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Uso de las teselaciones o mosaicos para enseñar geometría dentro del aula de clases.
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TESELACIONES, MOSAICOS Y ENLOSADOS
INTELIGENCIA VISUAL Y ESPACIAL
Preparado por: Gustavo SanabriaTutor Bolívar
Pensamiento Espacial y Sistemas Geométricos
A continuación se muestran unas sugerencias sobre los estándares, competencias y desempeños que podrían desarrollarse a partir de estas actividades.
Pueden surgir otras diferentes dependiendo de los objetivos que el docente se proponga con las actividades planeadas.
Esto es un ejercicio para llevar a la práctica y evaluar su implementación.
Estamos abiertos a cambios y sugerencias de parte de los docentes tutores y de los docentes del departamento en general.
PRIMERO A TERCERO CUARTO A QUINTO
Reconozco y aplico traslaciones y giros a una figura.
Identifico, represento y utilizo ángulos en giros, aberturas, inclinaciones, figuras, puntas y esquinas en situaciones estáticas.
Reconozco y valoro simetrías en distintos aspectos del arte y el diseño.
Identifico y justifico relaciones de congruencia y semejanza entre figuras.
Reconozco semejanza y congruencia entre figuras (ampliar y reducir).
Construyo y descompongo figuras a partir de condiciones dadas.
Realizo construcciones y diseños utilizando dibujos o figuras geométricas bidimensionales.
Conjeturo y verifico los resultados de aplicar transformaciones a figuras en el plano para construir diseños
ESTÁNDARES BÁSICOS DE COMPETENCIA
GRADO COMUNICACIÓN RAZONAMIENTO RESOLUCIÓN
Primero a
Tercero
Describe características de figuras que son semejantes o congruentes entre sí.
Establece conjeturas acerca de las propiedades de las figuras planas cuando sobre ellas se ha hecho una transformación (traslación, rotación, reflexión (simetría), ampliación, reducción).
Usa propiedades geométricas para solucionar problemas relativos al diseño y construcción de figuras para recubrir el plano.
Cuarto a quinto
Reconoce congruencias y semejanzas entre figuras planas.
•Hace conjeturas y verifica los resultados de aplicar transformaciones a figuras en el plano.
• Construye y descompone figuras planas a partir de condiciones dadas.
Usa y construye modelos geométricos para solucionar problemas relativos al diseño y construcción de figuras para recubrir el plano.
COMPETENCIAS
Ejercicio de planeación: micro-clase
Grado 3°
CONTEXTUALIZACIÓN
ESTÁNDARES BÁSICOS DE COMPETENCIAS OBJETIVOS DE APRENDIZAJE CONOCIMIENTOS BÁSICOS
•Realizo construcciones y diseños utilizando dibujos o figuras geométricas
bidimensionales.
•Reconozco y valoro el uso de las figuras geométricas y sus transformaciones en distintos aspectos del arte y el diseño.
El estudiante dibuja y construye (en cartón)
losetas de distintas formas para realizar un mosaico o
teselado, desde el punto de vista geométrico y artístico.
• Conocer las figuras geométricas (Triángulo equilátero, cuadrado,
hexágono regular)• Realizar
transformaciones: traslación, rotación,
simetrías)
METODOLOGÍA EN SECUENCIA DIDÁCTICA
MATERIALES Y RECURSOS EDUCATIVOS EXPLORACIÓN DESARROLLO FINALIZACIÓN
• Libro Proyecto SE matemáticas (3 o 4)
• Libro Inteligencia visual y Espacial
•Cartón o cartulina de colores• Lápices, marcadores, reglas,
transportador, tijeras, goma• Hojas de papel
EVALUACIÓN
DESEMPEÑOS ESPERADOS TIPO DE EVALUACIÓN
•Usa las transformaciones de las figuras geométricas estudiadas para solucionar problemas relativos al
diseño y construcción de figuras para recubrir el plano, desde el punto de vista geométrico y artístico.
Autoevaluación: El estudiante compara el trabajo realizado por él con los modelos suministrados por el docente y hace una
lista de similitudes y diferencias.Heteroevaluación : Se tendrá en cuenta el uso de las figuras geométricas, el número
de transformaciones realizadas y la estética del trabajo presentado.
CONTEXTUALIZACIÓN
Estándares Básicos de competencias Objetivo de aprendizaje Conocimientos básicos
•Realizo construcciones y diseños utilizando dibujos o figuras geométricas
bidimensionales.
•Reconozco y valoro el uso de las figuras geométricas y sus transformaciones en distintos aspectos del arte y el diseño.
El estudiante dibuja y construye (en cartón) losetas
de distintas formas para realizar un mosaico o teselado,
desde el punto de vista geométrico y artístico.
• Conocer las figuras geométricas (Triángulo equilátero, cuadrado,
hexágono regular)
•Realizar transformaciones: traslación, rotación,
simetrías)
METODOLOGÍA EN SECUENCIA DIDÁCTICA
MATERIALES Y RECURSOS EDUCATIVOS EXPLORACIÓN DESARROLLO FINALIZACIÓN
• Libro Proyecto SE matemáticas (3 o 4)
• Libro Inteligencia visual y Espacial
• Cartón o cartulina de colores• Lápices, marcadores, reglas,
transportador, tijeras, goma• Hojas de papel
Asignar tareas por grupos de estudiantes:
•Grupo 1: Realizar traslaciones y rotaciones a la figura de triángulo equilátero y cubrir el plano (una hoja de papel) con ellas.
•Grupo 2: Realizar traslaciones y rotaciones a la figura del cuadrado y cubrir el plano (una hoja de papel) con ellas.
•Grupo 3: Realizar traslaciones y rotaciones a la figura del hexágono y cubrir el plano (una hoja de papel) con ellas.
•Se intercambian las figuras de referencia en los grupos.
¿Qué polígonos se generan con las piezas de un mosaico?
Cómo se pueden cortar trozos de una pieza y añadirlos en otra parte de la misma, conservando la propiedad de teselar?
¿Qué ángulos están presentes, la rotación, el sentido y la medida del ángulo de rotación?
¿Qué movimientos isométricos en el plano se han realizado y cuáles son sus elementos?
Los grupos exponen los trabajos realizados en los pasillos de la institución.
Se realizará un ejercicio de crítica constructiva sobre cada una de los trabajos presentados por los grupos.
Cada estudiante después del trabajo anterior realizará su propio diseño.
Se presentarán ejemplos de mosaicos y teselados en la vida cotidiana, después de haber visitado lugares o a través de visitas a portales web. Para evidenciar la importancia e implementación de los mosaicos en el arte, la arquitectura y la industria en general.
EVALUACIÓN
DESEMPEÑOS ESPERADOS TIPO DE EVALUACIÓN
•Usa las transformaciones de las figuras geométricas estudiadas para
solucionar problemas relativos al diseño y construcción de figuras para recubrir el plano, desde el
punto de vista geométrico y artístico.
Autoevaluación: El estudiante compara el trabajo realizado por él
con los modelos suministrados por el
docente y hace una lista de similitudes y
diferencias.Heteroevaluación : Se
tendrá en cuenta el uso de las figuras
geométricas, el número de transformaciones
realizadas y la estética del trabajo presentado.
Una pieza es teselante cuando se puede acoplar una con otra, hasta recubrir el plano completo.
La teselación consiste en repetir la misma figura varias veces para recubrir una superficie, sin espacio ni superposición de figuras.
La configuración que se obtiene recibe el nombre de mosaico, teselación o enlosado. (Casas, 2000).
Al observar los pisos, enchapes en las paredes, en las plazas, en vasijas, la pavimentación con adoquines encontramos teselaciones. (Casas, 2000).
Podemos explorar a través de las siguientes preguntas la importancia que el análisis y diseño de los mosaicos tienen para la geometría .
¿Qué polígonos regulares poseen la característica de generar mosaicos y cubrir el plano?
¿Qué polígonos se generan con las piezas de un mosaico?
Cómo se pueden cortar trozos de una pieza y añadirlos en otra parte de la misma, conservando la propiedad de teselar?
¿Qué ángulos están presentes, la rotación, el sentido y la medida del ángulo de rotación?
¿Qué movimientos isométricos en el plano se han realizado y cuáles son sus elementos?
Los polígonos regulares que pueden teselar el plano son tres:
Triángulo equilátero
Cuadrado
Hexágono regular
Existen también muchos polígonos irregulares y muchos no polígonos que teselan. (Casas, 2000)
Convenciones para nombrar teseladosEl nombre del teselado cuya unidad es el cuadrado es 4.4.4.4 pues en cada vértice concurren cuatro figuras de cuatro lados cada una. (Casas, 2000)
El nombre del teselado cuya unidad es el triángulo es 3.3.3.3.3.3 pues en cada vértice concurren seis figuras de tres lados cada una. (Casas, 2000)
El nombre del teselado cuya unidad es el hexágono es 6.6.6 pues en cada vértice concurren tres figuras de seis lados cada una. (Casas, 2000)
Se pueden combinar distintos polígonos regulares, obteniendo teselados semirregulares como este. (Casas, 2000)
Obsérvese que la condición para que las figuras teselen es que la suma de los ángulos que concurren sea igual a 360°. (Casas, 2000)
Este tipo de problemas encuentra una aplicación directa en situaciones prácticas en que se quiere colocar muchos objetos del mismo tamaño en el menor espacio posible, por ejemplo:
• Cortar piezas idénticas de un trozo grande de material, con el menor desperdicio posible.
•Ahorrar tela en la confección de ropa.
•Trazar el plano de un parqueadero
•Colocar bien mercancías en los anaqueles de un almacén.
• Empacar objetos y ropa en una maleta
• Colocar equipaje en el baúl de un coche
• Distribuir los muebles en una casa o apartamento
ACTIVIDADES
CREANDO LOSETAS Y ARMANDO MOSAICOS
1. Por TraslaciónEscher utilizó reglas para construir losetas, por ejemplo: “ Toda parte recortada en un lado del cuadrado se añade mediante una traslación al lado opuesto”. Aplicable a paralelogramos o a hexágonos de lados paralelos dos a dos. (Casas, 2000)
2. Por RotaciónDibuja un triángulo equilátero.
Recorta un trozo de la mitad de un lado y mediante un giro de 180°, con centro en el punto medio de ese lado, se añade la otra mitad. Esto se puede repetir en los otros dos lados. (Casas, 2000)
Los árabes han hecho del mosaico un motivo tanto matemático como artístico.
La Alhambra de Granada
La Alhambra de GranadaEn la Alhambra de Granada tenemos una muestra de mosaicos y teselados:
La transformación de un polígono regular en otra figura equis- superficial produjo formas desconocidas hasta entonces en la historia del Arte.
avión
La Alhambra de Granada hueso
La Alhambra de Granada
pajarita
La Alhambra de GranadaOtros mosaicos tienen su origen en el solapamiento de polígonos.
Combinando cuadrado y rotación se crea una estructura que reina en la Alhambra sobre todas: el sello de Salomón
ACTIVIDADES 1
¡Hagamos mosaicos!
Una forma sencilla de conseguir mosaicos consiste en deformar los polígonos de un mosaico regular –formado por triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares– como en el ejemplo.
El fundamento de la técnica es simple: eliminar una parte de un lado del polígono para añadirla en otro.
Repetiremos este par de acciones siguiendo siempre el mismo criterio hasta que obtengamos la figura que deseemos que encajará con el resto en virtud del proceso de construcción que hemos seguido.
ACTIVIDADES 2
Todo Cuadrilátero tesela el plano.
Inventa tus propias losetas y arma tus mosaicos.
Con las siguientes piezas de pentominós construye mosaicos, como el del ejemplo.
ACTIVIDADES 3
Todo Cuadrilátero tesela el plano.
Inventa tus propias losetas y arma tus mosaicos.
Con las siguientes piezas de hexaminós construye mosaicos.
ACTIVIDADES 4
Todo Cuadrilátero tesela el plano.
Inventa tus propias losetas y arma tus mosaicos.
Con las dos piezas de heptominós construye mosaicos.
ACTIVIDADES 5
ACTIVIDADES 6
ACTIVIDADES 7
El Uso de la Teselación en el Arte
El Uso de la Teselación en el Arte
El Uso de la Teselación en el Arte
El Uso de la Teselación en el Arte
El Uso de la Teselación en el Arte
El Uso de la Teselación en el Arte
¡MUCHAS GRACIAS!
Referencias
• Casas, Esperanza. 2000. Inteligencia visual y espacial. El arte en las matemáticas. Cooperativa Editorial Magisterio. Bogotá
