0

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МОЛДОВЫ

ФИЗИКА

МЕХАНИКА, МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И

ТЕРМОДИНАМИКА

Курс лекций

Кишинэу

2008

1

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МОЛДОВЫ

ФАКУЛЬТЕТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И

ТЕЛЕКОМУНИКАЦИЙ

КАФЕДРА ФИЗИКИ

ФИЗИКА

МЕХАНИКА, МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И

ТЕРМОДИНАМИКА

Курс лекций

Кишинэу Т.У.М. 2008

2

Курс лекций был разработан в соответствии с программой по физике для технических высших учебных заведений. Курс лекций предназначен студентам первого курса всех форм обучения факультетов Технического университета Молдовы, изучающих физику.

Автор Няга А. Ответственный редактор: д.ф.-м.н., доцент Бардецкий П.И. Рецензент: д.ф.-м.н., доцент Цуркану Г.И.(ГУМ) Перевод с румынского языка: д.ф.-м.н., доцент Шербан К.Ф., д.ф.-м.н., доцент Перепелица Е.И. Компьютерная вёрстка: Пустовит Н.А.

Dun de tipar30.01.08 Formatul hârtiei 60x84 1/16

Hârtie ofset. Tipar ofset Tirajul 200 ex. Coli de tipar 17,0 Comanda nr.16

U.T.M., 2004, Chişinău, bd. Ştefan cel Mare, 168.

Secţia Redactare şi Editare a U.T.M. 2068, Chişinău, str. Studenţilor, 9/9.

©U.T.M.,2008

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая работа выполнена в соответствии с аналитической программой по Физике для факультетов ТУМ и адресована студентам всех форм обучения.

Работа включает два раздела физики. Первый раздел – основы классической механики и специальной теории относительности – изложен в трех главах: I) кинематика материальной точки и твердого тела; II) классическая динамика системы материальных точек; III) Основы специальной теории относительности.

Второй раздел – основы молекулярной физики и термодинамики – изложен в главе IV и разделен на две темы. Каждая тема содержит теоретическое изложение материала, приложение и решенные задачи, контрольные вопросы. Большие параграфы разделены на подпараграфы, что, по нашему мнению, облегчит отбор и усвоение материала, включенного в аналитическую программу факультетов.

В изложении теоретического материала делается упор на суть проблемы, преследуется цель понимания вводимых понятий и смысла физических законов, а также установления областей их действия и применения. Для понимания изложенного материала читателю достаточно обладать знаниями по физике и математике в объеме лицейской программы для реального профиля. Решенные задачи отобраны таким образом, чтобы дополнить и углубить изложенный теоретический материал, способствовать более детальному пониманию темы; знакомить читателя с типовыми физическими задачами и соответствующим математическим аппаратом. Контрольные вопросы должны помочь читателю проверить свои знания.

Надеемся, что представленная работа будет полезным дополнением к существующим учебным пособиям.

4

I. Кинематика материальной точки и твердого тела

§1. Элементы векторной алгебры

В физике используются скалярные физические величины, характеризующиеся только числовым значением и единицей измерения (энергия, масса, путь и т.д.), и векторные физические величины, или векторы, характеризующиеся еще и направлением и, возможно, точкой приложения (сила, импульс и т.д.).

1.1. Сложение, вычитание и умножение векторов

Чтобы сложить два вектора A и B , переносят один из них, например B , параллельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора A (рис. 1.1). Вектор, проведенный из начала вектора A в конец вектора B , представляет собой векторную сумму или результирующий вектор.

Рис.1.1 Разность векторов A и B , имеющих общее начало,

есть вектор, проведенный из конца вектора B (вычитаемого) в конец вектора A (уменьшаемого). (Рис 1.1). Легко заметить, что ( ) ( )ABBABA −−=−+=− , значит векторы BA − и AB − взаимно противоположны.

При умножении вектора A на скаляр α получается

5

вектор, модуль которого равен Aα , а направление совпадает с направлением вектора A

r, если 0>α и противоположно

направлению Ar

, если 0<α . Два вектора могут быть умножены скалярно или векторно. Скалярное произведение векторов A

r и B

r есть скалярная величина, равная

произведению модулей этих двух векторов на косинус угла между ними ( α∠ , рис 1.1).

aABBA cos=rr

. (1.1) Скалярное произведение обладает свойствами

коммутативности и дистрибутивности: ( ) ( ) CABACBAACB

rrrrrrrrrr+=+=+ (1.2)

Из (1.1) следует: 22 AAAA ==

rrr (1.3)

Рис.1.2 Используя проекцию одного вектора на направление

другого вектора (рис.1.1), получим два выражения для скалярного произведения:

AB BABABA ==rr

(1.4) Векторное произведение векторов A

r и B

r есть вектор C

r,

модуль которого равен αsin ⋅⋅ BC=A , (1.5)

а направление перпендикулярно плоскости, образованной векторами A

r и B

r так, чтобы с конца вектора C

r кратчайший

поворот от вектора Ar

к вектору Br

виделся против часовой стрелки (рис.1.2). Вектор ABC

rrr×=' направлен

6

противоположно вектору Cr

. Векторное произведение не обладает свойством коммутативности:

ABBArrrr

×−=× . (1.6) Векторное произведение обладает свойством

дистрибутивности: ( ) . CABACBA

rrrrrrr×+×=×× (1.7)

Из (1.5) следует, что .0,0 =×=× AAaAArrrr

1.2. Единичный вектор. Радиус – вектор В механике используется прямоугольная декартовая

система координат. Единичные векторы, направленные вдоль осей ОХ, ОУ, ОZ, обозначаются соответственно через kji

rrr,,

(рис.1.3). Для них справедливы следующие соотношения:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=×=×=×

=×=×=×

===

===

===

→→→→→→→→→

→→→→→→

→→→→→→

→→→→→→

→→→

jkiikjkji

kkjjii

kkjjii

jkkiji

kji

; ;

0

1

0

1||||||

. (1.8)

Положение материальной точки (точка M, рис.1.3) в пространстве однозначно определяется тремя координатами x,y,z, или вектором rr , проведенным из начала координат в точку М. Вектор rr называется радиус-вектором.

, , 222zyxrzyx rrrrer

rrrkrjrirr ++===++=

rrrrrr (1.9)

где zyx rzryrx === ,, - проекции вектора rr на оси координат;

rer - единичный вектор вдоль rr . Следовательно: 222, zyxrkzjyixr ++=++=

→→→→

. (1.9΄)

7

Очевидно, что соотношения (1.9) можно записать для любого вектора в декартовой системе координат.

Рис. 1.3 Если для двух произвольных векторов A

rи B

r, которые

умножаются скалярно или векторно, написать соотношения типа (1.9) и использовать свойства единичных векторов (1.8), то получим следующие выражения:

( )

.

)(

zzyyxx

zyxzyx

BABABA

kBjBiBkAjAiABA

++=

=++++=rrrrrrrr

(1.10)

( ) ( )( ) ( ) ( ) .xyyxzxxzyzzy

zyxzyx

BABAkBABAjBABAi

kBjBiBkAjAiABA

−+−+−=

=++×++=×rrr

rrrrrrrr

(1.11)

Выражение (1.11) может быть записано более компактно в виде определителя:

.

zyx

zyx

BBB

AAAkji

BA

rrr

rr=× (1.11΄)

1.3. Производная вектора

Если вектор Ar

зависит от времени ( )tAArr

= , тогда, в общем случае, все его проекции на оси координат также представляются функциями от времени:

( ) ( ) ( ) ( ) . ktAjtAitAtA zyx

rrrr++= (1.12)

8

Быстрота изменения вектора Ar

с течением времени, то есть производная первого порядка по времени вектора A

r

запишется:

. dt

dAkdt

dAj

dtdAi

dtAd zyx

rrrr

++= (1.13)

Для материальной точки M , которая перемещается по произвольной кривой (L) (рис.1.3), от времени зависит не только модуль радиус-вектора ( )trr = , но и его направление, характеризующееся единичным вектором ( )tee rr

rr= ,

производная которого 0≠dted rr

. Тогда

, 0][21][

21 22 === rr

rr e

dtde

dtd

dtede rr

r (1.14)

т.к. 1][ 2 =re . Результат формулы (1.14) можно обобщить: скалярное произведение любого вектора на его производную по времени равно нулю. Согласно (1.1) такие векторы взаимно перпендикулярны.

§2. Система отсчета. Механические модели

Любое тело движется или находится в покое

относительно другого тела, которое называется телом отсчета. В дальнейшем состояние тела будем рассматривать относительно системы отсчета, которая состоит из тела отсчета, системы координат, жестко связанной с ним, и прибора для определения времени (часы), неподвижного относительно тела отсчета.

Конкретные условия задачи определяют использование для данного тела определенной механической модели: материальная точка, система материальных точек, абсолютно твердое тело.

Материальной точкой называется тело, форма и размеры которого несущественны в данной задаче. Например, материальной точкой можно считать Землю при ее движении

9

вокруг Солнца. Но Земля не является материальной точкой при изучении ее вращения вокруг собственной оси.

Если расстояние между любыми двумя точками системы остается неизменным во времени, система (непрерывная или дискретная) называется абсолютно твердым телом. Накладываемое на абсолютно твердое тело условие означает, что во время движения и взаимодействия с другими телами абсолютно твердое тело не деформируется, сохраняя размер и форму. Однако в природе не существует абсолютно недеформируемых тел. Модель абсолютно твердого тела используется, когда деформацией можно пренебречь в конкретных условиях задачи.

§3. Основные кинематические величины

3.1. Кинематические законы движения. Траектория, перемещение

Рассмотрим движение материальной точки относительно системы отсчета (рис. 1.4) (тело отсчета находится в начале декартовой прямоугольной системы координат). Геометрическое место последовательных положений материальной точки при ее движении (кривая L) представляет собой траекторию материальной точки. В любой момент времени положение материальной точки определено радиус - вектором ( )trr или координатами его конца ( ) ( ) ( )tztytx ,, . Выражение

( ) ( ) ( ) ( )ktzjtyitxtrrrrr

++= (3.1) представляет собой кинематическое уравнение движения материальной точки в векторной форме, а выражения

( )( )( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

tzztyytxx

(3.2)

представляют собой кинематические уравнения движения материальной точки в скалярной форме. В выражениях (3.1),

10

(3.2) рассматриваются непрерывные и дважды дифференцируемые функции от времени t .

При описании движения материальной точки вводят понятия пройденного пути 0>∆s и вектора перемещения rr∆ (рис. 1.4), где ttt ∆+= 0 .

( ) ( ) 0trtrr rrr−=∆ . (3.3)

Заметим, что sr ∆=∆ только в случае движения по прямолинейной траектории в одном направлении, в остальных случаях sr ∆<∆ .

Рис.1.4

3.2. Средняя скорость, мгновенная скорость Отношение вектора перемещения к соответствующему

промежутку времени

v0

0

tr

ttrr

ср ∆∆

=−−

=rrr

r (3.4)

есть вектор, коллинеарный вектору rr∆ , он называется средней скоростью за промежуток времени ∆t (рис.1.4).

Предел значения, к которому стремится вектор средней скорости при 0→∆t , называется мгновенной скоростью (или просто скоростью)

11

( )0

v lim .t

dr trt dt∆ →

∆= =

∆

rrr

(3.5)

Согласно (3.4) и (3.5) скорость характеризует быстроту движения тела. Мгновенная скорость равна первой производной радиус – вектора движущейся материальной точки по времени. При 0→∆t , rdds r

= и вектора rdr , vr в пределе направлены по касательной к траектории в сторону движения. Если ввести единичный вектор τr , касательный к траектории в месте нахождения материальной точки и направленный в сторону движения (рис.1.4),

v , v

drdr

τ = =r r

rr (3.6)

то: .ττ rrrr dsrdrd == Тогда мгновенная скорость

( ) ( )t

v v . dr ds t

dt dtτ τ τ= = =

rr r r r (3.7)

Обратим внимание на то, что в вышеприведенных формулах использовалась физическая величина rdr , которая представляет собой модуль бесконечно малого изменения радиус – вектора rr :

222 )()()( dzdydxrd ++=r .

Эта физическая величина отличается от ( ) ( ) ( )tztytxddr 222 ++= , которая является изменением

модуля радиус – вектора rr . Аналогично есть отличия между следующими физическими величинами

2z

2y

2x )v()v()(dvv ddd ++= ,

( ) ( ) ( )tttd 2z

2y

2x vvvdv ++= . (3.8)

Воспользовавшись определением скалярного произведения, получим

αcosrdrrdr rrr= , βcosvvvv rrr dd = .

12

Из (1.13) и (3.1) следует, что вектор мгновенной скорости может быть записан через его проекцию на ось координат и соответствующие единичные векторы:

. vvvv y kjikdtdzj

dtdyi

dtdx

zx

rrrrrr++=++= (3.9)

Модуль мгновенной скорости равен 2

z2y

2x vvvv ++= . (3.10)

Если в выражение (3.5) введем rerr rr= , получим:

. ][vdtedre

dtdrer

dtd r

rr

rrr

+== (3.11)

Согласно (3.11) мгновенная скорость имеет одну составляющую (компоненту), определяемую изменением с течением времени модуля радиус – вектора, и другую – изменением с течением времени его направления. Эти составляющие взаимно перпендикулярны (см. формулу (1.14)).

3.3. Среднее ускорение, мгновенное ускорение

Отношение изменения вектора скорости 0vvv −=∆ к соответствующему промежутку времени 0ttt −=∆ есть вектор, коллинеарный вектору vr∆ , называемый средним ускорением (рис 1.5):

( ) ( )

. v vv

0

0

ttttt

aср ∆∆

=−−

=r (3.12)

Рис. 1.5.

13

Мгновенное ускорение определяется как предел среднего ускорения при 0→∆t :

. vvlim 2

2

0 dtrd

dtd

ta

t

rr

==∆∆

=→∆

(3.13)

Таким образом, мгновенное ускорение – это первая производная вектора скорости ( )tvv rr

= и соответственно вторая производная по времени функции ( )trr = . Из выражений (3.13) и (3.9) получаем:

,vvvv kajaiakdt

djdt

di

dtd

dtda zyx

zyx ++=++==rrrrr

(3.14)

2222zyx aaaa ++= , (3.15)

где

.,, 2

2

2

2

2

2

dtzd

dtda

dtyd

dtd

adt

xddt

da zz

yy

xx ======

vvv (3.16)

3.4. Тангенциальное и нормальное ускорения

В общем случае, когда ( )tvv = и ( )tττ = после подстановки (3.7) в (3.13) получим:

( )dtd

dtd

dtd

dtda τττ vvvv

+===r . (3.17)

Ускорение определяется не только изменением модуля вектора скорости, но и изменением его направления. Векторы

τ и dtdτ взаимно перпендикулярны (см. формулу (1.14)),

поэтому составляющие (компоненты) ускорения, как следует из (3.17), также перпендикулярны между собой. Компонента

, vττrr

dtda = (3.18)

называемая тангенциальным (или касательным) ускорением, направлена так же, как и вектор τr , если движение материальной точки ускоренное ( 0v >d ), и имеет противоположное направление, если движение замедленное

14

( 0v <d ). Значение τa определяет быстроту изменения модуля вектора скорости. Компонента

, vdtdanτrr

= (3.19)

называемая нормальным (или центростремительным) ускорением, определяется модулем скорости и быстротой изменения вектора τr , то есть быстротой изменения направления вектора скорости, и может быть записана:

. vvv 2

dsd

dtds

dsd

dtdan

τττ rrrr

=⋅== (3.20)

Значение dsdτr

найдем, воспользовавшись рис.1.6, где

τττ rrr d+, - единичные векторы скоростей материальной точки для двух бесконечно близких состояний, для которых dsrd =

r , ds - длина дуги окружности радиуса R с центром в точке 0 между этими двумя положениями.

Рис. 1.6 Из рис.1.6 следует: αdRds ⋅= , 1; == ταττ dd r .

Отсюда, RRds

d 1==

ττr.

А поскольку naa rr⊥τ и τrd направлен к центру 0 , введем

единичный вектор nr вдоль радиуса к центру кривизны траектории:

15

.1|| ; 1===

→

nnR

ndsrd

dsd rr

rrτ (3.21)

В этом выражении R представляет собой радиус кривизны траектории в окрестности, рассматриваемой точки. Используя (3.21), нормальное ускорение можно записать:

v2

nR

anrr

= (3.22)

Подставив (3.18) и (3.22) в (3.17), получим следующие равенства, которые проиллюстрированы на рис. 1.7

vv 2

nRdt

daaa nrrrrr

+=+= ττ , (3.23)

Rvv

22222

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+=

dtdaaa nτ . (3.24)

0v >∆ 0v <∆

Рис. 1.7

§4. Частные случаи движения материальной точки

4.1. Прямолинейное равномерное движение

При прямолинейном перемещении материальной точки вдоль одной из осей, например ОХ, выполняются следующие

условия: ,0, =∞= naR r .vττrrr

dtdaa == Если движение еще и

16

равнопеременное, то есть consta =r , то из (3.5) и (3.13)

следует: ∫∫ ==t

0

v

v

dtdv ,v0

aadtd ,

,vv 0 at+= (4.1)

( ) ,vt

000 dtatxx ∫ +=− .

2v

2

00attxx +=− (4.2)

Формулы (4.1) и (4.2) выведены для начальных условий:

( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

==

=

0

0

0

v0v0

0xx

t.

Из уравнения скорости (4.1) и уравнения движения (4.2) получим формулы, известные из лицейского курса:

2vv ;v

2vvv ;v-v

20

2ср

0ср

0

⎪⎭

⎪⎬

⎫

∆=−=∆

+==

ratrt

a . (4.3)

Последнее выражение известно как формула Галилея. В однородном гравитационном поле, то есть на высоте,

намного меньшей, чем радиус Земли, все тела (в отсутствие любых других сил, включая силу сопротивления воздуха) движутся с ускорением kgg

rr−= , g=9,8м/с2, (ось ОZ

направлена вертикально вверх). В указанных условиях таким ускорением обладают тела, брошенные под углом к горизонту, траектория движения которых - парабола. Этот вид движения, который изучался в лицейском курсе, состоит из равномерного движения по горизонтали и равнопеременного движения (согласно уравнениям (4.1)-(4.3)), по вертикали.

4.2. Вращательное движение. Кинематические

угловые величины a)Кинематические угловые величины. Соотношения

между кинематическими уголовными и линейными

17

величинами. При движении материальной точки по окружности систему координат можно выбрать таким образом, чтобы эта окружность находилась в плоскости ХОУ (рис. 1.8) или была параллельной ей (рис. 1.9). Тогда модуль радиус – вектора остается постоянным, а меняется только его направление, то есть ( )ter

r

( ) ( )

. 0 ⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

dtdr

tertr rrr

(4.4)

Используя соотношение между длиной дуги ds , которую описывает материальная точка при своем движении за промежуток времени dt , и углом ϕd , на который поворачивается ее радиус – вектор за это же время, ϕrdds = , вектор скорости можно представить в виде:

( ) . tv→→

== τϕτdtdr

dtds (4.5)

Определим в скалярной форме мгновенную угловую

скорость материальной точки, которая характеризует быстроту изменения угла поворота и равна первой производной угла поворота по времени,

dtdφω = . (4.6)

Подставив (4.6) в (4.5), получим: →→

= τωrv , (4.7)

Рис. 1.8

18

ωr=v . (4.8) Радиус – вектор R, которой принадлежит плоскости

ХОУ, численно равен радиусу окружности rR = (рис. 1.8), поэтому

→→

= τωR v , (4.7΄) ωR= v . (4.8΄)

В случае неравномерного движения по окружности вводится скалярная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, называемая мгновенным угловым ускорением,

( ) ( ) ( )2

2

dttd

dttdt ϕωε == (4.9)

и равная первой производной угловой скорости или второй производной угла поворота по времени. Подставив выражения (4.8), (4.8΄) и (4.9) в формулу (3.18) и (4.8), (4.8΄) в формулу (3.22), получим следующие выражения для тангенциального и нормального ускорений материальной точки:

,][v τετετωττrrrr Rrr

dtd

dtda ==== (4.10)

.v 2222

nRR

nRnr

anr

rrr ωω

=== (4.11)

Тогда мгновенное ускорение материальной точки запишется:

,2 τεω rrr RnRa += (4.12)

.24 εω += Ra (4.13) Из вышеизложенного следует, что движение

материальной точки по окружности описывается следующими величинами: τaaar n

rrrrr ,,,v, , называемыми в этом случае линейными, и угловыми величинами εωϕ ,, , связанными с линейными соотношениями (4.7), (4.8), (4.10)-(4.13).

19

Рис. 1.9 Изучая различные движения материальной точки и

твердого тела, удобно и полезно ввести векторы .,, εωϕrrr

Из рис 1.9, на котором представлено ускоренное движение по окружности материальной точки в горизонтальной плоскости, следует:

.sin ϕβϕ drRddr == (4.14) Вектор угла поворота ϕ

rd (единичный вектор, ему

соответствующий- ϕer ) по определению направлен перпендикулярно плоскости движения материальной точки по правилу буравчика:

.→

= ϕϕϕ eddr

(4.15)

На основании этого определения и сравнивая формулы (4.14) и (1.5), можно утверждать:

.rdrd rrr×= ϕ (4.16)

Векторы угловой скорости и углового ускорения определяются следующим образом:

,ϕϕϕω e

dtd

dtd rr

r== (4.17)

.2

2

ϕϕϕωε e

dtde

dtd rrr

== (4.18)

20

Если движение ускоренное εω r),0( >

dtd совпадает по

направлению с ωϕrr

, (рис. 1.9); в случае замедленного

движения ( 0<dtdω

) направление εr противоположно.

Используя выражение (4.16), получим соотношения между линейными величинами vr , ar и угловыми ωr , εr :

,v rrdtd

dtrd rrr

rrr

×=×== ωϕ (4.19)

.sinv βω r= (4.20) Как видно из рис 1.9, Rr =βsin ( R - радиус

окружности), следовательно, из равенства (4.20) следует (4.8΄). Подставляя (4.19) в определение мгновенного линейного ускорения, получим:

( ) ( )

naardtrdr

dtdr

dtd

dttda

rrrrrr

rrr

rrr

rr

+=×+×=

=×+×=×==

τωε

ωωω

v

v, (4.21)

где .v, rrrrrr×=×= ωετ nara

b)Равномерное движение по окружност. Для такого движения материальной точки stncor

r=ω , 0,0 == τε a ,

следовательно,

( ) .vv

⎭⎬⎫

===

tRconstR

τωω

rr (4.22)

После интегрирования выражения (4.6) получим уравнение равномерного вращательного движения:

( ) ( ) ,,0 0∫ ∫==ϕ

ϕ

ωϕωϕt

dttddttd

tωϕϕ += 0 . (4.23)

21

Период NtT = и частота вращения

tN

=ν ( N -

количество оборотов за время t) могут быть вычислены из соотношений:

νωπ

ωππ 122

v2

====r

rrT . (4.24)

c)Равнопеременное движение по окружности. В частном случае равнопеременного движения материальной точки по окружности

( ) constdt

td==

ωεr

r,

откуда следует:

( ) ( ) ,,0 0∫ ∫==ω

ω

εωεωt

dttddttd

tεωω += 0 . (4.25) На основании (4.6) и уравнения угловой скорости

(4.25) получим уравнение равнопеременного вращательного движения:

( ) ( ) ( ) ,,0 0

00 ∫ ∫ +=+==ϕ

ϕ

εωϕεωωϕt

dttddttdttd

2

2

00tt εωϕϕ ++= . (4.26)

Из соотношений (4.25) и (4.26) получим выражение для средней угловой скорости

20 ωωϕω +

=∆∆

=tср (4.27)

и выражение ( )0

20

2 22 ϕϕεϕεωω −=∆=− . (4.28) Легко заметить аналогию между соотношениями (4.1) -

(4.3) для прямолинейного равнопеременного движения и (4.25) - (4.28) для вращательного равнопеременного движения материальной точки. Аналогия относится не только к

22

внешнему виду вышеуказанных соотношений, но и выводу соотношений (4.27), (4.28) и (4.3).

§5. Движение твердого тела

5.1. Поступательное движение Самым простым движением твердого тела является

поступательное движение, при котором все его точки перемещаются с одной и той же линейной скоростью, отрезок прямой, соединяющий любые две точки тела, перемещается вместе с телом, оставаясь неизменным и параллельным своему первоначальному направлению (рис. 1.10).

Поступательное движение твердого тела описано полностью, если известны начальное положение и зависимость от времени радиус – вектора ( )trk

r для любой точки тела, т.е. уравнение движения одной произвольной точки. Иначе говоря, описание поступательного движения твердого тела сводится к описанию движения одной материальной точки, следовательно, к кинематике материальной точки.

5.2. Вращательное движение вокруг неподвижной оси Движение твердого тела, при котором все его точки

движутся по окружностям с центрами на одной неподвижной прямой, называется вращательным движением вокруг этой прямой, называемой осью вращения (рис. 1.11). Радиус – векторы материальных точек образующих тело, за один и тот же промежуток времени поворачиваются на один и тот же угол, называемый углом поворота твердого тела. Все точки тела движутся по окружностям соответствующих радиусов

kR (индекс к нумерует точки тела) с одинаковыми угловыми скоростями и ускорениями, называемыми угловыми скоростью и ускорением вращения твердого тела. Линейные скорости и ускорения kvr и kar , точек тела

23

различны и зависят от расстояния kR от соответствующей материальной точки до оси вращения:

krrrr

×= ωkv , (5.1) ,sinv kkkk Rr ωβω == (5.2)

,v knkkkk aara rrrrrrr+=×+×= τωε (5.3) ,sin kkkk Rra εβετ == (5.4)

Рис. 1.10 Рис. 1.11

,sin 22kkkkn Rra ωβω == (5.5)

.42 ωε += kk Ra (5.6) Соотношения (5.1) - (5.6) написаны на основании

выражении (4.19) - (4.21). Поступательное движение и вращение вокруг

неподвижной оси являются основными движениями абсолютно твердого тела, поскольку остальные типы движения, а именно, движение плоское сферическое (вращение вокруг неподвижной точки) и свободное (вращение вокруг нефиксированной оси) могут быть представлены как комбинация основных.

Движение тела, при котором все его точки в любой момент времени находятся в параллельных плоскостях, называется плоским движением (рис. 1.12).

Такое движение совершает цилиндр (диск) который катится. В системе отсчета с началом в центре О цилиндр (диск), при этом произвольная материальная точка обладает

24

скоростью krrrr

×= ωkv . В системе отсчета, связанной с неподвижной горизонтальной поверхностью, движение всех точек тела может быть разложено на две составляющие: поступательное движение центра масс тела со скоростью 0vr и вращение со скоростью kvr .

Результирующая скорость произвольной точки тела в

этой системе отсчета равна ( )kk rrrrrr

×+=+ ω00 vvv . Мгновенная скорость точки соприкосновения диска с

горизонтальной плоскостью (точки A, рис. 1.12) равна нулю. Прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно плоскости диска, называется мгновенной осью вращения. Эта ось перемещается не только по горизонтальной плоскости, но и по боковой поверхности цилиндра.

Вывод: Плоское движение по неподвижной плоскости может быть составлено из поступательного и вращательного движений.

Приложение. Примеры решения задач Задача 1

Материальная точка движется по закону: jctibtrrrr 2−= ( cb, - известные положительные

постоянные). Определить: a) уравнение траектории материальной точки и нарисовать ее; b) зависимость от

Рис. 1.12

25

времени векторов ,,v,v aсрrrr и их модулей; b) зависимость от

времени угла между векторами ar и vr . Решение

a)Уравнение траектории y=y(x) движения материальной точки можно получить, исключив время t из закона движения вдоль осей ОХ и ОУ. Из закона движения следует:

⎭⎬⎫

−=

=2cty

btx => ,

bxt =

.22 x

bcy −= - уравнение параболы, проходящей через начало

координат b)Для определения )(),(v),(v tatt ср

rrr , используем определения (3.4), (3.5), (3.13).

( ) jctibjctibtdtd

dtrd rrrrr

r 2v 2 −=−== ,

jctibttrr

tr

ср

rrrrrr

−=−−

=∆∆

=0

0v , ( )0;0 00 == rt ,

( ) jcjctibdtd

dtda

rrrrr 22v

−=−== .

В соответствии с (3.10) и (3.14) определим зависимости от времени ( ) ( ) ( ).,v,v tatt ср

22222 4vvv tcbyx +=+= , 22222 vvv tcbсрyсрxср +=+= ,

caaa yx 222 =+= . c)Как видно из рисунка, угол между ar и vr равен углу

между yvr и vr .

26

ctbtg

y

x

2vv

==α .

Задача 2 Точка движется по окружности со скоростью

kt=v , 25,0 смk = . Определить ускорение точки в момент

времени τ, отсчитываемый от начала движения до того, как точка пройдет 1,0=n от длины окружности.

Решение Ускорение точки, вращающейся неравномерно,

представляет собой сумму тангенциального и нормального ускорения (см. формулу (3.23), (3.24)):

( ) kktdtd

dtda ===

vτ .

Прежде всего определим длину пути, пройденного к моменту времени τ.

ktdtdtds == v ,

∫ ==τ τ

0

2

2kktdtS .

По условию задачи RnS ⋅⋅= π2 . Приравняв правые части выражении для S , найдем поочередно aa n ,,v,τ .

22

2τπ kRn =⋅⋅ , k

Rn ⋅=

πτ 4 ,

,4ktv Rnk ⋅== π ππ nkR

RnkR

an 44v2

=⋅

== ,

( ) =+=+= 2222 4 knkaaa n πτ

( ) ( ) ( )222 14,05,014 с

мnk +=+= ππ .

Задача 3 Мальчик бросил мяч под углом 60o к горизонту. Мяч

попал в открытое окно, расположенное на высоте 10м

27

относительно плеча мальчика, скорость мяча в этот момент была направлена горизонтально. Найти: a) скорость мяча в момент бросания; b) радиус кривизны траектории мяча в момент попадания в окно и в произвольный момент времени t.

Решение a) Мяч попал в окно, имея только горизонтальную

составляющую скорости, а это означает, что в этот момент времени он находился в высшей точки траектории на высоте Н=10 м. Закон движения и закон измнения скорости вдоль оси ОУ согласно (4.2) и (4.1) имеют вид

2v

2

0gtty y −= ,

gtyy −= 0vv . Подставим y=H,

0v =yH . Получим время подъема Ht , а также oyv и 0v .

gt y

H0v

= , g

H oy

2v

= => gHy 2v 0 = ,

α20 sin2v gH

= .

Горизонтальная составляющая скорости xx 0vv = , а мгновенное ускорение мяча направлено вертикально вниз и равно g. В высшей точке траектории ускорение и скорость

взаимно перпендикулярны. Поэтому H

x

H

HxnH RR

ga20

2 vv=== ,

откуда gg

R xH

α220

20 cosvv

== .

Запишем законы изменения скорости при равномерном движении вдоль оси ОХ и равнопеременном – вдоль оси ОУ, и найдем скорость v в произвольный момент времени t.

28

,cosvvv 00 α== xx gtgtyy −=−= αsinvvv 00 ,

( ) 220

20

20

220

22 sinv2vsinvcosvvvv tggtgtyx +−=−+=+= ααα

Из рисунка: v

v xn

ga

= , vv

vv oxx

ngg

a == .

Тогда: ( )α

αcosv

sinv2vvvv

0

2322

020

32

gtggt

gaR

oxn

+−=== .

Этот результат легко получить и из закона сохранения механической энергии.

02v2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ mghm

dtd

, dtdhg

dtd

−=vv , где τa

dtd

=v

, ydtdh v= ,

Тогда: yga vv −=τ , ,v

v yga −=τ

0

02

22222

vv

vv

vv xxy

n ggggaaa ==−=−= τ .

Подставив выражения для x0v и v, получим R.

Задача 4 Ротор электрической машины вращается с частотой

v o=1500 об/мин. После отключения тока ротор совершил еще N1=500 полных оборотов. Считая вращение равнозамедленным, найти: a) время вращения ротора до остановки; b) угловое ускорение ротора; c) угловую скорость ω’ ротора после совершения N2 = 100 полных оборотов.

Решение a), b) Время до остановки и угловое ускорение

получим из закона изменения угловой скорости (4.25) и выражения (4.28)

⎩⎨⎧

=

=

εϕω

εω

220

to,

с учетом условия ε<0, ω=0, 00= ϕ , ϕ =2π N1,

29

ω0= 60 2 0nπ

=30 0nπ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛соб

.

Решив систему уравнений, получим

t = 0

1

0

1 120N 4n

N=

ωπ =40с,

1

20

1

20

3600

4 Nn

Nπ

πω

ε == = 3,92 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛соб

.

c) Угловую скорость ω ′ определим из выражения (4.28), подставив ϕ′ =2π N2, а также выражения для ε и 0ω

ω′ = 1

20

1

20

220

20 1

4 42

NN

NN −⋅=⋅−=′− ω

πωπωϕεω =

1

20 130

NNn

−=π

= 140 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛соб

.

Задача 5

Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением ε=ε0cosφ, где ε0-положительная постоянная, а φ-угол вращения, отсчитываемый от начального положения тела. Какова зависимость угловой скорости тела от угла вращения ω=ω(φ)−?

Решение Преобразовав левую часть выражения ε=ε0 cosφ.

ωϕωϕ

ϕωωε ⋅=⋅==

dd

dtd

dd

dtd ,

получим выражение ω · ϕω

dd

= 0ε cosφ,

в котором разделим переменные, ω dω= ε0 cosφ dφ. Последнее равенство проинтегрируем, используя условия задачи: t0=0; ω0=0; φ0=0;

30

∫∫ =ƒ

00

0

cos ϕϕεωωω

dd , =2

2ωε0 sinφ, ω= ϕε sin2 0 .

Задача 6 Сфера радиусом R=10.0см катится без проскальзывания

по горизонтальной плоскости так, что центр ее перемещается с постоянным ускорением 25,2 с

смa = .

Положение сферы через t=2с от начала движения показано на рисунке. Для этого момента времени найти: a)скорости точек A, B, O; b)ускорения этих точек.

Решение a)В системе координат, изображенной на рисунке,

центр масс сферы перемещается равномерно со скоростью tata cc

rrrr=+= 0c vv . ( )0v;0 00 ==t .

Все другие точки сферы одновременно совершают два движения: перемещение вдоль оси xo′ со скоростью cvr и

вращение относительно центра масс c со скоростью τvr . Поскольку сфера катится без проскальзования, точка o не перемещается относительно указанной оси, поэтому

0vvv c0 =+= τrrr

, tacrrv −=−= cvvτ ; cvv rr

=τ . Выражения для скоростей точек A и B получим, воспользовавшись правилом сложения векторов (см. рисунок) и выше полученными результатами.

смtac 1,02vvv cA ==+= τ ,

31

смtac 07,02vvv 22

cB ==+= τ .

b) Ускорение каждой точки сферы, исключая центр масс c, складывается из ускорения поступательного движения центра масс car , и ускорения вращательного движения

nвр aaa srr+= τ . Таким образом, nc aaaa rrrr

++= τ . Показав на рисунке составляющие ускорения для точек A, B и O, получим следующие выражения для результирующих ускорений выше указанных точек.

( ) 22ncA aaaa ++= τ ,

Rta

Ra c

n

222== τv , ca

dtda == τ

τv .

Тогда 2

2222

1059,52

12 см

Rtaaa c

cA−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

( ) 22

222

22222 105,211

см

Rtaaa

Rtaaaaaa c

ccc

cncB−⋅=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+−= τ

( ) 22

2222

0 105,2 см

Rtaaaaaa c

nnc−⋅===+−= τ .

32

Контрольные вопросы 1. Какая из этих формул:

dtdv,

dtvd

,dtrd

v,dtdrv ==== aa

rr

определяет модуль: a)мгновенной скорости; b)мгновенного ускорения? Аргументируйте ответ.

2. Дать определение тангенциального τav и нормального nav ускорений, объяснить формулы для вычисления модулей этих векторов. Начертить векторы vr , av , nav , τav для замедленного движения материальной точки по кривой линии.

3. Для материальной точки, движущейся равномерно по окружности, в момент времени t , известны значения скорости, нормального и тангенциального ускорений. Найти для этого момента времени угол поворота ϕ , угловую скорость ω , угловое ускорение ε .

4. Дать определение векторов ϕr

, ωr , ε

r и представить их графическую иллюстрацию для замедленного движения материальной точки.

5. Дать определения: a)поступательного движения твердого тела; b)вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

33

II. Классическая динамика системы материальных точек

В рамках динамики – основного раздела механики –

изучаются причины, вызывающие и изменяющие состояния покоя или движения тел

Опытные данные приводят к следующим выводам: 1) При некоторых условиях тело, на которое действуют

другие тела, изменяет свою скорость, т.е. приобретает ускорение.

2) При других же условиях тело, находясь под действием других тел, изменяет свою форму и размеры.

Количественное описание этих процессов осуществляется введением понятия силы: любое воздействие на тело, при котором ему сообщается ускорение или происходит деформация тела, вызывается физической векторной величиной, которая называется силой. Сила – мера этого воздействия.

Классическая динамика базируется на нескольких принципах общего характера, которые применимы ко всем системам, удовлетворяющим гипотезам классической механики: закон инерции, фундаментальный закон динамики, закон действия и противодействия, принцип независимости действия сил, сформулированные Ньютоном, а также механический принцип относительности, сформулированный Галилеем. Множество экспериментов и наблюдений подтверждают их справедливость независимо от природы сил взаимодействия между телами.

Появление в XX веке релятивистской и квантовой механик выявило, что классическая механики применима только для макроскопических тел, движущихся со скоростями, намного меньшими, чем скорость света в вакууме.

34

§ 6. Законы классической механики (повторение)

В этом параграфе будут коротко изложены законы классической механики за исключением механического принципа относительности, который будет изложен в третьей главе.

6.1. Принцип инерции Закон инерции, экспериментально установленный

Галилеем, обобщенный Ньютоном и названный первым законом механики, формулируется следующим образом: материальное тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока на него не будет осуществлено внешнее воздействие. Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инерцией.

Важной проблемой, связанной с первым законом, является выбор системы отсчета, относительно которой определяется состояние покоя или движения. Исходя из концепции существования абсолютного пространства, Ньютон предположил существование некоторой абсолютной неподвижной системы отсчета. Другой такой системы отсчета не существует в природе, однако существуют системы отсчета называемые инерциальными системами отсчета, в которых выполняется закон инерции. Легко прийти к выводу, что все инерциальные системы отсчета движутся друг относительно друга прямолинейно и равномерно.

Экспериментально доказано, что система отсчета, связанная с Землей, не является строго инерциальной (однако приближенно часто используется в качестве инерциальной). Причина состоит в появлении некоторого небольшого ускорения тел, которое не связано с действием других тел, а связано со свойствами системы отсчета, а именно ускорением Земли. Благодаря суточному вращению Земли каждая точка на ее поверхности обладает ускорением, приблизительно равным 0,03 м/с2, а благодаря вращению вокруг Солнца – ускорением порядка 0,06 м/с2. Строго инерциальной является

35

система отсчета, не обладающая ускорением, относительно которой ускорение тела появляется только благодаря взаимодействию этого тела с другими телами. Строго инерциальной системой отсчета считается система отсчета с началом на Солнце и тремя осями координат, ориентированными на три определенные неподвижные звезды.

6.2. Основной закон динамики. Принцип независимости действия сил

Основной закон динамики (известный еще под названием второй закон Ньютона, принцип действия сил) был сформулирован Ньютоном, следующим образом: «Изменение движения пропорционально приложенной силе и направлено вдоль прямой линии, по которой эта сила действует». Изменение движения сегодня называется изменением импульса за единицу времени. В современной физической терминологии второй закон Ньютона, обобщенный для случая, когда на материальную точку действует несколько сил, формулируется: производная импульса vr

rmP =

материальной точки по времени равна результирующий Fr

всех сил, действующих на материальную точку со стороны других тел

( ) .v Fmdtd

dtPd rrr

== (6.1)

Это обобщение основано на принципе независимости действия сил: если на тело одновременно действует несколько сил, то каждая из них производит действие, которое не зависит от действия других сил

∑=

==n

ii dt

PdFF1

rrr

.

Масса m материальной точки в классической механике считается величиной постоянной, тогда закон (6.1) может быть записан:

36

Fdtdm

rr

=v , (6.2)

Famrr

= , (6.2´)

или

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

==

==

==

zz

yy

xx

Fdt

dmdt

zdm

Fdt

dm

dtydm

Fdt

dmdt

xdm

v

v

v

2

2

2

. (6.3)

Масса материальной точки из выражений (6.2) и (6.3)

есть мера инертности тела, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ma 1~ и называется инертной

массой. Однако масса характеризует еще и гравитационные свойства тела, т.е. способность тел притягивать друг друга. С помощью точных экспериментов установлено, что до относительной погрешности порядка 10-12 инертная и гравитационная массы равны друг другу.

Согласно основному закону динамики только взаимодействие между телами определяет ускорение материальной точки или рассматриваемого тела. Следовательно, первый и второй законы справедливы только в инерциальных системах отсчета.

Если известны условия, определяющие начальное состояние материальной точки, и проекции сил на оси координат как функции времени, после интегрирования выражения (6.3) можно получить проекции скоростей и координат материальной точки в любой момент времени.

Из (6.1) можно записать:

dtFPdrr

= , ,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

==

dtFdPdtFdPdtFdP

zz

yy

xx

(6.4)

37

то есть изменение импульса материальной точки равно импульсу результирующей силы, действующей на нее. Отметим, что выражение (6.1) представляет собой также теорему об изменении импульса материальной точки.

Если 0=Fr

, из (6.1) следует

( ) ( ) nstoctPtP r==

→→

0 , (6.5) что составляет закон сохранения импульса материальной точки: если результирующая сила, действующая на материальную точку, равна 0, то ее импульс остается постоянным по модулю и по направлению.

6.3 Закон действия и противодействия

Закон действия и противодействия, известный также под названием третий закон Ньютона, утверждает: если одно тело действует на другое тело с силой 12F

r, то второе тело

действует на первое с силой 21Fr

, равной по величине, но противоположной по направлению.

.1221 FFrr

−= (6.5) Очевидно, что обе силы направлены вдоль одной линии.

В формулировке Ньютона одна из сил (безразлично какая) называется действием, а другая – противодействием, а сам закон гласит: действия тел друг на друга взаимны, одновременны, равны по модулю и противоположны по направлению, имеют одинаковую природу и разные точки приложения. Результирующая сил 12F

r и 21F

r равна нулю

только в случае, когда рассматриваемые тела являются частью одной системы, а действия и противодействия являются внутренними силами.

Суммируя все вышесказанное, приходим к выводу, что начальное состояние материальной точки и законы, лежащие в основе динамики, обеспечивают строгое и однозначное определение ее движения. Этот вывод составляет сущность классического механического детерминизма.

38

*Механическая работа и механическая энергия

§ 7. Механическая работа. Мощность.

Консервативные и неконсервативные силы

7.1. Механическая работа. Мощность Если результатом действия силы на тело является его

перемещение, то это действие характеризуется физической величиной, называемой механической работой силы. Физическая величина, равная скалярному произведению

( ) ,,;cos rdFdsFrdFdtFrdFA srrrrrrr

∠=∠==== ααδ v (7.1) представляет элементарную механическую работу, производимую силой F

r при перемещении на rdr точки ее

приложения по произвольной траектории (рис. 2.1). На основании (1.10) элементарная работа может быть записана

.dzFdyFdxFA zyx ++=δ (7.2)

В общем случае сила Fr

и ее проекции на оси координат зависят как от координат, zyx ,, т.е. от радиус – вектора rr ее точки приложения, так и от ее скорости, времени, т.е. является функцией нескольких переменных. Это означает, что элементарная работа, определяемая выражениями (7.1), не является полным дифференциалом некоторой функции f координат zyx ,, точки приложения силы, которая записывается ( )zyxdf ,, . Именно поэтому элементарная работа была записана как Aδ , что означает, что

dsFrdF s=αcosr - это только выражение бесконечно малой величины, значение которой зависит от траектории, по которой перемещается точка приложения силы.

Из (7.1) следует: 0>Aδ если 0 ;2πα< < то 0Aδ < , т.е.

сила способствует перемещению тела; если παπ <<2 , то

39

0<Aδ , т.е. сила препятствует перемещению; если 2πα = , то

0Aδ = , т.е. сила, перпендикулярная перемещению тела, не совершает работы.

Если тело переместилось из положения 1 в положение 2 (рис. 2.1), то совершенная механическая работа вычисляется

∑=n

iAA1

12 δ или с помощью криволинейного интеграла

dsFrdFAs

ss

r

r∫∫ ==2

1

2

112

rr. (7.3)

Рис. 2.1 Рис. 2.2 Для вычисления таких определенных интегралов

необходимо знать зависимость sF от криволинейной координаты .s Пусть график такой зависимости имеет вид, представленный на рис. 2.2. Элементарная работа Aδ равна площади прямоугольника шириной ds и высотой sF . Работа

12A произведенная на всем участке траектории 1-2, численно равна заштрихованной площади (рис. 2.2).

Формула (7.3) представляет собой самое общее выражение для механической работы, величина которой зависит в общем случае от траектории материальной точки.

Средняя мощность – это механическая работа, совершаемая за единицу времени

40

tAN

∆∆

= . (7.4)

Мгновенная мощность

0

lim→∆

=t

N ( ) ,vFvcos rr

r

=====∆

∆s

s FdtdsF

dtrdF

dtA

ttA αδ (7.5)

равна первой производной механической работы по времени или скалярному произведению вектора силы на вектор скорости точки приложения силы в соответствующий момент времени. Из определений механической работы и мощности следует их зависимость от выбора системы отсчета.

7.2. Консервативные и не консервативные силы Определим механическую работу, совершаемую

различными силами. Определим элементарную работу dA сил упругости, центральных сил и силы тяжести (объяснение будет дано далее).

Пример I. Механическая работа силы упругости kxF −= ( k –коэффициент упругости деформируемого тела,

x –абсолютная деформация, которая считается положительной), совершаемая при деформации тела в пределах от 1x до 2x

,022

22

21

12

2

1

<−=−= ∫kxkxxdxkA

x

x

(7.6)

отрицательна, т.к. сила упругости направлена против деформации. При отсутствии деформирующей силы, сила упругости совершает положительную работу, уменьшая деформацию:

.022

21

22

21

1

2

>−=−= ∫kxkxxdxkA

x

x

Очевидно, что 2112 AA −= . Пример II. Механическая работа центральной силы. Силы, действующие на материальную точку, называются

центральными, если зависят только от расстояния между

S

2

41

рассматриваемой материальной точкой и неподвижной точкой, называемой центром силового поля; в любой точке пространства эти силы направлены от (или к) центра. В центре, как правило, находится начало системы координат (таким образом, поступим и мы). Центральная сила записывается в виде:

( )rrrFF r

rr= , (7.7)

где rr - радиус – вектор материальной точки, проведенный из

центра силового поля; ( )rFr - проекция силы →

F на rr . Если ( ) 0>rFr , то это сила отталкивания, если ( ) 0<rFr , то это сила

притяжения. Гравитационные и кулоновские силы являются

центральными и зависят от rr согласно соотношению:

,3 rraF r

=→

(7.8)

где 0

2121 4

,πε

αλαqq

mm =−= (7.9)

для гравитационной и кулоновской сил соответственно. Элементарная работа центральной гравитационной или кулоновской силы (7.8) запишется:

,23 drr

rdrr

rdFdA αα===

rrrr (7.10)

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ === rdrrdrdrdr 22

21

21 rrr ,

а конечная механическая работа находится из соотношения:

.21

212

2

1rrr

drAr

r

ααα −== ∫ (7.11)

Пример III. Механическая работа силы тяжести. Сила тяжести kmggmG

rrr−== производит элементарную

работу:

42

.mgdzrdGdA −==rr

(7.12) При перемещении материальной точки вдоль оси OZ

между точками с координатами 21 z и z работа силы тяжести G

r определяется следующим образом:

( ) .2

1

2112 ∫ −=−=z

z

zzmgdzmgA (7.13)

Анализируя результаты (7.6), (7.11), (7.13), полученные в этих трех примерах, можем констатировать, что в природе

существуют силы, для которых: 1) механическая работа не зависит от формы траектории материальной точки между произвольными положениями 1 и 2, а зависит только от этих положений (рис. 2.3)

;2121 ab AA = (7.14) 2) при изменении направления

движения материальной точки изменяется знак работы силы: 1221 bb AA =− . Тогда работа такой силы по любой замкнутой

траектории 121 ba точки приложения силы равна нулю: .021211221121 =−=+= bababa AAAAA (7.15)

Соотношения (7.14), (7.15) справедливы для сил, которые зависят только от взаимного расположения тел (частей одного тела), то есть ( )rFF rrr

= . Элементарная работа таких сил (7.10), (7.12) представляет собой полный дифференциал некоторой функции ( )rf r . Такие силы называются консервативными, а их поле называется потенциальным.

В векторном анализе вводится понятие циркуляции C вектора ar вдоль замкнутого контура L , определяемое следующим образом:

( ) .∫ ∫ ++==L L

zyx dzadyadxaldaCrr (7.16)

Рис. 2.3

43

Физический смысл циркуляции легко установить. Если вектором ar является сила F

r, то циркуляция C – это

механическая работа вдоль замкнутого контура L. Исходя из (7.15), циркуляция консервативной силы

вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

∫ =L

ldF .0rr

(7.17)

Пример IV. Механическая работа силы трения. Сила трения скольжения равна Ff=µFn, где µ-

коэффициент трения, а Fn- равнодействующая сил давления в направлении, перпендикулярном поверхности соприкосновения между телами. При перемещении материальной точки, массой m, из положения 1 в положение 2 по окружности радиуса r (рис. 2.4) механическая работа силы трения равна:

∫ ∫ −=−==2

0

2

012 2

cos

r r

ff mgrdsFdsFA

π π

πµπ ,

так как constmgFf == µ . По пути 2-0-1 сила

трения совершает работу

Рис. 2.4

mgrmgrmgrAAA µµµ 20120201 −=−−=+= , 12201 AA ≠ ; Работа силы трения отрицательна вдоль любой

траектории и вдоль любой замкнутой траектории отлична от нуля: 020112 ≠+ AA .

Вывод: в природе существуют силы, работа которых зависит от формы траектории их точек приложения. Такие

Fig 2.4

44

силы называются неконсервативными. К неконсервативным относятся силы, не удовлетворяющие условию (7.17), механическая работа таких сил зависит от траектории материи материальной точки, на которую они действуют. Примером неконсервативных сил являются силы, зависящие от скорости материальных точек, на которые они действуют, и совершающие суммарную отрицательную работу при любом перемещении. Такие силы еще называются диссипативными (сила трения скольжения, силы сопротивления движению тел в газообразных и жидких средах). Существуют силы, которые зависят от скоростей материальных точек, на которые они действуют, но будучи направленными, перпендикулярно этим скоростям, не совершают работы. Такие неконсервативные силы называются микроскопическими силами (сила Лоренца, с которой магнитное поле действует на движущиеся в этом поле электрические заряды).

§ 8. Механическая энергия

Механическая энергия материальной точки представляет собой сумму ее кинетической и потенциальной энергий.

8.1. Кинетическая энергия материальной точки

Рассмотрим перемещение dtrd vrr= ( −vr скорость

материальной точки в интервале времени ),( dttt + ), материальной точки массой m, под действием результирующей силы F

r, которая совершает элементарную

работу rdFA rr

=δ . (8.1) Подставив (6.1) в (8.1), получим:

( ) ,2vvv

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

mddtmdtdA rrδ (8.2)

45

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ == 2v

21vv

21vv ddd rrrr

.

Скалярная величина

2v2mWk = , (8.3)

называется кинетической энергией материальной точки. Выражение (8.2) перепишется:

кdWA =δ . (8.4) Равенство (8.4) является теоремой об изменении

кинетической энергии в дифференциальной форме, которая формулируется так: элементарная механическая работа результирующей силы, действующей на материальную точку, равна изменению кинетической энергии этой точки. Рассматривая два произвольных состояния материальной точки в моменты времени t1 и t2 с соответствующими скоростями 1v и 2v , и интегрируя равенство (8.4) получим интегральную форму вышеупомянутой теоремы:

кWmmmdА ∆=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫ 2

v2v

2v 2

12

22

1

2

12 . (8.5)

Согласно (8.5) кинетическая энергия является функцией состояния, изменение кW∆ которой зависит только от начального и конечного состояний, определяемых соответственно скоростями 1v и 2v .

8.2. Потенциальная энергия материальной точки Согласно (7.14)–(7.17) механическая работа

консервативной силы ( )rFF rrr= не зависит от формы

траектории точки приложения силы. Следовательно, работа ( ) rdrF rrr

представляет собой полный дифференциал dA некоторой скалярной функции состояния ( )zyxWW пп ,,= . Элементарная механическая работа консервативной силы равна разности между значением этой функции в начальном

46

состоянии ( )rr материальной точки и в конечном rdr rr+ . Эта

функция состояния называется потенциальной энергией. ( )zyxdWrdFdA n ,,−==

rr. (8.6)

Равенство (8.6) и приведенная выше его формулировка представляют собой теорему об изменении потенциальной энергии в дифференциальной форме. Интегрируя (8.6) в произвольных пределах от r1, до r2 , получим:

∫ ∫ ∆−=−=−=2

1

2

1

2112А ,γ

γ

γ

γnnnп WWWdWrdF rr

. (8.7)

Соотношение (8.7) – это интегральная форма выше названной теоремы. Используя (7.17), получим

∫ =L

пdW 0 . (8.8)

Подчеркнем, что равенства (8.6), (8.7) справедливы при условии, что консервативная сила F

r является стационарной

(не зависящей от времени). Из этих формул видно, что измеряя работу потенциальной силы, приложенной к материальной точке, можно определить только разность значений потенциальных энергий системы, состоящей из материальной точки и тела, которое оказывает воздействие консервативной силой. Следовательно, эта энергия определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Чтобы получить однозначную зависимость потенциальной энергии системы от ее состояния, необходимо в каждой конкретной задаче выбрать начальное состояние, в котором потенциальная энергия принимается за нуль. Зафиксируем нулевое значение функции пW в определенном положении точки приложения консервативной силы, например, в положении 1, которое соответствует радиус – вектору ∞=1r , то есть ( ) 0=∞пW . Тогда можно найти потенциальную энергию системы в положении 2, определяемом радиус – вектором rr , с помощью выражения:

( ) 121212AAWrW nn −=−=

r , (8.9)

47

или

( ) ∫∫∞

∞

=−=γ

γ

r

r

rrrrr rdFrdFrWп . (8.10)

Для этих конкретных условий потенциальная энергия системы в состоянии, определяемом радиус-вектором rr , равна механической работе консервативной силы, взятой с обратным знаком, при перемещении точки приложения силы из бесконечности в рассматриваемую точку (первое равенство в формуле (8.10) и с тем же знаком при перемещении точки приложения силы из рассматриваемого состояния в бесконечность (второе равенство в (8.10). Поскольку

( )zyxdWп ,, является полным дифференциалом, то:

( ) dzz

Wdyy

Wdxx

WzyxdW пппп ∂

∂+

∂∂

+∂

∂=,, .

Подставляя это равенство и (7.2) в соотношение (8.6), получаем:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂−=++ dz

zWdy

yWdx

хWdzFdyFdxF ппп

zyx , (8.11)

или: ;x

WF пx ∂

∂−= ;

yWF п

y ∂∂

−= .z

WF пz ∂

∂−= (8.12)

В результате для консервативной силы можно записать:

( ) .,, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂−= k

zWj

yWi

xWzyxF ппп

rrrr (8.13)

Из векторного анализа известно, что применение векторного оператора ∇ , называемого оператором набла,

kz

jy

ix

rrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ ,

к некоторой скалярной функции ( )zyxf ,, приводит к появлению вектора, называемого градиентом (grad) скалярной функции f

48

zfk

yfj

xfiffgrad

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=rrr

.

Проекции вектора grad f на оси декартовой системы координат имеют вид

;xffx ∂

∂=∇ ;

yffy ∂

∂=∇

zffz ∂

∂=∇ .

Можно показать, что вектор f∇ перпендикулярен поверхности ( )zyxf ,, =const. Сравнивая эти соотношения с (8.13), получим:

( ) пgradWzyxF −=,,r

, ( ) пWzyxF −∇=,,r

. (8.14) Таким образом, консервативная сила, действующая на

материальную точку, находящуюся в поле этой силы, равна взятому с обратным знаком градиенту потенциальной энергии этой материальной точки в рассматриваемом потенциальном поле. Соотношения (8.11)-(8.14) устанавливают связь между консервативной силой и потенциальной энергией. Выражения (8.11) - (8.14) позволяют вычислить консервативную силу F

r,

если известна функция ( ),,, zyxWп потенциальную энергию

пW , если известна функция ( )zyxF ,,r

.

8.3. Примеры вычисления потенциальной энергии Потенциальная энергия системы может быть определена: 1) из соотношений (8.11)-(8.14), если известна

потенциальная сила ( )rF rr , 2) из выражения (8.9), если известна работа

потенциальной силы. Пример1. Потенциальная энергия тела, упруго

деформируемого в положительном направлении оси ОХ, то есть на тело действует сила упругости xkF −= .

Из первого соотношения (8.12) следует полный дифференциал потенциальной энергии

dxFdW xп −= .

49

Из начальных условий, заключающихся в том, что недеформированное тело не обладает потенциальной энергией, то есть 00 =x , 00 =пW , после интегрирования последнего равенства получим

( )∫ ==−−=∆=−x

ппп

kxdxkxWWW

0

2

0 2,

2

2kxWп = . (8.15)

Используя те же начальные условия, формулу (8.15) можно получить и из соотношения (8.9), если в него подставить(7.6).

Пример II. Потенциальная энергия материальной точки в поле центральной силы, направленной вдоль радиальной прямой, проходящей через материальную точку и силовой центр, который является началом координатной оси, названной осью r.

Запишем соотношение (8.12) в проекции на ось r:

drdW

rWF пп

r −=∂

∂−= , где drFdW rп −= .

Результатом интегрирования в произвольных пределах является:

,12

212

2

1

2

1rr

drr

drFWWWr

r

r

rrппп

ααα−=−=−=∆=− ∫∫

при этом было использовано выражение (7.8) для проекции центральной силы на ось r. Используя, начальные условия

,0,11 =∞= пWr получим:

.,2

2 rWили

rW пп

αα== (8.16)

Этот результат при данных начальных условиях можно получить, подставив выражение (7.11) в (8.9). Подставив в формулу (8.16) значения α из выражения (7.9), получим потенциальную энергию материальной точки:

( )rmmrWп

21γ−= в гравитационном поле, (8.17)

50

( ) )(,4 0

21roп r

qqrW εεεεπ

== в кулоновском поле. (8.18)

Пример III. Потенциальная энергия материальной точки в однородном поле силы тяжести.

Гравитационная сила в однородном поле (сила тяжести) в проекции на ось ОZ равна .mgFz −= Из соотношения (8.12) следует:

mgdzdzFdW zп =−= . После интегрирования:

)( 12

2

1

12zzmgmgdzWWW

z

zппп −==−=∆ ∫

Рассмотрим следующие начальные условия: 00

11 == пWz , тогда:

2212mgzmgzWW пп =+= , mgzWп = . (8.19)

Очевидно, что соотношение (8.19) можно получить и после подстановки (7.13) в (8.9).

Приложение. Примеры решения задач Задача 1

На гладкой горизонтальной поверхности покоится доска массой m1, на которой находится тело массой m2. На тело начинает действовать горизонтальная сила, изменяющаяся со временем по закону ktF = , где k - постоянная величина. Определить зависимость от времени ускорения доски и тела. Коэффициент трения между доской и телом равен µ .

Решение. a) Рассмотрим промежуток времени от начала действия

силы F до момента 0t , в который начинается скольжение тела 2m по поверхности доски. До начала скольжения система движется как одно целое с ускорением, определяемым из второго закона Ньютона

51

.,)(2121

21 mmkt

mmFaammF

+=

+=+=

В момент времени 0t сила 00 ktF = , и ускорение, которое

ему соответствует 21

00 mm

kta+

= , становится достаточно

большим, так что трFFam −= 002 ,

где сила трения gmFтр 2µ= . Получим,

02 0 2

1 2

,ktm kt m gm m

µ= −+

.)(

1

2120 km

mmgmt +=

µ

b) Начиная с момента времени 0t тело m2 скользит по

поверхности доски под действием сил ktF = и gmFтр 2µ= . Следовательно,

. ,2

2222 gmktagmktam µµ −=−=

На доску действует сила тртр FF −=' , то есть ktF = .

,211 gmam µ= .1

21 m

gma µ=

Задача 2 Тело массой m с помощью нити, привязанной к нему,

перемещают с постоянной скоростью вверх по наклонной плоскости, состаляющей угол α с горизонтом. Коэффициент трения между телом и плоскостью µ . При каком значении угла β между нитью и наклонной плоскостью сила натяжения нити будет минимальной? Найти значение этой силы.

Решение

Под действием сил, показанных на рисунке, тело перемещается равномерно и прямолинейно.

52

Основной закон динамики в проекциях на указанные оси запишется:

,0

,0

=−+

=−−

yy

трxx

GTN

FGT

где

.cos

,sin,sin,cos

α

βαβ

GG

TTGGTT

y

yxx

=

===

Из второго уравнения находим трF ,

).sincos(

,sincos,

βαµµ

βα

TGNF

TGNTGN

тр

yy

−==

−=−=

Подставляя это выражение в первое уравнение, получим

.sincos

)cos(sin),sincos(sincos

βµβαµα

βαµαβ

++

=

−=−GT

TGGT

Получена зависимость )(βTT = . Значения угла β , при

котором сила T минимальна, определим из условия 0=βd

dT .

Для простоты обозначим

,0)sin(cos

)cossin(,)cos(sin

2 =+

+−−=

=+

βµββµβ

β

αµαk

ddT

kG

.,0cossin µββµβ ==+− tg Преобразуем знаменатель выражения для силы

натяжения нити, подставив в него полученный результат, а также воспользовавшись тригонометрическими формулами

,1

1cos,1cossin2

22

ββββ

tg+==+

.11cos

1cossincossincos 22

2

µβββ

βββµβ +=+==+=+ tg

Минимальная сила натяжения нити равна

53

21

)cos(sin

µ

αµα

+

+=

mgT .

Задача 3

Частица массой m начинает движение под действием силы tFF ωcos0= , где 0F и ω - величины постоянные. Определить: a) Время движения до первой остановки; b) Путь, пройденный частицей за это время; c) Максимальную скорость частицы на этом пути.

Решение а) Из второго закона Ньютона ,cos0 matF =ω

.cos0

mtFa ω

=

Поскольку dtda v

= , после интегрирования получим время

движения до первой остановки.

.sinv,vsin

,vcos,vcos

00

v

000

tmFmtF

dmdttFdmdttFt

o

ωωω

ω

ωω

==

== ∫ ∫

Получена зависимость скорости частицы от времени. В момент остановки 0v = , 0sin =tω . Следовательно,

.,ωππω == tt

в) В зависимость скорости от времени подставим dtdS

=v

и после интегрирования получим

⇒=⇒= ∫ ∫ ,sin,sin0 0

00s

dttmFdsdtt

mFds

ϖπ

ωω

ωω

54

.2)cos1(|cos)(sin 20

20

020

02

0

ωωπω

ωωωωω

ωωπω

π

mF

mF

mtFtdt

mFS =−=

⋅−== ∫

с) Максимальная скорость на этом участке пути получим из зависимости скорости от времени при условии, что 1sin =tω :

.vv 0max ωm

F==

Задача 4

Пуля, пробив доску толщиной h , уменьшила свою скорость от 0v до v . Найти время движения пули сквозь доску, считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости пули.

Решение Основной закон динамики, который описывает

прямолинейное замедленное движение пули сквозь доску под действием силы сопротивления 2vkFr −= , запишется

,v2 mak =−

,vv2

dtdmk =− .

vv2 dt

mkd

−=

Проинтегрируем последнее равенство соответственно в пределах от v0 до v, и от 0 до t

∫ ∫−=v

v2

0vv t

o

dtmkd , ,

v1

v1

0

tmk

−=+−

.vv

vv0

0 −⋅=

kmt

В полученном выражении для времени t движения пули

сквозь доску неизвестным является отношение km . Его можно

получить, воспользовавшись известным расстоянием h и зависимостью скорости пули от времени, зависимостью, которая следует из предпоследнего равенства.

55

0v1

1v+

=t

mk .

А поскольку dtdS

=v , то

,

v1

1

0

+=

tmkdt

dS .

v1

)v1(

0

0 dtt

mk

tmkd

kmdS

+

+=

При изменении пути S от 0 до h выражение )v1(

0

+tmk

изменяется от 0v

1 до 0v

1+t

mk .

∫∫+

+

+=

0

0

v1

v1

0

0

0

,

v1

)v1(t

mk

h

dtt

mk

tmkd

kmdS ,

.v1vln

v1

v1

ln0

0

0

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ +⋅= t

mk

km

tmk

kmh

В полученное равенство подставим выражение для времени движения t .

,vvln

v1

vvvvvln 0

00

00 k

mkm

mk

kmh =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅= .

vvln 0

hkm

=

В результате время движения пули сквозь доску равно

vvlnvv

)vv(0

0

0 −=

ht .

56

Задача 5 Частица движется в плоскости ХУ по произвольной

траектории из точки 1, определяемой радиус – вектором )(21 мjir += , в точку 2 с радиус – вектором )(322 мjir −= .

Во время этого движения на частицу действует несколько сил, одна из которых )(43 НjiF += . Вычислить работу силы

F . Решение

Сила F не зависит от времени, поэтому ее работа равна скалярному произведению F на перемещение r∆ . Скалярное произведение вычисляется согласно (1.10)

.17203)5)(43(

)]2()32)[(43()( 1212

Джjiji

jijijirrFrFA

−=−=−+=

=+−−+=−=∆⋅=

Задача 6

Частица массой m движется по окружности радиуса R, имея нормальное ускорение, изменяющееся со временем согласно закону 2tan α= , где α - постоянная величина. Определить зависимость от времени мощности всех сил, действующих на частицу, а также среднее значение мощности за t секунд от начала движения.

Решение

Поскольку 2tan α= , а с другой стороны, R

an

2v= , то

.v,v22 Rt

Rt αα ==

Зависимость na от времени является следствием зависимости модуля скорости v от времени (R=const). Модуль скорости v зависит от времени благодаря работе, совершаемой тангенциальными силами, центростремительные силы работы не совершают. Зависимость модуля скорости от времени

57

позволяет найти тангенциальное ускорение, а также тангенциальную силу.

( ) ,v RRtdtd

dtda αατ === .RmmaF αττ ==

Мгновенная мощность (7.5) определится из соотношения mRtRtRmFFP ααα =⋅=⋅=⋅= vv

Тогда средняя мощность за промежуток времени t равна

22mRtPPср

α== .

Задача 7

Потенциальная энергия некоторой частицы в двумерном поле может быть представлена выражением

22 yxWп βα += , где βα , - положительные постоянные и βα ≠ . Определить: a) является ли поле центральным; b) вид (форму) эквипотенциальной поверхности, а

также поверхности, в каждой точке которой модуль вектора силы constF = .

Решение a) Поле является центральным, если в каждой его точке

сила удовлетворяет соотношению (7.7), то есть вектор силы проходит через начало координат, а модуль ее зависит только от модуля радиус-вектора 22 yxr += . Равенство (8.12) позволяет нам вычислить проекции силы на оси ОX şi ОY.

,2)( 22

xx

yxx

WF пx αβα

−=∂+∂

−=∂

∂−=

yy

yxy

WF пy ββα 2)( 22

−=∂+∂

−=∂

∂−= .

Тогда ,)(2 jyixF βα +−= .2 222222 yxFFF yx βα +=+=

58

Так как βα ≠ , то очевидно, что F не удовлетворяет условию центральности силы.

b) Для эквипотенциальной поверхности constWп = ,

constyx =+ 22 βα ⇒ 122

=+const

yconst

x βα .

Получим уравнение эллипса ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+ 12

2

2

2

by

ax , для которого

αconsta =2 ,

βconstb =2 , т.е. отношение полуосей

αβ

=ba .

Аналогично определим, что поверхность, в каждой точке которой constF = , представляет собой также эллипс, но с другим отношением полуосей.

constyx =+ 2222 βα , 12222

=+const

yconst

x βα ,

22

22 ,

βαconstbconsta == ,

αβ

=ba .

Задача 8

Гибкий провод длиной L , массой m, приходящейся на единицу длины, перекинут через блок. Первоначально провод находится в равновесии. Если слегка потянуть за один конец провода, то он начнет двигаться ускоренно. Определить скорость провода в момент, когда другой его конец покинул блок. Массой, размерами блока и трением между проводом и блоком пренебречь.

Решение Будем рассматривать движение провода относительно

оси координат, направленной вертикально вверх с началом, расположенным на расстоянии L ниже оси блока. В начальный момент времени центр масс провода имел

координату L43 , кинетическую энергию 01 =кW и

59

потенциальную gmLWп2

1 43

= ( mL - масса всего провода). В

конечный момент времени центр масс провода имеет

координату 2L , кинетическую энергию

2v2

2mLWк = , а

потенциальную gmLWп2

2 21

= .

Во время движения на провод действует только гравитационная консервативная сила, следовательно,

кп WW ∆=∆− , или

212 ппк WWW −= , 222

21

43

2v mgLmgLmgL

−= , 2

v gL= .

60

Контрольные вопросы 1. Можно ли утверждать, что законы классической механики

(принципы) строго выполняются в системе отсчета, связанной с Землей? Аргументируйте ответ.

2. В чем сущность классического механического детерминизма? Приведите пример.

3. Дать определение механической работы, средней мощности, мгновенной мощности.

4. Вычислить механическую работу электростатической силы отталкивания, с которой поле неподвижного точечного заряда

0q действует на точечный заряд q . Рассмотреть произвольную траекторию заряда q между положениями, определяемыми векторами 1r

r и 2rr . Объяснить, почему

электростатическая сила является: a)центральной; b) консервативной.

5. С помощью теорем от изменении кинетической и потенциальной энергий вывести закон сохранения механической энергии материальной точки.

6. Объяснить соотношение между консервативной силой и потенциальной энергией тела, на которое действует эта сла.

61

**Динамика системы материальных точек

§9. Центр массы системы материальных точек и закон его движения

Силы, действующие на систему материальных точек,

делят на внутренние внутFr

и внешние внFr

. Внутренние силы определяют взаимодействие между материальными точками системы, а внешние – между рассматриваемой системой и другими системами или телами. Для материальной точки массой mk, с радиус-вектором kr

r, входящей систему,

состоящую из N материальных точек (рис. 2.5, система отсчета K ), основной закон динамики запишется в виде:

,1

∑=

→

+=+=N

jjk

внk

внутk

внk

k FFFFdtPd rrrr

(9.1)

−→

kP импульс материальной точки, внkFr

, внутkFr

- результирующая всех внешних и внутренних сил соответственно, действующих на рассматриваемую материальную точку:

( ) +++++== +−=

∑ kjkjkk

N

jjk

внутk FFFFFF )1(121

1...

rrrrrr

.,... kjFNk ≠+r

Рис. 2.5 После написания и

суммирования N равенств

62

типа (9.1), относящихся ко всем материальным точкам системы, получим:

FFFdtPd N

k

внутk

N

k

внk

N

k

krrr

=+= ∑∑∑===

→

111

, (9.2)

где Fr

- результирующая сила, действующая на систему. Внутренние силы осуществляют парное взаимодействие и в соответствии с законом действия и противодействия

, 0jk kj jk kjF F F F k j= − + = ≠r r r r

. Следовательно, векторная сумма всех внутренних сил

равна нулю.

.,01 11

kjFFN

k

N

jjk

N

k

внутk ≠==∑ ∑∑

= ==

rr (9.3)

Учитывая этот результат и преобразуя левую часть равенства (9.2), получим

∑ ∑

∑ ∑ ∑

= =

= = =

→→

====

===

N

k

внN

k

внkkk

N

k

N

k

N

kkkk

k

FFFrmdtd

mdtdP

dtd

dtPd

1 12

2

1 1 1

,

v

rrrr

r

(9.4)

где внFr

- результирующая всех внешних сил, действующих на систему. Третье из равенств (9.4) позволяет ввести понятие центра масс С системы материальных точек, который определяется радиус-вектором cr

r (рис. 2.5) относительно

произвольной инерциальной системы отсчета K

,1

1

1

m

rm

m

rmr

k

N

kk

N

kk

N

kkk

c

rr

r ∑

∑

∑=

=

= == (9.5)

где ∑=

=N

kkmm

1 является массой системы. Подставив

определение (9.5) в (9.4), получим:

2.5

63

.2

2

dtrdmF cвнrr

= (9.6)

Выражение (9.6) называется законом движения центра масс системы материальных точек: центр масс системы материальных точек движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная результирующей всех внешних сил, действующих на систему. Этот закон позволяет заменить поступательное движение системы материальных точек движением одной материальной точки, а именно центра масс системы.

Взяв производную от выражения (9.5) по времени, получим скорость центра масс:

∑∑

=

====N

k

N

kkk

kkc

c m

mrm

dtd

mdtrd

1

1 .v

1v

r

rr

r (9.7)

Если 0=внFr

, то из (9.6) следует:

.v,0v2

2

nstocdt

dmdtrd

dtdm

dtrdm c

ccc rrrrr

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (9.8)

Система, для которой 0=внFr

, называется замкнутой (или изолированной) системой материальных точек. Согласно (9.8) центр масс замкнутой системы материальных точек движется равномерно и прямолинейно либо находится в покое. Очевидно, что закон движения центра масс замкнутой система выполняется относительно инерциальной системы отсчета (также как и основной закон механики, который используется при выводе этого закона).

§10. Теорема об изменении и закон сохранения импульса

Рассмотрим систему материальных точек на рис. 2.5

относительно системы отсчета K . Импульсом системы

64

материальных точек называют векторную сумму импульсов всех материальных точек системы

∑ ∑= =

→

==N

k

N

kkk

kmPP

1 1.vr

r (10.1)

Импульс системы может быть выражен через скорость центра масс (см. (9.7)):

( ) .v1

cc

N

kkk mrm

dtdrm

dtdP rrrr

=== ∑=

(10.2)

Определим импульс системы материальных точек относительно системы отсчета, связанной с центром масс (рис. 2.5, система отсчета 'K ). В этой системе отсчета радиус-вектор к-ой материальной точки равен:

' 'k k c k k k k k cr r r sau m r m r m r= − = −r r r r r r .

Записав аналогичные выражения для всех материальных точек системы и просуммировав их, получим:

∑ ∑ ∑= = =

−=N

k

N

k

N

kkckkkk mrrmrm

1 1 1

' rrr .

Из (9.5) ∑=

=N

kckk rmrm

1

rr , следовательно,

'

1 10, ' 0,

N N

k k k kk k

dm r P m rdt= =

′= = =∑ ∑rr r (10.3)

то есть импульс системы материальных точек относительно системы отсчета, связанной с центром масс системы, равен нулю.

Подставив (10.1) в (9.4), получим теорему об изменении импульса системы материальных точек относительно произвольной инерциальной системы отсчета:

dtPdP

dtdF

N

kk

вн

rrr

== ∑=1

. (10.4)

Производная по времени от импульса системы материальных точек равна результирующей всех внешних сил, действующих на систему. Если 0=внF

r, то

65

. ;0 constPdtPd

==r

r

(10.5)

Выражение (10.5) представляет собой закон сохранения импульса системы материальных точек: если результирующая всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы остается постоянным во времени. Или: импульс замкнутой системы материальных точек не изменяется с течением времени. Следует отметить, что импульс каждой материальной точки системы может изменяться под действием внутренних сил, то есть импульс системы перераспределяется между ее материальными точками, оставаясь постоянным для всей системы.

Немецкий математик Ф.Нетер показал, что в случае замкнутой системы каждой операции симметрии пространства и времени соответствует закон сохранения какой-либо физической величины. Из свойства однородности пространства следует, что состояние механической изолированной системы не изменяется при параллельном переносе ее в пространстве как целого. Параллельный перенос в пространстве является операцией симметрии, и согласно теореме Нетер и его общего метода получения сохраняющихся величин следует закон сохранения импульса замкнутой механической системы. Таким образом, в аналитической механике доказывается, что закон сохранения импульса системы является следствием свойства однородности пространства, а значит, является универсальным законом природы.

§11. Теорема об изменении и закон сохранения момента импульса

Изучение вращательного движения тела требует

введения двух новых физических величин: момента силы и момента импульса (кинетического момента). Момент силы служит векторной мерой вращательного действия на тело, производимого произвольной силой. Момент импульса

66

непосредственно связан с моментом силы и в определенных условиях соблюдается универсальный закон сохранения.

11.1. Момент силы. Момент импульса (кинетический момент) материальной точки

Рассмотрим тело, которое может свободно вращаться вокруг неподвижного шарнира (точка О, рис. 2.6.а). Под действием силы F

r, приложенной к некоторой точке тела, оно

вращается вокруг оси, проходящей через шарнир и перпендикулярной плоскости, содержащей шарнир и вектор силы. Угловое ускорение, приобретаемое телом, прямопропорционально как модулю силы, так и кратчайшему расстоянию от точки O до линии действия силы, которое называется плечом силы и равно βsinrd = (рис. 2.6.a). В результате приходим к определению: моментом силы относительно точки (часто называемой полюсом) называют векторную физическую величину, равную векторному произведению радиус-вектора силы относительно этой точки на вектор силы,

,FrMrrr

×= (11.1) модуль которого равен

.sin dFrFM ⋅== β (11.2) Направление вектора M

r перпендикулярно плоскости,

содержащей векторы rr и Fr

, и определяется по правилу буравчика. Из формулы (11.1) и (11.2) следует, что момент силы максимален, когда сила перпендикулярна ее радиус-вектору,

,,2

,, rFMdrFr ===⊥πβ

rr

и равен нулю, когда линия действия силы совпадает по направлению с радиус-вектором силы:

0,0,0,// === MdrF βrr.

67

Рис. 2.6.a Рис. 2.6.b

Для 2

0 πβ << сила Fr

может быть разложена на

компоненты. На рис. 2.6.b проиллюстрирована ситуация, когда векторы PFr

rrr ,, расположены в плоскости листа, а Fr

имеет две компоненты: τFFF r

rrr+= . В этом случае момент

силы равен ,ττ FrFrFrFrM r

rrrrrrrrr×=×+×=×= ,0=× rFr

rr (11.3) .τrFM = (11.4)

Моментом импульса материальной точки относительно точки называют векторное произведение ее радиус-вектора относительно той же точки на ее импульс:

,vrrrr mrPrL ×=×=→

(11.5)

.sinαrPL = (11.5´) В соответствии с правилом буравчика вектор L

r

направлен перпендикулярно плоскости, содержащей векторы Pиrrr (рис. 2.6.b). Аналогично рассуждая (как для момента силы), получим:

2v,max

πα === еслиmrLL ,

(например, момент импульса материальной точки, движущейся по окружности, определенный относительно центра окружности)

68

и 0,0 == αеслиL (например, момент импульса материальной точки, движущейся прямолинейно вдоль оси rr , определенный относительно точки на этой оси).

Установим отношение между моментом импульса материальной точки и моментом силы, приложенной к ней. Согласно (6.1):

.dtPdrFrr

rr×=×

→

(11.6)

Поскольку

( )dtPdr

dtPdrm

dtPdrP

dtrdPr

dtd

rr

rrrr

rrrrrr

⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅ vv ,

получим: ( ) .PrdtdFr

rrrr⋅=⋅ (11.7)

Подставив в (11.7) равенства (11.1) и (11.5), получим:

.dtLdMr

r= (11.8)

Равенство (11.8) называется теоремой об изменении момента импульса материальной точки. Если результирующий момент силы равен нулю, 0=M

r, то

( ) .,0 consttLdtLd

==r

r

(11.9)

Равенство (11.9) представляет собой закон сохранения момента импульса материальной точки: если результирующий момент силы равен нулю, момент импульса материальной точки остается постоянным с течением времени.

В качестве примера применения закона сохранения момента импульса материальной точки проанализируем движение материальной точки в центральном поле сил. Центральная сила, действующая на материальную точку, ориентирована по направлению радиус-вектора rr , проходящего через центр поля, следовательно, ее момент

69

силы равен нулю. Значит, момент импульса материальной точки сохраняется. А поскольку векторы rr и L

r всегда

взаимно перпендикулярны, то во время движения материальной точки ее радиус-вектор rr находится постоянно в одной и той же плоскости. Из этого следует, что плоскость, по которой движется материальная точка, находящаяся в поле центральных сил, не изменяется. Если вычислить площадь поверхности, описываемой радиус-вектором за единицу времени (так называемую секторальную скорость), то она окажется постоянной, то есть радиус-вектор описывает за равные промежутки времени одинаковые площади. Это утверждение составляет сущность второго закона Кеплера.

Начальные условия ( )00 v, rrr и знак проекции центральной силы определяет плоскую траекторию движения материальной точки, которая может быть гиперболой, параболой или эллипсом. По гиперболической траектории движутся α - частицы )( ++He в кулоновском поле атомного ядра. Параболическая или эллиптическая траектории встречаются в планетарной модели атома (Резерфорд, Бор).

11.2. Момент импульса системы материальных точек. Теорема об изменении и закон сохранения момента

импульса Момент импульса системы материальных точек

определяется как векторная сумма моментов импульсов всех материальных точек системы:

,)(1

∑∑→

=

×== kk

N

kk PrLL rrr

(11.10)

Для вывода теоремы об изменении момента импульса системы векторно умножим равенство (9.1) на радиус-вектор соответствующей материальной точки, проходящий через начало системы координат (рис. 2.7).

70

Рис. 2.7

,1

∑=

→→

⋅+⋅=⋅N

jjkk

внkk

kk FrFr

dtPdr

rrrr (11.11)

где jkFr

- внутренняя сила взаимодействия между материальными точками системы. Написав выражение типа (11.11) для всех материальных точек системы и суммируя их, получим:

( ) .,1 1 11

kjFrFrdtPdr

N

k

N

k

N

jjkk

внkk

N

k

kk ≠⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅ ∑ ∑ ∑∑

= = =

→

=

→

rrrr (11.12)

Левая часть (11.12) может быть записана:

∑ ∑∑= =

→

=

→→

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

N

k

N

kkk

N

kkk

kk dt

LdPrdtdPr

dtd

dtPdr

1 11,

rrrr (11.13)

если предварительно заметим, что:

dtPdr

dtPdrP

dtPdrP

dtrdPr

dtd k

kk

kkk

kkk

kk

→→→

→→→

⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

rrrr

rkv

и подставим (11.10). Распишем подробно второе слагаемое в правой части

выражения (11.12). Для простоты рассмотрим систему, состоящую всего из трех материальных точек .3=N

71

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

→→→→→→→→

=

→

=

→→

∑ ∑ 23133321223121

3

11

3

1FFrFFrFFrFr

k jjkk

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅+⋅+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅+⋅+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅+⋅=

→→→→→→→→→→→→

233322133311122211 FrFrFrFrFrFr

→→→→→→→→→

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 313231312121 FrrFrrFrr . (11.14)

Таким образом, это слагаемое представляет из себя N пар векторов типа )( kjjjkk FrFr

rrrr⋅+⋅ , для которых kjjk FF

rr−= (3-й

закон Ньютона). Но согласно рис. 2.7 перемножаемые векторы в правой части (11.14) коллинеарны. Поэтому их векторное произведение равно нулю.

Итак, выражение (11.14), которое является вторым слагаемым равенства (11.12), равно нулю. Тогда (11.12), в которое подставим (11.13), будет иметь вид:

( )∑=

⋅=N

k

внkk Fr

dtLd

1

rrr

. (11.15)

Согласно определению (11.1) физическая величина внk

внkk MFr

rrr=⋅ представляет собой результирующий момент

всех внешних сил, действующих на каждую материальную точку, а

( )∑ ∑= =

==⋅N

k

внN

k

внk

внkk MMFr

1 1

rrr (11.16)

есть результирующий момент всех внешних сил, действующих на систему. Подставляя (11.16) в (11.15), получим

внMdtLd rr

= . (11.17)

Формула (11.17) представляет собой теорему об изменении момента импульса системы материальных точек: производная по времени от момента импульса системы материальных точек относительно произвольной точки равна

72

моменту всех внешних сил, действующих на систему, относительно той же точки. Если ,0=внM

rто

constL =r

. (11.18) Выражение (11.18) выражает закон сохранения

момента импульса системы материальных точек: если моменты всех внешних сил, действующих на систему, равны нулю, то момент импульса системы не изменяется со временем.

В механике постулируется, что пространство является однородным и изотропным. Вследствие изотропности пространства механические свойства замкнутой системы остаются неизменными при ее повороте в пространстве как целого. Следовательно, поворот является операцией симметрии, и согласно теореме Нетер, ей соответствует закон сохранения какой-то физической величины. В аналитической механике доказывается, что такой физической величиной является момент импульса механической изолированной системы. Таким образом, закон (11.18), выведенный в этом параграфе на основе классических механических законов, является следствием свойства изотропности пространства, а поэтому является фундаментальным законом природы.

§12. Теорема об изменении и закон сохранения механической энергии

12.1. Кинетическая энергия системы материальных

точек Рассмотрим общий случай, когда на каждую

материальную точку системы действуют результирующая всех консервативных и стационарных внешних вн

kFr

, и

внутренних сил внутkFr

, а также результирующая

неконсервативных сил нкkFr

. Под действием указанных сил материальная точка массы km за промежуток времени dt перемещается относительно системы отсчета К (рис. 2.5) на

73

krdr . Запишем элементарную механическую работу, совершаемую всеми выше – перечисленными силами, действующими на каждую материальную точку (смотри (7.1)),

,kkkнк

kkвнут

kkвн

kk rdFrdFrdFrdFA rrrrrrrr=++=δ

где нк

kвнут

kвн

kk FFFFrrrr

++= , (12.1) и на всю систему:

.1 1 11

∑ ∑ ∑∑= = ==

=++=N

k

N

k

N

kkkk

nckk

внутk

N

kk

внk rdFrdFrdFrdFA rrrrrrrr

δ (12.2)

Элементарная работа Aδ равна дифференциалу от кинетической энергии кdW системы (смотри (8.4)):

∑ ∑= =

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

N

k

N

kк

kkk dWmdrdFA

1 1

2

2vrr

δ , (12.3)

где кинетическая энергия Wк системы равна сумме кинетических энергий всех материальных точек системы:

.2v

1

2

∑=

=N

k

kkк

mW (12.4)

Анализируя первое равенство (12.2), заключаем: первое слагаемое представляет собой элементарную работу внешних консервативных сил

∑=

=N

kk

внk

вн rdFdA1

rr, (12.5)

второе – элементарную работу внутренних консервативных сил

∑=

=N

kk

внутk

внут rdFdA1

rr, (12.6)

а третье – элементарную работу неконсервативных сил

k

N

k

нкk

нк rdFА rr∑

=

=1

δ . (12.7)

Подставим (12.3), (12.5) – (12.7) в (12.2) и получим:

74

нквнутвнk AdAdAWd δ++= . (12.8)

Дифференциал кинетической энергии системы материальных точек равен сумме элементарных механических работ внешних консервативных, внутренних консервативных и неконсервативных сил.

После интегрирования выражения (12.8) в пределах, соответствующих начальному 1 и конечному 2 состояниям, получим теорему об изменении кинетической энергии системы материальных точек:

∫∫∫ ++=∆2

1

2

1

2

1

нквнутвнc dAdAdAW . (12.8΄)

Изменение кинетической энергии системы материальных точек равно сумме механических работ, совершаемых всеми внешними и внутренними силами за соответствующий промежуток времени. Сравнивая эту теорему с теоремами об изменении других физических величин, замечаем, что только в теореме об изменении кинетической энергии фигурируют как внешние, так и внутренние силы.

Для любой материальной точки системы можно записать соотношение (рис. 2.5): ckk rrr rrr

+= ' , где ', kk rrr - радиус-векторы материальной точки относительно систем отсчета K и 'K соответственно; cr

r - радиус-вектор центра масс системы в системе отсчета K . После дифференцирования получим:

,'

dtrd

dtrd

dtrd ckk

rrr

+= т.е. ckk

→→→

+= v'vv .

Это выражение подставим в (12.4):

=++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ∑∑∑∑

=

→→→

==

→→→

=

N

kc

kck

N

kk

N

k

kck

N

k

kк

mmmmW1

2

11

22

1v

2v'v

2)'v(v'v

2

,v2

'v2

)(v1 1

22,

k∑ ∑= =

→

++=N

k

N

kc

kc

k mPm r (12.9)

75

где ', kk vv - скорости материальной точки относительно систем отсчета K и 'K соответственно; cv - скорость центра

масс системы в системе отсчета K ; '1

PmN

kk

rr=′∑

=kv - импульс

системы в системе отсчета 'K . Согласно (10.3) .0' =Pr

Отсюда приходим к равенству

,2v

2v

2v 2

'

1 1

2'c

к

N

k

N

kk

ckkк

mWmmW +=+= ∑ ∑= =

(12.10)

Согласно которому кинетическая энергия системы материальных точек относительно любой инерционной системы отсчета состоит из двух слагаемых: кинетической энергии материальных точек в системе отсчета, связанной с

центром масс ∑=

=N

k

kkк

mW

1

2''

2v

, и кинетической энергии

движения центра масс системы 2

2cmv .

12.2.Теорема об изменении и закон сохранения

механической энергии Применяя теорему об изменении потенциальной энергии

(8.6) для элементарных работ внешних (12.5) и внутренних консервативных (12.6) сил, получим, что они равны дифференциалам, взятым с обратным знаком, потенциальных энергий системы в поле внешних и внутренних сил соответственно:

внп

вн dWdA −= , (12.11) внутп

внут dWdA −= . (12.12) Теперь выражение (12.8) примет вид:

,нквнутп

внпк AdWdWdW δ=++

( ) .нквнутп

внпк AWWWd δ=++ (12.13)

Сумма

76

,мвнутп

внпк WdWdWW =++ (12.14)

называется полной механической энергией системы материальных точек. Следовательно, теорема об изменении полной механической энергии системы материальных точек в дифференциальной форме имеет вид:

нкм AdW δ= . (12.15)

Дифференциал полной механической энергии системы материальных точек равен элементарной работе всех неконсервативных сил, действующих на систему. После интегрирования (12.15) в пределах, соответствующих начальному 1 и конечному 2 состояниям, получим эту теорему в интегральной форме:

.1212нк

ммм AWWW =−=∆ (12.15΄) Изменение полной механической энергии системы равно

работе всех неконсервативных сил, действующих на систему. Напомним, что рассматриваются только стационарные внешние консервативные силы.

Согласно (12.15) и (12.15΄) работа неконсервативных сил (например, сил трения), будучи всегда отрицательной, уменьшает механическую энергию системы и называется диссипативной. В процессе диссипации имеет место превращение механической энергии системы в другие виды энергии с соблюдением универсального закона сохранения энергии.

Система материальных точек называется консервативной, если работа неконсервативных сил, действующих на систему, равна нулю (внешние консервативные силы являются стационарными). Для консервативной системы 0=нкAδ и из (12.15) следует:

constWdW мм == ;0 . (12.16) Выражение (12.16) представляет собой закон

сохранения полной механической энергии: полная механическая энергия консервативной системы постоянна во

77

времени. В частности, постоянна во времени механическая энергия замкнутой консервативной системы.

Фундаментальные законы сохранения механической энергии и импульса системы материальных точек имеют широкое применение, например, при рассмотрении столкновений тел и установлении условий равновесия системы материальных точек.

В механике время считается однородным, это означает, что законы движения механической системы не зависят от выбора начала отсчета времени, т. е. инвариантны по отношению к переносу системы во времени. В аналитической механике доказывается, что перенос во времени – это операция симметрии, которой соответствует закон сохранения. Применяя метод, развитый Нетером, получают закон сохранения механической энергии механической консервативной системы.

Приложение. Примеры решения задач Задача 1

Через неподвижный блок перекинута нить, к концам которой привязаны два груза массами 1m и 2m . Пренебрегая массами блока и нити, а также трением, определить ускорение центра масс системы.

Решение Известно, что центр масс системы

тел движется как материальная точка, масса которой равна общей массе системы под действием результирующей всех внешних сил, действующих на систему. Поэтому для системы, образованной двумя телами m1 и m2, можно записать

(m1+m2)ac=G2+G1-2T, где G1=m1g, G2=m2g, а T – сила натяжения

нити, которую следует определить. Для этого запишем второй закон Ньютона для каждого тела.

m2g-T=m2 a, T-m1g=m1a.

78

Решая эту систему уравнений, получим

21

212mm

gmmT+

= .

Подставив этот результат в закон движения центра масс, определим ac.

21

212121

4)()(mm

gmmmmgamm c +−+=+ , 2

21

221

)()(

mmmmgac +

−= .

Задача 2

Две одинаковые тележки массой M каждая движутся одна за другой с одинаковой скоростью 0v . На задней тележке находится человек массой m. Человек прыгает на переднюю тележку, имея в момент падения скорость u относительно заданной тележки. Определить скорости тележек после прыжка человека.

Решение Будем считать, что после прыжка человека скорость

тележек равны 1v для задней и 2v для передней и что обе скорости направлены, как 0v и u . В отсутствие внешних сил в направлении движения тел выполняется закон сохранения импульса. Запишем этот закон для системы, образованной задней тележкой и человеком, в системе отсчета, связанной с поверхностью, по которой движутся тела.

110 v)v(v)( MumMm ++=+ , откуда

mM

mu+

−= 01 vv .

Запишем закон сохранения импульса для системы, образованной передней тележкой и человеком, в той же системе отсчета.

210 v)()v(v mMumM +=++ , откуда

79

mMumM

+++

=)v(vv 10

2 .

Подставим в последнее равенство выражение для 1v . Получим:

2 0 2v v( )

mM uM m

= ++

.

Задача 3 Дан конический маятник со следующими

характеристиками: шарик массой m, длина нити l, раскрытие угла конуса 2α .

Определить момент импульса шарика относительно центра c окружности, которую он описывает, а также изменение момента импульса шарика относительно точки подвеса О, за единицу времени.

Решение При равномерном вращении

шарика по окружности радиуса r результирующая сила, действующая на него, является, центростремительной силой F .

FgmT =+ .

Поскольку rmF 2ω−= (ω - угловая скорость), момент этой силы относительно центра c равен нулю.

0)( 2 =−×=×= rmrFrM c ω , а момент импульса шарика относительно этой же точки есть величина постоянная

constLdtLdM c

cc === ,0 .

В соответствии с определением (11.5), найдем cL

80

2rmmmrLc ω==×= vrv , )1),(sin( =rv .

Поскольку ,22

gr

mgrm

mgFtg ωωα === определим ω и cL

r

,cossin αα

ααωl

gl

tggrtgg

===

αα

αα

23

2 sincos

)sin(cos

⋅==glml

lgmLc .

Изменение момента импульса относительно точки О за единицу времени равно моменту силы тяжести относительно этой точки, момент силы T относительно этой точки равен

нулю. αsin00 mglM

dtLd

== .

Задача 4 Шарик массой m, привязанный к концу нити длиной r0,

вращается равномерно со скоростью v0, опираясь на гладкую горизонтальную плоскость. Нить укорачивают, и шарик приближается к оси вращения до расстояния r. С какой скоростью будет при этом вращаться шарик, и какую работу совершит внешняя сила, укорачивающая нить?

Решение Нить укорачивается под действием силы, проходящей

через неподвижный центр окружности, описываемой шариком, поэтому момент этой силы относительно центра равен нулю. Следовательно, момент импульса шарика сохраняется

mv0r0=mvr, откуда

rr00v

v = .

Теорема об изменении кинетической энергии позволяет вычислить работу по укорачиванию нити,

81

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−=∆= 1v

21v

21v

21 2

0220

2

rrmmmWA к .

Задача 5 Одно тело сталкивается с другим телом такой же

массы, находящимся в покое. Показать, что угол, образованный направлением скоростей тел после столкновения равен π/2, если удар абсолютно упругий, отличается от π/2, если удар неупругий.

Решение Обозначим через α1 и α2 углы между направлениями

скоростей тел после удара и направлением начальной скорости первого тела соответственно. Закон сохранения импульса в проекциях на указанные оси запишется:

m1v1=m1u1 cos α1 + m2u2 cos α2

0= m1u1 sin α1- m2u2 sin α2 Возведя в квадрат и сложив эти два уравнения, получим:

m1 2v1

2=m1 2u1

2 + m2

2u22+2 m1 m2 u1 u2 cos α1 cos α2-

2 m1 m2 u1 u2 sinα1 sin α2 m1

2v 1 2= m1

2u12

+ m2 2u2

2+2 m1 m2 u1 u2 cos( α1 +α2) где были использованы известные тригонометрические

соотношения: 1sincos 22 =+ αα , βαβαβα sinsincoscos)cos( -=+ .

Принимая во внимания, что m1=m2, получим

21

22

21

21

21 2)()cos(

uuuu +−

=+vαα .

а) В случае абсолютно упругого удара выполняется закон сохранения кинетической энергии:

82

222

222

211

211 umumm

+=v ,

откуда 22

21 uu +=2

1v şi 0)cos( 21 =+αα . Deci 221παα =+ .

b) В случае неупругого удара 22

21 uu +=/1v и

0)cos( 21 =/+ αα , т. е. 221παα =/+ .

83

Контрольные вопросы 1. Сформулировать закон движения центра масс системы материальных точек. Как движется центр масс замкнутой системы?

2. При каких условиях и относительно каких систем отсчета справедливы утверждения: a) импульс произвольной системы материальных точек равен нулю; b) импульс произвольной системы материальных точек сохраняется?

3. Дать определение вектора момента силы и вектора момента импульса относительно точки. Указать условия, при которых каждый из этих векторов: a) максимален по модулю; b) равен нулю.

4. Доказать, что плоскость движения материальной точки, на которую действует центральная сила, сохраняется.

5. Сформулировать законы сохранения: а) момента импульса; b) полной механической энергии системы материальных точек. Какой из этих законов выполняется, если система замкнута? Почему вышеупомянутые законы, в частности закон сохранения импульса, выведенные в рамках классической механики, являются фундаментальными законами природы?

84

***Динамика вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг

неподвижной оси Абсолютно твердое тело представляет собой систему

материальных точек, расположенных друг относительно друга на неизменных расстояниях, а это означает, что механическая работа внутренних сил равна нулю; потенциальная энергия взаимодействия между материальными точками твердого тела постоянна во времени и не зависит от состояния движения тела как целого; все определения физических величин и все теоремы для систем материальных точек, сформулированные в §§9-12, применимы к абсолютно твердому телу.

§13. Момент импульса твердого тела. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно

неподвижной оси

13.1. Момент импульса твердого тела Под действием результирующего момента всех внешних

сил твердое тело в общем случае совершает переменное вращательное движение вокруг неподвижной или свободной оси. В дальнейшем будем рассматривать случай вращения твердого тела относительно неподвижной оси (смотри §5.2.), когда каждая точка тела описывает в плоскости, перпендикулярной оси вращения, окружность радиуса kR , представляющего собой расстояние от рассматриваемой материальной точки до оси вращения.

Линейная скорость каждой к-ой материальной точки вычисляется согласно соотношениям (5.1) и (5.2), т.е.:

;sin⎪⎭

⎪⎬

⎫

×===

rv

v

kk

k

rvr ωβ

ω

kkk

k

rRR

(13.1)

85

импульс ее равен kkk mP vr=→

, а момент импульса относительно начала координат O (рис. 2.8) определится выражением (11.5):

.

2)v,(,v

,vrv

kk

kk

⎪⎭

⎪⎬⎫

=∠=

×=×=×=πrr

rrrrrrr

kkkk

kkkkkkk

rmrL

mmrPrL (13.2)

Вектор kLr

перпендикулярен плоскости, образованной векторами kr

r и kvr и описывает во время движения

материальной точки конусоидальную поверхность с плоскостью основания, перпендикулярной оси вращения (рис. 2.8). Проекция kL

r на ось z (рис. 2.8) e:

Рис. 2.8

,)sin(

sinv)2

cos(v

2

kk

ωωβ

ββπ

kkkkkk

kkkkkkzk

RmRrm

rmrmL

==

==−= (13.2)

( kk rL rr⊥ , следовательно, угол между kL

r и осью oz равен

kβπ −2 ), если использовать первое и второе равенство из

(13.1). Момент импульса твердого тела →

L представляет

kβ

O R mkrr

kvrkβπ

−2

kLr

kzL

X

Y

Z

86

собой векторную сумму моментов импульсов всех материальных точек тела (§11.2, формул 11.1). В общем случае L

r не пареллелен оси вращения, поскольку ни один из

векторов kLr

не обладает таким свойством, однако имеет проекцию на нее, вычисляемую согласно соотношению:

2 2

1 1 1,

N N N

z k z k k k kk k k

L L m R m Rω ω= = =

= = =∑ ∑ ∑ (13.4)

которая называется моментом импульса твердого тела относительно рассматриваемой оси.

Физическая величина 2

1,

N

k kk

I m R=

= ∑ (13.5)

называется моментом инерции твердого тела относительно оси вращения. Согласно (13.5) момент инерции твердого тела зависит от его массы и от ее распределения относительно оси вращения. Значит, невозможно вычислить момент инерции тела без указания оси вращения. Подставляя (13.5) в (13.4), получим

.zL Iω= (13.6) Момент импульса твердого тела при вращении вокруг

неподвижной оси равен произведению его момента инерции относительно этой оси на угловую скорость. Для любого твердого тела существует как минимум три оси вращения, называемые главными осями инерции, относительно которых момент импульса тела L

r параллелен им. Относительно этих

осей соотношение (13.6) можно записать в векторном виде: .L Iω=

r r . (13.7) 13.2. Основной закон вращательного движения твердого

тела относительно неподвижной оси Применим теорему об изменении момента импульса

(11.17) для вращательного движения твердого тела вокруг одной из главных осей инерции

87

внMdtLd rr

= . (13.8)

Подставляя (13.7) в (13.8) и принимая во внимание, что constI = , получим:

( ) внz MIdtId

dtLd rr

rr

=== εω . (13.9)

Результирующий момент всех внешних сил применительно к твердому телу еще называется вращающим моментом. Тогда согласно второму равенству из закона (13.9), вращающий момент относительно главной оси инерции равен произведению момента инерции твердого тела относительно этой оси на его угловое ускорение.

Если ось вращения не является главной осью инерции, векторы L

r и ωr не коллинеарны, и вращение твердого тела

описывается соотношением, которое получается после проектирования (13.9) на направление оси вращения, которую назовем осью оz:

внzz

z MIdt

dL== ε . (13.10)

В (13.10) zL -момент импульса тела относительно оси z, а проекция вращающего момента внM

r на эту ось вн

zM называется вращающим моментом относительно рассматриваемой оси, относительно которой был определен и момент инерции тела zI . Подчеркнем, что значение вн

zM не зависит от положения на оси z точки, относительно которой определяется вектор внM

r. Каждое из соотношений (13.8)-

(13.10) представляет собой, в указанных условиях, основной закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Сравнивая основной закон динамики вращательного движения твердого тела (13.8)-(13.10) с основным законом динамики материальной точки (6.1)-(6.21), можно увидеть аналогию, заключающуюся в следующем: роль массы m ,

88

линейной скорости vr , линейного ускорения →

a , импульса Pv

и результирующей силы F

r из основного закона

поступательного движения выполняют соответственно момент инерции I , угловая скорость ω

r , угловое ускорение εr , момент импульса L

r и вращающий момент внM

rв основном

законе вращательного движения. Эту аналогию мы обнаружили и в §§ 14-16.

Согласно (13.8) твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянным моментом импульса, если вращающий момент или его проекция на ось вращения равны нулю, 0=внM

r или 0=вн

zM . Этот разультат представляет собой закон сохранения момента импульса твердого тела:

;stncoIL rrr== ω constLz = . (13.11)

Закон (13.11) можно распространить на систему тел. Рассмотрим изолированную систему, образованную из нескольких частей твердого тела, взаимное положение которых меняется в процессе движения. В результате меняется и момент инерции системы. Как следует из закона (13.11), произведение ωI остается постоянным, но увеличение момента инерции ведет к уменьшению угловой скорости и наоборот.

§14. Момент инерции твердого тела. Теорема Штейнера

Тело произвольной формы, являясь непрерывной и

ограниченной средой, характеризуется плотностью ρ .

,dmdV

ρ = (14.1)

где dm – масса элементарного объема dV, все материальные точки которого расположены на одном и том же расстоянии r от оси вращения. В этих условиях выражение (13.5) принимает вид:

89

∫=V

dVrI0

2ρ , (14.2)

или

∫=V

dVrI0

2ρ , (14.2´)

если тело однородно ( const=ρ ). Соотношения (14.2) и (14.2’) позволяют относительно просто вычислять моменты инерции для тел правильной геометрической формы.

Пример. Вычислим момент инерции однородного диска относительно оси, проходящей через его центр массы перпендикулярно плоскости диска (рис. 2.9).

Рис. 2.9 Рис. 2.10

Разделим мысленно диск на концентрические кольцевые слои бесконечно малой толщины dr таким образом, что все точки одного слоя эквидистантны относительно оси вращения. Объем такого слоя rdrbdV π2= подставим в

( '2.14 ): 4

224

0

3

0

2 RbdrrbdVrI

RVρπρπρ === ∫∫ .

Поскольку масса диска 2RbVm πρ=⋅ρ= , то момент

инерции диска равен: 2

.2

mRI = (14.3)

В этом примере вычисление момента инерции было довольно простым, так как рассмотренное тело однородно и симметрично относительно оси вращения. Если ось вращения

90

не является осью симметрии (например, ось ОО' на рис. 2.9), вычисление интеграла ( '2.14 ) намного сложнее. В таком случае определение момента инерции упрощается, если применить теорему Штейнера:

,2' amII coo

+= (14.4)

где 'ooI -момент инерции тела относительно произвольной оси

вращения 'OO ; Ic-момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной оси вращения; m -масса тела; a -расстояние между осями.

Докажем эту теорему, рассматривая тело произвольной формы (рис. 2.10), для которого укажем две системы координат с параллельными осями. Система xyz с началом в центре масс C тела и система ''' zyx с началом в точке O', расположенной на расстоянии a от центра масс C вдоль оси x. На рис. 2.10 параллельные оси z и z' перпендикулярны плоскости листа. Координаты произвольного элементарного объема массой km∆ , определенные относительно обеих систем координат, связаны между собой соотношениями:

., ''kkkk yyxax =+=

Из рис 2.10 видно, что: ( ) .)()()(, 22222222

kkkkkkkk yxayxryxr ++=′+′=′+= (14.5) Подставив (14.5) в определение (13.5), получим

выражение для момента инерции тела относительно оси cz (проходящей через центр масс вдоль оси oz)

( )∑∑==

∆+=∆=N

kkkk

N

kkkC myxmrI

1

22

1

2 , (14.6)

и относительно оси zo ′′

( )∑ ∑= =

=∆++=∆′=N

kk

N

kkkkk myxamrI

1 1

222 ][)(

( ) .211 1

222 ∑∑ ∑== =

∆+∆+∆+=N

kkk

N

k

N

kkkkk mxamamyx (14.7)

91

Центр масс C является началом системы xyz , поэтому

0=Cx . А так как k

N

kkc mx

mx ∆= ∑

=1

1 , то последнее слагаемое в

правой части равенства (14.7) равно нулю. Первое слагаемое в правой части (14.7) согласно (14.6) равно cI , а второе – равно

2ma . Окончательно выражение (14.7) преобразуется в: 2maII C +=

и теорема Штейнера доказана. В таблице 2.1 приведены моменты инерции нескольких симметричных тел относительно осей вращения.

§15. Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг

неподвижной оси. Каждая материальная точка массой km обладает линейной скоростью kvr , которая различна для

разных точек: ∑=

=n

k

kkк

mW1

2

2v . (15.1)

Подставляя последовательно первое соотношение из (13.1) и (13.5) в выражение (15.1), получим:

∑∑==

===n

kkk

n

kkkк

IRmmW1

222

1

2

221v

21 ωω . (15.2)

Выражение 2

2ωIWк = справедливо для кинетической

энергии твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси независимо от того, является ли эта ось главной осью инерции или нет.

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг оси, проходящей через его центр масс, и одновременно

92

совершающего поступательное движение, состоит из двух

частей 22

v 22 ωImWк += . (15.3)

Слагаемое 2v2m представляет собой кинетическую

энергию поступательного движения центра тела (в котором

сосредоточена вся масса m тела), а −2

2ωcI энергия

вращательного движения тело, cI -его момент инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс.

§16. Работа внешних сил, действующих на твердое тело при вращательном движении

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг оси z .

Материальная точка km , на которую действует внешняя сила

kFr

, совершает за время dt путь kds ,ϕdRds kk = (16.1)

где ϕd - угол поворота тела за указанное время, −kR расстояние от материальной точки km до оси вращения.

Момент силы kFr

относительно оси z определяется проекцией силы на направление перемещения (т.е. на направление единичного вектораτr ), обозначенной kFτ . Другие проекции

силы −kFr

одна параллельна оси z, а другая −kR имеет нулевые моменты относительно оси z. Следовательно,

.kkzk RFM τ= (16.2) Таблица 1

№ Тело и ось вращения I

93

1

Сплошной цилиндр

2

2mR

124

22 mlmR+

2 Параллелепипед

( )12

22 bam +

3

Прямоугольная пластина ( )12

22 bam +

12

2mb

4 Тонкий стержень 12

2ml

5

Тонкий диск

2

2mR

4

2mR

6 Цилиндрическое кольцо

2mR

7 Сплошной шар

5

2 2mR

Элементарная механическая работа силы →

kF равна:

kkkkk dsFrdFA τδ ==→→

, .)cos,( ατ kkkk FFdsrd ==r

l

R

R l/2l/2

cab

a

b

b

a

R l/2l/2

R

R

R

R

94

Рис. 2.11

Подставляя последовательно соотношения (16.1) и (16.2) в последнее равенство, получим формулу для вычисления элементарной работы, совершаемой силой kF

r при повороте

тела на угол ϕd :

.ϕϕδ τ dMdRFA kzkkk == (16.3) При вращении твердого тела на него может действовать

несколько внешних сил, суммарная элементарная работа которых равна

.11

ϕϕδδ dMMdAA z

N

kkz

N

kk === ∑∑

==

(16.4)

В выражении (16.4) zM представляет собой суммарный вращающий момент всех внешних сил относительно оси z. Работа, совершаемая всеми внешними силами за произвольный конечный интервал времени определится интегрированием выражения (16.4):

.0

12

2

1

dtMdMAt

zz ωϕϕ

ϕ∫∫ == (16.5)

Если constM z = , то

.2

1

12 ϕϕϕ

ϕ

∆== ∫ zz MdMA (16.6)

95

Подчеркнем, что работа внешних сил равна изменению кинетической энергии тела

кdWА =δ . Подставляя (15.2) и (16.4) в это равенство, после

необходимых преобразований, получим основной закон вращательного движения .εzz IM = .

Как уже было сказано, существует очевидная аналогия между физическими величинами, которые характеризуют поступательное и вращательное движение твердых тел. В таблице 2.2 представлено сравнение между соответствующими физическими величинами.

Таблица 2.2 Прямолинейное движение Вращательные движения

Масса m (kг) Момент инерции ( )2мkгI ⋅

Расстояние rr∆ (м) Угол поворота ( )радϕr

Скорость dt

rd=vr (м/с) Угловая скорость ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

srad

dtdϕωr

Ускорение dt

da v=

r (м/с2) Угловое ускорение ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 2срад

dtdωε

Сила Fr

(Н) Момент силы ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅×= 2

2

смkгFrM

Импульс vrr

mP = (kгм/с) Момент импульса ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=

смkгIL

2

ω

Механическая работа rdFdA rr

= (Дж) Механическая работа

ϕdMdA z= (Дж) Кинетическая энергия

2 v2mWк = (Дж)

Кинетическая энергия

2

2ωIWк = (Дж)

Приложение. Примеры решения задач Задача 1

96

Два маленьких шарика массами гm 1001 = и гm 2002 = закреплены на тонком невесомом стержне длиной смl 50= . Система вращается с угловой скоростью cрад /3=ω вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс системы. Вычислить импульс, кинетическую энергию, момент импульса системы.

Решение Как видно из рисунка, х-ая координата центра масс

системы определяется из соотношения

Omm

mlmlX C =++−

=21

2211 .

Запишем систему уравнений, которая следует из этого соотношения и условия задачи

⎩⎨⎧

=+=

lllmlml

21

2211 ,

из которой следует

.,21

12

21

21 mm

lmlmmlml

+=

+=

Импульс системы представляет собой векторную сумму импульсов шариков

21 PPP += . Согласно (10.3) эта сумма равна нулю. В самом деле,

проекция этого равенства на ось ох запишется 0)( 112212 =−=−= lmlmPPP ω .

Было использовано соотношение lω=v . Кинетическая энергия шариков, рассматриваемых как материальные точки,

равна 2

2ωIWк = , где I – момент инерции 2mrI = , а момент

импульса ωIL =

97

,1075)(22

)(22

3

21

2221

2222

211

22

21 Дж

mmlmmlmlmIIWк

−⋅=+

=+=+=ωωωω

смkг

mmlmmlmlmIL

22

21

2212

222

11 105)( ⋅⋅=

+=+== −ωωω .

Задача 2 Цилиндрический диск массой kгm 21 = и диаметром

мd 21 = вращается с угловой скоростью срад100 =ω

относительно его оси симметрии. В некоторый момент времени диск сцепляется ременной передачей с другим диском массой kгm 12 = и диаметром мd 12 = , находящимся в покое. Вычислить угловые скорости 1ω и 2ω дисков после сцепления.

Решение Из условия задачи следует, что для системы,

образованной двумя дисками (массой ремня передачи будем пренебрегать) выполняется закон сохранения момента импульса 221101 ωωω III += . где 1I и 2I - моменты инерции дисков. Поскольку все точки ремня передачи движутся с одной и той же скоростью, все крайние точки на обоих сцепленных дисках имеют ту же

скорость 221121 vv rrили ωω == , где 2

,2

22

11

drdr == .

Получаем систему уравнений, из решения которой следует

1221

112

1221

2101 ,

rIrIrI

rIrIrI

+=

+= ωωω .

Моменты инерции дисков, вращающихся относительно своих осей симметрии, равны

2,

2

222

2

211

1rmIrmI == .

Подставив эти выражения, получим

98

срад

rmrmrm 8

2211

1101 =

+= ωω ,

срад

rmrmrrm 16

)( 22112

211

02 =+

= ωω .

Задача 3

Человек (рассматриваемый как материальная точка) массой 1m находится на краю горизонтального однородного диска, который может свободно вращаться вокруг своей вертикальной оси симметрии. Масса диска 2m , радиус R . Человек начинает перемещаться по краю диска. Процесс перемещения длится до тех пор, пока человек не совершит поворот относительно диска на угол 1ϕ . Скорость его изменяется по закону )(v1 t . Определить угол, на который повернется диск и момент силы относительно оси вращения, с которой человек действует на диск во время движения.

Решение На систему человек – диск не действуют вращающие

моменты внешних сил, поэтому момент импульса этой системы остается постоянным

constLLL =+= 21 . В начальный момент времени человек и диск находятся в

покое, следовательно, 0=const . Это означает, что диск и человек будут двигаться в противоположных направлениях, а

21 LL = , где ),( 212

1111 ωωω −== RmIL ( 1ω - угловая скорость человека относительно диска, 2ω - угловая скорость диска относительно пола, )( 21 ωω − - угловая скорость человека

относительно пола), 2

22

222 2ωω RmIL == .

Подставим dt

ddt

d 22

11 , ϕωϕω == , где 2ϕd - угол поворота

диска, получим t

Rmt

Rm 22

22121 2

ϕϕϕ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − .

99

После сокращения на dt, разделения переменных и интегрирования в пределах от 0 до 1ϕ и от 0 до 2ϕ

соответственно, получим 112

12 2

2 ϕϕmm

m+

= .

Согласно основному закону вращательного движения твердого тела вращающий момент, с которым человек действует на диск, равен

εε2

22

2RmIM == .

Определим угловое ускорение ε диска, взяв вторую производную от угла поворота

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=== 112

1

12

12

2

22

22

22

22 ωϕϕωε

mmm

dtd

mmm

dtd

dtd

dtd

,v)2(

2v2

2 1

12

11

12

1

dtd

Rmmm

Rmmm

dtd

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

.v2

v)2(

22

1

12

211

12

12

2

dtd

mmmm

dtd

RmmmRmM ⋅

+==⋅

+⋅=

Задача 4

Катушка образована двумя однородными дисками (каждый массой M и радиусом R ) и цилиндром между ними (радиусом r и пренебрежимо малой массой). Нить, намотанная на цилиндр, привязана к потолку. Катушка отпускается в тот момент, когда находится на расстоянии D от потолка. Определить ускорение движения центра масс катушки.

Решение На катушку, а значит и на ее

центр масс, действуют сила тяжести и сила натяжения нити, направленные вертикально вниз и вверх

100

соответственно. Когда горизонтальная составляющая этих сил равна нулю, то есть угол между вертикалью и нитью равен нулю, катушка не колеблется. Ее центр масс перемещается прямолинейно и равноускоренно, а катушка совершает поступательно-вращательное движение.

Запишем основной закон поступательного движения TMgMa −= 22

и вращательного движения ,TrI =ε

где 22

22 MRMRI == - момент инерции катушки относительно

оси, проходящей через ее центр массы, ra

=ε - угловое

ускорение, Tr - вращающий момент силы натяжения )1),((sin =∠ rT . Исключив T из уравнений движения,

получим: 22

2

22

rRgra

+= .

Задача 5

Шарику, который может катится без скольжения вверх по наклонной плоскости с углом наклона °= 30α , сообщили начальную скорость см /10v0 = , коэффициент

трения качения 10

3=µ . Определить ускорение центра масс

шарика при подъеме и спуске.

Решение Шарик совершает поступательныо - вращательное движение, его начальная механическая энергия равна

22v 22

0 ωIm+ , где 2

52 mRI = -

101

момент инерции шарика относительно оси, проходящей через центр масс. При подъеме часть этой энергии преобразуется в потенциальную энергию αsinmgl , где l - расстояние вдоль наклонной плоскости, пройденное шариком при подъеме. Другая часть начальной кинетической энергии превратится в результате работы силы трения во внутреннюю энергию

αµµ cosmglNllFтр ==⋅ . Закон сохранения энергии

запишется: αµαω cossin22

v 20

20 mglmglIm

+=+ .

Подставляя выражения для I , угловой скорости

R0

0v

=ω , расстояния na

l2v2

0= , где na - ускорение при подъеме,

получим: 2/64.47/)cos(sin5 смgan =+= αµα При спуске по наклонной плоскости потенциальная

энергия частично превращается в кинетическую энергию вращательного и поступательного движения, другая часть численно равная работе силы трения, во внутреннюю энергию.

αµωα cos22

vsin22

mglImmgl ++=

Подставляя Ca

l2v2

= , где ca - ускорение при спуске,

2

52 mRI = и

Rv

=ω , получим выражение для ca .

2/5.27

)cos(sin5 смaC =−

=αµα

Заметим, что cn aa = при отсутствии трения.

Задача 6 Цилиндр массой М1=16kг и радиусом R1=0.5м может

вращатся вокруг своей вертикальной оси симметрии. На цилиндр намотана нить, один конец которой привязан к нему.

102

К другому концу нити привязан груз массой kгm 1= . Нить переброшена через неподвижный блок массой М2=2kг и радиусом R1=0.4м. Определить: a) линейное ускорение груза и силы натяжения нити; b) угловые ускорения цилиндра и блока.

Решения

a) Линейное ускорение груза m можно найти, решив систему уравнений, которые представляют собой законы движения тел системы: закон вращательного движения цилиндра 1M , на который действует момент силы 1T

1111 εIRT = ; закон вращательного движения блока М2, на который действуют моменты сил 1T и 2T 221122 εIRTRT =− ;

Закон поступательного движения груза m maTmg =− 2 .

Подставив моменты инерции 2

,2

222

2

211

1RMIRMI == и

соотношения между линейными и угловыми ускорениями

103

22

11 ,

Ra

Ra

== εε , после простых преобразований получим

систему уравнений:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−

=−

=

.

,2

,2

2

212

11

maTmg

aMTT

aMT

Решив систему уравнений, получим

a) ,82

,/12

2

21

11

2

21

НMMm

mgMTсмMMm

mga =++

==++

=

НMMm

MMmgT 92 21

212 =

+++

=

b) ,2 21

1 срад

Ra

==ε .5,2 22

2 срад

Ra

==ε

Контрольные вопросы 1. Дать определения физических величин: a)момента импульса твердого тела относительно точки; b)момента импульса твердого тела относительно оси; c)момента инерции твердого тела. Какие соотношения связывают эти физические величины, определенные относительно: произвольной неподвижной оси? главной оси инерции?

2. Сформулировать основной закон вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

104

3. Пусть момент инерции системы тел при вращении вокруг неподвижной оси растет со временем (из меняются положения тел относительно оси вращения). Что произойдет с угловой скоростью системы?

4. Пусть кольцо скатывается без скольжения с вершины наклонной плоскости. Записать выражения для вычисления кинетической энергии кольца.

5. Сравнить и провести аналогию между физическими величинами, соотношениями и законами, описывающими поступательное и вращательное движения твердого тела.

III. Основы специальной теории относительности

§ 17. Принцип относительности в механике и в классической электродинамике

17.1. Принцип относительности в классической механике

Принцип относительности, сформулированный Галилеем гласит: равномерное и прямолинейное движение

105

инерциальных систем отсчета не влияет на протекание механических процессов в этих системах. Этот принцип постулирует эквивалентность всех инерциальных систем отсчета. Из этого принципа следует, что равномерное и прямолинейное движение инерциальной системы отсчета не может быть обнаружено никаким механическим экспериментом. Другая формулировка принципа относительности – ньютоновская формулировка – основывается на преобразованиях Галилея.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета K и K ′ , начала которых совпадают в момент времени 00 =t . Система K неподвижна, а K ′ перемещается относительно нее со скоростью V

v= const (рис. 3.1). Через tt ′, обозначим время,

измеренное в системах K и K ′ соответственно.

Рис. 3.1. Считается, без доказательства, что расстояние между

двумя точками, измеренное в разных инерциальных системах отсчета, одинаково, то есть абсолютно. Запишем радиус-вектор точки P в системах K и K ′ соответственно.

K K ′ rtVr ′+= vrv tVrr ′−=′

rvv ( rtVr ′+′= vrv ) . (17.1) Следовательно, tt ′= , (17.2)

то есть и время постулируется как абсолютное, независимое от состояния движения инерциальной системы отсчета. Из (17.2) следует абсолютная одновременность событий во всех инерциальных системах отсчета. Выражения (17.1)–(17.2)

106

представляют собой преобразования Галилея, которые могут быть записаны и в скалярной форме:

K K ′

tttVzz

tVyytVxx

z

y

x

′=+′=

+′=+′=

,

tttVzz

tVyytVxx

z

y

x

=′′−=′

′−=′′−=′

(17.3)

После дифференцирования первого равенства (17.1) получим закон сложения скоростей в классической механике

Vdtrd

dtrd rvv

+′

= , Vvvrvr

+′= , (17.4)

прямым следствием которого является абсолютный характер относительной скорости любых двух точек. Таким образом, взаимное положение и относительная скорость двух произвольных материальных точек инвариантны относительно инерциальной системы отсчета, то есть относительно преобразований Галилея (17.1) - (17.3). Следовательно, инвариантны относительно этих преобразований и силы взаимодействия между материальными точками, которые зависят только от взаимного положения и относительной скорости этих точек. После дифференцирования (17.4) получим, что ускорение одинаково в различных инерциальных системах отсчета:

aa ′= vv . Обобщая полученные результаты, приходим к выводу, что законы механики инвариантны относительно преобразований координат и времени при переходе от одной инерциальной системы к другой.

K K ′ ,amF vv

= kiik FFvv

−= ,amF ′′=′ vv kiik FF ′−=′

vv , (17.5)

где mm ′= - масса материальной точки, находящейся под действием силы F

r, соответственно F ′

r)( FF ′=

rr. Таким

образом, принцип относительности Галилея,

107

сформулированный Ньютоном, гласит: законы механики инвариантны относительно преобразований Galilei (17.1)-(17.2).

17.2. Принцип относительности в классической электродинамике

Механический принцип относительности был предметом дискуссии во второй половине XIX века в связи с его распространением на электромагнитные явления. В этот период считалось, что электромагнитные волны, а значит и свет распространяются в упругой среде, называемой эфиром, которая заполняет межпланетную и внутримолекулярную пустоту. Система отсчета, связанная с неподвижным мировым эфиром, рассматривалась как универсальная, абсолютная, относительно которой можно было бы определить абсолютную скорость Земли при движении вокруг Солнца. В своем известном опыте, осуществленном с данной целью, Майкельсон рассмотрел одну систему отсчета, связанную с неподвижным эфиром, а другую – с Землей, в частности с используемым измерительным аппаратом (интерферометр Майкельсона), движущимся относительно эфира со скоростью Vr

. Найти эту скорость из опыта Майкельсона оказалось невозможно. Неполучение ожидаемого результата, то есть опровержение гипотезы существования неподвижного эфира (неподвижной абсолютной системы отсчета) и констатация факта, что скорость света одинакова в обеих указанных системах отсчета, а значит невыполнение закона сложения скоростей классической механики, привели к тому, что результат опыта Майкельсона стал рассматриваться как “отрицательный“. Последующие эксперименты были проведены при различных условиях, с более совершенной аппаратурой, так что справедливость результатов не могла быть подвержена сомнению, однако и последующие результаты были “отрицательными“.

Стало ясно, что совершается ошибка в теоретической интерпретации результатов: принцип относительности

108

Галилея и, в частности закон сложения скоростей (17.4), не применимы к процессам распространения электромагнитных волн. В то же время было установлено, что уравнение электромагнитных волн не инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея. А следовательно, неивариантна и система уравнений Максвелла – основа классической электродинамики – из которых следует уравнение электромагнитных волн.

Противоречия, появившиеся между экспериментальными результатами, классической теорией электромагнетизма и принципом относительности Галилея привели к замене преобразований Галилея другими преобразованиями, относительно которых остаются инвариантными как уравнения, описывающие механические явления, так и уравнения, описывающие электромагнитные явления. Эти новые преобразования были установлены Лоренцом. К моменту их установления преобразования Лоренца были лишены конкретного физического смысла, представляя собой некоторые искуственные соотношения, введенные с целью исключить указанные противоречия.

§18. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца

18.1. Постулаты специальной теории тносительности Трудности, возникшие с применением механического

принципа относительности при изучении электромагнитных явлений, были устранены Эйнштейном, который в 1905г., отказавшись от понятий универсальности эфира, абсолютности пространства и времени, создал основы новой механики, названной релятивистской механикой. Теория, справедливая для инерциальных систем отсчета, названная специальной теорией относительности, базируется на двух постулатах.

Iый постулат: состоит в обобщении принципа относительности Галилея на все физические явления: в любой

109

инерциальной системе отсчета при одних и тех же условиях все физические явления протекают одинаково. Следовательно, все физические законы инвариантны по отношению к инерциальным системам отсчета. Все инерциальные системы отсчета эквивалентны, ни один из физических экспериментов не может установить их состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

IIой постулат: следует непосредственно из результатов опыта Майкельсона, из которого стал очевидным факт, что скорость света в вакууме не зависит от движения источника света, она имеет одинаковое значение с

мc 8103 ⋅=

относительно всех инерциальных систем отсчета, является универсальной физической константой. Таким образом, специальная теория относительности постулирует инвариантность максимальной скорости распространения взаимодействий, равной c , относительно любой инерциальной системы.

Эти два постулата отрицают классические концепции абсолютности времени и пространства, которые находятся в противоречии с ними. Можно привести много примеров указанных противоречий. Проанализируем один из них.

Пусть в момент времени 00 =t , когда начала 0 и 0′ двух инерциальных систем K и K ′ соответственно совпадают, излучается световой импульс (рис. 3.2). Система K ′ перемещается вдоль оси x0 со скоростью constV =

r.

Распространяясь со скоростью c относительно системы K , свет к моменту времени t достигнет поверхность сферы с центром в 0 и радиусом tc . Относительно системы K ′ импульс был излучен в момент 00 =′t , и в момент tt =′ света достигнет поверхности сферы того же радиуса ct , однако с центром в 0′ , находящимся в это момент на расстоянии tV относительно 0 . Таким образом, если считать время абсолютными, приходим к абсурду: импульс света должен

110

достичь одновременно точек, принадлежащих двум поверхностям различных сфер.

18.2. Преобразования Лоренца Формулы преобразований Лоренца, полученные для

сохранения инвариантности уравнений электродинамики относительно инерциальных систем, нашли физическую интерпретацию лишь в рамках специальной теории относительноси, будучи распространенными на все физические явления. Постулаты, положенные в основу специальной теории относительности, позволили получить формулы преобразований Лоренца.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета K и K ′ . Система K ′ перемещается относительно системы K со скоростью constV =

r, совпадающей по направлению с осью

x0 . Между координатами x′ и x некоторой точки существует соотношение, которое должно удовлетворять требованиям:

1.должно быть линейным, так как положению рассматриваемой точки в системе K соответствует единственное положение в системе K ′ ;

2.должно переходить в соответсвующее соотношение преобразований Галилея в случае cV << .

Это соотношение записывается )( tVxx −=′ α . (18.1)

111

В самом деле, соотношение (18.1) линейно и переходит в формулу Галилея для 1=α . Из I-го постулата зависимость x от x′ может быть получена заменой знака V :

)( tVxx ′+′= α . (18.2.) В рассматриваемом случае zzyy =′=′ , . Если

подставить x′ из соотношения (18.1.) в (18.2), получим: [ ]tVtVxx ′+−= )(αα , tVtVxx ′+−= ααα 22 ,

)1( 2αα

α −+=′Vxtt . (18.3)

Если подставить x из (18.2) в (18.1 ), получим:

)1( 2 −′

+′= αα

αVxtt . ( 18.4)

Вывод: tt ′≠ . Уравнения (18.1)–(18.4), удовлетворяющие I-му постулату, содержат неизвестный коэффициент α , который может быть определен, если прибегнуть ко II-му постулату. Предположим, что в момент 000 =′= tt из общего начала координат систем K и K ′ вдоль оси ox начинает распространяться световой сигнал. Согласно II-му постулату скорость сигнала относительно обеих систем одинакова и равна c . Следовательно:

tcx ′=′ , (18.5) tcx = . ( 18.6)

В (18.5) подставим (18.1) и (18.3) и из полученного выражения найдем ,x

)( tVx −α )1( 2αα

α −+=V

xctc ,

Vc

Vc

cV

tc

Vc

Vc

tVcx22 1

1

1

)(

αα−+

+=

−+

+= .

В соответствии с соотношением (18.6) tcx = , следовательно,

112

Vc

Vc

cV

21

1

α−+

+1= ,

2

2

1

1

cV

−=α (18.7)

Подставив это выражение в формулы (18.1), (18.3) и в (18.2), (18.4), прийдем к формулам преобразований Лоренца от K к K′ и, соответственно, от K ′ к K:

K → K′ K ′ → K

2

2

1cV

tVxx−

−=′ ,

2

2

1cV

tVxx−

′+′= ,

zzyy

=′=′

, zzyy′=

′= , (18.8)

2

2

2

1cV

xcVt

t−

−=′ .

2

2

2

1cV

xcVt

t−

′+′= .

В пределе при 0→cV преобразования Лоренца

переходят в преобразования Галилея, подтверждая принцип соответствия: соотношения, которые выражают новую формулировку физических законов содержат предшествующую как частный случай.

Из преобразований Лоренца следует, что пространственные координаты и время протекания события взаимно связаны. При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, также инерциальной и движущейся относительно первой, изменяются как пространственные координаты рассматриваемого события, так и момент времени, ему соответствующий.

Математик H. Минковский ввел понятие четырехмерного пространства, в котором наряду с пространственными координатами zxyxxx === 321 ,,

113

существует и четвертая координата tcix =4 ( 1−=i ), названная временной координатой. В четырехмерном пространстве интервал между двумя событиями, то есть «расстояние» s между двумя точками этого пространства, записывается

( ) ( ) ( ) ( ) =∆+∆+∆+∆= 24

23

22

21

2 xxxxs

( ) ( ) ( ) ( )22222 tczyx ∆−∆+∆+∆= (18.9) и является инвариантным относительно преобразований Лоренца, то есть 22 )(ss ′= ,

( ) ( ) ( ) ( )22222 tczyx ∆−∆+∆+∆ = . ( ) ( ) ( ) ( )22222 tczyx ′∆−′∆+′∆+′∆= . (18.10)

В этом легко убедиться, подставив преобразования (18.8) в соотношение (18.10). Для сравнения вспомним, что расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве записывается

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22223

22

21

2 zyxxxxd ∆+∆+∆=∆+∆+∆= (18.11) и инвариантно относительно преобразований Галилея.

Введение четырехмерного пространства делает очевидным факт, что пространство и время взаимосвязаны. Их изолирование приводит к абсолютности времени и пространства – понятий, справедливых только для скоростей

cV << .

18.3. Кинематические следствия из преобразований Лоренца

Специальная теория относительности произвела концептуальные изменения в кинематике, связанные со следующими двумя аспектами, которые следуют из преобразований Лоренца: пространственно-временные координаты события зависят от инерциальной системы отсчета, то есть относительны; преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея, если cV << .

114

Кинематические следствия из преобразований Лоренца изучаются в лицейском курсе. Поэтому в дальнейшем они будут кратко проанализированы. Будем рассматривать две инерциальные системы K и K′. K′ движется относительно K со скоростью V , направленной вдоль оси x0 .

a) Относительность одновременности двух событий. Последовательность событий.

Рассмотрим два события с пространственно-временными координатами ),,,( 1111 tzyx , ),,,( 2222 tzyx относительно системы K и ),,,( 1111 tzyx ′′′′ , ),,,( 2222 tzyx ′′′′ относительно K′. Определим разность координат этих двух событий

в системе K: в системе K': 12 xxx −=∆ , ,12 yyy −=∆ ,12 xxx ′−′=′∆ 12 yyy ′−′=′∆

12 zzz −=∆ , 12 ttt −=∆ , 12 zzz ′−′=′∆ , .12 ttt ′−′=′∆

Подставив в (18.12) соответствующие перобразования Лоренца (18.8), получим выражения:

K′ → K K → K′

1.

2

2

1cV

tVxx−

′∆+′∆=∆ ,

2

2

1cV

tVxx−

∆−∆=′∆ ,

2. yy ′∆=∆ , (18.13) yy ∆=′∆ , (18.13´) 3. zz ′∆=∆ , zz ∆=′∆ ,

4.

2

2

2

1cV

xcVt

t−

′∆+′∆=∆ .

2

2

2

1cV

xcVt

t−

∆−∆=′∆ .

Пусть в системе K два события происходят в одной и той же точке пространстве, то есть 0=∆x , но не одновременно, 0≠∆t . Тогда из первого соотношения (18.13΄) следует 0≠′∆x , то есть эти два события не происходят в одной и той же точке пространства в других инерциальных системах. Если два события в системе K одновременны

115

0=∆t , но не происходят в одной и той же точке пространства 0≠∆x , то согласно четвертому соотношению (18.13´) 0≠′∆t .

Следовательно, согласно релятивистской теории одновременность также относительна, то есть зависит от выбора инерциальной системы отсчета.

В случае, когда два события одновременны и происходят в одной и той же точке пространства в системе K, то есть

0,0 =∆=∆ tx , из соотношений (18.13) следует 0,0 =′∆=′∆ tx , а значит они одновременны и происходят в одной и той же точке пространства и в системе K′. Это случай абсолютной одновременности.

Видоизменив четвертое соотношение из (18.13΄), получим:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

v1

1

1

1cV

cV

t

cV

tx

cV

t

cV

xcVt

t−

−∆=

−

∆∆

−∆=

−

∆−∆=′∆ , (18.14)

где v =tx

∆∆ - скорость распространения сигнала (скорость

процесса), который переносится из точки с координатой 1x в момент времени 1t (начало процесса) в точку 2x в момент 2t (конец процесса). Скорости из соотношения (18.14)

удовлетворяют неравенствам: 0vcV-1,cV,cv 2 ≥≤< .

Следовательно, последовательность во времени событий не меняется: 1212 , tttt ′>′> , событие следствие происходит позже, чем событие причина. Последовательность событий причина – следствие имеет абсолютный характер.

b) Сокращение длин. Рассмотрим те же инерциальные системы отсчета K и K′.

Покоящийся в системе K´ брусок расположен вдоль оси xo ′′ . Длина бруска в этой системе называется собственной длиной и равна

116

xxxll ′∆=′−′==′ 120 измерение координат концов бруска может быть сделано в различные моменты времени, 0≠′∆t . Относительно системы K брусок движется со скоростью V и имеет длину

,12 xxxl ∆=−= координаты 1x и 2x должны быть обязательно измерены в один и тот же момент времени, 0=∆t . Тогда первое равенство из (18.13´) приводит:

2

2

2

20

11cV

l

cVxlx

−

=

−

∆==′∆ . (18.15)

Очевидно, что 0ll < . (18.16)

Мы получили, что размер тела, в направлении его движения относительно произвольной инерциально системы меньше, чем его собственный размер.

Если бы брусок покоился относительно системы K, аналогично можно получить, что

0lll =<′ . (18.17) Таким образом, в обоих случаях брусок сокращается в

системе отсчета, относительно которой он движется. Из формулы (18.15) следует, что тела не могут иметь скорость

c≥V , так как линейный размер тела стал бы равен нулю, при cV = и мнимым при .cV > c) Сокращение временных промежутков. Рассмотрим событие, которое протекает в точке x′

системы K′. Относительно K′ пространственная координата фиксирована, то есть 0=′∆x , и событие длится в течение промежутка времени, которое называется собственным,

120 tttt ′−′==′∆ . (18.18)

117

В системе K событие начинается в точке 1x в момент времени 1t и заканчивается в точке 2x в момент 2t , то есть продолжается в течет времени

12 ttt −=∆ . Четвертое соотношение из (18.13), в котором в нашем

случае 0=′∆x , приводит к:

2

20

2

2

11cV

t

cVtt

−

=

−

′∆=∆ .

Таким образом, получим, что 0tt >∆ . (18.19)

Если событие происходит в фиксированной точке в системе K ( 0=∆x ) и длительность его в этой системе 0tt =∆ , тогда для его длительности в системе K′ из (18.13΄) получим:

2

20

2

2

11cV

t

cVtt

−

=

−

∆=′∆ ,

0ttt =∆>′∆ . (18.20) Из соотношений (18.18)–(18.20) следует, что

наблюдатель, относительно которого событие происходит в точке, движущейся равномерно и прямолинейно, определяет для длительности события промежуток времени больший (для него время тянется медленнее), чем наблюдатель, относительно которого событие протекает в покоящейся точке и который измеряет собственное время. Иначе говоря, в собственной системе отсчета, время течет быстрее, чем в любой другой инерциальной системе, относительно которой собственная система перемещается. В любой другой инерциальной системе все физические или биологические процессы протекают медленнее, чем в собственной системе.

Явление релятивистского замедления времени было экспериментально подтверждено при регистрации на

118

поверхности Земли элементарных частиц π-мезонов и µ- мезонов. Эти частицы рождаются в верхних слоях атмосферы Земли (≈ 10 ÷20 kм) под действием космического излучения, имеют собственное время жизни ct 9

0 10−≈ и скорость V см /1099,2 8⋅= . Если бы не существовало релятивистского эффекта замедления времени, то относительно наблюдателя на Земле частицы могли бы преодолеть мVt 7000 ≈ . В действительности время жизни частиц относительно земного

наблюдателя: ,1

0

2

20 t

cV

tt >>

−

=∆

поэтому они и достигают поверхности Земли. d) Релятивистский закон сложения скоростей. Пусть материальная точка при движении относительно

систем K и K′, имеет проекции скорости zy v,v,v x и соответственно zy v,v,v ′′′x , определенные следующим образом:

dtdx

=xv , dtdy

=yv , dtdz

=zv ;

tdxd′′

=′xv , tdyd′′

=′yv , tdzd′′

=′zv .

Получим соотношения между этими проекциями, подставив в эти определения преобразования Лоренца в дифференциальной форме:

2

2

1cV

tdVxddx−

′+′= ,

2

2

1cV

dtVdxxd−

−=′ ,

yddy ′= , dyyd =′ , (18.21) zddz ′= , dzzd =′ ,

119

2

2

2

1cV

xdcVtd

dt−

′+′= .

2

2

2

1cV

dxcVdt

td−

−=′ .

Получим проекции скорости относительно системы K , выраженные через проекции скорости относительно системы K ′ , и наоборот,

vcV1

Vv

cVtd

tVdxdvx2

x

2

x

′+

+′=

′+′

′+′=

xd

,

v

cV1

1v

cVtd

1ydv

x2

2

2

y

2

2

2

y

′+

−′=

′+′

−′= c

V

xd

cV

, (18.22)

v

cV1

1v

cVtd

1zdv

x2

2

2

z

2

2

2

z

′+

−′=

′+′

−′= c

V

xd

cV

vcV1

Vv

cVdt

Vdtdxvx2

x

2

x

−

−=

−

−=′

dx

v

cV1

1v

cVtd

1dyv

x2

2

2

y

2

2

2

y

−

−=

−

−=′ c

V

dx

cV

, (18.23)

v

cV1

1v

cVtd

1dzv

x2

2

2

z

2

2

2

z

−

−=

−

−=′ c

V

dx

cV

.

120

Пусть материальная точка движется вдоль оси ox , тогда vv,vv ′=′= xx , 0vvvv zyzy =′=′== . Из формул (18.22)

следует: v

cV1

Vvv

2′+

+′= . (18.24.)

Выражения (18.22), (18.23) и (18.24) представляют закон сложения скоростей в релятивистской механике. Для малых скоростей, c v << , из (18.24) получим Vvv +′= , то есть закон сложения скоростей в классической механике. Световой сигнал, который распространяется со скоростью

cv =′ вдоль оси x′′0 в системе K′, в системе K имеет скорость:

c c

cV1

Vv2

=+

+=

c .

Световой сигнал распространяется с той же скоростью и в системе K, что находится в согласии со вторым постулатом специальной теории относительности. Если и система K′ движется со скоростью cV = , то получим:

c c

cc1

ccv2

=+

+= .

Этот результат говорит о том, что скорость света в вакууме есть предельная скорость, которую невозможно превысить.

§19. Элементы динамики специальной теории относительности

Динамика специальной теории относительности существенно отличается но от классической динамики, что обусловлено изменением как основных кинетических понятий (см. §18), так и таких понятий динамики, как масса, импульс, энергия, сила. Безусловно, универсальные законы сохранения

121

импульcа и энергии, которые являются следствием однородности пространства и времени соответственно, остаются справедливыми, так же как и закон инерции, используемый при определении инерциальной системы. Однако фундаментальный закон классической динамики

dt vrr dmF = , (19.1)

в котором m и Fr

рассматриваются одинаковыми во всех инерциальных системах, не инвариантен по отношению к преобразованиям Лоренца. Понадобилась новая его формулировка в связи с изменением классического понятия массы тела. Изменение продиктовано и экспериментальными результатами: еще в конце XIX века было обнаружено, что масса ускоренных электронов зависит от их скорости.

19.1 Релятивистское изменение массы Для формулировки закона изменения массы тела с

изменением его скорости необходимо определить массу тела в инерциальной системе, относительно которой рассматриваемое тело находится в покое. Это значение массы, называемое собственной массой или массой покоя, есть скалярная величина, неизменяемая относительно рассматриваемой инерциальной системы отсчета.

Зависимость между массой покоя тела 0m и его массой m в системе, относительно которой тело обладает скоростью V , выводится из закона сохранения импульса и релятивистского закона сложения скоростей.

Воспользуемся двумя инерциальными системами отсчета K и K′. Система K′ движется относительно системы K со скоростью V , направленной вдоль положительного направления оси x0 . Рассмотрим две одинаковые частицы с массами покоя 0m , которые неупруго сталкиваются. Относительно K′ до столкновения частицы перемещались одна навстречу другой вдоль оси x′′0 с равными по модулю скоростями V . После столкновения согласно закону

122

сохранения импульса частицы остались в покое относительно системы K′. До столкновения частица, перемещающаяся в положительном направлении оси x0 , имеет массу 1m и скорость v1 относительно системы K, вычисляемую согласно релятивистскому закону сложения скоростей (18.24),

cV1

2V

cV1

Vv

2

2

2

21

+=

+

+=

V , (19.2)

а другая частица обладает относительно системы K скоростью 2v , определяемой по той же формуле

0

cV1

VVv

2

22 =+

−= .

Следовательно, масса второй частицы относительно системы K равна 02 mm = . В системе K закон сохранения импульса запишется:

( )Vmmm 0111v += . (19.3) Подставим (19.2) в (19.3). Получим:

)Vm(m

cV1

2Vm 01

2

21 +=+

,

2

2

2

2

01

1

1

cVcV

mm−

+= .

После подставим (19.2) в выражение ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2

21v1

c получим

тождество:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

21

1

1

1

411v1⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=−

cVcV

cV

Vcc

.

123

Следовательно,

2

21

01

v1c

mm

−

= .

В общем случае, если тело с массой покоя 0m движется относительно инерциальной системы со скоростью v, то его масса относительно этой системы равна:

2

20

v1c

mm−

= . (19.4)

Из этой формулы, называемой релятивистской зависимостью массы от скорости, следует, что масса, как мера инертности тела, тем больше, чем больше скорость тела. Для малых скоростей, v<<c, в согласии с классической механикой 0mm = . С увеличением скорости масса частицы быстро растет со скоростью, стремясь к бесконечности, то есть инертность тела стремиться к бесконечности. Это означает, что ни одно тело не может иметь скорость, большую, чем скорость света в вакууме и даже не может приблизиться к ней, так как потребовалась бы бесконечно большая сила для преодоления инертности тела. В то же время из (19.4) следует, что нет смысла рассматривать массу как меру количества вещества, содержащегося в теле, которое менялось бы при переходе от одной инерциальной системы к другой. Справедливость соотношения (19.4) была подтверждена экспериментально. Например, было измерено экспериментально изменение удельного заряда ускоренных электронов, с увеличением их скорости. Было установлено очень хорошее согласие между соотношением (19.4) и результатами эксперимента.

19.2. Релятивистский импульс. Основной закон релятивистской динамики

После подстановки формулы (19.4) в определение импульса материальной точки получим выражение для

124

импульса материальной точки в релятивистской механике, называемого релятивистским импульсом:

2

20

v1

vv

c

mmP−

==r

rr . (19.5)

Согласно (19.5) релятивистский импульс растет вместе со скоростью не только благодаря скорости, при приближении скорости тела к скорости света в вакууме растет масса тела. Как эксперементальные данные, так и универсальный закон сохранения импульса указывают, что релятивистский импульс изолированной (замкнутой) системы материальных точек сохраняется во времени:

stnco

c

mN

k

k rr

=

−∑

=1

2

2k

v1

v . (19.6)

Изменение релятивистского импульса неизолированной системы за единицу времени равно результирующей всех внешних сил, действующих на систему. Основной закон релятивистской механики, инвариантный относительно преобразований Лоренца, записанный для одной материальной точки в произвольной инерциальной системе отсчета, имеет вид:

Fmdtd rr

=)v( или F

c

mdtd rr

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 2

2

0

v1

v . (19.7)

СилаFr

, действующая на материальную точку, и ее релятивистский импульс (19.5) не инвариантны относительно преобразований Лоренц? Правила преобразования силы и импульса при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой получают из условия инвариантности закона

125

(19.7) и соотношений преобразования времени и скорости материальной точки.

Все силы природы имеют конечную величину и время действия, поэтому согласно (19.7) изменение импульса материальной точки (тела) не может быть бесконечно

большим. В то же время ∞=→

Pr

cvlim , ∞=

→ dtPdr

cvlim .

Следовательно, и из закона (19.7) следует вывод, что скорость тела относительно любой инерциальной систелы не может достигнуть значения, равного скорости света в вакууме. Из этого же закона (19.7) следует равенство

Fdmmdtd rr

rr

=+=dtdmv

dtv)v( ,

Из которого ускорение материальной точки равно:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

dtdmv-F1v rrr

r

mdtda . (19.8)

Из формулы (19.8) следует: в релятивистской механике ускорение материальной точки зависит как от силы F

r,

действующей на нее, так и от изменения со временем ее массы; ускорение направлено также, как и сила F

r, только в

частных случаях, которые будут рассмотрены в §19.3. Пока заметим, что основной закон классической механики следует из законов (19.7), (19.8), если cv << и 0=dm .

В четырех мерном пространстве импульс представляет собой четырехмерный вектор (квадривектор). Физическая величина является четырехмерным вектором, если ее проекции на оси четырехмерного пространства преобразуются согласно преобразованиям Лоренца при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Компоненты квадривектора импульса на указанные оси:

xx =1 ,

2

2x0

1v1

v

c

mP−

= , yx =2 ,

2

2

y02

v1

v

c

mP

−

= ,

126

zx =3 ,

2

2z0

3v1

v

c

mP−

= , tcix =4 ,

2

20

4v1c

cimP−

= . (19.9)

Поскольку в четырехмерном пространстве левая сторона соотношения (19.7) представляет собой квадривектор, то и правая сторона тоже должна быть квадривектором, называемым квадрисила. Компоненты квадрисилы получаются из основного закона (19.7), записанного в проекциях на оси четырехмерного пространства. Представим компоненты квадрисилы только для xx =1 и :4 ctix =

,1 xx = 1

2

2

2

2x0

0 v1v1

v F

c

F

c

mdtd x =

−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

xFc

F

c

mdtd

=−=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−2

2

1

2

2x0 v1v1

v . (19.10)

,4 ctix = ,v1

v

v1

i4

2

2

2

20

0

F

c

Fci

c

cmtdd

=

−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

rr

vv1v1

2

2

4

2

20 rrF

ci

cF

c

cimtd

d=−=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

. (19.10’)

Производные в соотношениях (19.10) - (19.10’) берутся по собственному времени 0t и по времени t относительно произвольной инерциальной системы отсчета. В этих

127

соотношениях 4321 ,,, FFFF представляют собой компоненты квадрисилы. Пространственные компоненты

321 ,, FFF выражены через соответствующие проекции силы на оси zyx ,, системы координат трехмерного пространства и в соответствии с принципом соответствия равны им в нерелятивистском случае cv << .

19.3. Кинетическая энергия. Закон взаимосвязи

между массой и энергией. Релятивистское соотношение между энергией и импульсом

Важным следствием зависимости массы от скорости является соотношение между массой и энергией тела-универсальное соотношение, применимое во всех областях современной физики. Получим это соотношение, используя теорему об изменении кинетической энергии:

dtFrdFdWк vrrrr

== в которую подставим формулу (19.7):

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

−

=

−

= dtv)dtv

v1c

vvdtv

v1(dtv)

v1

v(2

3

2

22

0

2

20

2

20 r

rrr

r d

c

md

c

m

c

mdtddWк

;)v1

(v1

vdv)v1

v

1(v1

vdv 2

2

202

23

2

2

0

2

2

2

2

2

20 dmc

c

mdc

c

m

c

c

c

m=

−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−

+

−

= (19.11)

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ==== . vvv,vdvvd

21vd

21vdv 222 rrrrr

Получим соотношение между элементарными изменением кинетической энергии и релятивистской массы. Проинтегрируем соотношение (19.11), считая, что тело со скоростью v0=0 обладает энергией W0, а тело, движущееся со скоростью v – энергией W. Тогда разность (W-W0) представляет собой кинетическую энергию тела в

128

релятивистской механике. Заметим, что энергии W 0, W не включают потенциальную энергию в силовых полях.

20

220

2

2

20

v

02

202

0v1

)v1

( cmmccm

c

cm

c

mdcWWWк −=−

−

=

−

=−= ∫ (19.12)

Проанализируем полученное соотношение (19.12) но сначала заметим, что оно следует и из выражения (19.10’), которое существует лишь в четырехмерном пространстве – а именно временная компонента основного закона релятивистской динамики,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

=

2

20

v1dtdv

c

cimFci rr ,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

=

2

2

20

v1dtdv

c

cmF rr , ( )2

dtdv mcF =

rr .

Выражение в левой части представляет собой механическую работу силы за единицу времени, равную изменению энергии тела за единицу времени:

dt

dWv =rrF . (19.13)

Тогда получим равенство:

( )2

dtdW mc

dtd

= , 19.14)

или dmcdW 2= . Интегрируя последнее равенство в пределах изменения массы от 0m до m , которому соответствует изменение энергии от W0 до W, получим соотношение (19.12):

∫∫ =m

m

W

W

dmcdW00

2 , 20

20 cmmcWW −=− .

Таким образом, эксперементальное подтверждение соотношения (19.12) оправдывает и теорию четырехмерного пространства (пространство Минковского).

Согласно соотношению (19.12) кинетическая энергия тела, движущегося со скоростью, близкой к скорости света в

129

вакууме, быстро растет и сильно отличается от кинетической энергии, рассчитанной по классической формуле. В нерелятивистском случае, cv << , воспользовавшись разложением в ряд Тейлора, получим выражение для кинетической энергии из классической механики:

2

2

4

4

2

2

2

2

v211...v

83v

211

v1

1ccc

c

+≈+++=

−

,

2v1v

211

20

2

22

0m

ccmWк =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= .

Энергия тела в инерциальной системе, относительно которой оно движется со скоростью v, равна

2

2

2

20

v1mc

c

cmW =

−

= (19.15)

и называется полной энергией. Энергия тела в собственной инерциальной системе (относительно которой тело неподвижно)

200 cmW = (19.16)

называется энергией покоя или собственной энергией. Эта энергия зависит от состава и внутреннего состояния тела.

Согласно соотношениям (19.11), (19.12) переход из состояния покоя в состояние движения сопровождается изменением энергии, связанным с изменением массы:

⎪⎭

⎪⎬⎫

∆=∆

=

mcWdmcdW

2

2

. (19.17)

Формулы (19.15) – (19.17), называемые соотношениями Эйнштейна, выражают фундаментальный закон взаимосвязи между массой и энергией: любое тело (частица), которое обладает массой, обладает и энергией; любое изменение массы влечет за собой изменение энергии и наоборот. Согласно этим соотношениям, если сохраняется

130

энергия, имеет место и сохранение массы. Таким образом в отличие от классической механики, в которой имеют место два различных закона сохранения массы и энергии, в релятивистской механике существует только закон сохранения энергии. Важно подчеркнуть, что соотношения (19.17) не выражают тождественность массы и энергии, они устанавливают пропорциональность между изменением массы и энергии.

Закон взаимосвязи между массой и энергией был подтвержден экспериментально в исследованиях, проводимых в области ядерной физики. Энергетические выходы ядерных реакций и ядерных распадов, предсказанные на основании этих законов, находятся в очень хорошем согласии с экспериментальными результатами.

Соотношения между изменениями массы и энергии позволяют продолжить анализ равенства (19.8)

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

dtmcd

cv1

dtdmv1 2

2

rrrrr Fm

Fm

a ,

в которое последовательно подставляются формулы (19.14) и (19.13):

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −= v

cv1

dtdW

cv1

22

rrrrrrr FF

mF

ma . (19.18)

Из этого соотношения, очевидно, что ускорение имеет такое же направление, как и действующая сила, только в следующих двух случаях:

a) Поперечная сила: 0v,v =⊥rrrr

FF .

Тогда соотношение (19.18) запишется: Fm

cmFa

rr

r

0

2

2v1−==⊥ .

Поперечная сила вызывает только изменение направления скорости, модуль скорости и масса тела остаются постоянными.

131

b) Продольная сила ( ) .vvF v,v 2FFrrrrrr

=

Из (19.18) следует: 2

3

2

2

02

2

¦ cv1

cv1 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

rrrr

mF

mFa .

Продольная сила сообщает телу ускорения в 1

2

2v1−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

c

раз меньшее, чем ускорение, сообщаемое поперечной силой той же величины. Объяснить это можно так: продольная сила вызывает изменение модуля скорости, а значит и массы тела.

В классической механике кинетическая энергия и импульс материальной точки связаны соотношением:

0

220

22 v

mPmWк == .

В релятивистской механике выводится соотношение между полной энергией, энергией покоя и импульсом. Из зависимости массы и скорости (19.4) следует:

202

22 v1 m

cm =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− .

Умножив обе стороны полученного равенства на 4c , получим:

420

22242 v cmcmcm =− , invWcPW ==− 20

222 . (19.19) Полученное соотношение между полной энергией и

релятивистским импульсом инвариантно при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой же, как и пространственно-временной интервал между двумя событиями.

Приложение. Примеры решения задачи Задача 1

132

В системе K происходят два события )( 1,1,1,11 tzyxE и

),,,( 22222 tzyxE . Считая, что система 'K движется относительно системы K с постоянной скоростью V

r вдоль

положительного направления оси ox: a)записать координаты событий )0( 11111 ==== tzyxE и ),0,( 22222 tzyxE == в системе 'K ; b)определить условия, при которых события 1E и 2E происходят в одной и той же точке пространства в системе 'K .

Решение )a Координаты событий 1E и 2E в 'K могут быть

определены с помощью преобразований Лоренца (18.8):

0'1

'1

'1

'1 ==== tzyx для события 1E ,

2

222'

2

1cVVtxx

−

−= , 0'

2'2 == zy ,

2

2

22

2'2

1cVc

Vxtt

−

−= для события 2E .

)b Для определения условий, при которых события 1E и

2E происходят в один и тот же момент времени в 'K воспользуемся инвариантностью интервала между двумя событиями,

( ) ,)()()(, 22222222 tcltclSS ′∆−′=∆−′= где

.)()()()(,)()()( 22222222 zyxlzyxl ′∆+′∆+′∆=′∆+∆+∆= Так как ,0'

1'2 =−=′∆ ttt получим:

22 )(lS ′= Следовательно, необходимым условием

одновременности событий в 'K является .02 >S В частном

133

случае, когда ,0'1 =t 0'

2 =t , из преобразований Лоренца для '2t

следует .22

2 cVxt = Считая, что пространственные координаты

событий 1E и 2E таковы, как указано в пункте a , получим: ,)()()( 2

22

122

122

122 xzzyyxxl =−+−+−=

то есть .2xl = Тогда 22 cVltt ==∆ и

,0)1()( 2

22

2

22222222 >−=−=∆−=

cVl

clVcltclS так как .1<

cV

Если события 1E и 2E с соответствующими координатами, указанными в пункте )a , происходят в одной и той же точке пространства в системе 'K , то есть ,0'

2'1 == xx из

преобразований Лоренца для '2x следует:

,22 Vtx = .2

2

tl

txV

∆==

Условие cV < приводит к неравенству: =∆−∆=∆−= 22222222 )()()( tctVtclS

,0)()( 222 <−∆= cVt которое представляет условие, что события происходят в одной и той же точке пространства в системе 'K . В то же время из преобразований Лоренца для ,2t ′ с учетом того, что

ctxV <=

2

2 , следует неравенство

.01

11122

2

2

22

22

2

2

22

2

22

2

2

2

22

2

2 >⋅

−

−=

−

−=

−

−=′

tccV

xtc

cV

tcxt

cVc

Vxtt

Значит, ,2t ′ имеет тот же знак, что и 2t , то есть события следуют друг за другом в том же порядке системах K и .'K

134

Задача 2 Брусок с собственной длиной 0l движется равномерно и

прямолинейно со скоростью V, параллельной оси ox неподвижной системы отсчета K . В собственной системе

K ′ направление бруска образует угол 0ϕ с осью ''xo . Какова длина бруска относительно системы K ? Каков угол ϕ между направлением бруска и его скоростью, измеренный наблюдателем из системы отсчета K ?

Решение: Относительно

собственной системы K ′ брусок имеет следующие проекции на оси x′ и y′

000 cosϕll x =′ ; 000 sinϕll y =′ .

Относительно системы K проекции длины бруска на оси x и y равны:

02

2

02

2

0 cos11 ϕcVl

cVll xx −=−= ′ ; 00 sinϕlll yoy == ′ .

При записи следующих соотношений было учтено сокращение длины бруска в направлении движения. В результате длина бруска относительно системы K равна:

02

2

2

002

02

2

2

022 cos1sincos)1( ϕϕϕ

cVl

cVllll yx −=+−=+=

Для наблюдателя, связанного с системой K , угол между направлением бруска и его скоростью удовлетворяет соотношению:

,1cos1

sin

2

20

02

20

cV

tg

cVl

ltg

x

y

−

=

−

==ϕ

ϕ

ϕϕ adică 0ϕϕ >

135

Задача 3 Для свободной частицы с массой покоя 0m требуется: a)выразить скорость и энергию как функцию импульса; b)выразить величину скорости и импульса как функцию

кинетической энергии; c)выразить с помощью импульса и кинетической энергии

условие, при котором частица будет нерелятивистской, соответственно ультрарелятивистской;

d)вывести соотношение между скоростью, импульсом и кинетической энергией в нерелятивистском пределе и в ультрарелятивистском пределе.

Решение )a Знаем формулы:

,vrr mp = 2mcE = ,

2

20

v1c

mm−

= ;

соответственно для релятивистского импульса, полной релятивистской энергии и массы движения частицы.

Формулу для релятивистской массы возведем в квадрат и умножим на 2v . Получим скорость v как функцию импульса.

,v1

vv

2

2

22022

c

mm−

= ),(v 202

222 m

cpp += .v

220

2 cmppc+

=

Формулу для релятивистской массы, возведенную в квадрат, умножим на 4c . После элементарных преобразований получим полную энергию как функцию импульса.

,v1 2

2

42042

c

cmcm−

= ,22420

2 cpcmE += .2220 pcmcE +=

)b Из предпоследнего выражения, полученного в пункте )a , то есть ,222

02 cpEE += выразим v , подставив mvp = ;

136

.v20

2

22

20

2

EEE

ccmEE −

=−

=

Вспомним выражение для релятивистской кинетической энергии 0

20 EEcmEEк −=−= , из которого выразим и

подставим в вышеполученное соотношение полную ээнергию E ,

.)2()2()(

v 20

20

0

0

0

20

20

cmEcmEE

cEE

EEEc

EEEEE

cк

кк

к

кк

к

к

++

=+

+=

+−+

=

Поскольку из соотношения между полной энергией и импульсом следует:

,1 420

2 cmEc

p −=

остается только в это соотношение подставить выражение для полной энергии. Получим:

.)2(1 20cmEE

cp cc +=

)c Частица является нерелятивистской, если ее скорость c<<v , то есть:

,1v1 2

2

≅−c

1v1

1

2

2≅

−c

.

Следовательно, импульс частицы p удовлетворяет условию: cmmp 00v <<≅ . При выполнении условия v <<c для кинетической энергии получим:

20

2

2

20

20

2 )1v1

1( cm

c

cmcmmcEк <<−

−

=−= .

И наоборот: если 20cmp << , то

1v

022

02

<<≅+

=cm

pcmp

pc

;

137

если ,20cmEк << то

122)2(v2

02

0

20

20

20 <<=

⋅≅

++

=cm

Ecm

cmEcmE

cmEEc

кк

к

кк .

Таким образом, условия: ;1v<<

ccmp 0<< ; 2

0cmEк << -

являются эквивалентными при описании движения свободной нерелятивистской частицы.

Ультрарелятивистский случай имеет место, если: 1v1 2

2

<<−c

.

Тогда: ,1v1 2

2

<<−c

1v1

1

2

2>>

−c

, c≅v ; 0mm >> ;

Отсюда следует, что импульс и кинетическая энергия ультрарелятивистской частицы удовлетворяют условиям:

,v1

vv 0

2

20 cmmc

c

mmp >>≅

−

== .)( 20

220 cmmccmmEк >>≅−=

И наоборот, если cmp 0>> , то:

,v222

02

cppc

cmppc =≅+

= .1v1 2

22

220

2

220

2

2

<<≅+

=−p

cmcmp

cmcv o

Аналогично, если 20cmEк >> , то:

,)2(

v2

2

20 c

EE

ccmE

cmEEc

к

к

oк

кк =≅+

+=

( ).1v1

220

220

420

2

2 <<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≅

+=−

ккE

cm

cmE

cmc

Следовательно, условия: ,1v1 2

2

<<−c

cmp 0>> , 2

0cmEк >> являются эквивалентными при описании движения свободной ультрарелятивистской частицы.

138

)d Получим соотношение между скоростью, импульсом

и кинетической энергией в нерелятивистском случае 1v<<

c.

.vv1

0

2

20 rr

r m

c

vmp ≅

−

=

Выведем нерялятивистское выражение для кинетической энергии кE , используя разложение в ряд Тейлора, а именно:

...v83v

211)v1(

v1

14

4

2

221

2

2

2

2+⋅+⋅+≅−=

−

−

cccc

.

Ограничиваясь двумя первыми слагаемыми этого разложения, получим:

,2v)1v

211()1

v1

1(2

02

22

0

2

2

20

mc

cm

c

cmEк =−⋅+≅−

−

=

Заметим, что: 0

2

2mpEк = . В ультрарелятивистском случае

,20cmE >> c≅v .

Тогда: cE

cEcmE

cp к≅≅−= 42

021 . В то же время .

v 2 cp

cEpm ≅≅=

Контрольные вопросы 1. В чем состоит суть классического механического принципа относительности? Сравнить этот принцип с I-ым постулатом специальной теории относительности.

2. Объяснить суждения, на основе которых получены преобразования Лоренца.

139

3. Продемонстрировать правильность утверждений: последовательность событий причина – следствие инвариантна относительно преобразований Лоренца.

4. При каких условиях два события одновременны относительно любой инерциальной системы отсчета?

5. Вычислить скорость тела, для которого сокращение размера в направлении движения составляет 25%.

6. Показать, что релятивистский закон сложения скоростей находится в согласии со II-ым постулатом специальной теории относительности и принципом соответствия.

7. На основе релятивистской формулы зависимости массы от скорости показать, что никакое тело не может обладать скоростью, равной или большей, чем скорость света в вакууме.

8. Объяснить различия между основным законом классической механики и основным законом релятивистской механики.

9. Дать определение кинетической энергии в релятивистской механике и показать, что формула для релятивистской энергии находится в согласии с принципом соответствия.

10. Объяснить фундаментальный закон взаимосвязи между массой и энергией.

IV. Основы молекулярной физики и термодинамики

§20. Методы изучения макроскопических систем

20.1. Статистический и термодинамический методы

140

Одной из важных проблем физики является изучение тепловых явлений, которые определяются поведением очень большого, порядка NA=6*1023моль-1, числа частиц (атомов, молекул), входящих в состав тела или рассматриваемой системы тел, называемый макроскопической системой. Для описания свойств макроскопической системы и явлений, в ней происходящих, необходимы методы, адекватные такому огромному числу частиц. В настоящее время применяются два метода, взаимно дополняющие друг друга: термодинамический и статистический.

В первой половине XIX века появился термодинамический метод, развитый в трудах Р. Клаузиуса, С. Карно, У. Томсона, Р. Майера, Д. Джойля и др. Термодинамика, как раздел физики, имеет феноменологический характер, т.е. в ее основе лежат систематизация и обобщение экспериментальных данных, что привело к формулировке трех фундаментальных законов (начал). Их справедливость подтверждена успехами, достигнутыми при объяснении тепловых явлений. Количественные соотношения, с помощью которых описываются энергетические превращения, позволяют изучать физические свойства термодинамической системы в различных процессах. Термодинамика является одним из наиболее важных разделов физики, так как позволяет применять ее законы для любой макроскопической системы, не вдаваясь в микроскопическую природу тел, без рассмотрения характера движения ее частиц.

Второй метод, статистический, используется в статистической физике, созданной во второй половине XIX века такими ученными, как Дж. Максвелла, Л. Больцман, Ж. Гиббс и др. В статистической физике выводятся законы, описываются макроскопические системы, исходя из определенных моделей их внутреннего строения, устанавливаются связи между микроскопическими и макроскопическими свойствами изучаемой системы, т.е. макроскопические свойства объясняются как суммарный,

141

усредненный результат действия частиц, составляющих систему. Движение каждой частицы подчиняется законам механики. Но очевидна невозможность применения этих законов к каждой частице макроскопической системы. В рамках статистической физики изучается не движение каждой частицы системы в отдельности, а всего ансамбля частиц в целом, движение, которое качественно отличается от механического и подчиняется иным, статистическим закономерностям, где основным понятием является вероятность. Например, можно найти вероятность нахождения какой-либо частицы в заданный момент в определенном положении (координату) или вероятность обладания определенной скоростью или импульсом. Одновременно для статистического изучения макроскопической системы используется понятие вероятности распределения (термодинамической вероятности) частиц системы по различным возможным для них состояниям.

Таким образом, применяя статистический метод, можно установить свойства макроскопической системы и соотношения между физическими величинами, с помощью которых эти свойства описываются, исходя из ее микроскопических свойств. Так получают макроскопические величины, соответствующих которым нет в механике (например, температура), и соотношения между ними (например, уравнение состояния рассматриваемой системы).

Вместе с тем статистическая физика преследует еще одну цель – установление законов термодинамики, исходя из конкретного строения рассматриваемой макроскопической системы. Осуществление этой очень важной цели, осложненной громоздким математическим аппаратом, означает, по сути, объяснение соответствующих законов, выявление их статистического характера. Умозаключения статистической физики имеют общий характер и применимы как для решения классических задач (исследование какого-либо газа), так и для квантовых (движение атомов в металле, фотонов в замкнутой полости).

142

В заключение отметим, что статистическая физика и термодинамика – это единая теория макроскопических систем.

В этой главе будут описаны законы и методы классической статистической физики, применяемые для изучения газов. Аспекты и особенности квантовой статистической физики будут изложены далее, после введения элементов квантовой физики.

20.2. Параметры состояния, термодинамические процессы

Макроскопические системы, называемые также термодинамическими (при их изучении методами термодинамики), характеризуются конечным числом физических величин – параметров состояния или макроскопических параметров: объемом V , давлением Р, температурой Т, концентрацией n и т.д. Для некоторых систем используются и параметры из других областей физики, например электрический заряд. Совокупность параметров, полностью характеризует термодинамическую систему, определяет ее состояние. Некоторые параметры могут быть непосредственно измерены в любой части системы, они не зависят от массы системы (например, температура, давление). Другие параметры (объем, внутренняя энергия) могут быть измерены только для всей системы, они зависят от массы системы. Кроме того, макроскопические параметры, или макропараметры могут быть разделены на внешние и внутренние. Внешние параметры, или параметры положения, являются функциями координат тел, внешних по отношению к рассматриваемой система. Таким параметром является объем системы. Внутренними параметрами системы являются те величины, которые зависят как от положения внешних тел, так и от координат и скоростей частиц системы (например, давление, внутренняя энергия).

Состояние макроскопической системы, определяемое макро- параметрами, называется макроскопическим состоянием или макросостоянием.

143

Вместе с тем, с точки зрения микроскопической, состояние системы характеризуется мгновенными значениями координат и импульсов, составляющих систему частиц, которые называются микроскопическими параметрами, или микропараметрами. Состояние системы, определяемое микропараметрами, называется микроскопическим состоянием или микросостоянием.

Макроскопическая система находится в состоянии термодинамического равновесия (называемого термическим, статическим), если макропараметры, определяющие ее состояние, остаются, неизменными с течением времени, и каждый из них имеет одно и то же значение во всей системе. Из этого определения следует, что значения этих параметров не обусловлены процессами, происходящими во внешней среде, а в рассматриваемой системе нет потоков энергии, вещества, импульса. Любая система без внешнего воздействия со временем достигает состояния равновесия и остается в нем неограниченное время. Одновременно микроскопические переменные, характеризующие отдельные частицы равновесной системы, могут непрерывно изменяться, т.е. микросостояние может непрерывно изменяться, однако макросостояние остается неизменным. Таким образом, с классической точки зрения, данное равновесное макросостояние может осуществляться множеством микросостояний. Иными словами, макросостояние не определяет полностью микросостояние, но микросостояния полностью определяют макросостояние.

Всякое изменение макроскопического состояния системы, происходящее при изменении хотя бы одного из ее макроскопических параметров, называется термодинамическим процессом или превращением. Термодинамический процесс называется равновесным, если, совершая его, система проходит через непрерывный ряд бесконечно близких равновесных состояний. Очевидно, равновесный процесс является идеализацией реальных процессов, которые тем более близки к равновесному, чем

144

медленнее они протекают. Поэтому равновесные процессы называют еще квазистатическими, т. е. протекающими с бесконечно малой скоростью.

В зависимости от возможных способов изоляции рассматриваемой системы от внешней среды различают несколько типов термодинамических систем. Термодинамическая система, которая обменивается веществом с внешней средой, называется открытой, в противоположном случае она называется замкнутой системой. Система, которая не обменивается ни веществом, ни энергией с внешней средой, является изолированной. Механически изолированная система не обменивается веществом и энергией с внешней средой путем совершения механической работы. Система является адиабатно изолированной, если отсутствует обмен веществом и энергией с внешней средой путем обмена теплотой. Термодинамическая система называется простой, если не подвержена действию внешних полей.

§ 21. Термическое уравнение состояния

Эксперементально было установлено, что если известны значения всех параметров состояния, за исключением одного, то последний может быть также определен благодаря зависимости между параметрами, которые могут быть записана следующим образом:

( ) 0...,,, =TmVPf это – уравнение состояния. Оно устанавливается экспериментально или выводится в рамках статистической физики, термодинамическими методами получить его невозможно. Уравнение состояния, выражающее связь между давлением Р, объемом V и температурой T однородной простой системы массой m , называется термическим уравнением состояния.

145

21.1. Идеальный газ. Пределы применимости теории идеального газа

Из школьного курса физики известно термическое уравнение состояния идеального газа, называемое уравнение Клапейрона – Менделеева

kTnPTRPV == ,ν ),(VNn

NN

Mm

A

===ν , (21.1)

где ν - количество молей, M − молярная масса, N - число молекул и AN - постоянная Авогадро. Напомним, что самая простая термодинамическая система, называемая идеальным газом, представляет собой упрощенную модель реального газа, справедливую при выполнении условий:

a) молекулы имеют пренебрежимо малые размеры по сравнению со средними расстояниями между ними, так что объемом молекул можно пренебречь по сравнению с объемом, занимаемым газом;

b) силы взаимодействия, а значит и потенциальная энергия взаимодействия молекул газа на расстояниях, отличных от нуля, пренебрежимо малы;

c) столкновение молекул между собой и со стенками сосуда носят упругий характер. При нормальных условиях

(Р=1,013*105Па=760 мм. рт. ст. ≈ 1атм., Т=273К) в V=1м3 воздуха находится примерно 251072 ⋅, молекул, среднее расстояние между которым равно м103,3 -9⋅ . Это расстояние в десятки раз превышает диаметр молекул d≈2*10-

10м, взаимодействие между молекулами отсутствует, газ можно считать идеальным. Экспериментально установлено, что при 300KT const= = произведение PV сохраняется практически постоянным до давлений примерно 10атм≈106Па. Этим объясняется, что в расчетах проектов газовых турбин и двигателей внутреннего сгорания с достаточной степенью точности можно использовать теорию идеального газа. В общем, применение модели идеального газа и уравнение

146

(21.1) для описания реального газа справедливо для низких давлений (разреженных газов) и высоких температур.

При давлениях порядка 102÷103 атмосфер произведение PV уже не остается постоянным при const=T : сначала PV уменьшается, а затем резко возрастает с ростом давления. Это явление объясняется тем фактом, что вначале, по мере увеличения давления, молекулы сближаются до расстояний, на которых становятся существенными силы притяжения, это притяжение ослабляет интенсивность ударов молекул о стенки сосуда и уменьшает давление газа. При дальнейшем повышении давления расстояния между молекулами становятся столь малыми, что начинают проявлять себя силы отталкивания между молекулами, в результате давление растет.

В современной технике высокие давления имеют обширную область применения. Газы хранятся и транспортируются в емкости под давлением 150-200атм. При таких давлениях реальный газ не может считаться идеальным.

21.2. Уравнения состояния реальных газов

Получение уравнения состояния реальных газов представляет и теоретический и практический интерес. Имея такое уравнение, можно установить закономерности, характеризующие силы взаимодействия молекул, рассчитать технические процессы, происходящие при высоких давлениях или низких температурах. Поскольку взаимодействие между молекулами зависит от их типа, то для описания поведения каждого газа нужно уравнение, учитывающее специфику газа. Общее уравнение состояния, которое пригодно для всех реальных газов, может быть лишь приблизительными (не точными).

Прикладное значение и особый интерес представляют собой процессы, связанные с изменениями агрегатных состояний, например, сжатие и сжижение газов, испарение и кипение жидкостей. Для изучения этих процессов полезно найти уравнение состояния (пусть и неточное), описывающее

147

всевозможные состояния системы, от идеального газа до жидкого состояния. Такое уравнение было получено в 1873г. голландским физиком Ван-дер-Ваальсом, сделавшим следующие поправки:

1. В отличие от идеального газа, заключенного в сосуде объемом V , в котором молекула (не имея собственного объема) может находиться в любой точке этого объема, молекула реального газа (с собственными объемом) не может находиться в тех местах объема сосуда, где находятся остальные (N-1) молекулы. Объем, доступный данной молекуле, равен (V-b) , где b - «запрещенный объем». Установлено, что b в четыре раза больше собственного объема всех N молекул газа:

3443

b N rπ= ,

где r – радиус молекулы. 2. Рассмотрение сил взаимодействия молекул газа

приводит к следующим выводам. Силы взаимного притяжения молекул не сказываются на их движении внутри объема газа, там давление реального газа равно давлению идеального газа, находящегося в тех же условиях. Вблизи стен сосуда давление меньше, чем внутри, на величину iP , называемую внутренним давлением. Внутреннее давление на газ создается слоем молекул, находящихся вблизи стенок сосуда. Его создание объясняется следующим образом: на каждую из молекул, находящихся вблизи стенки сосуда со стороны остальных молекул газа действует результирующая сила, перпендикулярная стенке и направленная внутрь. Оказывается, внутреннее давление обратно пропорционально квадрату объема газа и зависит от химической природы газа (ее характеризует постоянная а).

С учетом этих двух поправок Ван-дер-Ваальс получил уравнение состояния, носящее его имя:

148

( ) TRMmbV

VaP =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + 2 . (21.2)

Величины a и b находят экспериментально и с этой точки зрения уравнения Ван-дер-Ваальса (21.2) является

эмпирическим. b пропорционально числу молей Mm

=ν , а a

пропорционально 2ν . Если константы определены для одного моля рассматриваемого газа, то для произвольного чесал молей уравнение (21.2) записывается так:

( ) .2

2

TRbVV

aP νννν

ν =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ (21.3)

При выводе уравнения (21.2) был сделан ряд упрощающих уточнений, поэтому его следует рассматривать как приблизительное (неточное) уравнение состояния реального газа. Это уравнение дает хорошее качественное представление об изменении состояния реольного газа, но с его помощью нельзя получить точных количественных результатов. Для получения точных значений давления P необходимо учесть, что a и b не являются константами, а зависят от температуры и плотности. Для реальных газов было написано свыше 150 уравнений состояния, каждое из которых пригодно для определенного газа и определенных условий. Сравним экспериментальные изотермы некоторого реального газа (рис. 4.1) с теоретическими, полученными из уравнений (21.1) и (21.2). При достачно высоких температурах изотермы имеют вид KL , практически идентичные изотермам идеального газа. Ппи низких температурах реальный газ может быть изотермически сжат из состояния A только до состояния B, когда начинается его сжижение. Далее, на реальной изотерме, т.е. полученной экспериментально, следует горизонтальный участок BF , область равновесия между жидким и газообразным состоянием вещества. Пары, находящиеся в равновесии со своей жидкостью, называются

149

насыщенными парами. Рассматривая участок BCDEF , полученный теоретически при решении уравнения (21.3), приходим к следующему выводу: участок CDE не может быть получен экспериментально, поскольку увеличение давления сопровождается возрастанием объема; участок ВС и ЕF могут быть достигнуты только в специальных условиях. Состояния, соответствующие участкам ВС и ЕF, называются метастабильными, так как малейшее изменение условий, в которых они были достигнуты, ведут к переходу системы в состояние, соответствующие сегменту ВF; пары в состояниях, соответствующих участку ВС, называются пересыщенными, состояния участка ЕF называются перегретыми.

Рис. 4.1 Сжижение реальных газов путем изотермического

сжатия возможно только при температурах ниже критической, при которой исчезают различия физических свойств жидкого и газообразного состояний вещества, находящихся в равновесии. Изотерма, соответствующая критической температуре (кривая HIJ , рис. 4.1), изменяется монотонно, за исключением критической точки I , точки перегиба, в которой имеет место непосредственный переход из газообразного в жидкое состояние. В этой точке касательная к изотерме горизонтальна. Величины кP , кV называются критическими и представляют собой максимальное давление,

150

при котором могут существовать насыщенные пары вещества, и соответственно максимальный объем, который может занимать вещество в жидком состоянии. Отметим, что критическая температура вещества характеризуемая кT , кР ,

кV , молярные объемы жидкости и ее насыщенных паров одинаковы; удельная теплота парообразования и поверхностное натяжение жидкости равны нулю, плотности жидкости и ее насыщенных паров становятся равными.

Некоторые газы имеют очень низкую критическую температуру: кислород – 90 K; азот – 77,4 K; водород – 20,5 K; гелий – 4,4 K. Следовательно, для их сжижения необходимо предварительное охлаждение до температуры ниже критической. Сжижение газов и получение очень низких температур, близких к 0 К, очень важны для науки и техники, так как при этих температурах вещества обладают свойствами, отличными от свойств при температурах, близких к нормальной. Так, при низких температурах были обнаружены явления сверхтекучести и сверхпроводимости. Путем сжижения газов может быть достигнута температура 4,21 K (жидкий гелий). Если гелий довести до кипения при очень низком давлении, то может быть достигнута температура приблизительно 1К. Для получения очень низкого давления непрерывно откачивают пары с поверхности гелия.

Существуют также методы получения температур ниже 1 К. Один из наиболее важных, названий магнитным охлаждением, основан на адиабатном размагничивании парамагнитных солей.

*Молекулярно – кинетическая теория газов

Молекулярно – кинетическая теория газов – составная часть классической статистической физики. В этой теории считается, что частицами, составляющими макроскопические системы, являются молекулы, совершающие беспорядочное движение. Основные принципы классической статистической

151

физики, лежащие в основе молекулярно – кинетической теории, формулируются следующим образом:

a)в рассматриваемой системе выполняются все фундаментальные законы сохранения и остается постоянным числом частиц, если система замкнута и в ней не происходит химических реакций;

b)физические процессы в системе происходят непрерывно в пространстве и времени;

c)любая частица системы может обладать любыми значениями координат (в пределах объема системы) и компонент скорости независимо от значений соответствующих величин других частиц;

d)допускается возможность отличать одну от другой частицы однородной системы (частицы различимы).

§22. Основное уравнение молекулярно – кинетической теории идеального газа

Одной из целей статистической физики является

объяснение макроскопических свойств рассматриваемой системы как результата суммарного действия всех молекул. Вывод основного уравнения молекулярно – кинетической теории идеального газа служит достижению этой цели.

Напомним вывод этого уравнения, рассмотренный в школьном курсе физики. Одновременно обратим внимание на то, что строгий вывод возможен, только исходя из распределения молекул идеального газа по скоростями, описанного далее, в §24.

Давление газа dsdFP = равно средней

перпендикулярной силе, с которой молекулы газа, ударяясь о стенки сосуда, действуют на единицу поверхности. Допустив, что все молекулы имеют одинаковые скорости v, все направления движения молекул равновероятны и газ не подвержен внешнему силовому воздействию, получим следующее выражение для давления газа:

152

,2v

32v

3

20

20 mnV

mNP == (22.1)

где N - общее число молекул газа с массой 0m каждая, V -

объем сосуда, VNn = - концентрация газа. На самом деле

значения скоростей молекул vk различны и не равновероятны. Энергия поступательного движения молекул идеального газа равна

2v2

k0

11

mWWN

kk

N

k ==∑=∑= . (22.2)

Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы постW равна,

20

2N

22

21

0 v21v....vv

21 m

NmWпост =

+++= , (22.3)

где величина

( ) ,v1v...vv1v1

2222

21

2 ∑=

=+++=N

kkN NN

(22.4)

представляет собой среднее значение квадрата скорости всех молекул газа. Извлекая корень квадратный из этого значения, получим среднюю квадратичную скорость (тепловую скорость) молекул газа

( )2N

22

21

2 v...vv1vv +++==Nкв . (22.5)

Именно эту скорость нужно использовать для вычисления давления P в выражении (22.1). Таким образом, для давления идеального газа получим выражения:

постпост WVNWnmnPP

32

32v

31 2

0 ==== , (22.6)

представляющие собой основное уравнение молекулярно – кинетической теории идеального газа. В этом уравнении давление газа выражается через среднюю квадратичную скорость или среднюю кинетическую энергию

153

поступательного движения одной молекулы – статистической физической величины, характеризующей движение молекул всей рассматриваемой системы и теряющей смысл для небольшого числа молекул или одной единственной молекулы.

Согласно уравнению (22.6) давление газа не зависит от материала сосуда, т.е. не зависит от характера соударений молекул со стенками сосуда. Этот результат согласуется с полученным в опытах Максвелла: в случае идеального газа давление газа не зависит от характера соударений молекул между собой и со стенками сосуда.

Из сравнения уравнений (22.6) и (22.1) следует еще одно фундаментальное соотношение, выражающее связь между термодинамической температурой T и средней кинетической энергией поступательного движения одной молекулы:

..23

,

,32

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

==

=

A

пост

A

пост

NRkkTW

TkNRTNNPV

WNPV (22.7)

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа зависит только от его термодинамической температуры T , она ей прямопропорционально. Этот вывод, как и классическая статистическая физика в целом, не применим для очень низких, близких к 0 К, температур. Мы можем также утверждать: термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа.

Из формул (22.3) и (22.7) получается следующее выражение для средней квадратичной скорости:

.33vv,23

2v

0

22

0

MTR

mTkkTm

кв ====

)Nm(M A0= (22.8)

154

Из выражений (22.3)-(22.8) ясно видно, что макроскопические параметры термодинамической системы определяются не индивидуальными микроскопическими параметрами, характеризующими каждую молекулу, а статистическими микроскопическими параметрами.

§23.Элементы статистики Максвелла-Больцмана

23.1.Статистическое равновесие. Вероятность

распределения (термодинамическая вероятность) Рассмотрим изолированную систему, состоящую из N

одинаковых, но различимых частиц, не взаимодействующих химически между собой. Каждая из частиц может иметь одну из энергий

1W , 2W , .,... mW Эти энергии могут быть либо квантованными, либо

иметь непрерывный спектр, как в случае кинетических энергий поступательного движения молекул газа. Непрерывный энергетический спектр делится на малые интервалы, рассматривая для каждого интервала среднее значение энергии. Допустим, в данный момент частицы распределены таким образом, что 1N из них имеют энергию

21, NW - энергию 2W и т.д.:

.,...,....,,,,...,,...,,,

31

321

mi

mi

NNNNNWWWWW

, (23.1)

Числа mNNN ,...,, 21 представляют собой распределение частиц системы по энергии. В рассматриваемой системе выполняются законы сохранения числа частицы

,1

constNNm

ii ==∑

=

( 23.2)

и энергии .1

constWWN i

m

ii ==∑

=

(23.3)

155

В выражении (23.3) для закона сохранения энергии предполагается, что взаимодействие между частицами системы пренебрежимо мало. В противном случае к сумме из выражения (23.3) следует добавить слагаемое вида ( )ikпW ( ),,....2,1, kiNki ≠= которое представляет собой потенциальные энергии взаимодействия частиц. Вместе с тем, мы можем считать, что каждая частица испытывает усредненное действие со стороны остальных, таким образом, средняя потенциальная энергия не зависит от положения остальных частиц относительно данной. В этом случае формула (23.3) останется справедливой при условии, что

пiкii WWW += , где пiкi WW , представляют собой кинетическую и потенциальную энергии частицы соответственно.

Вследствие взаимодействий и соударений энергия частиц изменяется, что определяет изменения со временем энергетического распределения (23.1), рассмотренного ранее. Это изменение разъясняет первый постулат статистической физики: в изолированной системе частиц с неизменной общей энергией, структурой частиц и их числа, со временем устанавливается наиболее вероятное распределение частиц по значениям энергии. После того, как в системе установится это распределение, говорят, что система находится в состоянии статистического равновесия (его еще называют термодинамическим равновесием). Таким образом, состояние статистического равновесия соответствует распределению с максимальной вероятностью. Понятие вероятности распределения p , используемое в этом постулате, не имеет смысла математической вероятности, значения которой изменяются от нуля до единицы. Вероятность распределения, или термодинамическая вероятность – это число различных способов осуществления данного распределения системы, состоящей из большого числа частиц. Если частицы системы идентичны, то их перестановки по различным энергетическим уровням означают различные способы распределения, а перестановки

156

на одном уровне не дают нового способа распределения. Можно сказать, что вероятность распределения (термодинамическая вероятность) представляет собой число различных микросостояний, осуществляющих данное макросостояние. Чем больше вероятность распределения, тем больше вероятность осуществления соответствующего макроскопического состояния.

В качестве примера на рис. 4.2 показана простая система, состоящая из четырех одинаковых частиц, обозначенных 1, 2, 3, 4. Эти частицы могут находится на двух уровнях энергии

1W и 2W . Используем этот пример, чтобы убедиться в верности следующей формулы для вычисления общего числа различных способов размещения N частиц на m энергетических уровнях, т.е. вероятности распределения:

=p!!....!

!

21 mNNNN . (23.4)

В этой формуле !N представляет собой общее число распределений частиц, определяемое как перестановками накаждом энергетической уровне, так и между разными уровнями. mNNN ,...,, 21 - число частиц на уровне с соответствующим индексом, а !,...,!,! 21 mNNN - число возможных распределенный частиц на соответствующем уровне, определяемом перестановками частиц на этом уровне. Произведение !!....! 21 mNNN равно числу распределений N частиц по m уровням энергии, определяемом их перестановками на каждом из них. Отметим также, что при выводе формулы (23.4) было принято, что любой энергетический уровень одинаково «доступен» для каждой частицы, т.е. вероятность заполнения любого уровня одинакова.

В случаях aa ′, (рис. 4.2) на одном из уровней расположены все четыре частицы. Перестановок между уровнями нет, таким образом, существует только один способ размещения частиц. Очевидно, кроме размещения 1, 2, 3, 4 на

157

одном из уровне, возможны и другие, как 2,1,3,4; 3,1,2,4; 4,1,2,3 и т.д. – всего возможно 244 =! способов, но они не различаются между собой и соответствуют одному и тому же микросостоянию. Следовательно, термодинамическая вероятность 1=ap . Этот же результат получается вычислением по формуле (23.4).

Для случаев bb ′, на одном из уровней располагается одна частица, любая из четырех и три – на другом. Следовательно, возможны четыре перестановки частиц с одного уровня на другой. Согласно определению, такие перестановки приводят к новым микросостояниям. В итоге

4=bp . Вычисление по формуле (23.4) дает такой же результат:

=bp .4!3!1!4

=

Если частицы распределены по две на каждом уровне (рис. 4.2.с), то возможны 6 различных микросостояний,

6=cp . Применение формулы (23.4) приводит к тому же результату:

=cp .6!2!2

!4=

Из изложенного делаем вывод, что вероятность распределения максимальна, когда частицы равномерно рапределены по энергетическим уровням, причем вероятность нахождение на них одинакова.

158

Рис. 4.2

В общем, возможна ситуация, когда вероятность занятия различных уровней неодинакова, так как энергетические уровни могут быть вырожденными. Понятие вырождения энергетических уровней, используемое в основном в квантовой физике, было введено в доуниверситетском курсе для определения состояний электронов в атомах. Например, было установлено, что одному значению главного квантового числа n , определяющего энергию электрона, соответствует n значений орбитального квантового числа l , определяющего величину орбитального момента импульса электрона

)1( += llL ,

где )1(,...,2,1,0 −= nl , а π2h

= , h -постоянная Планка.

Следовательно, на одном и том же энергетическом уровне

159

электрон может находиться в n состояниях, отличающихся значениями орбитального момента импульса. Если одному энергетическому уровню соответствует несколько различных состояний частицы, то этот уровень называется вырожденным, а состояния с одинаковой энергией называются вырожденными. Степень (порядок) вырождения g энергетического уровня равна числу различных состояний частицы, находящейся на этом уровне. Или, иначе, энергетическому уровню соответствует g различных состояний частицы.

Если через ig обозначить число различных состояний с энергией ,iW то тогда можно сказать, что степень вырождения уровня iW равна .ig Общее число различных состояний, в которых может, находится частица на m уровнях энергии,

равно ∑=

m

iig

1.

Допустим, что на втором ( 2=n ) и третьем ( 3=n ) энергетических уровнях атома находится по 2 электрона. Определим число способов распределения этих электронов на каждом из уровней, различающихся значениями орбитального момента импульса электронов. Моменты импульсов вычислим по предложенной выше формуле, в которой орбитальное квантовое число принимает значения 0 и 1 для второго уровня и 0, 1 и 2 – для третьего.

У электрона, находящегося на втором уровне, есть два состояния, различающиеся значением орбитального момента импульса, следовательно, степень вырождения этого уровня

22 =g . Число различных – способов распределения двух электронов на этом уровне благодаря вырождению равно

422 = . Таблица 4.1

Энергетический уровень

Значения момента импульса Частица 1 Частица 2

160

2=n ., 10=l

0 0 0 2

2 0

2 2

3=n .,, 210=l

0 0

0 2

0 6

2 0

2 2

2 6

6 0

6 2

6 6 Электрон на третьем уровне имеет 3 различных

состояния, отличающихся значениями орбитального момента импульса, следовательно, степень вырождения этого уровня

32 =g . Общее число распределений двух электронов на нем

благодаря вырождению равно 932 = . В общем, если на энергетическом уровне iW со степенью вырождения ig , размещено iN частицу, то число способов различного

распределения блогодаря вырождению уровня равно ( ) .iNig

Для распределения по энергиям, согласно формуле (23.1) примем, что степени вырождения соответствующих энергетических уровней равны .,..., 2 mi ggg Тогда дополнительное число различных способов распределения

161

частиц благодаря вырождению энергетических уровней равно произведению

( ) ( ) ( ) ( ) ....3211 mii N

mNNN gggg

С учетом этого выражение (23.4) приобретает вид:

( ) ( ) ( ) ....!!...!

! 2121

21

mNm

NN

m

gggNNN

Np = (23.5)

Формула (23.5) позволяет вычислять общее число различных способов распределения частиц системы по m вырожденным уровням для осуществления распределения (23.1), т.е. вычислять вероятность распределения р. Если энергетические уровни не вырождены, тогда все ig равны 1 и формула (23.5) переходит в (23.4).

23.2. Распределение Максвелла-Больцмана

Одной из основных задач статистической физики является нахождение наиболее вероятного распределения частиц изолированной макроскопической системы по энергетическим уровням, т.е. распределения, соответствующего равновесному статическому состоянию. В этом состоянии система остается до тех пор, пока внешнее воздействие не изменит распределение. Под статистическим равновесиям следует понимать динамическое равновесие в следующем смысле: величины ,,...., 21 mNNN могут испытывать флюктуации около значений, соответствующих наиболее вероятному распределению, без того, чтобы появились эффекты, заметные с макроскопической точки зрения.

Сформулируем основные умозаключения, позволяющие вывести наиболее вероятное распределение для однородной изолированной системы. Согласно постулату относительно состояния статистического равновесия, (сформулированному в § 23.1), для нахождения распределения частиц системы, находящейся в таком состоянии, нужно исследовать на

162

максимум функцию вероятности распределения (23.5), а именно:

.0=pδ ( 23.6 ) С физической точки зрения равнозначно, а с

математической проще исследовать на максимум не p , а ее логарифм:

( ) 0ln =pδ . ( 23.7 ) При этом нужно соблюсти условия сохранения (23.2)

и (23.3). Итак, сначала логарифмируется выражение (23.5), а затем полученный результат дифференцируется согласно (23.7) с учетам того, что WgN i ,, - величины постоянные, т.е.

,01

== ∑=

m

iiNN δδ ,0=igδ .0

1== ∑

=i

N

ii NWW δδ (23.8)

В итоге, после математических преобразований получается выражение, называемое законом распределения Больцмана

( )α−= expii gN ( )iWβ−exp . (23.9) Соотношение (23.9) выражает зависимость числа частиц

на энергетическом уровне от его энергии, ,iW если система частиц находиться в статистическом равновесии. Величиныα и β – произвольные положительные константы, характеризующие систему. Введение, этих констант, обусловлено требованием соблюдать условия (23.8). Подставив выражения (23.9) в (23.2), получим

( ) ( )∑=

−−=m

iii WgN

1

.expexp βα

Введем обозначение ( )∑=

−=m

iii Wgz

1.exp β (23.10)

Тогда из предыдущего выражения можно записать

( ) .expzN

=−α 23.11)

163

Соотношение (23.11) дает зависимость константы α от числа частиц системы и β . Подставив (23.11) в (23.9), получим новое выражение для закона распределения Больцмана

( ).exp iii WgzNN β−= (23.12)

Величина z , определяемая равенством (23.10), называется статистической суммой. В случае непрерывного распределения частиц по энергиям величина z называется статистическим интегралом и выражение (23.10) заменяется интегралом

( ) ( )∫∞

−=0

,exp dWWWgz β (23.13)

где ( )dWWg - число состояний, которых может находится частица, энергия которой заключена в интервале от W до

.dWW + Непрерывное распределение частиц по энергиям, называемое законом распределения Максвелла-Больцмана, имеет вид:

( ) ( ) .exp dWWWgzNdN β−= (23.14)

В этом законе dN представляет собой число частиц, энергия которых заключена в интервале от W до ,dWW + если рассматриваемая система находится в состоянии статистического равновесия.

В случае непрерывного энергетического спектра функцией распределения частиц по энергиям ( )Wf называется величина, определяемая формулами:

( ) ,N

dNdWWf = ( ) .NdWdNWf = (23.15)

Согласно этим выражениям относительное число частиц, обладающих энергией, заключенной в интервале от W до

dWW + , пропорционально величине этого интервала и зависит от величины энергии ( ).Wf Одновременно

164

отношение N

dN это математическая вероятность того, что

энергия любой частицы лежит в заданном интервале. Следовательно, интеграл

( )∫∞

=0

1dWWf (23.16)

представляет собой вероятность того, что энергия произвольной частицы лежит в интервале от 0 до ∞ . Очевидно, это вероятность равна единице. Равенство (23.16) называется условием нормировки функции распределения. Из формулы (23.14) получим функцию распределения частиц изолированной системы по энергиям в состоянии статистического равновесия:

( ) ( ) ( )WWgz

Wf β−= exp1 . (23.17)

Из выражений (23.14) - (23.17) следует, что закон и функция распределения ( )Wf будут полностью определены, если выяснить физический смысл и определить константы α и β . При помощи соотношений (23.10) и (23.11) константа α была выражена через и β , имеющую размерность, обратную энергии ( ).; 1−L Вместо ,β целесообразно ввести новую величину T , называемую абсолютной температурой системы:

.1 kT=β

(23.18)

А если выбрать в качестве единицы измерения для Т 1 Кельвин (она была введена до появления статистической физики), то величина k – это уже известная постоянная Больцмана ( 23103805,1 −⋅=k Дж/К). Можно показать, что абсолютная температура, определяемая равенством (23.18) совпадает с температурой, измеряемой экспериментально, например, с помощью газового термометра.

165

Важно подчеркнуть, что выражение (23.18) определяет температуру всей системы, находящейся в статистическом равновесии, и не может быть применено к одной частице или неравновесной системе.

23.3. Распределение молекул идеального газа по скоростям и значениями энергии

В качестве примера применения результатов, полученных в §§ 23.1, 23.2 рассмотрим изолированную систему объемом ,V состоящую из N молекул идеального газа. Допустим, что кинетическая энергия молекул – это только энергия поступательного движения, она имеет сплошной спектр, охватывающий значения от нуля до бесконечности.

Для нахождения закона распределения нужно вычислить статистический интеграл (23.13) – фундаментальную величину статистической физики, конкретное выражение которого зависит от внутренней структуры рассматриваемой системы. Поскольку выражение (23.5) для вероятности распространения было получено в общем случае для вырожденных энергетических уравней, то интеграл можно вычислить, используя понятия и законы квантовой физики. Запишем окончательный результат для статистического интеграла и произведения ( )dWWg

( ) ,23

23

0

hkTmVZ π

= ( ) ( ) ,24 21

21

03 dWWmh

VdWWg π=

где 0m - масса одной молекулы, h - постоянная Планка. Тогда закон распределения молекул идеального газа по значениям энергии таков:

( )

,exp2 21

23 dW

kTWW

kTNdN ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

π

π (23.19)

а функция распределения имеет вид

166

( )( )

12

32

2 exp .dN Wf W WNdW kTkT

π

π⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(23.20)

При этом она подчиняется условию нормировки (23.16). График ( )Wf представляет собой асимметричную кривую с максимумом при энергии ,вW называемой наиболее вероятной энергией (рис. 4.3a). вW - можно вычислить, исследуя на максимум функцию ( )Wf

( ) ,0=dW

Wdf kTWв 21

= . (23.21)

В §24, будет показано, что эта величина совпадает со значением энергии, приходящейся на одну степень свободы. Из рис. 4.3 видно, что минимальное значение энергии равно нулю, но нет предела максимальной энергии. Вместе с тем, вероятность обладания энергией, много большей kT , очень мала. Заштрихованная площадка на рисунке представляет

собой относительное число молекул ( )dWWfN

dN= , энергия

которых заключена в интервале от W до .dWW + Для нахождения относительного числа молекул с энергией из конечного интервала [ ]21,WW нужно вычислить интеграл

∫2

1

.)(W

W

dWWf

Существуют экспериментальные методы проверки верности закона распределения (23.19). Один из них основан на рассмотрении скорости протекания химических реакций. Экспериментально установлено, что определенные химические реакции протекают только, если взаимодействующие молекулы обладают энергией, превышающей характерное для них пороговое значение 0W .

167

a b

Рис. 4.3 Чем больше число молекул с энергией, превышающей

0W , тем больше скорость реакции. Анализируя графики ( )Wf для двух температур 1T и 2T > 1T , замечаем, что число молекул с W > 0W возрастает при увеличении температуры (рис. 4.3.в). Вычислим дополнительное число молекул с W > 0W , появившееся при возрастании температуры газа от 1T до 2T . С другой стороны, экспериментально определяем скорости реакции при этих температурах. Констатируем, что скорость реакции возрастает в той же степени, что увеличивается число молекул с W > 0W при переходе от 1T к 2T . Этот результат является экспериментальным подтверждением справедливости закона распределения молекул идеального газа по значениям энергии.

Закон распределения молекул идеального газа по скоростям, установленный Максвеллом, позволяет вычислить число молекул со значениями скоростей, заключенных в интервале от v до v+dv, независимо от положения молекул в объеме V , занимаемом газом. Этот закон может быть получен из распределения (23.19) при подстановке в него

,v21 2

0mW = .vv0 dmdW = Тогда получим

22

3

0 v2

4 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

kTmNdNπ

π . v2

vexp2

0 dkT

m⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− (23.22)

168

А для функции распределения по скоростям

( ) ,v

vNddNf = можно записать:

( ) 22

3

0 v2

4v ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

kTmfπ

π . 2

vexp2

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

kTm (23.23)

Эт функция имеет максимум (рис. 4.4) при скорости вv , называемой наиболее вероятной скоростью молекул. Для вычисления ее значения нужно исследовать на максимум функцию ( )vf :

( ) .0vv

=d

df

Произведя вычисления и исключив значения ,0v = ∞=v , соответствующие минимуму функции ( )vf , получим

0

2vmkT

в =MRT2

= . (23.24)

Например, наиболее вероятная скорость молекул кислорода при 300=T K равна vв=3,9*102 м/с.

Зная функцию распределения (23.23), можно также вычислить среднюю арифметическую скорость молекул идеального газа v и среднюю квадратичную скорость,

называемую также тепловой скоростью молекул .vv2 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ = кв

Рис. 4.4 Рис. 4.5

169

Эти вычисления возможны, так как согласно второму фундаментальному постулату статистической физики: экспериментально наблюдаемые значения физических величин, характеризующих макроскопическую систему, представляют собой средние значения этих величин, взятых по всем микросостояниям, осуществляющим данное макросостояние. Следовательно, зная функцию распределения

( )yf , среднее арифметическое значение величины ( )yx можно вычислить по формуле:

( ) ( ) ,∫= dyyfyxx (23.25) интеграл при этом берется по всей области возможных значений переменной y . Исходя из равенства (23.25), средняя арифметическая скорость молекул идеального газа определяется выражением

( ) .vvvv0∫∞

= df (23.26)

Подставив в это равенство функцию (23.23), получим

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

23

0

24v

kTmπ

π v2

vexpv2

0

0

3 dkT

m⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∫

∞

. (23.27)

Для вычисления такого интеграла используются формулы

( )( )

( )( )

( ) ( )( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=−⋅⋅⋅⋅

=⋅−⋅⋅⋅⋅

=−

+

∞

∫...,7,5,3,

22

1...642

...,6,4,2,21

21...531

exp

21

2

22

0 naa

n

naa

n

dxaxx

nn

nn

π

, (23.28)

где a -произвольная положительная константа. Для 3=n и

kTma

20= получим,

.2v2

vexpv2

0

20

0

3⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∫

∞

mkTd

kTm

170

Подставив это значение в (23.27), запишем

в0

v13,188v ===M

RTmkT

ππ. (23.29)

С помощью этой же формулы (23.25) вычисляется 2v и затем средняя квадратичная скорость квv ,

.v2

vexpv.2

4v)v(vv2

0

0

42

3

0

0

22 dkT

mkT

mdf ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∫∫

∞∞

ππ

Для 4=n и kTma

20= по формуле (23.28) получаем:

,23v

2vexpv

2

0

20

0

4⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∫

∞

mkTd

kTm

.v224,133vv0

2вкв M

RTmkT

==== (23.30)

Из сравнения полученных результатов следует: вv < v < квv . Вмести с тем вv , v , квv возрастают

пропорционально T , т.е. максимум функции ( )vf смещается в сторону больших скоростей при увеличении температуры (рис. 4.5). Следовательно, число молекул с малыми скоростями уменьшается, а с большими – увеличивается при возрастании температуры. Между тем, площадь фигуры, ограниченной кривой )v(f и осью скоростей, остается неизменной в соответствии с условием нормировки (23.16).

Экспериментальное определение скоростей молекул и проверка закона распределения (23.22) впервые было выполнено O. Штерном (1920 год) при использовании молекулярных пучков. Позднее метод, предложенный O. Штерном, был применен многими ученными для определения распределения атомов и молекул по скоростям. Опыты Штерна, описаны в учебниках физики включая лицейские.

171

Отметим, что было получено хорошее согласие экспериментальных результатов законом Максвелла (23.22). Справедливость закона (23.22) следует также из факта что с его помощю можно получить строгий вывод основного уравнения молекулярно кинетической теории идеального газа (22.6), также подтвержденного экспериментально.

23.4. Распределение Больцмана молекул идеального газа по значениям энергии во внешнем поле консервативных

сил. Барометрическая формула В отсутствии внешних сил плотность ρ и концентрация

n молекул газа в состоянии равновеся везде оденаковы, молекулы равномерно распределены по всему объему сосуда. В действительности, на молекулы газа действует, по меньшей мере, гравитационное поле Земли, что создает изменение концентрации, а значит и давления газ с высотой. Для установления вида закона распределения молекул идеального газа, находящегося во внешнем поле консервативных сил, рассмотрим закон Максвелла-Больцмана (23.19), в который подставим полную энергию W молекулы массой 0m

,2v2

0пWmW += где пW - потенциальная энергия в указанном

поле, а также равенство ., VdndNnVN == Получается выражение в котором 0n - число молекул в единице объема для .0=пW

,vv2v

exp2

4 2

20

23

00 d

kT

mW

kTmndn

п

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ππ (23.31)

cоотношение (23.31) нужно проинтегрировать в пределах изменения скорости от 0 до бесконечности, используя формулу (23.28). В итоге имеем

172

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫

∞

v2

vexpvexp2

42

0

0

22

3

00 d

kTm

kTW

kTmnn п

ππ

,exp221exp

24 0

21

00

23

00 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

kTWn

mkT

mkT

kTW

kTmn пп ππ

π

.exp0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

kTWnn п (23.32)

Выражение (23.32) называется распределением Больцмана молекул идеального газа по значениям потенциальной энергии во внешнем поле консервативных сил. Согласно этому распределению концентрация молекул экспоненциально убывает с ростом потенциальной энергии. Распределение (23.32) справедливо для молекул идеального газа в любом внешнем потенциальном поле. В частном случае однородного гравитационного поля ( constg = ) формула (23.32) принимает вид

,expexp 00

0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

RTzMgn

kTzgmnn (23.33)

где z - высота относительно нулевого уровня потенциальной энергии, на нем концентрация равна n , а 0n - концентрация на нулевом уровне, координата которого .00 =z

Применим распределение (23.33) к земной атмосфере, которую в обычных условиях можно считать идеальным газом. Приходим к выводу, что концентрация воздуха экспоненциально убывает с высотой, причем быстрее убывает концентрация составляющих воздуха с большей молекулярной массой. При выводе формул (23.32), (23.33) считалось, что температура постоянна. Следовательно, величина концентрации воздуха, вычисленная по формуле (23.33), является приблизительной, так как температура воздуха уменьшается с ростом высоты. Из выражения (23.33) следует, что 0nn → , если ∞→T , т.е. возрастание

173

температуры, а значит и средней кинетической энергии молекул, значение которой становится пк WW >> , приводит к выравниванию концентрации газа во всем доступном пространстве. При 0→T 0→n , т.е. при прекращении теплового движения молекул, когда их кинетическая энергия стремится к нулю, молекулы должны расположиться на поверхности земли. Таким образом, наличие земной атмосферы обусловлено тепловым движением молекул, на которые действует гравитационная сила.

При подстановке в формулу (23.33) nkTР = , .00 kTnР = Получим

.exp 00 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

kTzgmРР (23.34)

Мы получили выражение, называемое барометрической формулой. Если известны давление 0Р на высоте 00 =z и Р на высоте z , то по формуле (23.34) можно вычислить эту высоту

.ln 0

0 РР

gmkTz =

Соотношения (23.33) и (23.34) можно вывести, не прибегая к распределению Максвелла-Больцмана.

Запишем условие равновесия для слоя воздуха толщиной dz и площадью s (рис. 4.6)

( )[ ] ,dzgsdРРРs ρ=+− где Р и dРР + -представляют собой атмосферное давление на высоте z и dzz + соответственно, а ρ -это плотность воздуха рассматриваемого слоя. Из написанного выражения следует

.gdzdР ρ−=

174

Рис. 4.6 Из уравнения состояния идеального газа определим ρ

==RTMРρ ,0

kTРm

где 0m - масса одной молекулы, и подставим в предыдущее выражение

,0 dzkT

gРmdp −= .0 dzkT

gmРdp

−=

Считая constT = и constg = , интегрируем последнее равенство в пределах от РдоР 0 и от 0 до z соответственно. Получаем барометрическую формулу (23.34).

Этот вывод формулы (23.34) подтверждает справедливость одного из самых важных законов статистической физики – распределения Максвелла-Больцмана.

§ 24. Закон равнораспределения средней кинетической энергии по степеням свободы

В §22 мы получили выражение для средней

кинетической энергии поступательного движения молекулы идеального газа

постW = 021 m .

23v 2 kTкв = (24.1)

Одновременно с поступательными движениями молекулы, состоящие из двух и более атомов могут совершать вращательные движения, а составляющие их атомы и

175

колебательные движения. Среднюю энергию, приходящуюся на эти движения, можно определить, исходя из статистического закона равнораспределения средней кинетической энергии по степеням свободы. В этом параграфе мы сформулируем и применим этот закон для одно-, двух- и многоатомных молекул газа, с использованием определенных моделей. Введем предварительно понятие 3. Числом степеней свободы тела называется число независимых координат, необходимых для однозначного определения положения тела в пространстве.

a) Одноатомные молекулы. Масса одноатомной молекулы практически полностью сосредоточена в атомном ядре, размеры которого )10( 15м−≈ пренебрежимо малы. Одноатомная молекула считается материальной точкой в поступательном движении, и ее положение полностью определяется тремя координатами - .,, zyx Такая молекула имеет три степени свободы и среднюю кинетическую энергию, определяемую формулой (24.1), в которую мы подставим выражение (22.5) для тепловой скорости vT . Получим

постW .v2 1

20 ∑=

=N

kkN

m

Благодаря хаотичности теплового движения молекул газа все направления движения равновероятны и средние значения трех слагаемых в правой части равенства

,v v v v 2kz

2ky

2kx

2k ++= (24.2)

равны друг другу. Следовательно, для направления оси x , например, можно записать

∑ ∑= =

=N

k

N

k1 1

2k

2kx , v

31 v постХW .

31

постW= (24.3)

Таким образом, исходя из общих представлений молекулярно – кинетической теории, приходим к выводу, что на каждую степень свободы поступательного движения

176

молекулы приходится одно и то же среднее значение кинетической энергии, которое получается подстановкой второго из равенств (24.1) в выражение (24.3)

постХW .22

331 kTkT =⋅= (24.4)

Строгий вывод соотношения (24.4) основан на применении функции распределения Максвелла по скоростям, записанной для составляющих скорости

( ) .2

vexp2

v2

02

1

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

kTm

kTmf x

x π (24.5)

Функции распределения по составлябщим yv и zv имеют такой же вид, что и (24.5), но с соответствующими индексами. Далее, используя (24.5) и определение (23.25), вычисляют средние значения энергии поступательного движения вдоль каждой оси.

( ) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∫∫

∞+

∞−

∞+

∞−x

xxxxx

x dkT

mkT

mmdfmm v2

vexpv22

vv v22

v 202

21

00202

0

π

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫

∞

xx dkT

mkT

mm v2

vexpv2

2x0

0

22

1

00 π

.2242

23

02

1

00

kTkT

mkT

mm =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−ππ

При вычислении интеграла используется формула (23.28). Аналогично получается

,22

v20 kTm y = .

22v2

0 kTm z =

Таким образом, мы вывели закон равнораспределения средней кинетической энергии по трем степеням свободы поступательного движения, причем на каждую приходится

одна и та же энегия .2

kT

177

b) Двух- и многоатомные молекулы. В первом приближении двухатомная молекула представляет собой две материальные точки, находящиеся на определенном расстоянии одна от другой и жестко связанные (рис. 4.7). Кроме трех степеней свободы поступательного движения она обладает еще двумя степенями свободы вращательного движения вокруг осей 11 00 − и .00 22 − Момент инерции и соответственно кинетическая энергия вращательного движения относительно оси 11 00 − пренебрежимо малы.

Многоатомные молекулы в первом приближении считаются состоящими из трех и более атомов, жестко связанных между собой (рис. 4.8), и обладающими тремя поступательными и тремя вращательными степенями свободы относительно осей, показанных на рисунке.

В рамках классической статистической физики выводится закон равнораспределения энергии по поступательным и вращательным степеням свободы молекулы. Этот закон формулируется следующим образом: на каждую степень свободы молекулы приходится одна и та

же средняя кинетическая энергия, равная 2

kT . Следовательно,

средняя кинетическая энергия с i степенями свободы равна.

кW .2

kTi= (24.6)

Рис. 4.7 Рис. 4.8

В рамках принятой модели молекул их средние кинетические энергии имеют значения:

178

Для одноатомных газов 3=i , кW kT23

= ,

Для двухатомных газов 5=i , кW kT25

= ,

Для многоатомных газов 6=i , кW .26 kT=

Модели молекул, состоящих из атомов, жестко связанных между собой, являются упрощенными. Атомы молекул не связаны жестко, а совершают колебательное движение, расстояния между атомами изменяются. Вычисляя среднюю кинетическую энергию одной молекулы, нужно принять во внимание и колебательные степени свободы: двухатомная молекула имеет одну колебательную степень свободы, а трехатомная молекула – три колебательные степени свободы. Энергия одного механического колебания равна сумме кинетической и потенциальной энергий. Средние значения этих энергий равны между собой и каждая равна

2kT . Следовательно, на одну колебательную степень свободы

приходится энергия, ,kT т.е. вдвое больше, чем на одну степень свободы поступательного или вращательного движения.

Важно отметить, что получение закона равнораспределения в рамках квантовой статистической физики приводит к следующим умозаключениям. Средняя кинетическая энергия, которая приходится на одну степень

свободы вращательного движения, равна 2

kT , если вT θ>> ,

где вθ называется характеристической температурой вращения и является величиной, постоянной для данного вещества. Для большинства газов эта температура много ниже нормальной. Далее, при температурах, сравнимых с нормальной, нужно принимать во внимание вращательное движение молекул и среднюю энергию, ему соответствующую. Средняя

179

кинетическая энергия, приходящаяся на одну колебательную степень свободы, равна, ,kT если температура газа вT θ>> . Величина vθ , отличная для разных вещества, называется характеристической температурой колебания. Для большинства газов vθ много выше нормальной температуры. В результате, колебательные движения следует принимать во внимание только при температурах, много больших, чем нормальная.

§25. Средняя длина свободного пробега молекул

Молекулы любого вещества представляют собой сложные системы, между которыми существуют силы взаимодействия, характер и величина которых зависит от расстояния между молекулами. Минимальное расстояние, на которое сближаются центры двух молекул, может быть определено, исходя из закона сохранения энергии. Это расстояние, называемое эффективным диаметром молекулы, зависит от средней энергии системы, состоящей из двух взаимодействующих молекул, следовательно, зависит от температуры. Кроме того, эффективный диаметр зависит и от химической природы молекул газа.

В молекулярно – кинетической теории вводится понятие средней длины свободного пробега – статистическая характеристика рассматриваемой системы, находящейся в состоянии равновесия. Средняя длина свободного пробега молекул газа – это среднее расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными соударениями. Средняя длина свободного пробега молекул идеального газа λ равна

,vγ

λ = (25.1)

где v -средняя скорость молекул газа, а γ -среднее число столкновений одной молекулы за единицу времени. Для

180

упрощения расчетов, величин γ и λ допустим, что все молекулы, кроме одной выделенной, неподвижны. Соударение этой молекулы с неподвижной произойдет, если центр неподвижной молекулы окажется от прямой, вдоль которой перемещается выделенная молекула, на расстоянии, меньшем или равном эффективному диаметру d. В результате соударения молекула изменит направление своего движения, после чего опять будет двигаться прямолинейно и равномерно до следующего соударения. Очевидно, эта молекула за единицу времени столкнется со всеми неподвижными молекулами, центры которых находятся внутри коленчатого цилиндра общей длиной v и сечением 2dπ (рис. 4.9).

Если концентрация молекул равна n , а объем цилиндра V , то среднее число соудорений выделенной молекулы за единицу времени равно:

==′ nVγ v2 ndπ .

Рис. 4.9 На самом деле движутся все молекулы и число

соударений определяется средней относительной скоротью молекул отнv ,

v2v =отн . В итоге среднее чисо соударений молекулы за единицу

времени равно nd v2 2πγ = . (25.2)

Подставив это равенство в (25.1), получим среднюю длину свободного пробега

181

nd 221

πλ = . (25.3)

С учетом того, что Tk

Pn = , получаем, что при

постоянной температуре средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению:

PdTk

22 πλ = . (25.4)

Одновременно с ростом температуры эффективный диаметр уменьшается, а средняя длина свободного пробега увеличивается согласно формуле

cTT+

= ∞λλ ,

где ∞λ - средняя длина свободного пробега для ∞=T , c – постоянная, зависящая от вещества. Определим значения величин λ и γ . Рассмотрим идеальный газ, находящийся при нормальных условиях. Тогда n=2,68*1025м-3 (число Ламмидта). Если примем, что эффективный радиус молекулы

мdr 10102

−≈= , то из равенства (25.4) получим м710*2 −≈λ .

При уменьшении давления до P≈10-1Па средняя длина свободного пробега возрастает до см10=λ . Таким образом, при этих условиях молекулы газа, находящиеся в сосуде, размеры которого порядка нескольких сантиметров, могут перемещаться от одной стенки до другой без соударений. При давлении P≈10-4Па средняя длина свободного пробега достигает величин порядка десятков метров.

При подстановке в выражение (25.2) v≈500м/с и м710*6.0 −≈λ для кислорода, находящегося в нормальных

условиях, получим 1910*8 −≈ cγ . При уменьшении давления пропорционально уменьшается и среднее число соударений.

182

§26. Явления переноса

В статистической физике изучаются макроскопические системы, находящиеся в состоянии равновесия, в которых протекают обратимые процессы (см. §29.1). Первые исследования необратимых процессов, происходящих в макроскопических системах, находящихся в неравновесном состоянии, были предприняты Р. Клаузиусом (1850 г.) и У. Томсоном (1854 г.), которые заложили основы физической кинетики. Некоторые параметры макроскопической системы, в которой происходят необратимые процессы, изменяются и в пространстве и во времени (если процесс нестационарный). Следовательно, становится невозможным общее (полное) описание состояния системы и его изменения. Необходимо описание мгновенных состояний системы в каждой точке. Для этого систему мысленно делят на очень большое число подсистем объемом ∆V, достаточно малым, чтобы в нем практически непрерывно осуществлялось равновесное состояние. В месте с тем, эти подсистемы должны иметь объем, достаточно большой, чтобы каждый мог считаться макроскопической системой. При протекании необратимых процессов происходит сложное движение материи, состоящее из перемещения вещества, переноса энергии, электрического заряда и т.д. от одной подсистемы к другой. Для характеристики изменения скалярной величины M от одной подсистемы к другой (от одной точки к другой) рассматриваемой системы вводится вектор плотности потока этой величины, численно равный значению величины M , переносимой в единицу времени через единичную площадку, расположенную нормально направлению переноса

,→→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

= nt

Mdsdj

nM (26.1)

где nr - единичный вектор оси, вдоль которой происходит соответствующий перенос, а nds - элемент поверхности, нормальный этому единичному вектору. Например, плотность

183

потока массы ,мJr

плотность потока энтропии ,еJr

и т.д. Необратимые физические процессы, сопровождаемые потоками энергии, вещества и т.д., называются явлениями переноса. Если явление сопровождается переносом вещества, говорят, что наблюдается молекулярная диффузия. Если явление сопровождается переносом энергии, то имеет место теплопроводность, а если сопровождается переносом импульса, то имеет место внутреннее трения, или вязкость.

Явления переноса наблюдаются в газах, жидкостях и твердых телах. В газах это происходит в результате нарушения полностью хаотического характера движения молекул, а значит при отклонении распределения Максвелла молекул по скоростям. Строго говоря, изучение каждого явления переноса нужно начинать с определения этих отклонений от распределения Максвелла, что даст возможность строгого вывода законов соответствующего явления переноса. Для большей доступности рассмотрим только явления переноса в идеальных газах. Ограничимся анализом основных экспериментальных закономерностей этих явлений и их качественным обоснованием, исходя из молекулярно – кинетической теории.

26.1. Общие уравнения явлений переноса в идеальных газах

Рассмотрим микроскопический статический параметр A ,

убывающий вдоль оси z0 , 0≠∂∂

zA . Неоднородность величины

A обуславливает появление в газе переноса физической величины ( )AMM = в положительном направлении оси z0 . Например, если A представляет собой среднюю кинетическую энергию молекулы, прямо пропорциональную локальной температуре T , то M - это внутренняя энергия. Очевидно, число молекул, пересекающих за единицу времени единичную поверхность с координатой z , расположенной нормально оси z0 , в одном и другом направлениях, прямо

184

пропорционально концентрации молекул n и их средней скорости v . Вместе с тем, чем больше разность значений величины A , которая является характеристикой молекул, пересекающий указанную поверхность в противоположных направлениях за единицу времени, тем больше плотность потока физической величины ( )AM . Можно считать, что среднее расстояние, которое проходит молекула от последнего соударения до пересечения указанной поверхности, равно средней длине свободного пробега λ . Обобщая эти рассуждения, получаем, что плотность потока величины ( )AMM = прямо пропорциональна n , v , и разности значений величины М(A) для точек с координатами ( )λ−z и ( )λ+z :

[ ])A(z-)-A(zv λλ +≈ njM Поскольку

( ) ( ) ,zAzAzA

∂∂

+≈+ λλ

( ) ( ) ,zAzAzA

∂∂

−≈− λλ

получим: .v2~zAnjM ∂

∂λ (26.2)

Выражение (26.2) называется уравнением переноса величины M . Это уравнение может быть написано и для случая, когда в системе в положительном направлении оси oz , изменяется физическая величина Av, отнесенная к единице объема (например, плотность газа). Тогда,

z

AjAnA M ∂∂

= vv v2~, λ . (26.3)

В выражениях (26.2) и (26.3) производные zA

∂∂ и

zA∂

∂ v -это

проекции градиента A и соответственно vA на оси z0 . При строгом выводе уравнений явлений переноса, основанном на молекулярно-кинетической теории идеального газа, получаются выражения:

185

,v31

zAnjM ∂

∂= λ (26.4)

z

AjM ∂∂

= vv31 λ . (26.5)

Которые называются общими уравнениями явлений переноса в газе.

26.2. Теплопроводность

Под теплопроводностью понимается направлениный перенос внутренней энергии (называемый также переносом теплоты), наблюдаемый тогда, когда молеклы газа в различных подсистемах обладают различными средними кинетическими энергиями. Направленный перенос внутренней энергии в направлении уменьшения их средних кинетических энергий, а значит, в направлении уменьшения температуры, происходит вследствие теплового хаотического движения и взаимодействия молекул. Для простоты будем считать, что перенос энергии происходит в положительном

направлении оси oz , для которого 0<∂∂

zT , поскольку

тепловой поток направлен в сторону уменьшения температуры.

Теплопроводность характеризуется плотностью потока внутренней энергии, или плотностью теплового потока uj ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=t

Udsdj

nu ,

которая удовлетворяет экспериментальное уравнение Фурье,

zTkju ∂

∂−= , (26.6)

где k - называется коэффициентом теплопроводности, а знак «-» указывает на то, что перенос энергии происходит в направлении уменьшения температуры. Энергия, переносимая через площадку nds за время dt , определяется выражением:

186

dtdsjU nu=∂ Для увеличения температуры единицы объема

идеального газа на dT в изохорном процессе необходима энергия

,vv dTcU ρ=∂ где ρ - плотность газа, vc - удельная теплоемкость при постоянном объеме. Тогда

.vv

dzdTc

zU ρ=∂

∂ (26.7)

Последняя формула показывает, что значение M из формулы (26.5) представляет внутреннюю энергию, а vA - представляет внутреннюю энергию единицы объема вещества

vU прямо пропорциональную внутренней температуре .~v TU Подставим формулу (26.7) в (26.5) получим,

dzdTcju vv

31 ρλ= . (26.8)

Сравнивая выражения (26.8) и (26.6), получаем формулу для коэффициента k :

vv31 ck ρλ= . (26.9)

Из формулы (26.9) видна зависимость коэффициента теплопроводности от средней скорости v и средней длины свободного пробега λ , плотности газа ρ и удельной теплоемкости при постоянном объеме сv- характерных величин молекулярно-кенетической теории.

26.3. Внутреннее трение (вязкость) Рассмотрим течение газа при внешнем воздействии.

Объем газа можно разделить на слои, движущиеся с разными скоростями (рис. 4.10) )(v zf= вдоль оси x .

187

Рис. 4.10 Направленное упорядоченное движение слоев

накладывается на хаотическое движение молекул, в результате чего молекулы из слоев с большими скоростями переходят в слои с меньшей скоростью и скорость этих слоев увеличивается; молекулы из слоев с меньшей скоростью переходят в слои с большей скоростью и скорость последних уменьшается. Как общий результат наблюдается перенос импульса xP из слоев с большими скоростями в слои с меньшими скоростями. Описанное явление, называемое внутренним трением или вязкостью, подчиняется закону, аналогичному закону Фурье для теплопроводности:

,vzt

Ps

j xx

np ∂

∂−=

∂∂

∂∂

= η (26.9)

где pj - плотность потока импульса; η - называется коэффициентом внутреннего трения, или динамической

вязкостью, аz

x

∂∂v - представляет собой проекцию градиента

скорости слоев на ось z0 . Исходя из второго закона Ньютона

(dtPdFr

r= ), можно утверждать: на один из соприкасающихся

слоев действует касательная сила s∂ , величина которой равна (26.9):

.v11 z

ssjt

PdF xp

x

∂∂

∂−=∂=∂

∂= η (26.10)

188

Аналогично, на соседний с ним слой действует сила 12 FdFd −= . Выражение (26.10) называется законом

Ньютона для внутреннего трения. Согласно этому закону сила внутреннего трения, касательная к поверхности соприкасающихся слоев газа величиной s∂ , прямо пропорциональна изменению скорости упорядоченного движения, приходящемуся на единицу длины в направлении нормали к поверхности соприкасающихся слоев. Отметим, что выражения (26.9), (26.10) применимы также для ламинарного течения реальных жидкостей.

Из анализа внутреннего трения следует, что величина vA из формулы (26.5) представляет собой импульс упорядоченного движения молекул единицы объема

xxmnP vv0v ρ== , где 0m - масса одной молекулы.

Тогда

zzmn

zP xx

∂∂

=∂

∂=

∂∂ vv

0v ρ .

Подставив это выражение в формулу (26.5), получим плотность потока импульса

.v3

vv3

v0 z

mnz

j xxp ∂

∂−=

∂∂

−=λρλ (26.11)

Из формул (26.9) и (26.11) получим выражение для динамической вязкости

03v

3v mnλρλη == . (26.12)

Для газов средняя скорость v пропорциональна 0m

T , а

средняя длина свободного пробега λ пропорциональна 21dπ

.

Тогда,

189

η ~ Tdm

Tnm 20

20

0 dm

~1π

. (26.13)

Из этого следует, что динамическая вязкость η не зависит от концентрации молекул газа n , а значит и от давления. Это объясняется следующим образом. Одновременно с уменьшением давления уменьшается концентрация, т.е. число молекул, осуществляющих перенос импульса, а средняя длина свободного пробега λ возрастает, а значений, и перенос импульса. В результате η остается неизменным. Это справедливо, только если λ мала по сравнению с размерами отверстия, через которое течет газ (например, диаметр трубы). В противном случае η убывает одновременно с уменьшением давления. Согласно (26.13)

T~η , т.е. constT

=η . В действительности это выражение

плавно растет при увеличении температуры, что объясняется зависимостью от температуры средней длины свободного пробега.

26.4. Диффузия Под диффузией понимают упорядоченное перемещение

молекул из одной части системы в другую, если в рассматриваемой системе существует градиент концентрации молекул (или плотности вещества). Для простоты допустим, что диффузия происходит в одном направлении, например

oz , т.е. концентрация молекул газа ( )znn = и 0≠∂∂

zn . А

поскольку ,0mn=ρ ( 0m -масса одной молекулы), то и 0≠∂∂

zρ .

Диффузия характеризуется плотностью потока молекул Nj , численно равной числу молекул, пересекающих за единицу времени еденичную площадку, расположенную нормально направлению диффузии. Тогда поверхность nds ,

190

перпендикулярную направлению диффузии, за время dt пересекут молекулы, число которых определяется выражением

.dtdsjdN N= (26.14) Опытным путем установлено, что плотность потока

молекул прямо пропорциональна проекции их градиента концентрации, т.е.

.znDjN ∂

∂−= (26.15)

Коэффициент пропорциональности D называется коэффициентом диффузии, а знак «-» показывает, что диффузия происходит в направлении уменьшения концентрации. Выражение (26.15) представляет собой первый закон Фика для одномерной диффузии. Закон Фика записывается также через массу газа, переносимого за единицу времени через единичную площадку, нормальную направлению диффузии, а именно mj ,

.z

Djm ∂∂

−=ρ (26.16)

Плотность ρ - это величина vA из (26.5). Сравнивая формулы (26.5) и (26.16), получаем:

.3

vλ=D (26.17)

Подставим (25.4) и (23.29) в (26.17), из чего следует:

.~2

831

20

23

20 pdm

Tpd

kTmkTD

ππ= (26.18)

Коэффициент диффузии зависит от природы газа и эффективного диаметра d. При постоянном давлении

коэффициент диффузии пропорционален 23

T . Этот вывод не является строгим, так как было установлено, что эффективный диаметр зависит от температуры. При

191

постоянной температуре constT = коэффициент диффузии обратно пропорционален давлению P .

Рассмотрим слой газа с площадью основания s и высотой dz . Число молекул в этом слое равно dzsn . Изменение со временем этого числа молекул равно разности потока молекул через две поверхности площадью s каждая и с координатами z и dzz + :

( ) ( ) ( )[ ].dzzjzjsdzsnt NN +−=

∂∂

Величины ( )zjN и ( )dzzjN + представляют собой в общем случае некоторые функции нескольких переменных. Считая все эти переменные, за исключением z , постоянными, получим

( ) ( ) .dzzjzjdzzj N

NN ∂∂

+≈+

Тогда ( ) ( ) ( ) ,⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

−−=∂∂ dz

zjzjzjsdzsn

tN

NN

.zj

tn N

∂∂

−=∂∂ (26.19)

Мы поучили уравнение непрерывности для явления диффузии, которое выражает закон сохранения числа молекул. Если в это уравнение подставить первый закон Фика (26.15), то придем к выражению:

2

2

zndD

tn

∂=

∂∂ . (26.20)

Оно называется вторым законом Фика и представляет собой дифференциальное уравнение диффузии, которое полностью описывает это явление, если известны начальные условия. Интегрируя его, находим концентрацию как функцию z в любой момент времени t .

В результате диффузии выравнивается концентрация газа в рассматриваемой системе независимо от того, является ли система однородным с точки зрения химической газом, или

192

смесью газов. Коэффициент диффузии смеси двух газов с массами молекул 01m и 02m и эффективными диаметрами молекул 1d и 2d соответственно, вычисляется по формуле:

ndmTBD 2

120

1′

= ,

где B - численный коэффициент, 0201

02010 mm

mmm+

=′ - приведенная

масса молекул смеси, а 2

2112

ddd += - эффективный диаметр

молекул смеси. Диффузия происходит не только в газах, но и в жидкостях и твердых телах. Среднее расстояние, на которое переносится вещество за единицу времени в этих средах, намного меньше, так как диффузия в газах происходит гораздо быстрее, чем в жидкостях и твердых телах. Например, в нормальных условиях за 1 секунду поток воздуха проникает в водяные пары примерно на 0,5см, тогда как поток золота проникает в свинец за 24 часа примерно на 1см.

26.5. Следствия из теории явлений переноса в газах Из формул (26.8), (26.12), (26.17) получаются следующие

соотношения между коэффициентами переноса Dcck vv ρη ==

Отсюда следует, что экспериментальное определение одних коэффициентов дает возможность вычислить другие. Явление переноса позволяют вычислить эффективный диаметр молекул химически однородных газов, если экспериментально определены значения коэффициентов переноса и характеристики газа, а именно: средняя скорость при данной температуре, удельная теплоемкость, молярная масса.

193

Приложение. Примеры решение задач Задача 1.

В сосуде объемом V=1,00л находится моль азота. Найти: a)температуру азота, при которой относительная погрешность давления, вычисленного из уравнения состояния идеального газа, равна 10% относительно давления, вычисленного из уравнения Ван-дер-Ваальса.

b)давление газа при этой температуре. Решение

Обозначим через iP и P давление газа, определенное из уравнения состояния идеального газа и уравнения Ван-дер-Ваальса соответственно.

( )мольVRT

VRTPRTVP ii 1;, ==== υυυ

22 ,))((Va

bVRTPRTbV

VaP −

−==−+ .

Согласно условию задачи .1,0=−

=P

PPiη

Подставим сюда полученные выше давления,

η=−

−

+−

−

2

2

Va

bVRT

Va

bVRT

VRT

.

Выразим отсюда T, )(

))(1(bVRV

bVaT+

−+=

ηη .

Значения коэффициентов a и b берем из таблицы: для

азота 2

2*.35.1моль

латмa = , мольлb 027,0= . Получаем 133 KT = .

Из уравнения Ван-дер-Ваальса выражаем давление:

2VbVRTP α

−−

=

Подставив все величины в СИ, получим Р≈106 Па.

194

Задача 2 Определить нименьшее возможное значение давления

идеального газа, температура которого подчиняется закону T=T0+αV2, где α, T0 - положительные константы, а V- объем одного моля идеального газа.

Решение Используем уравнение состояния идеального газа и

предложенный закон изменения температуры для получения зависимости давления от объема.

( ) ( )мольVTVRT

VRTPRTVP ii 1;, 2

0 =+=== υαυυ

Минимальное давление удовлетворяет условию.

.,02)(,0 0202 α

αα TVVVRVT

VR

dVdP

=⇒=++−⇒=

Подставив это значение объема в зависимость давления от объема, получим

.2)( 00

00

min TRTTTRP α

αα

α

=+=

Задача 3 В цилиндре с поршнем находится гелий массой m=20 г.

Газ квазистатически переведен из состояния с объемом V1=32л и давлением P1=4,1 атом в состоянии с объемом V2=9л и давлением P2=15,5атом. Какой максимальной температуры достигнет газ, если совершаемый процесс представлен отрезком прямой, соединяющей точки 1 и 2? Найти давление и объем при максимальной температуре.

Решение Уравнение рассматриваемого процесса-это уравнение

прямой .baVP += Определим константы a и b, записав уравнение дважды и подставив данные:

., 2211 baVPbaVP +=+=

195

Получим:

37

21

21

10*5

5.0

мПа

латом

VVPPa

−=

=−=−−

=

Па

атомVV

VPVPb

621

2112

10*2

20

=

==−−

=

Выразим температуру T из уравнения состояния

идеального газа и в полученное равенство подставим уравнение процесса.

)(1 2 bVaVRR

PVT +==υυ

.

Мы получим уравнение параболы, ветви которой

обращены вниз. Используя условие максимума, 0=dVdT ,

определим Vm, соответствующий максимальной температуре Tm , а также эту температуру.

2 2 3

2 2

2

1 ( ) 0, 2 10 m ,2

1 ( ) 481K.4 2 4

m

m

d baV bV VdV R a

b b bT a bR a a Ra

υ

υ υ

−⎡ ⎤+ = = − = ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

= − = − =

Подставив a, b, Vm в уравнение процесса, вычислим

давление, соответствующее максимальной температуре,

ПаbbaVP mm610

2==+= .

Задача 4 Определить температуру газа, для которого:

196

a)средняя квадратичная скорость молекул водорода больше

наиболее вероятной скорости на см400v =∆ ;

b)максимум функции распределения молекул кислорода по

скоростям соответствует скорости см420v = .

Решение

a)В соответствии с условием задачи MRT

кв3v =

больше MRT

в2v = на v∆ , т.е.

2 2

2

2

3 2 v, ( 3 2) ( v) ,

( v) 420K.( 3 2)

RT RT RTM M M

MTR

− = ∆ − = ∆

∆= ≈

−

b)Максимум функции распределения молекул по скоростям соответствует наиболее вероятной скорости

,2vMRT

в =

следовательно .340,4202 КТсм

MRT

≈=

Задача 5 Вычислить наиболее вероятную, среднюю квадратичную

и среднюю арифметическую скорости молекул газа, плотность которого при нормальном давлении равна ρ=1г/л. Считая, что этот газ – азот (М=28*10-3кг/моль), вычислить среднюю энергию поступательного движения молекулы и концентрацию газа.

Решение Из уравнения состояния идеального газа получается

следующее выражение для плотности газа:

197

,RTPM

Vm

==ρ

из него выразим ρP

MRT

= , которое подставим в формулы для

скоростей.

смP

MRT

смP

MRT

смP

MRT

кв

в

51088v

55023v

45022v

===

===

===

πρπ

ρ

ρ

Для нахождения средней энергии поступательного

движения одной молекулы kTWпост 23

= предварительно

определим температуру ρR

MPT = . Получим,

ДжNMP

kNkMP

RkMPkTW

AAпост

2110723

23

23

23 −⋅=====

ρρρ.

Концентрацию газа найдем из основного уравнения молекулярно – кинетической теории

325

пост, 103,4

W3Pn

31 −⋅=== мWnP пост .

Задача 6 При какой температуре число молекул в интервале (v,

v+dv) максимально? Масса молекулы m. Решение

Число молекул, скорости которых лежат в интервале (v, v+dv) определим из распределения Максвелл.

vv)2

(4 2v

223 2

NdekT

mdN kTm

−=

ππ .

Согласно условию задачи

198

constNdkT

m=v2

3

)2

(4π

π .

Таким образом, число молекул со скоростями в заданном интервале зависит только от температуры и будет

максимальным при условии: 0)(=

dTdNd

⇒=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅+⋅−=

=⋅⋅=

−−−−

−−

02

v23

)()(

2

22

v23

2v

25

2v

23

22

2

RTmeTeTconst

eTdTdconstdN

dTd

kTm

kTm

kTm

.02

v23 2

25

2v2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⋅

−−

kTmTe kT

m

Соответствует максимальному значению и имеет

физический смысл выражение k

mT3v2

= .

Задача 7 Идеальный газ с молярной массой M находится в

высоком вертикальном цилиндрическом сосуде с основанием S и высотой h0. Температура газа T, а давление у нижнего основания равно P0. Считая, что температура и ускорение свободного падения не зависят от высоты, вы определить массу газа в сосуде.

Решение Рассмотрим элементарную массу газа dm, находящуюся

в элементарном объеме dV сосуда dm=ρdV=ρsdh,

где ρ- плотнсть газа, dh- высота элементарного объема. Из уравнения состояния идеального газа для плотности газа получим следующее выражение

RTPM

=ρ .

199

Зависимость давления газа от высоты дает барометрическая формула

RThMg

ePP−

= 0 . Подставив последние два равенства в формулу для dm,

получим

.0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

−−

RTMghde

gSPdheP

RTMSdm RT

hMgRT

hMg

Интегрируем полученное выражение в пределах от 0 до

m для массы и от 0 до RT

Mghx 00 = для величины

RTMghx = .

Масса газа m равна

.1)(0

00

00

0

0

0 | ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=−−=

−−−∫ RThMg

xxx

x eg

SPeg

SPxdeg

SPm

Задача 8 Потенциальная энергия молекул идеального газа,

находящегося в центральном силовом поле, зависит от ростояния r до центра поля согласно закону Wп(r)=αr2, где α положительная константа. Считая температуру газа равной T, а концентрацию в центре n0 , определить: a)число молекул, находящихся от центра поля на расстоянии от r до r+dr; b)наиболее вероятные расстояния молекул от центра поля; c)относительное число молекул, находящихся от центра поля на расстоянии от r до r+dr.

Решение a) Распределение Больцмана для молекул идеального

газа, находящегося в потенциальном поле, позволяет вычислить концентрацию молекул в зависимости от их потенциальной энергии, т.е. от их положения в поле. Центральное поле потенциально, следовательно мы можем использовать закон этого распределения

kTr

kTW

enennp

2

00

α−−

== .

200

В центральном поле молекулы, находящиеся от центра поля на расстоянии от r до r+dr, рассполагаются в сферическом слое толщиной dr и объемом drr 24π=dV . Число молекул в этом слое равно

drrenndVdN kTr

20 4

2

πα

−== .

b) Расстояние r наиболее вероятно, если число молекул, находящихся на этом расстоянии максимально. Следовательно, нужно вычислить и приравнять 0

производную по r от выражения drdN , полученного из выше

написанной формулы.

.0122

,022,04

2

222

20

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−−−

kTrre

rekT

rerendrd

kTr

kTr

kTr

kTr

α

απ

α

ααα

Максимальному числу молекул соответствует наиболее вероятное расстояние

αkTrв = .

c) Для определения относительного числа молекул

(N

dN ), находящихся в сферическом слое dr, предварительно

нужно найти все количество молекул N. Проинтегрируем выражение для dN в пределах от 0 до ∞ .

0

23

02

00 2

12144

2

nkT

kTkT

ndrrenN kTr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅== ∫

∞−

απ

απ

αππα

.

201

Интеграл был вычислен, исходя из общей формулы

вычисления подобных интегралов (23.28). Для отношения N

dN

получаем

.41422

223

0

23

20 drer

kTnkTdrren

NdN kT

rkTr αα

ππ

απ

απ−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

Задача 9 Найти максимальное число молекул азота, которые,

находясь в сферическом сосуде диаметром D, не соударяются между собой.

Решение Для того чтобы млекулы не сталкивались между собой,

необходимо выполнение условия D≥λ (λ-средняя длина

свободного пробега молекул). А поскольку nd 22

1π

λ = , то

DdnиD

nd 22 21

21

ππλ ≤≥= .

Максимальное число молекул в сосуде равно

.2623

42

123

42

23

2

3

dDD

DdDnnVN =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== π

ππ

Задача 10 Вычислить число соударений z за одну секунду молекул

водорода, находящихся в объеме V=1мм3 в нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул водорода

10103,2 −⋅≈d м. Решение

Число соударений одной молекулы за 1с, равно

,2vv 21 ndZ π

λ== где v - средняя арифметическая скорость

молекул, MRT

π8v = . Концентрацию молекул найдем из

202

соотношения 0

0

kTPn = . Число соударений всех молекул газа за

1с. 2/1 NZZ ⋅= , где N- общее число молекул, N=nV. Следовательно,

12622

22m

22

1 106,182

22

v22

−⋅≈==⋅= сMRT

TkVPdVndnVZZ

πππ .

Задача 11

Постоянная Ван-дер-Ваальса некоторого газа b=40мл/моль. Найти среднюю длину свободного пробега молекул этого газа.

Решение Постоянная b=4, где NaV1- собственный объем молекул

одного моля газа, 3

1 234

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

dV π . Из этих равенств находим d:

32

3

aNbd

π= .

Подставим это выражение в формулу для средней длины свободного пробега, получим

843

2222

1 32

0

0

02

02

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

bN

PkT

PdkT

ndaπ

πππλ нм .

Задача 12 Объем двухатомного идеального газа адиабатно

уменьшается в a=10 раз. Как и во сколько раз изменятся коэффициенты диффузии D и вязкости η?

Решение Запишем уравнение адиабаты (28.13)

,,, 11

1

2

1

2122

111

1 γγ

γγγ −

−−−− =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== a

VV

TTVTVTconstTV

203

гдеi

iCCp 2

v

+==γ , i- число степеней свободы молекулы. Для

двухатомного газа i=5, γ=1,4. Воспользуемся формулой (26.17) для коэффициента диффузии и подставим в нее соотношения средней арифметической скорости, средней

длины свободного пробега и концентрации VNn Aν

= ,

ANV

dMRTD

νππλ

⋅⋅==22

1831

3v .

Считая d=const, получим следующие зависимости:

.,~,~ 54

21

1

2

1

2

1

222111 aaa

VV

TT

DDVTDVTD =⋅=⋅=

−γ

Подставив численное значение а, получим, что коэффициент диффузии уменьшается примерно в 6,3 раз. Подставив в формулу (26.13) выражения для средней арифметической скорости и средней длины свободного пробега, получим:

TMR

dndMRTnmnm

ππππλη 22

00 3

22

1833

v=⋅== .

Считая d=const, запишем:

.,~,~ 512

1

1

2

2

1

2

12211

21

aaVV

TTTT ==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

−−

γγ

ηηηη

η возрастает примерно в 1,6 раз.

204

Контрольные вопросы 1.При каких условиях уравнение Ван-дер-Ваальса переходит в уравнение Клапейрона-Мендилеева?

2.Какова молекулярно-кинетическая интерпретация давления и термодинамической температуры?

3.Дайте определение вероятности распределения и объясните формулу для ее вычисления в случаях:

a)невырожденных энергетических уровней; b)вырожденных энергетических уровней. Охарактеризуйте состояние термодинамической системы с максимальной вероятностью распределения.

4.Каков физический смысл функции распределения частиц по: a)значениям энергии; b)скоростям?

5.Показать, что закон распределения молекул идеального газа по скоростям можно получить из закона распространения молекул идеального газа по значениям энергии.

6.От каких физических величин зависит наиболее вероятная скорость молекул идеального газа?

7.Объяснить закон Больцмана распределения молекул идеального газа по энергии во внешнем поле консервативных сил, а также барометрическую формулу.

8.Указать упрощения, допущенные при выводе классического закона равнораспределения средней кинетической энергии по степеням свободы.

9.Объяснить формулу для вычисления средней длины свободного пробега молекул.

10.Какие условия необходимы для протекания явлений переноса? Объяснить на примерах теплопроводности, внутреннего трения и диффузии.

205

**Основы термодинамики

В §§ 27-32 будут даны определения новых физических величин, которые характеризуют макроскопические системы и их взаимодействие с внешней средой. Эти величины будут использованы для формулировки законов термодинамики, с помощью которых будут описаны различные процессы, протекающие в макроскопической системе. Форма изложения этой темы преследует цель объяснить законы и процессы термодинамики на основе молекулярного строения рассматриваемых систем, т.е. опираясь на классическую статистическую физику.

Феноменологический характер термодинамики позволяет сформулировать следующие утверждения – постулаты термодинамики, лежащие в ее основе.

1.Изолированная термодинамическая система всегда приходит в равновесное состояние, из которого не может выйти самостоятельно.

2.Если термодинамические системы, находящиеся в тепловом контакте, не обмениваются теплотой между собой, то говорят, что эти системы находятся в тепловом равновесии, имея одинаковую температуру. В этом состоянии внутренние параметры являются функциями внешних параметров и температуры. Этот постулат лежит в основе всех методов измерения температур тел.

§ 27. Первое начало термодинамики

27.1. Внутренняя энергия термодинамической системы

Рассмотрим макроскопическую систему, частицы которой взаимодействуют между собой и с внешней средой, обмениваясь с ней энергией. Полная кинетическая энергия системы )(TWW кк = равна сумме кинетических энергий составляющих ее частиц. Для вычисления этой энергии необходимо выбрать систему отсчета. Обычно эта система

206

центра масс, относительно которой импульс макроскопический системы равен нулю. Макроскопическая система обладает также потенциальной энергией )(VWW пп = , равной сумме энергий взаимодействия между молекулами системы. Внутренняя энергия системы равна сумме кинетической кW и потенциальной пW энергии

)()( VWVWU пк += . (27.1) Нужно уточнить, что внутренняя энергия (27.1) не

включает энергию движения системы как целого и потенциальную энергию во внешнем силовом поле. Согласно (27.1) внутренняя энергия зависит только от параметров, характеризующих внутреннее состояние системы, т.е. является характеристикой этого внутреннего состояния. Это означает, что внутренняя энергия является функцией состояния и не зависит от способа, которым система достигла этого состояния. К этому выводу можно прийти, исходя также из факта, что внутренняя энергия является суммой двух функций состояний: кW и пW . Очевидно, внутренняя энергия определена только с точностью до произвольной постоянной, что не сказывается на законах, описывающих процессы в макроскопической системе, так как в эти законы входит изменение внутренней энергии. Если макроскопическая система не взаимодействует с внешней средой, т.е. изолирована, ее внутренняя энергия не изменяется, ,constU = хотя частицы обмениваются энергией между собой при взаимодействии. Это утверждение не что иное, как закон сохранения энергии для изолированных консервативных систем.

Если макроскопическая система взаимодействует с внешней средой, то происходит обмен энергией W , таким образом

,0 WUU =− (27.2)

207

где 0 UиU - внутренняя энергия системы в начальном и конечном состоянии соответственно. Энергия W - это сумма энергий, которыми обмениваются все частицы системы с внешней средой. Но определение энергии W , как такой суммы, практически невозможно для макроскопической системы. Энергия W вычисляется как сумма двух, качественно различных макроскопических величин, механической работы A и теплотыQ , которыми обменивается система с внешней средой.

.QAW += Эти физические величины будут рассмотрены в §§27.3 и

27.4.

27.2. Внутренняя энергия идеальных и реальных газов Средняя кинетическая энергия молекулы газа

определяется числом степеней свободы i и температурой T :

kTiW к 21 = ,

тогда для кинетической энергии ANN ν= молекул однородного газа получим:

RTikTiNW Aк νν22

== )( RkNA = . (27.3)

Молекулы идеального газа не взаимодействуют на расстоянии, следовательно 0=пW . Тогда из равенства (27.1), (27.3) получаем выражение для внутренней энергии идеального газа

RTiU ν2

= . (27.4)

Потенциальная энергия взаимодействия молекул реального газа зависит от среднего расстояния между ними, т.е. от объема газа, )(VWW пп = . Как известно, работа, совершаемая против сил притяжения между частицами, равна приращению потенциальной энергии системы этих частиц; силы притяжения между молекулами реального газа,

208

действующие нормально на единицу поверхности-это

внутреннее давление в уравнении Ван-дер-Ваальса, 2

2v

VaPi

ν= .

Тогда элементарная работа, совершаемая против сил притяжения между молекулами при расширении газа равна,

,2

2v dVV

adVPdA iν

== .2

2v dVV

adWпν

=

Интегрируя выражения, получаем

.2

v constdVV

aWп +=ν (27.5)

Значение константы в (27.5) определяется из следующего условия: при ∞→V газ соответствует модели идеального газа и Wп=0. Следовательно, .0=const В результате для внутренней энергии реального газа получается выражение:

,2

2v

VaRTiU νν −= (27.6)

из которого следует, что внутренняя энергия увеличивается как при возрастании температуры, так и при увеличении объема. Очевидно (27.6) переходит в (27.3), при ∞→V .

27.3. Механическая работа термодинамической системы

Допустим, что рассматриваемая система представляет собой газ, заключенный в цилиндр, снабженный подвижным поршнем (рис. 4.11). Проанализируем обмен энергии, происходящий между газом и внешней средой посредством соударений молекул газа с поршнем. В результате обмена импульсом между молекулами газа и поршнем на поверхность поршня площадью S действует средняя нормальная сила nF .

Под действием этой силы поршень направленно перемещается на величину dx за время dt , а объем газа изменяется на sdxdV = .

209

Рис. 4.11 Таким образом, газ совершает элементарную

механическую работу ,PdVPsdxdxFA n ===δ (27.7)

где SFР n= - давление газа на поршень. Эта элементарная

работа совершается против внешнего давления внР со стороны внешних сил на газ. Для квазистатического процесса изменения объема газа в любой момент времени .внPР = При изменении объема от 21 VдоV механическая работа, совершаемая газом, равна

∫=2

1

12

V

V

PdVA . (27.8)

Из равенств (27.7), (27.8) следует, что при расширении газ совершает положительную работу, а внешние силы – отрицательную. При сжатии газа его работа отрицательна, а внешних сил – положительна. В дальнейшем выражение «работа газа» будет означать его положительную работу при расширении, а «работа внешних сил» положительную работу этих сил при сжатии газа. Согласно формулам (27.7), (27.8), в отсутствие внешних силовых полей обмен энергией между системой и внешними телами осуществляется в форме механической работы только в процессе изменения объема рассматриваемой макроскопической системы. Важно подчеркнуть, что эти формулы применимы для любой

210

макроскопической системы (твердых тел, жидкостей, газов) при любом изменении их объема.

Вычисление интеграла (27.8) возможно, если известна зависимость давления от объема )(VPP = . Эта зависимость определяется из уравнения состояния рассматриваемой системы. Например, для идеального газа из уравнения

состояния следует, что VRTvP = , что позволяет вычислять

работу в простых процессах:

,lnlnv,2

1

1

212

2

1PPRT

VVRT

V VdRTAconstT

V

ννν ==== ∫ (27.9)

,constP = .12 VPA ∆= (27.10) Выражения (27.9) и (27.10) отражают хорошо известный

из механики факт, что механическая работа является функцией процесса. Механическая работа зависит не от состоянием макроскопической системы, а от процесса, по средствам которого система переходит из одного состояния в другое.

Механическая работа, вычисленная по формулам (27.7), (27.8), совершается силами давления системы или внешними силами и поэтому называется работой механической природы. В общем, на частицы системы могут действовать и совершать механическую работу и внешние силовые поля другой природы, например, внешнее электрическое поле, действующее на заряженные частицы системы. В этой главе мы рассматриваем только механическую работу механической природы.

27.4. Теплообмен.Теплоемкость Возвращаясь к примеру из §27.3 (рис. 4.11), обратим

внимание на то, что молекулы газа в цилиндре могут обмениваться энергией с внешней средой и при соударениях со стенками цилиндра, т.е. посредством процесса, протекающего без изменения объема газа. Анализируя

211

механизм этого обмена энергией, называемого теплообменом, приходим к следующему выводу: если температура системы отлична от температуры внешних тел, то часть внутренней энергии системы передается внешним телам, внутренняя энергия которых увеличивается, или наоборот часть внутренней энергии внешних тел передается системе, внутренняя энергия которой возрастает. Таким образом, теплообмен существенно отличается от механической работы, совершаемой за счет внутренней энергии, превращающейся в энергию механического движения.

Теплообмен происходит между системами или частями одной системы, имеющими различную температуру, как при непосредственном контакте путем конвекции, теплопроводности, так и без контакта путем испускания и поглощения электромагнитного излучения.

Понятие теплоты имеет физический смысл только в связи с процессом изменения состояния рассматриваемой системы, являясь энергетической характеристикой этого процесса.

Напомним определение физических величин, используемых для характеристики теплообмена. Теплоемкость C численно равна количеству теплоты, необходимому для изменения на 1K температуры макроскопической системы

dT

QC δ= . (27.11)

Для однородных систем вводят также понятие удельной c и молярной MC теплоемкости, равной количеству теплоты, необходимому для изменения на 1K температуры единицы массы и одного моля вещества соответственно:

dTmQc δ

= , (27.12)

212

dTMm

QdTvQCM

δδ== . (27.13)

Из сравнения формул (27.11) – (27.13) следует: cMCvCmcC MM === , . (27.14)

27.5. Первое начало термодинамики Энергия W , которой изолированная система

обменивается с внешней средой, согласно изложенному в §27.1 может быть записана в форме

AQW ′+= (27.15) где Q - количество теплоты, который система обменивается с внешней средой, а A′ - механическая работа, совершаемая внешними телами над системой. Взяв AA −=′ , где A - это работа, которую система совершает над внешними телами, выражение (27.15) примет вид:

AQW −= . (27.16) В соответствии с (27.2) получим

AQUU −=− 0 , AQUU ′+=− 0 . (27.17) ,AUQ +∆= .AQU ′+=∆

Выражения (27.17) представляют собой первое начало термодинамики в интегральной форме: изменение внутренней энергии изолированной макроскопической системы равно сумме механической работы A′ , совершенной над системой, и количества теплоты, которым система обменивается с внешними телами. Можно утверждать, что внутренняя энергия системы – это та энергия системы, которая может быть отдана в форме теплоты либо путем совершения системой механической работы.

Для элементарного термодинамического процесса первое начало термодинамики в дифференциальной форме может быть записано

AdUQ δδ += , AdUQ ′+= δδ . (27.8)

213

Обозначения AAQ δδδ ,, ′ подчеркивают факт, что соответствующие величины являются функциями процесса, не являясь полными дифференциалами.

Допустим, что рассматриваемая система изолирована адиабатно, т.е. не обменивается с внешними телами энергией в форме теплоты ).0( =Qδ Тогда выражение (27.8) принимает вид

AdU δ−= , (27.9) это означает что система может совершеать механическую работу только за счет своей внутренней энергии.

Если система совершает циклический процесс, то ,0=dU .AU δδ =

Последнее равенство позволяет сделать вывод о невозможности осуществление тепловой машины, которая могла бы совершать работу, не получая теплоту извне (вечный двигатель первого рода).

§28. Газовые процессы. Адиабатный процесс. Политропные процессы

Рассмотрим термодинамические системы, для которых

),( VTUU = ,

,dVVUdT

TUdU

TV⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

= (28.1)

и запишем первый закон термодинамики

.dVpVUdT

TUpdVdUQ

TV⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=+=δ (28.2)

28.1. Изохорные процессы ( constV = )

Для изохорного процесса равенство (28.2) запишется .,)()( 0 VVV QUUdUQ =−=∂ (28.3)

Изменение внутренней энергии системы в таком процессе равно количеству теплоты, полученной от внешней

214

среды. Тогда согласно (27.13) молярная теплоемкость при постоянном объеме MVC запишется

.11

VVMV T

UTQC ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⋅=νν

(28.4)

В частности, если рассматриваемая система – идеальный

газ, для которого RTiU ν2

= , то молярная теплоемкость при

постоянном объеме будет равна:

.2

RiCMV = (28.5)

Как видно, MVC не зависит от химической природы газа, а зависит только от числа степеней свободы молекулы газа. Из соотношений (28.4) и (28.5) следуют выражения для вычисления изменения внутренней энергии идеального газа

,2

dTRidTCdU MVид νν ==

,2

2

1

TRiTCdTCU MV

T

TMVид ∆=∆==∆ ∫ ννν (28.6)

применимые для любого термодинамического процесса. Тщательный анализ сил взаимного притяжения между

молекулами реального газа приводит к выводу, что эти силы влияют на тепловое движение лишь небольшого числа молекул вблизи стенок сосуда. С большой степенью точности можно считать, что равные количества реального и идеального газов, находящихся при одинаковой температуре, обладают одинаковой кинетической энергией хаотического движения молекул. Вместе с тем, в изохорном процессе потенциальная энергия взаимодействия молекул реального газа сохраняется постоянной:

( ) constVWW пп == , т.е. 0=∆ пW . Следовательно,

идMVреалMV )(C)(C = ,

215

.2

,2

TRiUdTRidUdU реалидреал ∆=∆== νν (28. 6′ ََ)

28.2. Изобарные процессы ( )constР = Для изобарного процесса первое начало термодинамики

имеет вид выражения (28.2) и молярная теплоемкость при постоянном давлении записывается:

.11)(1

pTVpMp T

VРVU

TU

dTQC ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

==νν

δν

(28.7)

Вычислим MpC для идеального газа, используя равенства:

,0,2

)(2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=∂∂

⇒=T

V VURi

TURTiU νν

PR

TVRTPV

P

νν =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⇒= .

Получаем известное уравнение Майера

RCRRiC MVMP +=+=2

, (28.8)

из которого следует, что универсальная газовая постоянная R численно равна работе, совершаемой в изобарном процессе 1 молем идеального газа, температура которого изменяется на 1К. Подставив соотношение (28.8) в (28.7), получим количество теплоты, получаемое идеальным газом в изобарном процессе:

.2

)( dTRRidTRCQ MV ννδ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=

Установим связь между MVC и MpC для реальных газов, используя выражение для внутренней энергии реальных газов, уравнение Ван-дер-Ваальса и производные, вычисленные на

их основе: ( ) ⇒=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ RTbV

VaP ννν

v2

2v

216

RTV

VaPbV

Va

p

νννν=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−− 2

2v

v3

2v )(2 ,

( )v3

2v

2

2v 2 bV

Va

VaP

RTV

P νννν

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ .

Эти частные производные и равенство (28.4) подставляем в (28.7):

( )v3

2v

2

2v

2

2v

2V1

bVVa

VaP

RaPCC MVMP

ννννν

ν−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++= .

После деления числителя и знаменателя второго

слагаемого на ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ 2

2v

VaP ν получаем

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

+=

2

2v3

v2

v

V

21

VaP

bVaRCC MVMP

ννν

Согласно уравнению Ван-дер-Ваальса

.v

2

2v

bVRT

VaP

ννν−

=+ С учетом этого последнее равенство

можно записать ( )RT

bVaRCC MVMP

ννν v

2v21 −

−+= .

( )2

vv

2

2 bVaRTTRCC MVMP νν −−

+= . (28.9)

При достаточно высокой температуре, когда реальный газ ведет себя как идеальный 2

vv )(2 bVaRT νν −>> и выражение (28.9) переходит в уравнение Майера.

217

28.3. Затруднения классической теории теплоемкости идеального газа

Из формул (28.5), (28.8) следует, что молярные теплоемкости газа не зависят от температуры. Закон равнораспределения энергии по степеням свободы, исходя из которого, были получены эти формулы (см. §24), не предполагает зависимости числа степеней свободы от температуры. Экспериментально установлено, что только теплоемкости одноатомного идеального газа не зависят от температуры. Теплоемкости же газов, молекулы которых состоят из двух и более атомов, увеличиваются одновременно с ростом температуры. В качестве примера на рис. 4.12 представлена качественная зависимость от температуры теплоемкости водорода при постоянном объеме.

Анализ зависимостей от температуры теплоемкостей газов с молекулами, состоящими из двух или более атомов, приводит к следующим выводам:

1)при температурах, близких к 0K , ;0→MVC

Рис. 4.12 2)в некотором интервале низких температур, не

превышающих 101K, молярная теплоемкость при постоянном

объеме остается постоянной и равной R23 , молекулы

совершают только поступательное движение; 3)в определенном интервале более высоких температур

(~101K÷102K) MVC остается неизменной и равной R25 , к

поступательному движению добавляется вращательное;

218

4)при высоких температурах (~102K÷103K) молярная

теплоемкость при постоянном объеме равна R27 , к

поступательному и вращательному движению молекул добавляется колебательное;

5)переход от одного значения молярной теплоемкости к другому происходит плавно, что противоречит закону равнораспределения по степенями свободы, согласно которому число степеней свободы i может быть только целым.

Таким образом, результаты классической теории существенно отличаются от экспериментальных данных для двух- и многоатомных газов, теория теплоемкости, в основе которой лежит классическая статистическая физика, ведет к существенным расхождениям с экспериментом. Учет того, что связь между атомами и молекул не является жесткой, т.е. введение степеней свободы колебательного движения, не устраняет эти расхождения. Затруднения классической теории теплоемкости обусловлены, главным образом, ограниченной областью применимости законов о равнораспределении энергии по степеням свободы.

Зависимость теплоемкости газов от температуры в рамках квантовой физики объясняется квантованием энергии, приходящейся на вращательное и колебательное движение молекул (см. гл.VI, ч. III).

28.4. Адиабатные процессы

Для адиабатного процесса, в котором не происходит обмен теплотой с внешней средой, 0≡Qδ , первое начало термодинамики принимает вид:

., 12AUAdU =∆−=− δ (28.10) Подставив равенство (28.6) в (28.10), получим

., PdVdTCAdTC MVMV =−=− νδν (28.11) Система, в которой происходит адиабатный процесс,

совершает работу только за счет своей внутренней энергии, охлаждаясь при расширении и нагреваясь при сжатии.

219

Установим связь между параметрами, TVP ,, описывающими адиабатный процесс, совершаемый идеальным газом. Уравнение состояния идеального газа в дифференциальной форме имеет вид:

,dPVdVPdTR +=ν разделим его на второе из равенства (28.11):

.dVP

dPVdVPdTC

dTR

MV

+=−

νν

С учетом уравнения Майера (28.8) запишем

dVPdPV

CC

MV

MP +=+− 11 .

Разделим переменные в этом равенстве и введем показатель адиабаты γ .

.1>===V

p

V

p

MV

MP

cc

CC

CCγ

Получаем

.PPd

VVd

=− γ

Проинтегрируем это выражение в пределах от 21 до PP , и от 21 до VV

.,,lnln 22111

2

1

2 constVPVPVPPP

VV

===− γγγγ (28.12)

(28.12) - уравнение Пуассона, выражающее зависимость давления от объема в адиабатном процессе идеального газа. Это уравнение имеет еще две формы, которые легко получить, подставив уравнение состояния идеального газа в (28.12):

constPT =−γγ 1 , constTV =−1γ . (28.13) В координатах VP, адиабата представляет собой

плавную ниспадающую кривую. Если сравнить адиабату с изотермой, то видно, что

адиабата имеет больший наклон (рис. 4.13).

220

Рис. 4.13 В этом можно убедиться, сравнив касательные к этим

двум кривым:

VP

dVdP

aд

γ−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ,

VР

dVdР

изотерм

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ , 1>γ ,

VР

VР

>γ .

Больший наклон адиабаты объясняется следующим образом: изменение давления nkTР = при адиабатном сжатии (расширении) происходит из-за увеличения (уменьшения) как концентрации n , так и температуры T .

Адиабатный процесс весьма важен с практической точки зрения. С большой степенью точности адиабатными можно считать процессы быстрого расширения или сжатия газов. Очевидно, что адиабатный и изотермический процессы представляют собой предельные случаи идеальной тепловой изоляции системы и, соответственно, идеального теплового контакта системы с термостатом.

28.5. Политропные процессы

Процессы идеального газа описываются уравнениями, известными из лицейского курса. Уравнение адиабатного процесса было получено в §28.4. Все эти уравнения могут быть обобщены и записаны в виде

,constPV n = (28.14) где n - безразмерная величина, называемая показателем политропы, значение которой может изменяться от

∞+∞− до . Уравнение (28.14) называется уравнением политропы идеального газа. Для изобарного,

221

изотермического и адиабатного процессов значения n очевидны

Процесс n изобарный 0 изотермический 1 адиабатный γ изохорный ∞± Убедимся, что для изохорного процесса ±∞=n . Для

этого запишем уравнение (28.14) в виде nn VPVP 2211 = , .2

1

21

1

1 VPVP nn =

21 VV = при условии что ±∞=n . На рис. 4.14 в координатах VP , представлены графики этих четырех процессов.

Рис. 4.14 Рис. 4.15 В процессе, описываемом уравнением (28.14), могут

изменяться все три параметра, .,, TVP Следовательно, уравнение (28.14) имеет еще 2 вида, которые могут быть получены при подстановке в (28.14) уравнения состояния идеального газа:

.,1 constTV n =− .1 constPT nn =− (28.15) В общем случае в процессе, описываемом уравнением

политропы, происходит обмен количеством теплоты рассматриваемого идеального газа с внешней средой. Для одного моля идеального газа это количество теплоты равно:

dVPdTCQ += vδ Дифференцирование первого из равенств (28.15)

позволяет получить выражение для dVP :

222

0)1( 21 =−+ −− dVVnTdTV nn

TndTVdV

)1( −= , dT

TnVPdVP

)1( −= .

Учтя, что RTVP

= , получим

,1

dTn

RdVP−

= dTn

RCQ )1

( v −−=δ . (28.16)

Из определения показателя адиабаты γ и уравнения Майера (28.8) следует:

vv

v 1CR

CRC

CC

V

p +=+

==γ , 1v −

=γ

RC .

Подставим полученное выражение для VC во второе из равенств (28.16):

.)1)(1(

)11

( dTn

nRdTn

RRQ−−

−=

−−

−=

γγ

γδ (28.16)

Из написанного видно, что теплоемкость идеального газа, совершающего политропный процесс, является постоянной величиной, не зависящей от параметров состояния:

( )( ) constn

nRdTQCn =

−−−

==11γ

γδ . (28.17)

Полученный результат позволяет дать следующее определение политропного процесса: политропным процессом идеального газа называется такой процесс, в котором теплоемкость (удельная, молярная) неизменна, constCn = .

Теплоемкость nC конкретного политропного процесса зависит от показателя политропы n .

1) 0, == nconstP , ,1 v pn CCRC ==

−= γ

γγ dTCQ p=δ .

2) ±∞== nconstV , , v1CRCn =

−=

γ, dTCQ V=δ .

223

3) ±∞=== nCnconstT ,1, , AQ δδ = . 4) 0,,0 === nCnQ γ .

Из формулы (28.17) следует, что для политропного процесса, в котором γ<< n1 , теплоемкость отрицательна,

0<nC . В таком процессе, представленном на рис. 4.15, расширяющийся газ совершает работу, большую, чем полученная теплота. Для совершения работы газ использует еще и часть внутренней энергии, т.е. охлаждается, хотя и получает теплоту извне.

Политропные процессы используются в технике в различных циклах тепловых машин. Поэтому важно найти величину работы, совершаемой в политропном процессе. Работа в таком процессе идеального газа, объем которого изменяется от 1V до 2V , вычисляется, исходя из уравнения политропы

.11n

n

VVPP =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−===

−

∫∫1

2

1111112 1

1.

2

1

2

1

nV

Vn

nV

V VV

nVP

VdVVPdVPA . (28.18)

Можно получить несколько выражений для 12`A , если использовать уравнения nn VPVP 2211 = , nnnn PTPT −− = 1

221

11 ,

111 RTVP ν= ,

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−−n

nn

n

PP

nRT

PP

nVPA

1

1

21

1

1

21112 1

11

1ν

( ) ( )2211211

21

11

11

1VPVP

nTT

nR

TT

nRT

−−

=−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

νν .

Из этих выражений легко получить формулы для механической работы в изобарном и адиабатном процессах.

224

Для работы в изотермического процессе найдем предел правой части формулы (28.18):

1

2

2

1

1

2

1

1lnln1

11lim

VV

VV

VV

n

n

n=−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

−

→.

Следовательно, .ln1

21112 V

VVPA =

§ 29. Второе начало термодинамики

В этом параграфе мы напомним понятия и соотношения, известные из лицейского курса, относящиеся к обратимым и необратимым процессом, круговым процессам, циклу Карно, некоторые формулировки второго начала термодинамики. Далее будут введены новые понятия термодинамики, необходимые для более глубокого понимания термодинамических процессов, направления их протекания, а также для новых формулировок второго начала термодинамики.

29.1. Обратимые и необратимые процессы

Нам известно, что процессы делятся на равновесные, квазистатические и неравновесные, не квазистатические. Первое начало термодинамики применимо к процессам обоих типов. Для формулировки второго начала термодинамики необходимо ввести в рассмотрение обратимые и необратимые процессы.

Обратимыми называются процессы, которые могут быть проведены и в обратном направлении таким образом, что при возвращении системы в первоначальное состояние не происходит никаких изменений во внешней среде. Процессы, не удовлетворяющие таким условиям, называются необратимыми. Итак, обратимый процесс может быть выполнен и в обратном направлении, при этом система проходит через те же состояния, что и в прямом процессе, но в обратной последовательности. Обратимые процессы

225

обязательно являются равновесными, бесконечно медленными, но не любой равновесный процесс обратим. Например, квазистатический процесс равномерного движения тела по горизонтальной поверхности под действием сил тяги и трения, уравновешивающих друг друга, является необратимым. Примером обратимого процесса являются свободные гармонические колебания пружинного маятника в вакууме, в отсутствии сил сопротивления. В этих условиях пружинной маятник является консервативной системой, колебания его не изменяют энергию теплового движения частиц системы, любое состояние периодически повторяется. Обобщение экспериментальных данных приводит к заключению, что другим условием обратимости процесса является отсутствие трения, в том числе внутреннего (вязкости) – диссипативного процесса, протекающего только в одном направлении.

Процесс, сопровождаемый теплообменом, может быть обратимым только, если, получая теплоту в прямом процессе и отдавая в обратном, рассматривая, система имеет одну и ту же температуру, равную постоянной температуре источника (термостата). Допустим, это условие не выполняется. Тогда в прямом процессе система с температурой 1T получает теплоту от источника с температурой 0T , 01 TT < . В обратном процессе, чтобы отдавать источнику теплоту, система должна иметь температуру 02 TT > . Следовательно, в прямом и обратном процессах система проходит через различные состояния, т. е. процесс не является обратимым. В заключение отметим, что единственным обратимым процессом, в котором совершается теплообмен с термостатом, является изотермический процесс, происходящий при температуре термостата.

Строго говоря, в прямом процессе температура системы меньше температуры источника на бесконечно малую величину, а в обратном – больше также на бесконечно малую величину.

226

Подчеркнем следующие общие свойства системы, в которой протекает обратимый процесс: существует бесконечно малая разность величин внешних сил и сил реакции системы; в прямом обратимом процессе механическая работа, совершаемая системой, максимальна; механическая работа в прямом процессе численно совпадает с работой в обратном процессе.

Все реальные процессы необратимы. Обратимые процессы являются идеализацией реальных процессов. Но в принципе существует отличная от нуля вероятность как угодно близкого приближения реальных процессов к обратимым.

29.2. Круговые процессы. Цикл Карно

Процесс, в результате которого система возращается в первоначальное состояние, называется круговым (циклическим). Обратимый цикл на диаграмме VP − изображается замкнутой кривой (рис. 4.16). Механическая работа, совершаемая системой над внешними телами в прямом цикле (рис. 4.16), численно равна площади фигуры, ограниченной кривой процесса. Эта же площадь числено, равна механической работе внешних сил над системой, если совершается обратный цикл (против часовой стрелки).

Рис. 4.16 Рис. 4.17

Запишем первое начало термодинамики для обеих частей, на которые разбит прямой цикл на рис. 4.16

12121 )( AUUQ +−= , ,0,0 121 >> AQ

21212 )( AUUQ +−= , .0,0 212 << AQ Сложив оба равенства, получим

227

.211221 AAQQ +=+ Полная работа за цикл 2112 AAA += и 22 QQ −= .

Следовательно, AQQ =− 21 .

Это соотношение позволяет вычислить коэффициент полезного действия прямого цикла

11

21

1

<−

==Q

QQQAη . (29.1)

Из равенства (29.1) следует: 1)в круговом процессе теплота не может быть полностью

превращена в механическую работу, QAAQ <→ , ; вместе с тем, многочисленные экспериментальные результаты убеждают нас в том, что механическая работа может быть полностью превращена в теплоту, AQQA =→ , ;

2)система, совершающая цикл, называется рабочим телом, оно приводится в контакт с двумя источниками тепла – нагревателем с температурой 1T , от которого получается количество теплоты 1Q , и холодильником с температурой 2T , которому отдается количество теплоты 2Q .

Изложенные результаты, полученные инженером и физиком С. Карно, привели к отрицательному ответу на вопрос, возможно ли создать тепловую машину, которая совершала бы механическую работу без контакта с холодильником, 02 =Q , 1=η . С практической точки зрения такая тепловая машина была бы равнозначна вечному двигателю, поскольку позволяла бы совершать механическую работу за счет энергии земной атмосферы, вод океанов, недр Земли и т. д. Химик У. Освальд назвал тепловую машину с

1=η вечным двигателем второго рода. Анализируя возможности увеличения коэффициента

полезного действия тепловых машин, Карно пришел к следующим выводам, получившим название теоремы Карно:

228

1)коэффициент полезного действия всех обратимых тепловых машин, работающих в одинаковых условиях (при одних и тех же температурах нагревателей и холодильников), одинаков;

2)коэффициент полезного действия необратимых тепловых машин меньше коэффициента полезного действия обратимых машин, работающих в идентичных условиях.

Согласно теореме Карно свойства рабочего тела не влияют на коэффициент полезного действия цикла. Единственным циклом, обратимым по определению, является цикл Карно (рис. 4.17), состоящий из двух изотерм и двух адиабат. Используя К.П.Д. этого цикла, теорема Карно записывается

кунеобр .ηη < , куобр .ηη = , (9.2) где необробрку ηηη ,,. - коэффициенты полезного действия цикла Карно, произвольного обратимого и необратимого циклов соответственно.

Вычислим коэффициент полезного действия цикла Карно. В соответствии с теоремой Карно К.П.Д. зависит от температур нагревателя и холодильника, с которыми осуществляется обмен количествами теплоты 1Q и 2Q соответственно. Они равны механической работе в процессах 1-2 и 3- 4.

4

32342

1

21121 ln,ln

VVRTAQ

VVRTAQ νν ==== .

Запишем уравнения адиабат 2-3 и 4-1 1

421

111

321

21 , −−−− == γγγγ VTVTVTVT и разделим первое уравнение на второе

4

3

2

1

VV

VV

= .

Подставим выражения для 1Q и 2Q в (29.1) и приняв во внимание последнее равенство, получим:

229

TTT

VVRT

VVRT

VVRT

1

21

1

21

4

32

1

21

,ln

lnln−

=−

= ηην

νν . (29.3)

Итак, мы получим, что коэффициент полезного действия цикла Карно зависит только от температур нагревателя и холодильника и увеличивается при уменьшении отношения

1

2

TT .

29.3. Второй закон термодинамики Выводы, к которым пришел С. Карно (1824 г.),

послужили отправной точкой для формулировок второго закона термодинамики, сделанных Р. Клаузиуса (1850г.) и У. Томсоном (1851г.). Строго говоря, теорема Карно была первой формулировкой второго начала термодинамики: для циклического действия тепловой машины с совершением механической работы необходимы два тепловых источника, нагреватель с температурой 1T и холодильник с 12 TT < , при этом коэффициент полезного действия тепловой машины равен

1

21

1

21

TTT

QQQ −

≤−

=η . (29.4)

Знак равенства соответствует коэффициенту полезного действия обратимой тепловой машины, неравенства – необратимой.

Формулировка Р. Клаузиуса второго закона термодинамики: невозможен самопроизвольный (спонтанный) переход тепла от менее нагретых к более нагретым телам. В общем случае, применительно к действию тепловых машин эта формулировка такова: невозможно сконструировать периодически работающую тепловую машину, единственными результатом действия которой является передача тепла от менее к более нагретому телу.

230

Разумеется, эта формулировка не относится к холодильной машине, в которой теплота передается от менее к более нагретому телу, но этот процесс происходит одновременно с довершением работы внешними силами, т. е. эта передача сопровождается определенными изменениями во внешней среде.

Формулировка У. Томсона второго закона термодинамики: невозможен тепловой процесс, единственным результатом которого было бы полное превращение в механическую работу полученного количества теплоты.

Позднее М. Планк модифицировал формулировку У. Томсона применительно к действию тепловых машин. Формулировка Томсона-Планка: невозможен периодический процесс, единственным результатом которого было бы полное превращение полученного тепла в механическую работу.

В настоящее время известны сотни эквивалентных формулировок второго начала термодинамики. Этот закон связан с интерпретацией термодинамических процессов на основе статистической физики и поэтому не имеет такого очевидного и ясного смысла, как первый закон термодинамики. В общем, второе начало устанавливает наиболее вероятное направление протекание процессов в макроскопической системе. Чтобы охарактеризовать это направление, вводится новая функция состояния, называемая энтропией. Используя понятие энтропии, получают математическое выражение второго закона термодинамики.

§30. Энтропия. Статистическое толкование

энтропии

30.1. Приведенная теплота. Неравенство Клаузиуса Теорема Карно выражается неравенством

231

1

21

1

21

TTT

QQQ −

≤−

,

в котором знак равенства относительности к любому обратимому круговому процессу, а неравенства – к необратимому. Чтобы избежать в дальнейшем повторений отметим, что это пояснение относится ко всем неравенствам этого парагафа. Из написанного неравенства следует

1

2

1

2

TT

QQ

≥ 02

2

1

1 ≤−TQ

TQ .

В написанных неравенствах 21 QQ , представляют собой полученное количество теплоты и соответственно абсолютное значение отданного системой количества теплоты. В дальнейшем будем считать, что на всех участках цикла рабочее тело только получает определенные количества теплоты, которые считаются положительными или отрицательным алгебраическими величинами ( 0,0 21 <> QQ ). Тогда последнее неравенство примет вид

02

2

1

1 ≤+TQ

TQ . (30.1)

Согласно терминологии, введенной Р. Клаузиусом, отношение количества теплоты, полученного системой от термостата, к температуре этого термостата называется приведенной теплотой. Из соотношения (30.1) следует, что в круговом процессе суммарная приведенная теплота не может быть больше нуля. Обобщая (30.1) для случая кругового процесса, в котором система, совершающая его, находится в контакте с N термостатами, получаем

01

≤∑=

N

k k

k

TQ . (30.2)

Если источники теплоты не являются термостатами, то каждый процесс получения теплоты системой делится на элементарные процессы так, что для каждого элементарного

232

процесса температура будет постоянной. В итоге приходим к следующему неравенству

∫ ≤ 0TQδ (30.3)

в котором интеграл вычисляется по всему круговому процессу. Каждое из выражений (30.2), (30.3) называется неравенством Клаузиуса для макроскопической системы, совершающей круговой процесс.

30.2. Энтропия как функция состояния.

Закон изменения энтропии изолированной системы Найдем суммарную приведенную теплоту произвольного

обратимого кругового процесса, разделенного состояниями 1 и 2 на две ветви: I и II (рис.4.18). Для этого процесса соотношение (30.3) запишется

( )( )

∫ ∫Ι ΙΙ

=+2

1

1

2

0TQ

TQ δδ (30.4)

Первый интеграл соответствует переходу системы из состояния 1 в состояние 2 по ветви I, а второй – переходу системы из состояния 2 в состояние 1 по ветви II. Так как процесс обратим, то при изменянии направления прохождения ветви изменяется и закон приведенной теплоты

( )( )

∫ ∫ΙΙ ΙΙ

=−2

1

1

2

.TQ

TQ δδ

Равенство (30.4) принимает вид

( )( )

∫ ∫Ι ΙΙ

=−2

1

2

1

,0TQ

TQ δδ

( )( )

∫ ∫Ι ΙΙ

=2

1

2

1 TQ

TQ δδ . (30.5)

Полученный результат (30.5) чрезвычайно важен: сумма приведенных теплот, полученных термодинамической системой в обратимом процессе перехода из состояния 1 в состояние 2, не зависит от процесса, а только от состояний 1 и 2. Убедимся в справедливости равенства (30.5), анализируя переход идеального газа из состояния 1 в состояние 2

233

Рис. 4.18 Рис. 4.19

посредством произвольного обратимого процесса. В соответствии с первым законом термодинамики

TdVp

TdTC

TQ

MVобр

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ νδ . (30.6)

Из уравнения состояния выразим отношение TP

., ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

VdVR

TdTC

TQ

VR

TP

MVобр

νδν

( )

∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2

1 1

2

1

2 .lnln2

1

2

1обрVVR

TTC

VdVR

TdTC

TQ

MV

T

T

V

VMV ννδ

Замечаем, что сумма приведенных теплот, полученных идеальным газом в обратимом процессе 1–2 не зависит от конкретного характера этого процесса, а зависит только от параметров, характеризующих состояния 1 и 2. Если идеальный газ совершает обратимый круговой процесс, то

2121 , VVTT == и из последнего соотношения получаем

∫ ≡обр T

Q .0δ

Из полученного результата следует, что подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал. Таким образом, приведенная теплота, полученная системой в элементарном обратимом процессе

234

TQδ - полный дифференциал некой функции состояния,

названной энтропией и обозначаемый S:

SSSdSTQ

TQdS

обробр

∆=−==⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫ ∫

2

112

2

1)(

δδ . (30.7)

Бесконечно малое изменение этропии равно отношению элементарного количества теплоты, полученного системой в обратимом процессе, к температуре источника тепла. (Напомним, что температуры тел при теплообмене в обратимом процессе отличаются на бесконечно малую величину). Соотношения (30.7) зачастую рассматриваются как определение изменения энтропии, хотя они могут быть выведены из законов статистической физики.

А теперь найдем сумму приведенных теплот, полученных системой в круговом необратимом процессе, разделенном состояниями 1 и 2 на две ветви, одна из которых необратима, а другая – обратима (рис. 4.19). В этом случае неравенство (30.3) запишется

( ) ( )

01

2

2

1

<+ ∫∫обрнеобр

TQ

TQ δδ

В соответствии со вторым из выражений (30.7) второй интеграл в данном неравенстве равен изменению энтропии

( )

∫ −=1

221 .

обр

SSTQδ

Тогда

( )( ) ( )

.,02

112

2

121 ∫∫ >−<−+

необрнеобрTQSSSS

TQ δδ (30.8)

Объединяя (30.7) и (30.8), запишем

,2

112 ∫≥−=∆

TQSSS δ (30.9)

235

где знаки равенства и неравенства относятся к любому обратимому и соответственно необратимому процессу перехода рассматриваемой системы из состояния 1 в состояние 2. Очевидно, неравенство (30.9) может быть записано и для элементарного процесса

.TQdS δ

≥ (30.10)

Для изолированной системы .0=Qδ Тогда .0,0 ≥∆≥ SdS (30.11)

Каждое из соотношений (30.11) представляет собой математическое выражение второго начала термодинамики, которому может дать следующую формулировку: энтропия изолированной системы остается неизменной, если в ней происходит обратимый процесс, и возрастает, если совершается необратимый процесс. Адиабатный обратимый процесс, для которого 0=∆S , называют также изоэнтропным.

Изменение энтропии неизолированной системы может быть положительным, отрицательным или нулевым. Если система совершает процесс, в котором отдает теплоту, т. е.

0<Qδ , то 0<Sd , а при получении количества теплоты 0>Qδ 0>Sd . В круговом процессе полное изменение

энтропии равно нулю, но на одних участках энтропия возрастает, а на других – уменьшается.

30.3. Анализ термодинамических процессов

с помощью энтропии Во многих случаях анализ термодинамических

процессов с помощью энтропии, используя диаграмму T-S, намного проще и быстрее приводит к важным результатам.

Рассмотрим произвольный обратимый процесс, представленный на диаграмме T-S кривой DE (рис. 4.20). Согласно (30.10) запишем

dSTQ =δ . (30.12)

236

Элементарное количество теплоты Qδ численно равно заштрихованной площадке на рис. 4.20. Тогда площадь фигуры под кривой процесса DE, численно равна количеству теплоты, которым система обменивается с внешней средой на протяжении рассматриваемого процесса

∫ ∫==2

1

2

1

S

S

TdSQQ δ . (30.13)

Из этой геометрической интерпретации, очевидно, что количество теплоты не является функцией состояния, оно зависит от процесса, посредством которого система переходит из одного состояния в другое.

Рис. 4.20 Рис. 4.21

Проанализируем взаимосвязь T и S в простых обратимых процессах идеального газа, а также в адиабатном процессе. Из равенств (30.6) и (30.10) следует

( ) ( )[ ].lnln VRdTdCVdVR

TdTCdS MVMV +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += νν . (30.14)

Для идеального газа ,constT

PV=

( ) ( ) ( ) ,0lnlnln,lnlnln =−+=−+ TdVdPdconstTVP тогда выражение (30.14) запишется в виде

( ) ( ) ( )[ ] .lnln ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−+=

PdPR

TdTCPRdTdRCdS MPMV νν (30.15)

Анализируемые процессы представлены на диаграмме ST − (рис. 4.21) и для каждого из них начальному состоянию

газа соответствует точка 0:

237

1.Прямая 11–1, проходящая через точку 0 параллельно оси абсцисс, соответствует изотермическому процессу: 0-1–расширение ( )0,0 >> dSQδ ; 0-11–сжатие ( )0,0 << dSQδ .

2.Прямая 21–2, проходящая через точку 0 паралельно оси ординат, соответствует адиабатному процессу (изоэнтропному): 0–21- расширение ( 0<Td ); 0–2 - сжатие ( 0,0 >=∆ TdS ).

3.Из (30.14) следует, что в изохорном процессе

.ln,0T

TCSTdTCdS MVMV νν =∆=

Кривая 31-3 на рис. 4.21 соответствует изохорному процессу: 0-3 - нагревание ( 0>Td , 0>dS ); 0-31 – охлаждение ( 0<Td , 0<dS ).

4.Из последнего выражения (30.15) следует, что в изобарном процессе

.ln,0T

TCSTdTCdS MPMP νν =∆=

Поскольку MVMP CC > , наклон кривой 41-4 (относительно оси S на рис. 4.21), соответствующей изобарному процессу, меньше, чем изохоры 31-3. Изобарному расширению идеального газа соответствует участок 0–4 ( 0>dS , 0>Td ), а изобарному сжатию участок 0–41 ( 0<dS , 0<Td ).

Круговой обратимый процесс на диаграмме ST − , как и на других диаграммах, изображается замкнутой кривой (рис. 4.22). Площадь фигуры, ограниченной кривой процесса, численно равна количеству теплоты, превращенному системой в механическую работу, если процесс происходит в направлении, указанном на рис. 4.22.

∫∫ +=+=cdaabc

отдпол TdSTdSQQA ,

где 0<= ∫

cdaотд TdSQ .

238

Для работы, совершаемой в прямом цикле, получаем

∫ >= 0TdSA , а коэффициент полезного действия этого цикла равен

.∫∫==

abcпол TdS

TdS

QAη (30.16)

Рис. 4.22 Рис. 4.23

Цикл Карно на диаграмме ST − (рис. 4.23) представляется прямоугольником со сторонами ( )21 TT − и ( )12 SS − . Используя это представление, легко получить выражение для коэффициента полезного действия цикла Карно. Количество теплоты, превращенное в механическую работу в прямом цикле Карно, имеет значение

( )( ),1221 SSTTA −−= а полученное количество теплоты равно

( ).121 SSTQпол −= Последние два выражения подставим в формулу,

определяющую К.П.Д. Таким образом, для коэффициента полезного действия тепловой машины, действующей по циклу Карно, получаем

( )( )( ) .

1

21

121

1221

TTT

SSTSSTT −

=−

−−=η

30.4. Статистическое толкование энтропии

Физический смысл энтропии не так очевиден как другой функции состояния, внутренней энергии. Характерным

239

свойством энтропии является ее монотонное изменение в естественных процессах, но это свойство нельзя интуитивно понять, исходя из механических представлений и понятий. Решение этой проблемы, т.е. выяснение физического смысла энтропии, было осуществлено в 1877г. Больцманом, который ввел в термодинамику статистические представления, связав каждое состояние системы с вероятностью распределения. Изложенное далее относительно статистического толкования энтропии способствует достижению одной из главных целей статистической физики – установлению и объяснению законов термодинамики для макроскопических систем.

Как было показано ранее, система частиц находится в статистическом (тепловом) равновесии, если соответствующее ему распределение наиболее вероятно. Это означает, что состоянию равновесия соответствует максимальное значение вероятности распределения частицы. Если система изолирована и находится в равновесном состоянии, то вероятность распределения остается постоянной и имеет максимальное значение, система остается в состоянии равновесия. Единственными процессами, возможными в такой системе, являются обратимые. Если первоначально изолированная система не находится в равновесном состоянии, то она со временем переходит в это состояние, т.е. из состояния с меньшей вероятностью распределения переходит в состояние с максимальной вероятностью распределения. Этот процесс необратим, при его совершении система проходит через промежуточные неравновесные состояния. Таким образом, исходя из статистических представлений заключаем, что самопроизвольные термодинамические процессы имеют вполне определенное направление протекания, всегда к состоянию с максимальной вероятностью. Одновременно замечаем, что энтропия и вероятность распределения ведут себя одинаково – обе одновременно возрастают или сохраняются неизменными: если в изолированной системе совершается обратимый процесс, то вероятность распределения и энтропия остаются

240

постоянными, 0=∆S ; если в системе происходит необратимый процесс, то и вероятность распределения и энтропия возрастают, 0>∆S .

Связь между вероятностью распределения и энтропией была установлена Больцманом,

PkS ln= , (30.17) где P - вероятность распределения, а k - постоянная Больцмана. Напомним, что вероятность распределения равна числу возможных различных распределений частиц по координатам и скоростям, соответствующих данному макроскопическому состоянию ситемы, 1≥P . Конечно, направление протекания термодинамических процессов можно было бы охарактеризовать с помощью вероятности P , но энтропия предпочтительна, так как она – величина аддитивная. Убедимся в этом, рассмотрев систему, состоящую из двух подсистем, не взаимодействующих между собой. Обозначим через 1P и 2P вероятности распределения соответствующих подсистем.

Согласно закону теории вероятностей вероятность распределения системы в целом имеет значение

21 PPP = . Прологарифмируем это выражение и умножим обе его

части на постоянную Больцмана: .,lnlnln 2121 SSSPkPkPk +=+=

Выражение (30.17) подтверждает мысль, что на основе статистической физики может быть вычислена энтропия системы, находящейся в состоянии равновесия. В самом деле, вычисление вероятности распределения для идеального газа приводит нас к следующему выражению для энтропии

0

23

0 lnnTkNSS += , (30.18)

241

где 0S - произвольная постоянная, 0n - концентрация молекул, а N - общее число молекул идеального газа. Заметим, что энтропия системы в данном состоянии определяется с точностью до произвольной постоянной 0S .

В качестве примера использования формулы (30.18) проанализируем процесс изотермического расширения

идеального газа от V до 2V , т. е. от концентрации 0n до 20n

(рис. 4.24).

Рис. 4.24

Энтропии 1S и 2S для начального и соответственно конечного состояний равны

,2ln,ln0

23

020

23

01 nTkNSS

nTkNSS +=+=

а для изменения энтропии получаем .02ln1212 >=−=∆ kNSSS (30.19)

Рассматриваемый процесс протекает в соответствии со вторым законом термодинамики, одновременно с энтропией возрастает вероятность распределения. Обратному процессу сжатия от 2V до V , соответствует изменение энтропии

02ln21 <−=∆ kNS , значит, этот процесс крайне маловероятен. Весьма маловероятно, что молекулы газа самопроизвольно соберутся в первой половине сосуда, где они были первоначально. При подстановке (30.17) в (30.19) получим

N

PPN

PP 2,2lnln

1

2

1

2 == .

242

Поскольку рассматриваемый идеальный газ является макроскопической системой, то из последнего равенства следует, что 12 PP >> . Обратный процесс означал бы переход системы из состояния, вероятность которого велика, в состояние, вероятность которого много меньше, поэтому этот процесс не происходит самостоятельно в природе. Важно уточнить, что эти выводы относятся только к макроскопическим системам. Например, если число частиц

2=N , то ,25,02

1 =PP 1P и 2P сравнимы и процесс 2 VV →

возможен. Но в случае малого числа частей системы понятия и законы статистической физики неприменимы, да и нет в них необходимости.

30.5.Связь энтропии с количеством информации В основе теории информации, получившей бурное

развитие во второй половине XX-го века, лежит метод вычисления количества информации, предложенный К. Шаноном. Этот метод основан на связи энтропии с количеством информации.

Больцман ввел в термодинамику статистические представления, связав каждое состояние с вероятностью распределения. Она тем большее, чем более неопределенным, беспорядочным является состояние системы с точки зрения распределения ее макроскопических параметров, описывающих механическое движение частиц системы. Энтропия возрастает одновременно с увеличением вероятности распределения (см. формулу 30.17), достигая максимального значения в состоянии с максимальной вероятностью распределения (состояние термодинамического равновесия). Используя формулу для вычисления вероятности распределения (23.4) или (23.5), называемую также функцией распределения, можно проанализировать весь процесс перехода системы из состояния равновесия, с максимальной энтропией в состояние, в котором возможно единственное,

243

строго определенное микросостояние системы. Оказывается, этот вывод справедлив для любой изолированной системы, будь то газ, твердое тело, жидкость, любая биологическая система и т. д.

При анализе количества информации, содержащейся в структуре какой – либо системы, было установлено, что оно пропорционально степени отклонения системы от равновесного состояния и определяется порядком, сохраняющимся в ее структуре. Например, количество информации какого – либо текста тем больше, чем больше степень отклонения текста от состояния равновесия, в котором каждая буква имеет одну и ту же вероятность распределения и текст представляет собой полную хаотичность букв, лишенную смысла.

Итак, количество информации пропорционально разности максимальной энтропии системы в равновесии и энтропии системы в рассматриваемом состоянии; для вычисления количества информации нужно использовать ту же функцию, что и для вычисления энтропии.

Напомним, что выражение (30.17) описывает механизм микропроцессов, ведущих к изменению энтропии термодинамической системы физической природы. Вероятность распределения 1≥P из этого выражения определяется формулами (23.4) и (23.5) для невырожденной и соответственно вырожденной системы. В дальнейшем будет применяться формула (23.4), т. е.:

!...!!!

21 mNNNNP

⋅⋅⋅= . (30.20)

М. Планк ввел математическую энтропию H PH ln= , (30.21)

которая, отличается от энтропии S на множитель k (постоянную Больцмана).

kHPkS == ln . Далее М. Планк модифицировал формулы (30.20),

(30.21):

244

1)преобразовав выражение (30.20), исходя из формулы Стирлинга

xxxx −≈ ln!ln , применимой для больших значений натуральных чисел x;

2)используя закон сохранения числа частиц; 3)введя математическую вероятность определенного

состояния частиц NNP i

i = , которая удовлетворяет условию

∑=

=m

iiP

1

1.

В результате было получено следующее соотношение:

i

m

ii PPNPH lnln

1⋅−≈= ∑

=

. (30.22)

Несмотря на то, что преобразования Планка формальны с математической точки зрения, формула (30.22) позволяет дать более глубокую физическую интерпретацию величин H и P . Вместе с тем введение вероятностей iP позволяет применять соотношения (30.22) для систем любой природы. Таким образом, iP может означать вероятность осуществления какого – либо состояния как молекул физической системы, так и элементов любой системы. Величина H в выражении (30.22) – это полная математическая вероятность рассматриваемой системы. Исходя из этого выражения, была получена формула для вычисления среднего значения математической вероятности H , приходящейся на один элемент системы

i

N

ii PPH ln

1

⋅−= ∑=

. (30.23)

Именно эту формулу К. Шанон взял за основу своего метода вычисления количества информации. Первоначально Шанон разрабатывал метод для вычисления информации в телекоммуникации. Поэтому для удобства расчета энтропии

245

некоторого сообщения, переданного бинарным кодом, Шанон заменил натуральный логарифм логарифмом с основанием 2.

i

N

ii PPH 2

1log⋅−= ∑

=

. (30.24)

Применим формулу (30.24) для нахождения средней математической энтропии, одной буквы и какого – либо текста:

).log...logloglog(

log

2222

2

zzccbbaa

i

z

aii

PPPPPPPP

PPH

++++−=

=⋅−= ∑=

Если предположить, что все буквы алфавита имеют одинаковую вероятность появления в тексте (хаотическом, лишенном структуры, информации), тогда

zcba PPPP ==== ... ,

NNN

HHz

ai22max log1log1

=−== ∑=

.

В результате, мы можем дать определение единицы количества информации, называемой бит (аббревиатуры английского выражения « binary unit »): 1 бит – это количество информации, содержащейся в сообщении о реализации одного из двух равновероятных событий

211

21 ===N

PP

Подставив это равенство в соотношение (30.24), получим:

bitH 12log21log

21

21log

21

222 ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= ,

В реальных текстах вероятность появления букв различна. Подставив в формулу (30.24) реальную вероятность появления букв, получим значение энтропии rH , меньшее максимального (30.25). Разность maxH и rH дает предполагаемое количество информации rI в тексте

246

rr HHI −= max И хотя первоначально метод Шанона был разработан для

решения конкретных задач телекоммуникации, он доказал свою универсальность. В настоящее время этот метод используется для различных систем, даже таких сложных, как биологические и социальные.

Поскольку количество информации, какой либо системы связано с ее энтропией, особую важность приобретают механизмы процессов, ведущих к уменьшению энтропии системы, называемые антиэнтропными механизмами. Они изучаются в рамках термодинамики неравновесных процессов. Важно отметить, что антиэнтропные процессы не противоречат второму началу термодинамики, так как одновременно с локальными уменьшением энтропии одной системы происходит возрастание энтропии тел, внешних по отношению к рассматриваемой системе.

§ 31. Третье начало термодинамики Из выражения

TQdS δ

= , являющегося определением

энтропии, и из формулировки второго начала термодинамики (30.11) следует, что энтропия определена только до некоторой произвольной постоянной. Вмести с тем, второе начало не содержит никаких уточнений относительно поведения физических систем вблизи температур, близких к абсолютному нулю, или возможности достижения этой температуры. Значение произвольной константы определяется из третьего начала термодинамики, которое и выясняет поведение термодинамических систем при абсолютном нуле.

Обобщая и систематизируя экспериментальные данные относительно значений энтропии при различных температурах, немецкий физик и химик В. Нернст в 1906 г. пришел к выводу: если абсолютная температура некоторой термодинамической системы стремится к абсолютному нулю, то ее энтропия стремится к постоянной величине, не

247

зависящей от ряда параметров (например, объема), агрегатного состояния и других характеристик термодинамической системы. Этот вывод является одной из формулировок третьего начала термодинамики, известного как теорема Нернста. На рис. 4.25 представлены кривые зависимости энтропии S от абсолютной температурыT используя в качестве параметра объем V термодинамической системы. Видно, что независимо от величины объема рассматриваемой системы энтропия стремится к одной и той же величине 0S , при KT 0→ .

M. Планк, развивая идею В. Нернста, постулировал, что в случае однородной конденсированной системы (жидкость или твердое тело) энтропия стремится к нулю, когда температура стремится к абсолютному нулю, oобщность характера этого утверждения заключается, во-первых, в том, что энтропия стремится к нулю при 0→T независимо от значений других параметров, от которых зависит энтропия. Рассмотрение только однородных систем следует понимать в том смысле, что при температуре абсолютного нуля могут находиться в равновесии только однородные системы.

Рис. 4.25 Рис. 4.26

.0lim0

=→

ST

Рассмотрение конденсированных систем также не ограничивает общий характер утверждения Планка, поскольку при KT 0→ ни одно из веществ не существует в газообразном состоянии, все известные вещества конденсируются при низких температурах, становятся

248

твердыми, за исключением −He II, который является твердым или жидким в зависимости от давления. (При низких температурах He испытывает фазовый переход, в результате которого становится сверхтекучим и называется −He II). Утверждение Планка является одной из формулировок третьего начала термодинамики. Можно дать еще одну: никакая система не может быть охлаждена до температуры абсолютного нуля, так как температура K0 принципиально недостижима. Но в принципе можно приблизится к K0 как угодно близко.

Чтобы показать, что из формулировки Планка следует невозможность достижения абсолютного нуля, допустим обратное. Рассмотрим тепловую машину, работающую по циклу Карно, причем температура холодильника KT 02 = (рис. 4.26). Изменение энтропии всего цикла равно нулю:

041342312 =∆+∆+∆+∆ SSSS В адиабатических процессах 2-3 и 4-1 энтропия

постоянна, 023 =∆S , 041 =∆S . На изотерме 3-4 энтропия все время равна 0 согласно формулировке Планка. Вместе с тем, для изотермического процесса в соответствии с (30.13) можно

записать 1

112 T

QS =∆ . Тогда сумма изменений энтропии в

рассматриваемом цикле равна

012 =∆S , 01

1 =TQ .

Этот результат абсурден, поскольку 01 ≠Q и KT 01 ≠ . Следовательно, предположение, что температура KT 0= может быть достигнута, неверно.

1.Первым следствием третьего начала является факт, что при KT 0= теплоемкости термодинамических систем становятся равными 0.

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

→→→ TST

dTQC

KTKTKT δδδ

000imlimliml ( ) 0

lniml

0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→ T

SKT δ

δ .

249

В частности,

=→ VKT

C0

iml ( ) ,0ln

iml0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→

VKT T

Sδ

δ

( ) ,0ln

imliml00

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

→→P

KTPKT TSC

δδ ( ) .0iml

0=−

→ VPKTCC

Из этих результатов следует, что при 0KT → уравнение состояния идеального газа также неприменимо. Физический смысл исчезновения теплоемкостей состоит в следующем: при температуре 0K система находится состоянии, в котором не может больше отдавать теплоту, так как энергия системы минимальна. Внутренняя энергия системы распределена между частицами системы единственным способом. Благодаря полному порядку этого единственного состояния, его термодинамическая вероятность 1=P ,

.01ln ==→

kSOKT

2.Можно показать, что при 0KT → термические коэффициенты расширения и давления стремятся к нулю, т. е. при 0KT → твердые тела становятся несжимаемыми. Согласно этому результату из определения термического

коэффициента давления VT

PP ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

δδβ

0

1 следует, что при

0KT → давление газа не зависит от температуры, являясь функцией только плотности. Говорят, что газ находится в вырожденном состоянии, газ называется вырожденным. Примером такого газа является вырожденный газ свободных электронов при обычных температурах. Поведение вырожденного газа не описывается статистикой Больцмана-Максвелла.

3.При 0KT → энтропия системы не может быть изменена никоим образом. Из этого следствия получаем еще одну формулировку третьего начала термодинамики: изотерма при 0K совпадает с адиабатой.

250

Область применимости третьего начала термодинамики меньше, чем первых двух. В основном это химия и физика низких температур.

§32. Термодинамические потенциалы

Энтропия и внутренняя энергия являются функциями состояния, имеющими фундаментальное значение для описания термодинамических процессов: изменение энтропии указывает направление протекания термодинамических процессов в изолированных системах, а изменение внутренней энергии обеспечивает их протекание в соответствии с законами сохранения и превращения энергии. Вместе с тем некоторые процессы происходят не в изолированной системе, а при поддержании некоторых параметров постоянными, (например T и V , или T и P , и т. д.). В таких случаях используются и другие функции состояния, называемые термодинамическими потенциалами, которые вводятся аналогично потенциальной энергии в механике (см. формулу 8.6). Если потенциальная энергия механической системы минимальна, то она находится в состоянии устойчивого механического равновесия. Аналогично, если термодинамический потенциал минимален, система находится в термодинамическом равновесии.

Далее мы проанализируем только самые важные термодинамические потенциалы, используемые для получения системы термодинамических уравнений Максвелла. Эти уравнения имеют многочисленные применения в термодинамике, в частности, они позволяют получить уравнения состояния в дифференциальной форме.

Рассмотрим замкнутую термодинамическую систему, которая совершает (или над которой совершают) только механическую работу. Если в неравенство (30.10) подставить выражение (27.8), то получим:

dVPdUAdUTdS +=+≥ δ . (32.1)

251

Неравенство (32.1) выполняется для любого процесса. Знаки „=” и „>” относятся к обратимому и необратимому процессу соответственно. Записанное только для обратимых процессов, выражение (32.1) известно как фундаментальное уравнение термодинамики

PdVdUTdS += . (32.2) a) Свободная энергия

Напишем неравенство (32.1) для системы постоянного объема constV = , находящейся в контакте с термостатом с температурой T

,dUTdS ≥ 0)( ≤− TSUd . (32.3) Последнее неравенство (32.3) содержит новую функцию

состояния ),( TVF : TSUTVF −=),( , (32.4)

называемую свободной энергией или потенциалом Гельгольмца. Тогда соотношение (32.3) принимает вид

,0≤dF (32.5) и трактуется следующим образом: процессы, в которых температура и объем рассматриваемой системы остаются неизменными, протекают так, что свободная энергия остается постоянной в обратимых процессах и уменьшается в необратимых. Следовательно, термодинамическая система, находящаяся в отмеченных условиях, стремится к состоянию устойчивого равновесия, в котором свободная энергия минимальна.

Рассмотрим обратимый изотермический процесс, для которого напишем выражение (32.2), т.е. dUTdSA −=δ ,

.)(

2112

12⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=∆−=

−−=

FFAFA

TSUdAδ (32.6)

Из равенств (32.6) следует, что свободная энергия представляет собой ту часть внутренней энергии системы, которая превращается в механическую работу в обратимом

252

изотермическом процессе. Физическая величина TS , равная разности внутренней энергии и свободной энергии была названа связанной энергии. Работа, совершаемая системой в адиабатическом процессе, равна изменению ее внутренней энергии, взятому со знаком минус,

.2112 UUA −= Сравнивая это равенство с последним из (32.6),

приходим к выводу, что свободная энергия играет в изотермических процессах ту же роль, что внутренняя энергия в адиабатных. b) Энтальпия. Свободная энтальпия

Рассмотрим термодинамическую систему, в которой происходит изобарный процесс. Напишем первое начало термодинамики в дифференциальной форме

,)()( dVPdQdU pp −= .)()( pp QPVU δ=+ (32.7)

Функция состояния H называется энтальпией PVUH += . (32.8)

Тогда (32.7) принимает вид pp QdH )()( δ= (32.9)

Сравнивая выражения (32.9) и (28.3), замечаем, что энтальпия в изобарных процессах играет ту же роль, что внутренняя энергия в изохорных. Для системы с постоянными давлением и температурой неравенство (32.1) записывается так:

.0)( ≤−+ TSPVUd (32.10) Это неравенство позволяет ввести еще одну функцию

состояния, называемую свободной энтальпией, или потенциалом Гиббса

TSPVUG −+= . (32.11) Неравенство (32.10) можно записать:

0≤dG . (32.12) Мы получили, что в необратимом процессе свободная

энтальпия системы уменьшается. В результате, система

253

достигает состояния равновесия с минимальным значением свободной энтальпии. Подставив равенства (32.7) и (32.3) в (32.10), получим связь между G и H , G и F соответственно

,TSHG −= PVFG += . (32.13)

Приложение. Примеры решения задач Задача 1

Плотность идеального газа в нормальных условиях равна 1.25 kг/м3. Отношение молярной теплоемкости при постоянном давлении CMP к молярной теплоемкости при постоянном объеме CMV равна 1,4.

Вычислить удельные теплоемкости при постоянном давлении cp и постоянном объеме cv.

Решение Выразим универсальную газовую постоянную R из

уравнения состояния идеального газа

TPM

TMmPVR

ρ== ,

где .Vm

=ρ Подставим полученное выражение в уравнение

Майера, написанное для удельных теплоемкостей,

TP

MRccp ρ

==− v . Зная, что показатель адиабаты

4.1===V

P

MV

MP

cc

CC

γ , можем записать выражения для cp и cv.

cv = ( ) КкгДж

PTp

⋅=

−740

1γ, cp 1004.1 ⋅== Vcγ 3

КкгДж

⋅.

Задача 2

Вычислить молярную теплоемкость идеального газа CM, температура которого в некотором процессе: а) прямо пропорциональна квадрату объема газа; б) обратно

254

пропорциональна его объему. Молярная теплоемкость при постоянном объеме газа CMV известна.

Решение a) Согласно условию задачи T=αV2, где a=const.

Количество теплоты, которым газ обменивается с внешней средой TCQ M ∆= ν , изменение внутренней энергии не зависит от процесса и равно TCU MV ∆=∆ ν , а совершенная

газом работа вычисляется по формуле A12 = ∫2

1

V

V

PdV . Связь

между этими тремя физическими величинами дает первое начало термодинамики: Q=∆U+A12,

TCM ∆ν = TCMV ∆ν + ∫2

1

V

V

PdV .

Из последнего равенства можно вычислить CM, найдя предварительно механическую работу A12. Выразим давление

p из уравнения состояния и подставим V=aT ;

P= aTRVRT νν

= . Одновременно dV= .2 aT

dT Используя

последние два соотношения, получим следующее выражение для совершенной газом работы:

A12= ∫ ∆=2

1

,22

T

T

TRaT

dTaTR νν

Подставив это выражение в первое начало термодинамики, получим

νCM∆T= νCMV∆T + TR∆

2ν , CM = CMV +

2R .

b)Зависимость температуры от объема дана

соотношением VbT = , откуда

TbV = и .2 dT

TbdV −=

255

Выражения для давления, полученные из уравнения состояния, принимают вид

,2

bRT

VRTP νν

==

а для механической работы, совершенной газом, получаем

A12= ∫ ∫ ∆−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2

1

2

1

.2

2V

V

T

T

TRdTTb

bRTPdV νν

Запишем первое начало термодинамики, используя это выражение для механической работы и те же выражения для Q и ∆U, что и в пункте a)

νCM∆T =νCMV∆T- νR∆T. В результате CM = CMV – R .

Задача 3 Вычислить отношение механической работы,

совершенной в адиабатном процессе, к работе в изотермическом процессе при сжатии двухатомного газа от объема V1=5л до объема V2= 1л. Какое сжатие эффективнее?

Решение Механическая работа в изотермическом процессе

вычисляется по формуле:

AT = == ∫∫2

1

2

1

V

V

V

V

dVVRTPdV ν

1

2lnVVRTν .

Механическую работу в адиабатном процессе можно найти, подставив давление, полученное из уравнения

Пуассона, ,11γ

γVVPP = в формулу для работы,

256

.11

)(1

1

2

1

11

12

1111

2

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

=−−

=∫=

−

−−

γ

γγγ

γγ

γν

γ

VVRT

VVVPVdVVPA

V

VQ

Искомое отношение работ равно:

4,1ln

1

11

1

2

1

2

1

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−

VV

VV

AA

T

Q

γ

γ(γ= .4,12

=+i

i )

Таким образом, AT<AQ, т.е. эффективнее изотермическое сжатие.

Задача 4 1кмоль идеального двухатомного газа переходит из

состояния с температурой T1=300K и давлением P1=10атм., в состояние с давлением p2=1атм. посредством политропического процесса PVn=const, где n=1,2. Вычислить: a)механическую работу, совершенную над газом; b)количество теплоты, которым обменялся газ с окружающей средой; c)молярную теплоемкость газа в данном процессе.

Решение Показатель адиабаты для двухатомного газа γ =1,4 (i =5).

Следовательно, график политропного процесса с показателем политропы n=1,2 (1< 1,2 < γ) – это кривая, расположенная между изотермой и адиабатой.

а) Из уравнения политропы PVn =P1V1n, выражаем

давление произвольного состояния ,11n

n

VVPP = которое

подставляем в формулу для вычисления механической работы:

257

∫ ∫ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−===

−2

1

2

1

1

2

1111112 1

1

V

V

V

V

nn

nn

VV

nVp

VdVVPPdVA ,

где: 3

1

2

112

3

1

11 17;5,2 м

PPVVм

PvRTV

n=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

Результат: A12 =4 MДж. б) Количество теплоты найдем из первого начала

термодинамики Q=∆U+A12, где ∆U=υCMV(T2-T1) предстоит вычислить. Для этого выразим CMV из уравнения Майера CMP=CMV+R,

,MV

MV

MV

MP

CRC

CC +

==γ 1−

=γ

RCMV,

а из уравнения состояния найдем RVPT

ν22

2 = . В итоге для ∆ U

получим выражение:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=∆ 1

122

RVPRU

νγν ,

которое подставим в первое начало термодинамики и вычислим Q.

МДжRVPRAQ 21

122

12 ≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+=

νγν

Q< A12 является следствием того, что уменьшается как температура 2

22 TRVР

=ν

< T1, так и внутренняя энергия, ∆ U < 0.

c) Молярная теплоемкость по определению равна:

TQCn ∆

=ν

, где 1

22 TRVРT −=∆

ν.

Получим: MVn CR

RTVРQR

TRVРQC −=−=

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=25

1221

22 νν

ν.

Убеждаемся, что в политропном процессе с 1<n<γ молярная теплоемкость отрицательна, совершенная газом

258

работа больше полученного количества теплоты. Следовательно, газ для совершения работы расходует и часть своей внутренней энергии, охлаждаясь при этом, несмотря на то, что получает теплоту извне.

Задача 5

Цикл, совершаемый идеальным оодноатомным газом, состоит из изохоры, адиабаты и изотермы. За цикл температура изменяется в a раз, а изотермический процесс происходит при минимальной температуре. Определить К.П.Д. цикла.

Решение Мы изобразим цикл, приняв во внимание, что наклон

адиабаты больше, чем изотермы. Вместе с тем, изотерме 3-1 соответствует минимальная температура T1=T3<T2. Анализируя процессы, из которых состоит цикл, констатируем: в изохорном процессе 1-2 газ получает количество теплоты Q12>0; в адиабатном процессе 2-3 теплообмен не происходит, Q23=0; в

изотермическом процессе 3-1 газ отдает количество теплоты Q31<0. Исходя из первого начала термодинамики, определяем величины Q12 и 31Q .

( ) ( )12 1121212 −=−=∆= aRTiTTCUQ MV νν , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= a

TT

1

2

.lnln1

31

3

113131 V

VRTVVRTAQ νν ===

К.П.Д. цикла равен:

259

( ) ( )12

ln1

12

ln1 1

3

1

1

31

12

1312

−−=

−−=

−=

aiVV

aRTiVV

RT

QQQ

ν

νη .

Уравнение адиабатического процесса 2-3 запишется:

,131

122

−− = γγ VTVT 1

2

3

1

2

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

γ

VV

TT , a

TT

=1

2 . Следовательно,

11

2

3 −= γaVV

. Подставив полученное в выражение для η ,

получим: ( )( )

211

ln 1 ia

a

−−−=

γη .

Поскольку газ одноатомный, то i = 3, ,352

=+

=i

iγ

1ln1

−−=

aaη .

Задача 6

Идеальный одноатомный газ совершает цикл, показанный на рисунке. Вычислить К.П.Д. цикла Карно, чьи изотермы проходят через точку B и A. Молярная теплоемкость в процессе BC равна CM=R. Известно, что PB=a PA, VC=bVA, в частном случае a=3, b=2.

P

P

V

B

P

C

A

P

B

C

A

V VA C К.П.Д. цикла равно отношению совершенной за весь

цикл работы к количеству теплоты, полученному за весь цикл,

260

1QA

=η . Работа A численно равна площади фигуры,

ограниченной кривой прямого цикла:

A= ( )( ) ( )( )2

112

AAABAC VPbaPPVV −−=

−− .

Газ получает теплоту в изохорном процессе AB и при расширении BC

Q1=QAB +QBC= ∆ UAB+QBC. Согласно условию задачи

QBC=ν CM ( ) ( )BCBC TTRTT −=− ν , а

( ) ( )ABABMVAB TTRiTTCU −=−=∆ νν2

.

Определим температуры TA, TB, TC исходя из уравнения состояния:

TA=RVPT

RVP BB

BAA

νν=, ,

RVPT CC

C ν= .

Полученное количество теплоты равно:

.21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

RVP

RVPR

RVP

RVPRiQ BBCCAABB

ννν

ννν

Поскольку график процесса CA- это отрезок прямой, продолжение которой проходит через начало системы координат, то в этом процессе давление прямо пропорционально объему, Ac PbP ⋅= . Это соотношение, а также AB PaP ⋅= , AC VbV ⋅= , подставляем в формулу для Q1 и получим следующие выражения для Q1 иη .

( ) ( ) ( ) ( ) ,12

12

221 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+−=−+−= abaiVPabVPaVPiQ AAAAAA

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

.1

22

11

12

2

1122

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−

−−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−

−−=

abaiba

abaiVP

VPba

AA

AAη

261

В рассматриваемом частном случае a=3; b=2. Газ одноатомный, т. е. i=3. В итоге

25,0=η . К.П.Д. цикла Карно, изотермы которого проходят через

точки B и A, равен

.1111aVP

VPTT

BB

AA

B

AC −=−=−=η .67,0=Cη

Задача 7

Найти изменение энтропии S∆ одного киломоля двухатомного идеального газа, температура которого изменяется от C00 до 5000C в процессе: a)изохорном, b)изобарном.

Решение Напишем первое и второе начала термодинамики в

дифференциальной форме для обратимых процессов: ,PdVdUQ +=δ TdSQ =δ ,

из которых следует соотношение

dVTP

TdUdS += .

Подставим в него выражения для dTCdU MVν= и

,VR

TP ν

= (из уравнения состояния). Получаем:

VdVR

TdTCdS MV νν += .

Интегрируем это равенство

∫∫∫ +=2

1

2

1

2

1

V

V

T

T

S

SMV V

dVRTdTCdS νν ,

1

2

1

2 lnlnVVR

TTCS MV νν +=∆ .

Получена формула для вычисления изменения энтропии идеального газа для произвольного обратимого процесса. Мы к ней еще обратимся при решении задачи 8.

262

a) Изохорный процесс: V1=V2, RRiCMV 25

2== . Тогда

KkДж

TTCS MV 22ln

1

2 ≈=∆ ν .

b) Изобарный процесс: ,1

2

1

2

VV

TT

= RCMP 27

= . Тогда

( )K

kДжTTC

TTRCS MPMV 30lnln

1

2

1

2 ≈=+=∆ νν .

Задача 8 В политропном процессе температура одного киломоля

двухатомного идеального газа изменяется от T1=300K до T2=400 K, показатель политропы n=3. Вычислить: a)изменение энтропии ∆S газа; b)механическую работу, совершенную над газом.

Решение a) Изменение энтропии идеального газа вычисляется по

формуле, полученной при решении задачи 7.

1

2

1

2 lnlnVVR

TTCS MV νν +=∆ .

Молярная теплоемкость при постоянном объеме равна:

1−=

nRCMV . Уравнение политропы запишем в виде:

11

2

1

1

2−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

TT

VV .

Для изменения энтропии получаем следующее выражение:

( )( )( ) KДж

TT

nnR

TTR

TTRS

n4781ln

11lnln

1 1

21

1

2

1

1

2 =−−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=∆

−

γγνν

γν

b) Работа идеального газа, совершаемая в политропном процессе при изменении объема от V1 до V2, равна

263

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−1

2

11112 1

1

n

VV

nVPA .

Используя уравнения

1111

221

11 , RTVPVTVT nn ν== −− , приходим к следующему выражению для A12:

[ ] кДжTTnvR

TT

nvRTА 5,415

11

1 211

2112 −=−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−= .

Таким образом, работа, совершенная над газом, кДжA 5,41512 =′ .

Задача 9 1kг воды при температуре t1=200C приведен в тепловой

контакт с термостатом, имеющим температуру t0=800C. Вычислить: a)насколько изменится энтропия всей системы (вода+источник тепла) после установления теплового равновесия; b)на сколько изменится энтропия всей системы, если вода сначала будет приведена в контакт с источником при 0

2 50 Ct = , а затем с источником тепла при t0=800C, удельная теплоемкость воды 4180=c Дж/кгК; c)при каких условиях может быть нагрета вода от t1 до 0t без изменения энтропии?

Решение a) Изменение энтропии системы равно сумме изменений

энтропии воды и источника: ub SSS ∆+∆=∆

( ) .710

,779ln

0

01

0

1

00

1

0

1

KДж

TTTmc

TQS

KДж

TTmc

TdTmc

TQS

u

T

T

T

Tb

−=−

==∆

====∆ ∫∫δ

Т.к. температура источника T0 остается неизменной, Q- это количество теплоты отданное воде. Следовательно

264

.07,68 >=∆+∆=∆KДжSSS ub

Полученный результат находится в согласии со вторым началом термодинамики (30.11), причем совершаемый системой процесс необратим.

b) В начале аналогичным образом вычисляется изменение энтропии системы вода+первый источник 1S∆ , затем системы вода+второй источник 2S∆ . Вычислив

21 SS ∆+∆ , найдем изменение энтропии всей системы. В итоге

получается KДжS 4,50=∆ .

c) Видно, что использование двух источников уменьшает изменение энтропии. Следовательно, если число источников будет бесконечно большим, то 0→∆S .

Контрольные вопросы 1.От каких параметров зависит внутренняя энергия термодинамической системы? Аргументировать ответ, исходя из расчетных формул для внутренней энергии идеального и реального газов. Как можно изменить внутреннюю энергию системы?

2.Каков физический смысл универсальной газовой постоянной? 3.Какой процесс совершает идеальный газ, если извесно, что работа газа, совершаемая при переходе из начального состояния в конечное, максимальна? Ответ проиллюстрировать графически.

265

4.Как изменяется температура идеального газа при адиабатном расширении? Сжатии? Использовать для ответа уравнение Пуассона.

5.Какой процесс называется политропным? Получить формулы для вычисления механической работы идеального газа в изобарном и адиабатическом процессах, исходя из формулы для вычисления работы в политропном процессе.

6.Сформулировать теорему Карно и показать, что она совпадает с формулировками второго начала термодинамики, данными Клаузиусом и Томсаном.

7.Сформулировать закон изменения энтропии изолированной термодинамической системы. Почему адиабатический процесс называется изоэнтропным?

8.Построить график цикла Карно в координатах ST − и вывести формулу для вычисления К.П.Д. этого цикла.

9.Записать теорему Нернста и третье начало термодинамики в формулировке Планка.

10. Почему в термодинамике необходимо использовать и другие функции состояния, кроме внутренней энергии и энтропии?

Литература 1.Детлаф А. А., Яворский Б. М., Курс физики. - Кишинев, Лумина; 1991. 2.Савельев И. В., Курс общей физики. Т.1.- Москва, Наука; 1979. 3.Иродов И. Е., Задачи по общей физике. – Москва, Наука; 1979. 4.Чертов А. Ф., Воробьев А. А., Задачник по физике. – Москва, Высшая школа; 1981. 5.Traian I. Creţu, Fizica. Curs universitar. – Bucureşti, Editura tehnică; 1996.

266

6.Luca E., Zet Gh., Jeflea A., Ciubotaru C., Pasnicu C., Fizica V.1-Bucureşti, Editura ştiinţifică; 1995

Содержание I. Кинематика материальной точки и твердого тела……... 5

§1. Элементы векторной алгебры………………………… 5 1.1. Сложение, вычитание и умножение векторов… 5 1.2. Единичный вектор. Радиус – вектор…………… 7 1.3. Производная вектора……………………………. 8

§2. Система отсчета. Механические модели.................... 9 §3. Основные кинематические величины………….…… 10

3.1. Кинематические законы движения. Траектория, перемещение……………………………

10

3.2. Средняя скорость, мгновенная скорость………. 11

267

3.3. Среднее ускорение, мгновенное ускорение..….. 13 3.4. Тангенциальное и нормальное ускорения…..…. 14

§4. Частные случаи движения материальной точки…… 16 4.1. Прямолинейное равномерное движение…..…… 16 4.2. Вращательное движение. Кинематические угловые величины…..………………………………...

17

§5. Движение твердого тела…………..…………………. 23 5.1. Поступательное движение……………………… 23 5.2. Вращательное движение вокруг неподвижной oси 23

Приложение. Примеры решения задач…………………….. 25 Контрольные вопросы……………………………………..... 33 II. Классическая динамика системы материальных точек. 34

§ 6. Законы классической механики (повторение)……… 35 6.1. Принцип инерции…………………………….…… 35 6.2. Основной закон динамики. Принцип независимости действия сил…………………………..

36

6.3 Закон действия и противодействия……………… 38 *Механическая работа и механическая энергия…………... 39

§ 7. Механическая работа. Мощность. Консервативные и неконсервативные силы………………………………...

39

7.1. Механическая работа. Мощность........................... 39 7.2. Консервативные и консервативные силы……….. 41

§ 8. Механическая энергия………………………………... 45 8.1. Кинетическая энергия материальной точки.......... 45 8.2. Потенциальная энергия материальной точки....... 46 8.3. Примеры вычисления потенциальной энергии..... 49

Приложение. Примеры решения задач.................................. 51 Контрольные вопросы............................................................. 61 **Динамика системы материальных точек……………….. 62

§9. Центр массы системы материальных точек и закон его движения………………………………………….........

62

§10. Теорема об изменении и закон сохранения импульса……………………………………………………

64

§11. Теорема об изменении и закон сохранения момента импульса…………………………………………………....

66

11.1. Момент силы. Момент импульса

268

(кинетический момент) материальной точки............... 67 11.2. Момент импульса системы материальных точек. Теорема об изменении и закон сохранения момента импульса……………………………………...

70 §12. Теорема об изменении и закон сохранения механической энергии……………………………………..

73

12.1.Кинетическая энергия системы материальных точек……………………………………………………

73

12.2.Теорема об изменении и закон сохранения механической энергии………………………………...

76

Приложение. Примеры решения задач…………………….. 78 Контрольные вопросы………………………………………. 84 ***Динамика вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси…………….…….

85

§13. Момент импульса твердого тела. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси…………………………..

85 13.1. Момент импульса твердого тела.......................... 85 13.2. Основной закон вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси………

88

§14. Момент инерции твердого тела. Теорема Штейнера 88 §15. Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела.........................................................................

92

§16. Работа внешних сил, действующих на твердое тело при вращательном движении………………………….......

93

Приложение. Примеры решения задач…………………….. 97 Контрольные вопросы………………………………………. 105III. Основы специальной теории относительности……….. 106

§ 17. Принцип относительности в механике и в классической электродинамике…………………………... 106

17.1.Принцип относительности в классической механике……………………………………………….. 10617.2. Принцип относительности в классической электродинамике……………………………………… 108

§18. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца…………………………………. 109

269

18.1. Постулаты специальной теории тносительности 10918.2. Преобразования Лоренца……………………… 11118.3. Кинематические следствия из преобразований Лоренца………………………………………………… 114

§19. Элементы динамики специальной теории относительности………………………………………….. 121

19.1 Релятивистское изменение массы………………. 12219.2. Релятивистский импульс. Основной закон релятивистской динамики…………………………….

124

19.3. Кинетическая энергия. Закон взаимосвязи между массой и энергией. Релятивистское соотношение между энергией и импульсом................. 128

Приложение. Примеры решения задачи................................ 133Контрольные вопросы............................................................. 140IV. Основы молекулярной физики и термодинамики.......... 141

§20. Методы изучения макроскопических систем……… 14120.1. Статистический и термодинамический методы.. 14120.2. Параметры состояния, термодинамические процессы.......................................................................... 143

§ 21. Термическое уравнение состояния............................ 14521.1. Идеальный газ. Пределы применимости теории идеального газа................................................................ 14621.2. Уравнения состояния реальных газов.................. 147

*Молекулярно – кинетическая теория газов......................... 152§22. Основное уравнение молекулярно – кинетической теории идеального газа........................................................ 152§23.Элементы статистики Максвелла-Больцмана............ 155

23.1.Статистическое равновесие. Вероятность распределения (термодинамическая вероятность)......

155

23.2.Распределение Максвелла-Больцмана…………. 16223.3.Распределение молекул идеального газа по скоростям и значениями энергии…………………

166

23.4.Распределение Больцмана молекул и идеального газа по значениям энергии во внешнем поле консервативных сил. Барометрическая формула 172

§ 24. Закон равнораспределения средней

270

кинетической энергии по степеням свободы……………. 175§25. Средняя длина свободного пробега молекул………. 180§26. Явления переноса……………………………………. 183

26.1. Общие уравнения явлений переноса в идеальных газах……………………………………….. 18426.2. Теплопроводность………………………………. 18626.3. Внутреннее трение (вязкость)………………….. 18726.4. Диффузия………………………………………… 19026.5. Следствия из теории явлений переноса в газах. 193

Приложение. Примеры решение задач…………………….. 194Контрольные вопросы………………………………………. 205**Основы термодинамики………………………………... 206

§ 27. Первое начало термодинамики…………………….. 20627.1. Внутренняя энергия термодинамической cистемы………………………………………………… 20627.2. Внутренняя энергия идеальных и реальных газов……………………………………………………… 20827.3. Механическая работа термодинамической системы……….………………………………………...

209

27.4. Теплообмен.Теплоемкость.................................... 21127.5. Первое начало термодинамики............................. 213

§28. Газовые процессы. Адиабатный процесс. Политропные процессы…………………………………… 214

28.1. Изохорные процессы ( constV = )......................... 21428.2. Изобарные процессы ( )constР = ......................... 21628.3. Затруднения классической теории теплоемкости идеального газа………………………... 21

828.4. Адиабатные процессы………………………….. 22028.5. Политропные процессы………………………… 221

§ 29. Второе начало термодинамики................................. 22529.1. Обратимые и необратимые процессы…………. 22529.2. Круговые процессы. Цикл Карно………………. 22729.3. Второй закон термодинамики………………….. 230

§30. Энтропия. Статистическое толкование энтропии…. 231

271

30.1. Приведенная теплота. Неравенство Клаузиуса.. 23130.2. Энтропия как функция состояния. Закон изменения энтропии изолированной системы………. 23330.3. Анализ термодинамических процессов с помощью энтропии……………………………………. 23630.4. Статистическое толкование энтропии…………. 24030.5.Связь энтропии с количеством информации…... 243

§ 31. Третье начало термодинамики……………………... 247§32. Термодинамические потенциалы…………………… 251

Приложение. Примеры решения задач……………………. 254Контрольные вопросы………………………………………. 266Литература…………………………………………………… 267