Embed Size (px)
DESCRIPTION
Teorie grafuri si probleme de minim/maxim.
Citation preview
1
GRAFURI ORIENTATE Notiuni de baza
Un graf orientat G este format dintr-o pereche ordonata de multimi
G=(X,U). ca si in cazul grafurilor neorientate, X este multimea varfurilor
sau nodurilor grafului.Multimea U este formata din perechi ordonate de
elemente distincte din X, numite arce.Orice arc u U va fi notat prin
u=(x,y) cu x,yX si xy.
Spunem ca varful x este extremitatea initiala a arcului u, iar varful y
este extremitatea finala a arcului u. Spre deosebire de cazul grafurilor
neorientate, notatiile(x,y) si (y,x) vor desemna doua arce diferite.
Daca graful G contine arcul (x,y) vom spune ca varfurile x si y sunt
adiacente in G si amandoua sunt incidente cu arcul (x,y). Deci, un graf
orientat G poate fi imaginat ca o multime de varfuri, dintre care unele sunt
unite doua cate doua prin arce. Un graf orientat poate fi desenat in plan
reprezentand varfurile sale prin puncte si arcele prin sageti care sunt
orientate de la extremitatea initiala catre extremitatea finala a fiecarui arc.
Graful orientat G=(X,U) unde:
X={ 1,2, …. ,8} si U={(1,2), (2,3), (3,1), (3,2), (2,4), (4,5), (3,5), (6,8),
(8,7), (7,8),(7,6)} se reprezinta ca in figura:
2 u5 4
u1
1 u3 u4 u7
u2
3 u6 5
Vom nota arcele asa cum se indica in figura , adica u1=(1,2),
u2=(3,1),…., u11=(6,8).
2
Gradul exterior al unui varf x, notat prin d+(x), este numarul arcelor
de forma (x,y) cu yX. Gradul exterior al unui varf x, notat prin d-(x),este
numarul arcelor de forma (y,x) cu yX.
Un graf partial al unui graf orientat G=(X,U) se defineste in acelasi
mod ca si in cazul neorientat. El este un graf G1=(X,V) unde VU, deci este
graful G insusi sau se obtine din G prin suprimarea anumitor arce.
Si definitia unui subgraf al unui graf orientat G=(X,U) este
asemanatoare cu cazul neorientat.Prin definiţie , un subgraf al lui G este un
graf H=(Y,V), unde YX, iar arcele din V sunt toate arcele din U care au
ambele extremiţaţi in mulţimea de varfuri Y.
Deci un subgraf H al unui graf orientat G este graful G insuşi sau se
obţine din G prin suprimarea anumitor varfuri si a tuturor arcelor incidente
cu acestea .
Vom spune ca subgraful H este indus sau generat de multimea de
varfuri Y.
Astfel,subgraful grafului G din figura ,indus de multimea de varfuri
Y1 ={1,2,4,5} are ca multime de arce multimea V1 ={(1,2), (2,4), (4,5)},iar
subgraful indus de multimea de varfuri Y2 ={6,7,8} are multimea arcelor
V2={(7,6),(6,8),(7,8),(8,7)}.
Un graf orientat este complet daca oricare doua varfuri sunt adiacente.
In timp ce in cazul neorientat un graf complet cu n varfuri este unic
determinat, in cazul orientat exista mai multe grafuri complete cu un numar
dat de varfuri.Ele se deosebesc fie prin orientarea arcelor , fie prin faptul ca
intre doua varfuri oarecare exista un arc sau doua arce de sensuri contrare.
Un lant al unui graf orientat se defineste ca un sir de arce:
L=[u1,u2,…..,up]
Cu proprietatea ca oricare arc uI din acest sir are comuna o extremitate cu
ui-1 , iar cealalta extremitate este comuna cu ui+1 pentru orice i=1,...,p-1.
Daca toate arcele lantului L au aceeasi orientare ,care este data de
sensul deplasarii de la x0 catre xr lantul se numeste drum.
Deci un drum intr-un graf orientat G=(X,U) este un sir de varfuri
notat :
D=(x0,x1,...,xr)
cu proprietatea ca (x0,x1), (x1,x2), .... , (xr-1,xr)U, deci sunt arce ale grafului.
Varfurile x0 si xr se numesc extremitatile drumului D. Daca varfurile
x0 ,x1 , ... , xr sunt distincte doua cate doua, drumul D se numeste elementar.
Din aceste definitii rezulta ca orice drum este si lant , daca il privim ca un sir
de arce.
3
Un drum D=(x0, ... ,xr) poate fi interpretat ca fiind traseul unei
daplasari pe arcele grafului in ordinea (x0,x1), (x1,x2), ... , (xr-1,xr).
De aceea drumul D de extremitati x0 si xr , se mai spune ca este un
drum de la x0 la xr .Daca x0=xr si toate arcele (x0,x1), (x1,x2), ... ,(xr-1,xr) sunt
distincte doua cate doua, drumul D se numeste circuit.
Daca toate varfurile circuitului, cu exceptia primului si a ultimului
varf, sunt distincte doua cate doua, circuitul se numeste elementar.
Notiunile de conexitate si de componenta conexa a unui graf orientat
sunt similare cu cele de la grafurile neorientate , utilizand notiunea de lant
din cazul grafurilor orientate.
Astfel, un graf orientat G se numeste conex daca pentru oricare doua
varfuri distincte x si y exista un lant de extremitati x si y in G. O
componenta conexa C a unui graf orientat G se defineste ca fiind un subgraf
conex maximal al lui G , deci nu exista nici un lant care sa uneasca un varf
din C cu un varf care nu apartine lui C.
4
DRUMURI MINIME SI MAXIME IN GRAFURI ORIENTATE
O alta notiune de conexitate care apare numai in cazul grafurilor
orientate este aceea de conexitate tare: Un graf orientat G se numeste tare
conex daca pentru oricare doua varfuri distincte x si y ale lui G exista un
drum (x, ... ,y) de la x la y .Deoarece putem schimba rolul lui x si y uneori
definitia unui graf tare conex se bazeaza pe existenta unui drum de la x la y
si a unui drum de la y la x pentru oricare doua varfuri distincte x si y ale
grafului.
Pentru grafurile orientate conexitatea tare implica conexitatea simpla ,
adica orice graf tare conex este si conex.
O componenta tare conexa a unui graf orientat G se defineste ca fiind
un subgraf tare conex maximal C al lui G , deci nu exista drumuri care sa
uneasca in ambele sensuri un varf x din C cu un varf y al lui G care nu
apartine lui C, pentru orice x si y cu proprietatile mentionate. Rezulta ca
orice graf tare conex are o singura componenta tare conexa care contine
toate varfurile grafului.
Sa consideram o functie l definita pe multimea U a arcelor unui graf
orientat G=(X,U) cu valori numere reale pozitive:
l :Ux xR, x 0}.
Aceasta functie asociaza oricarui arc u al grafului lungimea sa notata
l(u). Daca =(x, ... ,y) este un drum de la x la y in graful G, vom defini
lungimea drumului in mod aditiv, prin egalitatea:
l()=u l(u),
adica lungimea unui drum este egala cu suma lungimilor arcelor sale.
Un drum de la x la y se va numi drum minim ( respectiv
maxim)lungimeadrumului este minimul ( respectiv maximul)
lungimilor drumurilor de la x la y , presupunand ca multimea acestor
5
drumuri este nevida. Totusi intre aceste doua notiuni de drum minim si de
drum maxim exista o deosebire importanta .
Orice drum minim este elementar , deoarece in caz contrar daca un
varf se repeta in sirul care defineste drumul , subdrumul cuprins intre doua
aparitii consecutive ale unui varf poate fi eliminat si obtinem un drum de
lungime strict mai mica decat drumul presupus minim , ceea ce este absurd.
Deoarece multimea drumurilor elementare de la x la y este finita
pentru oricare doua varfuri distincte x si y , rezulta ca un drum minim de la
x la y va exista intotdeauna pentru oricare doua varfuri distincte x si y ale
unui graf tare conex .
Pentru tratarea problemelor de minim vom asocia graful G o matrice a
costurilor C=(cij)nn definita astfel :
l(xi ,xj) daca (xi , xj)U
Cij= 0 daca i=j
+ daca (xi ,xj)U
Intuitiv,aceasta alegere ar insemna ca drumul cel mai scurt de la xi la
el insusi este de lungime 0 iar inexistenta arcului ( xi, xj )este totuna cu
existenta unui arc de lungime infinita ( care evident nu va interveni
niciodata intr-un eventual drum minim de la xi la xj ) .
Algoritmul lui Dijkstra
Problema: Fiind dat un graf orientat G=(X,U) , o functie l:UR+ si
un nod xi0 , sa se determine pentru toate varfurile xi pentru care exista drum
de la xi0 la xi , lungimea celui mai scurt drum precum si unul dintre
drumurile minime de la xi0 la xi.
Algoritmul utilizeaza metoda Greedy generand drumurile minime in
ordinea crescatoare a lungimilor.
Exemplu:
Pentru graful urmator , considerand nodul de plecare 1 se vor obtine
in ordine:
D1=(1,2) de lungime 1;
D2=(1,2,5) de lungime 2;
6
D3=(1,2,5,3) de lungime 4;
D4=(1,2,5,3,4) de lungime 5;
Deci pornind din nodul 1 avem in final :
de la 1 la 2 D1 de lungime 1;
de la 1 la 3 D3 de lungime 4;
de la 1 la 4 D4 de lungime 5;
de la 1 la 5 D2 de lungime 2;
de la 1 la 6 nu exista drum.
2 7
1 3
1 2
1 5 4
3
1 3
6
Se porneste de la varful xi0 . Evident cel mai scurt drum de la xi0 la
unul dintre celelalte varfuri ale grafului este dat de arcul (xi0 , xj) de lungime
minima . Urmatorul drum in ordinea lungimilor va fi dat fie de un alt arc cu
extremitatea initiala xi0 fie de un drum (xi0 ,xj ,xp). Alegem in continuare
drumuri in ordinea crescatoare a lungimilor , pana cand am determinat
drumuri minime de la xi0 catre toate varfurile pentru care exista drum
pornind din xi0.Pentru aceasta se considera S multimea varfurilor xjX
pentru care am gasit drum minim de la xi0 la xj. Initial S={ xi0 }. La fiecare
pas , adaugam in S acel nod xkX \S cu proprietatea ca drumul minim de la
xi0 la xk are cel mai mic cost dintre toate drumurile de la xi0 la xp , cu xpX\S.
Pentru exemplul considerat S va avea pe rand urmatorul continut:
S={1}
S={1,2}
S={1,2,5}
S={1,2,5,3}
S={1,2,5,3,4}
Sa observam ca drumul minim de la xi0 la xk (xk nodul ce urmeaza sa-l
adaugam in S la un moment dat) trece numai prin varfuri din S ( cu exceptia
lui xk); intr-adevar notand xi primul varf de pe acest drum ce nu apartine lui
S si presupunand ca xi xk ar rezulta ca drumul de la xi0 la xi este mai scurt
decat cel de la xi0 la xk ceea ce ar contrazice alegerea lui xk.
7
Pentru a alege nodul xk X\S ce urmeaza a fi adaugat in S vom folosi
un vector d=( d1 , d2 , ... , dn ) astfel incat
lungimea drumului minim de la xi0 la xi , daca xi S
di= lungimea drumului minim de la xi0 la xi ce foloseste numai
varfuri din S daca xi S
Initial di=C(i0 ,i) i=1,n unde C este matricea costurilor .
La un moment dat , adaugam in S nodul xk cu proprietatea ca
dk=min{dj xjX S }.
Dupa adaugarea lui xk in S trebuie actualizate valorile lui d pentru
elementele care nu sunt in S , deoarece este posibil ca drumul minim de la xi0
la unul din aceste noduri ( folosind noduri din S ) sa foloseasca nodul xk pe
care tocmai l-am adaugat . Fie xj X|S un astfel de nod . Drumul minim de
la xi0 la xj ce foloseste noduri din S ( inclusiv xk ) va fi de forma D=(xi0 , ...
.... , xk , xj ). Intr-adevar, presupunind ca exista noduri intermediare xp pe
drumul de la xk la xi adica D=( xi0 , ... ,xk , ... ,xp , ... ,xj ) ar exista drumul mai
scurt format din drumul minim de la xi0 la xp ( care evident nu contine xk
deoarece xp a fost adaugat mai inainte la multimea S ) si secventa din D de la
xp la xj. Deci pentru xjXS , dj se modifica dupa adaugarea lui xk la S numai
daca
dk+C(k,j)< , caz in care dj: +C(k,j).
In final , vectorul va contine costurile ( lungimile ) drumurilor minime
de la xi0 la celelalte noduri ; daca pentru un nod xj nu exista drum de la xi0 la
xj, dj= .
Mai jos este prezentat algoritmul in limbaj Pascal. Pentru
reprezentarea multimii S s-a folosit vectorul caracteristic S cu n componente
0 daca xiS
S[i]=
1 daca xiS
Ca multime de noduri se considera X={1,2, ... ,n} iar lungimile
arcelor se considera numere intregi.
8
program Dijkstra;
const nmax=15;
inf=maxint div 2;
var c:array[1..nmax , 1..nmax] of integer;
k,i,j,arc,m,n,x,y,z,xp: intrger;
s,d,prec:array[1..nmax] of integer
g: boolean;
procedure min(var k: integer);
var m,i: integer;
begin
m:=inf*2;
for i:=1 to n do
if (s[i]=0) and (d[i]<m) then
begin m:=d[i];
k:=i;
end
end;
procedure drum(i:integer);
begin
if i<>0 then
begin
drum(prec[i]);
write(i);
end
else writeln
end;
begin
writeln( dati nr de noduri ); readln (n);
for i:=1 to n do
forj:=1 to n do c[i,j]:=inf;
for i:=1 to n do c[i,j]:=0;
writeln ( dati nr de arce ); read (arc);
for i:=1 to arc do
begin
write ( dati arcul ,i, si lungimea );
readln (x,y,z);
c[x,y]:=z;
end; read(xp);
9
for i:=1 to n do begin
d[i]:=c[xp,i];
s[i]:=0;
if c[xp,i]< inf then prec[i]:=xp
else prec[i]:=0;
end;
s[xp]:=1;
prec[xp]:=0;
g:=true;
x:=0;
repeat
min(k);
x:=x+1;
if (d[k]=inf) or (x=n) then g:=false
else begin
s[k]:=1;
for j:=1 to n do
if (s[j]=0)and (d[j]>d[k]+c[k,j]) then
begin
d[j]:=d[k]+c[k,j];
prec[j]:=k;
end;
end;
until (not g);
for i:= 1 to n do
if i<>xp then
if d[i]=inf then
begin
write(‘Nu exista drum de la ’,xp, ‘la’,i);
writeln;
end
else begin
writeln(‘Drum minim de la ’,xp,’la’,i);
drum(i);
writeln
end
end.
10
Algoritmul lui Roy- Floyd
Problema: Fiind dat un graf G=(X,U) cu X={x1 , ... , xn} si o functie
l:UR+ sa se determine pentru fiecare pereche de noduri xi , xj (ij)
lungimea minima a drumurilor de la xi la xj precum si aceste drumuri (in caz
ca exista drum de la xi la xj)
Algoritmul Roy –Floyd determina lungimile minime ale drumurilor
intre oricare doua noduri ale grafului intr-o matrice C=(cij)nn unde
CIJ = daca i=j
lungimea drumului minim de la xi la xj daca exista
drum de la xi la xj
daca nu exista drum de la xi la xj
Determinarea matricii C este asemanatoare algoritmului Roy-Warshall
pentru obtinerea matricii drumurilor
Se porneste de la matricea costurilor C
for k=1 to n
for i=1 to n (ik)
for j=1 to n (jk)
cij : = min (cij , cik + ckj)
endfor
endfor
endfor
Observatie : Acest algoritm poate fi privit ca o succesiune de n
transformari aplicate matricii C , o transformare k fiind astfel :
Tk(A) = B, B =(bij)nn , bij= min(aij ,aik+a) i,j { 1 , ... , n}.
Simultan cu determinarea lungimilor minime ale drumurilor , pot fi
retinute si acestea . Vom folosi o matrice D=(dij)nn ale carei elemente dij
sunt multimi de noduri (dij va reprezenta in final multimea nodurilor ce pot
precede pe xj in drumul minim de la xi la xj).
Odata cu initializarea matricii C cu matricea costurilor vom initializa
si matricea D astfel :
{xi} daca cij si i j
dij=
daca cij= sau i=j
11
Pe masura ce se actualizeaza matricea C vom actualiza si matricea D
dupa cum urmeaza :
- daca cij<cik+ckj , atunci dij ramane neschimbat ;
- daca cij=cik+ckj (inseamna ca am gasit noi posibilitati de
construire a drumului minim de la xi la xj folosind nodul k )
se adauga la dij varfurile din dkj ;
- daca cij>cik+ckj se initializeaza dij cu dkj .
In final reconstituirea drumurilor minime intre oricare doua varfuri
xi,xj se face pornind din xj astfel : precedentul lui xj il alegem din multimea
dij avand unul din aceste noduri fixat (sa-l numim xg) precedentul acestuia va
fi orice nod din multimea dig . Procedeul continua pana ajungem la nodul xi .
Observatie : Daca ne intereseaza doar cate un drum pentru fiecare
pereche de noduri xi , xj vom considera in locul matricii D o matrice D tot
nn astfel incat dij sa retina un nod ce-l poate precede pe xj in drumul minim
de la xi la xj .
Mai jos este scris programul Pascal de determinare a tuturor drumuri-
lor minime intre oricare doua varfuri ale unui graf G=(X,U) cu X={1 , ... , n}
program roymin;
const nmax=20;
inf=maxint div 2;
{inf poate fi initializat cu o valoare ce depaseste suma tuturor
costurilor}
type multime = set of 1.. nmax;
var c= array[1..nmax , 1..nmax] of word;
{c initial matricea drumurilor}
d: array [1..nmax , 1..nmax] of multime;
dr: array [1..nmax] of 1..nmax;
n,m,i,j.k.lg:word;
procedure initc;
{initializeaza matricea costurilor C}
var i,j,x,y,z: word;
begin
write(` Dati nr de noduri: `);
readln(n);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
c[i,j] := inf;
c[i,i] :=0; end;
12
write(`Dati nr de noduri : `);
readln(m);
for i:=1 to m do
begin
write(`Extremitatile si lungimea arcului `,i,`: `);
readln(x,y,z);
c[x,y]:=z;
end;
end;
procedure initd;
{iniţializeaza matricea D}
var i,j:integer;
begin
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if(c[i,j]<inf)and(i<>j) then d[i,j]=[i]
else d[i,j]=[];
end;
procedure drum(i,j:integer);
{genereaza in vectorul dr un drum minim de la i la j pornind din nodul j}
var k: word ;
begin if i<>j then
begin for k:=1 to n do
if k in d[i,j] then
begin
lg:=lg+1;
dr[lg]:=k;
drum(i,k);
lg:=lg – 1
end;
end
else begin
writeln;
for k:=lg downto 1 do
write(dr[k]:4)
end;
end;
13
procedure afişare;
var i,j:word;
{afişarea rezultatelor}
begin
for i:= 1 to n do
for j:=1 to n do
begin
writeln:
if c[i,j]=inf then
writeln(‘ nu exista drumuri minime de la ‘,i,’ la ‘,j,’)
else
begin
writeln(‘ lungimea drumurilor minime de la ‘,i,’ la’,j,’ este
‘,c[i,j]);
if i<> i then begin
lg:=1;
dr[1]:=j
drum(i,j)
end
end
end
end;
begin
initc;
initd;
for k:=1 to n do
for i:=1 to n do for j:=1 to n do
if c[i,j]>c[i,k]+c[k,j] then
begin
c[i,j]:=c[i,k]+c[k,j]:
d[i,j]:=d[k,j]
end
else
if c[i,j]=c[i,k]+c[k,j] then
d[i,j]:=d[i,j]+d[k,j];
afişare;
end.
14
DRUMURI MAXIME IN GRAFURI ORIENTATE
Fie G=(X,U) un graf fara circuite cu X={x1 , x2 ,... , xn} si l:UR+ .
Ne punem problema determinarii drumurilor de lungime maxima in acest
graf. Vom atasa grafului G o matrice M=(mij)nn definita astfel :
l(xi , xj) daca (xi , xj)U
mij= - daca (xi , xj)U si (ij)
0 daca i=j
Observam ca aceasta matrice este asemanatoare matricii costurilor
atasata grafului pentru determinarea drumurilor minime , cu diferenta ca
pentru perechi de noduri xi , xj (ij) pentru care nu exista arcul (xi,xj) marcam
in matrice - . Intuitiv , aceasta ar insemna ca inexistenta arcului (xi , xj) este
totuna pentru studiul drumurilor maxime, cu existenta unui arc de lungime
- (care evident nu va interveni niciodata intr-un eventual drum maxim de la
xi la xj) .
Algoritmii de determinare a drumurilor minime pot fi adaptati cu mici
modificari pentru determinarea drumurilor maxime. Considerind problema
determinarii drumurilor maxime intre oricare doua varfuri xi , xj(ij) pentru
care exista drum de la xila xj , putem utiliza urmatorul algoritm:
Fie M matricea asociata grafului ca mai sus , iar D=(dij)nn cu
{xi} daca mij>- si (ij)
dij=
daca mij= - sau i=j
for k=1 to n
for i=1 to n (ki)
for j=1 to n (kj)
if mij<mik+mkj
then mij := mik+mkj
dij := dkj
else
15
if mij := mik+ mkj
then dij:= dij dkj
endif
endif
endfor
endfor
endfor.
In matricea M vom avea in final lungimile drumurilor maxime intre
oricare 2 noduri iar in dij i ,j{1 , ... , n} vom avea multimea nodurilor ce
pot precede pe xj intr-un drum maxim de la xi la xj.
Mai jos este dat programul Pascal de determinare a tuturor drumurilor
maxime intre oricare doua noduri folosind algoritmul prezentat anterior ,
pentru un graf G=(X, U) , X={1 , ... , n} .
program roymax;
const nmax=20;
inf=-(maxint div 2);
type multime = set of 1 .. nmax;
var c: array [1 .. nmax , 1 .. nmax] of integer;
{c initial matricea costurilor}
d: array [1 .. nmax , 1 .. nmax] of multime;
dr: array[1 .. nmax] of 1 .. nmax;
n,m,i,j,k,lg:word;
procedure initc;
{initializeaza matricea costurilor C}
var i,j,x,y,z:word;
begin
write(Dati nr de noduri:);
readln(n);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
c[i,j]:= inf;
c[i,j]:=0
end;
write(Dati nr de ace :);
readln(m);
for i:=1 to m do
16
begin
write(Extremitatile si lungimea arcului,i, :);
readln(x,y,z);
c[x,y] :=z;
end
end;
procedure initd ; {initializeaza matricea D}
var i,j : integer ;
begin
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if (c[i,j]> inf) and (i<>j) then d[i,j]:=[i]
else d[i,j]:=[];
end;
prodcedure drum(i,j:integer);
var k:word;
begin
if i<>j then
begin
for k:=1 to n do
if k in d[i,j] then
begin
lg:= lg+1;
dr[lg]:=k;
drum(i,k),
lg:=lg-1
end;
end
else begin
writeln;
for k:=lg downto 1 do
write(dr[k]:4)
end;
end;
procedure afisare;
var i,j:word;
begin
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
begin
17
writeln;
if c[i,j]=inf then
writeln( nu exista drum intre ,i, si ,j)
else
begin
writeln(Lungimea drumurilor maxime de la’,i,’la’,j,’ este
‘,c[i,j]);
if i<>j then begin
lg:=1;
dr[1]:=j;
drum(i,j)
end
end
end
end;
begin
initc;
initd;
for k:=1 to n do
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if (c[i,k]<>inf) and (c[k,j]<>inf) then
if (c[i,j]<c[i,k]+c[k,j] ) then
begin
c[i,j]:=c[i,k]+c[k,j];
d[i,j]:=d[k,j];
end
else
if c[i,j]=c[i,k]+c[k,j] then d[i,j]:=d[i,j]+d[k,j];
afisare;
end.
18
19
20
