Upload
stezx
View
2.144
Download
46
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Formule grafuri
Citation preview
FORMULE
GRAFURI
CUPRINS
Grafuri neorientate
Grafuri orientate
Grafuri speciale
Arbori
*GRAFURI NEORIENTATE*
Numrul total de grafuri neorientate cu n noduri este
*Se numete graf neorientat (G) o pereche ordonat de mulimi (X,U), unde X este o mulime finit i nevid de elemente, iar U o mulime de perechi formate cu elemente distincte din mulimea X.
Suma gradelor tuturor nodurilor unui graf nerorientat este egal cu dublul numrului de muchii.
*Gradul unui nod x al grafului G este egal cu numrul muchiilor incidente cu nodul i se noteaz cu d(x).
Dac graful G neorientat are n noduri, n>2, atunci cel puin 2 noduri au acelai grad.
Pentru orice graf neorientat numrul nodurilor de grad impar este par.
Numrul minim de muchii pe care trebuie s le aib un graf neorientat cu n noduri, ca s nu existe noduri izolate este
LANT
CICLU
Lungimea maxim a unui lan este infinit.
Lungimea maxim a unui ciclu este m(numrul
de muchii).
*Numim lan o succesiune de noduri care au proprietatea c, oricare ar fi dou noduri succesive, ele sunt adiacente.
*Numim ciclu un lan n care toate muchiile/arcele sunt distincte dou cte dou i primul nod coincide cu ultimul.
GRAF PARTIAL
Numrul de grafuri pariale ale unui graf cu
m muchii este egal cu
*Fie graful G=(X,U) i mulimea VU. Graful Gp=(X,V) se numete graf parial al grafului G.
SUBGRAF
Numrul de subgrafuri ale unui graf cu n
noduri este egal cu
*Fie graful G=(X,U). Graful Gs=(Y,V) se numete
subgraf al grafului G dac YU i
muchiile/arcele din mulimea V sunt toate
muchiile/arcele din mulimea U care au ambele
extremiti n Y.
*GRAF ORIENTAT*
Numrul total de grafuri orientate care se pot
forma cu n noduri este
* Se numete graf orientat sau digraf (G) o pereche ordonat de mulimi (X,U), unde X este o mulime finit i nevid de elemente, iar U o mulime de perechi ordonate formate cu elemente distincte din mulimea X.
ntr-un graf orientat cu n vrfuri, suma gradelor interne ale tuturor nodurilor este egal cu suma gradelor exterioare ale tuturor nodurilor i cu numrul de arce.
*Elementele mulimii U se numesc arce.
*Gradul intern unui nod x al grafului G este egal
cu numrul arcelor care intr n nodul x i se noteaz cu d-(x).
*Gradul extern unui nod x al grafului G este egal
cu numrul arcelor care ies din nodul x i se noteaz cu d+(x).
GRAFURI COMPLETE
Numrul de muchii al uni graf neorientat
complet este
*Un graf cu n noduri se numete complet dac are proprietatea c, oricare ar fi dou noduri ale grafului, ele sunt adiacente.
Numrul de grafuri orientate complete care
se pot construi cu n noduri este egal cu .
LANT ELEMENTAR
DRUM ELEMENTAR
Dac un graf conine un lan ntre 2 noduri x i y atunci conine un lan elementar ntre nodurile x i y.
Lungimea maxim a unui lan elementar este n-1 respectiv n pentru ciclu elementar.
*Lanul elementar este lanul care conine numai noduri distincte.
Dac un graf conine un drum ntre 2 noduri x i y atunci conine un drum elementar ntre nodurile x i y.
* Numim drum o succesiune de noduri care au proprietatea c oricare ar fi dou noduri succesive ele sunt legate printr-un arc.
* Drumul elementar este drumul n care nodurile sunt distincte dou cte dou.
Dac un graf conine un ciclu atunci conine i un ciclu elementar.
Dac un graf conine un circuit atunci conine i un circuit elementar.
*Numim circuit un drum n care toate arcele sunt distincte dou cte dou i ale crui extremiti coincid.
* Circuitul elementar este circuitul n care toate nodurile sunt distincte dou cte dou cu excepia primului i a ultimului care coincid.
CONEXITATE
Numrul minim de muchii necesare ca pentru ca un graf neorientat s fie conex este n-1.
* Un graf G se numete graf conex dac are proprietatea c, pentru orice pereche de noduri diferite ntre ele, exist un lan care s le lege.
Un graf conex cu n noduri i n-1 muchii este aciclic i maximal cu aceast proprietate.
Dac un graf neorientat conex are n noduri i m muchii, numrul de muchii care trebuie eliminate, pentru a obine un graf parial conex aciclic este m-n+1.
Dac un graf are n noduri , m muchii i p componente conexe , numrul de muchii care trebuie eliminate pentru a obine un graf parial aciclic (arbore) este egal cu m-n+p.
Pentru a obine dintr-un graf neorientat conex, 2 componente conexe, numrul minim de muchii care trebuie eliminate este cel mult egal cu
gradul minim din graf.
Numrul maxim de muchii dintr-un graf neorientat cu n noduri i p componente conexe este
*GRAFURI SPECIALE*
GRAF HAMILTONIAN
Un graf cu mai mult de 2 noduri este hamiltonian
dac gradul fiecrui nod este
* Numim lan hamiltonian un lan elementar ce conine toate nodurile grafului.
*Numim ciclu hamiltonian un ciclu elementar ce
conine toate nodurile grafului.
*Un graf ce conine un ciclu hamiltonian se numete graf hamiltonian.
Numrul de cicluri hamiltoniene dintr-un graf
complet cu n noduri este
GRAF EULERIAN
Un graf ce nu conine grafuri izolate este eulerian dac i numai dac este conex i gradele tuturor nodurilor sunt pare.
*Numim ciclu eulerian un ciclu ce conine toate muchiile grafului.
*Un graf ce conine un ciclu eulerian se numete graf eulerian.
GRAF TURNEU
Orice graf turneu conine un drum elementar care trece prin toate nodurile grafului.
*Un graf orientat n care, ntre oricare 2 noduri exist un singur arc i numai unul, se numete graf turneu.
Pentru orice graf turneu, exist un nod x, astfel nct toate nodurile y x sunt accesibile din x pe un drum care conine un arc sau dou arce.
*ARBORI*
Orice arbore cu n noduri are (n-1) muchii.
*Se numete arbore cu rdcin un arbore n care exist un nod privilegiat numit nod rdcin.
Un arbore binar strict care are n noduri
terminale are n total (2*n-1) noduri.
*Se numete arbore binar strict un arbore care are proprietatea c fiecare nod, cu excepia nodurilor terminale, are exact 2 descendeni.
*Nodurile fr succesori se numesc frunze sau noduri terminale.
Un arbore binar complet care are n noduri
terminale are n total (2*n-1) noduri.
*Se numete arbore binar complet un arbore binar strict care are toate nodurile
terminale pe acelai nivel.
Proiect realizat de:Blaj Mdlina
Clasa a XI-a B
Prof. coordonator:
Gavril Florin