Tổng hợp kiến thức Toán THCS

8/18/2019 Tổng hợp kiến thức Toán THCS

1/66

Tổng hợp kiến thức toán THCS Thầy giáo: Phạm Văn Địn

A. Çc tËp hîp sè c¬ b¶nN =Z =Q =R =

1. BiÓu diÔn trªn trôc sè- Trôc n»m ngang- Trôc th¼ng ®øng

2. Quan hÖ i!a çc tËp hîp sèN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

I ⊂ R TËp hîp çc sè thùc lÊp ®! trôc sèNg"#$ ra c%n çc &' h$()* N+, Z+, Q+, R+, Z, Z-, Q, Q-, R, R-.

b. i¸ tr" tu#Öt $èi1. %"nh nh&a'

/0* 1$¸ tr2 t)!(t ®è$ c3a sè 4 l# &h"5ng çch t6 ®$7m 4 ®8®$7m 9 tr:n trôc sè.

/;*4 nng ; sè c?ng @Ê)

- />ng ; sè &h¸c @Ê) T'nh chÊt* 1$a" h"¸n, AB, c>ng CD$ 9, c>ng CD$ sè ®è$.2. /h+p tr' E# phFp t'nh ngîc c3a phFp t'nh c>ng a - G = a G. /h+p nh3n'

- NhJn ; sè c?ng @Ê)- NhJn ; sè &h¸c @Ê)

T'nh chÊt* 1$a" h"¸n, AB, nhJn CD$ 0, nhJn CD$ sè ngh2ch ®5",phJn phè$.

Năm học: 2010 - 2011

/h4n 5'Çc tËp hîp sè c¬ b¶n ,- çc ph+p t)nh

6è h7c ,- $8i sè


2/66

Tổng hợp kiến thức toán THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định

9. /h+p chia' E# phFp t'nh ngîc c3a phFp t'nh nhJn a * G = a .

b

1 H G ≠ 9.

T'nh chÊt phJn phè$ c3a phFp ch$a ®è$ CD$ phFp c>ng C#phFp tr6:. /h+p n3n ;ªn ;n th?c'

1D 2 A A= F H A ; = L HL 0≥

2D . AB A B= ,Gi A 0≥ ,- B 0≥ D

D A A B B

= ,Gi A 0≥ ,- B 0> D

9D =;a b a b ,Gi B 0≥ D

:D = ;a b a b ,Gi A 0≥ ,- B 0≥ D

= − ;a b a b ,Gi A 0≤ ,- B 0≥ D

@D =0 A

ABB b

,Gi A.B ≥ H ,- B ≠ H D

ID = A A B

BB

,Gi B J H D

KD ( )

=−±

m;

C A BC A b A B

,Gi A ≥ H ,- A ≠ B2 D

LD ( )

=−±

mC A BC A B A B

,Gi A ≥ H F B ≥ H ,- A ≠ B D

d. (h? tM thMc hiÖn c¸c ph+p t)nh'- M$7) thøc &hng cO @Ê) ng"Pc- M$7) thøc cO @Ê) ng"Pc

N. Qu# tOc d*u nPc'- Q)! tc G @Ê) ng"Pc- Q)! tc ®a C#" tr"ng @Ê) ng"Pc

R. Qu# tOc chu#Ón ,S'

Năm học: 2010 - 2011;

/h4n 55't)nh ch*t chia hStF d*u hiÖu chia hSt


3/66


a. t)nh ch*t chia hSt ca tTn ,- hiÖu()nh ch*t 1' N8) tÊt c5 çc sè hng c3a m>t tSng Hh$()

®) ch$a h8t ch" c?ng m>t sè thU tSng Hh$() ch$a h8t ch" sè ®()nh ch*t 2' N8) chV cO m>t sè hng &hng ch$a h8t ch" m

sè, c%n çc sè hng &h¸c ®) ch$a h8t ch" sè ®O thU tSng Hh$()&hng ch$a h8t ch" sè ®O.

U0t sè t)nh ch*t h¸c'amW a G m ⇒ GmamW a - G m ⇒ Gmam ⇒ aGm

b. d*u hiÖu chia hSt chP 2F :F F L.c. Gc ,- b0i trPn V ,- WD1. /h+p chia hSt ,- ph+p chia cX d.

+ Xè TN Hh"Pc sè ng)!:n a ch$a h8t ch" sè G &h¸c 9 n8) cO Y sa" ch" a = GY

+ Xè TN Hh"Pc sè ng)!:n a ch$a ch" sè G &h¸c 9 ®îc thng lY C# @ r &h$ ®O a = GY r H9 K r K b

+ Ah$ sè a ch$a h8t ch" sè G ta nO$ a l# G>$ c3a G, c%n G l# Dc ca.2. Çch tYZ [ ,- B

+ [)èn tUm G>$ c3a m>t sè &h¸c 9 ta nhJn sè ®O ln lît CD$ , 2± , …

+ [)èn tUm \ c3a m>t sè a ≠ 1± ta ln lît ch$a a ch" 1± , 2±…, ± a.d. sè nu#ªn tè ,- hîp sè trPn VD

Xè ng)!:n tè l# sè tù nh$:n lDn hn 0, chV cO ; Dc l# 0 C# ch'nO.

Bîp sè l# sè tù nh$:n lDn hn 0, cO nh$) hn ; Dc.N. [CF BCF [CEVF BCVV.0. \Dc ch)ng c3a ; ha! nh$) sè l# Dc c3a tÊt c5 çc sè ®O.;. M/ c3a ; ha! nh$) sè l# M c3a tÊt c5 çc sè ®O.]. \/EN c3a ; ha! nh$) sè l# sè lDn nhÊt tr"ng tËp hîp çc \/

/¸ch tUm \/EN*- ^hJn t'ch çc sè ra th6a sè ng)!:n tè- EËp t'ch çc th6a sè ng)!:n tè ch)ng CD$ sè m_ nh nhÊt

`. M/NN c3a ; ha! nh$) sè l# sè nh nhÊt &h¸c 9 tr"ng tËp hîp cM/

/¸ch tUm M/NN*- ^hJn t'ch çc sè ra th6a sè ng)!:n tè- EËp t'ch çc th6a sè ng)!:n tè ch)ng C# r$:ng CD$ sè m_ lDn

nhÊt

Năm học: 2010 - 2011


4/66


. Ba$ sè a C# G l# ng)!:n tè c?ng nha) &h$ \/ENHa, G = 0b. Xè ch'nh phng l# sè G»ng GUnh phng c3a mt sè tù nh$:n.

1.%"nh nh&a'b

a \ a, G ∈ ZW G ≠ 9

Xè ng)!:n c_ng ®îc c"$ l# phJn sè* a =1

a

2./h3n sè b]n nhau' bcad d

c

b

a=⇔=

.()nh ch*t c¬ b¶n ca ph3n sè'mb

ma

b

a

.

.= Hm ∈ ZW m ≠ 9

nb

na

b

a

:

:= Hn ∈ \/Ha, G

9.^_t 7n ph3n sè' /h$a c5 t C# md) ch" m>t \/ &h¸c 1± c3acheng.

:.Qu# $`n Zu ,Gi Zu d¬nD• TUm M/ HM/NN l#m [/• TUm th6a sè phô c3a mf$ md)• NhJn c5 t C# md) c3a mf$ ^X CD$ TX^ tng øng.

@.6P s¸nh 2 ph3n sè- /?ng md) @ng

- Ahng c?ng md)I.C0n 2 ph3n sè- /?ng md)- Ahng c?ng md)

K.()nh ch*t ca ph+p c0nL./h+p tr' E# phFp t"¸n ngîc c3a phFp t"¸n c>ng

1H. /h+p nh3n ph3n sè'bd

ac

d

c

b

a =.

11. ()nh ch*t ca ph+p nh3n

12. /h+p chia ph3n sè' E# phFp t"¸n ngîc c3a phFp t"¸nnhJnc

d

b

a

d

c

b

a.: =

1. /h+p n3n ;ªn ;t sè ch" trDc* [)èn tUmn

m c3a

G, ta t'nh G. n

m

Năm học: 2010 - 2011`

/h4n 555'/h3n sè


5/66


+ TUm m>t sè G$8t g$¸ tr2 m>t phJn sè c3a nO* [)èn tUm m

sè G$8t n

m c3a nO G»ng a, ta t'nh a*

n

m

+ TUm tV sè c3a ; sè* [)èn tUm tV sè c3a ; sè a C# G, ta t'a*G

Baøi taäp

Ba?i 1 TDnh *a

]

+ − ÷

W G 0 0b

`] ] ]

− + − ÷

W Ñaùp soá : a`

− W G09]

−

Ba?i 2\ TDnh *

a] i ` ]

+ − − ÷

W G] ;

9,` ]

− + − + − ÷ ÷

W

c0 ; 0

0 ]] `

− − + − ÷ ÷

W @a 0 h

]` ; 09

− − − ÷ W


6/66


Ba?i @\ ["t &h" ga?" c"øn ,b tan ga?". Ngaø! thù nhat &h" nhap

h


7/66


Ba?i 12 Tkm 4 ∈ Q, G$


8/66


()nh ch*t 1 Ht'nh chÊt c G5n* bcad d

c

b

a=⇔=

()nh ch*t 2' a@ = Gc Ha, G, c, @ ≠ 9 ⇔a c a G G @ c @

W W WG @ c @ a c a G

= = = =

U0t sè t)nh ch*t h¸c' ………………………..VP-i ra (E( cen cX c¸c t)nh ch*t ca $fn th?c

. ()nh ch*t ca d# t sè b]n nhau' ………………….

Baøi taäpBa?i 1*Tha! tS s" caùc s" Gaèng tS s" c)a caùc s" ng)!


9/66


Ba?i 1H * Ma h"?c s$nh L, M, / c"ù s" 3$


10/66


a.%"nh nh&a' N8) ®$ lîng ! l$:n h( CD$ ®$ lîng 4 th


11/66


c Tkm ht laø G$

. %` th" ca h-Z sè Tap hô?p tat ca caùc 3$


12/66



13/66


3_nh Gac c)a m"t 3ôn thùc, trôùc h


14/66


HD: hay x = 1 !"o b#ể$ th%c2x

2x3x2

2

+−+=

a được22.( 1) 3( 1) 2

( 1) 2 M

− + − −=

− + = 2 3 2 = 3

4y 3 " g# t, c-a b#ể$ th%c tn t/# x = 1

Bài 5: c đ,nh g# t, c-a b#ể$ th%c để cc b#ể$ th%c

2x

1x2 −+

; b>1x

1x2 +−

;

HD: a) ?ể b#ể$ th%c2x

1x2 −+

có ngha @h# x2 2 ≠ 0 = x ≠ 2±

b) ?ể b#ể$ th%c1x

1x2 +−

có ngha @h# x2 +1 ≠ 0 B" x2 +1 ≠ 0 !7# BC# x nn b#ể$

h%c tn có ngha !7# BC# x

Bài 6: DB cc g# t, c-a b#En để b#ể$ th%c (x+1)2 (y2 6) có g# t, bằng 0

HD: để b#ể$ th%c (x+1)2

(y2

6) = 0 thD(x+1)2 = 0 = x + 1 = 0 = x = 1 hoFc y2 6 = 0 = y = 6±

! THỨC . TÍCH CÁC Đ! THỨCBa?i 1 ' (rPn caMc biN`u thjMc sauF biN`u thjMc na?P Pi ;a?

ôn thjMco

3x2; 18x; 88; 1; 12x+3; &xy6G8;; `]4 ! ;44 0

.

HD: ?Hn th%c : 3x2

; 18x; 88; 1; &x

y6

G8

IhJng " đHn th%c : 12x+3;; `]4 ! ;44 0

Ba?i 2 ' (hu Pn ,a? chT ra phamn hN7 sPkF phamn biNkn ,a?ba7c cua caMc ôn thjMc sau '

a> 8x2yG8(3xyG2) ; b> 12xy3G8(0`

x3G3)

HD: a> 8x2yG8(3xyG2) = (8).(3) x2.x.y.y.G8.G2 = 18x3y8G'

KL


15/66


KL 5nh t5ch c)a L Caø M r"o$ 4aùc 3_nh phaon G$


16/66


b\( ) ( ) ( )

( )22223

nn223

GyaxO0.yx18

x2.x&yx6

1.yx3

P

−− −+

= HC7 $ a4!u HD

10 '

8 2

3. 16

2

6

x y D

ax y z

−=

Bài ": 5nh t5ch cc đHn th%c Q# cho b#Et hL


17/66


HD: Ma đH n th%c đQng @ng* -4`!ub W1

34`!ub W

2

34`!

TTng = -4`!ub 1

34`!ub

2

34`!ub = H -

1

3

2

3 4`!ub

= -b 4`!ub Ba?i ta7p 11 ' /h" Ga 3ôn thùc * L = -0;4;!` W M= -b 4;!` W / = i 4;!

a TDnh L.M./ Caø LM W L/ W M/ W L-M W L-/ W M-/.

G TDnh g$aù tr_ c)a G$


18/66


Mac c)a 3a thùc m"t G$


19/66


(x) = x( 1 2x ) + (2x2 x + ) = x 2x2 + 2x2 x + = !y ( x) = ≠ 0 !7# BC# x4y đa th%c (x) !J ngh#LB

"# : c đ,nh hL ?ể 1 " ngh#LB c-a 'x2 + Bx 1 nn ' + B 1 = 0 = B = 6c> ?ể 1 " ngh#LB c-a x8 3x2 + B nn 1 3 + B = 0 = B = 2

"# 8: Nho đa th%c (x) = x2 +Bx + 2a> c đ,nh B để (x) nhn 2 "B BXt ngh#LB

b> DB tR hợR cc ngh#LB c-a (x) %ng !7# g# t, !_a tDB được c-a B1$U$ *

a> ?ể (x) nhn 2 "B BXt ngh#LB thD 2B + 2 = 0 = B = 3

b> x2

+ 3x + 2 = 0 = x2

+ x + 2x + 2 = 0 = x( x + 1 ) + 2(x + 1) ( x + 1)( x + 2 ) = 0 = x = 1 hoFc x = 2

Bài 6 Nho đa th%c e(x) = 8x f1

2

a. 5nh : e(1) O e(f3

10)

b. DB ngh#LB c-a đa th%c tn1$U$ *

a) e(1) =

2 ; e(f

3

10 ) = 2 b) Nho 8x f

1

2 = 0 = x =

2

4y ngh#LB c-a e(x) "

2

Bài " Nho e(x) = x f 8x + 2x2 + 1 !" (x) = 8x +3

2x2+ 8+

1

2x2+ x .

a. DB (x) = e(x) + (x) . b. Nh%ng t (x) @hJng có ngh#LB.

1$U$ *

(x) = e(x) + (x) = ( x f 8x + 2x2 + 1 ) + (8x +32

x2+ 8+12

x2+ x)

= 2x + x2 + 8 + 6 4D 2x ≥ 0 = x2 ≥ 0 nn 2x + x2 + 8 + 6 ≥ 0

4y (x) @hJng có ngh#LB

Ba?i K ' A$


20/66


21/66


G0;

4!; ;]

4;! v 4! 4!; -0]

4;! ;4!. Ta?$ 4 = 9, W ! = 0.

HD: a Tha! 4 = -; W ! = -0 !"o 4;! v 4!; 4! Ta được 8.(2) ;.(1) 8(2)(1); H-0.H-; = -j

xy & " g# t, c-a b#ể$ th%c 4;! v 4!; 4! t/# 4 = -; W ! = -0.

G0

;

4!; ;

]

4;! v 4! 4!; -0

]

4;! ;4!

= H0;

4!; 4!; H;]

4;! -0]

4;! Hv 4! ;4!

=];

4!; -0]

4;! 4!

hay 4 = 9, =0;

W ! = 0 !"o];

4!; -0]

4;! 4!

a được];

.0;

.0; -0]

.H0;

;.0 0;

.0 =]`

-00;

0;

=0̀ 0; b

=

4yb " g# t, c-a b#ể$ th%c

];xy2

0]x2y + xy ta?$ x = 0O8 ; y = 1.

Ba?i 9 ' TDnh t"ng c)a ]4;! v 4] v ;4!; Caø ;4] -]4!; v 4;! 4b.

ĐS : ;4;! 4] v 4!; 4! 00

Ba?i : ' /h" 3a thùc L = 4!; 4! - 4!; -0]

4;! ;4! 4;! 4! b

a Th) g"?n r"o$ 4aùc 3_nh Gac c)a 3a thùc &


22/66


= -b4! - ` 4!; -;]

4;! -

"# 6. Nho ha# đa th%c: e(x) = 2x f 3x2+ x f3

2 !" (x) = x f x3 + x2 +

8

3

a. 5nh (x) = e(x) + (x)b. 5nh Z(x) = e(x) f (x) !" tDB bc c-a đa th%c Z(x).

Maø$ * /h" 3a thùc *L = `4; v 4! ]!;W M = ]4; ;4! - !;

TDnh L MW L v M W M v LHD:L M = H`4; v 4! ]!; H]4; ;4! - !;

= H`4; ]4; H-4! ;4! H ] !; - !; = 4; - ]4! ;!;

L - M = H`4; v 4! ]!; - H]4; ;4! - !;

= H`4;

- ]4;

H-4! - ;4! H ] !;

!;

= 4; - 4! `!;

M - L = H]4; ;4! - !; - H`4; v 4! ]!; = H]4; - `4; H;4! 4! H - !; -] !; = -4; - 4! - `!;

Maø$ j * Tkm 3a thùc [,N G$


23/66


"# 11: c đ,nh aO b !" c để ha# đa th%c


24/66


Maø$ 0* /h" 3a thùc H4 = ;4] v 4 ]4` 4; -0;

4] ]4 v ;4; v 4` 0.

a Th) g"?n Caø 4aùc 3_nh Gac c)a 3a thùc trp 4


25/66


G + Z = f2x x3 + 3x2 x + 10 Z = 1x + x3 + 'x2 x

Maø$ ;0 * TDnh 3a thùc hH4 sa" ch" hH4 = gH4 v H4*a H4 = 4; ;4 v 0 Caø gH4 = 4 ].G H4 = 4` v ]4] ;4 v 0 Caø gH4 = - 4` ]4] v ; 4; v 4 ]

HD:a hH4 = gH4 v H4 = -4; - 4 `G hH4 = gH4 v H4 = -b4` b4] v ; 4; - 4 v 0 `

"# 22: Nho (x) + g(x) = 6x 3x2 8 (x) g(x) = x 6x3 + 'x2 + &x

Kiy tDB cc đa th%c (x) ; g(x)HD: a có (x) + g(x) + (x) g(x) = 10x 6x3 + x2 + &x 1 2(x) = 10x 6x3 + x2 + &x 1

(x) = 8x

3x3

+ 2x2

+ x ' g(x) = ( 6x 3x2 8 ) (8x 3x3 + 2x2 + x ') = x + 3x3 8x2 x + 2

"# 23: Nho (x) = ax3 + x(x2 x) + &g(x) = x3 x(bx +1) + c 3

ong đó aO bO c " hằng.c đ,nh aO bO c để (x) = g(x)HD:

(x) = ax3 + x(x2 x) + & = ( a + )x3 x2 + & g(x) = x3 x(bx +1) + c 3 = x3 bx2 x + c 3 ?ể (x) = g(x) thD a + = 1 = a = 3 b = = b = 1

c 3 = & = c = 11

2. Vh3n $a th?c'= Vh3n $¬n th?c ,Gi $a th?c'+ Zhn đHn th%c !7# đa th%c ta ky đHn th%c nhn !7# t_ng h/ng t c-a đa th%c.+ Nhe €* T6ng hng t c3a ®a thøc l# çc ®n thøc @" CË! &h$ nhJl) € ®8n @Ê) c3a h( sè çc ®n thøc. x' @ô* - ;a;G.H ]aG] - à;G = -;a;G.]aG]- ;a;G.H- à;G = - ba]G`ja`G;.* !-@, 0 - i 0 - + Zhn đa th%c !7# đa th%cO ta nhJn B# h/ng t c-a đa th%c n"y ln lît !7# t_nh/ng t c-a đa th%c @#a.(r$ th) gn n8) cO th7 (A + )(N P) = A.N A.P + .N .P .B-i tËp ¸p dôn' ()nh'

a> 2

1x(2x2 + 1) = b> 2x2(8x3 x

2

1) =

Năm học: 2010 - 2011


26/66


c> 6xy(2x2 3y) = S> (x2y 2xy)(3x2y) =]> (2x + y)(2x y) = > (xy 1)(xy + 8) =. Chia $a th?c'= /h$a ha$ l) th6a c?ng c sè*Ah$ ch$a ha$ l) th6a c?ng c sè, ta g$z ng)!:n c sè C# tr6 c¸c sèm_.

aB

: an

= aB n

C' @ô: x3

: x2

= x= /h$a ®n ch" ®n thøc *+ Nh#a đHn th%c cho đHn th%c O ta ch#a hL t bc cao nhkt c3a đa th%c ch#a+ TUm ®a thøc @ thø nhÊt, + Nh#a h>t bc cao nhkt c-a đa thøc @ O cho h>t bc cao nhkt c3a đa th%c ch#aO+ TUm ®a thøc @ thø ha$,y6ng l$ &h$ hng t GËc ca" nhÊt c3a ®a thøc @ cO GËc GF hn GËcc3a hng t GËcca" nhÊt c3a ®a thøc ch$a .

2x 13x3 + 18x2 + 11x 3 2x &x3 6x2

8x3 + 21x2 + 11x 3 8x3 + 20x2 + 10x x2 x 3 x2 x 3 0

x2 x 3 2x2 8 x + 1

• ehpR ch#a hEt !" RhpR ch#a có Sư.

A = . + q (q = 0 hoFc bc c-a q nh hHn bc c-a )III. H, , thc $¸n nhG'EBF!H H!G CỦA


27/66

Tổng hợp kiến thức toán THCS Thầy giáo: Phạm Văn Địn B-i tËp ¸p dôn' H h»ng ®¼ng thøc

a H4 `!; = G H]4 0; = H4 ]!; =@ H4 - ; =


28/66


¸p @ông l$:n t$8p phng ph¸p ®Pt nhJn t ch)ng.h"Pc h»ng®¼ng thøc.

x' @ô* ;4] - ]4; ;4 - ] = H ;4] ;4 - H]4; ] = ;4H4; 0 - ]H4; 0

= H 4; 0H ;4 - ]4. Phương pháp tách h"ng tử

5. Phương pháp th#m$ %&t h"ng tử6. Ph' h(p nh!u phương pháp

TrDc h8t ngh„ ®8n phng ph¸p ®Pt nhJn t ch)ng. T)w ®O ®7 s phng ph¸p h»ng @¼ng thøc h"Pc nhOm hng t /O th7 ®S$ @Ê) ®7 4)Êt h$(n nhJn t ch)ng h"Pc h»ng ®¼ngthøc.x' @ô* ]4!; - 0;4! 0;4 = ]4H!; - `! ` = ]4H! - ;;

B-i tËp ¸p dôn' phn t$ch ®a thøc th*nh nhn t:0 ;4;- 4! ; 4] - 0 ] -]4!]-b4;!;0j!;4]

` 0jHa- G - 0aHG - a 0;4 - i- `4; b 0- ;! !; 4;- ` j 094-; - 4; i 4;

;40- !;

09 ;4!- 4;- !;0b 00 ;4 - 4] 0; 094; 4] ;4

0] 4;

4 b 0` 4;

j4 - i 0 4]

0.

1. vh¸i niÖZ'

^hJn thøc cO @ng* B

AW tong đó AO " nhVng đa th%c !" @hc đa th%c 0 .

+ TËp 4¸c ®2nh* E# tËp nhzng g$¸ tr2 c3a G$8n l#m ch" md) &h¸c 9.…7 tUm tËp 4¸c ®2nh HT}… ta g$5$ G#$ t"¸n @ng tUm 4 G$8t, r$ l"$G g$¸ tr2 ®O tr:n tËp Rx' @ô*

+ TUm T}… c3a *12

1

+ x Ta g$5$ G#$ t"¸n* TUm 4 G$8t

2

112012 −=⇔−=⇔=+ x x x

Năm học: 2010 - 2011;j

/h4n '/h3n th?c. c0nF trF nh3nF chia ph3n th?c


29/66


R$ l"$ G g$¸ tr22

1− tr"ng tËp R, ta ®îc T}…*

2

1> −≠∈∀ x R x h"Pc C$8

gn T}…*2

1−≠ x

2. H0i N-@, - O, ,-01: B

A= D

C = A r P = r N

3. ()nh ch3t c¬ b¶n P0 N-@, -'

* 5nh chkt cH bUn B

A =

M B

M A

.

. ( ≠ 0 ) ;

B

A =

N B

N A

:

:(Z " nhn t ch$ng)

* $# t\c đT# Sk$:

+ …S$ @Ê) c5 t C# md)* B

A =

B

A

−

−

+ …S$ @Ê) phJn thøc C# ®S$ @Ê) t* B

A =

B

A−−

+ …S$ @Ê) phJn thøc C# ®S$ @Ê) md)* B

A

B

A

−−=

9. ^_t 7n ph3n th?c' ^hng ph¸p* ^hJn t'ch c5 t C# md) th#nh nhJn t r$ tUm nhJn t ch)ngc3a t C# md). /h$a c5 t C# md) ch" nhJn t ch)ng.x' @ô* Ret gn phJn thøc*

+b

a

ba

aa

ab

a

'

.3

'.3

12

21 2==

:. Qu# $`n Zu th?c' ^hng ph¸p* T×m mÉu chung: ^hJn t'ch* - ^hn h( sè th#nh th6a sè ng)!:n tè.

- ^hn G$8n th#nh nhJn t. [d) ch)ng* - ^hn h( sè l# M/NN c3a çc h( sè c3a çc md).

- ^hn G$8n l# t'ch g$za çc nhJn t ch)ng C# r$:ngmf$ nhJn t lÊ! sè m_ lDn nhÊt.

T×m nh©n tö phô: EÊ! [/ ch$a ch" t6ng md) H ®† phJn t'ch th#nh nhJn t Nh©n c¶ tö vµ mÉu víi nh©n tö phô t¬ng øng. Ta ®îc çcphJn thøc mD$ cO md) g$èng nha).

x' @ô* Q)! ®ng md) çc phJn thøc sa)* 62 − x x C# 2 − x

1$5$*)3)(3(

s

)3(262 2 −+=

−−=

− x x x x x

x

x

[/* )3)(3(2 −+ x x

)3)(3(2

)3.(

62 −++=

− x x x x

x

x C#

)3)(3(2

2.

2 −+

=− x x x

@. C0n (r ph3n th?c' ^hng ph¸p* Q)! ®ng md). />ng Hh"Pc Tr6 t CD$ tW md) ch)ng g$z ng)!:n.

Năm học: 2010 - 2011


30/66


M ng"‡c G»ng phng ph¸p nhJn ®a thøc h"Pc @?ng h»ng®¼ng thøc. Th) gn H c>ng tr6 c¸c hng t ®ng @ng ^hJn t'ch t th#nh nhJn t Hn8) cO th7.

x' @ô*62 − x

x

2 − x )3)(3(

)3(2 −++

−=

x x x

x

)3)(3(2

&3

)3)(3(2

2.)3( 2

−+++

=−+

++=

x x

x x

x x

x x

I. Vh3n ph3n th?c' ^hng ph¸p* EÊ! T nhJn tW [d) nhJn md). R$ ret gn n8) cO th7.

C B

D A

D

C

B

A

.

.. =

x' @ô* y xy x

x xy

xy

x

x

xy

12).13(

)13(3.16

12

3.

13

1622

=−

−=

−−

K. Chia ph3n th?c'

0. ^hJn thøc ngh2ch ®5"* Ngh2ch ®5" c3a B

A l#

A

B.

2. Nh#a phJn thøc*C

D

B

A

D

C

B

A.: = . R$ ret gn n8) cOth7.

x' @ô* xy x

x xy

xy

x

x

xy

x

xy

x

xy

12).12(

)&.(8

12

&.

12

8

&

12:

12

8

−−−

=−

−=

−− 38

12).12(

)12(.8 −=

−−−

= xy x

x xy.

B-i tËp ¸p dôn' 1. (YZ tËp ¸c $"nh ca c¸c ph3n th?c sau'

a1

x G

2

( 1) x x + c

8 10 x − @

2

2

x

x

+−


31/66


5 . /h ¬n trYnh bËc nh*t Z0t wn '1. lc @a) ng"aqc.Môùc ]* /h)!


32/66


@. 094 ] -4 = ̀ 4 0; g. 4H4; = 4H4]h. ;H4-]4H4-0 =4;

Ba?i 2' iai phjôn trxnh

a x x x

23

8

6

13

2

23 +=+−+ c;

;4

]

4`4

`4 −−=+−

+

G ]]

`4

h

;4b

]4̀ ++=−−+ @

;4`

]

04j

b

;4 −+=−−+

55. /h ¬n trYnh t)ch ,- c¸ch i¶i' / h ng trUnh t'ch*/hjôn trxnh tGch' /"ù @a?ng* LH4.MH4/H4.yH4 = 9

Tr"ng 3"ù LH4W MH4W /H4W yH4 laø caùc nhan.

/¸ch g$5$* LH4.MH4./H4.yH4 = 9

H 9

H 9

H 9

H 9

A

B

C

D

= =⇔ = =

x' @ô* 1$5$ phng trUnh*

3

2023

2

1012

0)23)(12

=⇔=−

−=⇔=+

⇔=−+

x x

x x

xx

xË!*

−=

3

2;

2

1S

G#$ tËp l)!(n tËp* 1$5$ c¸c phng trUnh sa)

0 H;40H4-0 = 9 ; H4

;

]4-

0; = 9

] H]4-0H;4-]H;4-]H4 = 9 ` ]4-0 =;4H4- 4; v 4 = 9 b 4; v ;4 =9 4; v ]4 = 9 j H404` =H;-4H4;

./h ¬n trYnh ch?a wn y Zu' /¸ch g$5$*

Môùc 0 *^hJn t'ch md) th#nh nhJn tMôùc ;* Tkm A} c)a phông trknhTìm ÑKÑ cu!a phöông t"ình *Eaø tkm tat ca caùc g$aù tr_ laømch" caùc maO) &haùc 9

h"aqc tkm caùc g$aù tr_ laøm ch" maO) Gaèng 9 r"o$ l"a?$ trø caùcg$aù tr_ 3"ù 3$Môùc ]* Q)! 3"ong maO) r"o$ &h maO) ha$ C


33/66


Môùc `* M" ng"aqc.Môùc * /h)!


34/66


.ph ¬n trYnh ch?a d*u i¸ tr" tu#Öt $èi'Camn nhôM ' vhi a ≥ H thx a a=

vhi a z H thx a a= −G#$ tËp l)!(n tËp1$¸$ phng trUnh*

a32 =− x

G321 +=+ x x

{.i¶5 b-i tP¸n b]n c¸h ;Ëp ph ¬n trYnh.1./hjôn phaMp' BjôMc1* %aäp phöông t"ìnhq "?c that &e Gaø$ t"aùn 3


35/66


Baøi '' [aO) s" c)a m"t phan s" lôùn hôn t s" c)a nlaø . N


36/66


})"$ @"øngNgô?c

@"øng^hông trknh *bH4; = H4-;Baøi ,: ["t s" t? nh$


37/66


ChuM #M ' Khi chu/01n v02 ha3ng tö! thì pha!i 451i 6a2u 752 ha3ng 458.Khi chia ca! hai v09 cu!a a2t phöông t"ình ch5 752 a;m pha!451i chi09u a2t phöông t"ìnhG#$ tËp l)!(n tËpBµi #: a ;4; • ` G ]4 ; • - c 09- ;4 • ;@ 0- ;4 K ]Bµi $:a 094 ] v 4 ≤ 0`4 0; G H]4-0K ;4`c `4 v j ≥ ]H;4-0 v ;4 0 @ 4; v 4H4;]4 v 0

− 23

1

6

2 x x x ≤−−−

Năm học: 2010 - 2011


38/66


Ynh 7c KL. TỨ GIÁC8 HF!H THA!G8 HF!H THA!G CQ!:

I. PHƯƠNG PHÁP: Nh%ng B#nh t% g#c " hDnh thang. Ka# góc @ BXt đy bằng nha$ hoFc ha# đư[ng chpo bằng nha$.

II. BÀI TẬP:

BÀI 1: Nho taB g#c AN cn t/# A. n t#a đM# c-a t#a AN ky đ#ểB PO tn t#a đM#c-a t#a A ky đ#ểB j


39/66


I. PHƯƠNG PHÁP: Y Sung cc Sk$ h#L$ nhn b#Et hDnh tho#. II. BÀI TẬP:

Bài 1: Nh%ng B#nh ằng t$ng đ#ểB cc c/nh c-a BXt hDnh thang cn " cc đ~nhBXt hDnh tho#.

Bài 2: Nho taB g#c AN. $a đ#ểB P th$Xc c/nh NO @} cc đư[ng thzng <


40/66


Bài 6: Nho taB g#c AN !$Jng cn t/# A. n c/nh N ky cc đ#ểB KO 9


41/66


N


42/66


N


43/66


1B

Œ ~Bknh h"p ch6 nhat

SnhBknh lap phông

/a?nh

[aqt

x = a.G.c

x= a]

Bknh ch"ùp 3


44/66


c /hùng m$nh ∆ LAy ∆ MB/@ /h" M/ = 0cm , y/ = ; cm .TDnh B/ , By .tnha) ô A .1"?$ [ laø tr)ng 3$


45/66


tTn hîp iSn th?c,- çch i¶i çc d8n b-i tËp tP¸n L

A. viSn th?c c4n nhG.1. %iu iÖn $Ó cn th?c cX nh&a.

A cO ngh„a &h$ L ≥ 92. Çc c>n th?c biSn $Ti cn th?c.a. 2 A A=

H A ; = L HL≥ 9G. . ( 0; 0) AB A B A B= ≥ ≥

c. ( 0; 0) A A

A B B B

= ≥ >

@. 2 ( 0) A B A B B= ≥

&.2

2

( )

( 0; )

C C A B

A A B A B A B = ≥ ≠−±m

m. B A

B AC

B A

C

−=

±

)( H L, M 0≥ W L ≠ M

. -Z sè # a q b a HD< T=nh ch>t: B#m sè ®ng G$8n tr:n R &h$ a • 9. B#m sè ngh2ch G$8n tr:n R &h$ a K 9.< ?1 th@:… th2 l# m>t ®{ng th¼ng ®$ Y)a ®$7m LH9WGW MH-GaW9.

Năm học: 2010 - 2011

/h4n 5'$8i sè


46/66


9. -Z sè # a2 a HD< T=nh ch>t: N8) a • 9 h#m sè ngh2ch G$8n &h$ 4 K 9 C# ®ng G$8n &h$ 4 •

9. N8) a K 9 h#m sè ®ng G$8n &h$ 4 K 9 C# ngh2ch G$8n &h$ 4 •

9.< ?1 th@:… th2 l# m>t ®{ng c"ng ^araG"l ®$ Y)a gèc t" ®> |H9W9. N8) a • 9 thU ® th2 n»m ph'a tr:n trôc h"#nh. N8) a K 9 thU ® th2 n»m ph'a @D$ trôc h"#nh.:. " tr) t¬n $èi ca hai $~n thfn}Ft ®{ng th¼ng ! = a4 G H@ C# ! = a‹4 G‹ H@‹H@ C# H@‹ ct nha) ↔ a ≠ a‹H@ H@‹ ↔ a = a‹ C# G ≠ G‹H@ ≡ H@‹ ↔ a = a‹ C# G = G‹

@. " tr) t¬n $èi ca $~n thfn ,- $~n cPn.}Ft ®{ng th¼ng ! = a4 G H@ C# ! = a4; H^H@ C# H^ ct nha) t$ ha$ ®$7mH@ t$8p 4ec CD$ H^ t$ m>t ®$7mH@ C# H^ &hng cO ®$7m ch)ng

I. /h¬n trYnh bËc hai.}Ft phng trUnh GËc ha$ a4; G4 c = 9 Ha ≠ 9

C>n th?c nhiÖZ C>n th?c nhiÖZ thu 7n

∆ = G; - `acN8) ∆ • 9 * ^hng trUnh cOha$ ngh$(m phJn G$(t*

a

b x

21

∆+−= W

a

b x

22

∆−−=

N8) ∆ = 9 * ^hng trUnh cO

ngh$(m &Fp *a

b x x

221

−==

N8) ∆ K 9 * ^hng trUnh C

ngh$(m

∆‹ = G‹; - ac CD$ G = ;G‹- N8) ∆‹ • 9 * ^hng trUnh cOha$ ngh$(m phJn G$(t*

a

b x

‚‚

1

∆+−= Wa

b x

‚‚

2

∆−−=

- N8) ∆‹ = 9 * ^hng trUnh cO

ngh$(m &Fp*a

b x x

‚

21

−==

- N8) ∆‹ K 9 * ̂ hng trUnh C

ngh$(m

K. Ö th?c iNt ,- ?n dôn.< A thøc Ci0t:N8) 40, 4; l# ngh$(m c3a phng trUnh GËc ha$ a4; G4 c = 9

a≠9 thU*

Năm học: 2010 - 2011`b


47/66


1 2

1 2.

bS x x

ac

P x xa

− = + = = =

< DEt 7F øng 6ông: TUm ha$ sè ) C# C G$8t ) C = XW ).C = ^ ta g$5$ phng trUnh

4; - X4 ^ = 9H…$) &$(n X; - `^ ≥ 9

NhŽm ngh$(m c3a phng trUnh GËc ha$ a4; G4 c = 9 Ha≠9N8) a G c = 9 thU phng trUnh cO ha$ ngh$(m*

40 = 0 W 4; =c

aN8) a - G c = 9 thU phng trUnh cO ha$ ngh$(m*

40 = -0 W 4; =c

a−

L. i¶i b-i tP¸n b]n c¸ch ;Ëp ph¬n trYnhF hÖ ph¬n trYBíc #* EËp phng trUnh h"Pc h( phng trUnhBíc $* 1$5$ phng trUnh h"Pc h( phng trUnhBíc '* A$7m tra c¸c ngh$(m c3a phng trUnh h"Pc h( ph

trUnh ngh$(m n#" th'ch hîp CD$ G#$ t"¸n C# &8t l)Ën

Năm học: 2010 - 2011


48/66


B. çc d8n b-i tËp

{8n 1* ^_t 7n biÓu th?cBµi t5Gn: ^_t 7n biÓu th?c A …7 ret gn G$7) thøc L ta thùc h$(n çc GDc sa)*- Q)! ®ng md) thøc 1nFu c59- …a GDt th6a sè ra ng"#$ c‡n thøc 1nFu c59- Trôc c‡n thøc q md) 1nFu c59- Thùc h$(n çc phFp t'nh* l) th6a, &ha$ c‡n, nhJn ch$a....- />ng tr6 çc sè hng ®ng @ng.

{8n 2' B-i tP¸n t)nh tP¸n

Bµi t5Gn #' ()nh i¸ tr" ca biÓu th?c A. T'nh L m# &hng cO ®$) &$(n &m tht HIng thøc Juan t"äng: B*t $fn th?c CPsi'

nn

n aaaan

aaaa.....

...321

321 ≥++++

víi 0..... 321 ≥naaaa L

Năm học: 2010 - 2011`j

L = M


49/66


yÊ) ‚=ƒ 45! ra &h$ C# chV &h$* naaaa ==== ...321 B*t $fn th?c BunhiaC>pi'

xD$ m$ sè a0W a;W a]W‘W anW G0W G;W G]W‘Gn( ) )...)(...(... 223

2

2

2

1

22

3

2

2

2

1

2

332211 nnnn bbbbaaaababababa ++++++++≤++++

yÊ) ‚=ƒ 45! ra &h$ C# chV &h$*n

n

b

a

b

a

b

a

b

a ==== ...3

3

2

2

1

1

DEt 7F ph¬ng phGp chøng minh:- Jh,ng phKp L* yùa C#" ®2nh ngh„aL • M ↔ L - M • 9

- Jh,ng phKp M* M$8n ®S$ trùc t$8pL = L0 = L; = ... = M [; • M n8) [ ≠ 9

- Jh,ng phKp 3* ^hng ph¸p tng ®ngL • M ↔ L‹ • M‹ ↔ L • M ↔ ...... ↔H+H+ ®eng @" ®O L • M

- Jh,ng phKp * ^hng ph¸p @?ng t'nh chÊt Gc c)

L • / C# / • M → L • M- Jh,ng phKp O* ^hng ph¸p ph5n chøng…7 chøng m$nh L • M ta g$5 s M • L C# @?ng çc phFp G$8n ®S

ng ®ng ®7 @dn ®8n ®$) C l' &h$ ®O ta &8t l)Ën L • M.- Jh,ng phKp P* ^hng ph¸p s @ông g$5 th$8t.- Jh,ng phKp Q* ^hng ph¸p Y)! np.- Jh,ng phKp R* ^hng ph¸p @?ng G$7) thøc phô.

{8n :' b-i tP¸n ;iªn guan tGi ph¬n trYnh bËc haiBµi t5Gn #: i¶i ph¬n trYnh bËc hai a2 q b q c H a HD

Çc ph¬n ph¸p i¶i'- Jh,ng phKp L* ^hJn t'ch ®a C phng trUnh t'ch.- Jh,ng phKp M* y?ng &$8n thøc C c‡n GËc ha$

4; a → 4 = ± a- Jh,ng phKp 3* y?ng cng thøc ngh$(m

Ta cO ∆ = G; - àc N8) ∆ • 9 * ^hng trUnh cO ha$ ngh$(m phJn G$(t*

a

b x

21

∆+−= W

a

b x

22

∆−−=

N8) ∆ = 9 * ^hng trUnh cO ngh$(m &Fp

a

b x x

221

−==

N8) ∆ K 9 * ^hng trUnh C ngh$(m- Jh,ng phKp * y?ng cng thøc ngh$(m th) gn

Ta cO ∆‹ = G‹; - ac CD$ G = ;G‹ N8) ∆‹ • 9 * ^hng trUnh cO ha$ ngh$(m phJn G$(t*

a

b x

‚‚

1

∆+−= Wa

b x

‚‚

2

∆−−=

Năm học: 2010 - 2011


50/66


N8) ∆‹ = 9 * ^hng trUnh cO ngh$(m &Fp

a

b x x

‚

21

−==

N8) ∆‹ K 9 * ^hng trUnh C ngh$(m- Jh,ng phKp O* NhŽm ngh$(m nh{ ®2nh l' x$-


51/66


/O ha$ &h5 n‡ng ®7 phng trUnh GËc ha$ a4; G4 c = 9ngh$(m*

0. B"Pc a = 9, G ≠ 9;. B"Pc a ≠ 9, ∆ ≥ 9 h"Pc ∆‹ ≥ 9

TËp hîp c¸c g$¸ tr2 m l# t"#n G> c¸c g$¸ tr2 m th"5 m†n ®$) &$(h"Pc ®$) &$(n ;.

Bµi t5Gn (: (YZ $iu iÖn ca thaZ sè Z $Ó ph¬n trYnh bhai a2 q b q c H1 a& b& c phS thu.c tha' s6 ' 9 cX 2 nhiÖZ ph3n biÖt.

…$) &$(n cO ha$ ngh$(m phJn G$(t

>∆

≠

0

0a h"Pc

>∆

≠

0

0

‚

a

Bµi t5Gn ): (YZ $iu iÖn ca thaZ sè Z $Ó ph¬n trYnh bhai a2 q b q c H

1 trong ®5 a& b& c phS thu.c tha' s6 ' 9 cX 1 nhiÖZ. …$) &$(n cO m>t ngh$(m*

≠

=

0

0

b

a h"Pc

=∆

≠

0

0ah"Pc

=∆

≠

0

0

‚

a

Bµi t5Gn *: (YZ $iu iÖn ca thaZ sè Z $Ó ph¬n trYnh bhai a2 q b q c H

1 trong ®5 a& b& c phS thu.c tha' s6 ' 9 cX nhiÖZ +p.

…$) &$(n cO ngh$(m &Fp*

=∆

≠

0

0a

h"Pc

=∆

≠

0

0

‚

a

Bµi t5Gn +: (YZ $iu iÖn ca thaZ sè Z $Ó ph¬n trYnh bhai a2 q b q c H

1 trong ®5 a& b& c phS thu.c tha' s6 ' 9 ,> nhiÖZ.

…$) &$(n cO m>t ngh$(m*


52/66


1 a& b& c phS thu.c tha' s6 ' 9 cX hai nhiÖZ cn d*u. …$) &$(n cO ha$ ngh$(m c?ng @Ê)*

>=

≥∆

0

0

a

c P

h"Pc

>=

≥∆

0

0‚

a

c P

Bµi t5Gn # : (YZ $iu iÖn ca thaZ sè Z $Ó ph¬n trYnhbËc hai a2 q b q c H

1a& b& c phS thu.c tha' s6 '9 cX 2 nhiÖZ d¬n.

…$) &$(n cO ha$ ngh$(m @ng*

>−=

>=

≥∆

0

0

0

a

b

S

a

c P h"Pc

>−=

>=

≥∆

0

0

0‚

a

b

S

a

c P

Bµi t5Gn ## : (YZ $iu iÖn ca thaZ sè Z $Ó ph¬n trYnhbËc hai a2 q b q c H

1 trong ®5 a& b& c phS thu.c tha' s6 ' 9 cX 2 nhiÖZ 3Z. …$) &$(n cO ha$ ngh$(m Jm*

=

≥∆

0

0

0

a

bS

a

c P h"Pc

=

≥∆

0

0

0‚

a

bS

a

c P

Bµi t5Gn #$ : (YZ $iu iÖn ca thaZ sè Z $Ó ph¬n trYnhbËc hai a2 q b q c H

1 a& b& c phS thu.c tha' s6 '9 cX 2 nhiÖZ tr¸i d*u. …$) &$(n cO ha$ ngh$(m tr¸$ @Ê)*

^ K 9 h"Pc a C# c tr¸$ @Ê).Bµi t5Gn #' : (YZ $iu iÖn ca thaZ sè Z $Ó ph¬n trYnh

bËc hai a

2

q b q c H =D 1 a& b& c phS thu.c tha' s6 '9 cX Z0tnhiÖZ 1. /¸ch g$5$* Tha! 4 = 40 C#" phng trUnh H+ ta cO* a40; G40 c = 9 → m- Tha! g$¸ tr2 c3a m C#" H+ → 40, 4;

- B"Pc t'nh 4; = X - 40 h"Pc 4; =1 x

P

Bµi t5Gn #( : (YZ $iu iÖn ca thaZ sè Z $Ó ph¬n trYnhbËc hai a2 q b q c H

Năm học: 2010 - 2011;


53/66


1 a& b& c phS thu.c tha' s6 '9 cX 2 nhiÖZ 1F 2 thP¶ Z€n c¸c $iiÖn'

a. γ β α =+ 21 x x G. k x x =+ 222

1

c. n x x

=+21

11@. h x x ≥+ 22

2

1


54/66


V0i dun @'i¶i ph¬n trYnh

b]n ph¬n ph¸p $t wn sè phôBµi t5Gn#: i¶i ph¬n trYnh trn ph¬n a9 q b2 q c H …Pt t = 4; Ht≥9 ta cO phng trUnh at; Gt c = 9

1$5$ phng trUnh GËc ha$ Žn t sa) ®O tha! C#" tUm Žn 4

B¶n tXZ tOtat2 q bt q c H a9 q b2 q c H

C ngh$(m C ngh$(m; ngh$(m Jm C ngh$(m

ngh$(m &Fp Jm C ngh$(m0 ngh$(m @ng ; ngh$(m ®è$ nha)

; ngh$(m @ng` ngh$(m

; cPp ngh$(m ®è$nha)

Bµi t5Gn $: i¶i ph¬n trYnh 0)1

()1

(2

2 =++++ C x

x B x

x A

…Pt x

x 1+ = t ↔ 4; - t4 0 = 9

X)! ra t; = H x

x 1+ ; = 2

12

2 ++ x

x ↔ 21 2

2

2 −=+ t x

x

Tha! C#" phng trUnh ta cO*LHt; - ; Mt / = 9

↔ Lt; Mt / - ;L = 9

1$5$ phng trUnh Žn t sa) ®O th8 C#" x

x 1+ = t g$5$ tUm 4.

Bµi t5Gn ': i¶i ph¬n trYnh 0)1

()1

(2

2 =+−++ C x

x B x

x A

…Pt x

x 1− = t ↔ 4; - t4 - 0 = 9

X)! ra t; = H x

x 1− ; = 2

12

2 −+ x

x ↔ 21 2

2

2 +=+ t x

x

Tha! C#" phng trUnh ta cO*LHt; ; Mt / = 9

↔ Lt; Mt / ;L = 91$5$ phng trUnh Žn t sa) ®O th8 C#"

x x

1− = t g$5$ tUm 4.

Bµi t5Gn (: i¶i ph¬n trYnh bËc caP y?ng c¸c phFp G$8n ®S$ ®a phng trUnh GËc ca" C @ng*

^hng trUnh t'ch ^hng trUnh GËc ha$.

Năm học: 2010 - 2011`


55/66


V0i dun I'i¶i hÖ ph¬n trYnh

Bµi t5Gn: i¶i hÖ ph¬n trYnh

=+

=+

‚‚‚ c yb xa

cbyax

MGc ph¬ng phGp gi¶i: ^hng ph¸p ® th2

^hng ph¸p c>ng

^hng ph¸p th8

^hng ph¸p ®Pt Žn phô

V0i dun I'i¶i ph¬n trYnh ,> t

Bµi t5Gn #: i¶i ph¬n trYnh d8n )()( x g x f = H0

Ta cO

[ ]

=

≥↔=

)3()()(

)2(0)()()(

2 x g x f

x g x g x f

1$5$ H] ®è$ ch$8) ®$) &$(n H; chn ngh$(m th'ch hîp → ngh$(c3a H0

Bµi t5Gn $: i¶i ph¬n trYnh d8n )()()( x g xh x f =+ …$) &$(n cO ngh„a c3a phng trUnh

≥

≥

≥

0)(

0)(

0)(

x g

xh

x f

xD$ ®$) &$(n tr:n th"5 m†n ta GUnh phng ha$ C8 ®7 g$5$ tUm V0i dun K'

i¶i ph¬n trYnh ch?a i¸ tr" tu#Öt $èiBµi t5Gn: i¶i ph¬n trYnh d8n )()( x g x f =

/h¬n ph¸p 1' )()( x g x f = [ ] [ ]

=

≥22

)()(

0)(

x g x f

x g

/h¬n ph¸p 2' }Ft H4 ≥ 9 → H4 = gH4}Ft H4 K 9 → - H4 = gH4

/h¬n ph¸p ' xD$ gH4 ≥ 9 ta cO H4 = ± gH4Năm học: 2010 - 2011


56/66


V0i dun L'i¸ tr" ;Gn nh*t ,- i¸ tr" nhk nh*t ca biÓu th?c

Bµi t5Gn: (YZ i¸ tr" ;Gn nh*t ,- i¸ tr" nhk nh*t ca h-Z sè# RD

/h¬n ph¸p 1' yùa C#" l) th6a GËc ch’n.- M$8n ®S$ h#m sè ! = H4 sa" ch"*

! = [ - “gH4”;n , n ∈Z → ! ≤ [y" ®O !ma4 = [ &h$ gH4 = 9

- M$8n ®S$ h#m sè ! = H4 sa" ch"*! = m “hH4”;& &∈Z → ! ≥ m

y" ®O !m$n = m &h$ hH4 = 9 /h¬n ph¸p 2' yùa C#" tËp g$¸ tr2 h#m. /h¬n ph¸p ' yùa C#" ®¼ng thøc.

V0i dun 1H'c¸c b-i tP¸n ;iªn guan $Sn h-Z sè

= %iÓZ thu0c $~n $~n $i gua Z0t $iÓZBµi t5Gn: ChP CD ;- $` th" ca h-Z sè # RD ,- Z0t

$iÓZ AA#AD. ki CD cX $i gua A h>no … th2 H/ ®$ Y)a LH4LW!L &h$ C# chV &h$ t" ®> c3a L ngh$(m

®eng phng trUnh c3a H/L∈H/ ↔ !L = H4L

yO ®O t'nh H4LN8) H4L = !L thU H/ ®$ Y)a L.

N8) H4L ≠ !L thU H/ &hng ®$ Y)a L.= sM t¬n iaP ca hai $` th"Bµi t5Gn : ChP CD ,- ED thNP th? tM ;- $0 th" h-Z sè

# RD ,- # D€# h¶P s¸t sM t¬n iaP ca hai $` th"

T" ®> ®$7m ch)ng c3a H/ C# HE l# ngh$(m c3a phng trUnhh"#nh ®> ®$7m ch)ng*

H4 = gH4 H+- N8) H+ C ngh$(m thU H/ C# HE &hng cO ®$7m ch)ng.

- N8) H+ cO ngh$(m &Fp thU H/ C# HE t$8p 4ec nha).- N8) H+ cO 0 ngh$(m thU H/ C# HE cO 0 ®$7m ch)ng.- N8) H+ cO ; ngh$(m thU H/ C# HE cO ; ®$7m ch)ng.= ;Ëp ph¬n trYnh $~n thfnBµi t5Gn #: EËp ph¬n trYnh ca $~n thfn {D $i gua

$iÓZ AA#AD ,- cX hÖ sè Xc b]n . ^hng trUnh tSng Y)¸t c3a ®{ng th¼ng Hy l# * ! = a4 G H+- }¸c ®2nh a* ta cO a = &

Năm học: 2010 - 2011b


57/66


- }¸c ®2nh G* Hy ®$ Y)a LH4LW!L n:n ta cO !L = &4L G → G = &4L

- Tha! a = &W G = !L - &4L C#" H+ ta cO phng trUnh c3a HyBµi t5Gn $: EËp ph¬n trYnh ca $~n thfn {D $i g

$iÓZ AA#AD BB#BD ^hng trUnh tSng Y)¸t c3a ®{ng th¼ng Hy l# * ! = a4 G

Hy ®$ Y)a L C# M n:n ta cO*

+=+= baxy baxy

AA

1$5$ h( ta tUm ®îc a C# G s)! ra phng trUnh c3a HyBµi t5Gn ': EËp ph¬n trYnh ca $~n thfn {D cX hÖ

Xc ,- tiSp _c ,Gi $~n cPn CD' # RD ^hng trUnh tSng Y)¸t c3a ®{ng th¼ng Hy l# * ! = &4 G^hng trUnh h"#nh ®> ®$7m ch)ng c3a Hy C# H^ l#*

H4 = &4 G H+xU Hy t$8p 4ec CD$ H^ n:n H+ cO ngh$(m &Fp. T6 ®$) &$(n n#!

tUm ®îc G C# s)! ra phng trUnh c3a Hy Bµi t5Gn ': EËp ph¬n trYnh ca $~n thfn {D $i g

$iÓZ AA#AD ,- tiSp _c ,Gi $~n cPn CD' # RD ^hng trUnh tSng Y)¸t c3a ®{ng th¼ng Hy l# * ! = &4 G^hng trUnh h"#nh ®> ®$7m ch)ng c3a Hy C# H^ l#*

H4 = &4 G H+xU Hy t$8p 4ec CD$ H^ n:n H+ cO ngh$(m &Fp.

T6 ®$) &$(n n#! ta tUm ®îc h( thøc l$:n h( g$za a C# G H++

[Pt &h¸c* Hy Y)a LH4LW!L @" ®O ta cO !L = a4L G H+++ T6 H++ C# H+++ → a C# G → ^hng trUnh ®{ng th¼ng Hy.

Năm học: 2010 - 2011


58/66


A. viSn th?c c4n nhG.

1. Ö th?c ;în trPn taZ i¸c ,u>n.G; = aG‹ c; = ac‹

h; = G‹c‹

ah = Gc

a; = G; c;

222111

cbh+=

2. ( sè ;în i¸c ca Xc nh7n.9 K s$nα K 0 9 K c"ssα K 0

α

α α

co<

t

C# chV m>t ®{ng tr%n.< T©m HFi øngO t"ôc HFi øng* …{ng tr%n cO m>t tJm ®è$

4øngW cO C sè trôc ®è$ 4øng.< Puan h vuQng gRc giSa Hng U=nh vµ 6©/.

Tr"ng m>t ®{ng tr%n …{ng &'nh C)ng gOc CD$ m>t @J! thU ®$ Y)a tr)ng ®$7m c3a

@J! Ê!Năm học: 2010 - 2011j

/h4n 55'hYnh h7c

a

b'c'

b

ch

H

B

C

A

b

a

c

C

B

A


59/66


…{ng &'nh ®$ Y)a tr)ng ®$7m c3a m>t @J! &hng ®$ Y)a tJthU C)ng gOc CD$ @J! Ê!.

< %iVn h giSa 6©/ vµ Uh5¶ng cGch tW t©m HXn 6©/ *

Tr"ng m>t ®{ng tr%n*

Ba$ @J! G»ng nha) thU c¸ch ®) tJm

Ba$ @J! c¸ch ®) tJm thU G»ng nha)

yJ! n#" lDn hn thU @J! ®O gn tJm hn

yJ! n#" gn tJm hn thU @J! ®O lDn hn

< %iVn h giSa cung vµ 6©/:

Tr"ng m>t ®{ng tr%n ha! tr"ng ha$ ®{ng tr%n G»ng nha)*

Ba$ c)ng G»ng nha) c‡ng ha$ @J! G»ng nha)

Ba$ @J! G»ng nha) c‡ng ha$ c)ng G»ng nha)

/)ng lDn hn c‡ng @J! lDn hn

yJ! lDn hn c‡ng c)ng lDn hn.

< C@ t"= t¬ng HFi c4a Hng thIng vµ Hng t"Yn:

x2 tr' tng ®è$Xè ®$7m

ch)ng

B( thøc l$:nh( g$za @ C#

R- …{ng th¼ng C# ®{ng tr%n ctnha)

; @ K R

- …{ng th¼ng C# ®{ng tr%n t$8p4ec nha)

0 @ = R

Năm học: 2010 - 2011


60/66


…{ng th¼ng C# ®{ng tr%n &hngg$a" nha)

9 @ • R

- C@ t"= t¬ng HFi c4a Hng thIng vµ Hng t"Yn:

x2 tr' tng ®è$Xè

®$7mch)ng

B( thøc l$:n h(g$za @ C# R

Ba$ ®{ng tr%n ct nha); R - r K ||‹ K R r

Ba$ ®{ng tr%n t$8p 4ec nha) T$8p 4ec ng"#$

T$8p 4ec tr"ng

0||‹ = R r

||‹ = R - r

Ba$ ®{ng tr%n &hng g$a" nha) H| C# H|‹ q ng"#$ nha)

H| ®ùng H|‹

H| C# H|‹ ®ng tJm

9

||‹ • R r

||‹ K R - r

||‹ = 9

:. (iSp tu#Sn ca $~n tren

< T=nh ch>t c4a tiXp tu/Xn* T$8p t)!8n C)ng gOc CD$ G¸n &'nh

®$ Y)a t$8p ®$7m.

< Z>u hiu nh[n iXt tiXp tu/Xn:

…{ng th¼ng C# ®{ng tr%n chV cO m>t ®$7m ch)ng

Năm học: 2010 - 2011b9


61/66


Ah"5ng c¸ch t6 tJm c3a ®{ng tr%n ®8n ®{ng th¼ng G»ng

&'nh

…{ng th¼ng ®$ Y)a m>t ®$7m

c3a ®{ng tr%n C# C)ng gOc CD$ G¸n &'

®$ Y)a ®$7m ®O.

< T=nh ch>t c4a $ tiXp tu/Xn

c\t nhau

[L, [M l# ha$ t$8p t)!8n ct nha)

thU*

[L = [M

[| l# phJn g$¸c c3a gOc L[M

|[ l# phJn g$¸c c3a gOc L|M

< TiXp tu/Xn chung c4a hai Hng t"Yn: ]µ Hng thIng ti ^c víi c¶ hai Hng t"Yn HR:

T$8p t)!8n ch)ng ng"#$ T$8p t)!8n ch)ng tr"ng

@. Xc ,Gi $~n trenEP8i Xc Ynh ,‚ C>n th?c t)nh sè

$P

0. 1Oc q tJm † » AB !d AB=

;. 1Oc n>$ t$8p † »

1

2 AMB !d AB=

Năm học: 2010 - 2011

B

O

A

M

d'

d

O'

O

d'

d

O'

O

B A

O

M

B A

O


62/66


]. 1Oc t" Gq$ t$a t$8pt)!8n

C# @J! c)ng. † »1

2 xBA !d AB=

`. 1Oc cO ®Vnh q G:ntr"ng ®{ng tr%n

† » »1

( )2

AMB !d AB !dCD= +

. 1Oc cO ®Vnh q G:nng"#$ ®{ng tr%n † » »1 ( )

2

AMB !d AB !dCD= −

Ch_ •' Tr"ng m>t ®{ng tr%n- /¸c gOc n>$ t$8p G»ng nha) chn çc c)ng G»ng nha)- /¸c gOc n>$ t$8p c?ng chn m>t c)ng thU G»ng nha)- /¸c gOc n>$ t$8p chn çc c)ng G»ng nha) thU G»ng nha)- 1Oc n>$ t$8p nh hn h"Pc G»ng i99 cO sè ®" G»ng na sè ®"

c3a gOc q tJm c?ng chn m>t c)ng.- 1Oc n>$ t$8p chn na ®{ng tr%n l# gOc C)ng C# ngîc l$ gOc

C)ng n>$ t$8p thU chn na ®{ng tr%n.- 1Oc t" Gq$ t$a t$8p t)!8n C# @J! c)ng C# gOc n>$ t$8p c?ng chn

m>t c)ng thU G»ng nha).I. %0 d-i $~n tren %0 d-i cun tren.

- …> @#$ ®{ng tr%n G¸n &'nh R* / = ;πR = π@

- …> @#$ c)ng tr%n n9 G¸n &'nh R *1&0

Rn" π =

K. {iÖn t)ch hYnh tren {iÖn t)ch hYnh gu8t tren- y$(n t'ch hUnh tr%n* X = πR;

- y$(n t'ch hUnh Y)t tr%n G¸n &'nh R, c"ng n9*2

360 2 R n "RS π = =

L. Çc ;P8i $~n tren%~n tren nP8itiSp taZ i¸c

%~n tren n0i tiSptaZ i¸c

%~n tren b-ntiSp

taZ i¸c

Năm học: 2010 - 2011b;

x

B A

O

M

D

C

B

A

O

O

B

A

DC

M


63/66


TJm ®{ng tr%n l#g$a" c3a Ga ®{ngtr)ng trùc c3a tam

g$¸c

TJm ®{ng tr%n l#g$a" c3a Ga ®{ng

phJn g$¸c tr"ng c3atam g$¸c

TJm c3a ®{ng tr%nG#ng t$8p tr"ng gOcL l# g$a" ®$7m c3aha$ ®{ng phJn g$¸cc¸c gOc ng"#$ t$ M

h"Pc / h"Pc l# g$a"®$7m c3a ®{ng

phJn g$¸c gOc L C#®{ng phJn g$¸c

ng"#$ t$ M Hh"Pc /

1H. C¸c ;P8i hYnh h>n ian.a. A×nh t"ô.- y$(n t'ch 4)ng Y)anh* X4Y = ;πrh- y$(n t'ch t"#n phn* Xtp = ;πrh πr;

- Th7 t'ch hUnh trô* x = Xh = πr;h

. A×nh nRn:- y$(n t'ch 4)ng Y)anh* X4Y = ;πrl- y$(n t'ch t"#n phn* Xtp = ;πrl πr;

- Th7 t'ch hUnh trô* x = 21

3

hπ

c. A×nh nRn côt:- y$(n t'ch 4)ng Y)anh* X4Y = πHr0 r;l

- Th7 t'ch* x = 2 21 2 1 21 ( )3

h r r r r π + +

6. A×nh c_u.- y$(n t'ch mPt c)* X = `πR; = π@

- Th7 t'ch hUnh c)* x = 3

3 Rπ

11. (? i¸c n0i tiSp' yÊ) h$() nhËn G$8t tø g$¸c n>$ t$8p*- Tø g$¸c cO tSng ha$ gOc ®è$ G»ng 0j99

Năm học: 2010 - 2011

O

C

B

A

O

C

B

A

FE

J

B

C

A

r* G¸n &'nh Tr"ng ®O

h* ch$) ca"

r* G¸n &'nh Tr"ng ®O l* ®{ng s$nh

h* ch$) ca"

r0* G¸n &'nh @¸! lDn r;* G¸n &'nh ®¸!

nh Tr"ng ®O l* ®{ng s$nh h* ch$) ca"

R* G¸n &'nh Tr"ng ®O

@* ®{ng &'nh


64/66


$¸c cO gOc ng"#$ t$ m>t ®Vnh G»ng gOc tr"ng c3a ®Vnh ®è$ @$(n$¸c cO ` ®Vnh c¸ch ®) m>t ®$7m.$¸c cO ha$ ®Vnh & nha) c?ng nhUn cnh chøa ha$ ®Vnh c%n l$ @D$ m>t

n b-i tËp.1' Ch?n Zinh hai Xc b]n nhau.ch chøng minh:ng m$nh ha$ gOc c?ng G»ng gOc thø Gang m$nh ha$ gOc G»ng CD$ ha$ gOc G»ng nha) &h¸cgOc G»ng tSng h"Pc h$() c3a ha$ gOc tht tam g$¸c cJn h"Pc tam g$¸c ®)cnh tng øng c3a ha$ tam g$¸c G»ng nha)cnh ®è$ c3a hUnh GUnh h#nh Hchz nhËt, hUnh th"$, hUnh C)ng

cnh G:n c3a hUnh thang cJn@J! trng ha$ c)ng G»ng nha) tr"ng m>t ®{ng tr%n h"Pc ha$ ®{ng).2' Ch?n Zinh hai $~n thfn sPn sPn

h chøng minh:

- /høng m$nh ha$ ®{ng th¼ng c?ng s"ng s"ng CD$ ®{ng th¼ng thø

Ga

- /høng m$nh ha$ ®{ng th¼ng c?ng C)ng gOc CD$ ®{ng th¼ng thøGa

- /høng m$nh cheng c?ng t" CD$ m>t c¸t t)!8n ha$ gOc G»ng nha)*

q C2 tr' s" l< tr"ng

q C2 tr' s" l< ng"#$

q C2 tr' ®ng C2.

Năm học: 2010 - 2011b`


65/66


- E# ha$ @J! chn g$za cheng ha$ c)ng G»ng nha) tr"ng m>t ®

tr%n

- /heng l# ha$ cnh ®è$ c3a m>t hUnh GUnh h#nh

{8n ' Ch?n Zinh hai $~n thfn ,u>n Xc

MGch chøng minh:

- /heng s"ng s"ng s"ng s"ng CD$ ha$ ®{ng th¼ng C)ng gOc &h¸

- /høng m$nh cheng l# chJn ®{ng ca" tr"ng m>t tam g$¸c.

- …{ng &'nh ®$ Y)a tr)ng ®$7m @J! C# @J!.

- /heng l# phJn g$¸c c3a ha$ gOc & G? nha).

{8n 9' Ch?n Zinh ba $~n thfn $`n gu#.

MGch chøng minh:

- /høng m$nh cheng l# Ga ®{ng ca", Ga tr)ng t)!8n, Ga tr)ng tr

Ga phJn g$¸c tr"ng Hh"Pc m>t phJn g$¸c tr"ng C# phJn g$¸c ng"#$ c

ha$ gOc &$a

- xËn @ông ®2nh l' ®5" c3a ®2nh l' Taln'

- /O cnh h)!n C# m>t gOc nhn G»ng nha)

- /O cnh h)!n G»ng nha) C# m>t cnh gOc C)ng G»ng nha)- /nh gOc C)ng ®$ m>t G»ng nha)

{8n @' Ch?n Zinh hai taZ i¸c $`n d8n MGch chøng minh:

= ai taZ i¸c th~n'- /O ha$ gOc G»ng nha) ®$ m>t- /O m>t gOc G»ng nha) 4


66/66


taZ i¸c ,u>n'm>t gOc nhn G»ng nha)a$ cnh gOc C)ng tng øng t l(I' Ch?n Zinh $fn th?c hYnh h7ch chøng minh: ph5$ chøng m$nh ®¼ng thøc* [L.[M = [/.[y H+ng m$nh* ∆[L/ ∼ ∆[yM h"Pc ∆[Ly ∼ ∆[/M

®$7m [, L, M, /, y ceng n»m tr:n m>t ®{ng th¼ng thU ph5$ chøngt'ch tr:n c?ng G»ng t'ch thø Ga*

[L.[M = [Œ.[~[/.[y = [Œ.[~

# ta chøng m$nh* ∆[LŒ ∼ ∆[~M∼ ∆[~y

L.[M = [/.[yg hîp ®Pc G$(t* [T; = [L.[M ta chøng m$nh ∆[TL ∼ ∆[MT

K' Ch?n Zinh t? i¸c n0i tiSph chøng minh:$() nhËn G$8t tø g$¸c n>$ t$8p*$¸c cO tSng ha$ gOc ®è$ G»ng 0j99

$¸c cO gOc ng"#$ t$ m>t ®Vnh G»ng gOc tr"ng c3a ®Vnh ®è$ @$(n$¸c cO ` ®Vnh çch ®) m>t ®$7m.$¸c cO ha$ ®Vnh & nha) c?ng nhUn cnh chøa ha$ ®Vnh c%n l$ @D$ m>t

L' Ch?n Zinh U( ;- tiSp tu#Sn ca $~n tren ƒ^Dh chøng minh:ng m$nh |T ⊥ [T t$ T ∈ H|WRng m$nh &h"5ng çch t6 tJm | ®8n ®{ng th¼ng [T G»ng G¸n &'nh gOc n>$ t$8p.1H' Çc b-i tP¸n t)nh tP¸n $0 d-i c8nhF $0 ;Gn Xc t=nh:C#" h( thøc lîng tr"ng tam g$¸c C)ng.C#" t sè lîng g$¸cC#" h( thøc g$za cnh C# gOc tr"ng tam g$¸c C)ngC#" cng thøc t'nh ®> @#$, @$(n t'ch, th7 t'ch...

Documents

Tổng hợp kiến thức Toán THCS