Termodinamica e Fluidi

5/14/2018 Termodinamica e Fluidi - slidepdf.com

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Testo: Mazzoldi Nigro Voci Tomo 1Modalità di Esame:Tutor: Ilaria Siloi IV Piano.

Elasticità dei solidi:Parleremo principalmente di corpi cilindrici per comodità.L'elasticità di un solido riguarda quel regime nel quale sotto l'azione di una forza il corpo si deforma, ma nelmomento in cui elimino la causa della deformazione, il corpo ritorna esattamente nelle condizioni iniziali.Consideriamo ciò che accade a temperatura costante (processi isotermi).Carico: è la Forza F applicata al corpoCarico Specifico o Unitario: con S superficie della sezione cui la forza F è applicata.Allungamento Specifico o Unitario

Legge di Hooke:Si riferisce ad un'azione di trazione o di compressioneSe sottoponiamo un corpo ad una forza, esso si allungherà di una lunghezza . Il corpo risponde con una forzadi reazione che all'equilibrio è uguale e contraria a F. E' questa la forza che tende a ripristinare le condizioniiniziali del corpo quando F viene meno.Si ha che , ovvero .Più precisamente si scriverà che con E modulo di Young ( o di elasticità).

Sarà

.

E ha le dimensioni di una pressione, un ordine di grandezza di e dipende dal materiale e dalla temperatura. All'interno dei regimi di elasticità, la legge diHooke sancisce una proporzionalità direttatra . Il regime di elasticità è solitamenterispettato per forze "piccole"

Alcuni esempi di valori di E a 20°C

Acciaio

Allumino Ferro Gomma Per i metalli, E diminuisce all'aumentare della temperatura.Energia potenziale elasticaLa si definisce a partire dal primo principio della termodinamica: W= lavoro, U=energia interna, Q=calore scambiato tra esterno e interno. Ma noi stiamo parlando di

trasformazioni isoterme

Elasticità, 1martedì 28 febbraio 201209:10

Termodinamica e Fluidi Pagina 1



Ad un certo punto, aumentando progressivamente il carico, la legge di Hooke cessa di valere, e si passa dalregime elastico al regime plastico. In questo regime ilcorpo non è in grado di tornare alla condizione iniziale.Continuando ad aumentare il carico, il corpo si spezza.

Per descrivere cosa succede alla dimensione trasversale(il raggio del cilindro) interviene la:

Legge di Poisson: Dove è il coefficiente di Poisson e dimensionalmente è un numero. Questo coefficiente è specifico delmateriale ma sperimentalmente si è visto che è sempre compreso tra Sfruttiamo questa informazione per studiare il volume:

Essa è Positiva o nulla quando: Poiché anche sperimentalmente si è visto che possiamo affermare che per effetto di una trazione ilvolume non può diminuire. Il contrario avviene nel caso di una compressione.

Scorrimento

Se ho un corpo solido vincolato sulla base inferiore e applico una forza sulla base superiore ottengo unadeformazione come in figura.

Si trova che con G chiamato modulo di rigidità o di taglio.

G dipende dal materiale e dalla temperatura, e si misura in

I coefficienti di taglio , di Poissn e di Young non sono indipendentima son legati dalla legge:

Compressione Uniforme

Corpo soggetto alla stessa pressione su tutte le facce, come quando immergo un corpo non troppo esteso in unfluido (tutte le facce sono soggette allo stesso carico).

Dove

è la variazione di volume dovuta alla variazione di pressione

.

prende il nome di coefficiente di

compressibilità isoterma.

Materiale

Elasticità 2martedì 28 febbraio 201210:26




Acciaio




Poiché la pressione di un gas perfetto per il volume è una costante, in questo cas o particolare si ha: Quindi il coefficiente di compressibilità isoterma dei gas perfetti non è altro che la loro pressione.

FluidiTutto ciò che è stato detto, tuttavia, non vale per i fluidi, poiché essi non hanno alcun mezzo per opporsielasticamente ad una forza. Se ad esempio applico una forza di taglio, il fluido si mette in moto piuttostoche deformarsi.Si intende per fluido qualsiasi sostanza liquida o gassosa. La densità dei liquidi è maggiore di quella dei gase questi ultimi non hanno un volume proprio ma occupano tutto lo spazio disponibile. I liquidi sono menocompressibili di quanto siano i gas, che hanno una densità molto variabile.D'altra parte esiste una relazione molto rigida tra pressione, densità e volume.

Ipotesi di continuità1)Non ci interesseremo della fisica delle singole particelle; dal nostro punto di vista un fluido è unmezzo continuo. Dobbiamo immaginare il fluido come suddiviso in tanti elementi infinitesimi acontatto tra di loro. Studieremo cosa succede a questi elementi infinitesimi.Questo serve anche per dare una spiegazione intuitiva della propagazione delle forze esterne neifluidi, oltre che consentire l'uso delle forme differenziali. Inoltre questo aiuta a tenere conto che la

densità, in generale può essere Sistema di Punti Materiali 2)Possiamo considerare ogni elemento come un punto materiale, e il fluido come un sistema di puntimateriali.NB: Una grandezza che non cambia nello spazio è uniforme o omogenea , mentre una che non

cambia nel tempo si dice stazionaria

Le forze che si trasmettono tra i vari volumi infinitesimi possono essere di due tipiForze di Superficie:•

Sono legate alla superficie degli elementi infinitesimi. Un esempio di forza di questo tipo è a forza di

pressione: la forza che ha per modulo lo scalare pressione, direzione ortogonale alle facce del volumeinfinitesimo e verso diretto all'interno del volume. Un atro esempio di forza di superficie è la forza diattrito. Definiremo la pressione come:

E gli sforzi di taglio come Un fluido non può reagire agli sforzi di taglio, dunque si mette in moto. Quindi se consideriamo unfluido in quiete, tutte le forze di superficie devono essere perpendicolari alle superficie diseparazione, altrimenti i vari elementi comincerebbero a scorrere gli uni sugli altri.Forze di Volume:•

Sono forze le cui relazioni possono essere espresse attraverso i volumi degli elementi infinitesimi.Un esempio è la forza peso, la forza di Coriolis, e tutte quelle che dipendono in generale dalla massa.

Studieremo fluidostatica e fluidodinamica dal punto di vista macroscopico.

Fluidigiovedì 1 marzo 201209:53




La pressione è uno scalare, e come conseguenza non dipende dall'orientazione della superficieconsiderata. Mentre in meccanica le forze sono applicate in punti, qui invece sono sempreapplicate a delle superfici. Quindi, anche quando si parla di "pressione in un punto" in realtà siconsidera a pressione alla superficie infinitesima. Ciò è possibile poiché la pressione è la stessa

se considero varie superfici infinitesime di orientazioni differenti.Non direzionialità della pressione:Supponiamo che agiscano solamente

Delle forze di superficie e che il liquido sia inequilibrio. Si avrà: Se passiamo al limite infinitesimo, la cosa sidimostra per un punto. In questo caso leforze di volume sono trascurabili in quanto

infinitesimi di ordine superiore.E' dunque possibile parlare di pressione in un punto.

Unità di misura della pressione

MKS CGS

Pascal: Baria: Bar: Ettopascal Il millibar non è da utilizzare per direttive internazionali, quindi si utilizza l'ettopascal.

Pressione a livello medio del mare in condizioni standard: Lavoro delle forze di pressioneConsideriamo un contenitore pieno di fluido con una parete mobile sulla quale immaginiamo diapplicare una forza di pressione tale cheLa parete si sposti di una lughezza infinitesima

Condizione di equilibrio statico per un fluido.Le forze di superficie e di volume devono essere Considereremo prima la direzione verticale:

Se definisco

L'espressione non è rigorosissima (dovrei prendere degli elementi didimensioni e poi passare al limite)Su una faccia avrò e sull'altra Queste forze hanno origine da altre parti di fluido che circondano il volumeinfinitesimo.

Pressionegiovedì 1 marzo 201211:09




La forza totale di pressione l'ungo l'asse z sarà dunque:

Suppongo sia applicata anche una forza di volume all'elemento di volume. La suacomponente verticale sarà: Sulla verticale si avrà, all'equilibrio: Lo stesso discorso può essere ripetuto nelle altre tre direzioni. Avremo pertanto:

f rappresenta la forza totale di volume per unità di massa (è un'accelerazione). Potròscrivere pertanto: Ciò significa che la pressione non può essere costante lungo z, ad esempio, se vogliol'equilibrio statico e se siamo in presenza di una forza di volume con componente lungo z.Ad esempio se il corpo è soggetto ad una forza di volume con verso positivo lungo z, lapressione deve aumentare all'aumentare di z affinché il corpo resti in equilibrio, dunque lapressione è maggiore sulla faccia superiore che sulla faccia inferiore dell'elementoinfinitesimo.

Possiamo supporre che la forza di volume sia conservativa. Avremo dunque: Con energia potenziale per unità di massa.

Superficie equiscalare:È una superficie che ad un tempo fisso passa per tutti i punti dello spazio che sonocaratterizzati da un certo valore fissato di una grandezza.Una superficie equiscalare di pressione è chiamata superficie isobarica.

Una superficie equiscalare di temperatura è chiamata superficie isotermica.

Una superficie equiscalare di densità è detta superficie isopicnica.

Intersecando queste superfici con superfici di livello otteniamo le isobare, le isoterme, e leisopicne.

Superfici di livelloSuperfici equiscalari di energia potenziale per unità di massa (nel caso dell'energiapotenziale gravitazionale della terra, sono dette isogeopotenziali ).

Il gradiente di pressione deve dunque avere la stessa direzione dell' e poiché il

gradiente è perpendicolare alle superfici equiscalari, le isobariche devono coincidere,all'equilibrio, con le superfici equiscalari dell'

e con le isopicniche.

Se limito il mio studio ad una porzione moto limitata di queste superfici, posso approssimarele stesse ad un piano ad essa tangente.

Equilibrio statico di un fluidogiovedì 1 marzo 201211:55




Torniamo all'elemento di fluidoIpotizziamo che l'unica forza di volume presente sia la forza peso. Avremo:

Quindi in presenza della sola forza peso, necessariamente la pressione deve essere omogenea lungo x e y per

ottenere l'equilibrio Per mantenere l'equilibrio, la pressione diminuisce all'aumentare di z (con z diretto verso l'alto) e rimanereinvariata al variare di x e y. Poiché la derivata non dipende da x e yForza di gradiente di pressione nasce dalla differenza d pressione spaziale, ed è diversa dalla forza dipressione.

La differenza di Epm r P tra due superfici isobariche è:

Dove sono tutte costanti.

Ora se consideriamo un contenitore pieno di liquido, allora la superficie liquida libera è approssimabile aduna superficie orizzontale, che posso confondere con un piano orizzontale. Quella superficie è anche unasuperficie di livello è per pressione, densità ed energia per unità di massa.

Equazione fondamentale dei fluidiMolto spesso, quando non è strettamente necessario si utilizza quest'approssimazione idrostatica. Questaequazione fondamentale è:

Vogliamo ora integrare questa equazione

Il problema principale è la conoscenza di . Solamente se sappiamo che la densità sia costante rispetto azeta, e considero un fluido abbastanza contenuto da poter considerare la g costante, integro e ottengo laLegge di Stevino: La pressione a è pari a quella a più il peso di una colonna di fluido che si estende tra e baseunitaria.Questa legge costituisce una buona approssimazione per i liquidi che per i gas, poiché questi ultimi sonoaltamente compressibiliSi può dimostrare che se l'atmosfera fosse omogenea dal punto di vista della densità, allora i suo "spessore"(fin cioè a dove la pressione è 0) sarebbe di circa 8 km (contro i 10 km della troposfera, 50 km dellastratosfera più tutti gli altri strati)

Se la densità variasse in modo arbitrario nel

contenitore, nel liquido si formerebberodei moti convettivi (trasporto diqualcosa, come il calore, per effetto diun movimento di massa)

Stevinomartedì 6 marzo 201210:43




Dalla legge di Stevino si nota come ogni variazione di si riperquota su .Se e sono molto piccoli il termine diventa trascurabileSe consideriamo u bacino d'acqua, avremo:

Con profondità di un oceano.

La superficie libera di un fluido è, in statica, una superficie isobarica ed equipotenziale e, se ne consideriamouna piccola porzione, possiamo approssimarla ad un piano.

Conseguenze:

Consideriamo un recipiente contente un liquido a densità costante:

La superficie libera dei due fluidi sarà allo stesso livello =>

Manometro ad U

Se applico la legge di Stevino: Se il manometro contienedue differenti liquidi, condensità differenti e a pressione esternacostante. Avrò:

Barometro di Torricelli:

Possiamo vedere cosa succede se approssimiamo l'aria come un fluido incompressibile a densità costante, etramite la legge di Stevino si valuta che il suo spessore sarebbe di soli 8 km (assolutamente irrealistico)l'equazione idrostatica è tuttavia importante anche per la fisica dell'atmosfera, poiché spesso si lavora in"approssimazione idrostatica. Quindi quando si deve integrare, si ritorna nel problema della densità. Perrisolverlo si può integrare strato infinitesimo per strato infinitesimo (in modo da tenere strato per strato ladensità costante).Oppure posso utilizzare delle "atmosfere convenzionali" come l'atmosfera omogenea (a densità costante), poic'è l'atmosfera a temperatura costante e l'atmosfera politronica (temperatura lineare).Nonostante l'atmosfera omogenea sia irrealistica, è importante perché serve a definire delle grandezze di

scala, come l'altezza di un'atmosfera omogenea (8 km) e la variazione di temperatura per 100 m di altitudinedi un'atmosfera omogenea (3,42°C). La variazione calcolata approssimando i processi come adiabatici è di0,98°C, mentre la variazione reale misurata nella troposfera è di 0,65°C.

Considerazionigiovedì 8 marzo 201210.23




Manometro a tubo aperto

Galleggiamento:

Non solo di oggetti immersi in un fluido, ma anche di unaparte di fluido rispetto ad un'altra parte di fluido, o di un oggetto completamento immerso. Parleremo pertantodella spinta di Archimede.Isoliamo u volume di fluido all'interno del contenitore. Esso sarà soggetto alle forze di superficie (la pressione) ealle forze di volume (peso). Immaginiamo di sostituire il volume considerato con unVolume di un liquido di densità differente, oppure con unsolido.Le forze di pressione non sono cambiate, quindi avrò:

Quindi possiamo dire che se: Tutto questo se il corpo ha baricentro uguale a quello del liquido cui si sostituisce. Altrimenti il corpo tende a

ruotare, poi si comporta come detto sopra Spinta di Archimede:

Contenitore contenente un liquido, supponiamo che il contenitore ruoti con velocità angolare costante1)Il liquido si sta girando in modo solidale al contenitore2)

Liquido in Rotazione

Si nota subito che la superficie libera non è più un piano, ma una superficie la cui equazione ci preme trovare.

Possiamo studiare il problema da un sistema di riferimento assoluto inerziale oppure da un sistema di riferimento

solidale con il contenitore, dunque rotante.

Sistema di Riferimento Relativo:

Se considero un sistema di riferimento in rotazione, tuttavia, devo introdurre le forze apparenti, quali la forzacentrifuga e quella di Coriolis, che tuttavia in questo caso risulterà nulla.

Considero dunque la sola forza centrifuga:

La superficie libera di un fluido è una superficie isobarica , equipotenzialeed è perpendicolare al gradiente. Da qui si comprende la forma della superficie: il gradiente ha la stessa direzione della risultante delle forze che

Applicazioni Stevinomartedì 13 marzo 201210.20




cambia direzione (diventando sempre più verticale verso il centro)




Integrando, otteniamo:

Per Questa è l'equazione di un paraboloide di rotazione, ed è la forma della superficie libera del liquido.

Troviamo il volume dell'anello di rotazione creato da due cilindri il cui raggio differisce per un dr Con R raggio del contenitore e d altezza del liquido a riposo.

Sistema di Riferimento Assoluto

Consideriamo ora il problema da un sistema di riferimento inerziale:Il volumetto è soggetto:

Abbiamo trovato due condizioni, che possiamo leggere come sistema di equazioni differenziali.

In questi casi si ipotizza una funzione soluzione e poi si verifica che soddisfi le condizioni. Nel nostro caso, la

nostra ipotesi è che la soluzione sia de tipo: Per allora Avremo pertanto che: Superficie LiberaSi parla di superficie libera quando si intende la superficie di separazione tra il fluido considerato e il resto.

giovedì 15 marzo 201209.40




La forza centripeta che abbiamo trovato all'equilibrio deve corrispondere ad una variazione orizzontale dipressione. Se sostituisco 'elemento di fluido con un altro elemento di materiale diverso.

F' è la forza necessaria a mantenere il nuovo sistema in equilibrio. La forza presente è tuttavia F. discutiamo cosasuccede nei due casi F>F' e F<F' Attrito InternoQuando si parla di attrito interno si parla di un fluido reale, non di un fluido ideale. Stiamo inoltre considerando un

fluido reale in moto.Consideriamo un fluido che si muove tra due lamine. Supponiamo che la lamina superiore si muova con unavelocità costante. Se il fluido è reale, la velocità della lamina si propagherà in modo che il fluido a contatto con lalamina superiore si muoverà anch'esso con velocità mentre il fluido a contatto con la lamina inferiore saràfermo.

Avrò dunque un profilo di velocità:

Posso immaginare di andare adividere il nostro fluido in tanti"filetti" infinitesimi, ognuno dei quali

esercita forze d'attrito sugli altri.

Questo vale se consideriamo un flusso laminare. Le frecce in arancione sono le forze che si esercitano tra le lam

ineinfinitesime di fluido. Li indichiamo con , ed essi rappresentano gli sforzi interni. Se li moltiplichiamo per lasuperficie si trova che: Dove

è la variazione della velocità nella direzione ad essa normale (concetto del profilo di velocità).

Normalmente gli sforzi per unità di superficie vengono appunto indicati con .Se scriviamo vettorialmente gli sforzi, sempre considerando il nostro esempio, avremo:

In una situazione più generale, la velocità lungo x,y,z può variare in funzione di x,y,z dunque il è il tensore deglisforzi, una matrice 3x3. rappresenta la viscosità molecolare del fluido, che dipende dal tipo di fluido, dalla temperatura e si misurain oppure u in poise: NB: Se il fluido è fermo, ovviamente le forze di attrito sono nulle.

Consideriamo un fluido reale: perché?

Fluido Ideale:Fluido incompressibile e non viscoso e dunque

Il fluido reale è l'opposto.Dunque il discorso di prima perde significato se consideriamo un fluido ideale.

Attrito Internogiovedì 15 marzo 201210.37







Quando dobbiamo studiare un fluido possiamo utilizzare due tipi di approcciApproccio Lagrangiano

L'approccio Lagrangiano dobbiamo immaginare di suddividere il fluido in tanti elementi, etichettareognuno di questi elementi e seguirli ad uno ad uno ad uno, o comunque dell'elemento di fluido che ci

interessa, senza mai confondere gli elementi tra di loro.Ad esempio, potremmo indicare ciascun elemento con la sua posizioni iniziale in (x,y,z)Approccio Euleriano

Questo approccio studia il fluido dal punto di vista dei campi, ovvero va a studiare cosa succede nelfluido, in uno spazio a un tempo fisso e in un punto fisso allo scorrere del tempo, senza più distinguereelementi di fluido.

Esiste ovviamente una relazione matematica che li lega.

EsempioImmaginiamo di lanciare delle boe in mare e poi seguire il movimento delle boe sulla superficie. Questo

è un tipo di approccio lagrangiano. Un altro approccio di questo tipo si usa quando si vuole andare astudiare l'emissione di una sostanza inquinante. In un punto c'è un'immissione di una sostanzainquinante e si segue il pennacchio mentre questa si sposta.

Un approccio euleriano è quello utilizzato nelle previsioni del tempo: fanno vedere su una certa area,ad un tempo fisso, cosa succede.. Creo una mappa che sfrutta il concetto di campo.

Consideriamo ad esempio la Temperatura Isoliamo un elemento di fluido che si sta muovendo nello spazio e voglio capire come varia la suatemperatura nel tempo mentre l'elemento si muove.

Il primo membro dell'equazione sfrutta l'approccio lagrangiano, il secondo membro sfrutta l'approccioeuleriano, e dunque ci consente di passare da un tipo di approccio all'altro.

Per il seguito, molto spesso utilizzeremo l'approccio euleriano.

Regime Stazionario

Significa che la derivata parziale della velocità nel tempo è nulla Altrimenti i regime è variabile.

Linea di Corrente o di flussoÈ quella linea che, ad un tempo fisso, ha ovunque come tangente il vettore velocità.

martedì 20 marzo 201210.18




In generale, linea di corrente e traiettoria sono diverse, poiché la prima è definita per un tempo fisso, laseconda al variare del tempo.Solamente nel regime stazionario linee di corrente e traiettoria coincidono.Tubo di Flusso in un fluido

Prendo una sezione di fluido e considero le linee di corrente che passano per il contorno della superficiead un tempo fisso costituiscono un tubo di flusso.Portata Volumetrica Volume di fluido che passa attraverso una certa sezione nell'unità di tempo. In mks si misura in Teorema di Leonardo:Se il fluido è ideale e se siamo in regime stazionario, le linee di corrente sono immutabili, e allora non hopassaggio di fluido attraverso le superfici dei tubi di flusso né addensamenti o rarefazioni di fluido dentroil tubo di fluido.Avremo pertanto portata costante nel tubo di flusso.Quindi se considero un tubo di flusso a sezione variabile il fluido aumenta la propria velocità quando lasezione diminuisce.

Questo rappresenta una semplificazione dell'equazione di continuità (o conservazione della massa)Avremo dunque: Teorema di Bernoulli

Non ci sono forze di attrito per ipotesi ma è presentela forza peso. Dal punto di vista delle caratteristiche del fluido i volumi infinitesimi sono identici.

Per dimostrare il teorema cominciamo a scrivere il lavoro della forza peso:

Lavoro delle forze di Pressione: Energia cinetica: Applico la conservazione dell'energia:

Per il teorema di Bernoulli, se considero un tubo di flusso orizzontale, resta costante, dunque il teorema si

riduce a .

Dunque, per il teorema di Leonardo attraverso una sezione maggiore la velocità è minore, dunque è più

piccolo e pertanto la pressione è maggiore attraverso sezioni più grandi.

Teorema di Leonardomartedì 20 marzo 201210.43




Inoltre se considero un fluido fermo, la legge di bernoulli diventa: Che non è altro che la legge di StevinoEquazione di continuità

Se si utilizza l'approccio Euleriano si scrive: Se si utilizza l'approccio Lagrangiano si scrive: Poiché e ciascuna delle coordinate è a sua volta funzione del tempo, avremo:

In caso di stazionarietà e omogeneità di possiamo scrivere che , dunque il flusso è costante (teoremadi Leonardo)

Tubo a sezione costante•

Applicazioni di Bernoulli e Leonardo

Tubo di Venturi

•

La pressione è più alta nella sezione più bassa.

Tubo a sezione variabile orizzontale:

Tubo di Pitot•

Da posso poi ricavare , dunque conoscendo la geometria e la pressione nel tubo posso risalire allevelocità.

Semplice strumento per determinare la velocità in un punto di un fluido. Tra le prime due sezioni avremo

Ma in 1 c'è un punto di arresto, poichél'acqua trova il becco del tubo, dunque





Teorema di Torricelli

Il contenitore deve avere un piccolo orifizio (con sezione molto piùpiccola della sezione del contenitore, in modo che il liquido si abbassiapprossimativamente con velocità nulla e non si creino vortici.

Avremo:

Sarà: Quindi:

Esattamente come se le particelle di fluido cadessero in caduta libera da un'altezza h.



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