1

3 TERMOFIZIKA

Bez obzira na veoma rana iskustva čoveka sa veštačkim izvorima toplote, nauka o toploti se

relativno sporo razvijala. Stečena iskustva i saznanje da se na račun toplote može vršiti mehanički rad,

dovela su do razvoja ove oblasti fizike tek u XVII veku. Uspostavljene zakonitosti na osnovu izvedenih

eksperimenata su se odnosile na makroskopske i ponašanje tela u celini. Definisanjem odgovarajućih

fizičkih veličina i eksperimentalnim uspostavljanjem veza između njih, omogućeno je opisivanje promena

na telima i okolini, izazvanih međusobnom razmenom toplote. Oblast termofizike zasnovana na

izučavanju toplotnih pojava putem praćenja makroskopskih parametara sistema, naziva se termodinamika.

Teznjom naučnika da proniknu u suštinu toplotnih pojava, odnosno da zakone termodinamike

objasne na osnovu mikrostrukture materije, nastaje oblast termofizike pod nazivom molekulsko­kinetička

teorija. Ona polazi od činjenice da se svaka supstancija sastoji od atoma, odnosno molekula.

Posmatranjem jedne čestice sistema, pod određenim uslovima, molekusko­kinetička teorija putem

uopštavanja dolazi do analitičkih izraza za određene fizičke veličine i veze među njima, kao sto su

pritisak, unutrašnja energija, specifična toplota itd.

3.1 MOLEKULSKO-KINETIČKA TEORIJA

3.1.1 Osnovne postavke molekulsko­kinetičke teorije

Još su stari Grci postavili pitanje da li je unutrašnja struktura materije kontinualna ili diskretna,

odnosno da li je neprekidna ili se sastoji od čestica. Tako Demokrit1 postavlja hipotezu da je supstanca

sastavljena iz nedeljivih čestica ­ atoma2 koji se nalaze u neprekidnom kretanju. Njegova pretpostavka da

"postoje samo atomi i prazan prostor" nije bila prihvaćena ni tada, niti još dugo vremena posle. U

srednjem veku se smatralo da je supstanca kontinualna i da postoji beztežinski fluid flogiston čijim dovo-

đejenjem ili odvođenjem se ona zagreva, odnosno hladi. Međutim, u XVII veku se ponovo aktueliziraju

Demokritova shvatanja o atomskoj strukturi materije, kada na osnovu prvih eksperimentalno utvrđenih

zakonitosti, dolazi do uspostavljanja osnova molekulsko­kinetičke teorije, da bi u XIX veku ova teorija

našla punu eksperimentalnu potvrdu. Na osnovu ovih istraživanja proizašle su sledeće osnovne postavke

molekulsko­kinetičke teorije:

­ svaka supstanca se sastoji od molekula i međumolekulskog prostora,

­ molekuli se nalaze u neprekidnom kretanju, i

­ među molekulima deluju privlačne sile električne prirode (treba imati u vidu da su elektrostatičke

sile mnogo jače od gravitacionih, te se gravitacione u mikrosvetu mogu zanemariti).

Kao potvrdu teze da se molekuli nalaze u neprekidnom kretanju, navesćemo pojavu poznatu kao

Braunovo3

kretanje, a koja je dobila ime po naučniku koji ju je otkrio 1827. godine. Ako se pod jačim

mikroskopom posmatraju čestice dima ili kap ulja na vodi, zapaziće se da se sitne čestice nalaze u stalnom

kretanju. Kretanje sitnijih čestica je izrazitije nego krupnijih.

Uzrok pojave je dugo bio nepoznat, dok nije utvrđeno da je kretanje čestica izazvano sudarima

molekula tečnosti ili gasa koji ih okružuju. Iako molekuli udaraju česticu sa svih strana, ipak se ovi udari

ne uravnotežuju međusobno u potpunosti. Slučajno će rezultanta udara sa jedne strane biti veća nego sa

1 Demokrit (oko 460.­ 370. god. pre n.e.), starogrčki filozof.

2 atomos (gr:..) - nedeljiv.

3 Robert Brown (1773 ­ 1853), škotski botaničar

2

druge i čestica će u tom smeru početi da se kreće. Zatim će preovladati udari u nekom drugom pravcu, pa

će i čestica promeniti pravac svog kretanja. Rezultat svega je haotično kretanje čestica.

Za razliku od tečnih i gasovitih tela kod kojih je kretanje molekula haotično, kod čvrstih tela ne

postoji translatorno kretanje čestica, s obzirom da su međumolekularne sile dovoljno snažne usled čega

atomi samo osciluju oko svojih ravnotežnih položaja.

Pomoću molekulsko­kinetičke teorije se mogu objasniti mnoge pojave i termicke veličine, kao na

primer pritisak gasa, promena agregatnog stanja, prenošenje toplotne energije, promena temperature tela i

slično.

3.1.2 Maksvelova raspodela molekula gasa po brzinama

Kao što je rečeno, molekuli gasa se kreću haotično i u toku svog kretanja se sudaraju sa zidovima

suda ukome se nalaze, kao i međusobno. Svi pravci kretanja su ravnopravni, tako da se u nekom uočenom

pravcu u proseku kreće isti broj molekula kao u ma kom drugom.

Sta je sa brzinama kojima se molekuli kreću? Brzine se razlikuju od molekula do molekula i ni u

kom slučaju se ne može reci da svi molekuli imaju istu brzinu, niti da su sve vrednosti brzina podjednako

verovatne. Ovo je upravo posledica sudara između molekula i razmene energije koja se tom prilikom

dešava. Tako se brzine molekula grupišu uglavnom oko neke, za date uslove najverovatnije vrednosti.

Postoje naravno molekuli čije brzine i značajnije odstupaju od ove vrednosti, ali što je odstupanje veće,

sve je manji broj molekula koji takve brzine poseduju.

Posmatrajmo određenu količinu gasa koja sadrzi N molekula i pretpostavimo da su zastupljene sve

brzine molekula. Ako uočimo neki i - ti interval brzina , može se definisati funkcija

( )

(3.1.1)

u kojoj je sa označen broj molekula gasa koji imaju brzine u datom intervalu, odnosno od do

. Tada količnik pokazuje koji je to deo molekula u odnosu na ukupan broj, odnosno pre-

dstavlja relativan broj molekula gasa koji imaju brzine u tom intervalu. Zbog toga se može reći da je

veličina ( ) jednaka relativnom broju molekula gasa po jedinici uočenog intervala brzina. Ona se naziva

funkcija raspodele i karakteriše raspodelu molekula po brzinama. Nju je teorijski izveo Maksvel, pa se

zato još i naziva Maksvelova raspodela, a njen analiticki izraz glasi

( ) (

)

(3.1.2)

gde je µ - masa jednog molekula, ­ Bolcmanova4 konstanta i T - termodinamička

temperatura. Grafik funkcije raspodele molekula po brzinama je prikazan na slici 3.1.1. Konkretan oblik

funkcije zavisi od vrste gasa u jednačini figurise masa molekula) i od temperature, dok pritisak i zapremi-

na ne utiču na funkciju raspodele. Povećanjem temperature gasa raste broj molekula čije se brzine zna-

čajnije razlikuju od najverovatnije ( ), što se odražava na širenje krive i smanjenje maksimuma funkcije.

Pri smanjenju temperature se brzine sve više grupišu oko najverovatnije, tako da kriva poprima sve uži

oblik i veći maksimum.

Na osnovu definicije funkcije (3.1.1) i prikazanog na slici, može se zaključiti da je površina

ispod krive, nad datim intervalom, jednaka relativnom broju molekula

( ) (3.1.3)

U graničnom slučaju kad , jednačina (3.1.3) se može napisati u diferencijalnom obliku,

čijom integracijom se dobija

∫ ( )

∫

(3.1.4)

Pošto integral u matematičkom smislu predstavlja površinu ispod krive, na osnovu (3.1.4) proizilazi

da je površina ispod funkcije raspodele jednaka jedinici, odnosno kažemo da je Maksvelova funkcija

(3.1.2) normirana na jedinicu.

4 Ludwig Boltzman (1844 ­ 1906), austrijski fizičar

3

Slika 3.1.1

Veličina površine ispod krive levo od je nešto manja od one, desno od To znači da ima više

molekula sa brzinama većim od , nego onih čije su brzine manje od .

Kao što se iz jednacine (3.1.2) i njenog grafičkog prikaza može zakljuciti, ( ) pada na nulu kad je

i kad , a maksimumu raspodele odgovara najverovatnija brzina Do ove vrednosti se može

doći kad se iskoristi da kod maksimuma funkcije, njen prvi izvod mora biti jednak nuli, odnosno

( )

što nakon diferenciranja daje

(

)

(

)

odakle je

√

Znajući raspodelu molekula po brzinama, može se naći srednja vrednost brzine, kao i srednja vrednost

neke druge fizičke veličine koja je funkcija brzine. Za nalaženje izraza za srednju vrednost brzine, polazi

se od toga da molekula ima brzinu u rasponu od do ali da se aproksimativno u okviru i­tog

intervala može uzeti njena srednja vrednost . Tada je

∑

Zamenom

iz (3.1.1), srednja brzina je

∑ ( )

Kad , može se sa operacije sumiranja preći na operaciju integraljenja, tako da se može pisati

∫ ( )

Nakon zamene funkcije raspodele ( ) iz (3.1.2) i integraljenja, dobija se

√

4

3.1.3 Unutrašnja energija i temperatura gasa

Unutrašnja energija gasa predstavlja sumu energija svih rnolekula, ne uzimajući u obzir kinetičku i

potencijalnu energiju koju sistem kao celina eventualnoima. Znači, to bi bio zbir pojedinačnih kinetičkih

energija molekula i potencijalnih energija međurnolekulske interakcije. Kod gasa kojeg nazivamo

idealnim, smatra se da su međumolekulske sile i dimenzije molekula jednake nuli. To znači da izostaje i

potencijalna energija zbog međumolekulskog dejstva, pa se unutrašnja energija idealnog gasa svodi samo

na sumu kinetickih energija prisutnih molekula. Za unutrasnju energiju molekula idealnog gasa se tada

može pisati

∑

∑

∑

Ako se dobijeni izraz proširi sa

dobija se

∑

gde je, na osnovu definicije srednje vrednosti, uzeto da je

∑

(3.1.5)

srednja kvadratna brzina. Ona se može definisati i pomoću Maksvelove funkcije raspodele,

smatrajuči da se u nekom i­tom intervalu brzina nalazi rnolekula, čije su brzine u proseku jednake Tada se za srednju kvadratnu brzinu može pisati

∑

∑ ( )

gde se sada indeks i odnosi na intervale brzina. Uzimanjem što manjeg intervala , smanjuje se greška

zbog aproksimacije brzine molekula njihovom prosečnom vrednošću za dati interval, tako da se u

graničnom slučaju kad , može preći sa na i sa sume na integral

∫ ( )

Uvrštavanjem izraza (3.1.2) za ( ) u dobijeni integral njegovim rešavanjem, za srednju kvadratnu brzinu

se dobija

Koren iz srednje kvadratne brzine se još naziva i energetska brzina

√ √

(3.1.6)

s obzirom da u formuli za unutrašnju energiju (3.1.5) figuriše izraz . On po svojoj formi i suštini

predstavlja srednju kinetičku energiju molekula

(3.1. 7)

Zamenom energetske brzine (3.1.6) u (3.1.7) za srednju kinetičku energiju se dobija

(3.1.8) Tada za unutrašnju energiju (3.1.5) n molova gasa sledi

(3.1.9)

5

gde je ­ Avogadrov5 broj, jednak broju molekula u jednom molu gasa, m - masa

gasa i - molarna masa.

Može se zaključiti da unutrašnja energija određene mase nekog gasa zavisi samo od njegove

temperature. To znači da promena unutrasnje energije zavisi samo od početne i krajnje temperature, a ne i

od tipa procesa kojim je izvršen prelaz od početnog do krajnjeg stanja. Pri ovome ne treba zaboraviti da je

kod Maksvelove raspodele uzeto u obzir samo translatorno kretanje molekula, kada se u formulama za

srednju kinetičku energiju (3.1.8) i unutrašnju energiju (3.1.9) javlja koeficijenat ·Ukoliko postoje i

drugi oblici kretanja (rotacioni i vibracioni), koeficijenat je drugaciji, o čemu će biti više reči u odeljku

3.1.4.

3.1.4 Unutrašnja energija i stepeni slobode kretanja

Broj stepeni slobode mehaničkog sistema predstavlja broj nezavisnih veli-

čina pomoću kojih može biti zadat njegov položaj. Ovaj broj ujedno pre-

dstavlja i različite mogućnosti kretanja celog sistema, ili pojedinih njegovih

delova. Na primer, položaj materijalne tačke određen je sa tri koordinate,

koje se prilikom kretanja mogu menjati, pa materijalna tačka ima tri stepena

slobode. Pošto se kod nje radi o translatornom pomeranju i stepeni slobode

se nazivaju translatornim. Jednoatomske molekule možemo tretirati kao

materijalne tačke ­ oni imaju tri stepena slobode koji su translatorni. Ako

bismo imali sistem od nezavisnih materijalnih tačaka, njegov broj stepeni slobode iznosio bi . Među-

tim, bilo koja kruta veza između pojedinih tačaka smanjuje broj stepeni slobode za jedan. Uzmimo, na

primer, sistem od dve materijalne tačke čije su koordinate , , i , , a koje se nalaze na

fiksiranom rastojanju ( ) ( )

( ) . Ako bi rastojanje među tackama bilo

promenljivo, sistem koji one čine imao bi 6 stepeni slobode. Ovako, zahvaljujući navedenoj jednačini,

broj nezavisnih i potrebnih koordinata za određivanje njegovog položaja je sveden na 5, pa kažemoda ima

5 stepeni slobode. Primer ovakvog sistema je dvoatomski molekul kod kog se ne menja rastojanje između

atoma. Od ovih pet stepeni slobode tri su translatorna, a preostala dva su rotaciona. Dvoatomski molekul

kao celina može da se translatorno pomera analogno jednoatomskom, duž tri uzajamno normalna pravca i

tome odgovaraju tri translatorna stepena slobode. S druge strane, postoji rnogućnost njegove rotacije oko

dve ose (x i z) koje su normalne na duž koja spaja atome, slika 3.1.2, a ovom kretanju pridružuju se dva

rotaciona stepena slobode. Rotacija oko treće ose (y), koja prolazi kroz duž koja spaja atome, ne bi donela

ništa novo, odnosno ne bi dovela do promene koordinata bilo koje tačke sistema. Uz to je i moment inerci-

je oko nje jednak nuli, a time i kinetička energija rotacije. Dvoatomski molekuli se na ovakav način mogu

tretirati ako temperatura nije visoka. Međutim, na višim temperaturama dolazi do izražaja oscilatorno

kretanje molekula, kada se rastojanje između atoma znatnije menja, i tada se broj stepeni slobode pove-

ćava na šest. Taj šesti stepen slobode se naziva oscilatornim, s obzirom na vrstu kretanja za koju se

vezuje.

U prethodnom odeljku su molekuli tretirani kao materijalne tačke (kao jednoatomski), dakle imali su

samo energiju translatornog pomeranja, određenu izrazom (3.1.8). Zbog toga što su svi pravci kretanja

ravnopravni, odnosno svi translatorni stepeni slobode ekvivalentni, svakom odgovara isti iznos energije

od

. Kada se uzme u obzir da je i rotaciono kretanje ravnopravno sa translatornim, svakom rotaci-

onom stepenu slobode će takođe odgovarati energija

. Sa oscilatornim kretanjem je, međutim, nešto

drugačija situacija. Kod njega se osim kinetičke, javlja i potencijalna energija (čije su srednje vrednosti

međusobno jednake), tako da po oscilatornom stepenu slobode pripada energija 2

. Zbog toga će, u

opštem slučaju, srednja energija molekula biti jednaka

(3.1.10)

gde je i jednako zbiru broja translatornih ( ), rotacionih ( ) i dvostrukog broja oscilatornih ( ) stepeni

slobode

5 Amedeo Avogadro di Quaregna (1776 ­ 1856), italijanski fizičar.

Slika 3.1.2

6

(3.1.11)

Sada se i izraz za unutrašnju energiju (3.1.9) može uopštiti, uzimajući u obzir formulu (3.1.10)

(3.1.12)

3.1.5 Pritisak idealnog gasa na zidove suda

Molekuli gasa se kreću haotično, sudaraju se međusobno i udaraju o zidove suda u kom se gas nala-

zi. Pritisak gasa je posledica ovih udara molekula, a da bismo našli od kojih faktora on zavisi uvešćemo

neka pojednostavljenja. Molekuli imaju različite brzine kretanja, osim toga one se tokom sudara menjaju,

ali ćemo jednostKavnosti radi, ovde pretpostaviti da se svi kreću istom brzinom , kao i da imaju istu

masu . Pošto je kretanje haotično, jasno je da se vrši u svim

mogućim pravcima, no mi ćemo ga posmatrati projektovano

na tri uzajamno normalna pravca,slika 3.1.3. Ako gas ima

molekula, duž svakog pravca će se kretati ⁄ , tj. duž

svakog smera ⁄ . Postavimo sada neku površinu nor-

malno na jedan od ovih pravaca, tako da se prema njoj kreće

⁄ molekula, udara u nju i vrši pritisak. Naravno, stati-

stički gledano, moguće je da usled međusobnih sudara neki od

molekula odstupe od ovog pravca kretanja, ali će iz istih

razloga drugi dobiti baš ovaj pravac, tako da je njihov broj u

ukupnom zbiru nepromenjen. Kada jedan molekul mase

udari o površinu zida kao na slici 3.1.4.a, njegova količina

kretanja se promenila od na

, pa je promena impulsa molekula . Na osnovu

jednakosti impulsa sile i promene količine kretanja, sledi

gde je F' - sila udara jednog molekula. Za vreme o zid

udari

molekula koji se nalaze u zapremini , slika

3.1.4.b. Ako sa označimo koncentraciju molekula, odnosno

broj molekula po jedinici zapremine

za broj udara se može pisati

(3.1.13)

Ukupan impuls koji zid površine usled ovih udara primi za vreme

je

odatle se za silu koja deluje na zid dobija

Zbog činjenice da su brzine molekula različite, što do sada nismo uzimali

u obzir, neophodno je uzeti srednju vrednost dobijenog izraza za ukupnu

silu, što daje

Konačno, za pritisak idealnog gasa se dobija

Slika 3.1.3

Slika 3.1.4

7

ili, uzimajući u obzir relaciju (3.1. 7), za pritisak sledi

(3.1.14)

Dobijena jednačin a predstavlja osnovnu relaciju kinetičke teorije gasova, na osnovu koje se može

reći da je pritisak idealnog gasa brojno jednak ⁄ srednje kinetičke energije translatornog kretanja mole-

kula koji se nalaze u jedinici zapremine.

Pritisak idealnog gasa se može izraziti i preko temperature, ukoliko se izraz za srednju kinetičku

energiju translatornog kretanja (3.1.8) uvrsti u formulu (3.1.14)

(3.1.15)

Ako imamo smešu gasova, što je u praksi čest slučaj, ukupan broj molekula u jedinici zapremine ( ) će

predstavljati zbir koncentracija pojedinih komponenti

pa je tada pritisak gasa

(3.1.16)

gde ...predstavljaju takozvane parcijalne pritiske, koji su međusobno nezavisne veličine. Relacija

(3.1.16), koja je poznata kao Daltonov6 zakon, pokazuje da je pritisak smeše gasova jednak sumi njihovih

parcijalnih pritisaka.

3.1.6 Jednačina stanja idealnog gasa

Da bismo okarakterisali stanje nekog gasa mase , neophodno je poznavati njegove osnovne para-

metre, koje čine pritisak ( ), zapremina ( ) i temperatura ( ). Eksperimentalno je utvrđeno da među njima

postoji određena zavisnost, koja neposredno sledi i iz jednačine (3.1.15). Ukoliko se u ovu jednačinu uvr-

sti formula za koncentraciju molekula (3.1.13) i uzme u obzir da se broj molekula može izraziti preko

broja molova i Avogadrovog broja kao , dobija se

(3.1.17)

Proizvod Avogadrovog broja i Bolcmanove konstante daje konstantu ,

koja se naziva univerzalna gasna konstanta. Sada se jednačina (3.1.17) može napisati u obliku

(3.1.18)

Ova jednačina povezuje osnovne parametre sistema i naziva se jednačina stanja idealnog gasa. Ako je ma-

sa gasa , a njegova molarna masa , tada se broj molova gasa može izraziti kao , a jednačina

(3.1.18) tada glasi

(3.1.19)

Količnik univerzalne gasne konstante i molarne mase predstavlja gasnu konstantu , tako da se

jednačina (3.1.19) piše i na sledeći način

(3.1.20)

Ukoliko spoljašnjim delovanjem dođe do promene jednog od osnovnih parametara, tada će gas preći iz

početnog stanja, okarakterisanog parametrima , i , u novo stanje sa parametrima , i . To

znači da za stalnu količinu gasa , na osnovu (3.1.18), mora važiti jednakost

što za početno i krajnje stanje daje

6 John Dalton (1766 ­ 1844), engleski hemičar i fizičar

8

3.1.7 Gasni zakoni: Bojl­Mariotov, Gej­Lisakov i Šarlov zakon

Kod gasova su mogući takvi procesi u toku kojih se jedan od parametara održava konstantnim. Uko-

liko je temperatura tokom procesa konstantna, on je izotermski, ako je konstantna zaprernina proces je

izohorski, a ako je pritisak konstantan, naziva se izobarski. Svi zakoni koji opisuju navedene procese se

odnose na idealne gasove, a primenljivi su i na realne pri određenim uslovima, odeljak 3.2.5.

Bojl­Mariotov zakon opisuje izotermske procese. Ako je , iz jednačine stanja idealnog

gasa, za stalnu količinu gasa proizilazi

(3.1.21)

ili rečima: proizvod između pritiska i zapremine određene količine gasa

je konstantan, pri stalnoj temperaturi. To znači da ukoliko se poveća

pritisak gasa, mora doći do smanjenja njegave zapremine, i obrnuto. Ove

promene moraju biti takve da važi Bojl­Maritov zakon

U navedenoj jednačini, indeks 1 se odnosi na početno, a indeks 2 na

krajnje stanje gasa. Ovaj zakon su eksperimentalno utvrdili, nezavisno

jedan od drugag, Bojl7 1662. i Mariot

8 1679. go dine. Na slici 3.1.5 je u

dijagramu prikazana izotermnska promena, koja u matematičkom

smislu predstavlja hiperbolu, čija jednačina glasi

Gej-Lisakov zakon. Kod izobarskih procesa je p =canst, što za nepromenljivu masu gasa, iz

jednačine (3.1.18) daje

ili primenjeno na početno i krajnje stanje

(3.1.22)

U dijagramu ovaj zakon je predstavljen pravom paralelnom sa osom, koja se naziva

izobara, slika 3.1.6.

Slika 3.1.6 Slika 3.1.7

Ovaj zakon je najpre eksperimentalno otkriven od strane Gej­Lisaka9 1802. godine. On je utvdio da

je relativna povećanje zapremine pri stalnom pritisku direktno srazmerno sa temperaturom izraženom u

7 Robert Boyle (1627 ­ 1691), irski fizičar i hemičar. 8 Edme Mariette (oko 1620 ­ 1684), francuskifizičar. 9 Joseph Louis Gay­Lussac (1778 ­ 1850), francuski fizičar i hemičar.

Slika 3.1.5

9

°C, što direktno proizilazi i iz zakona (3.1.22), ako se za početno stanje uzme temperatura 0°C, a za kra-

jnje, temperatura merena u °C. Tada se može pisati

(3.1.23)

gde je - zapremina gasa na 0°C, - zapremina gasa na °C i = 273 K, koja odgovara temperaturi u

Celzijusovoj skali od 0°C. Ako se uzme u obzir veza između termodinamičke temperature ( ) i Celzi-

jusove temperature ( ), odeljak 1.1.1, koja glasi da je , jednačina (3.1.23) poprima oblik

( ) (3.1.24)

gde je uzeto da je

­ terrnički koeficijent širenja gasa. Ako se iz

Gej­Lisakovog zakona izrazi , dobija se

na osnovu čega se može reći da brojna vrednost termičkog koeficijenta širenja gasa predstavlja relativnu

promenu zapremine gasa ( ) pri promeni temperature za 1 °C. Gej­Lisak, a kasnije i drugi fizičari, su

preciznim merenjima utvrdili da se termički koeficijent širenja gasa neznatno razlikuje za različite gasove.

Ove razlike od teorijski dobijene vrednosti nastaju zbog odstupanja od zakona idealnog gasa, kada su u

pitanju realni gasovi.

Na slici 3.1.7 je prikazan Gej­Lisakov zakon (3.1.24) u dijagramu. Zavisnost zapremine od

temperature ima linearan karakter, a prava preseca osu na i osu na ­273, 15°C. Za realne gasove

dolazi do odstupanja od ove zakonitosti, koje je naročito izraženo pri nižim temperaturama, kada dolazi i

do promene agregatnog stanja materije.

Šarlov zakon takođe proizilazi iz jednačine stanja idealnog gasa, pod uslovom da se zapremina

određene količine gasa ne menja. Tada sledi

ili primenjeno na dva različita stanja

Kao i Gej­Lisakov zakon, tako i Šarlov10

, može na isti način da se izrazi i preko Celzijusove temperature

( ) (3.1.25)

gde se, u ovom slučaju, naziva termički koeficijent pritiska i ima istu vrednast kao i termicki koeficijent

širenja gasa

1. Prva merenja termičkog koeficijenta pritiska je izvršio francuski

naucnik Šarl 1787. godine.

U dijagramu, Šarlov zakon je prikazan pravom normalnom na osu, slika 3.1.8. Na slici

3.1.9 je prikazan isti ovaj zakon izražen u funkciji Celzijusove temperature (3.1.25).

10

Jacques A. C. Charles (1746 ­ 1823), francuski fizičar.

10

Slika 3.1.8 Slika 3.1.9

3.1.8 Specifična toplota čvrstih tela

Ako se telu na neki način dovede količina toplote , tada če njegova temperatura porasti od početne

do krajnje . Temperaturska razlika , za koju će se povećati temperatura telu, zavisiće od

dovedene količine toplote, mase tela i vrste materijala od kojeg je ono sačinjeno. Eksperimentalna je

utvrđena sledeća zavisnost između ovih veličina

(3.1.26)

gde je c ­ specifična toplota, ili kako se jos naziva specificni toplotni kapacitet, koji zavisi od vrste

materijala tela. Utvrđeno je da specifična toplota čvrstih tela uglavnom ne zavisi od temperaturskog inte-

rvala u kom se vrši zagrevanje tela. Do značajnijih odstupanja od ovog pravila dolazi pri nižim temperatu-

rama čiji je uzrok kvantnomehaničke prirode i ovde neće biti razmatran. Dakle, može se smatrati da je

specifična toplota čvrstih tela u većini primera konstantna veličina u oblasti temperatura nešto nižih od

sobne i viših od nje. Iz (3.1.26) sledi da je

(3.1.27)

te se može reći da je specifična toplota brojno jednaka toploti koju je potrebno dovesti telu po jedinici

njegove mase da bi se ono zagrejalo za 1 °C, odnosno kelvin. Iz ove definicije proizilazi da je jedinica

specificne toplote Jkg/K. ·

Ako bi se dovedena toplota izrazila po jedinici povećanja temperature celog tela, tada se ova veli-

čina

naziva toplotni kapacitet tela, a njegova jedinica je J/K.

Specifična toplota može da se izrazi i po jedinici količine supstancije, kada se naziva molarna speci-

fična toplota. Njena brojna vrednost kazuje, koliko je potrebno dovesti toplote po jednom molu supsta-

ncije za povecanje temperature od 1 °C, odnosno kelvina

(3.1.28)

i izražava se u jedinicama J /molK.

S obzirom da dovođenje toplote čvrstom telu uzrokuje povećanje njegove temperature, doći će do

povećanja njegove unutrašnje energije, određene formulom (3.1.12). Uzimajuci u obzir da kod čvrstih tela

ne postoji translatorno i rotaciono kretanje atoma, već: samo oscilatorno, za broj stepeni slobode (3.1.11)

treba uzeti samo one koji se odnose na ovaj oblik kretanja, odnosno . Na osnovu (3.1.12) se

tada može pisati

što zamenom u (3.1.28) za molarnu specifičnu toplotu daje

11

odnosno

(3.1.29)

Relacija (3.1.29) je najpre eksperimentalno ustanovljena u formi konstantnosti prooizvoda specifi-

čne toplote i molarne mase za neke elemente, od strane francuskih naučnika Dilona11

i Ptia12

1819. godine.

Otuda i naziv za ovu relaciju, Dilon­Ptiov zakon. Izmerene vrednosti molarne specifične toplote većine

materijala na sobnoj i višim temperaturama se kreću oko ovog broja, sa izuzetkom nekih (npr. berilijum,

silicijum, dijamant, ...) iz već pomenutih razloga.

Dok molarna specifična toplota po pravilu ima istu vrednost za većinu materijala, jer je definisana

po jednom molu supstancije (odnosno uvek po istom bro ju atoma ­ NA), to nije slučaj sa specifičnom

toplotom, koja zavisi od molarne mase c = CM/ M). Specifična toplota je različita za različite supstance i

predstavlja karakteristiku datog materijala.

3.1.9 Specifična toplota idealnog gasa

Dovođenje toplote gasu u opštem slučaju može dovesti do promene svih parametara sistema, a

procesi koji dovode do promene stanja gasa mogu biti veoma različiti. Utvrđeno je da i količina toplote,

potrebna za prelaz iz jednog stanja u drugo, zavisi od vrste procesa, te je neophodno prilikom definisanja

specifične toplote, vezati je za odgovarajući proces. Specifične toplote koje se odnose na izohorske i izo-

barske promene imaju značaja ne samo za ove procese, već i šire u termofizici.

Specifična toplota pri stalnoj zapremini. Ako se toplota dovodi idealnom gasu pod uslovom da on

ne menja svoju zapreminu, doći će samo do povećanja njegove temperature od T1 do T2, a time i njegove

unutrašnje energije, koja na osnovu zakona o održanju energije mora biti jednaka dovedenoj toploti . Za

promenu unutrašnje energije se na osnovu (3.1.12) može pisati

tako da se na osnovu definicije (3.1.27), za specifičnu toplotu pri stalnoj zapremini dobija

Molarna specifična toplota pri stalnoj zapremini će tada iznositi

(3.1.30)

Na osnovu formule (3.1.30) sledi da se promena unutrašnje energije može izraziti i preko specifične

toplote pri stalnoj zapremini

(3.1.31)

Formula (3.1.31) važi ne samo za izohorske procese, već i za sve ostale, s

obzirom da je unutrašnja energija idealnog gasa funkcija samo

temperature. U diferencijalnom obliku ona glasi

(3.1.32)

Specifična toplota pri stalnom pritisku. Pretpostavimo da se ide-

alan gas nalazi u cilindru sa pokretnim klipom, koji može da klizi idealno

bez trenja, slika 3.1.10. Ako se klip nalazi u ravnotežnom položaju, to

znači da je sila pritiska idealnog gasa koja deluje na klip, uravnotežena sa

delovanjem spoljašnjih sila. Postepenim dovođenjem toplote gasu, mogli

bismo vršiti njegovo zagrevanje, a time i povećavanje pritiska, na osnovu

relacija (3.1.8) i (3.1.14). Pretpostavimo da je dovođenje toplote dovoljno

sporo, kako bismo mogli smatrati da do povećanja pritiska praktično i ne

11

Pierre Louis Dulong (1785 ­ 1838), francuski fizičar. 12

Alexis­Therese Petit (1791 ­ 1820), francuski fizičar.

Slika 3.1.10

12

dolazi, odnosno da svako i najmanje povećanje pritiska dovodi do istovremenog pomeranja klipa, tako da

gas prolazi kroz niz ravnotežnih stanja. Treba imati na umu da bez obzira na stalno povećanje temperature

gasa, a time i srednje kinetičke energije molekula, do povećanja pritiska (3.1.14) ipak ne dolazi, jer se

istovremeno sa povećanjem zapremine smanjuje koncentracija molekula . Zbog toga možemo smatrati

da je gas vršio rad naspram spoljasnjih sila pri konstantnom pritisku , tako da se klip pomerao pod

dejstvom stalne sile , gde je - površina klipa. Ovo nam omogućuje da izvršeni rad računamo po

formuli

, (3.1.33)

gde je ­ pomeraj klipa, a - povećanje zapremine gasa, koja može da se izrazi pomoću

jednačine stanja idealnog gasa (3.1.19), kao

(3.1.34)

Zamenom izraza za u (3.1.33) za rad se dobija

S obzirom da je prilikom dovođenja toplote došlo i do povećanja temperature, na osnovu zakona o

održanju energije, za količinu toplote se može pisati

(

)

(3.1.34)

Zamenom (3.1.34) u (3.1.27), za specifičnu toplotu pri stalnom pritisku sledi

(

)

(

) (3.1.35)

što za njenu molarnu vrednost daje

(

)

Na osnovu (3.1.35) i (3.1.30) se može zaključiti da je za iznos

odnosno (3.1.36)

dok količnik ove dve veličine ( ) određuje koliko je puta veće od

(3.1.37)

Molarne količine toplote i i konstanta zavise od broja stepeni slobode gasa. Tako jednoatomni

gas ima tri stepena slobode, pa je

,

i . Kod dvoatomskog gasa situacija je

dvojaka, zavisno od toga da li se on nalazi na nižoj ili višoj temperaturi. Na nižoj temperaturi postoje sa-

mo translatorni (t) i rotacioni (r) stepeni slobode, ukupno ih je pet, pa je

,

i .

Na višim temperaturama se javlja i oscilatorni (o) stepen

slobode, tako da je usled toga za dvoatomski gas sada i = 7,

, i . Treba napomenuti da se na

sasvim niskim temperaturama dvoatomski gas ponaša kao

jednoatomski, odnosno da izostaju rotacioni stepeni slobode, a

postoje samo translatorni, što ima za posledicu i odgovarajuće

vrednosti molarnih količina toplote. Promena vrednosti sa

temperaturom na primeru molekula data je na slici 3.1.11.

Prelazi sa jedne vrednosti na drugu nisu sasvim skokoviti,

nego ima.ju izvestan blaži pad, jer svi molekuli gasa ne prelaze

istovremeno pri istoj temperaturi na rotaciono, odnosno oscila-

torno kretanje.

Slika 3.1.11

13

3.2 TERMODINAMIKA

3.2.1 Prvi princip termodinamike

U odeljku 3.1.3 je uveden pojam unutrašnje energije i pokazano je da njena promena, za izvesnu

količinu datog gasa, zavisi samo od promene temperature. Postoje dva načina za promenu unutrašnje

energije sistema, putem rada i putem toplote. Rad je proces koji može da vrši neki drugi sistem nad po-

smatranim, kad ćemo ga smatrati negativnim, a ukoliko posmatrani sistem vrši rad nad okolinom, sma-

traćemo ga pozitivnim. Drugi način promene unutrašnje energije se može odigrati putem mikroprocesa u

toku kojih se kinetička energija molekula toplijeg tela, predaje pojedinačnim molekulima hladnijeg tela.

Ako se energija predaje posmatranom sistemu, uzima se kao pozitivna, a ukoliko sistem .odaje energiju

hladnijem telu, odnosno okolini, uzima se kao negativna veličina. Razmenjena energija se, bez obzira na

njen znak, naziva količinom toplote i označava sa . Relacija koja povezuje razmenjenu količinu toplote, rad i promenu unutrasnje energije, zasnovana

na zakonu o održanju energije, predstavlja prvi princip termodinamike, koji se može prikazati kao

(3.2.1)

Jednačina (3.2.1) predstavlja opšti zakon termodinamike, to jest odnosi se na sve termodinamičke

procese. Na primer, mogući su procesi kod kojih se toplota dovodi gasu, na osnovu koje on povećava unu-

trašnju energiju i vrši spoljašnji rad, kada su sve tri navedene veličine sa pozitivnim znakom. Isto tako je

moguće da prilikom dovođenja toplote, jedna od dve veličine ( ili ) bude jednaka nuli. Postoje i pro-

cesi kod kojih neke od veličina mogu imati negativan predznak. Na primer, kad sistem vrši rad na račun

sopstvene unutrašnje energije, bez razmene toplote sa okolinom, promena će biti ć negativna. Količina

izvršenog rada nad sistemom je takođe negativna veličina, koja doprinosi pozitivnoj promeni unutrašnje

energije. Ako se toplota oduzima sistemu ona je negativna, a proces je praćen negativnom promenom unu-

trašnje energije, itd.

Na osnovu prvog principa termodinamike proizilazi da ne postoji toplotna mašina koja bi vršila me-

hanički rad bez ulaganja toplote. Zbog toga se ovaj princip često iskazuje i na sledeći način:

Nemoguć je perpetuum mobile prve vrste.

Nekada je potrebno proces razmene energije razložiti na elementarne procese, kada se I princip

termodinamike može napisati i u diferencijalnoj formi

(3.2.2)

Da bismo odredili veličinu termodinamičkog rada , posmatraćemo

idealan gas zatvoren u cilindru sa pokretnim klipom, slika 3.2.1. Neka se gas

širi, tako da se klip pomera naviše od početnog položaja (1) do krajnjeg (2).

U opštem slučaju će sila koja pomera klip biti promenljiva, tako da je rad

neophodno računati kao integral elementarnih radova. Uzimajući u obzir da

se pravac sile poklapa sa elementarnim putem , formula za rad se svodi na

∫ ( )

( ) ∫ ( )

( ) (3.2.3)

Ako se sila izrazi preko pritiska gasa kao i uzme u obzir da je

elementarna promena zapremine gasa , formula za termodinamički

rad (3.2.3) se svodi na

∫ ( )

( ) (3.2.4).

gde podintegralni izraz predstavlja elementarni rad . Sada se I princip termodinamike može

prikazati i na sledeći način

∫ ( )

( )

i u diferencijalnom obliku

(3.2.5)

Slika 3.2.1

14

3.2.2 Rad kod izo­ procesa

Na osnovu izraza (3.2.4) je moguće dobiti analitičke izraze za rad onih procesa kod kojih je poznata

funkcionalna zavisnost pritiska od zapremine. Gasni zakoni definisani u odeljku (3.1.7) upravo to omo-

gućavaju.

Izohorski proces. Za ovaj proces je karakteristično da se odvija pri , odnosno bez pro-

mene zapremine gasa, slika 3.2.2, te proizilazi da je , a I princip termodinamike se svodi na

.

Izobarski proces se odvija pri stalnom pritisku, što omogućuje da se pritisak , kao konstantna

veličina, izvuče ispred integrala u opštoj formuli za rad (3.2.4)

∫ ∫ ( )

( )

( )

( )

Tada za rad kod izobarskog procesa sledi

( ) . (3.2.6)

Na osnovu definicije integrala, kao i formule (3.2.6), sledi da je površina ispod izobare u p-V dijagramu

brojno jednaka radu , slika 3.2.3.

Slika 3.2.2 Slika 3.2.3 Slika 3.2.4

I princip termodinamike, uzimajući u obzir dobijeni izraz za rad (3.2.6), za izobarske procese glasi

ili, izrazavajući i preko odgovarajućih specifićnih toplota

lzotermski proces. Odvija se pri i važi Bojl­Mariotov zakon (3.1.21). Ako se iz ovog za-

kona izrazi pritisak, a za konstantu uzme izraz , što direktno sledi iz jednačine stanja idealnog gasa

(3.1.18), na osnovu (3.2.4) se za rad može pisati

∫

∫

( )

( )

( )

( )

što rešavanjem integrala dajeVi

U p-V dijagramu površina ispod izoterme, ograničena početnim i krajnjim stanjem, predstavlja rad , slika

3.2.4.

S obzirom da je tokom ovog procesa temperatura stalna, na osnovu (3.1.31) sledi da je , tako

da I princip termodinamike za izatermske procese daje

. (3.2.7)

15

3.2.3 Adijabatski proces

Poasonov zakon.Kod adijabatskog procesa sistem ne razmenjuje toplotu sa okolinom, što znači da

je . Tada se I princip termadinamike u diferencijalnom obliku (3.2.5) svodi na

. (3.2.8)

Ako se za diferencijalnu promenu unutrašnje energije uzme izraz (3.1.32), a pritisak p se izrazi iz jedna-

čine stanja idealnog gasa (3.1.20) kao , jednačina (3.2.8) se svodi na diferencijalnu jedna-

činu

( )

(3.2.9)

gde je uzeto u obzir da je i . Da bismo dobili jednačinu koja povezuje makro-

skopske promene parametara sistema, potrebna je izvršiti integraciju jeduačine (3.2.9) u granicama

određenim pocetnim (1) i krajnjim stanjem (2)

∫

( )∫

Nakon rešavanja integrala i pregrupisavanja članova jednačine, dobija se veza

na osnovu koje proizilazi da u toku adijabatskog procesa proizvod temperature i zapremine na ( )

stepen se ne menja

. (3.2.10)

Dobijena jednačina uspostavlja vezu između dva osnovna parametra sistema T i V, iako se i treći para-

metar, pritisak, takođe menja u toku procesa. Pošto jednačina stanja idealnog gasa (3.1.18) pavezuje sva

tri pararnetra, moguće je iz nje izraziti temperaturu i uvrstiti u (3.2.10) i tako dobiti vezu između pritiska i

zapremine

(3.2.11)

Istim postupkom se može uspostaviti i veza između pritiska i temperature, koja glasi

. (3.2.12)

Dobijene formule (3.2.10), (3.2.11) i (3.2.12) predstavljaju različite oblike Poasonovog13

zakona, koji

opisuje adijabatske promene stanja gasa.

Potpuno idealan adijabatski proces nije moguce izvesti, jer je nemoguće stvoriti potpuno izolovan

termodinamički sistem kod kog uopšte ne bi dolazilo do razmene toplote sa okolinom. Međutim, mogu se

realizovati procesi koji se u velikoj meri pokoravaju zakonima adijabatskog procesa. Da bi se to postiglo,

osim dobre izolacije sistema, potrebno je da se proces odigrava dovoljno brzo, kako ne bi moglo doći do

razmene toplote sa okolinom.

Rad pri adijabatskom procesu. Na osnovu I principa termodinamike u integralnom obliku

(3.2.1), za adijabatski proces se može pisati

(3.2.13)

Iz (3.2.13) proizilazi da prilikom adijabatske ekspanzije, sistem vrši rad nad okolinom na račun unutrašnje

energije, što znači da temperatura gasu opada. Kada je u pitanju adijabatska kom presija, rad koji se vrši

nad sistemom će dovesti do porasta unutrasnje energije, a time i temperature gasa. Ako je temperatura

gasa u početnom stanju T1, a nakon adijabatskog procesa T2, na osnovu izraza za promenu unutrašnje

energije (3.1.31), za rad se dobija

13

Simeon D. Poisson (1781 ­ 1840), Irancuski fizičar i matematičar.

16

( ). (3.2.13)

Proširivanjem ovog izraza sa

i uzimajući u obzir da je dobija

se

( )

Adijabatski proces prikazan u p­ V dijagramu na slici 3.2.5 pred

stavlja hiperbolu opisanu zakonom (3.2.11). Kriva koja spaja

početno i krajnje stanje se naziva adijabata, a površina ispod nje je

brojno jednaka radu . S obzirom da je sledi da je brzina

promene pritiska sa zapreminom veća kod adijabatskih nego kod

izotermskih procesa. Zbog toga je strmina adijabate veća od strmine

izoterme, što je prikazano na istoj slici.

3.2.4 Politropski proces

Osim dosad razmatranih procesa, moguć je i takozvani politropski proces. On se odvija uz razmenu

toplote sa okolinom, pri čemu dolazi do promene sva tri parametra stanja (p, V, T), pod uslovom da tokom

procesa specifična toplota c ima stalnu vrednost, razlicitu od i .

Kad se u prvi zakon termodinamike zameni , i , uz izražavanje

pritiska iz jednačine gasnog stanja (3.1.19), dobija se

(3.2.14)

Nakon sređivanja, dobijena jednačina poprima oblik

Stepenom politropije , se naziva odnos

(3.2.15)

tako da je

što zamenom u (3.2.14) i primenom operacije integraljenja daje

∫

( )∫

(

)

odnosno

odakle sledi da je

(3.2.16)

Do veze između pritiska i zapremine možemo doći kad u ovu jednačinu uvrstimo T, izraženo iz jednačine

gasnog stanja, što daje

(3.2.17)

Sličnim postupkom dobija se i relacija

. (3.2.18)

Slika 3.2.5

17

Jednačine (3.2.16), (3.2.17) i (3.2.18) su na prvi

pogled analogne sa jednačinama adijabate (3.2.10),

(3.2.11) i (3.2.12). Međutim, kod adijabatskih

procesa figuriče eksponent koji ima veću

vrednost od stepena politropije . To znači da je u p-

V dijagramu adijabata strmija od politrope. Može se

napisati da je

tako da ako se u p-V dijagramu predstave izoterma,

politropa i adijabata, slika 3.2.6, tim redosledom

raste i strmina krivih. U stvari, izoterma i adijabata

samo predstavljaju granične slučajeve politrope,

kada je i . Čak je i za izohorske i izo-

barske procese moguće definisati stepen politropije,

kada se za ova dva procesa na osnovu (3.2.15), može

pisati i , što je takođe prikazano na slici

3.2.6.

Rad kod politropskog procesa. Neka se politropski proces odvija između stanja (1) i stanja (2), okara-

kterisana temperaturama T1 i T2. Ako je u toku procesa razmenjena količina toplote ( ), i ako je došlo do promene unutrašnje energije za vrednost ( ), na osnovu I zakona termo-

dinamike za rad proizilazi

( )( )

Kada se izraz za rad proširi sa dobija se

dobija se

( )

gde je uzeto u obzir da je i .

3.2.5 Realan gas. Van der Valsova jednačina

Sva dosadašnja razmatranja su se odnosila isključivo na idealan gas pod kojim se podrazumeva da

su molekuli gasa materijalne tačke i da između njih ne vladaju međumolekulske sile. Tada molekuli gasa

vrše svoje kretanje u prostoru jednakom zapremini suda, a zbog nepostojanja međumolekulske interakcije,

oni poseduju samo kinetičku energiju.

Kada je u pitanju realan gas, moguće je pod određenim uslovima i na njega primenjivati zakone ide-

alnog gasa. Pri dovoljno visokim temperaturama i niskim pritiscima, zapremina samih molekula će biti

zanemarljiva u odnosu na celokupnu zapreminu suda, a zbog više temperature, njihova kinetička energija

ce biti znatno veća u odnosu na potencijalnu. Obe ove aproksimacije direktno proizilaze iz relacija za pri-

tisak idealnog gasa (3.1.14) i srednju kinetičku energiju molekula (3.1.8). Međutim, u slučajevima kada se

realan gas nalazi na niskim temperaturama, bliskim temperaturi kondenzacije, i visokim pritiscima, kada

je međumolekulsko rastojanje dovoljno malo i uzrokuje snažnije međumolekulske sile, zakoni idealnog

gasa prestaju da vaze. Pri velikom pritisku, s obzirom na povećanu gustinu gasa, udeo zapremine mole-

kula u odnosu na zapreminu međumolekulskog prostora i gasa kao celine, postaje znatan. Iz istih razloga

rastu i međumolekulske sile koje se odražavaju na vrednost pritiska. Međumolekulske sile imaju efekat

održavanja molekula gasa na okupu, te je usled međumolekulskog privlačenja pritisak unutar gasa veći za

neku vrednost . Ona je srazrnerna kvadratu koncentracije molekula , tj. , što prime-

njeno na jedan mol gasa daje

gde je nova konstanta koja zavisi od vrste gasa. Za razliku od pritiska, zapremina realnog

gasa je manja od zapremi ne idealnog, za neku vrednost . Ovo smanjenje nastaje zbog postojeće

Slika 3.2.6

18

zapremine samih molekula, koja se sada ne zanemaruje, pa zapremina međumolekulskog prostora iznosi

( ). Jednačina stanja za 1 mol realnog gasa je tako

(

) ( ) . (3.2.19)

a za n molova

(

) ( ) (3.2.20)

gde su i a naziva se Van der

Valsova14

jednačina stanja realnog gasa.

Na slici 3.2. 7 su u p-V dijagramu predstavljene Van

der Valsove izoterme ( ). U tom slučaju jedna-

čina trećeg stepena (3.2.20) sadrći dve promenljive p i V,

realne koeficijente i slobodan član, te zbog toga postoje

tri njena rešenja. U zavisnosti od odnosa koeficijenata,

sva tri resenja mogu biti realna, ili jedno realno i dva

kompleksna. Na primer, za temperature T1 na slici 3.2.7, u

intervalu pritisaka pA i pB, jedriačina ima tri realna rešenja,

tj. bilo kojoj vrednosti pritiska p u ovom intervalu, odgo-

varaju tri vrednosti realne zapremine V1, V2 i V3. Van

ovog intervala, svakoj vrednosti pritiska odgovara samo

jedna vrednost realne zapremine, dok su ostala dva reše-

nja kompleksna, te nemaju fizičkog smisla (jer je zapre-

mina realna veličina). Sa porastom temperature, razlika

između tri realna rešenja je sve manja, pa se na takozva-

noj kritičnoj temperaturi Tk ona svode na jedno. Na

temperaturi Tk, Van der Valsova izoterma ima prevojnu

tačku ­ kritičnu tačku. Ona se može naći polazeći od

jednačine (3.2.19) i od uslova da za prevoj mora biti

ispunjeno

i

.

Nakon diferenciranja i sređivanja dobijenih izraza za jedan mol, kritični parametri iznose

,

.

Iznad kritične temperature, Van der Valsove izoterme prelaze u izoterme idealnog gasa, kada važi

Bojl­Mariotov zakon.

Koliko dobro Van der Valsova kriva opisuje stanje realnog ga.sa, odnosno kakvo je slaganje ovih

izotermi sa eksperimentom?

3.2.6 Ekspermientalne izoterme

Pretpostavimo da se realan gas nalazi zatvoren u cilindru sa pokretnim klipom u stanju A, bliskom pre-

lasku u tečnost, slika 3.2.8. Ako se gas izotermski sabija, pri nekoj zapremini VB će otpočeti proces konde-

nzacije. On se odvija pri konstantnoj temperaturi i pritisku (horizontalni deo krive na slici), sve do tačke

C. Smanjenjem zapremine raste količina tečnosti nastale kondenzovanjem, a u tački C je celokupna koli-

čina razmatranog gasa prešla u tečnost. Dalje smanjenje zapremine od C do D bi odgovaralo sabijanju

tečnosti, što bi moralo biti povezano sa veoma velikim porastom pritiska. Tako se može reci da za datu

izotermu do tačke B postoji gasovita faza, od B do C egzistira.ju obe, a iza C samo tečna. Sa porastom

temperature, horizontalni deo, koji odgovara faznom prelazu, je sve uzi i na kritičnoj temperaturi se svodi

na jednu tačku ­ kritičnu tačku. Do te tačke supstanca može postojati i u tečnom stanju, slika 3.2.9, a za

izoterme koje se nalaze iznad Tk; postoji samo gasovita faza, koja se naziva gasom. To znači da, ako se

gas nalazi na temperaturi većoj od Tk,, njega nije moguće ni pod kakvim uslovima prevesti u tečnost. Slika

3.2.9 je ustvari jedan fazni dijagram gde je zvonolikom krivom ograničena oblast faznog prelaza i

ravnotežnog postojanja obeju faza. Desno od nje je oblast gasovite faze, koja se naziva nezasićenom 14

Johannes Van der Waals (1837 ­ 1923), holandski fizičar.

Slika 3.2.7

19

parom, a levo, ogranicena ovom krivom i izotermom Tk; je oblast tečnosti. U oblasti postojanja obeju faza,

gasovita faza se naziva zasićenom parom, jer promenom zapremine u ovoj oblasti ne dolazi do promene

njene koncentracije. Molekuli samo prelaze iz jedne faze u drugu, ne menjajući pri tome koncentraciju,

pritisak i temperaturu. U oblasti nezasicene pare, smanjenje zapremine dovodi do povećanja koncentracije

Slika 3.2.8 Slika 3.2.9

molekula, a time i pritiska, sve do neke kritične koncentracije pri kojoj započinje proces kondenzacije.

Poređenjem teorijskih i eksperimentalnih izotermi,slike 3.2.7 i 3.2.9, zapaža se da u oblasti nezasićene

pare Van der Valsova jednačina dobro opisuje stanje gasne faze, dok u oblasti zasićene pare i tečnosti

postoji značajno odstupanje. U ovoj oblasti istovremeno egzistira i izotermni i izobarski proces, što je pri-

kazano pravom BC na slici 3.2.8, dok po Van der Valsovoj jednačini bi trebalo da dolazi do oscilovanja

pritiska (isprekidana linija na istoj slici), što se ne dešava. Na osnovu toga se može zaključiti da Van der

Valsova jednačina dobro opisuje stanje realnog gasa samo u oblasti nezasićene pare.

3.2.7 Termo dinamički procesi

Ravnotežni i neravnotežni procesi. Svaki sistem može da se nalazi u različitim stanjima, koja su

okarakterisana pritiskom, zapreminom i temperaturom. Ove veličine, kao sto je navedeno, predstavljaju

osnovne parametre stanja. Ukoliko je stanje takvo, da pri nepromenjenim spoljašnjim uslovima, vrednosti

svih parametara ostaju konstantne proizvoljno dugo vremena, radi se o ravnotežnom stanju. U tom slučaju

je temperatura sistema ista u svim njegovim delovima, što ne mora da važi i za pritisak, ukoliko sistem

čine dve ili vise faza. Prelaz sistema iz jednog stanja u drugo se naziva procesom, prilikom čega dolazi do

narušavanja ravnoteže sistema. Pretpostavimo da imamo gas u ravnotežnom stanju, tako da mu pritisak u

celoj zapremini iznosi p. Pri sabijanju gasa pomoću nekog klipa, naročito ako se ono brzo izvodi, pritisak

ce neravnomerno da raste u ovoj zapremini. On će biti veći u neposrednoj blizini klipa, tako da se ceo

sistem ne može okarakterisati jedinstvenom vrednošću pritiska, te je ovakvo stanje neravnotežno. Ako se

klip sporo pomera, ravnotežno stanje se u svakom trenutku samo neznatno narušava, pa se pritisak

posmatran u različitim tačkama zapremine, samo malo razlikuje od neke srednje vrednosti. Tako, kada se

proces odvija beskonačno sporo, sistem praktično prolazi kroz niz ravnotežnih stanja. Proces koji se

sastoji od niza uzastopnih ravnotežnih stanja, naziva se ravnotežnim procesom. Kako je na dijagramu, čije

su ose parametri stanja, ravnotežno stanje predstavljeno nekom tačkom, ravnotežnom procesu ce na ovom

dijagramu odgovarati kriva, koju čini niz tačaka ravnoteznih stanja. Svi kvalitativni odnosi termodinamike

se mogu uspostaviti samo za ravnotežne procese. Treba napomenuti da je kod adijabatskih procesa, za

velike zapremine, stanje sistema neravnotežno, pošto se tu javljaju brze promene pritiska i zapremine. U

različitim delovima gasa tada vlada različit pritisak i temperatura, pa se sistem ne može okarakterisati jedi-

nstvenim parametrom. Međutim, u okviru malih zapremin a gasa se može smatrati da je zadovoljena

jednačina .

20

Povratni i nepovratni procesi. Povratni (reverzibilni) termodinamički procesi su oni koji se mogu

odvijati i u suprotnom smeru, pri čemu ce sistem prolaziti kroz ista stanja, samo obrnutim redosledom.

Povratni mogu biti samo ravnotežni procesi. Ako kod povratnog procesa, u jednom smeru sistem prima

toplotu i vrši rad dA , kad se obrne smer procesa, oslobađaće se

toplota , a nad sistemom se vrsi rad , slika

3.2.10. Zbog toga, pri odvijanju povratnog procesa u oba smera, na

telima koja okružuju sistem nema promena. Nepovratni (ireverzibilni)

procesi su oni, koji se mogu odvijati spontano samo u jednom smeru.

Svi neravnotežni procesi su nepovratni.

Povratni i nepovratni procesi se mogu posmatrati i sa stanovista

kinetičke teorije i statistike. Posmatrajmo, na primer, molekule gasa

zatvorene u nekom sudu. Ukoliko se radi o veoma malom broju mole-

kula, postoji verovatnoća da će oni zauzeti samo deo zapremine suda

kao na slici 3.2.11.a. Međutim, kad se razmatra veliki broj molekula, na

koji mogu da se primene zakoni statistike, jasno je da je verovatnoća da oni budu koncentrisani samo u

polovini zapremine suda ( slika b) praktično jednaka nuli. Gas koji se sastoji iz velikog broja molekula,

ravnomerno će zauzeti zapreminu suda, što je prikazano na slici c. Slićan primer imamo i kod isticanja

gasa iz suda prilikom otvaranja ventila. Otvaranjem ventila na sudu, dešava se nepovratni proces isticanja,

pri čemu molekuli gasa teže da se ravnomerno rasporede u spoljašnjem prostoru. Iz iskustva znamo da je

verovatnoća da gas ostane u sudu, pod pritiskom većim od spoljasnjeg, jednaka nuli, odnosno može se

reci da je ovim nepovratnim procesom posmatrani sistem presao u verovatnije stanje. Nepovratni procesi

su takvi procesi kod kojih se verovatnoća stanja povećava, dok kod povratnih ona ostaje nepromenjena.

a) b) c)

Slika 3.2.11

Kružni procesi. U termodinamici su mogući i takvi procesi kod kojih se sistem posle niza promena

i prolazaka kroz razlicita stanja vraća u prvobitno stanje. Ovi procesi

se nazivaju kružnim procesima, ili ciklusima. Na slici 3.2.12 je na p-

V dijagramu prikazan jedan sasvim proizvoljan ciklus. Neka je radno

telo idealan gas, pa deo ciklusa od (1) do (2) preko grane a predsta-

vlja njegovo širenje, pri čemu se vrši rad . Kao što je u odeljku

(3.2.2) navedeno, ovom radu na p-V dijagramu odgovara površina

ispod grane a. Deo ciklusa od (2) do (1), preko grane b, predstavlja

sabijanje gasa kojem odgovara rad . Ovaj rad je negativan, jer je

konačna zapremina manja od početne, a na p-V dijagramu mu

odgovara površina ispod grane b. Ukupan rad u toku ciklusa je

| | i na dijagramu predstavlja površinu

ograničenu krivom kružnog procesa. Posle završetka ciklusa se

sistem vraća u prvobitno stanje, pri čemu svaka funkcija stanja, kao

što je na primer unutrašnja energija, ima nakon ciklusa nepromenjenu

vrednost.

3.2.8 Koeficijent korisnog dejstva toplotne mašine

Toplotna mašina sa periodičnim dejstvom predstavlja sistem u kome se uzastopno vrši neki kružni

proces, pri čemu se dobija mehanički rad na račun toplote dobijene od drugih tela. Uzmimo da toplotna.

mašina vrši ciklus sa idealnim gasom kao radnim telom. Primera radi, neka je to ciklus ilustrovan na slici

3.2.12. Proces od ( l) do (2) predstavlja širenje idealnog gasa, zbog čega on prima od nekih drugih tela

količinu toplote . Rad koji gas pri širenju vrši označićemo sa i on je pozitivan, odeljak 3.2.l. Proces

Slika 3.2.12

21

od (2) do (1) predstavlja sabijanje idea1nog gasa, uzrokovano vršenjem rada nad sistemom , koje je

praćeno otpuštanjem količine toplote . Prvi princip termodinamike za proces od (1) do (2) se može

napisati kao

dok je za proces od (2) do ( 1)

gde treba imati na umu da su i negativne veličine, odeljak 3.2.1. Da bismo to naglasili, pisaćemo

ih kao apsolutne vrednosti sa znakom minus

| | i | |

tako da se sabiranjem navedenih jednačina, za ceo ciklus dobija.

| | | | (3.2.21)

gde je A ukupni rad u toku ciklusa. Znači, koristan rad koji izvrši toplotna mašina u toku ciklusa je jednak

razlici primljene i otpuštene količine toplote. Odavde se ujedno vidi da se celokupna količina toplote koju

je sistem primio, nije pretvorila u rad, nego se jedan njen deo vratio okolnim telima.

Koeficijent korisnog dejstava predstavlja odnos između dobijenog rada i primljene količine toplote

(3.2.22)

Uzimajući u obzir relaciju (3.2.21), dobija se da je koeficijent korisnog dejstva toplotne mašine

| |

| |

(3.2.23)

odakle sledi da je uvek .

Razmotrimo, samo u principu, takozvanu rashladnu mašinu. Nju bismo dobili kad bi navedeni ciklus

tekao u suprotnom smeru. Takva mašina bi od tela na nizoj temperaturi T2, uzimala količinu toplote i

predavala telu na višoj temperaturi T1, količinu toplote . Pri tome bi nad mašinom morao biti izvršen

rad . On bi odlazio na uspostavljanje dejstva takve mašine, odnosno na prebacivanje toplote sa hladnijeg

tela na toplije. Koeficijent korisnog dejstva rashladne mašine se definise kao

3.2.9 Drugi princip termodinamike

Na osnovu razmatranja rada toplotne mašine sa periodicnim dejstvom, koja bi radila po kružnim

ciklusima, kao i definicije koeficijenta korisnog dejstva, proizilazi formulacija termodinamickog zakona

poznatog pod nazivom II princip termodinamike:

Nemoguće je u mašinama sa periodičnim dejstvom, dovedenu količinu toplote ( ) sistemu potpuno

prevesti u mehanički rad, već se uvek jedan deo toplote ( ) predaje okolini kao neiskorišćen.

Drugim rečima, nemoguć je kružni proces u kome bi se celokupna toplota dovedena sistemu pretvo-

rila u mehanički rad, jer se nakon ekspanzije, pri povratku u početno stanje, uvek jedan deo toplote odvodi

od sistema, pri čemu je uložen rad ( ), u procesu kompresije do početnog stanja, po svojoj brojnoj vre-

dnosti manji od rada ekspanzije ( ), slika 3.2.12.

Ovaj princip je ilustrovan na slici 3.2.13. Šema a) predstavlja moguć proces. Toplota se uzima od

nekog tela ­ toplotnog rezervoara više temperature, sistem deo te toplote pretvara u rad , a ostatak se

vraća okolnim telima, odnosno toplotnom rezervoaru niže temperature. Znači, nemoguć je proces koji je

ilustrovan na slici pod b ), jer bi to značilo u potpunosti pretvaranje primljene toplote u mehanički rad.

Treba naglasiti da ovo ne bi bilo u suprotnosti sa zakonom o održanju energije pa bi mašina koja bi to

uspela, predstavljala perpetuum mobile druge vrste. Drugi princip termodinamike se na osnovu toga može

formulisati i kao:

Netnoguć je perpetuum mobile druge vrste.

22

Šema c) takođe redstavlja proces koji nije ostvarljiv. Nemoguće je u kružnom procesu dobiti mehanički

rad, a da toplota ostane nepromenjena, tj. da pri tom sistem vrati istu količinu toplote koju je i uzeo.

Postoje i druge forrnulacije II principa

termodinarnike, koje su izvedene na osnovu opštih za-

konitosti uočenih u prirodi i potvrđenih na velikom

broju eksperirnenata. Na primer, poznata je Klauziju-

sova15

formulacija II principa terrnodinarnike, koja

glasi:

Toplota ne može spontano prelaziti sa hladnijeg

tela na toplije telo.

Bolcmanova statistička formulacija II principa

termodinamike glasi:

Priroda teži prelasku iz manje verovatnog stanja

u više verovatno.

Kao ilustraciju ovoga, posmatrajmo sudare

između molekula u gasu. Pri tim sudarima je mnogo

veća verovatnoća da molekul veće kinetičke energije

(brzine) deo svoje energije preda molekulu manje kinetičke energije (brzine). Pošto je temperatura u

srazmeri sa energijom, ovo bi odgovaralo prelasku toplote sa toplijeg na hladnije telo. Obrnut proces je

manje verovatan. Treba međutim naglasiti da, strogo gledano, II princip termodinamike važi u makrosko-

pskim razmerama. Posmatrano za pojedinačne sudare, samo je manje verovatno, ali ne i nemoguće da se

pri sudaru energija prenese sa sporijeg na brži molekul. U takvom mikro slučaju to bi značilo da toplota

prelazi i sa hladnijeg na toplije telo.

3.2.10 Karnoov ciklus

Francuski inženjer Sadi Karno16

je 1824. godine razmatrao rad jedne idealne toplotne mašine koja bi

radila po ciklusu sastavljenom iz izotermske i adijabatske ekspanzije i izotermske i adijabatske kompre-

sije. On je pretpostavio sledeće uslove pod kojima bi trebala da radi zamišljena idealna toplotna mašina:

­ radno telo je idealan gas zatvoren u cilindru sa pokretnim klipom, koji može da klizi bez trenja,

­ postojanje dva toplotna rezervoara stalnih temperatura T1 i T2, s tim što je T1 > T2.

Toplotni rezervoari imaju beskonačne toplotne kapacitete, tako da prilikom odavanja ili primanja toplote,

njihove temperature ostaju nepromenjene,

­ u toku razmene toplote između idealnog gasa i toplotnih rezervoara, postoji idealan toplotni

kontakt između cilindra i rezervoara,

­ kada cilindar nije u kontaktu sa rezervoarom, on je idealno toplotno izolovan od okoline, i

­ svi procesi su reverzibilni.

Neka gas u početnom stanju zauzima zapreminu naternperaturi , slika 3.2.14. Kada se sud

dovede u kontakt sa toplotnim rezervoarom na tempe-

raturi , doći će do uzimanja toplote od rezervoara i

izotermskog širenja gasa. Prolazeći kroz niz stanja u toku

izotermskog procesa, gas se primivši količinu toplote

raširio do neke zapremine , slika 3.2.15.a. Neka se

dalje ciklus nastavlja adijabatskim ekspanzijom, u toku

koje nema razmene toplote sa rezervoarom, tj. sud sa

gasom nije u kontaktu sa njim, slika3.2.15.b. Pri adijaba-

tskorn širenju gas prelazi u stanje (3), koje karakteriše

zapremina i temperatura T3 koja je niža od . U sle-

dećoj fazi ciklusa, sud se opet postavlja na toplotni reze-

rvoar, ali sada onaj čija je temperatura pa se dalje vrši

izotermsko sabijanje od stanja (3) do stanja (4), slika

15

Rudolf Clausius (1822 ­ 1888), nemački fizičar. 16 Sadi Carnot (1796 ­ 1832), francuski fizičar i inženjer

Slika 3.2.13

Slika 3.2.14

23

3.2.15.c. U toku ovog procesa gas će rezervoaru odavati toplotu nakon čega će se naći u stanju (4),

odnosno imaće zapreminu . Tada se sud opet uklanja sa toplotnog rezervoara i vrši se adijabatska

kompresija. Tako sistem prelazi iz stanja (4) u stanje (1), iz kog je i počeo celokupan ciklus, slika

3.2.15.d. Karnoov ciklus je prikazan na p-V dijagramu na slici 3.2.14. Ukupan dobijeni rad u toku ciklusa

predstavlja površinu ograničenu izotermama i adijabatama. Da bi se dobila formula za koeficijenat

korisnog dejstva ovog ciklusa, može se poći od opste formule (3.2.23). Iz prvog principa termodinamike

primenjenog na izotermski process (3.2.7), sledi da je primljena toplota jednaka radu u toku procesa .

(3.2.24)

Slika 3.2.15

Analogno, toplota koju sistem odaje pr prelasku iz stanja (3) u stanje ( 4), jednaka je izvršenom

radu u toku ovog izotermskog procesa

(3.2.25).

Zamenom (3.2.24) i (3.2.25) u (3.2.23), dobija se

(3.2.26).

gde je uzeto u obzir da je | |

Kako stanja (2) i (3) sa jedne strane, i

(1) i (4) sa druge, leže na istim adijabatama, koristeći jednačinu (3.2.10), za ove procese se može napisati

i

Uzajamnim delenjem ovih jednačina se dobija da je

Zbog toga su i logaritmi ovih količnika jednaki, tako da se nakon sprovedenih skraćivanja u jednačini

(3.2.26) dobija

Može se zaključiti da će bez obzira na veličine temperatura T1 i T2, koeficijent korisnog dejstva uvek

biti manji od jedinice, iako je zamišljeno da se radi o idealnoj toplotnoj mašini koja radi bez gubitaka.

Međutim, u praksi bi svaki kružni proces koji odgovara Karnoovom ciklusu, bio manje ili više

ireverzibilan, odnosno javljali bi se i određeni energetski gubici, tako da bi koeficijent korisnog dejstva

ireverzibilnog ciklusa imao manju vrednost od reverzibilnog

ili uopšteno

| |

(3.2.27)

24

gde se znak jednakosti odnosi na reverzibilne Karnoove cikluse.

3.2.11 Redukovana količina toplote - Klauzijusova nejednačina

Transformišući jednačinu (3.2.27), dobija se

| |

odakle je

| |

ili, vodeći računa o znaku , može se pisati

. (3.2.28)

Relacija (3.2.28) je poznata kao Klauzijusova nejednačina. Odnos količine toplote i temperature na kojoj

se ona razmenjuje,

, naziva se redukovana količina toplote. Iz Klauzijusove nejednačine sledi da ukoliko

sistem vrši ciklus u toku kog razmenjuje toplotu sa dva toplotna rezervoara, koji imaju konstantne

temperature, suma redukovanih količina toplota je manja ili jednaka nuli. Za reverzibilne cikluse u

(3.2.28) važi znak jednakosti, pa je tada suma redukovanih količina toplota jednaka nuli

s tim što treba voditi računa da je

, a

.

Ako sistem u toku ciklusa razmenjuje toplotu sa N toplotnih rezervoara, Klauzijusova nejednačina se

može napisati kao

∑

Ukoliko se temperatura rezervoara menja u toku procesa, takav ciklus se može razbiti na niz elementarnih

procesa za koje se može uzeti da svaki ima neku stalnu temperaturu Ti. Za takav elementarni proces može

se uzeti elementarna redukovana količina toplote, a njihova sum a po celom ciklusu je

∑

Pri dovoljnom smanjivanju veličine elementarnih procesa, suma se može zameniti integralom po celoj

konturi, pa je

∮

(3.2.29)

Znači da je kružni integral elementarnih redukovanih količina toplote

po zatvorenoj konturi jednak nuli

za reverzibine procese, i manji od nule za ireverzibilne procese. S obzirom da je ovaj zaključak proizašao

iz odnosa koeficijenata korisnog dejstva povratne i nepovratne mašine, nekada se i na ovakav način

formulise II princip termodinamike.

3.2.12 Entropija

Na osnovu II principa termodinamike izvedena je nova fizička veličina koja se naziva entropija. Da

bismo do nje došli, poši šemo od Klauzijusove nejednačine (3.2.29), koja se za svaku zatvorenu konturu

povratnog procesa svodi na

∮

25

Posmatrajmo reverzibilan ciklus, slika 3.2.16, i na njemu dva stanja (1) i (2) koja ga dele na dve grane a i

b. Prema Klauzijusovoj jednačini je

∮

∫

( )

( ) ∫

( )

( ) (3.2.30)

Ako bismo se iz stanja (2) u stanje (1) vraćali, umesto preko grane b po nekoj drugoj grani, na primer c,

ciklus bi izgledao drugačije. Tada bi važilo

∮

∫

( )

( ) ∫

( )

( ) (3.2.31)

Oduzimanjem jednačine (3.2.31) od jednačine (3.2.30), dobija se

da je

∫

( )

( )

∫

( )

( )

što znači da vrednost integrala redukovane količine toplote između

dva stanja za reverzibilne procese ne zavisi od puta, odnosno na-

čina na koji se prelazi iz početnog u krajnje stanje, nego samo od

parametara pocetnog i krajnjeg stanja. Integral ∫

između dva

stanja kod reverzibilnih procesa jednak je promeni neke fizičke

veličine koja je dakle funkcija stanja. Ova veličina se naziva

entropijom i obično se označava sa S. Tako je promena entropije

pri prelasku sistema iz stanja (1) u stanje (2) jednaka pomenutom

integralu, odnosno

∫

( )

( )

Diferencijalno mala vrednost redukovane količine toplote je jednaka istom takvom priraštaju entropije u

slučaju reverzibilnog procesa

(3.2.32)

Entropija je aditivna veličina, tj. entropija sistema je jednaka zbiru entropija njegovih pojedinih delova.

Da bismo utvrdili neke osobine entropije, posmatraćemo ciklus koji se sastoji od povratnog i nepo-

vratnog dela, kao sto je to ilustrovano na slici 3.2.17. Na osnovu Klauzijusove nejednačine, za njega je

∮

∫

( )

( ) ∫

( )

( ) (3.2.33)

Pošto drugi član predstavlja integral po povratnom delu ciklusa, za njega će važiti

∫

( )

( )

pa se nakon svrstavanja u jednačinu (3.2.33) i sređivanja dobija

∫

( )

( )

To znači da je kod ireverzibilnih procesa promena entropije

između dva stanja veća od integrala redukovane količine toplote.

Objedinjeno za reverzibilne i ireverzibilne procese, može se

pisati

∫

( )

( ) (3.2.34)

Uzmimo kao primer najpre izotermski povratni proces.

Tada relacija (3.2.34) važi sa znakom jednakosti, a s obzirom da

je temperatura konstantna, proizilazi

∫

( )

( )

Slika 3.2.16

Slika 3.2.17

26

Kod adijabatskih procesa, odnosno procesa u izolovanim sistemima, kada nema razmene toplote sa

okolinom, pošto je , iz (3.2.34) sledi da je

na osnovu čega sledi da pri adijabatskom procesu promena entropije nikad ne može biti negativna. Ona se

ili povećava, što je slucaj kod ireverzibilnih procesa, ili ostaje nepromenjena ako je u pitanju povratni

proces. Kao primer posmatrajmo šta se dešava sa entropijom prilikom mešanja tople i hladne vode u

nekom izolovanom sudu. Uzmimo da smo pomešali 1 kg vode na 100°C sa 1 kg vode na 0°C. Jednosta-

vnosti radi, neka je nulti nivo entropije na 0°C, pa je entropija hladne vode pre mešanja dok je

entropija vode na 100°C

∫

∫

Zamenom brojnih vrednosti se dobija da je entropija tople vode, koja je ujedno i entropija celog sistema

(pošto je ), pre mešanja

gde je za specifičnu toplotu vode uzeto . Nakon mešanja dobijamo 2 kg vode na 50°C,

čija je entropija

∫

To znači da je nakon mešanja, entropija celog sistema porasla za 102 J/K.

Na šta ukazuje porast entropije kod nepovratnih procesa koji se dešavaju u izolovanim sisitemima?

U navedenom primeru topla i hladna voda su pre mešanja mogle predstavljati potencijalne toplotne

rezervoare za rad neke toplotne mašine. Ova bi po utvrđenim principima (odeljak 3.2.8) deo toplote uzete

od rezervoara pretvarala u mehanički rad, ili drugačije rečeno, energiju haoticnog kretanja delimično pre-

vodila u energiju usmerenog kretanja. Sa procesom mešanja vode izgu bila se mogućnost njihovog kori-

šćenja kao toplotnih rezervoara. Porast entropije, koji se javlja kao rezultat nepovratnog procesa, ujedno

znači da je energija sa aspekta mogućnosti njenog korišćenja postala manje dostupna.

U termodinamici je uobičajeno da se procesi prikazuju i u T-S dijagramima, slika 3.2.18. Na osnovu

definicije elementarne promene entropije (3.2.32), proizilazi da će površina ispod krive u T-S dijagramu,

za reverzibilne procese, predstavljati razmenjenu količinu toplote

∫ ( )

( )

3.2.13 Entalpija

Veličina koja se dobija kao zbir unutrašnje energije i proizvoda pritiska i zapremine, naziva se enta-

lpija. Ako entalpiju označimo sa , može se pisati

. (3.2.35)

Ako ovu relaciju primenimo na idealan gas, uz korišćenje

jednačine gasnog stanja (3.1.20), dobijamo da je

odnosno zamenom gasne konstante Rg iz (3.1.36)

( )

Kad se unutrašnja energija izrazi preko specifične toplote,

dobija se

odakle je

(3.2.36)

Slika 3.2.17

27

Znamo da je količina toplote koju idealan gas prima kad se zagreva od 0 K do temperature , pri stalnom

pritisku jednaka

što je identicno sa relacijom (3.2.36). Može se dakle zaključiti, da je entalpija idealnog gasa mase na

temperaturi , jednaka onoj količini toplote koju taj gas primi da bi se pod stalnim pritiskom zagrejao od

0 K do temperature . Diferenciranjem jednačine (3.2.35) dobija se difere-

ncijalna promena entalpije

Kad se u ovu jednačinu uvrsti iz I principa termo-

dinamike (3.2.2), dobija se da je

Ukoliko se proces odvija pri konstantnom pritisku (dp =0),

pa je , proizilazi

Promena entalpije sistema pri njegovom izobarskorn

prelasku iz jednog stanja u drugo, jednaka je količini toplote koju je tom prilikom sistem razmenio sa

okolinom.

3.2.14 Fazni prelazi

Pod fazom se smatra skup homogenih delova jednog sistema, Ono što uobičajeno nazivamo tečnim,

čvrstim ili gasovitim stanjem neke supstance, ustvari su tri njegove faze.

Pri određenim uslovima, određenim vrednostima pritiska i temperature, različite faze se mogu nala-

ziti u ravnoteži. Ukoliko u nekoj oblasti pritiska i temperature postoji ravnoteža dveju faza, na p-T dija-

gramu će ovom odgovarati neka linija, slika 3.2.19.a. Ona razgraničava oblasti egzistencije pojedinačnih

faza. Na slici, kriva isparavanja deli tečnu od gasovite faze, dok su u tačkama duž same krive u ravnoteži

obe ove faze. Tri faze mogu biti u ravnoteži samo u jednoj tački koja se naziva trojna tačka. Ravnoteža

između zasićene pare i tečnosti je moguća u intervalu od trojne tačke do kriitčne tačke.

Slika 3.2.19

Ukoliko su prelazi iz jedne u drugu fazu vezani za primanje ili otpuštanje toplote, radi se o faznim

prelazima prve vrste. Kod njih se skokovito menjaju unutrašnja energija sistema, entropija i gustina. Fazni

prelazi druge vrste ne iziskuju primanje ili otpustanje toplote, a kod njih se menjaju neke druge fizičke

veličine, kao na primer specifična toplota. Ovde ćemo detaljnije razmotriti samo fazne prelaze prve vrste.

Posmatrajmo, na primer, Karnoov ciklus za dvofazni sistem. Dve faze mogu biti u ravnotezi pod

određenim pritiskom, čija vrednost zavisi od temperature. Ukoliko na pritisku p i temperaturi T imamo u

nekoj tacki A p-V dijagrama, slika 3.2.20, samo prvu fazu, recimo tečnost, koja zauzima neku zapreminu

VA, povecanjem zapremine pri stalnoj temperaturi, počeće fazni prelaz iz tečne u gasovitu fazu. Ovaj

proces isparavanja (ključanja) se odvija za dati pritisak pri stalnoj tem peraturi sve do tačke B i za njegovo

odvijanje je neophodno dovođenje toplote. Tako je, recimo, primivši količinu toplote , sistem iz stanja

Slika 3.2.20

28

(1) prešao u stanje (2), pri čemu je deo tečnosti mase prešao u paru. Linija od (1) do (2), kojom je

predstavljen ovaj fazni prelaz, ustvari je deo izoterme na kojoj su i tečna i gasovita faza u ravnoteži. Neka

se para dalje adijabatski širi do tačke (3), pri čemu se pritisak smanjuje za vrednost , a temperatura za

Izotermskim sabijanjern gasovite faze od tačke (3) do (4) doći će do faznog prelaza ­ kondenzacije u

toku kog će biti konstantne vrednosti pritiska i temperature , a oslobodiće se neka količina

toplote . Na liniji od C do D opet postoje u ravnoteži tečna i

gasovita faza. Adijabatom (4) ­ (1) sistem se vraća u prvobitno

stanje.

Količina toplote , koju posmatrana masa tečnosti primi

prilikom isparavanja, može se izraziti kao

gdeq predstavlja količinu toplote koja je potrebna jedinici mase za

fazni prelaz i naziva se latentnom toplotom (u ovom slučaju

isparavanja). Rad koji je izvršen u toku posmatranih prelaza je

brojno jednak površini obuhvaćenoj krivom ciklusa i

aproksimativno iznosi

( )

pa je koeficijenat korisnog dejstva

(3.2.37)

Kako se radi o Karnoovom ciklusu (pošto se sastoji od dve izoterme i dve adijabate), koeficijenat korisnog

dejstva se može izraziti i kao

( )

(3.2.38)

Izjednačavanjem (3.2.37) i (3.2.38 ), dobija se

( )

Kada se radi o diferencijalno maloj razlici temperatura, tj. kada , važi

( )

Ovaj izraz je poznat kao Klauzijus­Klapejronova17

jednačina. Ukoliko se uvede specifična zapremina kao

zapremina po jedinici mase,

, Klauzijus­Klapejronova jednačina ima oblik

(

)

Promena pritiska sa promenom temperature može imati pozitivan ili negativan predznak, zavisno od toga

da li zapremina sistema prilikom faznog prelaza raste ili opada.

Prilikom isparavanja zapremina uvek raste bez obzira da li se radi o isparavanju tečnosti, ili sublima-

ciji čvrstog tela (direktan prelaz iz čvrste u gasovitu fazu). Tada je uvek

, pa porast temperature do-

vodi do porasta ravnotežnog pritiska. Kada je reč o procesu topljenja, koje predstavlja prelaz iz čvrstog u

tečno stanje, kod većine materijala zapremina raste pa je i tada

. Kod nekih supstanci je, međutim,

zapremina u tečnoj fazi manja nego u čvrstoj. Primer za to je voda. Poznato je da led ima veću zapreminu

nego voda, koja je topljenjem od njega nastala. U takvim slučajevima je

pa porast pritiska snižava

tačku topljenja, slika3.2.21. Na slikama 3.2.19.b i 3.2.21 su prikazani p-T dijagrami stanja sa krivama

faznih prelaza, koje međusobno odvajaju oblasti egzistiranja pojedinih faza. Dijagram sa slike 3.2.19.b je

za supstancu kod koje se pri topljenju zapremina povećava

. Dijagram na slici 3.2.21 se može u

17

Emile Clapeyron (1799­ 1864), francuski fizičar i inženjer

Slika 3.2.20

29

principu primeniti na vodu, jer je za krivu topljenja

. Tačka u kojoj se stiču sve tri faze, odnosno u

kojoj se seku sve tri krive faznih prelaza predstavlja, kao što je rečeno, trojnu tačku TT . Za vodu je ona na

temperaturi 0.0075°C i pritisku 4, 58 mmHg, a to znači da pod ovim uslovima istavremeno pastoje i led i

voda i vodena para. Iz prezentovanih faznih dijagrarna se može zaključiti da tečna faza može da postoji u

ravnotežnom stanju, samo pri pritiscima koji nisu manji od pritiska trojne tačke.

Za način odvijanja nekog faznog prelaza je bitno da li se odvija ispod ili iznad trojne tačke. Sa slika

3.2.19.b i 3.2.21 se vidi da je iz oblasti čvrste faze ispod trojne tačke moguć njen direktan prelaz u

gasovitu fazu. Recimo, izobarskim zagrevanjem se čvrsta faza iz stanja (3) dovede do stanja sublimacije,

slika 3.2.19.b. Daljim izobarskim zagrevanjem gasovita faza bi, recimo, prešla u stanje (4). Kriva subli-

macije odvaja ispod trojne tačke gasovitu od čvrste faze. Iznad trojne tačke izobarskim zagrevanjem

čvrste faze iz stanja (1) došli bi preko nekog stanja na krivoj topljenja najpre u tečnu fazu. Dalje izobarsko

zagrevanje dovelo bi tečnost do neke tačke na krivoj isparavanja, kada bi nastao nov fazni prelaz. Nakon

daljeg zagrevanja pod istim pritiskom, gasovita faza će se naći u stanju (2). Tako prelazak čvrste u gaso-

vitu fazu, iznad trojne tačke, neminovno mora da prođe usput i kroz tečno stanje. Kako kod većine sup-

stanci trojna tačka leži znatno ispod atmosferskog pritiska, fazni prelaz iz čvrstog u gasovito stanje, u

uslovima normalnog pritiska, odvija se upravo na ovakav način.

Ukoliko se sistem ponasa po faznom dijagramu sa slike 3.2.21, pri izotermskom sabijanju ispod

trojne tačke, iz gasovite faze može da pređe i u tečnu, što nije slučaj za sisteme na koje se primenjuje dija-

gram sa slike 3.2.19.b. Uzmimo, na primer, da je gasovita faza sa slike 3.2.21 u tački (1), čija je tempe-

ratura ispod trojne tačke. Izotermskim sabijanjem sistem može da pređe u neko stanje (2) koje pripada

tečnoj fazi, prošavši usput i kroz čvrstu fazu, vertikalna linija (1) ­ (2).

U poglavlju o realnom gasu je navedeno da tečna faza može da postoji samo do kritične temperature

Tk: Zato kriva isparavanja počinje u trojnoj tački, a završava se u kritičnoj. Sa slike se vidi da je tako

moguć fazni prelaz iz gasovite u tečnu fazu koji neće presecati krivu isparavanja, nego će zaobilaziti

kritičnu tačku (isprekidana kriva koja spaja tačke a i b. U tom slučaju sistem prelazi iz gasa u tečnost,

prolazecći pri tom neprekidno kroz niz jednofaznih stanja. Kakvo je tumačenje ove pojave? Treba imati u

vidu da između tečnosti i gasova nema bitne kvalitativne razlike, i jedne i druge karakteriše neuređenost i

odsustvo anizotropije. Prelazak iz jedne u drugu fazu, kod njih se može odvijati kontinualno. Za. razliku

od tečnosti i gasova, kristali se odlikuju prostornom uređenošću i anizotropijom. Prelazak iz neuređenog u

uređeno stanje moguć je samo skokovito, što se dešava prilikom kristalizacije. Zato krive topljenja

(kristalizacije) i sublimacije nemaju prekida oko kojih bi bilo moguće zaobilaženje. Iz trojne tačke kriva

sublimacije teži tački za koju je i , a kriva topljenja ide u beskonačnost.

30

3 TERMOFIZIKA ZADACI

3.1 Koliko puta treba da bude veća temperatura ugljendioksida od temperature vodonika, da bi najverovatnija brzina

molekula ugljendioksida bila jednaka najverovatnijoj brzini molekula vodonika? Da li su u tom slučaju jednake

srednje kinetičke energije translacije ovih molekula? Molarna masa ugljendioksida iznosi M1 = 44 g/mol, a vodonika

M2 = 2 g/mol.

3.2* Srednja brzina molekula azota u zatvorenom sudu iznosi 1 = 600 m/s, a njegova gustina ρ = 0,4 kg/m3. Nakon

izohorske promene pritisak azota se povećava za p = 20 kPa. Izračunati srednju brzinu molekula nakon ove

promene. Molarna masa azota je M = 28 g/mol.

3.3 Izračunati gustinu helijuma na temperaturi t = 27 i pri pritisku p = 200 kPa. Koliko se atoma helijum nalazi u 1

cm3 pod navedenim uslovima? Molarna masa helijuma M = 4 g/mol.

3.4* U balonu zapremine V = 15 l nalazi se kiseonik mase m = 20 g. Izračunati razliku nivoa vode u manometru

bočno montirano na sud, slika 3.1, ako je temperatura kiseonika t = 30 , a atmosferski pritisak p0 = 100 kPa.

Molarna masa kiseonika je M = 32 g/mol.

3.5 U vertikalnom cilindričnom sudu sa pokretnim klipm zatvoren je vazduh mase m = 8 g. Nakon zagrevanja

vazduhe za t = 20 , klip se pomeri naviše za h = 7 cm. Ako je površina klipa S = 50 cm2 i pritisak vazduha iznad

klipa p0 = 1 bar, izračunati masu klipa mk. Molarna klipa iznosi M = 28,8 g/mol.

3.6 Dva suda jednakih zapremina napunjena su vazduhom. U jednom sudu temperatura je 300 K, a pritisak 1,2 bara,

dok je u drugom temperatura 400 K, a pritisak iznosi 2 bara. Nakon spajanja sudova, u oba suda se uspostavlja ista

temperatura 380 K i pritisak p. Izračunati pritisak p.

3.7 U sudu zapremine V = 10 l nalazi se kiseonik pod pritiskom p1 = 3 bara i na temperaturi t = 27 . Kroz ventil na

sudu kiseonik polako ističe sve dok mu pritisak ne opadne do p2 = 1,2 bara. Pod uslovom da se temperatura kiseoika

nije promenila, izračunati masu kiseonika koji je izašao iz suda. Koji deo molekula kiseonika je ostao u sudu?

3.8* U sudu nepoznate zapremine nalazi se vodonik pod pritiskom od p1 = 5 bara i na temperaturi t1 = 35 .

Preciznim merenjem je utvrdjeno da se nakon izvesnog vremena, usled propuštanja ventila na sudu, masa vodonika

smanjila za 30 g. Istovremeno, pritisak i temperatura gasa su opali na vrednost p2 = 4 bara i t2 = 30 . Gasna

konstanta vodonika iznosi Rg = 4,15 J/gK. Izračunati zapreminu suda.

3.9 U balonu zapremine V = 0,5 m3 nalazi se azot pod pritiskom od p1 = 100 kPa i na temperaturi T1 = 300 K. Za

koliko grama se povećava masa azota u balonu?

3.10 U horizontalno postavljen cilindar dužine l = 0,5 m i prečnika d = 1 cm, ubačen je klip mase m = 0,2 kg

zanemarljive debljine, jednako udaljen od oba kraja cilindra. Ako se cilindar sa obe strane zatvori, tako da pritisak

vazduha u oba dela iznosi p = 1 bar, a zatim postavi u vertikalni položaj, izračunati za koju vrednost l će se klip

pomeriti naniže. Smatrati da je trenje izmedju klipa i cilindra zanemarljivo i da se temperatura vazduha ne menja

prilikom pomeranja klipa.

3.11 Idealan gas se nalazi u sudu zapremine V1 = 3 l, na temperaturi T1 = 400 K i pod pritiskom p1 = 150 kPa. Nad

gasom se najpre vrši izotermna kompresija do zapremine V2 i pritiska p2, zatim izohorski hladi do temperature T3 =

300 K i na kraju izotermskom promenom gasa dobija konačnu zapreminu V4 = 1,5 l. Koliko iznosi konačan pritisak

p4?

3.12 Koliko toplote treba dovesti ugljendioksidu zatvorenom u sudu zapremine V = 5 l i na temperaturi T1 = 300 K,

da bi mu početni pritisak od p1 = 1,2 bara porastao do p2 = 2 bara? Specifična toplota ugljendioksida pri stalnoj

zapremini iznosi cv = 700 J/kgK.

3.13* U sudu zapremine V = 5 l nalazi se azot na temperaturi od T1 = 300 K. Ako se gasu pri stalnoj zapremini

oduzme toplota Q = -1,5 kJ, pritisak gasa se smanji tri puta. Izračunati:

a) temperaturu T2, nakon oduzimanja toplote;

b) početni i krajnji pritisak gasa.

Specifična toplota azota pri stalnoj zapremini je cv = 745 J/kgK.

3.14 U sudu zapremine V = 2 l nalazi se kiseonik pod pritiskom p1. Izračunati količinu toplote koju treba oduzeti

gasu da bi mu pritisak opao za p = p1 – p2 = 1,2 bara. Specifična toplota kiseonika pri stalnoj zapremini je cv = 657

J/kgK.

3.15 Početna vrednost zapremine idealnog gasa iznosi V1 = 1 l, a pritisak p1 = 6 bara. Nakon izotermne ekspanzije

gas uveća svoju zapreminu pet puta. Izračunati rad ekspanzije.

3.16 Prilikom izotermnog širenje 3 g vodonika pri temperaturi t = 80 , početni pritisak opadne na trećinu svoje

vrednosti. Izračunati rad ekspanzije.

3.17 Osam grama kiseonika na temperaturi T = 350 K se izotermno širi. Nakon ove ekspanzije gustina se smanji tri

puta u odnosu na početnu vrednost. Izračunati rad ekspanzije.

3.18 Kiseonik mase m = 5 g nalazi se na temperaturi T1 = 300 K. Nakon dovodjenja toplote Q = 2 kJ pri stalnom

pritisku, zapremina gasa se povećava za V = 5 dm3. Odrediti:

a) promenu unutrašnje energije gasa;

b) dobijeni rad;

31

c) pritisak gasa;

d) početu i krajnju zapreminu gasa, i

e) krajnju temperaturu gasa.

Količnik cp/cv za kiseonik iznosi = 1,4.

3.19 Prilikom izobarske ekspanzije 3 mola idealnog gasa njegova temperatura se promeni za T = 80 K. Izračunati

dobijeni rad.

3.20 U cilindru sa pokretnim klipom se nalazi m = 8 g vodonika pod pritiskom p = 1,5 bara. Vodoniku se pod stalnim

pritiskom dovodi toplota Q = 6 kJ, tako da mu temperatura od početne T1 = 300 K poraste do T2 = 400 K. Izračunati

promenu unutrašnje energije gasa, kao i početnu i trajnu zapreminu gasa.

3.21 Idealan jednoatomni gas zatvoren u cilindru sa pokretnim klipom zauzima zapreminu V1 = 3 dm3 i nalazi se pod

pritiskom p1 = 1 bar na temperaturi t1 = 27 . Nakon adijabatske kompresije zapremina gasa se smanji tri puta.

Izračunati pritisak i temperaturu gasa posle kompresije.

3.22 Tri mola kiseonika se nalazi na temperaturi T1 = 290 K. Nakon adijabatske ekspanzije prtisak gasa opadne pet

puta. Izračunati rad ekspanzije.

3.23 Prilikom adijabatske ekspanzije 4 mola dvoatomskog gasa, zapremina gasa se povećava dva puta, a gas izvrši

spoljašnji rad od A = 20 kJ. Izračunati početnu i krajnju temperaturu gasa.

3.24 Idealna toplotna mašina radi prema krućnom ciklusu prikazanom na slici 3.2. Dvoatomni idealan gas se najpre

izotermno širi dovodjenjem toplote Q1, tako da mu pritisak od stanja (1) do stanja (2) opadne četiri puta. Zatim se

gas od stanja (2) do stanja (3) izohorski hladi oduzimanjem toplote Q2, pri čemu mu pritisak opadne dva puta. Od

stanja (3) gas sa adijabatskom kompresijom prevodi u početno stanje (1). Izračunati stepen korisnog dejstva ove

idealne toplotne mašine.

3.25* U cilindru sa pokretnim klipom nalazi se jednoatomni idealan gas na temperaturi T1 = 300 K (početno stanje

(1) na slici 3.3). Gasu se dovodi toplota Q 1 pri stalnom pritisku usled mu temperatura raste do T2 = 500 K (stanje

(2)). Nakon izobarne ekspanzije gas se adijabatski širi tako da mu temperatura opada do T3 = T1 (stanje (3)).

Vraćanje gasa u početno stanje (1) vrši se istovremeno kompresijom, pri čemu se zapremina gasa smanji tri puta.

Izračunati stepen korisnog dejstva ŋ.

3.26* Idealna toplotna mašina sa periodičnim dejstvom kao radno telo sadrži dvoatoman idealan gas zatvoren u

cilindru sa pokretnim klipom. Gas u početnom stanju (1) zauzima zapreminu V1 = 250 cm3 i nalazi se u kontaktu sa

toplotnim rezervoarom temperature T1 = 500 K, slika 3.4. Usled toga gas prima toplotu Q1' i izotermno se širi do

stanja (2) sa zapreminom V2 = 700 cm3. Zatim se cilindar sa gasom dovodi u kontakt sa hladnim toplotnim

rezervoarom temperature T2 = 300 K, usled čega gas otpušta toplotu Q2' i pri stalnoj zapremini V2 prelazi u stanje

(3). Izotermnom kompresijom na temperaturi T2 gas otpušta toplotu Q2'' hladnijem rezervoaru i prelazi u stanje (4) sa

zapreminom V1, dovodi toplota Q1'', čime on prelazi u početno stanje (1). Koliko iznosi stepen korisnog dejstva ove

toplotne mašine?

3.27 Idealan dvoatomni gas se nalazi u cilindru sa pokretnim klipom u stanju (1), slika 3.5. Adijabatskom

ekspanzijom gas iz početnog stanja (1) prelazi u stanje (2), usled čega mu temperatura opadne od početne T1 do T2.

Gasu se, zatim, pri stalnom pritisku oduzme toplota Q2, tako da mu temperatura opada od T2 do T3, (stanje (3)).

Dovodjenjem cilindra u kontakt sa toplotnim rezervoarom temperature T1, gas pri stalnoj zapremini prima toplotu Q1

i prelazi u početno stanje (1). Ako su poznate temperature T1 = 950 K, T2 = 500 K i T3 = 300 K, odrediti stepen

korisnog dejstva ove idealne toplotne mašine.

3.28 Apsorpcijom toplote Q = 204 kJ, komad gvoždja mase m = 7,5 kg na temperaturi topljenja predje iz čvrstog u

tečno stanje iste temperature. Kolika je latentna toplota topljenja gvoždja?

3.29 U m1 = 8 kg vode temperature t1 = 25 ubaci se m2 = 500 g leda temperature t2 = 0 . Kolika će biti

temperatura smeše nakon uspostavljanja ravnoteže? Latentna toplota leda iznosi qt = 335 kJ/kg, a specifična toplota

vode cv = 4186 J/kgK.

3.30* Izračunati količinu vodene pare, temperature t1 = 100 , potrebnih za topljenje leda mase ml = 10 kg i

temperature t2 = -10 , tako da temperatura nastale vode iznosi ts = 10 . Specifična toplota leda je cl = 2 kJ/kgK, a

latentna toplota isparavanja (kondenzovanja) vode qi = 2,26 MJ/kg. Koliko na kraju iznosi masa u vode u sudu?

3.31* U posudu kalorimetarnog suda se nalije 400 ml vode temperature 22 , a zatim se uvodi vodena para

temperature 100 . Kolika je temperatura vode u kalorimearskom sudu, ako je njena zapremina, nakon uvodjenja

pare, 435 ml? Toplotni kapacitet kalorimetarnog suda iznosi C = 350 J/K.

3.32 U kalorimetarski sud od aluminijuma mase 500g nasuto je 250g vode temperature 25 . Kada se kalirimetar

sa vodom stavi u valjak mase 400g i temperature 200 , temperatura vode se poveća na 50 . Valjak je izradjen od

legure aluminijuma i bakra. Odrediti kolika je masa aluminijuma, a kolika bakra u valjku, ako je specifična toplota

za bakar cCu = 328 J/kgK i za aluminijum cAl = 985 J/kgK.

3.33 U mesinganom sudu mase 0,5 kg nalazi je 1 kg vode temperature 20 . Ako se u vodu potopi 10 kg

rastvorenog olova temperature 327 (temperatura topljenja olova), ispariće 80g vode. Kolika je latentna toplota

kristalizacije olova? Specifična toplota olova je 0,13 kJ/kgK i mesinga 0,38 kJ/kgK.

32

TERMOFIZIKA REŠENJA

3.1 Najverovatnije brzine molekula ugljendioksida i vodonika su respektivno

√

√

Iz jednakosti ovih brzina se dobija

S obzirom da je srednja kinetička energija translacije određena temperaturom T kao:

sledi da je 22 puta veća od

.

3.2 Za V = const je

(

)

√

√

(

) √

√

}

√

3.3 Stanje idealnog gasa okarakterisano je osnovnim parametrima sistema: pritiskom p, zapreminom V,

temperaturom T i brojem molova gasa n, čija međusobna zavisnost je iskazana jednačinom stanja idealnog gasa:

( )

Broj molova gasa je jednak količniku mase gasa m i molarne mase M (n = m/M), tako da je jednačina (3.1):

( )

Delenjem jednačine (3.2) sa V, dobija se

( )

gde je ρ = m/V - gustina gasa. Iz (3.3) za gustinu sledi

Broj molova gasa može da se izrazi i preko broja molekula gasa N i Avogadrovog broja NA (n = N/NA), te se iz

jednačine stanja idealnog gasa (3.1), za broj molekula gasa po jedinici zapremine dobija

3.4

}

3.5 Nakon dovođenja toplote klip zauzima položaj (2), a sile koje deluju na njega su u ravnoteži

33

( )

gde je Fp = pS - sila koja deluje naviše usled pritiska vazduha u cilindru, G = mkg - težina klipa i F0 = p0S - sila

spoljašnjeg pritiska usmerena naniže. Na osnovu (3.4), uzimajući u obzir navedene izraze za pojedine sile, za masu

klipa sledi

( )

Primenom jednačine stanja idealnog gasa na vazguh u cilindru, pre i posle dovođenja toplote, dobija se izraz za

pritisak vazduha u cilindru na sledeći način:

- pre dovođenja toplote

( )

- posle dovođenja toplote

( )

Zamenom (3.6) u (3.7) i uzimajući u obzir da je ΔV = SΔh, za pritisak se dobija

( )

Zamenom (3.8) u (3.5) dobija se masa klipa

(

)

(

)

3.6 p = 171000 Pa

3.7 Iz jednačine stanja idealnog gasa za kiseonik u sudu pre otvaranja ventila sledi

( )

Nakon ispuštanja dela kiseonika, u sudu ostaje masa kiseonika m’ pod pritiskom p2, te se može pisati

( )

Na osnovu (3.9) i (3.10) ispuštena masa kiseonika iznosi

( )

( )

Masa kiseonika u sudu pre otvaranja ventila jednaka ke proizvodu broja molekula N i mase jednog molekula µ, tj. m

= Nµ, odakle sledi

Analogno se može pisati za m' i N':

Deo molekula koji ostaje u sudu je

3.8

3.9

3.10 Na osnovu ravnoteže pritisaka, kada se cilindar nalazi u vertikalnom položaju, može se pisati

( )

gde je p1 - pritisak vazduha u gornjoj komori, p2 - pritisak vazduha u donjoj komori i pk - pritisak usled težine klipa. S

obzirom da se temperatura vazduha prilikom zakretanja cilindra ne menja, promene stanja gasa se mogu opisati Bojl

- Mariotovim zakonom:

34

odakle proizilazi

( )

gde su odgovarajuće zapremine (videti sliku) jednake

(

) (

) ( )

Nakon zamene (3.13) i (3.12) u (3.11) i sređivanja izraza, dobija se kvadratna jednačina po Δl oblika

( )

Rešenja ove jednačine, uzimajući u obzir da je

su

(

√(

)

)

Zamenom brojnih vrednosti za pomeraj klipa Δl dobija se

Drugo rešenje sa znakom minus je fizički nemoguće, te se ne uzima u obzir.

3.11 Za izotermsku kompresiju važi T2 = T1 = 400 K i p1V1 = p2V2, odakle sledi da je

( )

Izohorski proces hlađenja se odvija do T3 = 300 K, tj. važi V2 = V3 i

odakle se dobija

( )

Za konačnu izotermsku promenu se može pisati

odakle sledi, uzimajući u obzir da je V3 = V2 i uz pomoć (3.14) i (3.15):

NAPOMENA: Do rešenja se može doći i na jednostavniji način:

Za početno i krajnje stanje gasa, s obzirom da je tokom procesa masa gasa ostala nepromenjena, može se

pisati

Kako je poslednja promena izotermna, sledi da je T4 = T3 = 300 K, te se za pritisak dobija p4 = 225 kPa.

3.12 Toplota koja se dovodi gasu pri stalnoj zapremini je

( )

Temperatura ugljendioksida nakon dovođenja toplote se može odrediti primenom Šarlovog zakona na sledeći način:

35

Iz jednačine stanja idealnog gasa

za masu se dobija

Konačno, dovedena toplota gasu je

3.13 Za

( )

( )

3.14 Q = - 608 J.

3.15 Rad idealnog gasa za izotermne procese (T = const) ima oblik

Uzimajući u obzir da se proizvod ispred logaritma može izraziti pomoću jednačine stanja idealnog gasa, preko

početne zapremine V1 i početnog pritiska p1:

kao i da je iz uslova zadatka V2/V1 = 5, za rad se dobija

3.16

3.17

3.18 a) Izraz za toplotu dovedenu gasu pri stalnom pritisku ima oblik

( ) ( )

dok promena unutrašnje energije zavisi samo od promene temperature (bez obzira na vrstu procesa):

( ) ( )

Delenjem (3.16) sa (3.17), za promenu unutrašnje energije se dobija

b) Iz prvog zakona termodinamike

36

c) Za izobarski proces rad gasa je A = pΔV, odakle za pritisak sledi

d)

e) Za izobarske procese (p = const) važi Gej - Lisakov zakon

3.19 Rad pri izobarskom širenju je

( )

Iz jednačine stanja idealnog gasa za početno i krajnje stanje sledi:

} ( ) ( )

te je rad jednak

3.20 ( )

Rad pri izobarskom širenju može se opisati kao (videti prethodni zadatak):

( )

( )

Iz (3.18) i (3.29) za promenu unutrašnje energije sledi

Rad za izobarski proces je

( ) ( )

Iz Gej - Lisakovog zakona

( )

što zamenom u (3.20) daje

(

)

odakle je

(

)

Iz (3.21), za krajnju zapreminu sledi

3.21 Iz Poasonovog zakona

sledi

(

)

gde je

37

(za jednoatomni gas broj stepeni slobode je i = 3).

Uzimajući u obzir da je V1/V2 = 3, za pritisak se dobija

Temperatura nakon kompresije sledi iz Poasonovog zakona datog u formi

(

)

3.22 Rad ekspanzije kod adijabatskog procesa je

( )

ili ako se uzme u obzir da je m = nM i Rg = R/M, rad je

( ) ( )

Temperatura T2 nakon ekspanzije se može odrediti iz Poasonovog zakona

(

)

gde je

(i = 5 za dvoatomni gas). Na osnovu (3.22) za rad se dobija

3.23

(

)

3.24 Stepen korisnog dejstva η idealne toplotne mašine se definiše kao odnos korisnog mehaničkog rada A i uložene

energije Q1:

( )

Dovođenjem toplote Q1, gas se pri stalnoj temperaturi T, prevodi iz stanja (1) u stanje (2), prilikom čega gas vrši

izotermni rad

( )

Primenom prvog zakona termodinamike na izotermne procese, dobijeni rad je jednak uloženoj toploti

( )

jer pri T = const nema promene unutrašnje energije (ΔU2,1 = 0).

Od stanja (2) do stanja (3) gasu se oduzima toplota Q2 pri stalnoj zapremini, te je rad

Adijabatskom kompresijom gas se iz stanja (3) prevodi u početno stanje (1) prilikom čega se ulaže rad A3,1. Na

osnovu prvog zakona termodinamike, rad za adijabatske procese (Q = 0) jednak je negativnoj promeni unutrašnje

energije

( ) ( )

Na osnovu (3.26), s obzirom da je T >T3, sledi da je uloženi rad A3,1 negativan, za razliku od dobijenog rada A1,2, koji

je pozitivan.

Ukupan rad u toku jednog kružnog ciklusa je

( )

te uzimajući u obzir (3.23), (3,24), (3.25), (3.26) i (3.27) za stepen korisnog dejstva se dobija

38

( )

( )

Specifična toplota pri stalnoj zapremini zavisi od broja stepeni slobode molekula i od molarne mase gasa

( )

Zamenom (3.29) u (3.28) za η sledi

( )

Za proces od stanja (1) do (2) (T = const) važi Bojl - Mariotov zakon

( )

a od stanja (2) do (3) (V = const) Šarlov zakon

( )

Zamenom (3.31) i (3.32) u (3.30) za stepen korisnog dejstva se dbija izraz

( )

Za dvoatomni gas broj stepeni slobode je i = 5, a iz uslova zadatka je p1/p2 = 4 i p3/p2 = 0,5. Konačno, zamenom ovih

vrednosti u (3.33) dobija se

3.25

| |

| |

( )

( )

|

|

( )

(

) (

)

Sledi usled uvažavanja pravila logaritmovanja:

|

| |

|

3.26

} ( )

( )

( )

39

( )

( )

(

)

( )

3.27

3.28 Količina toplote koju treba dovesti čvrstom telu jedinične mase, na temperaturi prelaza, da bi prešlo u tečnost na

istoj temperaturi naziva se latentna (skrivena) toplota topljenja, a računa se:

Zamenom datih vrednosti za latentnu toplotu topljenja gvožđa se dobija

3.29 Količina toplote koju će otpustiti voda da bi se sa temperature t1 ohladila na temperaturu ravnoteže je

( )

Deo ove toplote će se potrošiti na topljenje leda

a drugi deo na zagrevanje vode sa t2 = 0°C na temperaturu ravnoteže

( )

Uz pretpostavku da nema toplotnih gubitaka, važi:

Zamenom odgovarajućih izraza se dobija

( ) ( )

( )

( )

3.30. Količina toplote koju otpusti vodena para pri kondanzaciji je

Količina toplote koju otpusti kondenzovana para dok se ne ohladi do temperature ravnoteže je

( )

Tako da je ukupna količinatoplote koju otpusti para

Jedan deo ove toplote će primiti led da bi mu se temperatura sa t2 = -10°C povećala na 0°C

( )

drugi deo toplote će se upotrebiti za topljenje leda i njegov prelaz u vodu (latentna toplota topljenja)

i treći deo ove toplote se troši na zagrevanje vode sa 0°C na temperaturu ravnoteže

( )

Ukupna količina toplote koju primi led je prema tome

40

Ako pretpostavimo da nema gubitaka toplote, biće

to jest

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

Ukupna količina vode u sudu nakon uvođenja pare je

3.31 ( ) ( )

3.32

3.33