Test INVALI e OCSE -PISA: quali competenze inmatematica?

Brunetto Piochi (Università di Firenze)Brunetto Piochi (Università di Firenze)

per alcune diapositive sono debitore a:per alcune diapositive sono debitore a: Stefania Pozio (Stefania Pozio (Università Roma “La Sapienza”) e Università Roma “La Sapienza”) e Giorgio Bolondi (INVALSI)Giorgio Bolondi (INVALSI)

Come utilizzare i risultati?• Per la valutazione complessiva, conclusiva del

percorso di ogni allievo• Per la comparazione all’interno della classe e tra le

classi• Per la progettazione dei curricoli futuri

La responsabilità è dell’insegnante, che conosce le condizioni in cui si è svolta e quindi sa quale validità hanno i risultati per la sua classe

Test e Valutazione… Test e Valutazione…

Paradosso della valutazioneParadosso della valutazione: quanto più una prova è precisa (in : quanto più una prova è precisa (in termini di punteggio) e oggettiva, tanto meno essa fornisce termini di punteggio) e oggettiva, tanto meno essa fornisce informazioni significative. Tanto più le informazioni ottenute sono informazioni significative. Tanto più le informazioni ottenute sono ricche e significative, tanto più la misurazione è soggettiva e quindi ricche e significative, tanto più la misurazione è soggettiva e quindi i risultati sono difficilmente confrontabili.i risultati sono difficilmente confrontabili.

Occorre Occorre sviluppare forme sistematiche di valutazione delle sviluppare forme sistematiche di valutazione delle competenze alternative ai testcompetenze alternative ai test, che consentano di valutare anche i , che consentano di valutare anche i processi e non solo i prodotti (diari di bordo durante i lavori di processi e non solo i prodotti (diari di bordo durante i lavori di gruppo; colloqui e interviste durante l’attività di risoluzione di gruppo; colloqui e interviste durante l’attività di risoluzione di problemi; saggi scritti su argomenti matematici; registrazioni e problemi; saggi scritti su argomenti matematici; registrazioni e videoregistrazioni; preparazione di lezioni per compagni di livello videoregistrazioni; preparazione di lezioni per compagni di livello scolare inferiore; redazione di documenti che descrivano ai genitori scolare inferiore; redazione di documenti che descrivano ai genitori il lavoro svolto in classe; verifiche scritte tradizionali …) e il lavoro svolto in classe; verifiche scritte tradizionali …) e richiedere che i risultati ottenuti in tali prove siano considerati richiedere che i risultati ottenuti in tali prove siano considerati essenziali nella valutazione del percorso formativo dello studente.essenziali nella valutazione del percorso formativo dello studente.

TEST a confronto TEST a confronto (D. Paola 2005)(D. Paola 2005)

Test PISA Test INVALSISono somministrati a un campione e

consentono un’autovalutazione serena, anche perché difficilmente possono essere finalizzati alla valutazione della scuola.

Tendono a essere somministrati a tutte le scuole e quindi consentono una valutazione della scuola, creando tensioni e una sorta di rincorsa alla preparazione ai test

Sono affidabili per il controllo che è possibile esercitare sul campione.

Rischiano di non essere affidabili per la difficoltà di controllare la correttezza di una somministrazione a tappeto.

Rischiano di influenzare le politiche legate all’istruzione di un Paese e di influire sui percorsi di apprendimento senza che gli insegnanti ne siano adeguatamente consapevoli.

Rischiano di influire sull’autonomia scolastica relativamente alle pratiche didattiche e, in particolare, ai percorsi di apprendimento.

TEST a confronto TEST a confronto (D. Paola 2005)(D. Paola 2005)

Test PISA Test INVALSIConsentono di valutare competenze di alto

livello grazie alle risposte aperte che permettono valutazioni sui processi e non solo sui prodotti.

Consentono di valutare conoscenze, mentre a causa della presenza di sole risposte chiuse, che non consentono di osservare i processi, non offrono significative possibilità di valutare

competenze di elevato livello tassonomico

Consentono di costruire attività didattiche significative.

Non consentono di costruire attività didattiche significative, ma solo una valutazione del possesso o meno di certe conoscenze considerate (a livello centrale) come essenziali.

Valutare per competenze?

Qualunque sia il significato che si può dare a questa espressione, va sottolineato che la valutazione perde senso, in matematica, senza un puntuale ed esplicito riferimento ai contenuti del sapere e alle procedure caratteristiche del pensiero matematico.

Matematica: Perché? Cosa?Matematica: Perché? Cosa?

La competenza matematica è la capacità di un La competenza matematica è la capacità di un individuo di individuo di identificare e comprendere il ruoloidentificare e comprendere il ruolo che la matematica gioca nel che la matematica gioca nel mondo realemondo reale, di , di operare valutazioni fondateoperare valutazioni fondate e di e di utilizzare la utilizzare la matematica e confrontarsimatematica e confrontarsi con essa in con essa in modi modi che rispondono alle esigenze della vitache rispondono alle esigenze della vita di di quell’individuo in quanto cittadino che esercita un quell’individuo in quanto cittadino che esercita un ruolo costruttivo, impegnato e basato sulla ruolo costruttivo, impegnato e basato sulla riflessione. riflessione.

(OCSE-PISA 2003)(OCSE-PISA 2003)

Matematica: Perché? Cosa?Matematica: Perché? Cosa?

Si vuole in primo luogo valutare la conoscenza della disciplina Si vuole in primo luogo valutare la conoscenza della disciplina matematica e dei suoi strumenti, intendendo tale disciplina come matematica e dei suoi strumenti, intendendo tale disciplina come conoscenza concettualeconoscenza concettuale, frutto cioè di , frutto cioè di interiorizzazione interiorizzazione dell’esperienza e di riflessione criticadell’esperienza e di riflessione critica, non di addestramento , non di addestramento “meccanico” o di apprendimento mnemonico. Una conoscenza “meccanico” o di apprendimento mnemonico. Una conoscenza concettuale quindi, che affondi le sue radici in concettuale quindi, che affondi le sue radici in contesti critici di contesti critici di razionalizzazione della realtàrazionalizzazione della realtà, senza richiedere eccessi di , senza richiedere eccessi di astrazione e di formalismo. astrazione e di formalismo.

La formalizzazione matematica dovrebbe infatti essere acquisita a La formalizzazione matematica dovrebbe infatti essere acquisita a partire dalla sua necessità ed efficacia nell’esprimere ed usare il partire dalla sua necessità ed efficacia nell’esprimere ed usare il pensiero matematicopensiero matematico. Gli aspetti algoritmici applicativi ed . Gli aspetti algoritmici applicativi ed esecutivi, che pure costituiscono una componente irrinunciabile della esecutivi, che pure costituiscono una componente irrinunciabile della disciplina matematica, non dovrebbero essere considerati fine a se disciplina matematica, non dovrebbero essere considerati fine a se stessi.stessi.

(Quadro di Riferimento INVALSI per le prove di Matematica)(Quadro di Riferimento INVALSI per le prove di Matematica)

Che cosa è PISA?Che cosa è PISA? Un’indagine internazionale promossa dall’OCSE Un’indagine internazionale promossa dall’OCSE

(Organizzazione per la Cooperazione e lo Sviluppo (Organizzazione per la Cooperazione e lo Sviluppo Economico) per accertare le Economico) per accertare le competenzecompetenze dei dei quindicenni scolarizzati: si svolge con periodicità quindicenni scolarizzati: si svolge con periodicità triennale.triennale.

PISA (PISA (Programme for International Student Assessment) ha l’obiettivo generale di verificare ha l’obiettivo generale di verificare se, e in che misura, i giovani che escono dalla scuola se, e in che misura, i giovani che escono dalla scuola dell’obbligo abbiano acquisito alcune competenze dell’obbligo abbiano acquisito alcune competenze giudicate essenziali per svolgere un ruolo consapevole giudicate essenziali per svolgere un ruolo consapevole e attivo nella società, per continuare ad apprendere e attivo nella società, per continuare ad apprendere per tutta la vita. per tutta la vita.

PISA non si focalizza sulla padronanza di contenuti PISA non si focalizza sulla padronanza di contenuti curricolari, ma sulla capacità di utilizzare curricolari, ma sulla capacità di utilizzare competenzecompetenze acquisite durante gli anni di scuola, utili acquisite durante gli anni di scuola, utili per affrontare e risolvere problemi e compiti che si per affrontare e risolvere problemi e compiti che si incontrano nella vita quotidiana e per continuare ad incontrano nella vita quotidiana e per continuare ad apprendere.apprendere.

PRESENTAZIONE DELL’INDAGINEPRESENTAZIONE DELL’INDAGINE

Caratteristiche del progettoCaratteristiche del progetto Tre ambiti di Tre ambiti di literacyliteracy: lettura, matematica e scienze + : lettura, matematica e scienze + problem-solving problem-solving (solo nel 2003)(solo nel 2003) Periodicità triennale con un’area di contenuti principale in Periodicità triennale con un’area di contenuti principale in ciascun ciclociascun ciclo

– PISA 2000 lettura, PISA 2003 matematica, PISA 2000 lettura, PISA 2003 matematica, PPISA ISA 2006 scienze 2006 scienze

Popolazione bersaglio: i quindicenni scolarizzatiPopolazione bersaglio: i quindicenni scolarizzati– PISA 2003: nati nel 1987PISA 2003: nati nel 1987

In ogni Paese il campione è costituito da un minimo diIn ogni Paese il campione è costituito da un minimo di 150 scuole con un campione di 35 studenti per scuola.150 scuole con un campione di 35 studenti per scuola. Il campione italiano nel 2003 è stato di 407 scuole per Il campione italiano nel 2003 è stato di 407 scuole per un totale di oltre 11.000 studenti a rappresentare una un totale di oltre 11.000 studenti a rappresentare una popolazione di circa 500.000 studentipopolazione di circa 500.000 studenti . .

INVALSI 2009 (classe 3^ sc. sec. I gr.)

I coefficienti di correzione sono costruiti a partire da quattro indicatori I coefficienti di correzione sono costruiti a partire da quattro indicatori fondamentali: fondamentali:

la media dei risultati di classe, la media dei risultati di classe, la loro varianza, la loro varianza, un indice di mancate risposteun indice di mancate risposte un indicatore di uniformità delle risposte degli studenti (se gli studenti un indicatore di uniformità delle risposte degli studenti (se gli studenti

di una classe tendono a scegliere la stessa opzione di risposta anche di una classe tendono a scegliere la stessa opzione di risposta anche quando sbagliano). quando sbagliano).

Una classe che presenta risultati elevati, associati ad una varianza bassa, Una classe che presenta risultati elevati, associati ad una varianza bassa, ad un basso indice di mancate risposte e un indice di concentrazione ad un basso indice di mancate risposte e un indice di concentrazione molto elevato, tenderà ad avere una probabilità di comportamenti molto elevato, tenderà ad avere una probabilità di comportamenti opportunistici più elevata e quindi un coefficiente di correzione opportunistici più elevata e quindi un coefficiente di correzione maggiore di una classe che presenti valori meno polarizzati. maggiore di una classe che presenti valori meno polarizzati.

L’applicazione delle metodologie suddette mostra una forte L’applicazione delle metodologie suddette mostra una forte concentrazione territoriale dei cosiddetti comportamenti concentrazione territoriale dei cosiddetti comportamenti opportunistici, con un’incidenza diversa nella prova d’italiano e in opportunistici, con un’incidenza diversa nella prova d’italiano e in quella di matematica. Nella seconda la presenza di dati anomali è più quella di matematica. Nella seconda la presenza di dati anomali è più forte e, pertanto, più incisiva. ILe evidenze statistiche di tali forte e, pertanto, più incisiva. ILe evidenze statistiche di tali comportamenti si concentrano quasi esclusivamente in alcune regioni comportamenti si concentrano quasi esclusivamente in alcune regioni meridionali, ovvero la Campania, la Puglia, la Calabria e la Sicilia e, meridionali, ovvero la Campania, la Puglia, la Calabria e la Sicilia e, in misura minore, in Basilicata e Molise. in misura minore, in Basilicata e Molise.

Il Quadro di Riferimento hacome fulcro il curricolo

Vi è un sostanziale accordo internazionale sulle grandi linee del curriculum scolasticoin matematica del primo ciclo dell’insegnamento

Nuclei di ContenutoNuclei di Contenuto

1. Spazio e forma1. Spazio e forma

è l’idea chiave che più si avvicina alla è l’idea chiave che più si avvicina alla geometria come materia curricolare. Si geometria come materia curricolare. Si riferisce a problemi spaziali e geometrici e riferisce a problemi spaziali e geometrici e implica il cercare somiglianze e differenze implica il cercare somiglianze e differenze quando si analizzano le proprietà quando si analizzano le proprietà caratteristiche delle forme, il riconoscere caratteristiche delle forme, il riconoscere forme simili in rappresentazioni di forme simili in rappresentazioni di dimensioni diverse e inoltre il comprendere dimensioni diverse e inoltre il comprendere le proprietà geometriche degli oggetti e le le proprietà geometriche degli oggetti e le loro posizioni relative nello spazio. loro posizioni relative nello spazio.

Spazio e forma PISASpazio e forma PISALo studio della forma e delle costruzioniLo studio della forma e delle costruzioni comporta la comporta la

ricerca di somiglianze e differenze ed è strettamente legato al ricerca di somiglianze e differenze ed è strettamente legato al concetto di “capire lo spazio”. Questo significa imparare a concetto di “capire lo spazio”. Questo significa imparare a conoscere, esplorare e conquistare lo spazio per poter vivere, conoscere, esplorare e conquistare lo spazio per poter vivere, respirare e muoversi in esso con una maggiore consapevolezza respirare e muoversi in esso con una maggiore consapevolezza (Freudenthal,1973).(Freudenthal,1973).

Per ottenere ciò, dobbiamo essere in grado di Per ottenere ciò, dobbiamo essere in grado di capire le proprietà capire le proprietà degli oggetti e le loro relative posizionidegli oggetti e le loro relative posizioni: dobbiamo : dobbiamo essere consapevoli di come vediamo le cose e del perché le vediamo essere consapevoli di come vediamo le cose e del perché le vediamo così, dobbiamo imparare a navigare attraverso lo spazio e attraverso così, dobbiamo imparare a navigare attraverso lo spazio e attraverso le costruzioni e le forme. Ciò significa capire la relazione tra forme e le costruzioni e le forme. Ciò significa capire la relazione tra forme e immagini o rappresentazioni visive, come la relazione tra una città immagini o rappresentazioni visive, come la relazione tra una città reale e le fotografie e le carte topografiche di quella città; significa reale e le fotografie e le carte topografiche di quella città; significa anche capire come si possano rappresentare gli oggetti anche capire come si possano rappresentare gli oggetti tridimensionali in due dimensioni, come si creino e si interpre-tino le tridimensionali in due dimensioni, come si creino e si interpre-tino le ombre e che cosa sia la prospettiva e come funzioni.ombre e che cosa sia la prospettiva e come funzioni.

Spazio e figure (INVALSI)Spazio e figure (INVALSI) Mappe, piantine e orientamento. Rappresentazione di oggetti nel Mappe, piantine e orientamento. Rappresentazione di oggetti nel

piano e nello spazio. Semplici figure dello spazio e del piano (cubo, piano e nello spazio. Semplici figure dello spazio e del piano (cubo, sfera, triangolo, quadrato…). I principali enti geometrici. Angoli e sfera, triangolo, quadrato…). I principali enti geometrici. Angoli e loro ampiezza. Rette incidenti, parallele e perpendicolari. Verticalità, loro ampiezza. Rette incidenti, parallele e perpendicolari. Verticalità, orizzontalità. Uguaglianza di figure. Equivalenza fra figure. orizzontalità. Uguaglianza di figure. Equivalenza fra figure. Composizione e scomposizione di figure. Elementi di semplici Composizione e scomposizione di figure. Elementi di semplici figure dello spazio (vertici, spigoli, …). Unità di misure di figure dello spazio (vertici, spigoli, …). Unità di misure di lunghezze, aree e volumi. Perimetro di poligoni. Aree di poligoni. lunghezze, aree e volumi. Perimetro di poligoni. Aree di poligoni. Somma degli angoli di un triangolo e di poligoni. Teorema di Somma degli angoli di un triangolo e di poligoni. Teorema di Pitagora. Traslazioni, rotazioni e simmetrie. Riproduzioni in scala: Pitagora. Traslazioni, rotazioni e simmetrie. Riproduzioni in scala: ampliamenti e riduzioni. Lunghezza della circonferenza e area del ampliamenti e riduzioni. Lunghezza della circonferenza e area del cerchio. Angoli al centro e angoli alla circonferenza. Aree e volumi cerchio. Angoli al centro e angoli alla circonferenza. Aree e volumi dei principali solidi. Rappresentazione piana di figure solide. dei principali solidi. Rappresentazione piana di figure solide. Sistema di riferimento cartesiano. Rappresentazione sul piano Sistema di riferimento cartesiano. Rappresentazione sul piano cartesiano di figure piane e di trasformazioni geometriche. cartesiano di figure piane e di trasformazioni geometriche.

2. Cambiamento e relazioni2. Cambiamento e relazioni si collega principalmente all’algebra e riguarda si collega principalmente all’algebra e riguarda

manifestazioni matematiche di cambiamento come manifestazioni matematiche di cambiamento come anche relazioni di funzione e di dipendenza tra anche relazioni di funzione e di dipendenza tra variabili.Le relazioni matematiche spesso sono variabili.Le relazioni matematiche spesso sono espresse da equazioni o disuguaglianze, ma vi espresse da equazioni o disuguaglianze, ma vi possono essere anche relazioni di natura più possono essere anche relazioni di natura più generale come per esempio relazioni di equivalenza generale come per esempio relazioni di equivalenza o di inclusione. Tali relazioni si possono poi o di inclusione. Tali relazioni si possono poi rappresentare in molti modi diversi, per esempio rappresentare in molti modi diversi, per esempio attraverso rappresentazioni simboliche o algebriche o attraverso rappresentazioni simboliche o algebriche o grafiche o tabulari. Poiché ogni tipo di grafiche o tabulari. Poiché ogni tipo di rappresentazione ha determinate proprietà e può rappresentazione ha determinate proprietà e può essere utile per un determinato scopo, è importante essere utile per un determinato scopo, è importante saper passare da una rappresentazione ad un’altra di saper passare da una rappresentazione ad un’altra di fronte a situazioni problematiche. fronte a situazioni problematiche.

Cambiamento e Relazioni PISACambiamento e Relazioni PISAPensare in termini funzionaliPensare in termini funzionali, cioè pensare in termini di , cioè pensare in termini di

relazioni, è uno deglirelazioni, è uno degli obiettivi disciplinari fondamentali obiettivi disciplinari fondamentali dell’insegnamento della matematica.dell’insegnamento della matematica.

Ogni fenomeno naturale è la manifestazione di un cambiamento; Ogni fenomeno naturale è la manifestazione di un cambiamento; nella nella realtàrealtà si possono osservare tra i fenomeni molte si possono osservare tra i fenomeni molte relazionirelazioni, sia temporanee, sia temporanee che permanenti. Alcuni processi di che permanenti. Alcuni processi di cambiamento comportanocambiamento comportano semplici funzioni matematiche e possono semplici funzioni matematiche e possono essere descritti oessere descritti o modellizzati in base a esse. Le relazioni matematiche modellizzati in base a esse. Le relazioni matematiche assumono spesso laassumono spesso la forma di equazioni o diseguaglianze, ma vi forma di equazioni o diseguaglianze, ma vi possono anche essere relazioni dipossono anche essere relazioni di natura più generale (equivalenza, natura più generale (equivalenza, divisibilità, inclusione,divisibilità, inclusione, …). …).

Le relazioni possono essere rappresentate in molti Le relazioni possono essere rappresentate in molti modimodi (rappresentazioni simboliche, algebriche, grafiche, tabulari e (rappresentazioni simboliche, algebriche, grafiche, tabulari e geometriche). Rappresentazioni diverse possono essere utili per scopi geometriche). Rappresentazioni diverse possono essere utili per scopi diversidiversi e hanno proprietà differenti. Il passaggio da una e hanno proprietà differenti. Il passaggio da una rappresentazione all’altra è spessorappresentazione all’altra è spesso un procedimento chiave.un procedimento chiave.

RELAZIONI e FUNZIONI INVALSIRELAZIONI e FUNZIONI INVALSI Classificazione di oggetti, figure, numeri in base a Classificazione di oggetti, figure, numeri in base a

una determinata proprietà. Equivalenze e una determinata proprietà. Equivalenze e ordinamenti. Grandezze direttamente e inversamente ordinamenti. Grandezze direttamente e inversamente proporzionali. Ricerca di regolarità in sequenze di proporzionali. Ricerca di regolarità in sequenze di numeri, figure, simboli e parole. Generalizzazione di numeri, figure, simboli e parole. Generalizzazione di regolarità attraverso parole e espressioni algebriche. regolarità attraverso parole e espressioni algebriche. Funzioni del tipo Funzioni del tipo y=axy=ax, , y=a/x y=a/x e e y=x2 y=x2 e loro e loro rappresentazione grafica. Rappresentazione di rappresentazione grafica. Rappresentazione di funzioni attraverso parole, tabelle, grafici, funzioni attraverso parole, tabelle, grafici, espressioni algebriche. Equazioni di primo grado. espressioni algebriche. Equazioni di primo grado. Rappresentazione di fatti e fenomeni attraverso Rappresentazione di fatti e fenomeni attraverso tabelle, grafici ed espressioni algebriche.tabelle, grafici ed espressioni algebriche.

3. Quantità3. Quantità

si riferisce principalmente all’aritmetica e si riferisce principalmente all’aritmetica e presuppone il ragionamento quantitativo che presuppone il ragionamento quantitativo che comprende, per esempio, il senso del comprende, per esempio, il senso del numero, la comprensione del significato numero, la comprensione del significato delle operazioni e l’avere un’idea dell’ordine delle operazioni e l’avere un’idea dell’ordine di grandezza dei numeri. Inoltre questa area di grandezza dei numeri. Inoltre questa area di contenuto riguarda la comprensione delle di contenuto riguarda la comprensione delle dimensioni relative, il riconoscimento di dimensioni relative, il riconoscimento di modelli numerici e l’uso di numeri per modelli numerici e l’uso di numeri per rappresentare quantità e attributi rappresentare quantità e attributi quantificabili degli oggetti del mondo reale quantificabili degli oggetti del mondo reale (stime e misure) (stime e misure)

QuantitàQuantità PISAPISAQuantificare per organizzare laQuantificare per organizzare la realtà.realtà. Tra i suoi Tra i suoi

aspetti più importanti vi sono la comprensione delle aspetti più importanti vi sono la comprensione delle dimensionidimensioni relative, il riconoscimento di modelli numerici relative, il riconoscimento di modelli numerici e l’uso di numeri per rappresentaree l’uso di numeri per rappresentare quantità e attributi quantità e attributi quantificabili degli oggetti del mondo realequantificabili degli oggetti del mondo reale (misure e (misure e conteggi). Inoltre, la conteggi). Inoltre, la quantità quantità ha a che fare con ha a che fare con l’elaborazione e lal’elaborazione e la comprensione di numeri rappresentati in comprensione di numeri rappresentati in vari modi.vari modi.

Ragionamento quantitativo.Ragionamento quantitativo. Componenti essenziali Componenti essenziali del ragionamento quantitativo sono: il concetto di numero,del ragionamento quantitativo sono: il concetto di numero, l’uso di diverse rappresentazioni numeriche, la l’uso di diverse rappresentazioni numeriche, la comprensione del significato delle operazioni, l’avere comprensione del significato delle operazioni, l’avere un’idea dell’ordine di grandezza dei numeri,un’idea dell’ordine di grandezza dei numeri, i calcoli i calcoli eleganti da un punto di vista matematico, i calcoli mentali e eleganti da un punto di vista matematico, i calcoli mentali e le stime.le stime.

NUMERINUMERI INVALSIINVALSINumeri naturali e loro rappresentazione in base dieci. Numeri naturali e loro rappresentazione in base dieci.

Addizione e sottrazione fra numeri naturali. Addizione e sottrazione fra numeri naturali. Moltiplicazione e divisione fra numeri naturali. Numeri Moltiplicazione e divisione fra numeri naturali. Numeri decimali e frazioni. Frazioni equivalenti. Scrittura decimali e frazioni. Frazioni equivalenti. Scrittura posizionale dei numeri naturali e decimali. Operazioni posizionale dei numeri naturali e decimali. Operazioni fra numeri decimali. Proprietà delle operazioni. fra numeri decimali. Proprietà delle operazioni. Significato delle parentesi in sequenze di operazioni. Significato delle parentesi in sequenze di operazioni. Proprietà dei numeri naturali: precedente successivo, Proprietà dei numeri naturali: precedente successivo, pari dispari, doppio, metà…). Operazioni con i numeri pari dispari, doppio, metà…). Operazioni con i numeri interi. Calcolo approssimato. Potenze di numeri interi. Calcolo approssimato. Potenze di numeri naturali e interi. Numeri primi. Multipli e divisori. naturali e interi. Numeri primi. Multipli e divisori. Rapporti, percentuali e proporzioni. Numeri decimali Rapporti, percentuali e proporzioni. Numeri decimali limitati e illimitati periodici (rappresentazione decimale limitati e illimitati periodici (rappresentazione decimale e frazionaria). Numeri razionali. Operazioni con i e frazionaria). Numeri razionali. Operazioni con i numeri razionali. Numeri decimali non periodici.numeri razionali. Numeri decimali non periodici.

4. 4. IncertezzaIncertezza

è l’idea chiave che si collega a è l’idea chiave che si collega a fenomeni e relazioni di tipo statistico e fenomeni e relazioni di tipo statistico e probabilistico che acquistano un peso probabilistico che acquistano un peso sempre maggiore nella nostra società sempre maggiore nella nostra società dell’informazione. Attività e concetti dell’informazione. Attività e concetti matematici specifici in questo ambito matematici specifici in questo ambito sono la raccolta e l’analisi dei dati, la sono la raccolta e l’analisi dei dati, la loro rappresentazione/visualizzazione, loro rappresentazione/visualizzazione, la probabilità e l’inferenza statistica.la probabilità e l’inferenza statistica.

IncertezzaIncertezza PISAPISAL’attuale “società dell’informazione” offre una gran L’attuale “società dell’informazione” offre una gran

quantità di informazioniquantità di informazioni,, presentandole spesso presentandole spesso come precise, scientifiche e dotate di un certo gradocome precise, scientifiche e dotate di un certo grado di di certezza. Nella vita quotidiana, tuttavia, ci imbattiamo in certezza. Nella vita quotidiana, tuttavia, ci imbattiamo in risultati elettoralirisultati elettorali incerti, crolli del mercato azionario, incerti, crolli del mercato azionario, previsioni del tempoprevisioni del tempo inattendibili, e molte altre inattendibili, e molte altre dimostrazioni dell’incertezza del nostro mondo.dimostrazioni dell’incertezza del nostro mondo.

La constatazione di tale La constatazione di tale incertezza incertezza chiama in causa due chiama in causa due argomenti tra loro correlati:argomenti tra loro correlati: i dati e il casoi dati e il caso. Tali . Tali fenomeni sono oggetto di studi matematici nella fenomeni sono oggetto di studi matematici nella statistica statistica e nella e nella teoria della probabilitàteoria della probabilità. . Attività e concetti matematici specifici in questo ambito Attività e concetti matematici specifici in questo ambito sono la raccolta e l’analisisono la raccolta e l’analisi dei dati, la loro rappresentazione dei dati, la loro rappresentazione o visualizzazione, la probabilità e l’inferenzao visualizzazione, la probabilità e l’inferenza statistica.statistica.

MISURA, DATI PREVISIONIMISURA, DATI PREVISIONIINVALSI INVALSI

Il collettivo statistico e i suoi elementi. Prime Il collettivo statistico e i suoi elementi. Prime rappresentazioni di dati (tabelle, pittogrammi, grafici a rappresentazioni di dati (tabelle, pittogrammi, grafici a barre, ecc.). Caratteri qualitativi e quantitativi. Moda, barre, ecc.). Caratteri qualitativi e quantitativi. Moda, mediana e media aritmetica. Istogrammi. Calcolo di mediana e media aritmetica. Istogrammi. Calcolo di frequenze relative e percentuali. Diagrammi di vario frequenze relative e percentuali. Diagrammi di vario tipo. Evento certo, possibile e impossibile. Campione tipo. Evento certo, possibile e impossibile. Campione estratto da una popolazione: casuale e non casuale. estratto da una popolazione: casuale e non casuale. Probabilità di un evento: valutazione della probabilità Probabilità di un evento: valutazione della probabilità di eventi elementari ed equiprobabili. Semplici di eventi elementari ed equiprobabili. Semplici valutazioni di probabilità di un evento a partire da dati valutazioni di probabilità di un evento a partire da dati statistici.statistici.

Misure di grandezze discrete per conteggio. Misure di Misure di grandezze discrete per conteggio. Misure di grandezze continue attraverso oggetti e strumenti. Il grandezze continue attraverso oggetti e strumenti. Il Sistema Internazionale di misura. Stime e Sistema Internazionale di misura. Stime e approssimazioni. Notazione scientifica.approssimazioni. Notazione scientifica.

Gli ambiti cognitivi:Conoscere, applicare, ragionare

La valutazione INVALSI si muove lungo diverse direzioni, puntando a valutare diversi aspetti o processi collegati alla competenza di utilizzare la matematica appresa per il trattamento quantitativo dell'informazione in ambito scientifico, tecnologico, economico e sociale (descrivere un fenomeno in termini quantitativi, interpretare una descrizione di un fenomeno in termini quantitativi con strumenti statistici o funzioni, costruire un modello...)

I Processi

Conoscere e padroneggiare contenuti specifici della matematica (oggetti matematici, proprietà, strutture...)

Conoscere e padroneggiare algoritmi e procedure (in ambito aritmetico, geometrico....)

Conoscere e padroneggiare le diverse forme di rappresentazione e la capacità di passare da una all'altra (verbale, scritta, simbolica, grafica, tabellare,...)

I ProcessiSaper risolvere problemi utilizzando gli strumenti

della matematica (indiivduare e collegare l einformazioni utili, confrontare strategie di risoluzione, individuare schemi, esporre il procedimento risolutivo...)

Saper riconoscere in contesti diversi il carattere misurabile di oggetti e fenomeni e saper utilizzare strumenti di misura (saper individuare l'unità o lo strumento di misura più adatto in un dato contesto, saper stimare una misura,…)

Acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero matematico (congetturare, verificare, giustificare, definire, generalizzare, ...)

Le prove INVALSI di Matematica sono costituite da quesiti di due diverse categorie: a “risposta chiusa” e a “risposta falsa-aperta”

I quesiti a risposta chiusa sono domande con risposta a scelta multipla che presentano quattro oppure cinque possibili risposte (tre possibili risposte in seconda elementare) secondo quanto è richiesto dalla natura del quesito.

Una sola delle risposte che sono proposte è corretta.

Per quesiti a cosiddetta “risposta falsa aperta” si intendono domande che richiedono allo studente semplici risposte (come ad esempio il risultato di un calcolo algebrico o numerico oppure ancora l’adesione o la negazione di determinate affermazioni) che sono perciò suscettibili di una valutazione rapida e sicura.

In alcuni dei quesiti viene richiesta una breve argomentazione, la spiegazione del percorso seguito per la risoluzione o la giustificazione di alcune affermazioni

ConclusioniConclusioni

Matematica: Perché? Cosa?Matematica: Perché? Cosa?

La matematica ha uno specifico ruolo nello sviluppo della capacità La matematica ha uno specifico ruolo nello sviluppo della capacità generale di operare e comunicare significati […] per generale di operare e comunicare significati […] per rappresentare e costruire modelli di relazionirappresentare e costruire modelli di relazioni fra oggetti ed fra oggetti ed eventi. In particolare, la matematica dà strumenti per la eventi. In particolare, la matematica dà strumenti per la descrizione scientifica del mondo e per descrizione scientifica del mondo e per affrontare problemi utili affrontare problemi utili nella vita quotidiananella vita quotidiana; inoltre contribuisce a ; inoltre contribuisce a sviluppare la sviluppare la capacità di comunicare e discuterecapacità di comunicare e discutere, di argomentare in modo , di argomentare in modo corretto, di corretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazionicomprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri.degli altri.

(Indicazioni Nazionali 2007)(Indicazioni Nazionali 2007)

Matematica: Perché? Cosa?Matematica: Perché? Cosa?

Competenze di base a conclusione dell’ obbligo dell’istruzione:Competenze di base a conclusione dell’ obbligo dell’istruzione: Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico ed Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico ed

algebrico, rappresentandole anche sotto forma graficaalgebrico, rappresentandole anche sotto forma grafica Confrontare ed analizzare figure geometriche, individuando Confrontare ed analizzare figure geometriche, individuando

invarianti e relazioni.invarianti e relazioni. Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemiIndividuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi Analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e Analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e

ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di rappresentazioni ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni specifiche di tipo informaticopotenzialità offerte da applicazioni specifiche di tipo informatico

(Assi culturali 2007) (Assi culturali 2007) [Riforma superiori febbraio 2010: Ist. Tecnici e Prof.li][Riforma superiori febbraio 2010: Ist. Tecnici e Prof.li]

Matematica: Perché? Cosa?Matematica: Perché? Cosa?

Comprendere il linguaggio formale specifico della matematica, saper Comprendere il linguaggio formale specifico della matematica, saper utilizzare le procedure tipiche del pensiero matematico, conoscere i utilizzare le procedure tipiche del pensiero matematico, conoscere i contenuti fondamentali delle teorie che sono alla base della contenuti fondamentali delle teorie che sono alla base della descrizione matematica della realtà (Licei)descrizione matematica della realtà (Licei)

Comprendere le strutture portanti dei procedimenti argomentativi e Comprendere le strutture portanti dei procedimenti argomentativi e dimostrativi della matematica, anche attraverso la padronanza del dimostrativi della matematica, anche attraverso la padronanza del linguaggio logico-formale; usarle in particolare nell’individuare e linguaggio logico-formale; usarle in particolare nell’individuare e risolvere problemi di varia natura (Liceo Scientifico)risolvere problemi di varia natura (Liceo Scientifico)

Padroneggiare il linguaggio formale e i procedimenti dimostrativi della Padroneggiare il linguaggio formale e i procedimenti dimostrativi della matematica; possedere gli strumenti matematici, statistici e del matematica; possedere gli strumenti matematici, statistici e del calcolo delle probabilità necessari per la comprensione delle calcolo delle probabilità necessari per la comprensione delle discipline scientifiche e per poter operare nel campo delle scienze discipline scientifiche e per poter operare nel campo delle scienze applicate (Ist. Tecnici)applicate (Ist. Tecnici)

(Risultati di Apprendimento: Riforma superiori febbraio 2010)(Risultati di Apprendimento: Riforma superiori febbraio 2010)

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