1. A következő két függvény egyike egy jószág keresleti, a másik a kínálati függvénye: Q=6p-20 és Q=100-4p.

a) Állapítsa meg (és indokolja), hogy melyik a keresleti, melyik a kínálati függvény!

b) Számítsa ki az egyensúlyi árat és mennyiséget!c) Tegyük fel, hogy a hatóság p=10 szinten rögzíti az árat. Mi lesz ennek a hatása a

piacra, s milyen teendője van az ármegállapító hatóságnak? d) Milyen hatása lenne egy pmax=14 ill. egy pmax=9 ármaximumnak (árplafonnak)?e) Tegyük fel, hogy egy helyettesítő/kiegészítő termék ára megnő! Hogyan

befolyásolja ez a termék egyensúlyi árát?

Megoldás:b) 6p-20=100-4p → po=12, Qo=612-20=52c) QD(10)=100-40=60, QS(10)=60-20=40; túlkereslet → adagolás bevezetése (alapvető fontosságú termékek esetén) (Célszerű rajzon szemléltetni a helyzetet)d) Ha pmax=14, ennek a korlátnak nincs hatása, mert a piacon ennél alacsonyabb ár (12) alakul ki. pmax=9 esetén a korlát lesz az ár, mert a piacon ennél magasabb ár alakulna ki. A helyzet a c) pontban leírthoz hasonló lesz.e) Ha a helyettesítő termék megdrágul, akkor az itt vizsgált terméknek (amelyre a keresleti és kínálati függvény vonatkozik) a kereslete megnő → a keresleti függvény jobbra tolódik → az egyensúlyi ár és mennyiség nő. (Célszerű lerajzolni.) Kiegészítő termék drágulása esetén a vizsgált termék iránti kereslet csökken, a keresleti függvény balra tolódik, az egyensúlyi ár és mennyiség csökken.

2. Az előbbi kérdésben szereplő keresleti és kínálati függvény esetén milyen lesz az egyensúly: stabil, vagy instabil? Adjon meg egy kiinduló nem egyensúlyi mennyiséget, majd számítsa ki a következő két periódusban piacra vitt mennyiségeket, s állapítsa meg, hogy közelítenek-e a mennyiségek az egyensúlyihoz vagy távolodnak tőle. Szemléltesse ábrán is az alkalmazkodási folyamatot!

Megoldás (csak a számolási részhez):Mivel a kínálati függvény árérzékenyebb mint a keresleti függvény (ld. a p együtthatóját a két függvényben), ezért az egyensúl labilis lesz. Legyen pl. Q1=50 (tehát |Q1-Qo|=2). Az ehhez tartozó ár (amelyen ezt a mennyiséget el lehet adni) a keresleti függvényből számítható ki: 50=100-4p → p1=12,5; ezt behelyettesítve a kínálati függvénybe: Q2=612,5-20=55, tehát |Q2-Qo|=3. p2=11,25, Q3= 47,5, tehát |Q3-Qo|=4,5. Látható, hogy az egymást követő mennyiségek egyre távolodnak az egyensúlyitól.

3. Az előbbi keresleti és kínálati függvények mellett számolja ki az új egyensúlyi árat és mennyiséget, ha a kormány a) 3 pénzegységnyi termékadót vet ki, b) termékegységenként 3 pénzegység támogatást ad. Szemléltesse ábrán is a változást!

Megoldás (csak a számolási részhez):

1

Adó: t=3, minden mennyiségnél 3-mal magasabb lesz a kínálati ár; régi kínálati ár (a kínálati függvényből): p=(Q+20)/6; az új kínálati ár: p=3+(Q+20)/6, visszaalakítva kínálati függvénnyé: Q=6(p-3)-20. Új egyensúlyi ár: 6(p-3)-20=100-4p → po=13,8, Qo=44,8.Támogatás: a kínálati ár csökken, az új kínálati ár: p=-3+(Q+20)/6, visszaalakítva kínálati függvénnyé: Q=6(p+3)-20. Új egyensúlyi ár: 6(p+3)-20=100-4p → po=10,2, Qo=59,2.

4. Az előbbi keresleti függvény mellett számolja ki a keresletrugalmasságot, ha az ár 8-ról 10-re nő (az árakhoz tartozó mennyiségeket számolja ki a függvény segítségével)! Használja azt a formulát, amely kiküszöböli a változás irányából adódó eltérést! A kapott rugalmasság alapján állapítsa meg, hogy árat emelni vagy csökkenteni érdemes-e a bevétel növelése érdekében!

Megoldás: p1=8 → Q1=68; p2=10 → Q2=60. ΔQ/Δp=-4; ε= (ΔQ/Δp):((Q1+Q2)/(p1+p2))=-4:(128/18)=- 0,5625. Mivel a kereslet rugalmatlan (|ε|<1), árat növelni érdemes. (Ezt a két árbevétel összehasonlítása is mutatja: a magasabb árnál 1060=600, az alacsonyabb árnál 868=544 a bevétel.)

4/b Legyen Q=A-bp, azaz a keresleti görbe most egyenes, amelynek természetesen csak a pozitív negyedbe eső szakasza tekinthető keresleti függvénynek, miután sem a negatív árnak, sem a negatív mennyiségnek nincs értelme. Milyen értékeket vesz fel a a rugalmasság, ha tengelytől tengelyig végigmegyünk ezen a szakaszon, ami azt jelenti, hogy a p a 0 és az A/b szakaszon fut végig?

Megoldás: Mivel ΔQ=-bΔp, ezért ΔQ/Δp=-b, vagyis a különbségek hányadosa konstans. Tehát a rugalmasság a kiinduló Q/p hányadosoktól függően fog különböző értékeket felvenni. Ez a hányados 0 a Q=0 helyen, vagyis a p tengelyen; mivel itt „nullával osztunk”, az eredmény végtelen, vagyis itt a rugalmasság: ε=-. A Q tengelyen viszont p=0, ezért Q/p végtelen, tehát most “végtelennel osztjuk” a –b-t, ami 0 lesz. Ahogy tehát a Q tengelymetszet felől haladunk a keresleti egyenesen a p tengelymetszet felé, a rugalmasság értéke 0-tól halad a mínusz végtelen felé. Ha a szakasz közepén nézzük a rugalmasságot, itt p=A/2b, Q=A/2, tehát Q/p=b, s így ε=-1, azaz itt a rugalmasság egységnyi. Innen növelve az árat, a kereslet egyre rugalmasabb lesz, míg a másik irányban egyre rugalmatlanabb.

5. Tegyük fel, hogy csak két jószágfajta van, x és y. Legyenek az árak px=2, py=3, s a fogyasztó rendelkezésére álló pénz (ill. a fogyasztó jövedelme) legyen M=48.

a. Ábrázolja a fogyasztó költségvetési egyenesét!b. Mennyit fogyaszt egyik és másik termékből 2:1-es fogyasztói struktúra mellett

(vagyis ha x-ből 2-szer annyi egységet fogyaszt, mint y-ból)? c. Hogyan változik a költségvetési egyenes, ha a fogyasztó jövedelme 60-ra nő?

Hány százalékkal nő a fogyasztó reáljövedelme?

Megoldás a b)-hez: a költségvetési egyenes egyenlete 2qx+3qy=48, a megadott struktúrában qx=2qy, ezt behelyettesítve a költségvetési egyenes egyenletébe: 4qy+3qy=48 → qy=48/7, qx=96/7.

2

6. Legyenek a kiinduló árak px=2, py=3, s a fogyasztó rendelkezésére álló pénz (ill. a fogyasztó jövedelme) legyen M=60. Hogyan változik a költségvetési egyenes, ha az x termék ára 50%-kal megemelkedik? Hogyan változik ebben az esetben annak a fogyasztónak a reáljövedelme, aki (1) csak x terméket fogyaszt, (2) csak y terméket fogyaszt, (3) 2:1 arányban fogyasztja a két jószágot, s a fogyasztói struktúráját nem változtatja meg?

Megoldás (csak a 2:1 összetételre vonatkozóan):A kiinduló fogyasztói kosár kiszámítása: az előbbi példához képest csak a pénzösszeg különbözik (48 helyett 60), ezért a kiinduló kosárban lévő mennyiségek: qy=60/7, qx=120/7. Az új helyzetben az árak: px=3 és py=3, tehát az új költségvetési egyenes egyenlete 3qx+3qy=48, ebben elvégezve a qx=2qy helyettesítést (miután az összetétel nem változott): 6qy+3qy=60 →qy=60/9=20/3, qx=40/3. Összehasonlítva az új mennyiségeket a régiekkel: az x terméknél (40/3):(120/7)=280/3600,78, az y terméknél ugyanennyi, tehát a reálfogyasztás mintegy 28%-kal csökkent.

7. Az előbbi példában szereplő régi és új árak valamint M=66 mellett hogyan változik annak a fogyasztónak a reáljövedelme, aki az eredeti árak mellett a (21, 8) összetételű jószágkombinációt vásárolta, az előbbi példában feltételezett áremelkedés után pedig a (13, 9) jószágkombinációt? (Volumenindexek: visszavezetés nomináljövedelem-változásra.).

Megoldás:Először nézzük meg, hogy a két kosár rajta van-e a két költségvetési egyenesen: 221+38=66, 313+39=66. A reálfogyasztás változásának a mérése a kosarak értékének változatlan árak mellett történő összevetésével történhet: ha a a kiinduló árakat rögzítjük (vagyis az új kosarat is a régi árakon számoljuk) akkor az új és a régi kosár értékének az összevetése: (213+39)/(221+38)=53/66. (A számolásnál használt képlet: Iq=poq1/poqo.) Másik lehetőség: mindkét kosarat az új árakon számoljuk az Iq=p1q1/p1qo képlet szerint: (313+39)/(321+38)=66/87.

8. Tegyük fel, hogy csak kétfajta jószág van, x és y, s az x ára 10, az y-é 20, valamint a fogyasztó rendelkezésére álló pénzösszeg M=100. Tegyük fel továbbá, hogy a hasznosság tőszámokban mérhető, s az összhaszon a két jószágféleség hasznosságának összege, s az egyes jószágmennyiségekhez tartozó hasznosságok (U(qx) és U(qy)) az alábbiak:

Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10U(qx) 20 39 56 71 84 96 104 110 114 116

3

U(qy) 50 95 135 150 163 175 183 189 193 195

Feltételezve, hogy az összhaszon a két hasznosság összege, melyik megvásárolható jószágkombináció lenne a legnagyobb hasznosságú?

Megoldás:Ha indulásképpen az összes pénzünkért y-t veszünk, akkor a kezdeti kosár hasznossága 163. Mivel 1y annyiba kerül, mint 2x, 1y-t 2x-re cserélhetünk. A csere után a hasznosság 150+39=189. A következő csere után a hasznosság 135+71=206 lenne. Ha még tovább megyünk, s az y mennyiségét 2-re csökkentjük, a hasznosság 95+96=191, tehát ez a cserét már nem érdemes végrehajtani, tehát az optimális kosár (4x, 3y). (Ugyanide jutunk, ha 10x-ből indulunk ki, s 2-2 x-et cserélünk 1-1 y-ra.)

9. Tegyük fel, hogy egy fogyasztó preferenciarendszerét leírhatjuk az U=qxqy hasznossági függvénnyel. a) Rajzolja fel az U=5 és U=9 szinthez tartozó közömbösségi görbéket! Mit jelenthet a 4 különbség az ordinális hasznossági szemléletben? b) A következő függvények közül melyik lehet az, amely ugyanezt a preferenciarendszert írja le? U=qx+qy, U=qx

2qy2, U=qxqy

2. (Mely függvények zárhatók ki pl. a (3, 3), (2, 4) és (1, 5) jószágkombinációk alapján?)

Megoldás:b) Az U=qxqy hasznossági függvény szerint a kosarak sorrendje a következő: (3, 3) >(2, 4)>(1, 5) (itt a > jelet a „jobb, mint” értelemben használjuk). Az U=qx+qy szerint mindhárom kosár azonos hasznosságú lenne, az U=qx

2qy2 ugyanazt a sorrendet adja, mint

az eredeti hasznossági függvény, míg az U=qxqy2 szerint (2, 4)>(3, 3). Tehát az U=qx

2qy2

függvény fejezheti ki ugyanazt a preferenciarendszert, mint az U=qxqy. Valóban ugyanazt a preferenciarendszert írja le, hiszen az U=qx

2qy2 az U=qxqy négyzete, tehát monoton

növekvő függvénye.

10. Tegyük fel, hogy az x és y jószág tökéletesen helyettesíti egymást, 2x helyettesít 1y-t. Az árak px=2, py=3, s a fogyasztó rendelkezésére álló pénz M=60. Milyen jószágkombinációt fog vásárolni a fogyasztó?

Megoldás:Mivel a hasznosság szerint 1y 2x-et ér, viszont pénzben csak 1,5-szer annyiba kerül, ezért érdemes x-et y-ra cserélni, tehát az optimális megoldás az, hogy az összes pénzünkért y-t veszünk. (Ábrán a közömbösségi görbék -0,5 meredekségű egyenesek, míg a költségvetési egyenes -2/3 meredekségű, tehát az elérhető legmagasabb közömbösségi görbének a qy tengelyen lesz a közös pontja a költségvetési egyenessel.)

11. Tegyük fel, hogy az x és y jószág egymás kiegészítői, a felhasználási arány 2x:1y. Határozza meg az optimális jószágkombinációt, ha az árak px=2, py=3, s a fogyasztó rendelkezésére álló pénz M=42!

4

Megoldás:Nyilván fölösleges olyan jószágkombinációt vásárolni, amely nem a megadott arányban tartalmazza a két jószágot, mert akkor az egyik jószágból fölösleg lesz, vagyis ugyanazt a hasznossági szintet kevesebb pénzzel is elérhetjük. Vagyis a költségvetési egyenesen azt a pontot kell megkeresni, amelynek a koordinátái közötti arány megfelel az előírt aránynak, azaz qx=2qy. Mivel a költségvetési egyenes egyenlete 2qx+3qy=42, s a megadott struktúrában qx=2qy, ezt behelyettesítve a költségvetési egyenes egyenletébe: 4qy+3qy=48 → qy=42/7=6, qx=12.

14. Legyen a (hosszútávú) termelési függvény Q=10K1/4L3/4 alakú!a) Milyen jellegű a mérethozadék (skálahozadék)?b) Milyen alakú a Q=100 kibocsátási szinhez tartozó egyenlőmennyiség-görbe (izokvant)?c) Legyen a tőkemennyiség rögzített, K=1. Vázolja fel a Q(L) függvényt, majd számítsa ki a munka határtermékét és átlagtermékét L=1296 mellett!

Megoldás:a) Konstans, mert Q(K, L)= 10(K)1/4(L)3/4 =10K1/4L3/4=Q(K, L)b) 100=10K1/4L3/4 →K=104/L3 (Rajz!)c) Q=10L3/4; MPL=Q’=10(3/4)L-1/4= 30/(4L1/4); L=1296 helyettesítéssel MPL(1296)=5/4. APL=Q/L=10/L1/4, (APL(1296)=10/6=5/3.

15. Egy adott termelési volumenhez tartozó izokvant mentén munkát tőkével helyettesítünk. A tőke egységnyivel történő növelése által elérhető munkamegtakarírásokat az alábbi táblázat mutatja (K a tőkeállamány, ΔL a munkamennyiség változása):K 10 11 12 13 14 15ΔL -10 -6 -4 -3 -2Legyen a tőke ára pK=4, a munkáé pL=1. Meddig érdemes elmenni a helyettesítéssel (melyik tőkeállománynál célszerű leállni)? Ha az induló helyzetben a munka-tőke kombináció (50, 10) volt, akkor mennyi az optimális kombináció költsége, s mennyi a hosszútávú átlagköltség, ha a szóbanforgó izokvant a Q=100 termelési mennyiséghez tartozik?

Megoldás:A tőke egységnyivel történő növelése 4 pénzegységgel növeli a költséget, ezt kell összehasonlítani a munkamegtakarításból eredő költségcsökkenéssel (pLΔL), amely az első lépésnél 10, a másodiknál 6, tehát ez a két helyettesítés csökkenti a költséget; a harmadiknál 4 a megtakarítás, tehát a költség nem változik; utána 4-nél kevesebb a megtakarítás, tehát a további helyettesítés növelné a költséget. Vagyis a 12-es tőkeállománynál érdemes leállni a helyettesítéssel (bár a 13-ra való áttérés nem változtatna a költségen, tehát ez ugyanolyan jó, mint a 12-es). Az optimális munka-tőke kombináció tehát (34, 12), vagy (30, 13). A tényezőmennyiségeket beszorozva az árakkal és összeadva: 341+124=82 ill. 301+134=82. Ha az izokvant a Q=100 mennyiséghez

5

tartozik, akkor ennek a mennyiségnek a hosszútávú előállítási költsége 82, hosszútávú átlagköltsége pedig 82/100.

16. Legyen a rövidtávú termelési függvény Q=10L, a termékár p=3, a munka ára pL=5. Számítsa ki az optimális munkamennyiséget és kibocsátást!

Megoldás:Az optimunkritérium: pMPL=pL; MPL=Q’ (derivált), tehát MPL=10/(2L)=5/L. Ezt és az árakat behelyettesítve az optimumkritérium egyenletébe: 35/L=5 L= 9, Q=30.

17. A Q=10K1/4L3/4 alakú termelési függvény mellett határozza meg az optimális tőke-munka kombinációt, ha Q=1000, pL=3 és pK=1! Számítsa ki a teljes költséget és az egy termékre jutó költséget (átlagköltséget)!

Megoldás:Az optimumkritérium: MPL/MPK=pL/pK; az MPL a termelési függvénynek az L szerinti, az MPK a K szerinti (parciális) deriváltja: MPL=10K1/4(3/4)L-1/4, MPK=10(1/4)K-

3/4L3/4; a deriváltak és a tényezőárak behelyettesítése és az egyszerűsítések után: 3K/L=3/1 K=L. Tehát az 1000=10K1/4L3/4 egyenletben L helyett K-t írva megkapjuk az optimális K-t: K*=100, s K=L miatt L*=100. A hosszútávú költség tehát: C=pLL*+pKK*=400, a hosszútávú átlagköltség: LAC=400/1000.

18. Legyen a termelési függvény Q=10K1/4L3/4 alakú, s az optimális tényezőkombináció K=10000, L=4096. Mennyi a munka reálbére (termékben kifejezett bére), s a tőke reál (termékben kifejezett) ára? A teljes kibocsátás hányad részét tudnák megvenni az összes bérből és hányad részét az összes tőkejövedelemből?

Megoldás:Mivel a tényezők „reálbére” egyenlő a határtermelékenységükkel, ezért a termelési függvény K és L szerinti (parciális) deriváltjainak a helyettesítési értékét kell venni a megadott K és L értékek mellett: MPL=10K1/4(3/4)L-1/4,= 10100001/4(3/4)/40961/4=300/32=9,375. MPK=10(1/4)K-3/4L3/4=5120/4000=1,28. A munkabérből megvásárolható teljes termékmennyiség = 40969,375= 38400, a tőkejövedelemből megvásárolható termékmennyiség=100001,28=12800. A teljes kibocsátás: Q=10100001/440963/4 =51200 (=38400+12800). A részesedési arányok: a munkáé 38400/51200=0,75, a tőkéé 12800/51200=0,25. Vagyis a részesedési arányok a tényezők kitevői a termelési függvényben.

19. A Q=10K1/4L3/4 alakú hosszútávú termelési függvényből kiindulva, a tőkének K=2401 mennyisége mellett írja fel a rövid távú Q(L) termelési függvényt, majd a pL=2 és pK=1 tényezőárak mellett határozza meg a fix költséget és a teljes változó költség (TVC) függvényt, majd ezekből a határköltség, átlagos változó költség és az átlagköltség függvényeket! (Feltételezzük, hogy a fix költség a tőkeköltségből (KpK) áll, a változó költség pedig a munkaköltségből.)

6

Megoldás:A rövidtávú (egyváltozós) termelési függvény: Q=70L3/4. A fix költség a tőke ára, tehát FC=KpK=2401. A változó költség a munkaköltség, amit az adott kibocsátáshoz szükséges munkamennyéségnek és a munka árának a szorzataként kapunk meg. Az adott Q-hoz szükséges munkamennyiség: L=(Q/70)4/3, tehát TVC=2(Q/70)4/3, MC=TVC’=(8/3)Q1/3/704/3, AVC=2Q1/3/704/3, AC=FC/Q+AVC=2401/Q+2Q1/3/704/3.

20. Az alábbi költségekről állapítsa meg, hogy a) állandó (fix) vagy változó, b) explicit vagy elszámolható implicit vagy el nem számolható implicit:a) Az épület bérleti díja. b) A felhasznált anyagok mennyisége.c) A gépvásárlásra felvett hitelek kamata.d) A termék előállításával foglalkozó munkások bére.e) A munkagépek működtetéséhez használt elektromos áram költsége?f) A könyvelők bére.g) Az a kamat, amelyet a vállalkozásba fektetett saját pénz után lehetett volna kapni.h) Az épületek és gépek amortizációja.i) Az a fizetés, amelyet a vállalkozó kereshetne munkavállalóként

Megoldás:a) Az épület bérleti díja. (Fix, explicit)b) A felhasznált anyagok mennyisége. (Változó, explicit) c) A gépvásárlásra felvett hitelek kamata. (Fix, explicit)d) A termék előállításával foglalkozó munkások bére. (Változó, explicit)e) A munkagépek működtetéséhez használt elektromos áram költsége. (Változó, explicit.)f) A könyvelők bére. (Fix, explicit)g) Az a kamat, amelyet a vállalkozásba fektetett saját pénz után lehetett volna kapni. (El nem számolható implicit)h) Az épületek és gépek amortizációja. (Fix, elszámolható implicit)i) Az a fizetés, amelyet a vállalkozó kereshetne munkavállalóként (El nem számolható implicit)

21. A következő (éves) adatokból számolja egy vállalkozás gazdasági profitját:Anyagköltség 300, a vállalkozáshoz felvett hitel kamata 20, a vállalatba fektetett pénz 1000, a szokásos kamatláb 10%, a vállalkozó által végzett tevékenyég szokásos évi bére 200, épület bérleti díja 15, könyvelő díja 10, a berendezések és saját tulajdonú épületek amortizációja 90. A vállalkozás árbevétele 800.

Megoldás:Számviteli profit=800-300-20-15-10-90. Gazdasági profit=számviteli profit-100-200.

22. Legyen egy tökéletesen versenyző vállalat költségfüggvénye TC=0,5q2+5. a. Írja fel a TVC, AVC, AFC és AC függvényeket! b. Írja fel az MC függvényt! c. Mennyit termelne a vállalat p=10,5 árnál? Mennyi lenne ebben az esetben a profitja?

7

d) Milyen árnál lenne a vállalatnak zéró profitja?

Megoldás:a. TVC=0,5q2, AVC=TVC/q=0,5q, AFC=FC/q=5/q, AC=TC/q=0,5q+5/qb. MC=TC’=qc. MC=p → q=10,5; =10,52-(0,510,52+5)=50,125.d. MC=AC →q=0,5q+5/q → 0,5q2=5 → q=10→p=10

(Megjegyzések: 1. az itt közölt megoldások a megértést segítő magyarázatokat is tartalmaznak; 2. a vizsgán egyes kérdések, különösen a *-gal jelöltek, rövidebb változatban is szerepelhetnek.)

1. Tegyük fel, hogy a keresleti függvény Q=1000-10p. Milyen p és Q értéknél lenne maximális az árbevétel? Mennyi itt a kereslet rugalmassága? Magyarázza meg a rugalmasság alapján is, hogy innen miért nem érdemes növelni a mennyiséget!

Megoldás:Ha a p-t tekintjük független változónak:TR=pQ=p(1000-10p)=1000p-10p2, szélsőérték: TR’=1000-20p=0 → p=50 → Q=500. ε=Q’p/Q=-10p/(1000-10p), p=50-nél ε=-1, tehát a rugalmasság egységnyi → sem az áremelés (ill. a mennyiség csökkentése), sem az árcsökkentés (ill. a mennyiség növelése) nem változtatja a bevételt. Ha p<50 (és Q>500), akkor már |ε|<1, a kereslet rugalmatlan, tehát az árcsökkentés (ill. Q növelése) csökkentené az árbevételt.Ha a Q-t tekintjük független változónak, s az árbevételt a Q függvényeként írjuk fel:a keresleti függvényt árfüggvényként felírva: p=100-0,1Q, TR=pQ=100Q-0,1Q2, TR’=100-0,2Q=0 → Q=500 → p=50. (Mivel TR’=MR, Q=500-nál metszi az MR egyenes a Q tengelyt, onnan jobbra tehát az MR negatív értékeket vesz fel, azaz a Q növelése csökkenti a bevételt. A D vízszintes tengelymetszete a Q=1000-nél van, az MR tengelymetszete ennek ennek a fele, s azehhez a helyhez tartozó pont a D-n a D szakasz felező pontja, s itt egységnyi a kereslet rugalmassága.)

4. Rajzolja fel a monopólium költséggörbéit, s rajzoljon be egy olyan egyenes keresleti függvényt, hogy a monopólium veszteséges legyen, és érdemesebb legyen felfüggesztenie a termelést, mint folytatni! Rajzolja be a határbevételi egyenest, s határozza meg, hogy mennyit termelne, ha termelne, majd mutassa meg az ábrán, hogy mennyivel lenne több a vesztesége, mint ha felfüggesztené a termelést!

Megoldás (itt csak szöveges): A termelés szüneteltetéséről ill. folytatásáról szóló döntésnél mindig az árbevételt és a változó költséget (nem a fix költséget!) kell összevetni. Ha a D görbe metszi az AVC görbét, tehát részben fölötte halad, tehát a p>AVC lehetséges, akkor az árbevétel meghaladhatja a teljes változó költséget, s a különbséggel csökkenthető a veszteség; az előző feladatban ilyen esettel van dolgunk. Az árbevétel biztosan nem fedezheti a TVC-t, ha a D az AVC alatt halad. Ha mégis termelne valamilyen Q* mennyiséget, akkor az ehhez tartozó p és AVC szinteken húzott, a (0, Q*) intervalumnak

8

mefelelő vízszintes szakaszok közötti téglalap területe mutatná a fix költségen felüli veszteség-többletet. Azt, hogy mennyit termelne, ha termelne, itt is csak az MR=MC kritériummal tudnánk meghatározni, de kicsi a valószínűsége annak, hogy az AVC alatt haladó D-hez tartozó MR görbe metszené az MC-t.

5. Tegyük fel, hogy a keresleti függvény Q=400-2p, a monopólium határköltség-függvénye konstans, MC=40. (Alakítsa át a keresleti függvényt árfüggvény formára!)a) Mekkora lenne az optimális kibocsátás és ár? b) Mennyi lenne a maximális profit, ha a fix költség 1500? (Miből tudjuk kiszámítani a változó költséget?)c) Mekkora lenne a kibocsátás és a monopólium profitja hatósági ármegállapítás mellett, ha az árat p*=50 szinten rögzítenék? (A fix költség legyen megint 1500.)

Megoldás:(Javaslat: Rajzolja fel az MC, D és MR görbéket, s határozza meg grafikusan is az optimális Q-t és p-t!)a) A keresleti függvény árfüggvényként felírva (inverz keresleti függvény): p=200-0,5Q, ebből MR=200-Q; MR=MC→ 200-Q=40→Qopt=160 →popt=120. b) =pQ-TC=120160-(TVC+1500); mivel MC konstans, ezért AVC=MC=40, TVC=QAVC=16040; =19200-7900=11300.c) Ha az árat rögzítik a monopólium számára, akkor a monopólium is árelfogadóként működik, tehát az optimum-kritérium MC=p. Mivel azonban most az MC konstans, és MC<p* minden Q mellett, a profit annál nagyobb, minél többet termel a monopólium, ezért a monopólium annyit fog termelni, amennyit a p* áron el tud adni. Ezt a keresleti függvény határozza meg: Qopt=400-2p*=300. =p*Qopt-(TVC+FC)=15000-(30040+1500)=1500.

6. Q=1000/p alakú keresleti függvény esetén mi lenne a határbevételi függvény? Tegyük fel, hogy a monopólium határköltsége konstans, MC=10. Mennyi lenne a monopólium profitja, ha a termelt mennyiség Q=500 lenne? 500-ról növelni, vagy csökkenteni volna célszerű a mennyiséget? *Mennyi lenne a monopólium optimális kibocsátása?

Megoldás:Mivel Q=1000/p→pQ=1000, vagyis az árbevétel konstans, azaz Q minden értékére ugyanaz, TR=1000, ezért a Q változtatása a TR-t nem változtatja meg → MR=0 (konstans). Mivel MC=10 (konstans), így MC>MR, tehát bármilyen mennyiségből indulunk is ki, a Q növelése csak csökkentené a profitot, míg a Q csökkentése növelné. Vagyis bármilyen mennyiségből kiindulva a mennyiséget csökkenteni érdemes. De meddig? Ha Q=0, akkor nyilvánvalóan 0 a profit is, ill. ha van fix költség, akkor =-FC. Tegyük fel, hogy FC=0. Van-e profit, ha valamilyen mennyiséget termel a vállalat? Pl. ha Q=500, akkor (a konstans MC és FC=0 miatt) TC=50010=5000→ =1000-5000, a termelés veszteséges Q=500-nál. Van-e olyan mennyiség, amelynél >0? A pozitív profithoz TC<1000 kellene, azaz 10Q<1000→Q<100. Pl. Q=80 esetén =1000-8010=200. A profit nő, ha Q-t csökkentjük, de nullára nem csökkenthetjük, mert akkor a bevétel is 0. A profit tehát a lehető legkisebb pozitív mennyiségnél lesz a legnagyobb. Ha

9

Q nem folytonos változó, hanem pl. darabszámban mérik a mennyiséget, akkor az optimális mennyiség Q=1 lenne.

7. Legyen egy monopólium teljesköltség-függvénye TC=Q3/3-0,5Q2+2Q+200, a keresleti függvény (árfüggvény formában) p=200-0,5Q. Számítsa ki az optimális kibocsátást és árat, valamint a profitot! (Útmutató: az MC függvény meghatározásához deriválja a TC függvényt.)

Megoldás: MC=TC’=Q2-Q+2, MR=200-Q, MC=MR→Q2-Q+2=200-Q→Q=19814→p=193, =14193-(143/3-0,5142+214+200)=…

8. Tegyük fel, hogy a monopólium határköltség függvénye konstans, MC=10, s a terméket két szeparálható piacon árusítja. Az első piacon az árfüggvény (keresleti függvény) p=100-Q, a másodikon p=60-0,5Q. a) Mennyit fog eladni és milyen áron az egyik és a másik piacon? (A megoldást szemléltesse ábrán is!)b) Mennyi lesz a vállalat profitja, ha nincs fix költsége?*c) Most tegyük fel, hogy MC=10+0,5Q. Mik lennének ebben az esetben az optimális mennyiségek és árak?

Megoldás:Mivel a piacokon ki kell egyenlítődnie az MR-nek (egyébként átcsoportosítással ugyanazt a mennyiséget nagyobb árbevétellel is el lehetne adni), meghatározhatjuk, hogy milyen menniyésgek tartoznának egy MR szinthez a két piacon. Ehhez először felírjuk az MR függvényeket: MR=100-2Q1, MR=60-Q2 →Q1=50-0,5MR, Q2=60-MRa)-b): Ha MC=10 (konstans), akkor az egységes MR=MC=10, ezt behelyettesítve az előbbi függvényekbe: Q1=45, Q2=50 → p1=55, p2=35. =p1Q1+p2Q2-TC=4225-QMC, ahol Q=Q1+Q2. (TC=TVC mert FC=0, TVC=QAVC=QMC, mert konstans MC esetén AVC=MC.)c) Mivel most MC függ a Q-tól, az MR-t is a Q (=Q1+Q2) függvényében kell felírnunk. Ehhez először összegezzük a két piacon az adott MR szinthez tartozó mennyiségeket, azaz a Q1=50-0,5MR, Q2=60-MR függvényeket: Q=Q1+Q2=110-1,5MR →MR=(110-Q)/1,5. MR=MC →(110-Q)/1,5=10+0,5Q→Q=95/1,7554,3→MR=(110-54,3)/1,537,13→Q1=50-0,537,13=31,43, Q2=60-37,13=22,87 →p1=100-31,43=68,57, p2=60-0,522,87=48,565. (Kiegészítés: A profit kiszámítása nyilván itt is a =p1Q1+p2Q2-TC képlet alapján történik, s mivel FC=0 → TC=TVC. Most azonban az MC nem konstans, de mivel a TVC az MC görbe alatti területnek felel meg, ezért

Kiszámítva a határozott integrál értékét: TVC=1280,1225.)

10

9. Tegyük fel, hogy egy monopólium határköltsége MC=0, fix költsége 200000, s a keresleti függvény Q=1000-p. a) Mennyit fog eladni ebből a termékből és milyen áron? (Mekkora az optimális kibocsátás és ár?)b) Mennyi lesz a profitja?

Megoldás:Mivel MC=0 (konstans), ezért AVC=MC=0 → TVC=0 bármilyen termékmennyiségnél. A profit tehát ott lesz maximális, ahol a bevétel maximális, vagyis ahol TR’=MR=0. Mivel a keresleti függvény árfüggvény formában p=1000-Q, így MR=1000-2Q, MR=0→ Q=500 → p=500, tehát TR=250000. Mivel TVC=0, ezért TC=FC, =250000-200000=50000.

10. Tegyük fel, hogy egy monopólium az árbevétel 10%-át fizeti a termék feltalálójának. Legyen a keresleti függvény Q=1000-p, s legyen a monopólium határköltség függvénye konstans, MC=100. Milyen ár ill. kibocsátás lenne optimális a monopólium szempontjából és a feltaláló szempontjából? Megoldás: Természetesen a feltaláló a bevétel maximalizálásában érdekelt, ennek megfelelően számára a TR’=MR=0 feltételt kielégítő mennyiség lenne optimális. Mivel p=1000-Q → MR=1000-2Q=0 → Q=500 → p=500 → TR=250000. A monopólium a profitját maximalizálja, s a profit számításában költségként figyelembe veszi a feltalálónak fizetendő összeget: =TR-01TR-TVC-FC=0,9TR-TVC-FC=0,9pQ-TVC-FC=0,9(1000Q-Q2)-100Q-FC. (A TVC=MCQ, mert MC konstans, s így MC=AVC; az FC-t nem ismerjük, de ettől a profitmaximalizáló mennyiséget és árat még ki tudjuk számítani, csak a profit nagyságát nem.) ’=900-1,8Q-100=0 → Q=800/1,8444.44 (<500, ami a feltalálónak lenne jobb), p555,56.

11. Tegyük fel, hogy a monopólium terméke környezetszennyező, s ezért környezetvédelmi adót vetnek ki a termékre, minden termékegység után x összeget. Mutassa be rajzon, hogy hogyan fogja ennek következtében a monopólium megváltoztatni a kibocsátást és az árat. (Legyen a D keresleti függvény egyenes. A költséggörbék közül elég csak az MC-t berajzolni, s az is legyen egyenes.)

Megoldás: mivel minden termékegység után x összeget kell fizetni, ezért az MC minden Q érték mellett x-szel nagyobb lesz, tehát az MC x-szel feljebb tolódik (de ennek megfelelően az AVC és az AC is). Tehát az MC és MR metszéspontja az MR mentén felfelé mozdul el, így az új metszésponthoz kisebb Q és ennek megfelelően magasabb p fog tartozni.

12. Az alábbi ábrán egy monopólium hosszútávú határ- és átlagköltség-görbéje valamint a keresleti görbéje látható:

11

a) Írja fel a megfelelő vonalakhoz az LMC (hosszútávú határköltség), LAC (hosszútávú átlagköltség) és D jeleket!b) Mennyi lenne a monopólium kibocsátása és profitja szabályozás nélkül? (Milyen vonal hiányzik még ennek meghatározásához?)c) Hatósági ármegállapításnál (p*) mekkora kibocsátás mellett volna a vállalat profitja maximális?d) Mekkorának kellene minimálisan lennie az árplafonnak, hogy a monopólium ne vonuljon ki az ágazatból?

Megoldás: a) Ld. az alábbi ábrán a megfelelő jelöléseket. b) A monopolista mennyiséget és árat a Qmon és pmon jelöli. A sárga és a kék vonal közötti terület a profit, a kék vonal alatti terület a hosszútávú teljes költség. (Emlékeztetőül: hosszútávon minden költség változó, tehát nincs külön hosszútávú AVC, csak AC.) c) Hatósági ármegállapítás esetén a monopólium árelfogadóként viselkedik. Itt azonban nem alkalmazható az MC=p kritérium, mert a p* magasságában húzott vízsintes az ereszkedő szakaszon metszi az LMC-t, tehát a metszéspont után minden Q érték mellett LMC<p*, vagyis minden további termékegység növeli a profitot. Ezért a monopóliumnak érdemes minél többet termelnie, így a kibocsátás nagyságát a kereslet fogja meghatározni (a p* árnál eladható mennyiség, az ábrán Q*). d) A monopólium akkor vonul ki az ágazatból, ha hosszú távon a gazdasági profitja negatív, azaz veszteséges. Ha a p* árat (ill. árplafont) a LAC és a D metszéspontjánakmegfelelő szinten állapítanák meg, akkor a monopólium a metszéspontnak megfelelő Q mennyiségnél zéró gazdasági profitot realizálna (tehát csak normál profitja lenne), ennél alacsonyabb p* mellett az ár a D-ig mindenütt a LAC alatt lenne, tehát csak negatív lehetne a gazdasági profit.

12

Q

p

p*

*11. Legyen a monopólium termelési függvénye Q=10K1/4L3/4 alakú, a tényezőárak pL=30 és pK=10! a) Határozza meg a hosszútávú teljesköltség-, átlagköltség- és határköltség-függvényt! (Javaslat: Határozza meg Q függvényében az optimális tőke-munka kombináció költségét, majd ebből az átlag- és határköltség-függvényeket!) b) Mennyi lesz a monopólium hosszútávú optimális kibocsátása és profitja, ha a keresleti függvény (árfüggvény) p=20-0,05Q? c) Adjon meg egy olyan keresleti függvényt, amely mellett a monopólium biztosan kivonul az ágazatból! d) Árszabályozás esetén minimum mekkora lehet a hatósági ár?

Megoldás:a) Először az optimális tőke-munka kombinációt (K*, L*) határozzuk meg a Q függvényében, a következő két egyenlet segítségével: MPL/MPK=pL/pKQ=10K1/4L3/4.MPL/MPK=pL/pK→10K1/4L-1/4(3/4)/ 10(1/4)K-3/4L3/4=30/10 → 3K/L=3 → K=L. Behelyettesítve a termelési függvénybe: Q=10K1/4L3/4=10K → K*=L*=Q/10. A költség: C(Q)=pKK*+pLL*=10K*+30L*=40Q/10=4Q. (Vagyis a hosszútávú teljes költség arányos a kibocsátással.) A hosszútávú átlatköltség: LAC=C(Q)/Q=4. A hosszútávú határköltség: LMC=C’(Q)=4. (Mint már látuk, ha az MC konstans, akkor AC=MC; itt nincs fix költség.)b) MR=20-0,1Q, MR=MC → 20-0,1Q=4→ Q=160, p=20-0,05160=12; =pQ-C(Q)=12160-4160=1280. c) Mivel MC=AC=4, konstans, ezért a p egyenesnek 4 alatt kellene metszenie a p tengelyt .d) Minimum 4. Ha p*>4, akkor p>LAC, s ekkor a vállalatnak van gazdasági profitja. p*=4 esetén zéró a gazdasági profit (tehát a normál profitnak megfelő profitja van), p*<4 esetén pedig (hosszú távon) vesztesége van a vállalatnak.

13

Q

p

p*

LACLMC

D

MR

Qmon Q*

pmon

12. Ábrázolja és magyarázza meg a monopólium által okozott holtteher-veszteséget! (Ld. szöveg)

13. Tegyük fel, hogy egy piacon szimmetrikus duopólium van, a keresleti függvény (árfüggvény) p=100-0,5Q, s a határköltség mindkét vállalatnál azonos, MC=10, a fix költség FC=0. Tegyük fel, hogy a kiinduló időszakban az 1. vállalat nem veszi figyelembe a másik jelenlétét, s a monopolista mennyiséget termeli. A második vállalat ennek ismeretében hozza meg a döntését a saját termeléséről. Milyen mennyiséget fog termelni a 2. vállalat, s milyen áron tudják eladni az együttes mennyiséget? Mennyit fog termelni erre reagálva az 1. vállalat, milyen ár alakul ki ebben a lépésben? Számítsa ki mindegyik lépés után a két vállalat profitját is! Milyen mennyiségnél állna be az egyensúly?

Megoldás:1. lépés: az 1. vállalat azt hiszi, hogy egyedül van → monopolistaként viselkedik, tehát az MR=MC kritérium alapján meghatározza az optimális kibocsátást: 100-Q=10 → Q1=90, p=55.2. lépés: megjelenik a 2. vállalat, s adottnak veszi az 1. vállalat termelését, s tudva, hogy az ő általa termelt mennyiség befolyásolja az árat (ő is ismeri a keresleti függvényt), úgy határozza meg az általa termelt mennyiséget (Q2), hogy a profitja maximális legyen. A 2. vállalat profitfüggvénye: 2=pQ2-10Q2=(100-0,5(90+Q2))Q2-10Q2=45Q2-0,5Q2

2. (Itt figyelembe vettük, hogy p a teljes mennyiségtől függ, Q=Q1+Q2=90+Q2, továbbá az MC=10, konstans, és FC=0, ezért TC=10Q2.) Az optimális mennyiséget a 2’=0 feltételből kapjuk: 45-Q2=0 → Q2=45. p=100-0,5135=32,5.3. lépés: az 1. vállalat figyelembe veszi, hogy a 2. vállalat 45-öt termel, s ennek megfelelően módosítja a saját termelési döntését, meghatározva a profitmaximalizáló kibocsátást. 1=pQ1-10Q1=(100-0,5(Q1+45))Q1-10Q1=67,5Q1-0,5Q1

2. 1’=0 →67,5-Q1=0 → Q1=67,5, p=100-33,75=66,25.A profitok minden lépés után a 1=pQ1-10Q1 ill. 2=pQ2-10Q2 képletekkel számíthatók ki. Az 1. lépés után 1=9055-900, a 2. lépés után 1=32,590-900, 2=32,545-450. A 3. lépés után 1=66,2567,5-675, 2=66,2545-450.Az egyensúlyi mennyiség kiszámításához először meg kell határozni a reakciófüggvényeket. Itt is a profitmaximalizálást alkalmazzuk, de a másik vállalat termelését csak paraméteresen (a mennyiség jelölésével) adjuk meg, nem számszerűen. A 2. vállalat profitfüggvényét úgy írjuk fel, ahogy a 2. lépésben, azzal a különbséggel, hogy az elsőnek a termelésére nem 90-et írunk, hanem Q1-et, s ezt paraméterként kezeljük: 2=pQ2-10Q2=(100-0,5(Q1+Q2))Q2-10Q2=90Q2-0,5Q1Q2-Q2

2, 2’=0 (itt Q2 a változó, e szerint deriválunk): 90-0,5Q1-Q2=0 → Q2=90-0,5Q1. Ez a 2. vállalat reakciófüggvénye. Mivel a két vállalat teljesen egyforma, az 1. vállalat reakciófüggvénye ugyanilyen lesz, csak az indexeket kell felcserélni: Q1=90-0,5Q2. Egyensúly akkor lesz, ha a vállalatok, egymás termékmennyiségére reagálva, ugyanazt a döntést hozzák, mint az előző lépésben, azaz Q1eredeti → Q2 → Q1új esetén Q1új=Q1eredeti. A reakciófüggvények segítségével ezt úgy fejezhetjük ki, hogy az 1. vállalat reakciófüggvényében a Q2 helyébe beírjuk a 2. vállalat reakciófüggvényét: Q1új=90-0,5(90-0,5Q1eredeti), tehát elhagyva a mennyiségek megkülönböztetését (mivel az az esetet keressük, amikor a kettő azonos), a következő egyenletet kapjuk: Q1=90-0,5(90-0,5Q1) → Q1=60. Természetesen ugyanez lesz a második

14

vállalat egyensúlyi mennyisége is, hiszen nincs különbség a vállalatok között. (Kiszámíthatjuk az egyensúlyi mennyiséget az egyensúlyi mennyiségre levezetett képlettel is: q1=q2=(a-MC)/3b=(100-10)/(30,5)=60.)

13/a. Hogyan módosulna az egyensúlyi mennyiség, ha az egyik vállalat vezető, a másik követő lenne?

Megoldás:Alkalmazhatjuk az erre levezetett képletet, de közvetlenül is kiszámíthatjuk. Képlettel (feltételezve, hogy az 1. vállalat a vezető): q1=(a-MC)/2b=90, q2=(a-MC)/4b=45. Közvetlen számítással: az 1. vállalat profitfüggvényébe beépítjük a 2. vállalat reakciófüggvényét: 1=pQ1-10Q1=(100-0,5(Q1+ 90-0,5Q1))Q1-10Q1= 45Q1-0,25Q1

2; 1’=0 → 45-0,5Q1=0 →Q1=90. Ezt beírva a 2. vállalat reakciófüggvényébe: Q2=90-0,5Q1=45.

*9. Egy piacon van egy domináns vállalat, s több kisebb vállalat („kompetitív szegély”). A piaci keresleti függvény Q=100-p, a domináns vállalat határköltség-függvénye MCdom=10+Qdom/3, a kompetitív szegély határköltség-függvénye MCcomp=15+Qcomp/2.Milyen árat fog megállapítani a domináns vállalat, és mennyi lesz a domináns vállalat és a kompetitív szegély kibocsátása (együtt és külön-külön)? Először vázolja fel a grafikus megoldást, s utána végezze el a számításokat!

[Megoldás (a számítási részhez): Mivel a domináns vállalat által megállapított árra a kis vállalatok árelfogadókként reagálnak, s a p=MC kritérium szerint hozzák a döntéseiket, ezért a p=15+Qcomp/2 a kompetitív szegély kínálati függvénye (árfüggvénye); átalakítva kínálati függvénnyé: Qcomp=2p-30. A domináns vállalat annyit adhat el adott p ár mellett, amennyi a piaci keresletből a kompetitív kínálaton felül marad, tehát a domináns vállalat a következő keresleti függvénnyel számolhat: Qdom=Q-Qcomp=(100-p)-(2p-30)=130-3p. Ebből a domináns vállalat inverz keresleti függvénye: p=130/3-Qdom/3, a határbevételi függvénye pedig: MRdom=130/3-2Qdom/3. Az MCdom=MRdom optimumkritériumból pedig a következő egyenlet adódik: 10+Qdom/3=130/3-2Qdom/3, amiből Qdom=100/3. Ezt behelyettesítve a domináns vállalat keresleti függvényébe (árfüggvényébe), megkapjuk az árat: p=130/3-Qdom/3=130/3-100/9=290/9. Az ennél az árnál eladható összes mennyiség: Q=100-290/9=610/9. A kompetitív szegély termelése: Qcomp=Q-Qdom=610/9-100/3=310/9. Ellenőrzésként ugyanezt kiszámítjuk a kompetitív szegély kínálati függvényéből is, a p=290/9 behelyettesítésével: Qcomp=2p-30=580/9-270/9=310/9.]

10. Tekintsünk egy 2 vállalatból álló kartellt a következő határköltség-függvényekkel: MC1=10+Q1/3, MC2=15+Q2/2. A piaci keresleti függvény Q=100-p. Mi lesz a kartell számára az optimális ár, s mennyi lesz az egyes vállalatok termelése? (Megoldás: p=60, Q1=30, Q2=10. Hasonló feladat részletes megoldással van a szövegben.)

15