Teorija baznih okvira

Damir Bakic

(30 sati)

Sazetak

U kolegiju cemo izloziti osnove teorije baznih okvira Hilbertovih prostora. Bit ce diskutirane ineke primjene, osobito one u teoriji valica.

Dovoljno predznanje za ovaj kolegij su osnove funkcionalne analize (diplomski kolegiji ”Normi-rani prostori” i ”Operatori na normiranim prostorima”). Bit ce potrebni i neki dijelovi bazicnogposlijediplomskog kolegija ”Realna i funkcionalna analiza”, ali taj kolegij nije formalni (zahtjevani)prethodnik. Kolegij ce se polagati kombinacijom domacih zadaca i kraceg seminarskog izlaganja.Predavanja ce povremeno biti popracena pisanim materijalima.

Sadrzaj

1. Ortonormirane i Rieszove baze.

2. Osnovna svojstva baznih okvira: rekonstrukcijsko svojstvo, kanonski i alternativni dualni bazniokviri, viskovi baznih okvira, perturbacije baznih okvira.

3. Bazni okviri u konacnodimenzionalnim Hilbertovim prostorima.

4. Bazni okviri u translaciono invarijantnim prostorima i teoriji valica.

5. Gaborovi bazni okviri.

Literatura

1. R. Balan, P.G. Casazza, C. Heil, Z. Landau, Deficits nad excesses of frames, Advances in Comp. Math., SpecialIssue on Frames, 18 (2003), 93-116.

2. M. Bownik, The structure of shift-invariant subspaces of L2(Rn), J. Functional Analysis, 112 (2000), 282-309.

3. P.G. Casazza, O. Christensen, Perturbation of operators and applications to frame theory, J. Fourier Anal.Appl. 3 (1997), 543–557.

4. P.G. Casazza, J. Kovacevic, Finite frames, in Applied and numerical harmonic analysis (Theory and Applica-tions), Springer, 2013.

5. O. Christensen, An introduction to frames and Riesz bases, Birkhauser, 2003.

6. K. Groochenig, Foundations of time-frequency analysis, Birkhauser, 2001.

7. C. Heil, A basis theory primer, Birkhauser, 2011.

8. J. Holub, Pre-frame operators, Besselian frames and near-Riesz bases in Hilbert spaces, Proc. Amer. Math.Soc., 122 (1994), 779–785.

9. J. Kovacevic, A. Chebira, Life beyond bases: The advent of frames, IEEE Signal Process. Mag., 24(4) (2007),86–104.

10. E. Hernandez, G. Weiss, A first course on wavelets, CRC Press, Boca Raton, 1996.

Prijedlog kolegija za izvođenje u akademskoj godini 2016./2017. na Zajedničkom sveučilišnom poslijediplomskom doktorskom studiju

matematike Naslov: Procjena funkcija Predavač: Professor Andrew Barron, Department of Statistics , Yale University Broj sati predavanja: 30 Kratki sadržaj: Tijekom kolegija bit će obrađeni moderni alati za procjenu funkcije jedne ili više varijabli na osnovu uzorka podataka te tehnike aproksimacije, procjene i izračuna.

1. Metode jezgre, redova i druge neparametarske metode za procjenu gustoće i analiza njihovih statističkih svojstava.

2. Metode za miješane modele, procjena logaritma gustoće, logistička regresija i klasifikacija. 3. Aproksimacijska svojstva projekcije metodom najmanjih kvadrata i selekcija korištenjem

trigonometrijskih, polinomijalnih i spline baza. Aproksimacija valićnim metodama. 4. Svojstva aproksimacija umjetnim neuronskim mrežama. 5. Pohlepni algoritmi za neuronske mreže i selekcija pomoću rječnika funkcijskih komponenti. 6. Strategije optimizacije za nelinearnu procjenu parametara. Gradijentne metode sa širenjem

unatrag i slučajnom početnom aproksimacijom, metoda Monte Carlo Markovljevih lanaca, simulirano kaljenje i adaptivno kaljenje.

7. Evolucija distribucije parametara u iterativnim optimizacijskim procedurama. Rješenje pripadne eliptičke parcijalne diferencijalne jednadžbe i algoritam u polinomijalnom vremenu za neuronske mreže.

8. Karakterizacija rizika penalizirane metode najmanjih kvadrata, penalizirane metode maksimalne vjerodostojnosti i metode najkraćeg opisa.

Literatura: Osnovna literatura:

1. L. Györfi, M. Kohler, A. Krzyzak, H. Walk, A Distribution-Free Theory of Nonparametric Regression, Springer, 2002.

Dopunska literatura: 1. A. Barron (1993), Universal approximation bounds for superpositions of a sigmoidal function.

IEEE Transactions on Information Theory, 39, 930-944. 2. A. Barron (1994), Approximation and estimation bounds for artificial neural networks.

Machine Learning, 14, 113-143. 3. A. Barron, A. Cohen, W. Dahmen, R. Devore (2008), Approximation and learning by greedy

algorithms. Annals of Statistics, 36, 64-94. 4. A. Barron, X. Luo (2008), MDL procedures with L1 penalty and their statistical risk. First

Workshop on Information Theoretic Methods in Science and Engineering, Tampere, Finland. 5. M. Janzamin, H. Sedghi, A. Anandkumar (2015), Beating the Perils of Non-Convexity:

Guaranteed Training of Neural Networks using Tensor Methods. (Draft available at newport.eecs.uci.edu/anandkumar/#publications )

6. A. Barron, Neural Net Approximation and Estimation of Functions. Presented at the Department of Mathematics, University of Osijek, 12 March, 2015.

Predavanja će se izvoditi na engleskom jeziku.

Title: Function estimation Syllabus: During the course student are to learn modern tools for estimation of functions of one or many variables from sample data as well as approximation, estimation and computation techniques.

1. Kernel methods, series methods and other nonparametric models for density estimation and regression and the analysis of their statistical properties.

2. Related methods for mixture models, log-density estimation, logistic regression and classification.

3. Approximation properties for least squares projection and sparse selections using trigonometric, polynomial and spline bases. Also wavelet approximation if time permits.

4. Artificial neural network approximation properties. 5. Greedy computation for neural networks and sparse selection from a dictionary of function

components. 6. Optimization strategies for non-linear parameter determination, including gradient methods

(back propagation) with random initialization, Markov chain Monte Carlo techniques, simulated annealing and adaptive annealing.

7. Determination of the evolution of the distribution of parameters in iterative optimization strategies. Practical solution of the associated elliptic partial differential equations, and associated polynomial time algorithm for learning neural nets.

8. Statistical risk characterization of penalized least squares, penalized likelihood, and minimum description length methods (for the choice of the size of the model).

Odabrana poglavlja teorije operatorskih algebri

Ilja Gogic

(60 sati)

Sazetak

Teorija operatorskih algebri je znacajna disciplina funkcionalne analize koja se ispreplice s gotovosvim granama matematike te nekoliko grana teorijske fizike. Njeni temelji postavljeni su prije gotovo100 godina u fundamentalnim radovima Murraya, von Neumanna, Geljfanda i Naimarka, sa svrhomnalazenja matematickog formalizma kvantne mehanike. Osnovna dva dijela koja sacinjavaju teorijuoperatorskih algebri su C∗-algebre (tzv. nekomutativni topoloski prostori) i von Neumannove algebre(tzv. nekomutativni prostori mjere).

Cilj ovog kolegija je upoznati studente s osnovama teorije operatorskih algebri i njenim primje-nama. Kolegij ce u sustini biti samodostatan, no radi lakseg pracenja pozeljno je osnovno predznanjeiz realne i funkcionalne analize (normirani prostori, teorija mjere) te topologije. Kolegij ce se polagatiputem domacih zadaca i drzanjem seminarskog izlaganja.

Sadrzaj

1. Pregled osnovnih pojmova i rezultata: algebre, Rieszovi teoremi reprezentacije, slabe topolo-gije, Banach-Alaogluov teorem, lokalno konveksni prostori, ekstremne tocke i Krein-Milmanovteorem, Stone-Weierstrassov teorem, operatori na Hilbertovim prostorima.

2. Elementarna spektralna teorija: Banachove algebre, spektar i spektralni radijus, karakteri,Geljfandova transformacija i primjene, holomorfni funkcionalni racun.

3. C∗-algebre: C∗-algebre, komutativne C∗-algebre, neprekidni funkcionalni racun, komutativneC∗-algebre, struktura uredaja, aproksimativne jedinice, ideali i kvocijenti C∗-algebri, pozi-tivni linearni funkcionali i stanja, reprezentacije, Geljfand–Naimark–Segalova konstrukcija,C∗-algebarski formalizam kvantne mehanike.

4. Von Neumannove algebre: jaka i slaba operatorska topologija, egzistencija projektora, vonNeumannov teorem o bikomutantu, teorem gustoce Kaplanskog, Borelov funkcionalni racun,L∞ kao von Neumannova algebra, komutativne von Neumannove algebre, L∞-funkcionalniracun, usporedba projektora, dekompozicija von Neumannovih algebri po tipu.

5. Osnove K-teorije: polugrupe projektora, funktor K0, AF -algebre, K-teorija AF -algebri.

Literatura

1. G. J. Murphy, C∗-Algebras and Operator Theory, Academic Press, San Diego, 1990.

2. K. Zhu, An Introduction to Operator Algebras, Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, 1993.

3. R. V. Kadison, J. R. Ringrose, Fundamentals of the theory of operator algebras, Vol I,II, Graduate Studies inMathematics, vol. 15,16, AMS, Providence, 1997.

4. K. R. Davidson, C∗-Algebras by Example, Fields Inst. Monographs, AMS, 1996.

5. E. Kaniuth, A Course in Commutative Banach Algebras, GTM 246, Springer, 2009.

6. J. Dixmier, C∗-algebras, North Holland, 1977.

7. M. Rørdam, F. Larsen and N. J. Laustsen, An introduction to K-theory for C∗-algebras, LMS Student Texts49, Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

8. N. E. Wegge-Olsen, K-theory and C∗-algebras. A friendly approach, Oxford University Press, 1993.

9. N. P. Landsman, Lecture Notes on C∗-Algebras and Quantum Mechanics, 1998, dostupno na:http://arxiv.org/abs/math-ph/9807030

1

Unitarne matrice

NAZIV STUDIJA: ZAJEDNIČKI SVEUČILIŠNI POSLIJEDIPLOMSKI

DOKTORSKI STUDIJ MATEMATIKE

GODINA STUDIJA: druga ili treća

SEMESTAR STUDIJA:

OBLIK NASTAVE SATI TJEDNO IZVOĐAČ NASTAVE

predavanja 2 Vjeran Hari

vježbe 0

seminar 1 Studenti

ECTS BODOVI:

CILJ KOLEGIJA: Kolegij je zamišljen kao spoj teorije i algoritama vezanih uz dvije

važne klase matrica: unitarnih i J-unitarnih matrica. Te matrice se zbog svojih

svojstava u praksi najčešće koriste kao matrice transformacija. Izbor gradiva odabran je

po kriteriju važnosti i aktualnosti u primjenama, ali i po zaokruženosti i potpunosti

samih cjelina. Osim same teorije, posebna pažnja posvetit će se prikazu postojećih kao

i novih algoritama za CS dekompoziciju unitarnih i J-unitarnih matrica. Nastavnik će

prepustiti studentima da u sklopu seminara prikažu jednostavnije teme iz popisa

sadržaja kolegija.

NASTAVNI SADRŽAJI:

1. Unitarne matrice i primjene. Svojstva unitarnih matrica. Realne ortogonalne

matrice. Metrika i kontrakcije. Kontrakcije i unitarne matrice. Unitarna sličnost

realnih matrica. Nejednakost traga i unitarne matrice. CS dekompozicija unitarnih

matrica. Oštri kutovi između potprostora. Wedinov teorem i primjene. (6 tjedana)

2 J-unitarne matrice. Svojstva J-unitarnih matrica. Primjene kod problema vlastitih

vrijednosti simetričnih i hermitskih matrica. CS dekompozicija J-unitarnih matrica.

(3 tjedna)

3. Algoritmi za računanje CS dekompozicije ortogonalnih i J-ortogonalnih

matrica. Prikaz postojećih algoritama (Stewartov, vanLoanov algoritam). Novi

algoritam za CS dekompoziciju J-ortogonalnih matrica. Analiza stabilnosti i

relativne točnosti algoritma. Novi algoritam za CS dekompoziciju ortogonalnih

matrica. Analiza stabilnosti algoritma. Primjena na ubrzavanju blok

dijagonalizacijskih metoda.

(4 tjedana)

OBAVEZE STUDENATA TOKOM NASTAVE I NAČINI NJIHOVA

IZVRŠAVANJA: Pohađanje predavanja, izrada domaćih zadaća, polaganje jednog

kolokvija, držanje barem jednog seminara u trajanju od 45 ili više minuta. Seminari

mogu biti vezani uz teoriju matrica, teoriju algoritama, te implementaciju algoritama

na računalu.

UVJETI ZA POTPIS: Prisustvo na 60% predavanja i pozitivno ocijenjeni kolokviji i

seminari.

NAČIN POLAGANJA ISPITA: Završni dio ispita polaže se u pismenom ili

usmenom obliku. Konačna ocjena oblikuje se na osnovi uspjeha u izradi domaćih

zadaća, bodovnoj ocjeni održanog seminara, bodovima dobivenim na kolokviju te

ocjene na završnom dijelu ispita ako bude potrebno.

OBAVEZNA LITERATURA:

1. Fuzhen Zhang, Matrix Theory. Springer 1999.

2. R. Bhatia, Matrix Analysis (Graduate Texts in Mathematics. Springer 1997.

3. G. W Stewart, J.G. Sun, Matrix Perturbation Theory, Academic Press,Inc. 1990,

2nd

edition, John Hopkins University Press, 1993.

DOPUNSKA LITERATURA:

Članci od P. A. Wedina, P. Stewarta, C. vanLoana i drugih, nekoliko doktorskih I

magistarskih radnja.

Odabrana poglavlja iz teorije brojeva (60 sati)

Matija Kazalicki

Na ovom kolegiju ¢e se obraditi £etiri teme iz presjeka teorije brojeva i aritmeti£kegeometrije (vezane uz elipti£ke krivulje, modularne forme, elipti£ke i K3 plohe). Teme¢e se obra�ivati ²to je eksplicitnije mogu¢e uz £esto kori²tenje programskog paketaSAGE ([6]). Popis tema:

a) Elipti£ke krivulje i racionalne Diofantove m-torke(glavna literatura [3])Kratak uvod u elipti£ke krivulje sa naglaskom na primjenama u konstrukciji ra-cionalnih Diofantovih m-torki.

b) Modularni pristup rje²avanju diofantskih jednadºbi(glavna literatura[7])Primjena Ribetovog Level-lowering teorema pri rje²avanju diofantskih jednadºbi(npr. Posljednji Fermatov teorem).

c) Modularne forme i kvaternionske algebre(glavna literatura [4])Konstrukcija prostora modularnih formi teºine 2 i prostog nivoa p pomo¢u thetafunkcija pridruºenih de�nitnim kvaternionskim algebrama rami�ciranih u p u ∞.Grossova formula za specijalne vrijednosti L-funkcije.

d) Elipti£ke i K3 plohe(glavna literatura [9])Osnovne de�nicije i svojstva. Neron-Severieva grupa i Mordell-Weilova grupa.Singularna vlakna. Transcendentalne re²etke i elipti£ke �bracije. Izlaganje ¢e bitibazirano na primjerima.

Literatura

[1] N. Koblitz, Introduction to elliptic curves and modular forms, Second edition,Graduate Texts in Mathematics, 97. Springer-Verlag, New York, 1993. x+248 pp.ISBN: 0-387-97966-2

[2] F. Diamond, J. Shurman, A �rst course in modular forms, Graduate Texts inMathematics, 228. Springer-Verlag, New York, 2005. xvi+436 pp. ISBN: 0-387-23229-X

1

[3] A. Dujella, M. Kazalicki, M. Miki¢, M. Szikszai, There are in�nitely manyrational Diophantine sextuples, to appear in IMRN, 2016.

[4] B. Gross, Heights and the Special Values of L-series, Number Theory, CMS Con-ference Proceedings 7 (1987), 115-187.

[5] M. Kazalicki, Modularne forme, skripta,https://web.math.pmf.unizg.hr/~mkazal/reprints/modularne_forme.pdf.

[6] W. A. Stein, SageMath: http://www.sagemath.org/

[7] S. Siksek, The Modular Approach to Diophantine Equations, ht-tps://www.birs.ca/workshops/2012/12ss131/�les/samirnotes.pdf

[8] J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer, 2009.

[9] J. H. Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves, Springer,1999.

2

Kvazisimetricni dizajni

V. Krcadinac, 2016./2017., 30 sati.

Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v tocaka s familijom k-clanihpodskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-clani skup tocakasadrzan u λ blokova. Dizajn nazivamo kvazisimetricnim ako se svaka dvabloka sijeku u x ili u y tocaka, za neke konstante x < y. Rijec je o generali-zaciji simetricnih dizajna, kod kojih je velicina presjeka blokova konstantnai jednaka λ.

Kvazisimetricni dizajni povezani su s drugim kombinatorickim struktu-rama, poput jako regularnih grafova i samoortogonalnih kodova. Poznati sumnogi netrivijalni uvjeti na parametre i zanimljive konstrukcije beskonacnihserija i sporadicnih primjera kvazisimetricnih dizajna. Cilj ovog kolegija jedati kratak pregled rezultata i otvorenih problema o kvazisimetricnim dizaj-nima, sluzeci se monografijom [1] i novijim preglednim radom [2]. Posebannaglasak bit ce stavljen na veze s drugim dijelovima kombinatorike.

Polaganje ispita predvida se kroz individualne projektne zadatke koji semogu izloziti usmeno na znanstvenom seminaru ili u obliku pisanog rada.

Literatura

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge Uni-versity Press, 1991.

2. M.S. Shrikhande, Quasi-symmetric designs, u: The Handbook of Com-binatorial Designs, Second Edition (urednici C.J. Colbourn i J.H. Dinitz),CRC Press, 2007., str. 578–582.

1

Quasi-symmetric designs

V. Krcadinac, 2016/2017, 30 hours.

A t-(v, k, λ) design is a set of v elements called points together with afamily of k-element subsets called blocks such that any t-subset of points iscontained in λ blocks. A design is called quasi-symmetric if any pair of blocksintersect in x or in y points, for non-negative integers x < y. The conceptis a generalization of symmetric designs, which have block intersections ofconstant size, equal to λ.

Quasi-symmetric designs have important connections to other combina-torial structures, such as strongly regular graphs and self-orthogonal codes.Many non-trivial conditions on the parameters are known, as well as interest-ing constructions of infinite series and sporadic examples of quasi-symmetricdesigns. The goal of this course is to give a short overview of known resultsand open problems about quasi-symmetric designs. The monograph [1] andthe survey paper [2] will be used. Emphasis will be put on connections withother parts of combinatorics.

The exam will be based on individual project assignments, that can bepresented as scientific seminars or as written essays.

Bibliography

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge Uni-versity Press, 1991.

2. M.S. Shrikhande, Quasi-symmetric designs, in: The Handbook of Com-binatorial Designs, Second Edition (eds. C.J. Colbourn and J.H. Dinitz),CRC Press, 2007, pp. 578–582.

2

Konveksna integracija i neregularna rjesenja parcijalnih

diferencijalnih jednadzbi (60 sati)

Boris Muha

Cilj ovog kolegija je upoznati studente sa metodom konveksne integracije i njezinom primjenomu konstrukciji neregularnih rjesenja nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednadzbi. Jedan od prvihprimjera konstrukcije tog tipa je slavan i neocekivan rezultat Nasha i Kupiera o C1 izometrickim ula-ganjima mnogostrukosti u Rn. Valja napomenuti da Nash-Kupierov rezultat nije samo egzistencijalnirezultat, vec pokazuje da rjesenja ima ”jako puno” (skup rjesenja je u sustini C0 gust). Te rezultateje poopcio Gromov koji je uveo metodu konveksne integracije kao jednu od metoda za dokazivanjeh-principa u raznim geometrijskim problemima.

Kasnije se pokazalo da je metoda konveksne integracije primjenjiva i na nelinearne parcijalne dife-rencijalne jednadzbe koje dolaze iz mehanike kontinuuma. Muller i Sverak su pokazali da postoje slabarjesenja odredenih nelinearnih eliptickih sustava koja su Lipschitzova, ali nisu nigdje C1. Nedavno, DeLellis i Szekelyhidi su promatrali Eulerovu jednadzbu za tok inkompresibilnog fluida i dokazali neje-dinstvenost rjesenja, te postojanje neregularnih rjesenja koja disipiraju energiju. Disipativna rjesenjaEulerove jednadzbe su interesantna jer bi mogla voditi boljem razumijevanju turbulencije. Oba re-zultata su dobivena koristeci tehniku konveksne integracije u kombinaciji sa Tartarovim pristupom uanalizi oscilatornih rjesenja. U baznom dijelu kolegija izlozit cemo opisane rezultate: Nash-Kupier,Muller-Sverak i De Lellis-Szekelyhidi. Izbor tema u varijabilnom dijelu kolegija ovisit ce o interesuslusaca. Spomenuti rezultati su otvorili mnoga interesantna pitanja koja su predmet intenzivnogistrazivanja zadnjih godina.

Radi lakseg pracenja kolegija pozeljno je odredeno predznanje iz parcijalnih diferencijalnih jed-nadzbi i funkcionalne analize. Medutim, kolegij ce biti u sustini samodostatan i vecina potrebnihcinjenica ce biti ponovljena tokom kolegija.Pravila polaganja: Ispit ce se polagati kombinacijom zadaca i seminarskih izlaganja. Ukoliko sestudent bavi srodnim podrucjem, originalan znanstveni rad vezan uz tematiku kolegija moze zamijenitipolaganje ispita.

Literatura

Osnovna literatura

[1] Camillo De Lellis and Laszlo Szekelyhidi, Jr. The Euler equations as a differential inclusion. Ann.of Math. (2), 170(3):1417–1436, 2009.

[2] Stefan Muller and Vladimir Sverak. Convex integration for lipschitz mappings and counterexam-ples to regularity. Annals of mathematics, 157(3):715–742, 2003.

1

[3] John Nash. C1 isometric imbeddings. Ann. of Math. (2), 60:383–396, 1954.

Dodatna literatura

[4] Ben Andrews et al. Notes on the isometric embedding problem and the nash-moser implicitfunction theorem. Proc. CMA, 40:157–208, 2002.

[5] Sergio Conti, Camillo De Lellis, and Laszlo Szekelyhidi, Jr. h-principle and rigidity for C1,α

isometric embeddings. In Nonlinear partial differential equations, volume 7 of Abel Symp., pages83–116. Springer, Heidelberg, 2012.

[6] Bernard Dacorogna and Paolo Marcellini. General existence theorems for Hamilton-Jacobi equ-ations in the scalar and vectorial cases. Acta Math., 178(1):1–37, 1997.

[7] Camillo De Lellis and Laszlo Szekelyhidi, Jr. The h-principle and the equations of fluid dynamics.Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 49(3):347–375, 2012.

[8] Mikhael Gromov. Partial differential relations, volume 9 of Ergebnisse der Mathematik und ihrerGrenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. Springer-Verlag, Berlin, 1986.

[9] Vladimir Scheffer. An inviscid flow with compact support in space-time. J. Geom. Anal., 3(4):343–401, 1993.

[10] David Spring. Convex integration theory. Modern Birkhauser Classics. Birkhauser/SpringerBasel AG, Basel, 2010. Solutions to the h-principle in geometry and topology, Reprint of the1998 edition.

[11] L. Tartar. Compensated compactness and applications to partial differential equations. In No-nlinear analysis and mechanics: Heriot-Watt Symposium, Vol. IV, volume 39 of Res. Notes inMath., pages 136–212. Pitman, Boston, Mass.-London, 1979.

2

Asimptoticka analiza u mehanici fluida (60 sati)

Igor Pazanin

Opis kolegija:

U mehanici fluida cesto se suocavamo sa problemima u kojima temeljni zakoni sacuvanja dovode domodela koji su komplicirani i stoga u praksi neupotrebljivi. Nas posebno zanimaju oni zakoni kod kojihse javljaju veoma mali (ili veliki) parametri, bilo u fizikalnim koeficijentima, bilo u geometriji podrucjakojeg promatramo. Takve probleme moguce je tretirati koristeci rigoroznu asimptoticku analizu. Opisanasituacija prirodno se javlja u problemima tokova fluida kroz cijevi, problemima vezanim uz teoriju pod-mazivanja (lubrikacije), tokovima fluida kroz poroznu sredinu itd. Proucavajuci asimptoticko ponasanjerjesenja zakona sacuvanja obzirom na uvedeni mali parametar, izvodimo jednostavnije modele, koji cestoodgovaraju empirijskim modelima iz inzenjerske prakse. Naravno, ponekad dobivamo i nove, u postojecojliteraturi nepoznate zakone.

U ovom kolegiju sustavno cemo izloziti napredne asimptoticke metode koje se koriste za rjesavanje pro-blema iz mehanike fluida u kojima su prisutne razlicite skale. Posebnu paznju posvetit cemo metodiuskladivanja asimptotickih razvoja (engl. matching) te viseskalnoj analizi. Nakon sto objasnimo osnovneprincipe na jednostavnim primjerima obicnih diferencijalnih jednadzbi, bavit cemo se brojnim primje-nama koje kao rezultat daju vazne asimptoticke modele za tokove Newtonovskog fluida. Cilj je naglasitivaznost svladavanja modernih tehnika asimptoticke analize koje mogu biti od velike koristi studentima- buducim istrazivacima u podrucju matematickog modeliranja tokova fluida. Takoder, bavit cemo sei rigoroznim opravdanjem formalno dobivenih asimptotickih modela, dovodeci ih u vezu s originalnimzakonima sacuvanja. Na taj se nacin vidi kad oni vrijede, koji su njihovi dosezi te kolika se pogreska cininjihovom primjenom.

Od studenata se ocekuje predznanje iz funkcionalne analize te mehanike fluida (osnovni pojmovi i rezul-tati biti ce ponovljeni u uvodu). Ispit ce se polagati odrzavanjem jednog ili vise seminara.

Literatura:

1. P-Y. Lagree, Multiscale Hydrodynamic Phenomena, Lecture Notes, Universite Pierre et Marie CurieParis 6, 2013.http://www.lmm.jussieu.fr/ lagree/COURS/M2MHP/

2. Asymptotic Methods in Fluid Mechanics: Survey and Recent Advances, H. Steinruck (ed.), CISMCourses and Lectures vol. 523, Springer, New York 2012.

3. R. Kh. Zeytounian, Asymptotic Modelling of Fluid Flow Phenomena, Kluwer Academic Publishers,Dordrecht, 2002.

4. R. Kh. Zeytounian, Modelisation Asymptotique En Mecanique Des Fluides Newtoniens, Springer-Verlag, Berlin, 1996.

5. G. P. Galdi, An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations, Vol. I,II,Springer-Verlag, New York, 1994.

6. M. Van Dyke, Perturbation Methods in Fluid Mechanics, The Parabolic Press, Stanford, 1975.

DIZAJNI S KLASIČNIM GEOMETRIJSKIM PARAMETRIMA Juraj Šiftar, jednosemestralni kolegij (30 sati) Područje: Konačne geometrije, teorija dizajna

Kombinatoričke strukture koje se sastoje od skupova točaka i d-dimenzionalnih potprostora n-dimenzionalnog projektivnog prostora PG(n,q), odnosno afinog prostora AG(n,q) nad konačnim poljem GF(q), u terminima teorije (blok) dizajna obično se nazivaju klasičnim ili geometrijskim dizajnima.

Značajan predmet istraživanja konačnih geometrija su dizajni s ˝klasičnim˝ parametrima, a to su (v, k, λ)-dizajni kojima se vrijednosti ukupnog broja točaka v, broja točaka na svakom bloku k i broja blokova incidentnih s bilo kojim dvjema točkama ( λ ) podudaraju s odgovarajućim vrijednostima za geometrijske dizajne. Pokazalo se da su klasični parametri ˝izrazito povoljni˝ za postojanje dizajna, štoviše da broj neizomorfnih dizajna s takvim parametrima eksponencijalno raste s linearnim povećanjem dimenzije n. Stoga je od posebnog interesa pronalaženje djelotovornih karakterizacija geometrijskih dizajna među svim dizajnima s klasičnim parametrima.

Kolegij će pružiti uvid u neke od važnijih rezultata postignutih tokom posljednjih tridesetak godina u proučavanju dizajna s klasičnim parametrima. Pritom uz kombinatoričke i geometrijske metode ključnu ulogu ima primjena teorije linearnih kodova, kako u istraživanjima potaknutim glasovitom slutnjom N. Hamade o karakterizaciji geometrijskih dizajna pomoću p-ranga, tako i u novijim otkrićima drugih korisnih invarijanti pridruženih klasama konačnih struktura. Tonchev i Jungnickel uveli su razmjerno složeni koncept q-dimenzije komplementarne strukture D* pridružene incidencijskoj strukturi D, koji dovodi do uvjeta za mogućnost smještavanja D u prostor PG(n,q) i zatim do potpune karakterizacije geometrijskih dizajna među dizajnima s klasičnim parametrima projektivnog tipa.

Literatura: [1] E. F. Assmus, Jr., J. D. Key: Designs and Their Codes, Cambridge University Press, Cambridge, 1992. [2] J.W.P. Hirschfeld: Projective Geometries over Finite Fields, Oxford University Press, Oxford, 1998. [3] D. Jungnickel, V. Tonchev: Polarities, quasi-symmetric designs and Hamada's conjecture, Des. Codes Cryptogr. 51 (2009), 131-140. [4] D. Jungnickel: Recent results on designs with classical parameters, J. Geometry 101 (2011), 137-155.

[5] D. Jungnickel, V. Tonchev: A Hamada type characterization of the classical geometric designs, Des. Codes Cryptogr. 65 (2012), 15-28. [6] D. Jungnickel, V. Tonchev: New invariants for incidence structures, Des. Codes Cryptogr. 68 (2013), 163-177. [7] K. Metsch: A generalization of a result of Dembowski and Wagner, Des. Codes Cryptogr. 60 (2011), 277-282.

DESIGNS WITH CLASSICAL GEOMETRIC PARAMETERS (Finite geometries, design theory)

In terms of design theory, combinatorial structures consisting of the sets of points and d-dimensional subspaces of the n-dimensional projective space PG(n,q) or the affine space AG(n,q) over the finite field GF(q) are usually called classical designs or geometric designs.

An important topic of research in finite geometry are block designs with ˝classical˝ parameters, i.e. (v, k, λ)-designs whose overall number of points (v), the number of points incident with any block (k) and the number of blocks incident with any pair of points (λ) coincide with the values of corresponding parameters for geometric designs. It has been shown that classical parameters are distinctively favorable for the existence of designs, namely that the number of nonisomorphic designs with such parameters grows exponentially with the linear growth of the dimension n. Hence, finding efficient characterizations of geometric designs among all designs with classical parameters is of particular interest. This course will provide insight into some of the outstanding results about designs with classical parameters achieved during the last thirty years. Besides combinatorial and geometric methods, a crucial role belongs to the theory of linear codes, as in the research initiated by the famous Hamada conjecture on characterization of classical designs by means of p-rank, so also in more recent discoveries of further useful invariants associated to classes of finite structures. The relatively complex concept of q-dimension of the complementary structure D* of an incidence structure D, introduced by Tonchev and Jungnickel, leads to conditions for embeddability of D into the space PG(n,q) and, furthermore, to a full characterization of geometric designs among designs with classical parameters of projective type.

Hrvoje Šikić 2016/17

Procesi grananja s primjenama u biomedicini

(60 sati)

Konstrukcije i osnovna svojstva procesa grananja. Modeli u diskretnom vremenu.

Dijelovi teorije procesa grananja za slučaj nediskretnog vremena i općeg procesa

stanja, inspirirani biomedicinskim modelima. Asimptotska svojstva i lokalna svojstva.

Procesi s imigracijom i emigracijom u usporedbi s procesima više tipova stanja.

Interpretacija matematičkih rezultata u brojnim primjerima iz biomedicine. Uključit

ćemo i analizu nekih vrlo suvremenih primjena., kao i izbor naprednijih tema.

Napomena: Ovo je srednje napredan poslijediplomski kolegij. Nastojat će se što više

materijala dokazati na temelju elementarnih činjenica, no ipak se pretpostavlja

poznavanje kolegija: Realna Analiza (standardni kolegij na PDS-u) i Vjerojatnost

(standardni kolegij na PDS-u).

Literatura:

K.B. Athreya, P.E.Ney, Branching Processes, Springer, 1972.

P. Jagers, Branching Processes with Biological Applications, Wiley, 1975.

M.Kimmel, D. Axelrod., Branching Processes in Biology, Springer, 2002.

C.J Mode, R.Durrett, F.Klebaner, P.Olofsson, Application of Stochastic Processes in

Biology and Medicine, Intern J Stochastic Analysis, special edition, 2013.

Sanja Singer (red. prof., FSB), Saša Singer (izv. prof., PMF–MO):

Ortosimetrični skalarni produkti – teorija i algoritmi (60 sati)

Sažetak

Kolegij je zamišljen kao napredni kolegij iz numeričke linearne algebre. Cilj kolegija jeomogućiti uvid u novija istraživanja iz područja strukturiranih matričnih faktorizacija ve-zanih uz ortosimetrične skalarne produkte. Ortosimetrični skalarni produkti definirani sumatricom J za koju vrijedi J∗ = τJ , gdje je |τ | = 1, τ ∈ C. Takvi skalarni produkti uklju-čuju, osim standardnog skalarnog produkta, indefinitne i simplektičke skalarne produkte,kao i mnoge druge. U numeričkom računanju poželjno upotrebljavati sredstva kojima sečuva struktura polaznog problema, a upravo ortosimetrični skalarni produkti objedinjujuza praksu bitne strukture, koje treba očuvati.

Sadržaj

Uvod u ortosimetrične J-skalarne produkte. Teorija i osnovna svojstva J-unitarnihprostora i razlike obzirom na obične unitarne prostore. J-hermitske i J unitarne matrice injihova struktura.

Generalizacije faktorizacije Choleskog: Hermitska indefinitna faktorizacija i strategijepivotiranja, perturbacijska analiza, ocjena grešaka zaokruživanja; antihermitska faktoriza-cija, pivotiranje, pogreške.

J-unitarne matrice rotacijskog (Givensovog) tipa za jednostavne matrice J . J-unitarnematrice reflektorskog (Householderovog) tipa za jednostavne J . Blok rotacije i blok reflek-tori.

Generalizacije QR faktorizacija: hiperbolička QR faktorizacija, simplektička QR fakto-rizacija, SR faktorizacija, perturbacijske analize, ocjene grešaka zaokruživanja. Algoritmirotacijskog i reflektorskog tipa za svojstvene vrijednosti bazirani na QR-nalik faktorizaci-jama (HR, SR). SVD i hiperbolički SVD. CS dekompozicija i njezine generalizacije.

Primjena generaliziranih faktorizacija Choleskog, QR i CS dekompozicije na računanjesvojstvenih vrijednosti: ponovljene faktorizacije (implicitni algoritmi), algoritmi Jacobije-vog tipa, blok algoritmi Jacobijevog tipa za suvremene arhitekture računala.

Literatura

Ne postoji jedinstveni udžbenik koji bi pokrivao sva navedena područja, već se litera-tura svodi na više udžbenika i znanstvene radove iz tog područja (koji će biti dostupnislušačima). U ovom popisu su samo osnovni članci.1. J. R. Bunch, A Note on the Stable Decomposition of Skew–Symmetric Matrices , Math.

Comp., 38 (1982), 475–479.2. J. R. Bunch, L. C. Kaufman, Some Stable Methods for Calculating Inertia and Solving

Symmetric Linear Systems , Math. Comp., 31 (1977), 163–179.

1

3. J. R. Bunch, B. N. Parlett, Direct Methods for Solving Symmetric Indefinite Systems ofLinear Equations , SIAM J. Numer. Anal., 8 (1971), 639–655.

4. A. Bunse–Gerstner, An Analysis of the HR Algorithm for Computing the Eigenvaluesof a Matrix , Linear Algebra Appl., 35 (1981), 155–173.

5. H. Fassbender, Symplectic Methods for the Symplectic Eigenproblem, Kluwer Acade-mic/Plenum Publishers, New York, 2000.

6. I. Gohberg, P. Lancaster, and L. Rodman, Indefinite Linear Algebra and Applications ,Birkhäuser, Basel, 2005.

7. D. S. Mackey, N. Mackey, F. Tisseur, Structured Tools for Structured Matrices , Electron.J. Linear Algebra, 10 (2003), 106–145.

8. Sanja Singer, Saša Singer, Rounding-error and perturbation bounds for the indefiniteQR factorization, Linear Algebra Appl., 309 (2000), 103–119.

9. Sanja Singer, Saša Singer, Rounding-error and perturbation bounds for the symplecticQR factorization, Linear Algebra Appl., 358 (2003), 255–279.

10. Sanja Singer, Indefinite QR factorization, BIT, 46 (2006), 141–161.11. Sanja Singer, Saša Singer, Orthosymmetric block reflectors , Linear Algebra Appl., 429

(2008), 1354–1385.12. Sanja Singer, Orthosymmetric block rotations , Electron. J. Linear Algebra, 23 (2012),

306–326.

Predznanje i polaganje ispita

Od slušača se očekuje predznanje iz numeričke linearne algebre, kao i vještina progra-miranja. Ispit će se polagati rješavanjem složenijih programskih zadatka i• seminarom, ili• usmenim ispitom.

Očekuje se znanje programskih jezika Fortran i / ili C, tako da se može koristiti bibliotekaIntel MKL, koja sadrži BLAS i LAPACK. Poželjno je iskustvo u paralelnom programiranju.

2

Matematički odsjek  Prirodoslovno‐matematički fakultet  Sveučilište u Zagrebu   

 TOPOLOŠKI DINAMIČKI SUSTAVI 

 (60 sati) 

Sonja Štimac  

Diskretni dinamički sustav čine mnogostrukost i preslikavanje na toj mnogostrukosti koje 

opisuje vremensku ovisnost položaja točaka mnogostrukosti, pri čemu je vrijeme diskretno. 

Nelinearni dinamički sustavi, čak i najjednostavniji, po dijelovima linearni, mogu pokazati 

potpuno nepredvidljivo ponašanje koje može izgledati slučajno, mada je u stvari potpuno 

određeno danim preslikavanjem. To naizgled  nepredvidljivo ponašanje zovemo kaos. Teorija 

dinamičkih sustava proučava dugotrajno kvalitativno ponašanje točaka mnogostrukosti pod 

djelovanjem iteracija danog preslikavanja, a topološka dinamika stavlja naglasak na 

topološku pozadinu problema.  

Cilj kolegija je upoznati studente s modernom teorijom i tehnikama vezanim uz diskretne 

kaotične dinamičke sustave s naglaskom na topološki aspekt.  

U kolegiju će se obrađivati sljedeće teme: 

Jednodimenzionalna dinamika 

1. Osnovne definicije i primjeri dinamičkih sustava 

2. Hiperboličnost 

3. Simbolička dinamika 

4. Topološka konjugacija i semi‐konjugacija  

5. Kaos 

6. Stabilnost 

7. Šarkovskijev teorem 

8. Topološka entropija  

Višedimenzionalna dinamika 

1. Potkova (the horseshoe map) 

2. Hiperboličnost 

3. Atraktori 

4. Teoremi o stabilnim i nestabilnim mnogostrukostima 

5. Hiperbolični skupovi 

6. Lozijevo i Hénonovo preslikavanje 

 

Literatura: 

1. J. Vries, Topological Dynamical Systems, An Introduction to the Dynamics of Continuous Mappings, De Gruyter Studies in Mathematics 59, 2014. 

 2. L. Barreira, C. Valls, Dynamical Systems: An Introduction, Springer, 2012. 

 3. R. L. Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, 2nd edition, Westview 

Press, 1989.  

4. A. Katok, B. Hasselblatt, G.‐C. Rota, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge University Press, 1996. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Teorija homologije i primjene( 60 sati) 2016/7

Predavač: Dragutin Svrtan, dsvrtan@math.hr.

Kratki opis :

U matematici (specijalno u algebarskoj topologiji), homologija je opći

način pridruživanja niza algebarskih objekata , kao što su abelove grupe ili

moduli, drugim drugim matematičkim objektima kao što su topološki pro-

stori.

Originalna motivacija za definiranje grupa homologije je bila u opserva-

ciji da se dva topološka prostora mogu razlikovati proučavanjem “ rupa” u

njima. Za mnogostrukosti klasa homologije koja reprezentira rupu) je klasa

ekvivalencije podmnogostrukosti modulo rubovi. Postoje različite teorije

homologije.

U kursu počinjemo sa simplicijalnim homologijama s mnogo primjera i

primjena (na teoriju opstrukcija i karakterističnih klasa vektorskih svežnje-

va). Zatim se obrađuje singularna homologija te Čechova i DeRhamova ko-

homologija i različite primjene u teoriji mnogostrukosti.

Predznanja za ovaj kurs su relativno mala: malo napredne linearne alge-

bre ,analize funkcija više varijabli i elementarne diferencijalne geometrije.

Sadržaj:

Simplicijalna teorija homologije,invarijantnost, relativna homologija.

Kohomologija i teorem o univerzalnim koeficijentima.

Računanja, Eulerova karakteristika i Lefschetzov teorem.

Prsten kohomologije , homologija i kohomologija mnogostrukosti.

Homologija i homotopija.

Karakteristične klase ,djelovanje grupa, Steenrodovi kvadrati.

Singularna homologija.

Poincareov i Lefschetzov izomorfizam za topološke mnogostrukosti.

Čechova kohomologija i DeRhamova kohomologija.

Kohomologija snopova i DeRhamov teorem.

Alexanderov polinom.

Arfova invarijanta.

Smještenja i imerzije.

Kompleksne mnogostrukosti.

Liejeve grupe i H-prostori.

Literatura:

[1]: J.Milnor,Characteristic classes , Princeton University Press, 1974.

[2]: V.V.Prasolov , Elements of Combinatorial and Differential Topology,

Graduate Studies in Mathematics ,Vol.74. AMS,Providence, RI,2006.

[3]: V.V.Prasolov , Elements of Homology, Graduate Studies in

Mathematics ,Vol.81. AMS,Providence, RI,2007.

Prijedlog kolegija za izvođenje u akademskoj godini 2016./2017. na Zajedničkom sveučilišnom poslijediplomskom doktorskom studiju

matematike Naslov: Parametarski ovisan nelinearni problem svojstvenih vrijednosti Predavači: Prof. dr. sc. Ninoslav Truhar, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku Doc. dr. sc. Zoran Tomljanović, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku Broj sati predavanja: 60 Kratki sadržaj: Ovaj predmet posvećen je proučavanju nelinearnog problema svojstvenih vrijednosti i odgovarajućeg inverznog problema s teorijskog, računskog i primijenjenog aspekta. Posebna pažnja bit će posvećena važnim praktičnim inženjerskim problemima poput kvadratičnog svojstvenog problema (QEP): (mu^2 M(v) + mu C(v) + K(v)) x=0, pri čemu su M(v), C(v), K(v) kompleksne nxn Hermitske matrice, koje ovise o realnom (višedimenzionalnom) parametru v. Također, proučavat ćemo nekoliko različitih primjena poput optimalnog upravljanja kod dinamičkih sistema i optimizacije prigušenja kod parametarskih mehaničkih sistema.

1. Nelinearni svojstveni problem Osnovna svojstva, analitičke matrične funkcije, varijacijska karakterizacija svojstvenih vrijednosti, općeniti Rayleigh-jevi funkcionali, metode za guste svojstvene probleme, iterativne projekcijske metode, metode koje koriste invarijantne parove, beskonačna Arnoldijeva metoda.

2. Kvadratični svojstveni problem (QEP) Definicija i osnovni rezultati, relacija ortogonalnosti, realna reprezentacija za svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore za QEP. 3. Kvadratični inverzni svojstveni problem [QIEP] Nestrukturirani QIEP iz cijele unaprijed određene svojstvene strukture, strukturirani QIEP iz cijele unaprijed određene svojstvene strukture, nestrukturirani QIEP iz djelomične unaprijed određene svojstvene strukture, strukturirani QIEP iz djelomične unaprijed određene svojstvene strukture, Pencils sa trakastom matricom koeficijenata, primjena strukturirane QIEP: konačni elementi za ažuriranje modela.

4. Numeričke metode Izračun i aproksimacija svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora za strukturirane svojstvene probleme, numeričke metode za QEP, Arnoldi algoritam drugog reda, algoritam dominantnih polova. 5. Optimization Optimizacija bez ograničenja, optimizacija uz ograničenja, pridružena Langrangeova metoda. 6. Primjene Izračun normi sistema, uvod u redukciju modela za parametarske dinamičke sisteme, redukcija modela bazirana na projekcijama, racionalna interpolacijska metoda, redukcija modela za efikasnu optimizaciju prigušenja.

Literatura: Osnovna literatura: 1. B. N. Datta. Numerical Linear Algebra and Applications. SIAM, second edition 2010. 2. V. O. Sokolov, Quadratic Inverse Eigenvalue Problems: Theory, Methods and Applications, Ph.D. Thesis, Department of Mathematical SciencesNorthern Illinois University, USA 3. Volker Mehrmann and Heinrich Voss. Nonlinear eigenvalue problems: A challenge for modern eigenvalue methods. GAMM-Mitteilungen (GAMM-Reports), 27:121–152, 2004. Dopunska literatura: 4. M. L. Graham Gladwell, Inverse Problems in Vibration. Springer-Verlag,Berlin, 2004. 5. F.Tisseur and K.Meerbergen, The quadratic eigenvalue problem. SIAM Reviews, 43(2):235--286, 2001 6. I. Gohberg, P.Lancaster and L. Rodman, Matrix Polynomials. AcademicPress, New York, NY, 1982. 7. G. H. Golub and C. F. Van Loan, Matrix Computations (3rd ed). Johns HopkinsUniversity Press, Baltimore and London, 1996. 8. A. Antoulas, C. Beattie, and S. Gugercin, Interpolatory model reduction of large-scale dynamical systems, in Efficient Modeling and Control of Large-Scale Systems, J. Mohammadpour and K. Grigoriadis, eds., Springer-Verlag, New York, 2010, pp. 2–58. 9. U. Baur, C. Beattie, P. Benner, and S. Gugercin, Interpolatory projection methods for parameterized model reduction, SIAM J. Sci. Comput., 33 (2011), pp. 2489–2518. 10. C. Beattie and S. Gugercin, Interpolatory projection methods for structure-preserving model reduction, Systems Control Lett., 58 (2009), pp. 225–232. 11. S. Gugercin, A. C. Antoulas, and C. Beattie, H2 model reduction for large-scale linear dynamical systems, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 30 (2008), pp. 609–638. 12. P. Benner, P. Kurschner, Z. Tomljanović, N. Truhar, Semi-active damping optimization of vibrational systems using the parametric dominant pole algorithm, Journal of Applied Mathematics and Mechanics (2015), 1-16 13. P. Benner, Z. Tomljanović, N. Truhar, Optimal Damping of Selected Eigenfrequencies Using Dimension Reduction, Numerical Linear Algebra with Applications 20/1 (2013), 1-17 14. I. Nakić, Z. Tomljanović, N. Truhar, Optimal Direct Velocity Feedback, Applied mathematics and computation 225 (2013), 590-600 15. Heinrich Voss, Nonlinear Eigenvalue Problems, Report 174, Chapter 60 in L. Hogben (ed.), Handbook of Linear Algebra, CRC Press, Boca Raton 2014

Title: Parameter-Dependent Nonlinear Eigenvalue Problems Lecturers: Prof. dr. sc. Ninoslav Truhar, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku Doc. dr. sc. Zoran Tomljanović, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku Hours of lectures: 60 Syllabus: This course is devoted to the study of nonlinear eigenvalue problems and corresponding inverse problems from theoretical, computational and applications points of view. Special attention will be given to important practical engineering problems such as the quadratic eigenvalue problem (QEP): (mu^2 M(v) + mu C(v) + K(v)) x=0, where M(v), C(v), K(v) are complex nxn Hermitian matrices, which depend on a real multidimensional parameter v. Also, we will consider several different applications like optimal control in dynamical systems and damping optimization of parametric mechanical systems.

1. Nonlinear Eigenvalue Problems Basic Properties, Analytic matrix functions, Variational Characterization of Eigenvalues General Rayleigh Functionals, Methods for dense eigenvalue problems, Iterative projection methods Methods using invariant pairs, The infinite Arnoldi method

2. Quadratic Eigenvalue Problem Definition and Basic Results, Orthogonality Relation, Real-Valued Representation for the Eigenvalues and Eigenvectors of the QEP

3. Quadratic Inverse Eigenvalue Problem [QIEP] Unstructured QIEP from Fully Prescribed Eigenstructure, Structured QIEP with Fully Prescribed Eigenstructure, Unstructured QIEP with Partially Prescribed Eigenstructure, Structured QIEP with Partially Prescribed Eigenstructure, Pencils with Banded Coefficient Matrices, An Application of Structured QIEP: Finite Element Model Updating

4. Numerical methods Calculation and approximation of eigenvalues and eigenvectors for structured eigenvalue problems, Numerical Methods for QEP, Second order Arnoldi algorithm, Dominant pole algorithm.

5. Optimization Unconstrained Optimization, Constrained Optimization, Augmented Lagrangian Method

6. Applications Calculating system norms, Introducion to model reduction methods for parametric dynamical systems, Projection-Based Model Reduction, Rational Interpolation Methods, Model reduction for efficient damping optimization.

Literature: Basic literature: 1. B. N. Datta. Numerical Linear Algebra and Applications. SIAM, second edition 2010. 2. V. O. Sokolov, Quadratic Inverse Eigenvalue Problems: Theory, Methods and Applications, Ph.D. Thesis, Department of Mathematical SciencesNorthern Illinois University, USA 3. Volker Mehrmann and Heinrich Voss. Nonlinear eigenvalue problems: A challenge for modern eigenvalue methods. GAMM-Mitteilungen (GAMM-Reports), 27:121–152, 2004. Additional literature: 4. M. L. Graham Gladwell, Inverse Problems in Vibration. Springer-Verlag,Berlin, 2004.

5. F.Tisseur and K.Meerbergen, The quadratic eigenvalue problem. SIAM Reviews, 43(2):235--286, 2001 6. I. Gohberg, P.Lancaster and L. Rodman, Matrix Polynomials. AcademicPress, New York, NY, 1982. 7. G. H. Golub and C. F. Van Loan, Matrix Computations (3rd ed). Johns HopkinsUniversity Press, Baltimore and London, 1996. 8. A. Antoulas, C. Beattie, and S. Gugercin, Interpolatory model reduction of large-scale dynamical systems, in Efficient Modeling and Control of Large-Scale Systems, J. Mohammadpour and K. Grigoriadis, eds., Springer-Verlag, New York, 2010, pp. 2–58. 9. U. Baur, C. Beattie, P. Benner, and S. Gugercin, Interpolatory projection methods for parameterized model reduction, SIAM J. Sci. Comput., 33 (2011), pp. 2489–2518. 10. C. Beattie and S. Gugercin, Interpolatory projection methods for structure-preserving model reduction, Systems Control Lett., 58 (2009), pp. 225–232. 11. S. Gugercin, A. C. Antoulas, and C. Beattie, H2 model reduction for large-scale linear dynamical systems, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 30 (2008), pp. 609–638. 12. P. Benner, P. Kurschner, Z. Tomljanović, N. Truhar, Semi-active damping optimization of vibrational systems using the parametric dominant pole algorithm, Journal of Applied Mathematics and Mechanics (2015), 1-16 13. P. Benner, Z. Tomljanović, N. Truhar, Optimal Damping of Selected Eigenfrequencies Using Dimension Reduction, Numerical Linear Algebra with Applications 20/1 (2013), 1-17 14. I. Nakić, Z. Tomljanović, N. Truhar, Optimal Direct Velocity Feedback, Applied mathematics and computation 225 (2013), 590-600 15. Heinrich Voss, Nonlinear Eigenvalue Problems, Report 174, Chapter 60 in L. Hogben (ed.), Handbook of Linear Algebra, CRC Press, Boca Raton 2014

Semantike logika dokazivosti i interpretabilnosti

(60 sati)

Tin Perkov, Mladen Vuković

Sažetak. Cilj kolegija je upoznati studente s teorijom modela logika dokazivosti i logika

interpretabilnosti. Naglasak je na dokazima teorema modalne potpunosti za razne sisteme.

Posebna pažnja će biti posvećena metodi konstrukcije modela koju su uveli Goris i Joosten.

Sadržaj.

1. Teoremi potpunosti za logiku sudova, logiku prvog reda i modalni sustav K.

2. Neki modalni sistemi koji nisu potpuni u odnosu na Kripkeovu semantiku. Opći

okviri. Algebarska semantika. Topološka semantika. Okolinska semantika.

3. Logika dokazivosti GL. Polimodalna logika dokazivosti GLP. Nepotpunost u odnosu

na Kripkeovu semantiku. Topološka semantika.

4. Logike interpretabilnosti. Sistem IL. Veltmanovi okviri i modeli. De Jongh,

Veltmanovi teoremi potpunosti sistema IL, ILM, ILP i ILW* u odnosu na Veltmanovu

semantiku.

5. Goris, Joostenova metoda konstrukcije modela za logike interpretabilnosti IL, ILM,

ILP i ILW*. Svojstvo konačnosti modela. Odlučivost.

6. Visserov dokaz potpunosti sistema ILP u odnosu na Friedmanove modele.

Berarduccijev dokaz potpunosti sistema ILM u odnosu na rekurzivne Visserove

modele.

7. Generalizirana Veltmanova semantika. Verzije (de Jongh; Goris-Joosten). Potpunost

sistema IL u odnosu na generalizirane Veltmanove modele. Karakteristične klase

(generaliziranih) Veltmanovih okvira za pojedini princip interpretabilnosti.

Literatura.

[1] L.D. Beklemishev, G. Bezhanishvili, T. Icard, On topological models of GLP, in: R.

Schindler (ed.), Ways of Proof Theory, Ontos-Verlag, Frankfurt, 2010.

[2] P. Blackburn, M. de Rijke, Y. Venema, Modal Logic, Cambridge University Press, 2001.

[3] E. Goris, J. Joosten, Modal Matters for Interpretability Logic, Logic Journal IGPL

16 (2008), 371-412

[4] E. Goris, J. Joosten, A new principle in the interpretability logic of all reasonable

arithmetical theories, Logic Journal IGPL 19 (2011), 1-17

[5] G. Japaridze, D. de Jongh, The logic of provability, in: S.R. Buss (ed.), Handbook of Proof

Theory, Elsevier, 1998.

[6] A. Visser, Interpretability logic, in: P.P. Petkov (e.), Mathematical Logic, Proceedings of

the 1988 Heyting Conference, Plenum Press, New York, 1990.

[7] M. Vuković, Matematička logika, Element, Zagreb, 2009.