TEORIA DELLE OMBRE

La luce, investendo gli oggetti, li rende visibili nelle loro forme e colori, e tutti gli oggetti, esposti ad una sorgente di luce, hanno la parte della superficie rivolta verso la sorgente stessa, "in luce" e la parte opposta "in ombra". È evidente perciò che, nel disegnare quegli oggetti, si dovrebbero rappresentare anche le loro ombre; per far questo in geometria descrittiva si utilizzano i principi della "teoria delle ombre" che attraverso la conoscenza scientifica della fonte luminosa, dell'oggetto e della superficie su cui l'ombra viene proiettata permette di definire, per proiezione, il comportamento dell'ombra stessa.. La teoria delle ombre, che non ha una propria autonomia rispetto agli altri sistemi di rappresentazione ai quali è anzi subordinata, appartiene comunque alla geometria descrittiva perché ne utilizza i principi che sono alla base dei sistemi di rappresentazione ed offre, a chi disegna, un'opzione in più: quella di definire maggiormente i caratteri plastici della forma. evidenziandone i volumi. Chiameremo raggio di luce un linea retta percorsa dalle sequenza di onde luminose; la retta oltre che essere individuata da un punto (la sorgente considerata puntiforme) e dalla direzione è anche orientata ovvero se ne conosce anche il verso che è quello di allontanamento dalla sorgente. Se il raggio di luce incontra un punto è assorbito da questo e si trasforma in un "raggio d'ombra".

raggio di luce

raggio d'ombra

L'intersezione del raggio d'ombra uscente dal punto con un dato piano è l'ombra portata dal punto sul piano stesso. Analogamente, due raggi di luce, incidenti o paralleli, individuano un "piano di luce" che intercettato da una retta generica r dà origine ad "un piano d'ombra" le cui tracce, sul o sui piani di riferimento, rappresentano l'ombra della retta. Tre o più raggi di luce paralleli ma non complanari intercettando una linea l danno origine ad un “solido d’ombra” la cui sezione con il o i piani di riferimento rappresenterà l’ombra portata di tale linea. Nello spazio l'insieme dei raggi luminosi, uscenti dalla sorgente luminosa puntiforme S, rispetto ad un qualsiasi oggetto, possono essere: a) esterni all'oggetto, cioè non lo toccano, e investono direttamente il piano di riferimento o altre

superfici, illuminandole; b) incidenti l'oggetto in vari punti illuminandoli e ma essendone anche assorbiti generando così quei

raggi d'ombra che colpiscono invece il piano in altrettanti punti d'ombra; c) tangenti o radenti l'oggetto, non sono cioè né esterni né incidenti determinando una serie di punti

che separano i punti in luce dell'oggetto dai punti in ombra.

Unendo tra loro quest'ultima serie di punti, si individua una linea l, che separa la superficie del corpo in luce da quella in ombra, delimitando cioè quella che è considerata la "ombra propria" del corpo. La linea l, è la linea separatrice d'ombra propria. Sul piano di riferimento l'analoga linea che delimita l'ombra portata è definita contorno dell'ombra portata. Essa non è altro quindi che l'ombra sul piano di rappresentazione della linea separatrice dell'ombra propria.

Ch

π1

Ombra portataOmbra propria

Separatrice d'ombra

Le ombre come ulteriore proiezione obliqua dell'oggetto sui piani di riferimento. La sorgente luminosa, che possiamo considerare un ulteriore centro di proiezione posto all’infinito, ha, generalmente, una direzione diversa da quella della proiezione dell’oggetto rappresentato; tale proiezione è sempre obliqua rispetto al o ai piani di rappresentazione, così da non ingenerare possibili confusioni con la vera proiezione dell’oggetto. Pertanto, in proiezioni ortogonali ed in assonometria l’ombra di solidi risulterà essere una proiezione obliqua, ovvero un’assonometria del solido stesso; in prospettiva l’ombra risulterà essere una ulteriore prospettiva.

L.T.

Ombre in proiezioni ortogonali. Considerato quanto detto sopra, in proiezioni ortogonali costruire l’ombra di un punto P ~ (P', P") significa, far passare per il punto una retta genericamente inclinata rispetto ai due piani di proiezione; le tracce di tale retta costituiranno le ombre (una sul piano orizzontale e l’altra sul piano verticale) di P. È evidente che delle due tracce della retta (ad esclusione del caso particolare di una retta incidente la L.T.) solo una sta nel primo diedro, l’altra cadrà nel secondo o quarto diedro. La traccia visibile nel primo diedro costituisce l’ombra del punto, l’altra, utile per la costruzione ma non visibile nel primo diedro, è considerata virtuale.

P"

P'

r'

r"

T'rLP'o

T"r L P"o

L.T.

L’ombra di una retta è originata dall’insieme degli infiniti raggi che vengono intercettati dagli infiniti punti dalla retta stessa intesa come retta punteggiata. Gli infiniti raggi così intercettati costituiscono un piano rigato che contiene la retta. Esso è individuato, quindi, dalla retta stessa e da uno dei raggi ad essa incidenti; per le condizioni di appartenenza le tracce del piano dovranno passare per le tracce omonime delle due rette incidenti.

T"rh

r"

T'rLr'

T"s

s"

T's

α'Ls'

α"

L.T .

L.T.

π1

π2

α α"

α'Ls'

r

s

T"rh

r"

T'rLr'

T"s

s"

T's

Comprendere il comportamento di un piano d‘ombra è essenziale per poter disegnare, ad esempio, l’ombra che una retta proietta su un altro piano. Se aggiungiamo, nell’esempio precedente, un piano generico β, l’ombra della retta risulterà, in seconda proiezione, spezzata perché l’ombra è la retta intersezione tra il piano β ed il piano α, piano d’ombra.

T"rh

r"

T'rLr'

T"s

s"

T's

α'Ls'Li'

α"

L.T .

β'

β"

T'i

T"i

i"

Analizziamo ora l’ombra di alcuni segmenti variamente disposti rispetto ai piani di rappresentazione. In questo caso è sufficiente individuare l’ombra dei punti estremi dei vari segmenti:

A"

B"

A'

B'

B'o

A"oA'o

B"o

A" B"

A"o B"o

A'o B'o

A' B'

A"

B"

A'LB'LB'o

A"o A'o

A"LB"LB"o

A'

B'

A'o A"o

Ombre di solidi Possiamo considerare i vari segmenti come spigoli di un poliedro euleriano convesso, gli estremi risulteranno pertanto i vertici di tale poliedro, risulterà facile eseguire l’ombra del solido individuando le ombre dei singoli vertici.

Esiste, sul solido, una spezzata sghemba, la separatrice d’ombra, che separa le facce in luce da quelle in ombra, la proiezione sui piani di riferimento di tale spezzata determina il contorno dell’ombra portata. Per determinare velocemente l’andamento di tale spezzata si devono individuare, per prima cosa, due vertici: quello che viene raggiunto per primo dal raggio luminoso proiettante ed il suo opposto. Il primo risulterà in luce, il secondo decisamente in ombra.

Raggio luminoso

Vertice in luce

vertice in ombra

Raggio luminoso

Spigoli in luce

spigoli in ombra

Da ciascuno dei due vertici si dipartono tre spigoli, quelli uscenti dallo spigolo in luce risulteranno in luce anch’essi, quelli uscenti dallo spigolo in ombra risulteranno in ombra. Raggio luminoso

facce in luce

facce in ombra

separatrice d'ombra

Ogni coppia di spigoli individuerà a sua volta delle facce, in luce se inividuate da due spigoli in luce o in ombra viceversa, gli spigoli comuni alle facce in luce e alle facce in ombra costituiscono la spezzata sghemba separatrice d’ombra.

Ombra di una piramide retta a base quadrata poggiante su π1. In questo caso è sufficiente individuare l’ombra del vertice V sia in prima che in seconda proiezione. In prima proiezione l’ombra cade nel 2° uadrante ed è virtuale ma ci occorre per poter costruire l’ombra della piramide fino alla linea di terra unendo l’ombra virtuale di V con i verici B e D della piramide. Si unirà, quindi, la seconda proiezione del vertice Vo” con i punti di incidenza dell’onbra degli spigoli con la linea di terra, si completerà così l’ombra portata visibile nel primo quadrante.

V"

A" B" D" C"

A'

B'

C'

D'

V'

V"o V"o

Ombra di un prisma a base triangolare poggiante con una faccia su π1. Esercizio analogo al precedente, è sufficiente indiividuare le ombre dei vertici A e B ed unirle con i vertici della base.

A'

A" B"

B'

C'

D'

E'

F'

A"oA'o

B'o B"o

Ombra di una piramide retta a base esagonale e di un prisma a base esagonale.

V"

V'

V'o

V'1o

V'2o

V"o

V1"o

V2"o

α"

β"

L.T.

La piramide fa ombra sulle varie facce del prisma, conviene, quindi, sezionare i due solidi con piani orizzontali in modo da avere una sezione della piramide ed una del prisma complanari, in tale modo è semplice individuare dove l’ombra della piramide seca i relativi spigoli del prisma.

Ombre del cilindro e del cono Assegnata la direzione dei raggi luminosi, le ombre di un cilindro rotondo retto si determinano disegnando le tracce dei piani d’ombra tangenti alla direttrice di base e proiettando l’ombra della direttrice superiore; essendo quest’ultima parallela al piano p1 orizzontale, praticamente effettuiamo una traslazione e l’ombra su tale piano rimane un cerchio. Sul piano verticale tale ombra risulta un ellisse, pertanto è sufficiente individuare l’ombra dei diametri coniugati e, applicando le varie costruzioni viste per la costruzione dell’ellisse, disegnare la seconda proiezione dell’ombra portata. L’ombra propria è determinara dalle due generatrici di tangenza tra il cilindro e i piani d’ombra.

C"

C'

C'oC"o

C'

Per quanto riguarda il cono la riera dell’ombra si riduce, in questo caso, ad individuare, come per la piramide, l’ombra del vertice V, ovvero le tracce del raggio luminoso passante per il vertice V. Otterremo un’ombra virtuale in corrispondenza della prima traccia ed un’ombra reale in corrispondenza della seconda traccia di tale raggio. Per ottenere l’ombra in prima proiezione è sufficiente tracciare da V’o virtuale le tangenti alla direttrice del cono. Sapendo che le tangenti sono perpendicolari al raggio della direttrice nel punto di tangenza, si tracci una circonferenza di diametro V’- V’o, dove tale circonferenza taglia la direttrice otteniamo i due punti di tangenza e, di conseguenza le generatrici che delimitano l’ombra propria del cono.

V"

V'

V"oV'o

M

Ombre su una facciata. Si lavora utilizzando la o le piante dell’edificio e la facciata, poi si procede normalmente tenendo presente che le superfici arretrate dei serramenti possono essere considerati come piani verticali arretrati rispetto al piano di facciata.

L’attenta osservazione della realtà può essere d’aiuto nel risolvere ombre particolarmente complesse.

L’ombra della nicchia rettangolare può essere assimilata all’ombra di porte e finestre considerando il piano del serrameno come piano di fondo.

L’ombra di una tettoia o di un balcone è l’ombra di un parallelepipedo appoggiato ad un piano verticale, anche se si considera il parapetto, i cui elementi, in questo cso sono assimilabili ad altri parallelepipedi.

Ombra di una scala con parapetti Per individuare l’ombra che la parte inclinata del parapetto fa sui gradini, si è prima individuato l’andamento dell’ombra di tale segmento inclinato sul piano orizzontale, poi si è proceduto a tracciare la parallela su ogni singola pedata. Per una maggior com-prensione della costruzione vedi anche l’analogo esercizio svolto in assonometria.

Ombre su un piccolo edificio rurale

Le ombre sui prospetti servono ad aumentare la percezione della volumetria del prospetto stesso….

…. e ad aumentare l’effetto di realismo in un possibile rendering

Ombre in assonometria In assonometria il raggio luminoso è individuato dalla sua vera direzione r e dalla proiezione r’ di questo sul piano orizzontale (individuato dagli assi x e y). L’ombra di un punto P è individuata facendo passare il raggio r per P e la sua proiezione r’ per P’, il punto di incidenza delle due rette risulterà essere l’ombra Po del punto P.

Così l’ombra di un’asta AB, poggiante sul piano orizzontale con il punto B, risulterà dall’unione del punto Ao con il punto Bo coincidente con il punto B stesso.

r

r'

P'

P

Po

z

y

x

r

r'

A'LB'LBo

A

z

y

x

L’ombra di un solido si ottiene facendo

passare il raggio luminoso per i vari vertici e la proiezione del raggio luminoso per la proiezione sul piano assonometrico dei vari punti.

A

B

C

D

A'

B'

C'

D'

Bo

Co

Do

Ao

Ombra di una sedia

AB

AoBo

Un oggetto si può scomporre in solidi più piccoli, possiamo considerare la sedia qui sotto composta di più parallelepipedi sovrapposti, per cui dovrebbe essere facile costruirne la relativa ombra.

Si faccia attenzione alla superficie superiore

della seduta, è un piano orizzontale a tutti gli effetti e, pertanto,l’ombra della spalliera cadrà in parte sulla seduta e in parte a terra.

I punti A e B, intersezione rispettivamente delle ombre inferiore e superiore della spalliera con il bordo della seduta, hanno le loro ombre Ao e Bo, a terra, sull’ombra el margine della seduta.

Ombra di un parallelepipedo su un prisma a base triangolare. Trovata la spezzata intersezione tra i due solidi, si comincia a tracciare la retta r’ passante per la base del parallelepipedo. Questa retta forma, con il raggio proiettante r, un piano d’ombra perpendicolare al π1 che taglierà il prisma secondo una sezione triangolare; si individua così, sul segmento inclinato, il punto d’ombra ercato. Procedendo in modo analogo si individueranno gli altri punti e l’andamento dell’ombra che la parte del parallelepipedo, uscente dal prisma, forma sulla superficie inclinata di quest’ultimo. Tale ombra può essere assimilata all’ombra di un camino sulla falda di un tetto.

Ombre in assonometria di un piccolo edificio rurale. Esercizio sviluppato per fasi successive

r

r'

r

r'

r

Assonometria di un piccolo edificio con ombre

Esercizio: disegna le ombre proprie e portate di una scala in assonometria

r

r'

r

r'

A

B

Bo

C

Ao

Disegniamo innanzitutto le ombre proprie e portate della porta e del fianco della scala. Qui l’unica, eventuale, difficoltà è rappresentata dal segmento AB la cui ombra Ao Bo sul piano orizzontale è interrotta dal piano verticale della facciata in C. Ma raggiunto tale punto, che sta già sul piano verticale della facciata, si unisce C a B completando così l’ombra del segmento AC. B sta già , infatti, sul piano verticale e la sua eventuale ombra coincide con il punto stesso.

r

r'

E

Eo

FLFo

Procediamo nell’esercizio disegnando l’ombra propria del parapetto e l’ombra del segmento verticale EF sui gradini. Sulla pedata l’ombra segue l’andamento della proiezione r’ del raggio luminoso fino a raggiungere la prima alzata verticale. In questo tratto l’ombra è verticale, parallela all’andamento del segmento EF. Ma appena si raggiunge la pedata successiva l’ombra proseguirà parallela all’andamento della proiezione r’ del raggio luminoso fino a raggiungere in Eo il raggio proveniente dal punto E. Da Eo inizia l’ombra della parte inclinata del parapetto.

r

r'

E

Eo

FLFo

G

Go

α

Si consideri un piano orizzontale α (segnato in rosso) all’altezza della seconda pedata, là dove ci siamo fermati con l’ombra Eo del segmento verticale. Se consideriamo i due punti estremi del segmento inclinato E G, possiamo facilmente individuare l’ombra EoGo di tale segmento sul piano orizzontale tracciato. Tale ombra ci dà l’andamento dell’ombra del segmento inclinato sul piano orizzontale e, di conseguenza, l’andamento dell’ombra su tutte le pedate dei vari gradini.

Quando l’ombra intercetta il piano verticale delle alzate si comporta come nel caso del segmento AB, ovvero andrà ad incontrare il punto di interseziondel segmento inclinato EG del parapetto con il piano verticale che contiene l’alzata.

r

r'

Raggiunto il punto d’ombra Go ritroviamo un tratto orizzontale di parapetto la cui ombra si comporterà in maniera analoga all’ombra del segmento AB risolta nella parte inziale dell’esercizio. L’ombra prosegue anche nel vano della porta, sul piano verticale del serramento, risultando parallela all’andamento della relativa ombra sia sul piano orizzontale che verticale.

Ombre in prospettiva In prospettiva la direzione del raggio luminoso, considerato obliquo rispetto sia al geometrale sia al quadro, è individuata, come nella prospettiva di rette genericamente inclinate, dal punto di fuga Fr del raggio stesso (ovvero dall’immagine finita sul quadro del punto impropio del fascio di raggi luminosi paralleli tra loro) e dal punto di fuga Fr’ delle proiezioni sul geometrale di tali raggi. L’ombra si ottiene facendo passare per i vari punti in elevato una retta da Fr e per le proiezioni di tali punti sul geometrale un retta da Fr’, nel punto di incidenza di tali rette si ottiene il punto d’ombra cercato. Semplificando, se la direzione dei raggi luminosi proviene da una sorgente luminosa posta di fronte all’osservatore Fr si troverà al di sopra della linea di orizzonte LT, viceversa, se è posta alle spalle dell’osservatore allora Fr si troverà al di sotto dell’osservatore; esiste, infine, una terza posibilità in cui la direzione dei raggi luminosi si dispongono paralleli al quadro. In questo caso la fuga Fr risulta impropria e i raggi e le loro proiezioni rimangono paralleli tra loro.

Fs'

Fs

Fy Fx

Ombre proprie e portate di un gruppo di solidi, in prospettiva accidentale, con sorgente luminosa impropria posta alle spalle dell’osservatore.

Ombre di un gruppo di solidi in prospettiva accidentale con direzione dei raggi lumminosi paralleli al piano di quadro

Fr

Fr'

Ombra di un’asta su un gruppo di solidi con sorgente luminosa posta di fronte all’osservatore.

È bene osservare che se si scelgono le fughe del raggio luminoso e della sua proiezione sul geometrale, all’interno dei punti di fuga Fx e Fy del solido in prospettiva (caso in rosso), entrambe le facce del solido risultano in ombra propria e il disegno perderà così vigore. Se, al contrario (caso in blu) si sposta la sorgente luminosa al di fuori delle fughe della prospettiva ell’oggetto, solo una faccia risulterà in ombra propria migliorando l’effetto finale del disegno.

Analoga considerazione si può fare se la sorgente luminosa è alle spalle dell’osservatore: se posta all’interno delle fughe della prospettiva dell’oggetto (caso in rosso), l’ombra riulterà molto ridotta e le due facce visibili del solido risulteranno entrambe in piena luce vanificando così l’effetto di plasticità e rilievo che l’ombra può ontribuire a suggerire. Al contrario, se spostiamo la sorgente luminosa al di fuori dei punti di fuga dell’oggetto 8caso in blu) l’ombra portata risulterà più visibile ed una faccia del solido risulterà in ombra propria.

Esemplificazione: ombre proprie e portate di un piccolo edificio in prospettiva Sopra: costruzione delle ombre, la sorgente luminosa è alle spalle dell’osservatore. Sotto: rendering della prospettiva precedente.