Univerzitet u Tuzli Mašinski fakultet Energetsko, proizvodno, mehatronika

TERMODINAMIKA I(PREDAVANJA)

SKRIPTA

Profesor:Mensur Đedović, III – 178/08 Dr. sc. Sandira Eljšan, van. prof.

Tuzla, 2013.

UVOD

Termodinamika je nauka koja se bavi izučavanjem pojava vezanih za transformaciju energije(posebno za transformaciju toplotne energije u druge vidove energije) i uslova pod kojim je tatransformacija moguća.

Naziv termodinamika potiče od grčkih riječi termo – topao i dinamics – uzrok kretanja.

Zadatak termodinamike je utvrđivanje fizikalnih zakonitosti kojim se opisuju procesi transformacijeenergije i ispitivanje međudjelovanja termodinamičkog sistema i okoline.

Termodinamika izučava stanje materije i promjene unutar nje.

Prema historijskom pristupu termodinamika se dijeli na:

• opštu (fizičku)

• hemijsku

• tehničku

• hemijsko-inžinjersku.

U zavisnosti od pristupa proučavanja materije i promjena unutar materije termodinamički procesi moguse posmatrati kao makroskopski i mikroskopski pa onda se termodinamika može posmatrati kaoklasična i statistička termodinamika.

Klasična termodinamika proučava termodinamički sistem i promjene stanja sistema samakroskopskog stanovišta bez dubljeg ulaženja u građu materije.

Statistička termodinamika posmatra termodinamički sistem kao skup velikog broja elementarnihčestica i osobine sistema podrazumjevaju primjenu mehanike malih čestica i statističkih zakonitosti.

Za analizu i praćenje pretvaranja toplote u rad primjenjuje se klasična termodinamika o kojoj će i bitiriječi.

Tehnička termodinamika opisuje i proučava procese uzajamne pretvorbe toplotne u mehaničkuenergiju, a predstavlja teorijske osnove toplotne mehanike, posebno sklopova energetskih postrojenja,toplotnih motora.

Termodinamika se temelji na eksperimentalno utvrđenim zakonima:

• Prvom postulatu ravnoteže koji kaže: Svaki sistem prirodnih tijela teži ravnotežnom stanju, akada postigne to stanje ne može ga više sam od sebe mijenjati.

• Drugom postulatu ravnoteže (tzv. Nulti zakon termodinamike) koji uspostavlja vezu izmeđusistema koji se nalaze u termičkoj ravnoteži.

• Prvom zakonu termodinamike, tj. zakon o očuvanju, održanju energije.

• Drugom zakonu termodinamike koji definiše smijer odvijanja procesa u prirodi i izražava

1

karakter tih procesa (povratni ili nepovratni).

• Trećem zakonu termodinamike koji omogućava određivanje entropije kao termodinamičkeveličine, a koja pokazuje smijer odvijanja procesa.

Osnovni termodimanički pojmovi

Materija (tvar)

Da bi se definisala materija sa termodinamičkog aspekta bilo bi potrebno poznavati sve njene fizičke osobine u različitim vremenskim intervalima jer se one mijenjaju u toku vremena.

Radno tijelo (RT)

Koristi se u radnim mašinama za dobijanje rada sa osobinom da se u njemu može akumulirati određenakoličina energije i da mu se ona može oduzeti.

Radno tijelo može biti:

• Gas (koristi se u motorima, kotlovima i gasnim turbinama)

• Vodena para (nastaje u parnim kotlovima a pokreće parnu turbinu)

• Tečnost (prenos topline)

• Čvrsto (kruto) radno tijelo

Sa termodinamičkog stanovišta najbolje radno tijelo je gas.

Idealan gas je zamišljena materija čiji su molekuli loptastog oblika, zanemarljivog prečnika i konačne mase, a među molekulima vladaju zanemarljivo male međumolekularne sile.

Iako idealni gas u prirodi ne postoji zakoni izvedeni mogu se primjenjivati i na realne gasove.

Gas je po svojim osobinama bliži idealnom gasu ako mu je temperatura pri nekom određenem pritisku viša ili pritisak pri nekoj stalnoj temperaturi niži.

Termodinamički sistem

Termodinamički sistem je onaj dio svijeta koji je predmet termodinamičkog proučavanja i od ostalogprostora sistem je odvojen graničnom površinom koja može biti stalna ili zamišljena (pokretna ilinepokretna). Okolina termodinamičkog sistema je sav preostali prostor koji nije uključen u sistem.

2

Između sistema i okoline izmjenjuje se masa i energija u obliku rada (L) i toplote (Q).

• Otvoreni termodinamički sistem je sistem koji kroz svoje granice razmjenjuje masu i energiju sa okolinom,Kontrolna zapremina predstavlja prostor obuhvaćen graničnom površinom kroz koju se razmjenjuje masa i energija.

Površina koja obuhvata kontrolnu zapreminu naziva se kontrolna površina.

• Kod zatvorenog termodinamičkog sistema razmjena mase nije moguća, a može postojatirazmjena energije sa okolinom,

• Izolovani sistem je sistem kod koga nema izmjene topline a ni mase sa okolinom.

• Adijabatski sistem je termodinamički sistem koji sa okolinom može izmjenivati rad ali ne i

3

a) otvoren b) zatvoren c) izolovan

toplinu.

Granične površine termodinamičkog sistema mogu biti izolatori (kod izolovanih sistema), adijabatske(kod adijabatskih sistema), dijatermičke granice (koje dozvoljavaju prenos energije u obliku topline),pokretne (granice koje propuštaju rad) i nepokretne (granice koje ne propuštaju rad).

• Homogeni sistemi su oni sistemi čije su osobine jednake u svim njegovim dijelovima ili sekontinualno mijenjaju od jednog do drugog mjesta.

• Heterogeni sistem sastoji se od dvije ili više različitih homogenih faza. Na granici faza osobinesistema se naglo mijenjaju.

Agregatna stanja

Materijalna tijela u prirodi mogu se naći u tri agregatna stanja. Dovođenjem toplote tijelu slabemeđumolekularne sile unutar tog tijela i ono pod određenim uslovima prelazi iz čvrste u tečnu fazu.Ako se nastavi sa procesom dovođenja toplote tijelo u određenom vremenskom trenutku i pododređenim uslovima prelazi u gas. Ovaj proces zove se isparavanje, a njemu suprotan kondenzacija.

Sublimacija je proces kod koga tijelo pod određenim uslovima direktno prelazi iz čvste faze u gasovitu.Obrnut proces zove se desublimacija.

Parametri stanja (parametri koji definišu sistem)

Stanje nekog termodinamičkog sistema određeno je parametrima stanja.

Parametri čija numerička vrijednost zavisi od količine materije u sistemu zovu se ekstenzivni (masa,zapremina, unutrašnja energija) parametri.

Intenzivni parametri ne zavise od količine materije u sistemu (pritisak, temperatura).

Ekstenzivne veličine mogu se svesti na jedinicu mase i onda dobijaju karakter intenzivnih veličina.

Parametri mogu biti interni (definišu stanje nekog sistema) i eksterni (definišu sistem u odnosu naokolinu).

Interni parametri zovu se još i veličinama stanja jer imaju istu vrijednost za jedno isto stanjetermodinamičkog sistema.

Veličine stanja su zapravo stepeni slobode. Da bi se stanje gasa jednoznačno definisalo dovoljno jeznati tri bilo koje veličine stanja, a u tehničkoj termodinamici uzimaju se one koje se jednostavno mjerei imaju fizički smisao.

Osnovene termodinamičke veličine stanja su:

• p – pritisak [ Pa]

• T – temperatura [ K ]

• v – specifična zapremina [m3

kg]

4

Specifična zapremina i gustina predstavljaju molarne veličine stanja pri čemu specifična zapreminapredstavlja zapreminu jedinice mase.

v=Vm

[m3

kg]

Količina materije predstavlja fizičku veličinu definisana brojem strukturnih elemenata (atoma,molekula, elektrona, jona...).

Jedinica količine materije je mol ali se vrlo često koristi i kmol.

vn=Vn

[m3

mol]

Molarna masa je molekulska masa radnog tijela, odnosno odnos mase radnog tijela i njegove količine.

M =mn

[kg

mol]

vn=Vn=

m⋅vn

=M⋅v=Mρ

[m3

mol]

Temperatura (T) se najčešće definiše kao stepen zagrijanosti nekog termodinamičkog sistema. Pojamtemperature ima znatno dublje fizičko značenje koje proizilazi iz molekularno-kinetičke teorije gasova.

Temperatura je spoljašnja manifestacija energije unutrašnjeg kretanja molekula sistema.

Temperatura je mjera ili pokazatelj srednje vrijednosti kinetičke energije translatornog kretanjamolekula posmatranog termodinamičkog sistema.

B⋅T =m⋅v 2

2

gdje su:

B - koeficijent proporcionalnosti, T - temperatura, m - masa,

v -srednja brzina kretanja velikog broja molekula.

Pojam temperature utemeljen je u Nultom zakonu termodinamike tj. ako su dva sistema u toplotnojravnoteži onda oni imaju istu temperaturu.

Mjerenje temperature nije moguće izvršiti neposredno pa se temperatura mjeri posredno mjerenjempromjene fizičkih osobina neke druge materije koja se dovodi u termičku ravnotežu sa tijelom čija setemperatura mjeri. Sve materije sa promjenom temperature mijenjaju svoje fizičke, mehaničke ielektrične osobine.

Instrumenti za mjerenje temperature mogu se podijeliti na instrumente koji rade na principu kontaktnogmjerenja temperature (živin termometar, razne vrste električnih termometara kao termoparovi, otpornitermometri i bimetalni termometri). Živin termometar je najstariji instrument za mjerenje temperature.

5

Temperaturno osjetljive osobine materije, koje se koriste u izradi instrumenata za mjerenje temperaturesu:

- promjena zapremine;- pritisak gasa pri konstantnoj zapremini;- električni otpor u čvrstom tijelu (metalu);- elektromotorna sila u dva različita metala ili poluprovodnika;- intenzitet zračenja na visokim temperaturama i magnetni efekti na ekstremno niskim temperaturama.

Instrumenti koji rade na principu bezkontaktnog mjerenja temperature podrazumjevaju mjerenjetemperature na nedostupnim objektima, visokonaponskim instalacijama, objektima koji se kreću(termografija uz korištenje termografske kamere).

Za toplotno stanje materije mjerodavana je apsolutna temperatura (njena vrijednost u SI sistemu dobijase korištenjem Kelvinove temperaturne skale T [K] = t [°C]+273.15.

Pored navedenih temperaturnih skala u upotrebi su i Farenhajtova i Remurova skala.

Pritisak možemo definisati kao normalnu silu koja djeluje na jedinicu površine.

P=FA

[N

mm2=Pa]

1bar=105 Pa

1 atm. = 760 mmHg - fizička

6

Temperaturne skale

1 atm. = 735.6 mmHg – tehnička

Atmosferski ili barometarski pritisak je pritisak kojim vazduh djeluje na površinu zemlje.

Apsolutni pritisak je stvarni pritisak nekog gasa ili tečnosti u zatvorenoj posudi.

Pritisak gasa u zatvorenoj posudi može biti različit (manji, veći ili jedank atmosferskom).

Ako je pritisak gasa u nekoj posudi veći od atmosferskog radi se o nadpritisku ili manometarskompritisku, a ako je manji od atmosferskog govorimo o podpristisku ili vakuumskom.

Atmosferski pritisak mjeri se barometrom, nadpritisak manometrom, a podpritisak vakuummetrom.

Nadpritisak i podpritisak zavise od vrijednosti atmosferskog pritiska, a koji se mijenja sa promjenomatmosferskih uslova i nadmorske visine. Zbog toga nadpritisak i podpritisak ne karakterišu stanjetermodinamičkog sistema tj. nisu veličine stanja.

Veličina stanja je samo apsolutni (stvarni) pritisak.

Ako je pritisak u zatvorenoj posudi veći od atmosferskog pritiska, apsolutni pritisak dobije se kao zbiratmosferskog pritiska i nadpritiska.

p=pb+ pa

Ako je pritisak u zatvorenoj posudi manji od atmosferskog pritiska, apsolutni pritisak se dobije kaorazlika atmosferskog pritiska i podpritiska ili vakuma.

p=pb−pa

7

p= pb+ pn p= pb− pv

Pritisak u podpritisnim rezervoarima se često izražava kao vakum i to u % (procentima)

%pv=pv

pb

100

Za mjerenje pritiska koriste se mehanički ili električni uređaji pri čemu se vrijednost pritiska direktnoočitava sa Burdonovog manometra, a kod cijevi određuje se mjerenjem visine stupca tekućine.

Zapremina je prostor ispunjen materijom mase m odnosno prostor koji zauzima neki sistem.Zapremina materije zavisi od njene mase pa se za veličinu stanja uzima specifična zapremina kojaodgovara jedini zapremini mase.

v=Vm

[kg

m3]

Često se u termodinamici koristi jedinica za količinu materije tzv. normalni metar kubni (mn3) koji

predstavlja onu količinu gasa koja pri normalnim uslovima p=760 mmHg i t=0 ºC zauzima zapreminuod 1 m3 .

8

a) s U-cijevi b)s Bourdon-ovom cijevi

Manometri

Termička ravnoteža

Stanje radne materije je posljedica unutrašnjih mikroskopskih promjena unutar radne materije. Ovo jeodređeno veličinama stanja (p,v,T).

Pod termodinamičkom ravnotežom se podrazumjeva stanje radne materije kod koje su svi njeni dijeloviu mehaničkoj, termičkoj i hemijskoj ravnoteži i ne postoji uticaj okoline na termodinamički sistem iobratno i nema izmjene topline i rada sa okolinom (zatvoren i izolovan sistem).

Za termodinamiči sistem kaže se da je u mehaničkoj ravnoteži ukoliko u svim dijelovima materijevlada isti pritisak. Termička ravnoteža je posljedica jednakosti temperatura u svim dijelovima radnematerije, a hemijska ravnoteža je posljedica jednakosti unutrašnjeg hemijskog sastava i koncentracijematerije.

Termička jednačina stanja

Analitička jednačina koja uspostavlja vezu između pritiska, temperature i zapremine termodinamičkogsistema naziva se termička jednačina

Eksplicitni oblik

p=p (T,v)

T= T (p,v)

v= v (p,T)

Implicitni oblik

F (p,v,T)=0 (eksperimentalno i analitički iz kinetičke teorije gasova)

Nulti zakon termodinamike

Nulti zakon termodinamike u literaturi naziva se još i drugi postulat ravnoteže. Uspostavlja termičku ravnotežu između posmatranih termodinamičkih sistema i glasi:

Ako su sistemi A i B u termičkoj ravnoteži i sistem B u ravnoteži sa nekim sistemom C onda su u ravnoteži i sistemi AC.

9

Pomoću ovog zakona može se objasniti mjerenje temperature, ako je sistem C termometar koji sedovodi u toplotnu ravnotežu sa drugim sistemima, tijelima, onda se na osnovu ponašanja sistema(tijela) C zaključuje o temperaturama sistema (tijela) sa kojima je ovaj sistem bio u kontaktu.

Proces

Pod procesom se podrazumjeva prelazak termodinamičkog sistema iz jednog stanja u drugo stanje pri čemu dolazi do promjene jedne ili više veličina stanja tog sistema.

10

Radni pv dijagram

CiklusAko termodinamički sistem prolazi kroz niz međustanja od početnog do krajnjeg i na kraju se vraća u početno stanje kaže se da je izvršio ciklus ili zatvoreni proces ( npr. rad SUS motora kod koga se procesponavlja u jedinici vremena).

Energija

Energija je jedna od osobina materije i ispoljava se u raznovrsnim neprekidnim makroskopskim imikroskopskim promjenama stanja sistema odnosno njegovih čestica. Svaki sistem ima svojeenergetsko stanje i iz iskustvenog zakona o održanju energije slijedi da se energija ne može stvoriti nitiuništiti nego samo prelazi iz jednog oblika u drugi.

Zbir svih oblika energije u izolovanom sistemu ima konstantnu vrijednost.

Energija se najčešće pojavljuje kao:

• Akumulirana – vezana za termodinamiči sistem

• Energija prelaznog oblika

Promjena akumulirane energije mjeri se promjenom nekih osobina sitema u odnosu na usvojenoreferentno stanje. Zbog toga se ne govori o apsolutnom iznosu potencijalne i kinetičke energije nego onjihovoj promjeni u toku nekog procesa.

Ona može biti:

• Potencijala – Ep

• Kinetička – Ek

• Unutrašnja – U

• Hemijska – Ec

11

Ciklus

• Električna – Ee

• Nuklearna – En

• Energija elastične deformacije – Ed

Energija prelaznog oblika javlja se kada akumilirana energija mijenja svoj oblik i predstavlja rezultatenergijske interakcije između sistema i okoline.

Ukupna energija sistema odgovara zbiru njenih pojedinačnih oblika.

E=U+Ek+Ep+Ec+Ee+En+Ed=∑Ei

U procesima koji su predmet proučavanja promjena energije sistema može se izraziti jednačinom:

∆E=∆U+∆Ep+∆Ek=∑Ei, promjene ∆U=∆Ep=∆Ek=0

Unutrašnja energija

Unutrašnja toplotna energija U odgovara zbiru potencijalne i kinetičke energije kretanja atoma imolekula unutar nekog tijela. Ukoliko je to kretanje brže i intenzivnije unutrašnja energija tijela bit ćeveća.

Potencijalna energija se javlja usljed djelovanja međumolekularnih privlačnih sila koje su za idealangas zanemarive te se zbog toga unutrašnja toplotna energija naziva unutrašnja energija i ona predstavljazalihu energije u nekom sistemu. Ona raste sa temperaturom pa se kaže da je vanjska manifestacijaunutrašnje energije temperatura tijela μ=U(T).

Unutrašnja energija obilježava se da U i zavisi od mase sistema m.

μ=UM

[J

kg]

Unutrašnja energija jedinice mase predstavlja veličinu stanja. Pogrešno bi bilo unutrašnju energijupoistovijetiti sa toplinom. Unutrašnja energija karakteriše stanje sistema, a toplina se javlja samo priprelasku stanja sistema. Dovedu li se dva tijela, hladnije i toplije, u međusobni kontakt, čestice savećom kinetičkom energijom u međusobnim sudarima predaju energiju česticama sa manjomkinetičkom energijom, usporavaju se i toplije tijelo se hladi, a čestice hladnijeg tijela se ubrzaju i tijelose grije.

Toplota je onaj dio unutrašnje energije koji sa tijela više temperature prijeđe na tijelo niže temperaturedok im se temperature ne izjednače. Kada se temperature izjednače nema više prelaza unutrašnjeenergije ni toplote.

12

Termička ravnoteža je izjednačavanje temperature pri čemu toplota prelazi sa tijela više na tijelo nižetemperature dok se ne izjednače i ne uspostavi ravnoteža.

Vanjski uticaji

Energetske interakcije između sistema i okoline mogu biti različite.

Toplota i zapreminski rad su vanjski uticaji na termodinamički sistem, nisu veličine stanja, ali djelujuna promjenu stanja sistema.

Toplota

Sa dovođenjem toplote materijalnom tijelu dolazi do povećanja njegove temperature ili promjeneagregatnog stanja.

Toplotni kapacitet materijalnog tijela je količina toplote koju je potrebno dovesti materijalnom tijeluda bi mu se temperatura povećala za 1 °C.

TC=dQdT

[ J / K ]

Specifična toplina je toplotni kapacitet jedinice mase tijela.

c=dqdT

[ J / kgK ]

Ova definicija specifične topline i nije baš najbolja jer je eksperimentalno dokazano da za prijenosspecifične topline nije odlučujuća samo vrsta materije nego i promjena stanja.

13

dq=c⋅dT

Specifičnu toplinu bi trebalo definisati kao količinu topline koju jedinica količine materije u toku nekepromjene razmijeni sa okolinom. Prava specifična toplina odnosi se na jednu određenu temperaturu.Srednja specifiččna toplina posmatrana u jednom intervalu računa se kao:

c(T1−T 2 )

=c

(0−T 2)T 2−c

(0−T 1 )T 1

T 2−T 1[ J

kgK ]

Za gasove najveći značaj imaju specifične topline pri konstantnom pritisku.

cp – specifična toplina pri konstantnom pritisku

cv – specifična toplina pri konstantnoj zapremini

cv – količina toplote koju je potrebno dovesti nekom gasu da bi mu se temperatura povećala za 1 °C.

Kod cp da bi povećali temperaturu gasa za 1 °C bilo bi potrebno dovesti toplotu koja se troši napovećanje unutrašnje energije i rad zbog širenja gasa.

(c p>cv )

Kod čvrstih tijela i tečnosti specifična toplina je uglavnom funkcija temperature.

Ovako definisana specifična toplina odnosi se na 1 kg materije.

Specifična toplina za 1 kmol nekog gasa računa se kao:

c=c⋅M [ JkmolK ]

gdje je:

M [kg/kmol] – molekulska masa gasa.

Za izobarsku promjenu:

c p=c p⋅M

Za izohorsku promjenu:

cv=cv⋅M

14

Količina toplote izobarske, izohorske i politropske promjene:

(dq )p=c p⋅dT

(dq )v=cv⋅dT

(dq )n=cn⋅dT

(q1,2) p=∫

1

2

c p⋅dT =c p∫1

2

dT=c p⋅(T 2−T 1)

(q1,2)v=∫1

2

cv⋅dT=cv∫1

2

dT=cv⋅(T 2−T 1)

Zapreminski rad

Odlika gasovitih materija je da lahko mijenju svoju zapreminu. U opštem slučaju pri promjenizapemine mijenja se i pritisak.Posmatrat ćemo jedan termodinamički sistem sa idealnim gasom unutar cilindra sa jednom pokretnomgranicom (klip cilindra). Predpostavnja se idealni slučaj kod koga pri promjeni zapremine ne dolazi dopromjene pritiska. Do pomjeranja klipa može doći samo usljed pomjeranja vanjske sile F. transfer(prelaz) energije kroz granicu sistema ekvivalentan je djelovanju sile na putu dx i predstavlja izvršenirad.

dL=F⋅dx

Pored vanjske sile F koja djeluje na klip cilindra sa unutrašnje strane molekuli gasa pritiska P djeluju načelo klipa silom Fp.

F p= p⋅A

Pri sporom kretaju klipa dolazi do mehaničke ravnoteže i izjednačavanja ove dvije sile.

15

F=F p

dL=p⋅A⋅dx= p⋅dV

Za 1 kg radne materije dobija se da je:

dl= pdv

l1,2=∫v 1

v2

pdv

Rad u p,v-dijagramu za slučaj izohorske i izobarske promjene stanja

l1,2=∫v 1

v2

pdv=0 l1,2=∫v 1

v2

pdv= p ( v2−v1)

Zapreminski rad je vanjski uticaj na termodinamički sistem.

Kod čvrstih tijela vanjska sila može vršiti rad nad radnim tijelom a da pri tome ne dođe do promjeneoblika tijela. Ovdje se posmatra samo rad vanjskih sila koje uzrokuju promjenu zapremine radnematerije. Takav rad se zove zapreminski i predstavlja jedan od vanjskih uticaja na termodinamičkisistem.

Poredeći rad dovedem materiji pri kompresiji i rad koji se odvodi materiji pri ekspanziji sa radomnapisanim u prethodnoj jednačini može se zaključiti da je rad pri kompresiji veći od ovog rada, a radpri ekspanziji manji. Pri ovom poređenju u izrazu dl= pdv računa se sa nekom srednjom vrijednostipritiska.

16

Rad vanjske sile, koja djeluje u smjeru smanjenja zapremine, je:

dl=Fdx= p , dv> p ,,dv

Gdje je:p' –pritisak molekula gasa uz zidp'‘- pritisak moelekula u ostalom dijelu gasa (p''< p' )

Pod „normalnim uslovima“ se u termodinamici podrazumijeva pritisak od 1,013 bar i temperatura 0ºC.

Osnovni zakoni idealnih gasova

Zakoni koji objašnjavaju makroskopska stanja gasova nastali su prije nekoliko vijekova i predstavljaju temelj termodinamike.

1. Bojl – Mariotov zakon (Boyle – Mariott)

Boylle-Mariottov zakon (zavisnost između pritiska i zapremine pri konstantnoj temperaturi)

pv=const . ( za T =const . )

p1 v1=p2v 2 ⇒p1

p2

=v2

v1

Boyle-Mariottov eksperiment

17

Izoterme – linije konstantne temperature.

2. Gej – Lisakov zakon (Gay – Lussac)

Na osnovu eksperimenta sa različitim gasovima dokazano je da svi gasovi u istom temperaturnomintervalu i uz konstantan pritisak ( p=const.) imaju jednak koeficijent širenja.

Kasnije je utvrđeno ograničenje zakona za male pritiske i temperature, tj. za približno idealne gasove.

vT

=const . ( za p=const . )

v1 T 2=v2T 1 ⇒v1

v2

=T 1

T 2

18

Gay-Lussacov eksperiment

3. Šarlov zakon (Charles)

Ukoliko je zapremina konstantna događa se izohorna promjena stanja. Pritisak se mijenja proporcionalno sa temperaturom pa Charles-ov zakon glasi:

pT

=const . za v=const .

p1T 2= p2 T 1 ⇒p1

p2

=T 1

T 2

19

Izobarne promjene stanja

Charles-ova eksperiment

Ova tri zakona povezuju tri osnovne veličine stanja idealnog gasa p,v,T.

Kako se radi o međusobno zavisnim fizičkim veličinama moguće ih je povezati u jedinstvenujednačinu.

p1 v1

T 1

=p2 v2

T 2

4. Avogadrov zakon

Odnosi se na različite gasove pri istim pritiscima, temperaturama i zapreminama. Dva različita gasakoji imaju iste temperature imat će iste srednje kinetičke energije molekula. T1=T2

Ako je p1=p2 onda imaju isti broj molekula po jedinici zapremine.

n1'=n2' [n

m3]

N 1

V 1

=N 2

V 2

=const.

Ako su im iste zapremine V1=V2, tada je i na osnovu:

20

Zavisnost pritiska od temperature po Charles-ovomzakonu

p1=p2 →N 1

V 1

=N 2

V 2

i V1=V2 → N1=N2

Prema tom, različiti gasovi koji zauzimaju iste zapremine i nalaze se pri istim temperaturama ipritiscima sadrže i jednak broj molekula (Avogadrov zakon).

Na osnovu tog zakona odnos gustina će biti:

ρ1

ρ2

=

m1

Vm2

V

=m1

m2

=n1⋅M 1

n2⋅M 2

=M 1

M 2

M 1

M 2

=ρ1

ρ2

→M 1

ρ1

=M 2

ρ2

odnosno

M 1⋅v1=M 2⋅v2=const.

M⋅v=vm [m3

mol] - molarna zapremina

Mv=const.

Jednačina stanja idealnog gasa

Iz prethodne jednačine jednostavno je dobiti jednačinu stanja idealnog gasa.

( pv )T=const .

pv= f 1 (T )

v= f ( p )⋅T

p⋅v= p⋅f ( p )⋅T =φ ( p )⋅T

f 1 (T )=φ ( p )⋅T

Obzirom na činjenicu da je f1 (T) isključivo funkcija temperature, φ (p) mora biti neka konstanta.

φ ( p )=R Gasna konstanta R [ J /kgK ]

Opšti oblik jednačine stanja za 1 [kg] idealnog gasa :

pv=RT

21

Diferencijalni oblik ove jednačine je:

pdv+vdp=RdT

Za masu od m [kg] nekog gasa jednačina stanja idealnog gasa glasi:

R=pvT

pvM =MRT

ili

pV M=MRT gdje je V M=v⋅M [m3/kmol]

Jednačine stanja za dva idealna gasa , koja imaju isti pritisak i temperaturu su:

pV M1=M 1 R1TpV M2=M 2 R2 T

Dijeljenjem ove dvije jednačine dobija se:

V M1

V M2

=M 1 R1

M 2 R2

(V M1=V M2=.. .=V Mn) (za iste fizikalne uslove)

Univerzalna gasna konstanta koja ima istu vrijednost za sve gasove, za razliku od R gasne konstantekoja je različita.

M 1 R1=M 2 R2=. ..=M n Rn=8314 , 7 [ JkmolK ]

22

mRTpV =

Jednačina stanja realnih gasova

Između molekula realnog gasa djeluju privlačne i odbojne sile pa zbog postojanja sila odbijanjamolekuli realnih gasova ne mogu da se dodiruju (oko svakog molekula postoji nekakva fiktivnazapremina u koju ne dolazi drugi molekul). Prema tome zapremina u kojoj se kreću molekuli gasamanja je za određene veličinu v koja je ustvari ukupna zapremina svih pojedinačnih fiktivnihzapremina. Njena veličina b zavisi od prirode gasa i približno je jednaka četverostrukoj ukupnojzapremini molekula. Tako realan gas smješten u zapremini V ponaša se kao idealan gas u zapremini

v-b, i prema jednačini idealnih gasova pv=RT stvara pritisak p=R⋅Tv−b

[Pa ] .

Zbog sila privlačenja molekula realnog gasa u trenutku udara o zidove suda imaju manju brzinu negomolekuli idealnog gasa pri istoj temperaturi. Pritisak realnog gasa je manji od pritiska idealnog gasa zaneko Δp koje je po nekim proračunima obrnuto proporcionalno kvadratu specifične zapremine.

Δp=a

v 2[ Pa]

a – koeficijent proporcionalnosti zavisan od prirode gasa

p=R⋅T

v2−

a

v2[ Pa]

( p+a

v2)(v−b)=R⋅T [Pa ] - ovu jednačinu nazivamo Van-der-Walsova jednačina

Ova jednačina se koristi u ograničenoj oblasti stanja (pri malim pritiscima i visokim temperaturama).

Termodinamički procesi

Proces pri kome nastaje promjena stanja naziva se termodinamički proces.

Pri odvijanju takvog procesa sistemi prelaze iz nekog prvobitnog u konačno ravnotežno stanje.

I – Kvazistatički i nekvazistatički procesi

Kvazistatička promjena stanja je idealizovan granični slučaj kad se sistem stalno nalazi beskonačnoblizu ravnotežnih stanja.U svakoj fazi procesa zadovoljena je mehanička ravnoteža, odnosno razlikaizmeđu unutarnjih i spoljnih sila, tj. razlika između pritiska sistema i okoline je beskonačno mala.Takve procese obično prikazujemo punom linijom na termodinamičkom dijagramu i za svakomeđustanje se može primijeniti jedančina stanja.

23

Da bi se neki kvazistatički proces ostvario u realnim uslovima, u tom slučaju je potrebno eliminisatitrenje, a sam proces da teče beskonačno sporo.

Iako je to neostvarivo ipak se za njih izvedeni zaključci uz određena ograničenja i korekcijeprimjenjuju i na realne procese.

U toku realnog termodinamičkog procesa sistem prolazi kroz niz neravnotežnih stanja i takav procesnazivamo nekvazistatički ili nestatički i jednačina stanja važi samo za ravnotežna stanja(nekvazistatičke promjene se ne mogu prikazivati na dijagramima, nego se samo uslovno prikazujuispekidanom proizvoljnom linijom), pa se ne može primijeniti promjena stanja osim za nekvazistatičkepromjene stanja osim za početno i krajnje stanje.

II – Povratni i nepovratni procesi

Ako sistem u kome protiče proces može da se vrati u početno stanje na taj način da se u okolnoj sredinine izvrše nikakve promjene proces se naziva povratni ili reverzibilni.

Ukoliko je početno stanje nemoguće uspostaviti ili se uspostavlja poslije određenih promjena u okolinitakav proces se nepovratan ili ireverzibilan.

Poznato je da kvazistatički procesi protiču pri mehaničkoj ravnoteži i oni su mehanički povratni. Uslovodržanja povratnog procesa je da se radno tijelo nalazi u mehaničkoj i termičkoj ravnoteži sa okloinompa za povratne procese kažemo da su i mehanički i termički procesi.

U prirodi takvih idealizovanih procesa nema, jer svi realni prirodni procesi odvijaju se sa konačnimbrzinama uz pojave gubitaka usljed trenja i sa drugim disipativnim efektima pa su to nepovratniprocesi.

Međutim, na osnovu povratnih procesa vrši se kroz tehničku termodinamiku ispitivanje kvaliteta iefektivnosti tehničkih postrojenja i uređaja.

Kad dobijemo neke zaključke pri povratnim procesima samo se prilagođavaju nepovratnim procesima.

24

Kvazistatički proces Nekvazistatički proces

Nepovratni procesi npr. su: strujanje gasa u cilindru (proces širenja gasa), proces strujanja gasa iz lijeveu desnu komoru...

III – Stacionarni strujni procesi

Tehnička praksa praksa puna je brojnih primjera uređaja, aparata i postrojenja u kojima struji radno tijelo i otvoreni sistemi su:

• izmjenjivači toplote,

• kompresori,

• turbine,

• cjevovodi itd.

Pri analizi takvih otvorenih sistema uočava se kontrolna zapremina koja je ograničena zamišljenomgranicom kontrolne površine.

Struja fluida ulazi kroz ulazni presjek 1 a napušta sistem kroz izlazni presjek 2. Unutar sistema stanjefluida se neprekidno mijenja od početnog stanja 1 na ulazu do konačnog stanja 2 na izlazu.

25

Stacionarni proces

m – maseni protok [kgs

]

Maseni protok predstavlja protok mase u jedinici vremena.

Strujni proces je stacionaran ako su ispunjeni uslovi:

a) Veličine stanja fluida (v,p,T) koji struji u čitavoj oblasti kontrolisane zapremine se ne mijenjajuu toku vremena.

b) Kontrolisana zapremina se ne kreće u odnosu na usvojeni koordinatni sistem, kreće se samofluid.

c) Maseni protok kroz kontrolisanu površinu je konstantan.

M =ΔMΔτ

=const. [kgs

]

V=ΔVΔτ

[m3

s] - zapreminski protok

Također je ukupni maseni protok na ulazu u kontrolnu zapreminu jednak ukupnom masenom protoku protoku na izlazu iz nje.

d) Protok energije u obliku toplote i rada kroz kontrolnu površinu je konstantan. U veličine stanja fluida koji struji ubrajaju se i njegova brzina.

- U slučaju stacionarnog procesa ona je konstantna.

- Srednja brzina određuje se na osnovu masenog protoka kao i zapreminskog protoka.

V=A⋅ω

m⋅v=A⋅ω → ω=m⋅c

A=

mρ⋅A

Kod stacionarnih procesa maseni protok je konstantan.

m=ω1 ρ1 A1=ω2 ρ2 A2 - Jednačina kontinuiteta za stacionarno stanje

dAA

+d ( ρω)

ρω=

dAA

+dωω

−dVV

- Diferencijalni oblik jednačine kontinuiteta

26

Smjese idealnih gasova

Osim homogenih gasova u prirodi kao i u laboratorijskim uslovima srećemo njihove smjese (vazduh,produkti sagorijevanja...)

Smjese idealnih gasova sastavljene su od više elementarnih gasova i u tehničkoj praksi se češćepojavljuju nego čisti gasovi. Vazduh je smjesa gasova u kojoj preovladavaju kisik i azot. Gasovitiprodukti sagorijevanja također su sastavljeni od više gasova čiji sastav zavisi od vrste goriva i uslovasagorijevanja.

Računajući da u smjesi koja već egzistira nema hemijske reakcije između komponenata, onda važe svizakoni gasova kao i jednačina stanja u odgovarajućem obliku.

Ako se posmatra posuda u kojoj se nalazi n1 kmol-ova komponente 1, n2 kmol-ova komponente 2 itd.,gasovi se unutar posude miješaju i ako su prije miješanja sve komponente imale isti pritisak itemperaturu, nakon miješanja će svaka od komponenti zauzimati zapreminu posude.

Ako se jednačina stanja idealnog gasa primijeni na smjesu i pomnoži sa ukupnim brojem kmol-ova

mješavine n uzimajući u obzir V M=v⋅M [m3

kmol] dobije se jednačina stanja za smjesu:

p⋅V M⋅n=n⋅M⋅R⋅T

p⋅V M=(n1+n2+ ...+nn)⋅M⋅R⋅T

p=(n1+n2+...+nn)MRT

V

Svaka od komponenti smjese u procesu miješanja zauzima cijelu zapreminu smjese ali uspostavlja svojpritisak nezavisno o ostalim komponentama smjese.

Zapreminu smjese Vs zauzima svaka komponenta jer molekuli teže da zauzmu prirodan, odnosnoravnomjeran raspored po čitavoj zapremini. Pošto smjesa već postoji, temperatura smjese jeistovremeno i temperatura bilo koje od komponenata.

Pritisak pojedine komponente u ukupnoj smjesi naziva se parcijalni pritisak. On predstavlja onajpritisak kojim taj gas djeluje na zidove posude kada zauzme zapreminu smjese. Sabiranjem jednačinastanja za sve komponente smjese dobija se:

( p1+ p2+ ...+ pn)=(n1+n2+...+nn)MRT

V

Iz ove jednačine dobiva se Daltonov zakon koji definiše pritisak smjese kao zbir parcijalnih pritisakakomponenti smjese.

p=∑i=1

n

pi (∀ i=1,2,3,...n) - Daltonov zakon

Ako se u nekoj smjesi nalaze gasovi čije su mase od m1 do mn onda se maseni udjeli definišu kao odnosmase komponente mješavine i ukupne mase smjese.

g1=m1

mm

g2=m2

mm

....... gn=mn

mm

- Maseni udio komponente u ukupnoj masi

27

g1+g 2+...+ gn=1 (100 %)

Zapreminski udjeli komponenti smjese predstavljaju odnos parcijalne zapremine i zapremine smjese.

r 1=V 1

V m

r2=V 2

V m

....... r n=V n

V m

- Zapreminski udio komponente u ukupnoj zapremini mase

r 1+r2+...+rn=1 (100 %)

Pošto se smjesa gasova sastoji od raznorodnih molekula, onda ne može biti riječi o molekuli smjese paje uvedena uslovna veličina tzv. prividna molekulska masa smjese Ms, koja predstavlja molekulskumasu fiktivnog homogenog gasa koje je po svojim fizičkim osobinama identičan posmatranoj smjesi.

r i=V i

V=

p i

p=

ni

n

Ako se za svaku komponentu smjese napiše jednačina stanj idealnog gasa dobija se sistem jednačina

p1⋅V=m1⋅R1⋅T

p2⋅V =m2⋅R2⋅T

⋮ ⋮

pn⋅V =mn⋅Rn⋅T

Ako ove jednačine saberemo

( p1+ p2+ ...+ pn)=(m1 R1+m2 R2+...+mn Rn)T

p⋅V =(m1 R1+m2 R2+...+mn Rn)T / :m

p⋅Vm

=( g1 R1+g 2 R2+ ...+ gn Rn)T

p·V=Rs·T – Jednačina stanja smjese idealnih gasova

Rs – gasna konstanta smjese

R s=∑i=1

n

g i Ri

Ako je poznata gasna konstanta smjese idealnih gasova Rs, zatim molekularna masa smjese Ms, možese odrediti iz univerzalne gasne konstante za smjesu idealnih gasova, tj.

M s⋅Rs=8314.7 [J

kmolK]

M s=8314.7

R s

[ kmol ]

r i=g i⋅Ri

∑ (g i⋅Ri)

28

g i=r i⋅M i

∑ (r i⋅M i)

Prvi zakon termodinamike

Prvi zakon termodinamike je poseban slučaj zakona o održanju energije. Na osnovu tog zakonaenergija se ne može stvoriti niti uništiti nego samo pretvarati iz jednog oblika u drugi, pri čemu jeukupna energija izolovanog sistema konstantna.

E=∑ ΔEi=const.

Promjena energije izolovanog sistema je 0.

ΔE=∑ ΔE i=0

Eul.=E izl.+ΔE

Za tehničku termodinamiku od posebnog značaja je pretvorba mehaničkog rada u toplotu i obratno.Džul je nizom eksperimenata pronašao tačne relacije između toplote i rada (za eksperiment je koristioposudu sa vodom u koju je bila smještena mješalica koju je pokretao mehanizam sa užetom, koturom itegom. Posuda je bila izolovana u odnosu na okolinu, a promjena temperature je praćena pomoćutermometra.)

29

Na slici je prikazan termodinamički sistem koji čini gas početnog stanja 1 zatvoren u cilindru.Dovođenjem toplote Q12 ovom sistemu, dolazi do širenja gasa unutar cilindra i do povećanja njegovezapremine, pri čemu dolazi do pomjeranja klipa iz početnog stanja 1-1 u konačno stanje 2-2.

Zakon održanja energije primjenjen na ovaj sistem pod uslovom da u sistemu nisu nastupile nikakvedruge promjene glasi:

Q12= U2 – U1 + L12 - Matematički oblik prvog zakona termodinamike

Toplota se dovedena nekom sistemu troši na povećanje unutrašnje energije i vršenje rada.

Q12=ΔU + L12

Prethodni izraz vrijedi uz poštovanje dogovora o predznaku za toplotu i rad.

Dovedena toplota sistemu se smatra pozitivnom, a odvedena negativnom. Uloženi rad je negativan, aodvedeni pozitivan.

Ako se prvi zakon termodinamike napiše za 1 kg nekog gasa, dobijamo:

q12=U1-U2+l12

dq=du+dl

dg=du+pdv

30

Unutrašnja energija

Molekularna struktura materije djeluje kao rezervoar energije koja se naziva unutrašnja energija.Unutrašnja energija ne zavisi od makroskopske brzine ili pozicije materijalnog tijela u prostoru, već odveličina stanja kao što su pritisak i temperatura. Unutrašnja energija je ekstenzivna veličina, ali njenimsvođenjem na jedinicu mase definiše se specifična unutrašnja energija u kao veličina stanja.

Veza između unutrašnje energije i ostalih veličina stanja data je preko kalorične jednačine stanja usljedećem obliku:

u=u(T,v)

u=u(p,T)

u=u(p,T)

Eksperimentalna veza uspostavila je zavisnost unutrašnje energije i temperature kod idealnih gasova.

Dvije posude A i B smještene su u dobro izolovan sud sa vodom. Unutar prve posude A nalazi se gasparametara pA,TA,vA. Posude A i B mogu se međusobno spojiti otvaranjem ventila nakon čega gas izposude A prelazi u posudu B.

Pri ovom procesu dolazi do promjene njegove zapremine i pritiska. Prije otvaranja ventila izmjeri setemperatura vode s obzirom na činjenicu da se gas u posudi A širi temperatura u toj posudi će se snizitiu odnosu na početno stanje, dok će se u posudi B nešto povisiti. Za kratko vrijeme dolazi douspostavljanja termičke ravnoteže. Ako se izmjeri temperatura vode po uspostavljanju termičkeravnoteže primijetit će se da nije došlo do promjene u odnosu na početnu izmjerenu vrijednosttemperature. Na osnovu toga se zaključuje da se u eksperimentu nije dovodila niti odvodila toplota(Δq=0). Kako sistem nije vršio zapreminski rad (l12=0) slijedi da unutrašnja energija idealnog gasa nijefunkcija pritiska i zapremine, nego samo temperature.

U2 - U1= 0 U2 =U1

31

Kod realnih gasova se temperatura u opisanom eksperimentu pri višim pritiscima mijenja tako da jeu=u(p,v,T).

Primjenjujući prvi zakon termodinamike na izohosrku promjenu stanja (v=const.) dobije se

dq=du+pdv / : dt

(dqdT

)v

=(dudT

)=cv

(dq)v=du

(dq)v=cv · dT=du vrijedi za bilo koju promjenu stanja idealnog gasa

Promjna unutrašnje energije između krajnjih tačaka procesa je:

u2 – u1 = cv (T2 – T1)

Primjenom prvog zakona termodinamike za izobarsku promjenu (p=const.) dobije se:

(dq)p = du + pdv

cp dT = cv dT + RdT

cp = cv dT + RdT

cp – cv = R Mejarova jednačina koja uspostavlja vezu između specifične topline pri konstantnom pritisku i specifične topline pri konstantnoj zapremini.

c p

cv

=κ - eksponent adijabate (kapa)

32

Izohorska promjena stanja

Ako se gasu u zatvorenoj posudi dovodi određena količina toplote Q pri konstantnoj zapremini doći ćedo promjene njegovog pritiska i temperature. Na osnovu Šarlovog zakona, početno i krajnje stanje kodizohorne promjene povezani su relacijom

p1T2=p2T1

Iako je pri ovoj promjeni došlo do rasta pritiska u posudi gas ne može izvršiti rad jer je zapreminakonstantna.

Razmijenjena količina toplote pri ovoj promjeni može se dobiti iz prvog zakona termodinamike

dq=du+pdv

dv=o, v=const.

dq=du=cv dT

q1,2=cv(T2 – T1)=cv · ΔT

33

Izobarska promjena stanja

Izobarska promjena stanja je promjena koja se odvija pri konstantnom pritisku. Odnos između veličinastanja, rad koji se vrši i količina toplote koja se odvodi ili dovodi radnom tijelu mogu se odrediti naosnovu sljedećeg eksperimenta.

Ukoliko se posmatra zatvoreni cilindar u kome se nalazi idealni gas stanja 1 (p,v,T). Gas je zatvorenklipom na kome se nalazi uteg težine G. Dovođenjem neke količine toplote Q gas će se zagrijati natemperaturu T2. Zbog povećanja temperature povećat će se i zapremina gasa, a pritisak ostajenepromjenjen u toku procesa. Za početno i krajnje stanje kod izobarske promjene vrijedi Gej-Lisakovzakon.

v1T2=v2T1

Razmjena količine toplote pri izobarskoj promjeni dobiva se iz prvog zakona termodinamike.

dq=du+pdv

dq=cv dT + pdv

Primjenjujući jednačinu stanja idealnog gasa u diferencijalnom obliku na izobaru dobija se:

pv=RT

pdv+vdp=RdT

34

dp=0

pdv=RdT

dq=cv dT + RdT

dq=(cv + R)dT

dq=cp dT

cp – specifična toplota pri konstantnom pritisku

q1.2=cp(T2-T1)

l 1,2=∫v1

v2

pdv=p (v2−v1) l t 1,2=0

Primjenjujući jednačinu stanja idealnog gasa na krajnja stanja izobarske promjene dobija se:

l1,2=R(T2 – T1)

u2 – u1= Δu = cv (T2 – T1)

Izotermska promjena stanja

Promjena stanja idealnog gasa pri kojoj temperatura ostaje nepromjenjena naziva se izotermskapromjena. Ako se posmatra sistem koji čini neizolovani cilindar sa idealnim gasom kroz čije zidoveprolazi određena količina toplote iz okoline. Ako se proces širenja gasa odvija sporo temperatura gasa iokoline neće se bitno razlikovati, pa se može primijeniti Bojl-Mariotov zakon.

pv=const. (T=const, R=const.)

Do jednačine izoterme pv=const. može se doći iprimjenjujući jednačinu stanja idealnog gasa.

Za dva stanja:

p1v1=RT1

p1v2=RT2

T1=T2=T

p1v1=p1v2=RT=const.

Jednačina izoterme u pv dijagramu predstavljaistostranu hiperbolu.

dq=du+dl

35

dq=du+pdv

dq=cv dT + pdv

dq=pdv=dl

dq=RT∫1

2dvv

q1,2=RT lnv2

v1

=RT lnp2

p1

=l1,2

Adijabatska promjena stanja

Adijabatska promjena stanja je promjena koja se odvija bez izmjene topline sa okolinom. Ovapromjena vrši se pri ekspanziji gasa u dobro izolovanom cilindru ukoliko se ta promjena odvija jakobrzo.Povratna adijabatska promjena naziva se izentropa.

q=0 dq=0 → du=−dl

cv dT=- pdv

p=RTv

cv dt=−RTv

dv

R=c p−cv

c p

cv

=κ - eksponent adijabate (1.1 – 1.4)

cv dt=−(c p−cv)T

vdv

dTT

+(κ−1)dvv

=0 /∫

lnT +(κ−1) lnv=0

T⋅vκ−1=const. - jednačina adijabate u zavisnosti od zapremine i temperature

p⋅v κ=const.

Izražavajući iz jednačine stanja temperaturu i zapreminu i uvrštavajući ih u jednačinu dobit će sejednačina u zavisnosti od p i v i p i T.

36

p1−κ⋅T κ

=const.

Jednačina adijabate u pv dijagramu je hiperbola ali je strmija od hiperbole kojom je predstavljenaizoterma.

du = - dl

cv dT = - dl

l 1,2=−cv (T 2−T 1)=cv(T 1−T 2)=R

κ−1(T 1−T 2)

Opšta ili politropska promjena stanja

Sve promjene stanja koje su bile predmet proučavanja razlikuju se od realnih procesa koji se događajuu prirodi i izvedene su za određene predpostavke i ograničenja te predstavljaju samo specijalneslučajeve opšte ili politropske promjene stanja idealnog gasa. Jednačina politrope izvodi se iz prvogzakona termodinamike uvrštavajući da je:

dq=c dT

cn dT = du + dl

pv=RT

pdv+vdp=RdT

dT =pdv+vdp

R

cnpdv+vdp

R=cv dT + pdv=cv

pdv+vdpR

+ pdv

cn – specifična toplina pri opštem politropskom procesu

Množenjem zadnje jednačine sa R i grupisanjem pojedinih članova dobija se

cn pdv + cn vdp = cv pdv + cv vdp + cp pdv – cv pdv

(cn – cp) · pdv + (cn – cv) · vdp=0 / : (cn – cv)

dT =pdv+vdp

R

37

cn−c p

cn−cv

=n - eksponent politrope

npdv+vdp=0 /: pv

ndvv

+dpp

=0

n lnv + lnp=c1

ln(p·vn)=c1

p·vn=ec1

p·vn=const. - jednačina opšte politropske promjene (politrope)

Izražavajući p i v iz jednačine stanja idealnog gasa dobijaju se jednačine politrope u drugom obliku:

T·vn-1=const.

Tn·p1-n=const.

Politropa u pv dijagramu je predstavljenahiperbolom. Eksponent politrope n najčešće sekreće u granicama 1 – κ.

Količina toplote koja se pri ekspanziji dovodi , apri kompresiji odvodi može se odrediti pomoćiprvog zakona termodinamike i jednačinepolitropske promjene.

Ako jednačinu p·vn=const. diferenciramo,dobijamo:

np·vn-1dv + vn dp=o /: vn-1

npdv + vdp=0 → pdv=−RdTn−1

dq=du + pdv

dq=cv dT −RdTn−1

uz korištenje Majerove jednačine dobijamo

dq=cvn−κn−1

dT ili

q1,2=cvn−κn−1

(T 2−T 1)=cn(T 2−T 1)

38

cn=cvn−κn−1

q1,2=cvn−κn−1

⋅T 1[T 2

T 1

−1]=cvn−κn−1

⋅T 1[(p2

p1

)n−1

n−1]=cv

n−κn−1

⋅T 1[(v1

v2

)n−1

−1]

Razmijenjeni rad pri opštoj politropskoj promjeni:

l1,2=du+dl

l 1,2=q1,2−ΔU=cvn−kn−1

(T 2−T 1)−cv (T 2−T 1)

l 1,2=R

n−1(T 1−T 2)

l 1,2=RT 1

n−1(1−

T 2

T 1

)=RT 1

n−1[1−(

p2

p1

)n−1

n]=

RT1

n−1[1−(

v1

v2

)n−1

]

Politropska promjena stanja naziva se i opšta zbog toga što se iz nje za različite vrijednosti eksponentan mogu dobiti sve ranije nevedene promjne stanja.

Na sljedećem dijagramu ucrtane se sve promjene stanja sa naznačenim područjima na kojima se dovodii odvodi toplota u zavisnosti od vrijednosti n. Eksponent politrope n najčešće ima vrijednost od 0 do κ(0<n< κ). Posmatrajući promjene stanja za različite vrijednosti eksponenta n dobija se:

1. n= κ → pvk=const. q1,2=0

2. n=0 →p=const. T2-T1>0 q1,2>0 (izobara)

3. n=1 → pv=const. T2-T1=0 q1,2>0 (izoterma)

4. n=∞ → v=const.

• 1<n< κ T2-T1<0 q1,2<0

• κ<n<∞ T2-T1<0 q1,2<0

39

Entalpija

Veliki broj stvarnih procesa u prirodi odvija se pri konstantnom pritisku. Ako se gasu dovodi toplota prikonstantnom pritisku dolazi do povećanja njegovve zapremine, povećava se unutrašnja toplotnaenergija i izvrši neki rad usljed njegovog širenja. Ako se izvršeni mehanički rad izrazi jednačinom

L1,2=U2-U1=p( V2-V1)=p·ΔV

i uvrsti u Prvi zakon termodinamike dobija se

Q1,2 = U2 - U1 + p ( V2 - V1)

Q1,2 = ( U2 - pV2) - ( U1 - pV1)

Izrazi u zagradama predstavljaju entalpiju

H = U · pV

40

Entalpija je ekstenzivna veličina te njenim svođenjem na jedinicu mase dobija se izraz za entalpiju 1 kggasa:

h = u + pv

Diferenciranjem prethodnog izraza dobija se:

dh=du+pdv+vdp

dq=dh-vdp

Ovaj izraz definiše razmijenjenu količinu toplote pri nekoj promjeni.

Entalpija je veličina stanja i ne zavisi od puta promjene nego samo od parametara stanja između kojihse ta promjena odvija.

Izraz za računanje entalpije za bilo koji promjenu stanja vrijedi i za sve ostale promjene stanja.

(Najjednostavnije je odrediti izraz za računanje kod izobarske promjene stanja)

dh=dq

dh=cp dT

h2 – h1 = cp (T2 – T1)

Tehnički rad

Rad koji se izvrši ekspanzijom radnog tijela određenog stanja (p1,v1,T1) ili koji se kompresijom troši utoku jedne promjene stanja naziva se jednokratni rad ili rad promjene. Za tehničke procese bitno je dase proces dobijanja rada može ponavljati odnosno da se ostvari kontinuirano dobijanje rada. ( Ako seželi da radno tijelo nakon završenog procesa dobijanja rada ponovo ekspandira i ostvari rad potrebnoga je vratiti u početno stanje. Na taj način dobijanje rada može se više puta i neprekidno ponavljati.)

U cilju dobijanja rada radno tijelo će morati izvršiti više procesa i to:

1. Usisavanja pri konstantnom pritisku p1

2. Ekspanziju sa pritiska p1 na p2 (pri čemu je p1>p2)

3. Istiskivanje iz cilindra pri pritisku p2

Za vrijeme procesa usisavanja, gas stanja 1 ulazi u cilindar klipne mašine i potiskuje klip pred sobom.Nakon toga zatvara se ulazni ventil i počinje proces ekspanzije gasa sa pritiska p1 na pritisak p2 prinekoj zapremini. Pri ekspanziji gasa izvrši se konstantan mehanički rad. Nakon toga otvara se izlazniventil, klip se vraća unazad i istiskuje gas pritiska p2 u drugi rezervoar. Pri zatvaranju izlaznog ventilaotvara se ulazni i cijeli proces se može ponavljati uz stalno ostvarivanje korisnog rada ekspanzije. Zbogmogućnosti neprekidnog ponavljanja procesa ovakav rad se može koristiti u tehničkim uređajima štonije slučaj kod jednokratnog rada. U termodinamici se ovaj rad naziva tehničkim radom i u pvdijagramu prikazan je površinom 1276.

41

42

Ako je ekspanzija gasa izvršena po politropskoj promjeni stanja rad koji je izvršio 1 kg gasa je:

lt=p1v1R

n−1(T 1−T2) p2 v2

p1 v1=R⋅T 1

p2 v2=R⋅T 2

lt=RT 1+R

n−1(T1−T 2)−RT2

lt=R⋅nn−1

(T 1−T 2)

lt=n⋅l - tehnički rad opšte politropske promjene stanja odgovara proizvodu eksponenta politrope izapreminskog rada politropske promjene

(lt)1,2=−∫1

2

vdp

dlt=−vdp

Iz sistema se dobija rad ako se procesi vrše u smjeru kretanja kazaljke na satu.

dq=du+dl=dh+dl

Tehnički rad za ostale promjene idealnog gasa je:

1. Za adijabatsku promjenu lt=κ·l

2. Izobarska lt = 0

3. Izohorska lt=−∫1

2

vdp=v ( p1−p2)

4. Izotermska pdv+vdp=0 pdv=-vdp lt=l

Kompresori su uređaji u kojima se sabijagas na viši pritisak pri čemu se trošiodređena količina rada. Najviše se koriste uprocesorskoj industriji i energetici. Na slicije prikazan rad idealnog klipnogkompresora (zanemareni su gubici energije i“štetni” prostor u cilindru što je neizbježnokod stvarnih kompresora.)

43

SadržajUVOD........................................................................................................................................................1Osnovni termodimanički pojmovi.............................................................................................................2

Materija (tvar)........................................................................................................................................2Radno tijelo (RT)...................................................................................................................................2Termodinamički sistem.........................................................................................................................2Agregatna stanja....................................................................................................................................4Parametri stanja (parametri koji definišu sistem)..................................................................................4

Termička ravnoteža....................................................................................................................................9Nulti zakon termodinamike........................................................................................................................9Proces.......................................................................................................................................................10Ciklus.......................................................................................................................................................11Energija....................................................................................................................................................11Unutrašnja energija..................................................................................................................................12Vanjski uticaji...........................................................................................................................................13

Toplota.................................................................................................................................................13Zapreminski rad...................................................................................................................................15

Osnovni zakoni idealnih gasova...............................................................................................................171. Bojl – Mariotov zakon (Boyle – Mariott).......................................................................................172. Gej – Lisakov zakon (Gay – Lussac)..............................................................................................183. Šarlov zakon (Charles)....................................................................................................................194. Avogadrov zakon.............................................................................................................................20

Jednačina stanja idealnog gasa.................................................................................................................21Jednačina stanja realnih gasova...............................................................................................................23Termodinamički procesi...........................................................................................................................23

I – Kvazistatički i nekvazistatički procesi...........................................................................................23II – Povratni i nepovratni procesi........................................................................................................24III – Stacionarni strujni procesi...........................................................................................................25

Smjese idealnih gasova............................................................................................................................27Prvi zakon termodinamike.......................................................................................................................29Unutrašnja energija..................................................................................................................................31Izohorska promjena stanja........................................................................................................................33Izobarska promjena stanja........................................................................................................................34Izotermska promjena stanja......................................................................................................................35Adijabatska promjena stanja....................................................................................................................36Opšta ili politropska promjena stanja.......................................................................................................37

Entalpija...............................................................................................................................................40Tehnički rad.........................................................................................................................................41

44