PROBABILIDAD

1. PROBABILIDAD.

1.1 Introduccin a la probabilidad

Si se nos plantea la pregunta cuanto dalsy hay que proporcionar a un nio de 10 kg de peso, sabiendo que la dosis recomendada son 25mg por kg? responderemos sin dudar que 250 mg. Sin embargo si se nos pregunta si un feto de 2 semanas ser nio o nia no podemos dar una respuesta con total garanta de ser cierta, aunque podramos usar nuestra experiencia para intentar responder (Sabemos que aproximadamente un 51% de los nacidos son varones).Qu diferencia hay entre los dos fenmenos? En el primer caso se trata de un fenmeno determinista, en el que hay una relacin fija entre causa y efecto que es conocida. En el segundo caso el fenmeno es aleatorio, al igual que cuando se lanza una moneda o un dado. Un fenmeno aleatorio es aqul del que a priori solo se conoce el conjunto de posibles resultados. Si queremos conocer ms acerca de este tipo de fenmenos hemos de recurrir a la Teora de la Probabilidad, que los estudia para poder establecer modelos probabilsticas que nos permitan predecir sus resultados y poder afirmar, por ejemplo, que al lanzar una moneda slo puede aparecer una cara o una cruz, y que ambos resultados son igualmente probables.

El concepto de probabilidad est arraigado en nuestra cultura de modo que podemos encontrar multitud de ejemplos a nuestro alrededor: dos de cada veinte citas previas no acuden a una determinada consulta de enfermera, tengo un 70% de probabilidades de aprobar el examen, la probabilidad de que llueva maana es del 95%, etc. La probabilidad de un evento se suele medir con un nmero entre 0 y 1, que indica como de fcil es que dicho evento tenga lugar.Antes de dar una definicin formal de probabilidad y describir sus propiedades, es preciso introducir algunos conceptos.Experimento aleatorio: Es la prueba que vamos a realizar de la que conocemos a priori los posibles resultados, pero no el resultado concreto que tendr lugar.

Espacio muestral ((): Es el conjunto de posibles resultados del experimento. Cada elemento unitario del espacio muestral se llama suceso elemental. A cualquier subconjunto del espacio muestral se le llama, sin ms, suceso.El espacio muestral puede estar compuesto por una cantidad finita de elementos o por una cantidad infinita (numerable o no) de ellos.Al propio espacio muestral se le llama tambin suceso cierto, ya que ( incluye seguro al resultado que finalmente ocurrir. Se llama suceso imposible a aqul que no ocurre nunca, y por lo tanto es el conjunto de sucesos que no contiene ningn elemento, es decir, el conjunto vaco, al que se denota: (.Tabla 1: algunos ejemplos de experimentos aleatorios.

ExperimentoEspacio muestral Algunos sucesos

E1: Lanzar un dado(={1, 2, 3, 4, 5, 6}A=resultado par= {2, 4, 6}B=resultado mayor de 2= {3, 4, 5,6}

E2: Grupo sanguneo de una persona(={0+,0-, A, B, AB}A= presenta grupo 0= {0+, 0-}B=no presenta grupo 0= {A, B, AB}

E3: Peso de una persona (=cualquier n positivo=[0,()A=el sujeto pesa ms de 70kg= (70,()B=el sujeto pesa menos de 80 kg= [0, 80)

E4: Ingresos urgentes en un servicio un cierto da.(={0, 1, 2, 3, 4...}A=hubo menos de 4 ingresos= {0, 1, 2, 3}

B= hubo entre 2 y 5 ingresos = {2, 3, 4, 5}

E5: Sexo de los tres hijos de un matrimonio (={VVV, VVH, VHV, VHH, HVV, HVH, HHV, HHH}A=el matrimonio tuvo al menos 2 nias= {VHH, HVH, HHV, HHH}

B=el matrimonio solo tiene nias= {HHH}

Unin de dos sucesos A y B [A(B]: es el conjunto formado por los elementos que estn en A o estn en B.

Interseccin de dos sucesos A y B [A(B]: es el conjunto de elementos que estn en A y en B. Es decir, los elementos que A y B tienen en comn.

Sucesos incompatibles, disjuntos o mutuamente excluyentes son aquellos que no pueden ocurrir simultneamente, es decir:A y B son sucesos disjuntos si A(B=(

Se llama Suceso complementario de A y se denota Ac al suceso contrario a A, es decir, al que ocurre cuando A no lo hace. Esto implica que A(Ac=( y A(Ac=(

Una familia de sucesos {Ai}i=1,2,,k se llama particin si son disjuntos dos a dos y su unin es todo el espacio muestral: y

Tabla 2: A(B, A(B y Ac en cada uno de los ejemplos presentado en la tabla 3.ExperimentoA(BA(BAc

E1:A={2,4,6}; B={3,4,5,6}{2, 3, 4, 5, 6}{4, 6}resultado impar= {1, 3, 5}

E1:

A= {0+, 0-}; B= {A, B, AB}{0+,0- A, B, AB}=((no presenta grupo 0= {A, B, AB}=B

E3:A= (70,(); B= [0, 80) [0, ()=( (70, 80)70 como mucho= [0, 70]

E4:A= {0, 1, 2, 3}; B= {2, 3, 4, 5}{0, 1, 2, 3, 4, 5}{2, 3}al menos 4 ingresos= {4, 5, 6,}

E5: A= {VHH, HVH, HHV, HHH}; B= {HHH} {VHH, HVH, HHV, HHH}=A{HHH}=B1 nia como mximo={VVV, VVH, VHV, HVV}

1.2 Definicin y propiedades elementales. Teorema de BayesExisten varias definiciones de probabilidad (clsica, frecuentista, subjetiva). La ms usada es la definicin clsica propuesta por Laplace en el siglo XVIII

Definicin clsica de probabilidad: La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el nmero de resultados o casos favorables a su realizacin y el n total de resultados o casos posibles.

Esta definicin parte del supuesto de que el espacio muestral es finito y compuesto por sucesos elementales igualmente probables y bajo ese supuesto proporciona una medida exacta. De no ser as, la definicin no es aplicable.Ejemplo 1. Un experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio muestral est constituido por (={CC, C+, +C, ++} y si las monedas son correctas, cosa que hemos de suponer mientras no se nos diga lo contrario, los cuatro resultados son igualmente probables, por lo que ser de aplicacin la frmula de Laplace. As, si A={Ha salido una cara}={C+, +C}, p(A)=2/4=0,5.pregunta: Hay algn experimento de la tabla 1 en que la definicin clsica de probabilidad no sera aplicable?.Ejemplo 2. Supongamos ahora un experimento consistente en lanzar dos dados no cargados simultneamente. El espacio muestral estar constituido por las 36 parejas de valores resultantes de combinar cada una de la 6 caras de un dado con las 6 caras del otro, a saber, S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}. Al no estar cargados los dados, todos los resultados son igualmente probables y nuevamente podemos utilizar la frmula de Laplace. Sea A={la suma de las caras es menor que 5} entonces A contiene los puntos, A={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)} y P(A)=6/36=1/6.

Independientemente la definicin elegida y del experimento estudiado, definir la probabilidad de un suceso consiste en asignarle una cantidad entre 0 y 1. Pero esta cantidad no puede asignarse de cualquier manera, existen unas reglas o condiciones que las probabilidades deben de verificar para que alcancen el objetivo de proporcionarnos modelos que nos describan y expliquen los fenmenos aleatorios. Se impone pues dar una definicin formal del concepto:

Definicin (formal) de probabilidad La probabilidad, P, es una funcin que verifica los siguientes axiomas:

1. Para cualquier suceso A, P(A) 0,

2. Para el suceso cierto (, P(() = 1,

3. Si A y B son dos sucesos disjuntos, A(B=(, entonces P(A(B) = P(A) + P(B)

Del cumplimiento de los axiomas anteriores se deducen las siguientes propiedades.Propiedades:1.) P(()=02.) Si A est incluido en B, entonces: P(A)(P(B)3.) 0(P(A) (1

4.) P(Ac) = 1 - P(A)

5.) Si A y B son dos sucesos cualesquiera entonces P(A(B) = P(A) + P(B) - P(A(B). Ejemplo 3. 200 personas presentan la siguiente distribucin segn sexo y estado civil: casadosolteroviudoSep/div.total

hombre6025510100

mujer622369100

total122481119200

Extraemos al azar a una de estas personas y consideramos los siguientes sucesos

M: la persona es mujer; C: la persona est casada, S: la persona est soltera y V: la persona est viuda. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos: Mc, M(V, Sc, C(S, V(M P(Mc)=P(ser hombre)=100/200=0,5

P(M(V)=6/200=0,03P(Sc)=1-P(S)=1-48/200=0,76P(C(S)=(122+48)/200=0,85

P(V(M)=P(V)+P(M)-P(M(V)=11/200+100/200-6/200=105/200=0,525Probabilidad condicionada, P(A|B), es la probabilidad de que ocurra A cuando sabemos que ha ocurrido B. Se lee probabilidad de A dado B.Se verifica siempre que:

Dos sucesos se llaman independientes cuando la ocurrencia de uno no aporta informacin acerca de la ocurrencia del otro. Es decir dos sucesos A y B son independientes si P(A|B)=P(A)Sustituyendo la ltima expresin en la anterior tambin se tendra:

Dos sucesos A y B son independientes si P(A(B)=P(A)P(B)Ejemplo 4. En el ejemplo anterior obtener la probabilidad de una persona sea:

a) Viudo si se sabe que es hombre

b) Hombre dado que se trata de un casado.

a)

b)

Ejemplo 5. El informe, correspondiente al ao 1989, del registro de enfermedades renales de la Comunidad Valenciana clasifica a los enfermos segn el tipo de tratamiento recibido y la provincia de residencia.

HDHDDMDPCATRANStotal

Alicante38122592500

Valencia88212382711204

Castelln1623141207

total142518644041911

HD: hemodilisis, HDDM: hemodilisis domiciliaria; DPCA: dilisis peritoneal continua ambulatoria;TRANS: transplante.

Suponiendo que se elige al azar paciente incluido en este registro, obtener la probabilidad de que el paciente:

a) Haya sido transplantado

b) Haya sido transplantado, sabiendo que es de Valencia.

c) Haya sido transplantado, sabiendo que es de Alicante.

d) Haya sido transplantado, sabiendo que es de Castelln.

a) P(TRANS)=404/1911=0,2114

b)

c)

d)

Teorema de la probabilidad total: Dado un suceso B y una particin del espacio muestral {A1,A2, , An}, con P(Ai)>0, para todo i, se verifica:

Ejemplo 5. (Aplicacin til del teorema de la Probabilidad total) Es bien conocida la reticencia de los encuestados a contestar preguntas delicadas (preguntas acerca de las creencias religiosas, consumo de estupefacientes, hbitos sexuales, etc.). En este sentido, es una baza importante poder tranquilizar a los encuestados, garantizando al mximo el anonimato. Veamos un mtodo sencillo derivado de la aplicacin del teorema anterior.

Se pretende conocer la opinin sobre el aborto entre los 100 estudiantes de una clase. Se colocan 100 bolas numeradas del 1 al 100 en una urna y se hace extraer una bola a cada alumno. Los alumnos cuyo nmero est entre 1 y 40 respondern a la pregunta Estas a favor del aborto? Los alumnos con un nmero entre 41 y 100 respondern a la pregunta Tu DNI acaba en nmero par? La respuesta a la pregunta escrita en un trozo de papel (adecuadamente doblado) se deposita en una urna. Al proceder de esta forma el anonimato queda garantizado porque slo el individuo conoce su nmero y por lo tanto a cual de las dos preguntas respondi.Se cuentan los papeles que tienen S y resultan 56 y ahora es tarea nuestra calcular la probabilidad de estar a favor del aborto.

Sea A={contestar s} ; B={haber contestado a la primera pregunta} y BC={haber contestado la segunda pregunta}. Segn esta notacin la probabilidad que nos interesa es P(A|B).

Segn el teorema de la probabilidad:

P(A)=P(A|B)P(B)+ P(A|BC)P(BC)

Sustituyendo en esta frmula la informacin disponible, resulta: 0,56=P(A|B)0,4+ P(A|BC)0,6. Podemos asumir que la mitad de los DNI acabarn en nmero par, y por tanto aproximar P(A|BC) por 0.5, con esta suposicin:

Teorema de Bayes: Dado un suceso B, P(B)>0 y una particin del espacio muestral {A1,A2, , An}, con P(Ai)>0, para todo i, se verifica:

Ejemplo 6. En las tres regiones de un pas (R1, R2 y R3) se declar una epidemia de clera. En R1 hubo un 25% de contagios, en R2 un 8% y en R3 un 14%. Por otra parte 10% de la poblacin del pas vive en R1 y el 40% en R2.a) Calcular la probabilidad de que un habitante del pas que ha sido contagiado viva en la regin 3. b) Si se extrae un individuo al azar de la poblacin, Cual es la probabilidad de que est sano?a) Sea C={contagiado de clera} y sea Ri= { el individuo vive en Ri}, P(R3|C)?

b) P(Cc)?. El denominador del apartado a) es precisamente P(C), por lo que P(Cc)=1-0,127=0,8731.3 Valor diagnstico de un testLos tests diagnsticos son una aplicacin del teorema de Bayes a la Medicina y se basan en lo siguiente. Supongamos que la prueba exacta para diagnosticar cierta enfermedad es invasiva o costosa. Entonces se planea sustituirla por otra de aplicacin ms conveniente aunque falle algunas veces. La primera prueba se denomina Gold Standard y la segunda prueba se denomina test diagnstico de la enfermedad. As, un individuo puede estar enfermo(E) sano(S) y, en paralelo, el test diagnstico sobre l, puede dar un resultado positivo(+), lo que supondra la asuncin de enfermedad, negativo(-), lo que supondra la asuncin de ausencia de enfermedad.Toda la casustica puede resumirse con una tabla de doble entrada:

EStotal

+n1n2N+

-n3n4N-

totalNENSN

n1: n de individuos enfermos con test positivo:verdaderos positivosn2: n de individuos sanos con test positivo:falsos positivosn3: n de individuos enfermos con test negativo: falsos negativos

n4: n de individuos sanos con test negativo: verdaderos negativos

NE = n1+ n3: n de individuos enfermosNS = n2+ n4: n de individuos sanos

N+= n1+ n2: n de individuos con test positivo

N-= n3+ n4: n de individuos con test negativo

N: n total de individuos= N+ + N-= NE + NSPara evaluar la bondad o precisin del test diagnstico existen varios indicadores, fcilmente calculables a partir de la tabla anterior-Sensibilidad del test [S]: Es la probabilidad de que el test de positivo en un individuo que sabemos posee la enfermedad. Es decir una medida de la capacidad del test para identificar enfermos.

-Especificidad del test [E]: Es la probabilidad de que el test de negativo en un individuo que sabemos est sano. Es decir una medida de la capacidad del test para identificar sanos

-Probabilidad de acierto:

-Valor predictivo positivo [VPP]: probabilidad de estar enfermo, dado que el resultado del test fue positivo

-Valor predictivo negativo [VPN]: probabilidad de estar sano, dado que el resultado del test fue negativo

Ejemplo 7. Se aplica una prueba diagnstica para diagnosticar cierta enfermedad a 150 pacientes con los siguientes resultados:EStotal

+52025

-15110125

total20130150

Sensibilidad: S=5/20=0,25

Especificidad: E=110/130=0,85Probabilidad de acierto: A=115/150=0,77Notar que la probabilidad de acierto puede resultar engaosa, dada su dependencia a la prevalencia de enfermedad en la muestra estudiadaEjemplo 8. Un test diagnstico diseado para detectar cierta enfermedad tiene una sensibilidad igual a 0,97 y da positivo el 5% de los casos en que se aplica a una persona que no padece la enfermedad. Si inicialmente se piensa que la probabilidad de estar enfermo es 0,8, determinar cmo se modifica dicha probabilidad para un sujeto en el que el resultado del test da positivo

VPP=P(E|+)?, datos: S=P(+|E)=0,97 y P(E)=0,8, P(+/S)=0,05, utilizando el teorema de Bayes:

2. VARIABLE ALEATORIA. TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS. DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD. FUNCIN DE DISTRIBUCIN. ESPERANZA Y VARIANZA. INDEPENDENCIA DE VARIABLES.Definicin de variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.

Como hemos visto en los ejemplos del tema anterior, el espacio muestral y sus sucesos son entes abstractos de difcil manejo. Una simplificacin necesaria pasa por introducir el concepto de variable aleatoria.

Dado un experimento con un espacio muestral (, una variable aleatoria, X, se define como una aplicacin de ( en el conjunto de los nmeros reales que asigna a cada resultado del experimento un nmero.

X: ( -> R

s -> nmero

En lenguaje coloquial se trata de asignar un nmero a cada resultado que obtengamos del experimento. Es costumbre designar las variables con las ltimas letras de abecedario en maysculas, X, Y, Z y si deseamos referirnos a un valor concreto (desconocido) de una variable utilizar la minscula correspondiente.

Notar que en un experimento quiz puedan definirse varias variables aleatorias y se habr de elegir aquella que facilite la resolucin del problema al que nos enfrentemos.

Veamos algunos ejemplos.

Tabla 1: algunos ejemplos de variables aleatorias.

ExperimentoEspacio muestral Posibles variables aleatorias

E1: Lanzar dos monedas(={CC,C+,+C,++}X: n de caras={0,1,2}

E2: Lanzar dos dados(={(1,1),(1,2),,{6,6)}X: suma del resultado obtenido={2,3,,12}

E3: Peso de una persona (= [0,()X: peso=[0, ()

E4: Ingresos urgentes en un servicio un cierto da.(={0, 1, 2, 3, 4...}X: n de ingresos= {0, 1, 2, 3,}

B= hubo entre 2 y 5 ingresos = {2, 3, 4, 5}

Atendiendo a la cantidad de valores que las variables pueden tomar, las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas.

Variables discretas: son las que toman una cantidad finita o infinita numerable de valores. La variable X de los experimentos E1, E2 y E4 en la tabla anterior son variables discretas. Variables continuas: son las que toman una cantidad infinita no numerable de valores. Su campo de variacin se mide en intervalos. La variable X del experimento E3 es una variable continua.Distribucin de probabilidad. Funcin de distribucin.

Puesto que todo experimento es aleatorio, la variable o variables que se definen en relacin al experimento tambin lo son, esto es, cada valor de la variable tiene una probabilidad de ocurrir. Se llama funcin de probabilidad o de densidad a la funcin que asigna a cada valor de la variable su probabilidad de ocurrencia.

Para dar una definicin correctamente expresada, es preciso distinguir entre variables discretas y continuas. As, cuando se trate de una variable discreta, hablaremos de funcin de probabilidad y la denotaremos por p. Cuando se trata de una variable continua hablaremos de funcin de densidad y la denotaremos por f.

En los apartados siguientes, las definiciones se darn en paralelo, segn esta distincin.

Dada una variable aleatoria discreta X, con posibles valores {x1,,xn} se llama funcin de probabilidad a p tal que:

p(x)=P(X=x) y verifica las siguientes propiedades:

1.) P(x)( 0 , para todo nmero real x2.)

3.)

Dada una variable aleatoria X, con valores en [xmin,xmax] se llama funcin de densidad a f tal que:

y verifica las siguientes propiedades:

1.) f(x)( 0 , para todo nmero real x

2.)

EMBED Equation.3 Notar que cuando una variable es continua la probabilidad expresada en la frmula anterior es el rea que hay por debajo de la funcin f entre x=a y x=b. As pues la probabilidad de que X tome un nico valor, correspondera a calcular el rea de una lnea y por tanto siempre valdr cero.Ejemplo 1: En un C.A.P. en el que trabajan 8 enfermeras y 4 mdicos hay que preparar un programa de atencin a enfermos diabticos y se decide que el programa ser elaborado por tres personas elegidas al azar entre todo el equipo. Sea X la variable definida como nmero de enfermeras que elaborarn el programa.

a) Indicar el tipo de variable de que se trata y obtener su distribucin de probabilidad (funcin de probabilidad o de densidad).

b) Calcular la probabilidad de que al menos 2 enfermeras colaboren en la elaboracin del programa

c) Calcular la probabilidad de ms de dos enfermeras colaboren en la elaboracin del programa.

a) Se trata de una variable discreta ya que solo puede tomar 4 valores: X={0,1,2,3}. Por lo tanto, dar su distribucin de probabilidad es obtener p(x) , siendo x=0,1,2,3

P(0)=P(X=0)=P(MMM)=

P(1)=P(X=1)=P(EMM)+P(MEM)+P(MME)=

P(2)=P(X=2)=P(EEM)+P(EME)+P(EEM)=

P(3)=P(X=3)=P(EEE)=

Notar que se trata de una funcin de probabilidad bien definida, ya que p(x)(0 y

b) P(X( 2)=p(2)+p(3)=0,5091+0,2545==0,7635c) P(X> 2)= p(3)=0,2545

Ejemplo 2: Sea X una variable aleatoria discreta que toma valores X={0,2,4,6}. Su funcin de probabilidad viene dada por . Calcular La probabilidad de que X sea al menos 2.

En primer lugar necesitamos conocer el valor de k. Para su obtencin partiremos de que la suma de las probabilidades de todos los valores de la variable debe ser 1:

Notar que podemos hacer uso de las propiedades de la probabilidad para intentar reducir los clculos.

P(X( 2)=1-P(X E[Y]=aE[X]+b

3) Generalizacin: la esperanza de cualquier otra funcin g(x) viene dada por si la variable es discreta y por si la variable es continua.Ejemplo 6: Calcular la esperanza de la variable X presentada en el ejemplo 2.

XP(x)xp(x)

01/1601/16=0

23/166/16

45/1620/16

67/1642/16

Notar que en el caso de una variable discreta, la esperanza no tiene por que ser un valor posible de la variable.Ejemplo 7: Calcular la esperanza de la variable X presentada en el ejemplo 3.

Ejemplo 8: Supongamos que la asignatura de estadstica se califica como la suma de las puntuaciones obtenidas en 5 ejercicios ms 1 punto por la asistencia. Sabiendo que la nota media de un ejercicio suele ser 1,5, obtener la nota media para la asignatura.

Se llama Varianza [ Var(X) (2 ] de una variable X, a la suma de las diferencias cuadrticas relativas con respecto a la media. Es una medida de dispersin que mide el alejamiento de los valores respecto de la media.

- Si la variable es discreta:

Si la variable es continua:

La Varianza verifica las siguientes propiedades:

1) Var(X)( 02) La varianza es un operador cuadrtico que no depende de los cambios de origen: Si Y=aX+b -> Var[Y]=a2Var[X]3) Se puede demostrar Var[X]=E[X2]-E[X]2La varianza se mide en las unidades de la variable al cuadrado, con objeto de disponer de una medida de dispersin en las mismas unidades que la variable y as poderla interpretar con facilidad, se define la desviacin tpica [(] como la raz cuadrada positiva de la varianza.

Ejemplo 9: Calcular la desviacin tpica de la variable X presentada en el ejemplo 2.

(=4,25

Xp(x)(x-()(x-()2(x-()2p(x)

01/16-4,2518,062518,06/16

23/16-2,255,062515,19/16

45/16-0,250,06250,31/16

67/161,753,062521,44/16

Ejemplo 10: Calcular la desviacin tpica de la variable X presentada en el ejemplo 3.

;

3. ALGUNAS DISTRIBUCIONES CONOCIDAS: BERNOUILLI, BINOMIAL, POISSSON, MULTINOMIAL, NORMAL, T-STUDENT.Distribuciones discretas: BernouilliDefinicin: Una variable aleatoria, X, es una Bernouilli, si representa la ocurrencia de un suceso con solo dos resultados posibles (xito y fracaso), siendo la probabilidad de xito p.

Normalmente el xito se representa con X=1 y el fracaso con X=0, aunque puede hacerse al revs sin que la decisin afecte a los resultados.

Notacin: X ~ Br(p)

Ejemplo: X: un paciente tiene gripe, X~ Br(p), siendo p la probabilidad de contraer gripe en la poblacin.

Funcin de probabilidad: p(1)=p ; p(0)=1-pO lo que es lo mismo: p(x)=px (1-p)1-x ,con x=0;1Esperanza: E[X]=0(1-p)+1p=p

Varianza: E[X2]=02(1-p)+12p=p ->Var(X)=p-p2=p(1-p)Notar que la variable X queda completamente caracterizada si se conoce el parmetro p.

Distribuciones discretas: Binomial

Definicin: Una variable aleatoria, X, Binomial representa el resultado de la realizacin de n pruebas independientes de tipo Bernouilli cada una de ellas con probabilidad de xito p.

Notacin: X ~ Bi(n,p)

Ejemplo: X: n de pacientes de un total de 20 que tiene gripe, siendo p la probabilidad de contraer gripe en la poblacin.

Funcin de probabilidad:

,con x=0,1,,n

Notar que , y, por definicin, 0!=1

Conceptualmente cuenta el nmero de formas distintas de ubicar a x individuos en n puestos.Esperanza: E[X]=np

Varianza: Var(X)=np(1-p)Notar que la variable X queda completamente caracterizada si se conocen n y p.

Ejemplo 11: En una determinada poblacin la proporcin de fumadores es del 25%. Se toma al azar una muestra de 20 personas y se desea obtener:

a) probabilidad de que no fume ninguna persona de la muestra

b) probabilidad de que fumen ms de 2

c) media y desviacin tpica del nmero de fumadores en la muestra.

X: n de fumadores en la muestra; X~Bi(20, 0,25), luego:

a)

b) P(X(2)=1-P(X (=1,936

Distribuciones discretas: Poisson

Definicin: Una variable aleatoria, X, Poisson representa el nmero de ocurrencias de cierto evento que ocurre por trmino medio ( veces.

Notacin: X ~ Po(()

Ejemplo: X: n de llamadas en un da la centralita del hospital.

Funcin de probabilidad:

x=0;1;2;Esperanza: E[X]= (Varianza: Var(X)= (Notar que . Esta es la llamada ley de recurrencia de una Poisson, que nos ofrece la posibilidad de ir obteniendo la probabilidad de un nmero a partir de la probabilidad del nmero anterior.Ejemplo 12: Sea X, el nmero de personas/semana que solicitan tratamiento innecesario en un hospital comarcal. Sabiendo que al da una media de 2 pacientes lo hacen. Obtener la probabilidad de no tener ningn caso una semana concreta, la probabilidad de tener menos de 4 solicitudes innecesarias. X: n de personas a la semana que solicitan tratamiento innecesario; X~Po(14), luego:

, con x=0,1,2,3

, y a partir de aqu utilizando la ley de recurrencia:

Distribuciones discretas: Multinomial (no va)Definicin: Una variable aleatoria, X, multinomial representa el nmero de ocurrencias de cada una de k clases posibles, con probabilidades respectivas de ocurrencia p1, p2,,pk, en un total de n pruebas.

Notacin: X ~ M(n, p1, p2,,pk)

Ejemplo: X: n de enfermeras, mdicos y auxiliares en un servicio, siendo 0,45, 0,2 y 0,35 las probabilidades respectivas

Funcin de probabilidad:

Esperanza del suceso i: E[Xi]= npiVarianza del suceso i : Var(Xi]= npi(1-pi)Notar que y

Notar que tanto la Poisson como la multinomial son extensiones de la binomial. En el caso de la Poisson, la diferencia con la binomial es que el nmero de pruebas se extiende a un infinito numerable, en el caso de la multinomial el nmero de posibles resultados de cada prueba se extiende ms de dos.Ejemplo 12: El porcentaje de mdicos, enfermeras y auxiliares en cierto hospital viene a ser 45, 20 y 35%.En un servicio de este hospital con una dotacin de 25 trabajadores obtener la probabilidad de que haya 5 mdicos y 18 enfermeras.

Distribuciones continuas: Normal

La distribucin normal tiene gran importancia debido a que muchas de las variables observadas en ciencias de la salud se pueden considerar distribuidas as. La distribucin normal se caracteriza por dos parmetros: la media y la varianza o desviacin tpica y viene a representar aquellas variables en las que la densidad de probabilidad tiene forma de campana, simtrica respecto a la media.

Ejemplo:

Notacin: X ~ N((, ()

Funcin de densidad:

Esperanza: E[X]= (Varianza: Var(X]= (2Se llama normal tipificada a Z, variable normal con media 0 y desviacin tpica 1:Z~ N(0, 1). La funcin de distribucin de la normal tipificada se suele denotar por (. ((z) est tabulada (ver tablas de la normal estndar) y estas tablas son las que se utilizar para el calculo de probabilidades relacionadas con cualquier otra variable normal. El clculo se realiza utilizando la siguiente equivalencia.

Si X~ N((, () ->

Notar que por tratarse de una distribucin simtrica

Tabla 1. reas bajo la curva normal estndar.

z0.00.01.02.03.04.05.06.07.08.09

0.0.5000.5040.5080.5120.5160.5199.5239.5279.5319.5359

0.1.5398.5438.5478.5517.5557.5596.5636.5675.5714.5753

0.2.5793.5832.5871.5910.5948.5987.6026.6064.6103.6141

0.3.6179.6217.6255.6293.6331.6368.6406.6443.6480.6517

0.4.6554.6591.6628.6664.6700.6736.6772.6808.6844.6879

0.5.6915.6950.6985.7019.7054.7088.7123.7157.7190.7224

0.6.7257.7291.7324.7357.7389.7422.7454.7486.7517.7549

0.7.7580.7611.7642.7673.7704.7734.7764.7794.7823.7852

0.8.7881.7910.7939.7967.7995.8023.8051.8078.8106.8133

0.9.8159.8186.8212.8238.8264.8289.8315.8340.8365.8389

1.0.8413.8438.8461.8485.8508.8531.8554.8577.8599.8621

1.1.8643.8665.8686.8708.8729.8749.8770.8790.8810.8830

1.2.8849.8869.8888.8907.8925.8944.8962.8980.8997.9015

1.3.9032.9049.9066.9082.9099.9115.9131.9147.9162.9177

1.4.9192.9207.9222.9236.9251.9265.9279.9292.9306.9319

1.5.9332.9345.9357.9370.9382.9394.9406.9418.9429.9441

1.6.9452.9463.9474.9484.9495.9505.9515.9525.9535.9545

1.7.9554.9564.9573.9582.9591.9599.9608.9616.9625.9633

1.8.9641.9649.9656.9664.9671.9678.9686.9693.9699.9706

1.9.9713.9719.9726.9732.9738.9744.9750.9756.9761.9767

2.0.9772.9778.9783.9788.9793.9798.9803.9808.9812.9817

2.1.9821.9826.9830.9834.9838.9842.9846.9850.9854.9857

2.2.9861.9864.9868.9871.9875.4878.9881.9884.9887.9890

2.3.9893.9896.9898.9901.9904.9906.9909.9911.9913.9916

2.4.9918.9920.9922.9925.9927.9929.9931.9932.9934.9936

2.5.9938.9940.9941.9943.9945.9946.9948.9949.9951.9952

2.6.9953.9955.9956.9957.9959.9960.9961.9962.9963.9964

2.7.9965.9966.9967.9968.9969.9970.9971.9972.9973.9974

2.8.9974.9975.9976.9977.9977.9978.9979.9979.9980.9981

2.9.9981.9982.9982.9983.9984.9984.9985.9985.9986.9986

3.0.9987.9987.9987.9988.9988.9989.9989.9989.9990.9990

3.1.9990.9991.9991.9991.9992.9992.9992.9992.9993.9993

3.2.9993.9993.9994.9994.9994.9994.9994.9995.9995.9995

3.3.9995.9995.9995.9996.9996.9996.9996.9996.9996.9997

3.4.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9998

Ejemplo 13: La concentracin de colesterol total en una poblacin sigue una distribucin normal con media 200mg/100ml y desviacin tpica 20 mg/100ml. Si escogemos una persona de esta poblacin, calcular la probabilidad de tener una concentracin:

a) menor que 225 mg/100mlb) mayor que 150 mg./100ml

c) entre 180 y 210 mg./100ml

a) X= concentracin de colesterol total en mg/100ml; X~N(200,20) P(X(225)?

b)

c)

Ejemplo 14: Sea Z una normal tipificada encontrar z tal que

d) P(Z( z)=0,995

e) P(Z( z)=0,975

f) P(Z( z)=0,95

Y obtener el valor de P(-z( Z ( z).

a) , luego ahora hay que buscar este valor dentro de la tabla para ver a que fila y columna (2 decimal) corresponde. El valor exacto estar entre 2,57 (p=0,9949) y 2,58 (p=0.9951), de modo que podramos aproximar z=2,575.

P(-2,575( Z ( 2,575)=1-20,005=0,99b) . El valor exacto estar corresponde a 1,96. P(-1,96( Z ( 1,96)=1-20,025=0,95c) . El valor exacto estar entre 1,64 (p=0,9495) y 1,65 (p=0.9505), de modo que podramos aproximar z=1,645. P(-1,645( Z ( 1,645)=1-20,05=0,90Distribuciones continuas: Chi-cuadrado y t-Student (no va)La distribucin Chi cuadrado: si , independientes.Media: kVarianza: 2k

La distribucin t-Student: si

Media: 0 si k>1

Varianza: K/(k-2) si k>2

Algunas aproximaciones:

1. Aproximacin de la binomial a la normal:

si X ~ Bi(n,p), =np, 2=np(1-p), para valores de n suficientemente grandes*: X se comporta como X~ N(, ).

* n suficientemente grande equivale a cumplir ambas: np>5 y n(1-p)>5.2. Aproximacin de la poisson a la normal:

si X ~ Po((), para valores de ( suficientemente grandes: X se comporta como

* ( suficientemente grande equivale a decir (->(, sin embargo en la prctica suele aceptarse, (>100

3. Aproximacin de la t-Student a la normal:

si para valores de k suficientemente grandes: X se comporta como

* k suficientemente grande equivale a decir k->(, sin embargo en la prctica suele aceptarse, k>100 incluso k>30Estas propiedades pueden resultar muy tiles para hacer cculos que de otra forma seran tediosos o incluso problemticos.

Ejemplo 15: La proporcin de fumadores en determinada poblacin es p=0,2. Si extraemos al

azar una muestra de 40 personas y designamos por X el nmero de fumadores en la muestra,

a) cual es la probabilidad de que X>1?,

b) cual es la probabilidad de que X>10?,

a)

b)

Como np=400,2=8, y n(1-p)=400,8=32, ambos mayores que 5, podemos aplicar la aproximacin y suponer que X aproximadamente es. Ahora podemos obtener las probabilidades como si de una distribucin normal se tratara:

B

A1

A2

A3

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