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Fisica con Elementi di Matematica 1

Meccanica dei Fluidi


Vi sono fenomeni fisici per i quali una descrizione in termini di forza, massa ed accelerazione non è la più adeguata. Pensiamo, ad esempio ad una persona che cammina su un terreno cedevole (sabbia, terreno,…) La forza esercitata dalla persona sul terreno è F = mg. Ci sono situazioni in cui la persona cammina agevolmente, ad esempio se indossa scarpe da ginnastica, e situazioni in cui “affonda”, ad esempio se indossa scarpe con i tacchi a spillo. Cosa cambia nei due casi?

Alcuni concetti di base:


Primo caso: la forza ha modulo mg, superficie di appoggio S1.

Secondo caso: la forza ha modulo mg, superficie di appoggio S2 (con S2 < S1).

Posso definire una grandezza che nel secondo caso è maggiore che nel primo?


Definizione di pressione Definiamo: Fperpendicolare

S p =

S

Fperpendicolare F


Unità di misura della pressione 1 N/m2=1 Pa (pascal) Fperpendicolare

S p =

S

Fperpendicolare


Altre Unità di misura della pressione

1 N/m2=1 Pa (pascal)

S

Fperpendicolare

1) 1 atmosfera è circa = 100000 Pascal 2) 1 millibar è circa = 100 Pascal 3) 1 atmosfera è circa = 1000 millibar


Altre Grandezze Fisiche utili Densità (assoluta) ρ = massa/volume (nel S.I. si misura in kg/m3) Peso Specifico assoluto σ = peso/volume (nel S.I. si misura in N/m3)

Importante: la densità dei corpi non è necessariamente costante in tutti i punti del corpo


Definizione di Fluido Un fluido è un mezzo continuo senza FORMA propria (quindi i fluidi si adattano alla forma del contenitore). Fluidi liquidi: hanno volume proprio Fluidi aeriformi: NON hanno volume

proprio A livello microscopico: diverso cammino libero medio


Le Leggi Fondamentali dell’Idrostatica

- Legge di Stevino e sue applicazioni

- Legge di Pascal e sue applicazioni

- Principio di Archimede

Nel nostro studio della idrostatica, prenderemo in esame Fluidi OMOGENEI caratteristiche fisiche costanti in tutto il volume


La Legge di Stevino

La differenza di pressione tra due punti, in un fluido in equilibrio, è pari alla pressione esercitata alla base da una colonna di fluido di altezza h, pari al dislivello tra i due punti: p – po= ρgh


Legge di Stevino Data una massa di liquido omogeneo in quiete:

aria

acqua y1 y2

si consideri una porzione del fluido in quiete, ad esempio di forma cilindrica, all’interno del fluido. Siano A le basi del cilindro. L’immagine ne mostra la sezione verticale.

A

A

y

0


Legge di Stevino

aria

acqua y1 y2

Mg F1

F2

Mg

F2

F1

y

0

Fx - Fx

Data una massa di liquido omogeneo in quiete:

Fx - Fx


Legge di Stevino Inoltre: una colonna di fluido liquido in quiete di altezza h esercita alla base una pressione pari a ρgh.

Mg F1

F2 F1+Mg=F2

p1+ρ(y2-y1)g=p2

p2-p1=ρ(y2-y1)g

Poiché (y2-y1)>0p2>p1 cioè la pressione di un liquido in quiete aumenta con la profondità

p1A+ρA(y2-y1)g=p2A

y


Legge di Stevino Una colonna di fluido liquido in quiete di altezza h esercita alla base una

pressione pari a ρgh.

aria

acqua Y=0

h

p=po+ρgh, Con p0 pressione esterna (alla superficie libera dell’acqua)

p0 pressione esterna (al pelo dell’acqua)

Nella situazione qui descritta p0 è la pressione atmosferica (1 atm)


Vasi Comunicanti Rispetto alla loro superficie di separazione due liquidi immiscibili raggiungono, in vasi comunicanti, altezze inversamente proporzionali alla rispettive densità.


Vasi Comunicanti Rispetto alla loro superficie di separazione due liquidi immiscibili raggiungono, in vasi comunicanti, altezze inversamente proporzionali alla rispettive densità, cioè: ρ1h1=ρ2h2.

aria

olio

h

Legge di Stevino p=po+ρgh

acqua

aria

acqua

acqua

h1 h2

h

livello generico

Calcoliamo la pressione nel livello generico in due modi diversi. Dal “lato olio+acqua”

po+ρoliogh1+ρacquagh

po+ρacquagh2+ρacquagh

Dal “lato tutta acqua”


Vasi Comunicanti

olio

h

acqua acqua

acqua

h1 h2

h

livello generico

Eguagliamo le due pressioni: po+ρoliogh1+ρacquagh =

po+ρacquagh2+ρacquagh

ρoliogh1 =

ρacquagh2

ρolioh1 =

ρacquah2


Vasi Comunicanti (caso particolare) Densità eguali (cioè stesso liquido) altezze eguali: ρ1=ρ2 h1=h2.

Principio dei vasi comunicanti

acqua

acqua


Manometro a tubo aperto


Esperienza di Torricelli

pATM= ρMERCURIOgh = 13.5·103 · 9.8 · 0.76 N/m2 ~ 105 Pascal = 1 atm


Esperienza di Torricelli eseguita da Pascal

pATM= ρVINOgh = 103 · 9.8 · X ~ 105 Pascal = 1 atm

Si può calcolare l’incognita X.


Principio di Pascal (1652) Enunciato: Un cambiamento di pressione esterna applicato ad un fluido

incomprimibile confinato viene trasmesso inalterato a ogni porzione di fluido e alle pareti del recipiente che lo contiene.

Dimostrazione:

h

A

In condizioni normali: pA= pest+ρgh Applicano una sovrapressione ∆p: p’A= ∆p+pest+ρgh Calcoliamo la variazione di pressione in A: p’A- pA = ∆p+pest+ρgh-(pest+ρgh )= ∆p

Peso = mg, sovrapressione ∆p =mg/Sezione


Applicazioni: martinetto idraulico (crick) e freno


Un recipiente cilindrico ha diametro interno pari a 10 cm ed è inizialmente riempito con acqua sino all’altezza di 20 cm. Calcolare il volume di olio ( densità pari a 0.92 g/cm3) da versare sull’acqua perché sul fondo del recipiente sia applicata una pressione idrostatica complessiva pari a 6*103 Pa. La superficie superiore del recipiente è chiusa.

Un manometro a tubo aperto sia riempito di alcool etilico (densità 0.79*103 kg/m3). Se ad uno dei capi viene applicata una pressione pari a 1.3 atm, quanto vale il dislivello tra i livelli di liquido nei due rami?

Un meccanico utilizza un torchio idraulico per sollevare una macchina. Egli esercita una forza su un piccolo pistone di area S1 e il fluido compresso trasmette tale pressione ad un secondo pistone di area maggiore S2. Il rapporto tra le due sezioni è di 1:20. - Quale forza deve essere esercitata per sollevare un’auto di 1100 kg? - Se il meccanico esercita la sua forza spingendo per 0.4 m, di quanto si alza la macchina?


Principio di Archimede 1 Enunciato: un corpo immerso (totalmente o parzialmente) in un fluido è soggetto ad una spinta verso l’alto pari al peso del fluido spostato dal corpo

stesso. Supponiamo di avere un sottile palloncino D di plastica (e massa trascurabile) pieno di acqua. Esso è in equilibrio statico, pertanto la forza di gravità agente su di esso è bilanciata da una forza verso l’alto esercitata dall’acqua circostante sulla porzione di fluido delimitata dal palloncino, cioè mg = FA. Cosa succede se si sostituisce lo spazio occupato da D con un oggetto della stessa forma, ad esempio: con una pietra o un sughero?


Principio di Archimede 2 Enunciato: un corpo immerso (totalmente o parzialmente) in un fluido è soggetto ad una spinta verso l’alto pari al peso del fluido spostato dal corpo

stesso. a) La pietra affonda; b) Il sughero galleggia. Perché? La spinta FA è rimasta inalterata, mentre è cambiata la forza peso: a) Pietra: mPg>FA b) Sughero: mSg< FA

La spinta di Archimede FA vale sempre: FA=mfluidog, con mfluidopari alla massa del fluido spostato dal corpo.


Principio di Archimede 3 Galleggiamento: quando un corpo galleggia in un fluido il modulo della

spinta di galleggiamento (spinta di Archimede) è pari al modulo della forza gravitazionale.


Principio di Archimede 4 Caso della Pietra Peso Apparente Papp=P-FA

Una sfera di raggio 10 cm e massa 500 g, parzialmente immersa in acqua, sostiene con un filo un corpo di volume 5.2*10-4 m3 e massa 3 kg. Calcolare la tensione del filo e il volume della parte della sfera che emerge dall’acqua.

Quale frazione di un pezzo di alluminio sarà sommersa se esso galleggia nel Mercurio? Densità alluminio: 2.7*103 kg/m3

Densità mercurio: 13.6*103 kg/m3

Un pescatore subacqueo per immergersi in acqua dolce (1 gr/cm3) deve usare una zavorra di 1.3 kg mentre in acqua di mare (1.03 gr/cm3) utilizza una zavorra di 3kg. Supponendo che il volume della zavorra sia trascurabile rispetto a quello dell’uomo, determinare volume e massa dell’uomo.

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