Théorème de Thalès Exercices corrigés · Théorème de Thalès – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 3 Soit la figure ci-contre. On sait que les droites

Théorème de Thalès – Exercices corrigés

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Sont abordés dans cette fiche :

Exercices 1, 2 et 3 : calculs de longueurs

Exercice 4 : partage d’un segment sans règle graduée

Exercice 5 : problème avec plusieurs configurations de Thalès

Exercice 6 : agrandissement d’une figure, détermination d’un facteur d’agrandissement

Rappel : Théorème de Thalès

Soient deux droites et sécantes en un point .

Soient deux points et de , distincts de .

Soient deux points et de , distincts de .

Si les droites et sont parallèles, alors d’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :

Trois configurations sont envisageables :

Les points , et sont alignés

dans cet ordre.


dans cet ordre.


dans cet ordre.


dans cet ordre.


dans cet ordre.


dans cet ordre.

𝐴

𝑀

𝑁

𝐶

𝐵

𝑑

𝑑

𝐴

𝐵

𝐶

𝑁

𝑀

𝑑

𝑑

𝐴

𝑀

𝑁

𝐵

𝐶

𝑑

𝑑

Théorème de Thalès

Exercices corrigés



2

Remarque importante :

Les longueurs des côtés du triangle sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle .

Dans les conditions ci-dessus, on peut donc présenter la double égalité sous la forme d’un tableau de

proportionnalité :

Côtés portés

par la droite

Côtés portés

par la droite

Côtés portés

par les droites parallèles

Côtés

du triangle

Côtés

du triangle

A quoi sert le théorème de Thalès ?

à calculer une longueur

à partager un segment et placer sur un segment un point en respectant un rapport donné

à agrandir ou réduire une figure



3

Soit la figure ci-contre.

On sait que les droites et sont parallèles

et que , et .

Calculer .

Analysons tout d’abord la figure et récapitulons les

informations fournies par l’énoncé.

D’après la figure ci-contre, les droites et

sont sécantes en .

D’après l’énoncé, on sait par ailleurs que et

sont parallèles.

Enfin, on sait que :

Proposons désormais une correction détaillée, étape par étape, de l’exercice.

1ère

étape : On repère la configuration de Thalès.

On sait que :

1) les droites et sont sécantes en (d’après la figure)

2) les droites et sont parallèles (d’après l’énoncé)

2ème

étape : On précise le théorème auquel on va faire appel.

Donc, d’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :

𝐴

𝐵 𝐶

𝑀 𝑁

𝐴

𝐵 𝐶

𝑀 𝑁

Exercice 1 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1

La configuration proposée réfère

donc à la 1ère

configuration

mentionnée dans le rappel. En

effet, les points 𝐴 , 𝑀 et 𝐵 sont

alignés dans cet ordre, et les points

𝐴 , 𝑁 et 𝐶 sont alignés dans cet

ordre.



4

3ème

étape : On applique le théorème de Thalès en prenant le soin de bien écrire les égalités.

4ème

étape : On remplace les longueurs connues par leurs mesures respectives, exprimées dans la

même unité.

C’est-à-dire, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives,

5ème

étape : On isole l’égalité utile pour résoudre l’équation.

Par conséquent, on a :

D’où, en utilisant le produit en croix :

6ème

étape : On conclut.

La longueur du segment , notée , est égale à .

Remarques : Dans cet exercice, il n’est précisé aucune unité de longueur donc il n’y a pas lieu d’écrire quelque

unité de longueur que ce soit (cm, m, km…). Sinon, ce serait une erreur ! On voit donc bien là l’importance de

lire attentivement l’énoncé et la figure, puisque l’un comme l’autre peuvent imposer une unité de longueur et

par conséquent induire un certain résultat.

Sur la figure ci-contre, on a noté différentes longueurs connues. On sait

par ailleurs que les droites et sont parallèles.

1- Calculer .

2- En déduire la longueur du segment .

𝐸

𝐼

𝑆

𝑂

𝐵

𝑚

𝑚

𝑚

Exercice 2 (2 questions) Niveau : facile

Il faut toujours

veiller à écrire une

fraction sous sa

forme

irréductible.

La mesure de la

longueur 𝐴𝐵 « tombe

juste » (il s’agit d’un

nombre décimal), donc

on peut aussi écrire :

𝐴𝐵 ,



5

1-

D’après la figure, on sait que les droites et sont sécantes en .

On sait par ailleurs, d’après l’énoncé, que les droites et sont parallèles.



D’où l’égalité :

A l’aide d’un produit en croix, on obtient donc que :

La longueur du segment , notée , est égale à mètres.

2-

donc . D’où, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives,

l’égalité suivante : .

Par conséquent, .

Le segment mesure 6 mètres.

Remarque : Dans cet exercice, l’unité de longueur est commune à tous les segments puisqu’il s’agit du mètre.

Il ne faut jamais oublier d’exprimer chacune des mesures dans la même unité afin de ne pas fausser les calculs.




6

Dans les deux cas suivants, les droites et sont parallèles. Calculer la longueur .

Cas n° 1 :

Cas n° 2 :

Cas n°1 :

D’après la figure, les droites et sont sécantes en .






La longueur est égale à .

Cas n°2 :

D’après la figure, les droites et sont sécantes en .

𝐴

𝐵 𝐶

𝑁

𝑀

𝑥

𝐴

𝐶 𝐵

𝑁

𝑀

𝑥

Exercice 3 (2 questions) Niveau : moyen




7




En effet, .



Résolvons l’équation .

⏟

équivaut à ⏟

, c’est-à-dire .

D’où : .

Ainsi, .

La longueur est égale à , .

Tracer un segment . Placer le point sur tel que , sans règle graduée.

Traçons un segment puis plaçons le point sur tel que , sans règle graduée.

Attention ! Il ne faut

pas oublier les

parenthèses.

𝑘 𝐴 𝐵 𝑘 𝐴 𝑘 𝐵

Pour supprimer les parenthèses, on utilise

la distributivité de la multiplication sur

l’addition :

Exercice 4 (1 question) Niveau : moyen




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1- Commençons par tracer un segment de longueur quelconque.

2- Traçons désormais une demi-droite , que nous allons graduer régulièrement à l’aide du compas, de

sorte à obtenir segments de longueur identique.

3- Plaçons dorénavant les points et sur la

demi-droite tels que et .

4- Traçons maintenant la droite parallèle à

et passant par . Cette droite coupe le

segment en un point que nous

appellerons . Il s’agit du point recherché.

Quelques explications pour bien comprendre :

Les droites et sont sécantes en . D’autre part, par construction, les droites et sont

parallèles. Toutes les conditions sont par conséquent réunies pour pouvoir appliquer le théorème de Thalès.

D’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :

𝐴 𝐵

𝐴 𝐵

𝑥

𝐴 𝐵

𝑥

𝐴 𝐵

𝑥

𝑁

𝐶

𝐴 𝐵

𝑥

𝑁

𝐶

𝑀



9

Or, par construction, on a l’égalité suivante :

C’est-à-dire :

Par conséquent, on obtient que :

C’est-à-dire :

Il en résulte, après un produit en croix, que :

On a donc bien placé le point tel que .

est un trapèze de bases et et de centre . On appelle J le point de concours des droites et

. Comparer les rapports de longueurs

et

.

est un trapèze de bases et et de centre . On appelle J le point de concours des droites et

. Commençons par tracer la figure.

Exercice 5 (1 question) Niveau : difficile




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1ère

étape : Cherchons à identifier le rapport de longueurs

.

D’une part, par construction, les droites et sont sécantes en .

D’autre part, comme est un trapèze de bases et , les droites et sont parallèles.

Par conséquent, d’après le théorème de Thalès, on a la double égalité suivante :

2ème

étape : Cherchons à identifier le rapport de longueurs

.

D’une part, par construction, est le centre du trapèze donc est le point d’intersection des diagonales

et . Autrement dit, les droites et sont sécantes en .

D’autre part, comme est un trapèze de bases et , les droites et sont parallèles.

Par conséquent, d’après le théorème de Thalès, on a la double égalité suivante :

3ème

étape : Comparons les rapports de longueurs

et

.

D’après ce qui précède, on a :

et

On a donc en particulier :

et

Il s’ensuit que :

𝐽

𝐴 𝐵

𝐷 𝐶

𝐼



11

1- Pourquoi le triangle ci-contre est-il un

agrandissement du triangle ?

2- Déterminer le facteur d’agrandissement.

Rappel : Agrandissement ou réduction d’une figure

Une figure est une RÉDUCTION ou un AGRANDISSEMENT d’une autre figure :

si les angles de ont les mêmes mesures que ceux de

ou si toutes les longueurs de la figure sont proportionnelles aux longueurs de la figure

Le FACTEUR de réduction ou d’agrandissement correspond au coefficient de proportionnalité .

Si , on a un agrandissement.

Si , on a une réduction.

Remarque : Lorsque est une réduction ou un agrandissement de , et sont dites SEMBLABLES.

1- Montrons que le triangle est un agrandissement du triangle .

1ère

démonstration possible :

D’une part, et , donc

D’autre part, d’après le codage de la figure, les triangles

et sont respectivement rectangles en et , donc

.

Enfin, les droites et sont toutes les deux

perpendiculaires à une même droite, la droite , donc les

droites et sont parallèles entre elles. Les angles

et sont alors correspondants. Donc .

𝐶

𝑅 𝑈

𝑂 𝐿

𝐶

𝑅 𝑈

𝑂 𝐿

Exercice 6 (2 questions) Niveau : facile




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En résumé, les triangles et sont semblables puisqu’ils ont les mêmes mesures d’angles. Autrement

dit, le triangle est un agrandissement du triangle .

2ème

démonstration possible :

Propriété :

Soient deux droites et sécantes en un point . Si et sont deux points de , distincts de , si

et sont deux points de , distincts de , et si les droites et sont parallèles, alors le triangle

est une réduction ou un agrandissement du triangle .

D’une part, les droites et sont sécantes en .

D’autre part, et .

Enfin, d’après le codage de la figure, les droites et sont toutes deux perpendiculaires à une même

droite, la droite donc les droites et sont parallèles entre elles.

Par conséquent, le triangle est un agrandissement du triangle .

2- Déterminons le facteur d’agrandissement.

D’après la question précédente, le triangle est un agrandissement du triangle . Donc les longueurs de

sont proportionnelles aux longueurs de . D’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :

Or, d’après la figure, et . Donc :

Par un produit en croix, on a :

Par conséquent, le triangle est un agrandissement du triangle par le facteur d’agrandissement .

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