Teme diplomskih radova u akademskoj godini 2013./2014. · 2014-09-29 · Pi ortogonalni projektor na Wi: O•cito su fuzijski bazni okviri generalizacija baznih okvira Hilbertovih

Sveuciliste u Zagrebu

Prirodoslovno-matematicki fakultet

Matematicki odsjek

Teme diplomskih radova u akademskoj godini2013./2014.

- Slobodne teme -

Mentor: Drazen Adamovic

Poluprosti prstenovi

Podrucje: Algebra

Prikladno za studij: svi smjerovi

Preduvjeti: Pozeljno je predznanje iz kolegija Algebra

Opis: U diplomskom radu bi se proucavali poluprosti prstenovi, poluprostealgebre i njihovi moduli. Ovisno o afinitetu i predznanju studenta naglasakce biti dan na strukturnu teoriju, konstrukciju i klasifikaciju tih prstenova.

Literatura:S. Lang, Algebra, Springer, 2002.T.W. Hungerford, Algebra, Springer, 1980.

1

Mentor: Drazen Adamovic

Slobodne grupe i prezentacije

Podrucje: Algebra

Prikladno za studij: svi smjerovi

Preduvjeti: Poeljno je predznanje iz kolegija Algebra

Opis: U diplomskom radu bi proucavali slobodne grupe, te grupe definiranepomocu prezentacija. Dokazali bi se osnovni strukturni rezultati o slobod-nim grupama. Ovisno o afinitetu i predznanju studenta, proucavale bi seprezentacije nekih zanimljivih konacnih i beskonacnih grupa.

Literatura:Joseph J. Rotman, Advanced Modern Algebra, Graduate Studies in Mathe-matics, v. 114, American Mathematical Society, 2010T.W. Hungerford, Algebra, Springer, 1980.

2

Mentor: Ljiljana Arambasic

C∗-algebre

Podrucje: Funkcionalna analiza

Prikladno za studij: Svi studiji

Preduvjeti: Polozeni kolegiji ”Normirani prostori” i ”Operatori na normi-ranim prostorima”.

Opis: C∗-algebra A je Banachova algebra na kojoj je zadano preslikavanjeinvolucija ∗ : A → A tako da za sve a ∈ A vrijedi ‖a∗a‖ = ‖a‖2. Najjednos-tavniji, ali i najvazniji, primjeri C∗-algebri vezani su za B(H), C∗-algebruogranicenih linearnih operatora na nekom Hilbertovom prostoru. Naglasakdiplomskog rada moze biti na upoznavanju strukture C∗-algebri, konstruk-ciji reprezentacija, ili na proucavanju posebnih klasa preslikavanja medu C∗-algebrama kao sto su pozitivna, potpuno pozitivna i potpuno ogranicenapreslikavanjima.

Literatura:W. Arveson, An invitation to C∗-algebras, Springer, 1998.,K.R. Davidson, C∗-algebras by example, AMS, 1996.J. Dixmier, C∗-algebras, North-Holland, Amsterdam, 1982.G.J. Murphy, C∗-algebras and operator theory, Academic Press, London,1990.V.I. Paulsen, Completely bounded maps and dilations, Pitman research notesin mathematics, 146, Longman, 1986.

3


Funkcionalne jednadzbe pridruzene nekim teoremima srednjevrijednosti

Podrucje: Matematicka analiza


Preduvjeti: Nema.

Opis: Funkcionalna jednadzba je jednadzba u kojoj je nepoznanica jednaili vise funkcija. U ovom diplomskom radu cilj je prouciti neke funkcionalnejednadzbe motivirane Lagrangeovim odnosno Pompeiuovim teoremom sred-nje vrijednosti.

Literatura:M. Kuczma, A survey of the theory of functional equations, Univ. Beograd.Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. Fiz., No. 130, Beograd 1964.S. Kurepa, Matematicka analiza 2, Skolska knjiga 1997, Zagreb.C. Rousseau, Rolle’s theorem: from a simple theorem to an extremely pow-erful tool, http://wikis.zum.de/dmuw/images/a/ad/Rolle−Khovanskii.pdfP. K. Sahoo, T. Riedel, Mean value theorems and functional equations, WorldScientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1998. xii+245 pp.

4


Fuzijski bazni okviri



Preduvjeti: Polozeni kolegiji ”Normirani prostori” i ”Operatori na normi-ranim prostorima”.

Opis: Neka je I konacan ili prebrojiv skup i vi ∈ R+, i ∈ I. Familijazatvorenih potprostora (Wi)i∈I separabilnog Hilbertovog prostora H je fuzi-jski bazni okvir za H s obzirom na tezine (vi) ako postoje konstante A,B > 0tako da za sve x ∈ H vrijedi A‖x‖2 ≤ ∑

i v2i ‖Pi(x)‖2 ≤ B‖x‖2, pri cemu je

Pi ortogonalni projektor na Wi. Ocito su fuzijski bazni okviri generalizacijabaznih okvira Hilbertovih prostora, a pokazuje se i da mnoga svojstva baznihokvira imaju svoje analogone u ovoj opcenitijoj formulaciji. Cilj diplomskograda je prouciti neka od tih svojstava.

Literatura:P.G. Casazza, The art of frame Theory, Taiwanese Journal of Math., Vol 4(2) (2000) 129-202.P. G. Casazza, G. Kutyniok, Frames of subspaces, Wavelets, frames and op-erator theory, Con-temp. Math., 345, Amer. Math. Soc., Providence, RI,(2004), 87–113.P.G. Casazza, J.C. Tremain, A brief introduction to Hilbert space frame the-ory and its applications.D. Han, K. Kornelson, D. Larson, E. Weber, Frames for undergraduates,Providence, AMS, 2007.

5


Neke generalizacije Lagrangeovog teorema srednje vrijednosti



Preduvjeti: Nema.

Opis: Lagrangeov teorem srednje vrijednosti je jedan od osnovnih teoremadiferencijalnog racuna. Cilj diplomskog rada je prouciti nekoliko general-izacija ovog teorema na funkcije f kojima su domena i/ili kodomena u R2.

Literatura:Lj. Arambasic, A. Valent, Neke primjene Rolleovog teorema i Lagrangeovogteorema srednje vrijednosti, Poucak, 2013.S. Kurepa, Matematicka analiza 2, Skolska knjiga 1997, Zagreb.C. Rousseau, Rolle’s theorem: from a simple theorem to an extremely pow-erful tool, http://wikis.zum.de/dmuw/images/a/ad/Rolle−Khovanskii.pdfN. Schaumberger, More Applications of the Mean Value Theorem, The Col-lege Mathematics Journal, Vol. 16, No. 5 (Nov., 1985), pp. 397–398.R. Smith, Rolle over Lagrange-Another Shot at the Mean Value Theorem,The College Mathematics Journal, Vol. 17, No. 5 (Nov., 1986), pp. 403–406.J. Tong, A Property Possessed by Every Differentiable Function, The CollegeMathematics Journal, Vol. 35, No. 3 (May, 2004), pp. 216–217.

6

Mentor: Damir Bakic

Bazni okviri s konacnim viskom elemenata

Podrucje: Analiza

Prikladno za studij: Svi studiji.

Opis: Niz vektora (fn) u Hilbertovom prostoru H se naziva bazni okvir za Hako postoje konstante A,B > 0 takve da vrijedi A‖x‖2 ≤ ∑∞

n=1 |〈x, fn〉|2 ≤B‖x‖2, ∀x ∈ H. Za svaki bazni okvir definira se pridruzeni operator analizeU : H → l2 formulom Ux = (〈x, fn〉)n. Visak elemenata baznog okvira (fn)se definira kao dimenzija jezgre operatora U∗.

U radu ce se najprije izloziti osnovna svojstva ovako uvedenog pojmaviska elemenata baznog okvira. U drugom dijelu ce opisati bazni okviri skonacnim viskom te njihova veza s Rieszovim bazama.

Literatura:O. Christensen, An introduction to frames and Riesz bases, Birkhauser, 2002.D. Bakic, Normirani prostori, skripta (dostupno u elektronickom izdanju).

7

Mentor: Damir Bakic

Ekvinormalni Parsevalovi bazni okviri

Podrucje: Vektorski prostori, Analiza


Opis: Konacna familija vektora a1, a2, . . . , am je bazni okvir n-dimenzionalnogunitarnog prostora X (tipicno, X = Rn ili X = Cn) ako postoje konstanteA,B > 0 takve da vrijedi A‖x‖2 ≤ ∑m

i=1 |〈x, ai〉|2 ≤ B‖x‖2, ∀x ∈ X.Kaze se da je bazni okvir Parsevalov ako je A = B = 1, tj. ako vrijedi‖x‖2 =

∑mi=1 |〈x, ai〉|2, ∀x ∈ X. Ako svi vektori ai, i = 1, 2, . . . , m, imaju

jednaku normu kazemo da je bazni okvir ekvinormalan.U radu ce se najprije izloziti osnovna svojstva baznih okvira i, posebno,

Parsevalovih baznih okvira. U drugom dijelu prikazat ce se svojstva i nekemetode konstrukcije ekvinormalnih baznih okvira.

Literatura:D. Han, K. Kornelson, D. Larson, E. Weber, Frames for undergraduates,AMS, 2007.P. Casazza, N. Leonhard, Classes of finite equal norm Parseval frames,Springer, Contemp. Math. 451 (2008) 11-31.

8

Mentor: Damir Bakic

Topoloske baze Banachovih prostora

Podrucje: Normirani prostori


Opis: U radu ce se najprije izloziti osnovne cinjenice o sumabilnim famili-jama vektora u normiranim i, posebno, Banachovim prostorima. Detaljno cese opisati bezuvjetna konvergencija redova. U drugom dijelu rada prikazat cese osnovni pojmovi i glavni rezultati povezani s konceptom baze normiranog,odnosno Banachovog prostora.

Literatura:C. Heil, A Basis Theory Primer, Georgia Institute of Technology, ManuscriptD. Bakic, Normirani prostori, skripta (dostupno u elektronickom izdanju)

9

Mentor: Mea Bombardelli

Feuerbachova tocka

Podrucje: geometrija

Prikladno za studij: svi studiji

Preduvjeti: osnovna znanja iz geometrije

Opis: Feuerbachova tocka trokuta je tocka u kojoj se dodiruju Feuerbachovakruznica i upisana kruznica tog trokuta. U ovom radu dokazat ce se nekeveze izmedu Feuerbachove tocke, Eulerovog pravca i Feuerbachove kruznice.

Literatura:B. Suceava, P. Yiu, The Feuerbach point and Euler lines, Forum Geometri-corum, 6 (2006)Y. Sortais, R. Sortais, La geometrie du triangle, Hermann, 1997.

10

Mentor: Mea Bombardelli

Teorija grafova i zadaci s natjecanja

Podrucje: kombinatorika, metodika

Prikladno za studij: nastavnicki studiji

Preduvjeti: osnovna znanja iz kombinatorike

Opis: U ovom radu odabrat ce se dijelovi teorije grafova koji bi se mogliobraditi s naprednijim srednjoskolcima.

Literatura:D. Veljan, Kombinatorika s teorijom grafova, Skolska knjiga, Zagreb, 1989.zadaci s drzavnih i medunarodnih natjecanja

11

Mentor: Nela Bosner

Funkcije matrica

Podrucje: Numericka linearna algebra; Numericka analiza; Matematickaanaliza;

Prikladno za studij: Primijenjena matematika; Matematicka statistika;Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: Pozeljno znanje iz kolegija Numericka analiza 1 i 2, ili Nu-mericke metode financijske matematike, ili Pratikum iz numerickih metodau statistici

Opis: Funkcije matrica se danas nasiroko primijenjuju u znanosti i tehnici.Tema ukljucuje teoriju matrica, numericku analizu, teoriju aproksimacija irazvoj algoritama. Ova radnja bi obuhvatila teoriju matricnih funkcija i nu-mericke metode za njihovo racunanje. Takoder bi se dao uvid u osjetljivostovog problema baziranu na Frechetovoj derivaciji. Za numericke algoritmedala bi se analiza tocnosti, stabilnosti i slozenosti. Posebno bi se obradileneke vazne funkcije poput: matricne funkcije predznaka, matricni kvadratnikorijen, matricna eksponencijalna funkcija, matricni logaritam, i sl.

Literatura:N. J. Higham, Functions of Matrices: Theory and Computation, Philadel-phia, SIAM., 2008.G. H. Golub and C. F. van Loan, Matrix Computations, Third Edition, M.D. Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996.R. A. Horn and C. R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge Uni-versity Press, 1991.

12

Mentor: Nela Bosner

Multigrid metoda za numericko rjesavanje Poissonove jednadzbe

Podrucje: Numericka linearna algebra; Parcijalne diferencijalne jednadzbe

Prikladno za studij: Primijenjena matematika; Matematicka statistika;Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: Pozeljno znanje iz kolegija Numericka analiza 1 i 2 ili Numerickemetode financijske matematike, te Parcijalnih diferencijalnih jednadzbi 1 i 2

Opis: Poissonova jednadzba opisuje razne fizikalne procese i glasi

−∆u(x, t) = f(x, t) na Ω

u(x, t) = 0, na ∂Ω

Standardna metoda za dobivanje aproksimacija rjesenja parcijalne diferen-cijalne jednadzbe, kao sto je Poissonova, je metoda konacnih diferencija. Utoj metodi se iz danog podrucja Ω izabire skup tocaka koji cini mrezu. Usvakoj tocci mreze derivacija se u diferencijalnoj jednadzbi zamijenjuje sakvocijentom koji se priblizava pravoj derivaciji kada mreza postaje sve finija.Ovim postupkom kojeg nazivamo diskretizacija, dobiva se sustav linearnihjednadzbi kod kojeg matrica sustava ima specijalni oblik. Ako zelimo finijuaproksimaciju mreza mora biti gusca, sto rezultira vecom dimenzijom matricesustava i njenom losom uvjetovanoscu. Kako bi se premostio ovaj problem,za rjesavanje sustava primijenjuje se multigrid metoda koja diferencijalnujednadzbu diskretizira na mrezama razlicitih gustoca. Prelazak sa mreze namrezu na elegantan nacin smanjuje gresku aproksimacije rjesenja sustava.Pozeljna bi bila i izrada MATLAB programa koji implementira multigridmetodu za Poissonovu jednadzbu.

Literatura:A. Greenbaum, Iterative Methods for Solving Linear Systems, SIAM, 1997.W. L. Briggs, V. E. Henson, S. F. McCormick, A Multigrid Tutorial, SecondEdition, SIAM, 2000.

13

Mentor: Nela Bosner

Tocnost i stabilnost numerickih algoritama

Podrucje: Numericka analiza; Znanstveno racunanje

Prikladno za studij: Primijenjena matematika; Racunarstvo i matematika

Preduvjeti: Pozeljno znanje iz kolegija Numericka analiza 1 i 2

Opis: Ova radnja bi trebala dati opis ponasanja raznih numerickih algori-tama u aritmetici konacne preciznosti. Tema obuhvaca algoritamske izvode,teoriju perturbacije i analizu gresaka zaokruzivanja. Teorija perturbacije imacentralnu ulogu jer otkriva osjetljivost problema koji se rjesava i daje ogradegresaka. U naslovu teme tocnost se odnosi na apsolutnu ili relativnu greskuaproksimacije y velicine y = f(x) koju zelimo izracunati, i to zelimo izrazitiza neke vazne algoritme. Dobivena aproksimacija je najcesce dobivena prim-jenom algoritma u aritmetici konacne preciznosti. S druge strane, mozemose pitati za koje ulazne parametre smo zaista egzaktno rjesili problem, tj. zakoje ∆x je y = f(x+∆x)? Vrijednost od |∆x| (ili |∆x|/|x|) naziva se povrat-nom greskom. Proces racunanja ograde na povratnu gresku nam je zanimljivjer greske zaokruzivanja interpretira kao perturbaciju ulaznih podataka, agresku u rezultatu mozemo dobiti iz teorije perturbacija. Za mnoge algoritmemozemo dobiti tek slabiji izraz za gresku y +∆y = f(x+∆x), sto u principuznaci da se izracunati y malo razlikuje od izraza y + ∆y, koji se dobiva izulaznih podataka x + ∆x, pri cemu se oni malo razlikuju od pravih ulaznihpodataka x. Takve algoritme nazivamo numericki stabilnim algoritmima, iova vrsta stabilnosti se odnosi na probleme u kojima su greske zaokruzivanjadominantni oblik greske. U radnji bi se razradila analiza povratnih gresaka istabilnosti, te teorija perturbacije za nekoliko vaznih algoritama iz numerickematematike.

Literatura:N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, Second Edi-tion, Philadelphia, SIAM., 2002.G. H. Golub and C. F. van Loan, Matrix Computations, Third Edition, M.D. Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996.

14

Mentor: Tina Bosner

Algoritmi ubacivanja cvorova splajnova

Podrucje: Numericka matematika

Prikladno za studij: Primjenjena matematika; Matematicka statistika;Racunarstvo i matematika

Preduvjeti: Numericka matematika, a pozeljni su i Numericka analiza 1 i2 ili Racunalna grafika

Opis: Polinomni splajnovi imaju veliku primjenu, ponajvise u kompjuter-skoj grafici i pri numerickom rjesavanju diferencijalnih jednadzbi s rubnimuvjetima. Zato je i bitno imati stabilne algoritme za racunanje njihovih vri-jednosti. Ideja ovog diplomskog rada je da se definiraju B-splajnovi, dajuneka njihova svojstva, te izvedu nekoliko algoritama baziranih na ubacivanjucvorova i to koristeci polarne forme.

Literatura:1. C. de Boor: B(asic)-Spline Basics,ftp://ftp.cs.wisc.edu/Approx/bsplbasic.ps

2. L. Ramshaw:Blossoms are polar forms, CAGD 6, 323–358 (1989)3. H. P. Seidel: A new multiaffine approach to B-splines, CAGD 6, 23–32(1989)4. Knot Insertion and Deletion Algorithms for B-Spline Curves and Surfaces,R. N. Goldman, T. Lyche, eds., Geometric Design Publications, SIAM (1993)

15

Mentor: Tina Bosner

Globalno konvergentne modifikacije Newtonove metode


Prikladno za studij: Primjenjena matematika; Matematicka statistika; Fi-nancijska i poslovna matematika

Preduvjeti: Numericka matematika, a pozeljni su i Numericka analiza 1 i 2

Opis: U primjeni se dosta cesto pojavljuje potreba za rjesavanjem bezu-vjtenih minimizacijiskih problema ili rjesavanjem sistema nelinearnih jed-nadzbi. Za oba problema koriste se skoro iste numericke metode, gdje je jednaod najpopulatnijih Newtonova metoda. Poznat je kao jedan od glavnih ne-dostataka Newtonove metode nepostojanje globalne konvergencije, pa je ciljovog diplomskog rada ponuditi nekoliko mogucih modifikacija Newtonovemetode kojima se taj problem rjesava.

Literatura:1. J. E. Dennis Jr., R. B. Schnabel: Numerical Methods for UnconstrainedOptimization and Nonlinear Equations, SIAM (1996), (Originally publishedby Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1983.)

16

Mentor: Tina Bosner

Osvjetljavanja i sjencanje u racunalnoj grafici

Podrucje: Racunarstvo i numericka matematika

Prikladno za studij: Racunarstvo i matematika; Primjenjena matematika

Preduvjeti: Racunalna grafika

Opis: Za stvaranje realne 3D slike nekog geometrijskog modela pomocuracunala, vrlo je bitno osvjetljavanje i sjencanje. Oni odreduju boju plohemodela, a uz definiranje izvora i vrste svjetlosti, te svojstava materijala mode-la, mogu ukljucivati i preslikavanje uzoraka, crtanje sjena, transparenstnostmaterijala, itd. Cilj ovog diplomskog rada je upoznavanje sa matematickimmodelima za rjesavanje gore navedenih problema i pisanje racunalnog pro-grama koji bi to ilustrirao.

Literatura:1. J. D. Foley, A. van Dam, S. K. Feiner, J. F. Hughes: Computer Graphics:Principles and Practice, Addison–Wesley (2005)

17

Mentor: Tina Bosner

Cebisevljevi sustavi i splajnovi


Prikladno za studij: Primjenjena matematika; Matematicka statistika

Preduvjeti: Numericka matematika, a pozeljni su i Numericka analiza 1 i 2

Opis: U primjeni postoji potreba i za drugim vrstama splajnova osim poli-nomnih. U svrhu generalizacije prostora polinoma, definiraju se Cebisevljevipotprostori. Cilj ovog diplomskog rada je istrazivanja svojstava Cebisevljevihsustava i potprostora, te definiranja splajnova, kao i predstavljanje nekolikokonkretnih primjera.

Literatura:1. L. L. Schumaker: Spline Functions: Basic Theory, New York, John Wiley& Sons (1981)

18

Mentor: Zvonko Cerin

Beskonacno-dimenzionalna topologija

Podrucje: Topologija

Prikladno za studij: Teorijska matematika

Preduvjeti: Pozeljno predznanje kolegija Metricki prostori i Uvod u topologiju

Opis: R. D. Anderson je u proslom stoljecu zapoceo s izgradnjom teorijekoja ima mnostvo vaznih i lijepih rezultata. Prvi je otkrio da beskonacno-dimenzionalni prostori poput Hilbertove kocke Q posjeduju iznenedujuce jed-nostavniju strukturu od konacno-dimenzionalnih kocki. Na primjer, Q je ho-mogen prostor. Dokazao je i homeomorfnost Hilbertovog prostora kvadratnosumabilnih nizova realnih brojeva s prebrojivim beskonacnom produktompravaca. Poslije je T. A. Chapman promatrao mnogostrukosti modeliranena Q i pokazao da su to zapravo produkti poliedara s Q.

Literatura:1. C. Bessaga, A. PeÃlczynski,Selected topics in infinite-dimensional topology,PWN, Warszawa 1975.2. T. A. Chapman,Lectures on Hilbert cube manifolds, CBMS 28, Providence1975.3. J. van Mill,Infinite-dimensional Topology, Prerequisites and Introduction,North-Holland, Amsterdam 1989.

19


Fibonaccijevi brojevi

Podrucje: Teorija brojeva


Preduvjeti: Pozeljno predznanje kolegija Elementarna teorija brojeva iliDiskretna Matematika

Opis: Jos u srednjem vijeku je Fibonacci uveo brojeve koji cine slijed 0,1,1,2,3,5,8,13,... koji se gradi tako da je svaki suma prethodna dva. Ti brojeviimaju mnoga lijepa svojstva i predmet su istrazivanja mnogih znanstvenikaa pojavljuju se u raznim dijelovima matematike i znanosti.

Literatura:1. R. A. Dunlap, The golden ratio and Fibonacci numbers, World Scientific,1997.2. Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann, The fabulous Fibonacci num-bers, Prometheus Books, 2007.3. Nicolai N. Vorobiev, Fibonacci numbers, Birkhuser, 2002.

20


Geometrija trokuta racunalom

Podrucje: Geometrija


Preduvjeti: Pozeljno predznanje kolegija Elementarna Matematika

Opis: Trokute su proucavali vec i stari Grci a danas kada mozemo koris-titi pomoc racunala istrazivanja trokuta dozivljava novi procvat. On se na-jbolje vidi na Web stranicama casopisa Forum Geometricorum. Veliku pomocpruzaju i novi programi kao Cabri ili Sketchpad za dinamicku geometriju.

Literatura:1. Clark Kimberling, Triangle centers and center triangles, Utilitas Mathe-matica, 1998.2. Abraham A. Ungar, Hyperbolic Triangle Centers: The Special RelativisticApproach, Springer 2010.

21


Teorija oblika

Podrucje: Topologija


Preduvjeti: Pozeljno predznanje kolegija Metricki prostori i Uvod u topologiju

Opis: K. Borsuk je u proslom stoljecu prosirio teoriju homotopije definiravsiteoriju oblika za kompaktne metricke prostore i zapoceo s izgradnjom teorijekoja ima mnostvo vaznih i lijepih rezultata. Uveo je klase pokretljivih isnazno pokretljivih kompakata koji imaju izvjesnu analogiju s apsolutnimokolinskim retraktima. Kasnije je T. Chapman povezao teoriju oblika sbeskonacno-dimenzionalnom topologijom.

Literatura:1. K. Borsuk,Theory of Shape, PWN, Warszawa 1975.2. S. Mardesic, J. Segal,Shape Theory - An inverse limit approach, North-Holland, Amsterdam 1982.

22

Mentor: Tomislav Doslic

Catalanovi brojevi i njihovi rastavi

Podrucje: Kombinatorika.


Preduvjeti: Nema

Opis: Catalanovi brojevi Cn javljaju se pri prebrojavanju stotina kombi-natornih struktura indeksiranih cjelobrojnim nenegativnim parametrom n.Tipican primjer su Dyckovi putovi na 2n koraka. Enumeracije se moguprofiniti uvodeci dodatni parametar k, sto rezultira prikazom Cn u oblikuzbroja po k koeficijenata Cn,k. U slucaju Dyckovih putova razlozenih pobroju vrhunaca, koeficijenti su Narayanini brojevi. Cilj rada bi bilo nalazenjekoeficijenata Cn,k za neke rastave toga tipa.

Literatura:D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika

23


Dominacijski polinomi lancastih grafova



Preduvjeti: Nema

Opis: Skup vrhova D grafa G je dominirajuci skup u grafu G ako svaki vrhod G koji nije u D ima barem jednog susjeda u D. Dominacijski polinomgrafa G je polinom ciji koeficijent uz xk je broj dominirajucih skupova u Gkardinalnosti k. U radu bi trebalo odrediti dominacijske polinome za razneklase lancastih grafova.


24


Igra sparivanja na konacnim podgrafovima pravilnih resetki

Podrucje: Teorija igara. Kombinatorika.


Preduvjeti: Nema

Opis: Promatraju se konacni podgrafovi pravilne resetke (“lattice animals”)na kojima dva igraca naizmjence biraju bridove tako da svi odabrani bridovicine sparivanje. Gubi igrac koji prvi ne moze dodati brid u sparivanje. Ciljrada bi bio odrediti koji je igrac pobjednik u ovisnosti o simetriji zadanoggrafa.


25


Logaritamsko ponasanje nizova zadanih linearnim rekurzijama



Preduvjeti: Nema

Opis: Niz s pozitivnim clanovima je log-konveksan ako je kvadrat svakognjegovog clana manji ili jednak od umnoska susjednih mu clanova. Ako jenejednakost obrnuta, niz je log-konkavan. U radu bi se trebalo proucavatilogaritamsko ponasanje nizova zadanih kratkim linearnim rekurzijama s kon-stantnim koeficijentima.


26

Mentor: Alan Filipin

Linearne forme u logaritmima i posljednji Fermatov teorem

Podrucje: Teorija brojeva.


Preduvjeti: Polozen kolegij Teorija brojeva ili Elementarna teorija brojeva.

Opis: U ovom diplmoskom radu obradit ce se primjena Bakerove teorije lin-earnih formi u logaritmima na rjesavanje posljednjeg Fermatovog teorema uposebnom slucaju. Takoder ce se dati i povijesni prikaz problema.

Literatura:H. Cohen, Number Theory. Volume I: Tools and Diophantine Equations,Springer-Verlag, Berlin, 2007.H. Cohen, Number Theory. Volume II: Analytic and Modern Tools, Springer-Verlag, Berlin, 2007.A. Baker, G. Wustholz, Logarithmic Forms and Diophantine Geometry, Cam-bridge University Press, Cambridge, 2008.

27


Linearne forme u logaritmima i binarno rekurzivni nizovi




Opis: U ovom diplomskom radu obradit ce se primjena Bakerove teorije lin-earnih formi u logaritmima na trazenje presjeka binarno rekurzivnih nizovate na jos neke slicne probleme.

Literatura:H. Cohen, Number Theory. Volume I: Tools and Diophantine Equations,Springer-Verlag, Berlin, 2007.H. Cohen, Number Theory. Volume II: Analytic and Modern Tools, Springer-Verlag, Berlin, 2007.A. Baker, G. Wustholz, Logarithmic Forms and Diophantine Geometry, Cam-bridge University Press, Cambridge, 2008.

28


Metode rjesavanja Pellove jednadzbe




Opis: U ovom diplomskom radu obradit ce se osnovni rezultati o Diofantskojjednadzbi oblika x2 − dy2 = 1 te njenim poopcenjima. Naglasak ce biti napovijesnom prikazu raznih metoda koristenih u njenom rjesavanju.

Literatura:M.J. Jacobson, H.C. Williams, Solving the Pell Equation, Springer, 2009.E.J. Barbeau, Pell’s Equation, Springer-Verlag, 2003.T. Nagell, Introduction to Number Theory, Chelsea, 1981.

29

Mentor: Zrinka Franusic

Pellova jednadzba u kriptografiji javnog kljuca

Podrucje: Teorija brojeva, Kriptografija

Prikladno za studij: Svi nastavnicki studiji, Primjenjena matematika,Teorijska matematika, Racunarstvo i matematika

Preduvjeti: Polozen jedan od kolegija: Teorija brojeva, Elementarna teorijabrojeva, Kriptografija

Opis: Kriptosustavi javnog kljuca baziraju se na tzv. jednosmjernim funkci-jama koje se racunaju lako no kojima se inverz tesko racuna bez poznavanjaskrivenog podatka (tzv. trapdoor). Rezultati iz razlicitih podrucja matem-atike pokusavaju se implementirati u kreiranje i razvoj kritosustava. Mnogisu zasnovani na rezultatima iz algebarske teorije brojeva. U radu ce se opisatidva kriptosustava koja se baziraju na svojstvima Pellovih jednadzbi.

Literatura:E. J. Barbeau, Pell’s Equation, Springer, 2003.A. Dujella, M. Maretic: Kriptografija, Element, Zagreb, 2007.M. J. Jacobson, Jr., H. C. Williams, Solving the Pell Equation, Springer,2009.

30

Mentor: Boris Guljas

Nuklearni operatori

Podrucje: Funkcionalna analiza, Teorija operatora

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika,Matematicka statistika, Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: Pozeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatorina normiranim prostorima, Metricki prostori

Opis: Nuklearni operatori ili operatori s tragom su podskup skupa kom-paktnih operatora na Hilbertovom prostoru X. Svaki kompaktan operatorA : H → H ima prikaz oblika

Ax =∞∑

n=1

λn(x|un)en,∀x ∈ H,

gdje su (un)n i (en)n ortogonalni nizovi vektora, ∀n ∈ N, λn ≥ 0 i λn → 0.Operator je nuklearan ako vrijedi

∑∞n=1 λn < ∞

U bilo kojoj ortonormiranoj bazi moguce je definirati (konacan) trag op-eratora kao trag pripadne (beskonacne) matrice i on je neovisan o izborubaze. Na skupu svih nuklearnih operatora definira se norma tako da je onzatvarac u toj normi skupa svih operatora konacnog ranga.

Cilj rada je prouciti svojstva navedenih operatora, struktura koje onitvore i obraditi neke njihove primjene.

Literatura:Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, Skolskaknjiga, 1981,Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Op-erators, American Mathematical Society, 1969,Simon B., Trace ideals and their applications, Second Edition, Amer. Math.Soc., 2005,Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory,Self Adjoint Operators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963.

31


Spektralni teorem za ogranicene normalne operatore




Opis: Spektralni teoremi predstavljaju poopcenja rezultata iz konacno di-menzionalnih vektorskih prostora koji se odnose na dijagonalizaciju odgo-varajucih klasa operatora u ortonormiranim bazama. U sucaju beskonacnodimenzionalnih Hilbertovih prostora radi se o egzistenciji tzv. dekompozicijejedinice ili spektralne funkcije za operator A, tj. familije ortogonalnig pro-jektora Eλ; λ ∈ K, gdje je K = R u slucaju hermitskih operatora i K = Cu slucaju normalnih operatora. Tada je moguc prikaz operatora u obliku

A =

∫

KλdEλ.

Cilj rada je dokazati spektralni teorem za ogranicene normalne operatore iopisati neke njegove primjene. Literatura:Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, Skolskaknjiga, 1981,Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Op-erators, American Mathematical Society, 1969,Kato T., Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, 1966Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory,Self Adjoint Operators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963,Rudin Walter, Functional analysisn, McGraw-Hill Book Company, 1973.

32


Zatvoreni operatori




Opis: Linearan operator A : D(A) → Y , D(A) ⊆ X, je zatvoren operatorako je njegov graf Γ(A) = (x,Ax)|x ∈ X ⊆ X × Y zatvoren potprostoru X × Y , gdje su X,Y Banachovi prostori. Zatvorni operatori predstavl-jaju prirodnu generalizaciju ogranicenih linearnih operatora na beskonacno-dimenzionalnim Banachovim prostorima. Zbog teorema o zatvorenom grafu,ako je operator A neogranicen onda je nuzno D(A) 6= X.

Cilj rada je prouciti koje teoreme iz teorije ogranicenih linearnih opera-tora je moguce prosiriti na zatvorene operatore.

Literatura:Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, Skolskaknjiga, 1981,Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Op-erators, American Mathematical Society, 1969,Kato T., Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, 1966Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory,Self Adjoint Operators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963.

33

Mentor: Marcela Hanzer

Lokalna polja i prsten adela

Podrucje: Algebarska teorija brojeva


Preduvjeti: Polozeni kolegij Algebarske strukture; pozeljno je da je polozeni kolegij Algebra

Opis: Upotpunjenja polja Q, i opcenitije, upotpunjenja konacnih prosrenjapolja Q obzirom na nearhimedsku metriku (tzv. p-adski brojevi) su od ve-likog interesa ne samo za algebarsku teoriju brojeva, vec i za teoriju reprezen-tacija, automorfnih formi i mnoga druga podrucja suvremene matematike.U klasicnoj teoriji brojeva, polje algebarskih brojeva (konacno algebarskoprosrenje polja Q) se ulaze u produkt svojih arhimedskih upotpunjenja, tj.u Euklidov prostor. Meutim, jos od radova Chevalleya i Weila, postalo jejasno da je za mnostvo primjena mnogo prirodnije gledati sva upotpunjenjaodjednom, i na takvom objektu promatrati neku prirodnu topologiju. Takosu formirani prsten adela i ideli. esto se informacije o Q (odnosno njegovimkonacnim prosrenjima) iscitavaju iz informacija dobijenih iz adelicke slike.Cilj diplomskog rada bi bilo davanje osnovnih strukturnih cinjenica i teo-rema o p–adskim poljima (prsteni s diskretnom valuacijiom, Dedekindovedomene), a s druge strane uocavanje da su takva p–adska polja, zajedno sR iC jedina nediskretna lokalno kompaktna polja, sto omogucava primjenuklasicne harmonijske analize. Takoer, trebala bi se dati definicija adela i idelai prouciti njihova osnovna svojstva.

Literatura:Lang, Algebraic number theory, Springer 1994.Weil, Basic number theory, Springer 1995.Cassels, Frohlich, Algebraic number theory, Academic Press Inc, 1986.Serre, A course in Arithmetic, Springer 1973.

34


Od kongruencijskih brojeva do eliptickih krivulja

Podrucje: Algebra, teorija brojeva, kompleksna analiza

Prikladno za studij: Teorijska, Primjenjena matematika

Preduvjeti: polozen kolegij Algebarske strukture; pozeljno je da polozen ikolegij Algebra

Opis: U radu bi se klasicni problem odreivanja je li neki prirodni broj nkongruencijski ili ne, povezao s teorijom eliptickih krivulja. Definirale bise elipticke krivulje, dvostruko periodicke funkcije, Weierstrassova forma, tepromatralo zbrajanje na eliptickoj krivulji. Proucavale bi se tocke konacnogreda, te na koncu tocke nad konacnim poljima i time dala veza s originalnimproblem kongruencijskih brojeva.

Literatura:Koblitz, Introduction to elliptic curves and modular forms, Springer, 1984.

35


Teorija reprezentacija konacnih grupa; Artinov teorem

Podrucje: Teorija reprezentacija


Preduvjeti: polozen kolegij Algebarske strukture

Opis: Reprezentacije konacnih grupa su vrlo znacajne za primjene u fiziciili kvantnoj kemiji, a u matematici su, zajedno s klasicnom harmonijskomanalizom, ishodisna tocka u razvoju teorije reprezentacija i drugih klasagrupa, npr. algebarskih. U radu bi se trebao dati osvrt na osnove teorijereprezentacija konacnih grupa, teoriju karaktera i osnovne koncepte (sume,tenzorski produkti, induciranje) uz analizu nekoliko primjera konkretnih grupa.U radu bi se trebali dokazati Artinov i Brauerov teorem, koji imaju znacajnuulogu u primjeni teorije reprezentacija, npr. u proucavanju L-funkcija.

Literatura:Serre, Linear representations of finite groups, Springer 1977.Curtis, Reiner, Representation theory of finite groups and associative alge-bras, Wiley, 1962.

36


Uvod u teoriju valuacija

Podrucje: Algebra

Prikladno za studij: Teorijska, Primjenjena matematika

Preduvjeti: polozen kolegij Algebarske strukture; pozeljno je da polozen ikolegij Algebra

Opis: U radu bi se trebao uvod u teoriju valuacija, pocevs od definicija,valuacijskih grupa, rezidualnih polja, upotpunjenja i slicno. Nakon toga bise proucavala prosrenja polja s valuacijom i grupe grananja. U ovisnosti oafinitetu diplomanta, uvela bi se i Dedekindova polja.

Literatura:McCarthy, Algebraic extensions of fields, Dover, 1991.Weil, Basic number theory, Springer 1995.

37

Mentor: Vjeran Hari

Ispitivanje brzine i tocnosti Jacobijevih metoda za simetricnepozitivno definitne matrice malog reda

Podrucje: Linearna algebra, teorija matrica


Preduvjeti: Polozen kolegij Vektorski prostori

Opis: Rad bi sadrzavao teorijski i eksperimentalni dio. U teorijskom di-jelu opisala bi se Jacobijeva dvostrana i jednostrana metoda za simetricnepozitivno definitne matrice. Naveli bi se osnovni rezultati o globalnoj iasimptotickoj konvergenciji kao i o visokoj relativnoj tocnosti tih metoda.U eksperimentalnom dijelu bi se pokusala naci optimalna metoda za dijago-nalizaciju simetricnih pozitivno definitnih matrica malog reda, npr. prvo doreda 16, zatim do reda 32, pa do reda 64 i onda do reda 128. Najme, takveoptimalne metode za metrice malog reda se koriste u tzv. blok Jacobijevimmetodama za metrice velikog reda. Programiralo bi se u Fortranu i koristilebi se BLAS rutine.

Literatura:Demmel J.W., Veselic K., Jacobi’s method is more accurate than QR. SIAMJ. Mat. Anal. Appl. 13, 1204–1245 (1992)

Hari Vjeran, Convergence to Diagonal Form of Block Jacobi-type Methods.Submitted for publ. in Num. Mathematik.

38

Mentor: Vjeran Hari

Jacobijevi operatori i primjene




Opis: Rad bi bio baziran na dolje spomenutim clancima. Jacobijevi anihila-tori i operatori su alat za dokazivanje globalne konvergencije dijagonalizaci-jskih metoda. U clancima se oni modificiraju kako bi posluzili da dokazivanjekonvergencije blok Jacobijevih metoda. Blok metode su generalizacije pos-tojecih (standardnih) metoda, a dizajnirane su tako da se poveca njihovaefikasnost tj. brzina. Clanci se mogu naci na mojoj web stranici.

Literatura:Hari Vjeran, On Block Jacobi Annihilators. Proceedings of ALGORITMY2009. Slovak University of Technology in Bratislava, Publishing House ofSTU, 2009. 429-439.

Hari Vjeran, Convergence to Diagonal Form of Block Jacobi-type Methods.Submitted for publ. in Num. Mathematik.

39

Mentor: Vjeran Hari

Koristenje aritmetike varijabilne tocnosti kao alata za ispitivanjevisoke relativne tocnosti dijagonalizacijskih metoda




Opis: U Matlabu je implementirana aritmetika varijabilne tocnosti vpa (vari-able precision arithmetic) , koja je mnogo sporija od uobicajene aritmetike,ali moze raditi sa bilo kojom tocnoscu racunanja, npr. sa 80 ili 200 decimal-nih znamenka. Cilj rada je prouciti taj alat i primijeniti ga na ispitivanjutocnosti nekih standardnih i nekih novih metoda metoda za racunanje vlasti-tih i singularnih vrijednosti matrica.

Literatura:Demmel J.W., Veselic K., Jacobi’s method is more accurate than QR. SIAMJ. Mat. Anal. Appl. 13, 1204–1245 (1992)

W.R. Wilcox, MATLAB Symbolic Mathematics Tutorial, Clarkson Univer-sity, Potsdam, NY, USA

Cleve Moler, Numerical Computing with MATLAB(ebook, www.mathworks.com/moler/chapters.html)

40

Mentor: Vjeran Hari

Novi perturbacijski rezultati za Hermitske matrice




Opis: Rad bi bio baziran na novom clanku o ostrim perturbacijskim ocje-nama za Hermitske matrice. Neka su

A = 3D

[H1 E∗

E H2

]= i A = 3D

[H1 00 H2 =

]

hermitske matrice cije su svojstvene vrijednosti λ1 ≥ . . . ≥ λk i λ1 ≥ . . . ≥ λk,respektivno. Oznacimo s ‖E‖ spektralnu normu matrice E i s η minimalnuudaljenost izmedu spektara matrica H1 i H2. Pokazujemo da vrijedi

|λi − λi| ≤ 2‖E‖2

η +√

η2 + 4‖E‖2,

sto je bolja ocjena od svih postojecih rezultata. Slicne ocjene dobivamo zasingularne vrijednosti matrica pod utjecajem perturbacija blokova. Tvrdnjebi se provjerile pomocu Matlaba.

Literatura:C.-K. Li and R.-C. Li, A note on eigenvalues of perturbed Hermitian matri-ces. Linear Algebra and its Applications, 395 (2005) 183-190

B. N. Parlett, The Symmetric Eigenvalue Problem. SIAM, Philadelphia,1998 (This SIAM edition is an unabridged, corrected reproduction of thework published by Prentice-Hall, Inc., Englewood Clifs, NJ, 1980.)

41

Mentor: Dijana Ilisevic

Hahn-Banachov teorem


Prikladno za studij: Teorijska matematika; Primijenjena matematika;Matematicka statistika

Preduvjeti: Kolegiji ”Normirani prostori” i ”Operatori na normiranim pros-torima”

Opis: Hahn-Banachov teorem predstavlja jedan od temelja funkcionalneanalize. Njegova klasicna verzija se odnosi na prosirenje linearnih funkcionala.Zadatak ovog diplomskog rada je predstaviti nekoliko formulacija Hahn-Banachovog teorema i pristupa njegovom dokazu.

Literatura:S. K. Berberian, Lectures in functional analysis and operator theory, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1974.S. Kurepa, Funkcionalna analiza, Skolska knjiga, Zagreb, 1990.

42


Jordanovi homomorfizmi i derivacije

Podrucje: Teorija prstena

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Matematika - smjer nastavnicki,Matematika i informatika - smjer nastavnicki

Preduvjeti: Kolegiji ”Algebra 1 i 2” ili ”Algebarske strukture”.

Opis: Aditivno preslikavanje f s prstena R u prsten R′ se naziva homo-morfizam ako je f(ab) = f(a)f(b) za sve a, b ∈ R, antihomomorfizam akoje f(ab) = f(b)f(a) za sve a, b ∈ R, a Jordanov homomorfizam ako jef(a2) = f(a)2 za sve a ∈ R. Aditivno preslikavanje f : R → R se nazivaderivacija ako je f(ab) = f(a)b+af(b) za sve a, b ∈ R, a Jordanova derivacijaako je f(a2) = f(a)2 za sve a ∈ R. Ocigledno je svaki (anti)homomorfizamujedno i Jordanov homomorfizam, a svaka derivacija ujedno i Jordanovaderivacija. Obrati ovih tvrdnji su u zadnjih pedesetak godina bili pred-metom proucavanja mnogih matematicara i opcenito ne vrijede. Zadatakovog diplomskog rada je opisati strukturu Jordanovih homomorfizama i Jor-danovih derivacija u nekim posebnim slucajevima.

Literatura:P. Ara, M. Mathieu, Local multipliers of C*-algebras, Springer-Verlag, Lon-don, 2003.M. Bresar, Jordan mappings of semiprime rings, J. Algebra 127 (1989), 218–228.I. N. Herstein, Topics in ring theory, Univ. of Chicago, Chicago, 1969.T. W. Palmer, Banach algebras and the general theory of ∗-algebras, Cam-bridge University Press, Cambridge, 1994.

43


Konvergencija niza operatora

Podrucje: Teorija operatora


Preduvjeti: Kolegiji ”Normirani prostori” i ”Operatori na normiranim pros-torima”

Opis: Neka su X i Y normirani prostori nad istim poljem. Niz (An) opera-tora iz L(X, Y ) konvergira operatoru A0 ∈ L(X, Y ):

(a) uniformno ako ‖An − A0‖ → 0,

(b) jako ako |Anx− A0x| → 0 za svaki x ∈ X,

(c) slabo ako y∗(Anx) → y∗(A0x) za svaki x ∈ X i svaki y∗ ∈ Y ∗.

Zadatak ovog diplomskog rada je prouciti uniformnu, jaku i slabu konver-genciju niza operatora.

Literatura:T. Kato, Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1966.,S. Kurepa, Funkcionalna analiza, Skolska knjiga, Zagreb, 1990.

44


Nekomutativno prosirenje Banach-Stoneovog teorema



Preduvjeti: Kolegiji ”Normirani prostori” i ”Operatori na normiranim pros-torima”; poznavanje C*-algebri

Opis: Kadison je 1951. poopcio klasicni Banach-Stoneov teorem o izometri-jama sa C(X) na C(Y ) (neprekidne funkcije na kompaktu X odnosno Y ) nanekomutativan slucaj C*-algebri. Dalje je taj teorem poopcen na JB*-algebre(Wright and Youngson, 1978.) i JB*-trojke (Kaup, 1983.), dakle na neasoci-jativne strukture koje ukljucuju i C*-algebre. Zadatak ovog diplomskog radaje prikazati jedinstven pristup karakterizacijama izometrija na navedenimstrukturama.

Literatura:T. Dang, Y. Friedman, B. Russo, Affine geometric proofs of the Banach Stonetheorems of Kadison and Kaup, Rocky Mountain J. Math. 20 (1990), 409–428.R. J. Fleming, J. E. Jamison, Isometries on Banach spaces: function spaces,Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2003.

45

Mentor: Mladen Jurak

Teoremi ulaganja Soboljevljevih prostora i primjene

Podrucje: Funkcionalna analiza, Parcijalne diferencijalne jednadzbe

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Teorijska matematika

Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadzbe, Integral i mjera

Opis: Cilj radnje je dokazati teoreme ulaganja Soboljevljevih prostora u Lp

prostore i demonstrirati primjene tih teorema u teoriji egzistencije rjesenjaparcijalnih diferencijalnih jednadzbi. Potrebno je dokazati teoreme o kom-paktnosti ulaganja te iskoristiti tu kompaktnost u primjeni Schauderovogteorema o fiksnoj tocki na nelinearne elipticke rubne zadace.

Literatura:1. Robert A. Adams, John J. F. Fournier: Sobolev Space, Elsevier, 2003.2. Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations, AMS, 2010.

46

Mentor: Matija Kazalicki

Elipticke krivulje i Mordellov teorem

Podrucje: Aritmeticka geometrija


Preduvjeti:

Opis: Cilj ovog diplomskog je definirati osnovne pojmove vezane uz eliptickekrivulje i dokazati Mordellov teorem o konacnoj generiranosti grupe racional-nih tocaka.

Literatura:J.H. Silverman, J. Tate Rational points of elliptic curves, UndergraduateTexts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1992.

47


Modularne forme i prikaz prirodnog broja kao sume kvadrata

Podrucje: Teorija brojeva i kompleksna analiza


Preduvjeti:

Opis: Lagrange je dokazao da se svaki prirodan broj moze prikazati kao sumacetiri kvadrata. Cilj ovog diplomskog je koristeci modularne forme odreditibroj razlicitih prikaza.

Literatura:F. Diamond, J. Shurman A first course in modular forms, Graduate Textsin Mathematics, 228, Springer-Verlag, New York, 2005.

48


Problem broja klasa

Podrucje: Algebarska teorija brojeva i modularne funkcije


Preduvjeti:

Opis: Problem broja klasa je slavan problem koji je postavio Gauss. Trebaodrediti sva kvadratno imaginarna polja s brojem klasa 1. Problem je rijesioHeegner (1952), ali njegov dokaz nije bio prihvacen sve do 1969 (nazalostHeegner to nije dozivio). Cilj ovog diplomskog je izloziti Heegnerov dokazkoji koristi modularne funkcije i teoriju kompleksnog mnozenja.

Literatura:D.A. Cox, Primes of the form x2 + ny2, A Wiley-Interscience Publication.John Wiley & Sons, Inc., New York, 1989.

49


Spernerova lema i primjene

Podrucje: Kombinatorika


Preduvjeti: Polozen kolegij Diskretna matematika.

Opis: U ovom diplomskom obradit ce se dvije primjene Spernerove leme:Monskyjev teorem (kvadrat se ne moze podijeliti na neparan broj trokutajednake povrsine) i problem odredivanja stanarine (rental harmony theo-rem).

Literatura:P. Monsky, On Dividing a Square into Triangles, The American Mathemat-ical Monthly 77 (2), 1970.F.E. Su, Rental Harmony: Sperner’s Lemma in Fair Division, Amer. Math.Monthly 106 (10), 1999.

50

Mentor: Vedran Krcadinac

Kleinova kvadrika

Podrucje: Projektivna geometrija.


Preduvjeti: Polozen kolegij Projektivna geometrija.

Opis: Kleinova kvadrika je nedegenerirana hiperbolicka kvadrika u 5-dimen-zionalnom projektivnom prostoru. U ovom diplomskom radu uvest ce sePluckerove koordinate, uspostaviti izomorfizam izmedu Kleinove kvadrike i3-dimenzionalnog projektivnog prostora i dokazati jos neka svojstva Kleinovekvadrike.

Literatura:1. A. Beutelspacher, U. Rosenbaum, Projective geometry: From foundationsto applications, Cambridge University Press, 1998.

51


Osnovni teorem algebre

Podrucje: Algebra, analiza.


Preduvjeti:

Opis: Nakon kratkog povijesnog uvoda cilj je dati nekoliko dokaza osnovnogteorema algebre. Obradit ce se dokazi koji se oslanjaju na apstraktnu alge-bru, kompleksnu analizu i topologiju.

Literatura:1. J.J. O’Connor, E.F. Robertson, The fundamental theorem of algebra, 1996.http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Fund theorem of algebra.html

2. B. Fine, G. Rosenberger, The fundamental theorem of algebra, Springer-Verlag, 1997.

52


Reprezentacijski teoremi za projektivne i afine prostore

Podrucje: Projektivna geometrija.


Preduvjeti: Polozen kolegij Projektivna geometrija.

Opis: Cilj ovog diplomskog rada je dokazati da se svaki projektivni prostordimenzije vece od 2 moze konstruirati od vektorskog prostora nad tijelom.Osim toga dokazat ce se reprezentacijski teorem za kolineacije takvih projek-tivnih prostora.

Literatura:1. A. Beutelspacher, U. Rosenbaum, Projective geometry: From foundationsto applications, Cambridge University Press, 1998.

53

Mentor: Miljenko Marusic

Diferencijske sheme na Shishkinovoj mrezi

Podrucje: numericka matematika

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Racunarstvo i matematika

Opis: U diplomskom radu treba prikazati i usporediti nekoliko diferencijskihshema koje se primjenjuju za numericko rjesavanje singularno perturbiranogrubnog problema za ODJ. Singularno perturbirani problem je rubni problemza diferencijalnu jednadzbu oblika εy′′ + by′ + cy = f , gdje je ε jako malirealni broj. Jer su klasicne metode neprikladne za ovaj problem, jedan odpristupa za dobivanje dobre aproksimacije primjena klasicnih diferencijskihshema na prilagodenoj mrezi. Jedna od takvih mreza je Shishkinova mreza.

Literatura:J. J. H.Miller, E.O’Riordan, G. I. Shishkin, Fitted Numerical Meth-ods for Singular Perturbation Problems, World Scientific, Singapore, 1996.

54


Eksponencijalne Runha-Kuttine metode



Opis: Tema rada je primjena klase metoda za rjesavanje krutih sustavadiferencijalnih jednadzbi. Za razliku od klasicnih Runge-Kuttinih metoda,ovdje se trazi da metoda bude egzaktna na test primjeru y′ = −λy gdje jeλ veliki pozitivni realni broj. Treba prikazati teorijsku podlogu metoda teimplementirati nekoliko metoda i testirati ih na konkretnim problemima.

Literatura:M. Hochbruck, A. Ostermann, Exponential integrators, Acta numerica (2010)209–286.

55


Eksponencijalno prilagodene diferencijske sheme



Opis: U diplomskom radu treba prikazati i usporediti nekoliko diferencijskihshema koje se primjenjuju za numericko rjesavanje singularno perturbiranogrubnog problema za ODJ. Singularno perturbirani problem je rubni problemza diferencijalnu jednadzbu oblika εy′′ + by′ + cy = f , gdje je ε jako mali re-alni broj. Konvergentne diferencijske sheme (na uniformnoj mrezi) mogu sedobiti prikladnim izborom funkcija baze. U ovom slucaju se radi o upotrebieksponencijalne funkcije.

Literatura:J. J. H.Miller, E.O’Riordan, G. I. Shishkin, Fitted Numerical Meth-ods for Singular Perturbation Problems, World Scientific, Singapore, 1996.

56


Matematicki modeli rasta tumora

Podrucje: primijenjena matematika


Opis: Cilj diplomskog rada je prikazati nekoliko modela tumora i usporeditiih na eksperimentalnim podacima. Izbor modela obavio bi se u dogovoru smentorom.

Literatura:T.Roose, S. J. Chapman, P.K.Maini, Mathematical Models of Avascu-lar Tumor Growth, SIAM Review, 49 (2007) 179–208

57

Mentor: Eduard Marusic-Paloka

Idealni nestlacivi fluid.

Podrucje: Primijenjena matematika

Prikladno za studij: svima

Preduvjeti: Matematicka analiza 3 i 4 ili Dir 2 i Primijenjena matematickaanaliza

Opis: Osnovni pojmovi. Eulerove jednadzbe. Potencijalni bezvrtlozni tok..Teorem Kutta-Zukovskog. D’alambertov paradox.

Literatura:C.Malchioro, M.Pulvirenti, Mathematical theory of incompressible nonvis-cous fluids, Springer, 1994. A.J.Chorin, J.E.Marsden, A methematical intro-duction to fluid mechanics, Springer, 2000.

58


Matematicko modeliranje puhackih instrumenata.

Podrucje: Primijenjena matematika


Preduvjeti: Matematicka analiza 1 i 2 ili Dir 1

Opis: Izvod jednostavnih matematickih modela za puhacke instrumente ianaliza dobivenih diferencijalnih jednadzbi.

Literatura:Literatura: N.H.Fletcher, T.D.Rossing, The physics of musical instruments,Springer, 1998.

59


Primjeri egzaktnih rjesenja Navier-Stokesovih jednadzbi.

Podrucje: Primijenjena metametika


Preduvjeti: Matematicka analiza 3 ili Dir 2 i Primijenjene metematickaanaliza

Opis: Navier-Stokesov sustav opisuje gibanje viskoznog fluida i rijetko sekada moze analiticki rijesiti. Cilji ovog rada je dati pregled nekoliko klasicnihprimjera kod kojih nam je poznato egzaktno rjesenje.

Literatura:P.Drazin, N.Riley, The Navier-Stokes equations. A classification of flows andexact solutions, London mathematical society lecture notes series No 334,Cambridge university press, 2006.

60

Mentor: Ante Mimica

Poissonovi tockovni procesi

Podrucje: Slucajni procesi


Preduvjeti: Vjerojatnost, Mjera i integral, Slucajni procesi, Teorija vjero-jatnosti 1 i 2.

Opis: Poissonov tockovni proces predstavlja model za prebrojivo mnogoslucajno rasporedenih tocki u nekom prostoru. Ideja ovog diplomskog radaje uvesti pojam Poissonovog tockovnog procesa i prouciti neka njegova svo-jstva.

Literatura:J. F. C. Kingman, Poisson Processes, Oxford University Press, 1993S. Resnick, Adventures in Stochastic Processes, Birkhauser, Boston, 2002

61

Mentor: Goran Muic

Snopovi modula na afinim shemama

Podrucje: Algebarska geometrija; Algebra


Preduvjeti: Algebra

Opis: Sheme su prirodne generalizacije klasicnih projektivnih monogostrukosti.Uvedene su u matematiku sredinom 20. stoljeca i od tada su standardnijezik moderne algebarske geometrije. Diplomski rad bi trebao razviti teorijusnopova modula na afinim shemama.

Literatura:Shafarevich, Basic Algebraic Geometry II: Schemes and Complex Manifolds,Springer-Verlag, 1994.

62

Mentor: Filip Najman

Birch-Swinnerton–Dyerova slutnja



Preduvjeti: Polozen ili kolegij Algebarske krivulje ili Elipticke krivulje ukriptografiji

Opis: Birch-Swinnerton–Dyerova slutnja je jedan od otvorenih milenijskihproblema, te povezuje rang elipticke krivulje nad poljem algebarskih brojevasa redom nultocke njene L-funkcije u tocki 1. U ovom diplomskom radu uvestce se svi pojmovi nuzni za precizno iskazivanje slutnje, te ce se dati pregleddokazanih slucajeva ove slutnje.

Literatura:D. Hussemoller, Elliptic Curves, Springer, 2007.J. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer, 2009.

63


Kummerova teorija


Prikladno za studij: svi studiji.

Preduvjeti: Polozeni kolegiji Algebarska teorija brojeva 1 i Algebarska teorijabrojeva 2

Opis: Kummerova teorija opisuje prosirenja dobivena dodavanjem n-tih ko-rijena nekom polju algebarskih brojeva koje sadrzi n-te korijene iz jedinice. Uovom diplosmkom radu ce se iskazati i dokazati osnovni teorem Kummeroveteorije, te njegove primjene i generalizacije.

Literatura:H. Cohen, Number Theory, Volume I: Tools and Diophantine Equations,Springer, 2007.J. W. Cassels i A. Frohlich, Algebraic number theory, Springer, 1997.

64


Lokalno-globalni princip



Preduvjeti: Polozen kolegij Algebarske strukture

Opis: Ako polinmijalna jednadzba ima rjesenje u racionalnim brojevima,tada ima realno i p-adsko rjesenje za svaki prost p - globalno rjesenje dajelokana rjesenja svugdje. Lokalno-globalni ili Hasseov princip je pitanje zakakve polinomijalne jednadzbe vrijedi obrat ove tvrdnje. U ovom diplom-skom radu proucit ce se najpoznatiji rezultati o lokalno-globalno principu,te dokazati teorem Hasse-Minkowskog, koji kaze da lokalno-globalni principvrijedi za sve kvadratne forme.

Literatura:H. Cohen, Number Theory, Volume I: Tools and Diophantine Equations,Springer, 2007.J. P. Serre, A course in Arithmetic, Springer, 1973.

65


Riemann-Rochov teorem i primjene

Podrucje: Algebarska geometrija

Prikladno za studij: Teorijska matematika.

Preduvjeti: Polozen kolegij Uvod u algebarsku geometriju

Opis: Riemann-Rochov teorem za krivulje je jedan od osnovnih alata za radsa krivuljama i divizorima na krivuljama. U ovom diplomskom radu ce seiskazati i dokazati Riemann-Rochov teorem, te ce biti prikazane neke nje-gove primjene, kao sto su Riemann-Hurwitzova formula i Cliffordov teoremo specijalnim divizorima.

Literatura:I. R. Shafarvich, Basic algebraic geometry 1: Varieties in projective space,Springer, 1995.R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1997.

66

Mentor: Ivica Nakic

Diferencijalne jednadzbe s kasnjenjem

Podrucje: Diferencijalne jednadzbe


Preduvjeti: Obicne diferencijalne jednadzbe

Opis: Diferencijalne jednadzbe s kasnjenjem se cesto javljaju pri modeliranjuprocesa u biologiji, ekonomiji, mehanici itd.

U diplomskom radu student bi izlozio osnovne rezultate o diferencijalnimjednadzbama s kasnjenjem te bi prikazane rezultate primjenio na neke jed-nadzbe koje se javljaju u biologiji.

Literatura:H. Smith An introduction to delay differential equations with applications tothe life sciences Springer, 2010.

67

Mentor: Ivica Nakic

Interpolacijski teoremi tipa Nevanlinna-Pick

Podrucje: Kompleksna analiza, funkcijonalna analiza

Prikladno za studij: Teorijska matematika; Primjenjena matematika; Mate-maticka statistika

Preduvjeti: Kompleksna analiza, Normirani prostori

Opis: Problem koji je ishodiste teorije o Nevanlinna-Pick interpolacijamaje sljedeci: za zadane tocke a1, . . . , an u otvorenoj desnoj kompleksnoj polu-ravnini, te kompleksne tocke b1, . . . , bn, treba naci pravu racionalnu funkcijuG koja je holomorfna u zatvorenoj desnoj kompleksnoj poluravnini, te zakoju vrijedi:

• G(ai) = bi, i = 1, . . . , n,

• supw∈R |G(iw)| ≤ 1.

Ovaj problem i njegova poopcenja se javljaju u nizu matematickih i tehnickihpodrucja, a cilj diplomskog rada je dati rjesnje ovog i srodnih problemapomocu terema o podizanju.

Literatura:M. Rosenblum, J. Rovnyak, Hardy classes and operator theory, Oxford Uni-versity Press, 1985.,N. K. Nikolski, Operators, Functions, and Systems: An Easy Reading, Amer-ican Mathematical Society, 2009,B. Sz Nagy, C. Foias, H. Bercovici, L. Krchy, Harmonic Analysis of Opera-tors on Hilbert Space, Springer, 2010.

68

Mentor: Ivica Nakic

Pohlepna aproksimacija u Hilbertovim prostorima



Preduvjeti: predznanje obuhvaceno kolegijima Normirani prostori i Opera-tori na normiranim prostorima

Opis: Pohlepna aproksimacija je posebna vrsta nelinearnih aproksimacija,kod kojih je baza zamijenjena vecim sustavom funkcija koji je obicno redun-dantan te ga zovemo rijecnikom. S jedne strane redundantnost omogucavavecu efikasnost s obzirom na brzinu aproksimacije, no s druge strane dovodido vrlo netriviljanih teoretskih i prakticnih problema.

Cilj diplomskog rada je dati prikaz osnovnih definicija i rezultata vezanihuz pohlepne algoritme za rijecnike te njihovu konvergenciju.

Literatura:V. Temlyakov Greedy approximation, Cambridge University Press, 2011.

69

Mentor: Ivica Nakic

Princip jedinstvenog produljenja i njegove primjene u teorijiupravljanja

Podrucje: Parcijalne diferencijalne jednadzbe

Prikladno za studij: Teorijska matematika; Primjenjena matematika; Mate-maticka statistika

Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadzbe, Normirani prostori

Opis: Princip jedinstvenog produljenja igra fundamentalnu ulogu u teorijiupravljanja parcijalnih diferencijalnih jednadzbi pomocu kojeg se mogu pro-ucavati razlicite vrste upravljivosti.

U diplomskom radu student bi izlozio osnovne rezultate vezane uz ovutematiku, s naglaskom na pitanja upravljivosti pomocu vanjskog djelovanjasamo na (mali) dio podrucja na kojem je zadana parcijalna diferencijalnajednadzba.

Literatura:L. Rosier, A survey of controllability and stabilization results for partialdifferential equations, Journal europeen des systemes automatises, vol. 41,no3-4, str. 365.-411., (2007),S. Micu, E. Zuazua, An Introduction to the Controllability of Partial Dif-ferential Equations, in Quelques questions de theorie du controle, CollectionTravaux en Cours, Editions Hermann, str. 69.-157. (2005),C. Rojas-Molina, I. Veselic, Scale-free unique continuation estimates and ap-plications to random Schrodinger operators, arXiv:1210.5623 (2012)

70

Mentor: Ivica Nakic

Vizualizacija kompleksnih funkcija

Podrucje: Kompleksna analiza


Preduvjeti: Kompleksna analiza

Opis: Grafovi kompleksnih funkcija su podskupovi skupa C2 koji je cetvero-dimenzionalan prostor, te ih ne mozemo jednostavno nacrtati. No uz pomocboja mozemo ih vizualizirati na nacin da se najvaznija svojstva funkcija ipakmogu iscitati.

Cilj diplomskog rada je izloziti osnovene nacine prikazivanja kompleksnihfunkcija, s naglaskom na holomorfne funkcije. Ovisno o interesu studentanaglasak moze biti na matematickom ili racunalnom aspektu problema.

Literatura:E. Wegert, Visual Complex Functions - An Introduction with Phase Por-traits, Birkhauser, 2012.

71

Mentor: Goranka Nogo

Analiza zadataka s Medunarodnih informatickih olimpijada

Podrucje: Metodika nastave informatike

Prikladno za studij: Diplomski sveucilisni studij Matematika i informatika;smjer: nastavnicki

Preduvjeti: Potrebno je predznanje obuhvaceno kolegijima Metodika nas-tave informatike 1 i Metodika nastave informatike 2

Opis: U radu je potrebno analizirati zadatke koji su se pojavljivali zad-njih 10-ak godina na Medunarodnim informatickim olimpijadama. Od stu-denta/ice se ocekuje da prouci sluzbena rjesenja (ili ponudi vlastito) te daklasificira zadatke prema kriteriju metode rjesavanja.

Literatura:http://ioinformatics.org/index.shtml

72

Mentor: Goranka Nogo

Strukture za implementaciju disjunktnih skupova

Podrucje: Oblikovanje i analiza algoritama

Prikladno za studij: Racunarstvo i matematika

Opis: U radu ce biti promatran sljedeci problem: kako implementirati dvadisjunktna skupa da bi operacije unije i trazenja (Union-Find problem) bilesto efikasnije. Rijec je o problemu koji ima primjenu u mnogim podrucjimaracunarstva i matematike (teorija grafova). Od studenta se ocekuje da proucirazlicite strukture za implementaciju, napravi implementaciju te analizira do-bivene rezultate.

Literatura:T.H.Cormen, C.E.Leiserson, R.L.Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms,2nd, MIT Press, 2001.T.Roughgarden, Algorithms: Design and Analysis, Part 2,https://class.coursera.org/algo2-2012-001/lectureS.Luke, Essentials of Metaheuristics,http://cs.gmu.edu/ sean/book/metaheuristics/Essentials.pdf

73

Mentor: Igor Pazanin

Integralne jednadzbe i primjene


Prikladno za studij: Nastavnicki studiji

Opis: U ovom radu bavili bi se klasifikacijom i osnovnim metodama rjesavanjaintegralnih jednadzbi. Posebna paznja posvetila bi se jednadzbama Fredhol-movog i Volterrinog tipa te njihovim primjenama.

Literatura:M.Rahman, Integral Equations and their Applications, WIT Press, 2007.R.P.Kanwal, Linear Integral Equations: Theory & Technique, Birkhauser,1997. H.Hochstadt, Integral Equations, J. Wiley & Sons, 1994.

74


Modeliranje obicnim diferencijalnim jednadzbama

Podrucje: Matematicko modeliranje

Prikladno za studij: Nastavnicki studiji

Opis: Diferencijalnim jednadzbama se najjednostavnije izrazavaju i modeli-raju mnogi prirodni zakoni te razni procesi u razlicitim podrucjima znanostii tehnike. Ovaj rad zamisljen je kao pregled veceg broja matematickih mod-ela opisanih obicnim diferencijalnim jednadzbama. Posebna paznja posvetilabi se izvodu i analizi modela znacajnih u populacijskoj dinamici, kemijskojkinetici te newtonovoj mehanici.

Literatura:J.R.Chasnov, Mathematical Biology, Lecture Notes, The Hong Kong Univer-sity of Science and Technology, 2009.J.R.Brannan, W.E.Boyce, Differential Equations: An Introduction to Mod-ern Methods & Applications, J. Wiley & Sons, 2007.M.Braun, Differential Equations and Their Applications, Springer-Verlag,1986.

75


Stokesov sustav


Prikladno za studij: Diplomski studij Primijenjena matematika

Opis: Stokesov sustav predstavlja linearizaciju Navier-Stokesovih jednadzbii dobro opisuje tok newtonovskog fluida za male Reynoldsove brojeve. Uovom radu razmatrale bi se stacionarne Stokesove jednadzbe u ogranicenompodrucju. Nakon izvoda jednadzbi iz temeljnih zakona odrzanja, uveli bi seodgovarajuci funkcijski prostori te izlozila njihova osnovna svojstva. Glavnidio rada bio bi posvecen varijacijskoj formulaciji polaznog problema i dokazuegzistencije i jedinstvenosti rjesenja.

Literatura:R.Temam, Navier-Stokes equations, Vol I, North-Holland, 1977.G.P.Galdi, An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-StokesEquations, Vol I, Springer, 1997.I.Aganovic, Uvod u rubne zadace mehanike kontinuuma, Element, 2003.

76


Tok mikropolarnog fluida


Prikladno za studij: Diplomski studij Primijenjena matematika

Opis: Model mikropolarnog fluida osnovno je poopcenje klasicnog Navier-Stokesovog modela koji uzima u obzir i mikrostrukturu samog fluida te jekao takav iznimno vazan sa stanovista primjena. Polazeci od temeljnih za-kona odrzanja, u ovom radu izveli bi osnovne jednadzbe koje opisuju tokmikropolarnog fluida te diskutirali pripadne rubne uvjete. Takoder, kakobi ilustrirali efekte mikrostrukture na tok fluida, bavili bi se i primjerimajednostavnih tokova za koje je moguce odrediti neka specijalna stacionarnarjesenja.

Literatura:G.Lukaszewicz, Micropolar Fluids: Theory and Applications, Birkhauser,1999.G.P.Galdi, An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-StokesEquations, Vol I, Springer, 1997.I.Aganovic, Uvod u rubne zadace mehanike kontinuuma, Element, 2003.

77

Mentor: Pavle Pandzic

Derivirane kategorije

Podrucje: algebra

Prikladno za studij: za sve

Preduvjeti: nema

Opis: Derivirane kategorije uveo je clan Grothendieckove grupe Verdier1970-tih. Rijec je o prirodnom okviru za proucavanje homoloske algebre,posebno pogodnom za rad sa izvedenim funktorima i njihovim generalizaci-jama. Derivirane kategorije imaju vazne primjene u suvremenoj algebri, ge-ometriji, teoriji reprezentacija i teorijskoj fizici.

Literatura:S.Gelfand, Y.Manin, Methods of homological algebra, Springer, 1996.D.Milicic, Lectures on Derived Categories, http://www.math.utah.edu/ mili-cic/Eprints/dercat.pdf

78


Reprezentacije kompaktnih Liejevih grupa

Podrucje: algebra, analiza, geometrija


Preduvjeti: nema

Opis: Ovo je jedan od mogucih uvoda u teoriju reprezentacija, gdje sepocinje od analize funkcija na kompaktnoj Liejevoj grupi i gradi nekomu-tativni analogon Fourierove analize. U primjeru kad je grupa kruznica,dobivaju se standardni Fourierovi redovi, a u slozenijim primjerima um-jesto osnovnih harmonika eint u igru ulaze matricni koeficijenti ireducibilnihreprezentacija grupe.

Literatura:A.W.Knapp, Representation theory of semisimple groups, an overview basedon examples, Princeton University Press, 1986.S.Kurepa, Konacnodimenzionalni vektorski prostori i primjene, Tehnicka knji-ga, Zagreb, 1967.T. Brocker, T.tom Dieck, Representations of compact Lie groups, Springer,1985.

79


Reprezentacije poluprostih Liejevih algebri

Podrucje: algebra


Preduvjeti: nema

Opis: Ovo je uvod u teoriju reprezentacija sa cisto algebarske strane. Polazise od pojma Liejeve algebre, proucava se njihova struktura i reprezentacije.Naglasak je stavljen na konkretne primjere matricnih algebri.

Literatura:W. Fulton, J.Harris, Representation theory. A first course., Springer, 1991.R.Goodman, N.Wallach, Representations and invariants of the classical groups,Cambridge University Press, 1998.J. Humphries, Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer,1971.

80


Reprezentacije simetricnih grupa

Podrucje: algebra, kombinatorika


Preduvjeti: nema

Opis: U ovoj se temi iz teorije reprezentacija javljaju i mnogi pojmovi izkombinatorike, kao sto su particije, Youngovi dijagrami i simetricne funckije.Tako se proucavanjem reprezentacija dolazi i do vrlo konkretnih kombina-tornih primjena.

Literatura:W. Fulton, J.Harris, Representation theory. A first course., Springer, 1991.I.G.Macdonald, Symmetric functions and Hall polynomials, Oxford Mathe-matical Monographs, 1980.

81

Mentor: Ozren Perse

Poincare-Birkhoff-Wittov teorem

Podrucje: Algebra


Preduvjeti: Dobro poznavanje gradiva kolegija ”Vektorski prostori” i ”Al-gebra”

Opis: Univerzalna omotacka algebra je vazan alat u proucavanju reprezentacijaLiejeve algebre. U ovom radu planira se obraditi fundamentalni PBW teoremo bazi te omotacke algebre.

Literatura:J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory,Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1972.

82

Mentor: Ozren Perse

Poluproste Liejeve algebre

Podrucje: Algebra


Preduvjeti: Dobro poznavanje gradiva kolegija ”Vektorski prostori” i ”Al-gebra”

Opis: U ovom radu planiraju se obraditi neke osnovne teme iz strukturneteorije poluprostih Liejevih algebri i njihovih reprezentacija, kao sto su Car-tanova podalgebra, korijenska dekompozicija, moduli najvece tezine i sl.

Literatura:J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory,Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1972.

83

Mentor: Boris Podobnik

Financijske mreze

Podrucje: Financije


Preduvjeti: Polozen kolegij Ekonometrija.

Opis: Mreze su prirodno okruzje za razumijevanje kompleksnih ekonomskihfenomena. U teoriji mreza prirodno se opisuju tehnoloska difuzija, efektisusjeda, financijske krize, sirenje zaraze i globalizacija. U diplomskom cemodati osvrt na modele mreza u opisivanju financijskih trzista.

Literatura:Financial Networks, D. M. Gale and S. Kariv, American Ec. Review, 2007 .Financial Contagion, Allen & Gale (JPE, 2000)

84

Mentor: Mirko Polonijo

George Polya - doprinos matematickoj edukaciji

Podrucje: matematicka edukacija

Prikladno za studij: nastavnicki diplomski studiji

Preduvjeti: nema

Opis: George Polya (1887-1985) je bio znacajni matematicar ali i izuzetnimetodicar matematike. Svojim knjigama izdanima u visokim tirazama iprevodenima na mnoge jezike, znacajno je utjecao na pristup matematickojedukaciji. Taj pristup je “popularan” i danas traje, pa je svrha rada da seprikazu i ocjene Polya-ovi doprinosi poucavanju matematike.

Literatura:G. Polya, How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method (Prince-ton Science Library)G. Polya, Mathematics and Plausible Reasoning, Volume 1: Induction andAnalogy in MathematicsG. Polya, Mathematics and Plausible Reasoning: Volume II Patterns of Plau-sible InferenceG. Polya, Mathematical Discovery on Understanding, Learning, and Teach-ing Problem Solving, Volume IG. Polya,Mathematical Discovery on Understanding, Learning, and TeachingProblem Solving, Volume IIG. Polya,Matematicko otkrice, HMD, Zagreb, 2003.

85

Mentor: Mirko Polonijo

Udzbenik “Uvod u matematiku” Svetozara Kurepe

Podrucje: matematicka edukacija

Prikladno za studij: nastavnicki diplomski studiji

Preduvjeti: nema

Opis: Svetozar Kurepa (1929-2010) odigrao je veliku i trajnu ulogu u hrvatskojmatematici. Osim vaznih znanstvenih matematickih doprinosa, S. Kurepa jeautor mnogih matematickih udzbenika za srednju skolu i fakultete. Njegov jeudzbenik “Uvod u matematiku” (1970.) zamisljen kao knjiga koja je trebalapopuniti prazninu u matematickom obrazovanju izmedu srednje skole i fakul-teta, pa je ona time danas svjedocanstvo jednoga vremena. Svrha rada jedetaljno prikazati i ocijeniti (u tadasnjem i danasnjem kontekstu) spomenutodjelo.

Literatura:Kurepa, S. (1970). Uvod u matematiku, Zagreb; Tehnicka knjiga

86

Mentor: Mirko Primc

Cliffordove algebre i klasicne grupe

Podrucje: Algebra i teorija grupa

Prikladno za studij: Teorijska matematika; Primjenjena matematika

Preduvjeti: Vektorski prostori

Opis: Cilj rada bio bi konstrukcija Cliffordovih algebri te, ovisno o sklonos-tima i predznanju studenta, neke njihove primjene u teoriji reprezentacijagrupa SO(n) i Spin(n) u matematici i fizici.

Literatura:M. Postnikov, Lie Groups and Lie Algebras, Lectures in Geometry V, MirPublishers, Moscow, 1986.

87

Mentor: Mirko Primc

Multilinearna algebra

Podrucje: Algebra



Opis: Cilj rada bio bi konstrukcija tenzorske algebre i vanjske algebre, teosnovni rezultati o strukturi vanjske algebre.

Literatura:S. Mac Lane, G. Birkhoff, Algebra, third edition, AMS Chelsea Publishing,American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1999.

88

Mentor: Mirko Primc

Proste Liejeve algebre i njihove reprezentacije

Podrucje: Algebra



Opis: Cilj rada bio bi opis strukture prostih kompleksnih Liejevih algebri injihovih konacno dimenzionalnih reprezentacija. Ovisno o sklonostima stu-denta biralo bi se gradivo s naglaskom na strukturu algebri ili na svojstvareprezentacija.

Literatura:J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory,Graduate Texts in Mathematics 9, Springer-Verlag, New York, Heidelberg,Berlin, 1972.

89

Mentor: Mirko Primc

Reprezentacije konacnih i kompaktnih grupa

Podrucje: Algebra, topologija i analiza


Preduvjeti: Vekorski prostori, Operatori na normiranim prostorima

Opis: Jedan od osnovnih rezultata analize i teorije grupa je Peter-Weylovteorem o aproksimaciji neprekidne funkcije na kompaktnoj grupi matricnimelemenatima ireducibilnih reprezentacija grupe. U sustini je to poopcenjeklasicnih rezultata poput razvoja periodicke funkcije u Fourierov red ili aproksi-macije funkcije na sferi kuglinim funkcijama. Ovisno o sklonostima i predz-nanju studenta odabralo bi se gradivo koje bi ukljucivalo Peter-Weylov teo-rem ili samo neke dijelove te teorije.

Literatura:Barry Simon, Representations of Finite and Compact Groups, GraduateStudies in Mathematics 10, AMS, Providence R.I., 1996.

90

Mentor: Rajna Rajic

Geometrija kubicnih polinoma



Preduvjeti: Nema preduvjeta.

Opis: Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment ciji su krajevi medusobnorazlicite realne nultocke polinoma p : R → R sadrzi barem jednu stacionarnutocku polinoma p. U radu bi se najprije dokazali neki kompleksni analogoniovog teorema za polinome proizvoljnog stupnja. Posebna paznja posvetilabi se zatim polinomima treceg stupnja, gdje bi se prikazali razni rezultati ogeometrijskoj vezi nultocaka polinoma treceg stupnja i njegovih stacionarnihtocaka.

Literatura:A. Aziz, A new proof of Laguerre’s theorem about the zeros of polynomials,Bull. Austral. Math. Soc. 33 (1986), 131-138.C. Frayer, M. Kwon, C. Schafhauser, J. A. Swenson, The geometry of cubicpolynomials, http://www.uwplatt.edu/ swensonj/gocp/GOCPv11-js.pdf

D. Kalman, An elementary proof of Marden’s theorem, Amer. Math. Monthly115 (2008), 330-337.V. V. Prasolov, Polynomials, 2nd edition, Moscow Center for ContinuousMath. Education, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2004.E. B. Saff, J. B. Twomey, A note on the location of critical points of polyno-mials, Proc. Amer. Math. Soc. 27 (2) (1971), 303-308.

91

Mentor: Rajna Rajic

Polarna forma operatora



Preduvjeti: Pozeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori i Operatorina normiranim prostorima.

Opis: Operator T mozemo prikazati u polarnoj formi T = U(T ∗T )1/2, gdjeje U parcijalna izometrija. U ovom radu proucavala bi se izvjesna svojstvaoperatora T (kao sto su npr. pozitivnost, samoadjungiranost, normalnost,kvazinormalnost, 2-nilpotentnost) koja se prenose na parcijalnu izometrijuU iz njegove polarne forme. U terminima polarne forme opisali bi se nuznii dovoljni uvjeti uz koje operator T komutira s operatorima S i S∗. Takoderbi se detaljno proucile normalne i kvazinormalne parcijalne izometrije.

Literatura:T. Furuta, Invitation to Linear Operators, Taylor & Francis, London, 2001.P. R. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Van Nostrand, Princeton, 1967.

92

Mentor: Rajna Rajic

Pozitivna preslikavanja na prostoru matrica

Podrucje: Linearna algebra


Preduvjeti: Nema preduvjeta.

Opis: Linearno preslikavanje ϕ : Mn(C) → Mk(C) je pozitivno ako je ϕ(A)pozitivno semidefinitna matrica za svaku pozitivno semidefinitnu matricuA ∈ Mn(C). U ovom diplomskom radu dao bi se prikaz osnovnih rezultata opozitivnim preslikavanjima, unutar kojih vaznu klasu cine potpuno pozitivnapreslikavanja. Poseban naglasak bio bi na ulozi ovih preslikavanja u dokazi-vanju raznih matricnih nejednakosti.

Literatura:R. Bhatia, Positive definite matrices, Princeton University Press, Princetonand Oxford, 2007.F. Zhang, Matrix Theory: Basic Results and Techniques, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 2011.

93

Mentor: Nikola Sarapa

Centralni granicni problem

Podrucje: Teorija vjerojatnosti

Prikladno za studij: nenastavnicki studiji

Preduvjeti: Poznavanje sadrzaja obuhvacenih kolegijima Teorija vjerojat-nosti 1 i 2

Opis: Obraduje se teorija beskonacno djeljivih distribucija, koja se koristiza dokazivanje opceg centralnog granicnog teorema za infinitezimalne sis-teme slucajnih varijabli, iz kojeg kao korolari slijede poznati klasicni centralnigranicni teoremi,

Literatura:N.Sarapa, Teorija vjerojatnosti, Skolska knjiga, Zagreb, 2002.

94


Donskerov teorem u prostoru C




Opis: Promatraju se vjerojatnosne mjere na metrickim prostorima, speci-jalno na prostoru C neprekidnih funkcija na segmentu [0,1] s uniformnommetrikom. Dokazuje se Donskerov teorem o konvergenciji po distribuciji prik-ladno definiranih slucajnih elemenata u prostoru C prema Winerovoj mjeri.

Literatura:P.Billingsley, Convergence of probability measures, J.Wiley, New York, 1968.

95


Martingali




Opis: Obraduju se osnovni pojmovi potrebni za uvodenje pojma martingalai submartingala, te se dokazuju osnovni teoremi o konvergenciji i dekompozi-ciji submartingala.


96


Zakoni velikih brojeva za jednako distribuirane slucajne elementeu Banachovim prostorima




Opis: Promatraju se slucajni elementi u Hilbertovim i Banachovim pros-torima. Dokazuju se generalizacije nekih klasicnih zakona velikih brojevaza separabilne Banachove prostore i Banachove prostore sa Schauderovombazom.


97

Mentor: Dragutin Svrtan

Elementi prostorne hiperbolicke geometrije

Podrucje: Geometrija, topologija.


Preduvjeti: Polozen kolegij Diferencijalna geometrija I,II.

Opis: Obraditi sustavno neke osnovne rezultate iz prostorne hiperbolickegeometrije prema knjigama navedenim u literaturi.

Literatura:W. Fenchel, Elementary Geometry in Hyperbolic Space, de Gruyter Studiesin Mathematics 11, Berlin, New York 1989.J. Milnor, Hyperbolic geometry-the first 150 years,Bull.Amer.Math.Soc.6(1982),9-24.

98


Polinomi u teoriji grafova



Preduvjeti: Polozen kolegij KIDM i KOMBINATORIKA.

Opis: Obraditi sustavno neke osnovne rezultate o vaznim polinomima uteoriji grafova kao sto su Tutteov polinom , polinomi sparivanja i srodnipolinomi. Obraditi i neke primjene prema knjigama navedenim u literaturi.

Literatura:M.Aigner,A Course in Enumeration,2007 ,GTM 238,Springer Verlag ,BerlinHeidelberg New York.J.A.Bondy and U.S.R.Murty,Graph Theory With Applications,1976, Univer-sity of Waterloo, OntarioMiklos Bona, A Walk Through Combinatorics, An Introduction To Enumer-ation And Graph Theory, 2006D.Veljan,Kombinatorna i diskretna matematika, Zagreb, Algoritam, 2001

99


Teorija Sabitova

Podrucje: Diskretna matematika, Geometrija.


Preduvjeti: Polozen kolegij KIDM i KOMBINATORIKA.

Opis: Problem koji je ishodiste teorije Sabitova je sljedeci: za zadani poliedars trokutastim stranama, treba naci jednadzbu volumena u terminima duljinabridova . Ovisno o preferenciji studenta, naglasak diplomskog rada moze bitistavljen na dokaz Teorema Sabitova ili na razradu primjera (npr. za oktae-dre).Ili cak na nova nedavna poopcenja .

Literatura:I. Pak, Lectures on Discrete and Polyhedral Geometry,http://www.math.ucla.edu/ pak/book.htm,A.A. Gaifullin, Generalization of Sabitov’s theorem to polyhedra of arbitrarydimension, arXiv:1210.5408v1.

100


Zakrivljenost u Riemannovoj geometriji



Preduvjeti: Polozen kolegij Diferencijalna geometrija I,II.

Opis: Obraditi sustavno neke osnovne vazne formule za Riemannov tenzorzakrivljenosti u Riemannovoj geometriji prema knjigama navedenim u liter-aturi.

Literatura:M.M. PostnikovGeometry VI: Riemannian Geometry (Encyclopaedia of Math-ematical Sciences) (v. 6) [Hardcover],Springer, Apr 20, 2001 - Mathematics- 503 pagesM. Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry,Springer, 2003 -Mathematics - 824 pages

101

Mentor: Juraj Siftar

Karakterizacije parabole

Podrucje: Geometrija.

Prikladno za studij: Nastavnicki smjerovi, Teorijska matematika.

Opis: Izlozit ce se niz svojstava koja u potpunosti karakteriziraju parabolu,odnosno pruzaju nuzne i dovoljne uvjete na neku funkciju da bi njezin grafbila parabola. Ti uvjeti vecinom su povezani sa svojstvima povrsina odredenihlikova i svojstvima tangenti na graf funkcije, a obuhvacaju i poznato zr-calno svojstvo parabole. Neka od tih svojstava proucavao je jos Arhimed,no uglavnom su poznata kao nuzni, a rjede kao dovoljni uvjeti za paraboluodnosno kvadratnu funkciju.

Literatura:M.B. Richmond and T.A. Richmond, How to recognize a Parabola, Amer.Math. Monthly 116 (10)(2009), 910922.A. Benyi, P. Szeptycki and F. Van Vleck, Archimedean Properties andParabolas, Amer. Math. Monthly 107(10) (2000), 945949.J. Gallego-Diaz, M. Goldberg and D.C.B. Marsh, Problem E1659, Amer.Math. Monthly 71(1964), 1136-1137.

102


Malfattijev problem



Opis: Izvorni problem G.F. Malfattija (1803.) odnosi se na izrezivanje trivaljka jednake visine iz uspravne trostrane prizme tako da ukupni volumenvaljaka bude maksimalan. Malfatti je problem sveo na pronalazenje tri krugaupisana u trokut tako da zbroj njihovih povrsina bude maksimalan, no nje-gova slutnja da rjesenje cine tri kruga od kojih svaki dodiruje dvije stranicetrokuta i ostala dva kruga pokazala se pogresnom. Takav problem razmatranje inace jos ranije u Japanu. U 20. stoljecu Malfattijeva slutnja opovrgnuta jekroz nekoliko radova u kojima je pokazano da za svaki trokut, kao i za jos zaneke likove, pohlepni algoritam daje vecu povrsinu tri upisana kruga od Mal-fattijeve konfiguracije. U radu ce se prikazati glavni rezultati kroz povijestrjesavanja Malfattijeva problema i, posebno, konstrukcije spomenute konfig-uracije.

Literatura:R.M. Andreatta, A. Bezdek and J. Boronski, The problem of Malfatti: twocenturies of debate, Math. Intelligencer 33(1) (2010), 72-76.H. Lob and H.W. Richmond, The solution of Malfattis problem for a trian-gle, Proc. London Math. Soc. 30 (1930), 287304.M. Goldberg, On the original Malfatti problem, Math. Mag. 40 (1967),241247.V. A. Zalgaller and G. A. Los, The solution of Malfattis problem, J. Math.Sciences, 72(4) (1994), 31633177.

103


Teorem o svjetioniku i njegove primjene u geometriji



Opis: Slikovito nazvana Teorem o svjetioniku, tvrdnja govori da se dvije n-torke pravaca sa zajednickim sjecistima u tockama B i C, takve da susjednipravci u svakoj n-torci zatvaraju jednake kutove (tj. da je svaka n-torka ek-viangularna) medusobno sijeku u n2 tocaka koje su vrhovi n pravilnih polig-ona. Nadalje, kruznice opisane svakom od tih poligona prolaze tockama B iC. U opseznom clanku R. K. Guya dokazuje se niz tvrdnji povezanih s nave-denim teoremom, a medu njima su i glasoviti Morleyev teorem o sjecistimatrisektrisa u trokutu te Malfattijev problem konstrukcije tri kruznice od ko-jih svaka dira dvije stranice zadanog trokuta i ostale dvije kruznice. Uz tose analiziraju neke slozene konfiguracije generirane spomenutim teoremima.U radu ce se izloziti dio ovih rezultata.

Literatura:R. K. Guy: The Lighthouse Theorem, Morley & Malfatti A Budget of Para-doxes, Amer. Math. Monthly 114 (2) (1964), 97-141.

H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer, Geometry Revisited, Math. Associationof America, Washington D.C., 1967.

104

Mentor: Boris Sirola

Algebarske mnogostrukosti

Podrucje: Algebarska geometrija, Algebra

Prikladno za studij: Svi smjerovi

Preduvjeti: Poznavanje materije iz preddiplomskih kolegija Algrebarskestrukture.

Opis: Neka je A = C[x1, . . . , xn], prsten polinoma u n varijabli, s koeficijen-tima iz polja kompleksnih brojeva C. (Namjesto C moze se uzeti bilo kojealgebarski zatvoreno polje.) Ako je f = f(x1, . . . , xn) ∈ A neki polinom,definiramo njegov skup nultocaka V (f) = P ∈ Cn | f(P ) = 0. Opcenitije,ako je F = fi | i ∈ I bilo koja familija polinoma fi ∈ A, mozemo defini-rati skup V (F) =

⋂I V (fi); tj., V (F) je skup zajednickih nultocaka svih

polinoma fi. Takvi se skupovi zovu (afine) algebarske mnogostrukosti. Isti,i njihove generalizacije/analogoni, predmet su proucavanja u jednoj od na-jvaznijih matematickih discplina, Algebarskoj geometriji.

Cilj diplomskog rada je na uvodnom, i sasvim elementarnom, nivou uvestipojam algebarske mnogostrukosti. Kao glavne dijelove rada, promatralo bise afine algebarske mnogostrukosti i projektivne mnogostrukosti.

Literatura:K. Ueno, Algebraic Geometry 1; From algebraic Varieties to Schemes, Trans-lations of Mathematical Monographs, Vol. 185, Amer. Math. Soc., 1999.

105


Dirichletov teorem o prim brojevima u aritmetickim nizovima



Preduvjeti: Polozen kolegij Teorija brojeva, ili Elementarna teorija brojeva.Pozeljno znanje osnova Kompleksne analize.

Opis: Dirichletov teorem je jedan od prvih velikih teorema u analitickojteoriji brojeva. On govori da ako su a i b dva relativno prosta prirodnabroja, onda u skupu svih brojeva oblika ax+b, kada x prolazi skupom svihprirodnih brojeva, ima beskonacno mnogo prim brojeva. U predlozenomradu najprije bi se, kao motivacija, napravili neki posebni slucajevi Dirichle-tovog teorema. Nakon toga bi se detaljno procili tzv. Dirichletovi karakteri,a zatim bi se uvele i tzv. Dirichletove L-funkcije. U zadnjem dijelu radanapravio bi se ili potpun dokaz Dirichletovog teorema, ili dokaz “do na nekepreskocene korake”; ovisno o volji kandidata.

Literatura:A. Fine and G. Rosenberger, Number theory; An introduction via the distri-bution of primes, Birkhauser, Boston 2007.

106


Poluproste Liejeve algebre i Liejeve grupe

Podrucje: Liejeva teorija, Teorija reprezentacija

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika.

Preduvjeti: Poznavanje materije iz preddiplomskih kolegija Vektorski pros-tori i Algrebarske strukture.

Opis: Vektorski prostor n× n kompleksnih matrica traga nula, uz tzv. ko-mutatorsko mnozenje [A,B] := AB − BA, oznacava se sa sl(nC). To jejedan od glavnih primjera u klasi (kompleksnih) poluprostih Liejevih alge-bri. S druge strane, grupa SL(n,C) je jedan od glavnih primjera u klasi(kompleksnih) poluprostih Liejevih grupa. Pokazuje se da, po “analogiji” sparom (sl(n,C), SL(n,C)), ima i jos nekih drugih vrlo zanimljivih parova(g, G); ovdje je G Liejeva grupa i g je “odgovarajuca” Liejeva algebra.

Teorija Liejevih grupa i Liejevih algebri, kao i teorija reprezentacija tihobjekata, igraju vrlo vazne uloge u mnogim drugim maatematickim disci-plinama (npr. algebarska geometrija, diferencijalna geometrija, teorija bro-jeva, teorija reprezentacija,...) Cilj diplomskog rada je razumijeti osnove oLiejevim algebrama i Liejevim grupama, sa posebnim naglaskom na primjerepoluprostih algebri i grupa.

Literatura:A. W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Progress in Math., vol.140, Birkhauser, Boston, 2005.

107


Povezanost prim brojeva s Fermatovim, Mersenneovim iFibonaccijevim brojevima

Podrucje: Elementarna teorija brojeva


Preduvjeti: Osnovno znanje elementarne teorije brojeva

Opis: Prim brojevi bazicni su ‘blokovi’ u multiplikativnoj teoriji brojeva.Opcenito razumijevanje i posebno razdioba prim brojeva medu svim prirod-nim brojevima jedan je od temeljnih problema matematike. Cilj predlozenograda bio bi prouciti tri specijalne vrste brojeva; tzv. Fermatove brojeve,Mersenneove brojeve i Fibonaccijeve brojeve. Poseban naglasak bio bi narazumijevanju prim djelitelja tih brojeva.

Literatura:A. Fine and G. Rosenberger, Number theory; An introduction via the distri-bution of primes, Birkhauser, Boston 2007.

108

Mentor: Sonja Stimac

Dinamika Henonovih preslikavanja

Podrucje: Dinamicki sustavi

Preduvjeti: Nelinearni dinamicki sustavi

Opis: Cilj ove teme bio bi prosiriti i produbiti znanja stecena na kolegiju Ne-linearni dinamicki sustavi. Kolegij se bavi jednodimenzionalnom dinamikom,a diplomski rad bi se bavio dvodimenzionalnom dinamikom. Posebna paznjabila bi posvecena proucavanju dinamike Henonovih preslikavanja. Henonovapreslikavanja Ha,b : R2 → R2 su dvoparametarska familija preslikavanja rav-nine dana sa Ha,b(x, y) = (a−by−x2, x), a, b ∈ R. Njena dinamika posjedujemnoga svojstva koja se pojavljuju u visedimenzionalnoj dinamici kao sto suhiperbolicki skupovi, homoklinicke tocke, bifurkacije, potkove, cudni atrak-tori i jos puno vise. Henonova familija preslikavanja je takoder vazna temaistrazivanja, jer postoje mnogi parametri za koje se dinamika slabo razumije.Zato je ova diplomska tema ujedno i dobar pocetak buduceg istrazivanja udinamickim sustavima.

Literatura:R. L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, The Ben-jamin/Cummings Publishing Co., 1986.

109

Mentor: Sonja Stimac

Dinamika unimodalnih funkcija

Podrucje: Dinamicki sustavi

Opis: Dinamicki sustavi su zanimljivo i vazno podrucje matematika. Ovatema je namjenjena studentima koji nisu slusali kolegij Nelinearni dinamickisustavi, a zele se upoznati s osnovama tog podrucja. Unimodalne funkcijesu funkcije f : I → R, gdje je I ⊂ R segment, koje imaju jednu tocku ek-strema. Mada se na prvi pogled cine jednostavne, njihova dinamika je veomazanimljiva i bogata. Posebna paznja bila bi posvecena dinamici satorske ikvadratne familije funkcija.

Literatura:R. L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, The Ben-jamin/Cummings Publishing Co., 1986.

110

Mentor: Marko Tadic

p-adski brojevi i kvadratne forme nad Q



Preduvjeti: Polozeni kolegiji Algebra 1, 2 i Algebarska teorija brojeva 1, 2

Opis: U teoriji kvadratnih formi nad nekim poljem (ili prstenom), izmedjuostaloga, proucavaju se pitanja predstavljivosti elemenata polja pomocu danekvadratne forme, te pitanja ekvivalencija kvadratnih formi (i klasifikacije is-tih). Vazno mjesto zauzimaju forme nad poljem racionalnih i cijelih brojeva.Teorija kvadratnih formi je bitno jednostavnija nad popunjenjima polja raci-nalnih brojeva, nego nad samim Q. Primjer su forme nad R (to je arhimedskopopunjenje od Q), gdje su pitanja predstavljivosti i klasifikacije vrlo jednos-tavna.

Cilj radnje je uvesti ostala popunjenja od Q. To su polja p-adskih brojeva(sto su ne-arhimedska popunjenja od Q), istraziti njihova osnovna svojstva,izloziti osnovne rezultate teorije kvadratnih formi nad ovim popunjenjima,te primjeniti te rezultate na forme nad Q.

Literatura:J.-P. Serre: A Course in Arithmetic, Springer Verlag, New York, 1996.

J.W.S. Cassels: Rational Quadratic Forms, Dover, 2008

111

Mentor: Marko Tadic

Klasifikacija lokalnih polja




Opis: Bez pojma realnih brojeva nemoguce je zamisliti veliki dio danasnjematematike. Polje realnih brojeva je upotpunjenje polja racionalnih brojevas obzirom na uobicajnu normu. Prirodno se namece pitanje: koja su ostalaupotpunjenja polja racinalnih brojeva, i da li ona mogu biti od koristi umatematici.

S druge strane, do drugih popunjenja od Q se dolazi prirodno kada segledaju Diofantske jednadzbe i pripadne kongruencijske jednadzbe. njihovaredukcija modulo prosti brojevi p (i njihove potencije). Ovo pokazuje njihovuvaznost za teoriju brojeva.

Sva ova popunjenja su lokalno komaktna i nediskretna. Stoga se postavljaprirodno pitanje klasifikacije svih ovakovih polja. Cilj radnje je izloziti nji-hovu klasifikaciju.

Literatura:A. Weil: Basic number theory, Springer-Verlag, New York 1995

J.-P. Serre: Local fields, Springer, Berlin 1980

112

Mentor: Marko Tadic

Modularne forme

Podrucje: Analiticka teorija brojeva, kompleksna analiza



Opis: Modularne forme su od iznimne vaznosti u teoriji brojeva (dovoljno jeda podsjetimo na Shimura-Tanyaminu slutnju i njenu ulogu u rjesenju velikogFermatovog problema). Danas se intenzivno radi na njihovoj generalizaciji.

Cilj radnje je izloziti osnovne rezultate klasicne teorije modularnih formiza punu modularnu grupu SL(2,Z).

Literatura:J.-P. Serre: A Course in Arithmetic, Springer Verlag, New York, 1996.

A. Robert, Elliptic curves, Lecture Notes in Math. 326, Springer-Verlag,New York 1973

113

Mentor: Marko Tadic

Reprezentacije konacnih grupa

Podrucje: Algebra


Preduvjeti: Algebra 1, 2, Odabrana poglavlja teorije reprezentacija

Opis: U radnji bi se napravile osnove teorije reprezentacija konacnih grupa,posebno teorija induciranih reprezentacija i rezultata vezanih uz njih. Posebnabi se pozornost obratila teoriji reprezentacija nekih specijalnih konacnih grupa.

Literatura:J.-P. Serre, Linear Representations of Finite Groups (Graduate Texts inMathematics) (v. 42) Springer Verlag, Berlin, 1977

114

Mentor: Josip Tambaca

Matematicko modeliranje tehnoloskog procesa sterilizacije

Podrucje: Matematicko modeliranje, PDJ, numerika

Prikladno za studij: Primijenjena matematika

Opis: Zadatak je numericki rjesavati jednadzbu difuzije te analizirati uvjeteprocesa da bi se postigo da tijelo bude na zadanom minimalnoj temperaturizadano vrijeme

Literatura:I. Aganovic, Uvod u rubne zadace mehanike kontinuuma, Element, Zagreb,2003. M. Jurak, Praktikum primijenjene matematike II. Metoda konacnihelemenata, skripta F. Hecht, FreeFEM++ dokumentacija.

115

Mentor: Josip Tambaca

Varijacijske nejednakosti


Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Teorijska matematika,Matematicka statistika

Opis: Varijacijske nejednakosti od velikog su interesa kod problema mehanikekontinuuma s uvjetima. U okviru ove teme zadatak je dati osnovne teorijskerezultate vezane za egzistenciju, jedinstvenost, te aproksimaciju rjesenja var-ijacijskih nejednakosti.

Literatura:D. Kinderlehrer and G. Stampacchia, An Introduction to Variational In-equalities and Their Applications. Academic Press, New York (1980). R.Glowinski, Numerical Methods for Nonlinear Variational Problems. SpringerVerlag, New York (1984).

116

Mentor: Zvonimir Tutek

Bifurkacije i primjene

Podrucje: Analiza, Primijenjena matematika

Prikladno za studij: Analiza, Primijenjena matematika

Preduvjeti: Normirani prostori, Parcijalne diferencijalne jednadzbe

Opis: Osnovni rezultati o bifurkacijama, teorijska i numericko rjesavanjekonkretnih problema

Literatura:V.K. Le, K. Schmitt, Global bifurcation in variational inequalities, Springer,1997

117


Egzistencija rjesenja rubnih problema za PDJ



Preduvjeti: Normirani prostori, Parcijalne diferencijalne jednadzbe, Nelin-earna analiza i primjene

Opis: Egzistencija slabih rjesenja primjenom teorije monotonih operatora teprimjenom varijacijskih metoda

Literatura:P. Drabek, J. Milota, Methods of nonlinear analysis, Birkhauser, 2007

118


Optimizacija oblika



Preduvjeti: Normirani prostori, Parcijalne diferencijalne jednadzbe, Teorijaelasticnosti

Opis: Osnove teorije optimizacije oblika tijela, primjene u teoriji elasticnosti

Literatura:J. Haslinger, R.A.E. Makinen, Introduction to shape optimization SIAM,2003

119


Teoremi o fiksnoj tocki i primjene



Preduvjeti: Normirani prostori, Parcijalne diferencijalne jednadzbe

Opis: Banachov, Browderov i Schaeferov teorem o fiksnoj tocki, primjenana diferencijalne jednadzbe i integralne jednadzbe, numericka simulacija naprimjerima

Literatura:M.A. Mc Kibben, Discovering evolution equations with applications, CRCPress, 2011

120

Mentor: Marko Vrdoljak

Kvadraticno programiranje i linearna zadaca komplementarnosti



Opis: Cilj rada je predstaviti nuzne uvjete optimalnosti zadace kvadraticnogprogramiranja. Oni spadaju u siru klasu linearnih zadaca komplementarnosti,s bogatom matematickom teorijom i pripadnim numerickim algoritmima zarjesenje.

Literatura:R.W. Cottle, J.S. Pang, R.E. Stone: The linear complementarity problem,SIAM, 2009.

121


Sekvencijalno kvadraticno programiranje



Opis: Od svoje popularizacije u kasnim 70-tima sekvencijalno kvadraticnoprogramiranje (SQP) je prepoznato kao vrlo uspjesna metoda za rjesavanjenelinearnih zadaca optimizacije. Kao i kod vecine metoda optimizacije,SQP cine brojni specificni algoritmi. Potpomognuti cvrstim teorijskim inumerickim rezultatima, algoritmi SQP-a koriste se za rjesavanje mnogihzadaca s vaznim primjenama.

Literatura:R. Fletcher: The Sequential Quadratic Programming Method, in Nonlinearoptimization. Lectures C.I.M.E. Summer School 2007 (Bomze, Demyanov,et al), Springer, 2010.N. Andreasson, A. Evgrafov, M. Patriksson: An introduction to continuousoptimization. Foundations and fundamental algorithms, StudentlitteraturAB, 2007.

122


Subdiferencijal svojstvene vrijednosti simetricne matrice


Prikladno za studij: Diplomski studiji: Teorijska matematika, Primijen-jena matematika, Matematicka statistika, Financijska i poslovna matematika

Opis: Zadace optimizacije koje ukljucuju svojstvene vrijednosti simetricnematrice pojavljuju se u mnogim primjenama, od strukturne optimizacije doteorije grafova. Ako s λm(A) oznacimo m-tu po velicini svojstvenu vrijed-nost simetricne matrice A (brojeci kratnost), tada je λm opcenito neglatka, aliLipschitzova funkcija matrice. U ovom radu, cilj je izracunati Clarkeov sub-diferencijal i Michel-Penotov subdiferencijal te pokazati da se podudaraju.

Literatura:J.-B. Hiriart-Urruty, A.S. Lewis: The Clarke and Michel-Penot subdifferen-tials of the eigenvalues of a symmetric matrix, Comput. Optim. Appl. 13(1999) 13-23.

123


Varijacijski racun i neglatka analiza


Prikladno za studij: Diplomski studiji: Teorijska matematika, Primijen-jena matematika, Matematicka statistika, Financijska i poslovna matematika

Opis: U varijacijskom racunu neglatke funkcije se javljaju kroz dva efekta:neglatka rjesenja i zadace s neglatkom podintegralnom (Lagrangeovom) funkci-jom. U prvom slucaju rjesenje trazimo u prostorima apsolutno neprekinutihodnosno Lipschitzovih funkcija, dok u slucaju neglatke Lagrangeove funkcijeizvod nuznih uvjeta optimalnosti zahtijeva koristenje neglatke analize.

Literatura:F. Clarke: Functional analysis, calculus of variations and optimal control,Springer 2013

124


Suvoditelj: Martin Lazar, Sveuciliste u Dubrovniku

Fourierova pretvorba na S ′

Podrucje: funkcionalna analiza


Opis: Fourierova pretvorba funkcije zadana je formulom

f(ξ) =

∫

Rd

e−2πix·ξf(x)dx .

Pokazuje se da formula ima smisla samo za integrabilne, L1 funkcije. Medutim,u praksi se javlja potreba njene primjene na mnogo siru klasu funkcija,odnosno poopcenih funkcija ili distribucija, kao sto je Diracova mjera. Uradu bi se opisao nacin na koji se Fourierova pretvorba definira na prostorutemperiranih distribucija S ′ (dual Schwartzovog prostora brzoopadajucihfunkcija), dao prikaz njenih svojstava i dopustenih operacija, kao i nekihprimjena u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednadzbi.

Literatura:Elliot H. Lieb, Michael Loss: Analysis, American Mathematical Society, 1996.Christopher D. Sogge: Fourier Integrals in Classical Analysis, CambridgeUniversity Press, 2008.Xavier Saint-Raymond: Elementary introduction to the theory of pseudodif-ferential operators, CRC Press, 1991.

125



H-mjere

Podrucje: matematicka analiza, parcijalne diferencijalne jednadzbe


Opis: H-mjere su vrsta Radonovih mjera koje opisuju limes integrabilnihkvadraticnih izraza. U sebi sadrze dualnu varijablu (frekvenciju) i na tajnacin cuvaju podatak o smjeru sirenja oscilacija. Svoju primjenu su nasleu teorijama homogenizacije, brzinskog usrednjenja, te u poopcenju teorijekompenzirane kompaktnosti s diferencijalnih jednadzbi s konstatnim koefici-jentima na varijabilne koeficijente.

Cilj je opisati H-mjere, dati pregled njihovih osnovnih svojstava, te nekihprimjena u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednadzbi.

Literatura:Luc Tartar: H-measures, a new approach for studying homogenisation, oscil-lations and concentration effects in partial differential equations, Proceedingsof the Royal Society of Edinburgh 115A (1990) 193–230.Patrick Gerard: Microlocal defect measures, Communications in Partial Dif-ferential Equations 16 (1991) 1761–1794.Gilles A. Francfort: An introduction to H-measures and their applications uVariational problems in materials science, pp. 85–110, Progress in NonlinearDifferential Equations and their Applications 68, Birkhauser, 2006.

126



Matematicko modeliranje u fizickoj oceanografiji

Podrucje: matematicko modeliranje, parcijalne diferencijalne jednadzbe

Prikladno za studij: Primijenjena matematika

Opis: Prirodne pojave, odnosno fizikalni zakoni cesto su opisani (par-cijalnim) diferencijalnim jednadzbama. Stoga se i u fizickoj oceanografijiproucavanje vodenog bazena ili toka svodi na postavljanje i rjesavanje mate-matickog modela zasnovanog na sustavu parcijalnih diferencijalnih jednadzbi.

Polazeci od Navier-Stokesovog sustava izradio bi se linearni nedifuzivnimodel koji opisuje cirkulaciju u okrajnjim bazenima kao sto je Jadran. Kori-stenjem Fourierovog razvoja rjesenja bi se izracunala eksplicitno, te bi se za-tim koristenjem programskog paketa Matlab (ili slicnog) prikazala graficki.Takoder bi se diskutirala i prikazala njihova ovisnost o parametrima cirku-lacije, kao sto su trenje i dimenzija bazena.

Literatura:Benoit Cushman-Roisin, Jean-Marie Beckers: Introduction to GeophysicalFluid Dynamics, Academic Press, 2009.Mirko Orlic, Martin Lazar: Cyclonic versus anticyclonic circulation in lakesand inland seas, J. Phys. Oceanogr. 39, (2009) 2247–2263.

127



Slabe konvergencije u Banachovim prostorima

Podrucje: funkcionalna analiza, parcijalne diferencijalne jednadzbe


Opis: U teoriji parcijalnih diferencijalnih jednadzbi niz proucavanih funkcija(rjesenja promatranih zadaca) cesto ne konvergira jako u odgovarajucemfunkcijskom prostoru. Medutim omedenost tog niza u istom prostoru ipakomogucuje prijelaz na slabi ili slabo ∗ limes. Cilj je dati prikaz slabihtopologija u Banachovim prostorima, njihova svojstava, kao i nekih prim-jena u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednadzbi.

Literatura:Haım Brezis: Analyse fonctionnelle, Masson, 1983.Lawrence C. Evans: Weak convergence methods for partial differential equa-tions, American Mathematical Society, 1990.

128

Mentor: Mladen Vukovic

Van Benthem–Rosenov teorem

Podrucje: Matematicka logika i racunarstvo

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Racunarstvo i matematika

Preduvjeti: Pozeljno predznanje obuhvaceno kolegijem Matematicka logika

Opis: Van Benthemov teorem karakterizacije uspostavlja vezu izmedu modalnelogike i logike prvog reda. U dokazu se koriste saturirani modeli i ultra-produkti. E. Rosen je dokazao da teorem karakterizacije vrijedi kada seogranicimo samo na konacne modele. Posto se za konacne modele ne mogukoristiti standardne tehnike teorije modela, razvijen je pojam bisimulacijskihigara, te su iskrosteni Hanfov teorem i Gaifmanov teorem o lokalnosti.

Literatura:P. Blackburn, M. de Rijke, Y. Venema, Modal Logic, Cambridge Uni-versity Press, 2001.

A. Dawar, M. Otto, Modal characterisation theorems over special classesof frames, Annals of Pure and Applied Logic 161(2009), 1–42

V. Goranko, M. Otto, Model theory of modal logic, in: F. Wolter et al.(eds.), Handbook of Modal Logic, Elsevier, 2006, 255–325

M. Otto, Elementary proof of the van Benthem–Rosen characterisationtheorem, Technical Report 2342, Department of Mathematics, TechnischeUniversitat Darmstadt, 2004.

E. Rosen, Modal logic over finite structures, Journal of Logic, Languageand Information 6(1997) 427–439

J. van Benthem, Modal Logic and Classical Logic, Bibliopolis, Napoli,1983.

M. Vukovic, Matematicka logika, Element, 2009.

129

Documents

Teme diplomskih radova u akademskoj godini 2013./2014. · 2014-09-29 · Pi ortogonalni projektor na Wi: O•cito su fuzijski bazni okviri generalizacija baznih okvira Hilbertovih