Teoría Tema 7 Probabilidad

I.E.S.Martn Rivero Proyecto integrado de estadstica

- 1 -

TEMA 7.- PROBABILIDAD

INDICE

1. Introduccin 2. Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos 3. Operaciones con sucesos 3.1. Propiedades de las operaciones con sucesos 4. Probabilidad de un suceso 4.1. Definicin clsica de la probabilidad. Regla de laplace.

4.2. Definicin frecuentista de la probabilidad. Ley de los grandes nmeros.

4.3. Definicin axiomtica de la probabilidad.

5. Propiedades de la probabilidad

1. Introduccin La Probabilidad tuvo sus orgenes en los juegos de azar, en el siglo

XVII. Los juegos de azar incluyen acciones tales como girar la rueda

de una ruleta, lanzar dados, tirar al aire una moneda, extraer una

carta, etc., en las cuales el resultado es incierto. Sin embargo, es

sabido que, aun cuando el resultado de una prueba en particular

sea incierto, existe un resultado que se puede predecir a largo plazo.

En la ciencia experimental se presenta tambin un tipo similar de

incertidumbre y regularidad a largo plazo. As, por ejemplo, en

gentica es incierto saber si un descendiente ser macho o hembra,

pero en un plazo largo se conoce aproximadamente el porcentaje

de descendientes que sern machos y el de aquellos que sern

hembras.

2. Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos En algunas situaciones, la realizacin sucesiva de un experimento en

las mismas condiciones produce el mismo resultado. Son los

llamados experimentos deterministas. Esto ocurre por ejemplo en la

cada libre de los cuerpos o al medir la temperatura de ebullicin del

agua destilada.

Pero hay situaciones en las que la realizacin de un experimento en

las mismas condiciones produce resultados distintos: son los llamados

experimentos aleatorios. Por ejemplo el lanzamiento de un dado,

sacar una carta de una baraja, lanzar una moneda al aire


- 2 -

Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no se puede

predecir a priori, es decir, depende de la suerte o el azar.

Aunque en los experimentos aleatorios, los resultados son a priori

imprevisibles, de antemano, podemos conocer todos sus posibles

resultados.

Se llama espacio muestral de un experimento aleatorio al conjunto

de todos sus posibles resultados. Al espacio muestral lo denotaremos

por .

Ejemplos: Damos a continuacin una serie de experimentos

aleatorios junto con sus espacios muestrales:

Al lanzar un dado y fijarse en la cara superior el espacio

muestral es = {1,2,3,4,5,6}

Al observar el sexo de un recin nacido el espacio muestral es

= {V, H}

Al investigar cuntas veces hay que tirar una moneda hasta

obtener una cara, el espacio muestral es = {1,2,3,}.

Definiciones:

a) Llamamos suceso a todo subconjunto del espacio muestral.

b) Se llama suceso elemental a cualquier suceso constituido por un

nico elemento y suceso compuesto al que contiene ms de un

elemento.

c) Cuando realizamos un experimento, el resultado obtenido es un

suceso elemental. Al realizar el experimento se dice que se ha

verificado el suceso A si el resultado es un elemento de A.

d) Se llama suceso seguro a aquel que ocurre siempre. Por lo tanto,

el suceso seguro es .

e) Se llama suceso imposible a aquel que no se verifica nunca y se

representa por .

f) Diremos que dos sucesos son incompatibles si no pueden ocurrir

simultneamente.

g) Se llama suceso contrario de un suceso y se denota por A a AA = , es decir, el suceso formado por todos los sucesos

elementales que no estn en A. El suceso contrario de un suceso se


- 3 -

verifica cuando no se verifica dicho suceso. Tambin se le denomina

suceso complementario.

Observacin: AA = .

Ejemplo:

En el experimento consistente en el lanzamiento de un dado = {1, 2 ,3 ,4 ,5 ,6}. Los sucesos elementales son {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6}. El

suceso obtener un nmero par es A= {2,4,6}, que es un suceso

compuesto. El suceso contrario del anterior sera }5,3,1{=A . Si al lanzar un dado obtenemos, por ejemplo un 4, entonces podremos

decir que ha ocurrido el suceso A. El suceso A sera incompatible

con el suceso {1}, ya que es imposible que al lanzar un dado

obtengamos un 1 y un nmero par al mismo tiempo, ya que 1 es un

nmero impar. Un ejemplo de suceso seguro sera por ejemplo el

suceso B = salir nmero menor que 10 y un ejemplo de suceso

imposible sera el suceso C = salir 7.

3. Operaciones con sucesos Puesto que los sucesos son los subconjuntos del espacio muestral, las

operaciones con sucesos son equivalentes a las operaciones con

conjuntos y por lo tanto, las propiedades de las operaciones con

sucesos son las mismas que las de las operaciones con conjuntos.

Las operaciones de sucesos son por tanto:

a) Unin de sucesos:

}/{ BABA = , es decir, la unin BA es el suceso formado por todos los sucesos elementales de A o de B.

La unin de sucesos se verifica cuando se verifica alguno de ellos o

ambos.


- 4 -

b) Interseccin de sucesos }/{ ByABA = , es decir, la interseccin BA es el

suceso formado por todos los sucesos elementales que estn en A y

en B.

La interseccin de sucesos se verifica cuando se verifican ambos

simultneamente.

Observacin: anteriormente definimos dos sucesos incompatibles como aquellos que no pueden suceder al mismo tiempo y eso equivale a que A B= . c) Diferencia de sucesos

}/{ ByABA = , es decir, la diferencia A B es el suceso formado por los sucesos elementales que estn en A pero no en B. Si ocurre A B, ocurre A pero no ocurre B. Es evidente que

BABA =

d) Inclusin de sucesos BA si todos los sucesos elementales de A pertenecen a B, es decir:

BA Siempre que ocurre A ocurre B.


- 5 -

Ejemplo:

En el experimento consistente en el lanzamiento de un dado

consideramos los sucesos:

A= sacar nmero par

B= sacar mltiplo de 3

C= sacar potencia de 2

D= sacar 1 2

Tenemos que:

A= {2,4,6} B= {3,6} C={1,2,4} D= {1,2}

BA = {2,3,4,6} CA = {2,4} AC = {1}

Se tiene que CD y = DB , luego B y D son incompatibles.

3.1. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS

Podemos establecer, entre otras, las siguientes propiedades de las

operaciones con sucesos (para todo CBA ,, ):

a) Conmutativa: ABBA = ABBA =

b) Asociativa: CBACBA = )()( CBACBA = )()( c) Distributiva: )()()( CABACBA =

)()()( CABACBA = d) Elemento neutro: AA = AA =

e) Elemento absorbente: =A =A

f) Elemento complementario: = AA = AA

g) Leyes de De Morgan: BABA = BABA =


- 6 -

De entre todas estas propiedades las Leyes de De Morgan son

especialmente importantes y las vamos a utilizar bastante durante este

tema.

4. Probabilidad de un suceso

4.1. DEFINICIN CLSICA DE LA PROBABILIDAD. REGLA DE LAPLACE.

Sea un espacio muestral finito cuyos sucesos elementales son

equiprobables y sea A un suceso. Se define la probabilidad de A como:

posiblescasosAafavorablescasosAP =)(

Esta regla se conoce como regla de Laplace.

Hay que sealar que tenemos que trabajar con objetos ideales:

monedas y dados equilibrados, etc.

Inconvenientes de la regla de Laplace

1) tiene que ser finito.

2) Los sucesos elementales tienen que ser equiprobables.

3) El objeto ha de ser perfecto.

Ejemplo: Cul es la probabilidad de que al lanzar dos dados, la suma

de las puntuaciones de ambos sea 7?

Casos posibles: El primer dado tiene 6 posibles resultados y el segundo

otros 6 posibles resultados, luego tenemos 66=36 posibles resultados.

Casos favorables: A= {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}. Es decir,

tenemos 6 casos favorables. Luego:

P(A)=61

366

=

4.2. DEFINICIN FRECUENTISTA DE LA PROBABILIDAD. LEY DE LOS

GRANDES NMEROS.

Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas

veces y en idnticas condiciones, el cociente entre el nmero de

veces que aparece un resultado (suceso) y el nmero total de veces

que se realiza el experimento tiende a un nmero fijo. Es decir, la

frecuencia relativa asociada a un resultado tiende a un nmero fijo a

medida que el nmero de veces que se realiza el experimento


- 7 -

crece. A este nmero lo llamaremos probabilidad de dicho suceso.

Esta propiedad se conoce como ley de los grandes nmeros.

La frecuencia relativa del suceso A: fr(A)=nA/n, donde:

nA es el nmero de veces que aparece el suceso A y n es el nmero

de veces que se realiza el experimento.

En este caso, el espacio muestral puede ser finito o infinito, los

sucesos pueden ser equiprobables o no.

Esta definicin presenta el inconveniente de tener que realizar el

experimento un gran nmero de veces y adems siempre

obtendremos un valor aproximado de la probabilidad.

Ejemplo: Calcular, sin utilizar la regla de Laplace, la probabilidad de que

al lanzar una moneda salga cara:

N de lanzamientos N de caras

Frecuencia relativa

10 6 0,6

100 52 0,52

1000 489 0,489

10.000 5009 0,5009

Las frecuencias relativas se aproximan a 0,5 que coincide con la

probabilidad hallada mediante la regla de Laplace.

4.3. DEFINICIN AXIOMTICA DE LA PROBABILIDAD.

La definicin axiomtica de la probabilidad se debe a Kolmogorov,

quin consider la relacin entre la frecuencia relativa de un suceso y

su probabilidad cuando el nmero de veces que se realiza el

experimento es muy grande.

Sea el espacio muestral de cierto experimento aleatorio y S el correspondiente espacio de sucesos (el conjunto de todos los sucesos posibles de un experimento, es decir, el conjunto de todos los subconjuntos del espacio muestral ), llamaremos probabilidad a toda aplicacin RSP : que verifica:

1) 0)( AP para todo SA 2) Si = BA entonces )()()( BPAPBAP += 3) 1)( =P


- 8 -

(Observacin: No es difcil probar que tanto la Regla de Laplace como la ley de los grandes nmeros cumplen estos tres axiomas)

5. Propiedades de la probabilidad Como consecuencia de los axiomas anteriores, obtenemos las

siguientes propiedades:

1. 0)( =P

2. )(1)( APAP = 3. Para todo SBA , tal que BA se tiene que )()( BPAP 4. Para todo SBA , se tiene que )()()()( BAPBPAPBAP += 5. Para todo SBA , se tiene que )()()( BAPBPABP =

Ejemplo: Vamos a ver un ejemplo donde aplicamos tanto las

propiedades de la probabilidad como las propiedades de los sucesos:

La probabilidad de que una persona use gafas es 0,6; la probabilidad

de que tenga los ojos claros es 0,6; y la probabilidad de que use gafas y

tenga los ojos claros es 0,52. Calcula la probabilidad de que, elegida

una persona al azar:

a) No use gafas

b) Use gafas o tenga los ojos claros

c) No use gafas o no tenga los ojos claros

Respuesta: Consideramos los sucesos:

A: Usar gafas B: Tener los ojos claros

Escribimos las probabilidades conocidas:

P(A)=0,6 P(B)=0,6 P( BA )=0,52

a) No usar gafas: A P( A )=1 P(A)=1 0,6 = 0,4

b) Usar gafas o tener ojos claros: BA

P( BA )= P(A)+P(B) P( BA )= 0,6 + 0,6 0,52= 0,68

c) No usar gafas o no tener los ojos claros: BA

P( BA ) = 48,052,01)(1)( === BAPBAP donde en la primera igualdad hemos usado las leyes de De Morgan.

Documents

Teoría Tema 7 Probabilidad