TOPOLOGÍA ALGEBRÁICA Por Roberto Ruiz-Smatematicas.univalle.edu.co/~robruiz/TopologiaAlgebraica.pdf · 2006-11-04 · algebraica para responder preguntas en topolog´ıa. Las “disciplinas”

1

TOPOLOGÍA ALGEBRÁICA

Por Roberto Ruiz-S

Capítulo 1 Categorías y Funtores

Capítulo 2 Básicos de Álgebra

Capítulo 3 Categorías admisibles para homología

Capítulo 4 Suspensión

Capítulo 5 Triplas

Capítulo 6 Homología singular

Cambio de coeficientes: Coeficientes Homotópicos

file:///C|/Document/DEPARTO/PAGINASWEB/RRuiz/TopologiaAlgebraica.htm04/11/2006 11:08:20 a.m.

Capıtulo 1. Categorıas y funtores 1

Capıtulo 1CATEGORIAS Y FUNTORES

Eilemberg, Steenrod, MacLane, Ereshmann, entre otros matematicos, concre-taron la necesidad de ligar bien los objetos con los cuales trabajaban, si sequerıa facilitar el mecanismo de ayudarse de una “una disciplina matematica”para solucionar problemas de otra. En aquel entonces se tomaba asistenciaalgebraica para responder preguntas en topologıa. Las “disciplinas” se conc-retaron en el concepto de “categorıas”.

Se puede demostrar que si se “coleccionan”, todos los conjuntos lo que re-sulta no es un conjunto. Las colecciones con cardinal mayor o igual que lacoleccion de todos los conjuntos las llamamos “clases propias” y las que noson clases “pequenas” o conjuntos. Las “pequenas” y “las propias” seran lla-madas “clases”. Si una clase A esta contenida en B y B es pequena, entoncesA es pequena. Si A es propia B es propia. Si A y B son pequenas, entoncestodas las funciones de A en B forman una clase pequena. Si B es propia,las funciones de A en B forman una clase propia, excepto cuando A es vacıa.

1.1 Ejercicio: Bajo que condiciones la clase de las funciones de A en B(denotado BA) con B pequeno y A propia, es propia? Bajo que condiciones∏Bi∈I con Bi pequena e I propia, es propia?

1.2 Definicion: Una categorıa C consta de dos clases: ObjC, llamada delos “objetos de C” y MorC llamada de los “morfismos de C” y una funcionHom : ObjC ×ObjC −→ P(MorC) (P denota a “partes”) tal que:

Cat 1: Hom(A,B) es pequena

Cat 2: Hom(A,B) ∩Hom(C,D) 6= φ→ A = C y B = D

Cat 3: MorC = ∪Hom(A,B) donde A,B recorren todo ObjC

Cat 4: Para cada tripla A,B, C de objetos de C existe una funcion Hom(A,B)×Hom(B,C)→ Hom(A,C) (denotado (α, β) 7→ (β o α)) tal que

a) Si α ∈ Hom(A,B), β ∈ Hom(B,C) y r ∈ Hom(C,D) entoncesr (β α) = (r β) α

b) Para cada objeto A, existe α ∈ Hom(A,A) tal que para cada βcomposible con α, a derecha α β = β y si es componible a laizquierda β α = β 2

2 Topologıa Algebraica

Note que el α de Cat 4, b) es unico (demuestrelo). Se denota 1A. En adelantesi α ∈ Hom(A,B) escribiremos α : A→ B y llamaremos a A el “dominio” deα. Para Hom(A,B) tambien se usa la notacion HomC(A,B) o solo C(A,B).

1.3 Proposicion: si C es una categorıa entonces tambien lo es Co (C ala o) dada ası ObjCo = ObjC y HomCo(A,B) = HomC(B,A). La com-posicion esta dada por (α, β) 7→ α β, donde “o” es el compuesto deC, α ∈ HomCo(A,B) y β ∈ HomCo(B,C)2

Dualidad

En adelante si un concepto esta presente en una categorıa, digamos “p”,el mismo concepto en la categorıa opuesta se denota Cop. Por tanto siα : A→ B en C entonces B es el codominio de α. Denotaremos domα, codαel dominio y codominio de α respectivamente. Por tanto α : domα→ codα.Note que Cop se llama “el concepto dual de p”. A toda afirmacion sobre unacategorıa le corresponde una sobre su opuesta que se llama “la afirmaciondual”. Una afirmacion y su dual son logicamente equivalentes.

Para ilustrar un objeto S de una categorıa se llama una suma de A y B sii) existen α : A → S y β : A → S en MorC y ii) si existen α1 : A → T yβ1 : B → T en MorC entonces existe un unico H : S → T en MorC tal quelos siguientes diagramas conmutan

SH−→ T S

H−→ Tα α1 β β1

A B

Si el dual de “suma” (cosuma) se conoce como “producto” entonces unproducto de A y B es un objeto P de C tal que: i) existen α : P → Ay β : P → B en MorC y ii) si existen α1 : T → A y β1 : T → B enMorC, entonces existe un unico H : T → P tal que los siguientes diagramasconmutan

TH−→ P T

H−→ Pα α1 β β1

A B


Isomorfıa

1.4 Definicion: si α β = 1domβ (denotado α β = 1) entonces α se diceuna “seccion” y β una retraccion. De hecho β se dice una “retraccion com-panera” de α y α una “seccion companera” de la retraccion β2

Una vez que α esta dotada de la propiedad de seccion entonces las posibili-dades de secciones companeras de α se restringen totalmente:

1.5 Proposicion: Si α β = 1 y γ α = 1 entonces β = γ.

Demostracion: note que α β = 1domβ y γ α = 1domα y entoncesdomα = codβ, codα = domβ, codα = codγ. Por tanto domβ = domγ ycodβ = codγ. Ahora α β = 1→ γ (αoβ) = γ 1 por tanto (γ α) β = γ.Ası pues 1 β = γ o sea β = γ2

1.6 Definicion: En una categorıa C,

a) Si α es una seccion-retraccion, entonces se dice un “isomorfismo”.

b) Si α es un isomorfismo al unico isomorfismo companero se le denotaα−1 y se llama el “isomorfismo inverso” de α.

c) Si A,B son objetos de C y existe α : A→ B un isomorfismo, entoncesse dice que “A es isomorfo a B” y se denota A ∼= B o α : A ∼= B.

d) La relacion ∼= de c) se llama la relacion de “isomorfıa” de C.

Las categorıas con las cuales trataremos son:

Conj: Los objetos son los conjuntos, los morfismos son las funciones y lacomposicion es la composicion corriente de funciones.

Ab: Los objetos son los grupos abelianos, los morfismos son los homomor-fismos y la composicion es la composicion de funciones.

Top: Los objetos son los espacios topologicos los morfismos son las funcionescontinuas y la composicion es la composicion de funciones.

Cad: Los objetos son sucesiones fn : An → An−1 de homomorfismos degrupos abelianos tales que fn fn+1 = 0. Si a una cadena se le da el nom-bre generico A entonces la notacion es ∂An : An → An−1 o simplemente


∂ : An → An−1. Si A y B son cadenas un morfismo ϕ : A → B es unasucecion ϕn : An → Bn tal que ϕn ∂An+1 = ∂Bn+1 ϕn+1 o como se dicenormalmente, el siguiente diagrama conmuta

An+1

∂An+1−→ An

ϕn+1 ↓ ↓ ϕn

Bn+1

∂Bn+1−→ Bn

La notacion Cα→ D que hemos usado es equivalente a α : C → D. En

cambio de Cad tambien usaremos Ch (por “chains” en ingles).

MorC : Dada una categorıa C sus morfismos mismos forman una categorıaası: si α : A → B y β : C → D son morfismos entonces f : α → β es unpar de morfismos fd : A→ C y fcd : B → D tales que el siguiente diagramaconmuta

Aα−→ B

fd ↓ ↓ fcd

Cβ−→ D

Es decir fcd α = β fd. Se toma como composicion f g = (fd, fcd) (gd, gcd) = (fd gd, fcd gcd).

1.7 Ejercicio:

1. Muestre que Conj, Ab, Top, Cad,MorC son categorıas.

2. Explique formalmente que es:

a) Una cooperacion sobre un conjunto.

b) Una cocadena de grupos abelianos.

Funtores

Naturalmente uno puede esperar que las categorıas mismas puedan ser con-sideradas como objetos de una categorıa. Si tal fuera el caso cuales serıanlos morfismos? Se llaman funtores (“functors” en ingles).


1.8 Definicion:

i) Sean C y D categorıas. Un funtor covariante F : C → D es una bifun-cion ObjC → ObjD, MorC →MorD tal que

F1) Si α : A→ B esta en C, entonces F (α) : F (A)→ F (B).

F2) Para α, β componibles en C, F (α β) = F (α) F (β).

F3) Para cada objeto A de C, F (1A) = 1F (A).

ii) Un funtor contrariante es una bifuncion F : C → D, como antes, perotal que

Fc1) Si α : A→ B esta en C, entonces F (α) : F (B)→ F (A).

Fc2) Para α, β componibles en C, F (α β) = F (β) F (α).

Fc3) F (1A) = 1F (A) 2

Cuando se hable simplemente de “funtor” se entendera “funtor covariante”.Las funciones ObjC → ObjD y MorC →MorD que constituyen el funtor Fse llaman las funciones “subyacentes” de F .

1.9 Proposicion: si F : C → D y G : D → E son funtores entonces:

i) La composicion de las funciones subyacentes determinan un nuevo fun-tor C → E .

ii) Si se denota G o F al funtor de i) entonces:

a) Si F,G tienen la misma varianza, G F es covariante.

b) Si F,G tienen diferente varianza, G F es contravariante 2

Hay naturalmente funtores cuya existencia es obvia, por ejemplo 1C : C → C.Ası mismo si D es un objeto de D entonces existe C d→ D el funtor “constantey de valor d”, C d→ D y finalmente C op→ Co. Determınelos con precision yasegurese de que son funtores.

Los ejemplos mas simples de funtores son aquellos que “olvidan” estructura.Por ejmplo, cada grupo es un semigrupo y esto determina un funtor de lacategorıa de los grupos en la de los semigrupos. Ası mismo un grupo es


un conjunto con una operacion y unas propiedades. Se puede sistematica-mente tomar el conjunto con la operacion unicamente (es decir olvidar laspropiedades), o bien olvidar todo, exepto el conjunto.

1.10 Ejercicio:

1) Construya 5 funtores de olvido con dominio la categorıa de los espaciostopologicos

2) Construya un funtor no trivial Conj → Top

3) Sea A un espacio topologico. Para cada conjunto X seleccione unafuncion fX : X → A. Determine si existe un funtor F : Conj → Toptal que F (X) = (X, TX) deja continua a fx. Si existe decida si puedeescogerlo optimo en el mismo sentido de las topologıas iniciales yfinales 2

No es extrano que se consideren los funtores como objetos y se trate decompletar con ellos una categorıa. Habiendo sido considerados como mor-fismos ya hay una manera de hacerlo usando la estructura del tipo MorA.Sin embargo, al menos en topologıa algebraica, los mas utiles son los massimples en el sentido de que tanto el dominio como el codominio del funtor semantienen constantes. Esto tiene importancia porque juega el mismo papelestructural que la existencia del conjunto AB.

Transformaciones Naturales

Por lo general cuando se hable de algo “natural” se piensa de ello comoque “ası deberıa ser”. En matematicas tiene otro sentido: es algo ası comomantener las relaciones sociales.

1.11 Definicion:

1) Sean F,G : A → B funtores covariantes. Una transformacion naturalλ : F → G es una familia λA : F (A) → G(A), con A ∈ objA tal quesi α : A1 → A2 es un morfismo de A, entonces el siguiente diagramaconmuta

F (A1)λA1−→ G(A1)

F (α) ↓ ↓ G(α)

F (A2)λA2−→ G(A2)


es decir que G(α) λA1 = λA2 F (α)

2) Si cada λA es un isomorfismo entonces λ se llama un “isomorfismonatural”

3) Un funtor F : A → B se dice una “equivalencia de categorıas” si existeG : B → A e isomorfismos naturales F G → 1B y G F → 1A. Sedenota A ∼= B 2

Note que1.12 Proposicion: La relacion ∼= entre categorıas es una relacion de equiva-lencia. Demostracion: Ejercicio obligatorio que debe entregarse por escrito.Trabajo personal 2

1.13 Proposicion: Para dos categorıas A y B cualesquiera se tiene unacategorıa si se toman como objetos los funtores covariantes F : A → B,como morfismos F → G las transformaciones naturales y como composicionde λ : F → G y η : G→ H o (η λ)A = ηA λA

Demostracion: Ejercicio 2

Note la categorıa de 1.13 se denota BA o bien AB

Damos ahora ejemplos variados de los conceptos precedentes que nos per-mitiran familiarizarnos con los casos particulares que se usan en TopologıaAlgebraica.Los numeros naturales tienen un orden ≤ y esto hace que tenga una estruc-tura de categorıa N:

ObjN = N y Hom(n, m) =

φ si n > m(n, m) si n ≤ m

Dicho formalmente MorN = ≤. Ası pues un funtor F : N→ A esta consti-tuido por una sucesion An∈N de objetos de A y para n ≤ m un morfismoαn,m : An → Am de modo que el diagrama siguiente conmuta

Anαn,m−→ Am

αn,r ↓ αm,r

Ar

Se acostumbra a denotar este funtor por

A0 → A1 → ...→ Anαn,n+1−→ An+1 → ....

y mas aun no hay posibilidad de error si se escribe βn en cambio de αn,n+1

y se tiene algo del tipo


A0 → A1 → ...→ Anβn−→ An+1 → ....

Naturalmente βn+1 βn = βn,n+2.

Suponga que A y B son categorıas. Denotamos A ⊆ B si ObjA ⊆ ObjB,HomA(A1, A2) ⊆ HomB(A1, A2) para todo par de objetos A1, A2 de A y siα y β son morfismos componibles de A entonces α β en A = α β en B.

Entonces Cad es la subcateforıa de NoAb con objetos ...An+1αn+1−→ An →

... → A0 tales que αn αn+1 = 0 y todas las transformaciones naturalesentre ellos que en este caso son del tipo λ : A→ B. Por ser transformacionesnaturales deben cumplir que el siguiente diagrama conmuta

An+1λn+1−→ Bn+1

αn+1 ↓ ↓ βn+1

Anλn−→ Bn

Considere ahora la categorıa Top. Sea I = [0, 1] si X es un espacio en-tonces X× I, se llama el “cilındro” de X. El “cilındro” constituye un funtorcovariante

C : Top→ Top

Dado por C(X) = X × I y si f : X → Y es continua entonces C(f) :X×I → Y ×I es la funcion f×1I . Por otro lado E0

X : X → X×I, dada porE0

X(x) = (x, 0), es una transformacion natural E0 : 1Top → C. Igualmente loes E1 : 1Top → C dada por E1

X : X → X × I, E1X(x) = (x, 1).

Finalmente la proyeccion π1 : X × I → X, (x, t) 7→ x constituye una trans-formacion natural denotada s : C → 1Top.

Las transformaciones s, E0, E1 cumplen ademas que tanto sE0 como sE1,son la transformacion natural identica 1Top → 1Top.

En terminologıa “geometrica” el cilındro de X es el diagrama conmutativo(red)

XE0 ↓ 1

X Is−→ X

E1 ↑ 1

X


Note como ahı se muestran las transformaciones naturales. La tripla η =(C, E0, E1, s) se conoces como “el sistema homotopico corriente” de los es-pacios topologicos.

1.14 Ejercicio: reconstruya el sistema homotopico corriente de los espaciostopologicos. Para eso, en la informacion que se le dio, usted debe distinguirexplıcitamente definiciones de proposiciones (teoremas) y demostrar estasultimas. Ası mismo debe agregar ejemplos que ayuden a clarificar conceptosy clasificar los sımbolos que allı aparecen.

Sistemas Homotopicos

1.15 Definicion:

1. Sea A una categorıa. Un sistema homotopico sobre A (a izquierda) esuna cuadrupla η = (C, d0, d1, s) en donde C : A → A es un funtorcovariante di : 1A → C y s : C → 1A son transformaciones naturalestales que s di es la transformacion natural indentica de 1A.

2. En η = (C, d0, d1, s) C se llama “el cilındro” de η y d0, d1 las “tapas”inferior y superior del cilındro 2

Graficamente el cilındro de un objeto A de A esta dado ası:

y d0A es pues la inclusion de A en el cilındro en la parte inferior y d1

A en laparte superior. En esta forma se indica que hay un paso de una cara (que esA esencialmente) en la otra sin danar las caracterısticas geometricas (topos).

Note ademas que si A es un objeto de A, entonces hay un diagrama conmu-tativo asociado a A a saber

Ad0

A ↓ 1A

C(A) sA−→ Ad1

A ↑ 1A

A


y si α : A→ B es un morfismo de A entonces el siguiente diagrama (la “redde α” por η) conmuta

A B

C(A) C(B)

A B

A B

1?d0

A

-α

1

?d0

B

-C(α)

sA

sB

-α

-α

@@

@I

1

6

d1A

HHHH

HHHHY

1

6

d1B

Diagrama del cual se destacan dos partes

A B

C(A) C(B)

A B

-α

?

d0A

?

d0B

-C(α)

-α

6

d1A

6

d1B

y

C(A) C(B)

A B

-C(α)

?

sA

?

sB

-α


Homotopıa

1.16 Definicion:

1. Sean f, g : A → B morfismos de A. Se dice que “f es homotopo ag por η” si existe un morfismo h : C(A) → B tal que el siguientediagrama conmuta

A

C(A) B

A

?

d0A

@@

@@R

f

-h

6d1

A

g

2. El morfismo h de la parte 1. se llama una “homotopıa de f en g”.

3. “f homotopo a g por η” se denota fη∼ g y “h es una homotoıa de f

en g por η” se denota h : fη∼ g2

Las propiedades basicas deη∼ son

1.17 Proposicion: en todo sistema homotopico η se tiene:

1. sA : 1Aη∼ 1A

2. 1C(A) : d0A

η∼ d1A

3.η∼ es compatible con la composicion: si f, g : A → B, h : B → C, k :D → A son morfismos de A, entonces

fη∼ g → h f

η∼ h g ∧ f kh∼ g k

4.η∼ es una relacion reflexiva sobre MorA

5. Si A es un objeto de A, entonces:d1

A

η∼ d0A ↔ (∀B ∈ ObjA,∀f, g : A→ B, f

η∼ g ↔ gη∼ f)

6. Si f1η∼ g1 y f2

η∼ g2 → f1 × f2 ∼ g1 × g2


Demostracion: de 1) a 4) quedan como ejercicio. Note, para 5), que la partederecha de la equivalencia dice simplemente que

η∼ es reflexiva. Ası que laimplicacion⇐= es obvia puesto que como d0

A

η∼ d1A si

η∼ es reflexiva entoncesd1

A

η∼ d0A. En cuanto a la parte =⇒: supongamos que d1

A

η∼ d0A y suponga que

fη∼ g. Por lo primero existe α : dA

1η∼ dA

0 . Por lo segundo existe β : fη∼ g.

Entonces β α : gη∼ f . En cuanto a 6) recuerde que si f : A → B y

g : A→ C entonces existe un unico H : A→ B × C que deja conmutativos

A B × C

B

-H

@@

@@@R

f

?

π1

A B × C

C

-H

@@

@@@R

f

?

π2

Este morfismo H se denota (f, g). Ahora, si f : A→ B y g : E → D entoncesse tienen dos morfismos especiales

A× Eπ1−→ A

f−→ BA× E

π2−→ Eg−→ D

Entonces existe un unico morfismo H : A×E → B×D que deja conmutativoslos diagramas

A× E B ×D

A B

-H

?

π1

?

π1

-f

A× E B ×D

E D

-H

?

π2

?

π2

-g

Tal H se denota f×g pero esto no es simple notacion puesto que en realidadtal morfismo es producto de f con g en la categorıa MorC.

Note ahora que A× Eπ1−→ A y A× E

π2−→ C inducen C(π1) : C(A× E)→C(A) y (π2) : C(A× E)→ C(E) y el morfismo

C(A× E)(C(π1),C(π2))

- C(A)× C(E)

Note ası mismo que se tienen dos morfismosd0

A × d0E : A× E → C(A)× C(E)

d1A × d1

E : A× E → C(A)× C(E)

Estos dos morfismos son η-homotopos. En efecto note que

A× E A

C(A× E) C(A)

-π1

?

d0A×E

?

d0A

-C(π1)


conmuta por ser d0 una transformacion natural. Igual para

A× E E

C(A× E) C(E)

-π2

?

d0A×E

?

d0E

-C(π2)

Entonces tambien conmuta

A× E A× E

C(A× E) C(A)× C(E)

-(π1,π2)

?d0

A×E

?d0

A×d0E

-(C(π1),C(π2))

pero (π1, π2) es la identidad luego el diagrama es

A× E

d0A×E

?

d0A×d0

EH

HHHHHH

Hj

C(A× E) -(C(π1),C(π2)) C(A)× C(E)

Igual si se trabaja con d1A y d1

E . Ası pues el siguiente diagrama conmuta

A× E

C(A× E) C(A)× C(E)

A× E

?d0

A×E

HHHHHHj

d0A×d0

E

-(C(π1),C(π2))

6d1

A×E

*

d1A×d1

E

Esto muestra que d0A × d0

E

η∼ d1A × d1

E . Ahora si se tiene (hipotesis)


A

C(A) B

A

?

d0A

@@

@@R

f1

-h1

6d1

A

g1

E

C(E) D

E

?

d0E

@@

@@R

f2

-h2

6d1

C

g2

entonces tambien conmuta

A× C

C(A× C) C(A)× C(C) B ×D

A× C

d0A×C

?d0

A×d0C

HHHHHHj

f1×f2

-α -h1×h2

HHHH

HHY

d1A×C

6d1

A×d1C

*

g1×g2

donde α = (C(π1), C(π2)),con lo cual

(h1 × h2) · (C(π1), C(π2)) : (f1 × f2)η∼ (g1 × g2) 2

Es claro queη∼ no necesariamente es una relacion de equivalencia en

Hom(A,B) pero, como hemos vistoη∼ es reflexiva y compatible con la op-

eracion composicion en MorA. Pero se desea trabajar con relaciones queson directamente de equivalencia sin tener que usar la relacion de equivalen-cia generada. Ası que en este curso supondremos que

η∼ es una relacion deequivalencia en Hom(A,B), para todo A y B en A. Para el caso que masnos interesa todo funciona bien:

1.18 Proposicion: η = (C, E0, E1, s) el sistema corriente de los espaciostopologicos es un sitema homotopico en el sentido de 1.15 y su homotopıaes una relacion de equivalencia en Hom(A,B), para todo A,B espaciostopologicos2

Supongamos ahora η = (c, d0, d1, s) en A conη∼ de equivalencia.

1.19 Definicion: Sea f : A→ B en A


1. Decimos que es una “seccion homotopica”o “salvo homotopıa”, siexiste g : B → A tal que gf η∼ 1A. El morfismo g se dice un “retractohomotopico companero de f .

2. Si f es una seccion-retraccion homotopica entonces se dice que es una“equivalencia de homotopıa” (vıa η) o una η-equivalencia de homotopıay que su dominio es (η) homotopicamente equivalente a su codominio.Se denota

η' 2

1.20 Proposicion: si η = (c, d0, d1, s) es un sistema homotopico en A conη de equivalencia, entonces

η' es una relacion de equivalencia en ObjA 2

Objeto inicial, final

1.21 Definicion: Sea A una categorıa. Un objeto A se dice ser “final’ siHom(X, A) tiene un unico elemento, para todo objeto X de A. El dual de“final” es “inicial” 2

En los espacios topologicos los unicos conjuntos que tienen una sola topologıason φ (vacıo) y x donde x es un elemento cualquiera. Ası que tiene todoel sentido hablar del “espacio φ” y del “espacio x”. Ademas internamenteen Top o categoricamente se tiene

1.22 Proposicion:

i) Si A tiene objeto final, entonces es unico, salvo isomorfismo.

ii) Sea A ∼= B. Entonces A es final si y solo si B lo es 2

Por dualidad la misma afirmacion es cierta para objeto inicial.

1.23 Notacion:

i) El objeto inicial (salvo isomorfismo) se denotara φ

ii) El objeto final se denotara ∗

iii) El unico morfismo φ→ A se denotara φA(0′φ)

iv) El unico morfismo A→ ∗ se denotara ∗A(0′ ∗)

v) Si existe un morfismo a : ∗ → A se dice que “a” es “un punto” de A


vi) Si “a” es un punto de A, entonces el morfismo A → ∗ a→ A se llama“el morfismo constante y de valor a”

1.24 Ejercicio

i) Muestre que λA : A(1A,∗A)−→ A×∗ es un isomorfismo natural en cualquier

categorıa con objeto final

ii) De la afirmacion dual de la parte i)

iii) Muestre que siA tiene objeto final, entonces la aplicacion A 7→ HomA(∗, A)determina un funtor covariante A → Conj llamado el funtor “conjuntosubyacente”

iv) Muestre que si en A ∗ ∼= φ entonces el funtor conjunto subyacente es“trivial”. Por esta razon en homotopıa se hace una diferencia entre elcaso ∗ φ y ∗ ∼= φ (caso en el cual la categorıa se dice “punteada”)

v) Que es A× φ? Que transformacion natural induce?

vi) La misma pregunta que en v) para A + φ

vii) La misma pregunta que en v) para A + ∗

1.25 Definicion: Si η es un sistema homotopico en A, con objeto final,

entonces un objeto A de A se dice η-homotopicamente “nulo” si Aη∼= ∗.

Por ejemplo en el caso de Top si B es un espacio convexo en Rn, dadasfunciones continuas f, g : A → B cualesquiera la funcion H : A × I → Bdada por H(a, t) = tf(a) + (1 − t)g(a) es una funcion continua. Ası pues

H : fη∼ g. Si b es un punto de B, entonces B

η∼= b porque la funcion B → bes una equivalencia de homotopıa con inversa homotopica b b→ B, b 7→ b.Claramente b b→ B → b es la identidad y por lo dicho B → b b→ B eshomotopica con 1B : B → B.

Ahora tome el disco D1 =X ∈ R2/ ‖X‖ ≤ 1

es decir la bola cerrada de

radio 1 alrededor de 0. D1 es convexo y por tanto es homotopicamente trivial.Ahora bien S1 = X/ ‖X‖ = 1 es un subespacio de D1. Se vera, como unaaplicacion del calculo de grupos de homologıa que S1 no es homotopicamentetrivial. Esto muestra que ser homotopicamente trivial no es una propiedadhereditaria. Sin embargo, podemos mostrar en donde esta la falla que no


permite que S1 se deforme a un punto. Si pensamos en D1 y tomamos sucentro entonces de [0, 2π]→ D1 esta f(t) = eπti que envia a [0, 2π] enrrolladoen una vuelta alrededor de S1. Por otro lado (0, 0) = 0 ∈ D1. Se puededeformar S1 en 0 sin dejar D1 simplemente cambiando “continuamente”el radio del cırculo alrededor de 0 desde 1 hasta 0. Es decir, usando lahomotopıa H : [0, 2π]× I → D1, (t, s) 7−→ seπti. Claramente H es continuay ademas H(t, 0) = 0, H(t, 1) = eπti que es la deformacion de S1 en 0 enD1, cubriendo D1. Es decir que ImH = D1. En cambio si tenemos S1 comoespacio el mismo S1 no puede permitir este tipo de deformacion a uno desus puntos porque esencialmente ello representarıa hacer S1 cada vez maspequeno hasta llegar a tener radio 0 sin salirse de S1. Esto es lo que nopuede ser.

Categorıa Homotopica

Considere una categorıa A y η = (C, d0, d1, s) un sistema homotopico en Acon

η∼ una relacion de equivalencia. Denotemos [A,B]η o simplemente [A,B]

cuando η esta bien entendido a HomA(A,B)/η∼.

1.26 Proposicion: Si se toman como objetos los objetos de A, como morfis-mos de A en B a [A,B] y si [f ] ∈ [A,B] y [g] ∈ [B,C] se toma [g][f ] = [g f ]entonces se tiene una categorıa 2

1.27 Definicion: La categorıa de 1.26 se llama “la categorıa homotopicade (A, η) o de A cuando η es subentendida y se denota H(A, η) o H(A) 2

Naturalmente existe un funtor π : A → H(A) tomando A 7→ A y f 7→ [f ].Tambien es claro que los isomorfismos de H(A) son las equivalencias de ho-motopıa de A y por tanto tambien se tiene que los objetos finales de H(A)son los objetos homotopicamente nulos de A.

El funtor π no es el unico funtor que interesa. Si A es un objeto fijo de Aentonces

1.28 Proposicion: La asignacion que a un objeto X de A le asigna [A,X]y a f : X → Y le asigna la funcion [A,X] → [A, Y ] , [α] 7→ [f α] es unfuntor covariante A → Conj 2


1.29 Definicion:

1) El funtor de 1.28 se denota πA : A → Conj o πηA si η debe aparecer

explıcitamente.

2) El objeto ∗ de A suele denotarse como 0 y a π∗ : A → Conj oπ0 : A → Conj se llama el funtor de “arco conexidad” por η.

A continuacion damos una idea de la construccion de objetos A que pro-ducen una estructura de grupo en [A,B]. Recuerde que una operacion, quedenotare +, en A, es un morfismo + : A × A → A. Esta es asociativa si elsiguiente diagrama conmuta

(A×A)×A A× (A×A)

A×A A×A

A

?

+ × 1A

-As

?

1A× +

@@

@@R+

+

(1·30)

en donde As = (π1 π1, (π2 π1, π1))

Si ∗ e→ A es un punto de A, entonces, + tiene modulo e si el siguiente dia-grama conmuta

A A×A

A×A A?

(e,1A)

@@

@@@R

1A

-(e,1A)

?

+

-+

(1·31)

en donde por abuso se denota “e” a A → ∗ e→ A. La operacion + es in-vertible, con modulo e si existe un morfismo − : A→ A tal que el siguientediagrama conmuta


A A×A

A×A A?

(−,1A)

@@

@@@R

e

-(1A,−)

?

+

-+

(1·32)

Si se tienen los 3, entonces (A,+, e,−) es un grupo de la categorıa A endonde se trabaja.Naturalmente un cogrupo sera, en resumen

1. + : A −→ A + A

2. (A×A)×A A× (A×A)

A×A A×A

A

As

6+ × 1A

61A× +

+@

@@@I

+

(1·33)

3.A A + A

A + A A

[e,1A]

6[e,1A]

+

@@

@@@I

1A6+ (1·34)

4.A A + A

A + A A

[1A,−]

6[−,1A]

+

@@

@@@I

e6+ (1·35)

1.30 Definicion: Sea A una categorıa con un sistema homotopico η =(c, d0, d1,S) y A un objeto de A. Se dice que A es un η-grupo (o un gruposalvo η, o salvo η-homotopıa) si 1.30, 1.31, 1.32 conmutan salvo η-homotopıa.A es un η-cogrupo si (1.33), (1.34), (1.35) conmutan salvo η-homotopıa 2


Aquı se esta usando la manera coloquial asi: dadas f, g : A→ B se dice que“f es igual a g salvo

η∼” si fη∼ g. Ası pues, por ejemplo, el diagrama

A B

D

@@

@Rh

-f

?

g

conmuta salvo η-homotopıa (o salvoη∼) si gf η∼ h. En tal caso denotaremos

aquı

h

A B

D

@@

@R

η∼

-f

?

g

1.31 Proposicion:

1. Sea Σ un funtor A → A que preserva sumas y objeto inicial. Si A esun cogrupo entonces tambien lo es ΣA

2. Si B es un cogrupo, entonces,

Hom(B,X) : A −→ Gr

es un funtor covariante (note el codominio).

3. Si B es un η-cogrupo, entonces

[B,X] : A −→ Gr

es un funtor covariante (note el codominio)

4. Para Σ como en 1 y B un η-cogrupo

[ΣnB,X] : A −→ Gr

es un funtor covariante.

Demostracion: Si A es un cogrupo entonces, bajo las hipotesis de que F seacovariante y preserve sumas y objeto inicial se tiene que, salvo isomorfismo,como F (A + B) ≈ F (A) + F (B) entonces A

+−→ A + A tiene imagen


F (A)F (+)−→ F (A + A) ∼= F (A) + F (A)

que es una cooperacion en F (A). La imagen de A←− φe←− A tiene imagen

F (A)←− φF (e)←− F (A) y 1.35 aparece como

F (A) F (A) + F (A)

F (A) + F (A) F (A)

[1F (A),F (−)]

6[F (−),1F (A)]

F (+)

QQ

QQ

QQk F (e) 6F (+)

Los demas diagramas son transmitidos por F en los correspondientes quehacen de (F (A), F (+), F (e), F (−)) un cogrupo. Como el funtor Hom( , X)es contravariante si B es un cogrupo Hom(B,X) es un grupo en Conj, esdecir un grupo corriente.Los detalles de 1.31 se dejan como ejercicio 2

Note que F no tiene que ser restringido a ser un funtor A → A, bien podıaser F : A → B. Si F : A → B es contravariante entonces A F−→ B op−→ B0 esun funtor covariante opF (φ) = φ ↔ F (φ) = ∗opF (A + B) ∼= A + B ↔ F (A + B) ∼= F (A) × F (B) y por tanto si F escontravariante, F (A + B) ∼= F (A) × F (B) y F (φ) = ∗ entonces si A es uncogrupo entonces F (A) es un grupo.

1.32 Definicion: Si A es una categorıa con un sistema homotopico η, en-tonces para un objeto cualesquiera B, [B,X] : A → Conj se denota πB,o bien π0

B. En tal caso si F : A → A es covariante se denota πnB al funtor

[ΣnB,X] 2

1.33 Ejemplo: Un espacio “punteado” es una pareja (X, x) en donde x ∈ X,y X es un espacio topologico. Un morfismo f : (X, x) → (Y, y) es una fun-cion continua f : X → Y tal que f(x) = y. La composicion es la corrientede funciones y todo esto determina una categorıa denotada Top∗. En Top∗

x , x es tanto objeto final como inicial y algunos autores lo denotan 0.

Para ilustrar el caso de los funtores [B,X] de manera “autocontenida” enTop∗, ajustamos la homotopıa. Queda como tema para trabajo de grado(INV) dar el sistema homotopico de Top∗ y completar el bosquejo que sehace a continuacion, hasta el final del capıtulo.


Note que una homotopıa H de f en g (f, g : A→ B) es una “familia continuaen t”, Ht : A → B tal que H0 = f y H1 = g. En Top∗ se toma usualmentepara f, g : (A, a) → (B, b) que una homotopıa H de f en g es una “familiacontinua” Ht : (A, a)→ (B, b) tal que H0 = f y H1 = g.La parte interesante de esta definicion es que muestra que papel juegan “a”y “b”: deben preservarse, es decir, que Ht es un morfismo de Top∗. Pero porsupuesto no sabemos que significa que una familia es “continua”. La familiaHt∈I determina una funcion H : A× I −→ B tomando H(x, t) = Ht(x). Setiene que Ht(a) = b, ∀t. Ası pues H(a, t) = b, ∀t ∈ I o bien H(a× I) = b osi lo desea H(C(a)) = b↔ H|C(a) = b.

1.34 Definicion: Sean f, g : (A, a) → (B, b) morfismos de Top∗. Decimosque f ∼ g (f homotopa a g) (en Top∗) si existe H : f ∼ g en Top tal queH|a×I es la funcion constante y de valor b 2

Naturalmente en Top∗ la relacion de homotopıa es una relacion de equivalen-cia y se tiene, tambien como antes, HTop∗, la categorıa homotopica de Top∗.En esta categorıa mostraremos cogrupos y siguiendo 1.31 mostraremos fun-tores tipo [B,X], y Σ.

1.35 Proposicion: si para (X, x) en Top∗ se toma

1. x = X × 0 ∪X × 1 ∪ (x × I)

2. Σ(X, x) = (X/x, x)

3. Para f : (X, x) → (Y, y), Σf : Σ(X, x) → Σ(Y, y), [u] 7→ [f(u)] paratodo u ∈ X

entonces

a) Σ : Top∗ → Top∗ es un funtor covariante

b) Σ(0) ∼= 0

c) Σ((X, x) + (Y, y)) ∼= Σ(X, x) + Σ(Y, y)

Demostracion:Ejercicio. (Recuerde que en Top∗ (X, x) + (Y, y) =

(X + Y/x,y, x, y

)en donde X + Y denota la suma categorica en Top: X × 1 ∪ Y × 2con topologıa de la forma A ∪ B con A abierto en X × 1 y B abierto yY × 2. Si se tiene X ∩ Y = φ entonces X + Y = X ∪ Y con la topologıa


A ∪B/ A abierto en X, B abierto en Y 2

Recuerde ademas que en Top∗

Sn =(

X ∈ Rn+1/ ‖X‖ = 1

, (1, 0, ..., 0))

Graficamente se ve que ΣS0 ∼= S1,ΣS1 ∼= S2.

1.36 Proposicion:

1. Para todo n, ΣSn ∼= Sn+1

2. S1 es un cogrupo homotopico

3. S2 es un cogrupo homotopico abeliano

4. Sn(n ≥ 2) es un cogrupo homotopico abeliano

Demostracion:Si S1 es cogrupo entonces tambien lo es Sn, para todo n. Si S2 es abelianotambien lo es Sn para n ≥ 2. En cuanto que hay una cooperacion en S1,note que al menos se tiene S1/ (1, 0), (−1, 0). Tome ahora (S1, (1, 0)) π→S1/(1,0),(−1,0), [(1, 0)]. Segun nuestra notacion es una funcion continua S1 −→S1 + S1, es decir una cooperacion (en Top∗) de S1.Queda como trabajo completar detalles y hacer 1) y 2) 2.

1.37 Definicion: [Sn, ] se llama el n-esimo funtor “objeto de homotopıa’y se llama grupo de homotopıa para n ≥ 1 2

Problemas Suplementarios

1. Considere la pareja de funtores A R→ B S→ A covariantes. (R,S) sedice un “par adjunto’ si existe un “isomorfismo natural’

λ(A,B) : HomB(R(A), B)→ HomA(A,S(B))

a) Identifique los funtores entre los cuales se esta estableciendo el isomor-fismo natural

b) Si (R,S) es un par adjunto demuestre que R(φ) ∼= φ y S(∗) ∼= ∗


c) Si (R,S) es un par adjunto demuestre R(A + B) ∼= R(A) + R(b) yS(A×B) ∼= S(A)× S(B)

d) Muestre que ×A : Conj → Conj y ( )A : Conj → Conj son funtoresadjuntos para cada conjunto A.

e) Muestre que ⊗ A : Ab → Ab y ( )A : Ab → Ab son fun-tores adjuntos. Aquı si B es un grupo abeliano BA =f : A→ B/ f es un homomorfismo con (f + g)(a) = f(a) + g(a).

f) Σ : Top∗ → Top∗ tiene como adjunto un funtor conocido como el “es-pacio de lazos’ Ω. Muestre que entonces (Σn,Ωn) es un par adjuntoy que Πn(X, x) ∼= Πn−1(Ω(X, x)). Ayudese de que Σ y Ω son fun-tores adjuntos para demostrar que Ω(X, x) es un grupo homotopico(Sugerencia: analice [S0,Ω(X, x)]).

Capıtulo 2. Basicos de Algebra 25

Capıtulo 2BASICOS DE ALGEBRA

En lo que sigue trabajamos en la categorıa Ab de los grupos abelianos. Re-cuerde que aquı los grupos con un solo elemento son objetos iniciales y finalesy se denotan 0 (cero).

Una pareja componible de morfismos Af→ B

g→ C se dice “semiexacta”(o semiexacta en B) si g f = 0. Por supuesto esto sucede si y solo siImf ⊆ kerg. En tal caso el grupo kerg|Imf se llama “el grupo derivado”de (f, g). Si la pareja tiene nombre digamos T entonces el grupo deriva-do se denota H(T ). Se tiene entonces que H(T ) = 0 ↔ Imf = kergcaso en el cual T se dice “exacta” o exacta en B. En una composicionA1

f1→ A2f2→ A3 → ...

fn→ An, que sera llamada “una sucesion” de homomor-fismos en Ab; A2, ..., An se llaman los grupos intermedios y A1 y An los ex-tremos. Por supuesto si la sucesion se extiende hasta infinito en alguno de loslados allı no existe extremo. Nosotros daremos por sabidos las propiedades delas sucesiones exactas pero las mencionaremos en las sucesiones semiexactas.Cuando no queremos la idea de numeracion (que mas adelante tendra influ-

encia en lo que hacemos) la denotamos: ... → Af→ B

g→ C → o algo por elestilo.

2.1 Definicion:

1. Si en una sucesion de grupos abelianos y homomorfismos cada una delas composiciones es semiexacta, la sucesion misma se dice semiexacta.

2. Los grupos derivados de las composiciones de una sucesion semiexactase llaman los “grupos derivados” de la sucesion.

3. Una sucesion → Anfn→ An−1 → ... → A0 se llamara una cadena de

grupos abelianos cuando es semiexacta. Si es del estilo A0 → ... →An

fn→ An+1 → ... es entonces una “cocadena”. Naturalmente todasucesion exacta es semiexacta y una sucesion semiexacta A es exactasi y solo si todos los grupos derivados de A son 0.

En adelante usaremos nombre generico A para las cadenas (o cocade-nas) caso en el cual:


2.2 Definicion:

1. Los grupos de la cadena se denotan An, n ∈ N.

2. El morfismo An → An−1 se denotara ∂n. Cuando se requiere masexactitud (que se indique que se habla de A) se denotara ∂A

n . Cuandoesto no importa y tampoco la posicion se denota ∂; An → An−1.

3. Los elementos de An se llaman las “n-cadenas de A”.

4. ∂ : An → An−1 se llama “el operador (morfismo)” frontera (o n-frontera).

5. ker∂n se denota Zn(A) y sus elementos se llaman los “n-ciclos de A”.

6. Im∂n+1 se denota Bn(A) y sus elementos se llaman “n-fronteras” deA.

7. El grupo derivado en An se llama el “n-esimo grupo de homologıa deA” y se denota Hn(A)

8. Si el grupo derivado en An es finitamente generado, entonces A se dice“de tipo finito”.

9. Si A es de tipo finito, y la descomposicion de Hn(A) es Zr ⊕ Zqn1⊕

Zqn22⊕ ...⊕Zqnm

mcon los qi primos qi ≤ qi+1 y si qi = qi+1, ni ≤ ni + 1

entonces r se llama el “n-esimo numero de Betti” de A y se denotaβn(A) y (qn1

1 , ..., qmn) se llama la torsion n-esima de A y se denota portn(A)

10. A se dice “finita” si existe N ∈ N tal que m > N → An = 0 2

Recuerde que el rango de un grupo finitamente generado se denota r(G)y su torsion numerica se denota t(G) ademas G ∼= H ↔ (r(G) = r(H) yt(G) = t(H)).

2.3 Proposicion: (Teorema de Euler-Poincare), si A es una cadena finitay de tipo finito se tiene que :

n∑i=1

βn(A) =∑

n

(−1)nr(An)

Demostracion: βn(A) = r(Zn(A)Bn(A)) = r(Zn(A)) − r(Bn(A)). Ahora bien

An+1∂−→ An y por PTH de grupos (An+1/ker∂ ∼= Im∂)↔An+1/Zn+1(A) ∼=

Bn+1 luego r(An+1)− r(Zn+1(A)) = r(Bn(A)), reemplazando este ultimo se


tiene la igualdad pedida2

Note: Σn(−1)nβn(A) se llama “la caracteristica de Euler-Poincare” de unacadena finita y de tipo finito, A.

Recuerde que si A y B son cadenas, entonces un morfismo f : A → B esuna sucesion fn : An → Bn tal que:

An+1 An

Bn+1 Bn

?

fn+1

-∂

?

fn

-∂

commuta. Es decir que fn ∂ = ∂ fn+1

2.4 Proposicion: Las cadenas junto con morfismos de cadenas forman unacategorıa 2

La categorıa de 2.4 se denotara por Ch (Chains en ingles).

Recuerde que si C es una categorıa punteada entonces para un morfismof : A → B existe un kernel de f es decir un morfismo K

k→ A tal quef k = 0 y si K1

k1→ A es tal que f k1 = 0, entonces existe un unico morfis-mo h : K1 → K tal que kh = k1. Nosotros denotaremos por K(f) al kernelde f y 0 = 0f al morfismo K(f) → A y llamaremos ker(f) = (K(f), 0f ).

2.5 Ejercicio:

1. Halle el kernel de f en la categoria Ab de los grupos abelianos.

2. Defina directamente cokernel y demuestre que el cokernel en losgrupos abelianos esta dado ası: si f : A → B, entonces coker(f) esB → B

f(A) la proyeccion.

3. Llame Im(f) = ker(cokerf). Calcule Im f en Ab.

4. Defina coimagen y calculela en Ab.


2.6 Proposicion: Sean A y B cadenas y f : A → B un morfismo de cadenasentonces el kernel de f existe en Ch y esta dado por:

K(fn+1) An+1 Bn+1

K(fn) An Bn

?

∂\

-o -fn+1

?

∂

?

∂

-o

-fn

Demostracion. Ejercicio.

Ahora veremos el primer funtor de homologıa, pero restringido a las cadenas.

2.7 Proposicion: Si f : A → B es un morfismo de cadena, entonces:

1. f∗n : Zn(A)Bn(A) →

Zn(B)Bn(B) dado por f∗n[an] = [fn(an)] es un homorfismo de

grupos

2. Para Af→ B

g→ C, (g f)∗n = g∗n f∗n

3. (1A)∗n = 1Hn(A) es decir Hn(1A) = 1Hn(A)

Demostracion: Para que un homomorfismo f : A1 → A2 de grupos abelianospase el cociente f : A1

B1→ A2

B2es necesario y suficiente que f(B1) ⊆ B2.

Aquı debemos dar dos cosas: primero, si f : A → B entonces f(Zn(A)) ⊆Zn(B) para asi tener fn| : Zn(A) → Zn(B) y segundo fn(Bn(A)) ⊆ Bn(B).Consideremos pues:

An+1 An An−1

Bn+1 Bn Bn−1

?

fn+1

-∂ -∂

?

fn

?

fn−1

-∂

-∂

Si an ∈ An y an ∈ Zn(A) entonces ∂(an) = 0 y por tanto fn−1∂(an) = 0.Es decir que ∂fn(an) = 0 y por tanto fn(a) ∈ Zn(B). Por tanto f |Zn(A) :Zn(A) −→ Zn(B).

Suponga ahora que an ∈ Bn(A) entonces existe an+1 tal que ∂(an+1) = an

por tanto fn(an) = fn∂(an+1) = ∂fn+1(an+1) ε ∂(Bn+1) = Bn.


Las partes 2, 3 quedan como ejercicio 2

Note:Para simplificar la escritura si f : A → B entonces Hn(A) → Hn(B), [an] 7→[fn(an)] se denota Hn(f) o bien simplemente f∗, sin el n, (lo cual permiteusar la ∗ abajo y dejar f∗ para cocadenas).

Por tanto se tiene que Hn : Ch → Ab define un funtor covariante.

2.8 Definicion: Sean f, g : A → B en Ch. Decimos que f ∼ g (f eshomotopa a g) si existe hn : An → Bn+1 tal que

gn(x)− fn(x) = ∂hn(x) + hn−1[∂(x)]

es decir que gn − fn = ∂B hn + hn−1 ∂A 2

Note que existe un funtor Ct : Ch → Ch dado por Ct(A)n = An+1 es decir quecorta A0. Esto claramente se completa en un funtor covariante tomandolo demanera obvia entre las flechas. Ademas existe 1Ch : Ch → Ch y se tiene que∂ : Ct → 1Ch es una transformacion natural. Es decir que ∂n+1 : An+1 → An

es un morfismo Ct(A) → A que en realidad es una transformacion natural.

Ahora, la homotopıa h de 2.8 es en realidad un morfismo h : A → Ct(B). Setiene por tanto el compuesto A

h→ Ct(B) ∂→ B y por tanto existe tambienCt(∂ h) : Ct(A) → Ct(B). Por otro lado existe Ct(A) ∂→ A

h→ Ct(B). Laigualdad de 2.8 es

Ct(g − f) = Ct(∂ h) + (h ∂)

Normalmente las propiedades de esta homotopıa, como si es (o no) relacionde equivalencia, o si viene o no de un sistema homotopico no se tocan. Sepasa directamente a que soporte el futuro axioma de homotopıa:

2.9 Proposicion: Si f ∼ g entonces Hn(f) = Hn(g) para todo n.

Demostracion: Suponga f, g : A → D. Entonces f∗, g∗ : Zn(A)Bn(A) →

Zn(D)Bn(D) .

Tomamos z + Bn(A) en el dominio. Entonces z ∈ Zn(A) y (f∗ − g∗)(z +Bn(A)) = (fn−gn)(z)+Bn(D) = ∂hn(z)+hn−1(∂(z))+Bn(D) = ∂hn(z)+Bn(D) = 0 puesto que ∂(hn(z)) ∈ Bn(D). Por tanto f∗ = g∗ 2


Note que la cadena → 0 → ... → 0 es la cadena inicial y final de Ch. Es decires el 0 de Ch y Hn(0) = 0, para todo n. Ahora si f : A → B es el morfismo0, entonces

A B

0

-f

@@R0

0

Conmuta. Por tanto se tiene

Hn(A) Hn(B)

0

-Hn(f)

@@@RHn(0)

Hn(0)

Por tanto Hn(A → 0) = 0, Hn(0 → B) = 0 y en el caso que nos ocupaHn(f) : Hn(A) → Hn(B) es 0 : Hn(f) = 0, para todo n.

Dos comentarios entan en un orden es esta parte. En la practica cuandose trata de dar un “funtor de homologıa” sobre una categorıa A lo querealmente se hace (normalmente) es construir, en esencia, un funtor

F : A → Ch

y tomar Hn(A) = Hn(F (A)). Es decir se usa la homologıa de Ch para definirla de A. En segundo lugar este papel de sitio de pagos, en la construccion dehomologıas no ha hecho que la parte de bondad como estructura homologicase haya consolidado. Mas exactamente, en lo que viene se axiomatizarlo quees una “categorıa admisible” para homologıa y que es una homologıa en unacategorıa admisible. En Ch se tiene una “homologıa” pero digamos, informal.No se conoce si ella resulta ser la homologıa de una “categorıa admisible parahomologıa” determinada, en Ch. Buscar una respuesta es un tema abiertopara trabajo de grado (INV).

Problemas Suplementarios

1. Sean A y B cadenas. Demuestre que la relacion de homotopıa es unarelacion de equivalencia en Hom(A,B).

2. Demuestre que en Ch la relacion de homotopıa es compatible con lacomposicion: es decir que si f, g : A → B, k : B → C y f ∼ g entoncesk f ∼ k g y que si D

l→ A, entonces f l ∼ g l.


3. Cierto o falso: Si f, g : A → B, u, v : C → D y f ∼ g, u ∼ v, entoncesf ⊕ u ∼ g ⊕ v. Inicie mostrando que f ⊕ u (y g ⊕ v) existen.

4. Determine si en Ch existe la suma algebraica f + g de morfismos decadenas. Si + existe decida si ∼ es compatible con +.

5. Determine si para A ∈ Ch de tipo finito existe descomposicion pri-mario, o racional y si f : A → B preserva torsion y parte libre. Sonhomotopicamente equivalentes dos cadenas con la misma “torsion” yel mismo “rango” (INV).

Capıtulo 3. Categorıas Admisibles para Homologıa 31

Capıtulo 3CATEGORIAS ADMISIBLES PARA

HOMOLOGIA

Sea C una categorıa. Asumimos que en C existe un sistema homotopico y suhomotopıa se denota ∼ o

η∼ si el sistema se denota η = (C, d0, d1, s). Nor-

malmente C es una subcategorıa de Top y ∼ es la homotopıa corriente deTop restringido a C. Esto supone mınimo que si A ∈ C entonces el cilindrode A (la red completa) debe estar en C. Cuando se trata de “admisibilidad”se trata de establecer el mınimo de cerraduras para que los mecanismos nofallen por falta de ellas.

Recuerde que si C es una categorıa entonces MorC tambien es una cate-gorıa. Los objetos “admisibles” estan en MorC. La admisibilidad exige queen cada HomC(A, B) se tome una unica flecha. La seleccion debe respetarla composicion : es decir que α ∈ Hom(A, B) y β ∈ Hom(B, C) han sidoseleccionados, entonces βα ∈ Hom(A, C). Diremos, en tal caso, que la sub-categorıa de MorC que se toma debe ser “cerrada para la composicion”. Por

ejemplo en los espacios topologicos se toman inclusiones Ai→ X en donde

A es un subespacio de X. Evidentemente la composicion de inclusiones esuna inclusion.

Puesto que se selecciona una unica flecha A, B digamos α : A → B ellaesta unicamente determinada por A y B (en ese orden) entonces los sımbo-los A y B son los unicos requeridos para determinarla. Por similaridad con elcaso topologico denotaremos a α por (B, A) que en el caso topologico indicaque B es un espacio topologico y A es un subespacio y en nuestra escritura(B, A) denotarıa la inclusion i : A → B es decir i = (B, A).

Seleccionados estos objetos de MorC tenemos a nuestra disposicion los mor-fismos entre ellos en la categorıa MorC. Es decir para dos objetos (X, A) y(Y, B) un morfismo f : (X, A) → (Y, B) es una pareja F : X → Y, f : A → Bde C tales que el diagrama que sigue conmuta.

A B

X Y

-f

?(X,A)

?(Y,B)

-F


En el caso corriente de Top el diagrama serıa

A B

X Y

-f

?i

?i

-F

3.1 Definicion: Una categorıa C′ de MorC se dice admisible para homologıa(sobre (C, η)) si

AH1. Para cada A y B de C, hay a lo mas un morfismo de Hom(A, B) enC′ (denotado(B, A)).

AH2. Si (X, A) esta en C′ entonces tambien estan(φ, φ), (A, φ), (X, φ), (A, A), (X, A), (X, X).

AH3. Si (X, X) ∈ C′ entonces (X, X) = 1X

AH4. Si (X, A) esta en C′ entonces en MorC′ esta la red de (X, A)(R(X, A))a saber

(X, φ)

(φ, φ) (A, φ) (X, A) (X, X)

(A, A)

HHHj4

-1©©©©*2

HHHHj3

-6

©©©*5

en donde los morfismos 1 a 6 son evidentes. Por ejemplo el morfismo1 sera

φ φ

φ A?

1φ=(φ,φ)

-φφ

?(A,φ)=φA

-φA

es decir que 1 = (φA, φφ) = (φA, 1φ).

El morfismo 5 seraA A

A X?

1A=(A,A)

-1A

?(X,A)

-(X,A)

es decir que 5 = ((X, A), 1A)


AH5. Si (X, A) y (Y, B) ∈ ObjC′, entonces todas las transformaciones naturalesde la red de (X, A) en la de (Y, B) estan en MorC′. Ası si (f, g) :(X, A) → (Y, B) es un morfismo en MorC es decir que si

A B

X y?

(X,A)

-g

?(Y,B)

-f

commuta en C, entonces el diagrama correspondiente a la parte de lasredes de (X, A) y (Y, B) sera

(A, A) (X, A)

(B, B) (Y, B)

-5(X,A)

?

(g,g)

?

(f,g)

-5(Y,B)

y entonces (g, g) : (A, A) → (B, B) y (f, g) : (X, A) → (Y, B) estan enMorC′

AH6. Para η = (C, d, d1, s) el sistema homotopico seleccionado en C, siα = (X, A) : A → X entonces C(α) : C(A) → C(X) y el cilindro(completo) de α = (X, A) es la red (se omite el nombre de las identi-dades)

A X

C(A) C(X)

A X

A X

?d0

A

AAAAAAAAU

-α

AAAAAAAAU

?d0

X

-C(α)

@@

@RsA

@@

@RsX

-α

6

d1A

¡¡

¡µ

-α

6d1

X

¡¡

¡µ

Ası que (diX , di

A) : (X, A) → (C(X), C(A)) y (sX , sA) : (C(X), C(A)) →(X, A) son transformaciones naturales. Si se toma C(α), (d0

X , d0A),

(sX , sA) entonces se tiene un sistema homotopico que denotaremosMorη en MorC. La condicion sobre homotopıa es la siguiente. Si


(X, A) esta en C′ entonces tambien esta su cilindro que se denotara

(X, A)

C(X, A) (X, A)

(X, A)

?d0(X,A)

QQ

QQQs

1

-s(X,A)

6d1(X,A)

´´

´´3

1

AH7. C′ admite al menos un objeto (∗, φ) y admite entonces todos los mor-fismos (a, φ) : (∗, φ) → (X, φ)

Nota.

a) Por abuso del lenguaje se denotara por X a (X, φ) y porf : X → Y a (f, φ) : (X, φ) → (Y, φ).

b) Estando C′ definida, en cambio de decir que α = (X, A) esta enC′ diremos que “α es admisible”. Igual cosa para morfismos demorfismos de C.

3.2 Ejercicio:

1. Determine si los espacios punteados forman una categorıa admisiblesobre Top con la homotopıa corriente.

2. Suponga que (C, η) y (D,S) son categorıas con sistemas homotopicos(η y S respectivamente). Un funtor F (C, η) → (D,S) es un funtorF : C → D tal que CS F = F Cη (caso en el cual se dice que Fpreserva homotopıas). Suponga ademas que C′ es una categorıa ad-misible para homologıa sobre (C, η). Determine si F (C′) es admisiblesobre (D,S).

3. Suponga que C′ es admisible sobre (C, η). Sea A una subcategorıa deC. De sentido a la notacion C′|A (C′ restringida a A) y a (A, η|A) ydetermine si C′|A es admisible sobre (A, η|A).

4. Suponga que una categorıa D es equivalente a una subcategorıa de C.En este caso se identifica a D como la subcategorıa de C y se aceptaD ⊆ C.


a) Demuestre que las parejas (X, A) de espacios topologicos (X es-pacio, A subespacio) es una categorıa admisible sobre Top con lahomotopıa corriente.

b) Decida si la categorıa Top es identificable con la subcategorıaplena de los pares de espacios de la forma (X, φ).

Axiomas de Homologıa

(Siguiendo Eilemberg-Steenrod y Sze-Tsen Hu)

En la red de un par (X, A) la parte

(A, φ) → (X, φ) → (X, A)

sera la parte “esencial” y usaremos la notacion generica i : (A, φ) → (X, φ)y j : (X, φ) → (X, A). Cuando se haga necesario usaremos con mas precisioni(X,A) y j(X,A), o bien lo escribimos ((X, A), φA) y (1X , φA). De manera quela parte esencial de la red de (X, A) es:

(A, φ)i→ (X, φ)

j→ (X, A)

que es ((X, A), φA). Nosotros, para propositos de homologıa identificamos elpar (X, A) con la parte esencial de la red de (X, A).

3.3 Definicion: Sea C′ admisible para homologıa sobre (C, η). Una teorıade homologıa sobre (C′) es un funtor covariante

H : C′ → Ch

(Denotado (X, A) 7→ ... → Hq(A, φ)i∗→ Hq(X, φ)

j∗→ Hq(X, A)

∂→ Hq(A))

(o (i∗)q, (j∗)q, ∂q cuando sea necesario) tal que

H1. (Axioma de exactitud) H(X, A) es una sucesion exacta

H2. (Axioma de homotopıa). Si fη∼ g en C′, entonces H(f) = H(g) en Ch

H3. (Axioma de dimension). Si q 6= 0 entonces Hq(∗, φ) = 0

H4. (Axioma de compatibilidad)

H4.1 En la q-esima parte esencial de (X, X)

Hq(X, φ)i∗→ Hq(X, φ)

j∗→ Hq(X, X)

i∗ es la identidad


H4.2 En la q-esima parte esencial de (X, φ)

Hq(φ, φ)i∗→ Hq(X, φ)

j∗→ Hq(X, φ)

j∗ es la identidad

H4.3 Para el morfismo i : (A, φ) → (X, φ), H(i)q : Hq(A, φ) → Hq(X, φ)es (ix)q : Hq(A, φ) → Hq(X, φ), de la q-esima parte esencial deH(X, A)

H4.4 Para el morfismo i : (X, φ) → (X, A) el morfismo

H(j)q : Hq(X, φ) → Hq(X, φ)

(de la q-esima parte esencial de (X, φ) en la q-esima parte esencialde (X, A)) es la identidad

H5. Recuerde que en una categorıa C un cuadrado

X Y

Z W?

α

-β

?

α

-β

se dice “cocartesiano” si conmuta y si

X Y

Z T

-β

?α

?γ

-S

conmuta entonces existe un unico morfismo Wh→ T tal que hα = γ y

hβ = S. En tal caso X se dice “la cobase de β”, β se llama un cambiode cobase de β y que el cambio de cobase se hace vıa α. Si cada par

fuente Zα← X

β→ Y se cierra en un cuadrado cocartesiano entonces la

categorıa se dice “cerrada para cuadrados cocartesianos”, o “cerradapara cambios de cobase”. Por ejemplo Top es cerrada para cambios de

cobase: si Zα← X

β→ Y son continuos entonces W = Z + Y /≈ donde

β(x) ≈ αx para cada x ∈ X, α : Y → W esta dada por α(y) = [y] yβ(Z) = [Z].

En el caso importante de espacios topologicos Z y Y con Z ∩ Y = X,entonces β : X → Y es la inclusion y α : X → Z es la otra in-clusion.


W = X + Y /∼ queda Z + Y = (Z × 1) ∪ (Y × 2) y se toma

Xα→ Z × 1 x → (x, 1), X

β→ Y × 2 x → (x, 2) Ahora en

Z × 1 ∪ Y × 2/(x, 1) ∼ (x, 2) se identifica (x, 1) ∼ (x, 2) es decirque lo que se habıa separado se une de nuevo. Aquı la Topologıa esW ⊆ Z∪Y es abierto en Z∪Y W ∩Z es abierto en Z y W ∩Y es abier-to en Y . Este espacio se denota Z ∪X Y o bien Z +X Y o bien Z VXY .Naturalmente si X = φ se tiene la suma corriente Z VφY = Z + Y .

Nosotros tomamos (X, A), (Y, A) en C′ y pedimos

H6. Si (X, A), (Y, A) y (X ∨A X, A) estan en C′, entonces (X, A)e→ (X ∨A

Y, A) induce un isomorfismo

H(l) : H(X, A) → H(X ∨A Y, A)

En el caso de que (X, A), (Y, A) esten en Top, es decir son parejas deespacios, entonces X∨AY es “el espacio X∪Y con la topologıa suma yX∩Y = A y entonces se tendra que H(l) : H(X, A) → H(X∪Y, A) esun isomorfismo. Igualmente si se da X, el espacio, X1, X2 subespacioscon X = (intX1) ∪ (intX2) para la inclusion i : (X1, X1 ∩ X2) →(X, X2) se tiene que H(i) es un isomorfismo.

3.4 Proposicion: Para una teorıa de homologıa H sobre C′ se tiene:

1. X 7→ Hq(X, φ) define un funtor covariante de C en Ab, para cada q.

2. (X, A) → Hq(X, A) define un funtor covariante de C′ en Ab, para cadaq.

3. (X, A) → Hq(A, φ) define un funtor covariante de C′ en Ab para cadaq 2

3.5 Definicion: En la proposicion precedente el funtor de 1) se llama elq-esimo funtor de homologıa (de H) sobre C; el funtor de 2) se llama el q-esimo funtor de homologıa sobre C′ y el de 3) se llama el q-esimo “funtor deproyeccion (2)” y se denotara por PRq : C′ → Ab 2

Note en 1) el funtor esta definido C → Ab y se denota Hq. Por tantoHq(X) = Hq(X, φ) y no requiere identificaciones, entre X y (X, φ).

2) PRq : C → Ab esta dado por PRq(X, A) = Hq(A)


3.6 Proposicion: ∂q define una transformacion natural PRq(X, A) : Hq(X, A) →Hq−1(A) del funtor Hq : C′ → Ab en PRq−1 : C′ → Ab 2

3.7 Proposicion: Si (X, A)η∼= (Y, B) entonces H(X, A) ∼= H(Y, B).

Demostracion: Si f : (X, A) → (Y, B) y g : (Y, B) → (X, A) son las equiva-

lencias de (η) homotopıa companeros entonces gfη∼ 1(X,A) y f g

η∼ 1(Y,B).

Luego H(g) H(f) = 1H(X,A) y H(f) H(g) = 1H(Y,B). Luego H(g) y H(f)son isomorfismos inversos el uno del otro 2

3.8 Proposicion:

1. Si en C Xη∼= Y entonces para cada q, Hq(X) ∼= Hq(Y ).

2. Si (X, A) es una η-equivalencia de homotopia en C, entoncesHq(X, A) = 0 para todo q.

3. Hq(X, X) = 0, para todo q.

Demostracion:

1. Si en C Xη∼= Y entonces en C′ (X, φ)

η∼= (Y, φ) y el resultado sigue

2. En H(X, A), i∗ : Hq(A, φ) → Hq(X, φ) es isomorfismo, ∂ = 0 y j∗ = 0.Ası que Hq(X, A) = kerg = Im j∗ = 0.

3. Xη∼= X 2

Note Hq(∗, φ) = Hq(∗) es un grupo abeliano que se llamara “el grupo decoeficientes de H” y se denotara por G.

3.9 Proposicion: Si Xη∼= ∗ (es decir que X es contractible a un punto)

entonces Hq(X) = 0 si q 6= 0 y H0(X) ∼= G (el grupo de coeficientes) 2

Secciones Admisibles

Consideramos ahora el caso en el cual (X, A) de C′ es una seccion en C.En tal caso diremos que (X, A) es una seccion admisible. Supongamos puesque r es una retraccion companera de (X, A) en C. Como es evidente que la


imagen de una seccion por un funtor covariante es una seccion y en nuestrocaso esa imagen esta en los grupos, entonces resumimos primero este caso

3.10 Proposicion: En los grupos abelianos si el compuesto Af→ B

g→ A

es la identidad entonces:1. B = Imf ⊕ kerg

2. kerg ∼= B/Imf

Demostracion: Ejercicio

Por otro lado3.11 Proposicion: Si (X, A) es una seccion en C entonces

1. i : (A, φ) → (X, φ) es una seccion en C′ con retraccion companera(r, φ) : (X, φ) → (A, φ)

2. H(i) es una seccion en la categorıa Ch de las cadenas con retraccioncompanera H(r, φ)

3. Para cada q ∈ N∗, (i∗)q : Hq(A, φ) → Hq(X, φ) es un monomorfismo

4. H(X, φ) = Im H(i) ⊕ ker H(r) en el sentido que para cada qHq(X, φ) = Im(i∗) ⊕ kerHq(r) ∼= Im(i∗) ⊕ Hq(X, φ)/Im(i∗)

Demostracion: Ejercicio 2

Ahora usamos la red de (X, A) con la siguiente notacion

(X, φ)

(φ, φ) (A, φ) (X, A) (X, X)

(A, A)

HHHjj

-©©©©*i

HHHHjk

-

©©©*l

lo cual, aplicado a (A, φ) da como resultado

(A, φ)

(φ, φ) (φ, φ) (A, φ) (A, A)

(A, φ)

QQ

QQs

j

-´

´´3i

QQ

QQsk

-

´´

´3l


por tanto, en este caso, j = l = 1(A,φ) y tambien i = k. En particular setiene que H(e)q : Hq(A, φ) → Hq(A, φ) es la identidad.

3.12 Proposicion: Si (X, A) es una seccion en C con retraccion r, entonces

1. k : (A, φ) → (A, A) es un retracto de j : (X, φ) → (X, A) en MorC′,es decir el siguiente diagrama conmuta y las filas son las identidades

(A, φ) (X, φ) (A, φ)

(A, A) (X, A) (A, A)?

k

-i

?

j

-(r,φ)

?

k

-l

-(r,A)

2. En el desarrollo de H(A, A)H(l)−→ H(X, A)

H(r,A)−→ H(A, A) del grafico

H(A, A) ... Hq(A, φ) Hq(A, φ) Hq(A, A) Hq−1(A, φ) ...

H(X, A) ... Hq(A, φ) Hq(X, φ) Hq(X, A) Hq−1(A, φ) ...

H(A, A) ... Hq(A, φ) Hq(A, φ) Hq(A, A) Hq−1(A, φ) ...

?H(l)

-

?l∗

-i∗

?l∗

-j∗

?l∗

-∂

?l∗

-

?H(r)

-

?r∗

-i∗

?r∗

-j∗

?r∗

-∂

?r∗

-

- -i∗ -j∗ -∂ -

a) Todas las composiciones verticales son la identidad.

b) En la columna izquierda l∗ es la identidad.

c) En la columna izquierda r∗ es la identidad es decir que r∗ : Hq(A, φ) →Hq(A, φ) es la identidad.

d) En la columna de la derecha ∂ : Hq(X, A) → Hq−1(A φ) es 0

e) Hq(X, φ)/Im(i∗)∼= Hq(X, A)

Demostracion:

En la parte 1 es inmediata la conmutatividad, k, j verticales son morfismosde C′. Ademas claramente las filas son las identidades (seguimiento que sehace por coordenadas).

En la parte 2:


a) Evidente por ser imagenes por funtores Hq, de identidades.

b) l∗ = H(l)q : Hq(A, φ) → Hq(A φ) sabemos que es la identidad.

c) Inmediato por a) y b)

d) La columna de la derecha es la misma de la izquierda, pero en la q− 1posicion, ası que el cuadrado inferior derecho es

Hq(X, A) Hq−1(A, φ)

Hq(A, A) Hq−1(A, φ)?

r∗

-∂

?

1

-∂

el cual conmuta y Hq(A, A) = 0. Luego ∂ : Hq(X, A) → Hq−1(A, φ)es 0.

e) Hq(X, φ)/Imi∗ = Hq(X, φ)/kerj∗∼= Imj∗ = ker∂ por un seguimiento

sobre la segunda fila que es exacta. Ahora bien como ∂ = 0,ker∂ = Hq(X, A) y por tanto Hq(X, φ)/Imi∗

∼= Hq(X, A) 2

3.13 Corolario:

Si (X, A) es una seccion en C entonces H(X, φ) ∼= H(A, φ) ⊕ H(X, A) esdecir que H(X) ∼= H(A) ⊕ H(X, A)

Demostracion: Para cada, tenıamos Hq(X, φ) ∼= Im(i∗)⊕Hq(X, φ)/Im(i∗).Ademas i∗ : Hq(A, φ) → Hq(X, φ) es un monomorfismo, por tan-to, Hq(A, φ) ∼= Im(i∗) en Ab y por la proposicion precedenteHq(X, φ)/Imi∗

∼= Hq(X, A) luego el resultado sigue 2

Existen situaciones de retraccion simples pero importantes y casos basicosdel axioma de escicion. Estos los resumimos a continuacion.

3.14 Proposicion:

1. Si X, Y son admisibles entonces H(X) ∼= H(X + Y, Y )

2. Si X admite un punto, entonces H(X) ∼= H(∗)⊕H(X, ∗) es decir queHq(X) ∼= Hq(X, ∗) si q 6= 0 y H0(X) ∼= G ⊕ H0(X, ∗)

3. Si, en C, A es una deformacion retraccion de X; es decir si A es unretracto homotopico de X, entonces H(X) ∼= H(A) ⊕ H(X, A)


4. Si uno de los dos X o Y es un retracto homotopico de X +Y entoncesH(X + Y ) ∼= H(X) ⊕ H(Y )

Demostracion:

En cuanto a la parte 1) sigue del hecho que X + Y = X ∨φ Y . La parte 2)

sigue del hecho que si ∗α→ X existe, entonces ∗

α→ X → ∗ es la identidad

y ∗ es un retracto de X. En cuanto a la parte 3) si A(X,A)−→ X −→ A es

homotopo a la identidad entonces el diagrama de 3.12 parte 2 es todavıavalido. En cuanto a 4) suponga que X es un retracto de X + Y . Entoncesen 3) H(X +Y ) ∼= H(X)⊕H(X +Y, X) ∼= H(X)⊕H(Y ). Igual afirmacionpara el caso homotopico 2

Si X y Y admiten un punto cada uno digamos ∗α

−→ X y ∗β

−→ Y entoncesdenotamos por X∨ Y la suma amalgamada de α con β. Por tanto el diagramaque sigue es cocartesiano

∗ Y

X X ∨ Y?

α

-β

?

α

-β

3.15 Proposicion: Si X ∨ Y existe en C, entonces X (respectivamente Y )es un retracto de X ∨ Y .

Demostracion: Existe una unica h que cierra conmutativo el siguientediagrama

∗ Y

X X ∨ Y ∗

X

?

α

-β

@@

@@@R?

α

-β

HHHHHHHHHHj

1

@@

@@@R

h

?

h

Ahora podemos ampliar el teorema de suma de objetos ası


3.16 Proposicion: Suponga que X ∨ Y existe en C y que su diagramaesta en C′. Entonces

1. H(X, ∗) ∼= H(X ∨ Y, Y )

2. H(X ∨ Y ) ∼= H(X) ⊕ H(Y, ∗)

Demostracion: La parte 1) es la aplicacion de H5 a Xα

←− ∗β

−→ Y . Encuanto a la parte 2) puesto que X es un retracto de X ∨ Y entonces por3.13 H(X ∨ Y ) ∼= H(X) ⊕ H(X ∨ Y, X) ∼= H(X) ⊕ H(X, ∗) 2

3.17 Corolario: Bajo las condiciones de proposicion precedente se tieneque

1. Si q 6= 0, entonces Hq(X ∨ Y ) ∼= Hq(X) ⊕ Hq(Y )

2. H0(X ∨ Y ) ∼= G ⊕ H0(X, ∗) ⊕ H0(Y, ∗)

Demostracion: Puesto que H(X ∨ Y ) ∼= H(X) ⊕ H(Y, ∗) entoncesHq(X ∨Y ) ∼= Hq(X)⊕Hq(Y, ∗). Ahora si q 6= 0, entonces Hq(Y, ∗) ∼= Hq(Y )y 1) sigue. Si q = 0, entonces H0(X ∨ Y ) ∼= H0(X) ⊕ H0(Y, ∗) y comoH0(X) ∼= G ⊕ H(X, X) la parte 2) sigue 2

3.18 Corolario: Si C es una categorıa punteada entonces

1. X ∨ Y ∼= X + Y

2. H(X, ∗) = H(X, φ) = H(X)

3. X (resp Y ) es un retracto de X + Y y H(X + Y ) ∼= H(X) ⊕ H(Y )

Demostracion: Si C es punteada entonces ∗ ∼= φ y la parte 1) sigue. Porla misma razon la parte 2). En cuanto a la parte 3) X es un retracto deX ∨ Y ∼= X + Y .

Note: si H0(∗) = 0, entonces H se dice una “teorıa de homologıa reducida”.

3.19 Corolario: Si una categorıa punteada admite una teorıa de homologıaH, entonces H es reducida.


Retracciones Admisibles, η-deformaciones

Suponga que C′ es admisible sobre (C, η).

3.20 Definicion: Si (X, A) es admisible y (X, A) es una retraccion entoncesdiremos que “X es retraible a A”. Si (X, A) es una retraccion η-homotopicadiremos que “X es deformable a A vıa η”, o que “X es η-deformable a A” 2

3.21 Proposicion:

1. Si (X, A) es una retraccion entonces (X, φ) es un retracto de (A, φ)en C′.

2. Si (X, A) es una retraccion η-homotopica, entonces (X, φ) es un re-tracto η-homotopico de (A, φ) 2

La proposicion precedente implica que las retracciones en C permanecen (enC′) si se identifica C con la subcategorıa de C′ de los objetos de la forma(X, φ), como es costumbre.

3.22 Proposicion: Suponga que (X, A) : A → X es un retracto admisiblecon seccion companera s : X → A en C. Entonces

1. m : (X, A) → (X, X) de la red de (X, A) es un retracto con seccioncompanera (1, s) : (X, X) → (X, A)

2. Hq(s, φ) : Hq(X, φ) → Hq(X, φ), de H(1, s) : H(X, X) → H(X, A) esla identidad

3. i∗ : H(A, φ) → H(X, φ) es un epimorfismo y (s, φ)∗ : H(X, φ) →H(A, φ) es un monomorfismo

4. Para cada q, Hq(A) ∼= Hq(X) ⊕ Hq+1(X, A)

Demostracion: 1) es evidente. En cuanto a 2) la composicion

Hq(X, φ)Hq(s,φ)−→ Hq(X, φ)

i∗−→ Hq(X, φ)

es la identidad. Ademas i∗ : H(X, A) → H(X, X) induce la identidad i∗ :Hq(X, φ) → Hq(X, φ) por el axioma de compatibilidad. Por tanto Hq(s, φ) =1Hq(X,φ). La parte 3) es evidente de 3.21. En cuanto a la parte 4), puestoque el compuesto

Hq(X, φ)s∗→ Hq(A, φ)

i∗→ Hq(X, φ)


es la identidad entoncesHq(A, φ) ∼= s∗(Hq(X, φ)) ⊕ keri∗

∼= Hq(X, φ) ⊕ Im(∂q+1)= Hq(X, φ) ⊕ ∂q+1(Hq+1(X, A))

Ahora bien se tiene la sucesion de (X, A) ası:

Hq+1(X, A)∂→ Hq(A, φ)

i∗→ Hq(X, φ)j∗→ Hq(X, A)

∂→ Hq−1(A, φ)

j∗ = 0 puesto que i∗ es sobreyectivo y entonces ∂ tiene kernel 0 y es unmonomorfismo. Ası que

∂(Hq+1(X, A) ∼= Hq+1(X, A) y Hq(A, φ) ∼= Hq(X, φ) ⊕ Hq+1(X, A) 2

3.23 Corolario: Si A → X es admisible (es decir (X, A) ∈ C′) entoncespara cada q Hq(A) ∼= Hq(X) ⊕ Hq+1(X, A) 2

3.24 Proposicion:

1. Si X es deformable en A y A → B y B → X son admisibles, entonces:

a) X es deformable a B

b) Hq(B) ∼= Hq(X) ⊕ Hq+1(X, B), ∀q

2. Si X es contractible a un punto, entonces

a) Si B admite un punto y (X, B) es admisible entonces X es de-formable en B

b) Hq(B) ∼= Hq(X) ⊕ Hq+1(X, B), ∀q

Demostracion: Las dos partes b) son inmediatas de las respectivaspartes a).

En cuanto a 1) a), como X es deformable a A entonces Xs

−→ A(X,A)−→ X es la

identidad. Pero ademas puesto que (B, A) y (X, B) son admisibles entonces(X, B) (B, A) = (X, A) por tanto X

s→ A → B → X es la identidad. 2) a)

sigue de 1) a) tomando A = ∗ 2

3.25 Proposicion: Si X es deformable en B y B lo es en A ((X, B), (B, A)admisibles) entonces:

1. X es deformable en A


2. Hq(X) ⊕ Hq+1(X, A) ∼= Hq(X) ⊕ Hq+1(X, B) ⊕ Hq−1(B + A)

3. Si Hq(A) es finitamente generado entonces

Hq(X, A) ∼= Hq(X, B) ⊕ Hq(B, A)∀q 6= 0

Demostracion: La parte 1) es inmediata. En cuanto a 2) sigue de lasformulas

Hq(B) ∼= Hq(X) ⊕ Hq+1(X, B)Hq(A) ∼= Hq(B) ⊕ Hq+1(B, A)Hq(A) ∼= Hq(X) ⊕ Hq+1(X, A)

Para 3) se sigue que si Hq(A) es finitamente generado tambien lo son to-dos los grupos de las tres formulas. Por tanto en la parte 2) Hq(X) serıacancelable y la formula de 3 sigue 2

Homologıa Reducida

Recuerde que si X, Y son cadenas y f : X → Y es un morfismo de cadenasentonces el kernel de f , ker(f) es una cadena que en el nivel n es

K(fn)Ofn−→ Xn

fn−→ Yn

donde K(fn) es el kernel de fn y Of es la inclusion. Se tiene ademas que∂(K(fn)) ⊆ K(fn−1) y por tanto

... K(fn)∂|−→ K(fn−1)

∂|−→ K(fn−2) −→ ...

es una cadena y que Of : K(f) → X dada por (Of )n = Ofn : K(fn) → Xn

es un morfismo de cadenas.

Se tiene en el caso de C′ admisible sobre (C, η), que

3.26 Proposicion: C′ tiene como objeto final (∗, ∗)2

La relevancia de sto es que, entonces, para cada (X, A) de C′, existe un unicomorfismo (X, A) → (∗, ∗) en C′.

Recuerde que H(∗, ∗) es


→ H1(∗, φ)i∗→ H1(∗, φ)

j∗→ H1(∗, ∗)

∂→ H0(∗, φ)

i∗→ H0(∗, φ)j∗→ H0(∗, ∗)

o bien→ 0 → 0 → 0 → G

1→ 0

Por tanto para cada (X, A), es decir para cada (X, A) → (∗, ∗) se tieneΦ(X,A) : H(X, A) → H(∗, ∗) un morfismo de cadenas exactas a saber

H1(A, φ) H1(X, φ) H1(X, A) H0(A, φ) H0(X, φ) H0(X, A)

0 0 0 0 0 0

-

?

-

?

-

?

-∂

?α

-

?β

-

?- - - - - -

El kernel de Φ(X, A) sera entonces

i∗→ H1(A, φ)i∗→ H1(X, φ)

j∗→ H1(X, A)

∂→ kerα

i∗→ ker(β)j∗→ H0(X, A)

la cual es una cadena, segun sabemos.

3.27 Proposicion: puesto que kerΦ(X,A) es una sucesion exacta.

Demostracion: puesto que kerΦ(X,A) es igual a H(X, A) hasta el nivel 1,resta demostrar exactitud en H0. Como los morfismos son restricciones losde H(X, A) entonces las composiciones son 0. Ası que resta demostrar quekeri∗ ⊆ Im∂ y kerj∗ ⊆ Imi∗. Las dos cosas son faciles de demostrar.

En adelante kerΦ(X,A) sera denotado por H(X, A) y su notacion sera

→ Hq(A, φ)i∗→ Hq(X, φ)

j∗→ Hq(X, A)

∂→ Hq−1(A, φ) → ...

Naturalmente Hq = Hq si q > 1 o q = 0. Queremos ahora considerarH(∗, ∗). El morfismo Φ : (∗, ∗) → (∗, ∗) es la identidad. Por consiguienteΦ(∗,∗) : H(∗, ∗) → H(∗, ∗) es la identidad. Ası pues kerΦ(∗,∗) = 0 por tantotodos los grupos en la siguiente cadena son cero

... → H1(∗, ∗)∂→ H0(∗, φ)

i∗→ H0(∗, φ)j∗→ H0(∗, ∗)

por tanto H0(∗, φ) = 0

3.28 Proposicion:

1. Si H es una teorıa de homologıa sobre C′ entonces tambien lo es H.


2. H es una teorıa de homologıa reducida.

3. Si X admite un punto admisible ((X, ∗) ∈ C′) entonces Hq(X) ∼=Hq(X, ∗), para todo q.

4. H(X ∨ Y ) ∼= H(X) ⊕ H(Y )

5. Si X es contractible a un punto, entonces Hq(X) = 0,∀q

6. Para todo q, Hq(X, A) = Hq(X, A) cuando A ∼= φ y Hq(X) = Hq(X)si q 6= 0.

Ejercicios Suplementarios

1. Demuestre que en Top, X es una retraccion de X + Y

2. Demuestre que si X, Y son espacios topologicos y X∩Y = A, entoncesX ∨A Y es la suma “topologica” de X con Y .

3. Demuestre que ∂q de 3.6 es en efecto una transformacion natural.

4. Denotamos X ∨ Y ∨ Z a (X ∨ Y ) ∨ Z:a) Decida si X ∨ Y ∨ Z ∼= X ∨ (Y ∨ Z).b) Decida si X ∨ Y ∼= Y ∨ X.c) Decida si existe un objeto E tal que X ∨ E ∼= X para todo X.

5. Calcule la homologıa de X ∨ Y ∨ Z en terminos de la de X, Y , Z.Hagalo para homologıa y homologıa reducida.

Capıtulo 4. Suspension. 49

Capıtulo 4SUSPENSION

Suponga que η es un sistema homotopico en C. Recuerde que

4.1 Definicion:

1. Si el diagrama

A X

∗ T?

∗A

-α

?

∗A

-α

es cocartesiano entonces T se dice “la identificacion” de la imagen deα a un punto y se denotara X|α(A).

2. Si (X, A) es admisible y α = (X, A) entonces se dira que T es “laidentificacion de A a un punto” y se denotara X|A. Ademas ∗A sellamara “la proyeccion” de X sobre X|A, denotada π.

En lo que sigue consideramos una categorıa admisible C′ sobre (C, η) tal quepara cada A, C(X)|d0(X) y C(X)|d1(X) existen.

4.2 Definicion: C(X)|d0(X) se llama “el cono inferior de X”y C(X)|d1(X)

se llama “el cono superior de X”. Se denotaran C0n(X) y C1n(X) repecti-vamente.

4.3 Proposicion: para i = 0, 1, Cin : C → C es un funtor covariante si setoma para f : X → Y como Cin(f) al unico morfismo Cin(X) → Cin(Y )que deja conmutativo el siguiente diagrama

X C(X)

∗ Cin(X)

Cin(Y ) 2

?

∗f

-diX

?

πiX

AAAAAAAAAAAU

πiY C(f)-di

X

HHHHHHHHHHj

diY

@@

@@R

Cin(f)


Para los dos objetos distinguidos de C, ∗ y φ se tiene

4.4 Proposicion

1. Cin(∗) ∼= C(∗) para i = 0, 1

2. Cin(φ) para i = 0, 12

Recordemos ahora que en el diagrama de definicion de C0n(X) se tiene el

morfismo π0x : C(X) → C0

n(X) y que por tanto el “cono o” de X se obtienedel cilındro identificando “la copia” d0

X , de X a un punto. Graficamente

Note que la copia d1X sobrevive en C0

n(X) y que ∗−→

d0X C0

n(X) es el punto

obtenido al identificar d0X a un punto. Ası que el punto inferior (vertice) del

cono es d0X . Igual cosa para C1

n(X).

El d1X que dijimos que sobrevive en el cono cero de X es el morfismo

Xd1

X−→ C(X)π0

X−→ C0n(X). Este morfismo sera llamado “la copia de X en

C0n(X)” y sera denotado por Φ0

X : X → C0n(X). Der igual forma se define

Φ1X : X → C1

n(X).

4.5 Proposicion: ΦiX : X → Ci

n(X) define una transformacion naturalΦ : 1C → Ci

n 2

Ahora estamos interesados en que ΦiX para i = 0, 1 esten en C′.

4.6 Definicion: Diremos que C′ admite conos si ΦiX es un objeto de C′ para

i = 0, 1 2

Tenemos entonces en C′(C0n(X), X) y (C1

n(X), X) y por tanto existe (C1n(X)∨X

C1n, X) en C′.

4.7 Definicion: C0n(X)∨X C1

n(X) se llma “la suspension de X y se denotaΣX 2


Recuerde que

X C1n(X)

C0n(X) ΣX

-Φ1

X

?

Φ0X

?

Φ0X

-Φ1

X

es un diagrama cartesiano y que la diagonal es (ΣX, X).

4.8 Proposicion: Suponga que C′ admite conos. Si f : X → Y es admisible(ie(f, φ) : (X, φ) → (Y, φ) es admisible) entonces existe un morfismo

Σ(f) : Σ(X) → σ(Y )

unico tal que Φ0Y C1

n(f) = Σ(f) Φ0X y Σ(f) Φ1

X = Φ1y C0

n(f).

Demostracion: Sigue del siguiente diagrama cuyo cuadrado central es co-cartesiano

X C1n(X)

C0n(X) Σ(X) C1

n(Y )

C0n(Y ) Σ(Y )

?

Φ0X

-Φ1

X

?

Φ0X

@@

@@R

C1n(f)

-Φ1

X

@@

@@RC0

n(f)

@@

@@RΣ(f)

?

Φ0Y

-Φ1

Y

y del hecho de que las composiciones externas coinciden. Esto ultimo siguedel siguiente diagrama con cuadrados cerrados commutativos

X C1n(X)

C0n(X) Σ(X)

Y C1n(Y )

C0n(Y ) Σ(Y )

?

f

QQQsΦ0

X

-Φ1

X

?C1

n(f)

QQQs

Φ0X

-Φ1

X

?C0

n(f)

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p?

Σ(f)

QQQsΦ0

Y

-Φ1

Y

QQQs

Φ0Y

-Φ1

Y


de donde se recibe que Φ0Y C1

n(f)Φ1X = Φ0

Y (C1n(f)Φ1

1)(1)= Φ0

Y (Φ1xf) =

(Φ0Y Φ1

X)f(2)= (Φ1

Y Φ0Y )f donde (1) sigue de que Φ1 es una transforma-

cion natural y (2)sigue la definicion de Σ aplicada a Y . Se tiene entonces queΣ(f) es el unico morfismo que cierra el paralelipipedo conmutativamente 2

4.9 Proposicion:

1.∑

(f g) =∑

f ∑

g

2.∑

(1X) = 1∑

X

3. Φ1 : C0n →

∑

y Φ0 : C1n →

∑

son transformaciones naturales.

4.10 Definicion:

1. Diremos que C′ admite suspension si (X, A) ∈ C′ → (∑

X,∑

A) ∈ C′.

2. Si C′ admite suspension diremos que C′ tiene conos nulos si Cin(X) es

contractible al vertice 2

4.11 Proposicion: Suponga que C′ admite suspension y tiene conos nulos.Entonces para cada q, Hq(X) ∼= Hq+1(

∑

(X)).

Demostracion: Por el axioma de excision se tiene que H(∑

X, C0n(X)) ∼=

H(C1n(X), X). Por ser C1

n(X) contractible entonces es deformable en X ypor tanto Hq(C

1n(X)) ⊕ Hq+1(C

1n(X), X) ∼= Hq(X).

Ahora bien como C0n(X) es contractible, entonces H(

∑

X, C0n(X)) ∼= H(

∑

X).Ası pues Hq(X) ≈ Hq(C

1n(X)) ⊕ Hq+1(C

1n(X), X) ∼= Hq+1(C

1n(X), X) ∼=

Hq+1(∑

X, C0n(X)) ∼= Hq+1(

∑

X) 2

η - esferas

Note que (∗, φ) es admisible. Entonces se puede hacer un cambio de la cobaseφ via φ → ∗ y el resultado admisible. El cambio de cobase se llamara “laesfera 0 de C′”. Entonces se tiene que el siguiente diagrama es cocartesiano

φ ∗

∗ S0?

-

?-


y por ende S0 = ∗ + ∗.

Ahora bien, en el caso topologico se tiene que∑

Sn ∼= Sn+1. Nosotros defin-imos en (C, η) las η esferas como S0 (que no depende de η) y por recurrenciaSn+1 =

∑

Sn o bien∑

η Sn.

4.12 Proposicion: Si C′ no es punteada, admite suspension y tiene conosnulos. Entonces Hq(S

q) = G para todo q y Hq(Sn) = 0 si q 6= n.

Demostracion: Por el axioma de excision H(S0, ∗) ∼= H(∗, φ) y por con-siguiente Hq(S

0, ∗) = 0 si q 6= 0 y H0(S0, ∗) ∼= G.

Ahora bien H(S0) ∼= H(S0, ∗), obviamente (∗ es contractible a ∗). AdemasH(X, A) = H(X, A) si A SIMBOLO φ. De manera que supuesto queC no es punteada entonces H(S0, ∗) = H(S0, ∗) y por ende

Hq(S0) ∼= Hq(S

0, ∗) = Hq(S0, ∗) =

0 si q 6= 0G si q = 0

en resumen H0(S0) ∼= G y Hq(S

0) = 0 si q 6= 0. Por tanto

G = H0(S0) ≈ H1(

∑

S0) = H1(S1) ∼= H2(S

2) ∼= ... ∼= Hn(Sn)

Ahora consideramos n 6= q. Hq(Sn) ∼= Hq−n(S0). Puesto que q − n 6= 0,

entonces Hq(Sn) = 0 2

4.13 Corolario: Si H es cualquier homologıa sobre una categorıa admisiblede espacios topologicos (en el sentido de Hu: Homology Theory Holden Day1970); entonces Hn(Sn) ∼= G y Hq(S

n) = 0 si q 6= n 2

En cualquiera de los casos 4.12 y 4.13 se tiene que

1. Si q 6= 0, Hq(sn) ∼= Hq(S

n) =

0 si q 6= nG si q = n

2. Si q = 0, entonces H0(Sn) ∼= G ⊕ H0(S

n, ∗) por 3.14 2). luego

H0(Sn) ∼= G ⊕ H0(S

n, ∗) ∼= G ⊕ H0(Sn)

G si n 6= 0G ⊕ G si n = 0


Ejercicios

1. Demuestre que S′ no es contractible a un punto.

2. Calcule H(S′ ∨ S′) en cualquier teorıa de homologıa que admite sus-pension y tiene conos nulos.

3. Se llama el n-simplejo topologico ∆n al subespacio de Rn+1 de los

puntos (x0, ..., xn) tales que xi ≥ 0 y

n∑

i=0

xi = 1. Se llama la frontera

convinatoria de ∆n, denotada ∂∆n, a los x de ∆n conn

∏

i=0

xi = 0.

a) Muestre que ∆n es el cubriento conexo del conjunto e0, e1, ..., endonde ei es ek i-esimo vector unitario de R

n+1.

b) CalculeH(∆n, ∂∆n) para cada n.

c) Tome ∂i∆n al cubrimiento convexo en R

n+1 de e0, e1, ..., ei, ..., en

donde ˆ significa “eliminado” y ∆(n, i) =⋃

j 6=i

∂i∆n. Calcule

H(∂i∆n), H(∆(n, i)), H(∆n, ∆(n, i))

4. Calcule de

Lo mismo para n copias de S′ unidos de la misma manera. Haga lopropio para

y para con n copias de S′ colgando.

Capıtulo 5. Triplas. 55

Capıtulo 5TRIPLAS

En lo que sigue consideramos B → A → X admisibles. Por tando estan enC′, como objetos (A,B), (X, B), (X, A). Inicialmente consideramos los mor-

fismos admisibles (A,B)((X,A),1)−→ (X, B) y (X, B)

(1,(A,B))−→ (X, A). Veremosque la imagen de la compuesta es exacta. Denotemos α = ((X, A), 1) yβ = (1, (A,B))

5.1 Proposicion: H(A,B) α∗−→ H(X, B)

β∗−→ H(X, A) es exacta.

Demostracion: Que β∗ α∗ = 0 sigue de que

(A,B) (X, B)

(A,A) (X, A)?

(1,(A,B))

-α

?

β

-((X,A),1A)

conmuta de manera obvia y como H(A,A) = 0. Para la parte kerβ∗ ⊆ Imα∗,el diagrama extendido de β∗ α∗ = 0 es

Hq(B) Hq(B) Hq(A)

Hq(A) Hq(X) Hq(X)

Hq(A,B) Hq(X, B) Hq(X, A)

Hq−1(B) Hq−1(B) Hq−1(A)

Hq−1(A) Hq−1(X) Hq−1(X)

-1

?

i∗(A,B)

-(A,B)∗

i∗(A,B)

?

i∗(X,A)

?

i∗(X,A)

-(X,A)∗

i∗(X,A)

?

j∗(A,B)

-1

?

j∗(X,B)

?

j∗(X,A)

-α∗

?

∂(A,B)

-β∗

?

∂(X,B)

?

∂(X,A)

-1

?

i∗(A,B)

-i∗(A,B)

(A,B)∗

?

i∗(X,B)

?

i∗(X,A)

-(X,A)∗

i∗(X,A)

-1

Cada una de las vertices es exacta.


Tenemos x ∈ kerβ∗ en Hq(X, B). Entonces ∂(X,B)(x) ∈ ker(A,B)∗ puestoque (A,B)∗∂(X,B)(x) = ∂(x,A)(β∗(x)) = 0.

Como ∂(X,B)(x) ∈ ker(A,B)∗ = Im∂(A,B), entonces existe µ ∈ Hq(A,B)tal que ∂(A,B)(µ) = ∂(X,B)(x). Es decir que ∂(X,B)α

∗(µ) = ∂(X,B)(x) y portanto α∗(µ)− x ∈ ker∂(X,B). Ası pues existe t ∈ Hq(X) tal que j∗(X,B)(t) =α∗(µ)− x.

Ahora bien j∗(X,A)(t) = β∗j∗(X,B)(t) = β∗(α∗(µ)− x) = β∗α

∗(µ)− β∗(x) = 0.Como t ∈ kerj∗(X,A) entonces existe w ∈ Hq(A) tal que i∗(X,A)(w) = t.

Note ahora que i∗(X,A) y (X, A)∗ son dos notaciones de la misma funcion porlos axiomas de compatibilidad.

Veamos ahora que α∗(µ + j∗(X,A)(w)) = x : α∗(µ + j∗(X,A)(w)) = α∗(µ) +α∗j∗(X,A)(w) = α∗(µ) + j∗(X,B)(X, A)∗(w) = α∗(µ) + j∗(X,B)(i

∗(X,A)(w)) =

α∗(µ) + j∗(X,B)(t) = x. Ası pues x ∈ Im(α∗) 2

Tomemos ahora Hq(X, A)∂(X,A)−→ Hq−1(A)

(1A,φB)∗−→ Hq−1(A,B). Note que(1A, φB)∗ = j∗(A,B). Tomamos ∂(X,A,B) = j∗(A,B) ∂(X,A) : Hq(X, A) →Hq−1(A,B).

5.2 Proposicion: Hq(X, B)β∗−→ Hq(X, A)

∂(X,A,B)−→ Hq−1(A,B) es exacta.

Demostracion: ∂(X,A,B) β∗ = j∗(A,B) ∂(X,A) β∗ = j∗(A,B) ∂(X,A) β∗ =j∗(A,B) (A,B)∗ ∂(X,B). Ahora bien (A,B)∗ = i∗(A,B), luego j∗(A,B) (A,B)∗ ∂(X,B) = j∗(A,B) i∗(A,B) ∂(X,B) = 0. Luego, Imβ∗ ⊆ ker ∂(X,A,B).

Veamos que ker∂(X,A,B) ⊆ Imβ∗.

Sea x ∈ ker∂(X,A,B) → j∗(A,B)∂(X,A)(x) = 0 por tanto ∂(X,A) ∈ kerj∗(A,B) =Imi∗(A,B). Por tanto existe y ∈ Hq−1(B) tal que i∗(A,B)(y) = ∂(X,A)(x).Ahora i∗(X, A)i∗(A,B)(y) = i∗(X, A)∂(X,A)(x) = 0 y ademas i∗(X, A)i∗(A,B) =i∗(X, B) luego i∗(X, B)(y) = 0, entonces y ∈ keri∗(X,B) y existe z ∈ Hq(X, B)tal que ∂(X,B)(z) = y. Note que tanto x como β∗(z) ∈ Hq(X, A) y ademas∂(X,A)β

∗(z) = i∗(A,B)∂(X,B)(z) = i∗(A,B)(y) = ∂(X,A)(x).


Entonces ∂(X,A)(x−β∗(z)) = ∂(X,A)(x)−∂(X,A)β∗(z) = ∂(X,A)(x)−∂(X,A)(x) =

0. Ası pues x − β∗(z) ∈ ker∂(X,A) = Imj∗(X,A). Luego existe w ∈ Hq(X)tal que j∗(X,A)(w) = x − β∗(z). Despejando x = j∗(X,A)(w) + β∗(z) comoj∗(X,A) = β∗ j∗(X,β) entonces x = β∗(j∗(X,A)(w)) + β∗(z) ∈ Imβ∗

2

5.3 Proposicion: Hq(X, A)∂(X,A,B)−→ Hq−1(A,B) α∗

−→ Hq−1(X, B) es exacta.

Demostracion: α∗∂(X,A,B) = α∗ j∗(A,B) ∂(X,A) = j∗(X,β) i∗(X,A) ∂(X,A) =j∗(X,B) 0 = 0. Luego Im∂(X,A,B) ⊆ kerα∗. Veamos que kerα∗ ⊆ Im∂(X,A,B):

Sea x ∈ kerα∗, entonces ∂(A,B)(x) = ∂(X,B)α∗(x) = 0 y x ∈ ker∂(A,B) =

Imj∗(A,B). Entonces existe y ∈ Hq(A) tal que j∗(A,B)(y) = x. Ahora j∗(X,B)i∗(X,A)(y) =

α∗(j∗(A,B)(y)) = α∗(x) = 0.

Entonces i∗(X,A)(y) ∈ Imi∗(X,B). Por tanto existe z ∈ Hq(B) tal que i∗(X,B)(z) =i∗(X,A)(y). Ahora

i∗(X,A)(y − i∗(A,B)(z)) = i∗(X,A)(y)− i∗(X,A)i∗(A,B)(z) = i∗(X,A)(y)− i∗(X,B)(z) = i

Entonces y − i∗(A,B)(z) ∈ keri∗(A,B) = Im∂(X,A). Por tanto existe w ∈Hq+1(X, A) tal que ∂(X,A)(w) = y − i∗(A,B)(z).

Veamos que ∂(X,A,B)(w) = x

∂(X,A,B)(w) = j∗(A,B)∂(X,A)(w) = j∗(A,B)(y−i∗(A,B)(z) = j∗(A,B)(y)−j∗(A,B)i∗(A,B)(z) =

x− 0 = x. Ası pues x ∈ Im∂(X,A,B) 2

5.4 Definicion:

1. Denote i(X,A),B = ((X, A), 1B) : (A,B) → (X, B) y jX,(A,B) = (1X , (A,B))en donde (X, A) y (A,B) son admisibles y ∂(X,A,B) = j∗(A,B) ∂(X,A) :Hq(X, A) → Hq−1(A,B)

2. La sucesion

→ Hq(A,B)i∗(X,A),B−→ Hq(X, B)

j∗X,(A,B)−→ Hq(X, A)

∂(X,A,B)−→ Hq−1(A,B) →

se llama la sucesion de homologıa de tripla (X, A,B) 2


5.5 Corolario: La sucesion de homologıa de (X, A,B) es una sucesion ex-acta 2

5.6 Proposicion:

1. Si B = φ entonces i(X,A),B = i(X,A),φ = i(X,A) y j∗X,(A,B) = j∗(X,A) y lasucesion exacta de (X, A,B) es la sucesion exacta de (X, A).

2. Si Aη∼= B, entonces j∗X,(A,B) : Hq(X, B) → Hq(X, A) es un isomor-

fismo, ∀q. (Note que Aη∼= B es equivalente a que A es deformable en

B).

3. Si X es deformable en B, entonces la sucesion exacta de (X, A,B) esla sucesion 0.

4. Si A es contractible a un punto entonces j∗X,(A,B) : Hq(X, B) →Hq(X, A) es un isomorfismo.

5. Si (X, A) es admisible y A admite un punto entonces

→ Hq(A, ∗) i∗∗→ Hq(X, ∗) j∗∗→ Hq(X, A) ∂∗→ Hq−1(A, ∗) →

con los morfismos i∗∗ = i(X,A),∗ , j∗∗ = jX,(A,∗), ∂∗ = ∂(X,A,∗) es exacta2

5.7 Definicion: La sucesion

→ Hq(A, ∗) i∗∗→ Hq(X, ∗) j∗∗→ Hq(X, A) ∂∗→ Hq−1(A, ∗) →

se llama la sucesion exacta “punteada” de (X, A) 2

Ahora nos entendemos con morfismos entre triplas.

Supongamos que B → A → X es una tripla de C′ entonces B → A, A → X,B → X son admisibles.

5.8 Definicion: Si (X1, A1, B1) y (X2, A2, B2) son triplas admisibles, unmorfismo admisible f : (X1, A1, B1) → (X2, A2, B2) es una tripla fX , fA, fB

con fX : X1 → X2, fA : A1 → A2, fB : B1 → B2 tal que (fX , fA) y (fA, fB)son admisibles.

5.9 Proposicion: Si f : (X1, A1, B1) → (X2, A2, B2) es un morfismo ad-misible de triplas, entonces


1. (fX , fB) es admisible.

2.

Hq(A1, B1) Hq(X1, B1) Hq(X1, A1) Hq(A1, B1)

Hq(A2, B2) Hq(X2, B2) Hq(X2, A2) Hq(A2, B2)

- -i∗

?(fA,fB)∗

-j∗

?(fX ,fB)∗

-∂∗

?(fX ,fA)∗

-

?(fA,fB)∗

- - - - -

establece un homomorfismo de sucesiones de grupos (abelianos) y ho-momorfismo 2

Notacion: La sucesion de (X, A,B) se denotara H3(X, A,B) y se llamara lasucesion de homologıa de la tripla (X, A,B). Se nota claramente que paradar una teorıa de homologıa es equivalente dar sucesiones de parejas o darlasde triplas puesto que cada una de ellas implica la otra. Algo distinto ocurrecuando se hable del axioma de escision. Algo mas laborado debe hacerse. Sinembargo, la parte de funtores de homologıa tienen directamente. En efecto

5.10 Proposicion: Si se toman como objetos las triplas admisibles y comomorfismos entre ellos los morfismos de 5.8 entonces se tiene una categorıa 2

La categorıa de la proposicion precedente se denotara C′3 y se tiene de in-mediato que

5.11 Proposicion: H3 : C′3 → Ch definido como (X, A,B) 7→ H3(X, A,B)y para f : (X1, A1, B1) → (X2, A2, B2) se toma H3(f) el morfismo entrecadenas de 5.9, 2, entonces H define un funtor covariante 2

Si η = (C, d0, d1, s) es una homotopıa en C. Para una tripla (X, A,B) tomecomo cilindro C3(X, A,B) a

B A X

C(B) C(A) C(X)

B A X

-(A,B)

?

d0B

-(X,A)

?

d0A

?

d0X

-C(A,B)

-C(X,A)

6

d1B

-(A,B)

6

d1A

-(X,A)

6

d1X

(d0(X,A,C)) = d0

3

(d1(X,A,B)) = d1

3


denotaremos η3 = (C3, d03, d

13, s3).

5.12 Proposicion: η3 un sistema homotopico sobre C3 2

En cuanto a la repercusion de η3 sobre la homologıa de triplas se tiene.

5.13 Proposicion:

1. Si (X, A,B) es admisible en C′3 entonces tambien lo es la red de C3(X, A,B).

2. Si f, g : (X1, A1, B1) → (X2, A2, B2) son morfismos en C′3 y fη3∼ g,

entonces H3(f) = H3(g) 2

Ejercicios Suplementarios

1. Demuestre 1, 2, 4, 5 de 5.6.

2. Demuestre 3 de 5.6 y comparelo con corolario 6.3 del libro de Hu.Compatibilice los dos resultados.

3. Concrete la existencia de una categorıa de parejas punteadas de 5.6,5 y funtor de homologıa siguiendo 5.7. De ademas el correspondientesistema homotopico y el paralelo con el axioma de homotopıa, comoun teorema.

4. Proponga un paralelo al axioma de escision para parejas punteadas consu teorema correspondiente a nivel de homologıa de parejas punteadas.

5. Denote por HX(X, A) la sucesion de 5.7. Determine H∗(X, A) cuandoX es contractible a un punto. Determine la existencia y validez deH∗(X, A).

61 Homología Singular

CAPÍTULO 6HOMOLOGÍA SINGULAR

Objetos simpliciales y cosimpliciales

Los objetos que dan lugar a la llamada homología singular juegan un papel mucho masamplio en Topología Algebraica que los mostrados aquí. La presentación que usamospermitirá al estudiante leer al respecto en libros mas avanzados.

6.1 Definición:1 es la categoría de los conjuntos 0, 1, , n = [n], y? â 8 œ !ß "ß #ß ÞÞÞÞ

morfismos entre ellos las funciones crecientes.2 Los sobre una categoría , son los funtores contravariantesobjetos simpliciales V

?Ò V.3 Dados dos objetos simpliciales de , digamos X,Y: un morfismoV ?Ò V

- Ò - ÒÀ œX Y es una transformacion natural : X Y , donde X X(n)´ n n n n

6 Proposición:Þ# Los objetos simpliciales de forman una categoríaV

Similarmente los sobre son los funtores covariantes yobjetos cosimpliciales V ?Ò Vse completa una categoría con las transformaciones naturales entre ellos.

6 Notación:Þ$ Usaremos la notacion corriente para los la categoría de los´ ? V‰

objetos simplicialers de y para la categoría de los objetos cosimpliciales de .V ?V V

Caras, degeneraciones, homomorfismo simplicial

Damos sin demostración la manera de presentar los objetos simpliciales de :extendida V

6 Proposición:Þ%1 En un objeto X esta dado por una sucesion X , n 0, 1, 2, de objetos´ ´? V‰ n œ â

de junto con morfismos X X , i 0, , n+1 y X X y con lass d

V Ò Òn n+1 n n-13 3

œ âllamadas propiedades combinatorias d d d d si i < j3 4 4" 3œ s s s s si i j3 4 4" 3œ Ÿ

d s = s si i j

si i j ó i j 1s d si i j 1

3 4

4" 3

4 3"

. " œ œ

2 Dados X y Y en (morfismo en )? V ? V‰ ‰un homomorfismo simplicialf X Y es una sucesion f : X Y , n = 0, 1, 2, de morfismos que´À âÒ Òn n nconmutan con caras y degeneraciones. Es decir , , . ‰ 0 œ 0 ‰ . ß a8ß a3 œ ! â 8 "3 8 8" 3

, , 0 ‰ = œ = ‰ 0 ß a8ß a4 œ ! â 8 "Þ8" 4 4 8

Las s son llamandas y las son llamadas de . La proposición4 3degeneraciones caras. \y nombres duales rigen para objetos cosimpliciales. Así, para un objeto cosimplicial de Vse tienen los mismos niveles pero con s : X X , d : X X y las formulasí i

n+1 n n-1 iÒ Ò


combinatorias al reves. Por ejemplo en cambio de d d = d d , si i < j se tiene d d =´ i j j-1 ij i

d d , si i < j.i j-1

De acuerdo con lo precedente, como hemos denotado a la categoría de los gruposE,abelianos, denotará la categoría de los grupos abelianos simpliciales. Así pues?‰E,dados X y Y en un morfismo de X en Y o, como tambien se llama, ?‰E, unhomomorfismo simplicial f X Y es una sucesion f : X Y , n = 0, 1, 2, de´À âÒ Òn n nhomomorfismos que conmutan con caras y degeneraciones.

Grupos abelianos (co)simpliciales y (co)cadenas

Hemos denotamos la categoría de las cadenas (complejos de cadenas) de gruposV2abelianos y homomorfismo entre ellos y la de las cocadenas de grupos abelianos.VV2

Cuando las consideramos , es decir la numeraciónÒ Ò Ò Ò$ $ $ $

E E ÞÞÞÞ E8" 8 !

comienza en , l siguiente resultado liga de manera directa las cadenas con grupos! /abelianos simpliciales y similarmente cocadenas con grupos abelianos cosimpliciales:

6.5 Proposicion:´ Sea C: dado por? Ò V‰ E, 2

1 C(X) = X y : X X dada por = ( 1) d , si X es un grupon n n n n-1 n in-1

i=0

i$ Ò $

abeliano simplicial2 Si f: X Y es un homomorfismo simplicial C(f) f .Ò n nœEntonces C: de 1 y 2 es una equivalencia de categorías ? Ò V‰ E, 2

De igual manera se tiene el funtor CC: (la categoría de las cocadenas) el? Ò VVE, 2cual es tambien una equivalencia de categorías.´

Funtores de homología, cohomología, singular

Por lo precedente, sera suficiente tener un funtor para tener homología en .´ VÒ? V‰E,Igualmente, para cohomología sobre es suficiente tener un funtor .V VÒ?E,Inicialmente a los primeros los llamamos y a losfuntores de homología sobre Vsegundos de cohomología.La homología con coeficiente en G sobre los espacios topologicos corresponde a´singularla siguiente composición de funtores:

Top Sing L( _,G) CÒ ? Ò ? Ò V‰ ‰G984 E, 2

De ella conocemos a C. Los demás los describimos ahora.

6.6 Proposición: Sea un objeto simplicial de , denotado en forma] À ß?ÒT T

extendida por Y , 0, , n 1; Y , .] 3 œ â ] 4 œ !ß "ß ÞÞÞß 8 "n n+1" 8 83 4Ò Ò$ 3

Considere las asignaciones siguientes si :E − S,4T1 ,W ÐEÑ œ L97 Ð] ßEÑ] 8

8T

2 dada por . À W ÐEÑ W ÐEÑ . Ð Ñ œ ‰3 ] 8 ] 8" 3 3Ò α α $3 dada por ( ) = À W ÐEÑ W ÐEÑ = œ ‰4 ] 8 ] 8" 4 4Ò α α 3Entonces es un conjunto simplicial W ÐEÑ]


La construcción de 6.6 se puede extender a los morfismos así:

6.7 Proposición: Si es un morfismo de , entonces0 À E FÒ TW Ð0Ñ À W ÐEÑ W ÐFÑ ß È 0 ‰ 8 œ !ß "ß #ß ÞÞÞÞ] 8 ] 8 ] 8Ò α αdada por , para es una funciónsimplicial

Poniendo juntos los dos resultados precedentes tenemos:

6.8 Proposición: , construido en las proposiciones precedentes, es un funtorW]

covariante W À G984]‰TÒ?

6.9 Definición: de la proposición precedente se denomina el W 0?8>9< =381?6+<]

+=9-3+.9 + ] .

Simplejos TopológicosPasando al caso específico que nos ocupa, ,I6 0?8>9< =381?6+< ./ X9:W381 À X9: G984 W ]Ò?‰

] es precisamente cuando es e de losl modelo corrientesimplejos topológicos, dado así:? ?ÒÀ X 9:

? ‘8 8 8"! " 8 3 3Ð œ ] Ñ œ ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñ − l B !ß B œ " 8 =37:6/49˜ ™ es el

>9:96 13-9ó .

? Ò?$n" 83

! " 8" ! " 3" 3" 8", 0, , n 1ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñ È ÐB ß B ß ÞÞÞß B ß !ß B ß ÞÞÞß B Ñß 3 œ â

? Ò?3n+1 4 8

! " 8" ! " 4" 4 4" 4# 8", ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñ È ÐB ß B ß ÞÞÞß B ß B B ß B ß ÞÞÞß B Ñß 4 œ !ß"ß ÞÞÞß 8 ".

6.10 Proposición: así definido es un espacio topológico cosimplicial ?

6.11 Definición: se denomina de losW À X9: G984? Ò?‰ el funtor singular corrienteespacios topológicos y se denota W381 À X9: G984Ò?‰

En cuanto a L( _ , G) esta dado así:´

Grupos G-libres (o G grupos)Por similitud con el caso de los grupos abelianos libres, en particular con sucomportamiento, damos el concepto de grupo G-libre ( o G-grupo). Posteriormente loligamos a aspectos de homología y cohomología.

6.11 Notación: En lo que sigue usaremos como equivalentes1 “ a A"a %2 “para casi todo a en A"3 “salvo a lo mas para un numero finito de elementos de A" ´ ´

6.12 Definicion:´ Sea A un conjunto. El grupoL(A,G) = f A G | f(a) = 0, a AÀ Ä −a

sera llamado o , denotado´ el G-grupo sobre A el grupo G-libre generado por Atambien por L(A) cuando el grupo subyacente G esta claro ´ ´


Por razones obvias L(A,G) sera tambien denotado G. En los grupos abelianos se´ ÁŠ

tiene, por supuesto, que G G.AŠ z

A

6.13 Proposicion:´ Sea G un grupo abeliano y f A B una funcion. Sea´À ÄL(f , G) L(A) L(B) (o L(f) cuando G esta claro), la funcion definida así: si´ ´ ´À Äα " " α 9 "À E Ä K À F Ä K œ Á œ sea dada por (b) (a) si f (b) y (b) 0 siα α α

%a f (b)

--1

"

f (b) = . Tomamos L(f,G) Entonces L(f,G) es un homomorfismo de grupos.-1 9 α "Ð Ñ œ Þα

Demostracion: como (L(f)( ))(b) = 0 si f (b) entonces (L(f)( ))(b) (a), y´ α α α-1

a f (b)Á gß œ

% -1

se tiene pues que

(L(f)( + ))(b) = ( + )(a) = (a) + (a) = (L(f)( ))(b) + (L(f)( ))(b)α # α # α # α #a f (b) a f (b) a f (b)% % %-1 -1 -1

= ( L(f)( ) + L(f)( ) ) (b)α #

Si f (b) = la igualdad se da trivialmente ´-1 g

Se tiene mas aun´ ´

6.14 Proposicion:´ L: Conj AB, con A L(A,G), f L(f,G) es un funtorÄ È Ècovariante.Demostracion: sean A B y B C funciones. Entonces´ f g

Ä Ä[L(g f)( )](c) = (a)‰ α α

a (g f) (c) − ‰ -1

= (a)a f (b) b g (c))m− • −-1 -1

α

= (a) =Š ‹b g (c) a f (b)% %-1 -1

α

= L(f)( ) ( ) = L(g)[L9f)( )] (c)c d c db g (c)% -1

α α α

= [L(g) L(f)]( ) (c)c d‰ α

Si (g f) (c) = es bien porque g (c) = o bien porque b g (c), f (b) = .´ ´‰ g g a − g-1 -1 -1 -1

consideremos g (c) = . Entonces-1 gc dc d Š Š ‹‹[L(g) L(f)] ( ) (c) = L(g) L(f)( ) (c) = L(f)( )(b) = 0‰ α α αb g (c)% -1

Por otro lado si b g (c), f (b) = , entonces retomando la ultima sumatoria se recibeá − -1 -1 9

b g (c) b g (c) a f (b)% % %-1 -1 -1L(f)( )(b) = (a) = 0α α

La demostración de que L(1 ) = 1 es simple A L(A)

Una version equivalente, pero que facilita procesos de adjuncion es la siguiente:´ ´


6.15 Porposición: Sea G un grupo abeliano.Para un conjunto A, sean

T(A) g a | g 0 a A œ œ a˜ ™

a Aa a

%

%

a A a A a Aa a a a

% % %

g a h a (g +h ) a œ

g a 0 si y solo si g 0 a A.a A

a a%

œ œ ß a %

Para f:A B sea T(f): T(A) T(B) la funcion dada por T(f)( g a )= g f(a).´Ä Äa A a A

a a% %

Entonces:1) T(A) es un grupo abeliano.2) T(f) es un homomorfismo.3) T: ; a T(A) ; f T(f) es un funtor covariante.G984 E, È ÈÒ4) : L(A) T(A) ; (a) a es un isomorfismo natural - α αA

a AÄ È

%

Como es costumbre en la práctica los terminos de g a con g se omiten.´ß œ !a A

a a%

Dado lo precedente usaremos indiferentemente el funtor T o L en lo que sigue. Enparticular se tiene la generalizacion de la adjuncion del funtor de generación de grupos´ ábelianos libres con el de olvido de la estructura de grupo:

6 Proposicion:´Þ"' Sea R: el funtor Hom(G, ). Entonces (T, R) es unE, Ä G984 par adjunto, en el sentido de que existe un isomorfismo natural

-\ßE E, G984 : ( T(X) , A) ( X , R(A) )L97 Ä L97

Demostracion: En efecto sea : ( T(X) , A) ( X , R(A) )´ - -œ L97 Ä L97\ßE E, G984

dada por ( (f)(x))(g)=f(gx), donde f:T(X) A es un homomorfismo y g G. Entonces - % -Äes un isomorfismo natural

Regresando al funtor L, fijamos ahora el conjunto A y permitimos variacion sobre G:´

6 Proposicion:´Þ"( Sea A un conjunto. Sea S : AB AB definido en los objetos porÄS(G) G y en los morfismos, si f: G H es un homomorfismo sea

Aœ Š Ä

S(f) f G H. Entonces S es un funtor covariante A A A

œ Š À Š Ä Š

Los dos funtores se pones juntos así:

En lo que sigue usaremos la notacion A G en cambio de L(A, G) . Con lo cual se tiene´ †

6 Proposicion:´Þ")i) ( ) . .E † K ŠK z E K Š E K1 2 1 2ii) ( ) ( )E † K z E † Ki iiii) ÐE ‚ FÑ † K z E † ÐF † KÑiv) g † K œ !


v) ‡ † K œ Kvi) E † ! œ !Demostracion:í) Sea F: A.(G G ) A.G A.G dada por F( )= ( , ) en donde, para" # " # " #Š Ä Š α α αα α 1 α:A G G , = .Ä Š" # i iAhoraF( ) (( ) , ( ) ) = (( ( ), ( + ))α " α " α " 1 α " 1 α " œ " " #2 ( + , + ) = ( , ) + ( , ) = F( ) + F( ).œ 1 α 1 " 1 α 1 " 1 α 1 α 1 " 1 " α "" " # # " # " #

Ademas si F( ) = 0 entonces ( , ) = 0 y = 0. Finalmente si : A G ,´ α α α α α" # "Ä" α " α ":A G entonces ( , ): A G G aplica a ( (a), (a) ) que claramente´Ä Ä Š È# " #

pertenece a A(G G ) y F( , ) = ( , )." #Š α " α "ii) Sige de la adjuncion de (L,R)íii) Usamos la funcion biyectiva corriente del isomorfismo´

G (G ) . F: (A B)G A(BG) con (F( )(a))(b) = (a, b).A B B A‚ ¶ ‚ Ä α αClaramente F( ) A(BG) y (F( )(a))(b) ( )(a, b) (a, b) (a, b) α α " α " α "− œ œ

Como corolario se tiene, por supuesto

6.19 Corolario:

i) Sea G un grupo abeliano finitamente generado, digamos G œ Š Š â™ ™p p" #8 8" #

™ ™p pm i8 87 3. Entonces L(A, G) L(A, ).

ni=1

z Š

ii) L(A, G) L a, G L(a, G) G = G a A a A A

œ œ Š z Š ŠŠ ‹a A% % %

El calculo de L(A,G) se reduce pues al calculo sobre grupos cíclicos de orden de potencia´ ´de primo. La parte ii) se coloca unicamente para enfatizar que L puede ser definido como´L( ) , para cualquier objeto final y extendido “por linealidad" sobre sumas. i‡ œ K ‡ WX entoncesÀ G984?Ò

" G984 E, L(X,G) es el funtor compuesto . Sus caras y?Ò ÒX L( _ ,G)

degeneraciones serán:# d : L(X,G) L(X,G) es L(d ,G): L(X ,G) L(X ,G) y lo mismo parai n n-1 i n n-1Ò Ò$ = s : L(X,G) L(X, G) es L( ,G): L(X ,G) L(X ,G). Ademásj n n+1 i nÒ Ò 8"

% 0 À \ ] si es una función simplicial entonces L(f, G) = L(f , G).Ò n n

Es decir se aplica L( ,G) al X e igual cosa para las funciones simpliciales: siesquema0 À \ ]Ò es una de ellas entonces L(f, G) = L(f , G).n n

Cambio de coeficientesNaturalmente la homología sucede cuando se toma . Cambiar a se puede dar deK œ K™dos maneras. Uno usando L( _, G) en cambio de L( _, ). El otro hacer uso del siguiente™mecamismo:

6.20 Proposición: Sea es un funtor covariante. Si se tomaJ À TÒ U

i dado por y? ? TÒ? U‰ ‰ ‰J À ] È J ‰ ]ii como , para ? - ? - - -‰ ‰

8 8J Ð Ñ À ] ‰ J Ä ^ ‰ J JÐ Ñ œ JÐ Ñ À ] Ä ^


entonces es un funtor covariante.?‰J

6.21 Definicion: de 6.20 se llama de? ? TÒ? U‰ ‰ ‰J À la extensión simplicialJ À TÒ U

Por ejemplo la extención simplicial del funtor T: es el funtorß G984 E,Ò? ? Ò?‰ ‰ ‰X œ G984 E,L(_,G): .

6.22 Definicion: el funtor de cambio de´ L( _, G): sera llamado ´? Ò?‰ ‰G984 E,coeficientes a G


Problemas suplementariosDe igual manera se tiene el funtor CC: (la categoría de las cocadenas) el? Ò VVE, 2cual es tambien una equivalencia de categorías.´

Usando descomposicion de [m] [n] 6 Proposición:Ä Þ%

COEFICIENTES HOMOTOPICOS

Por Roberto Ruiz S.

Profesor Titular Universidad del Valle

Cali, Octubre de 1993

ÍNDICE

Pg1. GRUPOS G-LIBRES 2

Grupos G-libres (o G grupos) 2

2. OBJETOS SIMPLICIALES Y COSIMPLICIALES 6Cambio de coeficientes, Puntos, Arcos, Lazos 6Caras, degeneraciones 6propiedades combinatorias 6Homomorfismo Simplicial 7Grupos abelianos (co)simpliciales y (co)cadenas 7Funtores de homología, cohomología y homotopía 7Cambio de coeficientes, Puntos, Arcos, Lazos 8

3. CAT COMO FUENTE DE HOMOTO-HOMOLOGIA Y COHOMOLOGIA 9

Fuente Algebaica 9El funtor nervio 10El funtor co-nervio 10Funtores de ordenes 11Funtores de Operaciones 12

4. LA TEORIA ALGEBRAICA DE LOS GRUPOS ABELIANOS 12Sistemas geometricos de coeficientes 12´

Bibliografía 14

1. GRUPOS G-LIBRES

Grupos G-libres (o G grupos)Por similitud con el caso de los grupos abelianos libres, en particular con sucomportamiento, damos el concepto de grupo G-libre (o G-grupo). Posteriormente loligamos a aspectos de homología, cohomología y homotopía.

1.1. Definicion:´ Sea A un conjunto. El grupo

L(A,G) f: A G | f(a) 0, a Aœ Ä œ −a

sera llamado o , denotado´ el G-grupo sobre A el grupo G-libre generado por Atambien por L(A) cuando el grupo subyacente G esta claro ´ ´

Aquí la notacion “ a A" significa “para casi todo a en A" o, equivalentemente, “salvo a´ a %lo mas para un numero finito de elmentos de A".´ ´

Por razones obvias L(A,G) sera tambien denotado G. En los grupos abelianos se´ ´ 9A

tiene, por supuesto, que G G.9A

¶A

1.2. Proposicion:´ Sea G un grupo abeliano y f: A B una funcion. Sea L(f,G) o´ ´ÄL(f) cuando G esta claro, la funcion definida por´ ´ L(f) : L(A) L(B)Ä α "Èdonde (b) es (a) si f (b) y es 0 si f (b) . Entonces L(f,G) es" α 9 9

a f (b)% -1

- -1" Á œ

un

homomorfismo de grupos.Demostracion: como (L(f)( ))(b) 0 si f (b) o bien (L(f)( ))(b) (a), se´ ´α 9 α αœ œ œ-1

a f (b)% -1

tiene pues que

(L(f)( + ))(b) ( + )(a) (a) + (a)α " α " α "œ œa f (b) a f (b) a f (b)% % %-1 -1 -1

(L(f)( ))(b) + (L(f)( ))(b) (L(f)( ) + L(f)( ))(b)œ œα " α "

Si f (b) 0 la igualdad se da trivialmente ´-1 œSe tiene mas aun´ ´

1.3. Proposicion:´ L: Conj AB, con A L(A,G), f L(f,G) es un funtorÄ È Ècovariante.Demostracion: sean A B y B C funciones. Entonces´ f g

Ä Ä

[L(g f)( )](c) (a) (a)‰ œ œα α α a (g f) (c) a f (b) b g (c))m− ‰ − • −-1 -1 -1

(a) L(f)( ) ( )œ œb g (c) a f (b) b g (c)% % %-1 -1 -1

Š ‹ c d

α α α

œ œ ‰ L(g)[L9f)( )] (c) [L(g) L(f)]( ) (c)c d c dα α

Si (g f) (c) es bien porque g (c) o bien porque b g (c), f (b) .´ ´‰ œ œ a − œ-1 -1 -1 -19 9 9consideremos g (c) . Entonces-1 œ 9

c dc d Š Š ‹‹[L(g) L(f)] ( ) (c) L(g) L(f)( ) (c) L(f)( )(b) 0‰ œ œ œα α αb g (c)% -1

Por otro lado si b g (c), f (b) , entonces retomando la ultima sumatoria seá − œ-1 -1 9recibe

b g (c) b g (c) a f (b)% % %-1 -1 -1

L(f)( )(b) (a) 0α αœ œ

La parte de L(1 ) 1 es clara A L(A)œ

Una version equivalente, pero que facilita procesos de adjuncion es la siguiente:´ ´

1.5. Proposicion: ´ Sea G un grupo abeliano.i)Para un conjunto A, sean T(A) g a | g 0 a A œ œ a

a A%a a %

g a + h a (g +h )a A a Aa A% %%

a a a aœ

g a 0 si y solo si g 0 a A.a A%

a aœ œ a %

ii) para f:A B sea T(f): T(A) T(B) la funcion dada por T(f)( g a) g f(a).´Ä Ä œa A a A% %

a a

Entonces:1) T(A) es un grupo abeliano2) T(f) es un homomorfismo3) T: CONJ AB ; a T(A) ; f T(f) es un funtor covarianteÄ È È4) : L(A) T(A) ; (a) a es un isomorfismo natural - α αA Ä È

a A%

(Como es costumbre los terminos de g a iguales a cero se omiten. Algo del tipoá A%

a

gx,con x X o ga con a A es normal)% %Dado lo precedente usaremos indiferentemente el funtor T o L en lo que sigue. Enparticular se tiene la generalizacion de la adjuncion del funtor de generacion de´ ´ ´grupos abelianos libres con el de olvido de la estructura de grupo:

1.6. Proposicion:´ Sea R: AB CONJ el funtor Hom(G, ). Entonces (T, R) esÄ un par adjunto, es decir que R es adjunto a derecha de L.

Demostracion: En efecto sea : AB(T(X),A) CONJ(X,R(A)) dada por´ - Ä( (f)(x))(g) f(gx), donde f:T(X) A es un homomorfismo y g G. Entonces es un- % -œ Äisomorfismo natural

Regresando al funtor L, fijamos ahora el conjunto A y permitimos variacion sobre G:´

1.7. Proposicion:´ Sea A un conjunto. Sea S : AB AB definido en los objetosÄpor S(G) G y en los morfismos, si f: G H es un homomorfismo entonces

Aœ Ä9

S(f) f G HA A A

œ À Ä9 9 9Entonces S es un funtor covariante

Los dos funtores se pones juntos así:

1.8. Corolario: Sea L: Conj x AB AB dado por L(A, G) G y si (f, F): (A,A

Ä œ 9G) (B, H) es un morfismo de Conj x AB entonces L(f, F): G H, con ( L(f,

A BÄ Ä9 9

F)( ) ) (b) F( (a)) o 0 si f (b) . Entonces L es un funtor covariante ´α α 9œ œa f (b)% -1

-1

Una descomposicion de L(f, F) es clara:´

1.9 Proposicion:´ Con la notacion de 1.6 se tiene que´

L(f, F) ( F ) L (f, F) L (f, F) ( F) B A

œ ‰ œ ‰9 9En lo que sigue usaremos la notacion A G en cambio de L(A, G) . Con lo cual se´ †tiene

1.10 Proposicion:í) A (G G ) A.G A.G† Š ¶ Š1 2 1 2ii) ( A ) G (A G)i i† ¶ †iii) (AxB) G A (B G)† ¶ † †iv) G 09 † œv) * G G† œvi) A 0 0† œ

Demostracion:í) Sea F: A.(G G ) A.G A.G dada por F( ) ( , ) en donde, para :" # " # " #Š Ä Š œα α α α

A G G , . Ahora F( + ) (( + ) , ( + ) ) (( ( + ),Ä Š œ œ œ" # " "α C α α " α " α " C α "i i 2C α " C α C " C α C " C α C α C " C " α "# " " # # " # " #( + )) ( + , + ) ( , ) + ( , ) F( ) + F( ).œ œ œ

Ademas si F( ) 0 ( , ) 0 0, 0. Luego 0.´ α α α α α αœ Ä œ Ä œ œ œ" # " #

Finalmente si : A G , : A G entonces ( , ): A G G , aα " α "Ä Ä Ä Š È" # " #

( (a), (a)) claramente pertenece a A(G G ) y F( , ) ( , ).´α " α " α "" #Š œii) Sige de la adjuncion de (L,R)íii) Usamos la funcion biyectiva corriente del isomorfismo G (G ) . F: (AxB)G´ AxB B A¶Ä œ − œ A(BG) con (F( )(a))(b) (a, b). Claramente F( ) A(BG) y (F( + )(a))(b) α α α α "

( + )(a, b) (a, b) + (a, b) α " α "œ

Como corolario se tiene, por supuesto

1.11. Corolario:i) Sea G un grupo abeliano finitamente generado, digamos G n n œ Š Š â™ ™p p" #" #

™ ™p m p im in . Entonces L(A, G) L(A, n ).n

i 1¶

œ9

ii) L(A, G) L a, G L(a, G) G G A

œ œ ¶ œŠ ‹ 9 9 9a A% a A a A% %

El calculo de L(A, G) se reduce pues al calculo sobre grupos cíclicos de orden de´ ´potencia de primo. La parte ii) se coloca unicamente para enfatizar que L puede ser´definido como L(*) G, para cualquier objeto final * y extendido “por linealidad" sobreœsumas.

2. OBJETOS SIMPLICIALES Y COSIMPLICIALES

Objetos simpliciales y cosimplicialesRecordemos que los objetos simpliciales sobre una categoría , son los funtoresVcontravariantes donde es la categoría de los conjuntos 0, 1, , n [n]? V ?Ä â œy morfismos las funciones crecientes. Dados dos objetos X, Y: un morfismo? VÄ- -: X Y es una transformacion natural : X ( X(n)) Y . Los objetos´Ä œ Än n nsimpliciales de forman una categoría. Similarmente los objetos cosimpliciales sobreVV ? V son los funtores covariantes y se completa una categoría con lasÄtransformaciones naturales entre ellos. Usaremos la notacion corriente para la´ ? V0

primera categoría y para la segunda.?V

Caras, degeneracionesEn AB un elemento X esta dado por una sucesion X , n 0, 1, 2, de grupos´ ´?‰

n œ âabelianos junto con homomorfismos.

X X i 0, , n+1 (llamadas )s

ni

n+1Ä œ â degeneraciones

X X i 0, , n 1 (llamadas )d

ni

n-1Ä œ â caras

y con las llamadas propiedades combinatorias

d d d d si i < ji j j-1 iœ

s s s s si i<js si i<j i jj+1 i

j-1 œ

d s si i j ó i j 1 s d si i j 1i j

j i-1 œ

" œ œ

Homomorfismo SimplicialDados X y Y en AB (morfismo en AB) f X ? ?‰ ‰un homomorfismo simplicial À ÄYes una sucesion f : X Y , n 0, 1, 2, de homomorfismos que conmutan con´ n n nÄ œ âcaras y degeneraciones. Igual cosa sucede para , donde es una categoría? V V‰

cualquiera. Aquí s , d , f son morfismos de . Para un objeto cosimplicial sei j n V ?V

tienen los mismos niveles pero con s : X X , d : X X y las formulasí in+1 n-1 inÄ Ä

combinatorias al reves. Por ejemplo en cambio de d d d d si i < j se tiene d d´ i j j-1 ij iœ

œ d d si i < j.i j-1

Grupos abelianos (co)simpliciales y (co)cadenasPor otro lado denotamos CAD la categoría de las cadenas (complejos de cadenas) degrupos abelianos y homomorfismo entre ellos y CCAD la de las cocadenas degrupos abelianos. Los objetos de AB (respectivemente AB) se llaman ? ?‰ gruposabelianos simpliciales (respectivemente cosimpliciales) . El siguiente teorema ligade manera directa las cadenas con ellos [1]:

2.1. Proposicion: d´ Si X es un grupo abeliano simplicial sea C(X) X , : Xn n n nœ

Ä œ Ä X dada por ( 1) d . Si f: X Y es un homomorfismo simplicialn-1 inn-1

i 0

idœ

sea C(f) f . Entonces C: AB CAD es una equivalencia de categorías n nœ Ä?‰

De igual manera se tiene el funtor CC: AB CCAD (la categoría de las? Äcocadenas) el cual es tambien una equivalencia de categorías.´

Funtores de homología, cohomología y homotopíaPor lo precedente sera suficiente tener un funtor AB para tener homología en´ V ?Ä ‰

V V V ?. Igualmente, para cohomología sobre es suficiente tener un funtor AB.ÄInicialmente a los primeros los llamamos y a losfuntores de homología sobre Vsegundos de cohomología

Ejemplo: La homología singular con coeficiente en G sobre los espacios topologicosćorresponde al siguiente funtor:

Top CONJ AB CADSing L( ,G) CÄ Ä Ä? ?‰ ‰

en donde Sing es el funtor singular corriente y L( , G) esta dado así: si X: ´ ? Ä

CONJ entonces L(X, G) es el funtor compuesto CONJ AB, d : L(X,X L( ,G)? Ä Ä i

G) L(X,G) es L(d ,G): L(X ,G) L(X ,G) y lo mismo para s : L(X, G) L(X,n n nn-1 i n-1 jÄ Ä Ä

G) . Es decir se aplica L( ,G) al esquema X e igual cosa para las funcionesn+1simpliciales: si f: X Y es una de ellas entonces L(f, G) L(f , G).Ä œn nSi H es un grupo abeliano, entonces el funtor contravariante Hom(_ ,H) :AB AB,Äse extiende a todo AB, para producir cohomología. Por su caracter de´?‰

contravariante la extension resulta un funtor AB AB. Si H Hom(G,R(B))´ ? ?‰ Ä œentonces la cohomología

? ? ?‰ ‰CONJ AB ABL(_,G) Hom(_,H)Ä Ä

se simplifica aR(B): CONJ AB? ?‰ Ä

debido a las propiedades de la adjuncion de (L,R)´

Cambio de coeficientes, Puntos, Arcos, Lazos2.2. Definicion: el funtor de cambio´ L(_, G): CONJ AB sera llamado ´? ?‰ ‰Äde coeficientes a G

Pero los funtores que caen en AB tambien son de homotopía. Esto porque, como´?‰

veremos a continuacion, en AB hay tambien homotopía. De hecho tiene un´ ´?‰

“espacio de lazos" interno que produce (entonces tambien internamente) el teorema´de Hurewicz.

2.3. Definicion:´ Sea X AB.− ?‰

i) X se llamara el conjunto subyacente de X y sus elementos “los puntos de X".´0ii) X se llamara el conjunto de los arcos de X y si x X, d (x) se llamara el punto´ ´" − 0

inicial de x y d (x) su punto final."

iii) En X se define x y si existe z X tal que d z x y d z y a0 0µ − œ œ" "

2.4. Proposicion:´ Con la notacion de 2.3 se tieneí) es una relacion de equivalencia .a ´µ

ii) Si f: X Y AB, x, y X , se tiene que si x y entonces f (x) f (y)a aÄ − − µ µ?‰0 0 0

en Y.iii) es compatible con la estructura de grupo de X . Es decir si x y y c Xa aµ µ −0 0

entonces cx cy.aµiv) Sea : AB AB dado por (X) y si f: X Y en AB, (f)C ? C ? C0 0 0

Xa

‰ ‰

µÄ œ Ä0‚

œ Ä Ä [f]: (X) (Y), [x] [f (x)]. Entonces es un funtor covariante.C C C0 0 0 0v) Para X AB sean− ?‰

(X) x X | x 0, x 0, 0 i n+1, k 0,H n n+1 0 i i kœ − ` œ ` â` œ Ÿ Ÿ œ0 n

â, n ( d : (X) (X) ) ( d : X X )i n-1 i+1 n+1n nH HÄ œ Ä ( s : (X) (X) ) ( s : X X )i n+1 i+1 n+1 n+2nH HÄ œ Ä entonces (X) AB y si para f: X Y AB se toma (f): (X) (Y)H ? ? H H H− Ä − Ä‰ ‰

como (f) f entonces : AB AB es un funtor covariante H H ? ?n n+1œ Ä‰ ‰

2.5. Definicion:í) se llama el funtor “Grupo de lazos". Mas generalmente:´Hii) se llama el funtor “grupo n-esimo de lazos"´H H Hn n-1œ ‰

iii) se denota y se llama el funtor “grupo n-esimo de homotopía", : ABĆ H C C ?0n

n n‰

Ä AB

iv) AB AB AB se llama el funtor “n-esimo grupo de homotopíaL( , G)

´? ?1‰ ‰Ä Ä

n

con coeficientes en G", se denota ( , G) Cn

Note que (i) no hemos “punteado" la categoría para tener . (ii) no hemos definidoHuna operacion en (X) que por paso al cociente produzca (X). Por el contrario (iii)´ H C"

hemos usado la estructura de grupo abeliano simplicial para definir en cambio delC"

procedimiento normal de la teoría algebraica de los conjuntos simpliciales “de Kan"´(ver [1] , [2] o [6]) . En esta ultima si x, y (X,*) , entonces, por la condicion de´ ´%H 0 extension de Kan, existe w (X,*) tal que d (w) x , d (w) y. Se demuestra que´ %H " #0 œ œesta bien definida la operacion [x]+[y] [d (w)]. Nosotros usamos la siguiente ventaja´ ´ œ "

:

2.6. Proposicion: ´ Si X AB entonces en (X,0) [x]+[y] [x+y].%? H‰0 œ

Demostracion: El calculo de w da como resultado w s (y) s (d (s (y))) + s (x).´ ´ ´ œ 0 0 0" "

Por tanto d (w) x+y " œ

Hemos usado pues (X,0) como (X). Se tiene así que un funtor ABH H V ?Ä ‰

produce homología y homotopía. Los denominaremos funtores de homotopía yhomología de homoto-homología o , mas corto, . Si un funtor “de lazos" existe yaén entonces, para que sea compatible, con la estructura que produce el de AB aV ?‰

travez de F: AB, el siguiente diagrama debe conmutarV ?Ä ‰

ABFÄ ?V ‰

Æ ÆH H AB

FV ?Ä ‰

3. CAT COMO FUENTE DE HOMOTO-HOMOLOGIA Y COHOMOLOGIA

Fuente Algebraica´La topología algebraica incluye como partes centrales el estudio de homotopía,´homología y cohomología, los cuales Quillen [4] concreto dentro de un mismoésquema que el llamo “Algebra Homotopica". Ahora bien, AB tiene´ ´ ´ ´ ?‰

característicamente los tres aspectos de los cuales hemos visto homología yhomotopía. La cohomología en AB parece ser trivial (ver nervio). Esta definida,´?‰

para X AB por CC(X) X y : X X es ( 1)s . Para− œ Ä œ ?‰

œn n n

n nn+1 id d

i 0

n+1

completar la tripla se prefieren funtores que caigan en AB. Si pensamos de la?“Topología algebraica" como una “Teoría algebraica sobre Top" entonces el algebra´ ´ ´homotopica estudia las “teorías algebraicas sobre " en donde es variable. Decimos´ ´ V Vque si admite funtores AB y AB. LaV es una fuente algebraica´ V V ? V ?Ä Ä‰

mas util en cuanto a funtor AB es CAT, simplemente porque hay un gran´ ´ V ?Ä ‰

numero de funtores que caen en CAT y entonces componen con CAT AB.´ Ä ?‰

Aquí veremos que ademas existe tambien un funtor CAT AB íntimamente´ ´ Ä ?

relacionado con aquel. Este no corresponde al paso corriente de homología acohomología por medio del funtor Hom. De hecho es tambien un funtor covariante.´

El funtor nervio3.1. Proposicion:´ Sea una categoría pequena. Sean~T

a T α α α Tα α α( ) ( , , ) | A A A A con n n n1 0 1 2 i

1 2 nœ â Ä Ä Ä â Ä −

d : ( ) ( ) que elimina el objetoi n-1na T a TÄ i esimo´

s : ( ) ( ) que agrega A A1i n+1 i ina T a TÄ Ä

y para F: seaT UÄ (F) : ( ) ( )a a T a Un n nÄ ( , , ) (F( ), , F( ))α α α α1 1n nâ Ä â

Entoncesi) ( ) es un conjunto simpliciala Tii) (F) es una funcion simplicialáiii) : CAT CONJ es un funtor covariante a ?Ä ‰

El funtor es conocido como el “funtor nervio". Nosotros usamos la presentacion deá[5i]. Naturalmente el compuesto

CAT CONJ ABL( , G)

Ä Äa

? ?‰ ‰

es “el . Compuesto con C:funtor algebraico sobre CAT, con coeficientes en G?‰AB CAD dara la y´Ä homología nervio sobre CAT con coeficientes en Gcompuesto con : AB AB dara Ć ?n

‰ Ä la homotopía nervio sobre CAT concoeficientes en G. En cuanto a cohomología tenemos

El funtor co-nervioPara el caso de cohomología proponemos el funtor “co nervio" el cual se asemejamucho al nervio mismo.

3.2. Proposicion:´ Sea una categoría pequena. Sean~TVa T α α α α α T( ) ( , , ) | existe, n n0 i i+1 iœ â ‰ −

D : ( ) ( ) agrega la identidad en la i-in n+1Va T Va TÄ

esima´ posicion´ S : ( ) ( ) en la i-esima posicion cambia´ ´j

n n-1Va T Va TÄαi por y corre todos losα αi+1 i‰ demas de i en adelante ´

Para F: , un funtor covariante, seaT UÄ (F) ( ) ( )Va Va T Va Un n nÀ Ä

( , , ) (F( ), , F( ))α α α α0 0n nâ Ä âEntoncesi) ( ) es un conjunto cosimplicialVa Tii) (F) es una funcion cosimplicial´Vaiii) : CAT CONJ es un funtor Va ?Ä covariante

3.3. Definicion:í) El funtor : CAT CONJ se llamara el funtor “co nervio" de CAT.´Va ?Ä

ii) El funtor CONJ AB se llamara el funtor de L( ,G)

´Va ? ?VaÄ Ä cohomología

co nervio sobre CAT con coeficientes en G".iii) El funtor CAT AB AB, con la primera coordenada el funtor algebraico´Ä ‚? ?‰

con coeficientes en G y la segunda el funtor de cohomolgía conervio lollamaremos sobre CAT y lo denotaremos por .el funtor algebraico nervio´ Ta

Note que el co-nervio en los mismos conjuntos usados como niveles para el nervio ytiene la mismas funciones caras y degeneraciones pero intercambiadas, cortadas yreordenadas. Es posoble que el conervio se extraiga del nervio por metodos´funtoriales como los cortes a derecha e izquierda y finalmente se intercambien carasý degeneraciones. En tal caso la cohomología del conervio (que no es trivial) dería lacohomogía “degenerada" de un conjunto simplicial (extraido del nervio) y por ende lapresuncion de trivialidad de la degenerada sería desvirtuada.´

Funtores de ordenesSi A es un conjunto ordenado con orden (relacion reflexiva y transitiva), entonces´ŸA tiene una estructura de categoría tomando Obj A y si a, b A, entoncesT T œ −

Mor(a, b) si a b(a, b) si a bœ

ŸÎŸ

š 9

Si f: A B es una funcion que respeta el orden f: es evidentemente un´Ä ÄT Ufuntor covariante. Se tiene entonces un funtor Or: ORD CAT en donde ORDÄdenota la categoría de los conjuntos ordenados. Ahora podemos restringirnos asubcategorías de ORD. Por ejemplo, puesto que una topología es un conjuntoordenado existe una inclusion´

TOP ORDIÄ

Con I(X, ) ( , ) y si f: (Y, ) (Y, ) es contínua, entonces I(f): ( , )¶ ¶ ¶ ¶ ¶œ © Ä ©x y yÄ © œ ( , ) dada por (I(f))(B) f (B). Es un funtor contravariante. Este induce un¶x

-1

funtor de cohomología contravariante en TOP que no es producido (al menos demanera evidente) por uno del tipo Hom( G,_) a saber

TOP ORD CAT ABI Or Ä Ä Ä

Va?

De igual manera si denota cualquiera de las categorías RET (de los retículos) ,VBOOL (de las Agebras de Boole), CMPL (de los complejos simpliciales) entonces setienen los funtores algebraicos´

V ? ?Ta ORD CAT AB ABI Or

Ä Ä Ä ‚‰

Igualmente las operaciones tienen representacion categorica y entonces tambien la´ ´tienen las estructuras algebraícas, asi:

Funtores de OperacionesUn conjunto (A, . ) con una operacion modulativa y asociativa tiene asociado unaéstructura de categoría, digamos , donde Obj( , ) 1 y Mor(1, 1) A y laT T † œ œcomposicion es el producto en A. Ademas si f: (A, ) (B, ) es una funcion que´ ´ ´† Ä †preserva la operacion y el modulo, entonces se tiene un funtor f: definido de´ ´ T UÄla unica manera posible sobre los objetos y como f: A B en los morfismos. Se´ Ärecibe pues un funtor O OAM CATp À Äcovariante donde OAM denota la categoría de las operaciones asociativas ymodulativas. Las restricciones en OAM incluye la categoría de los grupos, de lasalgebras de Boole (en sus dos formas isomorfas) y en el caso de una estructura con´más de dos operaciones, digamos (A,* ) se puede usar para representarla, pori i I%este procedimiento, a (A, * ). Las inclusiones I : (A, * ) (A, * ) son

i I i9 9%

i j j iÄ

inclusiones naturales que preservan la estructura de cada operacion. El mismo´procedimiento puede usarse para operaciones externas o acciones.

4. LA TEORIA ALGEBRAICA DE LOS GRUPOS ABELIANOS

Resaltamos aquí el funtor algebraico de los grupos que resultan de manera natural y´directa del funtor L(A,_). Para esto tenemos :

4.1. Proposicion: ´ Sea X CONJ. Entonces X induce un funtor covariante%?‰

AB AB dado por L(G) L(_,G) X y si f:G H es un homomorfismo entoncesÄ œ ‰ Ä?‰

L(f) L(_,F) X donde L(_,f):L(_,G) L(_,H) es la transformacion natural inducida´œ ‰ Äpor f. Igualmente si X CONJ entonces la misma definicion produce un funtor´%?AB AB Ä ?

Sistemas geometricos de coeficientesÉn particular cuando se inicia con X en ORD o en OAM . Entonces se tiene unapareja ( I(X), (X) ) la cual induce un funtor AB AB AB quea Va ? ?Ä ‚‰

denotaremos . X se llama . Si X es unTX el sistema de coeficientes de TXcomplejo simplicial, entonces se dice que X es un sistema geometrico dećoeficientes.

Ejemplo: Esquema de los coeficientes de la teoría algebraica de AB con coeficientesén I [0,1]. En este caso podemos hacer una representacion por complejo simplicial,´œpor simplicidad. El complejo mínimo que representa a I [0,1] es 0,1,0,1.œ œ^Simplificando escritura lo denotamos 0,1,i con orden (dado por la inclusion en )´ ^0<0, 1<1, i<i , 0<i ,1<i . La categoría que le corresponde tiene Obj 0 ,1 ,i yV V œcomo morfismos 0<0 (denotado 0), 1<1 (denotado 1), i<i (denotado i), 0<i(denotado ), 1<i (dentado ). El esquema conjuntista de coeficientes es:α "a V V( ) Obj 0,1,i0 œ œa V % V α "( ) f | f Mor 0,1,i, , " œ œa V V α " α "( ) (f,g)| g f existe en (0,0),(0, ),(1,1),(1, ), (i,i) ,( ,i),( ,i) # œ ‰ œa V V α α α α( ) (f,g,h)| g f y h g existen en (0,0,0),(0,0, ), (0, , ),(0, ,i),(1,1,1),$ œ ‰ ‰ œ (1,1, ),(1, , ),(1, ,i), (i,i,i),( ,i,i),( ,i,i) " " " " α "

En general ( ) ( f , . . . , f ) | f f existe en a V Vn n i+1 iœ ‰"

Las caras seran´d : ( ) ( ) elimina el dominio. Así i0 0a V a V α" Ä Èd : ( ) ( ) elimina el codominio. Así 1" "a V a V "Ä È0

d : ( ) ( ) elimina la primera coordenada. Así (1, )0 a V a V " "# "Ä Èd : ( ) ( ) compone las coordenadas. Así ( ,i) " # "a V a V α αÄ Èd : ( ) ( ) elimina la segunda coordenada. Así ( ,i) i# # "a V a V "Ä È

En cuanto a ( ) ( ) , d elimina el dominio, d compone segunda con primeraa V a V$ # "Ä 0coordenadas, d compone tercera con segunda coordenadas y d elimina tercera# $

coordenada. De ahí en adelante el patron se mantiene.Én cuanto a las degeneraciones s : ( ) ( ) envía cada objeto en su0 0a V a VÄ "

identidad y en las de los niveles superiores, la i-esima degeneracion coloca la´ ídentidad en la i-esima coordenada. Así s (1, ,i) (1,1, ,i)´ " " "œ

Ahora, supuesto que el esquema fuera (para la parte homologica) unicamente´ ´

a V a V( ) ( )d , dÄ

0 "

entonces la aplicacion de este a, digamos, pondra una copia de este grupo sobre´ ´™#

cada elemento de cada conjunto, aplicando L(_, ) así:™#

Š Ä Š

a V a V™ ™

™ ™

( ) ( )

L(d , ) L(d , )

"

# ## " #0

0

Igual cosa se hace para el conervio y cohomología.En general todas estas teorías algebraicas estan por calcularse.´

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TOPOLOGÍA ALGEBRÁICA Por Roberto Ruiz-Smatematicas.univalle.edu.co/~robruiz/TopologiaAlgebraica.pdf · 2006-11-04 · algebraica para responder preguntas en topolog´ıa. Las “disciplinas”