Topik 1 Matematik Dalam Kehidupan Harian

MTE3143 APLIKASI MATEMATIK

1

TOPIK 1 MATEMATIK DALAM KEHIDUPAN HARIAN

1.1 Sinopsis Kursus ini berfokus kepada aplikasi Matematik dalam pelbagai bidang. Isi

kandungannya meliputi Matematik dalam kehidupan harian, kod klasik dan

cipher, kod dan kriptografi, penggunaan model Matematik dalam biologi dan

ekologi, serta sebahagian idea utama Matematik berkaitan dengan kalkulus.

Topik 1 dalam kursus ini bertujuan melihat aplikasi matematik dalam

kehidupan harian. Antara aspek yang diliputi ialah aplikasi matematik dalam

teknologi moden, matematik sebagai kegiatan budaya yang berterusan dan

asas bagi matematik kontemporari.

1.2 Hasil Pembelajaran Pada akhir tajuk ini, pelajar dijangka dapat:

meneroka peranan matematik dalam teknologi moden;

menyiasat matematik sebagai kegiatan budaya yang berterusan; dan

meneroka asas bagi matematik kontemporari.

1.3 Kerangka Tajuk

Matematik dalam kehidupan harian

Matematik sebagai

kegiatan budaya

Asas bagi matematik

kontemporari

Peranan matematik

dalam teknologi moden


2

1.4 Peranan Matematik dalam Teknologi Moden

Antara pendorong utama kemajuan sesebuah tamadun adalah rasa

keinginan untuk mengatasi masalah-masalah yang membelenggu

kehidupan manusia dengan bantuan alat teknikal. Kamus Dewan (2005)

mentakrifkan teknologi sebagai aktiviti atau kajian yang menggunakan

pengetahuan sains untuk tujuan praktis dalam industri, pertanian,

perubatan, perniagaan dan sebagainya. Justeru teknologi moden secara

umumnya adalah kajian atau aktiviti terbaru yang berkaitan tentang masa

kini yang menggunakan pengetahuan sains untuk tujuan praktis.

Matematik yang kita peroleh sebenarnya banyakmempengaruhi teknologi

moden pada hari ini, bahkan dalam segenap sisi kehidupan manusia.

1.4.1 Matematik sebagai Satu Bahasa

Dengan memerhatikan evolusi sains secara

semula jadi dalam abad ke dua puluh ini, kita tidak

dapat menafikan bahawa “buku alam ditulis dalam

bahasa matematik”.

Matematik ialah bahasa dan seperti bahasa-

bahasa lain yang mempunyai tatabahasa sendiri,

sintaks, perbendaharaan kata, susunan kata,

sinonim, konvensyen, dan lain-lain [Esty, 1997].

Bahasa matematik ini adalah kedua-dua alat

komunikasi dan alat pemikiran.

Matematik dilihat

sebagai satu bahasa


3

Salah satu matlamat utama matematik ialah untuk pelajar menyerap

konsep-konsep asas dan kemahiran bahasa yang penting dalam

matematik. Kemahiran bahasa matematik ialah kebolehan untuk

membaca dengan kefahaman, untuk meluahkan pemikiran matematik

dengan jelas, untuk menyatakan sebab secara logik, untuk mengiktiraf

dan menggunakan corak pemikiran matematik. [Esty, W., 1997, kata

pengantar]

Keunikan bahasa adalah keupayaannya untuk memberikan ekspresi yg

tepat bagi setiap buah fikiran ataupun konsep yang dapat diformulasi

melalui bahasa tersebut. Kuasa bahasa matematik moden boleh dilihat

dalam dua contoh di bawah:

BAHASA MATEMATIK PURBA

BAHASA MATEMATIK MODEN If a straight line be cut at random, the

square on the whole is equal to the

squares on the segments and twice

the rectangle contained by the

segments. (Euclid, Elements, II.4,

300B.C.)

(a + b)2 = a2 + b2 + 2∙a∙b

The area of any circle is equal to a

right-angled triangle in which one of

the sides about the right angle is

equal to the radius, and the other to

the circumference of the circle.

(Archimedes, On the Sphere and

the Cylinder, 220 B.C.)

A = r ∙ 2π(r/2) = πr2


4

Jika kita menganggap peranan utama matematik sebagai penyelesaian

masalah, yang terdiri daripada masalah aktiviti model-operasi-mentafsir,

maka matlamat utama pembelajaran matematik ialah memproses

terjemahan daripada suatu masalah yang dirumuskan dalam bahasa

ibunda kepada model matematik yang ditulis dalam bahasa matematik.

1.4.2 Matematik sebagai Teknologi Berfikir "Teknologi pemikiran secara matematik adalah inti pati sains dan inti pati

masyarakat yang berasaskan teknologi " (Buchberger)

Teknologi pemik i ran juga boleh diperoleh dalam mata pelajaran lain

tetapi matematik memerlukan cara khas dalam berfikir. Untuk menerangkan

cara ini kita boleh menggunakan "lingkaran kreativiti" Buchbergers sebagai

model cara pelajar memahami matematik [Buchberger, 1992]. Lingkaran

ini bermula dengan pemerhatian, bahan atau masalah data. Penyelesaian

yang boleh didapati dalam pembangunan algoritma atau dalam

penciptaan konsep baru. Model Lingkaran Kreativiti Buchbergers

merangkumi:

Model Lingkaran

Kreativiti Buchbergers


5

FASA 1: HEURISTIK

(FASA

EKSPERIMENTAL)

Membangunkan andaian,

membentuk hipotesis,

merangka membuktikan

idea-idea dan strategi

penyelesaian, konsep asas

masalah. Ciri-ciri bagi

aktiviti ini ialah:

munasabah, kesimpulan

induktif

FASA 2: FASA MEMPERSOAL

DAN MEMPERJELAS

Membuat

andaian,

membuktikan

hipotesis,

pengaturcaraan

FASA 3: FASA

APLIKASI

Menyelesaikan

masalah dengan

menggunakan

konsep dan

algoritma

dibangunkan di

fasa 1 dan 2:

model, operasi

dan mentafsir. 1.4.3 Matematik sebagai Faktor Keselamatan dalam Teknologi Moden

Realiti dunia pada hari ini, semakin maju sesebuah negara, maka

semakin maju teknologinya dan semakin besar juga gangguan ke atas

keselamatan individu, komuniti, syarikat dan negara. Justeru, bagaimana

pula matematik dapat membantu dalam aspek keselamatan?

Contoh yang pertama dapat dilihat

pada Kriptografi moden. Kriptografi

moden ini menyatukan disiplin

matematik, sains komputer dan

kejuruteraan. Kriptografi adalah

teknik menyembunyikan maklumat

rahsia, biasanya dalam bentuk

teknik pengekodan, matematik, atau

cara lain dengan tujuan supaya

mesej yang disimpan atau dihantar

hanya diketahui oleh mana-mana

pihak yang berminat.

Cara kriptografi berfungsi


6

Berhenti dan renungkan. Adakah sistem kriptografi ini selamat?

Apakah yang anda tahu mengenai Pubic Key Cryptography?

Selain itu, mesin ATM (Automatic Teller Machine) juga menggunakan

matematik dalam sistem sekuritinya. Mesin juruwang automatik (ATM)

merupakan sejenis peranti telekomunikasi berkomputer yang

menyediakan capaian transaksi kewangan kepada pelanggan institusi

kewangan di kawasan tumpuan awam tanpa memerlukan juruwang

manusia atau kerani bank. Para pengguna akan memasukkan nombor

pin untuk mengakses mesin tersebut.

Papan kekunci mesin ATM

1.5 Matematik sebagai Kegiatan Budaya yang Berterusan

Sepanjang sejarah, matematik telah digunakan oleh orang-orang yang

berbeza dalam pelbagai cara. Aritmetik dan geometri telah digunakan

untuk memenuhi keperluan harian rakyat. Orang-orang Mesir

menggunakan geometri untuk membina piramid dalam tujuan

pengebumian (Burton, 1999). Kajian matematik yang digunakan oleh


7

orang-orang yang berbeza telah berkembang menjadi apa yang kini

dikenali sebagai etnomatematik. Etnomatematik ditakrifkan sebagai

bagaimana manusia pelbagai budaya menggunakan matematik dalam

kehidupan seharian mereka. Kumpulan budaya tidak hanya terhad

kepada kaum semata-mata tetapi konsepnya merangkumi lebih luas

seperti golongan cerdik pandai.

Dr Chris Matthews, seorang lelaki Orang Asli dari Negara Quandamooka

(Moreton Bay, Queensland) menyatakan bahawa ia adalah penting untuk

mempertimbangkan bahawa budaya mempunyai kesan yang besar

terhadap cara matematik dipelajari.

Beliau mencadangkan bahawa untuk memahami aspek-aspek budaya

matematik, adalah perlu untuk mengetahui apa itu matematik. Rajah di

bawah menunjukkan ringkasan Dr Matthews tentang pandangannya

mengenai persoalan asas epistemologi matematik. Beliau percaya

pembangunan pedagogi yang berpusat pada kitaran ini akan membawa

kepada celik matematik tulen, membolehkan pelajar untuk mencapai pada

standard yang tinggi.

Epistemologi matematik oleh Dr. Matthews


8

1.5.1 Friezes (Dekorasi Dinding) Salah satu budaya yang berterusan di dalam matematik ialah Friezes

(Dekorasi Dinding). Friezes ialah satu konsep matematik untuk

mengklasifikasikan corak pada permukaan dua dimensi yang berulang-

ulang dalam satu arah, Berdasarkan Simetri dalam corak, terdapat 7 corak

dekorasi dinding asas yang pengaplikasikan konsep penjelmaan

(transformation) dalam matematik yang kongruen (tidak melibatkan

pembesaran / enlargement). John Conway mencipta nama-nama yang

berkaitan dengan jejak langkah bagi setiap kumpulan dekorasi dinding (F1

hingga F7).


9

11


10

1.5.2 Mosaic (Mozek) dan Pola Teselasi Pola teselasi terbentuk apabila satu permukaan rata ditutup dengan

bentuk-bentuk dua matra tanpa pertindihan. Mozek adalah seni yang

banyak menggunakan konsep t eselasi dalam mewujudkan imej-

imej dengan himpunan kepingan kecil kaca berwarna, batu atau bahan-

bahan lain. Ia boleh menjadi satu teknik seni hiasan, aspek hiasan

dalaman, atau kepentingan budaya dan rohani seperti di beberapa

tempat terkenal tamadun dunia.

1. Mozek Roman 2. Mozek Etruscan 3. Girih – mozek di kompleks Islam


11

4. Dome of the Rock, Palestin 5. Teselasi peranakan pada dinding kedia rumah, Singapura 6. Teselasi hiasan mozek, Morocco


12

1.5.3 Simetri Konsep simetri banyak digunakan dalam pelbagai aspek budaya manusia.

Sebagai contoh, pakaian tradisional yang menggunakan sulaman manik di

Malaysia banyak mengaplikasikan konsep simetri. Demikian juga corak

hiasan seperti kolam.

1. Pakaian tradisional Bajau 2. Kolam


13

1.6 Asas Matematik Kontemporari Matematik kontemporari adalah jambatan kepada ilmu dan pengetahuan

matematik. Ia menghubungkan pelbagai disiplin ilmu matematik untuk

menjadikannya lebih berkembang dan moden. Matematik kontemporari

mementingkan aplikasi matematik dalam konteks sebenar dan dalam

menyelesaikan masalah yang dihadapi oleh manusia. Contoh matematik

kontemporari ialah teori set, logik, kebarangkalian, rangkaian, teori graf dan

sebagainya.

1.6.1 Enjin Carian Google

Google mempunyai visi untuk mengatur maklumat dunia dan

membuatkannya boleh diakses secara universal. Proses enjin carian

Google ini menggunakan prinsip matriks dan algoritma.

Penggunaan matriks


14

Katakan setiap nod di sebelah kanan mempunyai link yang ditunjukkan

dalam graf yang diarahkan. Yang manakah nod yang paling penting dan

akan muncul pada kali yang pertama?

Konfigurasi di bawah ialah kedudukan carian bagi setiap laman sesawang

yang dicari. Nombor satu menunjukkan laman yang paling kurang diakses

dan nombor 10 adalah laman yang paling kerap dilayari pengguna internet.

PR0 – Doesn’t Exist.

PR1 – Very Poor.

PR2 – Poor.

PR3 – Average.

PR4 – Above Average.

PR5 – Good.

PR6 – Great.

PR7 – On Fire.

PR8 – Big.

PR9 – Everyone wants you.

PR10 – The Best.


15

Penggunaan Algoritma

PageRank adalah algoritma analisis link yang memberi satu wajaran berangka

kepada setiap halaman web, dengan tujuan untuk "mengukur" kepentingan

relatifnya berbanding halaman web yang lain. Ia berasaskan kepada peta

hyperlink dan merupakan cara terbaik untuk mengutamakan carian kata

kunci.

Justeru bagaimana untuk mengiranya?

PR setiap halaman bergantung kepada PR di laman-laman

yang menunjuk kepadanya.

Tetapi kita tidak akan tahu apa PR halaman tersebut

sehingga PR halaman yang menunjuk kepadanya dikira dan

sebagainya.

Jadi apa yang kita lakukan adalah membuat tekaan.

Prinsip: Ia tidak kira di mana anda bermula tekaan anda, apabila pengiraan

PageRank telah ditetapkan, "taburan kebarangkalian normal" (PageRank

purata untuk semua muka surat) akan menjadi 1.0.


16

Anggapkan 4 laman sesawang ialah A, B, C dan D. Biarkan setiap halaman

bermula dengan anggaran Page Rank sebanyak 0.25.

16

Pemerhatian: setiap halaman mempunyai sekurang-kurangnya PR

0.15 untuk berkongsi keluar. Tetapi ini hanya mungkin dalam teori -

terdapat khabar angin bahawa Google menjalani fasa pasca spidering di

mana mana-mana halaman yang tidak mempunyai link masuk benar-benar

dihapuskan dari indeks.


17

1.6.2 Global Positioning System (GPS) GPS adalah sistem navigasi radio berasaskan satelit yang membolehkan

sesiapa sahaja di mana-mana di dunia ini untuk menentukan kedudukan

mereka dengan ketepatan yang besar dan tepat.

Komponen GPS:

a. Angkasa - Satelit

b. Kawalan - Stesen-stesen pemantauan di bumi

c. Pengguna - Unit GPS seperti yang anda gunakan hari ini

Berapa banyak satelit yang membentuk GPS? 24 satelit GPS yang ada di

orbit sekitar 12,000 batu di atas kita. Ia bergerak berterusan bergerak

mengelilingi bumi 12 jam dengan kelajuan 7,000 batu sejam. GPS juga

memerlukan sekurang-kurangnya tiga hingga empat satelit.


18

Bagaimana satelit berfungsi?

Contoh:

Satu Kapal berada pada kedudukan yang tidak diketahui dan tidak

mempunyai jam. Ia menerima isyarat serentak daripada 4 satelit,

memberikan kedudukan dan masa seperti yang ditunjukkan dalam

Jadual di bawah :

ϕ corresponds to latitude, λ to longitude and h to the ellipsoidal height,i.e.the length of the vertical P line to the ellipsoid.

Kira jarak dari kapal tersebut Isyarat itu dihantar pada masa 19.9 dan tiba

pada masa t. Perjalanan pada kelajuan .047, Jadi:


19

18


20

1.6.3 Kekunci Awam Kriptografi (Public Key Cryptography)

Perkataan “kriptografi’ berasal daripada perkataan Greek ‘kryptos’ yang

bermaksud tersembunyi dan ‘graphien’ untuk menulis. Kriptografi

didefinisikan sebagai ilmu dan seni untuk menjaga kerahsiaan berita

(Schneier, 1996).

Bagaimana Kriptografi berfungsi?

Berfungsi dalam sistem keselamatan rangkaian dan menjamin keselamatan

penyimpanan data.


21

Apa itu Kriptanalisis (Cryptanalisis)?

Seni dan ilmu untuk memecahkan ciphertext menjadi plaintext tanpa

melalui cara yang seharusnya (dekripsis).

Proses:

Algoritma Rivest-Shamir-Adleman (RSA)

RSA dicipta pada tahun 1978 dan dipaten pada 1983. Singkatan dari nama

perintis perintis iaitu Ron Rivest, Adi Shamir dan Leonard Adleman

dari Masschusetts Institute of Technology.


22

Berikut ialah pengiraan inkripsi RSA:

Kekunci awam yang digunakan adalah (e, N). Kekunci peribadi yang digunakan adalah d.


23

1.6.4 Pemampatan Imej Fraktal

10 hingga 15 tahun yang lalu, teknik fractal ini diperkenalkan dalam grafik

computer. Teknik ini menggunakan teori matematik Iterated Function

System (IFS) yang berasaskan Sistem Fungsi Pengulangan. Sistem ini

dibangunkan oleh John Hutchinson.

Apa yang dimaksudkan dengan pemampatan Imej Fraktal?

Bayangkan sejenis mesin fotokopi yang mengurangkan imej yang disalin

kepada separuh dan dalam masa yang sama, dihasilkan dalam tiga salinan

imej.

Anda akan

melihat kesemua

salinan bertumpu

kepada satu imej

akhir.

Apabila mesin fotokopi menyusutkan input imej, maka sebarang imej

permulaan yang diletakkan pada mesin fotokopi akan menyusut kepada

satu titik. Hakikatnya, kedudukan dan orientasi salinan sahaja yang akan

menentukan imej yang terakhir.

Pemampatan Fractal termasuk dalam kaedah mampatan tidak

berkurang (lossy compression). Terdapat kaedah tradisional yang lain


24

tentang pemampatan imej dan pemampatan fractal adalah merupakan

salah satu yang terbaik. Walau bagaimanapun, kaedah mampatan fractal

didakwa mempunyai prestasi yang lebih baik kerana ia menghasilkan

anggaran yang lebih dekat kepada imej asal pada nisbah mampatan yang

lebih tinggi.

Apakah yang terkandung dalam Pemampatan Imej Fraktal?

- Affine transformation

- Iterated function system (IFS)

- Self-similarity in images

- Partition iterated function system

- Encoding images

- Encoding colour images Salah satu sistem yang diguna pakai dalam pemampatan imej fractal

ialah Transformasi Affine (Affine Transformation). Affine transformation

bagi sesuatu imej adalah sebarang kombinasi bagi putaran, perubahan

skala, condongan ataupun translasi.

Contoh: Imej yang diputar 90 darjah, dan diskalakan, akan membentuk affine

transformation


25


26

Kesimpulan: pemampatan imej fractal masih dalam pembangunan.

Penyelidik dan syarikat-syarikat teknologi masih lagi mencuba

membentuk algoritma baru untuk mengurangkan masa pengekodan.

1.6.5 Sistem Binari

Sebuah sistem mempersembahkan nombor menggunakan asas 2.

Nombor-nombor (1, 2, 3, 4, 5, ...) dipersembahkan dengan diwakili

dengan digit 0 dan 1. Ahli matematik melihat sistem binari ini sebagai

suatu alat berkembangnya ilmu sains komputer dan kecanggihan peranti

elektronik.


27

Secara ringkasnya, nilai tempat bagi sistem binari adalah:

100001 = (1 x 25) + (1 x 20)

= 32 + 1

= 33 (nombor desimal)

Sistem binari ini digunapakai secara meluas dalam kebanyakan peranti dan

litar elektronik yang menggunakan get logik (yang mana input dan

outputnya diwakili oleh digit 0 dan 1). Contoh peranti yang menggunakan

sistem binari ialah:

Kalkulator

Komputer

Mesin taip elektronik

Penggunaan Sistem Binari dalam kod ASCII

ASCII ialah American Standard Code for Information Interchange. Ia

digunakan secara meluas dalam bidang mikrokomputer. Kod ASCII ini

mewakili symbol pada papan kekunci komputer. Terdapat 127 kod

ASCII yang mewakili 127 simbol kesemuanya.

Contoh Kod ASCII:


28

1.6.6 Simpanan Dan Pinjaman

Simpanan Dana yang dipercayakan oleh seseorang kepada bank berdasarkan

perjanjian penyimpanan dana dalam bentuk giro, deposit, tabungan atau

bentuk lain yang sama erti dengan itu.

Jenis-Jenis Simpanan

Simpanan Biasa

Simpanan Tetap

Simpanan KWSP

Simpanan Tabung Haji

Simpanan ASB

dividen

tahunan 1%

setahun.

Contoh:

Simpan

RM100 bank

akan bagi

dividen RM1

sahaja

Dividen

tahunan 2 -

3% setahun.

Mempunyai

had tempoh

deposit yang

ditetapkan

oleh setiap

bank.

Dividen 4 -

5%

setahun.

Diwajibkan

kepada

setiap orang

yang

bekerja

makan gaji

di Malaysia.

Dividen 5 -

6% setahun

Dividen 8 -

9% setahun

Perbandingan Faedah Simpanan Tetap


29

Konsep Simpanan Tetap

Aplikasi Matematik: Algebra dan Kalkulus


30

Pinjaman Meminjam sejumlah wang yang dipersetujui oleh kedua-dua pihak

dalam satu tempoh masa bayaran balik dengan kadar faedah yang telah

ditetapkan (Hutang).

Jenis-Jenis Pinjaman

Kereta (sewa beli)

Pelajaran – PTPTN, Mara

Perumahan

Peribadi

Kad Kredit Contoh – Pinjaman Perumahan Jika anda ingin membeli rumah yang masih dalam pembinaan, anda perlu

mengkaji latar belakang pemaju berkenaan. Anda hendaklah memastikan

bahawa pemaju:

- Mempunyai lesen sah yang dikeluarkan oleh Kementerian

Perumahan dan Kerajaan Tempatan (belum luput)

- L esen pengiklanan dan permit jualan sah yang dikeluarkan oleh penguat

kuasa tempatan

- komitmen bulanan seperti ansuran rumah dan kereta tidak boleh

melebihi 1/3 daripada pendapatan kasar isi rumah.

- Sumber kewangan untuk membiayai pembelian rumah, adalah

terdiri daripada kesemua atau sebarang kombinasi perkara perkara

berikut:

i. Tabungan

ii. Pengeluaran daripada Kumpulan Wang Simpanan Pekerja

(KWSP) dan/atau

iii. Kemudahan pinjaman daripada institusi kewangan


31

Jumlah Pinjaman

Yuran dan Caj

Kadar Faedah (Fee Interest)

Biasanya setiap bank akan menawarkan pakej BLR (Based

Lending Rate), iaitu Kadar Pinjaman Asas (KPA) iaitu kadar faedah

yang dikenakan setiap bank.

Kadar ini berbeza di antara bank kerana bergantung pada OPR

(Overnight Police Rate) yang telah ditetapkan oleh Bank Negara.

Sekiranya BLR yang ditetapkan oleh Bank Negara ialah 6.6 %


32

BLR bagi setiap bank adalah berbeza, contoh BLR - 2.4%

Oleh itu jumlah sebenar faedah pinjaman adalah 6.6 - 2.4 = 4.2% Contohnya: Jika Bank A menawarkan pakej BLR - 1.7%, Bank B menawarkan pakej

BLR - 2.2%. Bayaran ansuran masing-masing RM923 dan RM870 bagi

rumah yang bernilai RM200,000 dengan bayaran pendahuluan

RM20,000. Hal ini menunjukkan keuntungan sebanyak RM53 sebulan jika

kita memilih pakej Bank B.

Formula Bayaran Balik

Contoh Situasi Pak Yop ingin membeli sebuah rumah yang dijual di Lahad Datu pada

harga RM130,000. Pak Yop membayar pendahuluan sebanyak

RM13,000 dan tempoh perjanjian bayaran balik ialah 30 tahun.

Berapakah kadar bayaran balik yang dikenakan ke atas Pak Yop?


33

Penyelesaian:

Secara kesimpulannya, matematik banyak digunakan dalam pelbagai

bidang di dunia. Di bawah ini merupakan rumusan berkenaan

bidang-bidang yang menggunakan matematik:

Aritmetik

Statistik

Geometri

Kalkulus

Algebra

: kewangan, perakaunan, perbankan, insurans

: insurans, penyelidikan, pemasaran, hubungan awam

: arkitektur, reka bentuk, seni bina, GPS

: arkitektur, reka bentuk, seni bina

: penyelesaian masalah, kriptografi, enjin pencarian

34

Documents

Topik 1 Matematik Dalam Kehidupan Harian