TỔNG HỢP CÔNG THỨC ĐẠI SỐ 10

VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack

Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official

TỔNG HỢP CÔNG THỨC ĐẠI SỐ 10

CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Các công thức về phương tình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( )a 0

1. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: 2b 4ac = −

0 : Phương trình vô nghiệm

0 = : Phương trình có nghiệm kép

1 2

bx x

2a= = −

0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

1 2

b bx ;x

2a 2a

− − − + = =

2. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Nếu b chẵn ta dùng công thức nghiệm thu gọn

2b ac = −b

b2

=

0 : Phương trình vô nghiệm

0 = : Phương trình có nghiệm kép

1 2

bx x

a

= = −

0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

1 2

b bx ;x

a a

− − − + = =

3. Định lý Vi-ét:

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1; x2 thì



1 2

1 2

bS x x

a

cP x .x

a

= + = −

= =

4. Các trường hợp đặc biệt của phương trình bậc hai:

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: 1

2

x 1

cx

a

= =

- Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: 1

2

x 1

cx

a

= − = −

5. Dấu của nghiệm số: ax2 + bx + c = 0 ( )a 0

- Phương trình có hai nghiệm trái dấu: x1 < 0 < x2 P < 0

- Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt: 0 < x1 < x2

0

P 0

S 0

- Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt x1 < x2 < 0

0

P 0

S 0

CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1. Bất đẳng thức

a) Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

+ Tính chất 1 (tính chất bắc cầu): a > b và b > c a > c



+ Tính chất 2 (liên hệ giữa thứ tự và phép cộng): a > b a + c > b + c (cộng hai

vế của bất đẳng thức với cùng một số ta được bất đẳng thức cùng chiều và tương

đương với bất đẳng thức đã cho).

Hệ quả (Quy tắc chuyển vế): a > b + c a - c > b

+ Tính chất 3 (quy tắc cộng): a b

a c b dc d

+ +

+ Tính chất 4 (liên hệ giữa thứ tự và phép nhân)

a > b a.c > b.c nếu c > 0

Hoặc a > b a.c < b.c nếu c < 0

+ Tính chất 5 (quy tắc nhân): a b 0

ac bdc d 0

(Nhân hai vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức

cùng chiều)

Hệ quả (quy tắc nghịch đảo): a > b > 0 1 1

a b

+ Tính chất 6: a > b > 0 an > bn (n nguyên dương)

+ Tính chất 7: a > b > 0 n na b (n nguyên dương)

b) Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)

Định lí: Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân

của chúng.

Nếu a 0,b 0 thì a b

a.b2

+

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Hệ quả 1: Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chùng lớn nhất khi 2 số

đõ bẳng nhau.

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có

diện tích lớn nhất.

Hệ quả 2: Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chùng nhỏ nhất khi 2

số đó bằng nhau.



Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông

có chu vi nhỏ nhất.

+ Bất đẳng thức Cô-si cho n số không âm a1; a2; …; an (n *,n 2)

1 2 n n1 2 n

a a ... aa a ...a

n

+ + +

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = … = an

c) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Định lý: Với mọi số thực a và b ta có:

|a + b| |a| + |b|

||a| - |b|| |a - b|

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ab 0.

d) Một số bất đẳng thức khác

+) x2 0 x

+) [a] + [b] [a + b]

Trong đó [x] gọi là phần nguyên của số x, là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x:

[x] x < [x] + 1

+) (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2 a,b,x,y .

2. Các công thức về dấu của đa thức

a) Dấu của nhị thức bậc nhất

Nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b ( )a 0 cùng dấu với hệ số a khi x > b

a

−, trái dấu

với hệ số a khi x < b

a

−.

b) Dấu của tam thức bậc hai

f(x) = ax2 + bx + c (a 0)

Biệt thức 2b 4ac = −



0 : f(x) cùng dấu với hệ số a

0 = : f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x b

2a

−

> 0: f(x) có hai nghiệm x1; x2 (x1 < x2)

x − x1 x2 +

f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a

*) Các công thức về điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên .

+) f(x) > 0, x 0

a 0

+) f(x) 0, x 0

a 0

+) f(x) < 0, x 0

a 0

+) f(x) 0, x 0

a 0

c) Dấu của đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 3. Bắt đầu ô bên phải cùng dấu với hệ số

a của số mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu.

3. Các công thức về phương trình và bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối

a) Phương trình

|A| = A khiA 0

A khiA 0

−

|A| = B

A 0

A B

A 0

A B

= − =



|A| = B

B 0

A B

A B

= = −

|A| = |B| A B

A B

= = −

b) Bất phương trình

|A| < B A B

A B

−

|A| B A B

A B

−

|A| > B A B

A B

−

|A| B A B

A B

−

|A| < |B| 2 2 2 2A B A B 0 − ( )( )A B A B 0 − +

|A| |B| 2 2 2 2A B A B 0 −

4) Các công thức về phương trình và bất phương trình chứa dấu căn bậc hai

a) Phương trình

2

B 0A B

A B

=

=

( )A 0 B 0A B

A B

=

=

b) Bất phương trình



2

B 0

A 0A B

B 0

A B

2

B 0

A 0A B

B 0

A B

2

A 0

A B B 0

A B

2

A 0

A B B 0

A B

A 0A B

A B

A 0A B

A B

CHƯƠNG 5. THỐNG KÊ

1. Giá trị trung tâm, tần số, tần suất của các lớp trong bảng phân phối ghép

lớp

Dấu hiệu X

Các giá trị: x1; x2; …; xn

- Lớp thứ i có các đầu mút xi và xi+1 thì 0 i i 1i

x xx

2

++= là giá trị trung tâm của lớp

thứ i.

- Tần số của lớp thứ i là số ni các giá trị trong khoảng thứ i.



- Tần suất của lớp thứ i là ii

nf

n= (n là số giá trị của tất cả bảng)

2. Số trung bình cộng, mốt, số trung vị

- Dấu hiệu X có các giá trị khác nhau với các tần số tương ứng sau:

Giá trị x1 x2 x3 … xk

Tần số n1 n2 n3 … nk

Với n1 + n2 + n3 + … + nk = n thì số trung bình cộng được tính theo công thức

( )1 1 2 2 3 3 k k

1X n x n x n x ... n x

n= + + + +

k k

i i i i

i 1 i 1

1n x f x

n = =

= =

- Nếu dấu X có bảng phân phối ghép lớp, có k lớp với giá trị trung tâm lần lượt là: 0 0 0 0

1 2 3 kx ;x ;x ;...;x và các tần số tương ứng là: n1; n2; n3; …; nk với n1 + n2 + n3 + … +

nk = n thì số trung bình là:

k k0 0 i

i i i i i

i 1 i 1

1 nX n x f x f

n n= =

= = =

- Mốt của dấu hiệu là giá trị có tần số lớn nhất.

- Số trung vị

Một bảng thống kê số liệu được sắp thứ tự không giảm (hoặc không tăng)

1 2 nx x ... x (hoặc 1 2 nx x ... x )

Số trung vị của dãy số liệu là Me

Me = xk+1 , nếu n = 2k + 1, k

Me = k k 1x x

2

++, nếu n = 2k, k

3. Phương sai, độ lệch chuẩn, hệ số biến thiên

- Phương sai

Cho bảng số liệu dấu hiệu X gồm n giá trị sau:

Giá trị(xi) x1 x2 x3 … xi … xk Cộng



Tần số(ni) n1 n2 n3 … ni … nk n

Khi đó phương sai

( )2

k k k22 2

X i i i i2i 1 i 1 i 1

1 1 1S n x X x x

n n n= = =

= − = −

Với X là số trung bình cộng.

- Độ lệch chuẩn:

2k k

2 2

X X i i2i 1 i 1

1 1S S x x

n n= =

= = −

- Hệ số biến thiên: XX

SV .100%

X=

CHƯƠNG 6. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

- Công thức đổi từ độ sang rad: a a.180

= (rad)

- Công thức đổi từ rad sang độ: 180

b rad b.

=

- Độ dài của một cung tròn: l = R

Trong đó, l là độ dài cung tròn

là số đo cung

R là bán kính đường tròn.

2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

+) sin và cos xác định với mọi

tan xác định với mọi ( )k k2

+

cot xác định với mọi ( )k k



+) k , ta có

sin( )k2 + = sin

cos( )k2 + = cos

tan( )k + = tan

cot( )k + = cot

+) Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

Góc phần tư

Giá trị lượng giác

I II III IV

cos + - - +

sin + + - -

tan + - + -

cot + - + -

+) Bảng giá trị lượng giác đặc biệt

Góc 0 30 45 60 90 120 135 150 180

0

6

4

3

2

2

3

3

4

5

6

sin 0 1

2 2

2

3

2

1 3

2

2

2

1

2

0

cos 1 3

2

2

2

1

2

0 1

2− 2

2−

3

2−

-1

Tan 0 1

3

1 3 || 3− 1 1

3−

0



cot || 3 1 1

3

0 1

3−

1 3− ||

+) Công thức lượng giác cơ bản:

tan = sin

cos

;

coscot

sin

=

2 2sin cos 1 + =

2

2

11 tan , k ,k

cos 2

+ = +

2

2

11 cot , k , k

sin+ =

ktan .cot 1, ,k .

2

=

+) Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt.

- Cung đối nhau: và -

cos(- ) = cos

sin(- ) = -sin

tan(- ) = -tan

cot(- ) = -cot .

- Cung bù nhau: và −

sin(− ) = sin

cos(− ) = -cos

tan(− ) = -tan

cot(− ) = -cot .

- Cung hơn kém : và ( ) +

sin( ) + = -sin



cos( ) + = -cos

tan( ) + = tan

cot( ) + = cot

- Cung phụ nhau: và 2

−

sin2

−

= cos

cos2

−

= sin

tan2

−

= cot

cot2

−

= tan .

⎯⎯→ cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém tan và cot.

+) Hai cung hơn kém 2

: và

2

+

sin2

+

= cos

cos 2

+

= -sin

tan2

+

= -cot

cot2

+

= -tan

3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC



+) Công thức cộng

cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb

cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb

sin(a - b) = sina cosb - cosa sinb

sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb

tan(a - b) = tan a tan b

1 tan a tan b

−

+

tan(a + b) = tan a tan b

1 tan a tan b

+

−

+) Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina cosa

cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a

tan2a = 2

2tana

1 tan a−

+) Công thức nhân ba

sin3a = 3sina - 4sin3a

cos3a = 4cos3a - 3cosa

tan3a = 3

2

tan a 3tana

3tan a 1

−

−

cot3a = 3

2

cot a 3cot a

3cot a 1

−

−

+) Công thức hạ bậc

2 1 cos2acos a

2

+=

2 1 cos2asin a

2

−=



2 1 cos2atan a

1 cos2a

−=

+

sin3a = 3sina sin3a

4

−

sin3a = 3cosa cos3a

4

+

+) Các hệ quả

sina cosa = 1

2sin2a

1 + coska = 2cos2 ka

2

1 - coska = 2sin2 ka

2

1 + sinka =

2ka ka

sin cos2 2

+

1 - sinka =

2ka ka

sin cos2 2

−

1 + sin2a = ( )2

sina cosa+

1 - sin2a = ( )2

sina cosa−

+) Công thức biến đổi tích thành tổng

sina.cosb = ( ) ( )1

sin a b sin a b2

+ + −

cosa.sinb = ( ) ( )1

sin a b sin a b2

+ − −

cosa.cosb = ( ) ( )1

cos a b cos a b2

+ + −



sina.sinb = ( ) ( )1

cos a b cos a b2

− + − −

+) Công thức biến đổi tổng thành tích:

sina + sinb = a b a b

2sin cos2 2

+ −

sina - sinb = a b a b

2cos sin2 2

+ −

cosa + cosb = a b a b

2cos cos2 2

+ −

cosa - cosb = a b a b

2sin sin2 2

+ −−

+) Đặc biệt khi a = b =

sin + cos = 2 sin4

+

sin - cos = 2 sin4

−

cos + sin = 2cos4

−

cos - sin = 2 cos4

+

.

TỔNG HỢP CÔNG THỨC HÌNH HỌC LỚP 10

CHƯƠNG 1. VÉC-TƠ



+ Quy tắc hình bình hành:

Cho hình bình hành ABCD, ta có: AD AB AC+ =

(Tổng hai vectơ cạnh chung điểm đầu của một hình bình hành bằng vectơ đường

chéo có cùng điểm đầu đó.)

+ Tính chất của phép cộng các vectơ

Với ba vectơ a ,b,c tùy ý ta có

a b b a+ = + (tính chất giao hoán)

( ) ( )a b c a b c+ + = + + (tính chất kết hợp)

a 0 0 a a+ = + = (tính chất của vectơ - không)

+ Quy tắc ba điểm

Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta luôn có: AB BC AC+ =

+ Quy tắc trừ: AB AC CB− =



+ Với 4 điểm A, B, C, D bất kì, ta luôn có: AB CD AD CB+ = +

+ Công thức trung điểm:

- Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA IB 0+ =

- Với mọi điểm M bất kì ta có: MA MB 2MI+ =

+ Công thức trọng tâm

- G là trung điểm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA GB GC 0+ + =

- Với mọi điểm M bất kì ta có: MA MB MC 3MG+ + =

+ Tính chất tích của vectơ với một số

Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k, ta có

( )k a b ka kb+ = +

( )h k a ha ka+ = +

( ) ( )h ka hk a=

( )1.a a, 1 .a a= − = −

+ Điều kiện để hai vectơ cùng phương:

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b ( )b 0 cùng phương là có một số k để

a kb=

+ Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích

được một cách duy nhất theo hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao

cho x ha kb= +

+ Hệ trục tọa độ

- Hai vectơ bằng nhau:



Nếu ( )u x;y= và ( )u x ;y = thì x x

u uy y

==

=

- Tọa độ của vectơ

Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) thì ta có ( )B A B AAB x x ;y y= − −

- Cho ( )1 2u u ;u= và ( )1 2v v ;v= . Khi đó

( )1 1 2 2u v u v ;u v+ = + +

( )1 1 2 2u v u v ;u v− = − −

( )1 1ku ku ;ku ,k=

- Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Cho đoạn thẳng AB có A(xA; yA), B(xB; yB) và I(xI; yI) là trung điểm của AB

Khi đó ta có

A BI

A BI

x xx

2

y yy

2

+=

+ =

- Tọa độ trọng tâm của tam giác

Cho tam giác ABC có A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC). Khi đó tọa độ trọng tâm

G(xG; yG) của tam giác ABC là:

A B CG

A B CG

x x xx

3

y y yy

3

+ +=

+ + =

CHƯƠNG 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

1. Tích vô hướng của hai vectơ

- Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 . Tích vô hướng của hai vectơ a và b là

một số, kí hiệu là a.b và



( )a.b a . b cos a,b=

- Nếu a hoặc b bằng 0 thì a.b = 0

- Với a và b khác vectơ 0 ta có a.b 0 a b= ⊥

+ Tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ a,b,c bất kì và mọi số k ta có:

a.b b.a= (tính chất giao hoán)

( )a. b c a.b a.c+ = + (tính chất phân phối)

( ) ( ) ( )ka .b k a.b a. kb= =

2 2

a 0,a 0 a 0. = =

+ Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho ( ) ( )1 2 1 2a a ;a ,b b ;b= =

Khi đó: 1 1 2 2a.b a b a b= +

+ Hai vectơ vuông góc: 1 1 2 2a b a b a b 0.⊥ + =

+ Độ dài của vectơ ( )1 2a a ;a= là: 2 2

1 2a a a= +

+ Góc giữa hai vectơ

Cho ( ) ( )1 2 1 2a a ;a ,b b ;b= = đều khác vectơ 0 thì ta có:

( ) 1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

a.b a b a bcos a;b

a . b a a . b b

+= =

+ +

+ Khoảng cách giữa hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB):

AB = ( ) ( )2 2

B A B Ax x y y− + −

2. Các hệ thức lượng trong tam giác



+ Hệ thức lượng trong tam giác vuông

BC2 = AB2 + AC (định lý Py-ta-go)

AB2 = BH.BC; AC2 =CH.BC

AH2 = BH.CH

AH.BC = AB.AC

2 2 2

1 1 1

AH AB AC= +

+ Định lý côsin

Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c thì

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c 2bccosA

b a c 2accosB

c a b 2abcosC

= + −

= + −

= + −

Hệ quả định lý côsin

2 2 2b c acosA

2bc

+ −=

2 2 2a c bcosB

2ac

+ −=



2 2 2a b ccosC

2ab

+ −=

+ Công thức độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi ma, mb, mc là độ dài các đường

trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác. Khi đó ta có

( )2 2 2

2

a

2 b c am

4

+ −=

( )2 2 2

2

b

2 a c bm

4

+ −=

( )2 2 2

2

c

2 a b cm

4

+ −=

+ Định lý sin

Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là bán kính đường

tròn ngoại tiếp, ta có:

a b c2R

sin A sin B sinC= = =

3. Công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c.

ha; hb; hc lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ A, B và C của tam giác ABC.

R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và a b c

p2

+ +=

là nửa chu vi của tam giác ABC. Khi đó ta có

S = a b c

1 1 1ah ah ah

2 2 2= =

S = 1

absinC2

= 1

bcsin A2

= 1

casinB2



S = abc

4R

S = pr

S = ( )( )( )p p a p b p c− − − (công thức Hê-rông)

+ Đặc biệt

Tam giác vuông: S = 1

x2

tích hai cạnh góc vuông

Tam giác đều cạnh a: S = 2a 3

4

Hình vuông cạnh a: S = a2

Hình chữ nhật: S = dài x rộng

Hình bình hành ABCD: S = đáy x chiều cao hoặc S = AB.AD.sinA

Hình thoi ABCD: S = đáy x chiều cao

S = AB.AD.sinA

S = 1

2x tích hai đường chéo

Hình tròn: S = 2R (R là bán kính)

CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

1. Các dạng phương trình đường thẳng

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng

+) Đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và nhận vectơ ( )n a;b= làm VTPT với

2 2a b 0+ có phương trình là: a(x - x0) + b(y - y0) = 0

Hay ax + by - ax0 - by0 = 0

Đặt -ax0 - by0 = c



Khi đó ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d nhận ( )n a;b= làm VTPT

là: ax + by + c = 0 ( 2 2a b 0+ ).

+) Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng

- (d): ax + c = 0 (a 0): (d) song song hoặc trùng với Oy

- (d): by + c = 0 (b 0): (d) song song hoặc trùng với Ox

- (d): ax + by = 0 ( )2 2a b 0+ : (d) đi qua gốc tọa độ

- Phương trình đoạn chắn: x y

a b+ = 1 nên (d) đi qua A(a; 0) và B(0; b) (a, b 0)

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và nhận ( )1 2u a ;a= làm VTCP có phương

trình tham số là: 0 1

0 2

x x a t

y y a t

= +

= + (với t là tham số, 2 2

1 2a a 0+ )

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

Có dạng: 0 0

1 2

x x y y

a a

− −= ( )a,b 0 là đường thẳng đi qua điểm M(x0; y0) và nhận

( )1 2u a ;a= làm VTCP.

d) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) có dạng:

+ Nếu A B

A B

x x

y y

thì đường thẳng AB có PT chính tắc là: A A

B A B A

x x y y

x x y y

− −=

− −

+ Nếu xA = xB thì AB: x = xA

+ Nếu yA = yB thì AB: y = yA

e) Phương trình đường thẳng theo hệ số góc

- Đường thẳng d đi qua điêm M(x0; y0) và có hệ số góc là k.

Phương trình đường thẳng d là: y - y0 = k(x - x0)



- Rút gọn phương trình này ta được dạng quen: y = kx + m

với k là hệ số góc và m là tung độ gốc.

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2x + c2 = 0

+ Cách 1. Áp dụng trong trường hợp a1.b1.c1 0

Nếu 2 2 2

1 1 1

a b c

a b c= = thì 1 2d d

Nếu 2 2 2

1 1 1

a b c

a b c= thì d1 // d2

Nếu 2 2

1 1

a b

a b thì d1 cắt d2

+ Cách 2. Giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 (nếu có) là nghiệm của hệ

phương trình

1 1 1

2 2 2

a x b y c 0

a x b y c 0

+ + =

+ + = (I)

- Hệ (I) có một nghiệm (x0; y0). Khi đó d1 cắt d2 tại điểm M0(x0; y0)

- Hệ (I) có vô số nghiệm, khi đó d1 trùng với d2

- Hệ (I) vô nghiệm, khi đó d1 và d2 không có điểm chung, hay d1 song song với d2.

3. Góc giữa hai đường thẳng


Gọi là góc giữa hai đường thẳng d1 và d2. Kí hiệu = (d1; d2)

Khi đó ta có: 1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a a b bcos

a b . a b

+ =

+ +

4. Phương trình phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2




Phương trình phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 là

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a y b y c a y b y c

a b a b

+ + + +=

+ +

(góc nhọn lấy dấu -, góc tù lấy dấu +)

5. Khoảng cách

+ Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng ( ) : ax + by + c = 0

d(M, ) = 0 0

2 2

ax by c

a b

+ +

+

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d1: ax + by + c1 = 0 và

d2: ax + by + c2 = 0 là

d(d1; d2) = 1 2

2 2

c c

a b

−

+

6. Phương trình đường tròn

+ Dạng 1:

Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R có dạng

(x - a)2 + (y - b)2 = R2

+ Dạng 2:

Phương trình có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 với a2 + b2 - c > 0 là phương trình

đường tròn tâm I(a, b) và bán kính R = 2 2a b c+ − .

7. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) của đường tròn tâm I(a; b) có dạng

( )( ) ( )( )0 0 0 0x a x x y b y y 0− − + − − =

8. Elip

a) Hình dạng của elip



+ F1, F2 là hai tiêu điểm

+ F1F2 = 2c là tiêu của của Elip

+ Trục đối xứng Ox, Oy

+ Tâm đối xứng O

+ Tọa độ các đỉnh A1(–a; 0), A2(a; 0), B1(0; –b), B2(0; b).

+ Độ dài trục lớn A1A2 = 2a. Độ dài trục bé B1B2 = 2b.

+ Tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0).

b) Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: 2 2

2 2

x y1

a b+ = với 2 2 2b a c= −

9. Hypebol

a) Phương trình chính tắc của hypebol

Với F1(-c; 0), F2(c; 0)



M(x; y) (H) 2 2

2 2

x y1

a b− = với 2 2 2b c a= − là phương trình chính tắc của

hypebol.

b) Tính chất

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(-c; 0), tiêu điểm phải F2(c; 0)

+ Các đỉnh: A1(-a; 0), A2(a; 0)

+ Trục Ox gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo của hypebol.

Độ dài trục thực 2a

Độ dài trục ảo 2b

+ Hypebol có hai nhánh:

- Nhánh phải ứng với x a

- Nhánh trái ứng với x a −

+ Hypebol có hai đường tiệm cận, có phương trình y = b

xa

+ Tâm sai: e = c

1a .

10. Parabol

a) Phương trình chính tắc của parabol



Parabol (P) có tiêu điểm F(p

;02

) (với p = d(F; ) được gọi là tham số tiêu) và các

đường chuẩn là : x = p

2− (p > 0)

M(x; y) (P) 2y 2px = (*)

(*) được gọi phương trình chính tắc của parabol (P).

b) Tính chất

+ Tiêu điểm F(p

2; 0)

+ Phương trình đường chuẩn : x = p

2−

+ Gốc tọa độ O được gọi đỉnh của parabol

+ Ox là trục đối xứng.

Documents

TỔNG HỢP CÔNG THỨC ĐẠI SỐ 10