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Teselaciones Irregulares Eficientes
Estudio de caso: prototipo de cúpula de 2m de diámetro.
María Mallo1, Miguel Vidal
2 y Javier Santamaría
3. Consultor estructural: S.Prajish
Vinayak4
1Investigadora en el Departamento de Ideación Gráfica de la ETSAM,
2Consultor y docente
freelance de diseño paramétrico en la ETSAM, 3Mimétrica Diseña a tu Medida S.L. entidad
asociada a la UPM, 4Estudiante en Tecnologías Emergentes y Diseño en Architectural
Association (Londres).
1http://www.mariamallo.com, www.facebook.com/sistemasradiolarios,
2http://www.michividal.com,
3http://www.mimetrica.com
Abstract. Este artículo tiene como objetivo mostrar la investigación realizada por los autores
sobre teselaciones irregulares eficientes. Entendemos por teselaciones eficientes, aquellas que
responden a los patrones de compactación que se pueden encontrar en la Naturaleza. En
concreto nos centramos en el estudio de teselaciones planas de superficies de doble curvatura,
comenzando con un prototipo semiesférico de 2m de diámetro. Para su realización se han
utilizado herramientas de diseño paramétrico y fabricación digital.
Esta teselación se muestra como una alternativa a la disposición icosaédrica de la división de
la esfera. En el presente artículo se detalla el proceso de diseño y fabricación del prototipo y
se realiza una comparación de la teselación obtenida con otros sistemas de remallado desde el
punto de vista morfológico y estructural.
Keywords. Teselaciones hexagonales; esqueletos radiolarios; geometrías complejas; diseño
paramétrico; fabricación digital.
Introducción
Si hablamos de eficiencia es difícil no referirse a la Naturaleza, porque está especializada
en producir formas que responden a necesidades concretas con un gasto mínimo de
material y de energía. En nuestro caso, como investigación previa (Mallo, 2013) hemos
estudiado los patrones de compactación natural: colmenas, tejidos celulares, alas de
libélula, burbujas, espumas, esqueletos radiolarios, moléculas de carbono, etc (Haeckel,
1862; Thompson, 1917; Mertins, 2004).
Las características de los patrones naturales estudiados son: nudos de 3 barras y
celdas en su mayoría hexagonales; ángulos entre barras predominantes de 120°, salvo en
los bordes de la superficie donde tienden a los 90°; distribución homogénea de
pentágonos y heptágonos evitando más de dos de estas figuras iguales adyacentes.
Figura 1
Análisis de teselaciones naturales. A la izquierda, Reticulum plasmatique según Carnoy y en el centro Aulonia
hexagona según Haeckel. Se han dejado en blanco los hexágonos y se han coloreado en rosa los pentágonos, en
amarillo los heptágonos, en rojo el octógono y se ha señalado con un círculo verde los puntos inestables con nudos de
4 barras. A la derecha moléculas de carbono de Fullerenos gigantes donde observamos configuraciones icosaédricas
y disposiciones de pentágonos y heptágonos que se repiten. Se han numerado las filas de separación entre celdas
singulares (en rojo pentágonos y en amarillo heptágonos).
La Naturaleza ha sido fuente de inspiración inagotable dentro de la disciplina
arquitectónica. No por casualidad, en Jena, la ciudad donde Ernst Haeckel publicó sus
monografías de radiolarios entre 1882 y 1888, se construyó la primera cúpula reticular en
1923 a cargo del ingeniero Walther Bauersfeld: el Planetario Zeiss.
Figura 2
A la izquierda láminas 8 y 10 de la publicación de Haeckel "Die Acantharien", de 1888. A la derecha fotografías de la
construcción de la primera cúpula reticular para el Planetario Zeiss, terminada en 1923, con 11 años investigación
geométrica previa.
En la actualidad, el uso de herramientas paramétricas y algoritmos dentro del diseño
arquitectónico, ha hecho posible que nos acerquemos a la complejidad de los patrones
naturales sin necesidad de recurrir a abstracciones geométricas. Ahora somos capaces de
no sólo reproducir la complejidad natural, sino de simular los procesos de generación de
las formas naturales.
Por tanto, la panelización desarrollada en nuestra investigación se plantea como
alternativa a las cúpulas geodésicas que tienen siempre un número fijo de 12 pentágonos
(los vértices del icosaedro proyectado a la esfera). Por otro lado, el presente estudio
también se aleja de las investigaciones sobre mallas hexagonales planas, "P-Hex Mesh"
que trabajan con retículas hexagonales sobre superficies de doble curvatura sin que
aparezca ningún otro tipo de geometría (Pottmann, 2007; Wang, 2008; Bo, 2011; Vouga,
2012).
El reto al que nos enfrentamos es el de encontrar otras distribuciones de pentágonos y
heptágonos dentro de la malla predominantemente hexagonal, de manera que los puntos
singulares se distribuyan equilibradamente, siguiendo las investigaciones de relajación
dinámica de Nieser (2010), Piker (2012) y Erioli (2013) entre otros.
Figura 3
A la izquierda detalle de figura de dragón perteneciente a la investigación sobre remallado de Nieser. La localización
de las singularidades (en amarillo) responden a los cambios de curvatura de la superficie original. A la derecha
fotogramas del vídeo “Dinamic Remeshing” (remallado dinámico) min 0,50-0,58. Se han coloreado en azul oscuro las
celdas cuadrangulares, en rosa las pentagonales, en naranja las hexagonales, en azul las heptagonales y en verde las
octogonales, detectando los puntos inestables (longitud de arista = 0) en rojo. http://vimeo.com/49642642.
Concretamente, el hecho de encontrar alternativas más eficientes que la proyección
del icosaedro para la panelización de la esfera (el principal objetivo de nuestra
investigación), resulta ser una cuestión planteada ya en 1904 por el físico inglés J. J.
Thomson. "El problema de Thomson" se centra en buscar la configuración optima de
cualquier conjunto de puntos situados en la esfera, o dicho de otro modo: cómo
determinar la configuración de energía mínima de N electrones sobre la superficie de la
esfera de tal manera que se repelan unos a otros según la fuerza de la ley de Coulomb.
A pesar de que el problema está planteado desde hace más de 100 años, es en esta
última década y gracias a los algoritmos procesados computacionalmente, cuando se ha
podido estudiar en profundidad el tema y se han analizado múltiples configuraciones
posibles.
Figura 4
El problema de Thomson. A la izquierda estado inicial y final de la aplicación desarrollada por la Universidad de
Siracusa en 2007 (en rojo-pentágono y amarillo-heptágonos) [1]. A la derecha fotogramas de dos de los gifs animados
de la investigación desarrollada desde la Universidad de Cambridge en 2009, se observan hileras de pentágonos (en
rojo) y heptágonos (en azul) además de configuraciones que se repiten en las moléculas de fullerenos gigantes [2].
Cúpula TIE de 2m de diámetro
Nuestro objetivo es diseñar y producir una cúpula de 2m de diámetro. Este primer
prototipo se puede entender por un lado, como un acercamiento a la problemática para
construir en un futuro cúpulas de mayor tamaño; y por otro lado, como un producto
habitable en sí mismo, de la familia de las tiendas de campaña o las protecciones frente al
sol y el viento en las playas.
Diseño Paramétrico
La herramienta digital principal que utilizamos en el proceso de diseño paramétrico es
Grasshopper, plugin asociado a Rhinoceros.
El primer problema con el que nos encontramos es el de que una esfera se despieza en
Rhinoceros a través de sus meridianos y paralelos, por lo que no es posible utilizar un
algoritmo de teselación directamente sobre la superficie, ya que acumula las particiones
en los polos. Tenemos por tanto que generar una población de puntos alternativa a la que
define la superficie. Probamos el componente "Random", pero mantiene una mayor
densidad en el polo superior de la semiesfera. Como alternativa encontramos el
componente "Populate Geometry" que genera una distribución de puntos homogénea
sobre la superficie. Este algoritmo genera un número de puntos al azar, y a continuación
va añadiendo a la colección nuevos puntos que estén lo más alejados posibles de los
puntos existentes, repitiéndose el proceso hasta conseguir el número de puntos deseados.
Una vez obtenidos los puntos, construimos las celdas Voronoi asociadas y relajamos
esta primera teselación utilizando “Hoop Snake”, un componente de iteración que se basa
en el Algoritmo de Lloyd. Este algoritmo calcula el centroide de cada celda y dibuja un
nuevo Voronoi partiendo de cada nuevo centroide de manera iterativa.
Otro problema con el que nos encontramos es que el componente "Voronoi 3d" no
dibuja la línea de intersección entre la celdas Voronoi extruidas y la superficie de partida.
Probamos varios modos de intersección, pero todos generan puntos intermedios y líneas
quebradas.
Figura 5
Análisis comparativo de diferentes estados de iteración del algoritmo de relajación "Hope Snake" tomando una
muestra de 39 celdas: en rojo (aristas pequeñas o nulas); cuadriláteros en morado; pentágonos en rosa; hexágonos en
amarillo; heptágonos en azul; y octógonos en verde. A la izquierda, primera teselación que parte de los puntos
aleatorios. A la derecha, teselación obtenida tras el trabajo del algoritmo durante una hora. Se observa cómo los
puntos se han ido desplazando desde la base hacia arriba. También detectamos que tienden a desaparecer los
cuadriláteros y los octógonos mientras que los pentágonos y heptágonos disminuyen en cantidad y se ordenan
homogéneamente.
Finalmente, el componente "Face Dome" nos resuelve varias cuestiones a la vez, por
un lado, genera celdas limpias, con puntos únicamente en el encuentro de las aristas
rectas; por otro lado, las celdas resultantes son planas, por lo que es viable su producción
directa sin tener que pasar por una definición de planeidad. El único inconveniente es que
este componente no funciona para otro tipo de superficies de doble curvatura no esférica,
por lo que en futuras investigaciones deberemos encontrar otro modo de generación de
las celdas Voronoi.
Análisis Geométrico de la Teselación
Una vez cerrada la teselación final procedemos a analizar la geometría de las celdas
resultantes. Intentamos generar una definición paramétrica que realice el proceso
automáticamente a través del componente "Cloud Display", que genera una nube
coloreada en cada vértice de la malla Delaunay dual, según un gradiente de color que
depende del número de aristas que convergen en cada punto. Sin embargo nos
encontramos con que la malla Delaunay genera triangulaciones más allá de las celdas
adyacentes, sobre todo en los puntos cercanos a la base, donde la superficie tiende a la
verticalidad, por lo que la visualización geométrica presenta errores. Por este motivo y
debido a los tiempos ajustados, recurrimos a un análisis manual.
De las 180 celdas, la mayoría son hexágonos, seguidos de pentágonos y heptágonos.
Además aparecen 3 celdas que indican que la malla no está del todo optimizada: un
cuadrilátero (excluyendo los formados en la base) y 2 octógonos. Aunque estas tres
celdas indican cierta inestabilidad, y este tipo de polígonos no aparecen en las
configuraciones del "Problema de Thomson", si que las encontramos en los patrones
naturales de los esqueletos radiolarios. Por tanto, decidimos seguir adelante en el proceso
de producción y tomar esta teselación como un primer acercamiento mejorable a las
Teselaciones Irregulares Eficientes.
Figura 6
A la izquierda, perspectiva de la teselación finalmente utilizada, formada por 180 celdas planas. En el centro vista en
planta del análisis geométrico realizado en Grasshopper: pentágonos en verde, hexágonos en naranja, heptágonos en
rojo y octógonos en morado. Se observan múltiples errores en la malla ya que se producen triangulaciones con celdas
más allá de las adyacentes. A la derecha análisis geométrico manual: se han coloreado 11 cuadriláteros en azul, 56
pentágonos en verde, 78 hexágonos en amarillo, 33 heptágonos en rosa y 2 octógonos en morado.
Fabricación Digital
Para la asignación de materiales utilizamos el programa Ecotect, software de análisis de
diseño sostenible con el que se realizan simulaciones de funcionamiento energético.
Establecemos 4 tipos de celdas, los 2 grupos que más irradiancia reciben se
convierten en celdas opacas y los otros dos pasan a ser celdas transparentes. Por otro
lado, todas las celdas de la base y 3 de la cúspide, se perforan para facilitar la corriente
ascendente de aire caliente.
Una vez abatidas las celdas y clasificadas en opacas y transparentes, procedemos a
numerarlas. Para que las piezas sean más fáciles de localizar una vez producidas y el
montaje sea más eficaz, las numeramos según el orden ascendente de su posición en el
eje Z de la cúpula (este sistema se puede mejorar incorporando un orden por cuadrantes
para que la numeración no salte de lado a lado de la cúpula).
Añadimos paramétricamente a cada arista una pestaña de 10mm acabada en ángulo de
60º. Dentro de cada pestaña colocamos tres orificios de 3mm de diámetro para la
tornillería, uno central y dos en los extremos con un desfase de 10mm respecto del borde.
Asignamos manualmente las celdas seleccionadas para incorporar las perforaciones.
Estas perforaciones definidas también paramétricamente, tienen un diámetro de 12mm y
una separación de 6mm entre ellas. Para aportar heterogeneidad, se eliminan un 40% de
estas perforaciones con diferentes semillas de aleatoriedad.
El material elegido es el plástico transparente Pet (tereftalato de polietileno) de 1mm
de espesor. Este material se presenta con una película protectora plástica azul y otra
blanca. Aprovechamos una de ellas y utilizamos como celdas opacas el mismo material
sin quitar la cobertura protectora blanca. Asignando una “O” delante de la numeración
para identificar este tipo de celdas.
Para asumir el espesor de la pestaña doblada y evitar acumulación de errores
geométricos, hacemos una equidistancia hacia el interior de cada celda de 1mm.
También utilizamos la aplicación Rhino Nest para optimizar la colocación de las
celdas dentro de las planchas de Pet de 1200 x 900 mm (capacidad máxima de la máquina
de corte laser).
Figura 7
A la izquierda, análisis realizado con Ecotect vinculado a Grasshopper, cálculo de la irradiancia de la cúpula anual
total (directa y reflejada) en el periodo de 8 a 20h en Madrid. Clasificación de las celdas en 4 grupos según los niveles
de irradiancia detectados. A la derecha, muestra de una de las planchas de Pet de 1200 x 900 mm con las celdas
colocadas según la optimización de la aplicación Rhino Nest. Observamos los distintos colores de los elementos
(numeración, perforaciones, corte perimetral y línea de doblado) que luego se trasladan a distintas velocidades y
potencias del laser.
Producción CNC y Montaje Manual
Producimos las celdas con una máquina de corte laser de control numérico. Calibramos
los parámetros “speed” (velocidad), “power” (potencia) y “corner power” (potencia en
esquina), asignando un color a cada tipo de objeto: plegado de pestañas y numeración
(60, 24, 24); corte de perforaciones (60, 40, 40); corte de contorno de celda (50, 45, 45).
Para doblar las pestañas evitando que partan, calentamos la línea de doblado con una
pistola decapadora.
Figura 8
Proceso de corte, plegado y unión de las celdas.
El montaje con tornillos y tuercas se realiza dividiendo la cúpula en 12 sectores, 8 en
la base y 4 en la cúspide. Una vez montados los grupos independientes se acaba el
montaje desde dentro.
Figura 9
Proceso de montaje de las 12 piezas, ver vídeo en http://mariamallo.com/T-I-E.
La cúpula fue presentada en el Rhino User Meeting organizado por el IE (Instituto
de Empresa) el 30 de Octubre de 2013 en Madrid.
Figura 10
Fotografías de la cúpula acabada sacadas en el campus universitario de Montegancedo. Cartel de presentación del
proyecto. El video final producido por JFuria se puede ver en http://vimeo.com/78514778
Comparación con otras teselaciones
Como cierre de esta investigación, proponemos una comparativa geométrica y estructural
de nuestra teselación con otras 3. La primera de ellas es la cúpula tradicional geodésica
de frecuencia 3 y las otras se obtienen de teselar la semiesfera con dos aplicaciones
accesibles bajo licencia creative commons. Por un lado utilizamos el algoritmo de la
empresa estadounidense Nervous System, que permite desde la red [3] remallar cualquier
objeto con extensión ".obj". Por otro lado, empleamos el plugin para Rhinoceros
eVe|voronax de descarga libre [4], que proviene la tesis doctoral de Milos Dimcic sobre
algoritmos genéticos.
Figura 11
A la izquierda interfaces de generación de las geometrías a comparar: arriba remallado de Nervous System (en
adelante Nervous); abajo plugin de Rhinoceros eVe|voronax (en adelante Voronax). A la derecha comparación del
número y disposición de las celdas según su número de lados: arriba a la izquierda Nervous de 183 celdas con 12
cuadriláteros, 48 pentágonos, 93 hexágonos, 26 heptágonos y 4 octógonos; arriba a la derecha TIE de 180 celdas con
10 cuadriláteros, 56 pentágonos, 79 hexágonos, 33 heptágonos y 2 octógonos; abajo a la izquierda Geodesia de 91
celdas con 26 pentágonos y 65 hexágonos; abajo a la derecha Voronax de 170 celdas con 5 triángulos, 17
cuadriláteros, 45 pentágonos, 64 hexágonos, 24 heptágonos, 10 octógonos y 5 eneágonos.
Figura 12
A la izquierda comparación de los ángulos por cuadrantes mediante gráfica de círculos concéntricos: 0° en el centro
hasta 180° en el extremo. A la derecha comparación de longitudes de barras mediante gráfica de círculos
concéntricos, suponiendo cúpulas de 20m de diámetro: 0m en el centro y 4m en los extremos.
Celdas Ángulos Long.Barras Celdas
regulares
Celdas
irregulares
Ángulo
mínimo
Ángulo
máximo
Longitud
mínima
Longitud
máxima
TIE 79 101 68.36° 142.14° 0.19m 2.56m
Nervous 93 90 37,66° 150.27° 0.01m 2.83m
Geodesia 65 26 86.62° 125.09° 0.9m 3.25m
Voronax 64 106 7.88° 177.12° 0.01m 7.36m
Figura 13
Tabla resumen de datos. Debido a que el número de celdas no es constante en las cuatro cúpulas no se pueden hacer
comparaciones cuantitativas, pero sí cualitativas, observando los rangos de variación dentro de cada cuplula.
Tras el análisis geométrico realizado en Grasshopper a través de las listas de datos,
analizamos estructuralmente las cúpulas mediante Karamba, plugin Grasshoper.
Figura 14
Gráfica de deformaciones suponiendo una carga global de 100KN en el eje Z, con los nudos de la base empotrados y
dimensionando la estructura con perfiles tubulares de 160.2mm. De izquierda a derecha: Tie, Nervous, Geodesia y
Voronax. Se observa que la cúpula Nervous es la que menos deformación presenta en la cúspide.
Futuras Investigaciones
Las próximas investigaciones se centrarán en los siguientes objetivos:
1. Trabajar con geometrías capaces de adaptarse a perímetros irregulares.
2. Incorporar la gravedad como elemento definitorio de la forma, usando la técnica
del form-finding en modelos paramétricos.
3. Someter los modelos a análisis acústicos y térmicos.
Hasta ahora hemos desarrollado la investigación sin un apoyo institucional, aunque
estamos contemplando la posibilidad realizar el próximo prototipo a mayor escala que el
primero, dentro del marco de un workshop universitario.
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[3] www.food4rhino.com/project/evevoronax
