TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

DOCENTE

OLMEDO GONZÁLEZ HERRERA

ESTADISTICAS APLICADAS

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS

2015

CONCEPTOS DE PROBABILIDADES

1. AXIÓMATICA DE KOLMOGOROV

Las definiciones anteriores son netamente empíricas o experimentales, sin embargo después de establecer una forma de determinar la probabilidad experimentalmente, se pueden deducir leyes o propiedades de la probabilidad en forma lógica o computacional bajo ciertas suposiciones llamados axiomas de la probabilidad.

La probabilidad de un evento A se define como el número P(A), tal que cumple con los siguientes axiomas:

AXIOMA 1: La probabilidad P(A) de cualquier evento no debe ser menor que cero ni mayor que uno: 0 < P(A) < 1

AXIOMA 2: P(S) = 1

AXIOMA 3: Si A y B son dos eventos mutuamente exclusivos (A Ç B = Æ), entonces: P (A È B) = P(A) + P (B)

Toda la teoría elemental de la probabilidad está construida sobre las bases de estos tres simples axiomas.

Si el espacio muestral es infinito, debemos reemplazar el axioma 3 por el

AXIOMA 4: Si A1, A2,… son eventos mutuamente exclusivos, entonces tenemos que P (A1 È A2 È…) = P(Al) + P (A2) +…+

2. ARREGLO DE DATOS.

Organización de los datos brutos por observaciones en orden ascendente o descendente.

3. CENSO.

Medición o examen de cada elemento de la población.

4. CLASE.

Intervalo en el cual se agrupan los datos en una tabla de distribución de frecuencias.

Ejemplo xi fi xi · fi xi

2 · fi

[10,20) 15 1 15 225[20,30) 25 8 200 5000[30,40) 35 10 350 12 250

[40,50) 45 9 405 18 225[50,60) 55 8 440 24 200[60,70) 65 4 260 16 900[70,80) 75 2 150 11 250

42 1 820 88 050

5. COEFICIENTE DE VARIACIÓN.

Medida de dispersión relativa de un conjunto de datos, se calcula dividiendo la dispersión estándar entre la media y multiplicando el cociente por cien.

Con un micrómetro, se realizan mediciones del diámetro de un balero, que tienen una media de 4.03 mm y una desviación estándar de 0.012 mm; con otro micrómetro se toman mediciones de la longitud de un tornillo que tiene una media de 1.76 pulgadas y una desviación estándar de 0.0075 pulgadas. ¿ Cuál de los dos micrómetros presenta una variabilidad relativamente menor? Los coeficientes de variación son:

CV = y CV =

En consecuencia, las mediciones hechas por el primer micrómetro exhiben una variabilidad relativamente menor con respecto a su media que las efectuadas por el otro.

6. LAS COMBINACIONES

Son todos los subconjuntos de x elementos que se pueden formar de entre un conjunto de n objetos y en donde una combinación con los mismoselementos no es otra combinación sino que es la misma, aunque los elementos seencuentren en diferente orden.

Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría?La cantidad de combinaciones posibles sería: P (9,5)/5! = (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.

Existen dos tipos de combinación: combinación sin repetición y combinación con repetición.

- Combinación sin repetición: se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).

- Combinación con repetición: se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).

7. DIAGRAMAS DE ÁRBOL En casos simples resultan útiles los diagramas de árbol para enumerar objetos en forma sistemática.

Ejemplo: Se desea conocer todas las formas posibles de hacer un experimento que consiste en 4 componentes de auto a L1, L2, L3, L4, entonces cada componente es sometido a tres diferentes temperaturas de A1, A2, A3 hasta que se obtiene una falla.

8. DISTRIBUCIONES DISCRETAS

Una distribución de probabilidad es una representación de todos los resultados posibles de algún experimento y de la probabilidad relacionada con cada uno.

Una distribución de probabilidad es discreta cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos de variables aleatorias discretas, es decir, de variables que sólo puede tomar ciertos valores, con frecuencia números enteros, y que resultan principalmente del proceso de conteo.

Ejemplos de variables aleatorias discretas son:

Número de caras al lanzar una moneda El resultado del lanzamiento de un dado Número de hijos de una familia Número de estudiantes de una universidad

9. DISTRIBUCIONES CONTINUAS

Una distribución de probabilidad es continua cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos de variables aleatorias continuas, es decir, de variables cuantitativas que pueden tomar cualquier valor, y que resultan principalmente del proceso de medición.

Ejemplos de variables aleatorias continuas son:

La estatura de un grupo de personas El tiempo dedicado a estudiar La temperatura en una ciudad

10.EXPERIMENTO ALEATORIO.

Son situaciones o ensayos que implican resultados inciertos. Por ejemplo, son experimentos aleatorios lanzar una moneda al aire oun dado, porque el resultado, ya sea que salga “águila” o que caiga hacia arriba lacara del dado que tiene 5 puntos, es un resultado aleatorio. Analizar productosque salen de una línea de producción para revisar si están defectuosos o no es también un experimento aleatorio porque el resultado también lo es. Es importante observar que se considera que una

situación es un experimento aleatorio porque se desea analizar el caso desde el punto de vista probabilístico, y no porque se organice la situación con el propósito específico de que sea aleatoria, aunqueen ocasiones sí es intencional.

Ejemplo.

Lanzar una moneda Lanzar un dado

11.ESPACIO MUESTRAL.

Se define como el conjunto de todos los resultados posiblesde un experimento aleatorio: el espacio muestral del experimento aleatorio dellanzamiento de una moneda son los eventos “sol y águila”.

EJEMPLOS:

El espacio muestraldel experimento aleatorio de lanzar un dado es el conjunto 1, 2, 3, 4, 5, 6,, queson los números de puntos que tienen las 6 caras de un dado.

El espacio muestral del experimentoaleatorio que consiste en observar el comportamiento de los precios de las acciones que se cotizanen la Bolsa Mexicana de Valores podría ser sube, baja, permanece igual

También podría ser unconjunto con un enorme número de elementos que serían los valores posibles que podría asumir laacción que se analiza.

12.EVENTOS.

Son los resultados posibles del experimento aleatorio. Sol o águila sonlos posibles resultados del experimento aleatorio que consiste en lanzar unamoneda. Que el precio suba o baje, o que permanezca igual, son los resultadosposibles, es decir, los eventos posibles, del experimento aleatorio que consiste enobservar el comportamiento del precio de alguna acción en el mercado de valores.

UN EVENTO SIMPLE: Se especifica de acuerdo con una sola característica;

Por ejemplo, los eventos simples del lanzamiento de un dado son los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:

P (Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable

Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:

P (Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable

EVENTO COMPUESTO: está formadopor 2 o más eventos simples. Mientras que un evento compuesto en el experimentoaleatorio de lanzar un dado podría ser la ocurrencia de un número impar, ya queincluiría a los eventos simples 1, 2 y 3.

13. INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA.

Es la probabilidad condicional de la ocurrencia de un evento si la probabilidad de la de otro no tiene efectos sobre la suya.

14.LA FRECUENCIA RELATIVA

Es, en otras palabras, la proporción de casos en cada categoría, por lo que se podría decir que 70% de las cajas de focos no contienen focosdefectuosos o, abundando, que la proporción de cajas que tenía un foco defectuoso es de 15%, etcétera.Interpretando esta situación como experimento aleatorio se diría por ejemplo que si se escoge una caja al azar, la probabilidad de que no tenga focos defectuosos es de 70%. Así, se utilizaría la frecuencia relativa como medida de la probabilidad. Esta misma interpretación de la frecuencia relativa es aplicable tablas de contingencias o tablas de doble entrada con información cruzada.

15.LAS PERMUTACIONES

Son todos los subconjuntos de x elementos que se pueden formar de entre un conjunto de n objetos y en donde una permutación con los mismoselementos que otra, pero en diferente orden, constituye una permutación distinta.

EJEMPLO:

¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?m = 5 n = 5Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

16.MODA.

Es el valor que tiene la mayor frecuencia de un grupo de datos.

EJEMPLO:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo = 4

17.METODOS NO PARAMÉTRICOS.

Métodos estadísticos que requieren muy poco o ningún supuesto acerca de las distribuciones de probabilidad de la población, y acerca del nivel de medición. Esos métodos se pueden aplicar cuando se dispone de datos nominales u ordinales.

Ejemplo: Se tienen dos parcelas experimentales. En una de las parcelas se sacó completamente la maleza y en la otra se dejó hasta 3 malezas por metro cuadrado. ¿Dañará la presencia de maleza la producción de maíz?

18. MUESTRA.

Porción o subconjunto de la población que se estudia.

19.MUESTRA ALEATORIA SIMPLE.

Muestra tomada de tal manera que cada muestra de tamaño n tiene la misma probabilidad de ser seleccionada.

20.MUESTREO CON REEMPLAZO.

Es un método en el cual cada miembro de la población elegida para la muestra se regresa a la primera antes de elegir al siguiente miembro.

21.MUESTREO SIN REEMPLAZO.

Es un método en el cual los miembros de la muestra no se regresan a la población antes de elegir a los miembros siguientes.

22.MUTUAMENTE EXCLUYENTES.

Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Otra forma de decirlo es que dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno impide la ocurrencia del otro.

23.PROBABILIDAD CONDICIONALSe utiliza la probabilidad condicional cuando la determinación de cierta probabilidad depende de circunstancias adicionales. Por ejemplo, si se tienen 2 grupos de 10 personas cada uno y el grupo A tiene 4hombres y 6 mujeres, en tanto que el grupo B tiene 8 hombres y 2 mujeres, la probabilidad de elegir a una mujer depende del grupo que se elija; así, la probabilidad de elegir a una mujer en el grupo A es de 0.60, pues son 6 mujeres en el grupo de 10; por otra parte, la probabilidad de elegir a una mujer en el grupo B es de 0.20 porque en éste sólo hay 2 mujeres.En términos de probabilidad condicional se dice que la probabilidad de elegir a una mujer, dado que se elige en el grupo A, es de 0.60 y, en símbolos:P(M| A) = 0.60La línea vertical entre la M(mujer) y A (grupo A) se lee como “dado que”, por lo que ese planteamiento se puede leer como “la probabilidad de elegir a una mujer, dado que se elige en el grupo A es de 60 por ciento”.De la misma manera, la probabilidad de elegir a una mujer, dado que se elige en el grupo B es de 20% oP(M| B) = 0.20

24.POSIBILIDADES: Las posibilidades comparan el número de resultados favorables con el número de resultados desfavorables. Si todos los resultados de un espacio muestral son igualmente probables, y un número n de ellos son favorables al evento E, y los restantes m son desfavorables a E, entonces las posibilidades a favor de E sonde de n (E) a m (E), y las posibilidades en contra de E son de m(E) a n(E)

Ejemplos ilustrativos: Mathías se le prometió comprar 6 libros, tres de los cuales son de Matemática. Si tiene las mismas oportunidades de obtener cualquiera de los 6 libros, determinar las posibilidades de que le compren uno de Matemática.

Solución:

Número de resultados favorables = n (E) = 3 Número de resultados desfavorables = m (E) = 3 Posibilidades a favor son n (E) a m (E), entonces, Posibilidades a favor = 3 a 3, y simplificando 1 a 1.

Nota: A las posibilidades de 1 a 1 se les conoce como "igualdad de posibilidades" o "posibilidades de 50-50"

25.PROBABILIDAD OBJETIVA

Aquella que se determina tomando como base algún criterio experimental u objetivo ajeno al sujeto deci-sor, como el cociente entre el número de casos favorables y número de casos posibles o el límite de una frecuencia relativa. Incluso en estos casos la determinación de la probabilidad entraña un cierto grado de subjetividad.

POR EJEMPLO, cuando al lanzar un dado se le atribuye a la cara seis 1/6 de probabilidad se está suponiendo implícitamente que el dado está perfectamente construido.

26. PROBABILIDAD SUBJETIVA

Se basan en las creencias e ideas en que se realiza la evaluación de las probabilidades y se define como en aquella que un evento asigna el individuo basándose en la evidencia disponible (el individuo asigna la probabilidad en base a su experiencia). La probabilidad subjetiva puede tener forma de frecuencia relativa de ocurrencia anterior o simplemente puede consistir en una conjetura inteligente N.

Para clarificar lo antes dicho un ejemplo muy común es el pronóstico del tiempo, muchos individuos como nosotros realizamos una predicción personal de como serán las condiciones climáticas para el día, basadas más en nuestra experiencia

personal pero que muchas veces sustentamos en experiencia de eventos pasados.

27.REGLA DE BAYESEsta regla fue planteada formalmente por Pierre Simón de Laplace (matemático, astrónomo y físico francés, 1749-1827) con base en trabajos previos del reverendo Thomas Bayes; se basa en la probabilidadcondicional y su origen podría remontarse a reflexiones sobre la probabilidad de que Dios exista, dados los fenómenos que podemos observar o, en símbolos, P(D| F) aunque, por otro lado, si damos por sentada la existencia de Dios como muchos lo hacen, la reflexión sería en el sentido de la probabilidad de que se den los fenómenos que observamos, dada la existencia de Dios, o P(F| D).Así, la regla de Bayes trata de problemas en los que se desea encontrar la probabilidad de un suceso B, dado otro A, P (B| A), cuando los datos de los que se dispone son las probabilidades condicionales inversas, es decir, la probabilidad del suceso A, dado el suceso B, P(A| B).Para ver cómo se obtiene esta regla, se puede comenzar observando que la regla de la multiplicación de probabilidades se puede plantear de 2 maneras, considerando que P(A y B) = P(B y A):P(A y B) = P(A| B) P(B) y P(A y B) = P(B y A) = P(B| A) P(A)Si se igualan las 2 ecuaciones anteriores, eliminando P(A y B), se tiene:P(A| B)P(B) = P(B| A) P(A)Si ahora se despeja, se tiene:P A BP B A P AP B( ) = ( ) ⋅ ( ) .( )que es otra manera de interpretar la probabilidad condicional. También se tiene que:

P (B) = P(B| A1) ⋅ P(A1) + P(B| A2) ⋅ P(A2) + … + P(B| An) P(An)Lo cual, básicamente, indica que la probabilidad del evento B es la suma de las probabilidades condicionales. Sustituyendo esta última expresión en la primera, se tiene la resta de Bayes:P A B P B A P AP B

P B A P AP B A P Aii i i ii i( ) = ( ) ⋅ = ( ) ⋅( ) ⋅( )( )( )( ))in∑=1

28.SUCESO ALEATORIO

Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo:

Tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.

29.VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (X). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque el valor tomado es totalmente al azar y discreta porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos.

Ejemplos:

Variable que nos define el número de burbujas por envase de vidrio que son generadas en un proceso dado. 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc... Burbujas por envase

Variable que nos define el número de productos defectuosos en un lote de 25 productos. 0, 1, 2, 3,....,25 productos defectuosos en el lote

Variable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos. 0, 1, 2, 3, 4, 5,....,40 alumnos aprobados en probabilidad

Con los ejemplos anteriores nos damos cuenta claramente que los valores de la variable x siempre serán enteros, nunca fraccionarios.

30.VARIABLE ALEATORIA CONTINUA (X). Se le denomina variable porque

puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque los valores que toma son totalmente al azar y continua porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos.

Ejemplos:

Variable que nos define el diámetro de un engrane en pulgadas - 5.0”, 4.99, 4.98, 5.0, 5.01, 5.0, 4.96

Variable que nos define la longitud de un cable o circuito utilizado en un

arnés de auto - 20.5 cm, 20.1, 20.0, 19.8, 20,6, 20.0, 20.0

Variable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral. - 14.8gramos, 12.0, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8

Como se observa en los ejemplos anteriores, una variable continua puede tomar cualquier valor, entero o fraccionario, una forma de distinguir cuando se trata de una variable continua es que esta variable nos permite medirla o evaluarla, mientras que una variable discreta no es medible, es una variable de tipo atributo, cuando se inspecciona un producto este puede ser defectuoso o no, blanco o negro, cumple con las especificaciones o no cumple, etc, etc.

ACTIVIDADES A DESARROLLAR DE LA UNIDAD I

PARTE A. TEORIA DE LAS PROBABILIDADES

PRIMERO: Determinar:

a) La Probabilidad de que al lanzar un dado dos veces aparezca en ambos

lanzamientos el número 6.

Ω = (1, 2, 3, 4, 5, 6)

P (A n B) = P (A) * P (B/A)

P (A) = NA = 1 N 6La probabilidad de que al lanzar el dado dos veces aparezca el numero 6 es de 16

b) Si la Probabilidad de ser moreno es de 0,3 y la de llevar gafas es de 0,2.

Calcular la Probabilidad de que una persona cualquiera sea morena y lleve gafas

(se asume que son independientes)

Moreno: 0,3

Gafas: 0,2

P (M) = 0,30 P (G) = 0,20

P (M n G) = P (M) * P (G/M)

= (0,30) * (0,20)

= 0,06 = La probabilidad de que exista una persona morena y que use gafas es del

6%

c) En una caja hay 3 balotas blancas y 2 negras. Calcular la Probabilidad de que

sacando dos balotas sucesivamente y sin restitución, estas sean negras.

N= 5

n= 2

Pi = Ni N

P (Ne) = (2 15 4) = 2 = 1 = 0,10 = 10%

20 10

La probabilidad que este suceso suceda es del 10%.

d) La Probabilidad de que al sacar una carta de una baraja española de 40 cartas

esta sea un oro o una copa.

N= 40

P (O U C) = 10 + 10 = 20 = 2 = 1 = 0,50 = 50%

40 40 40 4 2

La probabilidad que ocurra este evento es del 50%

SEGUNDO: Se lanza una moneda equilibrada tres veces. Construya el espacio

muestral de todos sus posibles resultados y determine la probabilidad de que

acurran los eventos:

N= 8

A: Que aparezcan exactamente 3 caras

(C C C)

P (A) = 1 = 0,125 = 12. 5% 8

B: Que aparezcan mínimo 2 sellos

C S S

S C S

S S C

S S S

P (B) = NB = 4 = 1 = 0,50 = 50% N 8 2

TERCERO: Se lanza un dado no cargado, determine la probabilidad de:

Ω = (1, 2, 3, 4, 5, 6)

A: Que el resultado sea número impar

(1, 3, 5)

P (A) = NA = 3 = 1 = 0,50 = 50% N 6 2

B: Que el resultado sea un número mayor de 2 y menor que 5

Mayor de 2 (3, 4, 5, 6)

Menor de 5 (1, 2, 3, 4)

P (i) = 2 = 1 = 0,333 = 33% 6 3

CUARTO: Se sabe que la presencia de determinados síntomas se presenta en el

60% de los pacientes con la enfermedad A1, en el 30% de los pacientes con la

enfermedad A2 y en el 10% de los pacientes con la enfermedad A3.

Además se conoce que el examen de laboratorio (E) sale positivo en el 30% de

los casos de A1, en el 70% de los casos de A2 y en el 70% de los casos de A3. Si

un paciente tiene esos síntomas y el examen sale positivo, ¿Determine cuál es la

probabilidad de que tenga la enfermedad A1,o la enfermedad A2 o la enfermedad

A3; indique que enfermedad es más probable que tenga.

P (A1 / Ex) =?

P (A2 / Ex) =?

P (A3 / Ex) =?

P (A1 n Wx) = 0,18________ P (Ex) 0,18 + 0,21 + 0,07

P (Ex) = P (A1 n E) + P (A2 n E) + P (A3 n E) (0,60) (0,30) + (0,30) (0,70) + (0,10) (0,70) (0,18) + (0,21) + (0,07) = 0.46

P (A1 / Ex) = 0,18________ = 0,3913 = 39,13% 0,18 + 0,21 + 0,07

P (A2 / Ex) = 0,21 = 0,4565 = 45,65%

0,46

P (A3 / Ex) = 0,09 = 0,1522 = 15,22%

0,46

PARTE B. ESTADISTICA

PRIMERO: La resistencia al rompimiento de dos muestras de botellas es la

siguiente:

Muestra 1: 230 250 245 258 265 240

Muestra 2: 190 228 305 240 265 260

Calcule e interprete los coeficientes de variación

respectivos y enuncie conclusiones.

Muestra 1

S² (230-248)²+(250-248)²+(245-248)²+(258-248)²+(265-248)²+(240-248)²

6 - 1

S² 324 + 4 + 9 + 100 + 289 + 64

N. Xi1 2302 2503 2454 2585 2656 240

1488148

8=24

86

5

S² = 158

S =

S = 12,57

CV 12,57 *100

248

CV = 5,07%Muestra 2

X = 248

S²= (190-248)²+(228-248)²+(305-248)²+(258-248)²+(265-248)²+(260-248)²

6 - 1

S² 3364+400+3249+100+289+1

445

S²= 1503

S =

S = 38,77

CV

√ 158

√ 1503

N. Xi1 1902 2283 3054 2405 2656 260

1488

= 14886

38,77 *100248

CV = 15,63%

Podemos concluir que existe entre una gran variación entra la primera

muestra 5,07% y la segunda 15,63%, es decir, en la muestra dos existió más

resistencia en las botellas para el rompimiento.

SEGUNDO: Se desea hacer un estudio estadístico de la temperatura del agua

empleada en pruebas de laboratorio; para esto es necesario tomar una muestra y

calcular la media, mediana, desviación estándar, rango, coeficiente de variación,

percentil 75, cuartil 2 y decil 3 . Se realizan 14 observaciones arrojando los

siguientes resultados en ºC: 2.11, 3.8, 4.0, 4.0, 3.1, 2.9, 2.5, 3.6, 2.0, 2.4,

2.8, 2.6, 2.9, 3.0.

a- Efectuar los análisis respectivos y enuncie conclusiones

b- Elaborar e interpretar el diagrama de caja respectivo.

Respuesta:

N. 1 2,112 3,83 4,04 4,05 3,16 2,97 2,58 3,69 2,0

10 2,411 2,812 2,6

13 2,914 3,0 41,7

= 41,7114

= 2,979= 2,98 MUESTRA

MEDIA

= 2,98

MEDIANA

N. ºC1 2,02 2,113 2,44 2,55 2,66 2,87 2,98 2,99 3,0

10 3,111 3,612 3,813 4,014 4,0 41,7

Me = X (142

) + X (142

+ 1)

2

Me = X7 + X8 2

Me = 2,9 + 2,9 2

Me = 2,9 ºC

RANGO

R = 4,0 – 2.0

R = 2,0

DESVIACION ESTANDAR

S² = (2,0 – 2,9)² + (2,11 – 2,9)² + (2,4 – 2,9)² + (2,5 – 2,9)² + (2,6 – 2,9)² + (2,8 –

2,9)² + (2,9 – 2,9)² + (2,9 – 2,9)² + (3,0 – 2,9)² + (3,1 – 2,9)² + (3,6 – 2,9)² + (3,8 –

2,9)² + (4,0 – 2,9)² + (4,0 – 2,9)²

14 - 1S² = 5,71 13

S = √5,71/13

S = 0,18

COEFICIENTE DE VARIACION

CV = 0,18 2,9

CV = 6,21 %

CUARTIL

Qi = 2 ( 14 ) 4

Qi = 7

Qi = 2,9

DECIL

I = 3 (14 ) 10I = 4,2

I = 2,5 Con esto podemos concluir que el 30% de las temperaturas son

menores a 2,5 , mientras que el 70% de estas son mayores al 2,5 .

PERCENTIL

Pi = 75 (14 ) 100

Pi = 10,5 ≈11

Pi = 3,6 El 75% de las temperaturas son menores o iguales a 3,6 , el complemento es 25%, es decir, mayores a dicho valor.

DIAGRAMA DE CAJA

2,0 Xmin Q₃ 2,8 Q₂ 2,9 Q₁ 3,5 4,0 Xmax

TERCERO: Identifique una variable estudio cualitativa y otra cuantitativa de su

área de interés y para mínimo 50 observaciones construir el histograma, el

diagrama pastel; obtenga e interprete las medidas de resumen respectivas para

datos agrupados; enuncie conclusiones en los términos técnicos del problema

formulado.

Este punto se encuentra en la hoja de Excel de la base de datos.