo mismo es

verdadero en un espacio vectorial normado .Iì 0 À Q R 0 K 0 œ Ö Bß 0 B à B − Q×Sea una aplicación, el gráfico de es . Con lamétrica inducida por el gráfico es homeomorfo a Q ‚R K 0 QÞ

5.Sean y métricas definidas en el mismo conjunto . Decimos que es más. . Q .w

fina que notamos este hecho por cuando la aplicación. . ¢ .w w

3. À Qß . Qß .w

es continua.ì . . Q . ¢ .Sean y métricas definidas en el mismo conjunto , si y sólo si, paraw w

cada cualquier bola abierta de centro en según contiene alguna bola+ − Qß + .w

abierta de centro según + .Þ

ì .ß . Q . µ .Dos métricas en el mismo conjunto se dicen equivalentes cuandow w

. ¢ . . ¢ .w w y . En otras palabras cuando la aplicación identidad


3. À Qß . Qß .w

es un homeomorfismo.ì . .Las métricas y son equivalentes si y sólo si, toda bola abierta según unaw

cualesquiera de esas métricas contiene otra bola de mismo centro según la otramétrica.ì 7ß 8 ! . Bß C Ÿ 8. Bß C . Bß C Ÿ 7. Bß CSi existen números reales tales que y w w

cualesquiera sean los puntos entonces las métricas y sonBß C − Q . .w

equivalentes.La recíproca de esta afirmación es falsa, para eso tome en la métricad. Bß C œ lB C lß . d 7ß 8w $ $ w es equivalente a la métrica usual de y no existen talesque y .. Bß C Ÿ 8. Bß C . Bß C Ÿ 7. Bß Cw w

ì Qß . Rß . 0 À Q RSean y espacios métricos y una aplicación biunívoca. Sea"

. 0 Q . Bß C œ . 0 B ß 0 C Bß C − QÞw w" la métrica inducida por en , esto es, ,

Entonces y son equivalentes si y sólo si, es un homeomorfismo de . . 0 Qw

sobre .0 Qì Qß . Rß . 0 À Q RSean y espacios métricos y una aplicación biunívoca. La"

métrica definida en por es equivalente a Q Bß C œ . Bß C . 0 B ß 0 C .Þ3 "

ì Qß . . Bß C œSea un espacio métrico. La métrica nos da una pruebaw w . BßC". BßC

de que todo espacio métrico es homeomorfo a un espacio métrico acotado, pues. Bß C " Bß C − Qww cualquiera que sean .6. Sean espacios vectoriales normados y una aplicación lineal. LasIß J 0 À I J

siguientes afirmaciones son equivalentes: ) es continua3 0 ) es continua en el punto 33 0 ! − I

) existe un número tal que 333 7 ! l0 B l Ÿ 7lBlß aB − I

ì 0 À I J I JUna aplicación lineal biunívoca de sobre es un homeomorfismo siy sólo si, existen números reales , tales que para7 !ß 8 ! 8lBl Ÿ l0 B l Ÿ 7lBl

todo B − IÞ

ì l l l l IDos normas y en un espacio vectorial son equivalentes si y sólo si,"

existen números reales tales que y cualquiera7ß8 ! lBl Ÿ 8 † lBl lBl Ÿ 7 † lBl" "

que sea .B − I

7. Un subconjunto de un espacio métrico se dice E Q abierto si para cada + − E

existe tal que si y , entonces .% % ! B − Q . Bß + B − E

ì F +à < QToda bola abierta en un espacio métrico es un subconjunto abiertode .Qì Ð\àQÑ œ Ö0 À \ Q à 0 \ ×Indicaremos con es un conjunto acotado con laµ

métrica siendo un espacio métrico.. 0ß 1 œ ÞÖ. 0 B ß 1 B à B − Q×ß Qß .supì QßR Q RSean espacios métricos, las aplicaciones de en que estan a unadistancia finita de y que son discontinuas en un punto dado , forman un0 + − Qsubconjunto abierto del espacio .µ0 QàR

ì QàRLas aplicaciones discontinuas pertenecientes a forman un subconjuntoµ0

abierto de este espacio.


ì Q \ § Q E § \Sean un espacio métrico y un subespacio. Un subconjunto esw

abierto en si y sólo si, donde es un subconjunto abierto de .\ E œ E ∩\ß E Qw

ì \ § Q E § \ \ ESea abierto. Un subconjunto es abierto en si y sólo si esw w

abierto en .Q

8. Sean espacios métricos. Para que una aplicación sea continua, esQßR 0 À Q R

necesario y suficiente que la imagen inversa de todo subconjunto abierto0 E" w

E § R Qw , sea un subconjunto abierto de .ì 0 À Q R + − QPara que la aplicación sea continua en un punto es necesario ysuficiente que para cada abierto , con , exista un abierto E § R 0 + − E E § Qßw w

con tal que + − Q 0 E § E Þw

ì Q ßá ßQ E § Q ßá ßE § QSean espacios métricos y subconjuntos abiertos." 8 " " 8 8

Entonces es un subconjunto abierto del producto cartesianoE ‚E ‚â‚E" # 8

Q ‚Q ‚â‚Q Þ" # 8

ì 0 ßá ß 0 À Q R + ßá ß + − RSean aplicaciones continuas y . El conjunto de los" 8 " 8

puntos tales que es abierto en . Si B − Q 0 B Á + ßá ß 0 B Á + Q 0 ßá ß 0 À Q d" " 8 8 " 8

son funciones reales continuas el es aún unÖB − Qà 0 B !ßá ß 0 B !×" 8

subconjunto abierto .Qì 0 À Q R E § QUna aplicación que transforma cada subconjunto abierto en unsubconjunto abierto es llamada una 0 E § R aplicación abierta.ì Q R 2 À Q R QSean y espacios métricos y una aplicación biunívoca de sobreR 2 Q. La condición necesaria y suficiente para que sea un homeomorfismo de sobre es: Para cada es abierto en si y sólo si, es abierto en .R \ § Qß 2 \ R \ Qì . . Q . .Sean y métricas en el mismo conjunto . Para que y sean equivalentesw w

es necesario y suficiente que los espacios métricos y posean losQß. Qß .w

mismos subconjuntos abiertos.ì Q œ Q ‚â‚QSea un producto cartesiano de espacios métricos. Cada" 8

proyección es una aplicación continua abierta.: À Q Q 3 œ "ß #ßá ß 8<3 3

9. Una topología en un conjunto es una colección de subconjuntos de \ \T llamados (según la topología) satisfaciendo las siguientes condicionesabiertos ET : y el subconjunto vacío ø son abiertos" \ ET : La reunión de una familia cualquiera de subconjuntos abiertos es un#

subconjunto abierto. ET : La intersección de una familia finita de subconjuntos abiertos es un$

subconjunto abierto.ì \ß \Un espacio topológico es una pareja donde es un conjunto y es una T Ttopología en .\ì 0 À \ ] \ ]Una aplicación de un espacio topológico en un espacio topológico ,de dice cuando la imagen inversa de todo abierto es uncontinua 0 F F § ]"

subconjunto abierto de .\

ì Sean y espacios topológicos. Una aplicación es continua, si y sólo\ ] 0 À \ ]

si, es continua en cada punto .0 D − \


ì 2 À \ ] \Un , de un espacio topológico sobre un espaciohomeomorfismotopológico es una aplicación continua y biunívoca de sobre cuya inversa] \ ]2 À ] \" es también continua.ì \ Un espacio topológico se dice cuando es posible definir unametrizablemétrica en tal que los abiertos definidos por de acuerdo con la métrica,. \ .ßcoincidan con los abiertos de la topología de .\Nota. No todo espacio topológico es metrizable, por ejemplo con ø\ß œ Ö\ß ×T Tno es metrizable.10. Sean y dos topologías en el mismo conjunto Diremos que es másT T T w \Þ

fina que cuando esto es cuando todo abierto según es necesariamenteT T T Tw w wäbierto según .Tì \Dadas las topologías y en un conjunto , para que sea más fina que esT T T Tw w

necesario y suficiente que la aplicación identidad sea continua.3 À \ß \ßT Tw

ì Para que dos métricas y en el mismo conjunto definan la misma. . Qw

topología es necesario y suficiente que ellas sean equivalentes.ì 0 À \ ] \ ]Una aplicación , de un espacio topológico en un espacio topólogico se dice cuando, para cada abierto es abierto en .abierta E § \ß 0 E ]ì 0 À \ ] \Una aplicación biunívoca , de un espacio topológico sobre el espaciotopológico es un homeomorfismo si y sólo si, es continua y abierta.]ì \EH. Un espacio topológico es llamado un espacio de Hausdorffo espacio separado cuando, dados dos puntos arbitrarios en , existenB Á C \

abiertos , tales que y , ø.E F § \ B − Eß C − Fß E ∩ F œì Un espacio métrico es un espacio de Hausdorff, por tanto todo espaciometrizable es un espacio de Hausdorff, la recíproca es falsa.ì \Resulta de la definición EH que en un espacio de Hausdorff , para cada puntode , el conjunto es un abierto de . La recíproca es falsa, porB − \ \ ÖB× \

ejemplo, tome , un conjunto infinito con la topólogia de los complementos de\los subconjuntos finitos de , aquí es abierto y no es Hausdorff ni\ \ ÖB× \ßTmetrizable.11. Sea una aplicación de un conjunto arbitrario en un espacio0 À W \ W

topólogico . La colección de las imágenes inversas de los abiertos\ 0 ET "

E § \ 0 W por la aplicación es una topología en . La topología así construida esTllamada, en por la aplicación topología inducida W 0 À W \Þ

ì 0 À W \La topología inducida por es la dentro de todas lasmenos finatopologías en que dejan a la aplicación continua.W 0 À W \ì W § \ 3 À W \ E § \Sea , la inclusión es tal que, si es un abierto, se tiene que3 E œ E ∩ W 3 W" ; de modo que la topología inducida por en tiene por abiertos lasintersecciones de los abiertos con el subconjunto . con éstaE ∩ W E § \ W Wtopología es llamado un del espacio topológico .subespacio \ì \ U À \ USean un espacio topológico, un conjunto cualquiera y una:aplicación de en . Indiquemos por la colección de los subconjuntos \ U F § UTtales que es abierto en . es una topológia en llamada :" F \ UT co-inducidapor la aplicación .:


ì ULa topología es la más fina topología en con la propiedad deco-inducidadejar la aplicación continua.: À \ Uì \ß^ 1 À U ^ß 0 À \ U USean espacios topológicos donde posee la topologíaco-inducida por . Entonces es una aplicación continua si sólo si,0 1 À U ^1 ‰ 0 À \ ^ es continua.ì À \ U USean y con la topología co-inducida. Entonces con respecto a la:

topología co-inducida es un esto es, los puntosU \: subespacio discreto, son abiertos.12. Sea un espacio topológico y una aplicación de sobre un\ À \ U \:

conjunto . Para todo se tiene , pero dado en generalU X § U Ò X Ó œ X W § \: :"

cuando no es sobre, apenas se tiene .: : :"Ò = Ó ¨ W

ì W § \Un subconjunto se dice relativamente a cuandosaturado :: :"Ò W Ó œ W.ì W WEl menor conjunto saturado que contiene a es llamado el de .saturamientoì U À \ USupongamos ahora que tiene la topología co-inducida por . Entonces,:para todo , el conjunto es abierto en si y sólo si, su saturamientoW § \ W U:: :"Ò W Ó \es abierto en .ì \ I \Sea un espacio topológico y una relación de equivalencia en . En elconjunto cociente de por la relación , consideremos la topología co-U œ \ÎI \ I

inicial dada por la aplicación canónica , que asocia a cada la: À \ \ÎI B − \

clase de equivalencia que lo contiene. Esta es la en .topología cociente \ÎI

El espacio topológico es el espacio cociente de por la relación .\ÎI \ I

: es llamada aplicación cociente.ì \ ] 0 À \ ] ]Sean , espacios topológicos y una aplicación continua sobre . Sedefine la relación por: . Consideremos la aplicaciónI BIB Í 0 B œ 0 Bw w

cociente , existe una única aplicación tal que: À \ \ÎI 0 À \ÎI ]

0 B œ 0 B 0 À \ÎI ]: . No siempre es un homeomorfismo. Para que eso setenga es necesario y suficiente que la topología de sea co-inducida por .] 0ì 0 À \ ] \ ]Si es una aplicación continua y abierta de sobre , entonces latopología de es co-inducida por .] 0ì 0 À \ ] Una aplicación es un cuando todo puntohomeomorfismo local B − \ Y 0 Y œ Z ] 0 pertenece a un abierto tal que es abierto en y es unhomeomorfismo de sobre .Y Zì I \Dada una relación de equivalencia en un espacio topológico , la aplicacióncociente es abierta si y sólo si, el saturamiento de todo: : :À \ \ÎI Ò E Ó"

subconjunto abierto , es aún abierto.E § \ì À \ \ÎI ICuando es una aplicación abierta, la relación de equivalencia se:

dice una relación abierta.13. Una , o simplemente, una en un espacio topológico base de abiertos base \

es una colección de subconjuntos abiertos de llamados µ \ abiertos básicoscon la siguiente propiedad: Todo subconjunto se expresa como reunión deE § \

abiertos pertenecientes a .F E œ F- -Š ‹∪-

µ


ì \ \Sea un espacio topológico. Una colección de abiertos de constituyen unaµbase de si y sólo si, para cada abierto y cada punto existe un\ E § \ B − Econjunto tal que .F − B − F § EB Bµì \Sea una colección de subconjuntos de un conjunto , para que sea unaµ µbase de una topológia sobre es necesario y suficiente que se cumplan las\siguientes condiciones: para cada , existe tal que " B − \ F − B − Fµ si donde entonces existe tal que# B − F ∩ F F ßF − F −" # " # µ µB − F § F ∩F F ∩F − Þ" # " # (esta condición se cumple en particular cuando )µ

ì \ ß\ ßá ß\ \ œ \ ‚â‚\Sean espacios topológicos. En el conjunto " # 8 " 8

producto de los , consideremos la colección , formado por los\3 µ abiertoselementales E œ E ‚â‚E E § \ ßá ßE § \" 8 " " 8 8 donde son abiertos. Como E ‚â‚E ∩ F ‚â‚F œ E ‚F ∩â∩ E ‚F" 8 " 8 " " 8 8

se sigue que es base de una topología en , llamada .µ \ topología productoì \ œ \ ‚â‚\La topología producto en tiene las siguientes propiedades:" 8

Las proyecciones son continuas y abiertas.+ Dado un espacio topológico , una aplicación con, ^ 0 À ^ \0 D œ 0 D ßá ß 0 D , − ^" 8 , es continua en el punto si y sólo si, cada coordenada0 œ : ‰ 0 À ^ \ ,3 3

<3 es continua en el punto .

Si son metrizables, entonces es metrizable y su topología- \ ßá ß\ \" 8

puede ser determinada por cualquiera de las tres metricas usuales en el producto.14. Sea un subconjunto de un espacio topológico . Un punto se llamaW \ B − W

punto interior de cuando existe un abierto de tal que .W E \ B − E § W

ì W 38> W œ W‰

El interior de es el conjunto formado de todos los puntos interioresde .Wì W \El interior de un conjunto , en un espacio topológico , es la reunión de todoslos subconjuntos abiertos de que estan contenidos en . En particular, es\ W 38> Wabierto en .\ì W W œ 38> W es abierto si y solamente si .ì B − \ BUn punto tiene interior vacío si y sólo si, es un punto aislado.ì P I P Á ITodo subespacio vectorial de un espacio vectorial normado , con , tieneinterior vacío.ì \ ZEn un espacio topológico se dice que un conjunto es una de unvecindad

punto cuando . Esto quiere decir naturalmente que contieneB − \ B − 38> Z œ Z Z‰

un abierto que contiene a como elemento.Bì + E \ Un conjunto es abierto en un espacio topológico si y sólo si, es unavecindad de cada uno de sus puntos., \ ] 0 À \ ] Sean , espacios topológicos. Una aplicación es continua en el

punto si y sólo si, para cada vecindad del punto en existe una+ − \ Z 0 + ]vecindad del punto en tal que .Y + \ 0 Y § Z


ì W \La de un subconjunto de un espacio topológico es un conjuntofronterafr W B − \ B formado por todos los puntos tales que toda vecindad de contienepuntos de y del complementario , esto es,W \ W

.fr W œ ÖB − \à B Â 38> \ W • B Â 38>W× œ W ∩ WC\

ì 38> W œ W § W Si ø entonces .frì ] \ ] B \ Sea un espacio topológico, un subespacio de y un punto de . Lasvecindades de son las intersecciones donde es una vecindad de B Z ∩ \ Z Ben .]

15. Un subconjunto de un espacio topológico se dice cuando suJ \ cerradocomplementario es abierto.\ Jì J \ A fin de que sea un subconjunto cerrado de , es necesario y suficiente quepara cada exista un abierto con , esto es, yB − \ J Y B − Y § \ J B − YB B B Y ∩ J œB ø .ì \ Los subconjuntos cerrados de un espacio topológico gozan de las siguientespropiedades: El conjunto vacío ø y el espacio entero son cerrados." \

La intersección de una familia cualquiera # J œ J ÖJ ×∩-

- - - A−

finita o infinita de subconjuntos cerrados es un subconjunto cerradoJ § \-

de .\ La reunión de un número finito de subconjuntos$ J œ J ∪â∪ J" 8

cerrados es un subconjunto cerrado de .J ßá ßJ § \ \" 8

ì \ ] 0 À \ ] Sean y espacios topológicos. Para que una aplicación sea continuaes necesario y suficiente que la imagen inversa de todo subconjunto0 J" w

cerrado sea un subconjunto cerrado en .J § ] \w

ì 0 À \ ] \ ] 0 Sea una aplicación biunívoca de sobre . A fin de que sea unhomeomorfismo es necesario y suficiente que la siguiente condición seasatisfecha: Dado , es cerrado en si y sólo si, es cerrado en .T § \ 0 T ] T \ì \ B \ En un espacio de Hausdorff , todo punto es un subconjunto cerrado de . Larecíproca es falsa, como ejemplo tome la topología de los complementos finitossobre un espacio infinito .\ì 0 À \ ] \ß ] Una aplicación espacios topológicos se dice cuandocerradala imagen de todo subconjunto cerrado es un subconjunto cerrado de0 J J § \] .ì \ ] ] Sean , espacios topológicos, un espacio de Hausdorff. El gráfico de unaaplicación continua es un subconjunto cerrado0 À \ ]

G J œ Ö Bß 0 B − \ ‚ ] à B − \×

del espacio producto .\ ‚ ]ì \ Q 0 À \ Q Sea un espacio topológico y un espacio métrico. Dada , lasaplicaciones que estan a una distancia finita de y son continuas en un punto0dado forman un subconjunto cerrado del espacio .+ − \ \àQµ0


ì \àQ Las aplicaciones continuas forman un subconjunto cerrado de . Enµ0

particular, las aplicaciones continuas acotadas forman un subconjunto cerrado deµ \àQ .16. Sea un subconjunto de un espacio topológico , un punto se diceW \ B − \

adherente a cuando toda vecindad de en contiene por lo menos unW B \punto de .W

ì \ W El conjunto de los puntos de que son adherentes a es llamado la cerradurao de y es indicado por . adherencia W W

ì B − W E \ B − E Así si y sólo si, para todo abierto del espacio con implicaE ∩ W Á ø.ì W § W W § \ Evidentemente, cualquiera que sea .ì W \ La adherencia de un subconjunto en un espacio topológico , es laintersección de todos los subconjuntos cerrados de que contienen a .\ Wì J § \ J œ J es cerrado si y solamente si .ì W \ La adherencia de un conjunto en un espacio topológico es el menorsubconjunto cerrado de que contiene a . Más exactamente\ W es cerrado en " W \ # W ¨ W si es un subconjunto cerrado de que contiene a , entonces .$ J \ W J ¨ Wì \ ] Sea un subespacio de un espacio topológico . La adherenciarelativamente a de un subconjunto es la intersección de con la\ W § \ \

adherencia de en .W ] W œ \ ∩ WŠ ‹\ ]

ì W Qß . B − W Sea un subconjunto de un espacio métrico . Entonces si y sólo si,. Bß W œ !.ì J Qß . Para que un subconjunto de un espacio métrico sea cerrado escondición necesaria y suficiente que implique que .. Bß J œ ! B − J

17. Dados dos subespacios cerrados distintos en un espacio métrico ,J ßK Qß .

existe una función real continua tal que si si : :À Q Ò!ß "Ó B œ

!ß B − J"ß B − Kœ

Š ‹Basta definir : B œ . BßJ. BßJ . BßK

ì J ßK Qß . Sean subconjuntos cerrados disyuntos en un espacio métrico .Existen abiertos en tales que y ø.Yß Z Q J § Yß K § Z Y ∩ Z œ

ì \ Un espacio topológico se llama cuando dados dos cerradosnormal J K § \ J ∩K œ Yß Z § \ J § Y K § Z, , con ø existen abiertos con , yY ∩ Z œ ø.ì Todo espacio topológico métrizable es un espacio .normalì \TEOREMA DE URYSOHN: En todo espacio normal , dados dos cerrados disyuntosJ ßK À \ Ò!ß "Ó, existe siempre una función real continua tal que:

si si : œB œ

!ß B − J"ß B − K


ì J ßK \Sean subconjuntos cerrados disyuntos en un espacio topológico . Unafunción continua con , es llamada una : : :À \ Ò!ß "Ó J œ ! K œ " función deUrysohn del par .J ßK

ì W § \ W ¨ W es cerrado si y solamente si .fr18. Sea un subconjunto de un espacio topológico . Un punto es llamadoW \ B − \

un de cuando toda vecindad de en contienepunto de acumulación W Z B \algún punto , distinto del punto . El conjunto de todos los puntos de= − W B

acumulación de se llama y es indicado con .W Wderivado w

ì \ W § \ß W œ W ∪ W Sea un espacio topológico. Para todo subconjunto se tiene .wì J § \ Un conjunto es cerrado si y sólo si, contiene todos sus puntos deacumulación.ì W § \ W Si no posee puntos de acumulación, entonces, todo subconjunto de escerrado en .\ì \ B − \ Sea un espacio de Hausdorff. Para que un punto sea de acumulación deun subconjunto es necesario y suficiente que toda vecindad de contengaW § \ Buna infinidad de puntos de .Wì En un espacio de Hausdorff, todo conjunto finito tiene derivado vacío.ì \ W En un espacio de Hausdorff , el derivado de cualquier subconjunto escerrado, esto es, .W ¨ Ww ww

19. Un espacio topológico se llama cuando y ø son los únicos\ \conexo subconjuntos simultáneamente abiertos y cerrados.ì \ Un espacio topológico es si y solamente si, no puede ser expresadoconexo como reunión de dos subconjuntos abiertos, disyuntos y no vacíos.ì W Un conjunto es abierto y cerrado simultáneamente si y sólo si, su frontera esvacía.ì Todo intervalo de la recta es un espacio conexo.ì Todo subconjunto conexo de la recta es un intervalo.ì W 0 À \ ] La imagen de un conjunto conexo por una aplicación continua , es unconjunto conexo 0 W Þ

ì \ 0 À \ d Sean un espacio topológico conexo y una función real continua. Laimagen es un intervalo.0 \ì 0 À Ò+ß ,Ó d Ò+ß ,Ó Sea una función real continua definida en el intervalo . Si0 + - 0 , B − Ò+ß ,Ó 0 B œ - entonces existe tal que .ì \ 0 À M \ M Un en un espacio topológico es una aplicación , donde escamino el intervalo cerrado . Los puntos y son llamados los extremosÒ!ß "Ó + œ 0 ! , œ 0 "

del camino , es el punto inicial y el punto final.0 + œ 0 ! , œ 0 "ì \ Un espacio topológico se dice cuandoconexo por camino o por arcos,dados dos puntos cualesquiera existe siempre un camino con+ß , − \ 0 À M \0 ! œ + 0 " œ , y .ì I W § I Sea un espacio vectorial normado, un subconjunto se dice convexocuando, dados dos puntos cualesquiera el segmento de recta+ß , − WÒ+ß ,Ó œ Ö " > + >,à ! Ÿ > Ÿ "× W está enteramente contenida en .


20. Si los caminos en el mismo espacio topológico son tales que0ß 1 À M \ \

0 " œ 1 ! 0 ” 1 À M \, se puede definir un camino , del siguienteyuxtapuestomodo

si si 0 ” 1 > œ

0 #> ß ! Ÿ > Ÿ

1 #> " ß Ÿ > Ÿ "

"#

"#

ì Todo espacio topológico conexo por arcos, es conexo.ì La recíproca de la afirmación anterior es falsa, tome como ejemplo el llamadoespacio peinilla, esto es, la reunión en de los siguientes conjuntos:d#

"Ñ N œ Ö Bß ! à ! Ÿ B Ÿ "× El segmento unitario del eje de las abscisas,#Ñ N œ Ö ß C à ! Ÿ C Ÿ "× segmentos verticales unitarios , levantados sobre los8

"8

ˆ ‰puntos de los cuales tienen abscisa de la forma N ß 8 − ß"

8

$Ñ + œ !ß el punto ˆ ‰"#

ì \ W \ Sea un espacio topológico y un subconjunto de se dice cuandodensoW œ \ W \. Si es además conexo, también es conexo.ì W \ W § X § W Sea un subconjunto conexo del espacio topológico . Si entoncesX es conexo.ì W § d 2 À W d W 0 W 0 W Si , es un homeomorfismo de sobre entonces tiene#

interior vacío en . Procediendo por absurdo se llega a que un intervalo esd#

homeomorfo a un disco, lo cual es contradictorio.poì N § d 0 À N d Sea un intervalo. Una función continua es un homeomorfismo deN 0 N 0 sobre si y solamente si es estrictamente monótona.ì ÖW × Sea una familia de subconjuntos conexos de un espacio topológico. Si- -

existe un punto , común a todos los , entonces es conexo.B W W œ W! - -∪-

ì \ La reunión de todos los subconjuntos conexos de un espacio topológico quecontienen un punto es un conjunto conexo el cual llamaremosB − \ GB

componente conexa de en el espacio.Bì \ La componente conexa es un subconjunto conexo maximal de .GB

ì Toda componente conexa es un conjunto cerrado.GB

ì \ es conexo, si y solamente si, es la componente conexa de cada uno de suspuntos.ì Nótese que el conjunto de los números racionales es un espacio no discreto.

21. Un espacio topológico se dice totalmente disconexo cuando sus únicos\

subconjuntos conexos son ø y sus puntos. Esto equivale a decir que suscomponentes conexas son puntos.ì \ B − \ Un espacio topológico se dice cuando para todo ylocalmente conexotoda vecindad de , existe una vecindad conexa de tal que .Y B Z B Z § Yì El conjunto de los números racionales no es conexo ni localmente conexo.ì Todo espacio vectorial normado es localmente conexo, pues toda bola esconexa.ì Un espacio conexo puede no ser localmente conexo, tome por ejemplo elespacio peinilla.


ì \ A fin de que un espacio topológico sea localmente conexo es necesario ysuficiente que para cada abierto , las componentes conexas de seanE § \ Esubconjuntos abiertos de .\ì B Una de un punto en un espaciocomponente conexa por caminos topológico es la reunión de todos los subconjuntos conexos por caminos de \ \que contienen a .Bì \ Un espacio topológico se dice cuandolocalmente conexo por caminospara todo y toda vecindad de existe una vecindad de conexa porB − \ Y B Z Bcaminos con .Z § Yì \ \ Sea un espacio localmente conexo por caminos. Si por otra parte es conexoentonces también es conexo por caminos.ì G \ W § \ Sea un subconjunto conexo de un espacio topológico . Si para algún ,se tiene que ø y ø entonces ø. O sea si unG ∩ W Á G ∩ \ W Á G ∩ W Á

‰ frconjunto conexo contiene un punto interior de y un punto fuera de ,G W Wentonces contiene algún punto de la frontera de .G W

22. Límites: En un espacio métrico para una sucesión , se tiene queQ ÖB × § Q8 8

B œ B Elim8Ä∞

8 si y solamente si, para todo subconjunto abierto conteniendo al puntoB 8 8 8 B − E, existe un índice tal que si implica que . En este caso se dice que! ! 8

la sucesión es y que a .ÖB × B8 8 convergente convergeì \ B œ B Z En un espacio métrico , si y solamente si para cada vecindad dellim

8Ä∞8

punto existe un indice tal que para todo .B 8 B − Z 8 8! 8 !

ì Q En un espacio métrico , una sucesión convergente posee un único límite.ì ÖB ß B ßá ß B × Q Para que una sucesión en un espacio métrico , posea una" # 8ßá

subsucesión convergente para un punto es necesario y suficiente que toda+ − Qvecindad de contenga términos con índices arbitrariamente grandes.+ B 88

ì B + ÖB × + Si , entonces toda subsucesión de converge para .8 8 8−

ì + − Q B + 8 − Sea un punto aislado. Entonces si y sólo si, existe tal que8 ! B œ + 8 88 ! para todo .ì Q Toda sucesión convergente en un espacio métrico es acotada. La recíproca esfalsa.ì E Q Dado un subconjunto no vacío acotado , de un espacio métrico , existensucesiones de puntos tales que . (Nótese queB ß C − E . B ß C œ E8 8 8 8

8Ä∞lim $

ÖB × ß ÖC ×8 8 8 8 no necesariamente son sucesiones convergentes). Análogamente,dado existe una sucesión de puntos con .+ − Q + − E . + ß + œ . +ßE8 8

8Ä∞lim

Finalmente, dados , existen sucesiones de puntos conEßF § Q + − Eß , − F8 8

. + ß , . EßF8 8 .ì T œ Ö!ß "ß ßá ß ßá× Sea con la métrica inducida de la recta. Dada una sucesión‡ " "

# 8

ÖB × Q B œ B − Q8 8 88Ä∞

en un espacio métrico , se tiene si y sólo si, la aplicaciónlim

0 À T Qß 0 œ B ß 0 ! œ B‡ "8 8ˆ ‰ definida por es continua.

ì Q œ Q ‚â‚ Q Sea un producto de espacios métricos. Dar una sucesión" 5

ÖB × Q 5 ÖB × Q á ÖB ×8 8 8" 8− " 85 8− en equivale a dar sucesiones coordenadas en , , en


Q B œ B ß B ßá ß B + œ + ß + ßá ß + − Q5 8 8" 8# 85 " # 5 de modo que . Sea , se tienelim lim8Ä∞ 8Ä∞

8 83 3B œ + 3 œ "ß #ßá ß 5 B œ + si y sólo si, para cada se tiene .

23. Sean y espacios métricos. Para que una aplicación sea continuaQ R 0 À Q R

en el punto es necesario y suficiente que si en entonces + − Q B + Q 0 B 0 +8 8

en RÞ

ì 0 À Q R + − Q B + Para que sea continua en el punto es suficiente que si en8

Q Ö0 B × R implique que sea convergente en .8 8−

ì 0 À Q R Para que sea continua es necesario y suficiente que la imagenÖ0 B × ÖB × Q R8 8− 8 8− de toda sucesión convergente en , sea convergente en .ì 0 À Q R + − Q A fin de que sea continua en el punto es suficiente que paratoda sucesión en convergente para , entonces la sucesión imagenÖB × Q +8 8−

Ö0 B × 0 +8 8− admita una subsucesión convergente a .ì W Q B − W Q Sea un subconjunto de un espacio métrico . Para que en esnecesario y suficiente que sea límite de una sucesión de puntos .B B − W8

ì B − Q W B œ B B − W Un punto pertenece a la frontera de si y sólo si, , ylim8Ä∞

8 8

B œ C ß C − Q Wlim8Ä∞

8 8 .ì 0ß 1 À Q R W § Q 0 B œ 1 B Sean aplicaciones continuas. Dado si para todoB − W 0 B œ 1 B B − W entonces para todo .ì J Q Para que un subconjunto de un espacio métrico sea cerrado es necesario ysuficiente que él contenga el límite de toda sucesión de puntos .B − J8

ì Q E § Q Sea un espacio métrico. Para que un subconjunto sea abierto esnecesario y suficiente que si toda sucesión que converge para un puntoÖB ×8 8−

+ − E B − E 8, se tenga que para todo suficientemente grande.8

ì Q B − Q Sea un espacio métrico. Para que sea punto de acumulación de unsubconjunto es necesario y suficiente que exista una sucesión de puntosW § QB − W B Ä B B Á B 7 Á 88 8 7 8con y para .24.Sucesiones de funciones. Sea un conjunto cualquiera y un espacio métrico.\ Q

Se dice que una sucesión de aplicaciones converge para0 À \ Q8 simplemente una aplicación cuando, para cada , la sucesión0 À \ Q B − \Ö0 B ß 0 B ßá ß 0 B ßá× 0 B − Q 0 B − Q" # 8 8 de puntos converge para el punto .ì 0 Ä 0 B − \ ! Así simplemente, si y solamente si, para cada y cada existe8 %

un número positivo tal que implica .8 œ 8 Bß 8 8 Bß . 0 B ß 0 B ! ! ! 8% % %ì 0 Ä 0 ! Se dice que uniformemente, si y sólo si, cuando dado es posible8 %

obtener (dependiendo sólo de ) tal que implica 8 œ 8 8 8 . 0 B ß 0 B ß! ! ! 8% % %para todo .B − \ì 0 Ä 0 0 Ä 0 Si uniformemente, entonces simplemente, la recíproca es falsa.8 8

ì 0 Ä 0 8 0 Si uniformemente, entonces para todo suficientemente grande, está8 8

a una distancia finita de y en el espacio . Recíprocamente si0 0 Ä 0 \àQ8 0µ

0 Ä 0 \àQ 0 08 0 8 en entonces converge uniformemente para .µ

ì 0 À \ Q El límite de una sucesión uniformemente convergente de aplicaciones 8

es una aplicación acotada 0 À \ Q


ì 0 Ä 0 0 Ä 0 Se tiene que uniformemente si y sólo si, como puntos del espacio8 8

µ \àQ .ì 0 Ä 0 0 0 Si simplemente, entonces se puede tener cada acotada sin que lo8 8

sea.Tome para cada , la función dada por8 − 0 À d d 8

0 œ Ê 0 Ä 0 À d d 0 B œ B 0 0! lBl Ÿ 88 lBl 88 8 8œ para

para > dada por . Cada es acotada, no.

ì \ Q Ö0 × Sean un espacio topológico, un espacio métrico y una sucesión de8 8−

funciones de en convergiendo uniformemente para una aplicación .\ Q 0 À \ QSi cada es continua en un punto dado entonces es continua en el0 + − \ 08

punto .+ì \ Q Dados un conjunto y un espacio métrico , fijamos una colección deGpartes de . Se dice que una sucesión de aplicaciones converge para\ 0 À \ Q8

una aplicación de cuando, para0 À \ Q uniformemente en los subconjuntos Gcada , la sucesión de las restricciones converge uniformementeW − 0 l À W QG 8 W

para la restricción . Esto significa que para cada y cada 0l À W Q W − !W G %

existe un entero tal que implica para todo8 œ 8 Wß 8 8 . 0 B ß 0 B ! ! ! 8% %B − W.ì 0 À Q R 0 À Q Dada una sucesión de aplicaciones continuas y una aplicación 8

R B − Q Z 0 l, supongamos que cada punto posea una vecindad tal que converge8 Z

uniformemente (esto es, converge uniformemente para , localmente)0 08

entonces es continua.0 À Q Rì 0 À d d - 0 - Sea una función y un número real. Se dice que tiene límite eninfinito cuando, para cada , existe tal que implica .% % ! 5 ! lBl 5 l0 B -l

Se escribe entonces .limlBlÄ∞

0 B œ -

ì 0 Ä 0 W ßá ßW § \ Si uniformemente en cada uno de los subconjuntos 8 " 5

entonces uniformemente en .0 Ä 0 W œ W8 3∪3 œ "

5

ì 0 Ä 0 W 0 Ä 0 Si uniformemente en , entonces uniformemente en cualquier8 8

parte de .W

25.Límite de una función.- Sea una aplicación del espacio métrico en0 À Q R Q

el espacio métrico . Dado un punto se dice que el punto es el límiteR + − R , − Rde cuando tiende para , y escribimos cuando todo existe0 B B + , œ 0 B !lim

BÄ+%

$ $ % ! . Bß + . 0 B ß , tal que implica .ì E \ 0 À E ] Sean un subconjunto del espacio topológico , una aplicacióndefinida en y tomando valores en un espacio topológico y un punto deE ] + − E\ E , − ] 0 B B, adherente al conjunto . Diremos que el punto es límite de cuando tiende para si para cualquier tal que implica+ Z − , ß bY − B B − Y ∩ Eµ µ0 B − Z , œ 0 B. Se escribe entonces .lim

BÄ+

ì ] Cuando el espacio es Hausdorff, se tiene unicidad cuando el límite existe.


ì Qß R E § Q 0 À E R + − E Sean espacios métricos, , y . Para que exista, œ 0 B 0 B œ , B − Elim lim

BÄ+ BÄ∞8 8 es necesario que para toda sucesión de puntos

con y es suficiente que sea convergente en , siempre queB Ä + Ö0 B × R8 8 8−

B − E B Ä +Þ8 8, ì Qß R E Q 0 À E R Sean espacios métricos, un subespacio de y una aplicacióncontinua. Si para cada existe el límite entonces la aplicación + − E 0 B J À Elim

BÄ+

R J + œ 0 + + − E J + œ 0 B + − E E definida por para y para , es continua.limBÄ+

26. Un sistema fundamental de vecindades de un punto en un espacioB

topológico es una colección de vecindades de con la siguiente\ B B µpropiedad: Dada cualquier vecindad de en el espacio , existe una vecindadY B \Z − B Z § Yµ tal que .ì B El sistema se dice sistema fundamental enumerable cuando es un conjuntoµenumerable.ì + B B Sea un sistema fundamental de vecindades de un punto en un espacioµtopológico . A fin de que pertenezca al interior de un conjunto es\ B W § \necesario y suficiente que exista tal que Análogamente si yZ − B Z § WÞ B − Wµ

sólo si, para toda se tiene ø.Z − B Z ∩ W Áµ, \ ] 0 À \ ] + Sean , espacios topológicos una aplicación, un sistemaµ

fundamental de vecindades de un punto y un sistema fundamental de+ − \ ,Àvecindades del punto . Para que sea continua en el punto es, œ 0 + − ] 0 +necesario y suficiente que para cualquier existe tal que[ − , Z − +À µ0 Z § [ .ì B En un espacio métrico todo punto posee un sistema fundamental devecindades enumerable.ì > ß > ßá ß > − dß N ß N ßá ß N § d 8 Sean , intervalos y constrúyase los conjuntos" # 8 " # 8

E > ßá ß > ß N ßá ß N œ Ö0 À d dà 0 > − N ßá ß 0 > − N ×" 8 " 8 " " 8 8

En esta forma toda función pertenece a alguno de los conjunto de0 − dßd œ \¹la forma . Se sigue entonces que estos conjuntosE > ßá ß > ß N ßá ß N" 8 " 8

E > ßá ß > ß N ßá ß N \" 8 " 8 forman una base de una topología para llamada topologíade la convergencia simple.ì La topología así definida brinda un ejemplo de un espacio topológico donde lospuntos no admiten un sistema fundamental de vecindades enumerables.ì \ I B − \ Un espacio topológico es un cuando todo punto posee unespacio "

sistema fundamental de vecindades enumerable.ì En un espacio de Hausdorff, una sucesión convergente posee un único límite.Recíprocamente, si es un espacio en el cual toda sucesión convergente posee\ I"

un único límite, entonces es un espacio de Hausdorff.\ì \ ÖB × En un espacio topológico para que una sucesión posea una8 8−

subsucesión convergente para un punto es necesario que toda vecindad de D − \ Dcontenga términos con índices arbitrariamente grande. Si es un espacio ,B \ I8 "

esta condición es también suficiente.


ì \ ] ] Sean y espacios topológicos, de Hausdorff. Para que una aplicación0 À \ ] + − \ B Ä + sea continua en el punto es necesario que implique8

0 B Ä 0 + ] \ I8 " en . Cuando es un espacio esta condición también essuficiente (aunque no sea ) .] I"

ì W \ B − W Sea un subconjunto de un espacio topológico . Para que es suficienteque exista una sucesión de puntos con . Cuando es un espacioB − W B œ B \8 8

8Ä∞lim

I" esta condición también es necesaria.ì \ Un espacio topológico se dice si todo punto posee un sistemaregular fundamental de vecindades cerradas.ì 0 À E ] E Sea una aplicación continua, definida en un subespacio de unespacio topológico y tomando valores en un espacio de Hausdorff regular . Si\ ]para cada existe el límite entonces la aplicación definida+ − E 0 B J À E ]lim

BÄ+

por , es continua.J + œ 0 B + − ElimBÄ+

27.Sean , espacios métricos. Una aplicación se dice uniformementeQ R 0 À Q R

continua cuando, para todo dado arbitrariamente se puede obtener un % $ ! !

tal qu implica que , cualesquiera sean .Bß C . 0 B ß 0 C Bß C − Q$ %ì QßRß T 0 À Q R 1 À R TSean espacios métricos. Si y son funcionesuniformemente continuas entonces es uniformemente continua.1 ‰ 0 À Q Tì 0 À Q R E § Q 0l Si es uniformemente continua y entonces la restricción esE

uniformemente continua.

ì 0 À Q R Decimos que una aplicación satisface a una condición de Ho lder de..

orden , cuando para cualquier , se tieneα Bß C − Q . 0 B ß 0 C Ÿ - † . Bß C α

donde y son constantes. Si esto ocurre es uniformemente continua.- ß 0αì 1 À d d 0 À d d

B È B B È B , son homeomorfismos uniformemente continuosÈ È$

cuyos inversos no son uniformemente continuos. También nos brindan un ejemplode funciones que son uniformemente continuas y no cumplen la condición deLipschitz.28. Sean y respectivamente y métricas uniformemente equivalentes en. . . .w w

" "

un espacio métrico resp. un espacio métrico . Si esQ R 0 À Qß . Rß ."uniformemente continua, entonces también lo es.0 À Qß . Rß .w w

"

ì Qß R \ À Q Sean espacios métricos y un conjunto. Para que una aplicación :R À \àQ \àR induzca una aplicación continua : ¹‡ ¹definida por , es suficiente que sea uniformemente continua. Si: : :‡ 0 œ ‰ 0\ es infinito, esta condición también es necesaria.ì 0 À \ Q Si una secuencia de aplicaciones converge uniformemente para8

0 À \ Q À Q R ‰ 0 À \ Ry si es uniformemente continua, entonces : : 8

converge uniformemente para .: ‰ 0 À \ Rì À Q R À \àQ \àR Si es un homeomorfismo uniforme, entonces es: : ¹ ¹‡

un homeomorfismo cuyo inverso es dado por .: ¹ ¹"‡ À \àR \àQ


ì À Q R Si a más de ser uniformemente continua es una aplicación acotada:en particular, si la métrica de es acotada entonces yR \àQ § \àR: ¹ µ‡

una restricción de a cada es una aplicación uniformemente continua: µ‡ α \àQ

µ µα \àQ \àR .ì Q Dos métricas uniformemente equivalente en un espacio métrica definen lamisma topología en . Si ambas métricas son acotadas, ellas definen en¹ \àQ¹ µ\àQ œ \àQ métricas uniformemente equivalentes.ì \ Q Sean cuales fueren el conjunto y el espacio métrico , el espacio topológico¹ \àQ es métrizable.ì Dado un espacio métrico , las métricas y definidas porQß. . .w ww

. œ 738Ö"ß . Bß C × . œ .w ww . BßC". BßC y son uniformemente equivalentes a .

29. Sea el producto cartesiano de los espacios métricos con laR œ R ‚â‚R R" 5 3

métrica dada por .. Bß C œ 7+BÖ. B ß C ßá ß . B ß C ÎB œ B ßá ß B ß C œ C ßá ß C ×ww

" " 5 5 " 5 " 5

Sea otro espacio métrico, una aplicación es uniformemente continuaQ 0 À Q Rsi y sólo si, las aplicaciones coordenadas definidas por0 À Q R3 3

0 B œ 0 B ßá ß 0 B ß B − Q" 5 son uniformemente continuas.ì ] Se dice que un espacio topológico es de una familia desuma topológicasubespacios cuando los son dos a dos disyuntos y cada unoÖ] × ß ] œ ] ]α α αα−E ∪de ellos es abierto y por lo tanto cerrado en .]

ì \àQ œ \àQ Un ejemplo es ,¹ µ∪α αw Á

αw

representante : de los α α µ− E œ Ö \ Q \àQ ×0

30. Una sucesión en un espacio métrico es de si y solamenteÖB × Q8 8− Cauchy si donde .lim

8Ä∞8 8 8 8"$ \ œ ! \ œ ÖB ß B ßá×

ì Toda sucesión de Cauchy es acotada.ì + En un espacio métrico: Toda subsucesión de una sucesión de Cauchy estambién una sucesión de Cauchy. Toda sucesión convergente es una sucesión,de Cauchy. La imagen de una sucesión de Cauchy, por una aplicación-uniformemente continua, es una sucesión de Cauchy.ì Q Dos métricas uniformemente equivalentes en el mismo espacio métrico determinan las mismas sucesiones de Cauchy en .Qì T œ Ö"ß ß ßá ß ßá× Q œ Q ‚â‚Q 5 Sean , el producto cartesiano de " " "

# $ 8 " 5

espacios métricos, una función definida por0 À T Q .0 œ B œ B ß B ßá ß Bˆ ‰"

8 8 8" 8# 85

Se tiene que es una sucesión de Cauchy si cada una de las sucesionesÖB ×8 8−

ÖB ß B ßá ß B ßá× 3 œ "ß #ßá ß 5"3 #3 83 es de Cauchy para cada . Además tenemos que lassiguientes afirmaciones son equivalentes:3 ÖB × Q es una sucesión de Cauchy en el espacio métrico .8 8−

33 0 À T Q es uniformemente continua. ˆ ‰333 0 À T Q 0 œ BPara cada , determinada por , es uniformemente continua.3 3 3 83"8

3@ ÖB × Q Cada sucesión de coordenadas es de Cauchy en .83 8− 3


31.Sea una sucesión de Cauchy en un espacio métrico . Si algunaÖB × Q8 8−

subsucesión converge para un punto entonces tambiénÖB × B − Q ÖB ×85 5− 8 8−

converge para el punto .Bì Q Se dice que un espacio métrico es cuando toda sucesión decompleto Cauchy en es convergente.Qì Q œ Q ‚â‚Q El producto cartesiano es completo, si y solamente si, cada" 5

uno de los factores es un espacio métrico completo.Q ßQ ßá ßQ" # 5 ì d El espacio euclidiano es completo.8

ì À \ Q \àQ Dado , sea el conjunto de las aplicaciones continuasα ¶α0 À \ Q . 0ß ∞ Q \àQ tales que . Si es completo, también es completoα ¶αen relación a la métrica uniforme .. 0ß 1 œ ÞÖ. 0 B ß 1 B à B − \×sup32.Llámase a todo espacio vectorial , provisto de unespacio de Hilbert I

producto interno < , > y completo relativamente a la norma .B C lBl œ Bß B Èì El espacio de Hilbert de las sucesiones de cuadrado sumable. Sea elH

conjunto de las sucesiones de números reales tales queB œ ÖB ß B ßá ß B ×" # 8ßá

8œ"

∞#8B ∞.

ì B œ ÖB ×ß C œ ÖC × B C Dados en la serie de números reales es3 8 3 33

H

absolutamente convergente y . l B C l Ÿ lB C l Ÿ lBl † lCl3 3

3 3 3 3

33. Un de un espacio métrico es un par , donde escompletado Q Qß 0 0 À Q Qs sˆ ‰una inmersión isometrica, es completo y es denso en .Q 0 Q Qs s

ì Qß 0 Q ß 1 Qs µ Sean y completados del mismo espacio métrico . Existe unaˆ ‰ Š ‹única isometría tal que .: :À Q Q ‰ 0 œ 1s µ

ì E Q Todo subconjunto abierto de un espacio métrico completo , es homeomorfoa un espacio métrico completo. Tómese función continua que se anula en0 À Q dQ E 0 B œ . BßQ E À E d B œ . ; : : "

0 B

ì dTeorema de Cauchy: El conjunto de los números reales con la métrica usual. Bß C œ lB Cl es un espacio métrico completo.ì Todo subespacio cerrado de un espacio métrico completo es también completo.Recíprocamente, un subespacio completo de cualquier espacio métrico es cerrado.34. Sea un conjunto cualquiera y un espacio métrico completo. Dada\ Q

cualquier aplicación , el espacio esα µ αÀ \ Q \àQ œ Ö0 À \ Qà . 0ß ∞×α

completo relativamente a la métrica .. 0ß 1 œ ÞÖ. 0 B ß 1 B à B − \×supì E Q Todo subconjunto abierto de un espacio métrico completo es homeomorfoa un espacio métrico completo.ì W Q 0 À W R Sea un subconjunto denso de un espacio métrico y una aplicaciónuniformemente continua, donde es un espacio métrico completo. Existe unaRúnica extensión continua la cual es uniformemente continua.0 À Q Rì Q Todo espacio métrico posee un completado.


35.Un subconjunto de un espacio topológico se dice cuando es unaW \ magroreunión enumerable tal que para cada , øW œ W 8 38> W œ∪ 8 8ˆ ‰ì Llámase espacio de un espacio topológico en el cual todo subconjuntoBaire magro tiene interior vacío.ì \ Para que un espacio topológico sea un espacio de Baire es necesario ysuficiente que toda intersección de una familia enumerable de abiertosW œ E∩ 8

E \ \8 densos en sea un subconjunto denso de .ì J Se dice que una familia de cerrados tiene la propiedad del interior vacío si8

38> J œ 88 ø para todo .ì \ œ ÖJ × Un espacio topológico es un espacio de Baire si es una familia de¹ - - A−

cerrados con la propiedad del interior vacío entonces tiene laX œ J∪8 −

8

propiedad de interior vacío.ì Teorema de Baire: Todo espacio métrico completo es un espacio de Baire.ì E \ Todo subconjunto abierto de un espacio de Baire es un espacio de Baire.ì B − \ Si todo punto posee una vecindad que es un espacio de Baire, entonces\ es un espacio de Baire.ì El complemento de un subconjunto magro de un espacio de Baire es un espaciode Baire.ì Q R Q Dados los espacios métricos y , siendo completo y una sucesión deaplicaciones continuas la cual converge simplemente para una0 À Q R8

aplicación entonces el conjunto de los puntos de discontinuidad de 0 À Q Rß 0es un conjunto magro de .Q

36. Toda contracción de un espacio métrico completo , posee un0 À Q Q Q

único punto fijo. Dado cualquier punto la sucesiónB − Qß!

0 B ß 0 B ßá ß 0 B ßá! ! !# 8

converge para el punto fijo de .0ì E d 0 À E d Sea un subconjunto abierto del espacio euclidiano . Sea una8 8

aplicación de la forma , donde es una contracción.0 B œ B B À E d: : 8

Entonces es un homeomorfismo de sobre un subconjunto abierto de .0 E d8

ì Ser espacio de Baire es una propiedad topológica, luego se sigue del teorema deBaire que todo espacio topológico homeomorfo a un espacio métrico completo esun espacio de Baire.ì El conjunto de los números racionales es un conjunto magro de la recta perono es magro en sí mismo.ì d Todo subconjunto cerrado enumerable del espacio euclidiano posee una8

infinidad de puntos aislados.ì El teorema de Baire proporciona también una demostración del hecho de que elconjunto de los números reales no es enumerable, por ser un espacio métricocompleto sin puntos aislados.ì Sea el conjunto de Cantor: es un conjunto magro en la recta, esto es,^ ^38> œ^ ø , pero no es magro en sí mismo, es un espacio de Baire que no poseepuntos aislados luego no es numerable. Todo homeomorfismo de sobre tiene^ ^puntos fijos. , no posee puntos aislados, por tanto es compacto.^ ^ ^ Ö!ß #×µ


37. Teorema de Bolzano-Weierstrass : Todo conjunto infinito y acotado denúmeros reales posee un punto de acumulación.ì Teorema de Borel-Lebesgue: Sea una familia de intervalos abiertos talÖM × M- -- A− que todo punto del intervalo cerrado pertenece a uno de los , esto es,Ò+ß ,Ó M-Ò+ß ,Ó § M∪

- A−-. En estas condiciones es posible escoger un número finito de

intervalos de tal forma que .M Ò+ß ,Ó § M ∪ M ∪â∪ M- - - -" # 8

ì \ Un espacio topológico se dice cuando todo recubrimiento abierto compactode posee un subrecubrimiento con un número finito de abiertos.\ì \ ÖJ × Un espacio topológico es compacto si y sólo si es una colección de- - A−

cerrados con la propiedad de la intersección finita entonces ø.∩- A−

J Á-

ì En un espacio compacto todo subconjunto infinito posee un punto deacumulación.ì \ J En un espacio compacto todo subconjunto cerrado es compacto.ì W Se dice que un subconjunto de un espacio topológico es relativamentecompacto cuando es un subconjunto compacto de .W \ì \ O § \ Sea un espacio de Hausdorff. Todo subconjunto compacto es cerradoen . En particular la intersección cualquiera de compactos es compacta.\ì La imagen de un conjunto compacto por una aplicación continua es un conjuntocompacto.ì 0 À O ] O Toda aplicación continua de un espacio compacto en un espacio deHausdorff es cerrada.]ì 0 À O ] O Toda aplicación continua y biunívoca, de un espacio compacto sobreespacios Hausdorff es un homeomorfismo.]ì 0 À O d O Toda función real continua , definida en un espacio compacto , esacotada y alcanza sus extremos. Esto es, existen tales queB ß B − O! "

0 B œ ÞÖ0 B à B − \× 0 B œ ÞÖ0 B à B − O×! "inf supy .ì \ ‚O \ Sea el producto cartesiano de un espacio topológico arbitrario por unespacio compacto . Dado un punto y sea un abierto tal queO B − \ Y § \ ‚OB‚O § Y E \ B − E E ‚O § Y. Entonces existe un abierto en con y .ì \ O Sea un espacio topológico cualquiera. Si es compacto, entonces laproyección es una aplicación cerrada.: À \ ‚O \<

"

ì 0 À \ O \ Para que una función de un espacio topológico arbitrario en unespacio compacto , sea continua es suficiente que su gráfico sea unO K 0subconjunto cerrado del producto . Si además es un espacio de Hausdorff,\ ‚O \la condición también es necesaria.ì \ ‚ ] \ ] El producto cartesiano es compacto si y sólo si, y son espacioscompactos.38. Se dice que una familia tiene la propiedad de la ÖJ ×- - A− intersecciónfinita cuando cualquier subfamilia finita tiene intersección noÖJ ß J ßá ßJ ×- - -" # 8

vacía.


ì \ ÖJ × Un espacio topológico es compacto si y sólo si una familia de- - A−

subconjuntos cerrados en posee la propiedad de la intersección finita entonces\

∩- A−

J Á- ø.ì \ ‚\ ‚â‚\ El producto cartesiano es compacto si y sólo si cada uno de" # 8

los factores es compacto.\ ß\ ßá ß\" # 8

39. Un espacio topológico se dice cuando dados dos cerrados\ normal J ßK § \ J ∩K œ ß Y ß Z § \ J § YßK § Z Y ∩ Z œ con ø existen abiertos con y øì Todo espacio de Hausdorff compacto es normal.ì \ \ J Un espacio topológico sea normal si y sólo si, dados en un cerrado y unabierto con , existe un abierto en , tal que y .E J § E Y \ J § Y Y § E

40. Si la topología de es co-inducida (esto es, es un abierto es] F § ] Í F:"

un abierto es ) por una aplicación , entonces dado cualquier espacio\ À \ ]:topológico , una aplicación es continua si y sólo si, la aplicación^ 0 À ] ^0 ‰ À \ ^: es continua.ì À \ ] \ Diremos que una aplicación de un espacio topológico sobre un:espacio topológico , es una aplicación cuando la topología de es] ]cociente co-inducida por .:ì \ß ] Sean dos espacios topológicos, toda aplicación sobre, continua y cerradao abierta es una aplicación cociente.: À \ ]ì \ ] Cuando es un espacio compacto y es un espacio de Hausdorff , todaaplicación sobre y continua es una aplicación cociente.: À \ ]

41. Todo subconjunto compacto convexo tal ø es homeomorfo aO § d 38> O Á8

una bola cerrada .H § d8

ì W dTeorema de Borel-Lebesgue: Un subconjunto del espacio euclidiano es8

compacto si y sólo si, es cerrado y acotado.ì d Un subconjunto de un espacio euclidiano es relativamente compacto si y sólo8

si, es acotado.ì I J 0 À I J Si y son espacios vectoriales normados un es una isomorfismoaplicación lineal continua, biunívoca y sobreyectiva, cuya inversa es0 À J I"

continua (y es necesariamente lineal).ì I 8 Todo espacio vectorial normado de dimensión finita es isomorfo al espacioeuclidiano d Þ8

ì I J I Sean y espacios vectoriales normados. Si tiene dimensión finita entoncestoda aplicación lineal es continua.0 À I Jì I Dos normas cualesquiera de un espacio vectorial de dimensión finita sonsiempre equivalentes y es completo en relación a cualquiera de ellas.Iì I J Todo subespacio de dimensión finita , de un espacio vectorial normado , escerrado.ì Q ! Un espacio métrico se dice cuando para todo setotalmente acotado %

puede expresar como una reunión de un número finito deQ œ W ∪ W ∪â∪ W" # 8

subconjuntos, cada uno de los cuales tiene diámetro menor que .%


ì W Q Si un subconjunto de un espacio métrico es totalmente acotado, suadherencia (o cerradura) también lo es.Wì Q W En un espacio métrico el diámetro de un conjunto es igual al diámetro desu cerradura .Wì Q Las siguientes afirmaciones son equivalentes en un espacio métrico : es compacto.3 Q Todo subconjunto infinito de posee un punto de acumulación.33 Q Toda sucesión en posee una subsucesión convergente.333 Q es completo y totalmente acotado.3@ Q

42. Un espacio topológico es llamado cuando\ secuencialmente compacto toda sucesión en posee una subsucesión convergente.\Þ ì Existen espacios topológicos que no son secuencialmente compactos comoÒ!ß "Ó 0 À Ò!ß "Ó Ò!ß "ÓÒ!ß"Ó esto es el conjunto de todas las funciones es compacto y noes secuencialmente compacto.ì Q Para que un espacio métrico sea totalmente acotado es necesario y suficienteque su completado sea compacto.Qs

ì Un subconjunto de un espacio métrico completo es totalmente acotado si y sólosi, es relativamente compacto.ì œ ÖG × Q Sea un recubrimiento de un espacio métrico . Se dice que unG - - A−

número es un del recubrimiento cuando se cumple% ! Gnúmero de Lebesgue

la siguiente afirmación: Para todo subconjunto con , existe unW § Q W $ %- A− W § G tal que .-ì œ ÖY × Q Todo recubrimiento abierto de un espacio métrico compacto G - - A−

posee un número de Lebesgue.43. Sean espacios métricos. Si es compacto, entonces toda aplicaciónQß R Q

continua es uniformemente continua.0 À Q Rì \ Un espacio topológico se dice cuando todo punto localmente compactoB − \ posee una vecindad compacta.ì Q Para que un espacio métrico sea localmente compacto es necesario ysuficiente que todo punto sea el centro de una bola cerrada compacta.B − Qì \ Para que un espacio de Hausdorff sea localmente compacto es necesario ysuficiente que todo punto este contenido en un abierto cuya adherenciaB − \ E Ees compacto.ì \ En un espacio de Hausdorff localmente compacto , las vecindades compactasde cada punto constituyen un sistema fundamental vea numeral 26 .ì \ En un espacio de Hausdorff localmente compacto , las vecindades compactasde un subconjunto compacto constituyen un sistema fundamental de vecindadesOde .O

44. Un subconjunto de un espacio topológico se dice W \ localmente cerradoen cuando todo posee una vecindad en tal que es cerrado en\ B − W Y \ Y ∩ WY J \ Y ∩ J œ Y ∩ W. Esto significa que existe un subconjunto cerrado en tal que .


ì W \ W es localmente cerrado en si y sólo si, es un subconjunto cerrado de unconjunto abierto en .E \ì \ W En un espacio de Hausdorff localmente compacto todo subespacio cerrado es localmente compacto. Recíprocamente en cualquier espacio de Hausdorff, todosubconjunto localmente compacto , es localmente cerrado en .W \ì W \ Todo subconjunto localmente compacto denso de un espacio Hausdorff esabierto en .\ì Todo espacio métrico localmente compacto es homeomorfo a un espaciométrico completo o sea su topología puede ser definida por una métrica enÐ

relación a la cual el espacio es completo .Ñì Q Todo espacio localmente compacto es un subconjunto abierto de sucompletado .Qs

45.Teorema de Riesz: Todo espacio vectorial normado localmente compacto tienedimensión finita.ì Todo espacio de Hausdorff locamente compacto es un espacio de Baire.ì I Si un espacio vectorial normado no es localmente compacto, entonces todosubconjunto compacto de tiene interior vacío (ver 35).Iì \ ‚ ] El producto cartesiano es localmente compacto, si y sólo si, cada uno delos factores es localmente compacto.\ß ]ì \ ‚\ ‚â‚\ El producto cartesiano es localmente compacto, si y sólo si," # 8

cada uno de los factores es localmente compacto.\ ß\ ßá ß\" # 8

46.Una del espacio topológico es una aplicación continuacompactificación \

: : :À \ ] ] \ ] tal que es compacto, es denso en y es un homeomorfismo de\ \ sobre .:ì \ Una de un espacio topológico es unacompactificación de Alexandroffaplicación tal que: À \ \‡

es un espacio compacto de Hausdorff3 \‡

es un homeomorfismo de sobre 33 \ \: : , donde .333 \ œ \ ∪ ÖA× A Â \‡ : :

ì Todo espacio de Hausdorff localmente compacto posee una compactificación deAlexandroff.ì Solamente los espacios de Hausdorff localmente compactos poseencompactificación de Alexandroff.ì À \ \ À \ \ Si y son campactificaciones de Alexandroff del mismo: <‡ #

espacio de Hausdorff localmente compacto , con y\ \ œ \ ∪ ÖA ×‡ ‡

\ œ \ ∪ ÖA × 2 À \ \ 2 ‰ œ# # # , entonces existe un homeomorfismo tal que y‡ : <

2 A œ A‡ #.ì À \ \ À ] ] Sean y campactificaciones de Alexandroff. Todo: <‡ ‡

homeomorfismo se extiende a un homeomorfismo el cual2 À \ ] 2 À \ ]‡ ‡ ‡

transforma el punto al infinito de en el punto en el infinito de .\ ]‡ ‡

47.Un espacio de Hausdorff localmente compacto se dice enumerable en elinfinito cuando su compactificación de Alexandroff en el punto en\ œ \ ∪ ÖA×‡

el infinito posee un sistema fundamental de vecindades enumerable.A


ì Las siguientes afirmaciones con respecto de un espacio de Hausdorff localmentecompacto son equivalentes es enumerable en el infinito3 \ es una reunión enumerable de partes compactas33 \ œ P∪

8 − 8

es reunión enumerable de partes compactas tales que para333 \ œ O∪8 −

8

todo .8 œ "ß #ßá ß 8ßá O § 38> O8 8"

ì \ Un espacio discreto conteniendo una infinidad no enumerable de puntos,brinda un ejemplo de un espacio metrizable localmente compacto que no esenumerable en el infinito. En particular la compactificación de Alexandroff no\‡

es metrizable.ì El conjunto de los números racionales muestra que un espacio topológicopuede ser reunión enumerable de partes compactas sin ser localmente compacto.48.Una colección de abiertos es una de si y sólo si, para cada , losµ base \ B − \

conjuntos que contienen a forman un sistema fundamental de vecindadesF − Bµde .Bì \ W § \ Si un espacio topológico tiene base enumerable, todo subespacio tienebase enumerable.ì \ W En un espacio con base enumerable, todo subconjunto no enumerable contiene un punto de acumulación.ì \ ‚\ ‚â‚\ El producto cartesiano tiene base enumerable si y sólo si, cada" # 5

uno de los espacios factores tiene base enumerable.\ ß\ ßá ß\" # 5

ì \ 0 À \ ] Si es un espacio topológico con base enumerable y es una aplicacióncontinua, abierta de sobre , entonces el espacio topológico también tiene\ ] ]base enumerable.ì \ Sea un espacio topológico con base enumerable, entonces todo recubrimiento abierto de admite un subrecubrimiento3 \ enumerable existe un subconjunto enumerable denso en .33 \

ì \ Un espacio topológico es un cuando todoespacio de Lindelo f..

recubrimiento abierto de admite un subrecubrimiento enumerable.\

48.Un espacio topológico el cual posee un subconjunto enumerable denso es\

llamado .separableì L El espacio de Hilbert es un espacio separable.ì En un espacio con base enumerable toda colección de abiertos no vacíos dos a dos disyuntos es enumerable.ì Q Todo espacio métrico totalmente acotado es separable.ì Todo espacio métrico compacto es separable.ì Q Qs Si un espacio métrico es separable, su completado también es separable.ì Q Las siguientes afirmaciones con respecto de un espacio métrico sonequivalentes: tiene base enumerable3 Q


es un espacio de Lindelof..33 Q

es separable.333 Qì El resultado de arriba es falso para espacios topológicos cualesquiera.ì I Q Sea un subconjunto denso de un espacio métrico . Las bolas abiertasF Bà B − I 8 − Qˆ ‰"

8 con y constituyen una base de .

49.Sea un espacio métrico compacto y un espacio métrico con baseO Q

enumerable. El espacio de las aplicaciones continuas con la¶ OàQ 0 À O Qmétrica de la convergencia uniforme, tiene base enumerable.ì QàO dà Ò!ß "Ó Sin embargo no posee base enumerable, como ejemplo .¶ ¶

ì Q B − Q ! Sea una base de abiertos en un espacio métrico . Dados y µ %

arbitrarios, existe un conjunto con y .F − B − F F µ $ %

50.Un espacio métrico se dice cuando todo Q B − Qlocalmente separableposee una vecindad separable. Esto equivale a decir que todo punto esB − Qcentro de una bola abierta en la cual existe un subconjunto densoF Bà <enumerable.ì Q Bß C − Qß . Bß C Sea un espacio métrico localmente separable. Dados <

#C

implica donde es separable .C − F Bà < < œ ÞÖ< !àF Bà < ×B B supì Q Todo espacio métrico conexo y localmente separable es separable.ì Todo espacio métrico conexo y localmente compacto tiene base enumerable.ì En la afirmación anterior la conexidad es esencial. Tome como ejemplo unespacio métrico discreto no enumerable.ì Todo espacio métrico compacto es separable.ì Las siguientes afirmaciones con respecto de un espacio métrico localmentecompacto son equivalentesQ tiene base enumerable3 Q es enumerable en el infinto33 Q La topología de puede ser definida por una métrica, en relación a la333 Qcual un subconjunto es compacto si y sólo si, es acotado y cerrado en .W § Q Q La compactificación de Alexandroff es separable.3@ Q œ Q ∪ ÖA×‡

51. Sea un espacio de Hilbert, . L G œ Ö B ß B ßá ß B ßá Î! Ÿ B Ÿ ß a3 − × § L G" # 8 3"3

es un espacio métrico con base enumerable, llamado el . es uncubo de Hilbert Gespacio métrico completo que es para espacios métricos con baseuniversalenumerable, esto es todo espacio metrizable con base enumerable eshomeomorfo a un subespacio de .Gì 0 À \ G \ Para que una aplicación de un espacio topológico arbitrario en elcubo de Hilbert , sea continua en un punto es necesario y suficiente queG + − \cada una de sus coordenadas sea una función continua en el0 œ : ‰ 0 À \ Ò!ß Ó3

<3

"3

punto .+ì ÖB × G Una sucesión en el cubo de Hilbert converge para un punto8 8−

+ œ Ö+ × − G 3 − 33 3− si y sólo si, para cada la sucesión de las -ésimas coordenadas

ÖB ß B ßá ß B á× +"3 #3 83 3 converge para .


ì G œ Ò!ß Ó El cubo de Hilbert es compacto.Œ #3œ"

∞"3

ì W Q Sea un subconjunto denso de un espacio métrico . Dada una sucesiónÖB × Q B œ B − Q8 8− 8

8Ä∞ en , para que se tenga es necesario y suficiente quelim

lim8Ä∞

8. B ß = œ . Bß = = − W para cada .ì Q Todo espacio métrico con base enumerable es homeomorfo a un subespaciodel cubo de Hilbert.ì Todo espacio de Hausdorff normal con base enumerable es métrizable.ì Un espacio de Hausdorff compacto es metrizable si y sólo si, posee una baseenumerable.ì Un espacio de Hausdorff conexo y localmente compacto es metrizable, si y sólosi, posee base enumerable.52.Dados dos subconjunto cerrados disyuntos en un espacio métrico ,J ßK Q

existe una función real continua tal que si si : :À Q Ò!ß "Ó B œ

! B − J" B − Kœ

Si ø entonces tómese .J Á Á K B œ: . BßJ. BßJ . BßK

ì J ßK Q Sea subconjuntos cerrados disyuntos en un espacio métrico . Existenabiertos en tales que y ø.Yß Z ß Q J § Yß K § Z Y ∩ Z œì \ Teorema de Urysohn: En todo espacio normal , dado dos cerrados disyuntosJ ßK À \ Ò!ß "Ó existe siempre una función real continua tal que:

. si si : œB œ

! B − J" B − K

Esta función es conocida como una función de Urysohn.ì \ M œ Ò!ß "Ó Sea un espacio topológico e el intervalo unitario de la recta. Dada unafunción , tal que para cada se considera0 À \ M > − M .Y > œ ÖB − \à 0 B >×

Los conjuntos gozan de las siguientes propiedades:Y > Cada es abierto en ;3 Y > \

Si entonces 33 = > Y = § Y > Dado o o existe tal que . En este último333 B − \ß 0 B œ " > − M B − Y >

caso, se tiene 0 B œ ÞÖ> − Mà B − Y > ×infì \ H M œ Ò!ß "Ó Sean un espacio topológico y un subconjunto denso del intervalo supongamos dado, para cada , un subconjunto , de tal modo que< − H Y < § \ Cada es abierto en 3 Y < \

Si entonces .33 < = Y < § Y =Definamos una función , tomando0 À \ M

si si para algún 0 B œÞÖ< − Hà B − Y < × B − Y <

" B Â Y < Y <œ inf

esta función es continua.ì \Lema de Urysohn: Sea un espacio normal. Todo par de subconjuntos cerradosen posee una función de Urysohn.\


ì J Y Sea un subconjunto cerrado y un subconjunto abierto de un espacio normal\ J § Y 0 À \ Ò!ß "Ó, con . Existe una función continua tal que

. si si 0 B œ

" B − J! B − \ Yœ

53. Sea una base de abiertos en un espacio de Hausdorff normal . Dadosµ \

F − B − Fß F − B − F F § Fµ µy un punto existe tal que y ." " "

ì \ Para que un espacio topológico sea normal, es necesario y suficiente que secumpla la siguiente condición: Dados en un cerrado y un abierto , con\ J EJ § Eß Y \ J § Y Y § Eexiste un abierto en , tal que y .ì Todo espacio de Hausdorff compacto es normal.ì \ Teorema de metrización de Urysohn: Todo espacio de Hausdorff normal , conbase enumerable, es homeomorfo a un subespacio del cubo de Hilbert . EnGconsecuencia, es metrizable.\ì œ ÖF × \ Sea una base enumerable de un espacio topológico . Diremos queµ 8 8−

una pareja es cuando . El conjunto de las parejasT œ F ßF F § F7 8 7 8admisible admisibles es enumerable.ì Para que un espacio compacto de Hausdorff sea metrizable es condiciónnecesaria y suficiente que tenga una base enumerable.\

54.Un espacio topológico se llama cuando todo posee un\ B − \ regularsistema fundamental de vecindades cerradas. Esto es equivalente a decir que paratodo cerrado en y todo punto , existe un abierto tal que yJ \ B Â J Y B − Y

Y ∩ J œ ø.ì Todo espacio de Hausdorff localmente compacto es regular.ì \ Todo espacio regular con base enumerable es normal.ì Forma fuerte del teorema de metrización de Urysohn: Todo espacio de Hausdorffregular con base numerable es homeomorfo a un subespacio del cubo de Hilbert ypor lo tanto es metrizable.ì Todo espacio de Hausdorff localmente compacto con base numerable esmetrizable.ì Es falso en general que un espacio de Hausdorff localmente compacto con basenumerable pueda ser normal, pues en general un espacio localmente compactopuede no ser normal, aun que se satisfaga el axioma de Hausdorff, como se ve enel contraejemplo que sigue.ì \ œ Ò ß Ó \ \ ‚\ Sea con su topología del orden bien conocida. y sonα H

espacios de Hausdorff normales. Pero el subconjunto abierto ] œ \ ‚\ Ö ß ×H H

del producto cartesiano no es normal. En efecto los subconjuntos disyuntos\ ‚\J œ \ ‚ Ö × ∩ ] K œ Ö × ‚\ ∩ ] ]H H, son cerrados en pero no estan contenidosen abiertos disyuntos.ì El ejemplo anterior también muestra que un espacio regular en general no esnormal.ì No es verdad que un subespacio de un espacio normal sea normal, ni aúncuando sea de Hausdorff compacto.\


55. Sea un conjunto y una familia de espacios topológicos con índicesA Ö\ ×- - A−

en esto significa que a cada corresponde un espacio topológico .A - Aß − \-

Consideremos el conjunto el producto cartesiano de los . Los\ œ \ \#- A−

- -

elementos de son todos familias tales que para cada , .\ B œ Bß − B − \- - -- A− - A

En otras palabras un punto es una función expuesto a lasB − \ B À \A ∪- A−

-

condiciones de que para cualquier , son llamadas las- A -− B œ B − \- -

coordenadas del punto .Bì \ œ \En el producto cartesiano se destacan las proyecciones sobre los ejes#

-

-

\ \ \ : À \ \- - --. Cada proyección es una aplicación de sobre , definida por<

: B œ B œ B Bß C − \ß B œ C Í : B œ : C< < <- - -- --ésima coordenada de . Dados

cualquiera que sea .- A−ì \ œ \ Una topología definida en debe ser tal que por lo menos las#

- A−

-

proyecciones sean continuas. Sea un abierto en , para que sea continuaY \ :. . .<

es necesario y suficiente que sea abierto en para toda elección del: Y \<". .

abierto en . Ahora es considerado como el producto de los Y \ : Y \. . . -.<"

donde se sustituye por . aquí \ Y : œ :. . . . Š ‹ˆ ‰<" < "

Luego franja de anchura .: Y œ Y ‚ \ œ Y<"

Á. . . - .

- .

#ì \ œ \ : Así la topología en deja a continua, si y sólo si, para cada abierto#

- A−

- .<

Y § \ : Y \. . .. la franja es abierta en .<"

ì Como la intersección de un número finito de abiertos es un abierto, unatopología en que deja todas las proyecciones continuas\ œ \ : À \ \#

- A−

- --<

deberá contener como abiertos por lo menos las intersecciones finitas : Y ∩â∩ : Y œ Y ‚â‚Y ‚ \ ‡<" <"

Á- -- - - - -

- -"

" 5 " 553

#donde son abiertos. Aquí por simplicidad se escribe Y § \ ßá ßY § \ Á- - - -" " 5 5

- -3

para indicar que . Estos elementos son llamados - A - -− Ö ßá ß × ‡" 5 abiertoselementales.ì Los abiertos elementales constituyen una base para la topología en el7producto cartesiano . Un abierto de es por definición una reunión de\ œ \#

- A−

- 7

abiertos elementales.ì Ö\ × Sea una familia de espacios topológicos. La topología menos fina en el- - A−

producto cartesiano que deja continuas todas las proyecciones\ œ \#- A−

-

: À \ \ ß<- - es la que tiene una base formada por los abiertos elementales

: Y ∩â∩ : Y œ Y ‚â‚Y ‚ \<" <"

Á- -- - - - -

- -"

" 5 " 553

#donde cada es abierto. Esta es la llamada .Y § \- -3 3 topología producto


56. Sea un conjunto arbitrario y un espacio topológico. El conjuntoA \

\ œ à\ \ ßA ¹ A A de todas las aplicaciones de en puede, como vimos serconsiderado como producto cartesiano , donde para todo . La#

- A- -

−

\ \ œ \ −- A

topología producto así definida se conoce como topología de la convergenciasimple en .\A

ì \ œ \ La topología producto en posee las siguientes propiedades:#- A−

-

+ : À \ \ Las proyecciones son continuas y abiertas.<- -

, ^ 0 À ^ \Dado un espacio topológico , para que una aplicación sea continuaen un punto es necesario y suficiente que para cada índice , la aplicación, − ^ -0 œ : ‰ 0 À ^ \ ,- --

< sea continua en el punto . #- J \ J œ J Si para cada , es un subconjunto cerrado de , entonces - - - -- A−

es cerrado en .\ œ \#- A−

-

ì E œ E E § \ Un producto de subconjuntos abiertos no es en general un#- A−

- - -

subconjunto abierto de .\ œ \#- A−

-

ì E œ E \ œ \ E Á \ es abierto en si y sólo si salvo para un número finito# #- A - A− −

- - - -

de valores de .-ì En particular el producto cartesiano de una familia de espacios discretos no esun espacio discreto (salvo en el caso de espacios reducidos a un punto para unnúmero finito de ellos)ì ÖB × \ œ \ Una sucesión en el espacio producto converge para un punto8 8− -#

- A−

+ − \ B œ + B œ : ÖB ×si y sólo si, para cada índice , se tiene , donde y- lim8Ä∞

8 8 8<

- - - -

+ œ : +- -< .

ì \ œ à\ 0 À \ En particular en el espacio una sucesión de aplicaciones A ¹ A A= 8

converge para una aplicación si y sólo si, para cada , se tiene0 À \ −A - Alim8Ä∞

80 œ 0- - . Esto justifica la denominación de topología de convergenciasimple.57. Sea un producto de espacios topológicos. Si es numerable y cada\ œ \#

- A−

- A

\ I \ I \- es un espacio , entonces es un espacio . Recíprocamente, si es un" "

espacio entonces cada es un espacio y es numerable siempre queI \ I" "- Aningún sea un espacio .\- grosero(Aquí se entiende que un espacio topológico es cuando todo punto poseeI B − \"

un sistema fundamental de vecindades enumerables. Como espacio grosero seentenderá a un espacio topológico cuyos únicos abiertos son el espacio total y elconjunto vacío)


ì − ß B − \ Si no es numerable, para cada todo punto posee una vecindadA - A - -

diferente del espacio entero, entonces ningún punto del producto B \ œ \#- A−

-

posee un sistema fundamental de vecindades enumerables.ì \ ßá ß\ á I \ œ \ Sean , espacios . Introducimos en una nueva topología" 8 " 8#

3œ8

∞

e indicamos con el espacio resultante. Supongamos que sea un espacio ,\ \ I‡ ‡"

se tiene que una sucesión en converge para un punto si yÖB × \ + œ Ö+ ×8 8− 3 3−‡

sólo si para cada , donde . Entonces, , esto es3 − B œ + B œ : ÖB × \ œ \ lim8Ä∞

83 3 83 8< ‡3

la topología de , es la topología producto.\‡

ì Ö\ × Sea una familia de espacios topológicos no groseros. A fin de que el- - A−

producto tenga base enumerable es necesario y suficiente que sea\ œ \#- A−

- A

enumerable y cada uno de los factores tengan base enumerable.\-

58. Sea una familia de espacios métricos cada uno de los cuales posee porÖQ ×- - A−

lo menos dos puntos. La topología producto en es metrizable si y sóloQ œ Q#- A−

-

si, es enumerable.Aì œ Para mostrar el recíproco de la afirmación de arriba tómese y defínaseA

. À Q ‚Q d . Bß C œ tomando .3œ"

∞"# ". B ßC

. B ßC3

3 3

3 3

ì Q ßá ßQ ßá Q œ Q Sean espacios métricos. El producto cartesiano , es un" 3 3#3−

espacio métrico completo si y sólo si, cada es completo.Q3

59.Sea un espacio métrico completo. Si es la intersección de unaQ W œ E∩ 3

familia enumerable de abierto , entonces es homeomorfo a un espacioE § Q W3

métrico completo.ì Q œ Q El producto cartesiano de una sucesión de espacios métricos#

3−

3

compactos es un espacio métrico compacto.ì O À Ö!ß #× O Sea el conjunto de Cantor definida por:

: B ß B ßá œ !ß B B áB á œ" # " # 88œ"

∞B$88

donde la métrica en esta dada por , ,Ö!ß #× . Bß C œ B œ ÖB ×ß C œ ÖC ×

8œ"

∞lB C l

$ 8 88 8

8

entonces es un homeomorfismo.:

60. Existencia de una curva de Peano, en el cubo de Hilbert , dondeM œ M ‚â‚ M8

M œ Ò!ß "Ó

3 1 À O OExiste una aplicación continua del conjunto de Cantor sobre elM , intervalo . Basta definir una aplicación medianteM œ Ò!ß "Ó À Ö!ß "× M<

< B ß B ßá ß B ßá œ" # 88œ"

∞B#88 .

33 8 − O Para todo , el conjunto de Cantor es homeomorfo aO œ O ‚O ‚â‚O8 .


333 0 À O \Toda aplicación continua se extiende continuamente a una!

aplicación 0 À M \ì \ œ \ El producto cartesiano es un espacio de Hausdorff si sólo si, para cada#

- A−

-

- A− \, es un espacio de Hausdorff.-

ì \ œ \ ‚â‚\ El producto cartesiano es conexo si y sólo si, cualquier factor" 8

de es conexo.\ì \ œ \ \ El producto cartesiano es conexo si y sólo si, cada factor es#

- A−

- -

conexo.61. Sea una familia de subespacios conexos de un espacio topológico. SiÖW ×- - A−

existe un punto , común a todos los , entonces la reunión esB W W œ W! - -∪ también conexa.ì \ œ \ En el producto cartesiano las componentes conexas son los productos#

- A−

-

#- A

- - -−

G G \ , donde es una componente conexa de .

ì \ œ \Para que el producto cartesiano sea localmente conexo es necesario y#- A−

-

suficiente que todos los factores sean localmente conexos con excepción de un\-

número finito de ellos los cuales son conexos.ì El producto de una infinidad de espacios localmente conexos puede no serlocalmente conexo, como contra-ejemplo el espacio es el producto de unaÖ!ß #×

infinidad de copias del espacio conexo pero no es localmente conexo pues esÖ!ß #×

homeomorfo al conjunto de Cantor.62. Decir que una colección de subconjuntos de es con la propiedadÀ \ máximade la intersección finita de toda colección de partes de que contienen a y\ Àgoza de la propiedad de la intersección finita, coincide necesariamente con .ÀEsto equivale a decir que si es tal que ø para todo entoncesW § \ W ∩Q Á Q − ÀW − À.ì \ Si una colección de partes de es máxima con la propiedad de laÀintersección finita entonces, dados se debe tener queJ ß J ßá ßJ −" # 8 ÀJ ∩ J ∩â∩ J −" # 8 À.ì \ Lema: Sea una colección de partes de un conjunto , con la propiedad de la¹intersección finita. Existe una colección de partes de máxima con laÀ \propiedad de la intersección finita y conteniendo a .¹62.Teorema de Tychonoff: El producto cartesiano es compacto, si y sólo\ œ \#

- A−

-

si, cada factor es compacto.\-

ì É " ) Tómese como la familia de todos losPasos de la demostración: ¹subconjuntos cerrados en con la propiedad de la intersección finita.\# \ Existe una colección de partes de conteniendo a y máxima en relación aÀ ¹

la propiedad de intersección finita (los subconjuntos de no necesariamente sonÀcerrados)


$ : œ Ö: Q àQ − × Para todo , tiene la propiedad de la intersección- À À< <- -

finita.% Ö: Q àQ − × \ forman una colección de cerrados en con la propiedad de la<

- -À

intersección finita.& \ B − \ B − : Q- - - - - es compacto para todo entonces existe tal que para- <

todo .Q − À' B œ ÖB × \ B &Sea el punto de que posee por coordenadas los obtenidos en .- -

( B − Q Q − Þ para todo À

) B − J J − para todo .¹ì \ œ \ El producto cartesiano es localmente compacto si y sólo si, los#

- A−

-

factores son compactos salvo para un número finito de ellos los cuales son\-

localmente compactos.63. Sea una colección de subconjuntos . Definiremos en unaÆ W § \ \àQ¹

topología la cual llamaremos la entopología de la convergencia uniformelas partes de . Consideremos ahora la familia de espacios topológicosÆÖ WàQ × ] œ WàQ À \àQ ]¹ ¹ : ¹Y W− Y#Æ y el producto . La aplicación definida

W−Æ

por , donde es la restricción de a , induce en: 0 œ Ö0lW× 0lW 0 À \ Q WW−Æ

¹ \ßQ una topología. El espacio topológico resultante será indicado con¹Æ \àQ .ì 0 0 \àQ 0 lW 0lW Resulta de la definición que en si y sólo si, 8 8¹Æuniformemente para cada .W − Æì 2 − WàQ Un sistema fundamental de vecindades de una aplicación está¹Y

formada por los conjuntos: Z 2à œ Ö5 À W Qà . 2ß 5 × œ Ö5 À W Qà . 2 B ß 5 B ×

B − W% % %sup

donde es arbitrario.% !

ì Podemos obtener un sistema fundamental de vecindades de un punto2 œ Ö2 × ] œ WàQW W− YÆ en considerando los abiertos elementales:#

W−Æ

¹

Z 2à W ßá ß W ß œ Ö5 œ Ö5 × − ] à . 2 ß 5 ß 3 œ "ßá ß 8×" 8 W W W% %3 3

donde son abiertos y .W ßá ß W − !" 8 Æ %

ì 0 À \ Q Se concluye que para cada , un sistema fundamental de vecindades de0 \àQ en el espacio esta formado por los conjuntos de la forma¹Æ Z 0à W ßá ß W ß œ Ö1 À \ Qà . 1l ß 0 l ß 3 œ "ß #ßá ß 8×" 8 W W% %

3 3

donde y son arbitrarios y .W ßá ßW − ! . 1l ß 0 l œ =?: Ö. 1 B ß 0 B ×B − W

" 8 W WÆ %

64. es un espacio de Hausdorff si y sólo si, es un recubrimiento¹Æ \àQ Æ de .\ì + La topología de la convergencia simpleCasos particulares:¹ ¹Æ \àQ œ \àQ \S cuando es la colección de las partes finitas de o sea Æ Æ,consiste de las partes de que se reducen a un punto.\


, \àQ œ \àQ La topología de la convergencia uniforme cuando es¹ ¹Y Æ Æ el conjunto de todas las partes de .\- \ La topología de la convergencia uniforme en las partes compactas, cuando es

un espacio topológico y es la colección de las partes compactas de entoncesÆ \¹ ¹G \àQ œ \àQÆ

. \ La topología de la convergencia uniforme en las partes acotadas, cuando esun espacio métrico y es la colección de las partes acotadas de . NotamosÆ \

entonces que .¹ ¹, \àQ œ \àQÆ

ì \àQ \àQ Indicaremos con al subconjunto de formado por las¶ ¹Æ Æ

aplicaciones continuas , del espacio topológico en el espacio0 À \ Q \métrico .Q

65. Sea un espacio topológico y un espacio métrico. Dada una colección de\ Q Æ

partes de , si las adherencias de los conjuntos cubren a , entonces\ W − \Æ¶ ¹Æ Æ\àQ \àQ es un subconjunto cerrado de .ì " \àQ es un subconjunto cerrado de Pasos de la demostración: ¶Æ¹Y \àQ .# W − WàQ \àQ Para cada , es un subconjunto cerrado de Æ ¶ ¹Y Y# #$ H œ WàQ ] œ WàQ es un subconjunto cerrado de .

WY Y¶ ¹

W−Æ

% H \àQ es un subconjunto cerrado de donde: ¹"Æ

: ¹:

À \àQ ]0 È 0 œ 0l

Æ

ÆW W−

& H œ Ö0 À \ Qà 0l W − ×Ahora es continua, :"W Æ

' B − \ W −Cada punto pertenece al interior de algún se sigue queÆ

0 À \ Q 0l W − es continua si y sólo si, es continua para cada W Æ.( H œ \àQ .: ¶"

Æ

ì \ \àQ Si es localmente compacto, entonces es un subconjunto cerrado¶Y

de .¹G \àQ

ì \àQ Cuando es un recubrimiento enumerable, el espacio es metrizable.S ¹Sì \ Sea un espacio de Hausdorff localmente compacto enumerable en el infinito,entonces es metrizable.¹G \àQ

66.Sea una colección de subconjuntos . Indicaremos con la colecciónÆ ÆW § \ ‡

formada por todas las reuniones finitas de elementos juntoW ∪ W ∪â∪ W W −" # 8 3 Æ

con todas las partes de elementos , entonces tenemosX § W W − Æ¹ ¹Æ \àQ œ \àQÆ‡ . La colección será llamada el de yÆ Æ‡ saturamientodiremos que es cuando Æ Æ Æsaturado ‡ œ .ì œ ÖW ß W ßá ß W ßá× Cuando existe un recubrimiento enumerable tal queÆ! " # 8

¹ ¹ ¹Æ \àQ œ \àQ \àQÆ Æ! entonces la topología de puede ser definida por la

métrica . 0ß 1 œ =?: ‡

8œ"

∞"# ". 0 B ß1 B

. 0 B ß1 B8

B − W8


ì œ Ö Ò 8ß 8Ó § dà 8 − × \àQ Considerando vemos que la topología de S ¹G

puede ser definida por la métrica . 0ß 1 œ =?:8œ"

∞"# "l0 > 1 > l

l0 > 1 > l8 8 Ÿ > Ÿ 8

ì Q Si es un espacio métrico completo entonces (dentro de las hipótesis hechassobre la métrica trasforma a en un espacio métrico completo.Æ!Ñ ‡ \àQ¹Æ

67. El conjunto , imagen de la aplicación dondeJ À \àQ ] ß: ¹Æ

] œ WàQ 0 œ 0l ]#W−Æ

¹ :Y W W− y , es cerrado en .Æ

ì \ Si es un espacio de Hausdorff localmente compacto enumerable en el infinitoy es un espacio métrico completo, la métrica arriba definida, transformaQ ‡¶G \àQ \ Q en un espacio métrico completo. Si además es metrizable y tienebase enumerable, entonces tendrá base enumerable.¶ \àQì W ßá ßW − W ∩ W ∩â∩ W − Supóngase que implica que . Dado un" 8 " # 8Æ Æ

subconjunto se tiene si sólo si, para cada existe unaT § \àQ 0 − T −¹Æ W Æ secuencia de aplicaciones convergiendo para uniformemente en . [La0 − T 08 Wsucesión depende del conjunto ].Ö0 ×8 8− W

68. Sea un espacio topológico y un espacio métrico. Un conjunto de\ Q I

aplicaciones se dice en el punto cuando para todo0 À \ Q B − \equicontinuo !

% % ! Z B \ B − Z ß . 0 B ß 0 B , existe una vecindad de en tal que para todo ,! !

cualquiera que sea 0 − IÞ

ì I B 0 − I Si es equicontinuo en el punto , entonces todas las aplicaciones son!

continuas en el punto y todo subconjunto de es equicontinuo en el punto .B I B! !

ì I 0 À \ Q I Se dice que un conjunto de aplicaciones es equicontinuo cuando es equicontinuo en todo punto de .\ì \ I 0 À \ Q Si también es un espacio métrico, un conjunto de aplicaciones sedice si para cada , existe tal queuniformemente equicontinuo % $ ! !

. Bß C Bß C − \ . 0 B ß 0 C 0 − I$ %, implica cualquiera que sea .ì La notación usada aquí nos dice que T À \ IàQ

B È T B œ Bµ¶

siendo , B 0 œ 0 B 0 − I § \àQµ ¹Æ

69. Un conjunto es equicontinuo en el punto si y sólo si, laI § \àQ B − \¹ !

aplicación es continua en el punto . Si es un espacioT À \ IàQ B \¶Y !

métrico, entonces es uniformemente equicontinua si y sólo si, esI Tuniformemente continua.ì \ I § \àQ Sea un espacio métrico compacto. Todo conjunto equicontinuo ¹es uniformemente equicontinuo.70.Sea un espacio topológico y un espacio métrico. Sobre un conjunto\ Q

equicontinuo la topología de la convergencia simple coincide con laI § \àQ¶topología de la convergencia uniformemente en las partes compactas.


ì " I ßI . Sean los espacios topológicos obtenidosPasos de la demostración W G

sobre al considerarlos como subespacio de y I \àQ \àQ¹ ¹S G

respectivamente.# I I La aplicación identidad es claramente continua. Basta mostrar que laG W

aplicación identidad es continua.I IW G

$ 0 − I Z œ Z 0ßOßI œ Ö1 − IÎ =?: . 0 B ß 1 B × Para considerese unaGB − O

%

vecindad básica de , siendo compacto y arbitraria.0 O !%

% B − O [ C − [ . 1 C ß 1 B , posee una vecindad tal que si implica que ,B B $%

cualquiera que sea en .0 IW

& O § [ O § [ ∪â∪[ [ œ [B

admite un recubrimiento finito donde ,∪ B " 8 3 B3

3 œ "ß #ßá ß 8Þ

' Y œ Ö1 − Ià . 1 B ß 0 B ß 3 œ "ß #ßá ß 8× .3 3 $%

( Y 0 I es una vecindad de en .W

) Y § Z Se muestra que para algún . Luego yB − O Ê B − [ œ [ 3 œ "ß #ßá ß 8 . 1 B ß 0 B 3 B $3

%

pues . Como , se sigue que. 0 B ß 0 B 0ß 1 − I 1 − Y Ê . 1 B ß 0 B 3 3$ $% %

. 1 B ß 0 B Ÿ . 1 B ß 1 B . 1 B ß 0 B . 0 B ß 0 B 3 3 3 3 %Como son continuas y es compacto se sigue que0ß 1 O de ahí .=?: . 1 B ß 0 B 1 − Z

B − O%

71. Sea un espacio topológico y un espacio métrico. La adherencia de un\ Q

conjunto equicontinuo es aún un conjunto equicontinuo.I § \àQ¹Sì " B − \ ! Sean arbitrario y . Existe una vecindadPasos de la demostración. ! %

Z B \ . 0 B ß 0 B aB − Z ß a0 − I I del punto en tal que , es equicontinuo! ! $%

# B − Z . 1 B ß 1 B ß a1 − I implica .! %$ Y œ Ö0 − \àQ à . 0 B ß 1 B ß . 0 B ß 1 B × 1 es una vecindad de ¹S

% %$ $! !

en ¹S \àQ% 1 − I Ê b0 − I ∩ Y & . 1 B ß 1 B Ÿ . 1 B ß 0 B . 0 B ß 0 B . 0 B ß 1 B Se sigue que ! ! ! ! %

Luego es equicontinuo ya que es arbitrario.I B!

72. Sea equicontinuo. Entonces la adherencia de en I § \àQ I \àQ¹ ¹Scoincide con la adherencia de en .I \àQ¹G

ì 0 B Ä 0 B B − \ I œ Ö0 ß 0 ßá ß 0 ßá× Si para todo y es equicontinuo8 " # 8

entonces es continua y uniformemente en cada parte compacta de .0 0 Ä 0 Q8

73. Teorema de Dini: Sea una sucesión creciente de0 Ÿ 0 Ÿ â Ÿ 0 Ÿ â" # 8

funciones reales continuas . Si converge simplemente para una0 À \ d Ö0 ×8 8 8− función continua , entonces uniformemente en cada parte0 À \ d 0 Ä 08

compacta de .\ì I œ Ö0 ß 0 ßá ß 0 ßá× - Basta mostrar que es unPasos de la demostración. " # 8

conjunto equicontinuo." B − \ ! R ! l0 B 0 B l y , existe tal que ! R ! ! &% %


# Z B l0 B 0 B l l0 B 0 B l Existe una vecindad de tal que y para! R R ! !& &% %

todo esto se tiene por la continuidad de y de .B − Z 0 0R

$ B − \ 8 R l0 B 0 B l Ÿ l0 B 0 B l 0 Para todo y todo tenemos (pues 8 R 8

converge crecientemente hacia ).0% B − Z ß Para

l0 B 0 B l Ÿ l0 B 0 B l l0 B 0 B l l0 B 0 B l ŸR R R ! R ! ! !$&%

& B − Z 8 RSe sigue entonces para todo y que l0 B 0 B l Ÿ l0 B 0 B l l0 B 0 B l l0 B 0 B l8 8 ! 8 ! ! 8 !

.Ÿ l0 B 0 B l l0 B 0 B l l0 B 0 B l œÅ$

R ! ! R !$& & &% % % %

ì I § \àQ B − \ I B Dados y indicaremos con el conjunto de los valores¹0 B 0 I, cuando recorre .74. Teorema de Ascoli. Sea un conjunto de aplicaciones continuas de un espacioI

topológico en un espacio métrico . A fin de que sea relativamente\ Q Icompacto en es suficiente:¶G \àQ sea relativamente compacto, para todo .3ÑÞ I B § Q B − \

sea equicontinua.33Ñ I

Cuando es localmente compacto de Hausdorff, estas condiciones son también\necesarias.ì I 3 33 . Supóngase que satisface las condiciones ) y ).Pasos de la demostración" B − Qß I B § Q es un subconjunto compacto.## I B \àQ

B−\

es un subconjunto compacto del espacio de Hausdorff y por lo¹S

tanto cerrado en este espacio.# #$ I § I B ß I § I B I entonces de aquí es compacto.B−\ B−\

W W

% I I œ I I Pero es equicontinuo, por lo tanto , luego es compacto.W G G

& I − \àQ I I \àQ luego es la cerradura de en .G G G G¶ ¶ì De estos cinco pasos se demuestra la suficiencia del teorema.Sea ahora localmente compacto, de Hausdorff y supongamos que es\ Irelativamente compacto, esto es que en es compactoI \àQ Þ¶G

" \àQ \àQ I I Como es cerrado en , también es la cerradura de en¶ ¹G

¹S \àQ .# B − \ B À \àQ Q B 0 œ 0 Bµ µ Para cada la aplicación definida por es¶G

continua. Luego es compacto en .I B œ B I Qµ ˆ ‰$ I B § I B I B § I B I B § Q, entonces , de donde es compacto, lo cual

prueba la primera afirmación del enunciado del teorema.% B − \ ! 0 − I B − \ß 0 − I Sea y , como cada es continua en dada existe! !%

una vecindad compacta de en tal que si implica .O B \ B − O . 0 B ß 0 B 0 ! 0 ! $%

& 0 − I Para cada supongamos también que Z œ Z 0ßO ß œ Ö1 − \àQ à =?: . 1 B ß 0 B ×0 0 # $

ˆ ‰% %¹GB − O0


' I § Z Dado el recubrimiento abierto podemos extraer un subrecubrimiento∪ 0

finito , donde . Escribimos también , .I § Z ∪â∪ Z Z œ Z O œ O 3 œ "ß #ßá ß 8" 8 3 0 3 03 3

( Y œ O ∩O ∩â∩O B La intersección es una vecindad de ." # 8 !

) B − Y 1 − I 1 − Z 3Dados y cualquiera, tenemos para algún .3

* Bß B − OComo se tiene! 3

. 1 B ß 1 B Ÿ . 1 B ß 0 B . 0 B ß 0 B . 0 B ß 1 B ! 3 3 3 ! 3 ! ! % Por lo tanto es equicontinuo y por consiguiente también lo es.I I

75.Teorema de Hausdorff. Sea el conjunto de las partes acotadas, cerradas y¹ Q

no vacías de un espacio métrico Si es un espacio compacto entonces esQÞ Q Q¹

compacto.ì " I œ Ö0 à J − Q × ¾Pasos de la demostración. es equicontinuo J ¹

0 À B È . Bß JJ

# aB − Qß I B œ Ö. Bß J à J − Q × § Ò!ß Ó œ .3+7ÞQß I B donde de donde es¹ $ $

relativamente compacto.$ Qàd œ Qàd I Por el teorema de Ascoli aplicable porque es un¶ ¶Y G

subconjunto relativamente compacto de ¶Y Qàd% I § Qàd Finalmente se prueba que es cerrado.¶Y

& I œ Q Qàd es cerrado en y por lo tanto es compacto.¹ ¶Y

76. El conjunto de las isometrías de un espacio métrico compacto es un conjuntocompacto en la topología de la convergencia uniforme.77. Topología compacto abierta. Sea un espacio topológico. Dada una colección \ Æ

de partes de se dice que la topología de es generada por cuando y las\ \ \Æintersecciones finitas de los subconjuntos constituyen unaK ∩â∩K K −" 8 3 Æ

base de .\ì \ß ] ] Dados los espacios si la topología de es generada por una colección deabiertos de , entonces una aplicación es continua en un punto siÆ 0 À \ ] B − \y sólo si, para cada generador conteniendo existe una vecindad K − C œ 0 B ZÆde en tal que .B \ 0 Z § Kì \ß ] T § \ U § ] E T àU Sean espacios topológicos. Dados y indiquemos con al conjunto de todas las aplicaciones continuas tales que así0 À \ ] 0 T § Uß .E T àU œ Ö0 − \à ] à 0 T § U×¶

ì \ Q Sean un espacio topológico y un espacio métrico. La topología del espacio¶G \àQ E OàZ O § \ es generada por los conjuntos donde es compacto yZ § Q es abierto.ì \ß ] \à ] Sean espacios topológicos. Indicaremos como de costumbre con al¶conjunto de las aplicaciones de en . La topología en generada por los\ ] \à ]¶conjuntos donde es compacto en y E OàZ œ Ö0 − \à ] à 0 O § Z × O \ Z¶

abierto en , se llama y el espacio topológico] topología compacta-abiertacorrespondiente será indicada con ¶-+ \à ] Þ


78. La topología compacto abierta es más fina que la topología de la convergenciasimple. En otras palabras, sean cuales fueren los espacios topológicos la\ß ]aplicación identidad de es continua.¶ ¶-+ \à ] \à ]Sì ] \à ] Si es un espacio de Hausdorff, entonces es espacio de Hausdorff sea¶-+

cual fuere el espacio \Þ

ì \à ] œ ] œ ] \à ] ¤ \à ] es Hausdorff como se sigue que¶ ¶ ¶S S#\

\-+

¶-+ \à ] es Hausdorff.79. Sean , , y . Por simplidad se escribe o0 − \à ] J § \à ] B − \ W § \ 0 † B¹ ¹

0B 0 B à 0 † W 0W 0 W J † B JB en vez de o en vez de y o en vez deJ B œ Ö0 B à 0 − J×Þ

ì \ß ] ß ^ 0 À \ ] à^ Dados y una aplicación usaremos la notación¹

0 À \ ‚ ] ^ 0 Bß C œ 0 B † Cµ µ para indicar la aplicación definida por 80. Sean espacios topológicos, donde es un espacio de Hausdorff. Una\ß] ß ^ ]

aplicación es continua si y sólo si, para cada compacto , la0 À \ ] à^ P § ]¶-+

restricción de a es continua.0 À \ ‚ P ^ 0 \ ‚ Pµ µ

ì \ß ] ß @ À \à\ ‚ ] ] Dados los conjuntos indicaremos por definida por¶-+

@ 0 ß B œ 0 B ß 0 ß B 0 B 0 Bque asocia a cada par el valor de en , llamadavaluación. 81.Si es un espacio de Hausdorff, entonces definida por\ \à] ‚O ]¶-+

@ 0 ß B œ 0 B ß O § \Þes continua para cada compacto ì \ß^ ]Sean espacios topológicos arbitrarios y un espacio localmente compactode Hausdorff. Para que sea continua es necesario y suficiente que0 À \ ] à^¶-+

0 À \ ‚ ] ^µ sea continua.ì \ Sea un espacio de Hausdorff localmente compacto. La aplicación@ À \à ] ‚ \ ] @ 0ß B œ 0 B ß¶-+ definida por es continua.ì \Obervación: Dados un espacio de Hausdorff localmemente compacto y unespacio topológico cualquiera , la topología compacta-abierta es la menos fina]en que deja continua la aplicación . Cuando no es¶ ¶\à] @ À \à ] ‚ \ ] ]localmente compacto una tal topología no existe.82.Sean espacios de Hausdorff y un espacio topológico cualquiera.\ß] ^

Entonces es un homeomorfismo sobre unW À \ ‚ ] à^ \à ] à ^¶ ¶ ¶-+ -+ -+

subespacio de ¶ ¶-+ -+\à ] à ^ì \ ]Ley exponencial: Sean un espacio de Hausdorff, localmente compacto deHausdorff y arbitrario. La aplicación definida por , donde^ W 0 œ 0

µŠ ‹0 B † C œ 0 Bß C \ ‚ ] à^ \à ] à ^

µ es un homeomorfismo de sobre .¶ ¶ ¶-+ -+ -+

83.Teorema de extensión de Tietze. Sea un espacio topológico. Considérese las\

siguientes afirmaciones" J § \ 0 À J d À \ dDados cerrado y continua, entonces existe continua:

tal que :l œ 0ÞJ


# J ßK § \ À \ d J œ !ßDados cerrados disyuntos, entonces existe tal que : :

: K œ ".$ \ es normal.

Entonces se puede mostrar que ." Ê # Ê $ì J \ N Sea un subconjunto cerrado de un espacio normal y un intervalo de larecta puede ser abierto o no, acotado o no . Dada una función real continuaN0 À J N À \ N B œ 0 B existe una función continua tal que para todo: :B − J .ì J \ Sea un subconjunto cerrado de un espacio normal . Toda aplicación0 À J d À \ d8 8 puede ser continuamente extendida a una aplicación .:ì J \ W Sean un subconjunto cerrado de un espacio normal y la esfera unitaria8

8 0 À J W-dimensional. Toda aplicación continua puede ser extendida8

continuamente a una vecindad de en .J \ì 0 À J W No es verdad que toda aplicación continua pueda extenderse8

continuamente a una aplicación . Por ejemplo la función identidad : À \ W 0 À W8 "

W À d W" # " no se puede extender continuamente como una función .:

84. Sean un espacio topológico y un espacio de Hausdorff, dada una\ ] \ § ]

función real acotada digamos existe una compactificación tal0 À \ Ò!ß "Ó À \ ]:

que se extiende a una función continua .0 0 À ] Ò!ß "Ó

ì \ Un espacio topológico es llamado cuando, dadoscompletamente regulararbitrariamente un punto y un abierto en con entonces existeB − \ Y \ B − Yßsiempre una función continua tal que y0 À \ Ò!ß "Ó 0 B œ " 0 \ Y œ !Þ

ì Q B − Y Y § Q Todo espacio métrico es completamente regular, pues tómese ,!

abierto y definida por .0 À Q Ò!ß "Óß 0 B œ . BßQY. BßB . BßQY!

ì Todo espacio completamente regular es regular. La recíproca es falsa pues todoespacio de Hausdorff regular no es completamente regular.ì Todo espacio de Hausdorff compacto es completamente regular.ì \ À \ ] Para que un espacio de Hausdorff posea una compactificación donde:] \es Hausdorff es necesario que sea completamente regular.ì La recíproca también es verdadera pues todo espacio localmente compacto deHausdorff es completamente regular, en ese caso existe la compactificaciónde Alexandroff .

85. Sea un espacio topológico. Indiquemos con y con ,\ M œ Ò!ß "Ó œ \à M¶ ¶

M œ M¶

¶

#0−

0 que es un espacio de Hausdorff. Existe una aplicación natural

: :À \ M B − \ B œ ÖB × B œ 0 B¶¶ definida tomando para cada , donde .0 0− 0

ì À \ M 0 −La aplicación es continua, porque, para cada , la aplicación: ¶¶

compuesta (donde es la proyección sobre el -ésimo factor)1 : 10 0‰ À \ M À M M 0¶

coincide con la propia aplicación donde es continua.0 À \ M ‰1 :0

86. Para que la aplicación continua , así definida sea un: À \ M¶

homeomorfismo de sobre es necesario y suficiente que sea un espacio\ \ \:de Hausdorff completamente regular.


87. Dado el espacio de HausdorffCompactificación de Stone-Cech: completamente regular indiquemos con la imagen de la aplicación\ \ œ \" :: " : "À \ M \ À \ \¶. Entonces es un espacio de Hausdorff compacto y esuna compactificación de , llamada la del\ compactificación de Stone-Cech espacio .\ì \ Muchas veces el espacio es llamado la compactificación de Stone-Cech del"espacio , queda subentendida la aplicación natural ,\ À \ \: ": \ œ Ö0 B ×0−¶.88. Un espacio de Hausdorff es completamente regular si y sólo si, es\

homeomorfo al , cubo, M œ M M œ M ß a − ÞA

- A- -#

−

- A

ì \ Evidentemente un espacio de Hausdorff compacto es homeomorfo a sucompactificación de Stone-Cech y por lo tanto puede siempre ser" \naturalmente identificado a un subconjunto cerrado de .M œ \à M¶ ¶ ¶ì À \ ] ß À \ ] Diremos que dos compactificaciones del mismo espacio: :w w

topológico son isomorfas cuando existe un homeomorfismo tal que\ 2 À ] ] w

2 ‰ œ: :w.89. Sea un espacio completamente regular de Hausdorff. Dada una\

compactificación , las siguientes afirmaciones son equivalentes< À \ ]" À \ ] À \ \ es isomorfa a la compactificación de Stone-Cech .< : "# 0 À \ d 0 À ] Para toda función real continua, acotada existe una única función d 0 ‰ œ 0à 0 \ § Ò+ß ,Ó 0 ] § Ò+ß ,Ótal que si entonces .<

$ 1 À \ ^ ^Para toda aplicación continua en un espacio de Hausdorff compacto ,existe una única aplicación tal que .1 À ] ^ 1 ‰ œ 1<

90. La compactificación de Stone-Cech es un proceso natural o funcional en elsiguiente sentido: Dados espacios de Hausdorff completamente continuosregulares sean las\ß] ß ^ À \ \ ß À ] ] ß À ^ ^: " < " 6 "compactificaciones de Stone-Cech respectivas. Toda aplicación continua - "‡ À \" ] caracterizada por el diagrama

que es conmutativo. Si es otra aplicación, considérese , se. . " "À ] ^ À ] ^‡

tiene . Si es la aplicación idéntica entonces. - . - " " +‰ œ ‰ À \ ^ À \ \‡ ‡ ‡

+ " " -‡ À \ \ À \ ]también es la identidad. Se sigue que si es unhomeomorfismo, entonces también es un homeomorfismo y se- " "‡ À \ ]tiene el siguiente diagrama conmutativo


§2 RESULTADOS PROBADOS.

1..Sea un espacio métrico. Indiquemos con el conjunto de todas las partesQ Q¹

\ § Q que gozan de las siguientes propiedades: es acotado,3 Q

entonces .33 . Bß\ œ ! B − Q

Para sea el mayor de los números\ß] − Q \ß]¹ 3

, o, sup supÞÖ. Bß\ à B − \× ÞÖ. Cß ] à C − ] ×

Entonces es una métrica en , llamada la métrica de Hausdorff. Para 3 ¹ Q \ § Q

cualquiera y sea la reunión de las bolas abiertas de radio< ! Y \à < œ F Bß <∪B − \

< B \ß ] − Q \ß] < y centro en un punto de . Entonces si muestre que ¹ 3

implica que y . Por otra parte estas dos inclusiones\ § Y ] à < ] − Y \à <

implican que .3 \ß] Ÿ <

SOLUCIÓN. Primera parte. 3Ñ À \ß ] \ß ] es una función a valor real ya que3 3

3 ¹\ß] ∞ \ß] − Q EßF − d, en efecto sabemos que o sea existe tal que

$ $\ Ÿ Eß ] Ÿ F.Sean , elementos de y respectivamente fijos entonces de la desigualdadB C \ ]! !

triangular en se tieneQß. . Bß C Ÿ . Bß B . B ß C . C ß C ß aBß aC! ! ! !

ahora .. Bß C Ÿ E . B ß C Fß aBß aC! !

Sea entonces se tiene que. Bß C œ - . Bß C Ÿ E F -ß aBß aCentonces . Bß ] Ÿ E F -ß aB ß • ß . \ß C Ÿ E F -ß aCLuego sup sup

B − \ C − ]Bß ] Ÿ E F -ß • ß \ß C Ÿ E F -

por lo tanto 3 \ß] Ÿ E F -


33Ñ \ß\ œ ÞÖ . Bß ] ß . Cß\ × œ . Bß\ œ !B − \

3 max sup sup supB − \ œ ] C − ] œ \

ya que . Bß\ œ !ß aB − \Þ

333Ñ \ß ] œ ÞÖ . Bß ] ß . Cß\ × œ ! , esto equivale a decir que3 max sup supB − \ C − ]

=sup supB − \ C − ]

. Bß ] œ !ß • ß . Cß\ !

o sea que aB − \ß . Bß ] œ !ß • ß aC − ] ß . Cß\ œ !

Por la propiedad de los conjuntos de dada en la hipótesis, se tiene33Ñ Q¹

aB − \ß B − ] ß • ß aC − ] ß C − \ \ § ] ß • ß ] § \ \ œ ], de donde , o sea que .3@Ñ \ß ] œ ÞÖ . Bß ] ß . Cß\ × . Bß ] !ß . Cß\ ! y como , se3 max sup sup

B − \ C − ]

sigue que cuando .3 \ß] ! \ Á ]

@Ñ \ß ] Ÿ \ß^ ^ß ]Veamos ahora que . Esto es equivalente a mostrar3 3 3

que para todo , y todo se tieneB − \ C − ]MÞ . Bß ] Ÿ \ß^ ^ß ] 3 3

MMÞ . Cß\ Ÿ \ß^ ^ß ] 3 3

Sabemos que en el espacio métrico Q . Bß C Ÿ . Bß D . Cß D ß aBß aCß aD "De la definición de se tiene380

C − ]

. Bß ] œ 380 . Bß C Ÿ . Bß D 380 . Cß D œ . Bß D . Dß ]C − ] C − ]

la cual es válida para cualquier y cualquier por lo tantoB − \ß D − ^ . Bß ] Ÿ . Bß D Dß ] ß aB − \ß aD − ^3de donde . Bß ] Ÿ . Bß ^ ^ß ] ß aB − \3esto según la definición de . Luego. Bß ^ . Bß ] Ÿ \ß^ ^ß ] #3 3Ahora de tomando tenemos" 380

B − \

. Cß\ Ÿ . Dß\ . Cß D Ÿ ^ß\ . Cß D3la cual es válida para todo y todo C − ] D − ^Þ

Tomando se tiene que380D − ^

. Cß\ Ÿ ^ß\ . Cß ^ Ÿ ^ß\ ] ß^ $3 3 3de donde hemos probado y se tiene" ß # .3 3 3\ß] Ÿ \ß^ ^ß ]

Segunda parte: 3 \ß] < implica que max sup supÞÖ . Bß ] ß . Cß\ × <

B − \ C − ]

Existe tal que existe tal queB − \ aC − ] ß . Bß C < ß • ß C − ]‡

aB − \ß . Bß C < aC − ] ß bC − \ C − F Bà < ß • ß aB − \ß bC − ], entonces tal que talque , o seaB − F Cà < , , aC − ] à C − F Bà < • aB − \à B − F Cà <∪ ∪

B − \ C − ]


lo cual es equivalente a ] § F Bà < ß • ß\ § F Cà < œ Y ] ß <∪ ∪

B − \ C − ]‡ Notese que existe tal que , ya que si B − \ aC − ] . Bß C < aB − \ß bC − ] à. Bß C < bC − ] à . Cß\ < \ß ] < po entonces o sea que que es contra la3hipótesis.Por otra parte supongamos que esto significa que\ § Y ] à < ß • ß ] § Y \à < aB − \ß bC − ] ß . Bß C Ÿ <ß • ß aC − ] ß bB − \à . Bß C Ÿ <entonces œ . Bß ] Ÿ <ß aB − \

. Cß\ Ÿ <ß aC − ]Ê \ß] Ÿ <3

2. Sea la aplicación que asocia a cada parte de un espacio métrico la. \ § Q Qs

función real , definida por , (o sea es la función. À Q d . D œ . Dß\ D − Q .\ \ \

distancia de un punto variable de al conjunto fijo ). Si nos restringimos aQ \

considerar apenas para los obtenemos una aplicación. \ − Q\ ¹

. À Q Qàd Q Qàds ¹ ¹ ¹ ¹de en el conjunto de las funciones reales en elespacio métrico Tenemos entoncesQÞ

+ \ß ] − Q . . Para cualesquier , las funciones y estan a una distancia¹ \ ]

finita en .¹ Qàd

, . \ . QsLa aplicación : es una inmersión isométrica de en el espacio de\ ¹

las funciones .¹ Qàd

SOLUCIÓN. Afirmación: Sean subespacios acotados de un espacio métrico\ß]Q \ß] œ ÞÖ. Bß C à B − \ß C − ] × \ß ] ∞. Sea . Entonces y paraα αsupcualquier , se tiene .D − Q l. Dß\ . Dß ] l Ÿ \ß ]α

En efecto, sea para algún y algún números reales positivos$ $\ Eß ] F E F(estos existen, dado que son acotados), sea elementos fijos así\ß ] B − \ß C − ]! !

que está bien determinada. En se tiene que. B ß C œ - Q! !

. Bß C Ÿ . Bß B . B ß C . C ß C E F - aB − Qß aC − Q! ! ! !

Por lo tanto supÞ . Bß C œ \ß ] Ÿ E F - ∞

B − \ß C − ]α

Se debe mostrar ahora que , lo cual es equivalente al. Dß\ . Dß ] l Ÿ \ß ]α

-α α\ß] Ÿ . Dß\ . Dß ] Ÿ \ß ]o sea veamos queMÞ . Dß\ Ÿ \ß ] . Dß ] α

MMÞ . Dß ] Ÿ . Dß\ \ß ] .α

Sabemos que o sea quel. Dß B . Dß C l Ÿ . Bß C

. Bß C Ÿ . Dß B . Dß C Ÿ . Bß C aBß aCß aDde aquí tenemos que . Dß B Ÿ . Bß C . Dß C aBß aCß aD . Dß C Ÿ . Dß B . Bß C aBß aCß aD


de donde se tiene que 380 . Dß B Ÿ 380 . Bß C . Dß C aCß aD

B − \ B − \

380 . Dß C Ÿ . Dß B 380 . Bß C aBß aDC − ] C − ]

o sea que . Dß\ Ÿ . \ß C . Dß C aCß aD . Dß ] Ÿ . Dß B . Dß ] aBß aDrecibiéndose . Dß\ Ÿ \ß ] . Dß C Ÿ \ß ] . Dß C ß aC − ]3 α . Dß ] Ÿ \ß ] . Dß B Ÿ \ß ] . Dß B ß aB − \Þ3 α

Por lo tanto . Dß\ Ÿ \ß ] . Dß ] aD − Qα . Dß ] Ÿ \ß ] . Dß\ aD − QÞα

Obteniéndose l. Dß\ . Dß ] l Ÿ \ß ]α

Resta mostrar que , en efecto, se conoce que3 α\ß] Ÿ \ß ] l. BßE . CßE l Ÿ . Bß C

para cualquier subconjunto no vacío En particular para se tieneEÞ E œ \

l. Bß\ . Cß\ l Ÿ . Bß C aBß aC

para se tieneB − \ . Cß\ Ÿ . Bß C aB − \ß aC − Qo sea que .sup

C − ]. Bß ] Ÿ \ß ]α

Análogamente tomando se tieneE œ ] sup

B − \. Bß ] Ÿ \ß ]α

por lo tanto 3 α\ß] Ÿ \ß ]

Š ‹+ . . ß . Þ œ ll. . ll œ Ö. D . D à D − Q×s s s s .\ ] \ ] \ ]HIJ

Þ sup

De esta definición se recibe .l. D . D l œ l. Dß\ . Dß ] l Ÿ \ß ] aD − Q\ ] α

Por lo tanto .sup sup

D − Q D − Ql. D . D l œ l. Dß\ . Dß ] l Ÿ \ß ]\ ] α

Se sigue de la afirmación que , por lo tanto o seaα \ß] ∞ ll. . ll ∞s s\ ]

que y están a una distancia finita en .. . Qà\ ] ¹ ‘

, ll. . ll œ \ß ]s s Probemos ahora que \ ] 3

Se sabe que si , por lo tantoB − \ Ê . Bß\ œ !

sup sup supB − \ B − \ B − QÅ

\ § Q

. Bß ] œ l. Bß\ . Bß ] l Ÿ l. Bß\ . Bß ] l œ ll. . lls s\ ]

también sup sup sup

C − ] C − ] C − QÅ] § Q

. Cß\ œ l. Cß\ . Cß ] l Ÿ l. Cß\ . Cß ] l œ ll. . lls s\ ]


de donde se tiene .3 \ß] œ ÞÖ . Cß\ ß . Bß ] × Ÿ ll. . lls smax sup sup

C − ] B − \\ ]

Mostremos ahora o sea quell. . ll Ÿ \ß ]s s\ ] 3

l. Dß\ . Dß ] l Ÿ \ß ] aD − Q3

lo cual es equivalente a \ß] Ÿ . Dß\ . Dß ] Ÿ \ß ] aD − Q3 3esto es, mostrar la veracidad de las dos desigualdades siguientes: . Dß\ Ÿ \ß ] . Dß ] aD − Q3 .. Dß ] Ÿ \ß ] . Dß\ aD − Q3Para esto se sabe que . Dß B Ÿ . Bß C . Dß C aBß aCß aD . Dß C Ÿ . Dß B . Bß C aBß aCß aDde donde se obtiene . Dß\ Ÿ . \ß C . Dß C aCß aD . Dß ] Ÿ . Dß B . Dß ] aBß aDde manera que tenemos . Dß\ Ÿ \ß ] . Dß ] aD − Q3 . Dß ] Ÿ \ß ] . Dß\ aD − QÞ3

3.Sea la esfera unitaria -dimensional, con la métrica ,W œ ÖB − d à lBl œ "× 8 lB Cl8 8"

inducida de . Para cadad8"

B œ B ß B ßá ß B − W" # 8" 8

se tiene también . B œ B ß B ßá ß B − W" # 8" 8

Sea el conjunto cociente de por la relación de equivalencia que identifica 8 8W B

con los elementos de son las parejas , . Indiquemos con B : œ ÖBß B× B − W8 8

1 1 1 À W B œ ÖBß B× œ B ß8 8 8 la aplicación cociente . En supongamos que si y .. :ß ; œ ÞÖlB Clà lB Cl× : œ ÖBß B× ; œ ÖCß C×minEsto lleva a que sea un espacio métrico, llamado el 8 espacio métrico

proyectivo real 8 . B ß C Ÿ lB Cl \ § Wdimensional. Se tiene . Sea un1 1 8

subconjunto tal que , esto es, si entonces . Entonces,$ È È\ Ÿ # Bß C − \ lB Cl Ÿ #

1 l \\8 es una inmersión isométrica de en .

SOLUCIÓN. Para cada se tiene que están siempre bien:ß ; − lB Clß lB Cl8

determinados, por lo tanto está bien definido.. :ß ;3 . :ß ; œ ÞÖlB Blß lB B× œ ÞÖ!ß l#Bl× œ ! min min33 . :ß ; œ ! Í ÞÖlB Clß lB Cl× œ ! Ê lB Cl œ !ß ” ß lB Cl œ !ßmin esto es,

B œ Cß ” ß B œ C


333 . :ß ; œ ÞÖlB Clß lC Bl× ! : Á ; : Á ; Ê B Á Cß ” ß B Á Cmin si , en efecto, , deesto se sigue que , entonces , se sigueB C Á !ß ” ß B C Á ! lB Cl !ß ” ß lB Cl !

estonces que de donde si minÞÖlB Clß lB Cl× ! . :ß ; ! : Á ;

3@ . :ß ; œ ÞÖlB Clß lB Cl× œ ÞÖlC Blß lC Bl× œ . ;ß : min min@ . :ß ; Ÿ . :ß = . =ß ; : œ ÖBß B×ß ; œ ÖCß C×ß Se va mostrar que donde = œ ÖDß D× o sea debemos mostrar que min min minÞÖlB Clß lB Cl× Ÿ ÞÖlB Dlß lB Dl× ÞÖlC Dlß lC Dl×

Sabemos que lB Cl Ÿ lB Dl lD Cl aBß aCß aD

lB Cl Ÿ lB D D Cl Ÿ lB Dl lD Cl aBß aCß aD

por lo tanto min minÞÖlB Clß lB Cl× Ÿ ÞÖlB Dl lD Clß lB Dl lD Cl×

Ÿ ÞÖlB Dlß lB Dl× ÞÖlD Clß lD Cl×min min@3 . B ß C œ ÞÖlB Clß lB Cl× Ÿ lB Cl Es claro que 1 1 min È@33 aB aC − \ß lB Cl # Si se demuestra que , , se sigue inmediatamente que . l B ß l C œ lB Cl1 1\ \

Veámoslo, se sabe que y hemos ya mostrado en el álgebra lineal lo$ È\ Ÿ #siguiente: +m m œ ß œ ß ß ß ß α " α " α " α α α " " α " "#

œ m m m m ß ß "α " " α α "# #

m m œ ß œ ß ß ß ß α " α " α " α α α " " α " "#

œ m m m m ß ß #α " " α α "# #

De y tenemos:" # + + = +m m m m #m m #m mα " α " α "# # # #

En particular tenemos aquí que lB Cl lB Cl œ # lBl lCl aBß aC# # # #

y también .lB Cl Ÿ \ Ÿ #$ ÈComo se tiene que | | asíBß C − \ § W B œ "ß • ß lCl œ "ß8 # #

lB Cl lB Cl œ # # œ % Í lB Cl œ % lB Cl# # # #

Como entonces así,lB Cl Ÿ # lB Cl ## #

.lB Cl % # œ #ß aB − \ß aC − \#

O sea que ,lB Cl # Í lB Cl # ß aB − \ß aC − \# Èlo cual se quería probar.

4.Sean espacios métricos. La oscilación de en el punto esQß. ß Rß . 0 À Q R +w

un número A 0à + œ Þ Ò0ÖF +ß < ×Óinf $imágenes por de las bolas abiertas de centro en . Probar que0 +

+ 0 + A 0à + œ ! es continua en , si y sólo si, ., 0 À d d !Calcule la oscilación de en el , donde


. para para 0 B œ

=/8 B Á !

! B œ !œ "

B

SOLUCIÓN. + Ê Ñ 0 + ! ! Si es continua en , significa que dado , existe , tal% 5

que a> − F +ß Ê . 0 > ß 0 + 5 %w

Ahora a> − F +ß ß a> − F +ß ß . 0 > ß 0 > Ÿ . 0 > ß 0 + . 0 > ß 0 + Ÿ # Þ5 5 %w w w w w w

Entonces .$ 5 % %0 F +ß œ Þ . 0 > ß 0 > Ÿ # a !sup

>ß > − F +ßw 5

w w

Ahora , tal que ,b8 ! !ß • ß 0 F +ß Ÿ #5 $ %" "

8 8ˆ ‰ˆ ‰ˆ ‰

entonces ø, entonces existeÖ8 − Î 0 F +ß # × Á $ %ˆ ‰ˆ ‰ˆ ‰"8

infÞ Ö8 − Î 0 F +à Ÿ # × Ÿ #8 −

$ % %ˆ ‰ˆ ‰ˆ ‰"8

por lo tanto A 0à + œ !

É Ñ A B œ ! ! < ! Si entonces dado existe tal que0 %

supÞ . 0 > ß 0 > Ê . 0 > ß 0 > a>ß a> − F +ß <>ß > − F +ß <w

w w w w w% %

entonces dado , existe tal que% ! < !

, es continua.a w> − F +ß < . 0 > ß 0 + Ê 0%, B œ 8 œ "ß $ß &ß (ßá Tomemos , una sucesión de números reales tendientes8

#81

para cero, tenemos 0 B œ =/8 œ =/8 8 œ

"ß 8 œ "ß &ß *àá "ß 8 œ $ß (ß ""ßáœ8

"#ˆ ‰#

81

1

Así sea entoncesF !ß 8 œ "ß $ß &ß (ßáˆ ‰"8

$ˆ ‰ˆ ‰0ÒF !ß Ó œ Þ l0 B 0 C l œ Þ l=/8 =/8 l œ #" " "8 B Csup sup

Cß B − F !ß Bß C − F !ßˆ ‰ ˆ ‰" "8 8

Ahora .A 0ß ! œ Þ 0 F !ß œ #ˆ ‰ˆ ‰ˆ ‰inf8 − Ö"ß $ß &ßá×

$ "8

5.Establecer los siguientes homeomorfismos:+ d Ö+× W ‚ d + − dEntre y donde 8" 8 8"

, L œ ÖB − d à B !×Entre el semi-espacio superior abierto y el espacio entero8 8

d L œ Ö< − d à B !× d ‚ Ò!ß∞Ñ8 8 8 8"; entre y .- T œ ÖB − d à B !ßá ß B !× d ‚ Ò!ß∞ÑEntre y .8 " 8 8"

SOLUCIÓN. + À d Ö!× W ‚ d Sea definida así:: 8 8

si

si :

ÚÛÜ

Š ‹Š ‹B œ

ß lBl " ß lBl "

ß ß lBl "

BlBl

BlBl lBl

lBl"

como entonces | , además ya que por otra parteB Á ! Bl Á ! − W œ "B BlBl lBl

8 ¹ ¹lBl"lBl lBl

"œ " Ä ∞ lBl Ä ! ß ß lBl " Ä ∞ lBl Ä ∞ cuando y + cuando por lotanto está bien definida.:


Ahora sea definida por si si1 À W ‚ d d Ö!× ß 1 Cß D œ

" D Cß D !

Cß D !8 8"

""D

œes claro que está bien definida además se tiene que13)

::

:œ ˆ ‰ÚÛÜ

Š ‹Š ‹ ¹ ¹1 Cß D œ œ

" D C D !

C D Ÿ !

ß " D " à l" DllCl œ " D "

ß " à C œ "

, si , si "

"D

"D C"D

"D C"D "D "D

" " "ˆ ‰""D

o sea que

si si œ: ‰ 1 Cß D œ œ Cß D

Cß D " D "

Cß D """D

de donde o sea que es inyectiva.: :‰ 1 œ M.W ‚d8

33) Por otra parte Þß Ûà

ÚÛÜ

Š ‹Š ‹

ÚÝÝÜ1 ‰ B œ œ

1 ß lBl " lBl "

1 ß " lBl Ÿ "

lBl " " lBl " !

:

BlBl

B "lBll lBl

BlBl

" B

" " lBl

, si

, si

, si

, si

Š ‹"lBl

" œ Ÿ !"lBl lBl

lBl"

,, si , si œ œ B

B lBl "B lBl Ÿ "œ

o sea que .1 ‰ œ M.: d Ö!×8"

Así es sobre, por lo tanto es biyectiva y se tiene : : :" œ 1Þ

333 œ ß) : En efecto donde: : : :es continua " #

:"8" 8"

BlBl

À d Ö!× d Ö!×B È

es continua,

si si |

:#8"

lBl"lBl

À d Ö!× d

B ÈlBl "ß lBl "

ß Bl Ÿ "

Como entonces es continua.lim limlBlÄ" lBlÄ"

lBl"lBl #ÖlBl "× œ œ ! :

Luego = es continua ya que cada una de sus componentes lo es.: : :" #ß3@) Para lo cual basta ver que es continua donde: :es abierta: "

:""

"DœCß D œ

" D Cß D !

Cß D Ÿ !

Se sabe que la multiplicación por un escalar es una operación continua en unespacio métrico, ahora como , lim lim lim lim

DÄ! DÄ!

" "

DÄ! DÄ!

""D

: :Cß D œ " D C œ C Cß D œ C œ C

o sea , entonces es continua, por lo tanto lim limDÄ!

" " "

DÄ! : : : :Cß D œ Cß D œ C

es abierta.Luego es un homeomorfismo.:( ) ) Se define, 3


: À L œ ÖB − d à B !× d ßB ß B ßá ß B È B ß B ßá ß B ß B

8 8 8

" # 8 " # 8" 8logasí como entonces está bien definido por: œ 3. ßá ß 3. ß B ! B − dd d

8 8log loglo tanto queda bien definida.:Ahora 1 À d L œ ÖB − d à B !×

B ßá ß B ß B È B ßá ß B ß /

8 8 8

" 8" 8 " 8" Bˆ ‰8

es también bien definida y además 1 ‰ B ßá ß B œ 1 B ßá ß B œ B ßá ß B ß / œ B ßá ß B ß B: ˆ ‰" 8 " 8 " 8" B " 8" 8log log 8

o sea y1 ‰ œ M.: L

: :‰ 1 B ßá ß B œ B ßá ß / œ B ßá ß B ß Þ/ œ B ßá ß Bˆ ‰ ˆ ‰" 8 " B " 8" B " 88 8logo sea : ‰ 1 œ M.d8

Por lo tanto es biyectiva y tiene por inversa .: :" œ 1Como y son continuas entonces es un homeomorfismo.: : :"

33 L À ÖB − d à B !× d ‚ Ö!ß∞ÑB ßá ß B È B ßá ß B

) Ahora 8 8 8"

" 8 " 8

es claramente continua y un homeomorfismo.( ) Tomemos-: À T œ ÖB − d à B !ß B !ßá ß B !× d ‚ Ò!ß∞Ñ

B ßá ß B ß B œ Bß C È lBl C ß #BC

8 " # 8 8"

" 8" 8 # #

donde . Es claro que está bien definida ya queB œ B ß B ßá ß B ß C œ B" # 8" 8 :

: ˆ ‰Bß C œ lBl C ß #BC œ l B ßá ß B l B ß #B B ßá ß #B B ßá ß #B B# # " 8" # 8 " 8 3 8 8" 8#

y se tiene que .#B B − Ò!ß∞Ñ8" 8

Para mostrar que es un homeomorfismo basta probarlo para dos dimensiones o:sea considerar : À T œ ÖB − d à B !ß B !× d ‚ Ò!ß∞Ñ# " #

: es inyectiva À

: :Bß C œ B ß C Í B C ß #BC œ B C ß #B C" # " "# # # #

" "

o sea que , , B C œ B C • #BC œ #B C# # # #

" " " "

de donde tenemos B #BC3 C œ B #B C 3 C Í B 3C œ B 3C Í Bß C œ B ß C# # # #

" " " 3 " " "# # # #

de donde B œ „ B ß • ß C œ „ C" "

pero no se puede presentar ya que el punto porB œ B • C œ C B ß C Â T" " " "

lo tanto , o sea .B œ B • C œ C Bß C œ B ß C" " " "

: es sobreyectiva:Sea tal que , para hallar A − d ‚ Ò!ß∞Ñ A œ A ßA A Á !ß A Á ! Bß C − T" # " #

utilizamos métodos elementales B C ß #BC œ A ßA Ê B C œ A • #BC œ A# # # #

" # " #

entonces se tiene que de donde se debe tenerB C œ A • B œ ” C œ# #"

A A#C #BŠ ‹# #

A A%C %B

# #" "

# ## ## # C œ A ” B œ A

o sea que


.%B A œ %A B Ê B œ Í B œ% # # # ## "

%A „ "'A "'A

) #A „ A A"

# #" # "

# #" #

É ÈComo , entonces debe tomarse , por lo tantoA A A ! A A A !" "

# # # #" # " #

È È , , .B œ „ œ • C œ œ œÉ ÉA lAl A lAl

# # #BA A A

# # A lAl" " # # #

A lAl"#

"É ÈLuego dado con tómeseA œ A ßA A Á !ßA Á !ß" # " #

, .ŒÉBß C œ A lAl#

A# A lAl

" #

"ÈSi con , tómese , en ese casoA œ A ß ! A ! B œ A ß C œ !È" " "

: Š ‹ˆ ‰È ÈBß ! œ A !ß # A † ! œ A ß ! Þ" " "#

Si con , tómese , en ese casoA œ A ß ! A ! B œ ! C œ AÈ" " "

: Š ‹ˆ ‰È!ß C œ ! A ß ! œ A ß !" "#

Si A œ !ßA œ ! A ß ! œ A ß ! ÞŠ ‹ˆ ‰È# " "#

Si , nótese que , en ese caso tómese y se tieneA œ !ßA A ! B œ ß C œÈ È# #A A# ## #

.:ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰È È È ÈA A A A A A# # # # # # ## # # # # #ß œ ß # œ !ßA

Así es sobre.:: : : : Ya que dondees continua: œ ß" #

es continua y es continua,: :" #8"À T d À T d

Bß B lBl B Bß B #B † B8 # 8 # 8 8È È

por lo tanto es continua.:: : es abierto: Con tal fin se define la función inversa de la cual obtenemoscomo una conclusión de los cálculos realizados para mostrar que es sobre:

si

si :"

A lAl#

A ßA ßáßA

# A lAl "

" 8 "

ÚÝÛÝÜŒÉˆ ‰ÈA œ

ß ß A Á !

!ß A ß A œ !ß A !

" # 8$

"

ˆ ‰È

donde .A œ A ßá ßA ßA" 8" 8

En dos dimensiones tendríamos

si

si :"

A lAl#

A# A lAl "

" # "

ÚÝÛÝÜŒÉˆ ‰ÈA œ

ß ß A Á !

!ß A ß A œ !ß A !

" #

"È

y se tiene: : :ŒÉ Š ‹" A lAl A lAl

# #

A ßA ßáßA

# A lAl

A A âA

# A lAl

A lAl A ßáßA

# # A lAlA œ ß œ ß #" "# 8$ # $

"

# # #8

"

" # 8

"

ˆ ‰È È Èˆ ‰ È Èœ ß A ßA ßá ßA œ ßA ßA ßáAŠ ‹ Š ‹A #A lAlA A âA A âA

# A lAl # A lAl# $ 8 # $ 8#A A lAl# # # # # #

" " # #" 8 8

" "

" "

si œ A ßA ßá ßA A Á !ß" # 8 "

o sea : :‰ A œ A"

:" es continua.Cuando es claro que es continua ya queA Á !ßA ! œ ß" # " #

": < <

y < <" #À T d À T dÈ ÉA ßA A ßA œ

A ßA" # " #

A lAl#

" #A

# A lAl: "#

"È È


son funciones continuas.Las funciones pueden ser extendidas así por ejemplo< <" #ß <#

8"À T dA ßá ßA ßA" 8" 8

A ßA ßáßA

# A lAlÈ ˆ ‰È# 8$

"

es una función continua.Ahora .lim lim

A Ä! A Ä!

"" "

" " : !ß A œ !ßA œ !

Sea donde , asíA ßA ßá ßA œ Bß C B œ A ß C œ A ßá ßA" # 8 " # 8

:" A lAl Bl BßC l# #

A# A lAl # Bl BßC l

CŒ ŒÉ ÉA œ ß œ ß" #

"È Èy lim

BÄ!C !

"

: Bß C œ

lim lim lim limBÄ! CÄ! BÄ! CÄ!

Bl BßC l#

C C C

# Bl BßC l # Bl BßC l # CCÄ!

#Œ ŒÉ È È É Èß œ !ß œ !ß

œ !ß œ !ß !Œ limCÄ!

C

#

ÈÈLuego es continua y es abierta.: :"

De lo anterior se sigue que : À T d ‚ Ò!ß∞Ñ8"

Bß C lBl C ß #BCÈ # #

es un homeomorfismo.

6. En cada uno de los casos de abajo, determínese si es o no subconjuntoE

abierto del espacio métrico correspondiente.Q

+ Q œ dß E œ Ö × números racionales ., Q œ \àd ß E œ Ö0 À \ d 0 + ! + ×µ + acotada; para fijo .- Q œ dß 0 − dßd E œ ÖB − dà 0 B !×¹ y 0

. Q œ d E œ ÖB − d à B !×8 8 ", es entero/ Q œ d E œ Ö ; # puntos del plano que no están en el círculo ni en el ejeB C œ "# #

de las B×0 Q œ E œ ÖB − Qà lB #l œ $× œ Ö "ß &× ; ™ números enteros1 Q œ d E œ ÖB − Qà B $×, 2 Q œ dàd ß E œ Ö0 − Qà 0 ×µ es discontinua en todos los puntos de la recta'3 Q œ Ò+ß ,Óà d E œ Ö0 − Qà 0 B .B !×¶! +

,; 4 Q œ d à E œ Ö !×& puntos que tienen exactamente tres coordenadas

SOLUCIÓN. + Q œ dß E œ Ö × números racionales .E no es abierto: En efecto se sabe que cualquier subconjunto abierto no vacíode contiene números racionales e irracionales. Entonces cualquier bola abiertadcentrada en un punto de irá a contener puntos racionales y no está totalmenteE


contenida en . Luego no es abierto. Nos resta probar que cualquier intervaloE Eabierto contiene por lo menos un racional y un irracional, en efecto sea un+ß ,intervalo abierto, existe tal que , sea 8 − , + 7 œ Ö7 − Î +× " 7

8 8! minentonces se tiene, , puesto que si , entonces + , , , +ß7 7 7 "

8 8 8 8"! ! !

• ß7 po 5 − , +! 5 no sería mínimo . De la misma manera, existe tal que 1

entonces existe tal que .7 + ,175

Nota: Aquí hemos supuesto que .! + ,

, Q œ \àd ß E œ Ö0 À \ d 0 + ! + ×µ + acotada; para fijo .E F 0ß § 0àd 0+ es abierto: En efecto sea una bola abierta con centro en y% µradio , sea . Tomando y tenemos% % %1 − F 0ß 0 + œ 5 ! œ 5

#

ll0 1ll Í ll0 1ll œ Öl0 B 1 B × 5 5# #sup

B − \se sigue que , l0 B 1 B l aB − \5

#

en particular para tenemos o seaB œ + l0 + 1 + l 5#

0 + 1 + 5 5# #

de donde 0 + 1 + Í 0 + 1 +5 5

# #

ahora como , entonces por lo tanto ,0 + œ 5 0 + œ 5 œ ß 1 + !5 5 5 5# # # #

entonces así y es abierto.1 − E ß F 0ß § E E+ + + %

- Q œ dß 0 − dßd E œ ÖB − dà 0 B !×¹ y 0

E0 no es abierto en general. Para eso consideremos la función 0 − dßd¹

definida por si

si 0 B œ" ß B Ÿ + " ß B +œ

E œ ÖB − dÎ0 B !× œ Ð ∞ß +Óß B œ + − E < !ß B − F +à <0 ! 0 y para todo existe talque entonces por lo tanto o sea no es abierto.0 B ! B Â E F B à < §Î E E0 ! 0 0

Nótese que depende de , así si es positivo, o sea en eseE 0 0 0 B !ß aB − \0

caso es claramente abierto.E0

. Q œ d E œ ÖB − d à B !× , .8 8 " es enteroE es cerrado: Para esto considérese la aplicación C À d d8

B ß B ßá ß B B" # 8 "Èla cual es la función primera proyección sobre .d

C es continua: El conjunto puede ser considerado como .E E œ ^C" ‡

Como es un conjunto cerrado en , tenemos que es cerrado.^ d E‡

/ Q œ d E œ Ö ; # puntos del plano que no están en el círculo ni en el ejeB C œ "# #

de las B×


E 0 À d d 0es abierto, en efecto, sea , es continua ya que tomando en#

Bß C B C "È # #

d . Bß C ß B ß C œ . Bß B . Cß C œ lB B l lC C lß la métrica se tiene que;" " " " " "

dado , existe con , se tiene% $ ! Ÿ O œ ÖlB B lß lC C l×%#O " "max

. 0 Bß C ß 0 B ß C œ lB C " B C "l œ l B B C C l" "# # # # # # # #

" " " "

Ÿ lB B l lC C l œ lB B l † lB B l lC C l † lC C l# # # #" " " " " "

Ÿ lB B lO lC C lO Ÿ ÖlB B l lC C l×O" " " "

Ahora si se tiene quelB B l • lC C l " "$ $

. 0 Bß C ß 0 B ß C Ÿ # O Ÿ O œ" " O$ %%

Así como = entonces es imagen inversa por una aplicaciónß E 0 d Ö!× ß E"

continua de un conjunto abierto de , luego es abierto.d E0 Q œ E œ ÖB − Qà lB #l œ $× œ Ö "ß &× números enteros ; ™

E 5 œ ß F œ "ß F œ !ß F ßF § E Ê E es abierto: Tomando y entonces " " "# # #" # " #ˆ ‰ ˆ ‰

es abierto.1 Q œ d E œ ÖB − Qà B $× , E no es abierto como fácilmente se puede mostrar.2 Q œ dàd ß E œ Ö0 − Qà 0 × µ es discontinua en todos los puntos de la rectaE 0 − E + 0 es abierto. En efecto sea y un punto arbitrario de la recta entonces es discontinua en , esto significa que existe tal que para todo + ! !ß% $

y lB +l l0 B 0 + l "$ %

Para este sea% !

F 0ß œ Ö1 − QÎ. 0ß 1 œ l0 B 1 B l ×ˆ ‰% %$ $sup

B − dSea entonces , porque supongamos que entonces esto1 − F 0ß 1 − E 1 Â Eˆ ‰%

$

significa que existe que sin perder generalidad podemos tomar , talB − dß B œ +! !

que es continua en , es decir, dado existe tal que1 + ! !% $

.lB +l Ê l1 B 1 + l $ %$

Ahora l0 B 0 + l Ÿ l0 B 1 B l l1 B 1 + l l1 + 0 + l Ÿ œ% % %

$ $ $ %

o sea que según obtenemos" l0 B 0 + l Ÿ • l0 B 0 + l % %

esta es una contradicción por lo tanto , así de donde espo 1 − E F 0à § Eß Eˆ ‰%$

abierto. '3 Q œ Ò+ß ,Óà d E œ Ö0 − Qà 0 B .B !× ; ¶! +,

E À Q d ß 0 œ 0 B .B !0 È 0 B .B !

es abierto: Sea es una función: :' '+, +

,

continua. Como como es abierto en entonces es abierto en E œ d d d E QÞ:"

Otra forma de prueba es la siguiente: Sea con . Se debe mostrar queF 0ß !% %

cualquier Por hipótesis si , también se1 − F 0ß Ê 1 − EÞ 0 − E Ê 5 œ 0 B .B !'% +,

tiene que de donde tenemos que0 B 0 B 0 B % %

' ' '+ + +, , ,0 B .B 0 B .B 0 B .B% %


Tomando sea ; y , o! ß 5 !ß , +ß F 0 1 − F 0à Í l1 B 0 B l % % % %5,+

sea integrando miembro a miembro tenemos0 B 1 B 0 B ß% %

' ' '+ + +, , ,0 B .B 1 B .B 0 B .B% %

entonces ! 5 , + 1 B .B 5 , +% %'

+,

de esta desigualdad recibimos que entonces o sea es'+,1 B .B ! 1 − E E

abierto.4 Q œ d à E œ Ö !× puntos que tienen exactamente tres coordenadas&

E + œ "ß "ß "ß !ß ! − E +ß no es abierto, pues sea y para todo en punto%

mientras que , luego no es abierto en ˆ ‰ ˆ ‰"ß "ß "ß ß − F +ß "ß "ß "ß ß Â E E QÞ% % % %# # # #%

7.Sea . La intersección de con cualquier rectaE œ Ö Bß C − d à B Á C ” C œ !× E#

horizontal o vertical es abierta en la recta, pero no es un subconjunto abierto elE

plano.SOLUCIÓN. E œ Ö Bß C − d à B Á C× ∪ Ö Bß C − d à C œ !× L# # . Sea cualquier rectahorizontal o vertical, en esta forma . Si es unoE œ d Ö Bß C − d à B œ C • C Á !× L# #

de los ejes es claro entonces que es abierto en , ya que . Ahora siE L E ∩L œ d con fijoL œ Ö Bß C − d Î Bß C œ Bß 2 2 ×#

en este caso E ∩L œ Ö Bß 2 ÎB − dß • ß B Á 2× œ Ö Bß 2 ÎB 2× ∪ Ö Bß 2 ÎB 2×

como es abierto en y es abierto en Ö Bß 2 − d ÎB 2× L Ö Bß 2 − d ÎB 2× L# #

entonces se sigue que es abierto en .E ∩L LSi es una recta vertical, o sea con fijo, L L œ Ö Bß C − d Î Bß C œ 5ß C 5 C − d×w w #

entonces E ∩L œ Ö 5ß C − d ÎC Á 5× œ Ö 5ß C − d ÎC 5× ∪ Ö 5ß C − d Î C 5×w # # #

como fijo y fijo son abiertos en seÖ 5ß C − d ÎC 5ß 5 × Ö 5ß C − d ÎC 5ß 5 × L# # w

sigue que es abierto en E ∩L L Þw w

E d a< !ß F !ß < B œ C no es abierto en , pues contiene puntos de la forma que#

no estan en EÞ

8.Todo abierto no vacío contiene por lo menos un punto E § d B œ B ß B ßá ß B8 " # 8

cuyas coordenadas son racionales. Concluír que si es una colecciónB ß B ßá ß B" # 8 ¶

de abiertos dos a dos disyuntos en entonces es enumerable. Comod8 ¶

consecuencia mostrar que si es un intervalo y es una funciónM § d 0 À M d

monótona, entonces el conjunto de los puntos , en los cuales esB − M 0

discontinua, es enumerable.SOLUCIÓN. 3 E) Mostremos que todo abierto de contiene por lo menos un puntoracional , cuyas coordenadas son racionales. Sea . Como es; > œ > ß > ßá ß > − E E

p" # 8


abierto entonces existe tal que donde es una bola abierta de< ! F > § Eß F >p

< <Š ‹Á

centro en y radio entonces la bola cerrada .> < ! F > § Ep

<#Š ‹

Á

Para cada , sabemos que existe una sucesión de números> 3 œ "ß #ß ßá ß 8 Ö; ×373

racionales que convergen hacia , esto es, sea < y suficientemente> ß !3<#% %

pequeño entonces existe tal que si entoncesR 7 R3 3 l; > l "3

73 8È%

Sea entonces la desigualdad se tiene para ,R œ ÖR à 3 œ "ß #ßá ß 8× " 7 Rmax 3

3 œ "ß #ßá ß 8 7 R o sea si entonces l; > l #È7

3 3 8<#

%

Entonces para suficientemente grande y tenemos que el punto7 7 R

; œ ; ß ; ßá ß ; − F >pŠ ‹ Š ‹7 7 7

" # 8 <#

, en efecto;

l > ß > ßá ß > ; ß ; ßá Þ; l œ l > ; ß > ; ßá ß > ; l œŠ ‹ Š ‹" # 8 " # 87 7 7 7 7 7" # " #8 8

œ > ; Ÿ œ 8 œ Ë ËŠ ‹ Š ‹ É5œ" 5œ"

8 8

575

# #

8 88 #<È È

Å#

% % %#

#

Esto muestra que es un punto de coordenadas racionales ya; œ ; ß ; ßá ß ;p Š ‹7 7 7" # 8

que y , de donde .; − ; − F > Ê ; − F > ; œ ; ß ; ßá ß ; − Ep p pp7 7 7 73 < " # 8 <

#Š ‹ Š ‹

33) Mostremos ahora que si es una colección de abiertos dos a dos disyuntos no¶vacíos de entonces es enumerable.d8 ¶Basta observar que esto es una generalización de: "Sea una colección de abiertosfdos a dos disyuntos de no vacíos entonces es enumerable". Veamos estad fafirmación, sea el conjunto de los números racionales el cual œ ÖB ß B ßá ß B ßá×" # 8

es un conjunto bien ordenado. Sea entonces podemos hablar deE − ßf

( (E E8 8œ Ö8 − à B − Eß B − × E Èmin entonces la correspondencia es biunívoca1

(esta bien definida porque si , puesto que si entoncesE Á F Ê Á œ( ( ( (E EF F

existe en contradicción con el hecho de que ø), en formaB − E ∩ F po E ∩F œ(EßF

análoga se muestra que es biunívoca, ya que si entonces1 œ( (E F

min minÖ8 − ÎB − E× œ Ö8 − ÎB − F× B − E B − F 8 8 o sea que existe un y ( (EßF EßF

como ø por lo tanto Entonces es equipotente a un subconjuntoE ∩F œ E œ FÞ f

de .Para el caso general sea una colección de abiertos de dos a dos¶ œ ÖE × d3 3−M

8

disyuntos, por la primera parte sabemos que en cada existe por lo menos unE3

puntos con coordenadas racionales; consideremos entonces . 8

" # 8 3œ ‚ ‚â‚ œ ÖB œ B ß B ßá ß B ÎB − ß ! Ÿ 3 Ÿ 8×p

Como es enumerable entonces puede bien ordenarse como8

. 8 88 8œ ÖB Î8 − ß B − ×p p

La correspondencia


M 3 œ Ö8 − ÎB − E ×pÈ ( 3 8 3min

establece una correspondencia biunívoca entre y un subconjunto de , entoncesM M es enumerable.La correspondencia esta bien definida, pues si porque si 3 Á 4 Ê Á œ( ( ( (3 4 3 4

entonces ø, contra la hipótesis de ser la colección disyunta dos a dos.E ∩E Á3 4 ¶

Por lo tanto es enumerable.¶333Ñ M § d 0 À M d Sea un intervalo es una función monótona entonces el conjuntode los puntos en los cuales es discontinua, es enumerable. En efectoB − M 0supogamos, sin perder generalidad, que es creciente y sea el conjunto de los0 Ipuntos de discontinuidad de . Con cada punto de asociamos un0 I § M B Inúmero racional tal que . Si entonces por la< B 0 B < B 0 B B B" #

monotonía; o sea que si entonces . Para0 B Ÿ 0 B B Á B < B Á < B" # " # " #

B − I :ß ; − ; B :, existen tales que . Sea existen y H œ ÖB − MÎ0 B ß 0 B 0 B < B 0 B × ∩B

∩ ÖB − MÎ0 > < > ß aC − ;ß B × ∩ ÖB − MÎ0 > < B ß a> − Bß : ×

Si entonces esto es imposible e implicaBß B − H a> − Bß B ß 0 > < B • 0 > < Bw wB

que o sea que . Así puede ser considerado como una colección B œ B H œ ÖB× M MwB -

de subintervalos tales que es continua en y además ø para . Es0 M M ∩ M œ Á- - . - .

de notar que es abierto, así es una colección de abiertos dos a dosM M ß M ßá ß M- " # 8

disyuntos, en cada hay un número racional ver la parte por lo tanto esM 33 ÖM ×- - -

enumerable. Como las discontinuidades de ocurren cuando se pasa de a 0 M M3 3" se sigue que el conjunto de las discontinuidades de es enumerable.I 0

9. Sea indicaremos con el espacio vectorial de las funcionesM œ Ò+ß ,Ó M¶"

continuas acotadas que posean derivadas continuas en todos los puntos0 À M d

B − M . Muestre que l0 l œ Öl0 B l l0 B là B − M×‡ wsupes una norma en y que la aplicación lineal definida por¶ ¶ ¶" "

!H À M Ò+ß ,Óß d

H 0 œ 0 0 B − Mw!(la derivada de ), es continua. Dado ¿es abierto el conjunto

E œ Ö0 − M à 0 B !× À M d¶ : ¶" w "! ?. ¿Es continua la función definida por

: ¶'0 œ 0 B .B H E M+, w "?. ¿Serían continua y abierto si tomamos en la norma

l0 l œ Öl0 B là B − M×sup ?.SOLUCIÓN. 3 l0 l œ Öl0 B l l0 B l× M) es una norma en .‡ w "sup

B − M¶

+ l0 B l !ß aB − Mß l0 B l !ß aB − M Como , entoncesw

l0 l œ Öl0 B l l0 B l× !ß‡ wsupB − M

, l0 l œ Öl0 B l l0 B l× œ ! Í l0 B 0 B l œ !ß aB − M ‡ w wsupB − M

Í l0 B l œ ! • l0 B l œ !ß aB − M Í 0 œ ! • 0 B œ !ß aB − Mßw w

o sea .0 œ !


- l 0 l œ Öl 0 B l l 0 B l× œ Öl ll0 B l l ll0 B l × œ- - - - -‡ w wsup supB − M B − M

sup supB − M B − M

l lÖl0 B l l0 B l × œ l l Öl0 B l l0 B l × œ l ll0 l- - -w w ‡

. Sabemos que l0 B 1 B l Ÿ l0 B l l1 B l aB − M

l0 B 1 B l Ÿ l0 B l l1 B l aB − Mßw w w w

de donde se tiene que .l0 B 1 B l l0 B 1 B l Ÿ l0 B l l0 B l l1 B l l1 B l aB − Mw w w w

Por lo tanto +l Öl 0 1 B l l 0 1 B l× Ÿ Ö l0 B l l0 B l l1 B l l1 B l × Ÿsup sup

B − M B − M

w w w

Ÿ Öl0 B l l0 B l× Öl1 B l l1 B l×sup supB − M B − M

w w

o sea que .l0 1l Ÿ l0 l l1l‡ ‡ ‡

33 H À M Ò+ß ,Óß d H) La aplicación es continua. Basta probar que es una¶ ¶"!

contracción débil, en efecto , l0 B 1 B l Ÿ l0 B 1 B l l0 B 1 B l aB − Mw w w w

por lo tanto sup sup

B − M B − Ml0 B 1 B l Ÿ Öl0 B 1 B l l0 B 1 B l×w w w w

o sea que llH 0 H 1 ll Ÿ l0 1l‡

Luego es una aplicación continua, ya que es una contracción débil.H H333 E œ Ö0 − M à 0 B !×) El conjunto es abierto.¶" w

!

En efecto, sea , es abierto, ya que si ø entoncesF œ Ö1 − Màd à 1 B !× F F œ¶! !

F F Á ß 2 − F 2 B ! es abierto por definición. Si ø sea , entonces .!

Sea y una bola de centro y radio , y sea$ $ $œ 2 B R 2ß 2!

0 − R 2Þ Ê Öl0 B 2 B l× œ ll0 2ll ß$ $supB − M

o sea para todo , en particular para se tienel0 B 2 B l B − M œ Ò+ß ,Ó B œ B$ !

l0 B 2 B l Í 0 B 2 B ! ! ! !$ $ $

o sea como se sigue que , de donde 2 B 0 B ß œ 2 B 0 B !$ $! ! ! !

y .0 − F R 2ß § F$Se sabe que la aplicación es continua, por lo tanto H À M Mà d H F¶ ¶" "

!0 H 0 œ 0È w

es abierto, como se sigue que es abierto.E œ Ö0 − M à 0 B !× œ H F ß E¶" w "!

3@ À M d) es continua: ¶"

0 0 B .B È'+, w

: α se puede obtener como la composición de donde‰ H

¶ ¶"!

w

+,'

M Mß d d0 0 B

2 BÈ 2 B .B

H

Èα

Ya hemos probado que es continua para que sea continua debemosH ‰H:simplemente probar que es continua, en efecto dados y existeα ¶ %0 − Mß d !! !

$ $œ l0 0 ll %,+ ! tal que si | entonces


l 0 0 l œ l 0 B .B 0 B .Bl œ 0 B 0 B .B Ÿ l0 B 0 B l.B Ÿα α ' ' ' '¹ ¹! ! ! !+ + + +, , , ,

Ÿ l0 B 0 l .BsupB − M

'! +,

o sea l 0 0 l Ÿ ll0 0 ll , + , + œ † , + œ Þα α $ %! ! ,+

%

Luego es continua.:@ l0 l œ l0 B l M H) Si es la normal de , no es continua.sup

B − M¶"

Tomando . Ahora tiende para cero cuando ,Ò+ß ,Ó œ Ò!ß "Ó œ M • 0 B œ 0 B B Ä !8 8B8

8

H 0 œ œ B88 B

88"

8"

Si es continua se debe tener . PeroH H 0 H !8

.lH 0 H ! l œ l0 l œ l0 l œ l0 B l œ lB l œ "7 8 8w w w 8"sup sup sup

B − M B − M B − M

E œ Ö0 − à 0 ÐB Ñ ! B − M×¶" w! ! con no es abierto .

Sea con la norma del supremo, . Sea y sea .¶ ¶ $" "ÐMÑ M œ Ò!ß "Ó ! œ 0 − ÐMÑ !Entonces existe tal que y tomemos la función Tenemos que8 − R 0 B œ Þ" B

8 88$8

. 0 ß 0 œ . H 0 ßH 0 œ . 0 ß 0 œ "Þ H8 8"8

w w8$ y sin embargo se tiene Luego no es

continua en 0 œ ! ÞSea ahora donde y sea . Entonces existe tal0 B œ Bß 0 − ÐMÑ M œ Ò!ß # Ó ! 8 −¶ 1 % "

que y sea ."#8" ! B œ − M% 1

Tómese ahora la función ; 0 B œ B =/8 #8 " B 0 − ÐMÑ8 8

"#8"

"¶

y y por consiguiente .. 0 ß 0 œ Þ =/8 #8 " B œ 0 − FÐ0à Ñ¹ ¹8 8" "

#8" #8"sup % %

Tenemos que mientras que Por0 B œ 0 œ " ! 0 B œ 0 œ " " œ !Þw w w w! !8 81 1

consiguiente y no es abierto.0 Â E E8

10.Sea un espacio topológico y una colección de homeomorfismos la cual\ K

forma un grupo en relación a la composición. La de un punto órbita B − \

relativamente al grupo es el conjunto . Defina en unaK K B œ Ö1 B à 1 − K× § \ \

relación de equivalencia cuyas clases son las orbitas de los puntos de según .\ K

Indique por el espacio cociente.\ÎK

+ À \ \ÎK Muestre que la aplicación cociente es abierta: ., K Supongamos que es un grupo propiamente discontinuo esto es, para todoB − \ Y ® B Y ∩ 1 Y œ 1 − K 1 Á, existe un abierto con ø para todo , identidad.SOLUCIÓN. + E \ EBasta mostrar que si es una órbita en entonces es: :"

abierto, lo cual se tiene ya que : :" E œ 1 E "∪

1 − K

como es un homeomorfismo entonces es abierto por lo tanto1 − Kß 1 1 E: :" E es reunión de abiertos, por lo tanto, es abierto. Nos resta probar la


igualdad veámoslo: sea o sea que" ß C − E Í C œ E: : : :"

K C − E œ K B ß B − E K C œ K B: ∪B − E

esto equivale a afirmar que existe tal que o sea existe tal queB − E K C œ Ö1 C Î1 − K× œ Ö0 B Î0 − K× œ K B

como es un grupo , entonces existe tal que K C œ C − Ö0 B Î0 − K× 1 − K C œ 1 B ß+

B − E C − 1 E 1 − K Í C − 1 E. Entonces para algún .∪1 − K

Recíprocamente sea de donde existeC − 1 E Í b1 − Kß C − 1 E∪1 − K

1 − K • B − E C œ 1 B Í bB − E C − K B C − K B tal que tal que entonces de∪B − E

donde pero por lo tanto: : :" " "Š ‹C § K B C − C∪B − E

,C − C § K B œ E: : : :" " "Š ‹∪B − E

entonces Luego es abierta.C − E Þ: : :"

, K Supongamos que es un grupo propiamente discontinuo esto es, para todoB − \ Y ® B Y ∩ 1 Y œ 1 − K 1 Á, existe un abierto con ø para todo , identidad.Esto implica que y son disyuntos siempre que 1 Y 2 Y 1 Á 2ß 1ß 2 − KÞ

SOLUCIÓN. Supongamos que ø entonces existe se1 Y ∩ 2 Y Á C − 1 Y ∩ 2 Y ßsigue la existencia de tal que , como sonB ß B − Y 1 B œ Cß 2 B œ C 1ß 2! " ! "

homeomorfismos entonces B œ 1 C • B œ 2 C! "

" "

y siendo un grupo tenemos que , por lo tantoK 1 Á 2 2 ‰ 1 B œ 2 C œ B Ê B − Y • B − 2 ‰ 1 Y" " "

! " " "

entonces ø lo cual es una contradicción con el hecho de ser Y ∩ 2 ‰ 1 Y Á po K"

un grupo propiamente discontinuo y con .2 ‰ 1 − K 2 ‰ 1 Á 3." "

Luego si ø.1 Á 2ß 1 Y ∩ 2 Y œ

- À \ \ÎKEn estas condiciones la aplicación cociente es un homeomorfismo:

local.SOLUCIÓN. : : es claramente sobreyectiva y continua. Mostremos que es local einyectiva. Siendo un grupo propiamente discontinuo para todo existe unK B − \abierto con ø para todo Sea dondeY ® B Y ∩ 1 Y œ 1 − KÞ À Y Y: :Y

: :Y Yœ l Bß C − Y, sean tales que : : : :B œ C Í B œ K B œ Ö1 B à 1 − K× œ Ö1 C à 1 − K× œ K C œ C

entonces 1 B − K B Ê b0 − KÎ0 C œ 1 B

por lo tanto øB œ 1 ‰ 0 B œ 2 C ß 2 œ 1 ‰ 0 − K Ê Y ∩ 2 Y Á" "

entonces por la parte , se tiene o se a que ya que , 0 œ 1 B œ C 2 œ 3.Þ

: : :" " "À \ÎK \ E \ E œ E es continua si para todo abierto de es

abierto en pero esto es verdad pues es una aplicación abierta luego \ÎK ß À \: :

\ÎK es un homeomorfismo local.


. Los toros , el espacio proyectivo y el cilindro son casos particularesX W ‚ d8 8 "

del caso ,

SOLUCIÓN. X œ d Î B œ C Í B C −p p p p8 8 8 8 8™ ™ ™ donde o sea B C œ 8 Í B œ C 8ß 8 − Þp p p p p p p ™8

Sea es un homeomorfismo de porK œ Ö À d d à B œ B 8 ß 8 − ×ß dp p p7 7 78 8 8p p p8 8 8 8™

ser y cada una de las componentes es una translación por lo78p 8 8 8œ ß ßá ß7 7 7" # 8

tanto un homeomorfismo. es un grupo con la composición.KAhora por lo tanto y seK œ Ö B œ B 8 Î − K× œ ÖB 8Î8 − × X œ d ÎKp p p p p7 78 8p p 8 8™

tiene que el toro es un caso particular del problema en consideración. donde .8 8œ W Î µ B µ C Í C œ B

Sea dadas porK œ Ö1 ß 1 ×" #

, ,1 À W W 1 À W WB B B BÈ È" #8 8 8 8

1 1 K" # y son claramente homeomorfismos. es un grupo con la composición pues 1 ‰ 1 œ 1 ß 1 ‰ 1 œ 1 ß 1 ‰ 1 œ 1 œ 1 ‰ 1" " " # # " " # # # ".Ahora .K B œ Ö1 B ß 1 B × œ ÖBß B×" #

Luego obteniendose que el plano proyectivo es un casoW ÎK œ W Î µ œ8 8 8 8

particular del problema considerado.El cilindro Sea , laW ‚ d µ ‚d œ Ö B 8ß C à Bß C − dß 8 − ×Þ À d d 8 −µ BÈB 8

" d8™ ™ ™7

translación, por lo tanto es un homeomorfismo de .78 dSea .K œ Ö1 œ ß 3. À d ‚ d dÎ1 Bß C œ B 8ß C ß 8 − ×7 ™8

Como e son homeomorfismos entonces es un homeomorfismo.7 78 83. 1 œ ß 3.Si definimos en la ley de composiciónK 1 ‰ 1 œ ß 3. ‰ ß 3. œ ‰ ß 3." 8 7 8 77 7 7 7

se obtiene que es un grupo. Consideremos las órbitas de cada K B − d ‚ dßp

B œ Bß Cp

K B œ Ö1 B œ 1 Bß C œ B 8ß C Î1 − K× œ Ö B 8ß C Î8 − ×pˆ ‰ ™

Por lo tanto d‚d d

K"œ ‚ d µ W ‚ dµ

™

Teniéndose que el cilindro también es un caso particular del presente problema.

11. Sean aplicaciones continuas del espacio topológico en el espacio0ß 1 À \ ] \

de Hausdorff . El conjunto de los puntos tales que es cerrado] B − \ 0 B œ 1 B

en . ¿Es esencial en que sea Hausdorff ?\ ]

SOLUCIÓN. 3 I œ ÖB − \à 0 B œ 1 B × I Í I) Sea . es cerrada es abierto, dondeC CI œ ÖB − \à 0 B Á 1 B ×Þ

Sea entonces, , siendo de Hausdorff, existen abiertosB − I ß 0 B Á 1 B ] E ßEC " #

de tales que y ø.] 0 B − E ß 1 B − E E ∩ E œ" # " #


Como son aplicaciones continuas, se sigue que y son0ß 1 À \ ] 0 E 1 E" "" #

abiertos en por ser imagenes recíprocas de abiertos por aplicaciones continuas.\Sea , ø pues y es abierto por ser la intersecciónF œ 0 E ∩ 1 E F Á B − F F" "

" #

de dos abiertos. Veamos que , en efecto para todo entonces F § I D − F 0 D − EC "

y como ø se sigue que esto implica que 1 D − E E ∩ E œ 0 D Á 1 D D − I Þ# " # C

Luego para todo existe abierto en tal que entonces B − I ß F \ B − F § I IC C C

es abierto por lo tanto es cerrado.I33 ]) Veamos que la condición de ser Hausdorff no puede eliminarse. Basta dar unejemplo, sea y ø una topología en .] œ Ö!ß "ß #× \ œ dß œ Ö] ß ß Ö!×× ]7

]

Se definen0 À \ œ d ] ß 0 B œ ß 1 À \ ] 1 B œ

! ß B ! !ß B !"ß B Ÿ ! #ß B Ÿ !œ œ , si si

si si 0 1 0 Ö!× œ !ß ∞ ß 0 ] œ d œ \ß 0 œ y son continuas, ya que ø ø y" " "

1 Ö!× œ !ß ∞ ß 1 ] œ \ß 1 œ" " " ø ø, que son abiertos.Sea que es abierto en .E œ ÖB − d œ \Î0 B œ 1 B × œ !ß ∞ \

Obsérvese que con esa topología no es Hausdorff.]Si la hipótesis de ser Hausdorff no fuese esencial, deberíamos tener ] Ecerrado en ya que son continuas y como se vió es abierto, pero\ 0ß 1 À \ ] Eesto es una contradicción pues no puede tener subconjuntos propios quepo dsean abiertos y cerrados a la vez ya que es conexo .d

12. Primera parte:La adherencia de un conjunto en un espacio topológico goza de\

las siguientes propiedades: ø ø, "Ñ œ #Ñ W § Wß $Ñ W œ Wß %Ñ W ∪ X œ W ∪ X

SOLUCIÓN. " Þ \ \) Sea un espacio topológico entonces es un abierto de latopología, su complemento es un cerrado de la topología, así, ø esC C\ œ \cerrado. Sabemos que si es cerrado entonces y recíprocamente,J § \ J œ Jpor lo tanto como ø y ø es cerrado entonces ø ø.§ \ œ# Þ B − W § \ \ Y B B Y B § \) Sea , como es abierto, existe vecindad de tal que yB − Y B B − W B − Y B ß W ∩ Y B Á ß B − W; como se sigue que y, ø por lo tanto ,o sea .W § W$ Þ W W W) Sabemos que es el menor cerrado que contiene a por lo tanto es cerrado,además por lo tanto por un resultado básico ¿cuál? se sigue que W § \ W œ WÞ

% Þ B − W ∪ X Z B \ B − Z) Sea entonces existe vecindad de en tal que yZ ∩ W ∪ X Á Z ∩ W ∪ X œ Z ∩ W ∪ Z ∩ X Á B − Zø, ahora ø, esto impica que y,Z ∩ W Á ” Z ∩ X Á ß B − Z • Z ∩ W Á ” B − Z • Z ∩ X Áø , , ø o sea ø ø de dondeB − W ” B − X Í B − W ∪ X Þ

Recíprocamente que entonces para toda vecindad deB − W ∪ X Í B − W ” B − X Z"

B Z B \ y vecindad de en , se tiene que#

ø ø .B − Z • Z ∩ W Á ” B − Z • Z ∩ X Á" " # #

Esto es equivalente a ø øB − Z œ Z ∩ Z • Z ∩ W Á ” Z ∩ X Á" #


o sea que ø øB − Z • Z ∩ W ∪ Z ∩ X Á Í B − Z • Z ∩ W ∪ X ÁLuego . De donde se concluye que B − W ∪ X W ∪ X œ W ∪ X Þ

Segunda parte: Estas propiedades implican sin retomar la defición que si W § X

entonces y que . Recíprocamente, sea un conjunto,W § X W ∩ X § W ∩ X \

supongamos definida entre las partes de una aplicación gozando de las\ W W

siguientes cuatro propiedades de la primera parte. Defina un subconjunto E § \

como si . Muéstrese que se obtiene así una topología en ,\ E œ \ E \

relativamente a la cual la adherencia de un subconjunto coincide con elW

subconjunto dado inicialmente.W

SOLUCIÓN. 3 W § X W ∪ X œ X W ∪ X œ X). Como entonces por lo tanto peroW ∪ X œ W ∪ X W ∪ X œ Xß W § W ∪ X œ X entonces luego .33).Ú ÚÛ ÛÜ Ü

W ∩ X § WW ∩ X § X

Ê Ê W ∩ X ∩ W ∩ X § W ∩ X W ∩ X § W ∩ XW ∩ X § W

•

W ∩ X § XÅ3

, o sea que .

333 Þ À E § \à \ E œ E œ E) Sea Sea , : : :P P .\ \W È W

C C7 œ e f 7

es una topología en , en efecto,\

+ œ œ \ œ \ œ \ œ • § \ − Como ø ø ø ø ø entonces ø .: C C 7 ø ø .: \ œ \ œ œ œ \ Ê \ −C C

Å"

7

, ÖE × E § \ ß a3 − M Sea una familia de elementos de o sea ; por lo tanto3 3−M 37∪

3 − ME § \3

:Š ‹\ E œ E œ E § E œ E ß a3 − M∪ ∪ ∩3 − M 3 − M 3 − M

3 3 3 3 3C C C C

Luego :Š ‹ Š ‹\ E § E œ E M∪

3 − M3 3 3∩

3 − M 3 − MC C ∪

Recíprocamente por la condición tenemos que#

CŠ ‹ Š ‹∪ ∪ ∪ ∪3 − M 3 − M 3 − M 3 − M

E œ \ E § \ E œ \ E MM3 3 3 3:

de tenemos que Š ‹ Š ‹M MM \ E œ E • E −: ∪ ∪3 − M 3 − M 3 − M

3 3 3C ∪ 7

- E ßE ßá ßE 8 E − E § \Sean , elementos en , entonces ya que ," # 8 3 37 7∩3 œ "

8

a3 œ "ß #ßá ß 8 E § \ entonces y∩3 œ "

83

.:Œ Œ Œ\ E œ E œ E œ E œ E œ E∩ ∩ ∪ ∪ ∪ ∩3 œ " 3 œ " 3 œ " 3 œ " 3 œ " 3 œ "Å Å

% E −

8 8 8 8 8 83 3 3 3 3 3C C C C C

3 7

Luego


.:Œ Œ\ E œ E Ê E −∩ ∩ ∩3 œ " 3 œ " 3 œ "

8 8 83 3 3C 7

Por lo tanto es una topología sobre 7 \Þ

. E § \ E \ Para todo , es cerrado en , porque es abierto ya que: C: E :Ò\ Ó œC C C: : : :ˆ ‰E E œ E œ E œ E œ E

Å$

Como entonces , por ser cerrado contenido en ( es E § E: E § E E E E: :

intersección de todos los cerrados que contienen a ). Siempre es cerrado, enE E

consecuencia es abierto en entonces por la definición de entoncesCE \ß 7 entonces : :Ò Ó œ E œ EÞC C CCˆ ‰ˆ ‰E E œ E ˆ ‰Como entonces . Por lo tanto tenemos queE § E Ê E § E œ Eß E § E: : :ˆ ‰: E œ E.

13. Sea una aplicación continua de sobre . Con el objeto de que sea0 À \ ] \ ] 0

cerrado es necesario y suficiente que para cada y todo en conC − ] Y \

0 C § Y Z ] C − Z 0 Z § Y" ", existe un abierto en tal que y .SOLUCIÓN. Ê Ñ Supóngase cerrado y sea cualquiera para todo abierto de0 C − ] Y

\ 0 C § Y \ 0 con tenemos que es cerrado en , de donde es cerrado" C C\ \Y Y en y , , entonces es abierto en Por lo tanto tomando] ß C Â 0 C C C\ \Y 0 Y ]

] .

Z œ C C] \0 Y ß C − Z y además

0 Z œ 0 œ" " C C C C C C] \ \ \ \ \"0 Y 0 0 Y § Y œ Y

‡

‡ " "\ \ \ \ \ \C C C C C CY § 0 0 Y Ê 0 0 Y § Y

Luego para todo , y todo con , basta tomarC − ] Y − 0 C § Y7\"

Z œ C C] \0 Y .É ) Recíprocamente, sea cerrado en de donde , queremos probar queJ \ 0 J § ]0 J es cerrado, vemos por consiguiente que es abierto.C] 0 J Sea entonces C − 0 C § 0 œC C C] ] \

"0 J § ] 0 J 0 0 J " "

Como entonces como es cerrado es abierto así0 0 J ¨ J 0 C § J" " C C\ \J J

por la condición (de la hipótesis) existe tal que y o sea queZ C − Z 0 Z §" C\J0 Z ∩ J œ Þ" øSe afirma que ø, porque si ø entoncesZ ∩ 0 J œ Z ∩ 0 J Á b- − Z ∩ 0 J Í - − Z ß • ß - − 0 Jo sea que tal que bB − J - œ 0 B − Z • B − Jentonces tal que bB − J B − 0 Z • B − J"

o sea que ø, lo cual es contradictorio así ø, en total se0 Z ∩ J Á po Z ∩ 0 J œ"

tiene C − Z • Z § C] 0 Jasí que es abierto. Luego es cerrado.C] 0 J 0ÐVer otra demostración por un método diferente en el problema 87)


14. Sea un homeomorfismo local. La imagen inversa de cada punto0 À \ ] 0 C"

C − ] \Þ 1ß 0 À ^ \, es un subconjunto discreto de Dadas aplicaciones continuas tales que , entonces es un subconjunto abierto de .0 ‰ 1 œ 0 ‰ 2 ÖD − ^à 1 D œ 2 D × ^

Un de una aplicación continua es una aplicacciónlevantamiento 1 À ^ ]

continua tal que . Concluya que si es conexo y de1 À ^ \ 0 ‰ 1 œ 1 ^ \µ µ

Hausdorff, dos levantamientos de los cuales coinciden en un punto1 À ^ ]

D − ^ß ^Þ! coinciden en todos los puntos de SOLUCIÓN. + 0 C ß aC − ] \ C − ] 0 , es un subconjunto discreto de . Como y "

es un homeomorfismo local existe un abierto de tal que es unY \ 0l À Y 0 YY

homeomorfismo, y . Ahora porque si existiera otro C − 0 Y 0 C ∩ Y œ ÖB× B Á B""

tal que entoncesB − 0 C ∩ Y""

B − Y • B − 0 C Ê B − Y • 0 B œ C" " " ""

por otra parte B − Y ∩ 0 C Ê B − Y • 0 B œ C"

o sea B ß B − Y ß B Á B • 0 B œ 0 B œ C" " "

entonces no es un homeomorfismo de , lo cual es0 0l À Y 0 Y poY

contradictorio. Por lo tanto es un subespacio discreto de 0 C \Þ"

, 1ß 2 À ^ \ 0 ‰ 1 œ 0 ‰ 2 ÖD − ^à 1 D œ 2 D ×Dadas tales que entonces es abiertoen . Sea , se debe hallar un abierto de tal que^ : − ÖD − ^à 1 D œ 2 D × œ ^ Z ^"

: − Z § ^ Þ :ß 0 ‰ 1 0 1 : − ] ß 0" Con tal fin, se aplica a para obtener como es unhomeomorfismo local existe un abierto de tal que y esY \ 1 : − Y 0l À Y 0 YY

un homeomorfismo. Como ya que , así que2 : œ 1 : : − ^"

ø2 Y ∩ 1 Y Á • : − 2 Y ∩ 1 Y" " " "

Como son aplicaciones continuas y abierto en entonces son2ß 1 Y \ 2 Y ß 1 Y" "

abiertos en (se supone que son espacios topológicos) por lo cual^ \ß ] ß ^" es abierto en ". Veamos finalmente que , en2 Y ∩ 1 Y ^ 2 Y ∩ 1 Y § ^" " " "

"

efecto sea entonces ahoraD − 2 Y ∩ 1 Y ß 2 D − Y • 1 D − Y ß" "

y 0 2 D − 0 Y • 0 1 D − 0 Y 0 ‰ 2 œ 0 ‰ 1así que y como es un homeomorfismo se tiene que0 2 D œ 0 1 D 0 2 D œ 1 D Ê D − ^"

Basta por lo tanto tomar Z œ 2 Y ∩ 1 Y Þ" "

- 1ß 2 À ^ ] 1 D œ 2 D 1 œ 2Si son levantamientos tales que entonces .! !


Sea , . Se tiene: ) ø pues ^ œ ÖDÎ2 D œ 1 D × ^ œ ÖDÎ2 D Á 1 D × " Þ ^ Á ß D − ^ Þ" # " ! "

# Þ ^ ^ œ ÖDÎ 0 ‰ 1 D œ 0 ‰ 2 D ×µ µ) es abierto, ya que, " " Š ‹Sea , como es un homeomorfismo local existe : − ^ Í 0 1 : œ 0 2 : 0 Yµ µ

" Š ‹abierto en tal que y es un homeomorfismo, tomando\ 1 : − Y 0l À Y 0 Yµ

Y

como en ,

Z œ 2 Y ∩ 1 Yµ µ" "

se obtiene que : − 2 Y ∩ 1 Y § ^

µ µ" ""

$ Þ ^ œ ÖD − ^Î1 D Á 2 D × ^) Sea , es abierto# #

Sea de donde se tiene que , como esD − ^ Í 1 D Á 2 D 0 1 D Á 0 2 D \µ µ# Š ‹

un espacio de Hausdorff existen y tales que ø.[ ® 1 D [ ® 2 D [ ∩[ œµ µ" " #2

Ahora como es un homeomorfismo local se sigue que0 0l À [ 0 [ • 0l À [ 0 [[ " " [ # #" #

son homeomorfismo por lo tanto ø y0 [ ∩ 0 [ œ" #

0 1 D œ 1 D − 0 [ • 0 2 D œ 2 D − 0 [µ µŠ ‹" #

tomando Z œ 1 0 [ ∩ 2 0 [" "

" #

se tiene:3 Z 1ß 2 0 [ ß 0 [ ]) es abierto, ya que son continuas, son abiertos en y la" #

intersección de dos abiertos en es abierto.^33 1 D − 0 [ • 2 D œ 0 [) Como se sigue que" #

D − 1 0 [ ∩ 2 0 [ œ Z" "" #

333 Z § ^ : − Z œ 1 0 [ ∩ 2 0 [) en efecto; sea , entonces# " #" "

: − 1 0 [ • : − 2 0 [ Í 1 : − 0 [ • 2 : − 0 [" "" # " #

como ø entonces .0 [ ∩ 0 [ œ 1 : Á 2 : Í : − ^" # #

% Þ ^ œ ^ ∪ ^ ^ Á ß ^ ß^ ^) , ø son abiertos disyuntos. Como es conexo se sigue" # " " #

que ø. Por lo tanto o sea .^ œ ^ œ ÖDÎ1 D œ 2 D × 1 œ 2#

15.Para que sea un espacio de Hausdorff, es necesario y suficiente que la\

diagonal sea un subconjunto cerrado de . Otra? œ Ö Bß C − \ ‚\ÎB œ C× \ ‚\

condición equivalente es que cada punto sea la intersección de todas lasB − \

vecindades cerradas de B.


SOLUCIÓN. + Ê Ñ\ aB − \ aC − ] B Á C es espacio de Hausdorff entonces , con existen , tales que ø ø de dondeZ − B b[ − C Z ∩[ œ Ê Z ‚[ œµ µZ ‚[ ∩ œ Z ‚[ ∩ Á Bß C − Z ‚[ • Bß C −? ? ?ø porque si ø, existe entonces , B − Z C − [ • Bß C − Ê B − Z • B œ C − [ Ê B − Z ∩[?lo cual es contradictorio ya que ø.po Z ∩[ œComo es una vecindad de en y , entonces esZ ‚[ Bß C \ ‚\ Z ‚[ § C C? ?abierto por lo tanto es cerrado en .? \ ‚\É Ñ Bß C − \ B Á C Bß C Â Supongamos que es cerrado, sean tales que así que ? ?

entonces entonces existe un abierto tal que ,Bß C − œ Q Bß C − Q §s‰

C C C? ? ?Q bZ − B ß b[ − C puede ser elegido como un abierto elemental o sea talesµ µque asíQ œ Z ‚[ øZ ‚[ § Í Z ‚[ ∩ œB C C? ?

entonces ø,Z ∩[ œasí, tal que øbZ − B • b[ − C Z ∩[ œµ µde donde es un espacio de Hausdorff.\, \ Bß C − \ B Á C Supóngase espacio de Hausdorff, tales que por consiguiente

existen abierto y abierto tales que ø entonces Z ® B [ ® C Z ∩[ œ ß Z § [B C B CC

como es el menor cerrado que contiene a se sigue que Z Z Z § Z § [B B B B CCentonces asíC Â Z ß aC Á BßB

C Â Z ß B Á C Ê Z œ ÖB×∩ ∩B − Z B − ZB

B B

porque si

∩B − Z

Z œ ÖB B × B Á B Ê bZ ß bZ ÎZ ∩ Z œB " " B B B B, y ø" "

entonces Z § Z § Z Ê bZ ÎB Â Z • B − ZB B B B " B " BC

"∩

B − ZB

esto es contradictorio.poÉ Ñ B Á C \ ZRecíprocamente sea en entonces existe vecindad tal queB

o sea tal que C Â Z ß c C − Z Í c aZ ß C − Z Í bZ C Â Z∩ ∩B − Z B − Z

B B B B B BŠ ‹ ˆ ‰entonces, tal que .bZ C − ZB BCComo es abierto entoncesCZB

abierto tal que b[ C − [ § Z ÞC BCAsí. tal que ø,bZ ß b[ Z ∩[ § Z ∩ Z œB C B C B BCo sea tal que ø.bZ ß b[ Z ∩[ œB C B C

De donde es un espacio de Hausdorff.\


16.Sea el conjunto de las matrices cuadradas reales con filas y columnas.Q 8 8 8

Establezca una correspondencia biunívoca entre y el espacio euclidiano .Q 8 d8#

Por medio de esa correspondencia, vuelva a un espacio métrico. LasQ 8

aplicaciones ,y, , definidas por ./> À Q 8 d 7 À Q 8 ‚Q 8 Q 8 ./> \ œ

determinante de la matriz producto matricial de\ 7 \ † ] œ \ † ] œ y \ ] K 8 8 ‚ 8 por , son continuas. El conjunto de las matrices las cuales poseen

inversa es abierto en . La aplicación definida por Q 8 < À K 8 K 8 < \ œ \ ß"

es continua. El conjunto de las matrices ortogonales (esto es, matrices cuyab 8

inversa es igual a la transpuesta) es acotada en . El conjunto de lasQ 8 K 8

matrices cuyo determinante es es abierto y cerrado en ¿Será ! K 8 Þ K 8

cerrado en ?Q 8

SOLUCIÓN. + Q 8 Construcción de la correspondencia biunívoca. es espaciométrico. Sea

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

+ œ E œ + + á +

+ + á ++ + á +

ã ã ä ã+ + á +

34 $" $# $8

"" "# "8

#" ## #8

8" 8# 88

Se define0 À Q 8 d8#

columna de columna de columna de E È Ð" Eß # Eßá ß 8 EÑ œ<+ .+ =37+é

œ + ß + ßá ß + ß + ß + ßá ß + ßá ß + ß + ßá ß +"" #" 8" "# ## 8# "8 #8 88

Es claro que esta bien definida, ya que si para todo0 + œ , Í + œ ,34 34 34 34

3 œ "ß #ßá ß 8 4 œ "ß #ßá ß 8 0 + œ 0 , Þ y todo luego 34 34

0 + Á , 3ß 4ß + Á , pues si entonces para algún entonceses inyectiva, 34 34 34 34

0 + 8ß 4 " 8ß 4 " 34 tiene la ésima coordenada diferente de la ésimacoordenada de de donde .0 , + Á , Ê 0 + Á 0 ,34 34 34 34 34

0 T − d E 8 ‚ 8es sobre, pues para todo , existe una matriz , con las siguientes8#

características:" E " p 8 T ß

+/<+ columna de es formada por las coordenadas -ésima de # E 8 " p #8 T

+.+ columna de es formada por las coordenadas, -ésima de ã ã ã ã ã 8 E 8 8 " p 8 T

+é=37+ #columna de es formada por las coordenadas, -ésimas de .Entonces 0 E œ T Þ

Así es una correspondencia biunívoca entre y .0 Q 8 d8#

Dados y en tomemosE œ + F œ , Q 834 34

. EßF œ . 0 E ß 0 F œ . + ßá ß + ßá ß + œ Öl+ , là 3 "ß 4 Ÿ 8×w"" 34 88 34 34max

donde es una de las métricas del espacio euclidiano Como es biunívoca y. d Þ 08#

d . . Q 88 w#es un espacio métrico con , entonces es una métrica en llamada


métrica inducida por la aplicación luego es un espacio métrico.0 Q 8 ß .w

Notemos que es una isometría por lo tanto es un homeomorfismo.0 0, ./> À Q 8 d 7 À Q 8 ‚Q 8 Q 8 Las aplicaciones y definidas por

, ./> \ œ \ 7 \ß] œ \ † ] œdeterminante de la matriz productomatricial , son continuas ./> À Q 8 d

\ œ B È./>\34

Sabemos que y si ./>\ œ " B † B † â † B ß ß 6 Á 5 Ê 3 Á 3"Ÿ3 Ÿ8

3 â3"3 #3 83 6 5

5

" 8

" # 8

Como el producto y la suma en son funciones continuas se sigue queddeterminante es una función continua.7 À Q 8 ‚Q 8 Q 8 7 \ß] œ \ † ] Q 8 dada por . es un espacio vectorialsobre el cuerpo de los números reales de dimensión y el producto es bilineal en8#

Q pues 7 E FßG œ E F † G œ E † G F † G œ- . - . - . con , œ 7 EßG 7 FÞG − d- . - .7 Eß F G œ E † F E † G œ E † F E † G œ 7 EßF EßG- . - . - . - .siendo bilineal por lo tanto es continua.7- K 8 8 ‚ 8 Q 8 El conjunto de las matrices que poseen inversa, es abierta en .

Sea es inversible , así es una aplicaciónE − Q 8 ß E Í ./>E Á ! ./> À Q 8 d

continua y . Siendo abierto en y la imagen./> d Ö!× œ K 8 d Ö!× d K 8"

recíproca de un abierto en por la continuidad de la función se sigue qued ./>K 8 Q 8 es un abierto en .. < À K 8 K 8 < \ œ \ La aplicación definida por es continua. Sabemos que"

< \ œ \ œ Š ‹" " ./> \./> \

>3434

donde es la matriz obtenida de excluyendo la -ésima fila y la -ésima\ \ 3 434

columna. Sean , > À K 8 K 8 T À K 8 K 8 ß − d

\ \\ \È È>-

--

La aplicación que lleva en su transpuesta es continua (más abajo en se> \ /puede apreciar mejor este hecho)T \ \- la aplicación que lleva en la multiplicación por un escalar es continua,-pues es una homotecia.Sea la matriz cofactor de , tenemos la siguiente descomposición\ 34 \34

‡

K 8 K 8 " ‚ K 8 " ‚â ‚K 8 " ‚â‚K 8 "

8 @/-/=èëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëéëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëê#

\ È \ ß\ ßá ß\ ßá ß\"" #" 34 88

./>ß ./>ßá ß ./>ßá ß ./> œ ./>p

d ‚ d ‚â‚d ‚â‚d œ d8#

./>\ ß ./>\ ßá./>\ ßá ß ./>\"" #" 34 88

=31ß =31ßá ß =31ßá ß =31 œ =31p

d ‚ d ‚â‚d ‚â‚d œ d8#


ˆ ‰ " ./>\ ß " ./>\ ßá ß " ./>\ ßá ß " ./>\"" #" 34 88"" #" 34 88

0"

K 8

ˆ ‰ " ./>\3434

T œ T ß œ"./>\

- - "./>\

K 8 K 8

" ./>\ È

>

ˆ ‰ Š ‹"./>\

3434 " ./>\

./>\

>3434

‡34\ − K 8 " a3ß a4Þ

Entonces

< œ > ‰ T ‰ 0 ‰ =31 ‰ ./> ‰ =p p"

./>\

"

< es por tanto continua, ya que es una composición de aplicaciones continuas./ 8 Q 8El conjunto de matrices ortogonales es acotado y cerrado en .b

Sea entonces , o seaR − 8 R † R œ Mb >

Ô ×Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ ÙÕ Ø

Ô ×Õ Ø

8 á 8 á 8ã ä ã ä ã

8 á 8 á 8ã ä ã ä ã

8 á 8 á 8

† œ 8 † 8

8 á 8 á 88 á 8 á 8ã ä ã ä ã

8 á 8 á 8

"" 34 "8

3" 34 38

8" 84 88

"" 3" 8"

"# 3# 8#

"8 38 88

4œ"

8

34 34

œ

" á ! á !ã ä ã ä ã! á " á !ã ä ã ä ã! á ! á "

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

entonces

4œ" 4œ"

8# #34 34

3Á4

8

8 œ "ß 3 œ "ß #ßá ß 8 • 8 œ !

de donde se recibe: l8 l Ÿ "ß 3ß 4 œ "ß #ßá ß 834

Entonces si son matrices de se debe tenerQ œ 7 ß R œ 8 834 34 b

y para l7 l Ÿ " l8 l Ÿ " 3ß 4 œ "ß #ßá ß 834 34

de donde se tiene que

. QßR œ Öl7 8 lß 3ß 4 œ "ß #ßá ß 8× Ÿ #Þw34 34sup

Como y son elementos arbitrarios de se sigue que Q R 8 8b b es acotado.Observemos ahora que la aplicación

Q 8 R 8R

>

RÈ >


es continua; ya que, dado existe tal que para todo con% $ % !ß œ ! Q − Q 8

. QßR Ê . Q ßR Q œ Q ß aQ − Q 8 Þw w > > >l l l l$ %, pues Sea ahora

Q 8 Q 8 ‚Q 8 Q 8

R RßR È R † Rˆ ‰X 7

È > >

Sea la matriz identidad. Como y son funciones continuas se sigueM X œ 3.ß > 3.ß >que es continua. es un conjunto cerrado en ahoraX ÖM× Q 8 ß

7 ‰ X ÖM× œ 8 Þ" b

Siendo y funciones continuas se sigue que es continua, luego 7 X 7 ‰ X 8b

es cerrado ya que es la imagen recíproca de un cerrado por una aplicacióncontinua.0 K 8 ! El conjunto de las matrices cuyo determinante es es abierto y

cerrado en K 8 Þ

E − K 8 Í ./> E !

Sea una función continua, pues es la./> À K 8 d Ö!× œ ∞ß ! ∪ !ß ∞

restricción de a y esta aplicación es continua. Ahora./> À Q 8 d K 8 § Q 8./> !ß ∞ œ K 8 !ß ∞" y siendo un subconjunto abierto y cerrado ded Ö!×ß ./> ß K 8 y la aplicación continua entonces se sigue que es un

subconjunto abierto y cerrado de .K 81 K 8 Q 8 ¿Será cerrado en ?

No, pues es continua y , como es./> À Q 8 d K 8 œ ./> !ß ∞ !ß ∞ "

abierto en y es la imagen inversa por una aplicación continua de und K 8

abierto de , se sigue que es un abierto de .d K 8 Q 8

K 8 Á M − K 8 ø pues . ø ya que y øQ 8 K 8 Á K 8 § Q 8 K 8 ∩K 8 œ Þ

Si fuera cerrado en tendríamos en un subconjunto abierto yK 8 Q 8 Q 8

cerrado diferente del vacío esto implicaría que no es conexo, esto es absurdoQ 8

ya que es homeomorfo a que es conexo por tanto es conexo.Q 8 d Q 88#

Recuérdese que en la parte se mostró que la correspondencia biunívoca es+ 0una isometría ya que por lo tanto es un homeomorfismo.. EßF œ . 0 E ß 0 F 0w

17.Para todo subconjunto no vacío de un espacio métrico y todo W Q + − Q

entonces .. +ß W œ . +ß Wˆ ‰SOLUCIÓN. Si entonces se tendría trivialmente la+ − W § W . +ß W œ ! œ . +ß Wˆ ‰igualdad.Si , sabemos de la propiedad triangular de la métrica que+ Â W .

. +ß C Ÿ . +ß B . Bß C ß aB − Wß aC − W

por lo tanto


inf infC − W C − W

. +ß C Ÿ . +ß B . Bß C ß aB − W

o sea que

. +ß W Ÿ . +ß B . Bß W ß aB − W

pero si entonces , por lo tantoaB − W . Bß W œ !ˆ ‰. +ß W Ÿ . +ÞB ß aB − W

de donde

. +ß W Ÿ . +ß W "ˆ ‰Recíprocamente, de la propiedad triangular de se recibe;.

. +ß C Ÿ . +ß B . Bß C ß aB − Wß aC − W

entoncesinf infC − W C − W

. +ß C Ÿ . +ß B . Bß C aB − W

como , por lo tantoB − W § W Ê . Bß W œ !ˆ ‰. +ß W Ÿ . +ß B ß aB − Wˆ ‰

de donde

. +ß W Ÿ . +ß W #ˆ ‰Luego de y se tiene la igualdad" #

. +ß W œ . +ß Wˆ ‰.18.Sea el gráfico de una relación de equivalencia . SiK œ Ö Bß C − \ ‚\à BIC× I

\ÎI K \ ‚\ es un espacio de Hausdorff, entonces es un conjunto cerrado en . SiK § \ ‚\ \ÎI es un conjunto cerrado, todo punto en es cerrado pero no sepuede garantizar que sea un espacio de Hausdorff, aún cuando lo sea, Si\ÎI \

K § \ ‚\ I \ÎI es cerrado y la relación es abierta entonces es un espacio deHausdorff.SOLUCIÓN. + \ÎI K \ ‚\Si es cerrado, entonces es un conjunto cerrado de .Sea la aplicación canónica. Sea y: < : :À \ \ÎI œ ß À \ ‚\ \ÎI ‚\ÎI

? < ?§ \ÎI ‚\ I K œ/ la diagonal, entonces se tiene que , en efecto"

< ? : : ? : :" œ Ö Bß C − \ ‚\Î B ß C − × œ Ö Bß C − \ ‚\Î B œ C × œ


• •

œ Bß C − \ ‚\Î ÒBÓ œ ÒCÓ œ Ö Bß C − \ ‚\ÎBIC× œ KÞš ›Como es continua por consiguiente es continua y es cerrado: < : : < ?œ ß "

ya que es cerrado puesto que es un espacio de Hausdorff. Luego el gráfico? \ÎI

de es un conjunto cerrado.I, K § \ ‚\ \ÎI Si es cerrado entonces todo punto de es cerrado, puesÒBÓ − \ÎI ß ÒBÓ œ B œ =+> B K• • por lo tanto . Como es cerrado entonces: : :" "

=+> B ÒBÓ es cerrado. Como es continua se sigue que es cerrado•:"

- \ÎI \ÎIQue el punto de es cerrado, no garantiza que sea un espacio deHausdorff, aún que lo sea. Basta tomar un espacio topológico de Hausdorff no\ \regular tal que si es un punto de entonces toda vecindad de encuentra a+ Â J \ß +

toda vecindad de Sea la relación de equivalencia definida, identificando entreJ Þ I

sí, todos los puntos de El gráfico de la relación es dada porJ Þ

K œ Ö Bß C − \ ‚\ÎB œ C× ∪ J ‚ J

Como es cerrado y = , entonces es cerrado, así es cerrado.J J ‚ J J ‚ J J ‚ J KComo y con no se pueden separar, se sigue que no es un espacio• •J B B Â J \ÎI

de Hausdorff.. K § \ ‚\ I \ÎI Si es cerrado y la relación es abierta entonces es Hausdorff.

Como es una relación abierta la aplicaciónI 0 À \ÎI ‚ \ÎI \ ‚\ Î I ‚ I

es un homeomorfismo, ya que la relación es definida como en el álgebraI ‚I0 B œ 0 C ß 0• • es continua y abierta, basta considerar la descomposición canónicay aplicar este resultado: "Sean dos espacios topológicos, una\ß ] 0 À \ ]aplicación continua, la relación de equivalencia en V 0 B œ 0 C \ß

\ \ÎV 0 \ ] 0: 2 3 la descomposición canónica de . Las tres propiedades

siguientes son equivalentes: ) es un aplicación abierta.3 0 ) Las tres aplicaciones son abiertas.33 :ß 2ß 3 ) La relación de equivalencia es abierta, es un homeomorfismo y 333 V 20 \ ] Þes una parte abierta de "Ahora

? : : : :\ \ \‚\I I I‚I‚ œµ œ Ö B ß C Î B œ C × §

\ ‚\

I ‚I

Sea y tomemos su saturado K œ Ö Bß C − \ ‚\ÎBIC× E œ =+> K œ K Þ< <"

Afirmación ". ? < <œ E œ =+>K

En efecto, como es sobreyectiva entonces< < < < <=+>K œ K"

< < : : : :=+>K œ K œ Ö B ß C Î Bß C − K× œ Ö B ß C ÎBIC×

œ Ö B ß C Î B œ C × œ: : : : ?

#Þ I E E œ E Como es abierta y saturado entonces .< <

En efecto, como es saturado implica que sea cerrado en como E E \ÎI E § E<

entonces por lo tanto pero es continua entonces< < < < <ˆ ‰ ˆ ‰E § E E § E

< < < <ˆ ‰E § E E œ E. Luego . En total se tiene


? < < <œ =+>K œ =+>K œ K

Luego es cerrado y es un espacio de Hausdorff.? \ ÎI

19. Sea una sucesión en un espacio métrico . Dada una descomposiciónÖB × Q8 8−

R œ R ∪â∪R R ßá ßR" : " : donde son infinitos disyuntos, si las subsucesionesÖB × ß ÖB × ßá ß ÖB × + − Q8 8−R 8 8−R 8 8−R :" #

convergen todas para el mismo límite entonces converge para . ¿Es este resultado aún verdadero, en el caso deÖB × +8 −R

una descomposición ?.infinita R œ R ∪â∪R ∪â" :

SOLUCIÓN. + ÖB × Ä + R œSabemos que con 8 −R3R ∪â∪R3 ∪â∪R" : esto

significa que: Š ‹Š ‹Dado existe%3 3

!! R3! 8 3Îa8 − R ß . B ß + %

Tomando tenemos que8 œ ÖR ßR ßá ßR ×! ! !" # :

!max

Œ Œ ‚H+.9 /B3=>/

œ œ â œ 8 œ ÖR ßá ßR ×a8 8 ß . B ß +

% % %%

" 3 !"! !

: ! 8max

Por lo tanto converge para ÖB × + − QÞ8 8−R

, œ Ö"ß :ß : ßá ß : ßá× : No es verdadero el resultado, ya que tomando con :# 8

número primo, Obtenemos es una " : " # $ &œ ß a:Þ œ ∪ ∪ ∪ ∪â

descomposición infinta de en subconjuntos disyuntos infinitos. Tomando lasiguiente sucesión

ÖB × œ8 −

8 −8 8−

"8 ":8 :

œ si si

Tenemos queÖB × œ Ö × œ Ö ß ß ßá× œ Ö:ß "ß ß ßá×8 8− 8−:

: : : :8 " : : : :

" " : # # $

Por lo tanto y se tiene que todas las sucesionesÖB × Ä !8 8−:

ÖB × ß ÖB × ß ÖB × ßá8 8− 8 8− 8 8−" # $

son todas convergentes para el mismo .+ œ !

Pero tiene la sucesión que no es convergenteÖB × Ö"ß #ß $ß &ß (ß ""ß "$ßá×8 8−

(es divergente más aún) para , por lo tanto no es convergente.! ÖB ×8 8−

20.Sea una sucesión en un espacio métrico . Dada cualquier aplicaciónÖB × Q8 8−

biunívoca la sucesión también converge en y se tiene: À C œ B Q8 8:

lim lim8Ä∞ 8Ä∞

8 8C œ B . ¿Qué otra hipótesis puede sustituir el hecho de que sea:

biunívoca?SOLUCIÓN. + œ œ Ö 8 Î8 − × § Sea , así : : "

ÖC × œ ÖB × œ ÖB ×8 8− 8− 8 8−8 : "


o sea que es una subsucesión de . Como ÖB × œ ÖC × ÖB × ÖB ×8 8− 8 8− 8 8− 8 8−"

converge para . Sabemos que toda subsucesión de una sucesión+ œ Blim8Ä∞

8

convergente, es covergente y tiene el mismo límite de la sucesión considerada, sesigue que toda subsucesión de converge para por lo tanto ÖB × + ÖB ×8 8−R 8−R8:

converge para , o sea se tiene que .+ C œ B Þlim lim8Ä∞ 8Ä∞

8 8

, Ö: ß : ß : ßá× œ Ö#ß $ß &ß (ßá× : Sea una enumeración en ordenEjemplo " # $

creciente de los números primos, y tomemos: R œ Ö"× ∪ # œ Ö"× ∪ :" "

R œ $ R œ : R# " # "

ã

R œ : R5 5 5 ∪5

3 œ ".

Tenemos entonces que y que los son infinitos y disyuntos. œ R R∪∞

5 œ "5 3

Tomamos ahora definida por .B À d8ÈB 8 œ B Š ‹

8

B œ"ß 5−Ö: ß: ßá×B œ!ß 5ÂÖ: ß: ßá×5 " #

5 " #

si si

Entonces converge para , , pues cada sólo tiene un número primo ÖB × ! aR R : Þ8 8−R 3 3 33

Pero no converge para pues existen números primos arbitrariamenteÖB × !8 8−

grandes. Luego la respuesta a la pregunta no es verdad.- ÖC × œ ÖB ß B ßá ß B ßá× Consideremos el siguiente ejemplo: Sea donde8 8− :" :# :8

: À8È 8 :

por lo tanto por el ejercicio en cuestión la parte C œ B œ B +8 8:B:

ÖC × C œ B B œ B Þ8 8− 8 8 :8 88Ä∞ 8Ä∞ 8Ä∞ 8Ä∞

es convergente y su límite o sea que .lim lim lim lim

21.Sea el conjunto de los números reales y el conjunto de los númerosd

racionales. El conjunto de las sucesiones convergentes de números reales escerrado en pero las sucesiones convergentes de números racionales noµ à d

forman un conjunto cerrado de . En cualquier espacio métrico , sinµ à Q

embargo, la aplicación que asocia a cada sucesión convergente su límite escontinua [cuando se considera el conjunto de las sucesiones convergentes comosubespacio de ].µ RàQ

SOLUCIÓN. + Sean\ œ àd œ Ö0 À dÎ0 × X œ Ö0 − àd Î0 ×µ µ es acotada y es convergenteX \ X : − \ X es cerrado: Con tal propósito veamos que es abierto, sea Í : œ ÖB ×8 8− es una sucesión divergente lo cual es equivalente a decir que existe% % ! 8 − 8 8 . B ß B Þ, tal que para todo existe de manera que Sea! " ! 8 8! "

F :ß : F :ß § \ Xˆ ‰ ˆ ‰% % %$ $ $ una bola centrada en y radio mostremos que , en

efecto, sea: − F :ß Í ; œ ÖC × . :ß ; œ . ÖB × ß ÖC × ˆ ‰% %

$ $8 8− 8 8− 8 8− y o sea que


sup8 −

. B ß C Í . B ß C ß a8 −

8 8 8 8$ $% %

Por otro lado tenemos% Ÿ . B ß B Ÿ . B ß C . C ß C . C ß B Ÿ . C ß C 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8$ $! " ! ! ! " " " ! "

% %

o sea, se tiene queˆ ‰ ˆ ‰Š ‹IB3=>/ T+<+ >9.9! 8 − $" ! 8 8%

%! ! "

b8 8 . C ß C tal que entonces es divergente, por lo tanto esÖC × ; œ ÖC × − \ Xß • ß \ X8 8− 8 8−

abierto.Luego es cerrado.X, Basta que el conjunto de las sucesiones divergentes no sea abierto, para que el

conjunto de las sucesiones convergentes no sea cerrado. Tomemos el siguienteejemploˆ ‰Š ‹Š ‹H+.9 /B3=>/

! ; 8 − 8 #; #: :"

% %Ÿ Î % % el mayor número racional menor o igual a

! !

Tomando

ÖB × œ ß ß ÖC × œ

B œ

B œ

B œ

ã

B œ "

C œ

C œ

ã

C œ

8 8− 8 8−

":#;

#:#; #8

"

$:#; $8

#

8:#; 88

8 8"

":#;

#:#; #8

"

8:#; 88

8"

ÚÝÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÛ ÛÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝÝÜ

Ú

Ü!

!

!

!

!

y

Entonces dado tenemos que pues% % ! ÖC × − F ÖB × à8 8− 8 8−

. ÖB × ß ÖC × œ ÖlC B là 8 − × Ÿ8 8− 8 8− 8 8 sup %

y es convergente, pero no es convergente pues para yÖC × ÖB × ! ß8 8− 8 8−:#; $

para todo , existe tal que , luego el conjunto de las8 − 8 − . B ß B ! " 8 8 $! "

sucesiones de números racionales no forman un conjunto cerrado de .µ à

- E œ ÖÖ3 × à 3 − 3 Ä 3 − Q × 0 À E Q 0Ö3 × È 3

Sea y . Sea vemos que esB 8− B B BB 8− B

8 8 8

8

continua en el punto , esto es dado , existe tal queÖ3 × ! !B 8−8 % $

. Ö4 × à Ö3 × Ê . 3 ß 4 B 8− B 8− B B8 8 $ %

Sabemos que M . Ö4 ×ß Ö3 × œ Ö. 4 ß 3 à 8 − ×• B B B B8 8 8 8

sup

dado existe tal que MM Ö3 × Ä 3 Í !ß 8 − a8 8 Ê . 3 ß 3 • B 8− B " " B B $8 8%%

MMM Ö4 × Ä 4 Í a8 8 Ê . 4 ß 4 • B B # B B.+.9 /B3=>/! 8 $7 8#−

ˆ ‰Š ‹‚%%

Tomando tenemos que 8 œ ÞÖ8 ß 8 × a8 8! " # !max. 3 ß 4 Ÿ . 3 ß 3 . 3 ß 4 . 4 ß 4 Ÿ . 3 ß 4 B B B B B B B B B B$ $8 8 8 8 8 8

% %

Tomando tenemos cuando$ œ %$

. Ö3 × ß Ö4 × Ê . 3 ß 4 a8B 8− B 8− B B8 8 $ $,


por lo tanto. 3 ß 4 Ÿ œ ÞB B $ $ /

% % % %

Luego es continua en cada es continua en 0 Ö3 × − E Ê 0 EÞB 8−8

22.Sean, un espacio topológico, un espacio métrico y un subconjunto\ R E § \

tal que . Si una sucesión de aplicaciones continuas es convergenteE œ \ 0 À \ R8

uniformemente en para una aplicación continua , entonces E 0 À \ R 0 Ä 08

uniformemente en \.SOLUCIÓN. Sabemos por hipótesis los siguientes hechos:" ! b !Î. Bß B Ê . 0 B ß 0 B Ÿ ß a8. Dado , % $ $" ! " 8 8 ! $

%

# ! b !Î. Bß B Ê . 0 B ß 0 B . Dado , % $ $# ! # ! $%

$ ! b8 !Îa8 8 Ê . 0 B ß 0 B aB − E. Dado , , .% ! ! 8 $%

Ahora tomando, para dado, existe tal que % $ $ $ $ ! œ Ö ß × 8 ! . Bß B ßmin " # ! !

a8 8 ß aB − E!

. 0 B ß 0 B Ÿ . 0 B ß 0 + . 0 + ß 0 + . 0 + ß 0 B Ÿ œ8 8 8 8 $ $ $% % % %

Luego uniformemente en 0 Ä 0 \Þ8

23.Un subgrupo aditivo de los números reales es denso en si y sólo si esK d !

punto de acumulación de . Si el subgrupo no es denso en , existe unK K § d d

número real tal que esto es . En particular, los+ ! K œ +ß K œ Ö8+à 8 − ×™ ™

subgrupos aditivos cerrados de son y los de la forma . Concluird Ö!×ß d +ß + !™

que si es un número irracional, los números de la forma ) ) ™7 8ß 7ß 8 −

constituyen un subconjunto denso de d.SOLUCIÓN. + K d Í ! es un subgrupo aditivo denso de es punto deacumulación de .KÊ K œ d aB − K B − Z § F B ß Z ∩ K Á B œ !) o sea , se tiene ø. en particular para a

tenemos que ø.aZ − F ! ß Z ∩ K ÁVeamos que tal que Supongamos que no es verdad oa bZ − F ! ß B − Z ∩ K B Á !Þ

sea que existe tal que o sea que existe tal que8 − ß ∩ K œ Ö!× 8 − ˆ ‰" "8 8ˆ ‰ ß ∩ K Ö!× œ K Ö!× œ K ∩ Ö!× œ K ∩ Ò ∞ß ! ∪ !ß ∞ Ó" "

8 8 ø. Como Cse tiene que tal que øb " "

8 88 − ß ∩ Ò ∞ß ! ∪ !ß ∞ Ó ∩ K œ ˆ ‰ tal que øÍ 8 − ÖÒ ß ∩ ∞ß ! Ó ∪ Ò ß ∩ !ß ∞ Ó× ∩ K œb " " " "

8 8 8 8 ˆ ‰ ˆ ‰ tal que øÍ 8 − Ö ß ! ∪ !ß × ∩ K œb " "

8 8 ˆ ‰ ˆ ‰ tal que ø.Í 8 − Ò ß ! ∩ KÓ ∪ Ò !ß ∩ KÓ œb " "

8 8 ˆ ‰ ˆ ‰Lo cual es equivalente a afirmar que

tal que ø øb " "8 88 − ß ! ∩ K œ ß • ß !ß ∩ K œ ˆ ‰ ˆ ‰

entonces ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ß ! œ ß ! ∩ K § ß ! ∩ K œ œ" " "8 8 8 ø ø

ya que cuando es abierto.E ∩F § E ∩F E


Análogamente ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰!ß œ !ß ∩ K § !ß ∩ K œ œ" " "8 8 8 ø ø

lo cual es contradictorio con el hecho de ser po 8 − Þ

Luego con o sea es un punto de acumulación de .bB − K ∩ Z B Á ! ! K

É K § dß d § K + − d Z +) Sabemos que veamos que , entonces sea cualquiera vecindad de es de la forma , donde es una vecindad de+ Z + œ Z ! + Z !cero. De la hipótesis se tiene que cualquiera que sea vecindad de ceroZ !bB − Z ! ∩ K B Á !Þ K d Z + ∩ K œ Z ! + ∩ Kcon Como es un subgrupo de , ybB Á + B − Z + ∩ K Z + ∩ K œ Ö+× Ê Z ! ∩ K œ Ö!× ! tal que ya que si entonces no sería punto de acumulación de Por lo tantoKÞ

aZ − F + ß Z + ∩ K Á Ê + − Kø, K œ Ö!× K œ ! Si entonces ™

Sea entonces tal que . La relación K Á Ö!× B Á ! B − K K œ Kb

Ð7 − K Í 7 œ 1ß 1 − K Ê 7 œ 1 • 1 − K 7 − KÞ entonces Si1 − K Ê 1 − K 7 œ 1 • 1 − K Ê 1 − K Ñ entonces muestra queL œ ÖB − KÎB !× Á , − L Ò!ß ,Ó ∩ Kø; si entonces es un subconjunto discreto finitoya que es denso por lo tanto existe tal que . AhoraK + œ ÞÖB − L B − Ò!ß ,Ó×inf

+ Á !ß + œ ! ! œpues si entonces por definición de para todo , , existeinf % %ˆ ‰"8

C − L ! C ! ! K Ktal que entonces es punto de acumulación de entonces es%

un subgrupo aditivo denso contra la hipótesis.También ya que si , para todo existe tal que+ − L + Â L 8 − C − L 8

+ C + + L § K +8"8 entonces es punto de acumulación de en esta forma es

punto de acumulación de y por la definición de las vecindades de se sigue queK +! K K es punto de acumulación de lo cual implica que una vez más es denso locual es contradictorio. Luego .po + − LPara todo tomando (parte entera de se tiene que B − K 7 œ ÒÒ ÓÓ Ñ B 7+ − KB B

+ +

ya que es un subgrupo aditivo y por lo tanto .+ − L § Kß K B − K B 7+ − KComo sabemos de la definición de parte entera:

B B B

+ + + " ÒÒ ÓÓ Ÿ

se sigue que o sea que , también se tiene que oÒÒ ÓÓ œ 7 Ÿ ! Ÿ B 7+ " 7B B B+ + +

sea por lo tanto se tiene de la construcción de seB +7 +ß ! Ÿ B 7+ +à +

sigue queB 7+ œ ! Í B œ 7+

esto prueba que .K œ +™- K d K œ Ö!× K K Si es un subgrupo aditivo de entonces: , o, es denso ,o, no es

denso. Si es cerrado . Si entonces es cerrado ya que es unK K œ K K œ Ö!× K d

grupo topológico de Hausdorff. Si es denso entonces en ese caso K K œ K œ d Kes todo el grupo. Si no es denso se sigue de la parte que existe talK , + !

que y como es un grupo topológico la translación a derecha esK œ + d À d dB B+È

™ $+

un homeomorfismo.


Como es reunión de abiertos entonces es cerrado por lo tantoCd™ ™œ 8ß 8 "∪8 − ™

$ ™ ™+ œ + es cerrado.. K œ Ö7 à7ß 8 − ×ß Sea como) ™

7 8 7 8 œ 77 8 8) ) )" " " "

se sigue que es un subgrupo aditivo de .K dAfirmación: es denso en . En efecto, si suponemos que no es denso, se sigueK d Kde la parte que existe tal que . Como se sigue que, + ! K œ + œ ! "™ ) )

) ™− K 8 − 8 Á ! por lo tanto existe tal que! !

*) œ 8 +!Ahora con entonces por lo tanto existe" œ 7 8 7 œ 8 œ " " − K œ +) ) ) ™

5 − " œ 5+ " œ 8 œ 5 8™ ) ) ) ) tal que , de * tenemos que o sea o sea58 ! !!

que , como entonces , esto nos lleva a una" "588) )œ − − d − d po!

! )

contradicción. Luego tiene que ser denso en .K d

24. Sea el conjunto de las matrices ortogonales de dimensión ,b 8 8 ‚ 8

b 8 § d8#

b b 8 œ ÖE − 8 Î./> E œ "×

b b 8 œ ÖE − 8 Î./> E œ "×

Mostrar que es conexo por caminos.b 8

SOLUCIÓN. Sea entonces existe tal que dondeE − 8 T − 8 E œ TNTb b "

N œ

" á ! ! á ! ! á !ã ä ã ã ä ã ã ä ã! á " ! á ! ! á !! á ! " á ! ! á !ã ä ã ã ä ã ã ä ã! á ! ! á " ! á !

! á ! ! á ! á !-9= =/8 =/8 -9=

ã ä ã

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

” •α αα α" "

" "

ã ä ã ã ä ã

! á ! ! á ! ! á-9= =/8 =/8 -9=” •α α

α α5 5

5 5

œ N Š N ŠâŠ N" # 5

donde

con

N œ "

M ß ” M ß ”

-9= =/8 =/8 -9=

− d3

ÚÝÝÛÝÝÜ ” •α αα α

α

Como


” • ” • " ! -9= =/8! " =/8 -9=

œ1 11 1

Definimos : bα αα α

À Ò!ß "Ó #> -9=> =/8>

=/8> -9=>” •È

La aplicación así definida tiene las siguientes propiedades: es continua."Þ :

#Þ ! œ M: #

$Þ " œ-9= =/8 =/8 -9=

:α αα α” •

Generalizando esta aplicación tenemos 0 À Ò!ß "Ó 8

> È0 > œ N >b

donde yN > œ N > Š N > ŠâŠ N >" # 8

N > œ

M ß ” M ß ”

-9= > =/8 > =/8 > -9= >

− d3

ÚÝÝÛÝÝÜ ” •α αα α

αcon

Tenemos claramente que 0 ! œ M8 0 " œ N es continua.0Sea ahora 1 À Ò!ß "Ó 8

>È T0 > Tb

"

tenemos ) es continua3 1 ) 33 1 ! œ TMT œ M"

) 333 1 " œ TNT œ T T ET T œ E" " "

Luego es un camino entre .1 Mß EEsto nos permite definir un camino en dos elementos arbitrarios SeanEßF − 8 Þb

T − 8 ß U − 8 E œ TNT F œ UN Ub b tales que y donde, como arriba" ""

N œ N Š N ŠâŠ N ß N œ N Š N ŠâŠ N" # 5 " # 5" " " "

así que los y son de la forma dada al inicio del problema.N N "3 3"

Definimos , y, 0 À Ò!ß "Ó 8 1 À Ò!ß "Ó 8> 0 > œ N > 1 > œ N " >>È È

b b

"

Teniéndose Š ‹ Š ‹0 ! œM 1 ! œN " œN

0 " œN 1 " œN ! œM8 " "

" 8ß • ß

Tómese ahora

si si

L À Ò!ß "Ó 8

> L > œ1 #> ß ! Ÿ > Ÿ

0 #> " ß Ÿ > Ÿ "È

b

"#

"#

L tiene las siguientes propiedades


"Þ L ! œ 1 ! œ N"

#Þ L œ 1 # œ 1 " œ N ! œ Mˆ ‰ ˆ ‰" "# # " 8

œ 0 # " œ 0 " " œ 0 ! œ Mˆ ‰"# 8

$Þ L " œ 0 # † " " œ 0 " œ N

resulta continua.%Þ L

Tenemos ahora, como se hizo arriba : b

:

À Ò!ß "Ó 8

>> œ

UL > U ß ! Ÿ > Ÿ

TL > T ß Ÿ > Ÿ "È

" "#

" "#

tenemos entonces ) es continua por construcción 3 : ) 33 ! œ UL ! U œ U1 ! U œ UN U œ U U FU U œ F: " " " " "

"

) 333 " œ TL " T œ T0 " T œ TNT œ T T ET T œ E: " " " " "

Así se ha construido un camino de hacia por lo tanto es conexa porE F 8b

caminos.

25. Sea un espacio métrico. En el espacio de las sucesiones acotadasQ RàQµ

en el conjunto de las sucesiones de Cauchy es cerrado. Se sigue que si esQ QS

completo, el conjunto de las sucesiones convergentes es cerrado en . Si µ RàQ I

es un espacio normado el conjunto de las sucesiones de Cauchy es unS

subespacio vectorial de µ RàI .SOLUCIÓN. + Á ø pues la sucesión constante es de Cauchy.SS S S es cerrado si para toda Ö B × − Ä Ö B × Ê Ö B × −4 ! !

8 8− 8 8− 8 8−

Ö B ß B ßá ß B ßá×ß Ö B ß B ßá ß B ßá×ßá ß Ö B ß B ßá ß B ßá×ßá Ä Ö B ß B ßá×" " " # # # 4 4 4 ! !" # 8 " # 8 " # 8 " #

uniformemente implica que entonces4 ! 4 ! 4 !" " # # 8 8B Ä B ß B Ä B ßá ß B Ä B ßá ß

Ö B × ß ! 8 a8ß7 8 ß!8 8− ! ! es una sucesión de Cauchy así si dado , existe tal que %

. B ß B ! !7 8 %. Pero

4 ! 4 !8 8 " " 8 8 $B Ä B Í !ß b8 >; a4 8 ß . B ß B dado % %

4 ! 4 !7 7 # # 7 7 $B Ä B Í !ß b8 >; a4 8 ß . B ß B dado % %

También es una sucesión de Cauchy esto es,Ö B ×48 8−

dado % !ß b8 >; a7ß 8 8 ß . B ß B $ $ 7 84 4

$%

Tomando tenemos que 8 œ ÞÖ8 ß 8 ß 8 × a7ß 8 8 ß! " # $ !max . B ß B Ÿ . B ß B . B ß B . B ß B œ! ! ! 4 4 4 4 !

7 8 7 7 7 8 8 8 $ $ $% % % %

entonces Esto muestra que es cerrado en .Ö B × − Þ RàQ!8 8− S S µ

Sea es convergente , así si es convergente entoncesS"8 8− 8 8− 8 8−œ ÖÖB × à ÖB × × ÖB ×

ÖB × §8 8−"

es una sucesión de Cauchy, así que .S SComo es completo en entonces y como es cerrado enQ RàQ œµ S S S"

µ µRàQ RàQ Þ el cual también es completo, entonces es cerrado en S"

, Q Si es un espacio vectorial normado, el conjunto de las sucesiones deSCauchy es un subespacio vectorial de , en efecto µ µRàQ § RàQS


ÖB × ß ÖC × − Í Î8 8− 8 8−.+.9 /B3=>/8! 8 ß8 a8ß78 ß. C ßC

a8ß78 ß. B ßB %S ˆ ‰Š ‹

" # # 8 7 #

" 8 7 #%

%

3Þ ÖB C ×8 8 8− es una sucesión de Cauchy, puesto queˆ ‰Š ‹H+.9 IB3=>/! 8 œ ÞÖ8 ß8 × ! 7 7 8 8 7 8 7 8% ! " #max Îa7ß 8 8 ß . B C ß B C Ÿ . B ß B . C ß C > %

33Þ Ö B ×- -8 8− es una sucesión de Cauchy para todo escalar ˆ ‰Š ‹H+.9 IB3=>/! 8 ! 8 7 8 7% !

Îa7ß 8 !ß . B ß B œ l l. B ß B l l Þ- - - - %

26.Sea una serie convergente de números reales positivos. Dada una8œ"

∞

8+

sucesión en un espacio métrico si para todo ,ÖB × Q . B ß B Ÿ + 8 −8 8− 8 8" 8

entonces es una sucesión de Cauchy.ÖB ×8 8−

SOLUCIÓN. Sea como es una sucesión convergente de númerosW œ + ÖW ×8 3 8 8−3œ"

8

reales ya que es una serie convergente se sigue que es unaß + ÖW ×8œ"

∞

8 8 8−

sucesión de Cauchy o sea, dado , existe tal que % ! 8 ! a7ß 8 8 ß! !

< ðóñóòlW W l8 7

||

l + l œ + 5œ! 5œ"

7

85 85

7

%

%

Así tenemos que dado tal que si suponiendo además que% !ß b8 ! 7ß 8 8! !

si se tiene7 8 . B ß B Ÿ . B ß B . B ß B â . B ß B Ÿ8 7 8 8" 8" 8# 7" 7

.Ÿ + + â + Ÿ + 8 8" 7" 855œ!

7

%

entonces la sucesión es una sucesión de Cauchy.ÖB ×8 8−

27.Introducir en el espacio una métrica acotada, completa induciendo en cadad8

bola de radio la métrica usual" .SOLUCIÓN. Sea . À d ‚ d d

Bß C ÞÖ"ß . Bß C ×w 8 8

Èinfd ß .8 w es completo:

Dado que si es una sucesión de Cauchy; , tenemos queÖB × B − d8 8− 88

ˆ ‰Š ‹H+.9 /B3=>/! 8 ! 8 7% !

Îa7ß 8 8 ß . B ß B %

Sea tómese , es sucesión de Cauchy en % " 3. À d ß . d ß . ÖB × d ß .B BÈ8 8 w 8

8 8−

entonces es sucesión de Cauchy en , ya que es uniformementeÖB × d ß . 3.8 8−8 w

continua por ser una contracción débil À. 3. B ß 3. C œ . Bß C œ ÞÖ"ß . Bß C × . Bß Cw w inf ,

por lo tanto es una sucesión de Cauchy en .ÖB × d ß .8 8−8 w

Recíprocamente si es una sucesión de Cauchy en , esto es,ÖB × d ß .8 8−8 w

ˆ ‰Š ‹H+.9 /B3=>/! 8 ! 8 7% !

Îa7ß 8 8 ß ÞÖ"ß . B ß B × inf %


Sea entonces existe tal que , entonces% % " 8 a7 8 8 ß ÞÖ"ß . B ß B × "! ! 8 7 inf. B ß B ÞÖ"ß . B ß B × " ÖB ×8 7 8 7 8 8−inf % , entonces es una sucesión de Cauchy

en por lo tanto es completo.d ß . d ß .8 8 w

28. Probar las siguientes afirmaciones:+ 0< W œ \ Ê W \ es denso en , Wß X \ Ê W ∪ X \ W ∩ X densos en es denso en pero no implica que sea

denso en \Þ

- W \ X ] Ê W ‚ X \ ‚ ] denso en , denso en denso en . W \ E \ Ê W ∩E E denso en , abierto en denso en / W \ß W § X § \ Ê W X X \ denso en denso en y denso en 0 W W 0< W \ W \

‰ Si o o es denso en entonces es denso en 1 W \ W Ê \ denso en , conexo es conexo2 \ I W § \ \ Sea un espacio . Un subconjunto es denso en si y sólo si todo"

B − \ WÞ es límite de una sucesión de puntos de 3 \ ÖB× \ Í B \ es denso en no es aislado en .4 \ œ ÖB − ^ÎB Ÿ × Ên el espacio donde es un conjunto no enumerable, bienH

ordenado con primer elemento. El subespacio es denso en pero no es\ Ö × \H H

límite de una sucesión de puntos de \ Ö ×ÞH

5 ß 7ß 8 −El conjunto de los números racionales de la forma 7#8 ™

números diádicos es denso en la recta.SOLUCIÓN. + W œ W ∪ 0< W œ W ∪\ œ \ Ê W \ es denso en ., W ∪ X œ W ∪ X œ \ ∪\ œ \ Ê W ∪ X \Þ es denso en

W ∩ X § W ∩ X œ \ ∩\ œ \ß W ∩ X § \Á

pero en general . Como en el siguiente

ejemplo: ø no es denso en .Š ‹Wœ dXœd d

denso en denso en • ß W ∩ X œ ß d

- W ‚ X œ W ‚ X œ \ ‚ ]

. "Þ W ∩ E ¨ W ∩ E œ \ ∩E œ E Å

E abierto #Þ W ∩ E § W ∩ E œ \ ∩E œ E

es abierto en es abierto en .$Þ E \ Ê E ∩ W W

es denso en abierto en ø.E ∩ W E Í Z ß Eß Z ∩ W ∩ E ÁaE E

Ahora donde es un abierto en , como es abierto en se sigueZ œ Z ∩ E Z \ E \E \ \

que es abierto en ø así . LuegoZ \ Ê Z ∩ W Á W œ \ Z § E Ê Z ∩ E œ ZE E E E Eˆ ‰Z ∩ W ∩ E œ Z ∩ W ∩ E œ Z ∩ W ÁE E E ø./ W § X § \ Ê W § X § \ Ê \ § X § \ X œ \ X \Þ , entonces y es denso en

ÅW œ \

W œ W ∩ X œ \ ∩ X œ X Ê W XÞX es denso en


0 W W œ W œ \ Ê W \Si es denso, entonces es denso en .Si es denso entonces , entonces , entoncesW W § W § \ W § W § \ Ê \ § W § \

‰ ‰ ‰

Å

W œ \‰

W œ \ W \Þ y es denso en Si , por lo tanto, pero entonces0< W œ \ 0< W § W Ê 0< W § W œ Wß 0< W œ \

y es denso.œ\ § W

W § \ Ê W § \Ê W œ \ W

1 E \ W œ \ ß E ∩ W Á \ Si es un abierto en entonces como ø. Supongamos que no es conexo, esto significa que existen abiertos no vacíos en tales queEß F \ ø.E ∪F œ \ •E ∩F œSean ø ø abiertos no vacíos de comoE œ E ∩ W Á ß F œ F ∩ W Á Ww w

E ∩ F œ E ∩ W ∩ F ∩ W œ E ∩F ∩ W œ ∩ W œw w ø øy

E ∪F œ E ∩ W ∪ F ∩ W œ E ∪F ∩ W œ \ ∩ W œ Ww w

se sigue que no es conexo (absurdo).W pí2 B − \ß B Para cada existe un sistema fundamental de vecindadesµ

enumerables asociado a tal que vecindad de existe tal queB [ B Z § Ba µB − Z § [Þ

É ÑB œ B ß Z ® B \ 8 a8 8 ß B − Z ßlim8Ä∞

8 ! ! 8 para toda vecindad en existe tal que como ø, así es denso en B − Z ß a8 Ê Z ∩ W Á W \Þ8

Ê Ñ B − \ œ W Y B Z ∩ W − B Para todo y para todo vecindad de , existe tal que8 µ

B − Z ∩ W § Y ∩ W Z ¨ Z ¨ Z ¨ â ¨ Z ¨ â Z ∩ W Á8 " # $ 8 3 donde y øTomando , obtenemos una sucesión deB − Z ∩ Wß B − Z ∩ Wß á ß B − Z ∩ Wßá" " # # 8 8

puntos en tal que ya que .B W B œ B B − Z ß a88 8 8lim3 Ê Ñ B Z B \ Z ∩ \ ÖB× œ Si es aislado existe una vecindad de en tal que ø en

esta forma no sería denso ya que para toda vecindad de ,\ ÖB× Y B

Y ∩ \ ÖB× Á píø , obteniendo una contradicciónÉ B \ Bß Z ∩ \ ÖB× Á) no es aislado en entonces para toda vecindad de øimplica que vecindad de en , ø esto implica queà Z B \ Z ∩ \ ÖB× Áa

\ ÖB× \Þ es denso en 4 ^Sea un conjunto no enumerable, bien ordenado, dotado de último elemento y

sea donde es el menor elemento de tal que el conjunto \ œ ÖB − ^ÎB Ÿ × ^ \H H

no es enumerable. Se considera en la topología del orden, por consiguiente no\ Hes punto aislado en y para todo subconjunto enumerable , existe \ I § \ Eabierto en con y ø concluyéndose que es un espacio de\ − E E ∩ I œ \HHausdorff no métrizable. Si aceptamos esto, en el espacio anterior, el subespacio\ Ö × \H H es denso en pero no es límite de una sucesión de puntos de\ Ö × 3 \ Ö × \H H H. Entonces por la parte anterior es denso en pues no espunto aislado.H H no es límite de una sucesión de puntos de , pues para toda \ Ö × ÖB ×8 8−

(enumerable) existe abierto en , con y ø esto muestra queE \ − E E ∩ ÖB × œH 8 8−

H no puede ser límite de ninguna sucesión.


5 H œ Ö Î8ß7 − × H œ dÞ Sea vamos a mostrar que Mostremos que si7#8 ™

B − d Ê B − HPrimero si , y entonces existe tal que . En efecto comoα " α " α "− d 7 7

# #8 8

" α ! # se recibe que por la propiedad arquimediana existe tal que8

# "ß 3/ß b# X œ Ö5 − à 5 # × X8 8 8"#" α " α α tal que . Consideremos . es8

no vacío evidentemente porque no es acotado superiormente. Entonces sea7 œ X ß 7 7 " Ÿ #min. existe por el principio de buena ordenación, así que 8α

de donde tenemos que7 7"" 7" " 7# # # # #8 8 8 8 8œ œ œ Þα " α " ", entonces

Por elección de tenemos que7

7 7

# # Ê "

8 8α α "

Ahora mostremos que donde , si existe tal que \ § H \ œ d B − d B Â H! !

Í bZ − B ÎZ ∩ H œ Ê b ! Z − B Í b !Î B ß B § Zµ $ µ $ $ $! ! ! !ø tal que B ß B ∩H œ B œ ß B œ ß po! ! ! !$ $ $ α $ " α "ø tomando contradictorio con" 7 Þ X d œ H. ya que tendríamos y no sería . Luego .α $ "7

#8 min

29.En el espacio de Hilbert de las sucesiones de cuadrado sumable,L

consideremos la bola unitaria La aplicación , definidaH œ ÖB − LÎlBl "×Þ 0 À H H

por es continua y no posee puntos fijos.0 B œ 0 B ß B ßá œ " lBl ß B ß B ßáˆ ‰È" # " ##

Concluir la existencia de una retracción donde < À H Wß W œ ÖB − LÎlBl œ "×Þ

SOLUCIÓN. 0 À H HB 0 B ß B ßá œ " lBl ß B ß B ßáˆ ‰ÈÈ " # #

#"

0 :es continua

Sea ÖB × Ä B − H Í Îa8 8 ß B B 8 8− ! 8.+.9 /B3=>/! 8 !

# # %

ˆ ‰Š ‹l l!

%

Ahora ; tenemosˆ ‰Š ‹.+.9 /B3=>/! 8 !% !

a8 8 ß

l l l l¾ ¾ŒÉ ˆ ‰È0 B 0 B œ " B ß B ß B ßá " llB ll ß B ß B ßá8 " # 8 #8# # #

"8

#

œ " llBll " B ß B B ß B B ßá œ¾ ¾ŒÈ É l l#8 "8 # #8

#"

#

Œ ŒÉ É É Él l l l l l l l l l" B " B B B Ÿ " B " B Ÿ "# # # # #8 8 8

# ## #% %

0 :no tiene punto fijoSupongamos que existiera un punto fijo para , entonces en ese caso se tendría0 | |0 B ß B ßá œ " lBl ß B ß B ßá œ B ß B ß B ßáˆ ‰È" # # " # $

#"

de donde se tiene que B œ " B ß B œ B œ B œ B œ â œ B œ â" " # $ % 8#É l l

en esta forma , en particular si entoncesB œ " B • B œ B ß B ß B ßá − L B œ !#"

#" # $ "l l

" œ !po obteniéndose una contradicción.


Si no es convergente por tanto lo cual también esB Á ! Ê B œ B B Â Lpo"#

3œ"B œB a3

∞#3l l

3 "

contradictorio

30.Sea denso en el espacio topológico y un espacio de Hausdorff. UnaW \ ]

aplicación , posee a lo máximo una extensión continua La0 À W ] 0 À \ ] Þ

hipótesis sobre ¿es indispensable?.]

SOLUCIÓN. Si posee una tal extensión, es única ya que si existen dos 0 0 ß 0" #

entonces es un conjunto cerrado por ser de HausdorffE œ ÖB − \Î0 B œ 0 B × ]" #

ahora y ,y, .W § E W § E Ê \ œ E 0 œ 0" #

Si es indispensable la hipótesis sobre como se ve en el ejemplo siguiente: Sea]] œ Ö+ß ,× ß œ Ö] ß ß Ö+×× ] , Á +7] ø . no es Hausdorff pues y todo abiertoconteniendo contiene también a . Sea es, + W œ !ß " ß \ œ Ò!ß "Ñß 0 À W ] 0

> È +continua, pues es abierto en y en abierto en . Existen dosÖ+× ] 0 Ö+× œ !ß " W"

extensiones continuas distintas: y 0 À \ ] 1 À \ ]0 ! œ , 1 ! œ +

31. Sea el espacio de Hilbert de las sucesiones de cuadrado sumableL

L œ ÖÖB × à B ∞×Þ8 8−8œ"

∞#8

+ L œ ÖÖB × à ÖB ß B ßá ß B ß !ß !Þá× œ B × § LEl conjunto es un subespacio! 8 8− " # 8 8

vectorial., / œ Ö!ßá ß "ß !ßá× L forman una base de .3 !

Å3

- L L es denso en !

. 0 À L Iß IToda aplicación lineal continua espacio vectorial normado completo(Espacio de Banach) se extiende de un modo único a una aplicación lineal continua0 À L I.SOLUCIÓN. + En efectoB ß C − L Ê B œ ÖB ßá ß B ß !ß !á× C œ ÖC ßá ß C ß !ßá×8 8 ! 8 " 8 7 " 7,

Si tiene apenas un número7 8ß B C œ ÖB C ßá ß B C ß B ßáB ß !ßá×8 7 " " 7 7 7" 8

finito de coordenadas diferentes de cero y por lo tanto está en el espacio .L!

- - - -B œ Ö B ß B ßá ß B ß !ßá× 88 " # 8 tiene solamente coordenadas diferentes de ceroentonces . Así es un subespacio vectorial de - B − L L LÞ8 ! !

, / / â / â œ !pEn efecto - - -" " # # 8 8

Í Ö ß ß ßá ß ßá× œ ! Í œ œ œ â œ œ â œ !p

- - - - - - - -" # $ 8 " # $ 8 .por lo tanto los son linealmente independientes. Ahora sea entonces/ B − L3 8 !

B œ ÖB ß B ßá ß B ß !ß !ßá× œ8 " # 8

œ ÖB ß !ß !ßá ß !ßá× Ö!ß B ß !ßá ß !á× â Ö!ßá ß B ß !ßá× œ" # 8


Los generan a œ B / B / â B / â Ê / L Þ" " # # 8 8 3 !l l- B − L Ê B œ B ∞ ß ! 8 !∞

Sea , esto es dado , existe tal que#

3œ"

#3 !%

a8 8 ß B Þ!88

# #8

!

%

aB − Lß B œ ÖB ß B ßá×ß ! B − L . Bß B Þ" # !dado , existe tal que % %

Basta tomar y se tieneB œ ÖB ß B ßá ß B ß !ßá× − L" # 8!

. Bß B œ lB Bl œ B B B œ B

ÍÍÍÌ Ë3œ" 3œ8 "

8

3 3#

∞ ∞# #3 3

38

!

! !ll!

%

de donde los son las coordenadas de .B B3

. L L I Como es denso en y es un espacio métrico completo el problema se!

reduce a mostrar que es uniformemente continua, pero esto es claro ya0 À L I!

que si es un operador lineal las siguientes afirmaciones son equivalentesX À E F+ X Í , X Í - X) es acotada ) es uniformemente continua ) es continua en algúnpunto de .E

32. Con las notaciones del ejercicio anterior la función definida por0 À L d!

0 ÖB ß B ßá ß B ß !ßá × œ B #B $B â 8B" # 8 " # $ 8 es lineal discontinua.SOLUCIÓN. 3 7 8) Supongamos entonces 0 ÖB ß B ßá ß B ß !ßá × ÖC ß C ßá ß C ß !ßá × œ" # 8 " # 7

œ 0 ÖB C ß B C ßá ß B C ß B ßá ß B !ßá × œ" " # # 7 7 7" 8ß

œ B C # B C â7 B C 7 " B â 8B œ" " # # 7 7 7" 8

œ B #B â7B â 8B C #C â7C œ" # 7 8 " # 7

œ 0 ÖB ß B ßá ß B ß !ßá× 0 ÖC ß C ßá ß C !ßá× Þ" # 8 " # 7ß

Ahora 0 ÖB ß B ßá ß B ß !ßá× œ 0 Ö B ß B ßá ß B ß !ßá×- - - -" # 8 " # 8

œ B # B â 8 B œ B #B â 8B- - - -" # 8 " # 8

œ 0 ÖB ß B ßá ß B ß !ßá× Þ- " # 8

Luego es una aplicación lineal.033 B œ "ß !ß !ßá ß B œ !ß ß !ßá ßá ß B œ !ßá ß ß !ßá) Tomemos , entonces" # 3

" "# 3

ˆ ‰ ˆ ‰B Ä ! 8 Ä ∞8 cuando , ahora


80 B œ " Á 0 ! œ !

Luego es discontinua en por lo tanto es discontinua.0 !

33. Para cada construya una función continua tal que 8 − À d d > œ " : :8 8

para algún punto y excepto si . Defina > − d > œ ! Ÿ > Ÿ 0 À Ò!ß "Ó L:8" "

8" 8

poniendo . Muestre que es discontinua en el punto no0 > œ > ß > ßá 0 !: :" #

obstante cada una de sus coordenadas sea continua.SOLUCIÓN. Tomemos la función 0 > œ > ß > ßá ß > ß "ß > ßá8 " 8 # 8 8" 8 8" 8: : : :


o sea 0 > œ "ß > ßá ß > ßá" # 8 ": :

0 > œ > ß "ßá ß > ßá# " # 8 #: : 0 > œ > ßá ß "ß > ßá8 " 8 8" 8: :tenemos cuando . Ahora , donde: : : :3 " # 8> Ä ! > Ä ! 0 > œ > > ßá ß > ßá

:8

" "8" 8

" #8"8" #8 8"

#8" "#8 8" 8

ÚÝÝÝÛÝÝÝÜˆ ‰ ˆ ‰Š ‹Š ‹ ˆ ‰ˆ ‰

> œ

! > Â Ò ß Ó

ß ! > " > ß " ! Ÿ > Ÿ "µ µ µ

ß " > " > ß ! ! Ÿ > Ÿ "µ µ µ

,,

,

0 ! œ ! ß ! ßá ß ! ßá œ !ß !ßá: : :" # 8

Sea una sucesión de puntos tendientes a Como> Ä ! !Þ8 l l É0 > œ > â " > â "8 " 8 8" 8# #: : Ä

> Ä !8

Por lo tanto lim>Ä!

80 > œ " Á 0 ! œ !

Luego no es continua y las son continuas.0 >:3

34. Sean espacios métricos y una , esto es, existeQß R 0 À Q R dilatación

una constante tal que para cualesquier . Si es5 " . 0 B ß 0 C 5. Bß C Bß C − Q 0

continua y completo, entonces es una aplicación cerrada.Q 0

SOLUCIÓN. ) es inyectiva: así 3 0 0 B œ 0 C Ê . 0 B ß 0 C œ ! 5. Bß C œ ! Í B œ C

33 J Q Ê 0 J) Sea un cerrado en es cerrado.Sea una sucesión convergente, entonces ella es de Cauchy o seaÖB × § 0 J8 8−

dado existe , tal que , ahora es una% % !ß 8 ! 7ß 8 8 ß . B ß B Ö0 B ×! ! 8 7 8 8−

sucesión de Cauchy en ya que para el dado existe tal queR 8% ! % . B ß B œ . 0 0 B ß 0 0 B 5. 0 B ß 0 B8 7 8 7 8 7

" " " "

Luego dado existe tal que %w 5 ! !œ ß 8 7ß 8 8%

. 0 B ß 0 B œ" " w8 7 5

% %

Como es una sucesión de Cauchy y es cerrado en que esÖ0 B × J Q"8 8−

completo entonces es completo por lo tanto Como esJ Ö0 B × Ä + − J Þ 0"8 8−

continua por lo tanto es cerrado.Ö0 0 B × Ä 0 + 0 J"8

35. Sea y Las siguientes afirmacionesH œ ÖB − dà lBl Ÿ "× W œ ÖB − dà lBl œ "×Þ8 8"

son equivalentes: Toda aplicación continua posee un punto fijo.+ 0 À H H8 8

, <àH WNo existe una retracción .8 8"

SOLUCIÓN. Procedemos por contradición, supongamos que existe una+ Ê ,retracción entonces tomemos como la compuesta de y la< À H W 0 À H H <8 8" 8 8

función antípoda o sea tomando que es continuaE ß H W H 0 œ E ‰ <8 8" 8< E

tenemos


si , y, ,B − H Ê < B − W E ‰ < B œ < B8 8"

si .B − W Ê 0 B œ E < B œ E B œ B8"Å

<l œ 3.W8"

Por lo tanto no tiene punto fijo lo cual es contradictorio.0 B po, Ê + 0 À H H 0 B Á B B − H ßSupongamos que es continua con para todo y8 8 8

se define tomando entonces y como< À H W < B œ 0 B † B ∩ W <l œ 3.8 8" 8"W W8" 8"

cualquier variación de implica una variación a se sigue que así definidaB 0 B < Bes continua por lo tanto es una retracción de en lo cual es< H W po8 8"

contradictorio.

36. Un espacio métrico es completo para toda inmersión isométricaQ Í

0 À Q R ß 0 Q R es cerrado en .SOLUCIÓN. Supongamos que es completo entonces toda sucesión de CauchyÊ Ñ Q

ÖB × B − QÞ 0 . 0 B ß 0 C œ . Bß C8 8− converge para un Si es una isometría entonces0 Ö0 B × es uniformemente continua por lo tanto es una sucesión de Cauchy8 8−

en y luego es completo en cualquier espacioR 0 B Ä 0 B − 0 Q ß 0 Q8

métrico por lo tanto es cerrado en RÞ

Una segunda prueba: es una sucesión de Cauchy en como es unaÖB × 0 Q ß 08 8−

inmersión isométrica, es uno a uno por lo tanto es una sucesión0 Ö0 B ×"8 8−

en , como se hizo en el ejercicio 34.QÖ0 B ×"

8 8− es una sucesión de Cauchy, en efecto ) es de Cauchy esto es 3 ÖB × Îa7ß 8 8 Ê . B ß B 8 8− ! 8 7

.+.9 /B3=>/! 8 ! %

ˆ ‰Š ‹!

%

) Ahora 33 . B ß B œ . 0 B ß 0 B ß 7ß 8 8% 8 7 8 7 !

Luego como es continua se concluye queÖ0 B × Ä B − Qß 0"8 8−

,ÖB × œ Ö0 0 B × Ä 0 B − 0 Q8 8− 8 8−"

luego es cerrado.0 QÉ ÖB × Q Ö0 B ×) Sea una sucesión de Cauchy en entonces es una8 8− 8 8−

sucesión de Cauchy en esto es existe tal que . Siendo 0 Q C − 0 Q 0 B œ C 0lim8Ä∞

8

una inmersión isométrica, ella es biunívoca ; luego existe tal queC − 0 Q B − Q!

0 B œ CÞ 0 B Ä 0 B ! ß 8! 8 ! Luego esto es, dado existe tal que%

entonces y es completo.a8 8 ß . 0 B ß 0 B B Ä B Q

. B ß B

! 8 8

B

Þááßááàll

%

%

37. No existe una función real cuyos puntos de continuidad sean0 À Ò!ß "Ó d

precisamente los números racionales del intervalo Ò!ß "ÓÞSOLUCIÓN. Se sabe que el conjunto de los puntos de continuidad de una funciónreal es un conjunto es decir, una intersección enumerable de0 À \ d K Ð$conjuntos abiertos). Si es continua solamente en , entonces0 À Ò!ß "Ó d ∩ Ò!ß "Ó


∩ Ò!ß "Ó K ∩ Ò!ß "Ó será un conjunto , lo cual no es verdad. Veamos que no es de$

tipo en . Sabemos que es un espacio métrico completo. Sea unaK Ò!ß "Ó Ò!ß "Ó E$ 8

familia de abiertos tales que entonces para todo es∩ E œ Ò!ß "Ó ∩ 8 − ß E8 8

denso en (ya que es denso en entonces es un espacio deÒ!ß "Ó ∩ Ò!ß "Ó Ò!ß "ÓÑ E ∩ 8

Baire, entonces es un espacio de Baire. Como es enumerable yÒ!ß "Ó ∩ Ò!ß "Ó ∩

magro en si mismo, entonces debe tener puntos aislados, lo cual sabemos esimposible . Luego no es po Ò!ß "Ó ∩ K Þ $

38.Dados , ¿existe alguna función continua que tome valores+ , 0 À Ò+ß ,Ó d

racionales en todo irracional y para todo racional, esB − Ò+ß ,Ó B − Ò+ß ,Ó 0 B

irracional?SOLUCIÓN. Sea . si es racional, si es irracional0 À Ò+ß ,Ó d 0 B − d B 0 B − B

y por lo tanto es irracional es enumerable. Si es racional y siendo Ö0 B à B × B

enumerable entonces es racional es enumerable. Así no esÖ0 B à B × Ò+ß ,Ó

enumerable y es enumerable. Si es continua, debería ser conexo0 Ò+ß ,Ó 0 0 Ò+ß ,Ó

ya que es conexo; pero no es conexo. Luego no es continua.Ò+ß ,Ó 0 Ò+ß ,Ó 0

Supongamos la existencia de esta función continua satisfaciendo las0 À Ò!ß "Ó d

condiciones del enunciado en que es conexo, entonces es conexo.Ò!ß "Ó E œ 0 Ò!ß "Ó

Existen , y, en estas condiciones yB − Ò!ß "Ó ∩ C − Ò!ß "Ó ∩ d b0 B − d

b0 C − E ∩ Á E ∩ d Á E entonces ø y ø se sigue que no es unitarioentonces es conexo y por lo tanto es un intervalo. es sobreyectivaE E 0 À Ò!ß "Ó E ß

aC − Eß bB − Ò!ß "Ó 0 B œ C œ E ∩ d Þ tales que y sea V

B − 0 Ê B − Ò!ß "Ó ∩ ß" V

V no es enumerable entonces no es enumerable lo cual es absurdoÒ!ß "Ó ∩ po

pues es enumerable.

39. Dados cualesquiera dos puntos en el conjunto de Cantor , existe unBß C O

homeomorfismo tal que .2 À O O 2 B œ C

SOLUCIÓN. Sean yaJ œ Ò!ß Ó ∪ Ò ß "Óß J œ Ò!ß Ó ∪ Ò ß Ó ∪ Ò ß Ó ∪ Ò ß "Óßá ßO œ J" # 8" # " # $ ' ( )$ $ * * * * * * ∩

8 œ "

∞

que para todo , puede ser expresado por una expansión ternaria,B − Ò!ß "Ó B

B œ B œ !ß "ß # B − O Ê B œ !ß "ß # B − O B œ !ß B B B á3œ"

∞B$ 3 3 " # $33 , donde . Si . A cada , .

Podemos asociar con una sucesión . Sean ÖB × œ B ß B ß B ßá B œ ÖB × ß8 8− " # $ 8 8−

C œ ÖC × O E œ Ö8 − à B œ C ×ß8 8− 8 8 dos puntos cualesquiera de y

F œ Ö8 − à B Á C × 8 8 .Sea donde , es biunívoca y sobre. Mostremos que2 À O O 2

D ÖD ×8 8 8−

D œD 8−ED ÁD 8−FŠ ‹

È

w8 8w8 8

si si

ella es continua esto es dado , existe tal que% $ !

si .. ÖD × ß ÖA × Ê . ÖD × ß ÖA × 8 8− 8 8− 8− 8−8 8w w

$ %

Dado , tal que . Tomando , veamos que% % $ ! b8 − œ% %# $ $

"8


y . ÖD × ß ÖA × Ê D œ ÖD × A œ ÖA × § J

D A

Î ÑÏ Ò8 8− 8 8− 8 8− 8 8−$ $

" ‡8

ll ll

%8

donde es uno de los intervalos cerrados de la reunión .J J œ J ß J œ‡ ‡ ‡8 8 8

"$∪ $ 8

Entonces los primeros términos de y coinciden los primeros8 ÖD × ÖA × Ê 88 8− 8 8−

términos de y también coinciden. Entonces ÖD × ÖA × D œ ÖD ×w w w w8 8 88− 8− 8−

y es continua.A œ ÖA × − J Ê . ÖD × ß ÖA × Ê 2w w ‡ w w8 8 8 88− 8− 8−

"$ 8 %

De modo análogo se demuestra que es continua, entonces es un2 2"

homeomorfismo y es fácil ver que ; ya que entonces2 B œ C 2 B œ 2 B8w8

œB œ B 8 − E B œ CB Á B 8 − F B œ C

Ê ÖC × œ Ow8 8 8 8w w8 88 8

8 8−si y

si y

40.Sea un conjunto abierto y una aplicación de la formaY § d 0 À Y d8 8

0 B œ X † B B X À d d À Y d: : donde es una aplicación lineal invertible y 8 8 8

es tal que donde . Entonces, es unl B C l Ÿ 5lB Cl 5 œ 0: : "lX l"

homeomorfismo de sobre un abierto de Y d Þ8

SOLUCIÓN. Sea 1 œ X ‰ 0 À Y X ‰ 0 YBÈ

" "

X 0 Y œ X X † B B œ B X ‰ B" " ": : .Haciendo tenemos< :B œ X ‰ B"

l B C l œ lX B X C l Ÿ lX ll B C l Ÿ lX l5lB Cl< < : : : :" " " "

œ lX l lB Cl œ lB Cl" "lX l"

entonces es una contracción, luego por un resultado básico ¿cuál?< :œ X ‰"

1 œ X ‰ 0 Y" es un homeomorfismo de sobre el subconjunto abierto0 Y œ X 1 Y X d d pues siendo un isomorfismo de sobre el cual lleva al8 8

abierto en el abierto de .1 Y X 1 Y œ 0 Y d8

41. Sea un espacio métrico completo y una aplicación tal queQ 0 À Q Q

0 œ 0 ‰ 0 ‰â ‰ 0 : 0: veces es una contracción. Entonces, tiene un punto fijo.SOLUCIÓN. Por un resultado básico ¿cuál? la contracción tiene un punto fijo. Sea0:

+ 0 + œ + Þ 8 œ :5 6 ! Ÿ 6 :Þ B − Qß! ! !: el punto fijo esto es Sea con Dado

0 B − QÞ + 06 :!Como es punto fijo de tenemosˆ ‰ya que , , es finitoÖ0 B × ! Ÿ 6 :6

cuando .ˆ ‰0 0 B Ä + 5 Ä ∞: 65!

Entonces es un contractor de ie, + 0 ß!:

, cuando ,aB − Q 0 B Ä + 5 Ä ∞: 5

!

así cuando ,0 B Ä + Ê 0 B Ä + 8 Ä ∞:56 8

! !

esto es es un contractor de . Probemos que , en efecto,+ 0 0 + œ +! ! !

+ œ 0 0 + œ 0 + œ 0 0 + œ 0 0 + œ 0 +! ! ! ! ! !8Ä∞ 8Ä∞ 8Ä∞ 8Ä∞

8 8" 8 8lim lim lim limŠ ‹ .


42.Sean un espacio métrico, un espacio topológico y una familia deQ X Ö0 ×> >−X

aplicaciones , suponiendo que cada depende continuamente del0 À Q Q 0> >

parámetro en el sentido débil siguiente: para cada la aplicación > B − Q > È 0 B>

de en es continua. Supongamos aún que cada es una contracción conX Q 0>

. 0 B ß 0 C Ÿ 5. Bß C ! 5 "ß 5 >> > donde independiente de . En estas condiciones,cada posee un único punto fijo . La aplicación definida por 0 + À X Q > œ +> > >: :

es continua.SOLUCIÓN. Por la hipótesis es continua para cada .0 À Q Q ß 1 À X Q B − Q

> È0 B>

>

a> 0 Í . 0 B ß 0 C Ÿ 5. Bß C ß ! 5 " aBß C − Qß a> − X> > > es una contracción Por un resultado básico ¿cuál? siendo una contracción y un espacio0 À Q Q Q>

métrico completo, posee un único punto fijo, esto es tal que b+ − Q 0 + œ + Þ> > > >

: : % $À X Q > − X ! !> È +>

, es continua en si dado , existe tal que . >ß > Ê . > ß > $ : : % . > ß > œ . + ß + œ . 0 + ß 0 +: : > > >> > >

-Ÿ . 0 + ß 0 + . 0 + ß 0 + 5. + ß + " 5> > > > >> > > > >

Æ"

Å#

%

donde es continua y por lo tanto " 0 . 0 + ß 0 + Ÿ 5. + ß +> > > > >> >

es continua, esto es dado existe tal que si# À X Q !ß !> È +

: % $>

"

. >ß > Ê . 0 + ß 0 + Ÿ " 5$ %" > > > >

Entonces tomando tenemos$ $œ ß". >ß > Ê . > ß > 5. + ß + " 5 Í . > ß > 5. + ß + " 5ˆ ‰$ : : % : : %> > >>

-pero por lo tanto+ œ >> :

. > ß > 5. > ß > œ " 5 . > ß > " 5: : : : : : %como por lo tanto .! 5 " Ê " 5 ! . > ß > : : %

Luego es continua en Como eso vale para todo es continua.: :>Þ > − X Ê

43.Con el fin de que un espacio métrico sea completo, es necesario y suficienteQ

que toda sucesión decreciente de subconjuntos cerrados noJ ¨ J ¨ â ¨ J ¨ â" # 8

vacíos de , tales que tenga intersección igual a un punto de .Q J Ä !ß J Q$ 8 8∩8 œ "

∞

En la recta la sucesión de conjuntos cerrados es decreciente peroJ œ Ò8ß ∞Ñ8

∩8 œ "

∞J œ J Ä !8 8ø por que no se tiene .$

SOLUCIÓN. ) Cuando entonces no puede contener más deÊ J Ä ! J œ J$ 8 8∩un punto , entonces es suficiente mostrar que no es vacío.JSea ; como entonces es una sucesión de Cauchy, puestoB − J J Ä ! ÖB ×8 8 8 8 8−$

que es completo, converge para algún . Mostremos que Q ÖB × B − Q B − J8 8− 8 ∩y para esto es suficiente mostrar que .B − J8!


Como no es vacío tomemos en y formemos la sucesión La sucesiónJ + J Ö+ × Þ3 3 3 8 8−

así formada es una sucesión de Cauchy, en efecto como , dado $ %J Ä ! !8

existe tal que Como para tenemos que8 J Þ J ¨ J ¨ â 7ß8 8! 8 " # !$ %!

J ß J § J Ê + ß + − J . + ß + Ê Ö+ ×7 8 8 7 8 8 7 8 8 8−! ! por lo tanto es una sucesión de%

Cauchy. Como es un espacio métrico completo posee un límite Q Ö+ × + Ä +8 8− 8

con , se afirma entonces que . Supongamos que esto es+ − Q + − J + Â J∩ ∩8 8

b5 − + Â J J . +ß J ! . +ß J œ ! $ tal que . Puesto que es cerrado . Sea 5 5 5 5

entonces ø. De aquí se tiene que para y F +ß ∩ J œ 8 5 Ê + − J + Â F +ßˆ ‰ ˆ ‰$ $# #8 5 8

po + Ä + esto es absurdo ya que .8

É Ö+ ß + ßá × Q Ö+ ×) Sea una sucesión de Cauchy en se quiere mostrar que " # 8 8−

converge en . Sea entonces Q E œ Ö+ ß + ßá×ß E œ Ö+ ß + ßá×ß á ßE œ Ö+ ß + ßá×" " # # # $ 3 3 3"

aquí tenemos que como es una sucesión de CauchyE ¨ E ¨ â ¨ E ¨ â Ö+ ×" # 3 8 8−

Ê E Ä ! E œ E E ¨ E ¨ â ¨ E ¨ â$ $ $ˆ ‰8 3 3 " # 8 . Además podemos tomar y$ˆ ‰E Ä ! E Á Ê b+ − E3 8 8aplicando la hipótesis tenemos que ø afirmamos∩ ∩

8

que en efecto, dado tal que para , + Ä +ß !ß b8 E 8 8 + ß + − E8 ! 8 ! 8 8% $ %ˆ ‰! !

entonces . + ß + Ê + Ä +Þ8 8%

44.Sea el espacio de Hilbert de las sucesiones de cuadrado sumable. LaL

aplicación lineal con es continua yX À L L X B ß B ßá ß B ßá œ B ß ß ßáˆ ‰" # 8 "B# $

B# $

biunívoca, pero no es sobre LÞ

SOLUCIÓN. Como es lineal basta mostrar que donde es unaX X B Ÿ 5 B 5l l l lconstante, en efecto,

l l l l¼ ¼ˆ ‰ Ë ËX B œ B ß ß ßá ß ßá œ Ÿ B œ " † BÅ

."B# $ 8 3

B B

3œ" 3œ"

∞ ∞B #

3# $ 8 3

#

#

"3# Ÿ " a3 −

Luego es continua.XX X B œ X C Í B ß ßá œ C ß ßá Í œ ß a3 Í B œ C ß a3 es inyectiva, pues ˆ ‰ ˆ ‰" " 3 3

B# # 3 3

C CB# # 33

luego .B œ C

X "ß ß ßá ß ßá − L ∞ no es sobre, pues pues es convergenteˆ ‰" " "# $ 8 8

8œ"

∞1

#

pero Ö"ß "ß "ßá× Â LÞ

45. Sea un espacio topológico, un espacio métrico completo, un\ Q E

subconjunto de , una aplicación y . Para que exista el límite\ 0 À E Q + − E

limBÄ+

0 B Í !ß Z + Bß C − Zpara cada existe una vecindad de tal que implica que%

. 0 B ß 0 C % .Criterio de Cauchy

SOLUCIÓN. ˆ ‰Š ‹+ Ê Ñ 0 B œ - Í ÎB − Z Ê . 0 B ß - Þ Sea limBÄ+

.+.9 /B3=>/! +−Z #+%

%+

Sean .Bß C − Z Ê . 0 B ß 0 C Ÿ . 0 B ß - . -ß 0 C œ+ # #% % %

, É Ñ œ " Z ® + Î B ß C − Z Ê . 0 B ß 0 B " Dado entonces existe % " " " " " "


dado = entonces existe % " "# ## # # # # # Z ® + Î B ß C − Z Ê . 0 B ß 0 C

en general, dado = entonces existe % " "8 88 8 8 8 8 8Z ® + Î B ß C − Z Ê . 0 B ß 0 C

Tomando así la sucesión . Se sigue que paraB − Z ß B − Z ßá ß B − Z ßá" " # # 8 8

3ß 4 8 Ê B ß B − Z . 0 B ß 0 B Ö0 B ×3 4 8 3 4 8 8−38 por lo tanto de donde es una

sucesión de Cauchy, ahora como es completo , se tiene que Q Ö0 B × Ä - − Q8 8−

limBÄ+

"8 # 80 B œ - !ß • Z, en efecto, dado existe tal que% %

B − Z • B − Z Ê . 0 B ß 0 B . 0 B ß - Ÿ œ8 8 8 8 8"8 # # #

ÅÖ0 B × Ä - Í b8 Î8 8 Ê . 0 B ß - ˆ ‰ˆ ‰8 ! ! 8

.+.9! #%

%

% % % %

46.Sean espacios vectoriales normados y el conjunto de lasIßJ Iß J¿

aplicaciones lineales continuas de en . es un espacio vectorial en el cualI J IßJ¿

consideramos la norma dada por .l l0 œ l0 B l œ ÞÖ5 !à l0 B l Ÿ 5lBlß aB − I×sup inflBl œ "

B − I

Una sucesión de aplicaciones continuas converge para según0 À I J 0 − IßJ8 ¿

esta norma si y sólo si uniformemente en cada parte acotada de Si es0 Ä 0 IÞ J8

completo entonces es completo¿ IßJ .SOLUCIÓN. Parte l l Š ‹ Š ‹+ 3Ñ 0 œ ! Ê l0 B l œ !ß alBl œ " Í l0 C † œ lCll0 œ !lCl

lCl lClC

para todo . C − I Ê 0 œ !

Si 0 œ ! Ê 0 l0 B l !ß alBl œ "Î l l33Ñl l l l- - - - -0 œ Öl 0 B là lBl œ "× œ Öl ll0 B là lBl œ "× œ l l Öl0 B là lBl œ "× œ l l 0sup sup sup333Ñ 0 1 œ Öl0 B 1 B là lBl œ "× Ÿ Öl0 B l l1 B là lBl œ "×l l sup sup Ÿ l0 B l l1 B l œ 0 1

lsup supBl œ " lBl œ "

l l l lParte Sea tenemos quel l, 0 œ l0 B lß P œ ÞÖ5 !à l0 B l Ÿ 5lBlß aB − I×sup inf

lBl œ "B − I

| pues . Tomemos con tenemos0 C l Ÿ 0 lCl 0 l0 B l ß alBl œ " C œ B Á !l l l l BlBll l l l l l l lŠ ‹0 l0 l œ l0 C l Ê l0 C l 0 † C 5 œ 0C

lCl lCl" tomando además se tiene

l l0 P œ ÞÖ5 !à l0 B l Ÿ 5lBl×ÞinfSupongamos ahora De la definición de se recibe quel l0 PÞ inf

ˆ ‰ˆ ‰‚.+.9 /B3=>/! 5! B −I

/B3=>/

#Ñl0 B lŸ5lB l

"ÑP 5

%

%

•!

! !

de donde tenemos que l0 B l Ÿ 5lB l P lB l! ! !%

o sea que

¹ ¹Œ0 P "B

lB l!

!%

De otra parte se tiene que (por la definición de )sup


ˆ ‰ˆ ‰.+.9!

a% B − I lBl œ "ß l0 B l P con %

o sea que ˆ ‰ˆ ‰.+.9!

a% B − I lBl œ "ß l0 B l P con %

En particular para se tiene queB œ BlB l

!

!

¹ ¹Œ0 P #B

lB l!

!%

De y obtenemos una contradicción." # poParte Claro ya que si uniformemente en toda parte acotada de ,- É Ñ 0 Ä 0 I8

tomando se tiene queH œ ÖB − I À lBl œ "×

si y ˆ ‰ˆ ‰ l l.+.9!

b a! 8 ! 8 !% 8 Îl0 B 0 B l ß 8 8 B − H Ê 0 0 ß 8 8% %

Se sigue que en el sentido de la norma definida en la parte 0 Ä 0 − IßJ +8 ¿Ê Ñ Q I Q œ + C − QSea una parte acotada de o sea que . Sea entonces dado$

% %w+" lCl lCl + +! ! 8

C Cœ ß 8 8 8 ß lCll0 0 l Ÿ lCl + œ% % %existe tal que para ya queŠ ‹ Š ‹l l0 0 8 %.Parte completo es completo.. J Ê IßJ¿Sea una sucesión de Cauchy, entonces esto significa queÖ0 × − Iß J8 8− ¿

Ö0 B × J 0 B ß8 8− es una sucesión de , por lo tanto converge para solo resta probarque la convergencia es uniforme en ese caso tendríamos que es completo.¿ IßJ

47.Dado un recubrimiento del intervalo , es posible obtener números conÆ Ò+ß ,Ó >3

+ œ > > â > œ , Ò> ß > Óß 3 œ !ß "ß #ßá ß 8 "! " 8 3 3" tales que los intervalos tienetodos la misma longitud y cada uno de ellos está contenido en algún conjunto Ydel recubrimiento .ÆSOLUCIÓN. Como es un recubrimiento de y es un conjunto compacto deÆ Ò+ß ,Ó Ò+ß ,Ó

d ! el cual es espacio métrico entonces posee un número de Lebesgue .Æ %

También tenemos que por la propiedad Arquimediana es posible hallar , + ! 8

tal que Así dividiendo el intervalo en partes iguales obtenemos8 , +Þ Ò+ß ,Ó 8%

una partición+ œ > > â > > œ !! " 8" 8

tal que así entonces existe tal que> > œ ß Ò+ß ,Ó œ ß Y −8" 8,+ ,+8 8$ % Æ

Ò> ß > Ó § Y8 8" .

48.Sea un conjunto bien ordenado no enumerable, poseyendo último elemento\

H H, tal que para cada el conjunto es enumerable.+ − \ Ö × ÖB − \à B Ÿ +×

Consideremos en la topología del orden en la cual una base de abiertos está\

formada por los intervalos abiertos . Si se sabe que en un+ß , œ ÖB − \à + B ,×


conjunto bien ordenado, toda sucesión decreciente tomaB B â B â" # 8

apenas un número finito de valores, muestre que es compacto.\

SOLUCIÓN. Sea , se construye .\ œ Y ^ œ ÖB − Ò ß Óà Ò ß BÓ § Y ∪â∪ Y ×∪- − P

- - -α H α" 8

Sea " œ ^Þsup") ; en efecto o . Se presentan dos posibilidades:" α " α "− ^ ^ œ Ò ß Ñß ß ^ œ Ò ß Ó

3) tiene antecesor inmediato " "w

" α " "w w− ^ß Ò ß Ó § Y ∪â∪ Y − Y- - -" 8 !,

en este caso

Ò ß Ó œ Ò ß Ó ∪ Ö × § Y ∪ Y â∪ Y ∪ Yα " α " "w- - - -" # 8 !

entonces se tiene " − ^33 Y − Y) no tiene antecesor inmediato. Existe tal que por definición de" "- -! !

abierto existe un intervalo conteniendo un . Así no se puede tener que" "w ^ œ Ò ß Ñ ^ œ Ò ß Óα " α " quedando por lo tanto la posibilidad de ser .#Þ − ya que si entonces inmediatamente existe sucesor inmediato" H " H "

de ,"

teniéndose que Ò ß Ó § Y ∪â∪ Y Ò ß Ó § Y ∪âY ∪ Yα " α "- - - - -" 8 " 8 !

eso es contradictorio ya que y no sería el de po − ^ß ^Þ" " " " sup

49.En un espacio topológico las siguientes condiciones son equivalentes:I"

+ Todo subespacio infinito tiene un punto de acumulación, Toda sucesión posee una subsucesión convergente. En particular todo espacio

compacto es secuencialmente compacto.I"

El espacio es y secuencialmente compacto pero no es compacto.] œ \Ö × IH " SOLUCIÓN. Sea un espacio . Dada una secuencia en , dos+ Ê , \ I ÖB × \" 8 8−

cosas pueden ocurrir o el conjunto de los valores es finito o es infinito. En elB8

primer caso algún valor = debe repetirse infinitas veces y+ œ B œ B œ â œ B â8 8 8" # 5

por lo tanto la sucesión converge para el punto ; en el segundo casoÖB × + − \8 5−5

el conjunto por hipótesis posee un punto de acumulación .ÖB ß B ßá ß B ßá × B − \" # 8

Toda vecindad de contendría términos con índice arbitrariamente grande y porB B8

lo tanto será límite de una subsucesión de ÖB ×8 8−

recuerde un resultado básico ¿cuál?, Ê + W \ Demostremos ahora que todo subconjunto infinito de tiene un

punto de acumulación. es un espacio por lo tanto también lo es. Podemos\ I W"


extraer una sucesión formada por puntos de . Como es unaÖB × W ÖB ×8 8− 8 8−

sucesión en entonces posee una subsucesión convergente así existe tal\ ÖB ×8 5−5

que , evidentemente es el punto de acumulación de en efectolim5Ä∞

8B œ B B Wß5

lim5Ä∞

8 ! 5 ! 8aB œ B Í Z − B 8 − 8 8 B − Z

5 5 5 5µ , existe tal que implica que entonces

para todo , ø; si a partir de un , entoncesZ − B Z ∩ W Á 8 B − Wµ !5

Z ¨ Z ¨ â ¨ Z B − W" # 7 la sucesión sería finita entonces .En particular si es compacto por un resultado básico ¿cuál? todo subconjunto\infinito posee un punto de acumulación y siendo un espacio todas las\ I"

sucesiones en poseen una subsucesión convergente y por lo tanto es\ \secuencialmente compacto.El espacio no es compacto pero todo subconjunto infinito de ] œ \ Ö × ]H

posee un punto de acumulación y por lo tanto toda sucesión en posee una]subsucesión convergente, esto es es secuencialmente compacto. ]

50.Si toda función real continua es acotada entonces toda función real0 À \ d

continua en toma sus valores extremos.\

SOLUCIÓN. Supongamos que existe continua, acotada tal que 0 À \ d + œ 0 BsupB − \

( existe pues es acotada) y , entonces tenemos que la función+ 0 B + Â 0 \

1 À \ d B − \ 0 B + Á !ÞBÈ 1 B œ "

0 B +

es una función continua pues para todo ,

Mostremos ahora que no es acotada. Como 1 + œ ÞÖ0 B × œ ÞÖ0 B ÎB − \×ßsup sup0 \ 0 \ es acotado en la recta, entonces posee una subsucesión convergente a+ß C ß C ßá ß C ßá C − 0 \ C Ä + 8 ∞esto es existe con y . Si tiende a " # 8 3 8

entonces existe tal que entonces o aÖB × § \ 0 B œ + 1 B Ä ∞8 8− 8 88Ä∞

lim

∞ 8 Ä ∞ 1 po cuando así no es acotada

51.En un espacio secuencialmente compacto, toda función real continua esacotada.SOLUCIÓN. : Si es secuencialmente compacto y continuaAfirmación \ 0 À \ dentonces es secuencialmente compacto. En efecto, sea una0 \ Ö0 B ×8 8−

sucesión de entonces es sucesión de esto implica que existe0 \ ÖB × \8 8−

ÖB × B Ä B − \ 0 0 B Ä 0 B − 0 \8 5− 8 85 5 5 tal que entonces como es continua entonces admite una subsucesión convergente en .Ö0 B × 0 \8 8−

Entonces por un resultado básico ¿cuál?, es compacto (ya que es un espacio0 \ dmétrico) entonces es acotado.0 \

52.En un espacio topológico cualquiera , el subconjunto formado por los\ W

puntos de una sucesión convergente y además el punto límite de esaB +8

sucesión, es un espacio compacto.


SOLUCIÓN. Sea donde . Sea unW œ ÖB ß B ßá ß B ßá× ∪ Ö+× + œ B E ∪ E" # 8 88Ä∞lim Š ‹∪

- − P-

recubrimiento de donde los son abiertos conteniendo a y abiertoW E B E- -

conteniendo a . Existe un tal que . Luego + 8 8 8 ß B − E E ∪ E ∪â∪E ∪E! ! 8 " # 8!

es un subrecubrimiento finito de entonces es compacto.W W

53.Toda aplicación abierta (es necesario que sea continua) de un espaciocompacto en un espacio de Hausdorff conexo, es sobre. Concluir que\ ]

0 0À d W ß > œ / ß W" # > "1 es sobre .SOLUCIÓN. Como es continua, y es compacto, entonces es compacto,+ 0 \ 0 \además es un espacio de Hausdorff entonces es cerrado en . es abierto] 0 \ ] \en y abierta entonces es abierto en entonces es abierto y cerrado,\ 0 0 \ ] 0 \0 \ Á 0 \ œ ] ] 0ø entonces ya que es conexo por consiguiente es sobre., À d W > œ /Se concluye que , definida por es sobre, puesto que del0 0" # >1

diagrama adjunto tenemos que / es compacto por que es homeomorfo a und ™

intervalo por ejemplo a es abierta porque si esd dÎ W Ò!ß "ÓÞ E § dÎ:

™ 0 ™0

0

"

abierto donde es abierto en y que esE œ E E d E œ E œ E: 0 0: 0" " " "

abierto. Así es sobreyectiva. Como entonces es sobre.0 0 : 0 0‰ œ

54.Sea el conjunto de las funciones la cual posee¶ ¶" "œ Ò+ß ,Óà d 0 À Ò+ß ,Ó d

derivada continua en todos los puntos de . es un espacio vectorial, en elÒ+ß ,Ó ¶"

cual consideramos la norma Una función se lel0 l œ Öl0 > l l0 > l×Þ 2 −‡w "sup

+ Ÿ > Ÿ ,¶

denomina un difeomorfismo de clase cuando posee un inversoˆ ‰¶" 2

2 À 2 Ò+ß ,Ó Ò+ß ,Ó" el cual también tiene derivada continua en todos los puntos.Para que sea un difeomorfismo, es necesario y suficiente que para2 − 2 B Á !¶" w

todo . El conjunto de los difeomorfismos es abierto en el espacio B − Ò+ß ,Ó ¶".SOLUCIÓN. es un espacio vectorial. Basta mostrar que es un+ œ Ò+ß ,Óà d¶ ¶ ¶" " "

subespacio vectorial del espacio de las funciones a valor real. ¹ ¶Ò+ß ,Óà d 0ß 1 − "

entonces son continuas entonces y siendo suma de dos0 ß 1 0 1 œ 0 1w w w ww

funciones continuas es también continua, luego .0 1 − ¶"

0 − − d 0 œ 0 0 − Þ¶ - - - - ¶" w "w y entonces continua entonces , 2 − 2 B Á ! B − Ò+ß ,Ó¶" wes un difeomorfismo si y sólo si para todo Ê Ñ2 − 2 2 2¶" w "entonces es continua. es un difeomorfismo entonces existe yexiste y tambien es continua.2" w

2 ‰ 2 B œ M B œ B 2 2 B 2 B œ "" " ww entonces en esta forma2 2 B œ 2 C − 2 Ò+ß ,Ó" "w w" "

2 B 2 Bw w y como es continua para todo entonces es continua para todo entonces para todo .B − Ò+Þ,Ó 2 B Á ! B − Ò+ß ,Ów


É B − Ò+ß ,Óß 2 B Á ! 2) Para todo entonces es estrictamente monótona ya seaw

creciente o decreciente en , por un resultado básico ¿cúal? es unÒ+ß ,Ó 2 À Ò+ß ,Ó d

homeomorfismo de sobre . Entonces existe y es continua.Ò+ß ,Ó 2 Ò+ß ,Ó 2"

Sea , Si existe con deberá ser igual a [ ] y por lo tanto2 œ 1 1 C C œ 2 B 2 B" w w "

escribimos y tenemos que mostrar que1 C 5 œ 1 C Ò2 B Ó = 5w "

lim5Ä!

= 5l5l œ !.

Sea entonces y si y sólo si2 B 6 œ C 5 5 œ 2 B 6 C œ 2 B 6 2 B 5 Ä !

6 Ä ! 2 ya que es un homeomorfismo. Entonces6 œ 1 C 5 1 5 œ Ò2 B Ó Ò2 B 6 2 B Ó = 5 œ Ò2 B Ó Ò2 B 6 < 6 Ó = 5w " w " w

entonces en esta forma cuando ,= 5 œ Ò2 B Ó < 6 œ 5 Ä !Š ‹w " = 5 l6l 2 B < 6l5l l5l l6l

[ ]w "

entonces permanece acotado y cuando . Luego l6l < 6 = 5l5l l6l l5l5Ä!

Ä ! 6 Ä ! œ !Þlim

Esto muestra que es diferenciable para cada con 1 œ 2 C − 2 Ò+ß ,Ó 1 C œ Ò2 B Ó" w w "

y como y es continua para todo 2 B Á !ß aB − Ò+ß ,Ó C − 2 Ò+ß ,Ó ß 2 − Þw "¶

55.Sea un espacio compacto y un espacio métrico. El conjunto de las\ Q

aplicaciones continuas de sobre es cerrado en .\ Q \àQ¶

SOLUCIÓN. Sea aplicaciones continuas de en . Sea¶ Æ\àQ œ Ö \ Q× œ

J œ Ö0 − \àQ Î0 × J œ J 0 − J¶ Æ es sobre , veamos que es abierto, sea C CÍ 7 − Q 7 Â 0 \ B − \ 0 B Á 7 0 \b

! ! ! tal que (esto es para todo , ) entonces es cerrado (pues es compacto), así y es abierto, entonces0 \ 7 − 0 \ 0 \! C Cexiste y . Consideremos ahoraµ % µ% %7 œ Ö7 − QÎ. 7 ß7 × 7 § 0 \! ! ! C , .µ ¶%

#0 œ Ö1 − \àQ Î. 0ß 1 × 0 − J%

# CSea , veamos que o sea veamos que no es sobre. Como1 − 0 1 − J 1µ%

#C

1 − \àQ 1 \ 1 \¶ entonces es compacto por lo tanto es cerrado y se tiene. 7 ß 1 B . 0 B ß 1 B . 7 ß 0 B B − \! ! para todo

o equivalentemente. 7 ß 0 B Ÿ . 7 ß 1 B . 0 B ß 1 B B − \! ! para todo

pero para todo ,B − \. 0 B ß 1 B Ÿ Ö. 0 B ß 1 B × œ . 0ß 1 sup

B − \

%#

se sigue que para todo B − \ß . 7 ß 0 B . 7 ß 1 B ! ! #%

entonces . 7 ß 1 B . 7 ß 0 B œ! ! # # #% % %Æ

‡

%

‡ 7 § 0 \ . 7 ß 0 B Þ dado que entonces µ %% ! !CDe donde tenemos que . 7 ß 1 B ß B − \! #

a%

Hemos mostrado que es tal que y existe tal que1 À \ Q 1 − \àQ 7 − Q¶ !

. 7 ß 1 B ß aB − Q ! 1 \ Q! #% para algún , por ser continua de en entonces%

7 Á 1 B B − \ 1 0 § J! para todo de donde no es sobre, por lo tanto , seµ%#

Csigue que es abierto, de donde se obtiene que es cerrado.CJ J


56.Sea un espacio métrico compacto. Toda aplicación tal queQ 0 À Q Q

. 0 B ß 0 C œ . Bß C Bß C − Q para cualesquier , es sobre.SOLUCIÓN. es biunívoca ya que entonces0 0 B œ 0 C Ê . 0 B ß 0 C œ . Bß C œ !

B œ CÞ 0 B − Q 0 Q ! Supóngase que no es sobreyectiva entonces existen y %tales que en particular para tenemos ,. Bß 0 C ß aC − Q C œ B . Bß 0 B % %ahora , y cuando tenemos. 0 B ß 0 B œ . Bß 0 B C œ 0 B# %

. Bß 0 0 B œ . Bß 0 B # %por analogía

. 0 B ß 0 B œ . Bß 0 B $ # %. 0 B ß 0 B œ . 0 B ß 0 B œ . Bß 0 B # $ # %

Así es una sucesión tal que , esto esBß 0 B ß 0 B ß 0 B ßá . 0 B ß 0 B # $ 7 8 %contradictorio ya que se ha obtenido en una sucesión que no admite unapo Qsubsucesión convergente, así como espacio métrico que es, no sería compacto.QLuego es sobre.0

57.Sea un espacio métrico compacto. Si una aplicación es tal queQ 0 À Q Q

. 0 B ß 0 C . Bß C Bß C − Qß 0 QÞ para cualesquier entonces es una isometría de SOLUCIÓN. entoncesBß C − Q

para todo .. Bß C Ÿ 0 0 B ß 0 C Ÿ . 0 B ß 0 C Ÿ â Ÿ . 0 B ß 0 C 8 −# # 8 8

Construyamos las subsucesiones tales queÖ0 B × ß Ö0 C ×8 85− 5−

5 5


8 80 B œ B • 0 C œ C5 5 La sucesión que es secuencialmente compacto, por lo tanto existeÖ0 B × § Q8

8−

Ö0 C ×85−

5 subsucesión convergente por lo tanto es una sucesión de Cauchy esto

es; ˆ ‰Š ‹.+.9 /B3=>/! 5 !

w 8 8!% !

5 5wÎa5ß 5 5 ß . 0 C ß 0 C %

Analógamente como se tiene para y de la hipótesisÖ0 B × § Q 8 788−

. 0 C ß 0 B . 0 B ß 0 B â . 0 B ß B8 7 8" 7" 87

por lo tanto% . 0 C ß 0 C . 0 C ß C 58 8 8 85 55 5w w para grande

% . 0 B ß 0 B . 0 B ß B8 8 8 85 55 5w w

Luego como es arbitrario se sigue que%lim lim4Ä∞ 4Ä∞

8 80 B œ B • 0 C œ C4 4

Por lo tanto0 B ß 0 C Ä Bß C8 84 4

de donde. Bß C Ÿ . 0 B ß .0 C Ÿ â Ÿ . Bß C8 8

Luego. 0 B ß 0 C œ . Bß C Þ

58.Pruébese que: No todo espacio compacto es metrizable+


, IUn espacio localmente compacto de Hausdorff puede ser secuencialmente"

compacto sin ser compacto.- Todo espacio cociente de un espacio compacto es compacto.. Si todo subespacio de un espacio de Hausdorff es compacto entonces el

espacio en cuestión es finito./ Si una topología compacta es más fina que una topología de Hausdorff,

entonces las dos coinciden.0 Las componentes conexas de un espacio compacto son compactas1 Un espacio localmente compacto de Hausdorff puede ser normal.2 Un espacio localmente conexo posee apenas un número finito de componentes

conexas.SOLUCIÓN. Tómese el siguiente ejemplo, sea y ø es+ I œ Ö"ß #ß $× œ ÖIß ß Ö"××7

compacto, pero no es metrizable pues no es Hausdorff.I, ] œ \ Ö × El espacio parece satisfacer las condiciones (falta mostrar que esH

localmente compacto). Sea , entonces esH H− \ + − \ Ö × ÖB − \ÎB Ÿ +×

enumerable. Como la topología del orden siempre es Hausdorff entonces\\ Ö ×H es Hausdorff.\ Ö × I À B − \ Ö × ÖB − \ÎB Ÿ +×H Hes Como dado entonces es enumerable, por"

lo tanto podemos obtener también donde ,ß Bß + − \ Ö × , Ÿ B Ÿ +ß +ß , § \ Ö ×H H

y es enumerable por lo tanto tiene un sistema fundamental de vecindadesenumerable.Así es infinito y contiene un subconjunto enumerable, pero todo\ Ö ×H

subconjunto de es acotado pues serán todos los del tipo que es\ Ö × +ß ,H

enumerable.- \ I \ ß Sea un espacio topológico, una relación de equivalencia sobre : À \ \ÎI la aplicación cociente, entonces por la definición de topología cocientecomo es sobre, continua y . Luego si es compacto entonces : : :\ œ \ÎI \ \

es compacto por lo tanto es compacto.\ÎI

. \Sea un espacio de Hausdorff en el cual todo subconjunto es compacto.Supongamos que es un conjunto infinito, entonces para todo es\ B − \ß \ ÖB×

un subconjunto compacto y por ser Hausdorf es cerrado, entonces es abiertoÖB×

en por ser su complemento cerrado en . es un recubrimiento\ \ \ œ ÖB×∪B − \

abierto de por ser compacto existe un subrecubrimiento finito tal que\ \

\ œ ÖB × \ \ po8∪

8 œ "B3−\

3 que cubre a y esto es imposible cuando sea infinito

/ 3 0 À O ] O ) Toda aplicación continua de un espacio topológico compacto sobre un espacio de Hausdorff es una aplicación cerrada.]33 0 À O ]) Toda aplicación continua y biunívoca de un espacio compacto sobre unespacio de Hausdorff es un homeomorfismo.]Sea continua y biunívoca donde+ 7 7À \ß \ß- L


topología sobre tal que es compacto7- œ \ \ topología sobre tal que es Hausdorff7L œ \ \

+ la aplicación idéntica, es continua ya que (la topología Hausdorff es7 7L -£menos fina que la topología compacta) Entonces: ) muestra que 33 œ7 7L -

0 B − \ G B Evidente del hecho de que todo , la componente conexa de es unB

conjunto cerrado de entonces por un resultado básico ¿cuál? todo subconjunto\cerrado de un espacio compacto , es compacto entonces es compacto.J \ GB

1 Una condición suficiente para que un espacio de Hausdorff sea normal es quesea compacto.Sea siendo los números reales. Como base para los\ œ Ö Bß C − d ÎC !× § d ß d# #

abiertos en un punto , escogemos los interiores de círculos alrededor delC !

punto y radio menor o igual a un medio de la distancia del punto al eje BÞPara puntos sobre el eje escogemos como abiertos básicos los conjuntos deBß ! Bla forma interior de un círculo tangente al eje en el punto que esteÖ Bß ! × ∪ B C

contenido en . no es normal pues los conjuntos\ \

J œ Ö Bß ! ÎB − ×ß J œ Ö Bß ! ÎB − d ×" #

son cerrados disyuntos pero no poseen abiertos disyuntos que los contengan.Evidentemente es Hausdorff y localmente compacto.\2 ÖE × \ ÖE × Sea la familia de componentes conexas de entonces es un3 3−M 3 3−M

recubrimiento por abiertos de ya que cada componente conexa de es un\ \espacio locamente conexo es un conjunto abierto y cerrado entonces existe unnúmero finito, digamos que son un subrecubrimiento finito de E ßE ßá ßE \Þ3 3 3" # 8

Pero si sabemos que ø entonces ningún puede ser omitido del3 Á 4 E ∩ E œ E3 4 4

conjunto tal que las componentes restantes cubran aún a , esto implicaÖE × \3 3−M

que deben ser las componentes de E ß E ßá ßE \Þ3 3 3" # 8

59. Las siguientes condiciones son necesarias y suficientes para que un espaciométrico sea compacto:Q

+ Todo recubrimiento abierto numerable posee un subrecubrimiento finito., J ¨ J ¨ â ¨ J ¨ âToda sucesión decreciente de subconjuntos cerrados no" # 8

vacíos tiene una intersección no vacía.∩ J8

- Todo subconjunto cerrado y discreto es finito.SOLUCIÓN. Por definición.+, Ê ÑQ ÖJ × espacio métrico compacto, entonces toda familia de subconjuntos3 3−M

cerrados de satisfacen la propiedad de la intersección finita, tiene intersección\no vacía. Ahora toda sucesión decreciente de cerrados noJ ¨ J ¨ â ¨ J ¨ â" # 8

vacíos satisface la propiedad de la intersección finita ya que ø∩3 œ "

8J œ J Á Þ3 8

Luego ø.∩ J Á8

É Ñ Q QSupongamos que no es compacto entonces es infintode no, sería compacto .


Como es infinito entonces existe un subconjunto enumerable en ,Q QZ œ Ö+ ß + ßá ß + á×" # 8ß que no posee una subsucesión convergente ni tiene punto deacumulación. Construyamos la siguiente sucesión decreciente J œ Ö+ ß + ßá ß + ßá×ß J œ Ö+ ß + ßá ß + ßá×ßá ßJ œ Ö+ ß + ßá×" " # 8 # # $ 8 8 8 8"

claramente ø , . Además los son cerrados pues noJ ∩ J Á a8 Á 7 J Q J8 7 8 8

tienen puntos de acumulación en o sea existe tal queZ aB − Q J F Bß8 %F Bß ∩ J œ F Bß § Q J J8 œ J8 œ ,% %8 8ø, entonces . Además ø por que si ∩ ∩entonces tendría un punto de acumulación lo cual es contradictorio.Ö+ ß + ßá× po" #

Luego debe ser compacto.Q- Ê W § Q W W ) Sea cerrado discreto entonces es finito. Si es infinito entonces

existe un subconjunto de enumerable , . ComoW Ö+ ß + ßá ß + ßá× § Wß + Á + 3 Á 4" # 8 3 4

todo subconjunto infinito de un espacio métrico compacto posee un punto deacumulación en sea punto de acumulación de entoncesQ + − Q Ö+ ß + ßá ß + ßá×" # 8

toda vecindad en contiene un número infinito de elementos deZ Q+

Ö+ ß + ßá ß + ßá× W + − W +" # 8 . Como es cerrado, entonces . Luego no es punto aisladode entonces no es discreto esto es contradictorio.W W poÉ Q W § Q W) Hipótesis: espacio métrico tal que todo cerrado discreto entonces es finito, Tesis: entonces es compacto.QSi no es compacto entonces es infinito. Basta exhibir un conjunto cerradoQ Qdiscreto infinito. Como es infinito entonces existe un subconjunto enumerableQen , que no posee una subsucesión convergente, elQ Ö+ ß + ßá ß + ßá× œ Z" # 8

conjunto de valores de es infinito en caso contrario posee unaÖ+ × Ö+ ×8 8− 8 8−

subsucesión convergente. Ningún punto es punto de acumulación de + − Z Z3

entonces , es punto aislado es discreto. En también noa+ − Z + Ê Z Q Z3 3

existen puntos de acumulación de o seaZ

a bB − Q Z ß F Bß F Bß ∩ Z œ !

bola abierta, tal que ø

% %%

entonces entonces es abierto en , entonces es cerradoF Bß § Q Z Q Z Q Z%en Luego es cerrado, discreto e infinito contrario a la hipótesis.QÞ Z § Q po

60.Un conjunto infinito , provisto de la topología cuyos abiertos son los\

complementarios de las partes finitas de es compacto, todos sus puntos son\ß

cerrados y todos los subconjuntos (cerrados o no) son compactos. Obtener unasucesión decreciente de subconjuntos cerrados conJ ¨ J ¨ â ¨ J ¨ â" # 8

∩ J œ J8 8ø, cada uno de los siendo infinito.SOLUCIÓN. ) es compacto. Sea un recubrimiento de . Considérese3 \ G œ \ \∪

- − P-

algún de ese recubrimiento, abierto en , entonces es una parteG G \ \ G! ! !

finita de así para cada existe un\ \G œ Ö+ ß + ßá ß + × + − \ G ß " Ÿ 5 Ÿ 8! " # 8 5 !

G − ÖG × + − G \ G § G ∪ G ∪â∪G- - - - - -5 5 " # 8tal que entonces , por lo tanto se5 !

tiene que , luego es compacto.\ œ G ∪ \ G œ G ∪ G ∪â∪G \! ! - - -! " 8


33) .Todo punto es cerradoÖB× \ \ÖB× \ ÖB× es una parte finita de entonces es abierto en entonces escerrado.333 \) Todos los subconjuntos de (cerrados o no ) son compactosW § \ Í \ W \ Í \ W œ W Wes abierto en es finito, así es compacto.C3@ \) es infinito enumerable con la topología de los complementos de lasEjemplo:partes finitas, entonces existe un tal que es infinito, cerradoB − \ J œ \ ÖB ×" " "

no vacío. Existe tal que y se tiene es infinito, cerradoB − J B Á B J œ \ÖB ß B Ó# " " # # " # no vacío. Continuando este proceso, obtenemos recursivamente queJ œ \ÖB ß B ßá ß B × B Á B 3 Á 4 ß J8 " # 8 3 4 8, cerrado, infinito, no vacío yJ ¨ J ¨ â ¨ J ¨ â J œ" # 8 8 además ø.∩

61.Si es una función continua no acotada en el espacio métrico0 À Q d

Q œ Qß . . Bß C œ . Bß C l0 B 0 C l, la métrica es no acotada y equivalente a"

.. Concluir que un espacio métrico es compacto si y sólo si es acotado en relacióna cualquier métrica compatible con su topología.SOLUCIÓN. Sabemos por un resultado básico ¿cuál? que dice: Sean y Qß. Rß ."espacios métricos y una aplicación continua, la métrica definida en por0 À Q R Q3 Bß C œ . Bß C . 0 B ß 0 C . 0 À Q d" es equivalente a . En particular si es unafunción real continua, la métrica es equivalente a la3 Bß C œ . Bß C l0 B 0 C l

métrica original de QÞ

É Ñ QSupongamos que es acotado en relación a cualquier métrica compatible consu topología. En particular es acotado, , es una aplicaciónQ aB C − Q Ê 0 À Q dreal continua, como se sabe vale el recíproco del teorema deWeierstrass entonces es compacto.QÊ Q .) es compacto sea una métrica cualquiera compatible con la topología dew

Q . À Q ‚Q d Q ‚Q Ê . Q ‚Q, es continua (ya que es compacto) esw w

compacto en entonces es acotado de donde se sigue que es unad . Q ‚Q .w w

métrica acotada.Nota: es continua. Como es compacto entonces es. µ . Ê À Qß . QÞ. Qw w+ +uniformemente continua entonces es uniformemente equivalente a . .Þw

62. Para que una sucesión en un espacio métrico compacto , seaÖB × Q8 8−

convergente es necesario y suficiente que ella posea exactamente un valor deadherancia.SOLUCIÓN. ) Como es una sucesión en un espacio métrico compacto Ê ÖB × Q8 8−

entonces el espacio es secuencialmente compacto por lo tanto existe unasubsucesión convergente a algún , por lo tanto es un valor deÖB × B B8 5−5

adherencia de la sucesión y exactamente único debido a que el límite esÖB ×8 8−

único.


É ÖB × B − QÞ) Supongamos que posee exactamente un valor de adherencia 8 8−

Supongamos que no converge entonces existe tal que en ÖB × ! Bß8 8− % µ %

existe infinitos valores de que no pertenecen a B Bß Þ8 µ %

Q Bß Q Q Bßµ % µ % es cerrado en entonces es compacto. Por hipótesis existeÖ8 × ÖB × Q Bß8 5− 8 8−5 una sucesión (la cual también es subsucesión de ) en µ %

Ê Q Bßcomo es un espacio métrico compacto admite una subsucesiónµ %convergente supongamos que . Como es compacto en queß B Ä + Q Bß Q853

µ %

es métrico por lo tanto es un espacio de Hausdorff de donde Q + − Q Bßµ %entonces así posee más de un valor de adherencia . Luego+ Á B ÖB × po8 8−

ÖB ×8 8− es convergente.

63. + Muestre que cada subconjunto cerrado en un espacio métrico puede serobtenido como una intersección decreciente enumerable de abiertos., Muestre que esto no es verdad para cualquier espacio topológico.

SOLUCIÓN. + F B ¨ F B ¨ â ¨ F B ¨ âß B − J § Qß . ß J œ J Þ" " "# 8

Sea . Mostremos que E œ F B ß E œ F B ßá ßE œ F B J œ E" " # 8 8∪ ∪ ∪ ∩B − J B − J B − J

∞

8 œ "" "# 8

3 a8 "ß J § E J § E8) así 8 ∩∞

8 œ "

33 B − E . Bß J œ !ß B − J) Sea entonces mostremos que así .∩∞

8 œ "8

Es suficiente mostrar que existe tal que se escoge tal quea% % ! C − J . Bß C 8" "8 88 Þ B − E C − J B − F C Ê . Bß C % %Puesto que , existe tal que ."

8

Sea es abierto y .E œ ÖC − Qà . Bß C × Ê E J § E8 8 8"8

Además Si es cerrado, .C − E Ê . Cß J œ ! Þ J C − J Ê E œ J∩ ∩∞ ∞

8 œ " 8 œ "8 8

, \ œ Ö+ß ,× C œ Ö ß\ß Ö+×× Ê Ö,× +Sea ø es cerrado y no se cumple .7

64. Sea una sucesión decreciente de subespaciosO ¨ O ¨ â ¨ O ¨ â" # 8

compactos de un espacio métrico . Dado cualquier abierto en , contenido enQ Y Q

la intersección , existe tal que para todo . Concluir queO œ O 8 O § Y 8 8∩ 8 ! 8 !

la intersección de una sucesión decreciente de subconjuntos compactos conexosde un espacio métrico, es un conjunto compacto y conexo. Dé un ejemplo de unasucesión decreciente de subconjuntos cerrados conexos del plano cuyaintersección es disconexa.SOLUCIÓN. Supongamos que existe tal que entonces+ a8 − ß 8 8 O §Î Y! " ! 8

"

O ∩ Q Y Á Y Q Y O8 8" "ø. Tenemos abierto entonces es cerrado sea

compacto en un espacio métrico por tanto Hausdorff . Análogamente existeQ8 8 O §Î Y O ∩ Q Y Á Q O § O# " 8 8 8 8 tal que y por lo tanto ø y cerrado en y

# # # "

entonces . Prosiguiendo con ese raciocinio, tenemosO ∩ Q Y § O ∩ Q Y8 8# "


una sucesión decreciente de cerrados no vacíos de con la propiedad de laQintersección finita y por lo tanto

ø Á O ∩ Q Y œ O ∩ Q Y œ O ∩ Q Y∩ ∩∞ ∞

5 œ " 8 œ "Š ‹8 85 5

pero esto es absurdo pues por hipótesis y por lo tantopo O § YO ∩ Q Y œ ø., O ¨ O ¨ â ¨ O ¨ â O donde cada es compacto y conexo contenidos en un" # 8 8

espacio métrico por lo tanto espacio de Hausdorff entonces es cerrado. EntoncesO

O œ O Q O O∞

es cerrado en y por lo tanto cerrado en y siendo compacto se∩n œ "

8 " "

sigue que es compacto. Supongamos que no es conexo, ie, existen O O Eß Fcerrados de no vacíos tales que y ø entonces existe , O O œ E ∪F E ∩F œ E Fw w

abiertos de tales que , como son compactos entoncesQ E ¨ EßF ¨ F Eß Fw w

E ∩ F œw w ø y se tieneO œ E ∪F œ E ∩O ∪ F ∩O œ E ∪F ∩O § E ∪Fw w w w w w

y abierto en Entonces por la parte existe tal que para todo E ∪F QÞ + 8 8 8w w! !

O § E ∪ F O8 8w w, esto es está contenido en una reunión de dos abiertos disyuntos

entonces , es disconexo lo cual es absurdo.a8 8 O po! 8

- d O Consideremos en la siguiente sucesión decreciente de subconjuntos#8

cerrados conexos. donde rombo abierto sin frontera de vérticesO œ d P P œ8 8 8#

"ß ! ß !ß 8 ß "ß ! ß !ß 8 ß a8 − O œ J œ d Jß J . Entonces donde es ∩∞

8 œ "8

#

la franja de centro en el origen y radio paralela al eje , Luego es disconexo." C O

65. En un espacio localmente compacto, cuales de las siguientes afirmaciones deabajo son verdaderas.+ La reunión de dos conjuntos localmente compactos es localmente compacto., La intersección de dos conjuntos localmente compactos es localmente

compacto.- El complemento de un conjunto localmente compacto es localmente compacto.

SOLUCIÓN. . Tomemos para mostrarlo el siguiente conjunto: En + dEs falso #

consideremos dos conjuntos y cerrado y abierto y ø. esE Fà E F E ∩ F Á d#

localmente compacto, y también son localmente compactos. SeaE F: − 0< E ∩ 0< F :, entonces cualquier bola con centro en contiene una sucesiónÖ+ × + − E + Ä : : Â E ∪ F :8 8− 8 8

w w , tal que y , esto es, cualquier vecindad de

contiene sucesiones que convergen para puntos que están fuera de y porE ∪Flo tanto, no es localmente compactoE ∪F, \ +ß , Â \Es falso. Tómese espacio que no sea localmente compacto y y] œ \ ∪ Ö+ß ,×. Definimos

7 7] \œ Ö] ß\ ∪ Ö+× \ ∪ Ö,×ß × ∪ ß, øE œ \ ∪ Ö+×ß F œ \ ∪ Ö,× \ œ E ∪F son compactos y localmente compactos pero que por construcción no es localmente compacto.


- dEs falso. Consideremos en , que es localmente compacto, un conjunto#

E œ ÖB − d à lBl Ÿ "× Ö:× : − 0< H H E# donde , siendo el disco unitario. eslocalmente compacto pues , ; aB − E b ! : Â F Bß% %

Afirmación: es compacto y por consiguiente es una vecindadE ∩F Bß %

compacta de Sea un punto de acumulación de entonces es puntoBÞ C E ∩ F Bß C%

de acumulación de y de y por ser cerrado, . SupongamosE F Bß F Bß C − F Bß% % %

que no sea punto de acumulación de y de entonces no es punto de: E F Bß :%

acumulación de , entonces . Esto muestraE ∩F Bß : Á C C − E Ê C − E ∩ F Bß% %

que contiene todos sus puntos de acumulación y por lo tanto es cerradoE ∩F Bß %y acotado en luego localmente compacto. Por otro lado no esd d E# #

localmente compacto pues cualquier vecindad de contiene una sucesión:ÖB × B − d Eß B Ä B B − 0< H B Â d E8 8− 8 8 ! ! !

# #, y , por consiguiente esto es

cualquier vecindad de posee una sucesión sin subsucesiones convergentes por:lo tanto no existe una vecindad compacta de en .: d E#

66. La imagen de un espacio localmente compacto por una aplicación continuaabierta es un espacio localmente compacto. Dé un ejemplo de una aplicacióncontinua tal que no sea localmente compacto.0 À d d 0 d#

SOLUCIÓN. Sea una aplicación continua abierta, localmente compacto+ 0 À \ ] \

esto es, para todo existe vecindad compacta de . Mostremos que esB − \ Z B 0 \B

localmente compacto, esto es para todo existe una vecindad compacta deC − 0 \C.C − 0 \ B − \ C œ 0 B Z B entonces existe tal que . Sea vecindad compacta de laB

cual existe por hipótesis, siendo continua es compacto que contiene a ,0 0 Z CB

0 Z C Z B E \B Bes así una vecindad de pues por ser vecindad de existe abierto en tal que además y como es una aplicación abierta esB − E § Z 0 E § 0 Z 0 0 EB B

abierto y se tiene es compacto, entonces esC œ 0 B − 0 E § 0 Z • 0 Z 0 \B B

localmente compacto., 0 À d d D − W − d : Sea la aplicación continua. Fijemos , si seEjemplo # " α

define : ™À W

8 È / D

"

# 3 81 α

Sea , sea segmento será: :8 œ T ß 8 " œ T T T œ T T 0 À d d8 8" 8 8" 8 8"#

entonces tal que en el disco 0l Þ œ Þ T T H !ß " œ Ö Bß C − d ÎB C Ÿ "× 0Ò8ß8"Ó 8 8"

# # #

es continua. es localmente compacto pero todo punto de digamosd 0 dT œ / D T88

# 381 α existe una vecindad de (densa) donde toda sucesión de puntosno admite subsucesión convergente.

67.En un espacio topológico con base enumerable, toda base tiene una sub-baseenumerable.


SOLUCIÓN. Sea una base enumerable de . Sea una base de . ParaF œ ÖF8× \ \8− 7cada , es abierto en entonces .8 − F − F Ê F \ F œ G Ê F œ G

Å

77

8 8 8 8 8∪ ∪G −

\ /=P38./690ÞÞ

∞

3 œ "G −

αα

83

3

Así dado cualquier abierto en de donde se recibe;E \ Ê E œ F ∪F ∪â∪F ∪â" # 8

E œ G ∪â∪G ∪â ß G œ Ö G ×∪8 8 8 8 7 8" 7 3 7

reunión numerable de los . Luego es7una base enumerable de donde .\ G −83

7

68.Sea un subconjunto denso de un espacio topológico y una colección deW \ µ

abiertos de tal que es una base de . ¿Es necesariamente\ œ ÖF ∩ WàF − × Wµ µ µW

una base de ?\

SOLUCIÓN. La respuesta es , pues si es abierto en y entonces existeno E \ B − EF ∩ W − B − F ∩ WÞ \ œ Ò!ß "Óß W œ !ß " ßµ µW tal que Sea sea base de abiertos paraW œ ÖF Bß ×ß W W œ \Þ Ò!ß Ñ. es base de . Tenemos abierto en y no existeµ µ µˆ ‰" "

8 #W

F Ò!ß Ñ œ F \Þ8 8"# tal que de donde no es base de ∪ µ

69.Sea un espacio tal que es Hausdorff, separable, entonces #\ I \ Ÿ" Ccardinal del continuo

SOLUCIÓN. Sea un subconjunto denso en . Si entoncesI œ ÖB ß B ßá ß B ßá× \ B − \" # 8

B I ß ß B − I Þ es un punto de acumulación de o Si consideramos las aplicaciones Si entonces yB − I \ I Þ B Â I B − I œ I

BÈ Bc w C

como es y de Hausdorff entonces en ese caso\ I B œ B ß B Á B" 8 8 84Ä∞lim

4 4 3

B Â I È ÖB ß B ßá ß B ßá× Þ \ I8 8 8" # 3Definiéndose así una función inyectiva de .c

Como # se sigue que # # .c cI œ # œ \ Ÿ I œ#I C C .

70.Sea un espacio métrico con base enumerable y una colección deQ ¹

subconjuntos cerrados de con la siguiente propiedad: La intersección de todaQ

sucesión decreciente de conjuntos , aún pertenece aJ ¨ J ¨ â ¨ J ¨ â J −" # 8 8 ¹

¹ ¹. Entonces existe un conjunto tal que ningún subconjunto propio de J − J

pertenezca a . (conocido como el "teorema de reducción" de Brouwer)¹ .SOLUCIÓN. Sea abierto para cada . siE œ Q J J − œ ÖQ J×¹ ´ J−¹

E § E § â § E § â E −" # 8 8 entonces mostremos que . Se debe probar que∪ ´

existe tal que es máximo en . Aplicando el lema de Zorn. Basta probarE − E´ ´que es un conjunto inductivo superiormente, esto es, si es una familia´ ÖE ×- -−P

linealmente ordenada de elementos de entonces . Por el teorema de´ ´∪ E −-

Lindelof existe , , , , tal que ...E E á E á E œ E- - - - -" # 8 8

∪ ∪∞

8 œ " − P-

Tomando E œ E ßE œ E ∪ E ßá ßE œ E ∪ E ∪â∪E" # 8

w w w- -" #" " # 8- - - -


se tiene . Ahora y . Por elE § E § â § E § â E − E œ E −w w w w" # 8 8 ´ ´∪ ∪

∞

8 œ "- -8

lema de Zorn existe tal que es máximo. Tómese .E − E J œ Q E´

71.En un espacio métrico las siguientes condiciones son equivalentes:Qß

+ Q , tiene base enumerable. Todo conjunto no enumerable tiene un punto deacumulación. Toda colección de abiertos disyuntos es enumerable.-

SOLUCIÓN. Tomemos una proposición auxiliar: es separable= Q+ Ê = Q espacio métrico con base numerable entonces por un resultado básico

¿cuál? tenemos que es separable.Q= Ê - Q \Si es separable, esto significa que posee un subconjunto denso

enumerable . Sea una colección de abiertosH œ ÖB ß B ßá ß B ßá× ÖE ×" # 8 8 8−

disyuntos (dos a dos): Como todo abierto en contiene por lo menos un punto\en , entonces para cada existe por lo menos un punto y H E B − E B − HÞ8 8 8 8

Construyamos la siguiente aplicación tenemos: : À ÖE × H E Á EE È B

8 8 7

8 88−

Ê E ∩E œ B Á B H8 7 8 7ø entonces por lo tanto es biunívoca. Como es :enumerable infinito entonces es enumerable.ÖE ×8 8−

Corolario. . Pues + Ê - + Ê = • = Ê -- Ê , Supongamos que toda colección de abiertos disyuntos, es enumerable.

Sea conjunto no enumerable. Admitamos que no tiene punto de acumulación\ \entonces "todo subconjunto de es cerrado". En esta forma , es\ aB − \ ÖB×

abierto, , ø y así los conjuntos , forman una colección deB Á C ÖB× ∩ ÖC× œ ÖB×ß B − \

abiertos disyuntos entonces es enumerable por lo tanto es enumerable,ÖB× \B−\

lo cual es contradictorio con la elección de . Luego contiene un punto depo \ \acumulación., Ê = Q Si no es separable entonces todos los subconjuntos enumerables no

son densos, entonces existe un subconjunto no enumerable sin puntos deacumulación, pues si todo subconjunto no enumerable tiene puntos deacumulación entonces podríamos extraer subconjuntos enumerables teniendopunto de acumulación entonces así obtenemos subconjuntos enumerables densos.= Ê + Esto es un consecuencia del siguiente resultado básico:

Las siguientes afirmaciones son equivalentes en espacios métricos:+ Q , Q - Q tiene base enumerable es un espacio de Lindelof es separable...

El anterior resultado se encuentra en cualquier libro de Topología general, porejemplo en el de José M. Muñoz, edición del 2003, publicación de la AcademiaColombia de Ciencias Exactas Físicas y Naturales.

72.Dar un ejemplo de un espacio de Hausdorff sin base enumerable en el cualtodo subconjunto posee un punto de acumulación.SOLUCIÓN. Sea un conjunto no enumerable bien ordenado teniendo últimoêlemento. Indicaremos con el menor elemento de tal que el conjuntoH ^


\ œ ÖB − ^à B Ÿ × \ \H es no enumerable. Considere en la topología del orden. esun espacio de Hausdorff, existe abierto en conteniendo a y todo conjuntoE \ IHenumerable, tenemos ø, entonces no posee base enumerable y noE ∩ I œ \ \es separable, así todo subconjunto infinito de tiene punto de acumulación, esto\según un resultado básico ¿cuál?.

73.Un "punto de condensación" de un conjunto en un espacio topológico es unW \

punto tal que para toda vecindad de tiene el mismo númeroB − \ Z Bß Z ∩ W

cardenal que . En un espacio con base enumerable, todo conjunto no enumerableW

contiene un punto de condensación. Sustituyendo "contiene" por "posee" en esteenunciado, basta suponer que el espacio es de Lindelöf.SOLUCIÓN. El espacio tiene base enumerable entonces por ser el espacio de Lindelöftodo recubrimiento de admite un subrecubrimiento enumerable. Sea un\ Wsubconjunto no enumerable sin punto de acumulación esto significa queaB − W bZ Z ∩ W \, tal que es enumerable, como todo subconjunto de tambiénB B

tiene base enumerable se sigue que

W § Z ∩ W Ê W § Z ∩ W ∪ ∪B − W

∞

8 œ "B 8 .

Así esta contenido en un conjunto enumerable esto implica que es enumerableW Wlo cual está contra la hipótesis dada para obteniéndose una contradicción. AsíWpoW contiene un punto de acumulación. Análogamente se procede en el caso de ser\ un espacio de Lindelöf pues en realidad este ha sido el argumento usado en laprueba antes descrita.Caso general: Por contradicción supongamos que ningún es punto deB − Wacumulación de , tal que # #\ Ê aB − W bZ Z ∩ W WB

W § Z ∩ W Ê W § Z ∩ W ∪ Z ∩ W ∪â∪B − W Å

W

B " #

es LindelöfAsí es una reunión enumerable de conjuntos que tienen cardenal menor o igualWal cardenal de , en otras palabras esta contenido en un conjunto cuyo cardinalW Wes menor que el cardinal de . entonces no posee base enumerable, se sabe porW \un resultado básico ¿cuál? que es localmente compacto entonces todo conjunto\infinito posee punto de acumulación .po

74.Un conjunto abierto y una imagen continua de un espacio separable esseparable. El producto de dos espacios separables es separable. Un subconjuntocerrado de un espacio separable puede no ser separable (ver ejercicio 81 más,

adelante)SOLUCIÓN. ) separable subconjunto enumerable denso en Sea 3 \ Ê I \Þ Fb

abierto en entonces ø además es denso en ya que\ F ∩I Á F ∩ I FZ ∩ I œ F ∩ Z ∩ I Á Z F F ∩ I œ FF \ Fø para todo abierto en por lo tanto por otra


parte # # . Luego es enumerable, ya que lo es y esF ∩ I Ÿ I F ∩ I I Fseparable.33 0 À \ ] \ I) Sea una aplicación continua y separable. Sea un subconjuntodenso en , Como es continua se tiene que . Luego\ 0 0 \ œ 0 I § 0 Iˆ ‰0 I œ 0 \ ß 0 I Ÿ I 0 Iahora # # por lo tanto es un subcojunto enumerabledenso en . Luego es separable.0 \ 0 \333 \ß ] I I I œ \) Sean separables así existen y enumerables tales que y" # "

I œ ] I ‚ I# " # ahora es enumerable, ya que el producto cartesiano de un númerofinito de conjuntos enumerables es enumerable y se tieneI ‚I œ I ‚I œ \ ‚ ] \ ‚ ]" # " # , esto es es separable.3@ J \ I) Si es un conjunto cerrado y es separable entonces existe enumerable talque . Ahora es enumerable, pero en general ./I œ \ J ∩ I J ∩ I § J J § I ∩ JLuego puede no ser separable.J

75.Un subconjunto cerrado y una imagen continua de un espacio de Lindelöf sonespacios de Lindelöf. El producto de espacios de Lindelöf puede no ser de Lindelöf(ver ejercicio 81 , más adelante),

SOLUCIÓN. ) Sea un recubrimiento abierto de un subconjunto3 œ ÖJ ×Æ E−P- -

cerrado de , esto es entonces donde esE \ J ¨ Eß œ ÖJ ∩ E× ÖJ ×∪- − P - - -- -

E \ \−P −PÆ

una familia de abiertos en . Sea esta es una familia de\ œ J à\ EÆ‡ \−P

š ›ˆ ‰- -

abiertos en tales que \ J ∪ \ E ¨ E ∪ \ E œ \Š ‹∪- − P Å

J ¨ J œ J ∩ E

-\

- - -\ E \

Luego es un recubrimiento abierto de por hipótesis es un espacio deÆ‡ \ \

Lindelöf por lo tanto existe un subrecubrimiento enumerable Æ‡ \! 8−œ J ßšˆ ‰

- 8

\ E›. Ahora tenemos

ðóóóóóóóñóóóóóóóòŠ ‹∪ ∪ ∪8 − 8 −8 −

ˆ ‰J ∪ \ E ∩E œ J ∩ E ∪ \ E ∩E œ J- - -8 8 8

\ \ E

∪E œ \ ∩E

Š ‹

Por lo tanto por lo tanto es un espacio de Lindelöf.E § J E −∪

8 ÆJ −-8

E

-8

E

33 0 À \ ] \) Sea una aplicación continua y un espacio de Lindelöf. SeaÆ œ ÖR × 0 \ R ¨ 0 \- - -−P un recubrimiento abierto de o sea . Entonces∪

R −- Æ

Æ‡ "−Pœ Ö0 R × \ 0- - es una colección de abiertos en ya que es continua, por otra

parte ∪ ∪R − R −- -Æ Æ

0 R œ 0 R ¨ 0 0 \ ¨ \ " " "Œ- -

Luego es un recubrimiento abierto de . Por hipótesis es un espacio deÆ‡ \ \Lindelöf entonces existe un subrecubrimiento numerable de tal queÆ Æ‡ ‡

!


Æ‡ " "! 8−œ Ö0 R × 0 R œ \- -8 8 y .∪

8 −

Ahora 0 \ œ 0 0 R œ 0 0 R § R −

Š ‹∪ ∪8 − 8 −

R −8R −

Æ

Æ

" "- - -8 88

- -8 8

∪

Luego es un subrecubrimiento enumerable de por tanto es unÖR × 0 \- 8 8− Æ

espacio de Lindelöf.

76. Supongamos que es un espacio de Hausdorff, compacto y .\ O § \ß O : − CO

Entonces existen abiertos y tales que , y øY [ : − Y O § [ Y ∩[ œ .SOLUCIÓN. Si , el axioma de separación de Hausdorff implica la existencia de; − Oabiertos disyuntos y tales que y . Puesto que es compacto,Y Z : − Y ; − Z O; ; ; ; existen puntos tales que . Nuestros; ß ; ßá ß ; − O O § Z ∪â∪ Z" # 8 ; ;" 8

requerimientos son satisfechos por los conjuntosY § Y ∩â∩ Y [ œ Z ∪â∪ Z; ; ; ;" 8 " 8

y

77.Si es una colección de subconjuntos compactos de un espacio deÖO ×α

Hausdorff y si ø, entonces alguna subcolección de que también tiene∩α

O œ ÖO ×α α

intersección vacía.SOLUCIÓN. Tomando . Fíjese un miembro de . Puesto que ningúnZ œ O O ÖO ×α ααC "

punto de pertenece a cada , es un recubrimiento abierto de Por loO O ÖZ × O Þ" "α α

tanto para alguna colección finita . Esto implica queO § Z ∪â∪ Z ÖZ ×" 3−α α α " 8 3

O ∩ O ∩â∩O œ" α α" 8ø .

78.Todo espacio normal de Hausdorff es un espacio regular. Todo espacio regularde Hausdorff con la propiedad de Lindelöf es normal. Existen espacios deHausdorff regulares (aún localmente compactos) que no son normales. El espacio\ œ Ö!ß "×ß œ Ö ß Ö"×ß\×con la topología ø es normal pero no es regular7 .SOLUCIÓN. ) es normal de Hausdorff entonces es regular, en efecto tal3 \ \ B − \que y cerrado, entonces es cerrado como es normal existe yB Â J J ÖB× \ Z ® B

Y ¨ J Z ∩ Y œ \ abiertos tales que ø. Luego es regular.33 J K \ B − J) Sean y subconjuntos de , cerrados y disyuntos. Para cada se tieneque , luego existe un abierto con y ø pues es regular.B Â K Y B − Y Y ∩ K œ \B B B

Como es de Lindelöf, es un espacio de Lindelöf por ser cerrado (ver\ J Jproblema 75) por lo tanto todo recubrimiento admite unJ § Y∪

B − \B

subrecubrimiento enumerable .J § Y∪8 −

8

De la misma manera existe un subrecubrimiento abierto enumerable K § Z∪8 −

8

tal que ø para todo . Consideremos ahora para cada losZ ∩ J œ 8 8 −8 subconjuntos abiertos yE œ Y Z ∪ Z ∪â∪ Z8 8 " # 8ˆ ‰


F œ Z Y ∪ Y ∪â∪ Y E œ E F œ F8 8 " # 8 8 8ˆ ‰. Formemos los conjuntos y , así∪ ∪8 − 8 −

los conjuntos son abiertos pues cada uno de los y son abiertosEß F E F8 8

Se tiene: y .+ J § E K § FEn efecto si entonces para algún . Como noB − J B − Y 8 − Z ß Z ßá ß Z8 " # 8contienen puntos de debe ser de donde . La inclusión esJ B − E B − E K § F8

análoga., E ∩ F œ E ∩F œ Finalmente afirmamos que ø. Para eso se debe mostrar que ø7 8

siendo arbitrarios. Por consiguiente, basta que ø. Ahora si7ß8 − E ∩ F œ 7 7:

B − E B − Y B − F B Â Y ßá ßY7 7 7: " 7: entonces . Por otro lado si entonces y en particular . Luego ø; esto concluye la demostración.B Â Y E ∩ F œ7 7 7:

79.Sean y subconjuntos compactos disyuntos de un espacio de HausdorffJ K

localmente compacto . Existe una función continua tal que \ 0 À \ Ò!ß "Ó 0 J œ !ß

0 K œ "Þ

SOLUCIÓN. : Sea un abierto en un espacio localmente compacto de HausdoffLema Y\ß J § Y O Zy compacto. Entonces existe un abierto cuya adherencia escompacta tal que .O § Z § Z § YPuesto que cada punto de tiene una vecindad compacta cerrada, y puesto que O Oes recubierto por una reunión finita de vecindades, está colocado dentro de unOconjunto cuya cerradura es compacta. Si , tómese . En casoK Y œ \ Z œ Kcontrario sea el complemento de mostremos que para cada existe unG Y : − Gabierto tal que y como se hizo en el problema 76 .[ O § [: : Â [: :

Puesto que cuando recorre es una colección cuya intersección esÖK ∩ G ∩[ × : G:

vacía. Entonces existen puntos tal que ø: ß : ßá ß : − G G ∩K ∩[ ∩â∩[ œ" : :# 8 " 8

(ver el problema 77). El conjunto tiene la propiedadZ œ K ∩[ ∩â∩[: :" 8

requerida, puesto que .Z § K ∩[ ∩â∩[ § Y: :" 8

En cuanto al problema 79 tenemos compacto como es un espacio deZ \Hausdorff entonces es un espacio normal, por lo tanto tomando Z Y œ \Kentonces , por el lema, existe un abierto cuya adherencia es compacta yJ § Y Ztal que . Como dijimos es normal, por el lema de Urysohn existeO § Z § Z § Y Z0 À Z Ò!ß "Ó 0 J œ ! 0 Z Z œ " 0ˆ ‰ continua tal que y . Extendemos esta función a en la siguiente forma:\

1 À \ Ò!ß "Ó 1 J œ 0 J œ !ß • ß 1 K œ "Š ‹ tal que . Así pues1 B œ" ß B−\Z

1 B œ0 B ß B−Z

si si

K § \ Z Z § Y Y œ \ K Ê \ Z ¨ K œ K dado que pero .CC

80.Para que un subconjunto cerrado de un espacio normal sea un J \ K$

(intersección enumerable de abiertos) es necesario y suficiente que exista unafunción continua tal que . Dar un ejemplo de un punto en un0 À \ Ò!Þ"Ó J œ 0 !"

espacio de Hausdorff compacto que no sea un K$Þ


SOLUCIÓN. Sea un conjunto entonces para cada Ê Ñ J K J œ E ß 8ß À \ Ò!ß "Ó$ ∩∞

8 œ "8 8:

continua tal que , siempre existe pues es normal y: : :8 8 8 8J œ !ß \ E œ " \

se aplica para cada el lema de Urysohn sea , es continua pues por8 0 B œ 08œ"

∞B

#:8

8

el criterio de Weierstrass se tiene

¹ ¹8œ" 8œ" 8œ"

∞ ∞ ∞8 8

8 8 8

: :B l B l "

# # #Ÿ ∞Þ

Ahora sea entonces , entoncesB − J B œ !ß a8 Ê 0 B œ !:8

B − 0 ! Ê J § 0 !" " .

Recíprocamente sea , esto implica queB − 0 ! Ê 0 B œ œ !"

8œ"

∞B

#:8

8

: :8"8B œ !ß a8 Ê B − ! ß a8

entonces de donde B − J J œ 0 ! Þ"

É 0 À \ Ò!ß "Ó J œ 0 !) Supongamos que existe tal que ."

Tómese el cual es un conjunto abierto para todo , ahoraE œ ÖB − \Î0 B × 88"8

∩∞

8 œ "E œ ÖB − \Î0 B œ !× œ 0 ! œ J8

"

y es un conjunto .J K$

81.Consideremos las siguientes propiedades relativas a un espacio topológico :\

FI \ tiene base enumerable.W \ es separableP \ es un espacio de LindelöfG \Toda colección de abiertos disyuntos en es enumerable.

Valen entonces las implicaciones indicadas en el diagrama

SOLUCIÓN. , . Sea abierto ,FI Ä W œ ÖF × L œ ÖB ß B ßá×ß B − F E B − E 8 8− " # 8 8

entonces tal que de esta manera es denso yab8 8F8 − B − F § E Ê B − E L

que ø.L ∩E ÁFI Ä G ÖE × E œ E Sea una colección de abiertos disyuntos dos a dos 8 8− 8 ∪

8 − es abierto en entonces tiene base enumerable (esto por un resultado básico\ E¿cuál?) cuyos abiertos son sus propios elementos, luego es enumerable.EFI Ä P œ ÖF × ÖG × \ Sea , un recubrimiento abierto de . 8 8− −P - -


Sea tal que y entonces abiertoT œ Ö: − F § G × B − \ − PÎB − G -:b

- -

Ê B − F § G \ § G § \ Ê \ œ G: - - -: : :. Se sigue entonces que es∪ ∪

: − : −

enumerable.W Ä G W WSi es separable entonces posee un subconjunto enumerable densoH œ ÖB ß B ßá× ÖE ×" # 8 8−. Sea una colección de subconjuntos abiertos dos a dos

disyuntos. Como todo abierto en , contiene por lo menos un punto de \ Hentonces para cada existe por lo menos un . Construyamos laE B − E B − H8 8 8 8

siguiente aplicación .: À ÖE × H

E È B8 8−

8 8

Tenemos ø. Luego , en esta forma es biunívoca.E Á E Ê E ∩E œ B Á B8 7 8 7 8 7 :Como es enumerable infinito entonces es enumerable.H ÖE ×8 8−

P Ä GÎ ; considérese la compactificación de un espacioContra-ejemplodiscreto no enumerable es compacto es de Lindelöf. Pero sus puntosQ Q Ê Qs s

forman una familia de abiertos disyuntos que no es enumerable.P Ä W ^Î Sea un conjunto no enumerable bien ordenado teniendo último

elemento. Indicaremos con el menor elemento de tal que el conjuntoH ^\ œ ÖB − ^à B Ÿ × \H es no enumerable, es compacto entonces todo recubrimientoadmita un subrecubrimiento finito por tanto es un espacio de Lindelöf. Ya fue\visto en otro problema ¿cuál? que no es separable.\

82. Sea un conjunto no enumerable con la topología cuyos abiertos son el+ \

vacío y los complementarios de las partes enumerables de . Entonces es de\ \

Lindelöf pero no es separable.\

, \ Sea una recta, provista de la topología cuya base es formada por losintervalos semi-abiertos a derecha tal como Los abiertos básicos sonÒ+ß ,ÑÞ

también cerrados en . Entonces es un espacio de Lindelöf, Hausdorff,\ \

I ß" separable y normal.SOLUCIÓN. + G \ B − \ B Sea un recubrimiento abierto de . Sea entonces ∪

- − P- " "

pertenece a algún abierto entonces el complementario de es enumerable, seaG G" "

ÖB ß B ßá ß B ßá× G ® B ßá ß G ® B ßá" # 8 # # 8 8 entonces existe existe entoncesG ∪ G ∪â∪G ∪â \ \" # 8 es un recubrimiento enumerable de entonces es Lindelöf.Sea conjunto enumerable en entoncesH œ ÖB ß B ßá ß B ßá× \" # 8

E œ \ ÖB ß B ßá ß B ßá× \ E \" # 8 es abierto en , entonces existe un abierto en talque ø no es denso, no es denso entonces no es separable puesE ∩H œ Ê H H \cualquiera que sea el conjunto enumerable en , no es denso en H \ \Þ

, Ò+ß ,Ñ Ò,ß ∞Ñ ∪ ∞ß + \ \El complementario de es abierto en . Luego esregular pues los abiertos básicos serán cerrados en .\\ Bß C − \ B Á C B − ÒBß CÑ C − ÒCß ∞Ñ : Para todo , , y son abiertoses Hausdorffdisyuntos.


\ I À B − \ß Z ÖÒBß B Ñà 8 − × Para cada = es un sistema fundamental dees " B"8

vecindades enumerables para pues para todo abierto conteniendo a existeBß Ò+ß ,Ñ B

% % ! ÒBß B Ñ § Ò+ß ,Ñ tal que ,

entonces existe tal que ,8 − %"

8

y .B − ÒBß B Ñ § Ò+ß ,Ñ Z ¨ Z ¨ â ¨ Z ¨ â Z œ ÒBß B Ñ" "8 8" # 8 8

\ \ I : Como es entonces cada punto posee un sistemaes separable "

fundamental de vecindades enumerables, de donde es un espacio topológico\con base enumerable, entonces por un resultado básico ¿cuál? es separable.\\ ÖG × \Þ : Sea un recubrimiento abierto de Se definees Lindelöf - -−P

c œ ÖB − Ò+ß ,Ó § \à Ò+ß BÓ § G ∪â∪G ∪â× œ Esup sup- -" 8

Esto es : conteniendo una reunión enumerable de elementos del recubrimiento.E Á + − EÞ ,ø pues Supongamos que , como los abiertos son definidos acderecha, tenemos que existe conteniendo tal que la derecha de es aúnG-8

c ccubierta por existiría otro , lo cual implicaría que no es el G ß Bß B-8

c c supÊ œ ,c .Entonces es cubierto por una cantidad enumerable de abiertos LaÒ+ß ,Ó ÖG × Þ- -−P

recta . Luego ella es toda cubierta por una reunión enumerable de\ œ Ò8ß 8 "Ó∪8 −

abiertos entonces es un espacio de Lindelöf.G \-

\ \ es normal: En efecto es de Hausdorff, regular y de Lindelöf luego según elproblema 78, es normal.\

83. El plano en el cual las vecindades de un punto son los cuadrados\ ‚\ +ß ,

semi-abiertos . Entonces hereda las propiedades delÒ+ß + Ñ ‚ Ò,ß , Ñ \ ‚\% %

problema anterior parte , esto es separable, de Hausdorff y regular (ya que, I ß"

sus abiertos básicos son cerrados) pero, no es un espacio de Lindelöf.\ ‚\

SOLUCIÓN. En efecto en la recta ¿es un conjunto cerrado?. Si pues suC œ Bcomplemento es abierto, pues para cada punto en es abiertoB \ ‚\ C lˆ ‰B contenido en él.¿Es un conjunto discreto? Si, pues todos sus puntos son abiertos (la intersecciónde abiertos de con la recta es un punto abierto )\ ‚\¿Es un conjunto no enumerable de ? Si, siendo cada punto un abierto\ ‚\entonces el conjunto formado por todos sus puntos es un recubrimiento abiertopara , es homeomorfo a (por una rotación) entonces es\ C œ B \ C œ Þ B

no enumerable. Entonces no se puede extraer un subrecubrimiento finito.

84. Un espacio métrico tiene base enumerable si y sólo si es homeomorfo a unsubconjunto de un espacio métrico compacto.


SOLUCIÓN. Ê ) Si es un espacio métrico con base enumerable, entonces es unQ Qespacio métrico normal, de Hausdorff entonces por el teorema de metrizaciónI"

de Urysohn es homeomorfo a un subespacio del cubo de Hilbert Se sabe queQ GÞ

G Ò!ß Óes compacto por ser homeomorfo a y es métrico por ser un subconjunto#3œ"

∞"3

cerrado del espacio de Hilbert LÞ

É Q) Supongamos ahora que es homeomorfo a un subconjunto de un espaciométrico compacto entonces es un espacio de Lindelöf entonces por unQresultado básico ¿cuál? tiene base enumerable.

85.El producto cartesiano de ejercicio 83 no es un espacio normal\ ‚\ .SOLUCIÓN. Sean es cerrado en J œ Ö <ß < − \ ‚\à < − × \ ‚\

es cerrado en y øK œ Ö ß à − d × \ ‚\ J ∩K œ) ) )

Lema: Sea un espacio de Baire piense en , Sea una función] K 0 À ] d

cualquiera Entonces existe un y un abierto tal que 8 − Y § ] ÖC − Y à 0 C × "8

es denso en .YSegún el lema se tiene que abierto en donde SeaK § E \ ‚\ E œ JÞC\‚\

C œ ß − K 0 À K dC È0 B œ E

) ) lado de un cuadrado contenido en

por el lema existe intervalo en la recta y un tal que esM œ 8 − ÖC − Mà 0 C × "8

denso en , M B œ <ß < § M ß B œ C ß 0 C limC −K

3"8

3

Prueba del lema: entonces alguno de los es tal que ø] œ W W 38>W Á∪∞

8 œ "8 8 8

Ê W œ ÖC − ] à 0 B × ß Y § 38>W8 ÖC − Y à 0 C ×8" "8 8

b entonces . Luego es denso enYÞ

86.Sea un grupo topológico conexo. Si una vecindad del elemento neutro de K K

posee base enumerable, entonces tiene base enumerableK .SOLUCIÓN. Sea , y una función continuaZ œ ÖB † B † B † â † B ÎB − Z × 0 À K ‚ K K8

" # $ 8 3

abierta . Ahora la operación es continua y0 E ‚ F œ B † F À K KC È C œ B † C

∪B − E

--

BB

tiene un inverso también continua por lo tanto es un homeomorfismo- -B"

Bœ "

así es abierto por ser reunión de abiertos.0 E ‚ FPor lo tanto es abierto para cada . Sea un grupo topológico conexo y Z 8 − K Z8 una vecindad del elemento neutro de Entonces genera a . Lo cual es unKÞ Z K

"corolario del siguiente hecho": Un subgrupo o tiene interior vacío o esL § Kabierto de donde cerrado , en efecto así tomando2 − 38>L 2 − [ § L2 2 5 œ 5ß"

$ $ $2 5 2 5 2 5"

" " "À L œ L B œ B2 5K2

, , , homeomorfoÈ

K5

$2 5"

" î[ œ [ 2 5 § Labierto

Vecindad de h


Todo subgrupo abierto es cerrado • es abierto. Sea subgrupoK L œ BL L œ∪B Â L

generado por vecindad del neutro es un punto interior de Z / − Z § L Ê / Lßentonces es abierto y cerrado L Ê L œ KÞ

∪8 −

Z œ8 el conjunto de los elementos del grupo que se pueden obtener como unproducto de elementos de .ZAhora es una vecindad del elemento neutro. SeaZ œ ÖB à B − Z ×" "

[ œ Z ∩ Z / [ œ [ Z" " es una vecindad de y se puede admitir que essimétrica o sea . En ese caso . Cada tiene base enumerable.Z œ Z K œ Z Z" 8 8∪

8 −

Luego tiene base enumerable, por ser la aplicación ,K Z œ Z ‚ Z ‚â‚ Z Z8 ðóóóóóóóñóóóóóóóòn-veces

continua, abierta y sobre.

87.Sea una aplicación continua de en . Con el fin de que sea cerrada0 À \ ] \ ] 0

es necesario y suficiente que, para todo punto y todo abierto en conC − ] Y \

0 C § Y Z ] C − Z 0 Z § Y Þ" ", exista un abierto en tal que y SOLUCIÓN. )Ê Supongamos que sea cerrada y sean y abierto en tal que0 C − ] Y \0 C § YÞ Y \ Y 0 \ Y" Como es abierto entonces es cerrado de donde escerrado en esto implica que es abierto en y] ] 0 \ Y ]C − ] 0 \ Y œ Z 0 Z § YÞ. Probemos que "

B − 0 Z Ê 0 B − Z 0 B Â 0 \ Y Ê B Â \ Y B − Y" por lo tanto por lo tanto .É E \) Supongamos ahora que la propiedad de arriba es válida, sea cerrado en ymostremos que es cerrado en , esto es, es abierto.0 E ] ] 0 ESi , entonces pues si entoncesC − ] 0 E 0 C § \ Eß B − 0 C ß" "

0 B œ C − ] 0 E Ê 0 B Â 0 E B Â E Ê B − \ E de donde .Como es abierto, por la hipótesis existe un abierto en tal que y\E Z ] C − Z0 Z § \ E C − Z § ] 0 E , − Z ∩ 0 E , − Z" entonces (pues si , tenemos que y y entonces contiene a y por lo tanto, œ 0 , ∩ E + − EŠ ‹0 +

+−E"

0 , ∩ E Á Ê 0 Z ∩ E Á po" "ø ø lo cual es contradictorio).Luego, para todo punto de , existe un abierto tal queC ] 0 E ZC − Z § ] 0 E ] 0 E de donde se sigue que es abierto. (Ver otrademostración de este resultado usando otro método en el problema 13).

88. + Sea una aplicación cerrada de sobre . Dado y un abierto0 À \ ] \ ] C − ]

F \ 0 C § Fß 0 F C en , con es una vecindad de ."

, Q 0 À Q ] Si es un espacio métrico compacto y es una aplicación continuasobre un espacio de Hausdorff, entonces es metrizable] .SOLUCIÓN. + 0 À \ ] Por el problema 87 anterior, tenemos que si es cerradoÍ aC − ] aY \ 0 C § Y Z ] y abierto en con entonces existe un abierto en tal"

que y . Así y es un abierto en con por loC − Z 0 Z § Y C − ] F \ 0 C § F" "


tanto existe un abierto en tal que en esta forma es unaZ ] C − Z § 0 F 0 Fvecindad de .C, Q 0 0 Q œ ] Como es un compacto y continua entonces es compacto y por la

hipótesis es Hausdorff de aquí tenemos que es un espacio normal así para] ]que sea metrizable sólo debemos ver que tiene base enumerable. Como es] ] Qun espacio métrico compacto entonces es separable, esto significa queQpodemos considerar en una base enumerable . Dados y un abiertoQ ÖF × C − ]8 8−

Z ] 0 Z § Q Ê 0 Z œ F 0 C de tenemos que por otro lado es imagen" " "8∪

8 −

la recíproca de un cerrado por una aplicación continua entonces es0 C"

compacto por lo tanto existe una reunión finita tal queF œ F ∪F ∪â∪F8 8 8" # 5

0 C § F § 0 Z Þ + 0 F C" " se sigue de la parte que es una vecindad de ,contenida en . Los interiores de los conjuntos , donde es del tipoZ 0 F FF ∪â∪F ]8 8" 5

forman una base enumerable de . En otras palabras si el espaciocociente de un espacio métrico compacto es de Hausdorff, entonces QÎI Q QÎI

es metrizable.

89.Sea un espacio de Lindelöf, un compacto entonces es un espacio de\ O \ ‚O

Lindelöf.SOLUCIÓN. Sea una familia de cerrados del espacio teniendo laK œ ÖK × \ ‚O- -−P

propiedad de la intersección enumerable, esto es si øÖK × § K Ê K ∩K ∩â∩K ∩â Á-3 " # 83− - - -

añadiéndole a todas las subfamilias de cerrados de que tengan la propiedadK Kde la intersección finita. Por la proyección uno, los subconjuntos : ÖK ×<

" −P- -

constituyen una familia de cerrados en , que tiene la propiedad de intersección\enumerable, porque

ø.: K ∩ : K ∩â∩ : K ∩â ¨ : K ∩â∩K ∩â Á< < < <" " " "8- - - - -" # " 8

Como es de Lindelöf entonces existe . Ahora es compacto.\ B − : K B ‚O∩- − P

<" -

Esto significa que , ø. Los subconjuntos , a − P K ∩ B ‚O Á K ∩ B ‚O − P- -- -

constituyen una familia de cerrados en con la propiedad de la intersecciónB ‚Oenumerable, pues

øÒK ∩ B ‚O Ó ∩ ÒK ∩ B ‚O Ó ∩â∩ ÒK ∩ B ‚O Ó ∩â œ K ∩ B ‚O Á- - - -" # 8 3Š ‹∩∞

3 œ "

Ahora es homeomorfo a y por lo tanto es compacto. Luego existe unB ‚O ]punto en un punto . En particular pertenece aB ‚O Bß C − K ∩ B ‚O Bß C∩ -

todos los como queríamos probar, así es Lindelöf.K \ ‚O-

90.El producto de espacios regulares es regular, y recíprocamente si el productode dos espacios es regular se sigue que cada uno de los factores es regularß .SOLUCIÓN. "Þ \ ß ] E \ ‚ ]Supongamos que son regulares. Sea un abierto de , y,

Š ‹‚Bß C − E Bß C − Y ‚ Z § E entonces b

bY§\ B−YZ §] C−Z

aberto, abierto,


Š ‹\ Y \ßB−Y Y §Y

] Z C−Z Z §Z

es regular existe abierto en tal que es regular existe abierto en Y, tal que

" " "

" " "

entonces y .Y ‚ Z œ Y ‚ Z § Y ‚ Z § E Bß C − Y ‚ Z" " " " " "

Luego es regular.\ ‚ ]#Þ \ ‚ ] : À \ ‚ ] \ Supongamos ahora que es regular. Consideremos ,"

<

Bß C − Eß E \ ‚ ] abierto en por la definición de topología productoBß C − Y ‚ Z § E Y ‚ Z § E Y ‚ Z § Y ‚ Z por hipótesis existe y ." " " "

Ahora .Š ‹B−: Y ‚Z §: Y ‚Z §: Y ‚Z §Y

C−: Y ‚Z §: Y ‚Z §: Y ‚Z §Z

< <" "" " " " ""

<"

< < <# # #" " " " " "

ˆ ‰ˆ ‰Luego son regulares.\ß ]

91.Sea un subconjunto de un espacio topológico . Indíquese con elE \ \ÎE

conjunto cociente de por la relación de equivalencia .\ BI C Í B œ C ” Bß C − EE

Si es un espacio de Hausdorff, normal y es cerrado en , entonces\ E \

\ÎE œ ÖÖB − \à B − \ E×ßE× es regular y espacio de Hausdorff.SOLUCIÓN. Bß C − \ÎE B Á C• • • • tal que . Puede suceder que

, , Bß C − E ” B C − \ E ” B − E C − \ ESi , como es cerrado entonces es abierto en además B C − \ E E \ E \ \ Ees Hausdorff por lo tanto existen abiertos tales que ,[ß Z B − Z § \ EC − [ § \ E Z ∩[ œ À \ \ÎE y ø. Ahora es una aplicación abierta, por lo:

tanto se tiene ø pues: :Z ∩ [ œ Z ∩[ œ ß

R − ÊR § \ E Ê R œ R

R § E Ê E œ E7

:

:\ œ • ,

así en cuyo caso ø, siguiéndose que : : : :Z œ Z • [ œ [ Z ∩ [ œ \ÎE

es normal de Hausdorff.Si , entonces , como es normal y tal queB − Eß C − \ E B Á C \ bZ ® C b[ ¨ EZ ∩[ œ øLos otros casos se siguen del hecho de que

R § R œ E : : :" " •

92. Sea abierto y para cada sea se tiene "Þ E § \ − P E œ : E E œ \# - - - --- <

excepto para un número finito de valores de . Existe un abierto elemental y- Y

Y œ Y ‚ Y ‚â‚Y ‚ \ : Y § : E Ê Y § E- - - - - -- -

- -" #Á

< <8

3

# . Ahora por lo tanto

como salvo para un número finito de valores de , se sigue que Y œ \ E œ \- - - --

excepto para un número finito de valores de .-#Þ − P W œ \ W Para cada , sea . La topología inducida en por la aplicación de- - - -#inclusión es la topología producto de los espacios La clausura de+ À W \ W Þ# #- - -


# # # # #W \ W W \ W- - - - - -en es igual a . es denso en si y solamente si cada

es denso es \ Þ-

SOLUCIÓN. # #+ W œ W \ œ \ F W Í bE \ : . es abierto en abierto en tal que+ - -

F œ E ∩ W \ E. Por la definición de la topología producto en , puede serconsiderado como un abierto denso esto es como un abierto elemental así

E œ : Y ∩â∩ : Y œ Y ‚â‚Y ‚ \< <

Á- -- - - - -

- -" 5" 5 " 5

3

#

donde es abierto , asíY § \- -3 3

E ∩ W œ Y ∩ W ‚â‚ Y ∩ W ‚ W#- - - - -- -

" " 5 5

5Á

donde es abierto en . También es continua por lo tantoY ∩ W W : À \ \- - - --3 3 3<

#: œ : l À W \ W< <WW- - - - es continua por tanto tiene la topología producto.

# #, W œ W - -

# # # #W œ W ∪ W œ W ∩ W- - -- -w w

Veamos por tanto que # #ŒW œ Www

- -

Sea donde , ø, B − W Ê B œ B B − W ß a − P Ê aZ ® B Z ∩ W Á a# w w−P- -- - - - - -- - -

Sea V vecindad de existe abierto en , , entonces se tiene queB Ê E \ E § Z B − E

E œ E E œ \ E ∩ W Á a − P# - - - - - donde y aún ø , entonces se tieneSPUNFI- -

# # # # #Œ ŒE ∩ W Á Ê B − W W § W- - - --ø de donde se recibe w w

w

B − W Ê Z B Z ∩ W ÁŒ# -

w

cualquier que sea vecindad de , ø así para cualquier

abierto en con se tiene ø.E Z B − E E ∩ W Á

Para todo , abierto en , ø entonces - -E \ B − E ßE ∩ W Á Ê B − W ß a B − W- - - - - - - - -w w#

se concluye entonces que Œ# #W § W- -

ww

#- W a Í W denso es denso.- --

W Í W œ \ a Í W œ W œ \- - - - - - denso - # # # .

93.Sea , los siendo dos a dos disyuntos. Entonces esP œ P P \∪α − E

α α -#-−P

homeomorfo a donde para . En otras palabras, vale la# #α−E

] ] œ \ − Eα α α-−Pα

α

asociatividad


.# # #Œα --−E −P−Pα

\ œ \- -

SOLUCIÓN. B − \ Í B œ B • B − \# # #Œα -−E −Pα

- α α αα-

−E−Pα

Í B œ B • B œ Bα α αα - -−E −Pα

pero ø P ∩ P œ Í B œ B Í B œ B Í B − \ Þα " - - -- -

ÆÁα " #

− Y −P∪α -−E −P

Pα

Sea ahora , 0 À \ ] ] œ \

B œ B È0 B œ CC

# # #- α−P −E

- α α -

- - α αα

-−P −E

œ C • C œB

−P

α- α- --

α

−P

# #\ ] ] \

]

:

\

0

ll ll

αα

α --

−E

<α

--

−Pα

1

proyección de en el factor \ \-

0 ‰ : ‰ œ : Ê 0 ‰ : ‰ 0 ‰ : a − E< < < <α α α- --1 1 αes continua, entonces es continua de

donde se recibe que es continua.0Sea , está bien definida pues dado , tal que así1 À ] \ − P − E − P

C È 1 C œ B- α -bx

α

B œ C a − P- α- , . La continuidad se sigue de la conmutatividad del siguiente-diagrama # #

#] \

:

] œ \

1α -

α --

-

-<

−P

−P :α

α

-

- ©

1

<

\

: ‰ 1 1<-

es continua por lo tanto es continua.94.Una aplicación biunívoca : de sobre si misma, induce un: P P P

homeomorfismo donde o sea : : : :‡ ‡ ‡

−P − P

À \ \ B œ B B œ B ‰ Þ# # ˆ ‰-

- - -- :

: -

SOLUCIÓN. En efecto tómese en el ejercicio 93 anterior comoE œ Ö œ 3 à 3 − P×α :

P ∩ P œ Ö 3 × ∩ Ö 4 × œ Áα " : : α " :ø cuando , pues es biunívoca entonces

:‡

−P −P−E

À \ \# # #- -

- -α α

es un homeomorfismo.

95.Sean espacios métricos y uniformemente continua. Dada unaQßR À Q R:

colección de partes de un conjunto , la aplicación Æ : ¹ ¹\ À \ßQ \ßR‡ Æ Æ

definida por es continua: :‡ 0 œ ‰ 0 .


SOLUCIÓN. Mostremos que para todo y para todo abierto es , tal que0 E \ßR¹Æ: ¹ : :‰ 0 − E F \ßQ a1 − Fß 1 œ ‰ 1 − E existe abierto en tal que .Æ ‡

Sea un vecindad de en tenemosZ 0 \ßR¹ÆE œ Z ‰ 0à Wß œ Ö1à\ Rà . 1l ß ‰ 0 l: % :W W

× œ Ö1 À \ Rà . 1 B ß 1 0 B ß aB − W×% %

: es uniformemente continua, esto es,dado tal que % $ $ : : % !ß ! . Bß C Ê . B ß C ß aBß aC − Q "b

Para este se construye$F œ [Ð0ß Wß Ñ œ Ö1 À \ Qà .Ð1 B ß 0 B Ñ aB − W×$ $,

Así para entonces por tenemos1 − F Ê .Ð1 B ß 0 B Ñ "$

.Ð 1 B ß 0 B Ñ aB − W Ê ‰ 1 − E: : % :, .

96.Sea un espacio métrico completo. Si una sucesión de puntos es talQ B − Q8

que , , probar que es convergente.. B ß B a8 − ÖB ×8 8" 8 8−"8#

SOLUCIÓN. Sabemos que la serie es una serie uniformemente convergente.8œ"

∞"8#

Sea . Como , entonces es una sucesiónW œ " â W œ ÖW ×8 8 8 8−" " " "# $ 8 88Ä∞ 8œ"

∞

# # # #lim

de Cauchy por lo tanto . En particular comoˆ ‰Š ‹H+.9 /B3=>/! 8 ! 8 7% !

Î7ß 8 8 Ê lW W l %

Q . B ß B ß a8 −es un espacio completo solo debemos ver que, como ,8 8""8#

entonces es una sucesión de Cauchy, en ese caso es convergente,ÖB × ÖB ×8 8− 8 8−

en efecto tal que (suponiendo )ˆ ‰Š ‹.+.9 IB3=>/

! 8 ! !% !7ß 8 8 Ê 7 8

. B ß B Ÿ . B ß B . B ß B â . B ß B8 7 8 8" 8" 8# 7 7"

â Ÿ lW W l " " "8 8" 7" 8 7# # # %

Luego es una sucesión de Cauchy.ÖB ×8 8−

97.Sean un espacio métrico completo el conjunto de las contraccionesQ QV

0 À Q Q À Q Q. Pruebe que la aplicación , la cual asocia a cada contracción: V

su único punto fijo, es continua. (Considere en la topología de laV Q

convergencia uniforme).SOLUCIÓN. Sea un espacio topológico y una familia de aplicacionesX Ö0 ×> >−X

0 À Q QÞ 0 >> >Supongamos que depende continuamente del parámetro en elsentido de que la aplicación es continua y tenemos< VÀ X Q

> È 0>ˆ ‰ˆ ‰.+.9 /=3=>/! !

w> >% $ Î. >ß > Ê . 0 ß 0 " 5 ‡$ %w

o sea que. 0 B ß 0 B " 5 aB − Q> >w %

donde es la constante de contracción de o sea es tal que y5 0 5 ! 5 ">

. 0 B ß 0 C 5. Bß C aBß C − Q #> >


Según al enunciado sea: VÀ Q Q

0 È +>

>

: : En efectoes continua ˆ ‰Š ‹.+.9 /B3=>/! "5 œ !./ ‡ > >% % $ / entonces. 0 ß 0 w $

. 0 ß 0 œ . + ß + œ . 0 + ß 0 + Ÿ . 0 + ß 0 + . 0 + ß 0 +: :> > > > > > > > > > > > > > > >w w w w w w w w

Ÿ 5. + ß + " 5 œ 5. 0 ß 0 " 5Æ‡

Å#

> > > >w w% : : %

o sea que. 0 ß 0 5. 0 ß 0 Ÿ " 5 Í " 5 . 0 ß 0 Ÿ " 5ƒ ƒ: : : : % : : %> > > > > >w w w

se tiene que. 0 ß 0 Ÿ: : %> >w

o sea es continua en luego es continua.: 0 ß>w

98.Sean y subconjuntos compactos disyuntos de un espacio de Hausdorff .O P \

Probar que existen en abiertos disyuntos tales que y .\ Yß Z O § Y P § Z

SOLUCIÓN. Sea fijo, cualquiera, como ø entonces . ComoB − O C − P P ∩O œ B Á C! !

\ Z [ Z ∩[ œes un espacio de Hausdorff existen y tales que ø. Así la familiaB C B C! !

Ö[C× P PC−P constituyen un recubrimiento de , como es compacto se puedeobtener un número finito tales que y correspondientes[ ß[ ßá ß[ P § [

8C C C C" # 8 3

∪3 œ "

Z ß Z ßá ß Z Z ∩[ œ Z œ Z [ œ [8 8

B B B B C !3 C!" !# !8 3 3!3 tales que ø. Tomando y vemos∩ ∪

3 œ " 3 œ "

que ø Ahora como es compacto puedo repetir este proceso para unZ ∩[ œ Þ O

número finito de de manera a obtener una vecindad y tal queB Y œ Z B8

3 3! !∪

3 œ "

Z ∩ Y œ O § Y P § [ø con y .99.Sean un espacio topológico y una aplicación cuyo gráfico es\ 0 À \ d8

compacto. Probar que es continua0 .SOLUCIÓN. Supongamos adicionalmente que es Hausdorff así tenemos\" À K 0 d œ : l : K 0. Sea , , es la restricción de la proyección al gráfico .: :8 < <

" "K 0

# Bß 0 B œ B K 0. Como , se ve que es una aplicación continua y biunívoca de : :

sobre .\$Þ K 0 \ ‚ d K 0 Siendo compacto y de Hausdorff, es cerrado así es una8 :

aplicación cerrada.%Þ 1 0 \ Por consiguiente es un homeomorfismo de sobre .:

&Þ B È Bß 0 B Su inversa, es pues una aplicación continua.'Þ &Þ B È 0 B Se sigue de que es continua como compuesta de aplicacionescontinuas, como queríamos demostrar.


100.Sean espacios métricos y una aplicación continua. Probar queQßR 0 À Q R

las siguientes afirmaciones sobre son equivalentes:0

+ B − Q Si una sucesión de puntos no posee subsucesión convergente entonces8

Ö0 B × R8 8− en también tiene la misma propiedad., O § R ß 0 O Para todo subconjunto compacto es compacto."

SOLUCIÓN. Supongamos que no es compacto entonces existe una+ Ê , 0 O"

sucesión que no posee subsucesiones convergentes, por laÖB × § 0 O8 8−"

continuidad de se tiene que y por la hipótesis esta sucesión no0 Ö0 B × § Oß ß8 8−

tiene subsucesiones convergentes entonces no es compacto. Hemos asíOprobado la implicación por contrarecíproca., Ê + ÖB × Q Por contradicción. Sea una sucesión en tal que no posee8 8−

subsucesiones convergentes y sin embargo la sucesión es tal que todaÖ0 B ×8 8−

subsucesión es convergente, construyamos un conjunto.O œ Ö0 B × ∪ Ö Ö0 B × ×Þ8 8− 8 8− todos los límites posibles de las subsucesiones de

De la construcción de se sigue que es secuencialmente compacto como esO O Run espacio métrico se sigue que es compacto. Ahora el cualO 0 O œ ÖÖB × ×"

8 8−

no es secuencialmente compacto por lo tanto no es compacto esto0 O § Q"

es una contradicción de la parte .po ,

101.Sea el conjunto de las funciones que poseen¶ ¶" œ Ò+ß ,Óß d 0 À Ò+ß ,Ó d

derivada continua en todos los puntos de Sea el conjunto de las lasÒ+ß ,ÓÞ H 2 − ¶"

cuales tienen inversa con derivada continua en todos los puntos2 À 2 Ò+ß ,Ó d"

de su dominio. Probar que para todo ; considere en la2 − H Í 2 œ ! B − Ò+ß ,Óyw "¶

métrica . Pruebe que es abierto en . 0ß 1 œ Öl0 B 1 B l l0 B 1 B l× HsupB − Ò+ß ,Ó

w w "¶ .

SOLUCIÓN. Ê 2 − H 2 2 ‰ 2 œ 3. 2) Sea entonces existe tal que y es derivable" " "

y continua. Aplicando la regla de la cadena obtenemos2 ‰ 2 B œ 2 2 B 2 B œ "" " ww w •

por lo tanto .2 B Á !ß aB − Ò+ß ,Ów

É B − Ò+ß ,Ó 2 B Á ! Ê 2) Para todo , es monótona estrictamente ya sea crecientew

o decreciente en por un resultado básico ¿cuál? es unÒ+ß ,Ó 2 À Ò+ß ,Ó d

homeomorfismo de sobre entonces existe y es continua.Ò+ß ,Ó 2 Ò+ß ,Ó 2"

Sea si existe , con , y deberá ser igual a y por lo tanto2 œ 1 1 C C œ 2 B Ò2 B Ó" w w "

escribimos y tenemos que mostrar que1 C 5 œ 1 C Ò2 B Ó † 5 = 5w "

lim5Ä!

= 5l5l œ !,

sea y ya que 2 B 6 œ C 5 Ê 5 œ 2 B 6 C œ 2 B 6 2 B 5 Ä ! Í 6 Ä ! 2

es un homeomorfismo. Entonces6 œ 1 C 5 1 5 œ Ò2 B Ó Ò2 B 6 2 B Ó = 5 œ Ò2 B Ó Ò2 B 6 < 6 Ó = 5w " w " w

Í = 5 œ Ò2 B Ó † < 6 Ê œ Š ‹w " = 5 l6l Ò2 B Ó < 6l5l l5l l6l

w "


cuando permanece acotado y cuando Luego .5 Ä ! Ê Ä ! 6 Ä !Þ œ !l6l < 6 = 5l5l l6l l5l5Ä!

lim

Esto muestra que es diferenciable para cada con 1 œ 2 C − 2 Ò+ß ,Ó 1 C œ Ò2 B Ó" w w "

y como y es continua esto es .2 B Á !ß aB − Ò+ß ,Ó aC − 2 Ò+ß ,Ó ß 2 − ß ß 2 − Hw "¶

, H 2 − H Í 2 B Á !ß aB − Ò+ß ,ÓÞ : De lo anterior es abierto en ¶" w

Sea continuas y es abierto de , enE œ Ö2 À Ò+ß ,Ó d 2 B !ß aB − Ò+ß ,Ó× Ò+ß ,Óà d¶

efecto entonces es continua en que es compacto de y por tanto es2 − E 2 Ò+ß ,Ó dw

acotada y alcanza sus extremos es decir, existe tal queB ß B − Ò+ß ,Ó! "

2 B œ ÞÖ2 B à B − Ò+ß ,Ó× 2 B œ ÞÖ2 B à B − Ò+ß ,Ó× 2 B ! ß! " !inf supy es claro que 2 B ! 2 B Ÿ 2 B Þ" ! " y La bola abierta de centro y radio = tomemos y mostremos queF 2ß 2 1 − F% % 2 B

#!

1 − EÞ 1 − ,Ð2ß Ñ l2 1l aB − Ò+ß ,Ó 2 B 1 B l Sea entonces por lo tanto |% 2 B 2 B# #! !

de donde recibimos que , para todo .2 B 1 B Ê 2 B 1 B B − Ò+ß ,Ó2 B 2 B# #! !

Como y por lo tanto . Luego2 B 2 B ß aB − Ò+ß ,Ó Ê 2 B 2 B !!2 B 2 B# #! !

1 B !aB − Ò+ß ,Ó Ê 1 − E E ÐÒ+ß ,Óà dÑÞ, entonces es abierto en ¶Análogamente se muestra que es continua y U œ Ö2 À Ò+ß ,Ó dà 2 2 B !ß

aB − Ò+ß ,Ó× ÐÒ+ß ,Óà dÑ es abierto en .¶

Finalmente la aplicación definida por es continua con laH À ÐÒ+ß ,Óà dÑ H 0 œ 0¶ ¶"

norma .l0 l œ Öl0 B l l0 B lß B − Ò+ß ,Ó×‡w

Sea . Como entonces es continua en T ¶ ¶œ Ö2 − à 2 ÐBÑ !ß aB − Ò+ß ,Ó× 2 − 2 Ò+ß ,Ó ß" w "

es acotada y . Entonces la aplicaciónE œ Ö1 − ÐÒ+ß ,Óà dÑà 1 B !ß aB − Ò+ß ,Ó×¶

H À ÐÒ+ß ,Óß dÑ E Ò+ß ,Óà dÑ œ H E ß2È 2¶ ¶ ¶ T" "

w es continua y es abierto en y

entonces es abierto en . Análogamente sea yT ¶ U ¶" "œ Ö2 − à 2 B !ß aB − Ò+ß ,Ó×

F œ Ö1 − ÐÒ+ß ,Óà dÑà 1 B !ß aB − Ò+ß ,Ó×ß œ H F Ê¶ U U ¶ entonces es abierto en " "

y es abierto en .H œ ∪T U ¶"

102. Pruebe que si todo subespacio de un espacio de Hausdorff es compacto\

entonces es finito. Dé un ejemplo mostrando que esto sería falso si el espacio\

no es de Hausdorff.SOLUCIÓN. + 3 ÖB× \ ÖB× \ ) es una parte finita entonces es una parte de por lotanto es un compacto y como es Hausdorff entonces es cerrado.\ \ ÖB×

33 ÖB×) es abierto por ser complemento de un cerrado.333 \ œ ÖB× \ \) es un recubrimiento abierto de . Entonces como es compacto∪

B − \

existe un subrecubrimiento finito de lo cual no es posible de obtener cuando \ \es infinito. Luego tiene que ser finito.\, \ Sea un espacio infinito con la topología de complementos finitos.\ ÖY × \ Y : Pues si es un recubrimiento abierto de , sea uno dees compacto - - -−P !

esos abiertos entonces tiene un número finito de\ Y œ Ö+ ß + ßá ß + ×-! " # 8

elementos.Sea elementos de la colección tales queY ßY ßá ßY ÖY ×- - - - -" # 8 −P

+ − Y ß + − Y ßá ß + − Y" # 8- - -" # 8


obtenemos así que \ œ Y ∪ Y ∪â∪ Y ∪ Y- - - -" # 8 !

y es compacto.\Todo subconjunto de es compacto ya que si es finito entonces esW § \ \ Wcompacto y si es infinito entonces se toma un recubrimiento por abiertos de yW Wen la misma forma que se hizo para , se obtiene un subrecubrimiento finito\cubriendo a y por lo tanto a siguiéndose que es compacto. Note que el\ W Wespacio no es Hausdorff, pues dos colas siempre se encuentran y es infinito.\

103.Pruebe que un espacio métrico es totalmente acotado si y solamente siQ

toda sucesión en posee subsucesiones de CauchyQ .SOLUCIÓN. É ÖB × Q) Sea una sucesión en que posee una subsucesión de8 8−

Cauchy esto es tal que .bÖB × ! 5 Îa5ß 5 5 ß . B ß B 8 5− ! ! 8 8a b w

5 5 5w ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰% %

Si para este , existe tal que acaba el problema, de nó, existe% B − Q Q § FÐB ß Ñ" " #%

B − Q Q § FÐB ß Ñ ∪ FÐB ß Ñ B − Q# " # $# #tal que teniéndose el problema, de nó, existe % %

tal que si esto se cumple, el problema termina, deQ § FÐB ß Ñ ∪ FÐB ß Ñ ∪ FÐB ß Ñ" # $# # #% % %

lo contrario, existiría un y así sucesivamente; se tiene en general entoncesB − Q%

queQ § FÐB ß Ñ ∪ FÐB ß Ñ ∪ FÐB ß Ñ ∪â ∪FÐB ß Ñ" # $ 8# # # #

% % % %

y estaría acotado, de lo contrario, existiría un Se ha obtenido así unaQ B − QÞ8"

sucesión la cual tiene una subsucesión convergente, por lo tanto, existeÖB ×8 8−

un número finito de bolas cuyos diámetros no exceden a y tales que%#

Q § FÐB ß Ñ ∪ FÐB ß Ñ ∪ FÐB ß Ñ ∪â ∪FÐB ß Ñ" # $ 7# # # #% % % %

de donde tenemos entonces que es totalmente acotado.QÊ Q !) Si es totalmente acotado esto significa que para todo , existen%

W ß W ßá ß W W Q § W ∪ W ∪â∪ W ÖB ×" # 8 3 " # 8 8 8− tales que y . Tomando una$ %

secuencia de obtenemos que en alguno de los , tiene una infinidad deQ W B3 8

términos de o sea que tiene una subsucesión yÖB × ÖB × ÖB ×8 8− 8 8− 8 3− 3

B − W3ß a383, así

. B ß B W 7 ß8 8 ÖB ×8 7 3 3 3 3 8 3−3 3 ! 3$ % para de donde es de Cauchy

Como esto se puede hacer para todo , entonces la sucesión es de% ! ÖB ×8 3−3

Cauchy.

104.Sean espacios compactos de Hausdorff. Se existen puntos y \ß] B − \ C − ]! !

tales que y son homeomorfos, pruebe que y son\ ÖB × ] ÖC × \ ]! !

homeomorfos. Dé un contra-ejemplo con compacto de Hausdorff y \ ]

localmente compacto de Hausdorff.SOLUCIÓN. Como son compactos y de Hausdorff entonces se puede concluir\ß ]que son compactificaciones de Alexandroff de y de por lo\ß ] \ ÖB × ] ÖC ×! !

tanto se puede considerar el siguiente diagrama


\ ÖB × ] ÖC ×0

! !

: <: <

© donde , son los compactificados de Alexandorff.

\ ]J

Como , son homeomorfismos de sobre y de sobre: < :\ ÖB × \ ÖB × ] ÖC ×! ! !

< < :] ÖC× J À \ ] J B œ 0 B se puede definir de la siguiente manera "

para en esta forma obtenemos un homeomorfismo deB − \ ÖB × ß J B œ C: ! ! !

\ ] 0 sobre , donde es el homeomorfismo dado en la hipótesis.Ejemplo. Tomemos como localmente compacto, \ œ Ð!ß Ó ∪ Ð!ß # Ñ ] œ W ∪ W1 1 " "

compacto y en ese caso es un homeomorfismo de B œ C œ !ß ! 0 \ Ö ×! !1 1

sobre pero .] Ö !ß ! × \ µ ]Î

105. Sea un subconjunto cerrado y un compacto del espacio euclidiano .J O d8

Pruebe que existen y tales que para cualquierB − J C − O lB C l Ÿ lB Cl! ! ! !

B − J C − Oy .SOLUCIÓN. Sea como es continua y es compacto entonces. À O ‚ J d . O

Bß C È . Bß C

existe tal que o lo que es lo mismo tal queB − O . B ß J œ . OßJ ß! !

. B ß C Ÿ . Bß C ß aB − Oß aC − J! .Tomando ahora una bola con radio tal que entoncesF B ß < < < . B ß J! !

obtenemos que ø y es cerrado y acotado, en el espacioF B ß < ∩ J Á F B ß < ∩ J! !

euclidiano por lo tanto es compacto, de donde, existe tald F B ß < ∩ J C − J8! !

que o lo que es lo mismo , por. Oß C œ . OßJ . Bß C Ÿ . Bß C ß aB − Oß aC − J! !

lo tanto hemos hallado tales queB − Oß C − J! !

. B ß C Ÿ . Bß C ß aB − Oß aC − J! !

106.Sea un subconjunto localmente compacto de un espacio de Hausdorff .W \

Pruebe que si es denso en , entonces en abierto en W \ W \Þ

SOLUCIÓN. Como es un subconjunto localmente compacto de un espacio deWHausdorff se sigue que es localmente cerrado, así existe un abierto de \ W E \tal que Como es denso en entonces es denso en por lo tanto esW § EÞ W \ W E W

denso en un abierto de , lo cual se quería mostrar.\Para ver que es denso en sea un abierto en , entonces V comoW E Z E œ Z ∩ EßE E \

W \ W ∩ Y Á aY \ es denso en entonces ø, abierto en por lo tantoZ ∩ W œ Z ∩ E ∩ W œ Y ∩ W ÁE \ Å

Y œ Z ∩ E\ abierto en Xø

107. Sean donde es compacto y es abierto. Probar que existeO § Y § d O Y8

% % ! Bß C − Oß lB Cl Ê ÒBß CÓ § Y ÒBß CÓ tal que (donde es el segmento de rectacerrada que une a con )B C .


SOLUCIÓN. Como es localmente compacto podemos tomar un recubrimientod8

ÖY × O Y § Y !- - -−P de tal que sea abierto conexo. Sea el número de Lebesgue%

de este recubrimiento el cual existe pues es compacto. Extraemos un númeroOfinito de elementos de la colección tal que lo cualÖY × O § Y ∪ Y ∪â∪ Y- - - - -−P " # 8

también es posible por la compacidad de con tales que paraO Bß C − O Bß C − Y-3

algún entonces tenemos que y se tiene que " Ÿ 3 Ÿ 8 lB Cl ÐY Ñ ÒBß CÓ § Y$ %- -3 3

como se sigue que lo cual queríamosO § Y ∪ Y ∪â∪ Y § Y ÒBß CÓ § Y - - -" # 8

mostrar.

108.Sea un espacio topológico con base enumerable. Probar que todo\

recubrimiento abierto posee un subrecubrimiento enumerable.\ œ E∪- − P

-

SOLUCIÓN. Sea una base enumerable del espacio. Como cada esµ œ ÖF × E8 8− -

abierto entonces en una reunión de elemento de la base . SeaE § F- ∪8 −

8 µ

T œ Ö: − ÎF § E × − P : − T E -: - - para cada . Si entonces denotemos por a uno de:

los para el cual . Sea estonces para algún entoncesE F § E B − \ B − E − P- - -: :-

existe tal que esto es para algún por: − T B − F § E B − F § E œ E : − T: :- - -:

definición de reunión tendremos que o sea que .B − E \ § E∪ ∪: − T : − T §

- -: :

109.Sea un conjunto de números reales bien ordenado, relativamente al ordenW

usual de la recta. Probar que es enumerable.W

SOLUCIÓN. Sabemos que es bien ordenado esto esW ß "Þˆ ‰ ˆ ‰+−W +Ÿ-

,−W ,Ÿ-Ê - − Wexiste / #Þ Todo subconjunto ø de tiene un primer elemento.W Á W"

Supongamos que no es enumerable entonces como tiene una baseW denumerable entonces tiene un punto de acumulación así , donde esW W œ Ò ß ÑH α H α

el primer elemento de En este conjunto se distinguen dos partes, comoWÞ

sabemos, la parte numerable y la parte no enumerable así

ÐBß Ñ WH es un subconjunto de que no es enumerable y donde cada punto es unpunto aislado, así no tiene base enumerable esto es contradictorio ya queW popor un resultado básico ¿cuál? se sabe que si un espacio topológico tiene baseenumerable, entonces, todo subconjunto de él tiene base enumerable.

110.Indique cuales de las afirmaciones de abajo son verdadera y presente contra-ejemplos para las falsas.+ Todo espacio de Hausdorff compacto tiene base enumerable., Todo espacio métrico conexo tiene base enumerable.- LEl espacio de Hilbert tiene base enumerable.


. Q Si en un espacio métrico , todo subconjunto acotado y cerrado es compactoentonces tiene base enumerableQ

SOLUCIÓN. + Ò ß Ó , se sabe que el espacio es un espacio de HausdorffFalsa α H

compacto, pero no puede tener base enumerable.\ œ Ò ß Óα H

, Verdadera. Puesto que en un espacio métrico todo punto admite un sistemafundametal de vecindades enumerable.- el espacio de Hilbert tiene base numerableVerdadera,. puesto que si es compacto, entonces localmente compacto y seVerdadera,

sigue que el espacio tiene base enumerable.

111. + Todo subespacio de un espacio compacto de Hausdorff es normal., Todo espacio métrico es homeomorfo a un subconjunto del espacio de Hilbert.- Un espacio de Hausdorff conexo y localmente compacto es metrizable si y sólo

si tiene base enumerable.. \ Si un espacio topológico es separable entonces todo subconjunto cerrado de\ es separable.SOLUCIÓN. + \ œ Ò ß Ó tómese el cual sabemos es compacto de Hausdorff.Falsa, α H

Considérese es un espacio compacto de Hausdorff y el\ ‚\ œ Ò ß Ó ‚ Ò ß Óα H α H

subespacio no es normal, pues los cerrado y\ ‚\ ÖÐ ß Ñ× J œ \ ‚ Ö ×H H H

K œ Ö × ‚\H no se pueden separar., Falsa, tómese un conjunto no enumerable con la métrica discreta.- Verdadera. Al tratar de hacer la demostración se encuentra con la siguienteFalsa,

dificultad: Sea un conjunto enumerable denso de , claramente si es cerradoI \ Jentonces es un subconjunto enumerable y , pero enJ ∩ I I ∩ J § I ∩ J œ Jgeneral , por ejemplo tomando como la recta con la topología cuyaJ §Î I ∩ J \

base es . Se considera y se toma este esµ ) ) ) œ ÖÒ+ß ,Ñ× \ ‚\ K œ Ö ß Î − d ×

un subconjunto cerrado en . Además es separable, pero no es\ ‚\ \ ‚\ Kseparable.

112. Sean espacios topológicos. Pruebe que una aplicación es\ß] 0 À \ ]

continua si y sólo si para cada subconjunto , se tiene .W § \ 0 W § 0 Wˆ ‰SOLUCIÓN. Ê W § \ 0 W § ] 0 W § 0ÐWÑ) entonces se sabe que de donde se tieneW § 0 0 W 0 0 W"Š ‹ por la hipótesis es continua y es cerrado por lo tanto

0 0 W W W"Š ‹ es cerrado, ahora es el menor cerrado que contiene a (por ladefinición) por lo tanto

W § W § 0 Ð0ÐWÑÑ"

de aquí se tiene inmediatamente que0 W § 0 Wˆ ‰


É Ñ J ] 0 Sea un subconjunto cerrado de para que sea continua debemos probarque es cerrado o sea, tomando , vemos que . Sabemos de0 J E œ 0 J E œ E" "

la definición que siempre, luego probemos simplemente que .E § E E § E

E œ 0 J" , ahora0 E œ 0 0 J § 00 J § J œ Jˆ ‰ Š ‹" "

Å Å0 F § 0 F 00 J § Jˆ ‰ "

o sea0 E § J Ê E § 0 ÐJ Ñ œ Eˆ ‰ " .

113.Defina espacio regular, espacio normal y pruebe que si todo punto de unespacio normal es cerrado, entonces es un espacio de Hausdorff regular.\ \

SOLUCIÓN. Un espacio se dice regular cuando, dados una parte cerrada de \ J \y un punto existen, una vecindad y un abierto que contiene al cerrado, sinB Â J

punto en común, y ø./3ß Z ® B ß ß Y ¨ JÎZ ∩ Y œb bB B

Un espacio se dice normal cuando dados dos partes cerradas sin punto en\común es posible encontrar abiertos disyuntos que contengan a cada una de laspartes cerradas ,y, ø y ø cerrados yß /3ß Z ¨ J [ ¨ KÎJ ∩ K œ ÐJ K J ∩ K œ Zb b

[ abiertos )Si todo punto de un espacio normal es cerrado entonces claramente existenvecindades que separan a los dos cerrados

C − ÖC× § Z • B − ÖB× § [ • [ ∩ Z œ, , , , øpor lo tanto el espacio es Hausdorff. Por otra parte todo punto y una parte cerradase pueden separar, por tanto el espacio es regular y tenemos que en esascondiciones el espacio es de Hausdorff regular.

114.Defina espacio de Hausdorff. Pruebe que todo punto en un espacio deHausdorff es un subconjunto cerrado. Dé ejemplo de un espacio que no es deHausdorff en el cual toda parte es un subconjunto cerrado.SOLUCIÓN. + \ Un espacio topológico se dice de Hausdorff cuando dados dospuntos cualesquiera distintos es posible hallar abiertos tales queB Á C Z ß [

B − Z ß C − [ ß • ß Z ∩[ œ ø, \ B − \ Sea un espacio de Hausdorff, entonces denotemos por

µ ´ ´B œ ÖZ − ÎB − § Z ß − × œ Ö B×7 7\ \ conjunto de las vecindades de Afirmación: entonces es un subconjunto cerrado de ∩

Z − ÐBÑµZ œ ÖB× ÖB× \Þ

Veamos la afirmación; si , con entonces∩Z − ÐBÑµ

Z œ ÖB C× B Á C

ø C − Z Í C − Z ß aZ − ÐBÑ Í a[ − ÐCÑß [ ∩ Z Á ß aZ − ÐBÑ∩Z − ÐBÑµ

µ µ µ

Por lo tanto obviamente no sería de Hausdorff contra lo supuesto.\ po- \ IEjemplo: Sea un espacio topológico y una relación de equivalencia no

necesariamente abierta tal que sea cerrado, entoncesK œ Ö Bß C − \ ‚\ÎBIC×


todo punto de es cerrado ya que: sat . Como es\ÎI ÒBÓ − \ÎI Í B œ B K: :"

cerrado sat es cerrado, se sigue entonces que es cerrado (por la definición deB ÒBÓ

topología cociente) pero no es de Hausdorff en general. Tomemos por\ÎI

ejemplo un espacio de Hausdorff no regular una parte cerrada de tal\ J \ + Â J

que toda vecindad de encuentre a toda vecindad de entonces si es la+ J Irelación de equivalencia obtenida identificando los puntos de entonces esJ Kcerrado y no es Hausdorff.\ÎI

K œ ∪ J ‚ J ß J Ê J ‚ J œ J ‚ J œ J ‚ J \ÎI? es cerrado es cerrado, no esHausdorff pues tenemos que y no se pueden separar.• • •

B Â J B J

116. Pruebe que un espacio topológico es de Hausdorf si y sólo si la diagonal\

? § \ ‚\ es un conjunto cerrado.SOLUCIÓN. Ê 0 À \ ] ]) Sabemos que si es una aplicación continua y un espaciode Hausdorff entonces su gráfico es cerrado.K 0 œ Ö Bß 0 B − \ ‚ ] ×

Consideremos la aplicación idéntica que a , consideremos su+ +À \ \ B È ÐBÑ œ B

gráficaK œ Ö Bß ÐBÑ − \ ‚\× œ ÖÐBß BÑ − \ ‚\× œ+ + ?

Como es continua y es Hausdorff se sigue que es cerrado.+ + ?\ K œÉ B Á C ÐBß CÑ Â Bß C −) Sea cerrado , entonces , entonces como es? ? ? ?Ccerrado es abierto entonces existe un abierto elementalC?

Z œ Z ‚ Z Z ® Bß Z ® C" # " #tal que tal que

Z § Í Z ∩ œ Í Z ‚ Z ∩ œC? ? ?ø ø" #

entonces ø no se puede tener ya que siZ ∩ Z Á" #

B − Z ∩ Z Ê B − Z • B − Z Í ÐBß BÑ − Z ‚ Z" # " # " #

o sea que ø por lo tanto , y, ø recibiéndoseZ ‚ Z ∩ Á B − Z ß C − Z Z ∩ Z œ" # " # " #?que es un espacio de Hausdorff.\

117.Dé tres definiciones equivalentes de espacio conexo (no es necesario probarlas equivalencias). Dé ejemplo de un espacio conexo y de un espacio no discretoen el cual los únicos subconjuntos conexos son los puntos.SOLUCIÓN. + \ es un espacio conexo si no se pueden hallar dos abiertos ycerrados no vacíos, diyuntos tales que sea la reunión de ellos.\, \ E F es un espacio conexo si dados y subconjuntos abiertos y cerrados tales

que ø ,y, ø, entonces ø.\ œ E ∪FßE ∩ F Á E Á F œ- \ 0 À \ ] es un espacio conexo si dada una aplicación continua en un

espacio discreto entonces es constante.] 0. \ œ d \ œ M œ +ß , : es un espacio conexo un intervalo de la rectaEjemplo

entonces conexo. es un conjunto disconexo y los únicos conexos son losM § dpuntos.


118. Pruebe que todo subconjunto abierto conexo es conexo por caminos.E § d8

SOLUCIÓN. Sea un conjunto abierto conexo entonces para cada existe unaE B − Evecindad de que es conexa y como entonces es conexo y localmenteZ B E § d E8

conexo por caminos, entonces por un resultado básico ¿cuál? es conexo porEcaminos.

119.Defina frontera de un subconjunto de un espacio topológico . Dé ejemposW \

de+ W Á \ W Á 0< W œ un subconjunto , ø , con ø,, W § \ 0< W œ \Þun subconjunto con

SOLUCIÓN. 0< W œ ÖB − \ÎB Â 38> W B Â 38> \ W × œ W ∩ W B − 0<ÐWÑ, y, o sea siCpara todo abierto que contiene a contiene puntos de y contiene puntosZ Bß Z W Zde o sea ø y ø\ W Z ∩ 38>W Á Z ∩ 38> \ E Á Þ

+ W Á \ W Á 0< W œ \ œ Ö+ß ,Þ-× œ Ö Ö+×ß Ö,ß -×ß \ß ×ß W œ Ö,ß -×ß , ø con ø ø7\C CW œ Ö+× W œ Wß 0< W œ W ∩ W œ Ö,ß -× ∩ Ö+× œ Þ entonces ø, W œ \ œ d Ê 0< œ \Þ ,

120. Probar que si es abierto entonces tiene interior vacío. ExamineW § \ 0< W ß

si vale lo mismo, cuando es cerradoW .SOLUCIÓN. 0< W œ ÖB − \à B Â 38>W • B Â 38>Ð\ WÑ× œ W ∩ WC

+ W œ W œ 38>W‰

38> 0<W œ 0<W œ W ∩ W œ W ∩ W § W ∩ W § W ∩ W œ W ∩ W œ‰ ‰

‰ ‰ ‰ ‰ ‰å èéê å å å èéêC C C C C

Å

W œ WÅ

E § E‰

ÅE ∩ F § E ∩ F

Å

F œ F‰

C

ø

Luego ø0<W œ, W œ W tenemos

38> 0<W œ W ∩ W œ W ∩ W § W ∩ W œ ∩ W œ W ∩ W œ œ Þ

‰‰ ‰‰

W‰

‰‰èéê èéê

C C C C CÅ

E § Eß aE‰

ø ø

Luego ø0<W œ Þ

121.En una familia de espacios topológicos, sea para cada .Ö\ × W § \ − P- - - -−P -

Pruebe que la adherencia de en es el producto de las# # #W \ W- - -

adherencias W Þ-

SOLUCIÓN. Veamos que # #W œ W- -


". # # #Œ ŒW œ W ∪ W- - -

w

#. # # # #Œ ŒW œ W ∪ W œ W ∪ W- - -- - w w

El problema se reduce a probar que veámosloŒ# #W œ W ß- -

ww

$. abierto conteniendo øB − W Ê aE B œ B ß E ∩ W Á ÞŒ Œ# #- - --

w

−P

Tomando proyección se sigue que: E ∩ W Á a − P<- - ø, -

como es una aplicación abierta se sigue que es abierto y por: : E B − : E< < <- - --

tantoB − W a − P- -

w .-

Luego ,B œ B § W#- -w

así .Œ# #W § W- -

ww

%Þ Recíprocamente, sea , entoncesB − W Í B œ B • B − W a ß# w w−P- -- -- -

B œ B • ß E ∩ W Á ß B − E E W- - - - - - --−P ø y es abierto en .Así

B œ B − : E ∩ W Á#- - -- -−P< "

ø

por lo tanto de donde B − W W § WŒ Œ# # #- --

w ww

122.Sean un espacio topológico y un espacio métrico completo. Si\ Q

I œ Ö0 ß 0 ßá ß 0 ßá× 0 À \ Q" # 8 8 es un conjunto equicontinuo de aplicaciones yÖ0 B × Qß B8 8− converge en para todo perteneciente a un subconjunto densoH § \ß Ö0 ×entonces pruebe que converge uniformemente en cada parte8 8−

compacta y es una aplicación continua\ 0 œ 0lim8Ä∞

8 .SOLUCIÓN. Por hipótesis es equicontinuo, entonces por tanto enI I œ I 0 Ä 0= - 8

I 0 − I 0 Ä 0 I 0 Ä 0 \ß= = 8 - 8‡ y . Luego en por tanto en las partes compactas de

como y es equicontinuo entonces es equicontinuo por lo tanto es0 − I I I 0- -

una función continua así .0 œ 0lim 8

Resta mostrar que es 0 Ä 0 I8 =‡

8 8−Ö0 B × Q H converge simplemente en . Como es compacto mostremos queÖ0 B × B − H8 8− ! es una sucesión de Cauchy, para tenemos que"Þ ˆ ‰ˆ ‰H+.9 /B3=>/

! R! $8 ! 7 !%%Îa8ß7 R Ê . 0 B ß 0 B

#Þ es un conjunto equicontinuo, esto esI

ˆ ‰Š ‹H+.9 /B3=>/! Z B @/-38.+. ./ B $! 8 8 ! 8%

%! !

ÎaB − Z ÐB Ñß . 0 B ß 0 B ß a0 − I

$Þ Por tanto tenemos


y tomando se tieneˆ ‰ˆ ‰H+.9 /B3=>/! R! !% Îa8ß7 R B − H ∩ Z ÐBÑ

. 0 B ß 0 B Ÿ . 0 B ß 0 B . 0 B ß 0 B . 0 B ß 0 B Ÿ œ8 7 8 8 ! 8 ! 7 ! 7 ! 7 $ $ $% % % %

%Þ Ö0 B × Q Q Así es una sucesión de Cauchy de , como es un espacio métrico8 8−

completo entonces existe tal que , por lo tanto en 0 À \ Q 0 B Ä 0 B 0 Ä 0 I Þ8 8 =

123.Sea es espacio de las funciones reales continuas en el intervalo con la¶ Ò+ß ,Ó

métrica de la convergencia uniforme. Se define una función medianteX À ¶ ¶'X † 0 B œ 0 > .>B+ .

Pruebe que es una sucesión acotada en entonces posee unaÖ0 × ÖX † 0 ×8 8− 8 8− ¶

subsucesión uniformemente convergente.SOLUCIÓN. Mostremos que el conjunto es equicontinuo o mejor que esÖX † 0 ×8relativamente compacto"Þ Por hipótesis existe tal que , Q ! l0 l Q a08 8

#Þl X † 0 B X † 0 B l œ l 0 > .> 0 > .>l œ l 0 > .> 0 > .>l œ l 0 > .>l' ' ' ' '8 8 ! 8 8 8 8 8+ + + B BB B B + B!

! !

Ÿ l0 > l.> Ÿ QlB B l ß a0'BB

8 ! 8!

$Þ Esto muestra que la sucesión cumple con la condición de LipschitzI œ ÖX † 0 ×8

por tanto es un conjunto equicontinuo.%ÞI B œ Ö X † 0 B ÎB − Ò+ß ,Óß l0 ÐBÑl Ÿ Q×8 8 es relativamente compacto pues l X † 08 B l œ l 0 > .>l Ÿ l0 > l.> Ÿ Q B + Ÿ Q , +' '

+ +B B

8 8

así es un conjunto acotado y es acotado y cerrado en un espacioI B I B

euclidiano, se sigue que es compacto por lo tanto es relativamenteI B I Bcompacto.&Þ Por el teorema de Ascoli es relativamente compacto enI

¹ ¹? -Ò+ß ,Óß d œ Ò+ß ,Óß d Ò+ß ,Ó por ser compacto.'ÞSe concluye que es secuencialmente compacto por lo tanto posee unaÖ X † 0 ×8subsucesión convergente.

Apéndice

Los problemas que siguen ya estan demostrados, pero ahora se usa otro modelode demostración que nos brinda puntos de vista diferentes y permite una fijaciónsobre los resultados por ellos propuestos.Cualquier comentario por favor hacerlo a [email protected]

124.Sea un espacio métrico. Indiquemos con el conjunto de todas lasQ Q¹

partes que gozan de la siguiente propiedad:\ § Q

es acotado3Ñ \


Si , entonces .33Ñ . Bß\ œ ! B − \

Para sea el mayor de los dos números siguientes:\ß] − Q ß Ð\ß ] Ñ¹ 3

sup supÞÖ. Bß ] à B − \× ” ÞÖ. Cß\ à C − ] × .Entonces es una métrica en , llamada una " ". Para3 ¹ Q métrica de Hausdorff

\ § Q < !ß YÐ\à <Ñ œ FÐBß <Ñ œ cualquiera y sea reunión de todas las bolas∪B − \

abiertas de radio y centro en un punto de . Entonces, si muestre< \ \ß ] − ÐQÑß¹

que implica que , y, . Por otro lado estas dos3 \ß] < \ § YÐ] à <Ñ ] § YÐ\à <Ñ

inclusiones implican que .3Ð\ß ] Ñ Ÿ <

SOLUCIÓN. 3 \ß] œ Ö ÞÖ. Bß ] à B − \×ß ÞÖ. Cß\ à C − ] ××max sup sup + ÐQÑ es una métrica en :3 ¹

1. es evidente3 \ß\ œ !

2. es obvio3 3\ß] œ ] ß\ 3. Si , entonces sea . Por la definición de3 \ß] ! ÞÖ. Bß ] à B − \× !supsup, existe tal que y por la propiedad de , tenemosB − \ . B ß ] ! 33Ñ Q! ! ¹

B Â ] ß \ Á ] \ Á ] B − \ß B Â ]! ! ! o sea . Por otro lado, si , sea por ejemplo .Entonces por tenemos , luego de33Ñß . B ß ] ! ÞÖ. Bß ] à B − \× . B ß ] !! !supdonde .3Ð\ß ] Ñ !

4. ,\ß] ^ − ÐQÑ Ê Ð\ß^Ñ Ÿ Ð\ß ] Ñ Ð] ß ^Ñ¹ 3 3 3

Sea H \ß^ œ Ö. Bß ^ à B − \×

Afirmación: sup sup supH \ß^ Ÿ H \ß] H ] ß^Sea y arbitrario. Entonces existe tal que = − HÐ\ß^Ñ ! B − \ = œ . B ß^ Þ% ! !

Como y , entonces existe tal que. B ß ] œ 380Ö. B ß C à C − ] × ! C − ]! ! !%

. B ß C . B ß ] . B ß C . B ß ] ! ! ! ! ! !% %, o sea . Por un resultado básico ¿cuál?,se sigue que y entoncesl. B ß D . C ß D l Ÿ . B ß C! ! ! !

. B ß D Ÿ . B ß C . C ß D . D ß ] . C ß ^ ! ! ! ! ! ! %.Denotando y notando que , tenemos. B ß ] . C ß ^ œ > > − HÐ\ß ] Ñ HÐ] ß ^Ñ! !

que : y, , es posible encontrar tal quea= − HÐ\ß^Ñß a ! > − HÐ\ß ] Ñ HÐ] ß ^Ñ%

= > %. Se sigue entonces la afirmación.Finalmente,3 3Ð\ß ] Ñ Ð] ß ^Ñ œ Ö HÐ\ß ] Ñß HÐ] ß ^Ñ× Ö H ] ß^ ß H ^ß ] ×max sup sup max sup supœ Ö H \ß ] H ] ß^ ß H ] ß^ H ] ß\ ß H \ß ] H ^ß ] ßmax sup sup sup sup sup sup supH ] ß\ H ^ß ] × Ö H \ß ] H ] ß^ ß H ] ß\ H ^ß ] × œsup max sup sup sup supmax sup sup max sup supÖ H \ß ] H ] ß^ ß H ] ß\ H ^ß ] × Ö H \ß^ ß H ^ß ]

ÅAfirmación

× œ \ß ]3 ., \ß ] <Þ Supóngase 3

Sea , como , entonces yB − \ \ß ] < Ö. Bß ] à B − \× <! 3 supsup supÖ. Cß\ à C − ] × <Þ . B ß ] < ß Luego . Por la definición de tenemos que!

existe tal que , por lo tantoC − ] . B ß ] Ÿ . B ß C <! ! ! !

B − FÐC à <Ñ § FÐCà <Ñ œ YÐ] àVÑ \ § YÐ] à <ÑÞ ] § YÐ\à <ÑÞ! ! ∪C − ]

, luego Análogamente


- \ § YÐ] à <Ñ ] § YÐ\à <Ñ aB − \ß C − ] Por otro lado , si y , entonces , tenemos. Bß ] < . Cß\ < Ö. Bß ] à B − \× Ÿ < Ö. Cß\ à C − ] × y . Luego ysup supentonces 3 \ß] Ÿ <Þ

125.Sea la aplicación que asocia a cada parte de un espacio métrico la. \ § Q Qs

función real , definida por , (O sea, es una. À Q d . D œ . Dß\ ß D − Q .\ \ \

función distancia de un punto variable de al conjunto fijo Si nos restringimosQ \Ñ

a considerar apenas para los (ver ejercicio anterior) obtenemos una. \ − ÐQÑ\ ¹

aplicación , de en el conjunto de las funciones. À ÐQÑ ÐQàdÑ ÐQÑ ÐQàdÑs ¹ ¹ ¹ ¹

reales en el espacio métrico Tenemos entonces;QÞ

Para cualesquier , las funciones y están a una distancia+ \ß ] − ÐQÑ . .¹ \ ]

finita en ¹ÐQàdÑ

La aplicación es una inmersión isométrica de en el, . À \ . ÐQÑs\ ¹

espacio de funciones ¹ÐQàdÑ.SOLUCIÓN. + \ß ] − ÐQÑ Sean . Tenemos entonces que¹

. . \ ß . ] œ . . ß . œ Öl. Dß\ . Dß ] là D − Q× Ÿ \ß ] ∞ßs sŠ ‹ \ ] sup α

siendo .αÐ\ß ] Ñ œ ÞÖ. Bß C à B − \ß C − ] ×sup, 3 ) Tenemos que

.sup sup supÞÖl. Dß\ . Bß ] là D − Q× ÞÖl. Bß\ . Bß ] là B − \× œ Ö. Bß ] à B − \×Æ

\ § Q

y también,sup supÞÖl. Dß\ . Dß ] là D − Q× ÞÖ. Cß B ß B − \×

Entonces. . \ ß . ] œ ÞÖl. Dß\ . DßQ là D − Q× Ð\ß ] ÑÞs sŠ ‹ sup 3

33 ! D − Q Þ B − \ C − ]) Sean , y, . Por la definición de , existen , y, tales que% inf

. De se ve queŠ ‹. Dß\ Ÿ. BßD . Dß\ . Dß] Ÿ. CßD . Dß]

%%

l. Cß\ . Dß\ l Ÿ . Cß D

. Dß\ Ÿ . Cß D . Cß\ Ÿ . Cß D ÞH ] ß\ Ÿ . Cß D Ð\ß ] Ñ sup 3

. Dß ] Ð\ß ] Ñ% 3

y entonces. Dß\ . Dß ] Ð\ß ] Ñ M3 %

De , se ve quel. Bß ] . Dß ] l Ÿ . Bß D

. Dß ] Ÿ . Bß ] . Bß D Ÿ . Bß D ÞH \ß ] Ÿ . Bß D Ð\ß ] Ñ . Bß D Ð\sup 3 % 3

ß ] Ñ . Dß ] . Dß\ Ð\ß ] Ñ , luego , o sea que,3 %

. Dß\ . Dß ] Ð\ß ] Ñ MM3 %

De y , tenemos queM MMl. Dß\ . Dß ] l Ð\ß ] Ñ ß a !ß aD − Q3 % %

Luego


. . \ ß . ] œ ÞÖl. Dß\ . Dß ] là D − Q × Ÿ Ð\ß ] Ñ ß a !s sŠ ‹ sup 3 % % y por lo tanto

. . \ ß . ] Ÿ Ð\ß ] Ñs sŠ ‹ 3

Finalmente de ) y ) tenemos lo deseado.3 33

126. Sea la "esfera unitaria" dimensional, con la métricaW œ ÖB − d à lBl œ "× 8 8 8"

lB Clß d B œ B ß B ßá ß B − W ßinducida de . Para cada se tiene también8" " # 8" 8

B œ B ß B ßá ß B − W T W" # 8" 8 8 8. Sea el conjunto cociente de por la relaciónde equivalencia que identifica con los elementos de son los pares noB Bà T 8

ordenados . Indiquemos con : a la aplicación cociente:: œ ÖBß B×ß B − W W T8 8 81

1 1B œ ÖBß B× œ B T ß . :ß ; œ ÞÖlB Clà lB Cl×ß. En tomemos si8 min: œ ÖBß B× ; œ ÖCß C× T y . Esto hace que sea un espacio métrico, llamado el "el8

espacio proyectivo real -dimensional". Se tiene Sea 8 . B ß C Ÿ lB ClÞ \ § W1 1 8

un subconjunto tal que esto es, si Entonces$ È È\ Ÿ #ß Bß C − \ lB Cl Ÿ # Þ

1| es una inmersión isométrica de en \8\ T Þ

SOLUCIÓN. + . :ß ; œ ÞÖlB Clà lB Cl×min es una métrica en donde: œ B œ ÖBß B× ; œ C œ ÖCß C×1 1 y 3 . :ß : œ !ß) se tiene trivialmente33 . :ß ; œ . ;ß :) , evidentemente333 : Á ; B Á „ C . :ß ; !) Si , entonces y entonces .Si entonces y entonces , o sea .. :ß ; ! lB Clß lB Cl ! B Á „ C : Á ;

3@ ÖDß D× œ D œ <ß) Si tenemos1

. :ß ; . ;ß < œ ÞÖlB Clß lB Cl× ÞÖlC Dlà lC Dl×min min œ ÞÖlB Cl lC Dlß lB Cl lC Dlß lB Cl lC Dlß lB Cl lC Dl× min . ÞÖlB Dlß lB Dlß lB Dlß lB Dl× œ . :ß <min, . B ß C œ ÞÖlB Clà lB Cl× Ÿ lB Cl .1 1 min È- aBß C − \ lB Cl Ÿ # Si , tenemos , entonces

lB Cl lB Cl œ B Cß B C B Cß B C œ %# #

siempre y cuando . LuegolBl œ lCl œ "

lB Cl % lB Cl % # œ # Ê lB Cl # lB Cl# # Ède donde . B ß C œ ß ÖlB Clß lB Cl× œ lB Cl1 1 miny | es un inmersión isométrica.1 \

127.Sean espacios métricos. Una " " de en el puntoQß R 0 À Q Roscilación

+ − Q A 0à + œ Þ 0ÒF +à < Óß es el número de los diámetros de los conjuntos infimágenes por de las bolas abiertas de centro en . Probar0 +

+ 0 + A 0à + œ ! es continua en el punto si y sólo si


œ, 0 À d d ! 0 B œ=/8 ß B Á !

!ß B œ !Calcúle la oscilación de en el punto , donde si

si "B

SOLUCIÓN. + A 0à + œ ! ! Supóngase que y sea . Entonces por la definición de%

infÞß b< ! Ð0ÒFÐ+à <ÑÓÑ b< !tenemos que tal que , o sea tal que$ %

. 0 B ß 0 C ß aBß C − F+à <Ñ aB − FÐ+à <Ñ . 0 + à 0 B % %. En particular , tenemos , osea es continua en 0 +Þ

Supóngase ahora que es continua en 0 +Þ

3 ! Ÿ Ð0ÒFÐ+à <ÑÓÑß a< ! Es claro que $

33 ! 0 + b< ! B − FÐ+à < ÑSi , por ser continua en , tal que, implica que% ! !

0ÐBÑ − FÐ0Ð+Ñà Ñ aBß C − FÐ+à < Ñ . 0 B ß 0 C % %$ $!

# o sea, , se tiene . Entonces $ %ÐÒFÐ+à <!ÑÓÑß Ÿ Þ#

$%

Por , se tiene que esto según la definición de 3 ß 33 A 0à + œ !ß Þinf

œ, 0 À d d 0 B œ=/8 ß B Á !

!ß B œ ! Sea dada por si

si "B

Calculemos . Supóngase un número dado. Entonces existe talA 0à ! < ! 8 −

que . Si tomamos y , se tiene que y que" # # "8 %8" %8$ #8! ! ! < B œ C œ ! B <1 1 1

! C < B ß C − FÐ!à <Ñ 0 B œ "! ! ! !"

#8" 1 , y por lo tanto y también y0 C œ "Þ!

Conclusión: tal que .a< !ß bB ß C − FÐ!à <Ñ . 0 B ß 0 C œ #! ! ! !

Luego . Pero de donde .$ $Ð0 ÒFÐ!à <ÑÓÑ #ß a< ! l0 B l Ÿ " ÐÒFÐ!à <ÑÓÑ Ÿ #ß a< !

Recibiéndose que .A 0 À ! œ #

128.Establecer los siguientes homeomorfismos+ d Ö+× W ‚ d + − dEntre y , donde, 8" 8 8"

, L œ ÖB − d à B !× d à Entre el semiespacio superior abierto y el espacio total 8 8 8

entre y .L œ ÖB − d à B !× d ‚ Ò!ß∞Ñ8 8 8"

- T œ ÖB − d à B !ßá ß B !× d ‚ Ò!ß∞ÑÞEntre y 8 " 8 8"

SOLUCIÓN. + 1 À d Ö+× W ‚ d8" 8 .Consideremos los siguientes homeomorfismos y sus respectivos inversos:"Ñ d Ö!× d Ö+×

B È B + 8" 8"g

d Ö+× d Ö!×B B +

8" 8"g "

È#Ñ W ‚ Ð!ß∞Ñ d Ö!×

Bß > > B 8 8":

È

d Ö!× W ‚ Ð!ß∞ÑB ß lBl

8" 8

BlBlŠ ‹

:"

È

$Ñ W ‚ d W ‚ Ð!ß∞ÑBß > Bß /

8 8

>

<

È


W ‚ Ð!ß∞Ñ W ‚ dBß > Bß >

8 8

È

<"

lgTenemos entonces que dada por2 À W ‚ d d Ö+×8 8"

2 Bß > œ ‰ ‰ Bß > œ ‰ Bß / œ / B œ / B +g : < g : g> > >

es un homeomorfismo cuyo inverso es es dado por2 À d Ö+× W ‚ d" 8" 8

2 B œ ‰ ‰ B œ ‰ B + œ ß lB +l œ ß lB +l" " " " " " " B+ B+lB+l lB+lŠ ‹ Š ‹< : g < : < lg

, 3Ñ 2 À L d 2 B ßá ß B ß B œ B ßá ß B ß B definida por cuyo inverso es" 8" 8 " 8" 8lg2 À d L 2 B ßá ß B œ B ßáB ß /" 8 " B

" 8 " 8" es dada por 8

33Ñ 2 À L d ‚ Ò!ß∞Ñ En forma análoga es trivalmente un homeomorfismo.8"

- T œ ÖB − d à B !ßâß B !× d ‚ Ò!ß∞Ñ y 8 8"" 8

Sea y usando notación evidente, probemos inicialmente que .‘ ‘œ Ò!ß∞Ñ d µ d ‚#

Para eso escribimos en coordenas polares , donde y ‘ 3 ) 3 )#

#ß ! Ÿ ∞ ! Ÿ Ÿ à1

igualmente, escribimos en coordenadas donde y d ‚ ß ß ! Ÿ ∞ !‘ 3 ) 3" " "

Ÿ Ÿ) 1" .La aplicación dada por es continua biunívoca y0 À d ‚ 0 ß œ ß #‘ ‘ 3 ) 3 )

#

sobre, cuya inversa es dada por es continua y0 À d ‚ 0 ß œ ß" "#" " " #‘ ‘ 3 ) 3ˆ ‰)"

entonces es un homeomorfismo y por consiguiente .0 µ d ‚‘ ‘#

Suponga ahora que ya tenemos demostrado que y probemos que‘ ‘5 5"µ d ‚

‘ ‘5" 5µ d ‚ . En efecto, tenemos

‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘5" 5 5" 5" 5 " 5œ ‚ µ d ‚ ‚ µ d ‚ Ð ‚ Ñ µ d ‚ Ðd ‚ Ñ µ d ‚

Å Å" +inducción parte

ˆ ‰ - .

Luego .T œ µ d ‚ œ d ‚ Ò!ß∞Ñ‘ ‘8 8" 8"

129.En cada uno de los casos de abajo, determine si es o no un subconjuntoE

abierto del espacio métrico :Q

+ Q œ E œ Ö ×Þ conjunto de los números reales ; números racionales, Q œ Ð\àdÑàµ

E œ Ö 0 À \ d 0 + ! + − Q ×Þ+ funciones acotadas tales que para fijo- Q œ Ö ×ß 0 − ÐdàdÑ E œ ÖB − dà 0ÐBÑ !×Þnúmeros reales y ¹ 4

. Q œ d E œ ÖB − d à B !×Þ8 8 "; entero / Q œ d#;

puntos del plano que no están en el círculo ni en el eje E œ Ö B C œ " B×# #

0 Q œ Ö ×à E œ ÖB − Qà lB #l œ $×Þnúmeros enteros 1 Q œ dà E œ ÖB − Qà B $×Þ

2 Q œ ÐdàdÑà E œ Ö0 − QÎ0 ×Þµ es discontinua en todos los puntos de la recta'3 Q œ ÐÒ+Þ,Óà dÑà E œ Ö 0 − Qà 0 B .B !×Þ¶! +,

4 Q œ d à E œ Ö !×& puntos que tienen exactamente 3 coordenadas .SOLUCIÓN. + Q œ d à E œ


E a< − ß a ! F <à œ < ß < no es abierto pues , la bola contiene % % % %

irracionales., Q œ Ð\àdÑà µ

E œ Ö 0 À \ d 0 + ! + − Q ×+ funciones acotadas tales que para fijo Dado , tomemos tal que 0 − E 1 − Q 1 − FÐ0à 0Ð+ÑÑ œ Ö2 − Qà . 0à 2 0 + !×Þ+

Entonces , y por lo tanto. 0 B ß 1 B 0 + ß aB − \ 0 + 0 B 1 B 0 + ß aB − \ ß 0 B 0 + 1 B 0 B 0 + ß aB − \ o sea, .En particular, , y entonces! œ 0 + 0 + 1 + #0 + Ê 1 + !

es abierto.1 − E Ê FÐ0à 0Ð+ÑÑ § E Ê E+ + + - 0 À d d E E œ 0 !ß∞Si es continua, entonces es realmente abierto, pues .0 0

"

0 no es continua:Esto no es posible, pues si tomamos

, si , si , si

0 B œ! ∞ B !! " B ∞" ! Ÿ B Ÿ "

ÚÛÜ

entonces no es abierto en .E œ 0 !ß∞ œ Ò!ß "Ó d0"

. À d d B ß B ßá ß B œ B Se define la función , por y se nota que es1 1 1" " " # 8 " "8

continua y que , donde es cerrado en . luego es cerrado en yE œ d E d1 " 8

como se sigue que no es abierto.E Á d ß E8

/ 0 À d d 0 Bß C œ = C Sea la función dada por la cual es continua y entonces# # #

0 Ö"× œ W œ Ö Bß C ÎB C œ "× d" " # # # es cerrado en .Sea dada por ; es continua y entonces1 À d d 1 B œ ! 1

K 1 œ 1 œ B d ‚ d J œ W ∪ K 1gráfica de eje de las es cerrado en . Luego es"

cerrado en y entonces es abierto.d E œ d J# #

0 E œ Ö "ß &×O sea ; es abierto en pues es un conjunto discreto.™ ™

1 E Q a ! $ ß $ œ F $à no es abierto en pues , la bola abierta no% % % %

está contenida en .E ÚÝÝÛÝÝÜ2 0 À d d 0 B œ

/ B Ÿ !" B ! / B ! " B

Sea dada por

, si es racional , si es racional , si es irracional, si es irracional

B

B

!

Tenemos que pues y es discontinua en todo punto0 − FÐdàdÑ l0 B l Ÿ "ß aB 0

de .dDado sea en y tomemos tal que % % !ß FÐ0à Ñ Q > − d / !

>#

! %

Š ‹es posible pues ./ Ä !B Ä ∞B

Sea dada por . si si 1 À d d 1 B œ

0 B ß B B! ß B Bœ !

!

Tenemos entonces que , pero es continua en todo punto esto1 − FÐ0à Ñ 1 B B ß% !

es Como es arbitrario, concluimos que no es abierto.1 Â EÞ ! E% '3 À Q d 0 œ 0 B .B Ð La aplicación dada por es continua ver resultados: : +B

básicos en análisis en y entonces es abierto en pues d Ñ E œ !ß∞ Q !ß∞8 ":

es abierto en .d


ˆ ‰4 C œ "ß "ß "ß !ß ! − E ! B œ "ß "ß "ß ß ! Â E Sea . Para cualquier , tenemos y sin% %#

embargo . Luego . Concluimos que no es abierto en . Bß C œ B − FÐCà Ñ E QÞ%# %

130. Sea . La intersección de con cualquier rectaE œ Ö Bß C − d à B Á C ” C œ !× E#

horizontal o vertical es abierto en esa recta, pero no es un subconjunto abiertoE

del plano.SOLUCIÓN. + W C œ - W œ Ö Bß - − d à B − d× Sea la recta constante, o sea, ;#

entoncesW ∩ E œ Ö Bß - − d à B -× ∪ Ö Bß - − d à B -×# #

Se define por . Es claro que es continua y entonces1 1 1À W d ÐBß -Ñ œ B

1 1" "∞ß - ß -ß∞ W son abiertos en . Pero1 1" # " #∞ß - œ Ö Bß - − d à B -× -ß∞ œ Ö Bß - − d à B -×y .

Luego es abierto en .W ∩ E œ ∞ß - ∪ -ß∞ W1 1" "

, E d a ! FÐÐ!ß !Ñà Ñ no es abierto en pues , la bola abierta contiene puntos de# % %

la forma que no estan en ˆ ‰" " "8 8 8ß ß ß EÞ%

131.Todo abierto no vacío contiene por lo menos un puntoE § d8

B œ B ß B ßá ß B B ß B ßá ß B" # 8 " # 8cuyas coordenadas son racionales. Concluír que si ¶es una colección de abiertos dos a dos disyuntos en entonces esd ß8 ¶

enumerable. Como consecuencia, mostrar que si es un intervalo y M § d 0 À M d

es una función monótona, entonces el conjunto de los en los cuales esB − M 0

discontinua es enumerable.SOLUCIÓN. + E § d + œ + ß + ßá ß + − EÞ Sea abierto no vacío y sea Entonces8

" # 8

b ! FÐ+à Ñ § E + − d ! < −% % % tal que . Pero dado y , existen siempre tales que3 3

< − Ð+ ß + Ñß a3 œ "ßá ß 8Þ < œ < ßá Þß < − ß3 3 " 88 88

3

% % Tomando tenemos que

. +à < œ + < Ÿ l+ < l Ë3œ" 3œ"

8 8

3 3 3 3# %

y entonces < − FÐ+à Ñ § EÞ%

, œ ÖE × E § d E ∩ E œ Á Sea tal que es abierto y ø, si . Para este¶ . -- - - - .−P8

ejercicio podemos suponer los ø, pues si algún ø y lo restante esE Á E œ- -

enumerable, entonces el total continuará enumerable.Para cada , fijamos por elección dado por la parte - − P < − E ß < − + Þ- - -

8

Tomemos una aplicación dada por y obtenemos que es0 0 - 0À P Ð Ñ œ <8-

biunívoca pues si , esto es, si ø , tenemos que .- . 0 - 0 .Á E ∩E œ Ð Ñ œ < Á < œ Ð Ñ- . - .

Luego es enumerable y por lo tanto también.P ¶- M § d 0 À M d Sea un intervalo y monótana. Podemos sin perder generalidad

suponer que es abierto. Sean y y suponga paraM 0 B œ 0 > 0 B œ 0 >

>ÄB >ÄB>B >B

lim lim

fijar las ideas que es monótonamente creciente en 0 MÞ


Entonces y si entonces .0 B Ÿ 0 B Ÿ 0 B ß aB − Mß + B C 0 B Ÿ 0 C

Además, es continua en (Para estas propiedades ver0 B Í 0 B œ 0 B œ 0 B

Walter Rudin, Principles of Mathematical Analisis- pg. 82/83).Sean puntos de discontinuidad de entoncesB B 0àα "

0 B 0 B Ÿ 0 B 0 B œ Ö 0 B ß 0 B à Bˆ ‰α α "

3 y entonces la colección es¶

punto de discontinuidad de es una colección de intervalos abiertos dos a dos0×

disyuntos en y por la parte , es enumerable. Luego también lo son losd , ¶puntos de discontinuidad de .0

132.Sea e indiquemos con el espacio vectorial de las funcionesM œ Ò+ß ,Ó ÐMÑ¶"

continuas acotadas el cual posee derivadas continuas en todos los punto0 À M d

B − M l0 l œ ÞÖl0 B l l0 B là B − M× ÐMÑ. Muestre que es una norma en y que la‡ w "sup ¶

aplicación lineal definida por derivada de esH À ÐMÑ ÐÒ+ß ,Óà dÑß H 0 œ 0 œ 0ß¶ ¶" w!

continua. Dado , el conjunto es abierto ¿EsB − M E œ Ö0 − ÐMÑ À 0 ÐB Ñ !× Þ! !" w¶

continua la función , definida por ? . ¿Serían continua: ¶ :À ÐMÑ d 0 œ 0 B .B H" w+,'

y abierto aún si tomásemos en la norma ?E ÐMÑ l0 l œ ÞÖl0 B là B − M×¶" supSOLUCIÓN. Sea y es continua y esM œ Ò+ß ,Ó § d ÐMÑ œ Ö0 À M dà 0 0 À M d¶" w

continua | es norma,× + 0l œ ÞÖl0 > l l0 > là > − M×‡ wsup3 l!l œ ! l0 l ! Í 0 œ !ßÎ) y son obvias.‡ ‡

33 − d 0l œ l ll0 l) Si , entonces | , es fácil- - -‡ ‡

333 l0 1l Ÿ l0 l l1l) ‡ ‡ ‡

Sean . Sabemos que y entonces , tenemos0ß 1 − ÐMÑ 0 1 > œ 0 > 1 > a> − M¶" w ww

l0 l l1l l0 > l l0 > l l1 > l l1 > l l0 > 1 > l l0 > 1 > l œ‡ ‡ w w w w

œ l 0 1 > l l 0 1 > lw

Luego l0 l l1l ÞÖl 0 1 > l l 0 1 > là > − M× œ l0 1l‡ ‡ ‡wsup, H À ÐMÑ ÐÒ+ß ,Óà dÑß H 0 œ 0 Þ ¶ ¶" w

!

lH 0 H 1 l œ l0 1 l œ ÞÖl 0 1 > là > − M× Ÿ ÞÖl 0 1 > l l 0 1 > lß > − M×w w w wsup sup .œ l0 1l‡

Luego es una contracción débil y por lo tanto continua.H- B − Mß E œ Ö0 − ÐMÑà 0 B !×! !

" w¶ .Sea y sea entonces y tomemosF œ Ö1 − ÐMÑà 1 B !× 0 − Fà 0 B !¶! ! !

! 0 B F 0à 2 − ÐMÑ 2 − FÐ0à Ñ . 0à 2 % % ¶ % %! ! en la bola . Si y si , tenemos que ;en particular, o sea , y entonces. 0 B ß 2 B ß l2 B 0 B l ! ! ! !% %

2 B 0 B ß 2 − F F ÐMÑÞ! ! !% ¶o sea, y es abierto en Ahora es continua y por lo tanto es abierto enß H À ÐMÑ ÐMÑ E œ H F ß E¶ ¶" "

!

¶"ÐMÑÞ ' '. À ÐMÑ dß 0 œ 0 > .> À ÐMÑ d 1 œ 1 > .>: ¶ : α ¶ α" w+ +, ,

!. Sea definida por y tomemos la compuesta asíα ¶‰ H À M dà"

.α α :‰ H > œ 0 œ 0 > .> œ >'w w+,

Luego y como es continua, basta mostrar que lo es.: α αœ ‰ H H


Sean tenemos1ß 2 − ÐMÑ¶!

l 1 2 l œ 1 > .> 2 > .> œ 1 > 2 > .> Ÿ , + † Þl1 > 2 > lα α ¹ ¹ ¹ ¹' ' '+ + +, , , sup

œ , + . 1ß 2 Þ

y por consiguiente es Lipschitziana, luego es continua.α/ ÐMÑ M œ Ò!ß "Ó ! œ 0 − ÐMÑ ! Sea con la norma del supremo, . Sea y sea .¶ ¶ $" "

Entonces existe tal que y tomemos la función Tenemos que8 − R 0 B œ Þ" B8 88$

8

. 0 ß 0 œ . H 0 ßH 0 œ . 0 ß 0 œ "Þ H8 8"8

w w8$ y sin embargo se tiene Luego no es

continua en 0 œ ! ÞSea ahora donde y sea . Entonces existe 0 B œ Bß 0 − ÐMÑ M œ Ò!ß # Ó ! 8 −¶ 1 % "

tal que y sea . Tómese ahora la función"#8" ! B œ − M% 1

0 B œ B =/8 #8 " B 0 − ÐMÑ8 8"

#8""; ¶

y y por consiguiente .. 0 ß 0 œ Þ =/8 #8 " B œ 0 − FÐ0à Ñ¹ ¹8 8" "

#8" #8"sup % %

Tenemos que mientras que Por0 B œ 0 œ " ! 0 B œ 0 œ " " œ !Þw w w w! !8 81 1

consiguiente y no es abierto.0 Â E E8

133.Sean un espacio topológico y una colección de homeomorfismos de \ K \

que forman un grupo con relación a la composición (esto es, si entonces1ß 2 − K

1 ‰ 2 − K 1 − K 1 − KÑ B − \ y si entonces . La " " de un punto relativamente" órbita

al grupo es el conjunto Defina en una relación deK K B œ Ö1 B à 1 − K× § \Þ \

equivalencia cuyas clases de equivalencia son las orbitas de los puntos de según\

K \ÎK. Indiquemos con el espacio cociente. Muestre que la aplicación cociente: À \ \ÎK K es abierta. Supónga que es un grupo " ",propiamente discontinuo

esto es, para todo punto existe un abierto conteniendo a , conB − \ Y B

Y ∩ 1ÐYÑ œ 1 − K 1 Á 1 Y 2 Yø para todo , identidad. Esto implica que y sondisyuntos siempre que . En estas condiciones la aplicación cociente1 Á 2ß 1ß 2 − K

: À \ \ÎK X ß T es un homeomorfismo local. Los toros el espacio proyectivo y8 8

el cilindro son casos particulares de esta situación.W ‚ d"

SOLUCIÓN. + BIC Í b1ß 2 − K Es claro que la relación tales que ,1 B œ 2 B Í K B œ K C

es una relación de equivalencia cuyas clases son las orbitas de los puntos de .\Sea el conjunto cociente y sea la aplicación cociente.\ÎK À \ \ÎK:

, :: es abiertaSea un abierto en ; basta probar que el saturado es abierto.E \ E: :"

En efecto,B − ÐEÑ Í B − E Í B œ + ß + − E Í B œ 1 + ß 1 − K: : : : : :"

Í B − 1ÐEÑ Í B − 1ÐEÑ∪1 − K

Luego que es abierto por ser reunión de abiertos.: :" E œ 1ÐEÑ∪1 − K


- K B − \ Y Suponga propiamente discontinuo y sea y abierto tal queY ∩ 1ÐYÑ œ a1 − K 1 Á 3.ø , .

Supóngase , con . Tenemos entonces que1ß 2 − K 1 Á 2 1 Á 2" "

ø pues 2 2 Y ∩ 1 Y œ Y ∩ 2 ‰ 1 Y œ ß 2 ‰ 1 Á 3.Þ" " "

Como es un homeomorfismo, tenemos que ø2 2 Y ∩ 1 Y œ Þ"

. À \ \ÎK es un homeomorfismo local.:

Sea y sea de manera que es el abierto tal queB − \ Y Y BB − Y Y ∩ 1ÐYÑ œ a1 − K 1 Á 3. y ø, ,

Como es una aplicación abierta, tenemos que es abierto y cualquiera: : Y œ Zque sea abierto , tenemos que es abierto en y por consiguiente esE § Y E \ E:abierto y entonces | es una aplicación abierta.: :Y À Y Y œ ZEs claro que | es sobre; basta apenas mostrar que | es uno a uno:: :Y Y

Sean , y supóngase que . Entonces talB ß B − Y B Á B ÐB Ñ œ ÐB Ñ b1 − Kß 1 Á 3." # " # " #: :

que , y ø contradicción.1 B œ B B − Y B œ 1 B − 1ÐYÑ Ê Y ∩ 1ÐYÑ Á po" # # # "

/ 3 K œ Ö1 À d d ß 1 B œ B 5 5 − × K ) Sea donde verifiquemos que es un5 58 8 8™

grupo propiamente discontinuo.Nótese que la relación de equivalencia determinada por coincide con algo que yaKconocemos esto es Luego tenemos que lo cualß ß BKC Í B C − Þ d ÎK œ d Î™ ™8 8 8 8

es homeomorfo al toro , el cual es un resultado básico ¿cuál?X8

33 K œ ÖMßE× M E) Sea , donde y son la identidad y la aplicación antípodarestringidas a . Se verifica que es un grupo propiamente discontinuo y noteW K8

que la relación de equivalencia determinada por en coincide con la dada en elK W8

ejercicio 126, esto es Luego BKC Í B œ „ CÞ W ÎK œ T Þ8 8

333 K œ Ö1 À d d ß 1 Bß C œ B 5ß C ß 5 − × K) Sea donde se verifica que es un5 5# # ™

grupo propiamente discontinuo y que . Luego laBß C K B ß C Í C œ C • B B −w w w w ™relación de equivalencia determinada por en es la misma dada por unK d#

ejercicio que ya hicimos ¿cuál?. Luego .d ÎK œ d Î µ W ‚ d# # "™

134.Sean aplicaciones continuas del espacio topológico en el espacio0ß 1 À \ ] \

de Hausdorff . El conjunto de los puntos tales que es cerrado] B − \ 0 B œ 1 B

en . ¿Es esencial que sea de Hausdorff?\ ]

SOLUCIÓN. + J œ ÖB − \ à 0 B œ 1 C × E œ \ JÞ + − E Sea y Si , entoncesw w

0 + Á 1 + ] Y Z ] en de Hausdorff . Luego existen abiertos y en tales que0 + − Y 1 + − Z Y ∩ Z œ 0 1 EßF \, y ø. Por ser y continuas existen abiertos en ,tales que y . Sea abierto en ; tenemos que y0 E § Y 1 F § Z [ œ E ∩F \ + − [aA − [ , se sigue que ,Š ‹0 A −0Ð[Ñ§0ÐEÑ§Y

1ÐAÑ−1Ð[Ñ§1ÐFÑ§Z

luego y entonces y por consiguiente es abierto y es0 A Á 1ÐAÑ + − [ § E E Jw w

cerrado., ] Es esencial que sea espacio de Hausdorff, pues


" \ œ Ö+ß ,× œ Ö ß\× \ \ß‰ ejemplo: Sea y ø la topología grosera en , luego no es7 7

Hausdorff. Sean , nótese que son continuas y que0 À \ \ 1 À \ \ 0ß 1+ + + +, , ,È ÈÈ + È

J œ ÖB − Eà 0 B œ 1 B × œ Ö+× \ no es cerrado en .# W œ E ∩ F ∩ G E œ Ö Bß ! à B Ÿ "×ßF œ Ö Bß ! à B "×‰ ejemplo: Sea donde G œ Ö !ß C à C !× 0 À W d, sea dada por

y para para para 0 Bß ! œ 0 !ß C œ C !ß C − GÞ

" B Bß ! − E" B Bß ! − Fœ

Sean y las topologías inducidas en y por las restricciones y7 7" # E∪GE ∪ G F ∪ G 0l

0 l WF∪G " #. Sea la topología sobre generada por y , se muestra que esta7 7 7

topología no es Hausdorff. Definamos ahora dadas por0ß 1 À d W

0 B œ 1 B œ ß" Bß ! ß B Ÿ ! B "ß ! ß B Ÿ !!ß B ß B ! !ß B ß B !œ œ,

Se verifica que y son continuas y que no es0 1 J œ ÖB − dà 0 B œ 1 B × œ !ß∞

cerrado en .d

135.La adherencia de un conjunto en un espacio topológico tiene las siguientes\

propiedades: ø ø;" œ

;# W § W

;$ W œ W

.% W ∪ X œ W ∪ X

Estas propiedades implican sin retornar a la definición que si entoncesW § X

W § X W ∩ X § W ∩ X \ y que . Recíprocamente, sea un conjunto. Supongamosdefinida entre las partes de una aplicación gozando de las cuatro\ W W

propiedades de arriba. Defina un subconjunto como abierto si E § \ \ E

œ \EÞ \Muestre que si obtiene así una topología en ; relativamente a la cual laadherencia de un subconjunto coincide con el subconjunto dadoWß W W

inicialmenteÞSOLUCIÓN. + % À B − W ∪ X Í B W ∪ X Í B Demostremos es punto adherente de espunto adherente de o de . Luego W X Í B − W ” B − X Í B − W ∪ X W ∪ X œ W ∪ X, Sin retornar a la definición3 W § X W ∪ X œ X X œ W ∪ X Ê W § X

% Si , entonces , luego

33 Ê W ∩ X § W ∩ XW∩X§WÊW∩X§W3

W∩X§XÊW∩X§X3

.

- \ À \ \Sea un conjunto y tal que goza de las cuatro propiedades: :P P " Î % 3 33 y por consiguiente de y también.

Defínase abierto E Í \E œ \ E:


MÑ \ \ œ Ð Ñ œ œ \ \ß \" ø ø luego es abierto: :

MMÑ Ð\ Ñ œ Ð\Ñ − Ð\Ñ Ð\Ñ § \ # \ § Ð\Ñ: : : :ø por consiguiente . Pero por , .P Luego y entonces ø es abierto\ œ Ð\Ñ:

MMMÑ ÖE × Ð\ E Ñ œ \ E a Sea una familia de abiertos, esto es, , . tenemos- : -- - -−P

que , entonces: : : -Ð\ E Ñ œ Ò Ð\ E ÑÓ § Ð\ E Ñß a3

∪ ∩- -

- - -

:Ð\ E Ñ § Ð\ E Ñ œ \ E œ \ E∪ ∩ ∩ ∪- - - -

- - - -

y también , por . Luego y\ E § Ð\ E Ñ # Ð\ E Ñ œ \ E∪ ∪ ∪ ∪- - - -

- - - -: :

por consiguiente es abierto.∪-

E-

MZ Ñ E ß E \ Sean abiertos en ; tenemos que" #

: : : :Ð\ E ∩ E Ñ œ ÐÐ\ E Ñ ∪ Ð\ E ÑÑ œ Ð\ E Ñ ∪ Ð\ E Ñ œ \ E ∪ \ E" # " # " # " #%

por consiguiente es abierto.œ \E ∩E E ∩ E" # " #

Por , tenemos una topología en .MÑß MMÑ MMMÑß MZ Ñß \ Þ

. W W Denotemos por la adherencia de un conjunto , en el sentido usual, ymostremos que ,: W œ W

: : : : : :\ \ W œ W œ W œ \ \ W ß$

luego es abierto y por lo tanto es cerrado y como ,\ W W W ¨ W#

: : :tenemos que por la definición de . Pero es cerrado, de donde W § W W W \ W: ˆ ‰es abierto y entonces : :ˆ ‰ ˆ ‰W œ \ \ W œ \ \ W œ WÞ

Por , tenemos con lo cual termina la demostración.ˆ ‰# W § W Ê W § W œ Wß: :

136. Sea un homeomorfismo local. La imagen inversa de cada0 À \ ] 0 C"

punto , es un conjunto discreto de Dadas aplicaciones continuas C − ] \Þ 1ß 2 À ^

\ 0 ‰ 1 œ 0 ‰ 2 ÖD − ^à 1ÐDÑ œ 2ÐDÑ× tales que , entonces es un subconjunto abierto de^Þ 1 À ^ ]Un l de una aplicación continua es una aplicaciónevantamiento

continua tal que . Concluya que si es conexo, y de1 À ^ \ 0 ‰ 1 œ 1 ^ \µ µ

Hausdorff, dos levantamientos de los cuales coinciden en un punto 1 À ^ ] D − ^!

coinciden en todos los puntos de ^Þ

SOLUCIÓN. + B − 0 ÐCÑ Y ® B 0 Y œ Z Sea . Entonces existe un abierto tal que es"

abierto en y es un homeomorfismo. Entonces , tenemos] 0l À Y Z aB Á B − YY "

0 B Á 0ÐBÑ œ C B − 0 ÐCÑ 0 ÐCÑ ∩ Y œ ÖB×" "" " así que . Luego y por consiguiente/

0 ÐCÑ" es discreto., 1ß 2 À ^ \ E œ ÖD − ^à 1ÐDÑ œ 2ÐDÑ× D − E Sean continuas; sea y tomemos .

Tenemos que . Como es un homeomorfismo local , existe un1 D œ 2 D œ B − \ 0abierto tal que es un homeomorfismo.Y ® B 0l À Y Z œ 0 YY

Sean y abiertos en y sea es abierto1 Y œ [ 2 Y œ [ ^ [ œ [ ∩[ à [" "" # " #

en y si , tenemos que , y por hipótesis, .^ A − [ 1 A 2 A − Y 0 ‰ 1ÐAÑ œ 0 ‰ 2ÐAÑ


Pero es un homeomorfismo. De donde se concluye que , o sea, que0l 1 A œ 2 AY

D − [ § E E y por consiguiente es abierto.- ^ \ 1 ß 1 1µ µ Sean conexo, de Hausdorff y dos levantamientos de ." #

Sea . Por ser levantamientos de tenemos queE œ ÖD − ^à 1 D œ 1 D × 1ßµ µ" #

0 ‰ 1 œ 1 œ 0 ‰ 1 , E ^µ µ" # y entonces, por la parte , tenemos que es abierto en .

Por ser de Hausdorff y por un ejercicio que ya esta hecho ¿cuál?, tenemos que\E ^ 1 D œ 1 D E Áµ µ es cerrado en y como , tenemos que ø. Finalmente por ser" ! # !

^ E œ ^ conexo, tenemos que .

137.Para que sea un espacio de Hausdorff es necesario y suficiente que la\

diagonal sea un conjunto cerrado en . Otra? œ Ö Bß C − \ ‚\à B œ C× \ ‚\

condición equivalente es que cada punto sea la intersección de todas lasB − \

vecindades cerradas de BÞSOLUCIÓN. + \ Si es Hausdorff, basta notar que es el gráfico de la aplicación?continua , ; luego es cerrado en .+ + ?À \ \ B œ B \ ‚\Supóngase ahora que es cerrado y sean , . Entonces y? ?Bß C − \ B Á C Bß C Â

como es abierto, existe un abierto tal que ø Por definición\ E ® Bß C E ∩ œ Þ? ?

de abierto de la topología producto, para el punto , existen abiertos Bß C − E Y ® Ben y tales que Como , tenemos\ Z ® C Bß C − Y ‚ Z § E § \ Þ Y ‚ Z § \ ? ?

que En otras palabras , ø. Luego es Hausdorff.a ?ß @ − Y ‚ Z Ê ? Á @Þ Y ∩ Z œ \

, \ B − \ B − J Supónga inicialmente que es de Hausdorff. Si , entonces ,∩ B

donde es una vecindad cerrada de , tomemos y por ser de Hausdorff,J B C Á B \B

existen abiertos en tales que y ø. LuegoEßF \ B − Eß C − F E ∩ F œB − \ F œ Jß B J ¨ E ® B el cual es una vecindad cerrada de pues .Además , o sea, ; luego . Supóngase ahora que ,C Â J C Â J ÖB× œ J aB − \∩ ∩B B

tenemos que , entonces dados en tenemos que ,ÖB× œ J C Á B \ C Â J∩ ∩B B

luego existe una vecindad cerrada de tal que , o sea pertenece alJ B C Â J CB B

abierto Además, por ser una vecindad de , tenemos que existe unE œ \ J Þ J BB B

abierto tal que . Entonces , luego ø y esF B − F § J E ∩ F œ \B Š ‹C−Eœ\JB−F§J

B

B

de Hausdorff.

138.Sea el conjunto de las matrices cuadradas reales con filas y Q 8 8 8

columnas. Establezca una correspondencia biunívoca entre y el espacioQ 8

euclidiano . Por medio de esa correspondencia, transforme a en espaciod Q 88#

métrico. Las aplicaciones y , definidas por./> À Q 8 d 7 À Q 8 ‚Q 8 Q 8

./>Þ \ œ \ 7 \ß] œ \ † ] œdeterminante de la matriz y producto matricial de\ ] K 8 8 ‚ 8 por , son continuas. El conjunto de las matrices las cuales poseeninversa es abierto en . La aplicación definida por ,Q 8 < À K 8 K 8 < \ œ \"

es continua.


El conjunto de las matrices ortogonales (esto es, matrices cuya inversa enS 8

igual a la transpuesta) es acotado y cerrado en . El conjunto de lasQ 8 K 8

matrices cuyo determinante es es abierto y cerrado en . ¿Será ! K 8 K 8

cerrado en ?.Q 8

SOLUCIÓN. Ô ×Õ Ø+ E œ 0 E œ + ßá ß + ßá ß + ßá ß ++ á +ã ä ã

+ á + Si basta hacer

"" 38

8" 88

"" 8" "8 88

para obtener una correspondencia uno a uno, .0 À Q 8 d8#

, . À d d . Bß C œ ÞÖlB C l 3 œ "ßá ß 8 × Sea la métrica definida por ; , donde" " 3 38 ## sup

B œ B ßá ß B ß C œ C ßá ß C − d" "8 88

# ##.

Entonces, si , definimos porE œ + ß F œ , − QÐ8Ñ . À Q 8 d34 348#

. EßF œ . 0 E ß 0 F œ l+ , l" 34 34max" Ÿ 3ß 4 Ÿ 8

- ./> À Q 8 d ./> E œ Ð Ñ+ â+ Sea dada por , donde5

5 5% 5 " " 8 8

E œ + − QÐ8Ñ 8 Ð Ñ34 , es una permutación de elementos y es el signo de la5 % 5

permutación.Luego es una función continua pues se expresa como suma y producto de./>funciones continuas.Sea dada por . Tenemos que es bilineal y7 À QÐ8Ñ ‚QÐ8Ñ QÐ8Ñ 7 EßF œ E † F 7

Q 8 d es un espacio vectorial de dimensión finita. En la parte de análisis en se8

mostró que es continua.7. \ − QÐ8Ñ ./> \ Á ! Note que posee inversa si y sólo si ; luegoK 8 œ ./> d Ö!× K 8 Q 8 ./>" , luego es abierto en pues es continua yd Ö!× d es abierto de . ˆ ‰/ < À K 8 K 8 < \ œ \ œ † +.4 \ +.4 \ œ +.4\ ß , dada por y " "

./> \ 34

donde y donde es la matriz que se obtiene de+.4\ œ " † ./> \ 4l3 \ 4l33434

\ 4 3Þ, eliminándose la fila y la columna Notemos que dada por es continua pues es una1 À Q 8 Q 8 " 1 \ œ \ 4l334 34

contracción débil;. 1 \ ß 1 ] œ . \ 4l3 ß ] 4l3 Ÿ . \ß ]34 34 .

También es continua la aplicación Luego dada./> À Q 8 " dÞ +.4 À Q 8 d34

por +.4 \ œ +.4\ œ ./> \ 4l3 œ ./> ‰ 1 \34 34 34

es continua, pues es compuesta de funciones continuas. Entonces la aplicación+.4 À Q 8 Q 8 dada por

+.4 \ œ+.4\ â +.4\

ã ä ã+.4\ â +.4\

Ô ×Õ Ø

"" 38

8" 88

es continua, pues todas sus coordenadas lo son.+.4\ 34


La función dada por es continua pues es la compuestaK 8 d Ö!× \ œ:

: "./> \

de la función con la función que son ambas continuas../> d Ö!× dB È "

B

Luego la función es continua por ser compuesta de las funciones< À K 8 K 8\ È \"

continuas:K 8 d Ö!× ‚ KÐ8Ñ KÐ8Ñ

\ "

./>\ß +.4\

"

./> \† +.4\ŒÈ È

0 Consideremos la composición

Q 8 Q 8 ‚Q 8 Q 8 d\ \ß\ \ † \

7

./> \\ˆ ‰ ˆ ‰È È È

-> > >

./>

./> ‰ 7 ‰ À Q 8 d- es continua pues cada uno de los factores es continua.Como , tenemos que que es cerrado\ − S 8 Í ./>\ œ „ " S 8 œ ./> Ö "ß "×"

en pues es cerrado en . (o aún, luegoQ 8 Ö "ß "× d \ − S 8 Í \ † \ œ Mß>

S 8 œ ./> ‰ 7 ‰ Ö"× Þ- "

Por otra parte, tenemos entonces E œ + − S 8 Ê EE œ "ß + œ "ß34> #

4œ"

8

34

a3 œ "ßá ß 8ß entoncesl+ l Ÿ "ß a3ß 4 œ "ßá ß 8 Ê lEl œ . Eß ! œ Þ Öl+ l× Ÿ "34 34 .sup

" Ÿ 34 Ÿ 8

Luego bola cerrada de centro en la matriz nula y radio , entoncesS 8 − HÐ!à "Ñ œ "

S 8 es acotado.1 K œ Ö\ − QÐ8Ñà ./>\ !× Q 8 K 8 œ ./> !ß∞ es abierto en pues y "

./> À Q 8 d es una función continua. De manera análoga, tenemos que K 8 œ Ö\ − QÐ8Ñà ./> \ !×

es abierto en . Luego y son abiertos en yQ 8 K Ð8 Ñ K Ð8 Ñ KÐ8Ñ

K 8 œ K 8 ∪ K 8

.3=C?8>+,

luego y son también cerrados en K 8 K 8 K 8 Þ

2 K 8 Q 8 Q 8 œ K 8 ∪K 8 ∪ K 8 no es cerrado en . Como , unión !

disyunta dondeK 8 œ Ö\ − QÐ8Ñà ./> \ œ !×! ,

basta mostrar queK 8 ∪K 8 œ Q 8 K 8!

no es abierto.

Dado , tome tal que y entonces y sin% % ! 8 − E œ − K Ð8Ñ

á !

ã ä ã

! á

"8 8

"8

"8

Ô ×Ö ÙÕ Ø

embargo , luego Luego la matriz no pertenece al interiorlE l œ E − F !à Þ !8 8"8 % %

de , luego este conjunto no es abierto.K 8 ∪K 8!


139.Para todo subconjunto no vacío en un espacio métrico y todo puntoW Q

+ − Q . +ß W œ . +ß W, se tiene que .ˆ ‰SOLUCIÓN. Sea y , entonces E œ Ö. +ß B à B − W× F œ Ö. +ß C à C − W× . +ß W œ ÞEßinf. +ß W œ ÞFÞ 7 œ . +ß W œ ÞF 7 œ ÞEˆ ‰ ˆ ‰inf inf infSea y probemos que :3 E § F ÞF Ÿ ÞE a= − E 7 Ÿ =) Como , entonces , o sea , tenemos .inf inf33 ! 7 œ ÞFß > œ . +ß C − F ÐC − WÑ) Sea dado . Como entonces existe tal que% inf7 Ÿ > 7 Þ C − W B − W . Bß C % %

# #Como , entonces existe tal que . Luego para= œ . +ß B − Eß 7 Ÿ = œ . +ß B Ÿ . +ß C . Cß B 7 œ 7 tenemos , o sea% %

# # %

existe tal que = − E 7 Ÿ = 7 Þ%

3 33 7 œ ÞE y implican que .inf

140. Sea el gráfico de una relación de equivalencia . SiK œ Ö Bß C − \ ‚\à BIC× I

\ÎI K \ ‚\ es un espacio de Hausdorff, entonces es un subconjunto cerrado de .Si es cerrado entonces todo punto en es cerrado pero no se puedeK § \ ‚\ \ÎI

garantizar que sea un espacio de Hausdorff, aún cuando lo sea. Si\ÎI \

K § \ ‚\ I \ÎIes cerrado y la relación es abierta entonces es un espacio deHausdorff.SOLUCIÓN. + B ß C − \ ‚\ KÞ B Á C \ÎI Sea Esto significa que y como es! ! ! !

de Hausdorff, tenemos que existen abiertos en tales que yYß Z \ÎI B − Y ß C − Z ! !

Y ∩ Z œ ø.Como es continua , tenemos que y son abiertos en ,: : :À \ \ÎI Y Z \" "

con y . Tomemos el abierto en .B − ÐYÑ C − ÐZ Ñ E œ ÐYÑ ‚ ÐZ Ñ \ ‚\! !" " " ": : : :

Si tenemos y y porBß C − Eß B œ ÐBÑ − Ð ÐY ÑÑ œ Y C œ ÐCÑ − Ð ÐZ ÑÑ œ Z : : : : : :" "

consiguiente ; luego y entonces y esB Á C Bß C Â K E § \ ‚\ K \ ‚\ K

abierto. , B − \ÎIEn lo que sigue identificaremos cada punto con su clase de

equivalencia y mostrar que es cerrado en , esto esB œ ÖD − \à DIB× § \ ÖB × \ÎI

equivalente a mostrar que es cerrado en Sea ; luego , o sea,B \Þ C Â B CIB Î

Bß C − \ ‚\ K Yß Z § \, que es abierto. Entonces existen abiertos tales queBß C − Y ‚ Z § \ ‚\ K a? − Y ß a@ − Z ?ß @ Â K. En otras palabras, , tenemos ,

esto es, . En particular, tenemos que o sea, . Luego ø?I@ a@ − Z @IBß @ Â B Z ∩ B œÎ Î

ß ß C − Z \ B \ B y . Luego es abierto en y por consiguiente es cerrado.Si es cerrado y es de Hausdorff, no implica que sea Hausdorff:K \ \ÎI

Sea un espacio de Hausdorff no normal; entonces existen en dos cerrados\ \disyuntos y tales que no existen abiertos disyuntos y con y .J K Y Z J § Y K § ZTome una relación de equivalencia la cual identifique los puntos de , a los puntosJde , y a los demás puntos con ellos mismos. Entonces las clases de equivalenciaKson , y tal que y . Muestre que el gráfico de estaJ K B œ ÖB× B Â J B Â K

relación es cerrado, que los puntos son cerrados, pero que no es Hausdorff.\ÎI


- K § \ ‚\ À \ \ÎI \ÎI Si es cerrado y es abierta, entonces es de:

Hausdorff.Sean en ; entonces y por ser cerrado, tenemos que existenB Á C \ÎI BIC K Î

abiertos tales que , o sea , y, , seYß Z § \ Bß C − Y ‚ Z § \ ‚\ K a? − Y a@ − Ztiene ?I@ÞÎ

Como es abierta, tenemos que es abierto y abierto y si existe: : :B − ÐYÑ C − ÐZ Ñ

A − ÐYÑ ∩ ÐZ Ñ ? − Y ß @ − Z : : , entonces , o sea, existe existe talŠ ‹Aœ?ß ?−Y

Aœ@ @−Z donde

, donde que , esto es, contradicción. Luego ø y es de? œ @ ?I@ß po ÐYÑ ∩ ÐZ Ñ œ \ÎI : :

Hausdorff.

141. Sea una sucesión en un espacio métrico . Dada una descomposiciónÖB × Q8 8−

R œ R ∪â∪R R ßá ßR" : " : donde son infinitos y disyuntos, si las subsucesionesÖB × ß ÖB × ßá ß ÖB × + − Q8 8−R 8 8−R 8 8−R :" #

convergen todas para el mismo límite entoncesÖB × +8 8− converge para . ¿Es éste resultado aún verdadero en el caso de unadescomposición "infinita" ?.R œ R ∪â∪R ∪â" :

SOLUCIÓN. + ! 3 œ "ßá ß :ß b8 − R ßDado , para cada tal que entonces% 3 38−R88Š ‹3

3

. B ß + 8 œ ÞÖ8 ßá ß 8 × ßˆ ‰8 ! " :a888−%. Tomemos . Entonces tenemos quemax !

. B ß + à B œ +Þ8 88−

% luego lim

, Ö: ß : ß : ßá× œ Ö#ß $ß &ß (ßá× : Sea una enumeración en orden crecienteEjemplo " # $

de los números primos y tomemos R œ Ö"× ∪ # œ Ö"× ∪ :" "

R œ $ R œ : R# " # "

ã ã

R œ : R5 5 5 ∪5

3 œ ".

Tenemos entonces que y que los son infinitos y disyuntos. œ R R∪∞

5 œ "5 3

Tomamos ahora definida por .B À d8ÈB 8 œ B Š ‹

8

B œ"ß 5−Ö: ß: ßá×B œ!ß 5ÂÖ: ß: ßá×5 " #

5 " #

si si

Entonces converge para , , pues cada sólo tiene un número primoÖB × ! aR R8 8−R 3 33

: Þ3Pero no converge para pues existen números primos arbitrariamenteÖB × !8 8−

grandes. Luego la respuesta a la pregunta no es verdad.

142.Sea una sucesión convergente en un espacio métrico . DadaÖB × Q8 8−

cualquier aplicación biunívoca la sucesión también converge en: À C œ B8 8:

Q C œ B y se tiene . ¿Qué otra hipótesis puede sustituir el hecho delim lim8Ä∞ 8Ä∞

8 8

que sea biunívoca?:


SOLUCIÓN. + B Ä + À ! b8 − − Supóngase y biunívoca. Dado , tal8 !: %

que implica que . Como es biunívoca, tenemos que8 8 . B ß + À! 8 % : : :" "

! !Ö"ßá ß 8 × b R − Ö"ßá ß 8 × § Ö"ß #ßá ßR×es finito y entonces tal que y por lo tanto, , tenemos que y entonces Luegoa8 R 8 8 . B ß + Þ: %ˆ ‰! 8:

lim8Ä∞

8B œ +Þ:

, Ö"ß #ßá ß 8 × § ß Bastaría que para cada conjunto finito tuviésemos que!

: "!Ö"ßá ß 8 × § posea un conjunto finito.

- : − À8È 8 :

Basta definir para un determinado , la aplicación biunívoca y :

entonces , tenemos que B Ä + ÖB œ B × Ä +Þ8 8:8:

143.Sea el conjunto de los números reales y el conjunto de los númerosd

racionales. El conjunto de las sucesiones convergentes de números reales escerrado en pero las sucesiones convergentes de números racionales noµ à d

forman un subconjunto cerrado de . En cualquier espacio métrico , sinµ à Q

embargo, la aplicación que asocia a cada sucesión convergente su límite, escontinua [cuando se considera el conjunto de las sucesiones convergentes en Qcomo subespacio de ].µ RàQ

SOLUCIÓN. + d Sea ; el conjunto de las sucesiones convergentes de números¶ reales el cual está contenido en ; . Sea una sucesión en ; µ ¶ Ð dÑ Ö0 × d8 8−

tal que existe y probemos que ; . Sea entonces lim8Ä∞

80 œ 0 − Ð ß dÑ 0 − d !µ ¶ %

dado arbitrariamente y como tenemos que tal que 0 Ä 0 b8 − . 0 ß 0 ß8 ! 8 $ %

a8 8 8 − ß 8 8! " " !. Fijamos y entonces . 0 ß 0 "8 $

%

Como para todo , tenemos en particular que es0 − Ð à dÑ 8 Ö0 5 ×8 8 5−¶ "

convergente, luego es una sucesión de Cauchy. Entonces tal que b5 − 5 ß 5 5! " # !implica que . l0 5 0 5 l #8 8 #" $" "

%

Tomando entonces , tenemos que5 ß 5 5" # !

l0 5 0 5 l Ÿ l0 5 0 5 l l0 5 0 5 l l0 5 0 5 l œ" # " 8 " 8 " 8 # 8 # # $ $ $" " " "

Æ"

Å#

% % % %

Luego es una sucesión de Cauchy en y entonces es convergente, estoÖ0 5 × d5−

es, .lim5Ä∞

0 5 œ 0 − Ð à dÑ¶

, Ð à dÑ § Ð à dÑ Sea y probemos que no es cerrado en . Para esto,¶ µ ¶ µ

tomemos y como es denso en , existe una sucesión tal queα − d d Ö0 8 ×8−0 8 Ä 0 8 − ß a8 − Ö0 ×α y . Tomemos ahora una sucesión , donde cada7 7−

0 − Ð à Ñ7 ¶ esta definida por: Ö0 8 × œ Ö0 " ß 0 " ßá ß 0 " ßá×" 8−

Ö0 8 × œ Ö0 " ß 0 # ßá ß 0 # ßá×# 8−


ã ã ã ã ã

Ö0 8 × œ Ö0 " ß 0 # ßá ß 0 7 " ß 0 7 ßá×7 8−

ã

Es claro que pues y también pues0 − Ð à Ñ 0 8 Ä 0 8 0 Ä 0 Â Ð à Ñ7 7 7¶ ¶

0 8 Ä Â Ð à Ñ8 α α ¶ y . Luego no es cerrado.- Ð àQÑ § Ð àQÑ À Ð àQÑ Q ÖB × œ Bß Sea y definamos por donde¶ µ : ¶ : 8 8−

B œ B aÖB × −lim 8 8 8−; es claro que esta bien definida pues tiene uno y sólo un: ¶

límite. Sea dado y y tomemos tal que% ¶ ¶ ! ÖB × − ÖC × −8 8− 8 8−

. ÖB × ß ÖC × Œ8 8− 8 8− $ % . Como .B ÄBßb8 − Î88 Ê. B ßB

C ÄCßb8 − Î88 Ê. C ßC 8 " " 8 $

8 # # 8 $

%

%

Tomando y fijando , tenemos que8 œ ÞÖ8 ß 8 × R − R 8! " # !max

.. Bß C Ÿ . B ß B . B ß C . C ß C œR R R R $ $ $% % % %

Luego, dado , tome para ver que es continua.% $ : ! œ %$

144.Sean un espacio topológico un espacio métrico y un subconjunto\ R E § \

tal que . Si una sucesión de aplicaciones continuas convergenteE œ \ 0 À \ R8

uniformemente en para una aplicación continua , entonces E 0 À \ R 0 Ä 08

uniformemente en \.SOLUCIÓN. Dado , tal que implica que% ! b8 − 8 8! !

, . 0 B ß 0 B aB − E "8 $%

Tomamos fijo, . Sea y probemos que 8 − 8 8 B − \ . 0 B ß 0 B Þ" " ! ! 8 ! ! %"

Como es continua, abierto tal que0 À \ bY ® B8 !"

B − Y Ê . 0 B ß 0 B #8 8 ! $" "

%

Como es continua, un abierto tal que0 À \ b Z ® B ! B − Z Ê . 0 B ß 0 B $! $

%

Tomando el abierto . Entonces , se cumplen[ œ Y ∩ Z ® B aB − [!

simultáneamente y . Pero , entonces ø; tenemos entonces # $ E œ \ E ∩[ Á +

− E ∩[ " ß # $ y para tal valen y , por lo tanto+. 0 B ß B Ÿ . 0 B ß 0 + . 0 + ß 0 + . 0 + ß 0 B œ8 ! ! 8 ! 8 8 ! $ $ $" " " "

% % % %.

145.Se dice que un subconjunto de un espacio topológico es "denso" en W \ \

cuando W œ \ÞUn subgrupo aditivo de los números reales es denso en , si yK d

sólo si es punto de acumulación de . Si el subgrupo no es denso en ,! K K § d d

existe un número real tal que esto es . En particular,+ ! K œ +ß K œ Ö8+à 8 − ×™ ™

los subgrupos aditivos cerrados de son y los de la forma .d Ö!×ß d +ß + !™

Concluir que si es un número irracional, los números de la forma ) )7 8ß

7ß 8 − d™ constituyen un subconjunto denso de .SOLUCIÓN. + K œ d ! 1 − KSuponga que y sea dado. Existe entonces tal que%

1 − Ð!ß Ñ ! K% . Luego es punto de acumulación de .


Sean ahora en y dados. Como es punto de acumulación de ,B ! d ! ! K%

tenemos que existe tal que y podemos suponer que1 − K 1 − Ð ß Ñ Ö!×% %

1 ! 1 !ß 1 ! 1 − K K 8 − (si y , pues es un grupo). Tómese tal que

8 " 1 Ÿ B Ÿ 8 " 1 Ð 8 81 1 Ÿ B Ÿ 81 1 ¿existe tal ?). Entonces tenemos que ycomo , de la última desigualdad se ve que y entonces1 81 B 81 % % % B 81 lB 81l 81 − B ß B 81 − K Ð% % % % %. Luego y entonces y pues8 − 1 − K K Ñ B ß B ∩ K Á ! % % %, y es grupo . Luego ø. Como es cualquiera,tenemos que . Si , se resuelve de manera análoga. Luego, ,B − K B − dß B ! aB − d

tenemos y entonces .B − K K œ d

, K œ Ö!× K œ † ! K Á Ö!× K d Si , entonces . Suponga y no denso en ; por la parte™

+ ß ! Kß b ! no es punto de acumulación de esto es, , tal que%

Ð ß Ñ Ö!× ∩ K œ% % ø.Sea . Entonces ø pues y como es acotadoE œ Ö1 − Kà 1 !× E Á K Á Ö!× E

inferiormente por , tenemos que y .% ! b+ − d + œ ÞE+ !

Œ inf

" + − K ÀPues en caso contrario, por la definición de ínfimo, existiría tal que1 − K+ 1 + 2 − K% y aún por la definición de ínfimo, existiría de manera que+ 2 1 + ! 1 2 1 2 − K 1ß 2 − K% %. Tenemos entonces que y pues .Luego contradictorio.b1 2 − Ð!ß Ñ ∩ Kß po%

, tenemos :# aB − Kß B ! B œ 8+

Supóngase que y , . Entonces existe tal queB − K B Á 7+ a7 − 8 − 8+ B 8 " + 8+ B 8+ + ! B 8+ +. Luego lo que implica que y comoBß + − K B 8+ − E ! B 8+ ÞE po, tenemos que y , contradicción.inf- K § d d K Á d Si es un subgrupo aditivo cerrado en y si , tenemos queK œ K Á d , ß K œ † + , luego, por la parte .™. − d K œ Ö7 8 à7ß 8 − × Si , es fácil ver que el conjunto es un subgrupo) ) ™

aditivo de . Si no es denso en , entonces por la parte , tenemos que existed K d ,7 8 œ + − K K œ † +Þ œ ! " † − K D −) ™ ) ) ™ tal que Pero , luego existe de maneraque , o sea, . Luego o = . En) ) ) ) ) ) ) œ D † + œ DÐ7 8 Ñ Ê D7 œ 8D œ ! −8D

"D7

cualquiera de los casos, tenemos contradicción, pues . Luego espo − d K) denso en dÞ

D‘’LLƒ


BIBLIOGRAFIA

- Bourbaki, N., , Fascicule de Résultats, Hermann, París,Théorie des Ensembles 1958.- Bourbaki, N., , Hermann, 1961, Hocking, J.G., & Young, G.S.,Topologie Générale- Chinn, W.G. & Steenrod, N.E., , Random House, Inc.,First Concepts of Topology N.Y., 1966.- Halmos, P.R., , Cecsa, México D.F., 1965. Teoría Intuitiva de Conjuntos- Hall, D.W. & Spencer II, G. L., , John Wiley & Sons, Inc., N.Y.Elementary Topology 1960.- Hocking, J.G. & Young, G.S., Editorial Reverté S.A., 1966.Topología,- Kelley, J.L., , Editorial Board, N.Y., 1970.General Topology- Lima, E.L., , Editoria U. de S. Paulo, 1970.Elementos de Topología General- Mendelson, B., , Allyn & Bacon, Inc., Boston, 1966.Introduction to Topology- Moore, T.O., , Prentice-Hall Math.Series, 1964.Elementary General Topology- Muñoz, J.M., , 4a. Ed., U.N., 2002.Introducción a la Teoría de Conjuntos- Muñoz, J.M., , Academia Col. de Ciencias Exactas, Físicas y Topología Básica Naturales, Bogotá, D.C., 2003.- Muñoz, J.M., , Depto.Mat., U.N., 1983.Introducción a la Topología- Simons, G.F., , McGraw-Hill BookIntroduction to Topology and Modern Analysis Company, Inc., 1963.- Suppes, P., , Editorial Norma, Cali, ColombiaTeoría Axiomática de Conjuntos 1968. _______________________________

Espero que el lector haya obtenido algún provecho de este trabajo en elaprendizaje de los espacios topológicos.Exitos y bienvenidos a la investigación por internet.Cualquier comentario favor hacerlo llegar a:

[email protected] [email protected] Copyright© Darío Sánchez Hernández


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