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Théorème de Thalès

« La véritable beauté est celle de l'âme. » Thalès de Milet

I. Homothéties

Définition

Soit un point O, qu’on appellera centre, et un nombre k, qu’on appellera rapport. Si M est un point, l’image de M par l’homothétie de centre O et de rapport k est :

si k est positif : le point M’ appartenant à [OM) tel que OM’ = k × OM si k est négatif : le point M’ appartenant à [MO) tel que OM’ = - k × OM

Étymologie Le mot « homothétie » est composé des deux éléments d'origine grecque, le préfixe homo- pour « semblable » et thesis pour « position ». Il traduit la correspondance entre deux figures de même forme et de même orientation.

Exemple

Toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre k. Le nombre k est plus grand que 1 (k > 1). k s’appelle un rapport ou un coefficient d’agrandissement.

Pour une réduction, le nombre k’ est plus petit que 1 (0 < k’ < 1) et il s’appelle rapport ou coefficient de réduction.

Les dimensions d’une figure après un agrandissement ou une réduction sont proportionnelles aux dimensions de la figure initiale.

petit triangle Côtés de ABC AB AC BC

grand triangle Côtés de AMN AM AN MN

Remarque

De on déduit

et donc que les nombres et sont inverses

.

Sur cette figure nous avons et et . On peut dire que le triangle est un agrandissement du triangle .

Sur cette même figure On peut dire que le triangle est un réduction du triangle .

× k

Cours de mathématiques 3e Théorème de Thalès

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II. Théorème de Thalès

A. Enoncé

Théorème de Thalès Soit des points du plan tels que les droites et soient sécantes en .

Si est parallèle à alors

Exemples : 3 cas de figure peuvent se présenter

Remarque Le triangle AMN est l’image du triangle ABC par une homothétie de centre A.

B. Applications

1. Calculer une longueur

Enoncé Sur la figure ci-contre on donne : ED = 6 cm, BE = 5 cm, BA = 7 cm et BC = 6 cm. On sait que (ED) est parallèle à (AC). Calculer BD et AC. Rédaction type On sait que :

- (EC) et (AD) sont deux droites sécantes en B. - (ED) est parallèle à (AC)

Donc, d’après le Théorème de Thalès, on a : B B

B B= =

E D

C A

ED

CA, c’est-à-dire

5 BD 6= =

6 7 CA.

Calcul de BD : on prend 5 BD

=6 7

d’où par un produit en croix on a 7 × 5 35

BD = = = 5,83 cm6 6

.

Calcul de CA : on prend 5 6

=6 CA

d’où par un produit en croix on a 6 × 6 36

CA = = = 7,2 cm5 5

.

Cours de mathématiques 3e Théorème de Thalès

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2. Montrer que des droites ne sont pas parallèles

Enoncé Sur la figure ci-contre on donne : OE = 5 cm , EF = 5 cm, OB = 3 cm et BC = 2,5 cm. Les droites (CF) et (EB) sont-elles parallèles ? Rédaction type (raisonnement par l'absurde) On sait que :

- et sont sécantes en O.

- D’après le théorème de Thalès : Si les droites et sont parallèles alors

.

Mais OE 5 5 1

= = =OF 5 + 5 10 2

.

OB 3 3 30 6= = = =

OC 3 + 2,5 5,5 55 11.

On en déduit que : OE OB

OF OC .

Donc les droites (EB) et (CF) ne sont pas parallèles.

III. Réciproque du théorème de Thalès

Réciproque du théorème de Thalès

Soit A, B, C, M, N des points du plan tels que les droites (BM) et (CN) soient sécantes en A, avec B, C, M, N distincts de A.

Si AMAB

= ANAC

et si les points A, M, B sont dans le même ordre que les points A, N, C,

alors (MN) est parallèle à (BC). Enoncé

Sur la figure ci-contre on donne : MR = 3 cm, MS = 4,5 cm, MV = 12 cm et ML = 18 cm. Les droites (RS) et (VL) sont-elles parallèles ? Rédaction type On sait que :

- (RV) et (SL) sont sécantes en M. - M, R, V et M, S, L sont alignés dans le même ordre.

Or, MR

MV =

3

12 =

1

4 = 0,25

MS

ML =

4,5

18 =

1

4 = 0,25.

On en déduit que : MR

MV=

MS

ML.

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, (RS) est parallèle à (VL).