136

Théorème de Thalès

EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008Connaissances Capacités Commentaires

3. Géométrie

3.1 Figures planesConfiguration de Thalès

Agrandissement et réduction.

[Reprise du programme de 4e]

– Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux paralèlles coupant deux droites sécantes.

– Connaître et utiliser un énoncé réciproque.

– Agrandir ou réduire une figure en utilisant la conservation des angles et la proportionnalité entre les longueurs de la figure initiale et celles de la figure à obtenir.

Il s’agit de prolonger l’étude commencée en classe de quatrième qui, seule, est exigible dans le cadre du socle commun.

La réciproque est formulée en tenant comte de l’ordre relatif des points sur chaque droite mais, dans le cadre du socle commun, les élèves n’ont pas à distinguer formellement le théorème direct et sa réciproque.L’utilisation d’un logiciel de construction géométrique permet de créer des situations d’approche ou d’étude du théorème et de sa réciproque.

Dans le cadre du socle commun, il est attendu des élèves qu’ils sachent, dans des situations d’agrandissement ou de réduction, retrouver des éléments (longueurs ou angles) de l’une des deux figures connaissant l’autre.En ce qui concerne les longueurs, ce travail se fait en relation avec la proportionnalité.

Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des compétences sont en italiques. Certains commentaires ou exemples d’activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne font pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous les élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d’enseignement du programme.

Ouverture [MN] représente la muraille, [PQ] représente la perche

et O représente le piquet marquant l’emplacement de l’œil de Cyrus Smith. Les longueurs sont exprimées en pieds.

50015

10M

N

Q

P O

x

On a : P ∈ [OM], Q ∈ [ON] et (QP) // (MN).

Donc d’après la propriété de Thalès, on a : =OPOM

PQMN

.

D’où : =x

15500

10, soit : x =

5 00015

≈ 333 pieds.

Je prends un bon départ

QCM

1 B 2 A 3 B

4 C 5 A 6 C

7 SC3 Dans le triangle EDF : D ∈ [EG), F ∈ [EH) et (GH) // (DF).Donc, d’après le théorème de Thalès, on a :

= =EGED

EHEF

HGFD

.

D’où : =59

4DF

, soit : DF = ×4 95

= 7,2 cm.

Et : =59

7EF

, soit : EF = ×7 95

= 12,6 cm.

8 SC3 1. Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et la droite (IJ) parallèle à la droite (BC) coupe le côté [AC] en J. Donc d’après les théorèmes des milieux, J est le milieu de [AC].2. K est le milieu de [BC] et J est le milieu de [AC].D’après la définition d’une médiane, (BJ) et (AK) sont les médianes respectivement issues de B et A du triangle ABC.G étant le point d’intersection de ses deux médianes, il est le centre de gravité du triangle ABC.I est le milieu du côté [AB], donc (CI) est la médiane issue de C du triangle ABC.Le centre de gravité d’un triangle est le point d’intersection de ses médianes donc G appartient à la médiane (CI).On en déduit que les points C, G et I sont alignés.

© É

ditio

ns B

elin

, 201

2.©

Édi

tions

Bel

in, 2

012.

Chapitre 11 Théorème de Thalès 137

points M et N par rapport à A, la droite symétrique de la droite (MN) par rapport à A est la droite (M’N’).Or, la symétrie transforme une droite en une droite parallèle.Donc : (MN) // (M’N’).On sait de plus que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.On en déduit que les droites (M’N’) et (BC) sont aussi parallèles.2. Dans le triangle ABC : M’ ∈ [AB], N’ ∈ [AC] et (M’N’) // (BC).Donc, d’après le théorème de Thalès dans un triangle,

on a : = =AM’AB

AN’AC

M’N’BC

.

3. • Le symétrique de M par rapport à A est M’, donc A est le milieu de [MM’], d’où : AM = AM’.• Le symétrique de N par rapport à A est N’, donc A est le milieu de [NN’], d’où : AN = AN’.• Les symétriques de M et N par rapport à A sont respectivement M’ et N’.Or la symétrie centrale conserve les longueurs, d’où : MN = M’N’.4. On sait que : AM = AM’, AN = AN’, MN = M’N’ et

= =AM’AB

AN’AC

M’N’BC

. On en déduit : = =AMAB

ANAC

MNBC

.

2 Objectif– Conjecturer la réciproque du théorème de Thalès avec un logiciel de géométrie.– Démontrer cette réciproque dans un cas particulier.

A. 1. et 2. Pour la création de points, de droites et de segments avec GeoGebra, se reporter aux pages 16 à 19 de la boîte à outils.3. a.

9 SC3 1. Dans le triangle ABC : M ∈ [AB], P ∈ [AC] et (MP) // (BC).Donc, d’après le théorème de Thalès, on a :

= =AMAB

APAC

MPBC

.

Dans le triangle ACD : P ∈ [AC], R ∈ [AD] et (PR) // (CD).Donc, d’après le théorème de Thalès, on a :

= =APAC

ARAD

PRCD

.

On en déduit : = = = =AMAB

MPBC

APAC

ARAD

PRCD

.

2. D’après 1, on a : =PRCD

AMAB

.

D’où : =PR10

45

, soit : PR = ×4 105

= 8 cm.

10 a. − =xx

3 14

x = 4(x − 3) x = 4x − 12 −3x = − 12 x = 4La solution de l’équation est 4.

b. = +x x25

23

3 × 2x = 5(x + 2) 6x = 5x + 10 x = 10La solution de l’équation est 10.

c. =−x

x27 5

2(x − 5) = 7x 2x − 10 = 7x −5x = 10 x = −2La solution de l’équation est −2.

Activités

1 Objectifs– Conjecturer le théorème de Thalès avec un logiciel de géométrie.– Démontrer ce théorème dans un cas particulier.

A. 1. a., b. et c. Pour la création de points, de droites et de segments avec GeoGebra, se reporter aux pages 16 à 19 de la boîte à outils.2. On remarque que dans les deux cas de figures :

= =AMAB

ANAC

MNBC

.

3. En déplaçant le point M sur la droite (AB) ou en déplaçant les points A, B ou C, on conserve l’égalité

des quotients : = =AMAB

ANAC

MNBC

.

4. On peut dire que lorsque deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, les longueurs des côtés des triangles obtenus sont proportionnelles.B. 1. M’ et N’ étant les symétriques respectifs des

© É

ditio

ns B

elin

, 201

2.

138

On trouve deux positions possibles pour le point N.b. Les conditions que doit vérifier le point N pour que les droites (MN) et (BC) soient parallèles sont :– les points A, N et C sont alignés dans le même ordre que les points A, M et B.

– les quotients AMAB

et ANAC

sont égaux.

B. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 1)

1. On sait que : =ABAM

ACAN

.

• M ∈ [AB], donc : AB = AM + MB • N ∈ [AC], donc : AC = AN + NC

Ainsi : AM MB

AMAN NC

AN+ = +

+ = +1MBAM

1NCAN

D’où : =MBAM

NCAN

2. • Aire de MNC = ×MH NC2

• Aire de MNB = ×NH’ MB2

• Aire de AMN = × = ×MH AN2

NH’ AM2

3. a. • =

×

×=aire de MNB

aire de AMN

NH’ MB2

NH’ AM2

MBAM

• =

×

×=aire de MNC

aire de AMN

MH NC2

MH AN2

NCAN

b. Or : =MBAM

NCAN

.

Donc : =aire de MNBaire de AMN

aire de MNCaire de AMN

.

D’où : aire de MNB = aire de MNC.4. (BK) est la hauteur issue de B du triangle MNB et (CK’) est la hauteur issue de C du triangle MNC.

D’où : aire de MNB = ×MN BK2

et

aire de MNC = ×MN CK’2

Or : aire de MNB = aire de MNC. D’où : BK = CK’.5. a. (BK) est la hauteur issue de B du triangle MNB, donc les droites (MN) et (BK) sont perpendiculaires.(CK’) est la hauteur issue de C du triangle MNC donc les droites (MN) et (CK’) sont perpendiculaires.Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.Donc : (BK) // (CK’).D’après la question 4, on sait que : BK = CK’.Or, si deux côtés d’un quadrilatère non croisé sont parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.Donc BKK’C est un parallélogramme.

De plus, il a un angle droit. Donc BKK’C est un rectangle.b. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles. Donc : (BC) // (KK’).Or K et K’ sont des points de la droite (MN). On en déduit que : (MN) // (BC).

Savoir-faire

11 1., 2. et 3.

M

N

A

C

B

4. On sait que les droites (BC) et (MN) sont parallèles et que les droites (AB) et (AC) sont sécantes en A.Donc, d’après le théorème de Thalès, les longueurs des côtés des triangles ABC et AMN sont proportionnelles.

D’où : = =AMAB

ANAC

MNBC

.

Soit : = =1,26

AN7

MN4

.

• Calcul de AN

=1,26

AN7

, donc : 6 × AN = 1,2 × 7.

D’où : AN = ×1,2 7

6 = 1,4.

La longueur AN est égale à 1,4 cm.• Calcul de MN

=1,26

MN4

, donc : 6 × MN = 1,2 × 4.

D’où : MN = ×1,2 4

6 = 0,8.

La longueur MN est égale à 0,8 cm.

12

O

P

I

K

L

I ∈ [OL], donc : IL = OL − OI = 8 − 5 = 3 cm.I ∈ [PK], donc : IP = PK − IK = 5 − 3 = 2 cm.

=OIIL

53

et =IPIK

23

.

On constate que : ≠OIIL

IPIK

.

O, I et L d’une part, et P, I et K d’autre part sont alignés

et ≠OIIL

IPIK

, donc d’après le théorème de Thalès,

les droites (OP) et (KL) ne sont pas parallèles.

© É

ditio

ns B

elin

, 201

2.

Chapitre 11 Théorème de Thalès 139

13 1.

O

R

T

N

M

2. On sait que les segments [MT] et [NR] se coupent en O, donc les points M, O et T d’une part, et les points N, O et R d’autre part sont alignés dans le même ordre.O ∈ [MT], donc : OT = MT − OM = 17,5 − 7,5 = 10 cm.O ∈ [NR], donc : ON = NR − OR = 14 − 8 = 6 cm.

= =OMOT

7,510

0,75 et = = =ONOR

68

34

0,75.

On a ainsi : =OMOT

ONOR

.

Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (RT) sont parallèles.

14 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 2)

P’

L

G P

15 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 3)

E K F

Exercices

À l’oral

16 a. SC3 = =OGOR

OHOS

GHRS

b. SC3 = =CICL

CKCV

IKLV

c. = =APAM

AHAS

HPMS

d. = =HGHK

HJHI

GJIK

17 a. SC3 On sait que : (MN) // (BC) et M ∈ [AB] et N ∈ [AC]. Donc, d’après le théorème de Thalès, on a :

= =AMAB

ANAC

MNBC

.

M ∈ [AB], donc : AB = AM + MB = 1 + 3 = 4 cm.

Donc : =14

MN8

, soit : MN = 84

= 2 cm.

b. On sait que : (MN) // (BC) et M ∈ [BA) et N ∈ [CA).Donc, d’après le théorème de Thalès,

on a : = =AMAB

ANAC

MNBC

.

Donc : =1,54,5

MN2,1

, soit : MN = × = × =1,54,5

2,113

2,1 0,7 cm.

18 1. Faux. En effet, les quotients égaux sont :

= =CLCI

CVCK

VLIK

.

2. Vrai. En effet, =CLCI

CVCK

, d’où : CL × CK = CI × CV.

19 1. Faux. En effet : =AIIB

32

= 1,5, mais :

=CIID

54

= 1,25.

2. Vrai. En effet, ≠AIIB

CIID

. Donc d’après le théorème de

Thalès, les droites (AC) et (BD) ne sont pas parallèles.

20 Les droites (DC), (FG), (MN) et (EK) sont perpendiculaires à la droite (KD), elles sont donc parallèles entre elles.• Les points A, F et D d’une part, et les points A, G et C d’autre part sont alignés. Alors d’après le

théorème de Thalès, on a : = =AFAD

AGAC

FGDC

.

Or : = =AFAD

26

13

.

13

� 1, donc le triangle AFG est une réduction

du triangle ADC de rapport 13

.

• Les points M, A et D d’une part, et les points N, A et C d’autre part sont alignés. Alors d’après le

théorème de Thalès, on a : = =ANAC

AMAD

MNDC

.

Or : =AMAD

16

.

16

� 1, donc le triangle AMN est une réduction du

triangle ADC de rapport 16

.

• Les points K, A et D d’une part, et les points E, A et C d’autre part sont alignés. Alors d’après le

théorème de Thalès, on a : = =AKAD

AEAC

KEDC

.

Or : = =AKAD

36

12

.

12

< 1, donc le triangle AEK est une réduction

du triangle ADC de rapport 12

.

© É

ditio

ns B

elin

, 201

2.

140

• Les points D, C et K d’une part, et les points F, C et H d’autre part sont alignés et les droites (FD) et (KH) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,

d’où : = =DCCK

FCCH

FDKH

.

25 • Figure 1 SC3 : =+x

x3

12 6 (égalité c)

• Figure 2 : = x26 12

(égalité d)

• Figure 3 SC3 : = −x3 8 6

8 (égalité a)

• Figure 4 : −

=xx8

312

(égalité b)

26 1. Faux. En effet, il faut que les droites (RS) et (AC) soient parallèles.2. Vrai. En effet, d’après les théorèmes des milieux des côtés d’un triangle, M est le milieu de [IK] et [LM] mesure la moitié de [JK].

27 SC3 Les points A, R et B d’une part, et les points A, S et C d’autre part sont alignés et les droites (RS) et (BC) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,

d’où : = =ARAB

ASAC

SRBC

.

• =AR10

915

, soit : AR = ×9 1015

= 6 cm.

• =4,2BC

915

, soit : BC = ×4,2 159

= 7 cm.

28 Les points A, O et S d’une part, et les points B, O et R d’autre part sont alignés et les droites (RS) et (AB) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,

d’où : = =AOOS

BOOR

ABRS

.

• =3RS

210

, soit : RS = ×3 102

= 15 cm.

• =1,5OR

210

, soit : OR = ×1,5 102

= 7,5 cm.

29 1. Les angles alternes internes KLM et MUF définis par les droites (KL) et (UF) et la sécante (KF) sont égaux. On en déduit que les droites (KL) et (UF) sont parallèles.2. M ∈ [LU] et M ∈ [KF] et les droites (KL) et (UF) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,

d’où : = =UMML

FMMK

UFKL

.

• M ∈ [LU], donc : ML = LU – MU = 5,75 − 2,3 = 3,45.

=2,33,45

FM3,6

, soit : FM = ×2,3 3,6

3,45 = 2,4 cm.

• =2,33,45

1,4KL

, soit : KL = ×1,4 3,452,3

= 2,1 cm.

21 a. SC3 Les points A, B et M d’une part, et les points A, C et N d’autre part, sont alignés dans le même ordre.

=ABAM

23

et = =ACAN

2,43,6

23

. On a ainsi : =ABAM

ACAN

.

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (MN) sont parallèles.b. Les points B, A et M d’une part, et les points C, A et N d’autre part, sont alignés dans le même ordre.

= =ABAM

105

2 et = =ACAN

11,45,7

2.

On a ainsi : =ABAM

ACAN

.

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

22 SC3 1. Faux. En effet, l’égalité =ADAE

13 ne permet

pas d’affirmer que : AD = 1 et AE = 3. 2. Vrai. En effet, les points A, D et E d’une part, et les points A, B et C d’autre part, sont alignés dans

le même ordre et : = =ABAC

ADAE

13

.

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BD) et (EC) sont parallèles.

Je m’entraîne

23 I ∈ [EC] et I ∈ [BD]. De plus, ABCD est un parallélogramme donc : (AB) // (DC). Or E ∈ [AB], d’où (EB) // (DC).On peut donc appliquer le théorème de Thalès,

d’où : = =IEIC

IBID

EBDC

.

24 a. SC3 • Les points A, B et E d’une part, et les points A, C et F d’autre part sont alignés et les droites (BC) et (EF) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,

d’où : = =ABAE

ACAF

BCEF

.

• Les points A, C et F d’une part, et les points A, H et G d’autre part sont alignés et les droites (CH) et (FG) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,

d’où : = =ACAF

AHAG

CHFG

.

b. Les points C, E et K d’une part, et les points C, G et H d’autre part sont alignés et les droites (EG) et (KH) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,

d’où : = =CECK

CGCH

EGKH

.

• Les points D, C et E d’une part’ et les points F, C et G d’autre part sont alignés et les droites (EG) et (FD) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,

d’où : = =CDCE

CFCG

FDEG

.

Chapitre 11 Théorème de Thalès 141

• =2,5AC

1,54,5

, soit : AC = ×2,5 4,5

1,5 = 7,5 cm.

• =2AE

1,54,5

, soit : AE = ×2 4,51,5

= 6 cm.

34 • Les points A, M et B d’une part, et les points A, E et F d’autre part sont alignés et les droites (EM) et (BF) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =AMAB

AEAF

MEBF

.

E est un point du cercle �, d’où : AE = 2 cm.F est un point du cercle �’, d’où : AF = 5 cm.

On en déduit : =AMAB

25

.

• Les points D, A et F d’une part, et les points M’, A et B d’autre part sont alignés et les droites (DM’) et (BF) sont parallèles. Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =AM’AB

ADAF

DM’BF

.

D est un point du cercle �, d’où : AD = 2 cm.

On en déduit : =AM’AB

25

.

Donc : = =AMAB

AM’AB

25

.

35 K ∈ [IN], donc : IN = IK + KN = 1,5 + 2,1 = 3,6 cm.J ∈ [IM], donc : IM = IJ + JN = 2,4 + 3,6 = 6 cm.Les points I, J et M d’une part, et les points I, K et N d’autre part sont alignés.

= =IKIN

1,53,6

512

et = =IJIM

2,46

4,812

.

On constate que : ≠IKIN

IJIM

.

Donc d’après le théorème de Thalès, les droites (KJ) et (MN) ne sont pas parallèles. Elles sont donc sécantes.

36 Les segments [AE] et [KL] se coupent en J donc les points A, J et E d’une part, et les points K, J et L d’autre part sont alignés.

=AJJE

2,35

= 0,46 et = =KJJL

2,76

0,92

= 0,45.

On constate que : ≠AJJE

KJJL

.

Donc d’après le théorème de Thalès, les droites (AK) et (LE) ne sont pas parallèles. Elles sont donc sécantes.

37 Les droites (ED) et (FH) sont sécantes en O, donc : O ∈ [ED] et O ∈ [FH].En utilisant les graduations des droites (d) et (d’),

on obtient : =OFOH

34

et =OEOD

24

.

On constate que : ≠OFOH

OEOD

.

Donc d’après le théorème de Thalès, les droites (EF) et (DH) ne sont pas parallèles.

30 1. Les droites (IM) et (JL) se coupent en O et les droites (IJ) et (LM) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,

d’où : = =OIOM

OJOL

IJLM

.

D’où : =IJLM

37

.

2. Les droites (IL) et (JM) se coupent en A et les droites (IJ) et (LM) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,

d’où : = =AIAL

AJAM

IJLM

.

D’où : =3,6AM

37

, soit : AM = ×3,6 7

3= 8,4 cm.

Or J ∈ [AM], donc : JM = AM − AJ = 8,4 − 3,6 = 4,8 cm.

31 SC3 • Les points T, A et M d’une part, et les points T, B et N d’autre part sont alignés et les droites (AB) et (MN) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,

d’où : = =TATM

TBTN

ABMN

.

=TA5

2,48

, soit : TA = ×2,4 5

8= 1,5 m.

A ∈ [TM], donc : AM = TM − TA = 5 − 1,5 = 3,5 m.Le trapèze MABN est isocèle donc : BN = AM = 3,5 m.• AB + BN + MN + AM = 2,4 + 3,5 + 8 + 3,5 = 17,4. Le périmètre de MABN est 17,4 m.• 17,4 × 20 = 348.M. Janville doit isoler 348 m2.

32 • Soit d le diamètre du disque de l’eau contenu dans le pluviomètre.La configuration permet d’appliquer le théorème de Thalès.

On a : d=3,5

10 8 , soit : 10 × d = 3,5 × 8.

D’où : d = ×3,5 8

10 = 2,8.

Le diamètre du disque de l’eau contenu dans le pluviomètre est égal à 2,8 cm.

• Volume du cône d’eau = d× π × ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ×1

3 23,5

2

= × π × ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ × = π1

32,82

3,56,86

3

2.

D’où : � ≈ 7,184 cm3, soit environ 7 mL.

33 SC3 1. Dans le triangle ABD rectangle en D, d’après le théorème de Pythagore :AD2 = AB2 − BD2 = 2,52 − 1,52 = 4.D’où : AD = 2 cm.2. Les droites (BD) et (CE) sont perpendiculaires à la droite (AE), donc elles sont parallèles entre elles. De plus, les points A, B et C d’une part, et les points A, D et E d’autre part sont alignés. Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =ABAC

ADAE

BDEC

.

Thèmes de convergence

© É

ditio

ns B

elin

, 201

2.

142

38 Les segments [IP] et [JM] se coupent en H donc : H ∈ [IP] et H ∈ [JM].H ∈ [IP], d’où : IH = IP – HP = 7 – 5,1 = 1,9 cm.H ∈ [JM], d’où : HM = JM – JH = 2,3 – 0,6 = 1,7 cm.

=IHHP

1,95,1

et = =JHHM

0,61,7

1,85,1

.

On constate que : ≠IHHP

JHHM

.

Donc d’après le théorème de Thalès, les droites (IJ) et (PM) ne sont pas parallèles.

39 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 4)

B

C

DE

F

G

HN

M

40 2. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 5)

C2C1T

A

E

B

R

On trace le cercle (�) de centre T et de rayon 5 et le cercle (�’) de centre T et de rayon 8.Puis on trace une droite passant par T qui coupe le cercle (�) en A et E et le cercle (�’) en B.On trace la droite (BR) puis les parallèles à (BR) passant par A et E. Elles coupent (TR) en C1 et C2.

3. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 6)

D2

D1T

G

BF

R

On trace le cercle (�) de centre T et de rayon 8 et le cercle (�’) de centre T et de rayon 11.Puis on trace une droite passant par T qui coupe le cercle (�) en B et le cercle (�’) en F et G.On trace la droite (BR) puis les parallèles à (BR) passant par F et G. Elles coupent (TR) en D1 et D2.

41 1. E ∈ [FG] et D ∈ [FK] et (ED) // (GK).Donc d’après le théorème de Thalès, le triangle FED est une réduction du triangle FGK de rapport :

k = = =EDGK

1214

67

.

2. [EF] est une réduction du segment [FG] de rapport

k, donc : EF = kFG = = ×67

FG67

11,2 = 9,6 cm.

42 1.

B

C

N

M

A

2. Les points A, M et B d’une part, et les points A, Net C d’autre part sont alignés dans le même ordre.

= =AMAB

814

47

et = = =ANAC

1017,5

2035

47

.

On constate que : =AMAB

ANAC

.

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

43 Les points T, O et S d’une part et les points V, O et R d’autre part sont alignés dans le même ordre.

= =OTOS

7,518

1536

et =OVOR

1536

.

On constate que : =OTOS

OVOR

.

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (TV) et (RS) sont parallèles.

44 1.

D

F

H

G

E

2. Les points E, G et D d’une part, et les points E, H et F d’autre part sont alignés dans le même ordre.De plus : G ∈ [ED] donc : ED = EG + GD = 7 + 5 = 12 cm.

D’où : =EGED

712

.

© É

ditio

ns B

elin

, 201

2.

Chapitre 11 Théorème de Thalès 143

D’autre part : = = =EHEF

10,518

2136

712

.

On constate que : =EGED

EHEF

.

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (GH) et (DF) sont parallèles.

45 1. Vrai. En effet : les points A, C et E d’une part, et les points A, B et D d’autre part sont alignés dans

le même ordre. De plus : = =ACAE

ABAD

23

, donc

d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

2. Faux. En effet : = =AGAC

1,53

12

et =AFAB

1,22

,

d’où : ≠AGAC

AFAB

. Donc d’après le théorème de Thalès,

les droites (GF) et (BC) ne sont pas parallèles.3. Faux. En effet : (BC) est parallèle à (DE) et (BC) et (GF) ne sont pas parallèles, donc (DE) et (GF) ne sont pas parallèles. 4. Vrai. En effet, d’après a., les droites (BC) et (DE) sont parallèles, on peut donc appliquer le théorème

de Thalès. D’où : = = =ACAE

ABAD

BCDE

23

.

46 1. D

OA

B

C

2. Les points B, O et D d’une part, et les points A, O et C d’autre part sont alignés dans le même ordre.

= = =OAOC

1,75,1

1751

13

et = = =OBOD

1,23,6

1236

13

.

On constate que : =OAOC

OBOD

.

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.On en déduit que le quadrilatère ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD].3. OA = 1,7 cm et OC = 5,1 cm, donc : OA ≠ OC.Les diagonales de ABCD ne se coupent pas en leur milieu, donc ABCD ne peut pas être un parallélogramme.

47 1. • Les points A, F et G d’une part, et les points A, B et C d’autre part sont alignés dans le même ordre et les droites ( BF) et (CG) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,

d’où : = =AFAG

ABAC

FBGC

.

B ∈ [AC], donc : AC = AB + BC = 5 + 4 = 9.

D’où : =3AG

59

, soit : AG = ×3 95

= 5,4 cm.

• F ∈ [AG], donc : FG = AG – AF = 5,4 – 3 = 2,4 cm.

2. Les points D, A et B d’une part, et les points E, A et F d’autre part sont alignés dans le même ordre.

=ADAB

75

= 1,4 et =AEAF

4,23

= 1,4.

On constate que : =ADAB

AEAF

.

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (ED) et (BF) sont parallèles.

48 • Méthode n° 1 Les segments [AB] et [EF] ont le même milieu O.Or, si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.Donc AEBF est un parallélogramme et par conséquent, les droites (AE) et (BF) sont parallèles.• Méthode n° 2 Les segments [AB] et [EF] ont le même milieu O, on a donc : OA = OB et OE = OF.Les points A, O et B d’une part, et les points E, O et F d’autre part sont alignés dans le même ordre.OAOB

= 1 et OEOF

= 1.

On constate que : =OAOB

OEOF

.

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AE) et (BF) sont parallèles.

brevetJe m’entraîne au

49 SC3 1. • Question : Calculer RA.• Réponse : Les points R, A et O sont alignés dans cet ordre, donc :RA = OR – OA = 6,84 – 3,8 = 3,04 cm.2. • Question : Calculer OK.• Réponse : Les points R, A et O d’une part, et les points R, S et K d’autre part sont alignés et les droites (SA) et (OK) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =RAOR

RSKR

SAOK

.

D’où : =3,046,84

5OK

, soit : OK = ×5 6,843,04

= 11,25 cm.

3. • Question : Calculer le périmètre du triangle ROK.• Réponse : KR + OR + OK = 7,2 + 6,84 + 11,25 = 25,29.Le périmètre du triangle ROK est égal à 25,29 cm.

50 1. [JK] est le côté le plus long du triangle JKL.JK2 = 62 = 36 et JL2 + KL2 = 3,62 + 4,82 = 36.On obtient ainsi : JK2 = JL2 + KL2.Donc d’après le théorème de Pythagore, le triangle JKL est rectangle en L.2. Le triangle IJM est inscrit dans le cercle � de diamètre [IJ].Or, si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un de ses côtés, alors il est rectangle et son hypoténuse est ce côté.Donc IJM est rectangle en M.

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, 201

2.

144

3. CDE est un angle droit. Or un agrandissement conserve les angles.Donc CAB est un angle droit et par conséquent, le triangle ABC est rectangle en A.

54 1. E ∈ [RD], donc RD = RE + ED = 3 + 1,5 = 4,5 cm.Les points R, E et D d’une part, et les points R, C et U d’autre part sont alignés dans le même ordre.

= =RERD

34,5

23

et =RCRU

23

.

On constate que : =RERD

RCRU

.

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EC) et (DU) sont parallèles.2. Les points R, E et D d’une part, et les points R, C et U d’autre part sont alignés et les droites (EC) et (DU) sont parallèles.RE < RD, donc d’après le théorème de Thalès, le triangle RDU est un agrandissement du triangle REC

de rapport : k = =RDRE

4,53

= 1,5.

55 1. et 3. B

F CA

G

2. [AC] est le côté le plus long du triangle ABC.AC2 = 12,52 = 156,25 et AB2 + BC2 = 7,52 + 102 = 156,25.On constate que : AC2 = AB2 + BC2.Donc d’après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.4. Les points C, F et A d’une part, et les points C, G et B d’autre part sont alignés dans le même ordre.

= =CFAC

512,5

25

et = =CGBC

410

25

.

On constate que : =CFAC

CGBC

.

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (FG) sont parallèles.5. Les points C, F et A d’une part, et les points C, G et B d’autre part sont alignés et les droites (AB) et (FG) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =CFAC

CGBC

FGAB

.

D’où : =FG7,5

25

, soit : FG = ×2 7,55

= 3 cm.

6. D’après la question 2, le triangle ABC est rectangle en B, donc les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires et d’après la question 4, les droites (AB) et (FG) sont parallèles.Donc, les droites (FG) et (BC) sont perpendiculaires.

3. • JKL est rectangle en L, donc les droites (LK) et (JL) sont perpendiculaires.IJM est rectangle en M, donc les droites (IM) et (JL) sont perpendiculaires.On en déduit que les droites (IM) et (LK) sont parallèles.De plus, les points I, J et K d’une part, et les points M, J et L d’autre part sont alignés.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =IJJK

JMJL

IMLK

.

D’où : =96

JM3,6

, soit : JM = ×9 3,66

= 5,4 cm.

51 Les points H, M et N d’une part, et les points H, B et C d’autre part sont alignés dans le même ordre.HC = HB + BC = 1,60 + 2,40 = 4 m.

=HMHN

0,802

= 0,40 et =HBHC

1,604

= 0,40.

On constate que : =HMHN

HBHC

.

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BM) et (NC) sont parallèles.On en déduit que les échelles sont parallèles.

52 1. Les points G, I et Y d’une part, et les points P, I et T d’autre part sont alignés dans le même ordre.

=GIIY

71,4

= 5 et =IPTI

51

= 5.

On constate que : =GIIY

IPTI

.

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (PG) et (YT) sont parallèles.2. Les points G, I et Y d’une part, et les points P, I et T d’autre part sont alignés et les droites (PG) et (YT) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =GIIY

IPTI

GPYT

.

D’où : GP0,8

= 5, soit : GP = 5 × 0,8 = 4 cm.

GP + IP + IG = 4 + 5 + 7 = 16 cm.Le périmètre du triangle IGP est égal à 16 cm.

53 1. Les points D, C et A d’une part, et les points E, C et B d’autre part sont alignés dans le même ordre.

= =DCCA

1030

13

et = =ECCB

1442

13

.

On constate que : =DCCA

ECCB

.

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (DE) et (AB) sont parallèles.2. Les droites (AD) et (BE) se coupent en C et les droites (DE) et (AB) sont parallèles.AC = 3 CD, donc d’après le théorème de Thalès, le triangle ABC est un agrandissement du triangle DEC dans le rapport 3.

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2.

Chapitre 11 Théorème de Thalès 145

d’où : = =OIOP

OJOM

IJPM

.

=OJOM

IJPM

, d’où : OM × IJ = OJ × PM.

Or IJKL est un parallélogramme, donc ses côtés opposés sont de même longueur.D’où : IJ = LK.On obtient ainsi : OM × LK = OJ × PM.

67 1. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°.Dans OVR : ORV = 180 – (OVR + VOR) = 180 – (80 + 40) = 60°.Les angles ORV et OTS sont de même mesure et sont alternes internes. Donc les droites (ST) et (RV) sont parallèles.2. Les points S, O et V d’une part, et les points T, O et R d’autre part sont alignés et les droites (ST) et (RV) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =OSOV

OTOR

STRV

.

• =34,8

3,4OR

, soit : OR = ×3,4 4,83

= 5,44 cm.

• =34,8

ST3,5

, soit : ST = ×3 3,54,8

= 2,187 5 cm.

68 • On schématise la situation :L : lampe O : centre du disque D : point du disque tel que OD soit un rayon O’ : centre de l’ombreE : point tel que O’E soit un rayon de l’ombre OD = 6 cm = 0,06 m(OD) // (O’E)OL = 1 m OO’ = 2,5 m• Les points L, O et O’ d’une part, et les points L, D et E d’autre part sont alignés et les droites (OD) et (O’E) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =LOLO’

LDLE

ODO’E

O ∈ [LO’], donc : LO’ = LO + OO’ = 1 + 2,5 = 3,5 m.

=13,5

0,06O’E

, soit : O’E = ×3,5 0,061

= 0,21 m = 21 cm.

Le rayon de l’ombre est de 21 cm et par conséquent son diamètre est de 42 cm.

69 1. AD = 1,20 m ; DE = 1 m ; EF = 1,50 m.Le puits et Théo sont perpendiculaires au sol, donc (AB) et (EF) sont parallèles.

L O’O

D

E

B

AD E

F

C

J’approfondis

64 1. Les points C, L et T d’une part, et les points D, L et I d’autre part sont alignés dans le même ordre.

aa

=LILD

7,53

= 2,5 et LTLC

52

aa

= = 2,5.

On constate que : =LILD

LTLC

.

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (IT) et (CD) sont parallèles.2. Les points C, L et T d’une part, et les points D, L et I d’autre part sont alignés et les droites (IT) et (CD) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =LILD

LTLC

ITCD

.

D’où : a

IT4

= 2,5 , soit : IT = 4a × 2,5 = 10a.

65 1. Les points M, I et K d’une part, et les points N, I et J d’autre part sont alignés dans le même ordre.D’après la réciproque du théorème de Thalès :

si =MIIK

NIIJ

, alors les droites (MN) et (JK) sont

parallèles.

=MIIK

NIIJ

s’écrit : + =xx

5 33

105

5(5x + 3) = 10 × 3x 25x + 15 = 30x 25x – 30x = –15 –5x = –15 x = 3Il faut donc que x soit égal à 3 cm pour que les droites (JK) et (MN) soient parallèles.2. a. • IK = 3 × 3 = 9 cm.• IM = 5 × 3 + 3 = 15 + 3 =18 cmb. Toutes les longueurs de la figure sont multipliées

par 12

.

NM

I

J K

66 IJKL est un parallélogramme, donc ses côtés opposés sont parallèles.D’où : (IJ) // (LK).De plus : K ∈ [PM] et L ∈ [PM]. On en déduit que : (IJ) // (PM).I ∈ [OP] et J ∈ [OM] et (IJ) // (PM), on peut donc appliquer le théorème de Thalès,

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2.

146

Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =O’AO’D

O’IO’K

AIDK

.

• Les points O’, B et C d’une part, et les points O’, I et K d’autre part sont alignés et les droites (IB) et (CK) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =O’BO’C

O’IO’K

IBCK

.

On en déduit : =IBCK

AIDK

.

Or I est le milieu de [AB], donc IB = AI, d’où : CK = DK.Or K ∈ [DC], donc K est le milieu de [DC].Or J est aussi le milieu de [DC], donc les points J et K sont confondus.4. Et comme O, I et J ainsi que O’, I et J sont alignés, on en déduit que les points O’, I , O et J sont alignés.

72 1. a. et b.

B

A

DP

M

N

C

2. Les points C, D et P d’une part, et les points C, A et N d’autre part sont alignés et les droites (AD) et (PN) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =CACN

CDCP

DAPN

.

=CDCP

DAPN

, d’où : CD × PN = CP × DA,

soit : PN = ×DA CP

CD.

3. Les points B, P et D d’une part, et les points B, M et A d’autre part sont alignés et les droites (PM) et (AD) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =BMBA

BPBD

PMDA

.

=BPBD

PMDA

, d’où : BD × PM = BP × DA,

soit : PM = ×BP DABD

.

4. PM + PN = × + ×BP DABD

DA CPCD

.

D est le milieu de [BC], donc : BD = CD.

D’où : PM + PN = × + × = × +BP DABD

DA CPCD

DA (BP CP)BD

.

Or, P ∈ [BD] et D milieu de [BC] donc : BP + CP = BC = 2 × BD.On en déduit : PM + PN = 2 × AD.

2. Les points A, D et E d’une part, et les points F, D et B d’autre part sont alignés et les droites (EF) et (AB) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =DFDB

DEDA

EFAB

.

=11,20

1,50AB

, soit : AB = ×1,50 1,201

= 1,8 m.

La profondeur du puits est de 1,8 m.

70 • B ∈ [AC) et M ∈ [AN) et les droites (MB) et (NC) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =ABAC

AMAN

BMCN

.

• M ∈ [AN) et E ∈ [AF) et les droites (ME) et (NF) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =AMAN

AEAF

MENF

.

On en déduit que : =ABAC

AEAF

.

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BE) et (CF) sont parallèles.

71 1.

B

A

D

O

O’

I

JK C

2. • Les points A, O et C d’une part, et les points I, O et J d’autre part sont alignés et les droites (AI) et (JC) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =AOOC

AIJC

IOOJ

.

• Les points B, O et D d’une part, et les points I, O et J d’autre part sont alignés et les droites (IB) et (DJ) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =OBOD

IBJD

IOOJ

On en déduit : =IBJD

AIJC

.

Or I est le milieu de [AB], donc : IB = AI, d’où : JD = JC.Or J ∈ [DC], donc J est le milieu de [DC].3. • Les points O’, A et D d’une part, et les points O’, I et K d’autre part sont alignés et les droites (AI) et (DK) sont parallèles.

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2.

Chapitre 11 Théorème de Thalès 147

73 1., 2. et 3. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 7)

On conjecture que : périmètre de AMED = périmètre de MLDK + AM4. • ABCD est un rectangle et les droites (AD) et (ML) sont parallèles, donc AMED est un rectangle.�AMED = 2 × AM + 2 × AD = 2a + 6.• Les droites (KM) et (BD) sont parallèles et les points A, M et B d’une part, et les points A, K et D d’autre part sont alignés.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =AMAB

AKAD

KMBD

.

=AMAB

AKAD

, d’où : a =4

AK3

, soit : AK = a3

4.

• ABCD est un rectangle, donc le triangle ABD est rectangle en A.Donc d’après le théorème de Pythagore, on a : BD2 = AB2 + AD2. Soit : BD2 = 42 + 32 = 25, d’où : BD = 5.

• =AMAB

KMBD

, d’où : 4

KM5

a = , soit : KM = a5

4.

• Les droites (KD) et (LM) et les droites (DL) et (KM) sont parallèles, donc MLDK est un parallélogramme. D’où : �MLDK = 2 × KM + 2 × DK.

Or, K ∈ [AD], donc : DK = AD – AK = 3 – a3

4.

On obtient ainsi :

�MLDK = a a a a× + × −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = + −2

54

2 334

104

664

= 6 + a.

On en déduit : �MLDK + AM = 6 + a + a = 6 + 2a = �AMED.

74 • Les points A, O et A’, les points B, O et B’ et les points C, O et C’ sont alignés et les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles ainsi que les droites (AC) et (A’C’) et les droites (BC) et (B’C’).Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =OAOA’

OBOB’

ABA’B’

; = =OAOA’

OCOC’

ACA’C’

;

= =OCOC’

OBOB’

BCB’C’

.

On en déduit que : = =ABA’B’

ACAC’

BCB’C’

.

BC � B’C’, donc A’B’C’ est un agrandissement du

triangle ABC de rapport : =B’C’BC

4,53

= 1,5.

75 1. Faux. En effet, on ne sait pas si les droites (MN) et (BC) sont parallèles.2. Faux. En effet, il y a le milieu du segment [AB] et un autre point de (AB) n’appartenant pas à [AB].3. Faux. En effet, si le schéma n’est pas aux bonnes dimensions, on ne sait pas si OR est plus grand que OT. 4. Vrai. En effet, on peut appliquer le théorème de

Thalès, donc : = =AMAB

ANAC

MNBC

.

Or, M ∈ [AB], donc : AM = AB – MB.N ∈ [AC], donc : AN = AC – NC.

=AMAB

ANAC

, d’où : − = −AB MBAB

AC NCAC

,

soit : − = −1MBAB

1NCAC

.

D’où : =MBAB

NCAC

.

76 On obtient le point M comme point d’intersection de [AD] et de la parallèle à (DK) passant par B.En effet, M appartient à [AD], donc les points A, M et D ainsi que les points A, B et K sont alignés et les droites (MB) et (DK) sont parallèles. Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

= =ADAM

AKAB

DKMB

.

=ADAM

AKAB

, d’où : AB × AD = AK × AM,

soit : �ABCD = �AKLM.

77

BAO

EFG D

M

N

C

En traçant les parallèles à la droite (OA) passant par M et N, on partage la figure en neuf rectangles superposables.Les trois carrés étant de mêmes dimensions, les rectangles obtenus ont la même longueur.

De plus : OA = 13

OC ; OA = 12

OB ; OB = 23

OC.

D’après le théorème de Thalès dans les triangles OMA et ODC, OMA et ONB, ONB et ODC :

AM = 13

DC ; AM = 12

NB ; BN = 23

DC.

On en déduit que ces rectangles ont la même largueur.

Argumenter et débattre

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2.

148

78 2. Le point de fuite F se trouve à l’intersection des droites (AA’) et (BB’).3. c. Les longueurs des côtés des triangles FAB et FA’B’ sont proportionnelles, ainsi que les longueurs des côtés des triangles FBC et FB’C’.4. La colonne [BC] est un agrandissement de la

colonne [B’C’] dans le rapport k = =BCB’C’

ABA’B’

.

5. • Dans la réalité, les droites (AA’) et (BB’) sont parallèles dans le plan du sol et les droites (BB’) et (CC’) sont parallèles dans le plan vertical des colonnes [BC] et [B’C’].

Atelier découverte • Dans la réalité, les colonnes [BC] et [B’C’] ont la même taille.6. On peut ajouter :a. Les triangles FBC et FAB semblent isocèles en F.b. • Les angles FBC et FB’C’ sont alternes-internes déterminés par les droites parallèles (BC) et (B’C’) coupées par la droite (BB’). On a donc : FBC = FB’C’.• Les angles FBA et FB’A’ sont alternes-internes déterminés par les droites parallèles (AB) et (A’B’) coupées par la droite (BB’). On a donc : FBA = FB’A’.c. Dans la réalité, le point F n’existe pas. Les angles A’B’C’, ABC, B’BC sont droits.

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