Teorija mere - University of Ljubljana...Predavanja in vaje. Na sredini semestra (namesto kolokvija) doma ca naloga, ki se upo steva pri oceni. Pisni in ustni izpit. 2 Izbirni predmet

Izbirni predmet skupine M1

Teorija mere

Vsebina:Teorija mere je temelj za poglobljeno obravnavo verjetnostnega racuna in statistike, neizogibnapa je tudi na mnogih drugih podrocjih matematike, na primer v funkcionalni in harmonicnianalizi, operatorskih algebrah, ergodicni teoriji...

Mera je posplositev pojmov dolzine, ploscine in prostornine na poljubne mnozice. To omogocadefinicijo integrala funkcij (Lebesgueovega integrala) na splosnih mnozicah, ki niso nujno pod-mnozice v Rn. Ta integral ima ugodnejse lastnosti od Riemannovega integrala, ceprav se zazvezne funkcije na intervalu [a, b] reducira na Riemannov integral. Pri predmetu se bomo sezna-nili s klasicnimi osnovami teorije mere in integrala v taki splosnosti kot je potrebna za uporabona drugih podrocjih matematike.

Potrebno/pricakovano predznanje:Osnovni pojmi o mnozicah in razumevanje osnov analize iz prvega letnika.

Izvedba (3/2):Dva kolokvija, ki lahko nadomestita izpit iz vaj, izpit iz vaj ter ustni izpit iz teorije.

1


Funkcionalna analiza

Vsebina:V prvem delu bomo obravnavali tri temeljne izreke teorije Banachovih prostorov: izrek o odprtipreslikavi, izrek o zaprtem grafu in princip enakomerne omejenosti.

Hahn-Banachov izrek bo glavno orodje v drugem delu: separacija konveksnih mnozic, sibketopologije, Banach-Alaoglujev izrek, Krein-Milmanov izrek o ekstremnih tockah.

V tretjem delu bomo obravnavali osnove teorije Banachovih algeber: spekter elementa, Ries-zov funkcijski racun, Gelfandova transformacija.

Zadnji del bo posvecen osnovam teorije C*-algeber: ideali in kvocienti, komutativne C*-algebre, funkcijski racun v C*-algebrah, Gelfand-Naimark-Segalova konstrukcija.

Potrebno/pricakovano predznanje:Osnove linearne algebre, matematicne analize in topologije. Zazeleno je poznati osnovne pojmein rezultate iz predmeta Uvod v funkcionalno analizo.

Izvedba (3/2):

Predavanja in vaje. Na sredini semestra (namesto kolokvija) domaca naloga, ki se upostevapri oceni. Pisni in ustni izpit.

2


Dinamicni sistemi

Vsebina:Predmet je namenjen poglabljanju znanja iz analize sistemov diferencialnih enacb (zvezni aligladki dinamicni sistemi) ali diferencnih oz. rekurzivnih enacb (diskretni dinamicni sistemi).Osnovna vprasanja, ki nas bomo zanimala, so eksistenca resitev, vedenje pri velikih casih, obstojperiodicnih resitev, stabilnost.

V prvem delu bomo ponovili osnovne izreke o eksistenci in enolicnosti resitev sistemov di-ferencialnih enacb in Picardovo metodo. Dokazali bomo eksistencni izrek za zvezne sisteme.Pogledali si bomo tudi nekaj primerov (morski psi, pikapolonice, nalezljive bolezni) in obrav-navali druzino Lotka-Volterrovih modelov za razlicne tipe rasti. Po potrebi si bomo ogledali sekako metodo za numericno resevanje.

Obravnavali bomo fazne portrete avtonomnih linearnih sistemov, studij nelinearnih sistemov vokolici kriticnih tock pa bomo s pomocjo linearizacije prevedli na studij linearnih sistemov prekoizreka Hartmana in Grobmana o linearizaciji. Govorili bomo tudi vedenju resitev za velike case(o raznih vrstah stabilnosti). Pokazali bomo, kako se vedejo resitve, ki so omejene na obmocjubrez kriticnih tock (Poincare-Bendixsonov izrek).

V drugem (manjsem) delu se bomo ukvarjali z diskretno dinamiko. V ta sklop spadajo vsenumericne iteracijske metode, kot so navadna iteracija, Babilonska metoda, Newtonova metodain druge. Pri teh je pomembno, da vemo, pri katerih zacetnih priblizkih postopek konvergira kzelenemu rezultatu. Izkaze se, da to ni vedno preprosto. Omenjene metode lahko uporabimo tudina kompleksnih stevilih, kjer pa se pokaze cisto drugacna slika, kot smo je vajeni iz realnega sveta.S tem se ukvarja diskretna kompleksna dinamika. Ogledali si bomo nekaj osnovnih primeroviteracij polinomskih funkcij, spoznali Juliajevo in Fatoujevo mnozico in njune lastnosti.

Potrebno/pricakovano predznanje:Navadne diferencialne enacbe in sistemi, metricni prostori, linearna algebra, osnove topologije,osnove kompleksne analize.

Izvedba (3/2):Predavanja in vaje, domace naloge, ki se upostevajo pri oceni. Pisni in ustni izpit. Kolokviji podogovoru.

3


Kompleksna analiza

Vsebina:S kompleksno analizo ste se prvic srecali pri predmetu Analiza 2B. V okviru tega predmetabomo spoznali nekatere nove vsebine. Podrobneje bomo obravnavali princip maksimuma zaholomorfne funkcije in njegove posledice. Ogledali si bomo konvergenco v prostoru holomorf-nih funkcij, dokazali Montelov izrek ter Riemannov upodobitveni izrek, da je vsako enostavnopovezano ravninsko obmocje, ki ni vsa ravnina, biholomorfno disku. Studirali bomo injektivneholomorfne funkcije in dokazali izreke Koebeja, Landaua ter Picardov izrek, da je vsaka ho-lomorfna funkcija na kompleksni ravnini, ki izpusti vsaj dve vrednosti, konstantna. Slednjije osnova za uvedbo pojma Kobayashijeve metrike in hiperbolicnosti, ki povezuje kompleksnoanalizo z diferencialno geometrijo. Holomorfne funkcije bomo aproksimirali z racionalnimi funk-cijami, v posebnih primerih s polinomi. Z uporabo vrst bomo resili Mittag-Lefflerjev problemo obstoju meromorfnen funkcije s predpisanimi glavnimi deli, z uporabo neskoncnih produktovpa bomo konstruirali holomorfne funkcije z niclami v dani diskretni mnozici. V zakljucnem delubomo obravnavali harmonicne in subharmonicne funkcije na ravninskih domenah.

Vsebina predmeta omogoca nadaljnji studij vrste podrocij kot so Riemannove ploskve, komple-ksna analiza v vec spremenljivkah, analiticna in algebraicna geometrija, naravno pa se navezujetudi na teorijo elipticnih parcialnih diferencialnih enacb.

Potrebno/pricakovano predznanje:Kompleksna analiza v obsegu predmeta Analiza 2B ter osnove realne analize. Najpomembnejsepotrebne rezultate bomo uvodoma ponovili.

Izvedba (3/2):Predavanja in vaje. Pisni del izpita predstavlja samostojno resevanje domacih nalog, ki jihboste prejeli predvidoma dvakrat v semestru. Po opravljenem pisnem izpitu opravljate ustni delizpita.

4


Mehanika fluidov

Vsebina:Tema predmeta je gibanje fluidov oziroma kapljevin in plinov. V prvem delu predmeta bomoobravnavali geometrijo gibanja, spoznali matrialni odvod, kaj so tokovnice, tirnice, slednice invrtincnice. Na osnovi ohranitvenih zakonov, termodinamicnih principov in konstitutivne relacijebomo nato izpeljali vodilne enacbe gibanja fluidov, znamenito Navier Stokesovo enacbo. Natobomo poskali nekaj njenih osnovnih laminarnih resitvev in na kratko spoznali turbulentno mo-deliranje. Nekaj pozornosti bo namenjene tudi modelu idealnega fluida in uporabi kompleksneanalize. Predmet bomo zakljucili s pregledom numericnih metod, metode koncnih volumnov, zaresevanje enacb mehanike fluidov.

S primeri in specificnimi modeli daje predmet osnovna prakticna znanja potrebna v stevilnihindustrijskih podrocjih, biomehaniki in okoljevarstvu, hkrati pa je dovolj sirok, da nudi osnovoza nadaljni poglobljeni studij mehanike fluidov.

Potrebno/pricakovano predznanje:Za razumevanja predmeta je potrebno znanje linearne algebre, kompleksne analize in analizefunkcij vec spremenljivk. Za samostojno resevanje primerov in njihovo graficno predstavitev jezazeljeno znanje uporabe programov racunalniske algebre.

Izvedba (3/2):Predavanja na tablo, obcasna uporaba racunalnika za prikaz eksperimentov in graficno pona-zoritev primerov. Na vajah resevanje primerov in nalog. Obveznosti studenta: sodelovanje napredavanjih in vajah. Izpitni rezim: domaca naloga z zagovorom.

5


Urejenostne algebrske strukture

Vsebina:Najprej bomo poblizje spoznali teorijo mrez, pri cemer bo posebna pozornost namenjana distri-butivnim mrezam in Booleovim algebram. Formulirali in dokazali bomo dualnost med Booleo-vimi algebrami in Booleovimi prostori, ter med omejenimi distributivnimi mrezami in Priestle-yjinimi prostori. Nato se bomo ukvarjali z algebrskimi strukturami (grupe, kolobarji, obsegi,vektorski prostori), ki so dodatno opremljene z relacijo delne urejenosti (zlasti linearne in mrezneurejenosti). Motivacija za studij teh urejenih algebrskih struktur prihaja predvsem iz geometrije(urejeni kolobarji) in funkcionalne analize (urejeni vektorski prostori). Prepletanje algebrske inurejenostne strukture je bogat vir izrekov in primerov.

Obravnavali bomo naslednje teme:

(1) Delno urejene mnozice in preslikave, ki ohranjajo urejenost.(2) Mreze in mrezni homomorfizmi. Kongruence.(3) Modulske in distributivne mreze ter Booleove algebre.(4) Stoneova dualnost za Booleove algebre.(5) Priestleyjina dualnost za omejene distributivne mreze.(6) Delno urejene grupe in delno urejeni vektorski prostori.(7) Linearno urejeni obsegi in kolobarji.

Potrebno/pricakovano predznanje:Algebra 2 in Algebra 3.

Izvedba (3/2):

Domace naloge (20% ocene), izpit (80% ocene).

6


Kombinatorika

Vsebina: Prestevalna kombinatorika je podrocje diskretne matematike, ki se ukvarja s prestevanjemmatematicnih objektov z dolocenimi lastnostmi. Problemi segajo od zelo lahkih (npr. stevilo per-mutacij mnozice z n elementi je n!) do (verjetno) neresljivih (npr. poiskati stevilo neizomorfnihgrafov na n tockah). Pri predmetu bomo nadgradili znanje o osnovnih problemih prestevanja(izbori, razclenitve in razdelitve, dvanajstera pot), q-analogih, Polyevi teoriji, delno urejenihmnozicah in Mobiusovi inverziji. Poudarek bo na rodovnih funkcijah in formalnih potencnih vr-stih (algebra formalnih potencnih vrst, racunanje z rodovnimi funkcijami, eksponentna formula,Lagrangeeva inverzija) ter na njihovi uporabi (resevanje rekurzivnih enacb, iskanje povprecij instandardnih deviacij, aproksimacija clenov zaporedja).Pri predmetu bomo predelali veliko vecino vsebin, zahtevanih na kombinatoricnem delu magi-strskega izpita iz diskretne matematike.

Potrebno/pricakovano predznanje:Poznavanje osnovnih principov prestevanja (pridobljenega npr. pri predmetu Diskretna mate-matika 1 na prvostopenjskem studiju Matematike ali Financne matematike ali pri predmetuKombinatorika na prvostopenjskem studiju ISRM).

Izvedba (3/2):Izpit iz vaj in izpit iz teorije.

7


Uporabna diskretna matematika

Vsebina: Dober del spredavane snovi naj bi bil iz algebraicne teorije grafov ter njene uporabe.Po zelji studentov lahko obravnavamo tudi teme iz klasicne, kemijske, verjetnostne teorije gra-fov, velikih omrezjih, matroidov, kombinatoricne optimizacije in metahevristik, se posebej priseminarskih nalogah.

Potrebno/pricakovano predznanje:Ustrezno znanje iz teorije grafov ter programiranja.

Izvedba (3/2):Student izdela ter predstavi raziskovalno naravnano seminarsko nalogo (cirka 7-8 strani), terracunalniski program (najveckrat v Sage-u) s kateregim pride do dolocenih spoznanj oziroma zeobstojeca potrdi. Na vajah se delajo naloge iz teorije grafov ter Sage-a. Pisni izpit bo iz vaj.Ustni izpit bo iz spredavane snovi ter splosnega poznavanja vseh seminarskih nalog. Seminarskenaloge se bodo zbrane v zborniku.

8


LogikaLogic

(v anglescini / in English)

Outline: The course studies first-order logic, its proof theory and model theory, leading toGodel’s celebrated incompleteness theorems.

(1) Syntax and semantics of first-order logic.(2) Examples of first-order theories. Some basic decidability results.(3) Gentzen’s sequent calculus.(4) Godel’s completeness theorem.(5) Compactness, the Lowenheim-Skolem theorem, basic model theory.(6) Peano arithmetic and Godel’s incompleteness theorems.(7) The Church/Turing theorem on the undecidability of arithmetic.

This material touches on matters of fundamental significance in mathematics which have bea-ring on the very nature of mathematical reasoning and mathematical truth, and the need forcreativity in mathematics. Godel’s completeness theorem demonstrates that we can completelydescribe all legitimate rules for reasoning from a set of axioms. His incompleteness theorems,in contrast, show that it is impossible to provide a consistent set of axioms capturing all truthsof arithmetic. And the Church/Turing theorem shows that it is impossible to write a computerprogram that will automatically “decide”whether a mathematical statement is true or false.

Literature:

• N. Prijatelj: Osnove matematicne logike, 2. del: Formalizacija, DMFA Slovenije, Lju-bljana, 1992.

• N. Prijatelj: Osnove matematicne logike, 3. del: Aplikacija, DMFA Slovenije, Ljubljana,1994.

• E. Mendelson: Introduction to Mathematical Logic, 4. edition, Chapman and Hall, 1997.• A.S. Troelstra, H. Schwichtenberg: Basic Proof Theory, 2. edition, Cambridge University

Press, 2000.• W. Rautenberg: A Concise Introduction to Mathematical Logic. Universitext, 2009.

Potrebno/pricakovano predznanje:Opravljen predmet Logika in mnozice iz 1. letnika ali ekvivalentno znanje

Izvedba (3/2):Obveznosti studenta: pisni izpit.

9


Algebraicna topologija 2

Vsebina:Algebraicna topologija 2 tvori vsebinsko celoto z Algebraicno topologijo 1, vendar sta zaradiciklicnega izvajanja predmeta oblikovana tako, da eden ni predpogoj za drugega. V algebraicnitopologiji uporabljamo algebrajske strukture za studij geometrijskih objektov, ki so lahko plo-skve, telesa, splosne mnogoterosti, vozli, prostori resitev diferencialnih enacb pa tudi zapletenivzorci, digitalizirani posnetki, konfiguracijski prostori mehani;nih sistemov in mnogi drugi. Al-gebrajske strukture pa so predvsem stevilske karakteristike (stopnja, ovojno stevilo, Eulerjevakarakteristika) ter grupe in kolobarji.

Tokrat bom tecaj oblikoval drugace kot je bilo v navadi in bom vsebino predmeta obravnavalv povezavi s problemi s podrocja topoloske robotike. Tako boste poleg osnov homotopske teorije,homotopskih in kohomoloskih grup spoznali tudi konfiguracijske prostore robotskih naprav tertopoloske probleme, ki se pojavijo pri robustnem krmiljenju robotov.

Tradicionalno je algebraicna topologija sinteza in vrhunec dodiplomskega studija ter pomem-ben predpogoj za nadaljevanje studija na tretji stopnji in za raziskovalno delo. Nekateri deli paso vedno bolj povezani z uporabo: simplicialni kompleksi so standardno orodje za digitalizira-nje slik in za numericno modeliranje, homoloske in kohomoloske grupe se rutinsko uporabljajoza samodejno racunalnisko analizo zapletenih mnozic podatkov, tehnike homotopske teorije papomagajo odgovoriti na nekatera bazicna vprasanja robotike.

Potrebno/pricakovano predznanje:Pricakovano predznanje obsega predmete Splosna topologija, Uvod v Geometrijsko topologijo,Algebra 2 in delno Algebra 3.

Predmet se navezuje na vse predmete, ki imajo mocno geometrijsko komponento (npr. Al-gebraicna topologija 1, Algebraicne krivulje, Algebrajska geometrija, Diferencialna geometrija,Analiza na mnogoterostih, Riemannove ploskve) in je poznavanje kateregakoli od teh zelo do-brodoslo s stalisca motivacije, ni pa predpopogoj za poslusanje predmeta.

Izvedba (3/2):Predmet se bo izvajal s predavanji ter s kombinacijo seminarjev in vaj. Ocena bo oblikovana napodlagi pisnega in ustnega izpita.

10


Konveksnost

Vsebina:Teorija konveksnosti je relativno mlado podrocje matematike, v katerem se prepletajo vsebineiz geometrije, linearne algebre, analize in kombinatorike, povezane s preprostim geometrijskimpojmom, ki daje teoriji ime.

Pri predmetu bomo obravnavali osnovne poteze konveksne geometrije in konveksne analizein jih povezali s sirokim obmocjem aplikacij teorije konveksnosti. Poleg lastnosti konveksnihmnozic in konveksnih funkcij v koncno razseznih evklidskih prostorih si bomo ogledali tudinjihovo uporabo pri resevanju problemov iz drugih podrocij matematike, predvsem linearnealgebre, geometrije in uporabne matematike.

Teme iz vsebine predmeta: Osnovne geometrijske in kombinatoricne lastnosti konveksnihmnozic. Separacijski izreki. Ekstremne podmnozice konveksnih mnozic. Politopi in poliedri.Izrek Weyla in Minkowskega. Stozci, polare in urejenost. Sistemi linearnih neenacb. Farka-seva lema in linearno programiranje. Metricni prostor in metricne lastnosti konveksnih mnozic.Konveksne funkcije.

Potrebno/pricakovano predznanje:Osnove linearne algebre in analize.

Izvedba (3/2):Predavanja in vaje. Izpit iz vaj in izpit iz teorije.

11


Liejeve grupe

Vsebina:Liejeva grupa je mnozica, ki je hkrati opremljena z dvema med seboj kompatibilnima struktu-rama: z algebraicno strukturo grupe in z geometricno strukturo gladke mnogoterosti. Liejevegrupe se naravno pojavljajo kot grupe simetrij geometrijskih objektov. Osnovni primeri Liejevihgrup so matricne grupe: splosni linearni grupi GL(n,R) in GL(n,C), ortogonalna grupa O(n),unitarna grupa U(n), specialni linearni grupi SL(n,R) in SL(n,C) itd. Primeri Liejevih grupso tudi Rn in n-razsezni torus Tn.

Tangentni prostor poljubne Liejeve grupe v tocki 1 ima naravno strukturo koncno-razsezneLiejeve algebre. Tako na primer splosni linearni grupi GL(n,R) pripada Liejeva algebra vsehrealnih matrik dimenzije n×n, medtem ko ortogonalni grupi O(n) pripada Liejeva algebra vsehrealnih antisimetricnih matrik dimenzije n×n. V obeh primerih je mnozenje v pripadajoci Liejevialgebri dano s komutatorjem matrik. Velik del strukture Liejeve grupe je dolocen s pripadajocoLiejevo algebro: Liejeva teorija pove, da vsaka realna koncno-razsezna Liejeva algebra pripadanatanko eni enostavno povezani Liejevi grupi.

Za studij strukture abstraktne Liejeve grupe so se posebej pomembne njene upodobitve navektorskih prostorih. Taksne upodobitve nam omogocijo, da mnozenje v Liejevi grupi inter-pretiramo kot mnozenje matrik in nato za studij strukture Liejeve grupe uporabimo orodja izlinearne algebre. Izkaze se celo, da je vsaka kompaktna Liejeva grupa izomorfna neki podgrupiunitarne grupe.

Teorija upodobitev Liejevih grup je posplositev Fourierove teorije, ki se uporablja za analizo,kompresijo in filtracijo signalov, slik ter filmov. V mehaniki se simetrija sistema kaze kot invari-antnost tega sistema glede na delovanje neke Liejeve grupe, simetrije mehanskih sistemov pa sotesno povezane z ohranitvijo fizikalnih kolicin kot sta na primer energija in pa vrtilna kolicina.V moderni fiziki se upodobitve unitarnih grup uporabljajo pri opisu osnovnih delcev.

Temeljna literatura:

• J. F. Adams, Lectures on Lie Groups. W. A. Benjamin, New York-Amsterdam, 1969.• T. Brocker, T. T. Dieck, Representations of Compact Lie Groups. Springer, New York, 2003.• J. J. Duistermaat, J. A. C. Kolk, Lie Groups. Springer, Berlin, 2000.• J. P. Serre, Lie Algebras and Lie Groups, 2nd edition. Springer, Berlin, 2006.

• F. W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer, New York-

Berlin, 1983.

Potrebno/pricakovano predznanje:Potrebno je poznavanje analize funkcij vec realnih spremenljivk in linearne algebre. Poleg tega jepricakovano tudi poznavanje nekaterih osnovnih pojmov iz teorije grup ter iz splosne topologije(oziroma metricnih prostorov), ki pa jih bomo tudi na kratko povzeli v uvodnih urah predavanj.

Izvedba (3/2):Obveznosti studenta: samostojno resevanje domace naloge ob koncu semestra in ustni izpit.

12


Numericna aproksimacija in interpolacija

Vsebina:

Predmet obravnava matematicna orodja, ki so nepogresljiva v aproksimativnem resevanjuprakticnih problemov. Spoznamo razrede funkcij, ki so primerni za iskanje aproksimacij, npr.polinome, odsekoma polinomske funkcije (zlepke), trigonometrijske polinome, racionalne funk-cije ipd. ter kriterije, ki povedo, kako aproksimativne funkcije poiscemo. Tu izbiramo medoptimalnimi shemami, kot je npr. enakomerna aproksimacija ali aproksimacija po metodi naj-manjsih kvadratov in preprostejsimi, linearnimi pristopi kot je interpolacija. Postavimo merila,ki povedo kaj o kvaliteti aproksimacij in poiscemo konkretne postopke kontrukcije. Predmet jeosnova vsem drugim predmetom s podrocja numericne analize.

Potrebno/pricakovano predznanje:Zazelen je opravljen izbirni predmet Numericna linearna algebra, priporocamo tudi izbiro pred-meta Matematicno modeliranje. Predmet je osnova vsem drugim predmetom s podrocja nu-mericne analize.

Izvedba (3/2):Predavanja in vaje. Nacrtovan izpitni rezim: domaci nalogi, pisni in ustni izpit. Domaci nalogise upostevata pri oceni pisnega dela izpita. Po opravljenem pisnem izpitu je potrebno opravitise ustni del izpita.

13


Iterativne numericne metode v linearni algebri

Vsebina:Ukvarjali se bomo z numericnim resevanjem velikih razprsenih linearnih sistemov ter racunanjemlastnih vrednosti in vektorjev velikih razprsenih matrik. Za matriko A velikosti n× n pravimo,da je razprsena, ce ime le O(n) nenicelnih elementov, ki poleg tega nimajo kaksne posebnestrukture. Take matrike se velikokrat pojavijo v prakticnih aplikacijah, a direktne metode,kot sta npr. LU razcep za resevanje linearnega sistema ali QR iteracija za racunanje lastnihvrednosti, niso primerne, saj nam zmanjka pomnilnika oziroma casa.

Namesto tega uporabljamo iterativne metode, kjer dobimo zaporedje priblizkov, ki konver-girajo k tocni resitvi. Za razvoj ucinkovitih numericnih algoritmov za razprsene matrike bomouporabljali orodja iz numericne linearne algebre in jih preizkusali v programu Matlab.

Spoznali bomo nekaj prakticnih problemov, kjer nastopajo velike razprsene matrike. Takonpr. za analizo potresne varnosti zgradbe potrebujemo nekaj najnizjih lastnih vrednosti modela,ki ga predstavlja velika razprsena matrika. Z resevanjem velikih linearnih sistemov se srecamo prinumericnem resevanju parcialnih diferencialnih enacb. Ce uporabimo npr. metodo simetricnihdiferenc ali metodo koncnih elementov, problem prevedemo na resevanje ogromnega sistema,katerega velikost je odvisna od natancnosti, s katero zelimo resiti problem.

Kljucne besede: Jacobijeva, Gauss-Seidelova, SOR metoda, simetricna SOR metoda (SSOR)s pospesitvijo Cebiseva. Podprostor Krilova. Lanczosev in Arnoldijev algoritem. GMRES,MINRES, konjugirani gradienti (CG), bi-konjugirani gradienti (Bi-CG). Predpogojevanje. Ga-lerkinov pogoj. Rayleigh–Ritzeve vrednosti in vektorji, Jacobi–Davidsonova metoda.

Potrebno/pricakovano predznanje: Studenti 1. stopnje Matematike oz. Financne matema-tike dobite potrebno predznanje pri obveznih numericnih predmetih na 1. stopnji Matematikeoz. Financne matematike. Pri matematikih vam pride prav (gre pa tudi brez tega) znanje pred-meta Numericna linearna algebra. Studenti ISRM, ki niste izbrali Numericnih metod 2, bostemorali prebrati kaj o racunanju lastnih vrednosti matrik.

Izvedba 3/2 v 1. semestru: 2 domaci nalogi, pisni in ustni izpit.

Ostalo: Predmet je namenjen vsem, ki jih zanima prakticno resevanje matematicnih problemovin delo z racunalnikom. Tudi t.i. teoreticni matematiki boste pri tem predmetu prisli na svojracun, saj bomo linearno algebro nadgradili s stevilnimi teoreticnimi rezultati.

Vec informacij o predmetu lahko pridobite na spletni strani predavatelja, preko elektronskeposte, lahko pa se oglasite tudi osebno.

14


Numericno resevanje parcialnih diferencialnih enacb

Vsebina:

Predmet obravnava snov, ki v uporabno smer nadgrajuje poznavanje matematike na podrocjuresevanja parcialnih diferencialnih enacb. Slusatelja vpelje v numericne metode, njihovo ana-lizo in implementacijo ter spozna s prakticnimi problemi, kjer se posamezni pristopi posebejodlikujejo.

Obravnavane bodo naslednje teme: Parcialne diferencialne enacbe. Modelni problemi drugegareda. Enacbe elipticnega tipa. Poissonova enacba. Diferencna metoda. Diskretni maksimalniprincip in ocena globalne napake. Iterativno resevanje diskretiziranih enacb. Jacobijeva, Gauss-Seidelova in SOR metoda. ADI metoda. Metode podprostorov Krilova. Vecmrezne metode.Variacijske metode. Metoda koncnih elementov. Enacbe parabolicnega tipa. Prevajanje toplote.Eksplicitne in implicitne numericne sheme. Crank-Nicolsonova metoda. Konsistenca, stabilnostin konvergenca. Enacbe hiperbolicnega tipa. Valovna enacba. Karakteristike, karakteristicnespremenljivke. Diferencna metoda. Courantov pogoj. Konvergenca diferencnih aproksimacij zamodelni primer. Metoda karakteristik.

Potrebno/pricakovano predznanje: Priporocljiv je predhodno opravljen izbirni predmetNumericna aproksimacija in interpolacija. Predavatelj bo za tiste, ki tega predmeta niso po-slusali, v predavanja vkljucil kratko premostitev.

Izvedba 3/2 v 2. semestru: Nacrtovan izpitni rezim: domaci nalogi, pisni in ustni izpit.Domaci nalogi se upostevata pri oceni pisnega dela izpita. Po opravljenem pisnem izpitu jepotrebno opraviti se ustni del izpita.

15


Verjetnost 2

Vsebina:Pri predmetu bomo obravnavali nekatere posebne verjetnostne vsebine, pri katerih ni potrebnogloboko teoreticno predznanje, so pa pomembne za uporabo. Poudarek bo predvsem na er-godicni teoriji.Prva tretjina predmeta bo posvecena markovskim verigam v diskretnem casu. Gre za zaporedjadiskretnih slucajnih spremenljivk, ki so med seboj odvisna na poseben, ”markovski” nacin.Vrednostim, ki jih te spremenljivke lahko zavzamejo, pravimo stanja verige. Pri dokazovanjuergodicnih lastnosti se bomo spomnili nekaterih znanj o matrikah (in jih nadgradili), pri studijuodnosov med stanji pa bomo uporabili tudi nekaj teorije grafov.V drugi tretjini predmeta bomo studirali markovske verige z zveznim casom. Najpomembnejsiprimer takih verig so rojstno smrtni procesi. Pri studiju lastnosti bodo pomembna znanja izprvega poglavja. Do teh procesov vodi vec poti. Ker vselej zadoscajo ti. naprejsnjemu in na-zajsnjemu sistemu diferencialnih enacb Kolmogorova, jih lahko dobimo kot resitve teh enacb.Vsa znanja iz teorije diferencialnih enacb, ki jih bomo pri tem potrebovali, bomo sproti obdelali.V cetrtem poglavju si bomo ogledali uporabo teh teorij. Najprej se bomo posvetili cakalnimsistemom, ki sodijo v sirse podrocje operacijskih raziskav in pomenijo se zmerom eno najpo-membnejsih uporab teorije (predvsem) rojstno smrtnih procesov. Nato si bomo ogledali neka-tere pomembne algritme ti. metode MCMV (Monte Carlo markovskih verig), to so predvsemGibbsov algoritem in algoritmi tipa Metropolis-Hastings. Gre za algoritme, ki racunajo vre-dnosti financnih instrumentov, pri dokazovanju konvergence teh algoritmov pa bomo bistvenouporabili ergodicne lastnosti. Kot statisticno podlago uporabljajo ti algoritmi Bayesov pristop(in ne frekventisticnega). Ko so se v devetdesetih letih prejsnjega stoletja statistiki zaceli zave-dati pomena teh in nekaterih drugih algoritmov, je to povzrocilo bistvene spremembe v odnosihmed razlicnimi oblikami statisticnega premisljevanja.

Potrebno/pricakovano predznanje:Verjetnostni racun I in Statistika I oziroma Verjetnost in statistika

Izvedba (3/2):Iz teoreticnih vsebin predmeta opravi vsak student teoreticne teste in kolokvij, iz bolj uporabnihpa domaco nalogo ali seminarsko nalogo.

16


Financna matematika 2(Uvod v stohasticni racun)

Vsebina:Predmet Izbrana poglavja iz financne matematike je namenjen predstavitvi osnovnih (zveznih)modelov za gibanje cen financnih instrumentov.

Vsebina predmeta je sledeca:

• Martingali, izrek o opcijskem ustavljanju, martingalske neenakosti.• Brownovo gibanje.• Stohasticni integral, Itova formula.• Stohasticni modeli financnih trgov, pogojne terjatve, varovanje.• Black-Scholesov model, vrednotenje opcij v Black-Sholesovem modelu.• Ekvivalentne mere, izrek Girsanova.

Potrebno/pricakovano predznanje:Pricakuje se poznavanje konceptov diskretne financne matematike ter dobro znanje analize inverjetnosti z mero.

Izvedba (3/2):Ocena bo oblikovana na podlagi rezultatov racunskega pisnega izpita, kratkega teoreticnegapisnega izpita in seminarske naloge.

17


Statistika 2

Vsebina:

Ocenjevanje parametrov : zadostnost, kompletnost, nepristranskost, cenilke z enakomerno naj-manjso disperzijo, Rao-Cramerjeva meja, metoda najvecjega verjetja, metoda minimax, asimp-toticne lastnosti cenilk.

Testiranje hipotez :

(1) Osnove: nerandomizirani in randomizirani testi, napake pri testiranju, moc testa.(2) Enakomerno najmocnejsi testi: Neyman-Pearsonova lema, lastnost monotonega razmerja

verjetij, enakomerno najmocnejsi testi za dvostranske hipoteze.(3) Enakomerno najmocnejsi med nepristranskimi testi: eksponentne druzine in normalne

druzine.(4) Testiranje v splosnih parametricnih modelih:testiranje na podlagi razmerja verjetij, asimp-

toticni testi na podlagi razmerja verjetij, χ2-testi.(5) Testiranje v neparametricnih modelih: testi znaka, permutacijski in ranzirni testi, test

Kolmogorova in drugi prilagoditveni testi.

Obmocja zaupanja:

(1) Konstrukcija: pivotne kolicine, inverzija kriticnega obmocja, zgledi.(2) Lastnosti: dolzina intervala zaupanja, randomizirana obmocja zaupanja.(3) Asimptoticna obmocja zaupanja.(4) Konstrukcija intervalov zaupanja s kljukcevo (bootstrap) metodo.

Osnove Bayesove statistike: “Novo” podrocje statistike je v resnici starejse od “starega”, ki muv tem kontekstu pravimo frekventisticna statistika. Zacel se je uveljavljati zaradi aplikacij vracunalnistvu, v financni matematiki in na nekaterih drugih podrocjih. Glavna prednost predfrekventisticno statistiko je dejstvo, da ima vgrajeno teorijo odlocanja, ki omogoca testiranjez dokoncnim odgovorom glede tega, katero hipotezo naj uporabnik sprejme oziroma zavrne.Pristop omogoca sirso uporabo porazdelitev v praksi in odpira vrsto vprasanj, zanimivih tudi zametematike. Bayesova statistika poskusa prevzeti primat pred frekventisticno in morda scasomacelo nadomestiti vso statistiko. Na predavanjih in vajah bomo spoznali le nekaj osnov.

Potrebno/pricakovano predznanje:Verjetnostni racun I in Statistika I oziroma Verjetnost in statistika

Izvedba (3/2):Domace naloge, pisni izpit in zagovor.

18


Izbrana poglavja iz financne matematike 1(Upravljanje s tveganji in ekonometricne metode)

Topics in Financial Mathematics 1(Quantitative risk management and econometric methods)

Paul Larsen, Egon Zakrajsek, Tomaz Kosir


Vsebina: Del predmeta, ki ga bo vodil dr. Paul Larsen, Deutsche Bank, Berlin, Nemcija, boobravnaval kvantitatvne metode pri upravljanju s tveganji. Podrobnejse teme so:

• Slucajni procesi, regresija in analiza podatkov.• Kreditna tveganja: ocene za verjetnost propada s pomocjo logisticne regresije.• Ocena kreditne sposobnosti: verjetnost propada. Posploseni linearni modeli. Alterna-

tivni pristopi. Pristopi, ki upostevajo nehomogenost podatkov.• Trzna tveganja: Model VaR in porazdelitve s tezkimi repi.• Geometrijsko Brownovo gibanje. Testi za avtokoreliranost. Testi za tezke repe. Difuzije

s skoki. Var modeli za trzno tveganje.

V ekonometricnem delu predmeta, ki ga bo vodil dr. Egon Zakrajsek, Federal Reserve Board,Washington, ZDA, bomo spoznali uporabo modelov financne ekonometrije in pridobili nekajprakticnih izkusenj v modeliranju financnih casovnih vrst. Predavanja bodo temeljila na realnihprimerih, uporabo modelov in metod si bomo ogledali na realnih financnih podatkih:

• Stacionarnost in ergodicnost casovnih vrst.• Financne casovne vrste in njihove znacilnosti. Donosi vrednostnih papirjev in znacilnosti

njihovih porazdelitev.• Enotski koreni in njihove posledice. Testiranje hipotez.• Kointegracija. Testiranje hipotez.• Faktorski modeli vrednotenja. Osnovna enacba vrednotenja. Stohasticni model diskon-

tiranja. Linearni faktorski model vrednotenja.• Model linearne regresije, lastnosti cenilke po metodi najmansih kvadratov pri majhnih

vzorcih, skladnost, testiranje hipotez.• Heteroskedasticnost in avtokorelacija: posplosena metoda najmanjsih kvadratov, utezena

metoda najmansih kvadratov, testi za heteroskedasticnost, avtokorelacija prvega reda,Durbin-Watsonov test, avtokorelacija visjega reda.

Potrebno/pricakovano predznanje: Verjetnostni racun 1 in Statistika 1 (FM) oziroma Ver-jetnost in statistika (M, PM) ter Slucajni procesi 1.

Izvedba 3/2 v 1. semestru: Domace naloge, pisni izpit in zagovor.

19


Numericne metode v financni matematiki


Vsebina:Algorithms for option pricing in discrete models. Monte Carlo Methods for European options.Simulation methods of classical law. Inverse transform method. Computation of expectation.Variance reduction techniques. Tree methods for European and American options. Conver-gence orders of binomial methods. Estimating sensitivities. Numerical algorithms for portfolioinsurance. Tree methods and Monte Carlo methods for Exotic options (barrier options, asianoptions, lookback options, rainbow options). American Monte Carlo methods. Finite differencemethods for the Black-Scholes PDE equation.

Potrebno/pricakovano predznanje:It will be expected that the students are familiar with foundations of financial mathematics andnumerical mathematics. It is required that they follow the course Topics in financial mathematics(Izbrana poglavja iz financne matematike) in the first semester, or that they followed the coursesStochastic Processes 2 and Modeling with Stochastic Processes (Slucajni procesi 2 in Modeliranjes slucajnimi procesi) in the past.

Izvedba (2/2/1):The course will be held in April and May of 2016 and given in 5 two-day stays (3 teachinghours each day). Others hours will be devoted to follow-up of the project development and oraldiscussion. The final examination will be composed of two parts :

• an oral discussion of the topics of the course.• a presentation of a numerical project assigned by the teacher.

20


Aktuarska matematika (Nezivljenjska zavarovanja)Actuarial Mathematics (Non-life Insurance)


Course content:

(1) Models for the claim number process: Poisson process, renewal process and mixed Pois-son process.

(2) The total claim amount: expectation and variance, asymptotic behavior in the renewalmodel, principles of premium calculation, properties of premium functional and mono-tonicity with respect to stochastic orders, the stop-loss insurance premium, heavy andlight-tailed distributions, mixture distributions, approximation to the distribution of thetotal claim amount, reinsurance treaties.

(3) Risk theory: risk measures, risk process, ruin probability and net profit condition, boundsfor the ruin probability.

(4) Reserve calculation: reserve requirements and capital requirements, the case of motorinsurance.

(5) Credibility theory: Bayes and linear Bayes estimation.

Prerequisites: It is required that you passed a course in probability theory and statistics.

Izvedba (2/2/1):The course will be held in the spring semester of 2015/16.

References:

• Notes prepared by the teacher.• T. Mikosch, Non-Life Insurance Mathematics, Universitext, Springer, 2009.• R. Kaas, M. Goovaerts, J. Dhaene and M. Denuit, Modern Actuarial Risk Theory,

Kluwer Academic Publishers, 2001.

21


Casovne vrste


Vsebina:Introduction: Examples of time series. Trend and seasonality. Autocorrelation function. Mul-tivariate normal distribution. Strong and week stationarity. Hilbert spaces and prediction.Introduction to R.Stationary sequences: Linear processes. ARMA models. Causality and invertibility of ARMAprocesses. Infinite order MA processes. Partial autocorrelation function. Estimation of auto-correlation function and other parameters. Forecasting stationary time series. Modeling andforecasting for ARMA processes. Asymptotic behavior of the sample mean and the autocorre-lation function. Parameter estimation for ARMA processes.Spectral analysis: Spectral density. Spectral density of ARMA processes. Herglotz theorem.Periodogram.Nonlinear and nonstationary time series models: ARCH and GARCH models. Moments andstationary distrbutiopn of GARCH process. Exponential GARCH. ARIMA models.Statistics for stationary process: Asymptotic results for stationary time series. Estimating trendand seasonality. Nonparametric methods.

Prerequisites: Verjetnostni racun I oziroma Verjetnost in statistika

Izvedba (2/2/1):The course will be held in the spring semester of 2015/16. Domace naloge, pisni izpit in zagovor.

22


Izbrana Poglavja iz teorije iger

Vsebina:

Teorija iger je skupek matematicnih pristopov k modeliranju interaktivnih situacij, ki se poja-vljajo v druzbenih okoljih. Uporablja se predvsem za analizo mikroekonomskih problemov. Pripredmetu bomo najprej poglobili osnovne pojme teorije iger. Spoznali bomo nekaj zahtevnejsihvsebin in jih uporabili za analizo trzne konkurence, licitacij in pogajanj.

Potrebno/pricakovano predznanje: Znanje teorije verjetnosti. Predznanje osnov teorijeiger je v pomoc, ni pa obvezno.

Izvedba (2/2/1):Pisni izpit iz vaj in izpit iz teorije.

23

Izbirni predmet skupine R1

Izbrana poglavja iz racunalniske matematike(Verjetnostne metode v racunalnistvu)

Vsebina:Pri tem predmetu bomo spoznali uporabo verjetnosti za algoritmicne in sorodne probleme.Videli bomo osnovne nakljucnostne algoritme in matematicno bomo analizirali njihove lastnosti.Poudarek bo na pricakovani casovni zahtevnosti in verjetnosti napake algoritmov.

Podrobno bomo obravnavali naslednje teme:

• Quicksort in minimalni prerez.• Razredi problemov in vrste nakljucnostnih algoritmov.• Uporaba polinomov.• Cernove ocene (Chernoff bounds).• Nakljucnostni prirastni algoritmi in povratna analiza.• Linearno programiranje v nizjih dimenzijah.• Markovske verige.• Priblizno stetje.• Razprsevanja (hashing).• Tok podatkov.

Odvisno od casa bomo spoznali tudi podlinearne algoritme in verjetnostno metodo.

Potrebno/pricakovano predznanje: Znanje o osnovnih algoritmih. Uporabili bomo diskre-tno verjetnost. En del predmeta je povezan s predmetom Racunska geometrija, vendar se galahko razume neodvisno iz tega predmeta.

Izvedba (3/2):

• Izpit iz vaj in izpit iz teorije.• Ob soglasju studentov bodo predavanja v angleskem jeziku.

24


Izbrana poglavja iz racunalniske matematike(Alternativni modeli racunanja)

Vsebina:V tem predmetu bomo obravnavali naslednje teme:

• Vzporedni algoritmi (Parallel RAM).• Aproksimacijski algoritmi.• FPT (Fixed parameter tractability).• Kvantno racunanje.

Vsaka tema bo priblizno ena cetrtina predmeta. Predmet bo teoreticen. Poudarek bo na razu-mevanju, opisu in analizi algoritmov.

Potrebno/pricakovano predznanje: Osnovno znanje o algoritmih in grafih. Za kvantne algo-ritmi bomo porabili malo linearne algebre in kompleksna stevila. Znanje o racunski zahtevnosti(NP-polnost) je uporabno, ampak ni nujno.

Izvedba (2/1/2):

• Obveznosti studentov: domace naloge z zagovorom, sodelovanje pri seminarju in ustniizpit.

• Oblika seminarja bo odvisno od stevila studentov: predstavitve novega materiala, pred-stavitve ali skupno resevanje bolj zahtevnih nalog, samostojno branje in dizkuzija.

• Ob soglasju studentov bodo predavanja v angleskem jeziku.

25


Izbrana poglavja iz racunalniske matematike(Podatkovno rudarjenje in strojno ucenje)

Vsebina:Predmet obravnava problem analize podatkov s posebnim poudarkom na napovednem modeli-ranju, t.j., gradnji napovednih modelov iz podatkov. Spoznali bomo algoritme podatkovnegarudarjenja in strojnega ucenja za gradnjo napovednih modelov. Predstavitev bo prilagojena upo-rabi algoritmov pri resevanju prakticnih problemov napovednega modeliranja. Zato bo poudarekna razumevanju prednosti in slabosti algoritmov, ki bo nadgradnja razumevanju teoreticnega,matematicno-racunalniskega ozadja njihovega delovanja. Vaje bodo namenjene spoznavanjuprakticne uporabe algoritmov podatkovnega rudarjenja in strojnega ucenja implementiranih vprogramskih okoljih R in Orange. Bolj specificno, predmet obravnava naslednje vsebine

(1) Splosni postopki gradnje napovednih modelov: priprava podatkov, napovedna napaka inizbira modela, problem prenasicenja (overfitting, overtraining)

(2) Regresijski modeli: dekompozicija napovedne napake, linearna regresija, nevronske mreze,metode podpornih vektorjev, regresijska drevesa in pravila

(3) Klasifikacijski modeli: napovedna napaka in vrednotenje verjetnosti, logisticna regresija,metode najblizjih sosedov, klasifikacijska drevesa in pravila

(4) Izbira spremenljivk za napovedno modeliranje: problem praznega mnogorazseznostnegaprostora (dimensionality curse problem), sestavljanje spremenljivk

(5) Resevanje prakticnih problemov napovednega modeliranja

Literatura zajema izbrana poglavja iz

• James G, Witten D, Hastie T, Tibshirani R (2013) An introduction to statistical learning:with applications in R. New York: Springer.

• Kuhn M, Johnson K (2013) Applied predictive modeling. New York: Springer.• Flach P (2012) Machine learning: the art and science of algorithms that make sense of

data. Cambridge: Cambridge University Press.• Kononenko I (2005) Strojno ucenje. Ljubljana: Zalozba Fakultete za elektrotehniko in

Fakultete za racunalnistvo in informatiko.

Potrebno/pricakovano predznanje: Potrebo je osnovno poznavanje programiranja (npr.predmet Uvod v programiranje), verjetnosti in statistike, predvsem osnovnih preizkusov stati-sticne znacilnosti (npr. predmeta Statistika in Verjetnosti racun), programskega jezika Pythonter programskega okolja za statistiko R.

Izvedba (3/2): Student mora izdelati seminarsko nalogo na temo prakticnega resevanja izbra-nega problema napovednega modeliranja (v okviru vaj) in opraviti ustni izpit.

26


Racunska zahtevnost

Vsebina:

1. Uvod2. Modeli racunanja3. Tezki problemi4. Priblizno resevanje optimizacijskih problemov5. Verjetnostni algoritmi

Potrebno/pricakovano predznanje:

• logika in mnozice• osnovni pojmi teorije grafov• osnovni pojmi verjetnosti

Izvedba (3/2): Predavanja in vaje. Prvo polovico ocene prinesejo tri domace naloge, drugopolovico pa ustni izpit iz teorije.

27


Teorija programskih jezikov


Outline:This course will examine a selection of features found in modern high-level programming langu-ages, especially in functional languages like Haskell. Topics include:

(1) Functional programming and recursion.(2) Operational semantics.(3) Type systems and type inference.(4) Denotational semantics.(5) Polymorphism.(6) Computational effects.

Literature:

• B. Pierce. Types and Programming Languages. Cambridge University Press, 2002.

Potrebno/pricakovano predznanje:

• Osnovno znanje programiranja

Izvedba (3/2): Obveznosti studenta: pisni izpit.

28


Logika v racunalnistvu


Outline:From the construction of low-level integrated-circuit architecture, to the verification of high-levelprogram and system behaviour, applications of logic pervade computer science. This course willexplore some of the variety of different logics used in computer science, looking at applications,the technology underpinning such applications, and the mathematical theory behind them.

(1) Propositional logic and satisfiablility. SAT-solvers.(2) Predicate logic. Some decidable and undecidable theories.(3) Temporal logic. System modelling. Model checking. Kamp’s theorem.(4) Hoare logic for program verification. Cook’s relative completeness theorem.(5) Constructive type theory and the Curry-Howard correspondence.

Literature:

• M. Huth and M. Ryan. Logic in Computer Science: Modelling and Reasoning aboutSystems. Cambridge University Press, 2004.

Potrebno/pricakovano predznanje: Osnovno znanje programiranja

Izvedba (3/2): Obveznosti studenta: pisni izpit.

29

Izbirni predmet skupine O

Moderna fizika

Vsebina:Moderna fizika je ustaljeno ime za fizikalne pojave, ki niso zajeti v klasicni fiziki, predvsemspecialno teorijo relativnosti, kvatno fiziko, jedrsko fiziko in fiziko osnovnih delcev. Na spo-znanjih moderne fizike temelji velika vecina priprav, ki jih srecujemo vsak dan, od laserja vpredvajalniku zgoscenk, preko mobilnih telefonov do racunalnikov in naprav za medicinsko sli-kanje. Poskusi v fiziki osnovnih delcev so nas pripeljali do razumevanja narave na najmanjsihin najvecjih razdaljah.

Pri predmetu se bodo slusatelji seznanili z osnovnimi zakonitostmi na podrocju klasicne ele-ktrodinamike (elektrostatika, multipoli, magnetno polje, Maxwellove enacbe), posebne teorijerelativnosti (transformacije prostora in casa, cetverci, Maxwellove enacbe v kovariantni obliki),kvantne fizike (valovne lastnosti delcev, Schroedingerjeva enacba, harmonski oscilator, vodikovatom), fizike osnovnih delcev (Standardni model osnovnih delcev, leptoni in kvarki, osnove ume-ritvenih teorij elektromagnetne, sibke in mocne interakcije, temna snov), in s povezavo medrazvojem vesolja in fiziko osnovnih delcev.

Predmet je nadgradnja predmeta Fizika iz dodiplomskega studija.

Potrebno/pricakovano predznanje:Opravljen izpit iz predmeta Fizika na prvi stopnji.

Izvedba (3/2):Izpit iz vaj, ki ga lahko nadomesti domaca naloga, ter izpit iz teorije.

30

Izbirni predmet skupine O

Delovna Praksa 1 in 2

Vsebina:Delovna praksa je priloznost za studente, da spoznajo delo matematika v praksi. Med studijemse studentu lahko porodi obcutek, da ob naboru bolj ali manj teoreticnih predmetov nima dovoljspretnosti, da bi pridobljeno znanje uporabil pri resevanju uporabnih matematicnih problemov.Izkusnje kazejo, da se matematik, ko se znajde pred konkretnim problemom iz prakse, ponavadidobro znajde in zna problem postaviti v okvir, znotraj katerega je sposoben uporabiti svojeznanje. Namen delovne prakse je, da student to spozna ze med studijem. Z delom v podjetjih,kjer matematicno znanje potrebujejo, se seznani z uporabo matematike v praksi, spozna, kakoformulirati probleme v matematicnem jeziku, in pridobi spretnosti pri skupinskem delu na pro-jektih. Prakticne izkusnje mu lahko zelo koristijo pri iskanju zaposlitve po koncanem studiju inpri oblikovanju svoje poklicne kariere.

Potrebno/pricakovano predznanje: Solidno znanje matematike 1. stopnje.

Izvedba: Obseg vsakega od predmetov Delovna praksa 1 in Delovna praksa 2 je 150 ur (6ECTS). Student si delodajalca, pri katerem bo opravljal prakso, praviloma poisce sam. Pri temmu lahko pomaga skrbnik njegovega studijskega programa. Ta tudi oceni, ali praksa ustreza me-rilom, ki jih doloca fakulteta. Opravljanje prakse mora skrbnik odobriti. Na koncu prakticnegausposabljanja mora student napisati porocilo o prakticnem usposabljanju. Uspesno opravljenoprakticno usposabljanje student predstavi skrbniku oziroma kolegom. V okviru predvidene enekontaktne ure na teden studentje porocajo o svojem delu, izmenjujejo izkusnje in usklajujejodelo s skrbnikom.

Vec navodil je na voljo na http://kam.fmf.uni-lj.si/praksa.

31

Documents

Teorija mere - University of Ljubljana...Predavanja in vaje. Na sredini semestra (namesto kolokvija) doma ca naloga, ki se upo steva pri oceni. Pisni in ustni izpit. 2 Izbirni predmet